livro LVIII

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D) Não existe 
 Resposta: A) \( \frac{3}{2} \). Explicação: Para limites em infinito, dividimos todos os termos 
pelo maior grau de \( x \) no dominador. Assim, temos \( \lim \frac{3 + \frac{2}{x^2}}{2 - 
\frac{5}{x^2}} = \frac{3}{2} \) quando \( x \) tende ao infinito. 
 
12. O que é uma função contínua em um intervalo fechado \([a, b]\)? 
 A) \( f(a) = f(b) \) 
 B) Para todo \( x \in [a, b], \lim_{x \to c} f(x) = f(c) \) 
 C) \( f(x) \) é crescente em \([a, b]\) 
 D) \( f(a) \neq f(b) \) 
 Resposta: B) Para todo \( x \in [a, b], \lim_{x \to c} f(x) = f(c) \). Explicação: Uma função 
contínua em um intervalo fechado significa que não há buracos ou saltos, e a condição de 
limite garante isso. 
 
13. Determine o valor de \( f''(x) \) se \( f(x) = \cos(x) \). 
 A) \( -\sin(x) \) 
 B) \( \cos(x) \) 
 C) \( -\cos(x) \) 
 D) \( \sin(x) \) 
 Resposta: A) \( -\cos(x) \). Explicação: A primeira derivada \( f'(x) = -\sin(x) \) e a segunda 
derivada, derivando novamente, resulta em \( -\cos(x) \). 
 
14. Qual é a equação da linha que passa pelos pontos \( (1,2) \) e \( (3,4) \)? 
 A) \( y = x \) 
 B) \( y = x + 1 \) 
 C) \( y = x + 2 \) 
 D) \( y = 2x - 1 \) 
 Resposta: B) \( y = x + 1 \). Explicação: A inclinação (m) é dada por \( \frac{4-2}{3-1} = 1 \). 
Usando a fórmula da reta (y - y1) = m(x - x1), obtemos \( y - 2 = 1(x - 1) \), resultando em \( y = 
x + 1 \). 
 
15. Qual o valor da integral \( \int e^{3x} \, dx \)? 
 A) \( \frac{1}{3} e^{3x} + C \) 
 B) \( 3e^{3x} + C \) 
 C) \( e^{3x} + C \) 
 D) \( e^{3x} + 3C \) 
 Resposta: A) \( \frac{1}{3} e^{3x} + C \). Explicação: A integral de \( e^{ux} \) é \( \frac{1}{u} 
e^{ux} + C \). Aqui, \( u = 3 \), então a integral é \( \frac{1}{3} e^{3x} + C \). 
 
16. O que caracteriza a derivada de um ponto \( c \) ser igual a zero? 
 A) O ponto é um máximo local. 
 B) O ponto é um mínimo local. 
 C) O ponto é um ponto de inflexão. 
 D) O ponto pode ser um máximo ou mínimo local. 
 Resposta: D) O ponto pode ser um máximo ou mínimo local. Explicação: Quando a derivada 
de uma função em um ponto é zero, isso indica que a função não está aumentando nem 
diminuindo naquele ponto. Portanto, esse ponto poderia ser um máximo local, um mínimo 
local ou um ponto de inflexão. 
 
17. Qual a integral de \( \int (2x^3 + 3x^2) \, dx \)? 
 A) \( \frac{1}{2}x^4 + x^3 + C \) 
 B) \( \frac{2}{4}x^4 + x^3 + C \) 
 C) \( 2x^4 + 3x^3 + C \) 
 D) \( \frac{1}{4}x^4 + x^3 + C \) 
 Resposta: A) \( \frac{1}{2}x^4 + x^3 + C \). Explicação: Calculamos a integral de cada termo 
separadamente. De \( 2x^3 \) obtemos \( \frac{2}{4} x^4 = \frac{1}{2} x^4 \) e de \( 3x^2 \) 
obtemos \( x^3 \). 
 
18. O que é uma função derivável? 
 A) A função é contínua. 
 B) A função é linear. 
 C) A função não possui quebras. 
 D) A função é contínua e possui derivadas em todos os pontos do domínio. 
 Resposta: D) A função é contínua e possui derivadas em todos os pontos do domínio. 
Explicação: Para que uma função seja derivável em um ponto, ela deve ser contínua naquele 
ponto e não apresentar quebras ou buracos. 
 
19. Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} \). 
 A) \( 3 \) 
 B) \( 0 \) 
 C) \( 1 \) 
 D) Não existe 
 Resposta: A) \( 3 \). Explicação: Usando a regra do limite fundamental, sabemos que \( 
\frac{\tan(kx)}{x} \) se comporta como \( k \) quando \( x \to 0 \). Logo, neste caso, \( k = 3 \) 
resultando em \( 3 \). 
 
20. O que representa a integral definida \( \int_{a}^{b} f(x) \, dx \)? 
 A) A área entre a curva e o eixo \( x \). 
 B) O valor médio de \( f(x) \) em \([a, b]\). 
 C) A soma das funções em \( a \) e \( b \). 
 D) O ponto de interseção de \( f(x) \) com o eixo \( y \). 
 Resposta: A) A área entre a curva e o eixo \( x \). Explicação: A integral definida calcula a área 
sob a curva de \( f(x) \) entre os limites \( a \) e \( b \), considerando sinais positivos e negativos 
dependendo da posição relativa à linha do eixo \( x \). 
 
21. Qual é a derivada de \( f(x) = \sqrt{x} \)? 
 A) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) 
 B) \( \frac{1}{\sqrt{x}} \) 
 C) \( 2\sqrt{x} \) 
 D) \( \sqrt{x^2} \) 
 Resposta: A) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \). Explicação: Aplicando a regra da potência, obtivemos \( 
f'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \) para \( x > 0 \). 
 
22. O que é a função inversa de uma função \( f(x) \)? 
 A) Uma função que mapeia \( f(y) \) em \( x \). 
 B) Uma função que reverte a operação de \( f(x) \). 
 C) Uma função que é sempre crescente. 
 D) Uma função cujos valores são sempre os negativos de \( f(x) \). 
 Resposta: B) Uma função que reverte a operação de \( f(x) \). Explicação: A função inversa \( 
f^{-1}(x) \) é tal que, se \( f(a) = b \), então \( f^{-1}(b) = a \). Isso traz de volta o valor original 
do argumento. 
 
23. Qual é a derivação de \( f(x) = x^5 - 5x + 2 \)? 
 A) \( 5x^4 - 5 \) 
 B) \( 5x^4 + 2 \) 
 C) \( 4x^5 - 5 \) 
 D) \( 6x^4 \) 
 Resposta: A) \( 5x^4 - 5 \). Explicação: Aplicando a regra da potência, temos \( f'(x) = 5x^{4} - 
5\) ao derivar cada termo da função. 
 
24. Qual é o resultado da integral \( \int (5x^4) \, dx \)? 
 A) \( \frac{5}{5} x^5 + C \) 
 B) \( x^5 + C \) 
 C) \( 5x^5 + C \) 
 D) \( 5x^6 + C \) 
 Resposta: B) \( x^5 + C \). Explicação: A integral de \( 5x^{4} \) resulta em \( \frac{5}{5} x^{5} 
+ C = x^{5} + C\). 
 
25. O que é uma função contínua e diferenciável? 
 A) Uma função que tem limites positivos. 
 B) Uma função que pode ser desenhada sem levantar o lápis. 
 C) Uma função que não possui valores negativos. 
 D) Uma função que tem uma derivada definida em todos os pontos. 
 Resposta: D) Uma função que tem uma derivada definida em todos os pontos. Explicação: 
Para ser diferenciável, deve ser contínua e ter uma derivada definida em cada ponto de seu 
domínio, significando que não possui quebras ou saltos. 
 
26. Determine a integral \( \int_1^2 (4x^3) \, dx \). 
 A) \( 6 \) 
 B) \( 8 \) 
 C) \( 10 \) 
 D) \( 12 \) 
 Resposta: B) \( 8 \). Explicação: A antiderivada de \( 4x^3 \) é \( x^4 \). Avaliando a integral 
de 1 a 2, temos \( [2^4 - 1^4] = [16 - 1] = 15 \), e, ao integrar, \( [x^4]_1^2 = 15 \).