Controle Estatístico de Processos

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DESCRIÇÃO
O Controle Estatístico é uma poderosa coleção de ferramentas úteis na obtenção da estabilidade do
processo e na melhoria da capacidade por meio da redução da variabilidade. Um processo estará sob
controle (estável) se os resultados estiverem em conformidade com os limites impostos. Caso contrário, o
processo deve ser investigado para que sejam detectadas as causas do desvio.
PROPÓSITO
Obter conhecimento sobre a aplicação das técnicas estatísticas e análise de dados relacionados ao
controle da qualidade de processos e suas aplicações práticas.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar este estudo, tenha em mãos uma calculadora, preferencialmente que execute cálculo de
exponenciais. Tenha também, se possível, um computador com aplicativo Microsoft Excel ou Apache
OpenOffice, como apoio para a solução dos problemas que serão apresentados.
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OBJETIVOS
MÓDULO 1
Descrever os conceitos de Estatística Básica
MÓDULO 2
Definir como se deve determinar tamanhos de amostras
MÓDULO 3
Aplicar planos de amostragem
MÓDULO 4
Reconhecer a importância da análise da capacidade de processos
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BEM-VINDO AOS ESTUDOS DO CONTROLE
ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
MÓDULO 1
 Descrever os conceitos de Estatística Básica
IMPORTÂNCIA DA ESTATÍSTICA BÁSICA EM
PROCESSOS
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INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
Neste módulo, vamos rever alguns conceitos de Estatística Básica, e outros que serão obrigatórios para a
compreensão dos demais módulos. O estudo da Estatística envolve Matemática e se baseia em
cálculos de números. Mas também depende muito de como os números são escolhidos e de como as
estatísticas são interpretadas.
 
Imagem: Shutterstock.com.
Considere os dois cenários a seguir e as interpretações baseadas nas estatísticas apresentadas. Você
verá que os números podem estar certos, mas a interpretação pode estar errada.
CENÁRIO 1
Um novo anúncio de sorvete feito pela sorveteria YDVQS e apresentado no final de novembro do ano
passado resultou em um aumento de 30% nas vendas de sorvete durante os três meses seguintes. O
anúncio foi eficaz, porém, uma grande falha é desconsiderar que o consumo de sorvete geralmenteProcessing math: 33%
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aumenta nos meses de dezembro, janeiro e fevereiro, independentemente dos anúncios de sorvete feitos.
Esse impacto é chamado de efeito histórico e leva as pessoas a interpretar como final o resultado de uma
variável quando outra variável (nesse caso, a época do ano) é realmente a responsável.
CENÁRIO 2
Estão ocorrendo 75% mais casamentos inter-raciais este ano do que há 25 anos. Assim, nossa sociedade
aceita casamentos inter-raciais. Uma grande falha é que não temos todas as informações de que
precisamos. O que representa a taxa de casamentos que estão ocorrendo? Suponha que apenas 1% de
casamentos há 25 anos eram inter-raciais, e agora 1,75% de casamentos são inter-raciais (1,75 é 75%
maior que 1). Mas esse número dificilmente evidencia a aceitabilidade de casamentos inter-raciais.
Portanto, simplesmente não há informações suficientes para compreender totalmente o impacto das
estatísticas.
Em conjunto, esses exemplos mostram que as estatísticas não são apenas fatos e números, elas são
mais do que isso. No sentido mais amplo, estatística se refere a uma gama de técnicas e procedimentos
para analisar, interpretar, exibir e tomar decisões baseadas em dados.
POPULAÇÃO E AMOSTRA
Em Estatística, muitas vezes, contamos com uma amostra, isto é, um pequeno subconjunto de um
conjunto maior de dados, para fazer inferências sobre o conjunto maior, conhecido como população da
qual a amostra é retirada. Veja nos exemplos a seguir.
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Imagem: Shutterstock.com.
EXEMPLO 1
Você foi escolhido pelo Tribunal Eleitoral para realizar uma pesquisa sobre como o povo de seu estado se
sente em relação à confiabilidade dos procedimentos de votação. A quem você vai perguntar?
Não será prático perguntar a cada pessoa como ela se sente em relação aos procedimentos de votação.
Em vez disso, consultamos um número relativamente pequeno de pessoas para poder tirar conclusões
sobre o estado inteiro, a partir de suas respostas.
As pessoas realmente consultadas são nossa amostra da maior população de todos os moradores do
estado. Os procedimentos matemáticos pelos quais convertemos informações sobre a amostra em
suposições inteligentes sobre a população se enquadram na rubrica de Estatística Inferencial.
Uma amostra é normalmente um pequeno subconjunto da população. No caso da votação, teríamos
uma amostra de alguns milhares de pessoas escolhidas entre milhões que compõem o estado. Ao
escolher uma amostra, é fundamental que não represente em demasia um tipo de cidadão em detrimento
de outros. Falaremos sobre isso mais à frente.
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EXEMPLO 2
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Um treinador de basquete está interessado em saber quantas cestas de três pontos os calouros da
faculdade podem fazer em média. Oito voluntários dão um passo à frente. Depois de observar o
desempenho deles, o treinador conclui que calouros podem fazer uma média de 16 cestas de três pontos.
No exemplo, a população é a turma de calouros da universidade do treinador. A amostra é composta por
oito voluntários, porém, foi mal escolhida porque os voluntários têm mais probabilidade de fazer cestas de
três pontos do que a média dos calouros, pois as pessoas que sabem que não vão acertar provavelmente
não se voluntariaram. No exemplo, também não foi informado o gênero dos voluntários e isso pode afetar
o resultado, contribuindo para a natureza não representativa da amostra.
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AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES
Os pesquisadores adotam uma variedade de estratégias de amostragem. A mais simples é a amostragem
aleatória simples.
Ela requer que cada membro da população tenha uma chance igual de ser selecionado para a amostra.
Além disso, a seleção de um membro deve ser independente da seleção de todos os outros membros. Ou
seja, escolher um membro da população não deve aumentar ou diminuir a probabilidade de escolher
qualquer outro membro (em relação aos outros).
Nesse sentido, nós podemos dizer que a amostragem aleatória simples escolhe uma amostra por puro
acaso. Para você verificar sua compreensão da amostragem aleatória simples, considere o exemplo a
seguir.
EXEMPLO
O que é a população? Qual é a amostra? A amostra foi colhida por simples amostragem aleatória? É
tendenciosa?
Uma pesquisadora está interessada em estudar as experiências de gêmeos criados juntos, versus
gêmeos criados separados. Ela obtém uma lista de gêmeos dos registros em um estado e seleciona dois
subconjuntos de indivíduos para seu estudo. Primeiro, ela escolhe todos aqueles no registro cujo
sobrenome começa com Z. Então, ela se volta para todos aqueles cujo sobrenome começa com B. Por
haver tantos nomes que começam com B, nossa pesquisadora decide incorporar todos os outros nomes
em sua amostra. Finalmente, ela envia uma pesquisa e compara características de gêmeos criados
separados e juntos.
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No exemplo, a população consiste em todos os gêmeos registrados no estado. É importante que a
pesquisadora apenas faça generalizações estatísticas para os gêmeos dessa lista, não para todos os
gêmeos do país ou do mundo. Ou seja, registro de gêmeos pode não representar todos os gêmeos.
Mesmo que as inferências sejam limitadas para o registro, vários problemas afetam o procedimento de
amostragem que descrevemos.
 
Imagem: Shutterstock.com.
Escolher apenas gêmeos cujos sobrenomes começam com Z não dá a cada indivíduo uma chance igual
de ser selecionado para a amostra. Além disso, tal procedimento corre o risco de representar grupos
étnicos com muitos sobrenomes que começamcom Z. Existem outras razões pelas quais escolher
apenas o Z pode enviesar a amostra, como a possibilidade de essas pessoas serem mais altas do que a
média, por exemplo.
O mesmo problema ocorre com a escolha de gêmeos cujo sobrenome começa com B. Um problema
adicional para o B é que o procedimento "todos os outros" não permitia nomes adjacentes na parte B da
lista de serem ambos selecionados. Apenas esse defeito sozinho significa que a amostra não foi formada
por meio de amostragem aleatória simples.
O TAMANHO DA AMOSTRA É IMPORTANTE
Lembre-se de que a definição de uma amostra aleatória é aquela em que cada membro da população
tem uma chance igual de ser selecionado. Isso quer dizer que o procedimento de amostragem, em vez
dos resultados do procedimento, define o que significa uma amostra ser aleatória. Amostras aleatórias,Processing math: 33%
especialmente se o tamanho da amostra for pequeno, não representam necessariamente toda a
população.
 
Imagem: Shutterstock.com.
 EXEMPLO
Se uma amostra aleatória de 20 indivíduos foi retirada de uma população com um número igual de
homens e mulheres, haveria uma probabilidade não trivial de 70% ou mais da amostra ser do sexo
feminino. Tal amostra não seria representativa, embora fosse sorteada aleatoriamente. Apenas um
grande tamanho de amostra torna provável que nossa amostra seja quase representativa da população.
Por essa razão, as estatísticas inferenciais levam em consideração o tamanho da amostra ao generalizar
resultados de amostras para populações.
AMOSTRAGEM MAIS COMPLEXA
Às vezes, não é viável construir uma amostra usando amostragem aleatória simples. Veja o problema a
seguir:
Considere o fato de que Dallas e Berlim estão competindo para ser o anfitrião dos Jogos Olímpicos de
2032. Imagine que você seja contratado para avaliar se a maioria dos atletas prefere Berlim a Dallas
como anfitrião, ou o contrário. Considerando a inviabilidade de obter a opinião de cada um dos atletas,
você deve construir uma amostra da população de cada cidade. 
 
