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Análise de Fourier
Um Livro Colaborativo
26 de julho de 2022
Organizadores
Esequia Sauter - UFRGS
Fabio Souto de Azevedo - UFRGS
ii
Licença
Este trabalho está licenciado sob a Licença Creative Commons Atribuição-
CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada. Para ver uma cópia desta licença,
iii
Nota dos organizadores
Estamos escrevendo este livro de forma colaborativa desde 2011 e, recente-
mente, decidimos por abrir a colaborações externas. Nosso objetivo é produzir
um material didático em nível de graduação de excelente qualidade e de acesso
livre pela colaboração entre professores e alunos de universidades, institutos de
educação e demais interessados na análise, estudo e aplicação das transformadas
integrais nos mais diversos ramos da ciência e da tecnologia.
O sucesso do projeto depende da colaboração! Edite você mesmo o livro, dê
sugestões ou nos avise de erros e imprecisões. Toda a colaboração é bem vinda.
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iv
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https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
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Prefácio
Este livro busca abordar os tópicos de um curso moderno de transformadas
de Laplace oferecido a estudantes de matemática, física, engenharias e outros. A
ênfase é colocada na formulação e resolução de problemas e interpretação de re-
sultados. Estudam-se a propriedades da transformada de Laplace e seu uso na
resolução de equações diferenciais. Evita-se sempre que possível o uso de conheci-
mentos de variável compleza. Pressupõe-se que o estudante domine conhecimentos
e habilidades típicas desenvolvidas em cursos de graduação de cálculo, álgebra li-
near e equações diferenciais.
v
Sumário
Organizadores ii
Licença iii
Nota dos organizadores iv
Prefácio v
1 Introdução 1
2 Revisão de números complexos e funções trigonométricas 3
2.1 Funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Números complexos e fórmula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Séries de Fourier 13
3.1 Funções periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Representações da série de Fourier e diagramas de espectro 27
4.1 Forma harmônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Forma exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3 Diagramas de espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5 Propriedades das Séries de Fourier 36
5.1 Teorema de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2 Fenômeno de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6 Transformada de Fourier 41
6.1 Passagem do discreto para o contínuo . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.2 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
vi
SUMÁRIO vii
7 Representações da transformada de Fourier e diagramas de espectro 47
7.1 Forma trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.2 Diagramas de espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
8 Propriedades da transformada de Fourier 52
8.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8.2 O teorema de Parseval e o princípio da Incerteza . . . . . . . . . . . 65
8.3 Passagem do contínuo para o discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8.4 Aplicação: Sinais Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9 Equações diferenciais parciais 75
9.1 Equação do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.2 Equação do calor com termo fonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9.3 Equação da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.4 Vibrações livres transversais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
A Tabelas 84
Respostas dos Exercícios 87
Referências Bibliográficas 104
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Capítulo 1
Introdução
Já pensou em como é poderosa a ferramenta da representação? Transmissão de
calor, música, sinais elétricos, posicionamento terrestre por satélite, criptografia,
análise combinatória, televisão, rádio, monitoramento do nível do mar. O que
todas essas coisas têm em comum? Todas elas podem ser representadas por um
conceito que vamos introduzir neste capítulo: Séries e Transformadas de Fourier.
Elas permitem analisar fenômenos periódicos e não periódicos, o que possibilita
uma vasta gama de aplicações e interpretações de grandezas da natureza. No
século XVIII, auge do Iluminismo, a busca pelas leis que regem a natureza teve
um de seus momentos mais intensos. Houve uma série de avanços em todos os
ramos da ciência. Porém, na Mecânica houve uma especial intensidade: era o
momento em que máquinas térmicas estavam sendo apresentadas e termômetros
aperfeiçoados. Uma das grandes discussões da época girava em torno do como
determinar a propagação de calor em corpos sólidos. É neste contexto que Jean
Joseph Baptiste Fourier (1768-1830) inicia seus estudos sobre a transmissão de
calor, com o grande diferencial de que sua análise ignorava a natureza do calor,
ou seja, observou exclusivamente a propagação. A equação da condução do calor
foi obtida por meio de equações diferenciais parciais e a solução foi desenvolvida
através de séries trigonométricas. A apresentação de séries como solução para
problemas de contorno foi uma grande quebra de paradigma na época. Pois existia
o consenso em caracterizar uma função f(x) se, e somente se, f(x) pudesse ser
representada por uma expressão bem comportada, ou seja, sem descontinuidade,
vértices, lacunas, cúspides, diferenciável em todo intervalo, etc. Porém Fourier
afirmava que gráficos com descontinuidades podia ser representado através de séries
trigonométricas, e portanto deviam ser considerados funções de fato. Após a morte
de Fourier, Dirichlet enunciou um teorema que apresenta as condições suficientes
para uma função possuir representação em Série de Fourier. Tal teorema ficou
conhecido como as condições de Dirichlet para que uma função periódica possa
ter uma representação em formato de séries de Fourier. O grande diferencial das
1
2 Análise de Fourier
séries de Fourier, comparado à séries de potências, em dadas circunstâncias, é que a
primeira tem sua convergência válida para todo o domínio da função. Atualmente,
a Análise de Fourier possui aplicações em diversas áreas do conhecimento (teoria
de comunicação, sinais e sistemas por exemplo).
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Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
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Capítulo 2
Revisão de números complexos e
funções trigonométricas
2.1 Funções trigonométricas
Definição 2.1.1. Dado um número real θ, 0 ≤ θ < π
2
, seno de θ (sen (θ)) é
definido pelo número real associado ao triângulo retângulo de ângulos θ rad, π
2
− θ
rad e π
2
rad como a razão do cateto oposto ao ângulo θ e a hipotenusa. O cosseno
é a razão do cateto adjacente ao ângulo θ e a hipotenusa.
Definição 2.1.2. (Extensão das funções trigonométricas)
a) Dado um número real θ, 0 ≤ θ < 2π, as funções trigonométricas são esten-
didas da seguinte forma:
cos(θ) = − cos(π − θ) se θ ∈
(
π
2
,π
]
sen (θ) = sen (π − θ) se θ ∈
(
π
2
,π
]
cos(θ) = − cos(θ −π) se θ ∈
[
π,
3π
2
)
sen (θ) = − sen (θ − π) se θ ∈
[
π,
3π
2
)
cos(θ) = cos(2π − θ) se θ ∈
(3π
2
,2π
]
sen (θ) = − sen (2π − θ) se θ ∈
(3π
2
2π
]
3
4 Análise de Fourier
b) A extensão para todos os números reais se dá pela periodicidade:
cos(θ + 2kπ) = cos(θ), k ∈ Z
sen (θ + 2kπ) = sen (θ), k ∈ Z
Definição 2.1.3. Dado um número real θ, 0 ≤ θ < 2π, define-se tangente de θ
por
tan(θ) =
sen (θ)
cos(θ)
, θ 6= π
2
e θ 6= 3π
2
,
secante de θ por
sec(θ) =
1
cos(θ)
, θ 6= π
2
e θ 6= 3π
2
,
cossecante de θ por
csc(θ) =
1
sen (θ)
, θ 6= 0 e θ 6= π
e cotangente de θ por
cot(θ) =
cos(θ)
sen (θ)
, θ 6= 0 e θ 6= π.
Proposição 2.1.1. Dado x, y ∈ R, valem as seguintes afirmações:
a) sen 2(x) + cos2(x) = 1
b) sen (x + y) = sen (x) cos(y) + sen (y) cos(x)
c) sen (x − y) = sen (x) cos(y) − sen (y) cos(x)
d) sen (2x) = 2 sen (x) cos(x)
e) cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sen (y) sen (x)
f) cos(x − y) = cos(x) cos(y) + sen (y) sen (x)
g) cos(2x) = cos2(x) − sen 2(x)
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2.1. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 5
h) tan(x + y) = tan(x)+tan(y)
1−tan(x) tan(y)
, x 6= π
2
+ kπ, k ∈ Z.
i) As séries de Taylor do seno e cosseno são dadas por
sen (x) =
∞∑
k=0
(−1)kx2k+1
(2k + 1)!
= x − x3
3!
+
x5
5!
− · · · (2.1)
cos(x) =
∞∑
k=0
(−1)kx2k
(2k)!
= 1 − x2
2!
+
x4
4!
− · · · (2.2)
Exercícios
E 2.1.1. Relacione A e θ com os valores conhecidos de B e C que satisfazem
a identidade
A cos(x − θ) = B cos(x) + C sen (x), ∀x ∈ R (2.3)
sabendo que 0 ≤ θ < 2π e A ≥ 0.
E 2.1.2. Encontre A e θ com A ≥ 0 e 0 ≤ θ < 2π tal que
a) A cos(x − θ) = 3 cos(x) + 4 sen (x)
b) A cos(x − θ) = 3 cos(x) − 4 sen (x)
c) A cos(x − θ) = −3 cos(x) + 4 sen (x)
d) A cos(x − θ) = −3 cos(x) − 4 sen (x)
e) A cos(x − θ) = sen (x)
f) A cos(x − θ) = 2 cos(x)
g) A cos(x − θ) = −2 cos(x)
E 2.1.3. Deduza as seguintes identidades trigonométricas
a) cos(x) cos(y) = cos(x+y)+cos(x−y)
2
b) sen (x) sen (y) = cos(x−y)−cos(x+y)
2
c) sen (x) cos(y) = sen (x+y)+sen (x−y)
2
E 2.1.4. Calcule as seguintes integrais onde n e m são inteiros não negativos.
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6 Análise de Fourier
a)
∫ 2π
0 sen (nx)2dx
b)
∫ 2π
0 sen (nx) sen (mx)dx, n 6= m
c)
∫ 2π
0 cos(nx)2dx
d)
∫ 2π
0 cos(nx) cos(mx)dx, n 6= m
e)
∫ 2π
0 sen (nx) cos(mx)dx
2.2 Números complexos e fórmula de Euler
Definição 2.2.1. Um número complexo é definido pelo par ordenado (a,b) de
números reais que satisfazem as seguintes operações de adição e multiplicação:
(a1,b1) + (a2,b2) = (a1 + a2,b1 + b2)
(a1,b1) · (a2,b2) = (a1a2 − b1b2,a1b2 + a2b1).
O conjunto dos números complexos é denotado por C.
Observação 2.2.1. (Números complexos)
a) Os números complexos da forma (a,0) são identificados com os números reais
(a,0) ≡ a.
b) O número complexo (0,1) é chamado de unidade imaginária e denotada por
i. Observe que i2 = −1
c) Os números complexos da forma z = (a,b) são rotineiramente denotados na
sua forma retangular por z = a + bi, onde a é a parte real de z (Re (z) = a
) e b é a parte imaginária de z (Im (z) = b ).
d) A representação geométrica do número z = a + bi no plano complexo é dada
por um plano cartesiano onde um eixo marca a parte real e o outro marca a
parte imaginária (veja figura 2.1).
Definição 2.2.2. Dado um número complexo z = a + bi, definimos módulo de
z (|z|) por |z| =
√
a2 + b2. Também definimos argumento θ para z 6= 0 como
qualquer solução do sistema
cos(θ) =
a√
a2 + b2
, (2.4)
sen (θ) =
b√
a2 + b2
. (2.5)
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2.2. NÚMEROS COMPLEXOS E FÓRMULA DE EULER 7
Observe que este sistema possui infinitas soluções. Ademais, se θ1 e θ2 são duas
soluções, então diferem por um múltiplo inteiro de 2π, isto é, θ1 − θ2 = 2nπ, n
inteiro.
Observe que uma possível solução, com −π
2
< θ ≤ 3π
2
é dada por
θ =



tan−1
(
b
a
)
se a > 0
π
2
se a = 0 e b > 0
3π
2
se a = 0 e b < 0
tan−1
(
b
a
)
+ π se a < 0
(2.6)
Se desejamos π
2
≤ θ < π
2
, podemos usar a seguinte expressão:
θ =



