Portfolio Modelagem e Soluções de Problemas

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ENGENHARIA DE PRODUÇÃO ALECSANDRO BOING DACOME - 300312011
PORTFÓLIO
MODELAGEM E SOLUÇÕES DE PROBLEMAS
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Guarulhos
 
2024
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PORTFÓLIO
MODELAGEM E SOLUÇÕES DE PROBLEMAS
Trabalho apresentado ao Curso Modelagem e Solução de Problemas do Centro Universitário ENIAC para a disciplina Modelagem e Soluções de Problemas.
Prof. Lucas Carlos
Aplicação de Razões Trigonométricas
Trigonometria
Trigonometria é parte da geometria plana que estuda a relação entre a medida dos lados e dos ângulos de um triângulo, seja ele retângulo, seja ele um triângulo qualquer.
• Habilidades relacionadas: - Utilizar as razões trigonométricas para calcular o valor do seno, co-seno e tangente, dos ângulos de 30°, 45° e 60° 
• Pré-requisitos: - Identificar os lados de um triângulo retângulo; saber utilizar o transferidor e régua para efetuar medições; efetuar cálculos com números reais; reconhecer triângulos semelhantes, saber aplicar o Teorema de Pitágoras.
• Objetivo: - Relembrar os conceitos de semelhança de triângulos. Compreender o conceito de razões trigonométricas nos triângulos retângulos e as suas principais propriedades. Perceber que os valores das razões trigonométricas dependem exclusivamente do ângulo.
Exemplos:
É o cálculo realizado para descobrir o comprimento de um prédio.
	
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Guarulhos 2024
Aplicação do Triângulo Retângulo na Engenharia
 
Podemos perceber por aí que o triângulo é a figura geométrica mais utilizada em construções. Isso se deve essencialmente ao fato de que o triângulo é uma figura rígida, isto é, não se deforma, o que é necessário ao fabricarmos casas e demais estruturas.
Mas porque os triângulos são tão utilizados na construção civil e na engenharia?
Esses cálculos, assim como o uso de triângulos (figura geométrica de três lados) são indispensáveis na construção de estruturas, pois permitem que os engenheiros construam de maneira segura suas obras. O triângulo é usado em estruturas leves que estão sujeitas a forças de compressão e tração, por exemplo.
É um polígono e possui rigidez em sua forma?
É isso mesmo! O triângulo é o único polígono rígido. Essa propriedade da rigidez do triângulo é muito utilizada em estruturas metálicas, no madeiramento do telhado das casas (a chamada tesoura), nas estruturas das pontes, torres, etc., Além disso, o triângulo é o único polígono convexo que não possui diagonal.
O que são figuras rígidas?
É uma figura que não se deforma.
Qual é o significado da palavra triângulo?
Polígono de três lados e três ângulos.
Em resumo a matemática é utilizada pelos profissionais da engenharia, para medir comprimentos, áreas, ângulos, fazer cálculos de custos de materiais que serão utilizados, entre outros.
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Guarulhos
 
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Vetores e Operações Vetoriais
As operações com vetores são as operações algébricas que podem ser realizadas com os valores das grandezas vetoriais.
As operações com vetores são as operações algébricas que podem ser realizadas com os valores das grandezas vetoriais. Graficamente, os vetores são setas, como a que está demonstrada na imagem anterior, representando visualmente as grandezas vetoriais e indicando seu módulo, direção e sentido, as três características dessas grandezas. A imagem anterior mostra um homem correndo e, acima dele, o vetor velocidade v⃗ �→, que possui módulo igual a 5 m/s, direção horizontal e sentido positivo para a direita.
No cálculo vetorial é levado em conta se os vetores envolvidos estão ou não na mesma direção e se são perpendiculares ou oblíquos. Para cada caso, um tipo de resolução é considerado, porém não se deve tratar apenas de interpretações matemáticas. Os vetores proporcionam interpretações físicas, já que o contexto é muito importante na resolução de cada problema.
Resumo sobre operações com vetores
· Nas operações com vetores, suas características módulo, direção e sentido são fundamentais para os cálculos.
· O módulo é o valor numérico associado ao vetor.
· A direção de um vetor equivale à sua posição no espaço.
· O sentido de um vetor equivale ao ponto para onde ele está direcionado, sendo o responsável por determinar se o vetor é positivo ou negativo.
· Para vetores na mesma direção, utiliza-se o conceito de soma ou subtração comum.
· Para vetores perpendiculares, o cálculo de soma e subtração envolve o teorema de Pitágoras.
· Para vetores oblíquos, a soma ou subtração inclui uma variação da lei dos cossenos: a regra do paralelogramo.
· Para multiplicação ou divisão de um vetor por um número real, basta realizar a operação desejada como o módulo do vetor.
· Para a decomposição de vetores, considera-se a possibilidade de eles serem decompostos em dois outros vetores, na horizontal (componente x) e vertical (componente y).
O que é um vetor?
Um vetor ou grandeza vetorial é uma grandeza física dotada de três características básicas, porém muito importantes: módulo, direção e sentido. Observe as características aplicadas no vetor deslocamento da imagem a seguir.
 