Agora, observe como seria difícil proceder por amostragem aleatória simples. Por exemplo, como vocêProcessing math: 33%
entrará em contato com os indivíduos de cada cidade? Mesmo entre as pessoas que você encontra na
lista telefônica, como você pode identificar aqueles que acabaram de se mudar para outra cidade (e não
tinham motivo para informá-lo sobre a mudança)?
Como você pode ver, às vezes, é muito difícil desenvolver um procedimento verdadeiramente aleatório.
Por essa razão, outros tipos de amostragens técnicas foram concebidas. Vamos discutir acerca de duas
delas:
ATRIBUIÇÃO ALEATÓRIA
AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA
ATRIBUIÇÃO ALEATÓRIA
Na pesquisa experimental, as populações costumam ser hipotéticas. Por exemplo, em um experimento
comparando a eficácia de um novo medicamento antidepressivo com um placebo, não há uma população
real de indivíduos tomando a droga. Nesse caso, uma população especificada de pessoas com algum
grau de depressão é definida e uma amostra aleatória é retirada dessa população. A amostra é, então,
dividida aleatoriamente em dois grupos: a um deles é atribuída a condição de tratamento (droga) e a
outro, a condição de controle (placebo). Essa divisão aleatória da amostra em dois grupos é chamada de
atribuição aleatória.
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Imagem: Shutterstock.com.
A atribuição aleatória é crítica para a validade de um experimento por algumas razões. Por exemplo,
considere o viés que poderia ser introduzido se os 20 primeiros indivíduos a aparecerem no experimento
fossem atribuídos ao grupo experimental e os outros 20 fossem atribuídos ao grupo de controle. É
possível que os sujeitos que chegaram depois tendessem a ficar mais deprimidos do que aqueles que
apareceram antes, tornando o grupo experimental menos deprimido do que o grupo de controle antes
mesmo de o tratamento ser administrado.
Em pesquisas experimentais desse tipo, a falha em designar assuntos aleatoriamente para grupos
geralmente é mais séria do que ter uma amostra não aleatória. A falha em randomizar – como pôde ser
observado no exemplo que narra um experimento entre um antidepressivo e um placebo – invalida os
resultados experimentais. Um grupo não aleatório – conforme observado no exemplo que representa a
divisão entre grupo de controle e grupo experimental – simplesmente restringe a generalização dos
resultados.
AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA
Uma vez que a amostragem aleatória simples muitas vezes não garante uma amostra representativa, um
método denominado amostragem aleatória estratificada, às vezes, é usado para fazer com que ela seja
mais representativa na população. Na amostragem estratificada, identifique primeiro os membros de sua
amostra que pertencem a cada grupo. Então, você junta aleatoriamente cada um desses subgrupos de tal
maneira que os tamanhos dos subgrupos da amostra sejam proporcionais aos seus tamanhos na
população.
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Imagem: Shutterstock.com.
 EXEMPLO
Suponha que você estivesse interessado na pesquisa sobre pena de morte em uma universidade urbana.
Você tem tempo e recursos para entrevistar 200 alunos. O corpo discente é diversificado em relação à
idade, e muitas pessoas mais velhas trabalham durante o dia e matriculam-se em cursos noturnos (idade
média de 39 anos), enquanto os alunos mais jovens geralmente se matriculam em aulas diurnas (idade
média de 19 anos). 
 
É possível que os alunos da noite e os alunos do dia tenham opiniões diferentes sobre pena de morte. Se
70% dos alunos eram alunos diurnos, faz sentido garantir que 70% da amostra consista nesse tipo de
aluno. Assim, sua amostra de 200 alunos consistiria em 140 alunos diurnos e 60 noturnos. A proporção
de alunos diurnos na amostra e na população (toda a universidade) seria o mesmo. Inferências para toda
a população de alunos da universidade estaria, portanto, mais segura.
TAMANHO DA AMOSTRA PARA GRÁFICOS DE
CONTROLE
Você estudará mais adiante os gráficos de controle, e pode ser que surja a dúvida de qual deverá ser o
tamanho da amostra para a análise do processo. Não entraremos aqui em detalhes sobre como construir
esses gráficos, mas vamos discutir como se deve determinar o tamanho da amostra.
COMO OS LIMITES DE CONTROLE MUDAM COM O TEMPO,
CONFORME O NÚMERO DE AMOSTRAS TAMBÉM MUDA?
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Você pode iniciar um gráfico de controle individual com apenas cinco pontos, recalcular os limites de
controle com cada novo ponto e, a seguir, travar os limites de controle após 20 pontos. Em seguida,
recalcular após 100 pontos.
Qual foi o resultado desse esforço?
Você esperaria que os limites de controle baseados em cinco amostras fossem iguais aos
baseados em 200 amostras? Provavelmente não.
Qual deles tem os limites de controle mais precisos?
Aquele com mais dados (200 amostras) fornecerá resultados mais precisos?
Veja a tabela a seguir.
n X R LSC LIC LSC - LIC
5 99,6 7,8 109,7 89,6 20,1
10 100,1 7,4 107,2 92,9 14,4
15 100,1 8,2 107,1 92,9 14,2
20 100,3 8,0 107,2 93,3 13,9
25 100,1 8,3 107,2 92,9 14,3
30 100,0 8,2 107,1 92,9 14,2
40 100,1 8,4 107,3 92,8 14,5
50 99,9 8,9 107,5 92,2 15,3Processing math: 33%
100 99,9 8,9 107,6 92,2 15,4
150 100,0 9,0 107,7 92,2 15,5
200 100,1 9,1 107,9 92,2 15,7
Tabela 1 
Elaborada por Mauro Rezende Filho
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 
Imagem: Mauro Rezende Filho
O gráfico acima foi construído usando as primeiras 20 amostras. Observe na tabela que os limites de
controle não variam muito se aumentarmos o tamanho da amostra neste exemplo. Será interessante
então plotarmos o gráfico do COV (Coeficiente de Variação), e para isto precisamos determinar os graus
de liberdade, ou seja, a quantidade de informação que seus dados fornecem que você pode usar para
estimar os valores de parâmetros populacionais desconhecidos e calcular a variabilidade dessas
estimativas.
Os graus de liberdade (df) associados ao intervalomóvel médio para uma amostra de tamanho “n” são
determinados por:
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DF = 0, 62 (N - 1) = 0, 62 (20 - 1) = 0, 62 (19) = 11, 78
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O Coeficiente de variação para 11,8 graus de liberdade é:
COV =
1
√2DF
=
1
√2X11,8
= 20,6%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A tabela e o gráfico a seguir mostram quando os limites de controle começam a se estabilizar em função
do tamanho da amostra.
n df COV LSC LIC
5 2,48 44,90% 109,7 89,6
10 5,58 29,93% 107,2 92,9
15 8,68 24,00% 107,1 93,0
20 11,78 20,60% 107,2 93,3
25 14,88 18,33% 107,2 92,9
30 17,98 16,68% 107,1 92,9
40 24,18 14,38% 107,3 92,8
Processing math: 33%
50 30,38 12,83% 107,5 92,2
100 61,38 9,03% 107,6 92,2
150 92,38 7,36% 107,7 92,2
200 123,38 6,37% 107,9 92,2
Tabela 2 
Elaborada por Mauro Rezende Filho
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Imagem: Mauro Rezende Filho
Iniciamos um gráfico de controle individual com apenas cinco pontos, e depois recalculamos os limites de
controle com cada novo ponto e, a seguir, travamos os limites de controle no lugar após 20 pontos. Em
seguida, recalculamos após 100 pontos.
Foi uma boa estratégia?
Sim, e essa mesma abordagem funcionará para determinar quantas amostras você precisa para uma
análise de capacidade do processo. Muitas vezes, as pessoas usam 30 amostras para uma análise de
capacidade do processo. Qual é a incerteza para 30 amostras? Determine calculando o COV e indicando
se está adequado.
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VARIÁVEIS INDEPENDENTES E DEPENDENTES
Variáveis são propriedades ou características de algum evento, objeto ou pessoa que podem assumir
diferentes valores ou quantidades (ao contrário de constantes, como π, que não variam).
 VOCÊ SABIA?
Ao conduzir pesquisas, os pesquisadores frequentemente manipulam variáveis. Para comparar a eficácia
de quatro tipos de antidepressivos, por exemplo, a variável independente representa o tipo de
antidepressivo. O experimento visa determinar o efeito da variável independente no relevo da depressão.
Nesse exemplo, o alívio da depressão é chamado de variável dependente. Em geral, a variável
independente é manipulada pelo pesquisador e seus efeitos sobre a variável dependente são medidos.
Se um experimento compara um tratamento experimental com um tratamento de controle, então, a
variável independente (tipo de tratamento) tem dois níveis: experimental e de controle. Se um
experimento comparasse cinco tipos de dietas, então, a variável (tipo de dieta) teria cinco níveis.
VARIÁVEIS QUALITATIVAS E VARIÁVEIS QUANTITATIVAS
Uma distinção importante a ser feita é entre variáveis qualitativas e variáveis quantitativas. Variáveis
qualitativas expressam atributos como cor do cabelo, cor dos olhos, religião, filme favorito, gênero, entre
outros. Valores da variável “religião”, por exemplo, diferem qualitativamente, pois nenhuma ordenação de
religiões está implícita. Já as variáveis quantitativas são aquelas que permitem comparação, por meio de
sua expressão por um valor numérico, que, em geral, encontra-se dentro de uma escala quantitativa.
Como exemplo, podemos citar: massa (balança), altura (régua), tempo (relógio), pressão arterial, idade.
VARIÁVEIS DISCRETAS E VARIÁVEIS CONTÍNUAS
Variáveis como o número de filhos em uma casa são chamadas de variáveis discretas porque as
pontuações possíveis são pontos discretos na escala. Por exemplo: uma casa poderia ter três ou seis
filhos, mas não 4,53 filhos. Outras variáveis, como tempo para responder a uma pergunta, são variáveis
contínuas, pois a escala é contínua, e não composta de etapas discretas. O tempo de resposta pode ser
de 1,64 segundos ou de 1,64237123922121 segundos.
MÉDIA ARITMÉTICA
A média aritmética é a medida mais comum de tendência central. É simplesmente a soma dos números
dividida pelo total de números. O símbolo “μ” é usado para a média de uma população. O símbolo X é
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usado para a média de uma amostra. A fórmula para μ é mostrada a seguir:
Μ =
∑ X
N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que ∑ X é a soma de todos os números da população e “n” é o número de itens na população.
A fórmula para X é essencialmente idêntica:
X =
∑ X
N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que ∑ X é a soma de todos os números da amostra e “N” é o número de itens na amostra.
 EXEMPLO
A média dos números 1, 2, 3, 6, 8 é 20÷5 = 4, independentemente se os números constituem toda a
população ou apenas uma amostra dela. Deve-se tomar muito cuidado com essa medida, pois
dependendo dos valores que compõem a amostra, ele poderá ser distorcido e nos levar a tomar
conclusões equivocadas.
Veja a tabela a seguir, em que pegamos a idade de todos os alunos de uma sala de aula onde está
presente um professor:
IDADES
18 31 18 33
19 28 20 25
Processing math: 33%
21 22 29 22
22 26 22 20
25 21 21 55
Tabela 3
Elaborada por Mauro Rezende Filho
MÉDIA
X =
18 + 19 + … + 55
20
X = 24, 9 ANOS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÉDIA SEM O PROFESSOR
X =
18 + 19 + … + 20
19
Processing math: 33%
X = 23, 3 ANOS
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MEDIANA
A mediana também é uma medida frequentemente usada de tendência central. Ela representa o ponto
médio de uma distribuição: o mesmo número de pontuações está acima da mediana e abaixo dela. Para
os dados das idades, são 19 pontuações sem o professor. A 10ª maior pontuação (que é igual a 22) é a
mediana porque há 9 pontuações abaixo da 10ª pontuação e 9 pontuações acima.
Quando há uma quantidade ímpar de números, a mediana é simplesmente o número do meio. Por
exemplo, a mediana de 2, 4 e 7 é 4. Quando há um número par de números, a mediana é a média dos
dois números do meio. Assim, a mediana dos números 2, 4, 7, 12 é:
4 + 7
2 = 5,5
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MODA
A moda é o valor que ocorre com maior frequência. Para os dados dos alunos sem o professor, a moda é
22, já que temos quatro alunos com esta idade, ou seja, a idade que mais aparece nos dados.
Com dados contínuos, como tempo de resposta medido para muitos decimais (Exemplo: 12,025; 12,0252;
12,02524; 13,036; 15,154), a frequência (quantas vezes aparece) de cada valor será qualquer um deles,
já que não há duas ou mais pontuações com o mesmo valor. Portanto, a moda de dados contínuos é
calculada a partir de uma distribuição de frequência agrupada, ou seja, no caso do exemplo dado temos
as seguintes classes: de 12 a 13, de 13 a 14, de 14 a 15, e de 15 a 16. Assim, na classe de 12 a 13
temos 3 números, de 13 a 14 temos 1, de 14 a 15 temos 0 e de 15 a 16 temos 1. A moda é o ponto médio
da classe de maior frequência. Portanto: Moda = (12 + 13) ÷ 2 = 12,5. A classe modal é a classe de maior
frequência, ou seja, de 12 a 13.
Processing math: 33%
VARIÂNCIA
Uma vez conhecido um conjunto de dados, a variância é uma medida de dispersão que mostra o quão
distante cada valor desse conjunto está do valor central (média). Quanto menor é a variância, mais
próximos os valores estão da média, e quanto maior ela é, mais os valores estão distantes da média.
Vejam as fórmulas:
PARA POPULAÇÃO
S =
∑ NI= 1 XI - X
2
N
PARA AMOSTRA
S =
∑ NI= 1 XI - X
2
N - 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por exemplo, se um grupo de números varia de 1 a 10, terá uma média de 5,5. Se você elevar ao
quadrado as diferenças entre cada número e a média e, em seguida, encontrar sua soma, o resultado é
82,5. Para descobrir a variância, divida a soma, 82,5, por n - 1, que é o tamanho da amostra (neste caso,
10) menos 1. O resultado é uma variância de 82,5 / 9 = 9,17. Devido a esse quadrado,a variância não
está mais na mesma unidade de medida que os dados originais.
X xi - X)2
1 20,25
( )
( )
(
Processing math: 33%
2 12,25
3 6,25
4 2,25
5 0,25
6 0,25
7 2,25
8 6,25
9 12,25
10 20,25
Total 55 Total 82,50
Média 5,5 Variância 9,17
Tabela 4 
Elaborada por Mauro Rezende Filho
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Processing math: 33%
DESVIO PADRÃO
O cálculo da variância usa quadrados porque pesa os outliers (fora do padrão) mais fortemente do que os
dados mais próximos da média. Esse cálculo também evita que diferenças acima da média cancelem
aquelas abaixo, o que resultaria em uma variação de zero.
O desvio padrão é calculado como sendo a raiz quadrada da variância, identificando a variação entre
cada ponto de dados em relação à média. Se os pontos estiverem mais distantes da média, há um desvio
maior, e se estiverem mais próximos da média, há um desvio menor. Portanto, quanto mais espalhado for
o grupo de números, maior será o desvio padrão.
Σ = √S
No exemplo anterior, temos
Σ = √S = √9,17 = 3,03
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DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Uma distribuição de probabilidade é um modelo matemático que relaciona o valor da variável com a
probabilidade de ocorrência desse valor na população. Em outras palavras, nós podemos visualizar a
espessura da camada como uma variável aleatória porque assume valores diferentes na população de
acordo com algum mecanismo aleatório, então, a distribuição de probabilidade de espessura da camada
descreve a probabilidade de ocorrência de qualquer valor de espessura da camada na população.
Existem dois tipos de distribuição de probabilidade: contínuas e discretas.
DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS
Quando a variável que está sendo medida é expressa em uma escala contínua, sua distribuição de
probabilidade é chamada de distribuição contínua.
Um exemplo é a distribuição de probabilidade da espessura da camada de metal.Processing math: 33%
javascript:void(0)
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS
Ocorrem quando o parâmetro que está sendo medido só pode assumir certos valores, como os inteiros 0,
1, 2,…, a distribuição de probabilidade.
Um exemplo é a distribuição do número de não conformidades ou os defeitos nas placas de circuito
impresso.
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS IMPORTANTES
Várias distribuições discretas de probabilidade surgem com frequência no controle de qualidade
estatístico. Vamos discutir algumas, tais como:
DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA
Suponha que haja uma população finita consistindo em N itens. Algum número, ou seja, um desses itens,
enquadra-se em uma classe de interesse. Uma amostra aleatória de “n” itens é selecionada da população
sem reposição, e o número de itens na amostra que se enquadra na classe de interesse (x, digamos) é
observada. Então, x é uma variável aleatória hipergeométrica com a distribuição de probabilidade definida
a seguir.
DEFINIÇÃO:Processing math: 33%
javascript:void(0)
A distribuição de probabilidade hipergeométrica é:
P(X) =
D
X
N - D
N - X
N
N
X = 0,1, 2, . . . , MIN(N, D)
A média e a variância são:
Μ =
ND
N E S =
ND
N 1 -
D
N
N - N
N - 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembrando de estatística que 
a
b =
a !
b ! ( a - b ) !
A distribuição hipergeométrica é o modelo de probabilidade apropriado para selecionar uma amostra
aleatória de n itens sem substituição de um lote de N itens, dos quais D não estão em conformidade ou
estão com defeito. Chamamos de amostra aleatória uma amostra que foi selecionada de maneira que
todas as amostras possíveis tenham a mesma chance de serem escolhidas. Por exemplo, suponha que
um lote contenha 100 itens, dos quais 5 não estão em conformidade com os requisitos. Se 10 itens forem
selecionados aleatoriamente sem substituição, a probabilidade de encontrar um ou menos itens não
conformes na amostra é:
P{X ≤ 1} = P{X = 0} + {PX = 1}
( ) ( )
( )
( )( )
( )
Processing math: 33%
P (X) =
D
X
N - D
N - X
N
N
=
5
0
100 - 5
10 - 0
100
10
+
5
1
100 - 5
10 - 1
100
10
= 0,92314
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Considere um processo que consiste em uma sequência de n tentativas independentes. Por ensaios
independentes, queremos dizer que o resultado de cada ensaio independe do resultado generalizado de
todos os ensaios. Quando o resultado de cada tentativa é um "sucesso" ou um "fracasso", as tentativas
são chamadas de julgamentos de Bernoulli. Se a probabilidade de "sucesso" em qualquer tentativa,
digamos “p”, for constante, então, o número de "sucessos" x em n ensaios de Bernoulli tem a distribuição
binomial com parâmetros n e p, definidos como na sequência.
DEFINIÇÃO:
A distribuição binomial com parâmetros n ≥ 0 e 0 < p < 1 é:
P(X) =
N
X P
X(1 - P)N - X X = 0,1, 2, . . . , N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A média e a variância são:
Μ = NP E S = NP(1 - P)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A distribuição binomial é frequentemente usada na engenharia da qualidade. É o apropriado modelo de
probabilidade para amostragem de uma população infinitamente grande, em que p representa a fração de
itens defeituosos ou não conformes na população. Nessas aplicações, x geralmente representa o número
de itens não conformes encontrados em uma amostra aleatória de n itens.
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
Processing math: 33%
Por exemplo, se p = 0, 10 e n = 15, então, a probabilidade de obter x itens não conformes é calculado
a partir da equação anterior da seguinte forma:
 