tan−1( b
a
) se a > 0,
tan−1( b
a
) + π se a < 0 e b ≥ 0,
tan−1( b
a
) − π se a < 0 e b < 0,
+π
2
se a = 0 e b > 0,
−π
2
se a = 0 e b < 0,
(2.7)
A representação geométrica de |z| e θ está na figura 2.1.
Im
Re
a
b
θ
|z| =
√
a2 + b2
Figura 2.1:
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8 Análise de Fourier
Definição 2.2.3. A forma trigonométrica de um número complexo z = a + bi é
z = |z| (cos(θ) + i sen (θ)) , (2.8)
onde |z| =
√
a2 + b2 é o módulo de z e θ satisfazendo a = |z| cos(θ) e b = |z| sen (θ)
é o argumento.
Exemplo 2.2.1. Para escrever o número z = 2 − 2i na forma trigonométrica,
calculamos o módulo |z| =
√
22 + (−2)2 = 2
√
2 e o argumento, que satisfaz
sen (θ) = − 2
2
√
2
= −
√
2
2
e cos(θ) = 2
2
√
2
=
√
2
2
, ou seja, θ = 7π
4
. Logo, z =
2
√
2
(
cos
(
7π
4
)
+ i sen
(
7π
4
))
.
Definição 2.2.4. Dado z ∈ C, definimos exponencial de z por
ez = 1 + z +
z2
2!
+
z3
3!
+
z4
4!
+ · · · = 1 +
∞∑
k=1
zk
k!
(2.9)
Proposição 2.2.1. (Fórmula de Euler) Dado θ ∈ R, vale a identidade
eiθ = cos(θ) + i sen (θ). (2.10)
Demonstração. De fato,
eiθ = 1 + iθ +
(iθ)2
2!
+
(iθ)3
3!
+
(iθ)4
4!
+
(iθ)5
5!
+ · · ·
= 1 + iθ − θ2
2!
− i
θ3
3!
+
θ4
4!
+ i
θ5
5!
+ · · ·
= 1 − θ2
2!
+
θ4
4!
+ · · · + i
(
θ − θ3
3!
+
θ5
5!
+ · · ·
)
= cos(θ) + i sen (θ)
Definição 2.2.5. A forma exponencial de um número complexo z = a + bi é
z = |z|eiθ, (2.11)
onde |z| =
√
a2 + b2 é o módulo de z e θ satisfazendo a = |z| cos(θ) e b = |z| sen (θ)
é o argumento.
Exemplo 2.2.2. Para escrever o número z = 2 − 2i na forma exponencial, calcu-
lamos o módulo |z| = 2
√
2 e o argumento θ = 7π
4
e escrevemos z = 2
√
2ei 7π
4 .
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2.2. NÚMEROS COMPLEXOS E FÓRMULA DE EULER 9
Exemplo 2.2.3. Mostre que
sen (θ) =
eiθ − e−iθ
2i
(2.12)
e
cos(θ) =
eiθ + e−iθ
2
(2.13)
Observe que pela fórmula de Euler vale
eiθ = cos(θ) + i sen (θ) (2.14)
e
e−iθ = cos(θ) − i sen (θ). (2.15)
A diferença das equações (2.14) e (2.15) nos dá a expressão para o seno e a soma
delas nos dá a expressão para o cosseno.
Exemplo 2.2.4. Para calcular cos2(θ) usando as expressões do problema 2.2.3
fazemos o seguinte:
cos2(θ) =
(
eiθ + e−iθ
2
)2
=
(
eiθ
)2
+ 2eiθe−iθ +
(
e−iθ
)2
4
=
2 + e2iθ + e−2iθ
4
=
1 + e2iθ+e−2iθ
2
2
=
1 + cos(2θ)
2
Exercícios
E 2.2.1. Escreva os seguintes números complexos na forma exponencial. Cal-
cule também o complexo conjugado de cada um. Represente-os no plano complexo
e identifique no gráfico as partes real e complexa, o argumento e o módulo.
a) 2 + 3i
b) −2 + 3i
c) 3 − 4i
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10 Análise de Fourier
d) −3 − 4i
e) 4
f) 5i
g) −5
h) −4i
E 2.2.2. Escreva os seguintes números complexos na forma retangular. Represente-
os no plano complexo e identifique no gráfico as partes real e complexa, o argu-
mento e o módulo.
a) e5πi
b) e3πi+2
c) 4e2πi
d) 2e
π
2 i+1e−2
e) 4e− π
4 i
f) 5e
π
4 i
E 2.2.3. Calcule e escreva na forma retangular.
a) (2 − 3i)(4 + 2i) − eiπ(2i + 1)
b)
(√
2
2
+ i
√
2
2
)3
c) 3−2i
−1+i
d) 5+5i
3−4i
+ 20
4+3i
e) 3i30−i19
2i−1
E 2.2.4. Mostre a identidade
[cos(θ1) + i sen (θ1)] · [cos(θ2) + i sen (θ2)] = cos(θ1 + θ2) + i sen (θ1 + θ2) (2.16)
diretamente a partir das identidades trigonométricas para soma de ângulos.
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2.2. NÚMEROS COMPLEXOS E FÓRMULA DE EULER 11
E 2.2.5. Use aidentidade anterior e o princípio da indução matemática para
mostrar a fórmula de De Moivre:
[cos(θ) + i sen (θ)]n = cos(nθ) + i sen (nθ) (2.17)
E 2.2.6. Use a identidade anterior para calcular a razão
1
[cos(θ) + i sen (θ)]n
= cos(nθ) − i sen (nθ) (2.18)
sem usar a exponencial complexa.
E 2.2.7. Repita os três problemas anteriores usando a exponencial complexa
dada por
eiθ = cos(θ) + i sen (θ). (2.19)
E 2.2.8. Calcule
a)
cos(π
4 )+i sen (π
4 )
cos(π
6 )+i sen (π
6 )
b)
[
cos
(
π
4
)
+ i sen
(
π
4
)] [
cos
(
π
6
)
+ i sen
(
π
6
)]3
E 2.2.9. Mostre as seguintes identidades:
sen 3θ =
3
4
sen θ − 1
4
sen 3θ
cos4 θ =
1
8
cos 4θ +
1
2
cos 2θ +
3
8
Dica: Expresse as funções trigonométricas em termos de exponenciais e use o
binômio de Newton
E 2.2.10. Use o binômio de Newton para verificar que as funções sen n(t) e
cosn(t) podem ser escritas na forma
a0
2
+
n∑
k=1
[ak cos(kt) + bk sen (kt)] (2.20)
E 2.2.11. Entenda e familiarize-se com as seguintes identidades e observe a
primeira identidade implica todas as outras:
a) eix = cos(x) + i sen (x).
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12 Análise de Fourier
a) e−ix = cos(x) − i sen (x).
c) |eiθ| = 1, ∀θ ∈ R.
d) eiθ = e−iθ, ∀θ ∈ R.
e) |ez| = eRe (z).
f) cos(x) = eix+e−ix
2
g) sen (x) = eix−e−ix
2i
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Capítulo 3
Séries de Fourier
Neste capítulo, apresentamos o conceito de Série de Fourier de uma função
periódica f(t) e apresentamos exemplos de expansão. A brevidade da apresentação
se deve ao fato que esperamos que o estudante já tenha tido um contato prévio
com o conceito.
3.1 Funções periódicas
Definição 3.1.1. Uma função f : R → R é dita periódica de período T (também
chamada de T-periódica) se existe uma constante positiva T tal que
f(t) = f(t + T ) (3.1)
para todo t ∈ R.
Observação 3.1.1. Se uma função f é periódica de período T , então, f também
é periódica de período nT onde n ∈ N, já que
f(t) = f(t + T ) = f(t + 2T ) = f(t + 3T ) = · · · = f(t + nT ). (3.2)
Exemplo 3.1.1. As funções f(t) = sen (t) e g(t) = cos(t) são periódicas de
período 2π.
Exemplo 3.1.2. A função constante f(t) = 1 é periódica e admite qualquer T > 0
como período.
Definição 3.1.2. Algumas funções periódicas admitem um menor período, cha-
mado de período fundamental. A frequência fundamental é então dada por ff = 1
T
e a frequência angular fundamental é dada por wf = 2π
T
.
Proposição 3.1.1. O período fundamental das funções f(t) = sen (wt) e g(t) =
cos(wt) é 2π
w
.
13
14 Análise de Fourier
Demonstração. Para provar isso, supomos que T é um período de f(t), isto é,
f(t + T ) = f(t) para todo t. Em especial, para t = 0, temos:
sen (wT ) = sen (0) = 0. (3.3)
Logo, wT = nπ, onde n é um natural positivo. Observe que π
w
não pode ser o
período fundamental, pois tomando t = π
2w
, temos
1 = sen
(
w
(
π
2w
))
6= sen
(
w
(
π
2w
+
π
w
))
= −1. (3.4)
Como, por construção do círculo trigonométrico, temos:
sen
(
w
(
t +
2π
w
))
= sen (wt + 2π) = sen (wt), (3.5)
então 2π
w
é o período fundamental. Observe que w é a frequência angular funda-
mental. Um raciocínio análogo vale para g(t).
Exemplo 3.1.3. Vamos calcular o período fundamental da função f(t) = sen (w1t)+
sen (w2t). Ambas as parcelas que compõem f(t) são periódicas, com períodos
T1 = 2π
w1
n e T2 = 2π
w2
m, onde n e m são inteiros positivos. A função f(t) é perió-
dica se existirem m e n tais que T1 = T2, ou seja, 2π
w1
n = 2π
w2
m. Isso implica em
w2
w1
= m
n
. Essa identidade só é possível se w1
w2
for racional, pois m e n são inteiros.
Por exemplo,
i) se w1 = 2
3
e w2 = 3
2
, então 3/2
2/3
= 9
4
= m
n
e os menores inteiros positivos que
satisfazem a identidade são m = 9 e n = 4. Logo, o período fundamental
da função f(t) = sen
(
2
3
t
)
+ sen
(
3
2
t
)
é 2π
2/3
· 4 = 12π e a frequência angular
fundamental é 2π
12π
= 1
6
;
ii) se w1 =
√
3 e w2 =
√
4
3
, então
√
4/3√
3
= 2
3
= m
n
e os menores inteiros positivos
que satisfazem a identidade são m = 2 e n = 3. Logo, o período fundamental
da função f(t) = sen
(√
3t
)
+sen
(√
4
3
t
)
é 2π√
3
·3 = 6π√
3
e a frequência angular
fundamental é
√
3
3
;
iii) a função f(t) = sen (2t) + sen (πt) não é periódica, pois não existem inteiros
positivos n e m que satisfazem 2
π
= m
n
.
Teorema 3.1.1. Se f(t) é uma função integrável T -periódica, então o valor da
integral definida dentro de um período não depende do ponto inicial, isto é:
∫ x+T
x
f(t)dt (3.6)
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3.1. FUNÇÕES PERIÓDICAS 15
não depende do valor x. Em especial, vale a identidade:
∫ T
0
f(t)dt =
∫ T/2
−T/2
f(t)dt. (3.7)
Demonstração. Primeiro, escrevemos x
T
= n + α, isto é, como um número inteiro
n mais uma parte fracionária α ∈ [0,1) e concluímos que podemos escrever x =
nT + y, onde y = αT , isto é 0 ≤ y < T .
I :=
∫ x+T
x
f(t)dt =
∫ (n+1)T +y
nT +y
f(t)dt
=
∫ (n+1)T
nT +y
f(t)dt +
∫ (n+1)T +y
(n+1)T
f(t)dt
Inserimos a mudança de variáveis t = nT + u e t = (n + 1)T + v:
I =
∫ T
y
f(u + nT )du +
∫ y
0
f(v + (n + 1)T )dv (3.8)
Da periodicidade, temos que f(u) = f(u + nT ) e f(v) = f(v + (n + 1)T ):
I =
∫ T
y
f(u)du +
∫ y
0
f(v)dv
=
∫ y
0
f(v)dv +
∫ T
y
f(u)du
Como u e v são variáveis mudas, as integrais envolvidas podem ser escritas em
termos de t da seguinte forma:
I =
∫ y
0
f(t)dt +
∫ T
y
f(t)dt
=
∫ T
0
f(t)dt
Exercícios
E 3.1.1. Verifique as seguintes afirmações são verdadeiras e justifique:
1. A soma de funções periódicas é uma função periódica.
2. Toda função periódica possui uma representação em série de Fourier.
3. Séries de Fourier convergentes são contínuas.
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16 Análise de Fourier
4. Seja f(x) uma função real ímpar, então f(0) = 0.
5. Seja f(x) uma função real par, então f(0) = 0.
6. Seja f(x) uma função real ímpar diferenciável, então f ′(0) = 0.
7. Seja f(x) uma função real par diferenciável, então f ′(0) = 0.
8. Seja f(x) uma função real par diferenciável, então f ′(x) é uma função ímpar.
9. Seja f(x) uma função real ímpar diferenciável, então f ′(x) é uma função par.
10. Seja f(x) uma função real par integrável, então
∫ x
0 f(s)ds é uma função
ímpar.
11. Seja f(x) uma função real ímpar integrável, então
∫ x
0 f(s)ds é uma função
par.
12. A única função real par e ímpar é a função f(x) = 0.
13. Toda função real pode ser escrita de forma única como a soma de uma função
ímpar e outra par.
E 3.1.2. Identifique a paridade das seguintes funções. Verifique quais delas
são periódicas.
1. f(x) = sen (x2).
2. f(x) = sen 2(x).
3. f(x) = cos(x) + esen (x)
4. f(x) = cos(πx) + esen (x)
5. f(x) = 2
6. f(x) = (sen (x) + cos(x) + 1)5
7. f(x) = (cos(2x) + 1)7
8. f(x) = sen 2(πx) + cos(πx)
9. f(x) = sen (x) cos(x)
10. f(x) = sen (1 + cos(x))
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3.2. SÉRIES DE FOURIER 17
E 3.1.3. Seja f(t) um função periódica integrável de período T e F (t) =
∫ t
0 f(τ)dτ . Encontre uma condição necessária e suficiente para que F (t) seja pe-
riódica de período T .
E 3.1.4. Encontre a frequência angular fundamental das seguintes funções
periódicas:
a) f(t) = sen (πt)
b) cos2(πt)
c) cos3(πt)
d) ecos(t)
e) cos(2t) + cos(4t)
f) cos(2t) + sen (3t)
h) cos(6t) + sen (10t) + sen (15t)
i) 2 + cos(3t)
3.2 Séries de Fourier
Definição 3.2.1. Seja T > 0, definimos polinômio trigonométrico de grau N uma
função do tipo:
f(t) =
a0
2
+
N∑
n=1
[an cos(wnt) + bn sen (wnt)] (3.9)
onde wn = 2πn
T
.
Definição 3.2.2. Seja T > 0, definimos série trigonométrica toda função do tipo:
f(t) =
a0
2
+
∞∑
n=1
[an cos(wnt) + bn sen (wnt)] (3.10)
onde wn= 2πn
T
.
Exemplo 3.2.1. Mostre que T é um período para séries e polinômios trigonomé-
tricos acima definidos.
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18 Análise de Fourier
Teorema 3.2.1 (Relações de ortogonalidade). As funções trigonométricas admi-
tem as seguintes relações de ortogonalidade:
∫ T
0
sen
(2πnt
T
)
sen
(2πmt
T
)
dt =



0, n 6= m
T
2
, n = m 6= 0
(3.11a)
∫ T
0
cos
(2πnt
T
)
cos
(2πmt
T
)
dt =



0, n 6= m
T
2
, n = m 6= 0
T, n = m = 0
(3.11b)
∫ T
0
cos
(2πnt
T
)
sen
(2πmt
T
)
dt = 0 (3.11c)
aqui n e m são inteiros não negativos.
Demonstração. Para obter (3.11a), usamos a seguinte identidade trigonométrica:
sen (a) sen (b) =
cos(a − b) − cos(a + b)
2
(3.12)
com a = 2πnt
T
e b = 2πmt
T
, isto é:
sen
(2πnt
T
)
sen
(2πmt
T
)
=
cos
(
2π(n−m)t
T
)
− cos
(
2π(n+m)t
T
)
2
(3.13)
Se n = m 6= 0, temos:
∫ T
0
sen
(2πnt
T
)
sen
(2πmt
T
)
dt =
1
2
∫ T
0
[
1 − cos
(4πnt
T
)]
dt =
T
2
(3.14)
Se n 6= m, temos:
∫ T
0
sen
(2πnt
T
)
sen
(2πmt
T
)
dt =
1
2
∫ T
0
[
cos
(
2π(n − m)t
T
)
− cos
(
2π(n + m)t
T
)]
dt = 0
(3.15)
Para obter (3.11b), usamos a seguinte identidade trigonométrica:
cos(a) cos(b) =
cos(a − b) + cos(a + b)
2
(3.16)
com a = 2πnt
T
e b = 2πmt
T
, isto é:
cos
(2πnt
T
)
cos
(2πmt
T
)
=
cos
(
2π(n−m)t
T
)
+ cos
(
2π(n+m)t
T
)
2
(3.17)
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3.2. SÉRIES DE FOURIER 19
Se n = m 6= 0, temos:
∫ T
0
cos
(2πnt
T
)
cos
(2πmt
T
)
dt =
1
2
∫ T
0
[
1 + cos
(4πnt
T
)]
dt =
T
2
(3.18)
Se n 6= m, temos: Caso n = m = 0, então cos
(
2πnt
T
)
= 1, isto é:
∫ T
0
cos
(2πnt
T
)
cos
(2πmt
T
)
dt =
∫ T
0
1dt = T (3.19)
Para obter (3.11c), usamos a seguinte identidade trigonométrica:
cos(a) sen (b) =
sen (a + b) + sen (a − b)
2
(3.20)
com a = 2πnt
T
e b = 2πmt
T
, isto é:
cos
(2πnt
T
)
sen
(2πmt
T
)
=
sen
(
2π(n+m)t
T
)
+ sen
(
2π(n−m)t
T
)
2
(3.21)
E integrando conforme feito para os casos anteriores, temos o resultado.
Teorema 3.2.2. Seja f(t) uma função definida por uma série trigonométrica da
forma
f(t) =
a0
2
+
∞∑
n=1
[an cos(wnt) + bn sen (wnt)] (3.22)
Então sob determinadas hipóteses de convergência, os coeficientes an e bn são
dados pelas seguintes expressões:
a0 =
2
T
∫ T
0
f(t)dt =
2
T
∫ T/2
−T/2
f(t)dt (3.23a)
an =
2
T
∫ T
0
f(t) cos(wnt)dt =
2
T
∫ T/2
−T/2
f(t) cos(wnt)dt (3.23b)
bn =
2
T
∫ T
0
f(t) sen (wnt)dt =
2
T
∫ T/2
−T/2
f(t) sen (wnt)dt (3.23c)
onde wn = 2πn
T
.
Demonstração. Multiplicamos a equação (3.22) por cos(wmt) e obtemos
cos(wmt)f(t) =
a0
2
cos(wmt) +
∞∑
n=1
[an cos(wnt) cos(wmt) + bn sen (wnt) cos(wmt)] .
(3.24)
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20 Análise de Fourier
Seguimos integrando em [0,T ] e temos:
∫ T
0
cos(wmt)f(t)dt =
∫ T
0
a0
2
cos(wmt)dt +
∞∑
n=1
[
an
∫ T
0
cos(wnt) cos(wmt)dt
+ bn
∫ T
0
sen (wnt) cos(wmt)dt
]
.
Pelo teorema 3.2.1, se m 6= n, as parcelas do lado direito são nulas. A única parcela
não nula é aquela onde m = n. Supondo m = n 6= 0, temos:
∫ T
0
cos(wmt)f(t)dt = am
T
2
, (3.25)
onde obtemos a expressão (3.23b). Supondo m = n = 0, obtemos a expressão
(3.23a). Um argumento análoga para calcular bn.
Observação 3.2.1. Observe que como cos(0) = 1, a fórmula de an com n = 0
recai na fórmula para a0.
Definição 3.2.3. Seja f(t) uma função T -periódica integrável em [0,T ]. Defini-
mos como a série de Fourier associada à função f , a série trigonométrica cujos
coeficientes são dados por (3.23).
Observe que a série de Fourier de uma função f(t) não é necessariamente igual
a função f(t). De fato, não se pode se quer garantir que a série de Fourier associada
a uma função integrável seja convergente. Estas questões teóricas fogem do escopo
do nosso curso e são normalmente tratadas em cursos de análise matemática (veja,
por exemplo, [?], [?] e [?]).
Teorema 3.2.3. Seja f uma função periódica de período T , suave por partes e
descontínua no máximo em um número finito de saltos dentro de cada intervalo,
então a série de Fourier converge em cada ponto t para
f(t+) + f(t−)
2
, (3.26)
onde f(t+) e f(t−) são os limites laterais à direita e à esquerda, respectivamente.
Observe que nos pontos t onde f(t) é contínua, então f(t+) = f(t−) e a série de
Fourier converge para f(t).
Exemplo 3.2.2. Seja f(t) uma função dada por
f(t) = |t|, −1 ≤ t < 1
f(t + 2) = f(t), ∀t ∈ R.
Essa função é suave por partes e contínua em todos os pontos. Portanto se aplica
o teorema 3.2.3.
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3.2. SÉRIES DE FOURIER 21
1
1 2 3 4−1
y = f(t)
t
Observamos que essa é uma função par, ou seja, f(t) = f(−t). A fim de explorar
essa simetria, utilizaremos as fórmulas (3.23) envolvendo integrais simétricas, isto
é,
a0 =
2
T
∫ T/2
−T/2
f(t)dt
an =
2
T
∫ T/2
−T/2
f(t) cos(wnt)dt
bn =
2
T
∫ T/2
−T/2
f(t) sen (wnt)dt
onde T = 2 e wn = 2πn
T
= πn. Logo,
a0 =
∫ 1
−1
|t|dt = 2
∫ 1
0
tdt = 2
[
t2
2
]1
0
= 1
an =
∫ 1
−1
|t| cos(πnt)dt = 2
∫ 1
0
t cos(πnt)dt
= 2
[
t sen (πnt)
πn
]1
0
− 2
∫ 1
0
sen (πnt)
πn
dt
= 2
[
t sen (πnt)
πn
+
cos(πnt)
π2n2
]1
0
= 2
(−1)n − 1
π2n2
bn =
∫ 1
−1
|t| sen (πnt)dt = 0.
onde se usou que |t|, |t| cos(πnt) são funções pares em t e |t| sen (πnt) é ímpar em
t. Assim, temos
f(t) =
1
2
− 4
π2
(
cos(πt) +
1
32
cos(3πt) +
1
52
cos(5πt) + · · ·
)
(3.27)
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22 Análise de Fourier
Observe que, quando t = 0, obtemos como subproduto da série de Fourier da f(t)
a soma da seguinte série numérica:
1 +
1
32
+
1
52
+ · · · =
π2
8
. (3.28)
A figura 3.1 apresenta os gráficos da série que representa a função f(t) com um
termo, dois termos e três termos.
1
1 2 3 4−1
t
Figura 3.1: Gráficos de f0(t) = 1
2
(azul), f1(t) = 1
2
− 4
π2 cos(πt) (verde) e f2(t) =
1
2
− 4
π2
(
cos(πt) + 1
32 cos(3πt)
)
(vermelho).
Exemplo 3.2.3. Seja g(t) uma função dada por
g(t) = −1, −1 < t < 0
g(t) = 0, t = 0 ou t = 1
g(t) = 1, 0 < t < 1
g(t + 2) = g(t), ∀t ∈ R.
Essa função é suave por partes e contínua em todos os pontos exceto por saltos
nos inteiros, onde a função vale a média aritmética dos limites laterais. Portanto
se aplica o teorema 3.2.3. Observamos que essa é uma função ímpar, ou seja,
f(t) = −f(−t). Novamente, utilizaremos as fórmulas (3.23) envolvendo integrais
simétricas:
a0 =
∫ 1
−1
g(t)dt = 0
an =
∫ 1
−1
g(t) cos(πnt)dt = 0
bn =
∫ 1
−1
g(t) sen (πnt)dt = 2
∫ 1
0
g(t) sen (πnt)dt = 2
∫ 1
0
sen (πnt)dt
=
2
πn
[− cos(πnt)]10 = 2
1 − (−1)n
πn
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3.2. SÉRIES DE FOURIER 23
1
−1
1 2 3 4−1
y = g(t)
t
Logo,
g(t) =
4
π
(
sen (πt) +
1
3
sen (3πt) +
1
5
sen (5πt) + · · ·
)
. (3.29)
A figura 3.2 apresenta os gráficos da série que representa a função g(t) com um
termo, dois termos, três termos e quatro termos.
1
−1
1 2 3 4−1
t
Figura 3.2: Gráficos de g0(t) = 4
π
sen (πt) (azul), g1(t) = 4
π
(
sen (πt) + 1
3
sen (3πt)
)
(verde), g2(t) = g(t) = 4
π
(
sen (πt) + 1
3
sen (3πt) + 1
5
sen (5πt)
)
(vermelho) e
g3(t) = g(t) = 4
π
(
sen (πt) + 1
3
sen (3πt) + 1
5
sen (5πt) + 1
7
sen (7πt)
)
(preto).
Exemplo 3.2.4. Seja h(t) uma função dada por
f(t) = t, 0 < t < 1
f(t) =
1
2
, t = 1
f(t + 1) = f(t), ∀t ∈ R.
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24 Análise de Fourier
Essa função é suave por partes e contínua exceto por salto nos inteiros onde h(t)
assume o valor médio dos limites laterais. Portantose aplica o teorema 3.2.3.
Utilizaremos as fórmulas (3.23) envolvendo integrais no intervalo [0,1], isto é,
1
1 2 3 4−1
y = h(t)
t
a0 = 2
∫ 1
0
tdt = 2
[
t2
2
]1
0
= 1
an = 2
∫ 1
0
t cos(2πnt)dt = = 2
[
t sen (2πnt)
2πn
]1
0
− 2
∫ 1
0
sen (2πnt)
2πn
dt
= 2
[
t sen (2πnt)
2πn
+
cos(2πnt)
4π2n2
]1
0
= 0
bn = 2
∫ 1
0
t sen (2πnt)dt = = 2
[
−t cos(2πnt)
2πn
]1
0
+ 2
∫ 1
0
cos(2πnt)
2πn
dt
= 2
[
−t cos(2πnt)
2πn
+
sen (2πnt)
4π2n2
]1
0
= − 1
πn
Logo,
h(t) =
1
2
− 1
π
(
sen (2πt) +
1
2
sen (4πt) +
1
3
sen (6πt) + · · ·
)
. (3.30)
Observação 3.2.2. Os coeficiente bn da série de Fourier de uma função par são
nulos bem como os coeficiente an da série de Fourier de uma função ímpar também
o são.
Exemplo 3.2.5. Demonstre a observação 3.2.2.
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3.2. SÉRIES DE FOURIER 25
Exercícios
E 3.2.1. Considere a função periódica de período T dada na região (−T/2,T/2)
por
f(t) =



