MMF1 - Djairo G Figueiredo - Análise de Fourier e EDP - 4a ed

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FICHA CATALOGRÁFICA
(Preparada pelo Centro de Catalogaçâo-na-fonte, 
Câmara Brasileira do Livro, SP)
Figueiredo, Djairo Guedes de, 1934- 
F489a Análise de Fourier e equações diferenciais parciais. Rio de 
Janeiro, Instituto ds Matemática Pura e Aplicada, CNPq, 1977. 
(Projeto Euclides)
Bibliografia.
1. Análise de Fourier 2. 
Título. II. Série.
Equações diferenciais parciais
77-1420
17. CD D -517.355
18. -515.2433
17. -517.383
18. -515.353
índices para catálogo sistemático:
1. Análise de Fourier: Matemática 517.355 (17.) 515.2433 (18.)
2. Equações diferenciais parciais: Matemática 517. 383 (17.) 515.353 (18.)
djairo guedes de 
figueiredo 
anáiise de fourier e 
equações diferenciais
parciais
Quarta Edição
impa
INSTITUTO DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA
Copyright, © 2000 by Djairo Guedes de Figueiredo 
Direitos reservados, 2000 por Conselho Nacional de 
Desenvolvimento Científico e Tecnológico, CNPq,
Av. W-3 Norte, Brasília, DF
Impresso no Brasil / Prínted in Brazíl
capa: Gian Calví Criação Visual Ltda.
Projeto Euclides
Comissão Editorial:
• Elon Lages Lima (editor)
• Jonas Gomes
• Paulo Sad
Títulos Publicados:
• Curso de Análise, Volume 1 - Elon Lages Lima
• Aplicações da Topologia à Análise - Chaim Samuel Hônig
• Espaços Métricos - Elon Lages Lima
• Introdução aos Sistemas Dinâmicos - Jacob Palis e Wellington C. de Melo
• Introdução à Álgebra - Adilson Gonçalves
• Aspectos Teóricos da Computação - Cláudio L Lucchesi, Imre Simon,
Istvan Simon, Janos Simon e Tomasz Kowaltowski
• Teoria Geométrica das Folheações - Alcides Lins Neto e Cesar Catnacho
• Geometria Riemanniana - Manfredo R do Carmo
• Lições de Equações Diferenciais Ordinárias - Jorge Sotomayor
• Curso de Análise, Volume 2 - Elon Lages Lima
• Introdução à Teoria ergódica - Ricardo Mané
• Operadores Auto-adjuntos e Equações diferenciais Parciais - Javier Thayer
• Teoria dos Números Algébricos - Otto Endler
• Equações Diferenciais Parciais: uma introdução - Rafael lório Jr. e Valéria lório
• Álgebra: um curso de Introdução - Arnaldo Leite R Garcia e Yves ALbert E. Lequain
• Grupo Fundamental e Espaços de Recobrimento - Elon Lages Lima
• Funções de Uma Variável Complexa - Alcides Lins Neto
• Probabilidade: um curso em nível introdutório - Barry R. James
• Medida e Integração - Pedro Jesus Fernandez
• Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais - Djairo Guedes de Figueiredo
Distribuição
SBM, Sociedade Brasileira de MatemÀtica 
Estrada Dona Castorina, 110 
22460-320, Rio de Janeiro, RJ 
e-mail: sbm@impa.br
ISBN 85-244-0120-6
mailto:sbm@impa.br
À dona Mira, minha mãe, 
Sorriso e bondade.
Em seus setenta anos.
CO NTEÚDO
PREFÁCIO..................................................................................................... IX
INTRODUÇÃO.............................................................................................. XIII
CAPÍTULO 1 POR QUE ESTUDAR SÉRIES DE FOURIER?................. 1
1.1 Condução do calor numa b a r ra ....................................................... 1
1.2 Formulação matemática do problema da condução do calor 5
CAPITULO 2 SÉRIES DE FOURIER......................................................... 12
2.1 Funções periódicas.......................................................................... 12
2.2 Convergência un ifo rm e................................................................... 14
2.3 Coeficientes de F o u rie r ................................................................... 16
2.4 Série de F o u rie r............................................................................... 18
2.5 Séries de Fourier de funções pares e ím p ares................................ 23
2.6 Cálculo de algumas séries de Fourier............................................... 24
2.7 Integração de séries de Fourier......................................................... 31
2.8 Estimativas dos coeficientes de Fourier.......................................... 35
2.9 Forma complexa da série de Fourier............................................... 37
2.10 Identidade de Parseval..................................................................... 38
2.11 Nota histórica.................................................................................... 40
Exercícios........................................................................................................ 42
CAPÍTULO 3 CONVERGÊNCIA DAS SÉRIES DE FOURIER ........... 48
3.1 Classes das funções consideradas.................................................... 48
3.2 Convergência pontual da série de Fourier..................................... 53
3.3 Lema de Riemann-Lebesgue........................................................... 56
3.4 Convergência pontual da série de Fourier (continuação).............. 58
3.5 Desigualdade de Bessel..................................................................... 60
3.6 Desigualdades de Cauchy-Schwarz e de Minkowski...................... 63
3.7 Convergência uniforme da série de Fourier................................... 68
3.8 Núcleos de D ira c ............................................................................ 72
3.9 Teorema da aproximação de Weierstrass........................................ 77
3.10 O teorema de Fejér.......................................................................... 80
3.11 Identidade de Parseval..................................................................... 84
3.12 Funções de variação lim itada ......................................................... 88
3.13 Fenômeno de G ib b s ....................................................................... 93
3.14 Problema isoperimétrico ................................................................ 96
3.15 Nota h istó rica ................................................................................. 99
Exercícios....................................................................................................... 100
CAPfTUL0 4 EQUAÇÃO DO CA LO R .......................... 102
4.1 Condução do calor: barra com extremidades mantidas a 0 °C 102
4.2 Condução do calor: barra sujeita a outras condições laterais 108
4.3 Condições de fronteira não-homogéneas........................................ 112
4.4 Equação do calor não-homogênea.................................................. 114
4.5 Condução do calor em uma barra não-homogênea....................... 118
4.6 Unicidade de solução do PVIF (1 ) .................................................. 120
4.7 Variações da temperatura do s o lo .................................................. 124
Exercícios........................................................................................................ 127
CAPÍTULOS EQUAÇÃO DAS O N D A S............................................. 130
5.1 Equação da corda vibrante.............................................................. 130
5.2 Resolução por séries de Fourier .................................................... 134
5.3 Energia da corda vibrante .............................................................. 139
5.4 Harmônicos, freqüéncia, am plitude............................................... 142
5.5 Corda dedilhada............................................................................... 144
5.6 Vibrações forçadas. Ressonância............................................. 146
5.7 Corda infinita .................................................................................. 149
5.8 Corda semi-infinita.......................................................................... 160
5.9 Linhas de transmissão..................................................................... 164
5.10 Vibrações longitudinais de uma bana e lástica.............................. 168
5.11 Soluções generalizadas à Sobolev ..................................................... 172
f^xercícios........................................................................................................ 182
CAPÍTULO 6 TRANSFORMADA DE FOURIER EAPLICAÇÕES-------- 191
6.1 À guisa de motivação ...................................................................... 191
6.2 Definição da transformada de F o u rie r........................................... 196
6.3 Espaço e transformada de Fourier em 5^ ............................. 200
6.4 Produto de convolução................................................................... 207
6.5 Teorema de Plancherel ................................................................... 211
6.6 Fórmula do somatório de Pòisson e equação do calor ................. 213
6.7 Problema de Cauchy para a equação do c a lo r .............................. 216
6.8 Condução do calor na barra semi-infmita...................................... 220
Apêndice Funções representadas por integrais.......................................... 222
Exercícios........................................................................................................ 238
CAPÍTULO 7 EQUAÇÃO DE LAPLACE.............................................. 245
7.1 Problema de D irichlet............ ......................................................... 245
7.2 Problema de Dirichlet no retângulo................................... .. . . . . 249
7.3 Problema de Dirichlet no disco....................................................... 251
7.4 Problema de Dirichlet para a equação de Laplace num semiplano 257
Exercícios........................................................................................................ 259
Respostas e sugestões....................................................................................
Referências......................................................................................................
Índice...............................................................................................................
PREFÁC IO
O objetivo central do presente texto é a resolução de algumas equações 
diferenciais parciais que aparecem em problemas da Física Matemática. 
Para isso, teremos de desenvolver certos métodos, sendo que o primeiro 
deles é o Método de Fourier, cujo ingrediente essencial é a série de Fourier. 
Um outro método introduzido utiliza a transformada de Fourier. Por­
tanto, sendo a série e a transformada de Fourier as duas ferramentas 
básicas usadas, dedicamos alguns capítulos à chamada Análise de Fourier.
O espírito que nos guiou na ordenação da matéria do texto foi o 
de desenvolver o instrumental matemático à proporção em que ele se 
fazia necessário. Assim, decidimos iniciar o presente trabalho apresen­
tando um problema da Física Matemática. A seguir, durante a resolução 
do mesmo, fomos motivando a introdução de certos conceitos e justi­
ficando certos teoremas. Parece-nos que esse ponto de vista é particular­
mente instrutivo para o estudante. Um tal procedimento responde, por 
si mesmo, àquela preocupação do aluno sobre a utilidade das teorias 
matemáticas que estuda, mostrando como e por que elas foram criadas. 
Procuramos também mostrar a força dos métodos introduzidos, apli- 
cando-os à resolução de vários outros problemas da Física Matemática.
Tentamos fazer um texto que fosse utilizável pelos alunos de graduação 
dos cursos de Engenharia, Física e Matemática, bem como pelos alunos 
do curso de Mestrado em Matemática. Visando os primeiros, pusemos 
como pré-requisito apenas o Cálculo Diferencial e Integral de uma e 
várias variáveis. Entretanto algum material requerendo maior conhe­
cimento matemático foi colocado em secções e observações isoladas ao 
longo do texto, de modo a permitir que o leitor as omita caso desejar. 
Fizemos isso visando a um duplo objetivo: despertar a curiosidade do 
leitor iniciante e mostrar ao leitor mais avançado a relevância de algumas 
teorias matemáticas que ele estudou.
A necessidade de um texto com o enfoque escolhido se deve, ao nosso 
ver, a uma série de problemas atuais no ensino de Matemática, os quais 
estão intimamente interligados, como passamos a expor.
a) Nos cursos de Engenharia e de Física, as disciplinas do ciclo básico 
ministradas pelos Departamentos de Matemática contêm poucas apli­
cações, e seus programas visam pouco ao uso futuro no ciclo profissional. 