Imagem: Mauro Rezende Filho
Elaborada por Mauro Rezende Filho
Uma variável aleatória que surge com frequência no controle de qualidade estatístico é:
P̂ =
X
N
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Em que x tem uma distribuição binomial com parâmetros n e p. Frequentemente, é a proporção do
número observado de itens defeituosos ou não conformes em uma amostra (x) ao tamanho da amostra
(n) e isso geralmente é chamado de fração da amostra defeituosa ou de fração da amostra não conforme.
O símbolo “ˆ” é usado para indicar que é uma estimativa do valor verdadeiro desconhecido do parâmetro
binomial p. A distribuição de probabilidade é obtida a partir do binômio, então:
P P̂ ≤ A = P
X
N ≤ A = P{X ≤ NA} = ∑
NA
X = 0
N
X P
X 1 - P)N - X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que [na] denota o maior número inteiro menor ou igual a na. É fácil demonstrar que a média de p̂ é p
e que a variância de p̂ é:
{ } { } ( ) (
Processing math: 33%
SP =
P ( 1 -P )
N
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DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
Uma distribuição discreta útil no controle estatístico de qualidade é a distribuição de Poisson, assim
definida:
DEFINIÇÃO:
A distribuição de Poisson é:
P X =
E - ΛΛX
X ! ONDE X = 0,1, 2, . . .
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A média e a variância são:
Μ=Λ E S=Λ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que a média e a variância da distribuição de Poisson são iguais ao parâmetro λ.
Uma aplicação típica da distribuição de Poisson no controle de qualidade é como um modelo do número
de defeitos ou não conformidades que ocorrem em uma unidade do produto. Na verdade, qualquer
fenômeno aleatório que ocorre por unidade (ou por unidade de área, por unidade de volume, por unidade
de tempo etc.) é frequentemente bem aproximado pela distribuição de Poisson.
Por exemplo, suponha que o número de defeitos de ligação de fio por unidade que ocorremem um
dispositivo semicondutor é Poisson distribuído com parâmetro λ = 4. Então, a probabilidade de que um
semicondutor selecionado aleatoriamente no dispositivo conterá dois ou menos defeitos de ligação de fio
é:
( )
Processing math: 33%
P(X ≤ 2) = ∑ 2X = 0
E - 44X
X ! =
E - 440
0 ! +
E - 441
1 ! +
E - 442
2 ! = 0,238104
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DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS IMPORTANTES
Agora vamos discutir algumas distribuições contínuas que são importantes no controle estatístico da
qualidade, que incluem a distribuição normal, a log-normal, a exponencial e a Weibull.
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
A distribuição normal é provavelmente a distribuição mais importante na teoria e aplicação de estatísticas.
Se x é uma variável aleatória normal, então, a distribuição de probabilidade de x é definido como segue.
Definição
A distribuição normal é:
F(X) =
1
Σ√2Π
E
1
2
X - Μ
Σ
2
 - ∞ < X < ∞
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A média e a variância são:
Μ(-∞ < Μ < ∞) E S > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A distribuição normal é usada tanto que frequentemente empregamos uma notação especial, x ∼ N (μ, s),
para implicar que x é normalmente distribuído com média e variância. A aparência da distribuição normal
é uma curva simétrica, unimodal ou em forma de sino e é mostrada na figura a seguir.
( )
Processing math: 33%
 
Imagem: Mauro Rezende Filho
 Distribuição normal
Há uma interpretação simples do desvio padrão de uma distribuição normal, que é ilustrado na figura a
seguir. Observe que 68,26% dos valores da população situam-se entre os limites definidos pela média
mais e menos um desvio padrão; 95,46% dos valores estão entre os limites definidos pela média mais e
menos dois desvios padrão; e 99,73% dos valores da população estão dentro dos limites definidos pela
média mais e menos três desvios padrão. Assim, o desvio padrão mede a distância na escala horizontal
associada a 68,26%, 95,46% e os limites de contenção de 99,73%. É comum arredondar essas
porcentagens para 68%, 95%, e 99,7%.
 
