Lista01_GAAL

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
MA71B – Geometria Analítica e Álgebra Linear
Profa Ana Cristina Munaretto
Primeira lista de exercícios – Matrizes
1. Considere as seguintes matrizes:
A =
[
2 0
6 7
]
B =
[
0 4
2 −8
]
C =
[
−6 9 −7
7 −3 −2
]
D =

−6 4 0
1 1 4
−6 0 6

E =

6 9 −9
−1 0 −4
−6 0 −1

Se for possível calcule:
a) AB− BA b) 2C−D c) (2D> − 3E>)> d) D2 −DE
2. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC, como podemos calcular A(B+ C), B>A>, C>A> e (ABA)C?
3. Sejam A, B e C matrizes n× n.
a) (A+ B)2 = A2 + 2AB+ B2? Justifique.
b) (AB)C = C(AB)? Justifique.
4. Considere as matrizes A =
[
2 1
3 −1
]
, B =
[
−1 2
1 0
]
e C =
[
4 −1
2 1
]
. Calcule a matriz X de modo que 3(X −
A) = 2(B+ X) + 6C.
5. Verifique se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo. Se for verdadeira, justifique porque, se for falsa, dê
um exemplo em que a afirmação não é válida.
a) Se A e B são duas matrizes tais que AB = 0, então A = 0 ou B = 0.
b) Se AB = 0 então BA = 0.
c) Se A é uma matriz tal que A2 = 0, então A = 0.
6. Considere a matriz A tal que aij = i+ j, se i 6 j e aij = (i− j)x, se i > j. Monte a matriz A e calcule os valores de x e
y, sabendo-se que
A> =

2 2y− 3
5y− 7 4
4 5
 .
7. Construa as matrizes:
a) A1×3, tal que aij = 2i− j
b) B4×2, tal que bij =
i+ j, se i 6 ji− j, se i > j
c) C2×2, tal que cij = 2i+ 3j− 1
d) D3×3, tal que dij =
2i+j, se i > ji2 − j, se i 6 j
8. A matriz A =

1 2 3
x y z
2 1 z
 admite a transposta A> =

1 x 2
x− 2 y 1
3y 6 − y z
. Nestas condições, calcule x, y e z.
9. Determine os valores de a e b para que a matriz M =

3 8 x
a3 1 b2
x 121 0
 seja simétrica.
10. Calcule os valores de x e y para que as matrizes A =
[
1 3
−1 0
]
e B =
[
x y
0 2
]
comutem na multiplicação.
11. Considere as matrizes
A =
[
a b 1
−1 1 a
]
e B =
[
1 −1 0
0 1 0
]
.
Determine a e b para que
AB> =
[
3 4
−2 1
]
.
12. Dada a matriz A =

2 1 −3
0 2 1
5 1 3
, calcule (se possível) a matriz A−1.
13. Se possível, encontre a inversa das seguintes matrizes:
a) A =
[
1 2
2 4
]
b) B =
[
1 2
0 1
]
14. Mostre que a matriz B =

1 1 0
0 −1 2
1 0 1
 é a inversa de A =

−1 −1 2
2 1 −2
1 1 −1
.
15. Dadas as matrizes A =
[
9 5
7 4
]
e B =
[
4 n
m 9
]
, calcular m e n para que B seja a matriz inversa de A.
16. Encontre todos os valores de a para os quais a matriz
A =

1 1 0
1 0 0
1 2 a

tenha inversa.
17. Considere as matrizes
A =

1 2 3
1 1 2
0 1 2
 B =

1 2 −1
3 3 0
5 1 4
 C =

1 2 2
1 3 1
1 3 2
 D =

1 2 3
0 2 3
1 2 4

Calcule, se possível, suas inversas.
2
18. Considere as matrizes
A =

0 0 0 −3
1 2 3 4
−1 3 2 5
2 1 −2 0
 B =

1 −2 3 1
5 −9 6 3
−1 2 −6 −2
2 8 6 1
 C =

2 1 3 1
1 0 1 1
0 2 1 0
0 1 1 3

Calcule, se possível, suas inversas.
Notes
01.
a)
[
−24 −20
58 24
]
b) Não é possível.
c)

−30 −19 27
5 2 20
6 0 15
 d)

80 34 −22
−10 −4 45
72 30 −12

02. A(B+ C) = AB+AC, B>A> = (AB)>, C>A> = (AC)> , (ABA)C = (AB)(AC)
03. a) Não. Só será verdade se AB = BA. b) Não. Só será verdade se AC = CA e BC = CB.
04. X = 3A+ 2B+ 6C.
05. a) Falsa. Se A =
[
1 0
0 0
]
e B =
[
0 0
0 1
]
, então, temos que A.B = 0, mas A 6= 0 e B 6= 0.
06. x = 1 e y = 2.
07.
a) A =
[
1 0 −1
]
b) B =

2 3
1 4
2 1
3 2

c) C =
[
4 7
6 9
]
d) D =

0 −1 −2
8 2 1
16 32 6

08. x = 4, y = 1 e z = 5
09. a = 2 e b = 11.
010. x = 2 e y = 0.
011. a = 7 e b = 4.
012. A−1 =

1
9
−2
9
7
45
1
9
7
15
−2
45
−2
9
1
15
4
45

013. a) A não é invertível pois det(A) = 0 b) B−1 =
[
1 −2
0 1
]
015. m = −7 e n = −5
017.
a) A−1 =

0 1 −1
2 −2 −1
−1 1 1

b) A matriz B não possui inversa.
3
c) C−1 =

3 2 −4
−1 0 1
0 −1 1
 d) D−1 =

1 −1 0
3
2
1
2
−3
2
−1 0 1

018.
a) A−1 =

−1
25
8
25
−7
25
1
5
32
75
−2
25
8
25
1
5
13
75
7
25
−3
25
−1
5
−1
3 0 0 0
 b) B−1 =

6
13
2
13
7
13
2
13
−10
13
1
13
−3
13
1
13
27
13
−4
13
23
39
1
39
−94
13
12
13
−36
13
−1
13
 c) C−1 =

−5
4
7
2 1
−3
4
−3
4
3
2 1
−1
4
3
2 −3 −1
1
2
−1
4
1
2 0
1
4

4