· Módulo: o valor numérico associado ao vetor, geralmente acompanhado de uma unidade de medida. No caso da figura anterior, o módulo do vetor é 8 metros.
· 
· Direção: a posição do vetor no espaço, ou seja, horizontal, vertical ou diagonal. O vetor do exemplo representa um deslocamento na horizontal.
· Sentido: a orientação do vetor, que determina seu sinal. Geralmente, considera-se o sentido para a direita e para cima como positivo e para a esquerda e para baixo como negativo, porém isso pode variar de problema para problema. Para o vetor deslocamento apresentado, o sinal é positivo, já que seu sentido é para a direita.
Operações com vetores
As operações com os vetores são as operações algébricas que podem ser feitas com os valores das grandezas vetoriais, influenciadas não apenas pelo seu módulo, mas também pela sua direção e sentido. O resultado das operações com vetores é chamado de vetor resultante, e a forma de obtê-lo varia de um caso para outro. O sentido físico do vetor resultante é a combinação de dois ou mais vetores.
Soma e subtração de vetores na mesma direção
Quando os vetores estão na mesma direção, considera-se seu módulo e sentido e é feita a operação de soma ou subtração básica, lembrando sempre do jogo de sinais. Quando dois vetores se combinam em uma mesma direção e sentido, o resultante é um vetor de módulo superior aos dos anteriores. Caso os sentidos sejam diferentes, o resultante terá módulo inferior aos originais.
· Exemplo: Considere os quatro vetores da imagem a seguir e calcule a soma entre os vetores A e B e a diferença entre os vetores C e D: 
 
Resolução:
A = 5 m (positivo, por ter sentido para cima)
B = 12 m (positivo, por ter sentido para cima)
C = 8 N (positivo, por ter sentido para a direita)
D = -3 N (negativo, por ter sentido para a esquerda)
RAB = ?
RCD = ?
Primeiramente, foi pedida a soma entre A e B, logo:
RAB=A+B=5+12=17 m���=�+�=5+12=17 �
Depois, foi pedida a diferença entre C e D:
RCD=C−D=8−(−3)=8+3=11 N
Soma e subtração de vetores perpendiculares:
Se os vetores são perpendiculares, isso implica que o ângulo entre eles é reto, ou de 90°. Seria o mesmo que considerar que um vetor está na horizontal e o outro na vertical. Nesse caso, para a soma deles é utilizado o teorema de Pitágoras.
R⃗ =A⃗ +B⃗ →R2=A2+B2
No caso da subtração a regra é a mesma, o que se muda é o vetor resultante.
R⃗ =A⃗ −B⃗ →R⃗ =A⃗ +(−B⃗ )
Observe:Soma e subtração de vetores oblíquos
Para vetores oblíquos, que são aqueles cujos ângulos entre os vetores são diferentes de 0°, 90° ou 180°, o módulo do vetor resultante é obtido utilizando uma variação da lei dos cossenos aprendida na matemática, chamada de regra do paralelogramo.
É importante ressaltar que nessa regra os vetores têm a mesma origem, e o vetor resultante é desenhado entre os vetores originais tendo a mesma posição da partida. 
O vetor resultante terá um módulo maior que os vetores originais, e quanto menor o ângulo entre eles, maior será o modulo do resultante. Na figura a seguir é demonstrada a formação do vetor resultante R, que se origina entre os vetores A e B, posicionados obliquamente.
 
