MMF1 - Djairo G Figueiredo - Análise de Fourier e EDP - 4a ed

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FICHA CATALOGRÁFICA
(Preparada pelo Centro de Catalogaçâo-na-fonte, 
Câmara Brasileira do Livro, SP)
Figueiredo, Djairo Guedes de, 1934- 
F489a Análise de Fourier e equações diferenciais parciais. Rio de 
Janeiro, Instituto ds Matemática Pura e Aplicada, CNPq, 1977. 
(Projeto Euclides)
Bibliografia.
1. Análise de Fourier 2. 
Título. II. Série.
Equações diferenciais parciais
77-1420
17. CD D -517.355
18. -515.2433
17. -517.383
18. -515.353
índices para catálogo sistemático:
1. Análise de Fourier: Matemática 517.355 (17.) 515.2433 (18.)
2. Equações diferenciais parciais: Matemática 517. 383 (17.) 515.353 (18.)
djairo guedes de 
figueiredo 
anáiise de fourier e 
equações diferenciais
parciais
Quarta Edição
impa
INSTITUTO DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA
Copyright, © 2000 by Djairo Guedes de Figueiredo 
Direitos reservados, 2000 por Conselho Nacional de 
Desenvolvimento Científico e Tecnológico, CNPq,
Av. W-3 Norte, Brasília, DF
Impresso no Brasil / Prínted in Brazíl
capa: Gian Calví Criação Visual Ltda.
Projeto Euclides
Comissão Editorial:
• Elon Lages Lima (editor)
• Jonas Gomes
• Paulo Sad
Títulos Publicados:
• Curso de Análise, Volume 1 - Elon Lages Lima
• Aplicações da Topologia à Análise - Chaim Samuel Hônig
• Espaços Métricos - Elon Lages Lima
• Introdução aos Sistemas Dinâmicos - Jacob Palis e Wellington C. de Melo
• Introdução à Álgebra - Adilson Gonçalves
• Aspectos Teóricos da Computação - Cláudio L Lucchesi, Imre Simon,
Istvan Simon, Janos Simon e Tomasz Kowaltowski
• Teoria Geométrica das Folheações - Alcides Lins Neto e Cesar Catnacho
• Geometria Riemanniana - Manfredo R do Carmo
• Lições de Equações Diferenciais Ordinárias - Jorge Sotomayor
• Curso de Análise, Volume 2 - Elon Lages Lima
• Introdução à Teoria ergódica - Ricardo Mané
• Operadores Auto-adjuntos e Equações diferenciais Parciais - Javier Thayer
• Teoria dos Números Algébricos - Otto Endler
• Equações Diferenciais Parciais: uma introdução - Rafael lório Jr. e Valéria lório
• Álgebra: um curso de Introdução - Arnaldo Leite R Garcia e Yves ALbert E. Lequain
• Grupo Fundamental e Espaços de Recobrimento - Elon Lages Lima
• Funções de Uma Variável Complexa - Alcides Lins Neto
• Probabilidade: um curso em nível introdutório - Barry R. James
• Medida e Integração - Pedro Jesus Fernandez
• Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais - Djairo Guedes de Figueiredo
Distribuição
SBM, Sociedade Brasileira de MatemÀtica 
Estrada Dona Castorina, 110 
22460-320, Rio de Janeiro, RJ 
e-mail: sbm@impa.br
ISBN 85-244-0120-6
mailto:sbm@impa.br
À dona Mira, minha mãe, 
Sorriso e bondade.
Em seus setenta anos.