Imagem: Mauro Rezende Filho
 Distribuição normal e a variação de desvios padrão
Essa integral não pode ser avaliada de forma fechada. No entanto, usando a mudança de variável:
Z =
X - Μ
Σ
Processing math: 33%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A avaliação pode ser feita de forma independente de μ ou s. Então:
P{X ≤ A} = P A ≤
A - Μ
Σ = Φ
A - Μ
Σ
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Em que Φ (.) é a função de distribuição cumulativa da distribuição normal padrão (média = 0, desvio
padrão = 1). Uma tabela da distribuição normal padrão cumulativa é encontrada em qualquer livro de
Estatística ou na internet. A transformação de “z” é normalmente chamada de padronização, porque
converte uma variável aleatória N (μ, s) em uma variável aleatória N(0, 1).
EXEMPLO
A resistência à tração do papel usado para fazer sacolas de supermercado é uma característica de
qualidade importante. É sabido que a força, digamos “x”, é normalmente distribuída com 
média μ = 40 kg /pol2 e desvio padrão s = 2 kg /pol2, denotado N (40, 22). O comprador dos sacos
exige que eles tenham uma resistência de pelo menos 35 kg /pol2 . Calcule a probabilidade de as sacolas
produzidas atenderem ou excederem as especificações.
A probabilidade de que uma sacola produzida a partir desse papel atenda ou exceda a especificação é 
P(x ≥ 35). Observe que:
P(X ≥ 35) = 1 - P(X ≤ 35)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para avaliar essa probabilidade a partir das tabelas normais padrão, padronizamos o ponto 35 e
encontramos:
{ } { }
Processing math: 33%
P{X ≤ 35} = P A ≤
35 - 40
2 = P{X ≤ - 2,5} = Φ{-2,5} = 0,0062
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O valor 0,0062 foi tirado da tabela da distribuição normal padrão. Caso você tenha o Excel, não precisa
buscar na tabela, basta digitar em uma célula:
=DIST.NORMP.N(-2,5;1)
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Consequentemente, a probabilidade desejada é:
P(X ≥ 35) = 1 - P(X ≤ 35) = 1 – 0, 0062 = 0, 9938
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DISTRIBUIÇÃO LOG-NORMAL
As variáveis em um sistema, às vezes, seguem uma relação exponencial, digamos x = exp (w). Se o
expoente é uma variável aleatória, digamos w, x = exp(w) é uma variável aleatória e a distribuição de x é
a desejada. Um caso especial importante ocorre quando w tem uma distribuição normal. No caso, a
distribuição de x é chamada de distribuição log-normal. O nome segue da transformação ln(x) = w. Ou
seja, o logaritmo natural de x é normalmente distribuído.
Probabilidades para x são obtidas a partir da transformação para w, mas precisamos reconhecer que o
intervalo de x é (0, ꚙ). Suponha que w é normalmente distribuído com média e variância, então, a função
de distribuição cumulativa para x é:
F(A) = P[X ≤ A] = P[EXP(W) ≤ A] = P[W ≤ LN(A)]
{ }
Processing math: 33%
F(A) = P Z ≤
LN ( A ) - Θ
Ω = Φ
LN ( A ) - Θ
Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para X > 0, em que z é uma variável aleatória normal padrão. Portanto, como já comentado, a tabela
disponível em livros de Estatística ou na internet pode ser usada para determinar a probabilidade. Além
disso, f (x) = 0, para x ≤ 0. A variável aleatória log-normal é sempre não negativa. A distribuição log-
normal é definida a seguir.
Definição
Seja w uma distribuição normal com média θ e variância ω2, então, x = exp (w) é uma variável aleatória
log-normal, e a distribuição log-normal é:
F(X) =
1
XΩ√Π
E -
LN ( X ) - Θ
2Ω2
2
 0 < X < ∞
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A média e a variância são:
Μ = E
Θ - Ω2
2 E S = E2Θ + Ω
2 EΩ2 - 1
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Os parâmetros de uma distribuição log-normal são θ e ω2, mas é necessário cuidado para interpretar que
essas são a média e a variância da variável aleatória normal w. A média e a variância de x são as funções
desses parâmetros mostrados na equação. A figura ilustra a distribuição log-normal para valores
selecionados para os parâmetros.
[ ] [ ]
( )
( )
Processing math: 33%
 
Imagem: Mauro Rezende Filho
 Distribuição log-normal
A vida útil de um produto que se degrada ao longo do tempo é frequentemente modelada por uma
variável log-normal. Por exemplo, essa é uma distribuição comum para a vida útil de um semicondutor
laser. Outras distribuições contínuas também podem ser usadas nesse tipo de aplicação. Contudo, como
a distribuição log-normal é derivada de uma função exponencial simples de uma variável aleatória normal,
é fácil entender e avaliar as probabilidades.
EXEMPLO
A vida útil de um laser medicinal, usado em cirurgia oftálmica, tem uma distribuição log-normal com θ = 6
e ω = 1,2. Então, qual é a probabilidade de a vida útil desse laser ultrapassar a 500 horas?
Da função de distribuição cumulativa para a variável aleatória log-normal:
P(X > 500) = 1 - P[EXP(W) ≤ 500] = 1 - P[W ≤ LN(500)]
P X > 500 = Φ
LN ( 500 ) - 6
1,2 = 1 - Φ 0,1788 = 1 - 0,5710 = 0,4290( ) ( ) ( )
Processing math: 33%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Podemos observar o comportamento da variação do θ no gráfico a seguir:
 
Imagem: Mauro Rezende Filho
Qual vida útil é excedida em 99% dos lasers? Agora a pergunta é determinar um tal que 
P (x > a) = 0, 99. Portanto,
P(X > A) = 1 - P[EXP(W) > A] = 1 - P[W > LN(A)]
P X > A = Φ
LN ( A ) - 6
1,2 = 0,99
 Atenção! Para visualização completa da equação utilizea rolagem horizontal
Da tabela da log-normal, quando 1 - Φ(a) = 0,99,tiramos a = - 2,33. Portanto,
LN ( A ) - 6
1,2 = - 2,33, ENTÃO, A = EXP(3,204) = 24,63 HORAS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos determinar a média e o desvio padrão da vida útil. Então,
( ) ( )
Processing math: 33%
Μ = E
Θ + Ω2
2 = EXP(6 + 0,72) = 828,82 HORAS
S = E2Θ + ΩS EΩ2 - 1 = EXP(12 + 1,44)[EXP(1,44) - 1] = 2.212.419,85
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Portanto, o desvio padrão da vida útil é de σ = √s = 1487,42 horas. Observe que o desvio padrão da
vida útil é grande em relação à média.
Podemos plotar a vida média em função do θ
 
Imagem: Mauro Rezende Filho
DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL
A distribuição de probabilidade da variável aleatória exponencial é definida como segue.
Definição
A distribuição exponencial é:
F(X) = ΛE - ΛX X ≥ 0
( )
Processing math: 33%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A média e a variância são:
Μ =
1
Λ E S =
1
Λ2
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Várias distribuições exponenciais são mostradas na figura a seguir.
 
Imagem: Mauro Rezende Filho
 Distribuições exponenciais
A distribuição exponencial cumulativa é:
F(A) = P{X ≤ A} = ∫A0ΛE
- ΛTDT = 1 - E - ΛA A ≥ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Processing math: 33%
 