0, −T/2 ≤ t < −d/2,
1, −d/2 ≤ t ≤ d/2,
0, d/2 < t ≤ T/2.
(3.31)
onde d é uma constante entre 0 e T . Estude a paridade desta função. Encontre
sua representação em série de Fourier.
E 3.2.2. Calcule a soma da série
f(t) =
∞∑
n=0
bn sen (nt) (3.33)
onde 0 < b < 1 e mostre que
f(t) =
b sen (t)
1 − 2b cos(t) + b2
. (3.34)
Com base neste resultado, obtenha o valor da integral definida dada por
∫ 2π
0
b sen (t) sen (kt)
1 − 2b cos(t) + b2
dt. (3.35)
E 3.2.3. Considere a função periódica de período T dada para −T/2 < t <
T/2 por
f(t) =



t, |t| ≤ d/2,
0, d/2 < |t| < T/2,
(3.36)
onde 0 < d ≤ T . Calcule sua representação em série de Fourier. Estude o caso
particular d = T . Dica:
∫
u cos(u)du = cos(u) + u sen (u) + C e
∫
u sen (u)du =
sen (u) − u cos(u) + C
E 3.2.4. Trace o gráfico e obtenha a representação em série de Fourier das
seguintes funções:
a) f(t) = | sen (πt)|
b) g(t) =
∑∞
n=−∞ δ(t − nT ) onde T > 0.
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26 Análise de Fourier
E 3.2.5. Use o item a do exercício anterior para obter uma representação em
Série de Fourier da função
h(t) = | cos(πt)|. (3.37)
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Capítulo 4
Representações da série de
Fourier e diagramas de espectro
No capítulo anterior, vimos que uma função periódica pode ser representa
como uma série trigonométrica. No entanto, sobretudo em aplicações em Física e
Engenharia, a série de Fourier é apresentada em outras formas, a forma harmônica
(ou amplitude-fase) e a forma exponencial. Neste capítulo veremos como construir
estas representações e introduziremos o conceito de diagramas de espectro de uma
função periódica.
4.1 Forma harmônica
A forma harmônica, também chamada de forma amplitude-fase, da série de
Fourier de uma função f(t) é dada conforme a seguir:
f(t) = A0 +
∞∑
n=1
An cos(wnt − θn), (4.1)
onde wn = 2πn
T
, An são constantes não negativas chamadas de amplitude e θn são
ângulos de fase. Para relacionar esta representação com a forma trigonométrica,
usamos a identidade trigonométrica
cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sen (a) sen (b), (4.2)
27
28 Análise de Fourier
com a = wnt e b = θn. Assim temos:
f(t) = A0 +
∞∑
n=1
An cos(wnt − θn)
= A0 +
∞∑
n=1
An [cos(wnt) cos(θn) + sen (wnt) sen (θn)]
= A0
︸︷︷︸
a0/2
+
∞∑
n=1
[An cos(θn)
︸ ︷︷ ︸
an
cos(wnt) + An sen (θn)
︸ ︷︷ ︸
bn
sen (wnt)]
Comparando os termos da representação trigonométrica, temos que:
a0
2
= A0
an = An cos(θn)
bn = An sen (θn)
Observe que
a2
n + b2
n = A2
n (4.3)
e, como An ≥ 0 por hipótese, temos que
An =
√
a2
n + b2
n. (4.4)
Também temos
cos(θn) =
an
√
a2
n + b2
n
sen (θn) =
bn
√
a2
n + b2
n
Observe que sempre é possível converter uma forma na outra e os ângulos de fase
estão unicamente definidos em cada volta do ciclo trigonométrico.
Exemplo 4.1.1. Considere um função periódica (T = 4) dada pelo gráfico Os
coeficientes de Fourier são dados por
a0
2
=
1
4
∫ 4
0
f(t)dt =
1
4
∫ 1
0
1dt =
1
4
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4.1. FORMA HARMÔNICA 29
1
−1
1 2 3 4 5 6−1
y = f(t)
t
an =
2
4
∫ 4
0
f(t) cos(wnt)dt =
1
2
∫ 1
0
cos
(
πn
2
t
)
dt
=
1
πn
[
sen
(
πn
2
t
)]1
0
=



0, n par
1
πn
(−1)
n−1
2 n ímpar
bn =
2
4
∫ 4
0
f(t) sen (wnt)dt =
1
2
∫ 1
0
sen
(
πn
2
t
)
dt
=
1
πn
[
− cos
(
πn
2
t
)]1
0
=



1
πn
, n ímpar
1
πn
(
1 − (−1)
n
2
)
n par
Para escrever a forma harmônica da série de Fourier da função f(t) calculamos as
amplitudes An e as fases θn. Para n = 0, temos a0 = 1
2
e, portanto, A0 = a0
2
= 1
4
.
Para n = 1, temos a1 = b1 = 1
π
e, consequentemente, A1 =
√
1
π2 + 1
π2 =
√
2
π
e
θ1 = π
4
. Os cálculos foram repetidos de forma análoga para n = 2, 3, 4 e 5 e
apresentados na tabela 4.1. Portanto,
f(t) =
1
4
+
1
π
[√
2 cos
(
π
2
t − π
4
)
+ cos
(
πt − π
2
)
+
+
√
2
3
cos
(3π
2
t − 3π
4
)
+
√
2
5
cos
(5π
2
t − π
4
)
+ · · ·
]
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30 Análise de Fourier
4.2 Forma exponencial
A forma exponencial de uma série de Fourier é obtida quando se substiuem as
funções trigonométricas sen (wnt) e cos(wnt) por suas representações em termos
de exponenciais complexos, isto é
cos(wnt) =
eiwnt + e−iwnt
2
e sen (wnt) =
eiwnt − e−iwnt
2i
(4.5)
f(t) =
a0
2
+
∞∑
n=1
an cos(wnt) +
∞∑
n=1
bn sen (wnt)
=
a0
2
+
∞∑
n=1
an
(
eiwnt + e−iwnt
2
)
+
∞∑
n=1
bn
(
eiwnt − e−iwnt
2i
)
Reagrupando os termos e usando o fato que 1
i
= −i, temos:
f(t) =
a0
2
+
∞∑
n=1
an − ibn
2
eiwnt +
∞∑
n=1
an + ibn
2
e−iwnt (4.6)
Agora observamos que as definições 3.23 dadas por
a0 =
2
T
∫ T
0
f(t)dt =
2
T
∫ T/2
−T/2
f(t)dt
an =
2
T
∫ T
0
f(t) cos(wnt)dt =
2
T
∫ T/2
−T/2
f(t) cos(wnt)dt
bn =
2
T
∫ T
0
f(t) sen (wnt)dt =
2
T
∫ T/2
−T/2
f(t) sen (wnt)dt
Embora estas expressões estejam definadas apenas para n > 0, elas fazem sentidos
para qualquer n inteiro. Neste caso, valem as seguintes identidades:
a−n = an, b−n = −bn b0 = 0. (4.7)
onde se usou que w−n = 2π(−n)
T
= −2πn
T
= −wn e a paridade das funções cos-
seno e seno. Estendendo estas definições para qualquer inteiro, introduzimos os
coeficientes Cn dados por:
Cn =
an − ibn
2
(4.8)
Observe que estes coeficientes estão definidos para para número inteiro n, assim
temos:
C0 =
a0 − ib0
2
=
a0
2
(4.9)
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4.2. FORMA EXPONENCIAL 31
e
C−n =
a−n − ib−n
2
=
an + ibn
2
(4.10)
Substituindo estas expressões para C0, Cn e C−n em (4.6), obtemos:
f(t) = C0 +
∞∑
n=1
Cneiwnt +
∞∑
n=1
C−ne−iwnt
Escrevemos agora esta última expressão em um único somatório:
f(t) =
∞∑
n=−∞
Cneiwnt (4.11)
onde se usou que w−n = 2π(−n)
T
= −2πn
T
= −wn Observamos também que os
coeficientes Cn podem ser escritos das seguinte forma mais enxuta:
Cn =
an − ibn
2
=
1
T
∫ T
0
f(t) [cos(wnt) − i sen (wnt)] dt
=
1
T
∫ T
0
f(t)e−iwntdt =
1
T
∫ T/2
−T/2
f(t)e−iwntdt
Exemplo 4.2.1. A função f(t) dada no exemplo 3.2.2 pode ser escrita na forma
exponencial com os seguintes coeficientes:
C0 =
a0
2
=
1
2
(4.12)
Cn =
an − ibn
2
=
2 (−1)n−1
π2n2 + 0
2
=
(−1)n − 1
π2n2
, n 6= 0 (4.13)
Exemplo 4.2.2. A função g(t),
g(t) =
4
π
(
sen (πt) +
1
3
sen (3πt) +
1
5
sen (5πt) + · · ·
)
, (4.14)
calculada no exemplo 3.2.3 pode ser escrita na forma exponencial com os seguintes
coeficientes:
C0 =
a0
2
= 0 (4.15)
e
Cn =
an − ibn
2
=
0 − i21−(−1)n
πn
2
= i
(−1)n − 1
πn
, n 6= 0. (4.16)
Logo,
g(t) = · · ·+ 2i
5π
e−5iπt +
2i
3π
e−3iπt +
2i
π
e−iπt − 2i
π
eiπt − 2i
3π
e3iπt − 2i
5π
e5iπt −· · ·, (4.17)
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32 Análise de Fourier
Exercícios
E 4.2.1. Mostre que se f(t) =
∑∞
n=−∞ Cneiwnt é uma função real, então
C−n = Cn. Em especial, |C−n| = |Cn|.
4.3 Diagramas de espectro
Diagramas espectro são representações gráficas dos coeficientes de Fourier Cn
associados a uma função periódica f(t). Como os coeficientes Cn são números
complexos, é comum representá-los na forma de módulo e fase, isto é:
Cn = |Cn|eiφn . (4.18)
O ângulo de fase assim definido coincide com o conceito de argumento do número
Cn.
Exemplo 4.3.1. A função
f(t) = −1 + 2 cos(t) + 4 sen (2t) (4.19)
é periódica com periodo fundamental 2π e pode ser escrita na forma exponencial
da seguinte forma:
f(t) = −1 + 2
(
eit + e−it
2
)
+ 4
(
e2it − e−2it
2i
)
= 2ie−2it + e−it − 1 + eit − 2ie2it
Assim, identificamos cinco coeficientes não nulos:
C−2 = 2i = 2e
iπ
2 =⇒ |C−2| = 2, φ−2 = π
2
C−1 = 1 =⇒ |C−1| = 1, φ−1 = 0
C0 = −1 = 1eπ =⇒ |C0| = 1, φ0 = π
C1 = 1 =⇒ |C1| = 1, φ1 = 0
C2 = −2i = 2e
−iπ
2 =⇒ |C2| = 2, φ2 = −π
2
Os digramas de espectro de amplitude e fase são dados a seguir:
Exemplo 4.3.2. As primeiras raias do digrama de espectro da função do exemplo
4.2.2,
g(t) = · · ·+ 2i
5π
e−5iπt +
2i
3π
e−3iπt +
2i
π
e−iπt − 2i
π
eiπt − 2i
3π
e3iπt − 2i
5π
e5iπt −· · · , (4.20)
são dados na figura a seguir
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4.3. DIAGRAMAS DE ESPECTRO 33
1
2
1 2 3−1−2−3
|Cn|
wn
1 2 3−1−2−3
φn
wn
π
2
−π
2
π
−π
−5π −4π −3π −2π −π π 2π 3π 4π 5π
2
π
|Cn|
wn
−5π −4π −3π −2π −π
π 2π 3π 4π 5π
φn
wn
π
2
−π
2
π
−π
Exercícios
E 4.3.1. Esboce os diagramas de amplitude e fase do espectro das seguintes
funções periódicas:
a) f(t) = sen (t)
b) f(t) = 3 cos(πt)
c) f(t) = 1 + 4 cos(πt)
d) f(t) = 2 cos2(2πt)
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34 Análise de Fourier
e) f(t) = 8 sen 3(2πt) + 2 cos(6πt)
f) f(t) = sen (2πt) + cos(3πt)
Observação: Considere a fase φ no intervalo −π < φ ≤ π
E 4.3.2. Esboce os diagramas de amplitude e fase do espectro, indicando
pelo menos as cinco primeiras raias positivas e negativas, das seguintes funções
periódicas:
a) f(t) =
∑∞
n=−∞
eiπnt
n2+1
b) f(t) =
∑∞
n=1
sen (nt)
n2
E 4.3.3. Esboce os diagramas de espectro das séries de Fourier dos problemas
3.2.4 e 3.2.5 da página 25.
E 4.3.4. Mostre que se f(t) é um deslocamento no tempo de g(t), isto é,
f(t) = g(t − k), então os coeficiente de Fourier Cf
n da função f e Cg
n da função
g são iguais em módulo e, portanto, possuem o mesmo diagrama de espectro de
amplitude.
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4.3. DIAGRAMAS DE ESPECTRO 35
n an bn An θn
0 1
2
0 1
4
1 1
π
1
π
√
2
π
π
4
2 0 1
π
1
π
π
2
3 − 1
3π
1
3π
√
2
3π
3π
4
4 0 0 0
5 1
5π
1
5π
√
2
5π
π
4
Tabela 4.1:
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Capítulo 5
Propriedades das Séries de
Fourier
5.1 Teorema de Parseval
Definição 5.1.1. Define-se a potência média de um função periódica f(t) como
P f =
1
T
∫ T
0
|f(t)|2dt (5.1)
Exemplo 5.1.1. A potência média da função f(t) = A cos(wt) é dada por
P f =
1
T
∫ T
0
|f(t)|2dt
=
1
T
∫ T
0
A2 cos
(2π
T
t
)2
dt
=
A2
T
∫ T
0