Neste, a Matemática é utilizada de “modo diferente” daquele que o aluno 
viu no ciclo básico! Em algumas disciplinas do ciclo profissional, a Mate­
mática necessária é desenvolvida ad hoc! Parecem faltar, no ciclo básico, 
algumas disciplinas de conexão, como sejam Métodos Matemáticos da 
Física ou Equações Diferenciais Parciais, ou, até mesmo. Equações Dife­
renciais Ordinárias, apresentadas com uma forte dosagem de aplicações 
à Física e à Engenharia. Onde anda aquela cadeira, dos antigos cursos 
de Engenharia, que era tão útil nesse espírito de conexão, a qual era mi­
nistrada pelos departamentos de Matemática, e que trazia aquele nome 
tão pitoresco: “Mecânica racional precedida de elementos de cálculo 
vetorial”?
b) Nos cursos de graduação em Matemática, bacharelado e licen­
ciatura, quase todas as disciplinas são oferecidas pelo Departamento de 
Matemática, via de regra, com um enfoque pouco aplicado. A Física, a 
Química e a Biologia comparecem na quantidade mínima para atender 
às exigências da legislação federal. Existe em alguns lugares a idéia bizarra 
de que essas matérias são um trambolho que deve ser logo superado para 
que o aluno possa logo se dedicar às disciplinas matemáticas, pois são 
estas que realmente importam. Será? Que vão fazer esses alunos após 
se tornarem bacharéis ou licenciados? Talvez a maior parte deles vá ensinar 
pessoas para as quais a Matemática é apenas uma ferramenta. Não seria 
bom que esses professores tivessem aprendido um pouco da linguagem 
das aplicações para melhor motivar seus alunos?
c) O aluno de Mestrado em Matemática é o bacharel ou o licenciado 
formado no espírito da letra (b) acima. É, via de regra, pessoa avessa às 
aplicações, não porque as conheça e as julgue desagradáveis, mas sim por­
que não as conhece e as teme. A maioria dos programas de Mestrado 
em Matemática não procura sanar esse problema. Talvez se julgue que 
seja demasiado tarde. Desse modo, os cursos de Mestrado se limitam a 
melhorar o nível de conhecimento estritamente matemático dos alunos 
egressos de nossas graduações. Mestres formados nesse esquema pouco 
poderão fazer no sentido de minorar os problemas das letras (a) e (b) 
acima. Não cremos que seja dificil fazer algo, nesse nível de Mestrado, 
para atacar os problemas que expusemos anteriormente. A introdução 
de certas disciplinas, como, por exemplo. Equações Diferenciais Parciais, 
no espírito do presente texto, seria um passo na direção de futuros pro­
gramas mais ambiciosos.
Meus agradecimentos a todos que leram o manuscrito ou partes 
do mesmo e nos deram sugestões e apontaram incorreções; em particular, 
aos professores David Goldstein Costa, José Valdo Gonçalves, Nelson 
Ortegosa da Cunha, Pedro Nowosad e Wellington Santiago.
Brasília, novembro de 1977
Djairo Guedes de Figueiredo
“Returning to the question of the Conduction of Heat, we have first 
of all to say that the theory of it was discovered by Fourier, and given to 
the world through the French Academy in his Théorie analytique de la 
chaleur, with Solutions of problems naturally arising from it, of which it 
is difficult to say whether their uniquely original quality, or their trans- 
cendently intense mathematical interest, or their perennially important 
instructiveness for physical Science, is most to be praised.” (Kelvin, Ency- 
clopaedia Britannica, 1878.)
“Par rimportance de ses decouvertes, par Tinfluence décisive qu’il 
a exercé sur le développement de la Physique mathématique, Fourier 
méritait rhommage qui est rendu aujourd’hui à ses travaux et à sa mé- 
moire. Son nom figurera dignement à côté des noms, ilustres entre tous, 
dont la liste, destinée à s’accroitre avec les années, constitue dés à présent 
un véritable titre d’honneur pour notre pays. La Théorie analytique de 
la Chaleur. . . ,que l’on peut placer sans injustice à côté des écrits scien- 
tifiques les plus parfaits de tous les temps, se recommande par une expo- 
sition intéressante et originale des principes fondamentaux.” (Darboux, 
Oeuvres de Fourier, 1, 1888.)
“La théorie de la chaleur de Fourier est un des premiers exemples 
de Tapplication de 1’analyse à la physique; en partant d’hypothéses simples 
qui ne sont autre chose des faits expérimentaux généralisés, Fourier en 
a déduit une série de conséquences dont Tensemble constitue une théorie 
compléte et cohérente. Les résultats qu’il a obtenu sont certes intéressants 
par eux-mêmes, mais ce qui l’est plus encore est la méthode qu’il a employé 
pour y parvenir et qui servira toujours de modèle à tous ceux qui voudront 
cultiver une branche quelconque de la physique mathématique. J’ajouterai 
que le livre de Fourier a une importance capitale dans 1’histoire des mathé- 
matiques et que Tanalyse pure lui doit peut-être plus encore que 1’analyse 
appliquée.” (Poincaré, Théorie analytique de la propagation de la chaleur, 
1891.)
IN TRO DU ÇÃO
O estudo das Equações Diferenciais começa com a criação do Cálculo 
Diferencial e Integral no século XVII, e é guiado, inicialmente, por suas 
aplicações à mecânica das partículas. Nessas aplicações, o uso de leis 
fisicas, como as três de Newton da Dinâmica e a lei da gravitação uni­
versal, possibilita obter equações diferenciais ordinárias que representam 
os fenômenos em estudo. O sucesso em tratar esses problemas utilizando 
o Cálculo Diferencial foi um enorme estímulo aos físicos e matemáticos 
do século XVIII em procurar modelos para problemas da Mecânica do 
Contínuo e de outros ramos da Física (Termologia, por exemplo) que 
expressem os fenômenos em termos de Equações Diferenciais. Entretanto 
as equações resultantes, sendo equações diferenciais parciais, trazem sérias 
dificuldades matemáticas em sua resolução. As três equações básicas que 
já aparecem nos estudos dos matemáticos do século XVIII são as seguintes: 
no problema das vibrações transversais de uma corda, a posição u(x, t) 
de um ponto x da corda, num instante í, deve satisfazer à equação das ondas
no problema da condução do calor em uma barra, a temperatura w(x, í) 
do ponto X da barra, no instante í, deve satisfazer à equação do calor
•
No problema do equilíbrio de uma membrana sob a ação de certas forças, 
obtém-se que uma certa função u(x, y) deve satisfazer à equação de Laplace
+ “yy =
em uma região do plano x, y.
Para esses problemas, a obtenção de soluções satisfazendo, além da 
equação diferencial, a certas condições iniciais ou condições de fronteira 
é uma tarefa difícil. E esse é o objetivo central deste trabalho.
O método de resolução desses problemas é conhecido como o método 
de Fourier, o qual consiste em duas etapas. Na primeira, utiliza-se sepa­
ração de variáveis para obter problemas de autovalor, para equações 
diferenciais ordinárias, estreitamente relacionados com as equações dife­
renciais parciais em estudo. Nessa etapa, obtém-se uma família de soluções 
da equação diferencial parcial que satisfazem a uma parte das condições
de fronteira. A idéia básica, a seguir, é utilizá-las para compor a solução 
do problema como uma série cujos termos são produtos dessas soluções 
por coeficientes adequadamente escolhidos; essa é a segunda etapa, que 
requer a chamada Análise de Fourier.
No Capítulo 1, aplica-se o método de Fourier para o tratamento 
detalhado do problema da condução do calor em uma barra; visamos, 
desse modo, motivar o estudo das séries de Fourier através de um exemplo 
de bastante significado histórico. De fato, esse é precisamente um dos 
problemas estudados por Fourier em seu tratado de 1822, Théorie ana~ 
lytique de la chaleur (Teoria analítica do calor). É nesse trabalho que o 
problema de representação de uma função por uma série trigonométrica 
é colocado em termos mais claros, concluindo uma era de estudo desse 
problema, marcada por dúvidas e controvérsias mantidas entre eminentes 
matemáticos como d’Alembert, Euler, Daniel Bernoulli e Lagrange. Re- 
conheça-se que o trabalho de Fourier carece de rigor, o que é absoluta­
mente compreensível porque, na época, a Análise não estava ainda em 
bases sólidas. Foram precisamente as dúvidas e imprecisões em problemas 
como os da convergência da série de Fourier, cuja relevância era indis­
cutível, que motivaram matemáticos como Cauchy, Bolzano, Dirichlet e 
outros, a procederem a uma formalização mais cuidadosa da Análise.
Os Capítulos 2 e 3 contêm uma teoria das séries de Fourier, e a sepa­
ração em dois capítulos visa a atender diferentes grupos de leitores. Aqueles 
que têm menor interesse pelas questões matemáticas e visam mais ás 
aplicações das séries de Fourier poderão omitir o Capítulo 3, ou, pelo 
menos, ler apenas os resultados, deixando as demonstrações de lado.
Com o instrumental adquirido nos Capítulos 2 e 3, tratam-se, no 
Capítulo 4, vários problemas de condução do calor em uma barra.
O Capítulo 5 estuda os vários problemas para a equação unidimen­
sional das ondas. Além de utilizarmos o método de Fourier, tratamos 
alguns problemas usando o fato de que a equação das ondas possui uma 
solução geral, o que já foi observado por d’Alembert. Esse capítulo contém, 
na Secção 5.11, um estudo detalhado da existência de solução generalizada 
para a equação das ondas; os leitores que não estejam familiarizados 
com a teoria da integral de Lebesgue podem omitir essa secção, onde 
se faz uso dos chamados espaços de Sobolev.
Outro instrumental básico introduzido neste texto é a transformada 
de Fourier. O Capítulo 6 versa sobre ela e algumas de suas aplicações 
às equações do calor e das ondas.
Finalmente, o Capítulo 7 trata o problema de Dirichlet para a equação 
de Laplace em regiões muito simples como retângulos, discos ou coroas.
Para essas regiões, que têm um certo grau de simetria, o método de Fourier 
funciona particularmente bem. O problema de Dirichlet para regiões 
mais gerais requer outras técnicas, e foge ao objetivo deste trabalho.
Esperamos ter procedido a um desenvolvimento, suficiente para nossos 
propósitos, das séries e transformadas de Fourier, bem como discutido 
um número de exemplos que mostram a força e a utilidade dos métodos 
introduzidos. O Autor procurou manter a um mínimo os pré-requisitos 
matemáticos, visando a tornar o texto acessível a pessoas que tenham 
interesse nas aplicações, mas que careçam ainda de um conhecimento 
mais amplo das modernas teorias matemáticas. Apesar disso, procurou-se, 
através de diversas observações (quando marcadas com um asterisco (*), re­
querem o conhecimento de Álgebra Linear; quando marcadas com dois (**), 
exigem, além disso, familiaridade com a integral de Lebesgue), mostrar as 
conexões do que estudamos com outros ramos da Matemática atual; e não 
esqueçamos que boa parte dessa Matemática foi criada no estudo de ques­
tões como as consideradas neste texto. Espera-se assim motivar os leitores a 
aprofundarem seus conhecimentos matemáticos.
A questão central na teoria das séries de Fourier é expressar uma 
dada função como uma série de senos ou (e) co-senos, os quais, como 
veremos no texto, são autofunções de determinados problemas de auto­
valor. A consideração de certos problemas para as equações diferenciais 
parciais em estudo conduz à necessidade de escrever-se uma dada função 
como uma série de autofunções de problemas de autovalor mais gerais. 
Essas questões são bem mais dificeis e, para atacá-las de modo mais con­
ciso e elegante, requer-se um instrumental matemático mais poderoso: 
em vista disso, decidimos omiti-las do presente trabalho.