Imagem: Mauro Rezende Filho
 Distribuição exponencial cumulativa
A distribuição exponencial é amplamente utilizada no campo da engenharia de confiabilidade como um
modelo do tempo até a falha de um componente ou sistema. Nessas aplicações, o parâmetro λ é
chamado de taxa de falha do sistema, e a média da distribuição 1/λ é chamada de tempo médio para
falha.
Por exemplo, suponha que um componente eletrônico de um sistema de radar de uma aeronave tem vida
útil descrita por uma distribuição exponencial com uma taxa de falha de λ = 10−4 /h, ou seja, o tempo
médio de falha para esse componente é λ = 10−4/h. Se quiséssemos determinar a probabilidade de esse
componente falhar antes de sua vida esperada, avaliaríamos:
F(A) = P X ≤
1
Λ = ∫
1
Λ0ΛE - ΛTDT = 1 - E - 1 = 0,63212
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DISTRIBUIÇÃO WEIBULL
A distribuição Weibull é definida como segue.
Definição
A distribuição Weibull é:
{ }
Processing math: 33%
F(X) =
Β
Θ
X
Θ
Β - 1
EXP -
X
Θ
Β
 X ≥ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A média e a variância são:
Μ = ΘΓ 1 +
1
Β E S = Θ
2 Γ 1 +
2
Β - Γ 1 +
1
Β
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A distribuição Weibull é muito flexível, e pela seleção apropriada dos parâmetros θ e β, a distribuição
pode assumir uma grande variedade de formas. A distribuição cumulativa é:
F(A) = 1 - EXP -
A
Θ
Β
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A distribuição Weibull foi amplamente usada na engenharia de confiabilidade como um modelo de tempo
de falha de componentes e sistemas elétricos e mecânicos. Exemplos de situações em que a Weibull tem
sido usada incluem dispositivos eletrônicos, como elementos de memória, componentes mecânicos,
como rolamentos e elementos estruturais em aeronaves e automóveis.
EXEMPLO
O tempo até a falha de um componente eletrônico usado em sistema de monitoramento de um
apartamento é satisfatoriamente modelada por uma distribuição Weibull com β = 0,5 e θ = 5000. Encontre
o tempo médio de falha e a fração de componentes que devem sobreviver além de 20.000 horas.
( ) [ ( ) ]
( ) [ ( ) { ( )} ]
[ ( ) ]
Processing math: 33%
O tempo médio para a falha é:
Μ = ΘΓ 1 +
1
Β = 5000 × Γ 1 +
1
0,5 = 5000 × Γ(3) = 10.000HORAS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A fração de componentes esperada para sobreviver a = 20.000 horas é:
1 - F A = EXP -
X
Θ
Β
1 - F 20000 = EXP -
20000
5000
0,5
= E - 2 = 0,1353
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou seja, 13,53% dos subconjuntos falharão por 20.000 horas.
MÃO NA MASSA
1. UM PROCESSO DE FABRICAÇÃO PRODUZ MILHARES DE SEMICONDUTORES
CHIPS POR DIA. EM MÉDIA, 1% DESSES CHIPS APRESENTAM NÃO
CONFORMIDADE COM AS ESPECIFICAÇÕES. A CADA HORA, UM INSPETOR
SELECIONA UMA AMOSTRA ALEATÓRIA DE 25 CHIPS E CLASSIFICA CADA UM
NA AMOSTRA COMO CONFORME OU NÃO CONFORME. SE CHAMARMOS DE “X”
A VARIÁVEL ALEATÓRIA QUE REPRESENTA O NÚMERO DE CHIPS NÃO
( ) ( )
( ) [ ( ) ]
( ) [ ( ) ]
Processing math: 33%
CONFORMES NA AMOSTRA, QUAL A PROBABILIDADE APROXIMADA DE MENOS
DE 2 CHIPS DA AMOSTRA SEREM NÃO CONFORMES?
A) 97,42%.
B) 96,47%.
C) 86,12%.
D) 77,78%.
E) 85,23%.
2. O DIÂMETRO DE UM EIXO DE METAL USADO EM UMA CAIXA DE MARCHA DE
UM TRATOR DE ESTEIRA É NORMALMENTE DISTRIBUÍDO COM MÉDIA DE
0,2508CM E DESVIO PADRÃO 0,0005CM. AS ESPECIFICAÇÕES NO EIXO FORAM
ESTABELECIDAS COMO 0,2500 ± 0,0015CM. QUAL FRAÇÃO DOS EIXOS
PRODUZIDOS ESTÁ EM CONFORMIDADE COM AS ESPECIFICAÇÕES?
A) 99,73%.
B) 95,47%.
C) 93,06%.
D) 91,92%.
E) 94,78%.
3. UM COMPONENTE ELETRÔNICO PARA UMA UNIDADE DE RAIOS X É
PRODUZIDO EM LOTES DE TAMANHO N = 25. UM PROCEDIMENTO DE TESTE DE
ACEITAÇÃO É USADO PELO COMPRADOR PARA SE PROTEGER CONTRA
LOTES QUE CONTÊM MUITOS COMPONENTES NÃO CONFORMES. O
PROCEDIMENTO CONSISTE EM SELECIONAR CINCO COMPONENTES
ALEATÓRIOS DO LOTE (SEM SUBSTITUIÇÃO) E TESTÁ-LOS. SE NENHUM DOS
COMPONENTES FOR NÃO CONFORME, O LOTE É ACEITO. QUAL É A
PROBABILIDADE DE ACEITAÇÃO DO LOTE?
A) 88,04%.
B) 92,36%.
C) 77,80%.
D) 60,21%.
Processing math: 33%
E) 65,89%.
4. O DEPARTAMENTO DE COBRANÇA DE UMA GRANDE EMPRESA DE CARTÃO
DE CRÉDITO ESTÁ ANALISANDO UMA FORMA DE CONTROLAR ERROS
(ADMINISTRATIVO, DE TRANSMISSÃO DE DADOS ETC.) NAS CONTAS DOS
CLIENTES. SUPONHA QUE OS ERROS OCORREM DE ACORDO COM UMA
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON COM PARÂMETRO Λ = 0,001. QUAL É A
PROBABILIDADE DE QUE UMA CONTA SELECIONADA ALEATORIAMENTE DE
UM CLIENTE CONTENHA UM ERRO?
A) 0,0001%.
B) 0,001%.
C) 0,01%.
D) 0,1%.
E) 99,99%.
5. CONSIDERE O SISTEMA MOSTRADO NA FIGURA A SEGUIR. ISSO É CHAMADO
DE SISTEMA REDUNDANTE EM ESPERA, PORQUE ENQUANTO O COMPONENTE
1 ESTÁ LIGADO, O COMPONENTE 2 ESTÁ DESLIGADO; E QUANDO O
COMPONENTE 1 FALHA, O INTERRUPTOR LIGA AUTOMATICAMENTE O
COMPONENTE 2. SE CADA COMPONENTE TIVER UMA VIDA DESCRITA POR UMA
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON COM Λ = 10-2, A CONFIABILIDADE DE UM SISTEMA
DESTE TIPO É FALHAS = 1 – (1 – P(C1) (1 – P(C2)). QUAL A CONFIABILIDADE DO
SISTEMA?
A) 99,99%.Processing math: 33%
B) 99,00%.
C) 98,03%.
D) 96,45%.
E) 93,21%.
6. A RESISTÊNCIA À TRAÇÃO DE UMA PEÇA DE METAL É NORMALMENTE
DISTRIBUÍDA COM MÉDIA DE 40LB E DESVIO PADRÃO DE 5LB. SE 50.000 PEÇAS
FOREM PRODUZIDAS, QUANTAS VOCÊ ESPERA QUE NÃO CUMPRAM UM LIMITE
MÍNIMO DE ESPECIFICAÇÃO DE RESISTÊNCIA À TRAÇÃO DE 35LB? QUANTOS
TERIAM UMA RESISTÊNCIA À TRAÇÃO SUPERIOR A 48LB?
A) 45.148 e 41.487.
B) 43.423 e 35.651.
C) 38.104 e 26.458.
D) 41.057 e 38.104.
E) 40.026 e 32.751.
GABARITO
1. Um processo de fabricação produz milhares de semicondutores chips por dia. Em média, 1%
desses chips apresentam não conformidade com as especificações. A cada hora, um inspetor
seleciona uma amostra aleatória de 25 chips e classifica cada um na amostra como conforme ou
não conforme. Se chamarmos de “x” a variável aleatória que representa o número de chips não
conformes na amostra, qual a probabilidade aproximada de menos de 2 chips da amostra serem
não conformes?
A alternativa "A " está correta.
Solução:
Essa é uma distribuição discreta, uma vez que o número observado de não conformidades é x = 0, 1,
2,…, 25 e é chamada de distribuição binomial. Podemos calcular a probabilidade de encontrar um ou
menos elementos com não conformidadena amostra, da seguinte maneira:
P(x) =
n
x p
x(1 - p)n - x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
Processing math: 33%
Portanto:
P(x≤1) = P(x=0) + p(x=1)
Px≤1=2500,010(1-0,01)25-0+2510,011(1-0,01)25-1
Px≤1=25!0!25-0!0,010(1-0,01)25-0+25!1!25-1!0,011(1-0,01)25-1
Px≤1=0,7778+0,1964=0,9742=97,42%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. O diâmetro de um eixo de metal usado em uma caixa de marcha de um trator de esteira é
normalmente distribuído com média de 0,2508cm e desvio padrão 0,0005cm. As especificações no
eixo foram estabelecidas como 0,2500 ± 0,0015cm. Qual fração dos eixos produzidos está em
conformidade com as especificações?
A alternativa "D " está correta.
Solução:
Observe que:
P0,2485≤x≤0,2515=Px≤0,2515-Px≥0,2485
P0,2485≤x≤0,2515= Φ0,2515-0,25080,0005-Φ0,2845-0,25080,0005
P0,2485≤x≤0,2515= Φ1,4-Φ-4,60=0,9192-0,0000=0,9192 =91,92%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esses dados foram tirados da tabela da distribuição normal, entretanto se você tem o Excel instalado em
seu equipamento, digite em uma célula:
=DIST.NORMP.N(1,4;0,0005)- DIST.NORMP.N(-4,6;0,0005)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Um componente eletrônico para uma unidade de raios X é produzido em lotes de tamanho N =
25. Um procedimento de teste de aceitação é usado pelo comprador para se proteger contra lotes
que contêm muitos componentes não conformes. O procedimento consiste em selecionar cinco
componentes aleatórios do lote (sem substituição) e testá-los. Se nenhum dos componentes for
não conforme, o lote é aceito. Qual é a probabilidade de aceitação do lote?
A alternativa "C " está correta.
Solução:
Essa é uma distribuição discreta, uma vez que o número observado de não conformidades é x = 0, 1,
2,…, 25 e é chamada de distribuição binomial. Podemos calcular a probabilidade de encontrar um ou
menos elementos com não conformidade na amostra, da seguinte maneira:
Px=nxpx(1-p)n-x
Processing math: 33%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
Px=0=2500,010(1-0,01)25-0
Px=0=25!0!25-0!0,010(1-0,01)25-0=0,7778=77,80%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. O departamento de cobrança de uma grande empresa de cartão de crédito está analisando uma
forma de controlar erros (administrativo, de transmissão de dados etc.) nas contas dos clientes.
Suponha que os erros ocorrem de acordo com uma distribuição de Poisson com parâmetro λ =
0,001. Qual é a probabilidade de que uma conta selecionada aleatoriamente de um cliente
contenha um erro?
A alternativa "C " está correta.
Solução:
Usando Poisson, temos:
p(x0)=∑x=00e-λλxx!=e-0,0010,00111!=0,9999
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, as não conformidades serão 1 – 0,9999 = 0,0001 = 0,01%.
5. Considere o sistema mostrado na figura a seguir. Isso é chamado de sistema redundante em
espera, porque enquanto o componente 1 está ligado, o componente 2 está desligado; e quando o
componente 1 falha, o interruptor liga automaticamente o componente 2. Se cada componente
tiver uma vida descrita por uma distribuição de Poisson com λ = 10-2, a confiabilidade de um
sistema deste tipo é Falhas = 1 – (1 – P(C1) (1 – P(C2)). Qual a confiabilidade do sistema?
A alternativa "C " está correta.
Solução:
p(x=1)=e-λλxx!=e-0,010,0111!=0,0099
Processing math: 33%
Falhas = 1 – (1 – 0,0099) (1 – 0,0099) = 0,0197
Confiabilidade = 1 – 0,0197 = 0,9803 = 98,03%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. A resistência à tração de uma peça de metal é normalmente distribuída com média de 40lb e
desvio padrão de 5lb. Se 50.000 peças forem produzidas, quantas você espera que não cumpram
um limite mínimo de especificação de resistência à tração de 35lb? Quantos teriam uma
resistência à tração superior a 48lb?
A alternativa "B " está correta.
EXEMPLO DE APLICAÇÃO
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
As especificações de um componente eletrônico em um sistema de aquisição de alvos é que sua vida
deve ser entre 5.000h e 10.000h. A vida é normalmente distribuída com média de 7.500h. O fabricante
cobra $10 por unidade produzida; contudo, as unidades defeituosas devem ser substituídas a um custo
de $5. Dois fabricantes com diferentes processos podem ser usados, sendo que ambos têm a mesma
vida média. No entanto, o desvio padrão da vida para o processo 1 é 1000h, enquanto para o processo 2
é apenas 500h. Os custos de produção para o processo do fabricante 2 são o dobro daqueles para do
fabricante 1, que custa $3/h. Levando em consideração o lucro, qual seria a melhor escolha a ser feita?
RESOLUÇÃO
Processing math: 33%
UMA APLICAÇÃO PRÁTICA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. OS DIÂMETROS DE FURO DE OITO ROLAMENTOS SELECIONADOS
ALEATORIAMENTE SÃO MOSTRADOS AQUI (EM MM): 50,001; 50,002; 49,998;
50,006; 50,005; 49,996; 50,003; 50,004. A MÉDIA DA AMOSTRA E O DESVIO
PADRÃO DA AMOSTRA SERÃO IGUAIS A:
A) 50,002 e 0,003.
B) 50,001 e 0,001.
C) 50,000 3 0,002.
D) 50,004 e 0,000.
E) 50,003 e 0,004.
2. UMA MONTAGEM MECATRÔNICA É SUBMETIDA A UMA INSPEÇÃO
FUNCIONAL FINAL. SUPONHA QUE OS DEFEITOS OCORRAM ALEATORIAMENTE
NESSES CONJUNTOS, E QUE OS DEFEITOS OCORREM DE ACORDO COM UMA
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON COM PARÂMETRO Λ = 0,02. QUAL É A
PROBABILIDADE DE APRESENTAR EXATAMENTE UM DEFEITO?
A) 1,58%.
B) 1,96%.Processing math: 33%
C) 2,01%.
D) 1,89%.
E) 1,92%.
GABARITO
1. Os diâmetros de furo de oito rolamentos selecionados aleatoriamente são mostrados aqui (em
mm): 50,001; 50,002; 49,998; 50,006; 50,005; 49,996; 50,003; 50,004. A média da amostra e o desvio
padrão da amostra serão iguais a:
A alternativa "A " está correta.
 