CO NTEÚDO
PREFÁCIO..................................................................................................... IX
INTRODUÇÃO.............................................................................................. XIII
CAPÍTULO 1 POR QUE ESTUDAR SÉRIES DE FOURIER?................. 1
1.1 Condução do calor numa b a r ra ....................................................... 1
1.2 Formulação matemática do problema da condução do calor 5
CAPITULO 2 SÉRIES DE FOURIER......................................................... 12
2.1 Funções periódicas.......................................................................... 12
2.2 Convergência un ifo rm e................................................................... 14
2.3 Coeficientes de F o u rie r ................................................................... 16
2.4 Série de F o u rie r............................................................................... 18
2.5 Séries de Fourier de funções pares e ím p ares................................ 23
2.6 Cálculo de algumas séries de Fourier............................................... 24
2.7 Integração de séries de Fourier......................................................... 31
2.8 Estimativas dos coeficientes de Fourier.......................................... 35
2.9 Forma complexa da série de Fourier............................................... 37
2.10 Identidade de Parseval..................................................................... 38
2.11 Nota histórica.................................................................................... 40
Exercícios........................................................................................................ 42
CAPÍTULO 3 CONVERGÊNCIA DAS SÉRIES DE FOURIER ........... 48
3.1 Classes das funções consideradas.................................................... 48
3.2 Convergência pontual da série de Fourier..................................... 53
3.3 Lema de Riemann-Lebesgue........................................................... 56
3.4 Convergência pontual da série de Fourier (continuação).............. 58
3.5 Desigualdade de Bessel..................................................................... 60
3.6 Desigualdades de Cauchy-Schwarz e de Minkowski...................... 63
3.7 Convergência uniforme da série de Fourier................................... 68
3.8 Núcleos de D ira c ............................................................................ 72
3.9 Teorema da aproximação de Weierstrass........................................ 77
3.10 O teorema de Fejér.......................................................................... 80
3.11 Identidade de Parseval..................................................................... 84
3.12 Funções de variação lim itada ......................................................... 88
3.13 Fenômeno de G ib b s ....................................................................... 93
3.14 Problema isoperimétrico ................................................................ 96
3.15 Nota h istó rica ................................................................................. 99
Exercícios....................................................................................................... 100
CAPfTUL0 4 EQUAÇÃO DO CA LO R .......................... 102
4.1 Condução do calor: barra com extremidades mantidas a 0 °C 102
4.2 Condução do calor: barra sujeita a outras condições laterais 108
4.3 Condições de fronteira não-homogéneas........................................ 112
4.4 Equação do calor não-homogênea.................................................. 114
4.5 Condução do calor em uma barra não-homogênea....................... 118
4.6 Unicidade de solução do PVIF (1 ) .................................................. 120
4.7 Variações da temperatura do s o lo .................................................. 124
Exercícios........................................................................................................ 127
CAPÍTULOS EQUAÇÃO DAS O N D A S............................................. 130
5.1 Equação da corda vibrante.............................................................. 130
5.2 Resolução por séries de Fourier .................................................... 134
5.3 Energia da corda vibrante .............................................................. 139
5.4 Harmônicos, freqüéncia, am plitude............................................... 142
5.5 Corda dedilhada............................................................................... 144
5.6 Vibrações forçadas. Ressonância............................................. 146
5.7 Corda infinita .................................................................................. 149
5.8 Corda semi-infinita.......................................................................... 160
5.9 Linhas de transmissão..................................................................... 164
5.10 Vibrações longitudinais de uma bana e lástica.............................. 168
5.11 Soluções generalizadas à Sobolev ..................................................... 172
f^xercícios........................................................................................................ 182
CAPÍTULO 6 TRANSFORMADA DE FOURIER EAPLICAÇÕES-------- 191
6.1 À guisa de motivação ...................................................................... 191
6.2 Definição da transformada de F o u rie r........................................... 196
6.3 Espaço e transformada de Fourier em 5^ ............................. 200
6.4 Produto de convolução................................................................... 207
6.5 Teorema de Plancherel ................................................................... 211
6.6 Fórmula do somatório de Pòisson e equação do calor ................. 213
6.7 Problema de Cauchy para a equação do c a lo r .............................. 216
6.8 Condução do calor na barra semi-infmita...................................... 220
Apêndice Funções representadas por integrais.......................................... 222
Exercícios........................................................................................................ 238
CAPÍTULO 7 EQUAÇÃO DE LAPLACE.............................................. 245
7.1 Problema de D irichlet............ ......................................................... 245
7.2 Problema de Dirichlet no retângulo................................... .. . . . . 249
7.3 Problema de Dirichlet no disco....................................................... 251
7.4 Problema de Dirichlet para a equação de Laplace num semiplano 257
Exercícios........................................................................................................ 259
Respostas e sugestões....................................................................................
Referências......................................................................................................
Índice...............................................................................................................
PREFÁC IO
O objetivo central do presente texto é a resolução de algumas equações 
diferenciais parciais que aparecem em problemas da Física Matemática. 
Para isso, teremos de desenvolver certos métodos, sendo que o primeiro 
deles é o Método de Fourier, cujo ingrediente essencial é a série de Fourier. 