CAPÍTULO 1
POR QUE ESTU DAR S É R IE S DE
FO U R IER7
Este capitulo, além de responder à pergunta enunciada no titulo 
do capitulo, mostra como surgiu a teoria das séries de Fourier, e assim 
se constitui em uma motivação adequada para o trabalho desenvolvido 
em parte substancial deste texto. Estudaremos o problema da condução 
do calornuma barra. Na tentativa de resolvê-lo, usaremos a matemática 
que aprendemos nos cursos de Cálculo Diferencial e Integral e de Equações 
Diferenciais, e chegaremos à conclusão de que ela é insuficiente. Espe­
ramos convencer o leitor de que a resolução do problema requer algo 
mais, e que esse algo mais é a série de Fourier.
1.1 Condução do calor numa barra
Considere uma barra de comprimento L, cuja secção transversal tem 
área A, feita de um material condutor uniforme de calor. Suponhamos 
que a superficie lateral da barra esteja isolada termicamente de modo a 
não permitir, através dela, transferências de calor com o meio ambiente. 
Transferências podem, entretanto, ocorrer através das extremidades da 
barra.
Figura 1.1
Isolamento
térmico
A uniformidade do material e o isolamento térmico lateral implicam 
que o fluxo de calor se dê somente na direção longitudinal, e, portanto, 
estamos em presença de um problema de condução do calor em uma 
dimensão apenas. Mais precisamente, as várias grandezas fisicas são cons­
tantes em cada secção transversal, podendo, obviamente, variar de uma 
secção para outra.
A lei do resfriamento de Fourier diz o seguinte: considere duas placas, 
Pj e P2 » de áreas iguais a A, mantidas constantemente às temperaturas
[ Capftulo 1 ]
Tj e T2 , respectivamente; se colocadas paralelamente a uma distância d 
uma da outra, haverá passagem de calor da placa mais quente para a 
mais fria, e a quantidade de calor, por unidade de tempo, transferida de 
uma placa para outra é dada por
kA\T2-T^\
Q = (1)
onde k é a condutibilidade térmica do material entre as placas. No sistema 
CGS, k tem as dimensões de cal/cm-s-°C. Utilizaremos a seguir essa lei 
para estudar a condução do calor na barra.
Representemos por m(x , t) a temperatura de um ponto de abcissa x 
(imaginemos que a barra esteja colocada sobre o eixo dos x, como indica 
a Figura 1.2) no tempo t. Observe que a temperatura independe das coor­
denadas espaciais y c z.
Tomemos duas secções transversais da barra localizadas em x e 
em X -h d. Para aplicar a lei de Fourier, imaginamos essas secções como 
as placas Pj e P2 acima. Entretanto há uma dificuldade porque as tem­
peraturas nessas secções variam com o tempo, e, portanto, não são cons­
tantes como requer a lei de Fourier. Para superar essa dificuldade, vamos 
introduzir a grandeza fluxo de calor através duma secção x, num instante í, 
o que será feito do seguinte modo: fixe o tempo f em (1), faça T2 = u(x -h d, t) 
e Tj = u(x, í), e passe ao limite quando d tende a zero. Tal limite será 
kA\u^(x, í)|. Definimos, então, o fluxo de calor na direção positiva do 
eixo X como uma função q(x, t) dada por
q(x, t) = -kAu^(x, t), (2)
O sinal menos em (2) é justificado do seguinte modo: se a temperatura u 
crescesse com x, seria positivo; mas, como o calor fluiria para a esquerda,
[ Secçâk) 1 -1 ]
q deveria ser negativo. Por outro lado, se u decrescesse com x, seria 
negativo, mas, como o calor fluiria para a direita, q deveria ser positivo.
Fixemos agora um elemento da barra entre Xq e Xq + á, e vejamos 
qual é a quantidade de calor (q) que aí entra, no período de tempo entre 
íq e íq -h T. Usando o fluxo de calor q(x, í), podemos ver que
q = <7(Xq , t ) d t - \ q{xo + S, t) dt,
t̂o •'ÍO
OU seja.
Jto
to + r
0 - dt. (3)
Por outro lado, sabemos que o calor específico (c) de uma substância 
é a quantidade de calor necessária para elevar em 1 ”C a temperatura de 
um grama dessa substância. Portanto q pode ser também escrito como
J*to + T pOCo + <5 cu,{x, t)dt p A dx, (4)
to Jxo
onde p é a densidade da substância.
Usando o teorema fundamental do cálculo em (3) e, a seguir, igua­
lando o valor de q assim obtido com o valor de q dado em (4), obtemos
lío + T fXo + ó pfo + t pxo + S
ku^J^x, t)dx dt = cpUj(x, t)dxdt (5)
wo •'XO
Como a expressão (5) é válida para todo íq > 0, todo 0 < Xq < L 
e todos T > 0 e á > 0, concluímos que
0 = í),
ou seja.
pio + T pjc 
JiO •'■XO
u, = Ku^ (6)
onde K = k/(cp) é a difusibilidade térmica, que, no sistema CGS, tem as 
dimensões cm^/s. Na Tabela 1.1 apresentamos os valores de K para dife­
rentes substâncias. A Equação (6) é chamada a equação do calor, e é a 
lei de variação da temperatura m(x , í) numa barra uniforme com a super­
fície lateral isolada termicamente.
Observações. Na dedução da equação do calor, fizemos várias hipóteses, 
algumas ditadas pela experiência, e, nesse caso, elas são 
leis físicas. Os fatos básicos na dedução foram: (i) a lei do resfriamento 
de Fourier e (ii) a expressão (4) da quantidade de calor em função do calor 
específico, c. Além disso, fez-se a hipótese de que a temperatura é uma
função cujas derivadas parciais até segunda ordem são contínuas na 
região do plano (x, í), dada por 0 < x < L e í > 0.
Tabela 1.1 Valores de K para diferentes substâncias
4 Capítulo 1 ]
Material
Prata
Cobre
Alumínio
Ferro fundido
Granito
Argila
Agua
X(cm Vs) ^
1,71
1,14
0,86
0,12
0,011
0,0038
0,00144
Análise do que fizemos até aqui. A temperatura m(x, t) da barra obedece
à equação do calor (6). Entretanto tal 
equação tem muitas soluções. Por exemplo, qualquer constante, m(x, t) = 
= constante, é uma solução de (6). Outras soluções triviais seriam m(x, t) = 
= cx, onde c é uma constante. E vemos que há muitas outras. Qual delas 
vai representar a distribuição de temperatura na barra? Aí entram em 
cena informações adicionais sobre o problema específico em estudo. Ini­
cialmente vemos que a distribuição de temperatura deve depender da 
temperatura inicial ao longo da barra. Fisicamente isso é razoável; mate­
maticamente é um dado essencial na determinação de m(x. t). Essa dis­
tribuição inicial da temperatura é a condição inicial do problema, e escre­
vemos que
M(x, 0) = / ( x ) ,
onde / : [0, L] -► IR é uma função dada que descreve a temperatura nos 
vários pontos da barra no instante t = 0.
Além dessa condição, é importante saber o que se passa nas extre­
midades da barra. Como elas não estão isoladas termicamente, pode 
haver entrada ou saída de calor. Isso deve, necessariamente, influir no 
valor de m(x, í). Temos, pois, de enunciar as condições de fronteira, as 
quais podem ser de vários tipos.
CONDIÇÕES DE FRONTEIRA. Tipo I. Suponhamos que, por algum
processo, as extremidades da 
barra sejam mantidas a temperaturas conhecidas. Por exemplo, tempera-
tura constante em cada extremidade,
u (0 ,t)= T i e m(L, í) = T 2 ,
onde Tj e T2 são temperaturas dadas. Um caso mais complexo seria 
aquele em que se conhece a variação da temperatura em uma extremidade 
(ou em ambas), isto é,
w(0, t) = h^{t) e u(L, t) = h,(tl
onde ^q(í) e h^(t\ para í > 0, são as temperaturas (conhecidas) em cada 
uma das extremidades.
Tipo II. Suponhamos que as extremidades estejam isoladas termicamente.
Isso quer dizer que os fluxos de calor através dex = 0 e x = L 
são nulos. Da Expressão (2) para o fluxo de calor, vemos que as condições 
laterais nesse caso têm a forma
u,(0, t) = t) = 0.
Tipo III. Suponhamos que o meio ambiente tenha temperatura Uq e que 
haja transferências de calor, entre a barra e o meio ambiente, 
regidas pela lei
kuJO, t) = ^{m(0, O-Uq},
-ku,(L, t) = e{u(L, í)-Wo},
onde e é uma constante, dita emissividade, característica do par constituído 
pelo material da barra e pelo meio ambiente.
Tipo IV. Uma combinação de duas quaisquer das condições acima, como, 
por exemplo,
u(0, í) = 0 e Wĵ (L, í) = 0.
[ Secção 1.2] 5
1.2 Formulação matemática do problema 
da condução do calor
Vamos representar por ât a região do plano (x, t) determinada por 
0 < x < L e í > 0 , e por ât a união de ^ com sua fronteira que é for­
mada pelas semi-retas (x = 0, í > 0} e {x = L, í > 0} e pelo segmento 
{0 ^ X < L, í = 0}. O problema da condução do calor consiste em de­
terminar uma função real u(x, t) definida em ^ que satisfaça à equação
[ Caprtulo 1 ]
do calor
em
que satisfaça à condição inicial
m(x, 0) = /(x), 0 < X < L,
(1)
(2)
onde /: [0, /.] -► IR é uma função dada, e, finalmente,que satisfaça às 
condições de fronteira. Vamos começar com o caso em que as tempe­
raturas nas extremidades da barra são mantidas constantemente zero, 
isto é,
u(0, t) = u(L, t) = 0. (3)
O problema dado em (l)-(3) é chamado um problema de valores inicial 
e de fronteira, ou problema misto. Neste trabalho preferimos a primeira 
terminologia porque ela explica melhor a natureza do problema.
Método de Fourier. Esse método consiste em, primeiramente, usar sepa­
ração de variáveis e procurar soluções w(x, í) do pro­
blema na forma
u(x, t) = F(x)G(t). (4)
Ao iniciar essa busca, esclarecemos que vamos proceder como o pesqui­
sador que procura descobrir algo. Faremos uma série de raciocínios infor­
mais, sem nos preocuparmos com a justificação rigorosa de cada passo. 
Nossa meta é descobrir uma função ou funções que se constituam candi­
datos razoáveis à solução do nosso problema. Uma vez identificado esse 
candidato tentaremos provar rigorosamente que ele é a solução do pro­
blema.
Substituindo (4) na equação do calor, obtemos
F(x)G'(t) = KF\x)G{t) (5)
ou 1 G '(t)^F '(x) 
K G(t) F(x) (6)
[Observe que, para passar de (5) para (6), devemos admitir que G(t) e 
F(x) nunca se anulam. Entretanto, no espírito enunciado acima, não nos 
preocuparemos com isso, por enquanto.]
Agora observe que o lado esquerdo de (6) é função apenas de t, en­
quanto que o lado direito é função apenas de x. Logo, tanto o lado es­
querdo de (6) como o lado direito (que são iguais!) devem independer
[ Secção 1. 2]
de X e de t. Isso quer dizer
F"(x) = a 1 G'(t) = (7)F(x) K G(t)
onde a é um parâmetro independente de í e de x.