cos
(
4π
T
t
)
+ 1
2

 dt
=
A2
2
onde se usou que w = 2π
T
e identidade trigonométrica dada por:
cos2(x) =
(
eix + e−ix
2
)2
=
e2ix + 2 + e−2ix
4
=
cos(2x) + 1
2
. (5.2)
Exemplo 5.1.2. Seja V (t) = A cos(wt) uma fonte de tensão com frequência w =
60Hz = 120πrad/s ligado a um resistor de resitência RΩ. A potência no resistor é
P (t) =
V (t)2
R
(5.3)
36
5.1. TEOREMA DE PARSEVAL 37
e a potência média Pm é
Pm =
1
T
∫ T
0
P (t)dt =
1
T
∫ T
0
V (t)2
R
dt, (5.4)
onde T = 1
60
s. Por outro lado, a potência média é calculada em termos da tensão
média por
Pm =
V 2
m
R
, (5.5)
ou seja,
V 2
m =
1
T
∫ T
0
V (t)2dt. (5.6)
O exemplo 5.1.1 nos dá o valor da potência média do sinal V (t) = A cos(wt). Logo,
Vm =
A√
2
. (5.7)
Se Vm = 127V , então a amplitude do sinal é aproximadamente A ≈ 180.
Observação 5.1.1. Na expressão (5.6), Vm também é chamado de valor RMS do
sinal v(t) (Root mean square):
VRMS =
√
1
T
∫ T
0
V (t)2dt. (5.8)
Teorema 5.1.1 (Teorema de Parseval). Seja f(t) uma função periódica represen-
tável por uma série de Fourier, então vale a seguinte identidade.
1
T
∫ T
0
|f(t)|2dt =
∞∑
n=−∞
|Cn|2. (5.9)
Demonstração.
1
T
∫ T
0
|f(t)|2dt =
1
T
∫ T
0
f(t)f(t)dt
Como f(t) =
∞∑
n=−∞
Cneiwnt, temos
f(t) =
∞∑
n=−∞
Cneiwnt =
∞∑
n=−∞
Cn eiwnt =
∞∑
n=−∞
Cne−iwnt
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38 Análise de Fourier
Substituindo esta expressão para f(t) na definição de potência média, temos:
1
T
∫ T
0
|f(t)|2dt =
1
T
∫ T
0
f(t)f(t)dt =
1
T
∫ T
0
f(t)
[ ∞∑
n=−∞
Cne−iwnt
]
dt
=
1
T
∞∑
n=−∞
[
Cn
∫ T
0
f(t)e−iwntdt
]
Como Cn = 1
T
∫ T
0 f(t)e−iwntdt, temos:
1
T
∫ T
0
|f(t)|2dt =
∞∑
n=−∞
CnCn =
∞∑
n=−∞
|Cn|2
Exemplo 5.1.3. Seja g(t) um função dada no exemplo 3.2.3, isto é,
g(t) = −1, −1 < t < 0
g(t) = 0, t = 0 ou t = 1
g(t) = 1, 0 < t < 1
g(t + 2) = g(t), ∀t ∈ R.
Vimos no exemplo 3.2.3 que sua expansão em série de Fourie é da forma:
1
−1
1 2 3 4−1
y = g(t)
t
g(t) =
4
π
(
sen (πt) +
1
3
sen (3πt) +
1
5
sen (5πt) + · · ·
)
. (5.10)
Calcularemos agora a potência média desta função através de sua representação
no tempo e depois em frequência:
Pf =
1
T
∫ T
0
|g(t)|2dt =
1
2
∫ 2
0
|g(t)|2dt =
1
2
∫ 2
0
1dt = 1
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5.1. TEOREMA DE PARSEVAL 39
Alternativamente, temos pelo Teorema de Parseval:
Pf =
∞∑
n=−∞
|Cn|2 =
∞∑
n=−∞
∣
∣
∣
∣
∣
an − ibn
2
∣
∣
∣
∣
∣
2
=
1
4
∞∑
n=−∞
|bn|2
Como b−n = bn, temos que |b−n| = |bn| e ainda temos que b0 = 0, portanto:
Pf =
1
2
∞∑
n=1
|bn|2 =
1
2
( 4
π
)2 (
1 +
1
32
+
1
52
+
1
72
+ · · ·
)
usando a equação (3.28) da página 22, temos:
Pf =
1
2
( 4
π
)2 π2
8
= 1
Exercícios
E 5.1.1. Dado o diagrama de espectro de amplitude de uma função periódica
f(t), marque as alternativas que representam, respectivamente, o módulo do valor
médio e a potência média da função
(∣
∣
∣
1
T
∫ T
0 f(t)dt
∣
∣
∣ e 1
T
∫ T
0 |f(t)|2dt
)
.
1
2
3
1 2 3−1−2−3
|Cn|
wn
Valor Médio
a) 0
b) 0.5
c) 1
d) 1.5
e) 2
f) 2.5
g) 3
Potência Média
a) 11.5
b) 10
c) 8.5
d) 6
e) 4.5
f) 3
g) 0.5
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40 Análise de Fourier
5.2 Fenômeno de Gibbs
A convergência das somas parciais da série de Fourier de uma função suave por
partes em torno de um salto apresenta oscilações cujas amplitudes não convergem
para zero. A convergência ponto a ponto acontece, mas se olharmos para o valor
absoluto da diferença entre a função e soma parcial sempre encontramos um ponto
onde esse valor é aproximadamente 8,9% da amplitude do salto. Esse fenômeno é
chamado de Fenômeno de Gibbs
1
−1
1 2 3 4−1
y = g(t)
t
1
0.1 0.2 0.3 0.4
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Capítulo 6
Transformada de Fourier
A série de Fourier é uma ferramenta para representar funções periódicas. Como
os problemas de interesse podem envolver funções não periódicas, neste capítulo
definiremos uma representação para essas funções que possuem interpretação como
extensão do conceito de série de Fourier.
6.1 Passagem do discreto para o contínuo
Podemos construir uma representação em séries de Fourier para um função
f(t) não-periódicasempre que nos restringimos a um intervalo finito [−T/2,T/2],
isto é, construímos a função fT (t) T-periódica que coincide com f(t) no intervalo
citado:
fT (t) = f(t), −T/2 ≤ t < T/2
fT (t + T ) = fT (t), ∀t ∈ R
(6.1)
Exemplo 6.1.1. Considerando a função f(t) = e−|t|, definimos funções fT (t) como
na equação (6.1) e apresentamos os gráficos de f(t) e fT (t) para T = 2 e T = 4
na figura 6.1. Observe que a função fT (t) carrega consigo informação sobre a
função f(t). Naturalmente, gostaríamos de poder obter o limite T → ∞, a fim de
aproximar fT (t) tanto quando possível de f(t). Como T representa o período da
função fT (t), quando T cresce a frequência fundamental wF descresce. A função
fT (t) possui série de Fourier da forma
fT (t) =
∞∑
n=−∞
Cneiwnt, (6.2)
41
42 Análise de Fourier
y = f(t) = e−|t|
t
y = fT (t), T = 2
t
y = fT (t), T = 4
t
Figura 6.1:
onde
Cn =
1
T
∫ T/2
−T/2
e−|t|e−iwntdt =
1
T
∫ T/2
−T/2
e−|t| (cos(wnt) − i sen (wnt)) dt
=
2
T
∫ T/2
0
e−|t| cos(wnt)dt =
2
T
∫ T/2
0
e−t cos(wnt)dt
=
2
T
[
wn sen (twn) − cos(twn)
w2
n + 1
e−t
]T/2
0
=
2
T
[
wn sen
(
T wn
2
)
− cos
(
T wn
2
)]
e− T
2 + 1
w2
n + 1
=
2
T
[wn sen (nπ) − cos (nπ)] e− T
2 + 1
w2
n + 1
=
2
T
1 − (−1)ne− T
2
w2
n + 1
(6.3)
Observemos os diagramas de especto para fT (t) multiplicado por T quando T = 2,
T = 4 e T = 8 na figura 6.2.
Como a distância entre duas raias espectrais é igual a frequência fundamental
wF = w1, a densidade de raias aumenta, tornando mais densa na reta. A serie de
Fourier da função fT (t) é dada por
fT (t) =
∞∑
n=−∞
Cneiwnt, (6.4)
onde
Cn =
1
T
∫ T/2
−T/2
fT (τ)e−iwnτ dτ =
1
T
∫ T/2
−T/2
f(τ)e−iwnτ dτ. (6.5)
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6.1. PASSAGEM DO DISCRETO PARA O CONTÍNUO 43
1
2
|TCn|
wn
T = 2
π 2π 3π−π−2π−3π
1
2
|TCn|
wn
T = 4
π 2π 3π−π−2π−3π
1
2
|TCn|
wn
T = 8
π 2π 3π−π−2π−3π
Figura 6.2:
Definimos agora a função
FT (w) =
∫ T/2
−T/2
f(τ)e−iwτ dτ (6.6)
e escrevemos fT (t) em termos de FT (w):
fT (t) =
∞∑
n=−∞
1
T
FT (wn)eiwnt
=
∞∑
n=−∞
wF
2π
FT (wn)eiwnt (6.7)
=
∞∑
n=−∞
∆w
2π
FT (wn)eiwnt
=
1
2π
∞∑
n=−∞
FT (wn)eiwnt∆w (6.8)
Observe que a função FT (w) converge para cada frequência w para a função
F (w) =
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdt. (6.9)
Fazendo T → ∞, a soma a direita na equação (6.8) é uma soma de Riemann que
converge para uma integral:
f(t) =
1
2π
∫ ∞
−∞
F (w)eiwtdw, (6.10)
onde
F (w) =
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdt (6.11)
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44 Análise de Fourier
Exemplo 6.1.2. Continuamos com o exemplo 6.1.1. Dada a função f(t) = e−|t|,
podemos escrever
f(t) =
1
2π
∫ ∞
−∞
F (w)eiwtdw, (6.12)
onde
F (w) = lim
T →∞
∫ T/2
−T/2
e−|t|e−iwtdt
= lim
T →∞

2
(−1)ne− T
2 + 1
w2 + 1


=
2
w2 + 1
,
onde usamos a expressão para TCn dada por (6.3). De fato, usando uma tabela
de integrais (ou método dos resíduos), temos
1
2π
∫ ∞
−∞
2
w2 + 1
cos(wt)dw =
1
π
∫ ∞
0
1
w2 + 1
cos(wt)dw (6.13)
= e−|t| (6.14)
6.2 Transformada de Fourier
Definição 6.2.1. Seja f(t) uma função real (ou complexa), define-se a transfor-
mada de Fourier F (w) de f(t) como:
F (w) = F{f(t)} =
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdt. (6.15)
Definição 6.2.2. Seja F (w) uma função real (ou complexa), define-se a transfor-
mada inversa de Fourier f(t) de F (w) como:
f(t) = F−1{F (w)} =
1
2π
∫ ∞
−∞
F (w)eiwtdw. (6.16)
Observação 6.2.1. É costumeiro em Física e Engenharia usar a variável k na
transformada de Fourier de função em x, isto é,
F (k) = F{f(x)} =
∫ ∞
−∞
f(x)e−ikxdx
f(x) = F−1{F (k)} =
1
2π
∫ ∞
−∞
F (k)eikxdk.
Os pares de variáveis t-w e x-k são chamados de pares de variáveis recíprocas. A
letra k é o número de onda, conceito análogo no espaço ao conceito de frequência
angular no tempo, isto é, enquanto w = 2π
T
, k = 2π
λ
, onde λ é o comprimento de
onda.
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6.2. TRANSFORMADA DE FOURIER 45
Exemplo 6.2.1. Seja
f(t) =



eat se t < 0
e−bt se t > 0
(6.17)
onde a e b são constantes positivas. A figura 6.3 mostra o gráfico de f(t) para
a = 1 e b = 3. A transformada de Fourier de f(t) é calculada da seguinte forma:
1
1 2 3−1−2−3
y = f(t)
t
Figura 6.3: Gráfico de f(t) = et, se t < 0 ou f(t) = e−3t se t > 0.
F (w) = F{f(t)} =
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdt
=
∫ 0
−∞
eate−iwtdt +
∫ ∞
0
e−bte−iwtdt
=
∫ 0
−∞
eat (cos(wt) − i sen (wt)) dt +
∫ ∞
0
e−bt (cos(wt) − i sen (wt)) dt
=
∫ ∞
0
e−at (cos(wt) + i sen (wt)) dt +
∫ ∞
0
e−bt (cos(wt) − i sen (wt)) dt
=
a
a2 + w2
+
iw
a2 + w2
+
b
b2 + w2
− iw
b2 + w2
=
a
a2 + w2
+
b
b2 + w2
+ i
(
w
a2 + w2
− w
b2 + w2
)
onde se usou os itens 1 e 2 da tabela A.
Exemplo 6.2.2. Calculamos a transformada de Fourier do delta de Dirac δ(t−a),
a ∈ R da seguinte forma:
F (w) = F{δ(t − a)} =
∫ ∞
−∞
δ(t − a)e−iwtdt
= e−iwa
Exemplo 6.2.3. Considere a função dada por
f(x) =