R⃗ =A⃗ +B⃗ →R2=A2+B2+2⋅A⋅B⋅cosθ�→=�→+�→→�2=�2+�2+2⋅�⋅�⋅����
No caso da subtração, a consideração é a mesma que a adotada no teorema de Pitágoras, isto é, acrescenta-se sinal negativo no vetor e conserva-se o sinal da equação.
Exemplo:
· Num um jogo de sinuca, após a tacada inicial, a bola 8 foi acertada simultaneamente pelas bolas 2 e 5, como demonstrado a seguir. Considere a força aplicada pela bola 5 como vetor A com módulo igual a 8 N, a força exercida pela bola 2 como o vetor B de módulo igual a 12 N e que o ângulo entre as forças A e B é igual a 60°. Calcule o módulo do produto 5R, sendo que R é o vetor que representa a força resultante sobre a bola 8.
· Dados: cos 60° = 0,5 e 19−−√≈4
 
Multiplicação e divisão de um vetor por um número real:
Para multiplicação ou divisão de um vetor por um número real, basta apenas realizar a operação desejada como o módulo do vetor. Logo, as demais características dos vetores conservam-se.
Exemplo:
O vetor da imagem a seguir representa a velocidade vetorial de um carro durante uma viagem. Em determinado momento, quando o motorista pisou no acelerador, essa velocidade foi dobrada; quando freou, foi reduzida para um terço da segunda velocidade, e ele e a manteve até chegar ao seu destino. Com qual velocidade o carro findou o seu trajeto?
 
Decomposição de vetores
Os vetores possuem como característica a possibilidade de serem decompostos em dois outros vetores, horizontal (componente x) e vertical (componente y).
· Exemplo:
Um exemplo é o lançamento oblíquo de um objeto.
O vetor velocidade inicial vo que está na diagonal foi decomposto em dois vetores: vox e voy. Considerando o ângulo entre vo e vox e fazendo associação com as relações trigonométricas, a horizontal será o cateto adjacente e a vertical será equivalente ao cateto oposto. Dessa forma, podemos reescrever as componentes da seguinte forma:
vox=vo⋅cos
 voy=vo⋅sen θ
 v2o=v2ox+voy²
Estática de um Ponto Material
Para um corpo estar em movimento retilíneo com velocidade constante ou em repouso, o somatório das forças que agem nele deve ser nulo.
A construção de um prédio deve ser planejada de tal forma que o conjunto de forças (peso, normal..., dentre outras) que age nele deve ter como força resultante um valor nulo; caso isso não aconteça, o prédio pode desabar.
Um ponto material sujeito à ação de várias forças estará em equilíbrio se o somatório dessas forças for zero.
 
Como mostra a figura, temos um ponto material P sob a ação de quatro forças (F1, F2 e F3 e F4).
A decomposição dos vetores facilitará a obtenção do vetor resultante.
Logo, temos na direção x os vetores: F1x, F2x e F3x.
Tal que: F1x = F1 - F2x = F2.cos45° - F3x = F3.cos30°
E na direção y, temos os vetores: F2y, F3y e F4.
Tal que: F2y = F2.sen45° - F3y = F3.sen30° - F4 = F4
Como o ponto material está em equilíbrio, temos que Fr = 0.
Então: Frx = F1x + F2x - F3x = 0
F1 + F2.cos45° - F3.cos30° = 0
F1 + F2.(√2)/2 - F3.(√3)/2 = 0 na direção x – equação 1
Fry = F2y + F3y - F4 = 0
F1 + F2.sen45 - F3.cos30° = 0
F1 + F2..(√2)/2 - F3.(1/2) = 0 na direção y – equação 2
Temos então o somatório das forças na direção x e na direção y, pelo qual chegamos às equações 1 e 2.
Lembrando que nesta circunstância as forças aplicadas foram reduzidas ao plano bidimensional (Ox – Oy), no entanto podem estar em um plano tridimensional (Ox – Ou – Oz).
Equilíbrio do corpo extenso
No estudo das condições de equilíbrio do corpo extenso devemos considerar o equilíbrio de translação e o de rotação.
 