A primeira equação, em (7), nos diz que F deve satisfazer à equação 
diferencial ordinária
F"{x) - (tF(x) = 0, para 0 < x < L, (8)
e, como m(0, t) = w(L, í) = 0 a função F(x) deve satisfazer também às con­
dições
F(0) = F(L) = 0, (9)
pois, como m(0, t) = F(0)G(í) = 0 para todo t > 0, segue-se que, se F(0) ^ 0, 
então G(t) = 0 e, portanto, m = 0. E, se bem que m = 0 seja solução da 
equação do calor e satisfaça às condições de fronteira, essa função não 
tem chance de satisfazer à condição inicial m(x , 0) = /(x), a menos que
m ^ 0.
Agora procedemos no sentido de ver quais os valores de a que con­
duzem a soluções F(x) do problema dado em (8)-(9). É claro que estamos 
interessados apenas nas soluções F não identicamente nulas, de outro 
modo, obteríamos w = 0, o que não interessa. Hà três possibilidades 
para a, conforme segue.
i) Se (T > 0, a solução geral de (8) é da forma
F(X) = -h C2^ - y/~ãx
Portanto, se tal F satisfizer a (9), o par (Cj, C2 ) de constantes deverá ser 
solução do sistema
c 1 4- c 2 = 0,
-h = 0.
Mas a única solução desse sistema é Cj = C2 = 0. E isso implica F = 0, 
o que não interessa. '
ii) Se (T = 0, a solução geral de (8) é da forma
F(x) = CjX + Cj ,
e, para satisfazer às condições (9), devemos ter 
V C2 = 0 e c^L + Cj = 0,
o que implica c, = C2 = 0 e, portanto, F = 0.
8 [ Capítulo 1 ]
iii) Se (7 < 0, fazemos a = -)?, e a solução geral de (8) é da forma
F{x) = Cj COS Xx H- C2 sen Xx.
Para que uma tal F satisfaça (9), devemos ter
Cj = 0 e C2 sen XL = 0.
Como não queremos C2 = 0, devemos ter
sen XL = 0,
o que implica XL = nn, onde n é um inteiro não-nulo (n = ±1, ± 2,.. .)• 
Os valores de -a = X̂ :
A? =
n 71
(10)
são chamados os valores próprios ou autovalores do problema dado em 
(8)-(9), e as funções
F„(x) = sen mix (11)
são chamadas as funções próprias ou autofunçôes do problema dado em 
(8)-(9). Não há necessidade de considerar os valores negativos de X̂ , pois 
isso conduziria apenas a uma autofunção diferindo apenas no sinal de 
uma outra obtida para um X̂ positivo. Mais adiante trabalharemos com 
expressões da forma c^F„(x\ com a constante a determinar.
Vejamos agora a segunda equação diferencial ordinária em (7). Sua 
solução geral é
G(t) = (12)
Logo, para cada n = 1, 2, 3 ,.. ., temos uma função
u„(x, t) = e sen >Lá (13)
a qual satisfaz à Equação (1) e às condições de fronteira (3), como o leitor 
poderá verificar sem dificuldades.
Esses chegaram quase a resolver nosso problema dado em (l)-(3). 
A dificuldade está em que, sendo
u„(x, 0) = sen nnx
M„(x, t) só seria solução de (1), (2) e (3) se a função dada /(x) tivesse a forma
/(x) = sen — •
[ Secção 1.2 J
Assim, a solução de (l)-(3) com f(x) = sen 5nx/L é a' função 
u^(x, t) =
Suponha agora que a condição inicial seja /(x) = 3 sen 5nx/L. Algo 
nos diz que a solução do problema dado em (l)-(3), nesse caso, deveria ser
s e n - ^ ' (14)m(x, t) = 3e
E, de fato, podemos verificar isso, mostrando primeiro que tal função 
satisfaz à Equação (1). A seguir, fazendo x = 0 e x = L, obtemos as con­
dições de fronteira (3). E, finalmente, fazendo í = 0, obtemos a condição 
inicial (2) satisfeita.
Vamos um passo além. Suponha que a condição inicial dada fosse
 ̂ 27TX ̂ 5tix / ( x) = 4 sen —r— -h 3 sen - j - •
Algo nos diz que, nesse caso, a solução do problema dado em (l)-(3) de­
veria ser
U(X, t) = sen -h 3̂ -25n2|Cí/L2
E, de fato, como acima, poderemos verificar que todas as condições são 
satisfeitas.
A verificação de que (14) e (15) satisfazem à Equação (1) possivelmente 
indicou ao leitor que o seguinte fato geral é verdadeiro, explicando aquele 
algo misterioso!
“Se m(x, t) e v{x, t) forem soluções da Equação (1), então qualquer 
função da forma
au{x, t) -I- bv(x, í),
onde a c b são constantes, será também uma solução de (1).” Esse fato é 
expresso dizendo-se que a Equação (1) é linear. Ou, ainda, uma combinação 
linear de soluções é também uma solução. Esse é o chamado princípio 
da superposição, o qual vale também para combinações lineares de três 
ou mais (qualquer número finito de) soluções.
Portanto qualquer expressão da forma
N
E í),
10 [ Capítulo 1 ]
^ nnx
L ^nSen —
n = l ^
onde os são constantes e os são as funções definidas em (13), é solução
de (1) e (3). Conseqüentemente, se a condição inicial /(x) for da forma
então, nesse caso, a solução de (l)-(2)-(3) será
0 = E c „ e - " '- 'W s e n ^ -
n = l ^
E se / não tiver a forma simples acima? Aí vem a idéia de tomarmos “somas 
infinitas”. A seguir apresentamos a motivação informal para o estudo 
das séries de Fourier. Suponhamos que a função dada /(x) possa ser ex­
pressa em uma série da forma
m nnxc„sen —
n = l ^
(16)
Então o candidato para solução do problema dado em (l)-(3) nesse caso 
seria
u(x, í) = f
n = l ^
(17)
O método de Fourier culmina com a indicação desse candidato. Traba­
lharemos agora no sentido de elegê-lo.
O trabalho não será trivial. Vários problemas surgeni.
PROBLEMA 1. Será que a função /(x) dada pode ser escrita na forma 
(16)7 Aí deveremos estudar que funções podem ser es­
critas nessa forma, bem como a questão de obter os coeficientes , para 
uma dada função /.
PROBLEMA 2. Sendo a função (17) definida por uma série, põe-se a 
questão de convergência da série. E, em seguida, a questão 
de verificar que, de fato, essa função satisfaz à equação diferencial (1).
Para resolver o Problema 1 vamos, nos Capítulos 2 e 3, desenvolver 
a teoria das séries de Fourier. Uma vez feito isso, voltaremos, no Capí­
tulo 4, ao problema da condução do calor, para completar sua resolução. 
E estudaremos, nos capítulos posteriores, outros problemas físicos que
[ Secção 1.2 ] 11
podem ser atacados com as técnicas desenvolvidas na resolução do pro­
blema do calor.
EXERCÍCIO. Proceda como na Secção 1.2 acima e estude o problema 
M, = , em
M,(0, í) = mJL, t) = 0, para t > 0,
u(x, 0) = /(x), para 0 < x < L.
CAPÍTULO 2
S É R IE S DE FO U R IER
Vimos no Capítulo 1 a necessidade de saber se (ou quando) uma 
função real /(x), definida para 0 < x < L, pode ser expressa como
^ nnx/W= I, ‘̂ nSen-̂ ..
n = 1 ^
(1)
com os coeficientes escolhidos adequadamente. No Exercício 1, do 
Capítulo 1, coloca-se uma questão semelhante, que é a de saber se uma 
função /(x) pode ser expressa como
\ V flTíXf{x) = X c„ COS — •
n = 0
É, pois, importante considerar a questão geral seguinte:“que funções 
/ : IR -► (R podem ser expressas na forma
y., , 1 ^ / nnx , MTTxV,,/(x) = Y ^ o + I ( ■ (2)
A justificativa para ja^ em vez de virá mais adiante, sendo essa escolha 
apenas por conveniência.
2.1 Funções periódicas
Uma função / : IR -► IR é periódica de período T se /(x H- T) = /(x) 
para todo x.
EXEMPLOS. 1) A função sen x é periódica de período 2tc.
2) A função /(x) = x -[x ] , onde [x] representa o maior 
inteiro menor do que ou igual a x, é periódica de p>eríodo 1. Veja o gráfico 
da Figura 2.1.
Se T é um período para a função /, então 2T também é um período,
pois
/(X + 2T) = /(x + T) = /(x).
[ Secção 2.1 ] 13
E, em geral, kT é um período, onde k é um inteiro positivo, negativo ou 
nulo. Bom, fc = 0, implicaria em dizer que 0 é um período da /. Mas isso 
não tem interesse pois 0 é um período de qualquer função. Por esse motivo, 
sempre que falamos em período T, consideramos T # 0. O menor período 
positivo é chamado o período fundamental Entretanto é praxe usar apenas 
a expressão período para designar período fundamental. Assim, quando 
dizemos que 2n é o período da função senx, estamos nos referindo ao 
período fundamental. É claro que 4n, -4n, 6tc, etc., são também períodos 
do senx.
EXEMPLO 3. O período fundamental T da função sen nnx/L pode ser 
determinado do seguinte modo. Devemos ter
nn{x -h T)sen nnx= sen- j - » para todo x e ILá
ou seja.
nnx nnT nnx nnT nnxsen —j— COS —z— -h cos sen = sen —r- 'Li Lí Li Lí Li
Para x = L/2n, obtemos
o que implica
n nnT nsen ^ COS — = sen 2 L 2
nnT . 
COS — = 1
(3)
(4)
e, daí, usando a identidade sen^ 6 + cos^ 0 = 1 , obtemos
nnTsen- = 0. (5)
14 [ Capítulo 2 ]
Como estamos interessados no menor valor positivo de T que satisfaça 
(4) e (5), simultaneamente, obtemos nuT/L = 2n, isto é, o período funda­
mental de sen mttx/L é T = 2Lln. O período fundamental de cos nnx/L 
é também 2L/n. Por quê?
2.2 Convergência uniforme
Uma série numérica converge se a sucessão das reduzidas,
também chamadas de somas parciais, converge. Lembremos que a su­
cessão das reduzidas é aquela cujo termo geral é
(reduzida de ordem n).
O leitor está convidado a relembrar que as séries
(i) z CO"’ a > 1, (ii) Z com |A| < 1,
n = l
convergem. A segunda série é chamada a série geométrica, e sua soma, 
que é definida como o limite da sucessão das reduzidas, é A/(l-A). Por 
outro lado, a série 1/n®, com a < 1, não converge, e, então, diz-se 
que ela diverge. Para a = 1, essa série é conhecida como a série harmônica.
Uma série de funções w„(x), onde û : / -► R são funções reais 
definidas em um subconjunto / de U, convergirá pontualmente se, para 
cada XqSI fixado, a série numérica convergir. Isso equivale
a dizer que, dados 6 > 0 e Xq g 7, existe um inteiro N, dependendo de £ 
e de Xq , tal que
m
Z "jW <«
j = n
para todos n < m, tais que n > N.
Uma série de funções m„(x) convergirá uniformemente, se, dado 
£ > 0, existir um inteiro N, dependendo apenas de £ (e não de x), tal que 
Uj(x)\ < £, para todos m > n N.