1 se |x| < ℓ
0 se |x| ≥ ℓ
(6.18)
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46 Análise de Fourier
A transformada de Fourier desta função é dada por:
F (k) =
∫ ∞
−∞
f(x)e−ikxdx =
∫ ℓ
−ℓ
e−ikxdx
=
∫ ℓ
−ℓ
(cos(kx) − i sen (kx)) dx
= 2
∫ ℓ
0
cos(kx)dx
=
2
k
sen (kx)|x=ℓ
x=0 =
2 sen (kℓ)
k
Exercícios
E 6.2.1. Considere a função f(t) = e−atu(t) onde a é uma constante positiva
e u(t) é a função Heaviside. Trace o gráfico de f(t) e obtenha sua transformada
de Fourier (use a = 1 no gráfico).
E 6.2.2. Considere a função f(t) = e−at2
onde a é uma constante positiva.
Trace o gráfico de f(t) e obtenha sua transformada de Fourier (use a = 1 no
gráfico).
E 6.2.3. Calcule a transformada inversa da função F (w) = δ(w −w0) + δ(w +
w0)
E 6.2.4. Calcule a transformada inversa da função F (k) = e−k2
E 6.2.5. Mostre que se f(t) é uma função real par, então sua transformada
de Fourier é uma função real.
E 6.2.6. Mostre que se f(t) é uma função real ímpar, então sua transformada
de Fourier é uma função imaginária.
E 6.2.7. Mostre que se f(t) é uma função real, então sua a parte real da
tranformada de Fourier de f(t) é uma função par e a parte imaginária é ímpar.
E 6.2.8. Calcule a transformada de Fourier da função
f(t) =
∞∑
j=0
δ(t − j)e−j . (6.19)
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Capítulo 7
Representações da transformada
de Fourier e diagramas de
espectro
Neste capítulo apresentaremos as representações da transformada de Fourier e
introduziremos o conceito de diagramas de espectro.
7.1 Forma trigonométrica
A forma exponencial da transformada de Fourier de uma função f(t) foi definida
no capítulo 6 e é dada por
F (w) = F{f(t)} =
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdt. (7.1)
Se f(t) é uma função real, então podemos separar a parte real e imaginária da
transformada de Fourier, conforme a seguir:
F (w) = F{f(t)} =
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdt
=
∫ ∞
−∞
f(t) (cos(wt) − i sen (wt)) dt
=
∫ ∞
−∞
f(t) cos(wt)dt − i
∫ ∞
−∞
f(t) sen (wt)dt
:= A(w) − iB(w),
onde
A(w) =
∫ ∞
−∞
f(t) cos(wt)dt
B(w) =
∫ ∞
−∞
f(t) sen (wt)dt
47
48 Análise de Fourier
Nesses termos, a função f(t) pode ser escrita como:
f(t) =
1
2π
∫ ∞
−∞
F (w)eiwtdw
=
1
2π
∫ ∞
−∞
(A(w) − iB(w)) (cos(wt) + i sen (wt)) dw
=
1
2π
∫ ∞
−∞
(A(w) cos(wt) + B(w) sen (wt)) dw
+
i
2π
∫ ∞
−∞
(A(w) sen (wt) − B(w) cos(wt)) dw
Usando o fato que A(w) é uma função par e B(w) é uma função ímpar, temos:
f(t) =
1
2π
∫ ∞
−∞
(A(w) cos(wt) + B(w) sen (wt)) dw
=
1
π
∫ ∞
0
(A(w) cos(wt) + B(w) sen (wt)) dw
A tabela abaixo compara as formas trigonométrica e exponencial das séries e trans-
formadas de Fourier
Forma exponencial Forma trigonométrica
Série de Fourier f(t) =
∞∑
n=−∞
Cneiwnt f(t) =
a0
2
+
∞∑
n=1
(an cos(wnt) + bn sen (
Transformada de Fourier f(t) =
1
2π
∫ ∞
−∞F (w)eiwtdw f(t) =
1
π
∫ ∞
0
(A(w) cos(wt) + B(w) sen (
(7.2)
Exemplo 7.1.1. Considere a função f(t) = e−atu(t) onde a é uma constante
positiva e u(t) é a função Heaviside. A transformada de Fourier F (w) de f(t) foi
calculada no exercício 6.2.1 da página 46 e é dada por:
F (w) =
a
a2 + w2
− iw
a2 + w2
.
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7.2. DIAGRAMAS DE ESPECTRO 49
Usando representação trigonométrica da transformada de Fourier, temos:
f(t) =
1
π
∫ ∞
0
(A(w) cos(wt) + B(w) sen (wt)) dw,
onde
A(w) =
a
a2 + w2
B(w) =
w
a2 + w2
Exercícios
E 7.1.1. Mostre que a representação trigonométrica da transformada de Fou-
rier F (w) de uma função real f(t) separa-a em parte ímpar e parte par. Isto
é,
1
π
∫ ∞
0
A(w) cos(wt)dw =
f(t) + f(−t)
2
e
1
π
∫ ∞
0
B(w) sen (wt)dw =
f(t) − f(−t)
2
.
E 7.1.2. Mostre que se f(t) é real, F (−w) = F (w).
7.2 Diagramas de espectro
Diagrama de espectro da transformada de Fourier é a representação gráfica da
transformada de Fourier F (w) associadas a uma função f(t). Da mesma forma
como o diagrama de espectro da série de Fourier se divide em amplitude e fase, o
diagrama de espectro da transformada de Fourier se divide em magnitude e fase.
Ou seja, o gráfico de |F (w)| é a diagrama de magnitude e o gráfico de φ(w) é o
diagrama de fase, onde
F (w) = |F (w)|eiφ(w), (7.3)
Exemplo 7.2.1. No exemplo 6.1.1 da página 41 calculamos a transformada de
Fourier da função f(t) = e−|t|:
F (w) =
2
w2 + 1
. (7.4)
O gráfico da magnitude |F (w)| é dado na figura 7.1. Devido o fato de F (w) ser
real, a fase é uma função nula.
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50 Análise de Fourier
|F (w)|
w
Figura 7.1:
Exemplo 7.2.2. O exemplo 7.1.1 da página 48 apresenta a transformada de Fou-
rier da função f(t) = e−atu(t) onde a é uma constante positiva e u(t) é a função
Heaviside:
F (w) =
a
a2 + w2
− iw
a2 + w2
.
Observe que
|F (w)| =
√
(
a
a2 + w2
)2
+
(
w
a2 + w2
)2
=
√
√
√
√
a2 + w2
(a2 + w2)2
=
1√
a2 + w2
e, como a > 0, temos a
a2+w2 > 0. Portanto,
φ(w) = tan−1
(− w
a2+w2
a
a2+w2
)
= − tan−1
(
w
a
)
. (7.5)
A figura 7.2 apresenta o diagrama de espectro de magnitude e fase da transformada
F (w) de f(t) quando a = 1.
Exercícios
E 7.2.1. Calcule a transformada de Fourier e trace o diagrama de espectro da
função f(t) = te−t2
. [Dica: Use integração por partes para transformar a integral
dada numa integral tabelada.
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7.2. DIAGRAMAS DE ESPECTRO 51
|F (w)|
w
1
−1
1 2 3 4 5−1−2−3−4−5
φ(w)
w
π
2
−π
2
Figura 7.2:
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Capítulo 8
Propriedades da transformada de
Fourier
8.1 Propriedades
Teorema 8.1.1 (Linearidade ou superposição). Dadas duas funções f(t) e g(t)
com transformadas de Fourier F (w) e G(w), respectivamente, e α e β duas cons-
tantes reais ou complexas, então
F {αf(t) + βg(t)} = αF{f(t)} + βF{g(t)} = αF (w) + βG(w) (8.1)
Demonstração. O resultado é direto da linearidade da integral:
F {αf(t) + βg(t)} =
∫ ∞
−∞
(αf(t) + βg(t)) e−iwtdt
=
∫ ∞
−∞
αf(t)e−iwtdt +
∫ ∞
−∞
βg(t)e−iwtdt
= α
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdt + β
∫ ∞
−∞
g(t)e−iwtdt
= αF (w) + βG(w)
Exemplo 8.1.1. As transformadas das funções f(t) = e−|t| e g(t) = 1
2
√
π
e− t2
4 são
F (w) = 2
w2+1
e G(w) = e−w2
, respectivamente. Logo,
F {5f(t) − 3g(t)} = 5
2
w2 + 1
− 3e−w2
(8.2)
Teorema 8.1.2 (Transformada da derivada). Dada uma função diferenciável f(t)
tal que
lim
t→±∞
f(t) = 0 (8.3)
52
8.1. PROPRIEDADES 53
e sua transformada de Fourier F (w), então
F{f ′(t)} = iwF (w) (8.4)
Demonstração. De fato, usando integração por partes, temos
F {f ′(t)} =
∫ ∞
−∞
f ′(t)e−iwtdt
=
[
f(t)e−iwt
]∞
−∞
−
∫ ∞
−∞
−iwf(t)e−iwtdt
= iw
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdt
= iwF (w)
Observação 8.1.1. Essa propriedade reflete o fato de que a transformada de
Fourier decompõe a função f(t) em funções do tipo eiwt cuja derivada é iweiwt. De
fato, esta propriedade poderia ter sido deduzida a partir da representação de f(t)
em sua integral de Fourier, isto é:
f(t) =
1
2π
∫ ∞
−∞
F (w)eiwtdw. (8.5)
Diferenciando em t, obtemos
f ′(t) =
1
2π
∫ ∞
−∞
F (w)iweiwtdw =
1
2π
∫ ∞
−∞
[iwF (w)] eiwtdw. (8.6)
Exemplo 8.1.2. Considere a função f(t) = e−at2
, a > 0, e sua transformada de
Fourier (ver exercício 6.2.2 da página 46):
F (w) =
√
π√
a
e− w2
4a (8.7)
Usando a propriedade 8.1.2, a transformada de Fourier da derivada f ′(t) = −2ate−at2
é dada por:
F{−2ate−at2} = iwF (w) = iw
√
π√
a
e− w2
4a . (8.8)
Usando a linearidade, encontramos a transformada de Fourier da função te−at2
:
F{te−at2} = −iw
√
π
2a
√
a
e− w2
4a . (8.9)
Compare com o exercício 7.2.1 da página 50.
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54 Análise de Fourier
Observação 8.1.2. As derivadas de ordem superior são calculadas a partir da
propriedade 8.1.2:
F{f ′′(t)} = F
{
d
dt
(f ′(t))
}
= iwF {f ′(t)}
= (iw)2F {f(t)}
= (iw)2F (w).
De modo geral,
F{f (n)(t)} = (iw)nF (w).
Teorema 8.1.3 (Deslocamento no eixo w). Dada uma função f(t) e sua trans-
formada de Fourier F (w), então
F
{
eatf(t)
}
= F (w + ia). (8.10)
Demonstração. De fato,
F
{
eatf(t)
}
=
∫ ∞
−∞
f(t)eate−iwtdt
=
∫ ∞
−∞
f(t)e(a−iw)tdt
=
∫ ∞
−∞
f(t)e−i(ia+w)tdt
= F (w + ia)
Exemplo 8.1.3. Do exemplo 8.1.2 temos que a transformada de Fourier da função
f(t) = te−at2
, a > 0, é dada por
F (w) = −iw
√
π
2a
√
a
e− w2
4a . (8.11)
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8.1. PROPRIEDADES 55
Logo, a transformada G(w) da função g(t) = tebt−at2
, b > 0, é dada por
G(w) = F
{
tebt−at2
}
= F
{
ebtte−at2
}
= F (w + ib)
= −i(w + ib)
√
π
2a
√
a
e− (w+ib)2
4a
= (b − iw)
√
π
2a
√
a
e− w2+2wib−b2
4a
=
√
w2 + b2e−i arctan(w
b )
√
π
2a
√
a
e− w2−b2
4a e−i(wb
2a )
=
√
w2 + b2
√
π
2a
√
a
e− w2−b2
4a e−i(wb
2a
+arctan(w
b ))
= |G(w)|eiφ(w),
onde
|G(w)| =
√
π
2a
√
a
e− b2
4a
√
w2 + b2e− w2
4a e φ(w) = −
(
wb
2a
+ arctan
(
w
b
))
Veja os diagramas de espectro de G(w) quando a = b = 1 na figura 8.1.
Teorema 8.1.4 (Deslocamento no eixo t). Dada uma função f(t) e sua transfor-
mada de Fourier F (w), então
F {f(t − a)} = e−iawF (w). (8.12)
Demonstração. De fato,
F {f(t − a)} =
∫ ∞
−∞
f(t − a)e−iwtdt
=
∫ ∞
−∞
f(s)e−iw(s+a)ds
=
∫ ∞
−∞
f(s)e−iwae−iwsds
= e−iwa
∫ ∞
−∞
f(s)e−iwsds
= e−iawF (w)
Exemplo 8.1.4. Do exemplo 6.1.1 da página 41 temos que a transformada de
Fourier da função f(t) = e−|t| é dada por F (w) = 2
w2+1
. Logo, a transformada de
Fourier da função g(t) = e−|t−2| é
G(w) =
2
w2 + 1
e−2iw (8.13)
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56 Análise de Fourier
1
|G(w)|
w
1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6
φ(w)
w
π
−π
Figura 8.1:
Observação 8.1.3. Um deslocamento real no tempo não altera o módulo da
transformada de Fourier, pois |e−iaw| = 1 sempre que a e w são reais.
Teorema 8.1.5 (Transformada da integral). Dada uma função integrável f(t) tal
que sua transformada de Fourier F (w) satisfaça F (0) = 0, então
F
{∫ t
−∞
f(τ)dτ
}
=
1
iw
F (w). (8.14)
Demonstração. Definimos g(t) =
∫ t
−∞ f(τ)dτ e, usando o teorema fundamental do
cálculo, temos g′(t) = f(t). Aplicamos a transformada de Fourier na igualdade e
temos:
F{g′(t)} = F{f(t)}, (8.15)
ou seja,
F{g′(t)} = F (w). (8.16)
Observe que
lim
t→∞
g(t) =
∫ ∞
−∞
f(τ)dτ =
∫ ∞
−∞
f(τ)ei·0·τ dτ = F (0) = 0 (8.17)
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8.1. PROPRIEDADES 57
e
lim
t→−∞
g(t) =
∫ −∞
−∞
f(τ)dτ = 0, (8.18)
portanto, podemos usar apropriedade 8.1.2 da transformada de Fourier da deri-
vada e obter:
F{g′(t)} = iwF{g(t)}. (8.19)
Assim,
F (w) = iwF
{∫ t
−∞
f(τ)dτ
}
. (8.20)
Portanto,
F
{∫ t
−∞
f(τ)dτ
}
=
1
iw
F (w). (8.21)
Teorema 8.1.6 (Teorema da modulação). Dada uma função f(t) e sua transfor-
mada de Fourier F (w), então
F {f(t) cos(w0t)} =
1
2
F (w − w0) +
1
2
F (w + w0), (8.22)
para w0 ∈ R.
Demonstração. De fato,
F {f(t) cos(w0t)} = F
{
f(t)
(
eiw0t + e−iw0t
2
)}
=
∫ ∞
−∞
f(t)
eiw0t + e−iw0t
2
e−iwtdt
=
1
2
∫ ∞
−∞
f(t)e−i(w−w0)tdt +
1
2
∫ ∞
−∞
f(t)e−i(w0+w)tdt
=
1
2
F (w − w0) +
1
2
F (w + w0)
Exemplo 8.1.5. Considere a função f(t) = cos(w0t)e−a|t|, a > 0. Podemos obter
a transformada de Fourier de f(t) a partir da transformada de Fourier da função
g(t) = e−a|t|. Basta aplicar o teorema da modulação à função g(t), cuja transfor-
mada de Fourier é dada por G(w) = 2a
w2+a2 :
F {g(t) cos(w0t)} =
1
2
G(w − w0) +
1
2
G(w + w0)
=
1
2
2a
(w − w0)2 + a2
+
1
2
2a
(w + w0)2 + a2
=
a
(w − w0)2 + a2
+
a
(w + w0)2 + a2
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58 Análise de Fourier
Teorema 8.1.7 (Teorema da convolução). Dadas duas funções f1(t) e f2(t) com
suas respectivas transformadas de Fourier, F1(w) e F2(w), então
a) (Convolução no tempo)
F{(f1 ∗ f2)(t)} = F1(w)F2(w), (8.23)
b) (Convolução na frequência)
(F1 ∗ F2)(w) = 2πF{f1(t)f2(t)} (8.24)
ou
F−1{(F1 ∗ F2)(w)} = 2πf1(t)f2(t), (8.25)
onde ∗ indica a convolução de duas funções:
(f1 ∗ f2)(t) =
∫ ∞
−∞
f1(τ)f2(t − τ)dτ (8.26)
Demonstração. a) Usando as definições de transformada de Fourier e convolu-
ção de duas funções, temos:
F{(f1 ∗ f2)(t)} =
∫ ∞
−∞
(f1 ∗ f2)(t)e−iwtdt
=
∫ ∞
−∞
(∫ ∞
−∞
f1(τ)f2(t − τ)dτ
)
e−iwtdt
=
∫ ∞
−∞
[
f1(τ)
∫ ∞
−∞
f2(t − τ)e−iwtdt
]
dτ (8.27)
Uma das integrais pode ser calculada fazendo uma mudança de variável:
∫ ∞
−∞
f2(t − τ)e−iwtdt =
∫ ∞
−∞
f2(s)e−iw(s+τ)ds
= e−iwτ
∫ ∞
−∞
f2(s)e−iwsds
= e−iwτ F2(w) (8.28)
Substituindo a equação (8.28) na equação (8.27), temos
F{(f1 ∗ f2)(t)} =
∫ ∞
−∞
[
f1(τ)
∫ ∞
−∞
f2(t − τ)e−iwtdt
]
dτ
=
∫ ∞
−∞
[
f1(τ)e−iwτ F2(w)
]
dτ
= F2(w)
∫ ∞
−∞
[
f1(τ)e−iwτ
]
dτ
= F1(w)F2(w)
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8.1. PROPRIEDADES 59
b) Analogamente, usando as definições, temos:
F−1{(F1 ∗ F2)(w)} =
1
2π
∫ ∞
−∞
(F1 ∗ F2)(w)eiwtdw
=
1
2π
∫ ∞
−∞
(∫ ∞
−∞
F1(v)F2(w − v)dv
)
eiwtdw
=
1
2π
∫ ∞
−∞
[
F1(v)
∫ ∞
−∞
F2(w − v)eiwtdw
]
dv (8.29)
Também,
∫ ∞
−∞
F2(w − v)eiwtdw =
∫ ∞
−∞
F2(y)ei(y+v)tdy
= eivt
∫ ∞
−∞
F2(y)eiytdy
= 2πeivtf2(t) (8.30)
Substituindo a equação (8.30) na equação (8.29), temos
F−1{(F1 ∗ F2)(w)} =
1
2π
∫ ∞
−∞
[
F1(v)
∫ ∞
−∞
F2(w − v)eiwtdw
]
dv
=
1
2π
∫ ∞
−∞
F1(v)eivt2πf2(t)dv
= f2(t)
∫ ∞
−∞
F1(v)eivtdv
= 2πf1(t)f2(t)
Exemplo 8.1.6. Considere as funções f(t) = te−t2
e g(t) = e−a|t|, a > 0 e suas
respectivas transformadas de Fourier F (w) = −iw
√
π
2
e− w2
4 e G(w) = 2a
w2+a2 . A
transformada de Fourier da função
h(t) =
∫ ∞
−∞
f(t − τ)g(τ)dτ =
∫ ∞
−∞
(t − τ)e−(t−τ)2
e−a|τ |dτ (8.31)
é calculada usando o teorema da convolução e é dada por
H(w) = F (w)G(w) = −iwa
√
π
w2 + a2
e− w2
4 (8.32)
Teorema 8.1.8 (Conjugação). Dada uma função real f(t) e sua transformada de
Fourier F (w), então
F (w) = F (−w) (8.33)
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60 Análise de Fourier
Demonstração. De fato,
F (w) =
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdt
=
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdt, pois f(t) = f(t)
=
∫ ∞
−∞
f(t)eiwtdt
=
∫ ∞
−∞
f(t)e−i(−w)tdt
= F (−w)
Observação 8.1.4. Se f(t) não é uma função real, esta propriedade não se aplica.
Exemplo 8.1.7. Considere as funções f(t) = te−t2
e sua transformada de Fourier
F (w) = −iw
√
π
2
e− w2
4 . Então,
F (−w) = iw
√
π
2
e− w2
4 (8.34)
e
F (w) = −iw
√
π
2
e− w2
4 = iw
√
π
2
e− w2
4 . (8.35)
Teorema 8.1.9 (Inversão temporal). Dada uma função f(t) e sua transformada
de Fourier F (w), então
F {f(−t)} = F (−w). (8.36)
Demonstração.
F {f(−t)} =
∫ ∞
−∞
f(−t)e−iwtdt
procedemos com a mudança de variáveis τ = −t:
F {f(−t)} =
∫ ∞
−∞
f(−t)e−iwtdt
=
∫ −∞
∞
f(τ)eiwτ (−dτ)
=
∫ ∞
−∞
f(τ)eiwτ dτ
=
∫ ∞
−∞
f(τ)e−i(−w)τ dτ
= F (−w)
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8.1. PROPRIEDADES 61
Teorema 8.1.10 (Simetria ou dualidade). Dada uma função f(t) e sua transfor-
mada de Fourier F (w), então
f(−w) =
1
2π
F{F (t)} (8.37)
Demonstração. Da definição de transformada de Fourier, temos
f(t) =
1
2π
∫ ∞
−∞
F (w)eiwtdw (8.38)
Podemos trocas t e w e calcular f(w) em função de F (t):
f(w) =
1
2π
∫ ∞
−∞
F (t)eitwdt. (8.39)
Ou seja,
f(−w) =
1
2π
∫ ∞
−∞
F (t)e−itwdt =
1
2π
F{F (t)}. (8.40)
Teorema 8.1.11 (Mudança de escala). Dada uma função f(t) e sua transformada
de Fourier F (w), então
F{f(at)} =
1
|a|F
(
w
a
)
, ∀a 6= 0. (8.41)
Demonstração. Da definição de transformada de Fourier, temos
F{f(at)} =
∫ ∞
−∞
f(at)e−iwtdt (8.42)
Fazendo a mudança τ = at, distinguindo dois casos: a > 0 e a < 0. Para o caso
a > 0, temos:
F{f(at)} =
∫ ∞
−∞
f(at)e−iwtdt
=
∫ ∞
−∞
f(τ)e− iwτ
a
dτ
a
=
1
a
∫ ∞
−∞
f(τ)e− iwτ
a dτ
Para o caso a < 0, temos:
F{f(at)} =
∫ ∞
−∞
f(at)e−iwtdt
=
∫ −∞
∞
f(τ)e− iwτ
a
dτ
a
= −1
a
∫ ∞
−∞
f(τ)e− iwτ
a dτ
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62 Análise de Fourier
Em ambos os casos, temos:
F{f(at)} =
1
|a|
∫ ∞
−∞
f(τ)e− iwτ
a dτ
=
1
|a|F
(
w
a
)
Observação 8.1.5. A propriedade da inversão temporal (propriedade 8.1.9) é um
caso particular desta propriedade quando a = −1.
Exercícios
E 8.1.1. O diagrama de magnitudes da transformada de Fourier F (w) de
uma função f(t) é dado na figura (8.2). Esboce o diagrama de magnitudes da
transformada de Fourier da função f ′(t).
1
|F (w)|
w
Figura 8.2:
E 8.1.2. Faça o diagrama de espectro da transformada de Fourier do exemplo
8.1.4 da página 55.
E 8.1.3. Em geral não é verdade que módulo da soma é igual a soma dos
módulos, isto é, |x + y| = |x| + |y|, x,y ∈ C.
a) Encontre um caso particular onde |x + y| = |x| + |y| com |x| 6= 0 e |y| 6= 0.
b) Encontre um caso particular onde |x + y| = 0 com |x| 6= 0 e |y| 6= 0. Mostre
que, nesse caso, x = −y.
c) Encontre um caso particular onde |x + y| = 1 com |x| = |y| = 1.
d) Mostre que |x + y| = |x| + |y| sempre que xy = 0.
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8.1. PROPRIEDADES 63
Observe que não é possível, em geral, conhecer o diagrama de magnitudes da soma
de duas funções, F (w) e G(w), conhecendo apenas seus diagramas de magnitudes.
As fases precisam ser levadas em conta. Um exceção é quando, para todos w, ou
F (w) = 0 ou G(w) = 0.
E 8.1.4. Mostre que, dada uma função f(t) e sua transformada de Fourier
F (w), então
F {f(t) sen (w0t)} =
i
2
F (w + w0) − i
2
F (w − w0), (8.43)
para w0 ∈ R.
E 8.1.5. Considere uma função real f(t) tal que o diagrama de magnitude é
dado na figura abaixo.
5
10
100 200 300 400 500−100−200−300−400−500
|F (w)|
w
a) Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = f(t − a) onde a é uma
constante real.
b) Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = f(2t).
c) Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = f(−t).
d) Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = 3f(t).
e) Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = f(t) cos(1000t).
f) Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = f(t) cos2(1000t).
g) Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = f(t) sen (1000t).
h) Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = f(t)| sen (1000t)|.
[Dica: Use a expansão em Série de Fourier do retificador de onda completa1]
i) Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = f′(t).
j) Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = f(t) ∗ f(t).
1| sen (x)| = 2
π − 4
π
(
cos(2x)
1·3 + cos(4x)
3·5 + cos(6x)
5·7 + · · ·
)
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64 Análise de Fourier
k) Calcule o valor da energia do sinal dada por
∫ ∞
−∞
f(t)2dt. (8.44)
l) Calcule o módulo do valor médio do sinal dado por
∣
∣
∣
∣
∫ ∞
−∞
f(t)dt
∣
∣
∣
∣ . (8.45)
E 8.1.6. Considere o sinal f(t) associado ao seguinte diagrama de espectro:
25
50
75
100
1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6
|F (w)|
w (em 1000 rad/s)a) Calcule o valor de
∫∞
−∞ f(t)dt.
b) Obtenha o valor aproximado da frequência fundamental em Hz e identifique
a nota.
c) Trace o diagrama de amplitudes do sinal g(t) = f ′(t)
5000
d) Trace o diagrama de amplitudes do sinal g(t) = f(−t).
e) Trace o diagrama de amplitudes do sinal g(t) = f(t − 2).
f) Trace o diagrama de amplitudes do sinal g(t) = f(1.12t), obtenha o valor
aproximado da frequência fundamental em Hz e identifique a nota.
g) Calcule o valor da "taxa de aceleração", a > 0, para que o sinal g(t) = f(at)
represente a nota sol na mesma oitava.
E 8.1.7. Trace o gráfico das seguintes funções, calcule sua transformada de
Fourier e trace o diagrama de magnitudes:
a) f(t) = e−|t| cos(10t).
b) g(t) = e−t2/2 cos(10t).
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8.2. O TEOREMA DE PARSEVAL E O PRINCÍPIO DA INCERTEZA65
c) h(t) =



