Exercícios de Álgebra Linear

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Grau Técnico

em 15/08/2024

Questões resolvidas

1) Sejam A =
⎛⎜⎝−1 1 2⎞⎟⎠, B =
⎛⎜⎝−1 0 3⎞⎟⎠, C =
⎛⎜⎝4 2 1⎞⎟⎠ e D = (12)−, encontre:
a) A + B
b) C . D
c) A . C
d) D . A
e) B . C
f) 2B – A

3) Suponha que A seja uma matriz simétrica. Determine o valor de A – A^t.

4) Supondo que as operações abaixo estão bem definidas, classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique.
a) (A + B)^t = B^t + A^t.
b) Se A.B = 0, então A = 0 ou B = 0. (0 = matriz nula)
c) (1_k A)(2_k B) = (k_1 k_2)AB para k_1, k_2 ∈ ℝ
d) (-A)(-B) = -(AB).
e) Se A e B são matrizes simétricas, então A.B = B.A
f) (-A)^t = -(A^t).

5) Se uma matriz quadrada A é tal que A^t = -A, ela é chamada anti-simétrica. Sabe-se que M é anti-simétrica e M =
⎛⎜⎝−8 2 4⎞⎟⎠. Os termos 1312, aa e 23a de M, valem respectivamente:
a) – 4, - 2 e 4
b) 4, 2 e - 4
c) 4, - 2 e – 4
d) 2, - 4 e 2
e) 2, 2 e 4.

6) Efetue os produtos A.B e B.A onde A =
⎛⎜⎝1 1 2⎞⎟⎠ e B = (1 2 1).

7) Determine uma matriz A ∈ ℝ^(2x2) tal que A ≠ 0 e A^2 = 0 (matriz nula).

8) Uma matriz quadrada A se diz ortogonal se A é inversível e A^(-1) = A^t.
a) Determine se possível x, y ∈ ℝ, a fim de que a matriz
⎛⎜⎝2 2 y⎞⎟⎠ seja ortogonal.
b) Prove que o produto de duas matrizes ortogonais, A e B, é ortogonal.

9) Para matrizes quadradas A = (a_ij) definimos o traço de A como sendo a soma dos elementos da diagonal principal de A, ou seja, tr(A) = ∑_(i=1)^m a_ii.
a) Mostre que tr(A + B) = tr(A) + tr(B).
b) Mostre que tr(αA) = α tr(A).
c) Mostre que tr(A^t) = tr(A).

10) Mostre que a matriz A abaixo é inversível e determine sua inversa:
A =
⎛⎜⎝−1 −1 1⎞⎟⎠.

12) Determine a ∈ ℝ a fim de que a matriz real B =
⎛⎜⎝a 2 1⎞⎟⎠ seja inversível em ℝ^3.

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Questões resolvidas

1) Sejam A =
⎛⎜⎝−1 1 2⎞⎟⎠, B =
⎛⎜⎝−1 0 3⎞⎟⎠, C =
⎛⎜⎝4 2 1⎞⎟⎠ e D = (12)−, encontre:
a) A + B
b) C . D
c) A . C
d) D . A
e) B . C
f) 2B – A

3) Suponha que A seja uma matriz simétrica. Determine o valor de A – A^t.

4) Supondo que as operações abaixo estão bem definidas, classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique.
a) (A + B)^t = B^t + A^t.
b) Se A.B = 0, então A = 0 ou B = 0. (0 = matriz nula)
c) (1_k A)(2_k B) = (k_1 k_2)AB para k_1, k_2 ∈ ℝ
d) (-A)(-B) = -(AB).
e) Se A e B são matrizes simétricas, então A.B = B.A
f) (-A)^t = -(A^t).

5) Se uma matriz quadrada A é tal que A^t = -A, ela é chamada anti-simétrica. Sabe-se que M é anti-simétrica e M =
⎛⎜⎝−8 2 4⎞⎟⎠. Os termos 1312, aa e 23a de M, valem respectivamente:
a) – 4, - 2 e 4
b) 4, 2 e - 4
c) 4, - 2 e – 4
d) 2, - 4 e 2
e) 2, 2 e 4.