EXEMPLOS. 1) A série w„(x), onde w„(x) = x/n^ é considerada como 
definida em [0, 1], converge uniformemente. Deüa^o, para
x g [0, 1],
1Z
j = n J
[ Secção 2.2 ] 15
2) A série w„W, onde u^{x) = x, m„(x ) = x " - x""S 
n > 1, é uma função definida para 0 < x < 1, converge pontualmente 
para cada x e [0, 1]. De fato, a reduzida de ordem, n, Uj[x) = x", con­
vergirá para 0 s e 0 < x < 1, e para 1 se x = 1. Tal série não converge uni­
formemente, pois, dados 0 < £ < l / 2 e N inteiro, tomamos x = 
em
e, portanto, dado e > 0, podemos determinar um inteiro N, independente
de X e dependente apenas de £„ tal que 1/j^ < e, para m > n > N.
-1Y, Uj{x) = x '"- x^
j = N
e, daí, |x"*-x^ ̂| = |(26)'"/̂ ̂ ^^-2£|. Logo, se m for suficientemente 
grande, (26)"*̂ ^̂ ” ^̂ < 6, e obtemos que
j = N
> B
para x =
Na verificação de que a série do Exemplo 1 acima converge unifor­
memente, usamos o artificio de majorar a série de funções por uma série 
numérica convergente. É essa idéia que está atrás do chamado teste M 
de Weierstrass, que enunciamos a seguir. Esse critério não só assegura 
convergência uniforme, mas também convergência absoluta. Uma série 
Zw„(x) convergirá absolutamente se a série Z|w„(x)| dos valores absolutos 
convergir.
Teste M de Weirstrass. "̂ Seja j m„(x ) uma série de funções û : I R de­
finida em um subconjunto I de R. Suponha que 
existam constantes > 0 tais que
I u„(x) I < , para todo x 6 7,
e que a série numérica Z®̂ j convirja. Então, a série de funções Z®̂ j m„(x ) 
converge uniforme e absolutamente em /.”
Esse critério de convergência uniforme é muito cômodo, pois ele 
reduz o problema (nada simples!) de verificar a convergência de uma série 
de funções àquele da convergência de uma série numérica.
Por que estudar convergência uniforme? A razão é que as séries que 
convergem uniformemente apresentam excelentes propriedades. Vejamos 
algunías delas, que enunciamos a seguir sob forma de proposições, cujas 
demonstrações são omitidas.
16 [ Capítulo 2 ]
Observações. 1) No Exemplo 1 acima, a soma da série é =
= 7r^x/6, que é uma função contínua em [0, 1]. Ainda neste 
capitulo, usaremos a teoria das séries de Fourier para mostrar que
p r o p o s iç ã o 2.1. Suponhamos que as funções û sejam contínuas e que
a série j m„(x) convirja uniformemente. Então a
soma da série u(x) = ̂w„(x) é também uma função contínua.
t-2 = ^2= 7176.
2) No Exemplo 2, a soma da série é a função w(x), definida 
como sendo 0 para 0 < x < 1, e 1 para x = 1. Logo, uma função des­
contínua. Observe que, nesse caso, as funções m„(x) são contínuas, mas a 
convergência não é uniforme.
p r o p o s iç ã o 2.2. Suponhamos que as funções û sejam integráveis em 
um intervalo I e que a série j uj^x) convirja unifor­
memente. Então
( Z W„(x)^dx = Z Í
I \ n = l J n = l J j
PROPOSIÇAO 2.3. Suponhamos que as funções m„(x) definidas em um in- 
 ̂" tervalo I sejam continuamente deriváveis e que a série
1 K M das derivadas convirja uniformemente. Suponhamos ainda que, 
pàrá um dado Xq € /, a série Z®̂ ̂w„(̂ o) convirja. Então
s ( | . “■»*>)
2.3 Coeficientes de Fourier
í / ; j ' ̂ '7 .Se üma função f(x) for expressa como
, . 1 ^ / nnx , nnx\
 ̂ f ix) = y «0 + I COS - y + sen - j - j .yío ri .q r b. /(x) = y ÚQ + ^ a „ c o s -^ + fc „ s e n ^ j, (6)
í>rr:ij
é de se esperar qiie os coeficientes â e estejam intimamente ligados 
àiifunçâò^/.f^Que expressões têm eles em termos da função /? Para des- 
eobrHlòà, vaiwiòs supor que a igualdade (6) se verifique, e mais, que a série 
em}i6y''Cáw4ffq^Mniformemente. Observe que, como conseqüência da Pro­
posição 2.1, a função / deve ser contínua (e, portanto, pode ser integrada)
[ Secção 2.3 ] 17
e deve ser periódica de período 2L, pois o período (fundamental) de 
COS nx/L é 2L, e 2L é período para as demais funções seno e co-seno que 
aparecem na série. Assim, usando a Proposição 2.2, podemos integrar 
ambos os lados de (6) para obter
Í f {x)dx = 1 * -yao àx+ Y, a„ nnx , , COS —=— dx -h nnx , sen dx
J - L
e, daí,
^ J - L "=*
1 í
J-L •
•L
J-L
" o - r J /(x) dx. (7)
pois, /•L
1 ^ 1 COS- j - dx =
J-L
\ j asen dx = 0. (8)
Para obter os demais coeficientes, exploramos a mesma idéia e usamos 
as relações de ortogonalidade:
nnx mnx , ^ ^
COS ~Y- sen —j— ax = 0, se n, m > 1; (V)J-i Lir
nnx mnx . ÍL, se n = m > 1,
COS - j - COS - j — dx = < (10)
-í- *‘0, se n # m,n, m > 1;
nnx mnx , ÍL, se n = m > 1,
S Q n —i - s c n —i— d x = i ' ̂ , (11)J L L |0, se n ^ m, n, m > 1.
Para demonstrar (9), (10), (11), o leitor poderá usar as identidades 
trigonométricas que expressam produtos de senos, ou de co-senos, ou 
de seno por co-seno, como soma de senos ou de co-senos.
Agora, multiplicando (6) por cos mnx/L, para m > 1 fixado, e inte­
grando, obtemos
, mnx . ,/ (x )c o s -^ á x = a„L. ( 12)
De modo semelhante, obtemos
r . tmtx , , ,f ( x ) s e n - j -d x = b„L. (13)
18 [ Capítulo 2 ]
Finalmente, de (7), (12) e(13), obtemos
1
~ L
f / ( x ) c o s ^ d x . « > 0; (14)
J-L
/•L
I /•/ ̂ J J / (x )se n -y -d x , « > 1, (15)
e agora o leitor pode apreciar a introdução do 1/2 antes do em (6), 
pois, assim, temos uma única fórmula para todos os .
Agora estamos em condições de dar uma boa definição. Seja / : IR -► R 
uma função periódica de período 2L, integrável e absolutamente inte­
grável em cada intervalo limitado; em particular, í^£^|/(x)|dx < oo. Os 
números para n > 0, e para n > 1 dados em (14) e (15) são defi­
nidos como os coeficientes de Fourier da função /. A exigência da inte- 
grabilidade e integrabilidade absoluta de / é necessária para que as Ex­
pressões (14) e (15) façam sentido. Um estudo detalhado e cuidadoso 
dessa questão foi adiado para a Secção 3.1. Observe que
j* /(x) COS ^ áx I < j* I /(x) I dx.
2.4 Série de Fourier
Dada uma função /: IR -► IR periódica de período 2L, integrável e 
absolutamente integrável, podemos calcular seus coeficientes de Fourier 
pelas Expressões (14) e (15) da Secção 2.3. E, assim, podemos escrever
J_
2
, 1 ^ / nnx , nnx\
/(x) ~ y «0 + I I C O S + «Cn y - j- (16)
e isso significa que a expressão do lado direito é a série de Fourier de f.
Uma questão natural surge imediatamente. Que relação há entre / 
e sua série de Fourier? Seria bom se fosse igualdade! Infelizmente isso 
não ocorre sempre. E algo mais grave pode acontecer: a série de Fourier 
pode até divergir. Há exemplo de função contínua cuja série de Fourier 
diverge (veja Titchmarsh, Theory of Functions, p. 416). A seguir, estudaremos 
condições suficientes para que a função / seja igual à sua série de Fourier.
Uma função / ; IR -► IR será seccionalmente contínua se ela tiver apenas 
um número finito de descontinuidades (todas de primeira espécie) em
[ Secção 2.4 ] 19
/(a . + 0 )= lim / ( X ) e / ( a . - 0 ) = lim /(x).
x-*aj+ x - * a j -
É claro que toda função contínua é seccionalmente contínua. A função 
/(x) = 1/x, X ^ 0, nãoé seccionalmente contínua, pois sua descontinuidade 
em X = 0 é de segunda espécie. A função / : IR -► IR definida por
qualquer intervalo limitado. Em outras palavras, dados a < b, existem
a < fli < Ü2 < . . . < < b, tais que / é contínua em cada intervalo
aberto ; = 1, . . . , n - 1, e existem os limites
1 ’ se X ^ 1,
m = \ l/n. se l/(n + 1) < X < l/n.
0 , se X < 0.
não é seccionalmente continua, apesar de todas as descontinuidades 
serem de primeira espécie; acontece, porém, que, no intervalo (0, 1), há 
um número infinito de tais descontinuidades.
EXEMPLOS DE FUNÇÕES SECCIONALMENTE CONTÍNUAS
1) A função sinal de x, definida abaixo:
sign X =
2) A função /(x) = x - [x ] (veja o gráfico na Figura 2.1).
3) A função da Figura 2.3
+ 1 , se X > 0 ;
0, se x = 0 ;
- 1 . se X < 0.
f{x)
^ fx + 1 ,
10 .
X ^ 0 ; 
X < 0.
4) A função da Figura 2.4;
/(x) =
1,
0,
0 ^ X < n; 
^ ^ X < 0 ;
e periódica de período 2n.
20 [ Capítulo 2 ]
5) A função da Figura 2.5: /(x) = |x|, para |x| < 1 e periódica de pe­
ríodo 2 .
Uma função / : R -► R será seccionalmente diferenciàvel se ela for 
seccionalmente continua e se a função derivada / ' for também seccional­
mente contínua. Observe que a derivada f não está definida em todos 
os pontos: com certeza f \ x ) não existe nos pontos x onde / é descontínua; 
e mais, f \ x ) pode não existir, mesmo em alguns pontos onde / é contínua. 
As funções dos Exemplos (1) a (5) acima são seccionalmente diferenciáveis.
A seguinte função é contínua, mas não seccionalmente diferenciável:
[ Secção 2.4 ] 21
f(x) _ f v T ^ ,
se |x| < 1 , 
e periódica de período 2,
pois, nos pontos onde / ' é descontínua, a descontinuidade é de segunda 
espécie. Veja o gráfico da Figura 2.6.
Agora enunciamos um resultado que fornece condições suficientes 
para a convergência da série de Fourier de uma função /.
TEOREMA DE FOURIER. Seja f: IR-► R uma função seccionalmente
diferenciável e de período 2L. Então a série 
de Fourier da função f dada em (16), converge, em cada ponto x, para 
j[ f{ x + 0) + / ( x - 0)], isto é,
y U ix + 0) + /(x - 0)] = y Uo + X ( «n COS ^ sen — j- (17)
A demonstração desse teorema será feita no Capítulo 3. No momento, 
aplicá-lo-emos para obter alguns resultados interessantes.