0, t < −4,
cos(10t), −4 ≤ t ≤ 4,
0, t > 4.
E 8.1.8. Considere uma aproximação do diagrama de espectro de magnitudes
de uma nota tocada por um instrumento musical e representado por uma função
f(t):
0.5
1.0
220π 440π 660π 880π w (rad/s)
|F (w)|
a) Identifique a frequência fundamental wf (em rad/s) e ff (em Hz).
b) Identifique a nota musical correspondente a acelerar em 1,5 a velocidade de
reprodução do sinal.
c) Identifique a nota musical correspondente a modular o sinal na frequência
1110π rad/s (f(t) cos(1100πt)).
d) Identifique a nota musical correspondente à função f(2t).
e) Identifique a nota musical correspondente à função g(t) = f(t)+f(2t). Qual
a sensação fisiológica produzida?
8.2 O teorema de Parseval e o princípio da In-
certeza
Teorema 8.2.1 (Teorema de Parseval). Seja f(t) uma função real ou complexa e
F (w) sua transformada de Fourier, então vale a identidade:
∫ ∞
−∞
|f(t)|2dt =
1
2π
∫ ∞
−∞
|F (w)|2dw (8.48)
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66 Análise de Fourier
Demonstração. Partimos da representação de f(t) em sua integral de Fourier:
f(t) =
1
2π
∫ ∞
−∞
F (w)eiwtdw
e consequentemente:
f(t) =
1
2π
∫ ∞
−∞
F (w)e−iwtdw
e inserimos essa expressão na integral envolvida:
∫ ∞
−∞
|f(t)|2dt =
∫ ∞
−∞
f(t)f(t)dt
=
1
2π
∫ ∞
−∞
f(t)
∫ ∞
−∞
F (w)e−iwtdwdt
=
1
2π
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
f(t)F (w)e−iwtdwdt
=
1
2π
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
f(t)F (w)e−iwtdtdw
=
1
2π
∫ ∞
−∞
F (w)
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdtdw
=
1
2π
∫ ∞
−∞
F (w)F (w)dw
=
1
2π
∫ ∞
−∞
|F (w)|2dw
Observação 8.2.1. Esta integral está associada ao conceito de energia total de
um sinal.
Exemplo 8.2.1. Considere a função f(t) = e−a|t|, a > 0, e sua transformada de
Fourier F (w) = 2a
w2+a2 . A energia associada a essa função pode ser calculada de
duas maneiras distintas:
∫ ∞
−∞
|f(t)|2dt =
∫ ∞
−∞
|e−a|t||2dt
=
∫ ∞
−∞
e−2a|t|dt
= 2
∫ ∞
0
e−2atdt
= 2
[
− 1
2a
e−2at
]∞
0
=
1
a
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8.2. O TEOREMA DE PARSEVAL E O PRINCÍPIO DA INCERTEZA67
ou
1
2π
∫ ∞
−∞
|F (w)|2dw =
1
2π
∫ ∞
−∞
( 2a
w2 + a2
)2
dw
=
4a2
π
∫ ∞
0
1
(w2 + a2)2 dw
Usando o item 19 da tabela de integrais definidas A da página 84 com m = 0,
temos:
∫ ∞
0
1
(w2 + a2)2 dw =
π
4a3
.
Portanto,
1
2π
∫ ∞
−∞
|F (w)|2dw =
4a2
π
π
4a3
=
1
a
.
Teorema 8.2.2 (Princípio da Incerteza*). Seja f(t) uma função real que satisfaz
limt→±∞ f(t) = 0 e F (w) = F{f(t)} sua transformada de Fourier. Então vale a
seguinte estimativa:
∫ ∞
−∞
|tf(t)|2dt ·
∫ ∞
−∞
|wF (w)|2 dw ≥ π
2
∣
∣
∣
∣
∫ ∞
−∞
|f(t)|2dt
∣
∣
∣
∣
2
Demonstração. Primeiro observamos que
∫ ∞
−∞
|f(t)|2dt =
∫ ∞
−∞
f(t)f(t)dt
Procedemos com intregação por partes onde u(t) = f(t)f(t), du(t) = f ′(t)f(t) +
f(t)f ′(t), v(t) = t e dv(t) = dt.
∫ ∞
−∞
|f(t)|2dt = −
∫ ∞
−∞
t
(
f ′(t)f(t) + f(t)f ′(t)
)
dt
= −
∫ ∞
−∞
tf ′(t)f(t)dt −
∫ ∞
−∞
tf(t)f ′(t)dt
Usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz2 temos
∣
∣
∣
∣
∫ ∞
−∞
|f(t)|2dt
∣
∣
∣
∣ ≤
∣
∣
∣
∣
∫ ∞
−∞
tf(t)f ′(t)dt
∣
∣
∣
∣+
∣
∣
∣
∣
∫ ∞
−∞
tf(t)f ′(t)dt
∣
∣
∣
∣
≤
[∫ ∞
−∞
|tf(t)|2dt ·
∫ ∞
−∞
|f ′(t)|2dt
]1/2
+
[∫ ∞
−∞
|tf(t)|2dt ·
∫ ∞
−∞
|f ′(t)|2dt
]1/2
= 2
[∫ ∞
−∞
|tf(t)|2dt ·
∫ ∞
−∞
|f ′(t)|2dt
]1/2
.
2
∣
∣
∫
f(x)g(x)dx
∣
∣ ≤
[∫
|f(x)|2dx ·
∫
|g(x)|2dx
]1/2
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68 Análise de Fourier
Agora, usando o teorema de Parseval (ver propriedade 8.2.1), temos
∣
∣
∣
∣
∫ ∞
−∞
|f(t)|2dt
∣
∣
∣
∣
2
≤ 4
∫ ∞
−∞
|tf(t)|2dt ·
∫ ∞
−∞
|f ′(t)|2dt
= 4
∫ ∞
−∞
|tf(t)|2dt · 1
2π
∫ ∞
−∞
|F {f ′(t)}|2 dw
=
2
π
∫ ∞
−∞
|tf(t)|2dt ·
∫ ∞
−∞
|iwF (w)|2 dw
e, finalmente,
∫ ∞
−∞
|tf(t)|2dt ·
∫ ∞
−∞
|wF (w)|2 dw ≥ π
2
∣
∣
∣
∣
∫ ∞
−∞
|f(t)|2dt
∣
∣
∣
∣
2
8.3 Passagem do contínuo para o discreto
Nesta seção vamos calcular a transformada de Fourier de uma função periódica
f(t) que possui representação em série de Fourier. Para esse propósito, observe
que, colocando F (w) = 2πδ(w − w0), temos
f(t) = F−1{2πδ(w − w0)} =
2π
2π
∫ ∞
−∞
δ(w − w0)eiwtdw = eiw0t.
ou seja,
F{eiw0t} = 2πδ(w − w0). (8.49)
Agora, considere uma função f(t) que possui representação em série de Fourier:
f(t) =
∞∑
n=−∞
Cneiwnt. (8.50)
A definição de transformada de Fourier nos dá:
F{f(t)} =
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdt
=
∫ ∞
−∞
( ∞∑
n=−∞
Cneiwnt
)
e−iwtdt
=
∞∑
n=−∞
Cn
(∫ ∞
−∞
eiwnte−iwtdt
)
= 2π
∞∑
n=−∞
Cnδ(w − wn),
onde usamos a equação (8.49) na última passagem.
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8.4. APLICAÇÃO: SINAIS DISCRETOS 69
Exemplo 8.3.1. Dada a função f(t) = cos(w0t), sua representação em série tri-
gonométrica exponencial é
f(t) =
1
2
ew0it +
1
2
e−w0it. (8.51)
Logo, a sua transformada de Fourier F (w) é dada por:
F (w) = πδ(w − w0) + πδ(w + w0) (8.52)
Exemplo 8.3.2. Considere a função não periódica g(t) = e−a|t| cos(w0t), a > 0.
A transformada de Fourier de g(t) é dada por G(w) = a
(w−w0)2+a2 + a
(w+w0)2+a2 (ver
exemplo (8.1.5)). Observe que
lim
a→0
g(t) = lim
a→0
e−a|t| cos(w0t) = cos(w0t). (8.53)
Comparando com o exemplo 8.3.1, é esperado que G(w) convirja para F (w). De
fato, observe que a área abaixo da curva é constante com respeito a a:
∫ ∞
−∞
G(w)dw = a
∫ ∞
−∞
(
1
(w − w0)2 + a2
+
1
(w + w0)2 + a2
)
dw
= a
[1
a
tan−1
(
w − w0
a
)
+
1
a
tan−1
(
w + w0
a
)]∞
−∞
=
π
2
−
(
−π
2
)
+
π
2
−
(
−π
2
)
= 2π
e a curva G(w) converge para 0, exceto em w = w0 e w = −w0. Portanto o limite
de G(w) é F (w). Os diagramas de magnitude de F (w) e de G(w) para alguns
valores de a > 0 e w0 = 1 são apresentados na figura 8.3.
8.4 Aplicação: Sinais Discretos
Nessa seção vamos discutir sobre discretização de sinais, em especial, preten-
demos responder com que frequência precisamos amostrar um sinal real para po-
dermos reconstruí-lo. Vamos considerar que o espectro da função f(t) é composto
apenas por frequências inferiores a wc, onde wc é chamado de frequência de corte.
Mostraremos que se conhecermos apenas os valores de f(t) para t = kT , k ∈ Z,
onde T é o período de amostragem e wa := 2π
T
> 2wc é a frequência de amostra-
gem, então podemos reconstruir exatamente f(t) em todos instantes de tempo.
Considere f(t) uma função real, definiremos fT (t) uma versãodiscretizada deste
sinal da seguinte forma:
fT (t) =
∞∑
k=−∞
f(kT )δ(t − kT ), (8.54)
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70 Análise de Fourier
1
2
1 2−1−2
|G(w)|
w
w0 = 1, a = 1
1
2
3
1 2−1−2
|G(w)|
w
w0 = 1, a = 0.5
1
2
3
4
1 2−1−2
|G(w)|
w
w0 = 1, a = 0.25
1
2
3
1 2−1−2
|F (w)|
w
Figura 8.3:
assim fT (t) é um trem de Dirac’s cujas amplitudes coincidem com o valor da
função f(t) nos pontos de amostragem kT . Veja um exemplo na figura 8.4. A fim
de calcularmos a transforma de Fourier de fT (t), observamos que:
fT (t) =
∞∑
k=−∞
f(kT )δ(t − kT )
=
∞∑
k=−∞
f(t)δ(t − kT )
= f(t)
∞∑
k=−∞
δ(t − kT )
= f(t)δT (t)
onde δT (t) =
∑∞
k=−∞ δ(t−kT ) é uma função periódica cuja série de Fourier é dada
por:
δT (t) =
∞∑
k=−∞
δ(t − kT ) =
∞∑
n=−∞
Cneiwnt (8.55)
e
Cn =
1
T
∫ T/2
−T/2
δT (t)e−iwntdt =
1
T
(8.56)
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8.4. APLICAÇÃO: SINAIS DISCRETOS 71
t
f(t), fT (t)
T
2T 3T
4T 5T
−T
−2T−3T
−4T−5T
Figura 8.4:
assim,
δT (t) =
1
T
∞∑
n=−∞
eiwnt (8.57)
e, portanto:
fT (t) = f(t)δT (t)
= f(t)
1
T
∞∑
n=−∞
eiwnt
=
1
T
∞∑
n=−∞
f(t)eiwnt
e finalmente:
FT (w) = F {fT (t)}
=
1
T
F
{ ∞∑
n=−∞
f(t)eiwnt
}
=
1
T
∞∑
n=−∞
F (w − wn)
onde se usou a propriedade do deslocamento no eixo w (8.1.3). Veja um exemplo
na figura 8.5.
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72 Análise de Fourier
|F (w)|
wc−wc
w
|FT (w)|
w
wc−wc wa−wa
1
T
wa−wa
Figura 8.5:
Observação 8.4.1. Observamos que se a frequência de amostragem wa for su-
perior a 2wc, então FT (w) = 1
T
F (w) no intervalo [−wc,wc] e, portanto, toda a
informação de f(t) é preservada. De fato, neste caso, podemos escrever:
f(t) =
1
2π
∫ ∞
−∞
F (w)eiwtdw
=
1
2π
∫ wc
−wc
F (w)eiwtdw
=
1
2π
∫ wc
−wc
TFT (w)eiwtdw
Como FT (w) pode ser calculada apenas com base nos pontos de amostragem,
f(t) pode ser reconstruída. Se wa < 2wc, então existe superposição espectral, o
que impede a reconstrução da f(t). Este resultado é conhecido como teorema da
amostragem de Nyquist-Shannon ou teorema cardinal da interpolação.
Teorema 8.4.1. Suponha que f(t) é uma função real cujo espectro é limitado pela
frequência wc, isto é, F (w) = 0 se |w| > wc, e T < π
wc
, então
f(t) =
∞∑
n=−∞
f(nT )
2 sen
(
wa
2
(t − nT )
)
wa(t − nT )
(8.58)
Demonstração. Seja FT (w) a transformada de Fourier do sinal amostrado, con-
forme vimos, vale a expressão:
TFT (w) =
∞∑
n=−∞
F (w − wn). (8.59)
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8.4. APLICAÇÃO: SINAIS DISCRETOS 73
Observe que TFT (w) é uma função periódica de período wa (veja figura 8.5), de
forma que TFT (w) admite uma representação em série de Fourier:
TFT (w) =
∞∑
−∞
Dneivnw =
∞∑
−∞
DneinT w, (8.60)
onde usamos que vn = 2πn
wa
= Tn e
Dn =
1
wa
∫ wa/2
−wa/2
TFT (w)e−inT wdw
=
1
wa
∫ wa/2
−wa/2
F (w)e−inT wdw
=
1
wa
∫ ∞
−∞
F (w)e−inT wdw, pois F (w) = 0 se |w| >
wa
2
> wc
=
2π
wa
f(−nT ) = Tf(−nT ), usando a transformada inversa.
Logo,
TFT (w) = T
∞∑
n=−∞
f(−nT )einT w. (8.61)
Usando a transformada inversa, temos:
f(t) =
1
2π
∫ wa/2
−wa/2
TFT (w)eiwtdw
=
1
2π
∫ wa/2
−wa/2
T
∞∑
n=−∞
f(−nT )einT weiwtdw
=
T
2π
∫ wa/2
−wa/2
∞∑
n=−∞
f(−nT )eiw(t+nT )dw
=
1
wa
∞∑
n=−∞
f(−nT )
∫ wa/2
−wa/2
eiw(t+nT )dw
=
1
wa
∞∑
n=−∞
f(−nT )
∫ wa/2
−wa/2
cos(w(t + nT ))dw, pois o seno é ímpar
=
1
wa
∞∑
n=−∞
f(−nT )
[
sen (w(t + nT ))
t + nT
]wa/2
−wa/2
=
∞∑
n=−∞
f(−nT )
2 sen
(
wa
2
(t + nT )
)
wa(t + nT )
Substituindo n por −n obtemos a expressão:
f(t) =
∞∑
n=−∞
f(nT )
2 sen
(
wa
2
(t − nT )
)
wa(t − nT )
. (8.62)
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74 Análise de Fourier
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Capítulo 9
Equações diferenciais parciais
9.1 Equação do Calor
Considere o problema evolutivo de difusão de temperatura numa barra infinita,
dado pela equação de calor
∂u
∂t
(x,t) = µ
∂2u
∂x2
(x,t), x ∈ (−∞,∞), t > 0, (9.1a)
u(x,0) = f(x) (9.1b)
Tomando a transformada de Fourier desse problema na variável x, obtemos
∂(Fx{u(x,t)})
∂t
= −µk2(Fx{u(x,t)})
Fx{u(x,0)} = Fx{f(x)},
onde se usou a propriedade 8.1.2 da transformada da derivada. Denotando Fx{u(x,t)} :=
U(k,t), podemos escrever o problema de uma forma mais limpa:
∂U
∂t
= −µk2U
U(k,0) = F (k),
Essa é uma equação que pode ser resolvida por vários métodos, entre eles separação
de variáveis:
1
U
∂U
∂t
= −µk2
⇓
ln(U) = −µk2t + C
⇓
U = e−µk2t+C = Ke−µk2t
75
76 Análise de Fourier
onde K = eC é uma constante de integração que é calculada com a condição inicial:
U(k,0) = Ke−µk2·0 = F (k) ⇒ K = F (k), (9.2)
Logo,
U(k,t) = Fx{u(x,t)} = F (k)e−µk2t. (9.3)
Agora, precisamos calcular a transformada inversa de U(k,t) para obter a solução
u(x,t) do problema original. O resultado do exercício 6.2.4 da página 46, temos
que
F−1
k {e−k2} =
1
2
√
π
e− x2
4 (9.4)
Usando a propriedade de mudança de escala 8.1.11 com a =
√
µt, temos
F−1
k {e−µtk2} = F−1
k {e−(
√
µtk)2} =
1
2
√
π
1√
µt
e− (x/
√
µt)2
4 (9.5)
ou seja,
F−1
k {e−µtk2} =
1√
4πµt
e− x2
4µt . (9.6)
Aplicando esse resultado juntamente com o teorema da convolução descrito na
propriedade 8.1.7 na equação (9.3), obtemos
u(x,t) =
1√
4πµt
∫ ∞
−∞
f(y)e− (x−y)2
4µt dy. (9.7)
Exemplo 9.1.1. Considere o caso particular da equação do calor (9.1) onde
f(x) =



u0, |x| ≤ 1
0, |x| > 1.
(9.8)
Então,
u(x,t) =
u0√
4πµt
∫ 1
−1
e− (x−y)2
4µt dy.
Fazendo a mudança de variável z = y−x
2
√
µt
e definindo z1 = −1−x
2
√
µt
e z2 = 1−x
2
√
µt
, temos:
u(x,t) =
u02
√
µt√
4πµt
∫ z2
z1
e−z2
dz =
u0√
π
∫ z2
z1
e−z2
dz.
Essa expressão pode ser escrita da forma:
u(x,t) =
u0√
π
∫ 0
z1
e−z2
dz +
u0√
π
∫ z2
0
e−z2
dz
=
u0√
π
∫ z2
0
e−z2
dz − u0√
π
∫ z1
0
e−z2
dz
=
u0
2
erf (z2) − u0
2
erf (z1),
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9.2. EQUAÇÃO DO CALOR COM TERMO FONTE 77
onde erf (z) é a função erro dada por
erf (x) =
2√
π
∫ x
0
e−z2
dz (9.9)
Exemplo 9.1.2. Considere o fenômeno de difusão de sal ao longo de um cano longo
e fino. Suponha que no tempo t = 0 uma quantidade Q de sal foi introduzida no
ponto x0. A equação que modela esse fenômeno é
∂ρ
∂t
= µ
∂2ρ
∂x2
, − ∞ < x < ∞, t > 0
ρ(x,0) =
Q
A
δ(x − x0),
onde A é a área da seção transversal do cano e ρ(x,t) é a concentração de sal
no ponto x e tempo t. A solução desse problema é dada pela equação (9.7) com
f(x) = Q
A
δ(x − x0):
ρ(x,t) =
Q
A
√
4πµt
∫ ∞
−∞
δ(y − x0)e− (x−y)2
4µt dy.
Usando a propriedade da filtragem, temos:
ρ(x,t) =
Q
A
√
4πµt
e− (x−x0)2
4µt .
Exercícios
E 9.1.1. No exemplo 9.1.2, mostre que a solução satisfaz a condição inicial:
lim
t→0
u(x,t) =
Q
A
δ(x − x0) (9.10)
e, como esperado, vale zero nos limites para infinito:
lim
x→±∞
u(x,t) = 0. (9.11)
9.2 Equação do calor com termo fonte
Considere o problema evolutivo de difusão de temperatura numa barra infinita
com um termo fonte
∂u
∂t
= µ
∂2u
∂x2
+ f(x,t), x ∈ (−∞,∞), t > 0.
u(x,0) = 0
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78 Análise de Fourier
Tomando a transformada de Fourier na variável x obtemos
∂Fx{u(x,t)}
∂t
= −µk2(Fx{u(x,t)}) + Fx{f(x,t)}
Fx{u(x,0)} = 0.
Denotando Fx{u(x,t)} := U(k,t), podemos escrever o problema de uma forma
mais limpa:
∂U
∂t
= −µk2U + F
U(k,0) = 0.
Essa equação pode ser resolvida pelo método do fator integrante:
∂U
∂t
+ µk2U = F
⇓
eµk2t ∂U
∂t
+ eµk2tµk2U = eµk2tF
⇓
∂
∂t
(
Ueµk2t
)
= eµk2tF
⇓U(k,t)eµk2t − U(k,0)eµk2·0 =
∫ t
0
eµk2τ F (k,τ)dτ
⇓
U(k,t) = e−µk2t
∫ t
0
eµk2τ F (k,τ)dτ
ou seja,
U(k,t) = Fx{u(x,t)} =
∫ t
0
e−µ(t−τ)k2
F (k,τ)dτ.
Agora, precisamos obter a solução do problema original u(x,t), que é a transfor-
mada inversa de U(k,t). Usando a equação (9.6), temos que
F−1
k {e−µ(t−τ)k2} =
1
√
4πµ(t − τ)
e− x2
4µ(t−τ) .
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9.3. EQUAÇÃO DA ONDA 79
Usando o teorema da convolução dado na propriedade 8.1.7, temos
u(x,t) =
∫ t
0
(
F−1
k
{
e−µk2(t−τ)
}
∗ f(x,τ)
)
dτ
=
∫ t
0