Um outro método introduzido utiliza a transformada de Fourier. Por­
tanto, sendo a série e a transformada de Fourier as duas ferramentas 
básicas usadas, dedicamos alguns capítulos à chamada Análise de Fourier.
O espírito que nos guiou na ordenação da matéria do texto foi o 
de desenvolver o instrumental matemático à proporção em que ele se 
fazia necessário. Assim, decidimos iniciar o presente trabalho apresen­
tando um problema da Física Matemática. A seguir, durante a resolução 
do mesmo, fomos motivando a introdução de certos conceitos e justi­
ficando certos teoremas. Parece-nos que esse ponto de vista é particular­
mente instrutivo para o estudante. Um tal procedimento responde, por 
si mesmo, àquela preocupação do aluno sobre a utilidade das teorias 
matemáticas que estuda, mostrando como e por que elas foram criadas. 
Procuramos também mostrar a força dos métodos introduzidos, apli- 
cando-os à resolução de vários outros problemas da Física Matemática.
Tentamos fazer um texto que fosse utilizável pelos alunos de graduação 
dos cursos de Engenharia, Física e Matemática, bem como pelos alunos 
do curso de Mestrado em Matemática. Visando os primeiros, pusemos 
como pré-requisito apenas o Cálculo Diferencial e Integral de uma e 
várias variáveis. Entretanto algum material requerendo maior conhe­
cimento matemático foi colocado em secções e observações isoladas ao 
longo do texto, de modo a permitir que o leitor as omita caso desejar. 
Fizemos isso visando a um duplo objetivo: despertar a curiosidade do 
leitor iniciante e mostrar ao leitor mais avançado a relevância de algumas 
teorias matemáticas que ele estudou.
A necessidade de um texto com o enfoque escolhido se deve, ao nosso 
ver, a uma série de problemas atuais no ensino de Matemática, os quais 
estão intimamente interligados, como passamos a expor.
a) Nos cursos de Engenharia e de Física, as disciplinas do ciclo básico 
ministradas pelos Departamentos de Matemática contêm poucas apli­
cações, e seus programas visam pouco ao uso futuro no ciclo profissional. 
Neste, a Matemática é utilizada de “modo diferente” daquele que o aluno 
viu no ciclo básico! Em algumas disciplinas do ciclo profissional, a Mate­
mática necessária é desenvolvida ad hoc! Parecem faltar, no ciclo básico, 
algumas disciplinas de conexão, como sejam Métodos Matemáticos da 
Física ou Equações Diferenciais Parciais, ou, até mesmo. Equações Dife­
renciais Ordinárias, apresentadas com uma forte dosagem de aplicações 
à Física e à Engenharia. Onde anda aquela cadeira, dos antigos cursos 
de Engenharia, que era tão útil nesse espírito de conexão, a qual era mi­
nistrada pelos departamentos de Matemática, e que trazia aquele nome 
tão pitoresco: “Mecânica racional precedida de elementos de cálculo 
vetorial”?
b) Nos cursos de graduação em Matemática, bacharelado e licen­
ciatura, quase todas as disciplinas são oferecidas pelo Departamento de 
Matemática, via de regra, com um enfoque pouco aplicado. A Física, a 
Química e a Biologia comparecem na quantidade mínima para atender 
às exigências da legislação federal. Existe em alguns lugares a idéia bizarra 
de que essas matérias são um trambolho que deve ser logo superado para 
que o aluno possa logo se dedicar às disciplinas matemáticas, pois são 
estas que realmente importam. Será? Que vão fazer esses alunos após 
se tornarem bacharéis ou licenciados? Talvez a maior parte deles vá ensinar 
pessoas para as quais a Matemática é apenas uma ferramenta. Não seria 
bom que esses professores tivessem aprendido um pouco da linguagem 
das aplicações para melhor motivar seus alunos?
c) O aluno de Mestrado em Matemática é o bacharel ou o licenciado 
formado no espírito da letra (b) acima. É, via de regra, pessoa avessa às 
aplicações, não porque as conheça e as julgue desagradáveis, mas sim por­
que não as conhece e as teme. A maioria dos programas de Mestrado 
em Matemática não procura sanar esse problema. Talvez se julgue que 
seja demasiado tarde. Desse modo, os cursos de Mestrado se limitam a 
melhorar o nível de conhecimento estritamente matemático dos alunos 
egressos de nossas graduações. Mestres formados nesse esquema pouco 
poderão fazer no sentido de minorar os problemas das letras (a) e (b) 
acima. Não cremos que seja dificil fazer algo, nesse nível de Mestrado, 
para atacar os problemas que expusemos anteriormente. A introdução 
de certas disciplinas, como, por exemplo. Equações Diferenciais Parciais, 
no espírito do presente texto, seria um passo na direção de futuros pro­
gramas mais ambiciosos.