EXERCÍCIO 1. Calcular a série de Fourier da função / definida no 
Exemplo 4 acima e traçar o gráfico da função definida 
por essa série. Compare esse gráfico com o gráfico da função na Figura 2.4.
Resolução, (i) Cálculo dos coeficientes: 
f(x)dx- 1
22 [ Capftulo 2 ]
e para n 0
a. = — I f(x) COS nxdx
= - fJo
. 1 sen nx
COS nxdx = —n n = 0,
, 1 -c o sn x r 1sen nxdx = ------------- = — (1 - cos nn\nn
ou
í » 2 * - 0 e ^ 2 t - i k = 1 , 2 , . . .
(ii) A série de Fcurier será:
/ w ~ - y + Z sen (2 fc- l)x.
(18)
(19)2 (2fc-l)7T^
(iii) Pelo teorema de Fourier, o gráfico da função definida pela série é 
o da Figura 2.7 [e nem é preciso conhecer a Expressão (19) para traçá-lo!].
EXERCÍCIO 2. Use os resultados do Exercício 1 para obter uma ex­
pressão em série para n.
Resolução, No ponto x = tc/2, a série de Fourier é igual a 1, em virtude 
do teorema de Fourier. Logo,
1
2 (2fc-l)7i
sen |̂ (2f e - l ) ^ j .
OU seja,
T - | ,
ou, finalmente,
4 3 5 7 9 , t ', 21-1
que é conhecida como a série de Leibniz,
[ Secção 2.5 ] 23
2.5 Séries de Fourier de funções pares 
e ímpares
Uma função / : IR -► (R é par se f(x) = /(-x), para todo xg IR. Isso 
significa que o gráfico da função / é simétrico com relação ao eixo dos y. 
Uma função / : IR IR é ímpar se /(x) = -/(-x), para todo xg IR. E isso 
significa que o gráfico da / é simétrico com relação à origem.
EXEMPLOS, (i) As funções /(x) = cos nnx/L,f{x) = x^" para n = 1, 2 ,.. ., 
são funções pares.
(ii) As funções f(x) = sen nnx/L, f(x) = x^""^ para n = 
= 1 , 2, . . . , são funções ímpares.
A proposição seguinte, sobre funções pares e ímpares, é facilmente 
demonstrável.
PROPOSIÇÃO 2.4. (i) A soma de duas funções pares é uma função par.
A soma de duas funções ímpares é ímpar.
(ii) 0 produto de duas funções pares é uma função par.
(iii) O produto de duas funções ímpares é uma função
par.
(iv) O produto de uma função par por uma função 
ímpar é uma função ímpar.
Para dar uma idéia de como esses fatos são provados, vamos de­
monstrar (iv). Sejam /: IR -► IR uma função par e IR -► IR uma função 
ímpar. Então
(fgKx) = f{x)g{x) = /(-x)[-ff(-x)] = -[ /( -x ) • 0(-x)] =
O que mostra que fg é ímpar.
Outro fato importante que será utilizado é a proposição exposta 
a seguir.
PROPOSIÇÃO 2.5. (i) Seja / : IR -► IR uma função par que é integrável em 
qualquer intervalo limitado. Então
/•L /»L
r / - í >
(ii) Se f: U R é uma função ímpar e integrável em 
qualquer intervalo limitado, então
f̂ L
/ = 0.I
Demonstração de (i). Basta observar que
L
/
24
Í Í ÍJ - L J - L Jo 
^0 0̂
f{x)dx = - \ f{-y)dy= f(y)dy, 
J - L J l J o
[ Capítulo 2 ]
(20)
(2 1 )
onde fizemos a mudança de variável y = -x, para obter a segunda integral 
em (21), e usamos o fato de que / é par para obter a terceira integral. De 
modo análogo se demonstra (ii).
Agora aplicamos as duas proposições anteriores ao cálculo da série 
de Fourier de funções pares e ímpares.
(a) Se / for uma função par, periódica de período 2L, integrável e 
absolutamente integrável, então
a„ = - r í f ( x ) c o s ^ d x , b„ = 0,
Jo
pois, em virtude da Proposição 2.4, a função /(x) cos nnxILé par e a função 
/(x)sen mttx/ L é ímpar, e os valores dos coeficientes a„ e acima, são 
obtidos usando-se a Proposição 2.5. Portanto a série de Fourier de uma 
função par é uma série de co-senos.
(b) Se / for uma função ímpar, periódica de período 2L, integrável e 
absolutamente integrável, então
«n = 0 e K = y Í
Jo
usando as Proposições 2.4 e 2.5 como fizemos no caso de / par, em (a) 
acima. Assim, a série de Fourier de uma função ímpar é uma série de senos.
2.6 Cálculo de algumas séries de Fourier
I) Seja / j i IR -► IR periódica de período 2L e definida por/^(x) = x, 
para - L< x < L. Como é ímpar, teremos uma série de senos cujos 
coeficientes são
, 2 nnx ,= — X sen - j — dx.
Jo
[ Secção 2.6 ] 25
Fazendo a mudança de variável y = nnx/L, obtemos
2L (*""
í»» = ^ ysenydy.
Jo
Integrando por partes,
ry sen ydy = -y cos y r+ COS ydy = -nn cos nn.
Logo,
" nn
Portanto a série de Fourier da função (gráfico na Figura 2.8) é
II) Seja / 2 : (R -► R periódica de período 2L e definida por
. { L - X, para 0 < x < L;
h W -L < X < 0.
Como /2 é uma função par, temos uma série de co-senos, cujos coeficientes 
são
2 f \ , . . 2 ,
ío = 77 (L-x)dx = — y = L,
Jo
2a, = y (L -x )co sy -d x .
Jo
26 [ Capítulo 2 ]
2L
Fazendo uma mudança de variável como no exemplo acima e integrando
por partes,
= n n
ou seja.
a,* = 0 , a.
4L
1 , 2 , . . .
Portanto a série de Fourier da função / j (gráfico na Figura 2.9) é
, L 4L ^
/ 2(^) ~ ^ + :;;t Z
1
2 (2k-iy5 COS
(2/c-l)7tx
Observe que, em virtude do teorema de Fourier, o símbolo ~ pode ser 
substituído por =. Usando o teorema de Fourier, para x = 0, obtemos
1_L ^ ^
ou seja.
1 ^ 1 1 1
8 Z
III) Seja / 3 : IR -► R periódica de período 2Le definida por / 3(x) = x ,̂ 
para -L < x < L. Como é par, teremos uma série de co-senos cujos 
coeficientes são:
2 2 .
Jo
2 2 j= — x ^ COS - j — d x .
Jo
[ Secção 2.6 ] 27
Fazemos a seguinte mudança da variável independente y = nnx/L, e
obtemos
2l 2 p
COS y dy.
Integrando por partes, temos
4^2 /«-
J o
y sen y dy
e, usando o valor da integral já obtido no exemplo I acima, temos
4L^
n n
Portanto a série de Fourier da função / j (gráfico na Figura 2.10) é
4L^ ^ (- 1)" nnx
Observe que, de fato, tem-se = em vez de como conseqüência do teo­
rema de Fourier.
Usando o teorema de Fourier para x = L, obtemos
T 2 AT 2 00 1
n= 1
OU seja.
71̂ ^ 1 , 1 1 1
6 - - I j íT = í + 2í + 3T + 4T + ---
n= 1
Atenção: ""Uma função dada num intervalo [0, L] pode ser representada 
por mais de uma série de Fourief\ Vamos elaborar este ponto. Em todas 
as séries de Fourier calculadas anterior mente, a função era dada em toda 
a reta; de fato, dávamos uma expressão para / num intervalo fundamental
28 [ Capítulo 2 ]
(-L, L] e dizíamos que / era periódica de período 2L. Se agora dermos a 
função num intervalo [0, L] e nada dissermos sobre o período, teremos 
a liberdade de escolher um período qualquer T, T > L, e de definirmos a 
função do jeito que nos convier no intervalo (L, T). Essa liberdade de 
escolha será utilizada em problemas de aplicação para atingir certos 
objetivos. Vamos ilustrar esses comentários com os seguintes exemplos.
EXEMPLO 1. Dada f(x) = x, para 0 < x < tt, escreva / como uma 
série de senos.
Resolução. Para obter uma série de senos, devemos definir / para outros 
valores de x, de modo que seja uma função ímpar. Portanto 
tomemos /(x) = x, para - tt < x < tt, e periódica de período 2n. A série 
de Fourier de uma tal / foi calculada em (I) acima, e é
2 > — —̂ sennx.n
Conseqüentemente, pelo teorema de Fourier, temos
para 0 < x < n.X = 2 2 ̂ -------- sen nx,
(E, em verdade, para - tt < x < 0, mas isso não foi pedido no problema. 
Observe que a série de Fourier não é igual a x para x = n.)
EXEMPLO 2. Observe ainda que, no exemplo anterior, poderíamos ter 
escolhido um período maior que 2n. Por exemplo, 4n. 
E aí teríamos de definir também / no intervalo (tt, 2ti], além de dizer que 
ela é ímpar. Considere a função definida no intervalo -2n < x < 2n pelo
[ Secção 2.6 ] 29
Calculemos os coeficientes , lembrando que L = 2n, 
^ ĵ J* X sen ^ J + 27t) sen ^ dxj»
ou
, S nn^ sen — " n^n 2
Portanto a série de Fourier é
71 ^ 1 nn nx— > ^ se n ^ se n - ;^ * 
8 „t-i 2 2
Assim, em virtude do teorema de Fourier,
8 ^ 1 nn nx r\ ^ ^X = — X -T sen ^ sen » 0 < x < tt,
^ n= 1 ^ ̂ ^
OU
8 ® (2k-l)xX = — ^ ̂ sen ^ ) 0 < X < 7T.TT (2k-l)^
Observação. A série de Fourier que acàbamos de calcular poderia ser 
obtida da série de Fourier da função de (II) acima. Para tanto, 
basta observar que a função / do Exemplo 2 acima está relacionada com 
a função de (II) (que, para efeito do que estamos explicando, vamos chamar 
de g t fazer L = 27t) pela expressão
f{x) = g (x -n )-n .
Logo, a^if) = a^ig) - 2n, e deixamos ao leitor mostrar que
a„(/) = c o s y a„(0),
K (f) = senya„(3),
e essas expressões fornecerão a série de Fourier da função /.
EXEMPLO 3. Dada /(x) = x, para 0 < x < tt, escreva / como uma 
série de co-senos.
Resolução. Para obter uma série de co-senos, devemos definir / para 
outros valores de / de modo que seja uma função par. Tomemos, 
então, /(x) = |x | para -n ^ x ^ n e periódica de período 2n. (Como no 
exemplo acima, se tomarmos outros períodos, por exemplo, teremos
30 [ Capítulo 2 ]
uma outra série de co-senos.) Portanto, = 0 e
t
X COS nx dx,
^ Jo
que calculado dá
n
n = 1 , 2 , . . .
= - f” Jo
}U- =
^ 2 1 2xdx = -----—n^ = n.n 2
Portanto a série de Fourier da função é
4 ® 17T 4 y
e, daí.