1
√
4πµ(t − τ)
e− x2
4µ(t−τ)

 ∗ f(x,τ)

 dτ
=
1√
4πµ
∫ t
0


1
√
(t − τ)
∫ ∞
−∞
e− (x−y)2
4µ(t−τ) f(y,τ)dy

dτ.
Exercícios
E 9.2.1. Um fluido se desloca em um tubo termicamente isolado com veloci-
dade constante v de forma que a evolução da temperatura u(x,t) como uma função
da coordenada x e do tempo é descrita pelo seguinte modelo simplificado:
ut − vux − uxx = 0. (9.13)
Sabendo que no instante t = 0, a temperatura foi bruscamente aquecida em uma
região muito pequena, de forma que podemos considerar
u(x,0) = 500δ(x). (9.14)
Use a técnica das transformadas de Fourier para obter a solução desta equação
diferencial quando v = 1m/s.
9.3 Equação da Onda
Considere a equação da onda dada por
1
c2
∂2y
∂t2
=
∂2y
∂x2
, − ∞ < x < ∞, t > 0
y(x,0) = f(x)
∂y
∂t
(x,0) = g(x).
Usando a notação
Y (k,t) = F{y(x,t)}
Y (k,0) = F{f(x)}
dY
dt
(k,0) = F{g(x)}.
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80 Análise de Fourier
e tomando a transformada de Fourier da equação, temos
d2Y
dt2
(k,t) + c2k2Y (k,t) = 0
Y (k,0) = F{f(x)} = F (k)
dY
dt
(k,0) = F{g(x)} = G(k).
A solução desse problema é dada em termos de senos e cossenos:
Y = A cos(ckt) + B sen (ckt). (9.21)
Impondo as condições de contorno, temos:
Y (0) = A = F (k)
Y ′(0) = ckB = G(k).
ou seja, A = F (k) e B = G(k)
ck
. Portanto,
Y = F (k) cos(ckt) +
G(k)
ck
sen (ckt).
ou
Y =
1
2
F (k)(eickt + e−ickt) +
G(k)
2ick
(eickt − e−ickt).
Tomando a transformada de Fourier inversa obtemos
y(x,t) =
1
2
( 1
2π
∫ ∞
−∞
F (k)(eik(x+ct) + eik(x−ct))dk
)
+
+
1
2c
(
1
2π
∫ ∞
−∞
G(k)
ik
(eik(x+ct) − eik(x−ct))dk
)
.
Sabemos que
f(x ± ct) =
1
2π
∫ ∞
−∞
F (k)eik(x±ct)dk,
g(x) =
1
2π
∫ ∞
−∞
G(k)eikxdk
e
∫ x+ct
x−ct
g(η)dη =
1
2π
∫ ∞
−∞
G(k)
ik
(eik(x+ct) − eik(x−ct))dk.
Portanto,
y(x,t) =
1
2
(f(x + ct) + f(x − ct)) +
1
2c
∫ x+ct
x−ct
g(η)dη.
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9.4. VIBRAÇÕES LIVRES TRANSVERSAIS 81
Exercícios
E 9.3.1. Enconte a solução da equação da onda dada
∂2y
∂t2
=
∂2y
∂x2
, − ∞ < x < ∞, t > 0
y(x,0) = f(x)
∂y
∂t
(x,0) = g(x).
a) Dados f(x) = e−|x| e g(x) = 0.
b) Dados f(x) = e−3|x| e g(x) = e−x2
.
9.4 Vibrações livres transversais
Considere o problema de vibrações livres transversais de uma barra infinita
governada por
∂4y
∂x4
+
1
a2
∂2y
∂t2
= 0, t > 0, x ∈ (−∞,∞)
y(x,0) = f(x)
∂y
∂t
(x,0) = ag′′(x).
Tomando a transformada de Fourier e pondo Y (k,t) = F{y(x,t)}, obtemos
∂2Y
∂t2
+ k4a2Y = 0
Y (0) = F{f} = F (k)
∂Y
∂t
(0) = −ak2G(k).
tendo a solução
Y (k,t) = F (k) cos(ak2t) − G(k) sen (ak2t).
Tomando a transformada inversa de Fourier
y(k,t) =
1
2π
∫ ∞
−∞
F (k) cos(ak2t)eikxdk − 1
2π
∫ ∞
−∞
G(k) sen (ak2t)eikxdk.
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82 Análise de Fourier
Usando o fato que,
∫ ∞
−∞
e−k2aeikxdk =
√
π√
a
e− x2
4a
e
1
(ai)
1
2
=
1√
a
e−i 1
4 π,
trocamos a por ai para obter
1
2π
∫ ∞
−∞
(cos(ak2t) − i sen (ak2t))eikxdk =
1
2
√
πa
e
i
(
x2
4a
− π
4
)
.
Tomando as partes real e imaginária nesta equação obtemos que
1
2π
∫ ∞
−∞
cos(ak2)eikxdk =
√
2
4
√
πa
(
cos
(
x2
4a
)
+ sen
(
x2
4a
))
e
1
2π
∫ ∞
−∞
sen (ak2)eikxdk =
√
2
4
√
πa
(
cos
(
x2
4a
)
− sen
(
x2
4a
))
.
Utilizando o resultado sobre convoluções dado na propriedade 8.1.7, obtemos que
1
2π
∫ ∞
−∞
F (k) cos(ak2t)eikxdk =
√
2
4
√
πat
∫ ∞
−∞
f(x − y)
[
cos
(
y2
4at
)
+ sen
(
y2
4at
)]
dy
e
1
2π
∫ ∞
−∞
G(k) sen (ak2t)eikxdk =
√
2
4
√
πat
∫ ∞
−∞
g(x − y)
[
cos
(
y2
4at
)
− sen
(
y2
4at
)]
dy
ou seja,
y(x,t) =
1
2
√
2πat
∫ ∞
−∞
f(x − y)
(
cos
(
y2
4at
)
+ sen
(
y2
4at
))
dy −
− 1
2
√
2πat
∫ ∞
−∞
g(x − y)
(
cos
(
y2
4at
)
− sen
(
y2
4at
))
dy.
Escrevendo u2 =
y2
4at
, obtemos:
y(x,t) =
1√
2π
∫ ∞
−∞
f(x − 2ua
1
2 t
1
2 )
(
cos(u2) + sen (u2)
)
du −
− 1√
2π
∫ ∞
−∞
g(x − 2ua
1
2 t
1
2 )
(
sen (u2) − cos(u2)
)
du.
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9.4. VIBRAÇÕES LIVRES TRANSVERSAIS 83
Exercícios
E 9.4.1. Considere uma viga infinita repousada sobre um suporte elástico e
y(x) seu deslocamento vertical em cada ponto x. Suponha que o suporte exerce
uma força de reação proporcional ao deslocamento y(x) e que a viga é carregada
em x = 0 por um força concentrada P δ(x). A equação que modela o fenômeno é
dada por:
EI
d4y
dx4
= P δ(x) − Cy(x), − ∞ < x < ∞, (9.22)
onde C é uma constante de proporcionalidade relacionada ao suporte, E é o módulo
de Young e I é o momento de inércia da viga. Calcule o deslocamento y(x) da
viga.
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Apêndice A
Tabelas
Tabela de integrais definidas, ver [?]):
1.
∫ ∞
0
e−ax cos(mx)dx =
a
a2 + m2
(a > 0)
2.
∫ ∞
0
e−ax sen (mx)dx =
m
a2 + m2
(a > 0)
3.
∫ ∞
0
cos(mx)
a2 + x2
dx =
π
2a
e−ma (a > 0, m ≥ 0)
4.
∫ ∞
0
x sen (mx)
a2 + x2
dx =
π
2
e−ma (a ≥ 0, m > 0)
5.
∫ ∞
0
sen (mx) cos(nx)
x
dx =



π
2
, n < m
π
4
, n = m, (m > 0, n > 0)
0, n > m
6.
∫ ∞
0
sen (mx)
x
dx =



π
2
, m > 0
0, m = 0
−π
2
, m < 0
7.
∫ ∞
0
e−r2x2
dx =
√
π
2r
(r > 0)
8.
∫ ∞
0
e−a2x2
cos(mx)dx =
√
π
2a
e− m2
4a2 (a > 0)
9.
∫ ∞
0
xe−ax sen (mx)dx =
2am
(a2 + m2)2
(a > 0)
10.
∫ ∞
0
e−ax sen (mx) cos(nx)dx =
m(a2 + m2 − n2)
(a2 + (m − n)2)(a2 + (m + n)2)
(a > 0)
11.
∫ ∞
0
xe−ax cos(mx)dx =
a2 − m2
(a2 + m2)2
(a > 0)
84
85
12.
∫ ∞
0
cos(mx)
x4 + 4a4
dx =
π
8a3
e−ma(sen (ma) + cos(ma))
13.
∫ ∞
0
sen 2(mx)
x2
dx = |m|π
2
14. erf (x) =
2√
π
∫ x
0
e−z2
dz
15.
∫ ∞
0
sen 2(ax) sen (mx)
x
dx =



π
4
, (0 < m < 2a)
π
8
, (0 < 2a = m)
0, (0 < 2a < m)
16.
∫ ∞
0
sen (mx) sen (nx)
x2
dx =



