pagina LVII

Prévia do material em texto

**Resposta: d) \( 3x^2 \sin(x) + x^3 \cos(x) \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto: \( \frac{d}{dx}(u v) = u'v + uv' \), onde \( u = x^3 
\) e \( v = \sin(x) \). Assim, \( u' = 3x^2 \) e \( v' = \cos(x) \), resultando em \( 3x^2 \sin(x) + x^3 
\cos(x) \). 
 
4. **Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \).** 
 a) 0 
 b) 3 
 c) 1 
 d) Não existe 
 **Resposta: b) 3** 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital. A derivada do numerador é \( 3\cos(3x) \) e a 
do denominador é \( 1 \). Avaliando o limite, obtemos \( \lim_{x \to 0} 3 \cos(3x) = 3 \). 
 
5. **Qual é a série de Taylor de \( \cos(x) \) centrada em \( x=0 \)?** 
 a) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} \) 
 b) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \) 
 c) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{n}}{n!} \) 
 d) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} \) 
 **Resposta: a) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} \)** 
 **Explicação:** A série de Taylor para \( \cos(x) \) é derivada de suas derivadas em \( x=0 \), 
resultando em uma série alternada que envolve apenas potências pares. 
 
6. **Qual é o valor do determinante da matriz \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} 
\)?** 
 a) -2 
 b) 10 
 c) 1 
 d) 7 
 **Resposta: a) -2** 
 **Explicação:** O determinante é calculado como \( ad - bc \) para a matriz \( 
\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \). Aqui, \( 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2 \). 
 
7. **Qual é a integral \( \int_0^\pi \sin(x) \, dx \)?** 
 a) 1 
 b) 0 
 c) 2 
 d) -1 
 **Resposta: c) 2** 
 **Explicação:** A integral de \( \sin(x) \) é \( -\cos(x) \). Avaliando de \( 0 \) a \( \pi \): \( -
\cos(\pi) - (-\cos(0)) = 1 + 1 = 2 \). 
 
8. **Qual é o valor da série geométrica \( \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n \)?** 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta: b) 2** 
 **Explicação:** A soma de uma série geométrica é dada por \( \frac{a}{1-r} \), onde \( a \) é 
o primeiro termo e \( r \) é a razão. Aqui, \( a = 1 \) e \( r = \frac{1}{2} \), resultando em \( 
\frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2 \). 
 
9. **Calcule o valor de \( \frac{d^2}{dx^2}(e^{3x}) \).** 
 a) \( 9e^{3x} \) 
 b) \( 3e^{3x} \) 
 c) \( e^{3x} \) 
 d) \( 6e^{3x} \) 
 **Resposta: a) \( 9e^{3x} \)** 
 **Explicação:** A primeira derivada de \( e^{3x} \) é \( 3e^{3x} \) e a segunda derivada é \( 3 
\cdot 3e^{3x} = 9e^{3x} \). 
 
10. **Qual é a integral \( \int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx \)?** 
 a) \( \ln(\ln(x)) + C \) 
 b) \( \frac{1}{x} + C \) 
 c) \( \frac{\ln(x)}{x} + C \) 
 d) \( x + C \) 
 **Resposta: a) \( \ln(\ln(x)) + C \)** 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = \ln(x) \), então \( du = \frac{1}{x}dx \). A integral 
se transforma em \( \int \frac{1}{u} \, du = \ln(u) + C = \ln(\ln(x)) + C \). 
 
11. **Qual é o resultado de \( \int x^2 e^{x^3} \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{3} e^{x^3} + C \) 
 b) \( \frac{1}{3} e^{x^3} \) 
 c) \( e^{x^3} + C \) 
 d) \( \frac{2}{3} e^{x^3} + C \) 
 **Resposta: a) \( \frac{1}{3} e^{x^3} + C \)** 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^3 \), assim \( du = 3x^2 dx \) ou \( dx = 
\frac{du}{3x^2} \). A integral se transforma em \( \frac{1}{3} \int e^u \, du = \frac{1}{3} e^{x^3} 
+ C \). 
 
12. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 5}{2x^2 - 4} \)?** 
 a) \( \frac{3}{2} \) 
 b) \( \infty \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( -\frac{3}{2} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{3}{2} \)** 
 **Explicação:** O limite é obtido dividindo todos os termos pelo maior grau de \( x^2 \): \( 
\lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{5}{x^2}}{2 - \frac{4}{x^2}} = \frac{3}{2} \). 
 
13. **Qual é a fórmula para calcular a área sob a curva \( y = x^2 \) de \( x=1 \) a \( x=3 \)?** 
 a) \( 8 \) 
 b) \( 10 \) 
 c) \( 12 \) 
 d) \( 6 \) 
 **Resposta: b) \( 10 \)** 
 **Explicação:** A área é dada por \( \int_1^3 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_1^3 = 
\frac{27}{3} - \frac{1}{3} = 9 - \frac{1}{3} = \frac{26}{3} \). 
 
14. **Qual é o resultado de \( \frac{d}{dx}(\ln(x^2 + 1)) \)?** 
 a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 c) \( \frac{2}{x^2 + 1} \) 
 d) \( \frac{2}{x} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia, onde \( u = x^2 + 1 \). Assim, \( \frac{d}{dx}(\ln(u)) 
= \frac{1}{u} \cdot u' = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 
15. **Qual é a integral \( \int \tan(x) \, dx \)?** 
 a) \( -\ln|\cos(x)| + C \) 
 b) \( \ln|\sin(x)| + C \) 
 c) \( \ln|\tan(x)| + C \) 
 d) \( -\ln|\sin(x)| + C \) 
 **Resposta: a) \( -\ln|\cos(x)| + C \)** 
 **Explicação:** A integral de \( \tan(x) \) pode ser escrita como \( \int \frac{\sin(x)}{\cos(x)} 
\, dx \). Usando substituição \( u = \cos(x) \), temos \( -\ln|u| + C = -\ln|\cos(x)| + C \). 
 
16. **Qual é o valor de \( \int_0^1 x e^{x^2} \, dx \)?** 
 a) \( \frac{e - 1}{2} \) 
 b) \( \frac{1}{2}(e - 1) \) 
 c) \( \frac{e^2 - 1}{2} \) 
 d) \( \frac{e}{2} \) 
 **Resposta: b) \( \frac{1}{2}(e - 1) \)** 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^2 \), \( du = 2x \, dx \). Portanto, \( dx = 
\frac{du}{2\sqrt{u}} \). A integral se transforma em \( \frac{1}{2} \int_0^1 e^u \, du = 
\frac{1}{2}(e^1 - e^0) = \frac{1}{2}(e - 1) \). 
 
17. **Qual é o resultado de \( \int_0^1 \frac{1}{x} \, dx \)?** 
 a) 1 
 b) \( \infty \) 
 c) 0