7t 4 ^
^ = - 5 - - v z
2
1
^cos (2k - l)x
2 7T (2fc-l) ̂COS (2k - l)x, 0 ^ X < 71.
Compare a série acima com a série de (II). A série acima pode ser obtida 
da série em (II) fazendo-se L = ti e, a seguir, transladando de tt, ao longo 
do eixo dos x, a função de (II).
EXEMPLO 4. Dada /(x) = x, para 0 < x < tt, escreva / como uma 
função de senos e co-senos.
Resolução. Podemos definir /, para outros valores de x, de modo que 
seja periódica de período 2n e /(x) = 0 para - tt < x < 0.
Assim,
1 r
. 1 r
i>. = — X ̂ Jo
X áx = y Jt,
X COS nx dx =
sen «X dx =
( - iy - 1
n^n
(_!)»+1
Logo, a série de Fourier dessa / é
J_ ^ ___1
4 ^ 7t tt 'i (2fe-l)
00 / l̂ w+l
j COS (2ÍC - l)x + Y, '— z—
n = l
[ Secção 2.7 ] 31
daí.
Jt 2 Ã
^ = —A------ 2Á “TT
\fl+ 1
4 7Ü fcTi (2fc
1 ® (-\ \n
— COS (2fc - l ) x + Y, — ~— sen nx,
“ n=l ^
0 ^ X < ;r.
Observe que essa expressão pode ser obtida somando-se as séries dos 
Exemplos 1 e 3 e dividindo por 2.
O conjunto de exercícios ao final do capitulo formaliza as idéias 
expressas nas observações anteriores, em que se chamou atenção para 
o fato de que, se uma função puder ser obtida de outra mediante uma 
translação, ou uma mudança da variável independente, então sua série 
de Fourier poderá ser obtida imediatamente a partir da série de Fourier 
da outra.
2.7 Integração de séries de Fourier
Se uma função /: IR IR for igual à sua série de Fourier
y/ X ^ . nnx\f{x) = y + K COS - y + sen j .
a qual se supõe convergir uniformemente, pode-se usar a Proposição 2.2 
para concluir que
j^ /(x )dx = ^ d x + Z a . c o s ^ d x + b „ sen ^d x" j- (22)
Nesta seção mostraremos que (22) será válida mesmo se a série de 
Fourier não convergir uniformemente para /, ou mesmo se a série de 
Fourier não convergir para /. Isso é uma indicação de que a série de Fourier 
é um tipo muito especial de série, rica de propriedades interessantes. 
Vejamos.
Iniciamos com uma função / : IR IR periódica de período 2L e sec­
cionalmente contínua. Definimos a função F : IR -► IR, pela expressão
(23)
a qual é contínua. Como conseqüência do teorema fundamental do Cálculo, 
temos que F'(x) existe em todos os pontos x onde / é contínua e, além 
disso, F'(x) = /(x) nesses pontos. Assim, F'(x) é seccionalmente contínua.
32 [ Capítulo 2 ]
Observe também que F é periódica de período 2L, pois
F(x + 2L)-F(x) = |^ / ( í ) - ^ j á í = j |^ / ( t ) - ^ já í , (24)
onde usamos, para escrever a última igualdade, os fatos de que f ( t ) -a J 2 
é periódica de período 2L e de que
a + L (̂L
9f + t ç̂L^ = 1 I-L J-L
para toda função g periódica de período 2L e todo número real a fixado. 
Agora, concluímos que a Expressão (24) é zero, porque
I fit)d t = a ^ L = j ^ d t .
Resumindo, a função F definida em (23) é contínua, tem derivada 
F' continua por partes e é periódica de período 2L. Logo, pelo Teorema 
de Fourier, temos
 ̂ ^ í . « nnx\f(^) = ^ + E COS — + sen — j .
onde os coeficientes de Fourier e são dados por
(25)
1
L í F(x) COS dx.n> 0, (26)
J - L
1Bn = J F{x) sen dx. n > 1 . (27)
Agora usaremos a fórmula de integração por partes para relacionar 
os coeficientes de Fourier da F com aqueles da /:
. 1 r_ . , L nnx\^ . L nnx . 1
ou seja.
De modo semelhante,
. -L ^A = — f> , n > 1. " n n " (28)
_ 1 r - L nnx ^ \ ^ 1
B. - x [ - f W ; s “ ' T + J_^
[ Secção 2.7 ] 33
e, daí, usando o fato de que F(L) = F(-L), obtemos
B„ = — n > 1. " n n ” (29)
Para calcular o coeficiente Aq , fazemos x = 0 em (25) e obtemos a se­
guinte expressão, lembrando que F(0) = 0:
0 = ^ + l A , ,n= 1
OU seja.
 ̂ 2L ” b„
Ao = — 1 -T- (30)
Agora, usando (23), (25) e as expressões para os coeficientes de Fourier 
de F, dados em (28), (29) e (30), obtemos
J*"". flo L, ^ ^ f-b„ nnx a„ nnx\f. = ^ x + — X -!>- + — X — COS— + -^sen— .0 2 „t'i n 7T „=1 V " L n L J
que também pode ser escrita como
J* = J * ^ d t + a „ c o s ^ d t + j**b „ s e n '^ d ty (31)
A Expressão (31) fornece (22) fazendo-se x = a e x = b e subtraindo-se 
as expressões obtidas.
Resumindo, demonstramos o resultado exposto a seguir.
TEOREMA SOBRE A INTEGRAÇÃO DE SÉRIES DE FOURIER.
Seja f: R -> IR uma função periódica de período 2L 
e seccionalmente continua e seja
^ / tinx , nnx\ y + k COS - y + sen — j (32)
sua série de Fourier. Então
i) a série pode ser integrada termo a termo e o valor da série integrada 
é a integral de /; mais precisamente,
/(x) dx = y <(x + Y COS ^ ^
ii) a função F(x) = |q \^f(t)-(aJ2)] dt é periódica de período 2L, con­
tínua, tem derivada F' seccionalmente contínua e é representada por sua
34 [ Capftulo2 ]
série de Fourier
nr, ̂ <̂ o"| J L ^ ^ ^ {-i>n rmx\ ,,
 ̂ ^ ^ í». 1 r'' J
T . ? , T - 2 l J _ / W ‘' '- <’ ’ •
Observação. Para as aplicações, o teorema acima toma a forma prática 
seguinte: se
y/ X ^ . n7rx\/(x) ~ y + Z IC O S - y + í>„ sen — j .
então
F(«)-r(/(oy)..=
Aplicações. Todas as funções abaixo são periódicas de período 2L.
i) Considere a função /j da Secção 2.6, f^(x) = x, para -L < x < L. 
Temos
/iW
2L ® (- 1)"^ nnxsen- , n L
Logo,
e, portanto.
F(x) = y e íí: F{x)dx = y
X^ 2L^ ^ (-1)" MTTX
+ S - -
2 00Z | —II ruLJS. _ _-- 2 ^ COS —r - > -L < X < L. (36)
ii) Aplicando novamente o teorema a (36), e como
= y - V’ i
obtemos
x ̂ L^x 2L ̂ ® (-1)" nnx
—---- 7— = —r- / —^ sen >
6 6 n^ L -L < X < L. (37)
[ Secção 2.8 ] 35
iii) Usaremos o teorema acima mais uma vez em (37). Como 
, r / t ^ L h \ . _ x * L V 1 r . _ IL*
Jo ^ 24 12 360’
obtemos
X* L^x^ 7L“ 2L* ^ ( - i r " ‘ nnx
= -TÃn + ^ - I24 12 360 ■ „t'i n* L
Fazendo x = Z. em (38), obtemos
90 ^
- L < x < L. (38)
(39)
n = 1
2.8 Estimativas dos coeficientes de Fourier
Mostraremos nesta secção como obter certas estimativas dos coe­
ficientes de Fourier de uma função dada, a partir de hipóteses sobre deri- 
vabilidade da mesma.
i) Supondo que / seja periódica de período 2L, integrável e absolu­
tamente integrável, podemos obter imediatamente as seguintes estimativas:
1
L f /(x )c o s^ ^ d x 4 Í | / ( ^ ) |‘í^. (40)J-L J -L
1 J /(x )sen ^ ^ íix J \f{x)\dx. (41)|í>nl =
onde utilizamos o fato de que as funções seno e co-seno são limitadas, 
erfi valor absoluto, por 1. Portanto, com a simples hipótese de integra- 
bilidade de / e | / 1, concluímos que existe uma constante M [em verdade, 
M = L~^ f(x)\dx], tal que
|u^| < M, \b„\ < M, para todo n.
ii) Suponhamos agora que / seja periódica de período 2L, derivável, 
e tal que a derivada / ' seja integrável e absolutamente integrável. Então, 
integrando por partes, temos, para n > 1,
Li ' L'... , nnx . E , nnx f (x ) COS —r - dx = — f(x) sen —p - L nn' L f-i- J-L , nnx j f (x) sen - j - dx.
36 [ Capítulo 2 ]
OU seja.
a„ = - — í f'(x) sen dx, rm L ’ (42)
e, tomando os valores absolutos,
\n x )\d x .
De modo análogo, tem-se
, , r /•/ X nnx , -L . nnx ̂ . L . nnx ,
= f(x) sen - j - <(̂ = — /(>:) cos ̂ + — f ~ TJ L nn -L J_ t
ou seja.
Lb = — {f{L) COS n n - f (-L) cos (-/irt)} -f-nu nu
e, daí, em virtude da periodicidade de /,
L nnx— f{ x )c o s - j -d xJ-L ^
= — í f'(x) COS dx. nn 1 / L (43)
Tomando valores absolutos,
| b j < ^ j J/'(x)|dx.
Portanto, na hipótese de que / seja contínua e que tenha derivada inte­
grável e absolutamente integrável, concluímos que existe uma constante M 
[de fato, M = | /'(x)| Jx], tal que
|a „ |< ^ > \b „ \< ^ , para todo M = 1 ,2 ,... (44)
iii) Se supusermos que / seja periódica de período 2L com primeira 
derivada contínua, e a segunda derivada integrável e absolutamente inte­
grável, poderemos melhorar as estimativas (44), realizando mais uma 
integração por partes em (42) e (43). De fato, em (42), obtemos
1 í L nux ̂ L nux j
e, daí,
\ f ”iX)\dx.
[ Secção 2.9 J 37
De modo análogo, obtemos
Portanto concluímos que existe M [= Ltc ̂^-L\f"(x)\dx], tal que
I I II I ~p a ra « = 1 , 2 , . . .
2.9 Forma complexa da série de Fourier
Usamos a fórmula de Euler,
= COS 6 + i sen 6,
e suas conseqüências,
COS 0 = -----r----- e sen 0 =
2 i
para escrever
M7TX
COS —— h b„ sen - innx/L
Logo, o coeficiente de é dado por
a„ b„ 1 , , 1 y MTTX . n n x \ ,
„̂ = y + ^ = y K - ‘í>n) = y : J^/(x)(^cos — - ,s e n — jdx ,
OU seja.
Definimos também
c = ^ = - L r
“ 2 2L J_^
f { x ) d x .
Resumindo, mostramos que, se / : R -► R for periódica de período 2L, 
integrável e absolutamente integrável, então a série de Fourier de / poderá 
ser escrita na forma
Z
,innxlL
38 [ Capítulo 2 ]
onde
-íj: f(x)e dx, para « = 0, ± 1 , ± 2 , . . .