6) Efetue os produtos A.B e B.A onde A =
⎛⎜⎝1 1 2⎞⎟⎠ e B = (1 2 1).

7) Determine uma matriz A ∈ ℝ^(2x2) tal que A ≠ 0 e A^2 = 0 (matriz nula).

8) Uma matriz quadrada A se diz ortogonal se A é inversível e A^(-1) = A^t.
a) Determine se possível x, y ∈ ℝ, a fim de que a matriz
⎛⎜⎝2 2 y⎞⎟⎠ seja ortogonal.
b) Prove que o produto de duas matrizes ortogonais, A e B, é ortogonal.

9) Para matrizes quadradas A = (a_ij) definimos o traço de A como sendo a soma dos elementos da diagonal principal de A, ou seja, tr(A) = ∑_(i=1)^m a_ii.
a) Mostre que tr(A + B) = tr(A) + tr(B).
b) Mostre que tr(αA) = α tr(A).
c) Mostre que tr(A^t) = tr(A).

10) Mostre que a matriz A abaixo é inversível e determine sua inversa:
A =
⎛⎜⎝−1 −1 1⎞⎟⎠.

12) Determine a ∈ ℝ a fim de que a matriz real B =
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1a Lista de Exercícios 
1) Sejam 







112
321
A , 






103
102
B , 











4
2
1
C e  12 D , encontre: 
a) A + B 
b) C . D 
c) A . C 
d) D . A 
e) B . C 
f) 2B – A 
 
2) Seja 







012
2 2
x
x
A . Se A
t
 = A, determine o valor de x. 
 
3) Suponha que A seja uma matriz simétrica. Determine o valor de A – A
t
. 
 
 
4) Supondo que as operações abaixo estão bem definidas, classifique em 
verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique. 
 
a) (A + B)
t
 = B
t
 + A
t
. 
b) Se A.B = 0, então A = 0 ou B = 0. ( 0 = matriz nula) 
c) ( 1k A).( 2k B) = (k1 k2)AB para .21 IRkk  
d) (-A).(-B) = - (AB). 
e) Se A e B são matrizes simétricas, então A.B = B.A 
f) (-A)
t
 = - (A
t
). 
 
5) Se uma matiz quadrada A é tal que A
t
 = - A, ela é chamada anti-simétrica. Sabe-
se que M é anti-simétrica e 














82
2
4
23
1312
ccb
aba
aaa
M . 
Os termos 1312, aa e 23a de M , valem respectivamente: 
a) – 4, - 2 e 4 
b) 4, 2 e - 4 
c) 4, - 2 e – 4 
d) 2, - 4 e 2 
e) 2, 2 e 4 
6) Efetue os produtos A.B e B.A onde 











1
1
2
A e  121B . 
 Universidade Estadual de Montes Claros - UNIMONTES 
Disciplina: Álgebra Linear/ Geometria Analítica 
Curso: Engenharia de Sistemas – 10 Período 
Professor: Warley Ferreira da Cunha 
7) Determine uma matriz )(2 IRMA tal que 0A e 02  AAA (matriz nula). 
 
8) Uma matriz quadrada A se diz ortogonal se A é inversível e A
-1
 = A
t
. 
 
a) Determine se possível IRyx , , a fim de que a matriz 








2
2
y
x
 
seja ortogonal. 
 
b) Prove que o produto de duas matrizes ortogonais, A e B, é ortogonal. 
 
 
9) Para matrizes quadradas  
mxmijaA  definimos o traço de A como sendo a 
soma dos elementos da diagonal principal de A , ou seja, 


m
i
ijaAtr
1
)( . 
 
a) Mostre que )()()( BtrAtrBAtr  . 
b) Mostre que ).()( AtrAtr   
c) Mostre que ).()( AtrAtr
t  
 
10) Mostre que a matriz A abaixo é inversível e determine sua inversa: 
 













113
112
111
A . 
 
11) Mostre que a matriz real 











1
01
001
cb
aA 
 é inversível para todo IRcba ,, e que : 












1
01
001
1
cbac
aA . 
 
12) Determine IRa a fim de que a matriz real 
 











a
B
21
212
111
, 
seja inversível em ).(3 IRM