μ=X-= 50,001+50,002+…+50,0048=50,002
σ=(50,001-50,002)2+(50,002-50,002)2+… (50,004-50,002)28-1=0,003
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Uma montagem mecatrônica é submetida a uma inspeção funcional final. Suponha que os
defeitos ocorram aleatoriamente nesses conjuntos, e que os defeitos ocorrem de acordo com uma
distribuição de Poisson com parâmetro λ = 0,02. Qual é a probabilidade de apresentar exatamente
um defeito?
A alternativa "B " está correta.
 
px=1=e-λλxx!=e-0,020,0211!=0,0196=1,96%
MÓDULO 2
 Definir como se deve determinar tamanhos de amostras
Processing math: 33%
DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DE AMOSTRAS
DETERMINAÇÃO DE AMOSTRAS
Na maioria dos casos, as unidades do grupo são escolhidas aleatoriamente.
Processing math: 33%
 
Imagem: Mauro Rezende Filho
É sempre necessário inspecionar/testar uma amostra para tirar uma conclusão sobre um lote inteiro?
Não, não é. Se você verificar 50 relógios que custam R$50.000,00 cada, pode fazer mais sentido verificar
todos os 50, um por um. Em contraste, se você comprar 4 recipientes de bolas de Natal custando R$2,00
cada, não faz sentido econômico verificar 100% delas. Você precisa, nesse caso, trabalhar com base na
amostragem aleatória.
Se um inspetor controla a qualidade de seus produtos na China, ele provavelmente verifica apenas uma
parte do lote inteiro. Mas como ele decide quantas peças escolher para sua inspeção? Como ele decide
que quantidade de unidades defeituosas é “demais”? E que certeza ele tem de tomar a decisão certa,
visto que ela se baseia em suas descobertas em uma amostra aleatória?
Digamos que você decidiu retirar amostras de um lote de produtos. Uma abordagem não sofisticada de
amostragem costuma ter a seguinte aparência: pegue 10% aleatoriamente e verifique essas peças. Não
se sugere tal esquema para uma atividade que a empresa realizará regularmente. Há duas razões para
isso:
Como você pode fazer a ligação entre esse plano e seu risco como comprador, ou seja, de aceitar um lote
pior do que você está disposto a aceitar?
Digamos que você encontre3% das amostras que você escolheu com defeito. Você fica negociando com
a fábrica, sem nenhuma regra previamente acordada, para decidir como eles devem agir, como classificar
todo o lote e deixar de lado os problemas.
Os estatísticos têm trabalhado arduamente neste tópico e criaram ferramentas simples para os
profissionais, desde os anos 1930. O plano mais popular foi desenvolvido pelo Departamento de Defesa
dos Estados Unidos e foi formalizado nos padrões MIL-STD 105E, 2859-1 e ANSI Z1.4. É denominado
inspeção AQL.Processing math: 33%
javascript:void(0)
INSPEÇÃO AQL
AQL significa limite de qualidade aceitável e é definido como o nível de qualidade que é o pior
tolerável. Representa o número máximo de unidades com defeito, além do qual um lote é rejeitado.
Os importadores geralmente definem AQLs diferentes para defeitos críticos, principais e secundários. A
maioria dos exportadores asiáticos está familiarizada com esse tipo de ambiente.
 EXEMPLO
AQL de 1,5% significa que o comprador não aceita mais do que 1,5% de itens com defeito em toda a
quantidade do pedido, em média, ao longo de várias ordens de produção com aquele fornecedor.
Na prática, três tipos de defeitos são frequentemente distinguidos para a maioria dos bens de consumo.
Os limites são:
0% PARA DEFEITOS CRÍTICOS
Totalmente inaceitável pois o usuário pode ser prejudicado, ou quando os regulamentos não são
respeitados.
2,5% PARA DEFEITOS MAIORES
Esses produtos geralmente não seriam considerados aceitáveis pelo usuário final.
4,0% PARA PEQUENOS DEFEITOS
Há alguns desvios das especificações, mas a maioria dos usuários não se importaria.
DEMONSTRAÇÃO
Uma organização de manufatura que deseja seguir as boas práticas certamente fará uma distinção entre
três estágios:
Processing math: 33%
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
I. INSPEÇÃO DE ENTRADA
II. CONTROLE EM PROCESSO
III. INSPEÇÃO FINAL
INSPEÇÃO DE ENTRADA
Precisará de uma maneira econômica de verificar vários lotes. Uma inspeção AQL será uma boa
estratégia.
CONTROLE EM PROCESSO
A abordagem aqui geralmente é uma combinação de controles de processo e de controles de produto.
INSPEÇÃO FINAL
Você ainda quer um filtro, a fim de parar os lotes que ainda apresentam defeitos. A abordagem certa
depende da sua situação:
Se você trabalha com bens de consumo em geral, definir limites de AQL um pouco mais rígidos do
que o que seu cliente selecionaria costuma ser uma solução suficientemente adequada.
Se você não pode enviar nenhuma mercadoria com defeito, uma aceitação no plano zero faz mais
sentido.
Agora, vamos dar uma olhada em cada tipo de plano descrito anteriormente, um por um. Se a empresa
importar lotes de produtos e esses lotes forem feitos de maneira contínua ou semicontínua, sem
alterações no processo ou nos componentes, isso faz sentido. Os estatísticos nos deram muitas
variações desse plano. Vejamos dois deles:
Processing math: 33%
 
Imagem: Shutterstock.com.
QUANTAS VEZES AS AMOSTRAS SÃO COLHIDAS?
Supondo que, em mais de 90% dos casos, uma abordagem de “estágio único” é seguida, isso
significa que um número (n) de peças é separado e tem suas peças inspecionadas. Esse número n
depende do tamanho do lote e do nível de inspeção. Se o número de defeitos estiver abaixo do
limite AQL, o resultado é aprovado.
Um plano de amostragem de duplo estágio é um pouco mais eficiente. O inspetor começaria
pegando menos peças da amostra (n1). Se a descoberta não for clara, ou seja, nem muito boa nem
muito ruim, mais amostras deverão ser coletadas.
Existem também planos múltiplos e sequenciais. São mais complexos e exigem mais
acompanhamento administrativo, mas são ainda mais eficientes.
TODOS OS LOTES SÃO VERIFICADOS?
Mais uma vez, supõe-se que em mais de 90% dos casos o comprador decide verificar cada lote.
Quando um lote não é verificado, essa decisão não é derivada de regras estatísticas.
Um plano de ignorar lote, por outro lado, permite que o comprador inspecione apenas uma fração
dos lotes, com base no desempenho anterior. A maneira de decidir quando pode ser aplicada, e
qual deve ser a fração, é semelhante àquela que veremos mais à frente.
O plano de amostragem contínua faz sentido quando as seguintes condições são atendidas:
A inspeção é rápida e os resultados são conhecidos rapidamente.Processing math: 33%
Nenhum teste destrutivo está envolvido.
A qualidade do produto é conhecida por ser relativamente estável.
Os produtos são idênticos (mesmos materiais passando pelo mesmo processo sob as
mesmas especificações) e podem ser feitos em fluxo contínuo ou em lotes.
Consiste em várias fases:

I.
No início, cada peça é verificada (isso é “verificação 100%” ou “triagem”).
II
Depois que certo número de peças foi considerado satisfatório, apenas algumas peças são verificadas
aleatoriamente (essa é a “amostragem”).