2.10 Identidade de Parseval
Dada uma função / : R -► (R periódica de período 2L, onde /, | / 1 
e I / l̂ são integráveis, vimos, nas secções anteriores, que se podem cal­
cular seus coeficientes de Fourier e b„.
y «0 + Z («n + T I l (45)
Apesar de não a demonstrarmos de imediato, essa identidade é uma arma 
tão poderosa no estudo das séries de Fourier que decidimos não adiar 
sua introdução. Sua demonstração e seu interessante significado geo­
métrico serão tratados na Secção 11 do Capítulo 3.
Aplicação /. Cálculo de soma de séries. Por exemplo, a Expressão (37) nos 
diz que os coeficientes de Fourier da função f{x) = x^-L^x, 
periódica de período 2L, são = 0 e
(- 1)" 1 2L̂
b =
Daí, uma aplicação direta da Fórmula (45) nos dá
945
V -L = ^ .2̂ ^6 — QAC ‘
Aplicação II. Convergência de algumas séries. Por exemplo, seja/: [0, L] -► R 
uma função continuamente derivável, tal que/(O) = f(L) = 0,
e seja
nnxf (x) sen - j - dx.
Então provaremos, como conseqüência de (45), que
t IM <n = 1
(46)
(47)
[ SecçSo 2.10 ] 39
Para isso, integramos por partes em (46)
Portanto, pensando / como uma função ímpar e periódica de período 2L, 
e / ' como uma função par e periódica de período 2L, concluímos que
K = --- »" WTT " (48)
onde são os coeficientes de Fourier de / e a'̂ os coeficientes de Fourier 
de / ' . Agora, usando a desigualdade ab \b^, obtemos, de (48),
e, portanto. r 2 00 1 1 00
I \b„\<^2 z i + i In = 1 = 1 wn = 1 2 n = 1
onde a segunda série converge em virtude da identidade de Parseval. 
Nas aplicações, é importante estabelecer convergência de séries do tipo (47) 
(cf. Capítulo 4).
Aplicação III. Esta aplicação refere-se à decisão de que certas séries tri­
gonométricas não são séries de Fourier de funções / tais 
que / e | / |^ sejam integráveis. Por exemplo, qualquer que seja a > 0, 
a série
sen nxz
n = 1
(49)
converge,, para todo x e R; e, além disso, a convergência é uniforme em 
todo subintervalo fechado de (0,27i). Aqui está um exemplo de uma série 
convergente, e que não converge absolutamente se a < 1. Conseqüente- 
mente, a convergência de (49) não pode ser decidida pelo teste M de 
Weierstrass; necessita-se de critérios de convergência condicional, como 
os critérios de Abel e Dirichlet. Nesse caso é conveniente usar o critério 
de Abel (veja p. 212 do nosso livro de Análise /): tome e = cos nx;
a condição (ii) é facilmente verificável se observamos que
1 1 ^ a
( n + l ) “n*
em virtude do teorema do valor médio. Em resumo, a série (49) define 
uma função /(x), i.e.,
^ sen nx 
/ (^ )= Z —Z5--
n = l "
40 [ Capítulo 2 ]
n = l
e a conclusão se segue da identidade de Parseval.
Entretanto, se a < 1/2, a série (49) não é a série de Fourier de uma função /
como especificada acima, pois, nesse caso,
00 1
2.11 Nota histórica
Em cursos de Análise, estudam-se vários critérios de convergência 
de séries ligados com os nomes de Dirichlet, Abel, Dedekind e outros 
matemáticos; as condições envolvidas são artificiais, se vistas de per si, 
e levam um estudante mais crítico a pensar por que e para que esses emi­
nentes matemáticos as criaram. É importante, sob o ponto de vista de 
educação científica, esse estudante compreender que a motivação desses 
matemáticos não foi simplesmente generalizar os critérios conhecidos. 
Os matemáticos do século XIX receberam de seus colegas do século an­
terior, problemas dificeis ligados a questões de Física, entre os quais o 
mais ilustrativo é o problema de vibração de cordas, e eles tiveram de 
desenvolver intensamente o instrumental matemático existente. Veja a 
Aplicação III da Secção 2.10. As observações que apresentamos a seguir 
são baseadas no excelente apanhado histórico de autoria de Carslaw.
Como veremos no Capítulo 5, o problema de vibração de uma corda 
se reduz á solução da equação
conhecida como equação das ondas. As primeiras tentativas de resolvê-la 
foram feitas por d’Alembert (1747), Euler (1748) e Daniel Bernoulli (1753). 
Os dois primeiros chegaram à conclusão de que a solução devia ser da 
forma
m( x , t) = F(x + c*í) -h G(x - ct). (a)
Já Bernoulli chegou á expressão
00
0 = Z (b)
n = í
quando a corda (de comprimento n) vibra por um deslocamento de sua 
posição de repouso.
[ Secção 2.11 ] 41
Olhando para as Expressões (a) e (b), dizemos: ótimo! Todos eles 
chegaram à expressão correta. Para entender as apaixonadas polêmicas 
entre Euler, d’Alembert e Bernoulli, será preciso atentar para o fato de 
que o conceito de função, como o que hoje entendemos, não estava as­
sentado na época; aliás o conceito de função só foi formalizado durante 
o século XIX. Na época de Euler, havia duas classes de funções: as funções 
contínuas, que eram aquelas que podiam ser expressas por uma equação 
entre x e e as funções geométricas, que eram todas aquelas que podiam 
ser traçadas à mão livre. E se admitia que, se uma função contínua fosse 
dada por uma fórmula em um pequeno intervalo, então a função estaria 
determinada nos demais pontos fora desse intervalo. (Veja você a confusão 
da época: uma função com esta última propriedade é de uma categoria 
muito restrita de funções, chamadas analíticas.) Admitia-se também que 
a classe das funções contínuas era menor que a das funções geométricas, 
porque uma linha quebrada não era uma função contínua, no sentido 
da época, e sim várias funções.
Formalmente as soluções de d’Alembert e Euler eram as mesmas, 
mas, em cada caso, o significado de função era diferente. Euler admitia 
quaisquer funções geométricas para dados iniciais; d’Alembert tomava 
apenas funções contínuas. Assim, o problema de vibração da corda dedi­
lhada, com posição inicial dada por uma poligonal, era impossível para 
d’Alembert. Bernoulli sustentava que sua solução era absolutamente 
geral e que deveria conter aquelas dadas por d’Alembert e Euler. Este 
contestava que isso era impossível, pois, se a função fosse representada 
por uma série de senos, isso implicaria ser ela periódica e ímpar; a idéia 
de que uma expressão analítica representasse a função apenas em um 
intervalo não era aceita na época, o que explica esse argumento de Euler.
Em 1759, Lagrange entrou em cena e mostrou que a solução da equação 
das ondas — no caso da posição inicial da corda (de comprimento 1) 
ser f(x) e a velocidade inicial ser g{x) — é dada por
m(x, t)
Jo
í ' Z -
Jo " = 1
(sen nny sen nnx cos nnct) f (>̂) dy -h
(sen nny sen nnx sen nnct) g(y) dy
e daí ele transformou a expressão na forma prevista por Euler. É curioso 
notar que Lagrange não observou que, fazendo í = 0 em sua expressão 
e permutando a integral com o somatório, obtém-se o desenvolvimento 
da função / em uma série de senos, cujos coeficientes são precisamente o 
que hoje chamamos coeficientes de Fourier.
42 [ Capítulo 2 ]
Coube a Fourier (1811), em sua Théorie mathématique de la chaleur 
(Teoria matemática de condução do calor), explicitar os coeficientes e 
escrever as séries de senos e co-senos de várias funções. Ele afirmou que 
qualquer função podia ser expressa pela série que hoje leva seu nome. 
Apesar de isso não ser verdade, Fourier tem o mérito de ter explicitado 
claramente a forma da série que deveria representar a função.
Dirichlet foi um dos primeiros a reconhecer que nem toda função 
pode ser representada por sua série de Fourier, e produziu os primeiros 
critérios para validade dessa representação, em 1829 e 1837. Enquanto 
isso, a Análise ganhava uma fundamentação mais rigorosa com os tra­
balhos de Cauchy, Bolzano e outros. Isso propiciá as contribuições de 
Riemann à teoria das séries de Fourier, sem esquecer que ele próprio é 
responsável por parte desse trabalho da colocação da Análise em uma 
base sólida. Riemann se propôs a achar condições necessárias e suficientes 
para que uma função pudesse ser representada por sua série de Fourier. 
Como obviamente essas questões se ligam à integração de funções, o 
Cálculo Integral teve de ser posto em base firme. E data daí a teoria da 
integral de Riemann que hoje estudamos.
A esperança de provar que toda função contínua pudesse ser repre­
sentada por sua série de Fourier ruiu quando, em 1876, du Bois-Reymond 
construiu uma função contínua cuja série de Fourier divergia em um 
dado ponto, e, mais tarde, ele construiu uma função contínua cuja série 
de Fourier divergia em um conjunto denso. Exemplos mais simples foram 
dados, em 1909, por Fejér.
Os exemplos de du Bois-Reymond motivaram a busca de novos 
critérios para a convergência da série de Fourier de uma função. O cri­
tério de Dini, que estudaremos no Capítulo 3, data de 1880. Outro critério, 
de autoria de Jordan, surgiu em 1881 e envolvia a idéia de função de va­
riação limitada, por ele criado. O critério de Lipschitz (1864) é um caso 
particular do critério de Dini.
Todas essas investigações conduziram a uma melhor compreensão 
das funções descontínuas e propiciaram os trabalhos de Harnack, Hankel, 
Borel e Lebesgue, que culminaram com a introdução de um novo con­
ceito de integral. E aí começou a teoria moderna das séries de Fourier.
EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 2
1.1. Defina uma função periódica de período 2 e igual a no intervalo 
aberto (0,2). Há mais de uma resposta? E se a função pedida fosse 
igual a x ̂ no intervalo [0,2)7
43
1.2. Se f c g forem périódicas de período T, mostre que f g e fg serão 
também periódicas de período T.
1.3. Se / for periódica de período T, mostre que Xf será periódica de 
mesmo período, onde X é um número real dado.
1.4. Se / for uma função diferenciável e periódica de período 7, mostre 
que a função derivada / ' será também periódica de mesmo período.
1.5. Seja /: (R -► IR uma função periódica de período T, e integrável 
em qualquer intervalo. Mostre que
f
 + T i*T
onde a é um número real qualquer fixado.
1.6. A soma de duas funções periódicas de períodos diferentes pode 
ser periódica. Dê um exemplo.
1.7. A soma de duas funções periódicas de períodos diferentes pode 
não ser periódica. Dê um exemplo.
1.8. Mostre que, se /^i IR -► IR é periódica de período Tj e IR -► IR 
é periódica de período T2 , e se existem inteiros m e n tais que 
mTi = /7T2 , então /j + / 2 é periódica de período m Tj.
1.9. Mostre que senax + senbx é periódica se e só se a/b é racional.
1.10. Seja / : IR-► IR uma função periódica de período T. Mostre que 
a função
F(x)
é periódica (de período T) se e só se
í / = 0.
Jo
1.11. Para /: IR -► IR periódica de período 7, determine a constante