πm
2
, (0 < m ≤ n)
πn
2
, (0 < n ≤ m)
17.
∫ ∞
0
x2e−ax sen (mx)dx =
2m(3a2 − m2)
(a2 + m2)3
(a > 0)
18.
∫ ∞
0
x2e−ax cos(mx)dx =
2a(a2 − 3m2)
(a2 + m2)3
(a > 0)
19.
∫ ∞
0
cos(mx)
(a2 + x2)2
dx =
π
4a3
(1 + ma)e−ma
(a > 0,
m ≥ 0)
20.
∫ ∞
0
x sen (mx)
(a2 + x2)2
dx =
πm
4a
e−ma (a > 0, m > 0)
21.
∫ ∞
0
x2 cos(mx)
(a2 + x2)2
dx =
π
4a
(1 − ma)e−ma
(a > 0,
m ≥ 0)
22.
∫ ∞
0
xe−a2x2
sen (mx)dx =
m
√
π
4a3
e− m2
4a2 (a > 0)
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86 Análise de Fourier
Dó 2 - Si 2
Nota f (Hz) T (µs)
Dó 65,41 15289
Dó ♯ 69,30 14431
Ré 73,42 13621
Ré ♯ 77,78 12856
Mi 82,41 12135
Fá 87,31 11454
Fá ♯ 92,50 10811
Sol 98,00 10204
Sol ♯ 103,8 9631
Lá 110,0 9091
Lá ♯ 116,5 8581
Si 123,5 8099
Dó 3 - Si 3
Nota f (Hz) T (µs)
Dó 130,8 7645
Dó ♯ 138,6 7215
Ré 146,8 6810
Ré ♯ 155,6 6428
Mi 164,8 6067
Fá 174,6 5727
Fá ♯ 185,0 5405
Sol 196,0 5102
Sol ♯ 207,7 4816
Lá 220,0 4545
Lá ♯ 233,1 4290
Si 246,9 4050
Dó 4 - Si 4
Nota f (Hz) T (µs)
Dó 261,6 3822
Dó ♯ 277,2 3608
Ré 293,7 3405
Ré ♯ 311,1 3214
Mi 329,6 3034
Fá 349,2 2863
Fá ♯ 370,0 2703
Sol 392,0 2551
Sol ♯ 415,3 2408
Lá 440,0 2273
Lá ♯ 466,2 2145
Si 493,9 2025
Dó 5 -Si 5
Nota f (Hz) T (µs)
Dó 523,3 1911
Dó ♯ 554,4 1804
Ré 587,3 1703
Ré ♯ 622,3 1607
Mi 659,3 1517
Fá 698,5 1432
Fá ♯ 740,0 1351
Sol 784,0 1276
Sol ♯ 830,6 1204
Lá 880,0 1136
Lá ♯ 932,3 1073
Si 987,8 1012
Dó 6 - Si 6
Nota f (Hz) T (µs)
Dó 1047 955,6
Dó ♯ 1109 901,9
Ré 1175 851,3
Ré ♯ 1245 803,5
Mi 1319 758,4
Fá 1397 715,9
Fá ♯ 1480 675,7
Sol 1568 637,8
Sol ♯ 1661 602,0
Lá 1760 568,2
Lá ♯ 1865 536,3
Si 1976 506,2
Dó 7 - Si 7
Nota f (Hz) T (µs)
Dó 2093 477,8
Dó ♯ 2217 451,0
Ré 2349 425,7
Ré ♯ 2489 401,8
Mi 2637 379,2
Fá 2794 357,9
Fá ♯ 2960 337,8
Sol 3136 318,9
Sol ♯ 3322 301,0
Lá 3520 284,1
Lá ♯ 3729 268,1
Si 3951 253,1
Tabela A.1: Tabela de notas musicais
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Resposta dos Exercícios
Recomendamos ao leitor o uso criterioso das respostas aqui apresentadas. De-
vido a ainda muito constante atualização do livro, as respostas podem conter
imprecisões e erros.
E 2.1.1. A =
√
B2 + C2 e θ satisfaz simultaneamente cos(θ) = B√
B2+C2
e sen (θ) = C√
B2+C2
.
E 2.1.2.
a) A = 5, θ = ϕ
b) A = 5, θ = 2π − ϕ
c) A = 5, θ = π − ϕ
d) A = 5, θ = π + ϕ
e) A = 1, θ = π
2
f) A = 2, θ = 0
g) A = 2. θ = π
onde ϕ = cos−1
(
3
5
)
= sen −1
(
4
5
)
= tan−1
(
4
3
)
≈ 0.9272952rad
E 2.1.4.
a) π se n > 0 e 0 se n = 0.
b) 0.
c) π de n > 0 e 2π se n = 0.
d) 0
e) 0
E 2.2.1.
a)
√
13eiθ , θ = tan−1
(
3
2
)
b)
√
13eiθ , θ = π − tan−1
(
3
2
)
c) 5eiθ , θ = 2π − tan−1
(
4
3
)
87
88 Cálculo Numérico
d) 5eiθ , θ = π + tan−1
(
4
3
)
e) 4
(
4e0
)
f) 5e
i π
2
f) 5eiπ
g) 4e
i 3π
2
E 2.2.2.
a) −1
b) −e2
c) 4
d) 2e−1i
e) 2
√
2 (1 − i)
f) 5
√
2
2
(1 + i)
E 2.2.3.
a) 15 − 6i
b)
(
e
i π
4
)3
= e
i 3π
4 = −
√
2
2
+ i
√
2
2
c) −5−i
2
d) 3 − i
e) 3i2−i3
2i−1
= −3+i
2i−1
= 1 + i
E 2.2.8.
a) cos
(
π
12
)
+ i sen
(
π
12
)
b) cos
(
3π
4
)
+ i sen
(
3π
4
)
E 2.2.11.
b) e−ix = cos(−x) + i sen (−x) = e−ix = cos(x) − i sen (x)
c) |eiθ | = | cos(x) + i sen (x)| =
√
cos2(θ) + sen 2(θ) = 1
d) eiθ = cos(x) + i sen (x) = cos(x) − i sen (x) = e−iθ .
e) |ez| = |eRe (z)eIm (z)| = |eRe (z)| |eIm (z)| = eRe (z)., pois ex > 0 para todo x real.
f) Considere eix + e−ix.
g) Considere eix − e−ix.
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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 89
E 3.1.1. São verdadeiras: 4, 7, 8,9,10,11,12 e 13.
E 3.1.2. São pares: 1,2,5,7, 8 e 10. É ímpar: 9. São periódicas: 2,3,5,6,7,8, 9 e 10.
E 3.1.3. A condição é
∫ T
0
f(τ)dτ = 0. Lembre-se que você deve verificar que esta condição é necessária e suficiente.
E 3.1.4. π, 2π, π, 1, 2, 1, 1, 3
E 3.2.1.
a0
2
=
1
T
∫ T /2
−T /2
f(t)dt =
1
T
∫ d/2
−d/2
dt =
d
T
an =
2
T
∫ T /2
−T /2
f(t) cos(wnt)dt =
2
T
∫ d/2
−d/2
cos(wnt)dt =
2
T
sen (wnt)
wn
∣
∣
∣
d/2
−d/2
=
4
wnT
sen (wnd/2)
Como wn = 2πn
T
, temos an = 2
πn
sen
(
πn d
T
)
e, portanto
f(t) =
d
T
+
∞∑
n=1
an cos(wnt) =
d
T
+
2
π
∞∑
n=1
1
n
sen
(
πnd
T
)
cos(wnt) (3.32)
E 3.2.2. Dica: Lembre que sen (x) = eix−e−ix
2i
E 3.2.3. bn = 4
T
∫
d/2
0
t sen (wnt)dt =
T sen
(
πdn
T
)
−dnπ cos
(
πdn
T
)
π2n2
E 3.2.4.
a) f(t) = 2
π
− 4
π
∑∞
n=1
cos(2nπt)
4n2−1
1
1 2 3 4−1
y = f(t)
t
b) g(t) = 1
T
+ 2
T
∑∞
n=1
cos
(
2πn
T
t
)
1
y = g(t)
t
−T T 2T 3T
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90 Cálculo Numérico
E 3.2.5.
h(t) = f
(
1
2
− t
)
=
2
π
−
4
π
∞∑
n=1
cos (nπ − 2nπt)
4n2 − 1
=
2
π
−
4
π
∞∑
n=1
(−1)n cos (2nπt)
4n2 − 1
E 4.3.1.
a) Observe que
sen (t) =
1
2i
(
e
it − e
−it
)
=
i
2
e
−it −
i
2
e
it (4.21)
e a frequência angular fundamental é wF = 1. Veja os diagramas de espectro na figura abaixo.
1
2
1 2−1−2−3
|Cn|
1 2 3−1−2−3
φn
wn
π
−π
b) Observe que
3 cos(πt) =
3
2
(
e
iπt + e
−iπt
)
=
3
2
e
−iπt +
3
2
e
iπt (4.22)
e a frequência angular fundamental é wF = π. Veja os diagramas de espectro na figura abaixo.
1
2
|Cn|
−2π −π π 2π
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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 91
φn
wn
π
−π
−2π −π π 2π
c) Observe que
1 + 4 cos(πt) = 1 + 2
(
e
iπt + e
−iπt
)
= 1 + 2e
−iπt + 2e
iπt (4.23)
e a frequência angular fundamental é wF = π. Veja os diagramas de espectro na figura abaixo.
1
2
|Cn|
w−2π −π π 2π
φn
wn
π
−π
−2π −π π 2π
d) Observe que
2 cos2(2πt) = 2
(
e2iπt + e−2iπt
2
)2
=
e−4iπt + 2 + e4iπt
2
=
1
2
e
−4iπt + 1 +
1
2
e
4iπt (4.24)
e a frequência angular fundamental é wF = 4π. Veja os diagramas de espectro na figura abaixo.
1
|Cn|
−4π −2π 2π 4π
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92 Cálculo Numérico
φn
wn
π
−π
−4π −2π 2π 4π
e) Observe que
8 sen 3(2πt) + 2 cos(6πt) = 8
(
e2iπt − e−2iπt
2i
)3
+ 2
(
e6iπt + e−6iπt
2
)
= (i + 1)e
6iπt − 3ie
2iπt + 3ie
−2iπt + (1 − i)e
−6iπt
=
√
2e
π
4
i
e
6iπt + 3e
− π
2
i
e
2iπt + 3e
π
2
i
e
−2iπt +
√
2e
− π
4
i
e
−6iπt
e a frequência angular fundamental é wF = 2π. Veja os diagramas de espectro na figura abaixo.
1
2
3
|Cn|
−6π −4π −2π 2π 4π
φn
wn
π
−π
−6π
−4π −2π
2π
4π 6π
f) Observe que
sen (2πt) + cos(3πt) =
(
e2iπt − e−2iπt
2i
)
+
(
e3iπt + e−3iπt
2
)
= −
i
2
e
2iπt +
i
2
e
−2iπt +
1
2
e
3iπt +
1
2
e
−3iπt
e a frequência angular fundamental é wF = π (ver exercício 3.1.4 na página 17). Veja os diagramas de espectro na figura
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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 93
abaixo.
1
|Cn|
wn−3π −2π −π π 2π 3π
φn
wn
π
−π
−3π
−2π −π
π
2π 3π
E 4.3.2.
a) Observe que f(t) já está na forma exponencial e a frequência fundamental é wF = π. Também temos:
n ωn |Cn| φn
−5 −5π 1
(−5)2+1
= 1
26
0
−4 −4π 1
(−4)2+1
= 1
17
0
−3 −3π 1
(−3)2+1
= 1
10
0
−2 −2π 1
(−2)2+1
= 1
5
0
−1 −π 1
(−1)2+1
= 1
2
0
0 0 1
(0)2+1
= 1 0
1 1π 1
12+1
= 1
2
0
2 2π 1
22+1
= 1
5
0
3 3π 1
32+1
= 1
10
0
4 4π 1
42+1
= 1
17
0
5 5π 1
52+1
= 1
26
0
(4.25)
Veja o diagrama de amplitude na figura abaixo.
1
|Cn|
wn−5π −4π −3π −2π −π π 2π 3π 4π 5π
b) Começamos escrevendo a função f(t) =
∑∞
n=1
sen (nt)
n2 na forma exponencial:
∞∑
n=1
sen (nt)
n2
=
∞∑
n=1
1
n2
(
eint − e−int
2i
)
=
∞∑
n=1
1
2in2
e
int +
∞∑
n=1
(
−
1
2in2
e
−int
)
=
∞∑
n=1
(
−
i
2n2
e
int
)
+
−∞∑
n=−1
i
2n2
e
int
.
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94 Cálculo Numérico
A frequência angular fundamental é wF = 1 e as amplitudes e fases são dados na tabela abaixo.
ωn = n |Cn| φn
−5 1
50
π
2
−4 1
32
π
2
−3 1
18
π
2
−2 1
8
π
2
−1 1
2
π
2
0 0 −
1 1
2
− π
2
2 1
8
− π
2
3 1
18
− π
2
4 1
32
− π
2
5 1
50
− π
2
(4.26)
Veja os diagramas de espectro na figura abaixo. 1 2 3 4 5−1−2−3−4−5
|Cn|
w
1
2
φn
wn
1 2 3 4 5
−1−2−3−4−5
π
−π
E 4.3.3.
a) Problema 3.2.4 item a:
f(t) =
2
π
−
4
π
∞∑
n=1
cos(2nπt)
4n2 − 1
=
2
π
−
4
π
∞∑
n=1
1
4n2 − 1
(
e2nπit + e−2nπit
2
)
=
2
π
−
∞∑
n=1
2
π(4n2 − 1)
e
2nπit −
−∞∑
n=−1
2
π(4n2 − 1)
e
2nπit
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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 95
Veja os diagramas de espectro na figura abaixo.
|Cn|
wn
2
π
2π 4π 6π−2π−4π−6π
φn
2π
−2π−4π−6π
π
−π
b) Problema 3.2.5 item
h(t) =
2
π
−
4
π
∞∑
n=1
(−1)n cos(2nπt)
4n2 − 1
=
2
π
−
4
π
∞∑
n=1
(−1)n
4n2 − 1
(
e2nπit + e−2nπit
2
)
=
2
π
−
∞∑
n=1
2(−1)n
π(4n2 − 1)
e
2nπit −
−∞∑
n=−1
2(−1)n
π(4n2 − 1)
e
2nπit
Veja os diagramas de espectro na figura abaixo.
|Cn|
wn
2
π
2π 4π 6π−2π−4π−6π
φn
2π−2π−4π−6π
π
−π
E 6.2.1.
1
1 23
y = f(t)
t
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96 Cálculo Numérico
F (w) = F{f(t)} =
∫ ∞
−∞
f(t)e
−iwt
dt
=
∫ ∞
0
e
−at
e
−iwt
dt
=
∫ ∞
0
e
−at (cos(wt) − i sen (wt)) dt
=
a
a2 + w2
−
iw
a2 + w2
onde se usou os itens 1 e 2 da tabela A.
E 6.2.2.
1
1 2 3−1−2−3
y = f(t)
t
F (w) = F{f(t)} =
∫ ∞
−∞
f(t)e
−iwt
dt
=
∫ ∞
−∞
e
−at2
e
−iwt
dt
=
∫ ∞
−∞
e
−at2
(cos(wt) − i sen (wt)) dt
= 2
∫ ∞
0
e
−at2
cos(wt)dt
=
√
π
√
a
e
− w2
4a
onde se usou o item 8 da tabela A.
E 6.2.3. f(t) = 1
π
cos(w0t)
E 6.2.4. f(x) = 1
2
√
π
e
− x2
4
E 6.2.8.
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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 97
F (w) = F{f(t)} =
∫ ∞
−∞
f(t)e
−iwt
dt
=
∫ ∞
−∞
[
∞∑
j=0
δ(t − j)e
−j
]
e
−iwt
dt
=
∞∑
j=0
∫ ∞
−∞
δ(t − j)e
−j
e
−iwt
dt
=
∞∑
j=0
e
−j
e
−iwj =
∞∑
j=0
e
−(1+iw)j
=
1
1 − e−(1+iw)
=
1
1 − e−1 (cos(w) − i sen (w))
=
1
1 − e−1 cos(w) + ie−1 sen (w)
=
1 − e−1 cos(w) + ie−1 sen (w)
(
1 − e−1 cos(w)
)2
+ e−2 sen 2(w)
=
1 − e−1 cos(w) + ie−1 sen (w)
1 − 2e−1 cos(w) + e−2
E 7.2.1.
F (w) =
∫ ∞
−∞
te
−t2
e
−iwt
dt = −2i
∫ ∞
0
te
−t2
sen (wt)dt
= −2i
[
−
e−t2
2
sen (wt)
]∞
0
+ 2i
∫ ∞
0
(
−
e−t2
2
)
w cos(wt)dt
= −iw
∫ ∞
0
e
−t2
cos(wt)dt
= −iw
√
π
2
e
− w2
4 = |F (w)|eiφ(w)
onde
|F (w)| = |w|
√
π
2
e
− w2
4 e φ(w) =
{
− π
2
, w > 0,
π
2
, w < 0.
Veja o diagrama de espectro na figura abaixo.
1
|F (w)|
w
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98 Cálculo Numérico
1 2 3 4 5−1−2−3−4−5
φ(w)
w
π
2
−π
2
E 8.1.2.Ver figura abaixo.
|F (w)|
w
1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6
φ(w)
w
π
−π
E 8.1.5.
a)
F {g(t)} = F {f(t − a)} = F {f(t)} e
−iaw
|F {g(t)}| = |F (w)| |e−iaw | = |F (w)|
Onde se usou a propriedade 8.1.4 Logo o diagrama de magnitude é o mesmo do de f(t).
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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 99
b)
F {g(t)} = F {f(2t)} =
1
2
F
(
w
2
)
|F {g(t)}| =
1
2
∣
∣
∣F
(
w
2
)∣
∣
∣ .
Onde se usou a propriedade 8.1.11.
5
10
100 200 300 400 500−100−200−300−400−500
|G(w)|
w
c)
F {g(t)} = F {f(−t)} = F (−w)
|F {g(t)}| = |F (−w)| =
∣
∣F (w)
∣
∣ = |F (w)| .
Onde se usou a propriedade 8.1.9 e, depois, 8.1.8.
10
20
30
100 200 300 400 500−100−200−300−400−500
|G(w)|
w
d)
F {g(t)} = F {3f(t)} = 3F (w)
|F {g(t)}| = 3 |F (w)| .
Onde se usou a propriedade 8.1.1.
e)
F {g(t)} = F {f(t) cos(1000t)}
=
1
2
[F (w − 1000) + F (w + 1000)]
5
10
500 1000−500−1000−1500
|G(w)|
w
f)
F {g(t)} = F
{
f(t) cos2(1000t)
}
= F
{
f(t)
(1 + cos(2000t))
2
}
=
1
2
F (w) +
1
4
[F (w − 2000) + F (w + 2000)]
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100 Cálculo Numérico
2.5
5.0
500 1000 1500 2000−500−1000−1500−2000−2500
|G(w)|
w
g)
F {g(t)} = F {f(t) sen (1000t)}
=
i
2
[F (w + 1000) − F (w − 1000)]
Veja o diagrama de magnitudes no gráfico abaixo.
h)
g(t) = f(t)| sen (1000x)| = f(t)
[
2
π
−
4
π
(
cos(2000x)
1 · 3
+
cos(4000x)
3 · 5
+
cos(6000x)
5 · 7
+ · · ·
)]
(8.46)
F{g(t)} =
2
π
F (w) −
2
3π
(F (w + 2000) + F (w − 2000))
−
2
15π
(F (w + 4000) + F (w − 4000)) −
2
35π
(F (w + 6000) + F (w − 6000)) + · · ·
Veja o diagrama de magnitudes no gráfico abaixo.
5
2000 4000 6000−2000−4000−6000
|G(w)|
w
i) Usamos a propriedade 8.1.2 para obter
F{g(t)} = iwF (w).
Veja o diagrama de magnitudes no gráfico abaixo.
500
500 1000−500−1000
|G(w)|
w
j)
F{g(t)} = F{f(t) ∗ f(t)} = F (w)2
|G(w)| = |F (w)|2
.
Onde se usou a propriedade da convolução 8.1.7. Veja o diagrama de magnitudes no gráfico abaixo.
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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 101
25
50
75
100
100 200 300 400 500−100−200−300−400−500
|G(w)|
w
k)
∫ ∞
−∞
f(t)2
dt =
∫ ∞
−∞
|f(t)|2
dt
=
1
2π
∫ ∞
−∞
|F (w)|2
dw
=
1
π
∫
250
0
10
(
1 −
w
250
)2
dw
=
100
π
∫ 0
1
u
2 (−250) du
=
25000
π
∫
1
0
u
2
du
=
25000
π
[
u3
3
]1
0
dw
=
25000
3π
l)
∫ ∞
−∞
f(t)dt = F (0)
∣
∣
∣
∣
∫ ∞
−∞
f(t)dt
∣
∣
∣
∣
= |F (0)| = 10
E 8.1.6.
a) 0
b) ff = 2070rad/s = 329.6Hz, equivalente à nota mi.
c) O diagrama é dada na figura abaixo.
25
50
75
100
1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6
|F (w)|
w (em 1000 rad/s)d) Idêntico ao original.
e) Idêntico ao original.
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102 Cálculo Numérico
f) Veja o diagrama abaixo.
25
50
75
100
1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4−5−6−7
|F (w)|
w (em 1000 rad/s)
g)
a =
392
329.6
= 1.19 (8.47)
E 8.1.7. Use o teorema da modulação. No caso c), considere h(t) = [u(t − 4) − u(t + 4)] cos(10t).
E 8.1.8.
a) wf = 220π rad/s e ff = 110 Hz, equivalente ao Lá da escala 1.
b) Mi da escala 2.
c) Lá da escala 1.
d) Lá da escala 2.
e) Lá da escala 1. Percebe-se alteração na composição harmônica da nota, isto é, identicamos como uma alteração de timbre.
E 9.1.1.
lim
t→0
u(x,t) =
Q
A
lim
t→0
1
√
4πµt
e
− (x−x0)2
4µt
=
{
0, x 6= x0
∞, x = x0
Como,
∫ ∞
−∞
1
√
4πµt
e
− (x−x0)2
4µt dx =
2
√
4πµt
∫ ∞
0
e
− x2
4µt dx
=
2
√
4πµt
√
π
√
4µt
2
= 1,
onde se usou item 8 da tabela de integrais A com a = 1√
4µt
, então
lim
t→0
u(x,t) =
Q
A
δ(x − x0) (9.12)
E 9.2.1. Aplicamos a transforma de Fourier na variável x, obtemos a seguinte expressão para a equação transformada
Ut(k,t) − v(ik)U(k,t) − (ik)2
U(k,t) = 0 (9.15)
onde foi usada a propriedade da derivada. A condição inicial se torna:
U(k,0) = 500
∫ ∞
−∞
δ(x)e
−ikx = 500 (9.16)
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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 103
Portanto temos o seguinte problema de valor inicial:
Ut(k,t) = (−k
2 + ivk)U(k,t) (9.17)
U(k,0) = 500 (9.18)
cuja solução é
U(k,t) = 500e
(−k2+ivk)t = 500e
ivkt
e
−k2t (9.19)
A multiplicação por eivtk indica um deslocamento no eixo x. Logo precisamos calcular:
F−1
x
{
e
−k2t
}
=
1
2π
∫ ∞
−∞
e
−k2t
e
ikx
dk =
1
π
∫ ∞
0
e
−k2t cos(ikx)dk
=
1
π
√
π
2
√
t
e
− x2
4t =
1
2
√
πt
e
− x2
4t
Portanto
u(x,t) =
250
√
πt
e
− (x+vt)2
4t =
250
√
πt
e
− (x+t)2
4t (9.20)
E 9.3.1.
a)
y(x,t) =
1
2
(
e
−|x+t| + e
−|x−t|
)
.
b)
y(x,t) =
1
2
(
e
−3|x+t| + e
−3|x−t|
)
+
1
2
∫
x+t
x−t
e
−η2
dη.
E 9.4.1.
y(x) =
P
EI
√
2
8a3
e
−ax sen
(
ax +
π
4
)
,
onde a =
(
C
4EI
) 1
4 .
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Referências Bibliográficas
[1] I. Strauch. Análise de Fourier em 9 aulas. Notas de aula, Porto Alegre, 2006.
[2] D. G. Zill. Equações Diferenciais. CENGAGE Learning, São Paulo, 2012.
104
	Organizadores
	Licença
	Nota dos organizadores
	Prefácio
	Introdução
	Revisão de números complexos e funções trigonométricas
	Funções trigonométricas
	Números complexos e fórmula de Euler
	Séries de Fourier
	Funções periódicas
	Séries de Fourier
	Representações da série de Fourier e diagramas de espectro
	Forma harmônica
	Forma exponencial
	Diagramas de espectro
	Propriedades das Séries de Fourier
	Teorema de Parseval
	Fenômeno de Gibbs
	Transformada de Fourier
	Passagem do discreto para o contínuo
	Transformada de Fourier
	Representações da transformada de Fourier e diagramas de espectro
	Forma trigonométrica
	Diagramas de espectro
	Propriedades da transformada de Fourier
	Propriedades
	O teorema de Parseval e o princípio da Incerteza
	Passagem do contínuo para o discreto
	Aplicação: Sinais Discretos
	Equações diferenciais parciais
	Equação do Calor
	Equação do calor com termo fonte
	Equação da Onda
	Vibrações livrestransversais
	Tabelas
	Respostas dos Exercícios
	Referências Bibliográficas