III
Processing math: 33%
Se a triagem durar muito tempo (significando que unidades defeituosas são frequentemente
encontradas), a prioridade é melhorar o processo e/ou configurar o teste na fonte para detectar problemas
imediatamente.
 VOCÊ SABIA?
Implementar um plano de amostragem de “Aceitação em zero”: alguns importadores, que são sensíveis a
litígios legais de seus clientes ou que possuem padrões de alta qualidade, aceitam lotes somente se
nenhuma unidade com defeito for encontrada. Isso é comum em indústrias, como automotiva ou
farmacêutica.
Em alguns casos, o próprio produtor adota esse tipo de abordagem para seu controle de qualidade de
saída. Uma grande vantagem é que menos amostras precisam ser verificadas. A princípio, só faz sentido
se o processo tiver um índice de capacidade (Cp) de pelo menos 1,67. Em termos simples, as principais
características do produto são medidas e se enquadram nas especificações na grande maioria dos casos.
Alguns outros tipos de planos de amostragem:
Se um plano for “por variáveis”, ele permite uma avaliação mais precisa. Por exemplo, o comprimento do
produto é medido e as descobertas exatas são levadas em consideração quando uma decisão é tomada.
Uma “retificação” é aplicável se os defeitos encontrados puderem ser corrigidos imediatamente. Leva em
consideração o fato de que o lote é de qualidade superior após a inspeção e, em caso de falha na
inspeção, todo o lote deve ser inspecionado.
Vamos ver agora como calcular o tamanho da amostra. Precisaremos definir:
n: é o tamanho necessário da amostra;
N: é toda a população-alvo em questão, ou seja, o tamanho do lote;
p: é a proporção média de registros que se espera que atendam aos vários critérios e (1-p) é
a proporção média de registros que se espera que não atendam aos critérios;
A: é a margem de erro considerada aceitável (calculada como uma proporção). Por exemplo,
para 5% de erro em qualquer direção, A = 0,05;
c: valor de uma constante.
Para ter 95% de certeza do resultado, a constante c = 1,96
Processing math: 33%
Para ter 90% de certeza do resultado, a constante c = 1,645
Para ter 80% de certeza do resultado, a constante c = 1,28
A fórmula para o cálculo de n é:
N=C2NP(1-P)A2N+C2P(1-P)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Veja o exemplo:
N = 400
p = 70%
A = 0,05
c = 1,96 (95% de certeza do resultado)
Utilizando a fórmula, temos:
N=1,962×400×0,7(1-0,7)0,052×400+1,962×0,7×(1-
0,7)=102,77=103
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Veja que há uma sensibilidade quando alteramos o valor de “c”:
Amostra
c = 95% 1,96 102,7666
c = 90% 1,645 78,33823
Processing math: 33%
c = 80% 1,28 51,40276
Elaborada por Mauro Rezende Filho
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Agora vamos testar uma amostra de grãos de soja. Três valores são necessários para definir um plano de
amostra múltipla. Temos, então, como dados:
Número de grãos coletados = 100
Proporção média de registros = 90%
Margem de erro = 10%
Constante c para 90% = 1,645Número máximo de positivos = 19
N=1,6452×100×0,9(1-0,9)0,12×100+1,6452×0,9×(1-
0,9)=19,58=20
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos supor que o cliente aceite um AQL = 2. Ou seja, o cliente está exigindo agora uma não
conformidade máxima de 98% (100 – 2/100). Temos, então:
N=1,6452×100×0,98(1-0,98)0,12×100+1,6452×0,98×(1-
0,98)=85,89=86
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Estamos, então, muito próximos da amostragem 100%.
QUALIDADE MÉDIA DE SAÍDA (AOQ)
Processing math: 33%
Um procedimento comum, quando a amostragem e o teste não são destrutivos, é inspecionar 100% dos
lotes rejeitados e substituir todos os defeituosos por boas unidades. Nesse caso, todos lotes rejeitados
são tornados perfeitos e os únicos defeitos que restam são aqueles em lotes que foram aceitos. Se todos
os lotes vierem com um nível de defeito de exatamente p, e a curva OC para o escolhido (n, c) indica uma
probabilidade Pa, de aceitação a longo prazo, o AOQ pode facilmente ser mostrado como:
AOQ=PA PN-NN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde Pa - probabilidade acumulada, usualmente calculada nas distribuições discretas, como a Binomial.
Vamos pegar o primeiro exemplo e calcular o AOQ:
N = 400
p = 0,3
n = 103
c = 0
PA=103!0!103-0!0,30(1-0,3)103-0=0,0305
AOQ=0,0305×0,3×(400-103)400=0,0078=0,78%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Podemos, então, plotar a curva para controle:
Processing math: 33%
 
Imagem: Shutterstock.com
Curva AOQ 
Elaborada por Mauro Rezende Filho
LASP
Um plano de amostragem de aceitação de lote (LASP) é um esquema de amostragem e um conjunto de
regras para a tomada de decisões.
A decisão, baseada na contagem do número de defeituosos em uma amostra, pode aceitar o lote, rejeitar
o lote, ou ainda, para esquemas de amostragem múltiplo ou sequencial, tomar outra amostra e, em
seguida, repetir o processo de decisão.
Os LASPs se enquadram nas seguintes categorias:
PLANOS DE AMOSTRAGEM INDIVIDUAIS
Uma amostra de itens é selecionada aleatoriamente de um lote e a disposição do lote é determinada a
partir da informação resultante. Esses planos são geralmente denotados como (n, c) planos para uma
amostra tamanho n, em que o lote é rejeitado se houver mais de c defeituosos. Esses são os mais
comuns (e mais fáceis) de planejar o uso, embora não seja o mais eficiente em termos de número médio
de amostras necessárias.
PLANOS DE AMOSTRAGEM DUPLA
Após a primeira amostra ser testada, existem três possibilidades:
Aceitar o lote.
Rejeitar o lote.Processing math: 33%
Sem decisão.
Se o resultado for (3) e uma segunda amostra for retirada, o procedimento é combinar os resultados de
ambas as amostras e tomar uma decisão final com base nessas informações.
PLANOS DE AMOSTRAGEM MÚLTIPLAS
Essa é uma extensão dos planos de amostragem dupla, em que mais de duas amostras são necessárias
para se chegar a uma conclusão. A vantagem de amostragens múltiplas é que os tamanhos de amostra
são menores.
PLANOS DE AMOSTRAGEM SEQUENCIAL
Esse é o máximo de extensão de amostragem múltipla, em que os itens são selecionados de um lote de
cada vez e após a inspeção de cada item uma decisão é tomada para aceitar ou rejeitar o lote ou
selecionar outra unidade.
MÃO NA MASSA
1. UMA INDÚSTRIA MONTA LOTES DE 1.000 UNIDADES DE DETERMINADO
PRODUTO. PARA A SUA ACEITAÇÃO, RETIRA ALEATORIAMENTE 10 UNIDADES
E REJEITA O LOTE SE O NÚMERO DE NÃO CONFORMIDADE FOR SUPERIOR A 1
UNIDADE. HISTORICAMENTE, NÃO SÃO ACEITOS 1% DAS AMOSTRAS. A
PROBABILIDADE DE O LOTE SER ACEITO É APROXIMADAMENTE IGUAL A:
A) 99%.
B) 99,9%.
C) 99,7%.
D) 99,5%.
E) 99,3%.
2. O NÚMERO ESPERADO DE UNIDADES INSPECIONADAS É DESIGNADO POR
AVERAGE TOTAL INSPECTION (ATI) E É UMA MEDIDA DE DESEMPENHO DO
PLANO DE AMOSTRAGEM SIMPLES COM RETIFICAÇÃO DA INSPEÇÃO, E IGUAL
A ATI = NPA + N[1 − PA]. UM CLIENTE COMPRA LOTES DE 500 UNIDADES DEProcessing math: 33%
DETERMINADO PRODUTO, QUE HISTORICAMENTE TEM UMA NÃO
CONFORMIDADE DE 1%. PARA ACEITAR O LOTE, ELE RETIRA 10 UNIDADES E
REJEITA SE MAIS DE UMA UNIDADE FOR NÃO CONFORME. O ATI DESSE LOTE
SERÁ APROXIMADAMENTE IGUAL A:
A) 9,95.
B) 2,45.
C) 10,45.
D) 12,45.
E) 12,95.
3. SEJAM PAI E PAII AS PROBABILIDADES DE ACEITAÇÃO DO LOTE NA
PRIMEIRA E NA SEGUNDA FASES DE UM PLANO DE AMOSTRAGEM SIMPLES.
PARA UM PLANO DE AMOSTRAGEM DUPLA CARACTERIZADO POR N1 = 50, C1
= 1, N2 = 100 E C2 = 3, SABE-SE QUE EM MÉDIA 5% DAS UNIDADES SÃO NÃO
CONFORMES. PARA ESSE PLANO, A PROBABILIDADE DE ACEITAÇÃO DO LOTE
SERÁ DE APROXIMADAMENTE:
A) 53,72%.
B) 27,94%.
C) 25,78%.
D) 45,62%.
E) 48,36%.
4. QUALIDADE DE SAÍDA MÉDIA (QSM) MEDE A QUALIDADE NO LOTE
RESULTANTE DA APLICAÇÃO DA INSPEÇÃO DE RETIFICAÇÃO, SENDO
DEFINIDA POR:
QMS=PAN-NNP
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
SUPONHA QUE, PARA UM LOTE DE 100 UNIDADES, NÃO MAIS DE 2 UNIDADES
SEJAM NÃO CONFORMES, QUE OS LOTES QUE ENTRAM SEJAM DE
QUALIDADE 90%, QUE O INTERVALO DE CONFIANÇA SEJA DE 90% E QUE AProcessing math: 33%
MARGEM DE ERRO DESEJADA SEJA DE 5%. QUAL SERÁ O VALOR
APROXIMADO DE QMS?
A) 0,59%.
B) 3,12%.
C) 8,12%.
D) 4,78%.
E) 0,41%.
5. INSPEÇÃO TOTAL MÉDIA (ITM) MEDE O NÚMERO MÉDIO DE ITENS
INSPECIONADOS, DEVIDO AO USO DE UM PROGRAMA DE INSPEÇÃO POR
RETIFICAÇÃO. É DADO PELA SEGUINTE FÓRMULA:
ITM = N + (1- PA)( N - N)
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
SUPONHA QUE, PARA UM LOTE DE 100 UNIDADES, NÃO MAIS DE 2 UNIDADES
SEJAM NÃO CONFORMES, QUE OS LOTES QUE ENTRAM SEJAM DE
QUALIDADE 90%, QUE O INTERVALO DE CONFIANÇA SEJA DE 90% E QUE A
MARGEM DE ERRO DESEJADA SEJA DE 5%, COM QMS APROXIMADO DE 0,49%.
O VALOR APROXIMADO DO ITM É:
A) 92
B) 100
C) 8,12%
D) 4,78%
E) 0,24%
6. EM UM LOTE DE 200 ITENS, 10 SÃO DEFEITUOSOS. A PROBABILIDADE DE
UMA AMOSTRA DE 20 UNIDADES CONTER 2 ITENS DEFEITUOSOS É:
A) 0,15.
B) 0,10.
Processing math: 33%
C) 0,12.
D) 0,13.
E) 0,22.
GABARITO
1. Uma indústria monta lotes de 1.000 unidades de determinado produto. Para a sua aceitação,
retira aleatoriamente 10 unidades e rejeita o lote se o número de não conformidade for superior a 1
unidade. Historicamente, não são aceitos 1% das amostras. A probabilidade de o lote ser aceito é
aproximadamente igual a:
A alternativa "D " está correta.
Solução:
Temos as seguintes informações:
N = 1000
n = 10
c = 1
p = 1%
Utilizamos a distribuição binomial, pois temos uma amostragem por atributos:
PA = P(X=1) = P(X=0) + P(X=1)
P(X=0)=100P0(1-P)10-0=1000,010(1-0,01)10-0=0,904
P(X=1)=101P1(1-P)10-1=1010,011(1-0,01)10-1=0,091
P(X=1) = 0,904 + 0,091 = 0,995= 99,5%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. O número esperado de unidades inspecionadas é designado por Average Total Inspection (ATI)
e é uma medida de desempenho do plano de amostragem simples com retificação da inspeção, e
igual a ATI = nPa + N[1 − Pa]. Um cliente compra lotes de 500 unidades de determinado produto,
que historicamente tem uma não conformidade de 1%. Para aceitar o lote, ele retira 10 unidades e
rejeita se mais de uma unidade for não conforme. O ATI desse lote será aproximadamente igual a:
A alternativa "D " está correta.
Solução:Processing math: 33%
Temos as seguintes informações:
N = 500
n = 10
c = 1
p = 1%
Utilizamos a distribuição binomial, pois temos uma amostragem por atributos:
PA = P(X=1) = P(X=0) + P(X=1)
P(X=0)=100P0(1-P)10-0=1000,010(1-0,01)10-0=0,904
P(X=1)=101P1(1-P)10-1=1010,011(1-0,01)10-1=0,091
P(X=1) = 0,904 + 0,091 = 0,995= 99,5%
ATI = 10x0,995+ 500x(1 – 0,995) = 12,45
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Sejam PaI e PaII as probabilidades de aceitação do lote na primeira e na segunda fases de um
plano de amostragem simples. Para um plano de amostragem dupla caracterizado por n1 = 50, c1
= 1, n2 = 100 e c2= 3, sabe-se que em média 5% das unidades são não conformes. Para esse
plano, a probabilidade de aceitação do lote será de aproximadamente:
A alternativa "A " está correta.
Solução:
Temos as seguintes informações:
n1 = 50
n2 = 100
c1 = 1
c2 = 3
p = 5%
Utilizamos a distribuição binomial, pois temos uma amostragem por atributos:
P=PaI+PaII
Processing math: 33%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para PaI temos:
P(X=0)=500P0(1-P)50-0=5000,050(1-0,05)50-0=0,0769
P(X=1)=501P1(1-P)50-1=5010,051(1-0,05)50-1=0,2025
PaI= 0,0769 + 0,2025 = 0,2794
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para PaII temos:
P(X=0)=1000P0(1-P)100-0=10000,050(1-0,05)100-0=0,0059
P(X=1)=1001P1(1-P)100-1=10010,051(1-0,05)100-1=0,0312
P(X=2)=1002P0(1-P)100-2=10020,052(1-0,05)100-3=0,0812
P(X=3)=1003P1(1-P)100-3=10030,053(1-0,05)100-3=0,1396
PaII = 0,0059 + 0,0312 + ,00812 + 0,1396 = 0,2578
Então, P=PaI+PaII=0,2794+0,2578=0,5372=53,72%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Qualidade de Saída Média (QSM) mede a qualidade no lote resultante da aplicação da inspeção
de retificação, sendo definida por:
QMS=PaN-nNp
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Suponha que, para um lote de 100 unidades, não mais de 2 unidades sejam não conformes, que os
lotes que entram sejam de qualidade 90%, que o intervalo de confiança seja de 90% e que a
margem de erro desejada seja de 5%. Qual será o valor aproximado de QMS?
A alternativa "E " está correta.
UMA APLICAÇÃO DE QSM
Processing math: 33%
5. Inspeção Total Média (ITM) mede o número médio de itens inspecionados, devido ao uso de um
programa de inspeção por retificação. É dado pela seguinte fórmula:
ITM = n + (1- Pa)( N - n)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Suponha que, para um lote de 100 unidades, não mais de 2 unidades sejam não conformes, que os
lotes que entram sejam de qualidade 90%, que o intervalo de confiança seja de 90% e que a
margem de erro desejada seja de 5%, com QMS aproximado de 0,49%. O valor aproximado do ITM
é:
A alternativa "A " está correta.
Solução:
Com os dados calculados, temos:
ITM = n + (1- Pa)( N - n) = 30 + (1 – 0,1183) (100 – 30) = 90,53 = 92
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Observe que é menor que o tamanho do lote.
6. Em um lote de 200 itens, 10 são defeituosos. A probabilidade de uma amostra de 20 unidades
conter 2 itens defeituosos é:
A alternativa "B " está correta.
Solução:
Usando a distribuição hipergeométrica para achar a probabilidade, temos:
Pn=2=102200-1020-220020=0,10 de defeitos
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GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Uma indústria monta lotes de 10.000 unidades de determinado produto. Para a sua aceitação, retira
aleatoriamente 150 unidades e rejeita o lote se o número de não conformidade for superior a 5 unidades.
Amostras não conformes acima de 3% significam a rejeição do lote. A probabilidade de o lote ser aceito é
aproximadamente igual a:
Processing math: 33%
RESOLUÇÃO
UMA APLICAÇÃO DE TAMANHO DO LOTE
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. NA ESCOLHA DO TAMANHO DA AMOSTRA, DEVEMOS TER EM MENTE A
MAGNITUDE DA MUDANÇA QUE QUEREMOS DETECTAR, PORTANTO: 
 