Nas balanças antropométricas, a medida da massa do indivíduo é obtida por meio do equilíbrio de um corpo extenso.
“Ao estudarmos estática, vimos que este é o ramo da Física que se preocupa em investigar as condições sob as quais um corpo fica em equilíbrio”. Pelo fato de serem situações diferentes, estudamos separadamente as condições de equilíbrio para corpos que podem ser tratados como pontos materiais e para corpos que não podem ser assim considerados – nesse caso chamados de corpos rígidos. Nosso objeto de estudo nesse artigo está relacionado ao equilíbrio do corpo extenso.
Podemos então dizer que um corpo é considerado rígido quando as posições das partículas que constituem o corpo não mudam de posição durante o tempo em que ele é estudado. Vamos então considerar que um corpo rígido esteja sujeito à ação de forças sobre um mesmo plano. “Assim, dizemos que esse corpo encontra-se em equilíbrio quando se encontra ao mesmo tempo em equilíbrio de rotação e translação.”
“A fim de garantir o equilíbrio do corpo extenso rígido sujeito a um sistema de forças, devemos impor algumas condições simultâneas”. 
Vejamos abaixo quais são essas condições:
A primeira condição é que a resultante dos sistemas de forças deve ser nula, ou seja, a força resultante que atua no sistema do corpo rígido deve ser igual a zero, assim temos:
 "Equilíbrio de translação"
 
 
A segunda condição é que a soma algébrica dos momentos das forças do sistema, em relação a um polo arbitrário deve ser nula. Isto é:"
 
Momento de uma força
Momento de uma força, também conhecido como torque, é a medida de quanto uma força que age em um objeto faz com que ele gire.
 
As forças aplicadas sobre o corpo tendem a fazer com que ele gire.
“Quando temos um corpo sujeito à ação de forças de resultante não nula, o corpo pode adquirir tanto movimento de rotação quanto movimento de translação, isso ocorrendo ao mesmo tempo”. Sendo assim, podemos definir o momento de uma força como sendo uma grandeza associada ao fato de uma força fazer com que um corpo (ou objeto) gire.
Vamos considerar a figura acima, onde o objeto está sujeito à ação de duas forças. O ponto P na figura é chamado de polo e foi determinado aleatoriamente. Definimos momento de uma força em relação a um polo como sendo o produto da força (em módulo, isto é, considerando o valor positivo independentemente se o objeto gira no sentido horário ou anti-horário) pela distância entre o polo e o ponto de aplicação da força (ou linha de ação da força aplicada).
O sinal adotado associa-se ao momento de cada força a fim de identificar se a força provoca no corpo um giro (rotação) no sentido horário ou no sentido anti-horário. Sendo assim, tomando como base a figura acima, vemos que a linha de ação de F1 está a uma distância d1 do polo e a linha de ação de F2 está a uma distância d2 do polo. Definimos o momento das forças F1 e F2 da seguinte maneira:
 
"Na situação descrita usamos o sinal positivo para a tendência que o objeto tem de girar no sentido anti-horário e o sinal negativo é usado para representar que o objeto tende a girar no sentido horário. No Sistema Internacional de Unidades, a unidade de medida que caracteriza o momento de uma força é newton x metro (N.m).
F – newton (N)
d – metro (m)
M – newton x metro – N.m"
"Momento resultante"
"O momento resultante em relação a um determinado polo é igual à soma algébrica dos momentos de todas as forças aplicadas no objeto, em relação ao mesmopolo."
 
Referências:
Link: https://www.todamateria.com.br/razoes-trigonometricas/
Link: https://matematicando.net.br/porque-o-triangulo-e-muito-usado-na-construcao-civil/
Link: https://mundoeducacao.uol.com.br/fisica/operacoes-com-vetores.htm3
Link: https://mundoeducacao.uol.com.br/fisica/estatica-um-ponto-material.htm
Link: https://brasilescola.uol.com.br/fisica/equilibrio-corpo-extenso.htm
Link: https://brasilescola.uol.com.br/fisica/momento-uma-forca.htm
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