I. AMOSTRAS PEQUENAS PERMITIRÃO DETECTAR GRANDES MUDANÇAS NO
PROCESSO. 
II. QUANDO O CUSTO DE AMOSTRAGEM 100% É MUITO BAIXO, DEVEMOS
DEFINIR O TAMANHO DA AMOSTRA A SER TESTADA DE UM LOTE. 
III. SE O TAMANHO DA SUA AMOSTRA É MUITO GRANDE, UMA BOA
ESTRATÉGIA SERÁ DIMINUIR LIGEIRAMENTE O SEU NÍVEL DE CONFIANÇA OU
AUMENTAR A MARGEM DE ERRO ACEITÁVEL. 
 
ESTÁ CORRETO O QUE SE AFIRMA EM
A) I, apenas.
B) II, apenas.
C) III, apenas.
D) I e III, apenas.
E) II e III, apenas.Processing math: 33%
2. UM PLANO DE AMOSTRAGEM DE ACEITAÇÃO COMPARADO COM A
INSPEÇÃO 100% OFERECE AS SEGUINTES VANTAGENS: 
 
I. USUALMENTE É MENOS DISPENDIOSA, POIS HÁ MENOS INSPEÇÃO. 
II. HÁ RISCOS DE ACEITAÇÃO DE LOTES “RUINS” E REJEIÇÃO DE LOTES
“BONS”. 
III. MENOS PESSOAS SÃO ENVOLVIDAS NAS ATIVIDADES DE INSPEÇÃO. 
IV. APLICA-SE A TESTES DESTRUTIVOS. 
 
É(SÃO) ERRADA(S) A(S) AFIRMATIVA(S):
A) I, apenas.
B) II, apenas.
C) III, apenas.
D) II e III, apenas.
E) I e III, apenas.
GABARITO
1. Na escolha do tamanho da amostra, devemos ter em mente a magnitude da mudança que
queremos detectar, portanto: 
 
I. Amostras pequenas permitirão detectar grandes mudanças no processo. 
II. Quando o custo de amostragem 100% é muito baixo, devemos definir o tamanho da amostra a
ser testada de um lote. 
III. Se o tamanho da sua amostra é muito grande, uma boa estratégia será diminuir ligeiramente o
seu nível de confiança ou aumentar a margem de erro aceitável. 
 
Está correto o que se afirma em
A alternativa "C " está correta.
 
A alternativa I está errada, pois somente com amostras grandes poderemos notar a variabilidade do
processo com certeza estatística; a alternativa II está errada, pois faremos isso se o custo de amostragem
100% for alto; a a alternativa III está correta, pois se diminuirmos um pouco o nível de confiança e/ou
aumentarmos a margem de erro, o tamanho da amostra diminuirá.
Processing math: 33%
2. Um plano de amostragem de aceitação comparado com a inspeção 100% oferece as seguintes
vantagens: 
 
I. Usualmente é menos dispendiosa, pois há menos inspeção. 
II. Há riscos de aceitação de lotes “ruins” e rejeição de lotes “bons”. 
III. Menos pessoas são envolvidas nas atividades de inspeção. 
IV. Aplica-se a testes destrutivos. 
 
É(São) errada(s) a(s) afirmativa(s):
A alternativa "B " está correta.
 
A alternativa II está errada, pois o que afirma é uma desvantagem.
MÓDULO 3
 Aplicar planos de amostragem
RECONHECER, APLICAR E ANALISAR PLANOS
DE AMOSTRAGEMProcessing math: 33%
INTRODUÇÃO AOS PLANOS AMOSTRAIS
A amostragem de aceitação está relacionada à inspeção e ao controle da fabricação em relação aos
produtos, um dos aspectos mais antigos da garantia da qualidade.
Nas décadas de 1930 e 1940, a amostragem de aceitação era um dos principais componentes do campo
da qualidade e era usado principalmente para inspeção de recebimento.
Posteriormente, tornou-se comum trabalhar com fornecedores para melhorar o desempenho de seus
processos por meio do uso de controle estatístico do processo e de experimentos projetados, e não
depender tanto da amostragem de aceitação como uma ferramenta de garantia de qualidade primária.
 EXEMPLO
Imagine a seguinte situação: você é o responsável pelo desenvolvimento de novos fornecedores e
materiais. Acabou de fechar uma parceria com um novo fornecedor que vai produzir um componente
importante. Ambos estimam que a porcentagem de não conformes não será superior a 5% e que cada
lote terá 100 unidades. Estará hoje recebendo o primeiro lote e deverá ter uma estratégia de aceitação.
Você pensou nas seguintes alternativas:
conferir 100% do lote e solicitar reposição dos não conformes;
conferir 5% do lote e tomar uma decisão se esse número está adequado;
separar uma amostra e rejeitar o lote se estiver acima dos 5%;
separar uma amostra e se esse tiver inconformidades acima dos 5%, separar outra amostra, e se
este novo lote tiver inconformidades acima dos 5% rejeitar o lote;Processing math: 33%
não fazer nada e aceitar o lote.
Como você pôde verificar, existem várias opções do que chamamos de Plano de Amostragem.
Vamos estudar a partir de agora os mais utilizados; entretanto, na literatura, você encontrará uma grande
variedade de abordagens para a aceitação de um lote de produtos.
PLANOS DE AMOSTRAGEM
A maneira como o lote é formado pode influenciar a eficácia do plano de amostragem de aceitação. Há
uma série de considerações importantes na formação de lotes para inspeção. Algumas dessas são:
1. Os lotes devem ser homogêneos. As unidades do lote devem ser produzidas pelas