Meus agradecimentos a todos que leram o manuscrito ou partes 
do mesmo e nos deram sugestões e apontaram incorreções; em particular, 
aos professores David Goldstein Costa, José Valdo Gonçalves, Nelson 
Ortegosa da Cunha, Pedro Nowosad e Wellington Santiago.
Brasília, novembro de 1977
Djairo Guedes de Figueiredo
“Returning to the question of the Conduction of Heat, we have first 
of all to say that the theory of it was discovered by Fourier, and given to 
the world through the French Academy in his Théorie analytique de la 
chaleur, with Solutions of problems naturally arising from it, of which it 
is difficult to say whether their uniquely original quality, or their trans- 
cendently intense mathematical interest, or their perennially important 
instructiveness for physical Science, is most to be praised.” (Kelvin, Ency- 
clopaedia Britannica, 1878.)
“Par rimportance de ses decouvertes, par Tinfluence décisive qu’il 
a exercé sur le développement de la Physique mathématique, Fourier 
méritait rhommage qui est rendu aujourd’hui à ses travaux et à sa mé- 
moire. Son nom figurera dignement à côté des noms, ilustres entre tous, 
dont la liste, destinée à s’accroitre avec les années, constitue dés à présent 
un véritable titre d’honneur pour notre pays. La Théorie analytique de 
la Chaleur. . . ,que l’on peut placer sans injustice à côté des écrits scien- 
tifiques les plus parfaits de tous les temps, se recommande par une expo- 
sition intéressante et originale des principes fondamentaux.” (Darboux, 
Oeuvres de Fourier, 1, 1888.)
“La théorie de la chaleur de Fourier est un des premiers exemples 
de Tapplication de 1’analyse à la physique; en partant d’hypothéses simples 
qui ne sont autre chose des faits expérimentaux généralisés, Fourier en 
a déduit une série de conséquences dont Tensemble constitue une théorie 
compléte et cohérente. Les résultats qu’il a obtenu sont certes intéressants 
par eux-mêmes, mais ce qui l’est plus encore est la méthode qu’il a employé 
pour y parvenir et qui servira toujours de modèle à tous ceux qui voudront 
cultiver une branche quelconque de la physique mathématique. J’ajouterai 
que le livre de Fourier a une importance capitale dans 1’histoire des mathé- 
matiques et que Tanalyse pure lui doit peut-être plus encore que 1’analyse 
appliquée.” (Poincaré, Théorie analytique de la propagation de la chaleur, 
1891.)
IN TRO DU ÇÃO
O estudo das Equações Diferenciais começa com a criação do Cálculo 
Diferencial e Integral no século XVII, e é guiado, inicialmente, por suas 
aplicações à mecânica das partículas. Nessas aplicações, o uso de leis 
fisicas, como as três de Newton da Dinâmica e a lei da gravitação uni­
versal, possibilita obter equações diferenciais ordinárias que representam 
os fenômenos em estudo. O sucesso em tratar esses problemas utilizando 
o Cálculo Diferencial foi um enorme estímulo aos físicos e matemáticos 
do século XVIII em procurar modelos para problemas da Mecânica do 
Contínuo e de outros ramos da Física (Termologia, por exemplo) que 
expressem os fenômenos em termos de Equações Diferenciais. Entretanto 
as equações resultantes, sendo equações diferenciais parciais, trazem sérias 
dificuldades matemáticas em sua resolução. As três equações básicas que 
já aparecem nos estudos dos matemáticos do século XVIII são as seguintes: 
no problema das vibrações transversais de uma corda, a posição u(x, t) 
de um ponto x da corda, num instante í, deve satisfazer à equação das ondas
no problema da condução do calor em uma barra, a temperatura w(x, í) 
do ponto X da barra, no instante í, deve satisfazer à equação do calor
•
No problema do equilíbrio de uma membrana sob a ação de certas forças, 
obtém-se que uma certa função u(x, y) deve satisfazer à equação de Laplace
+ “yy =
em uma região do plano x, y.
Para esses problemas, a obtenção de soluções satisfazendo, além da 
equação diferencial, a certas condições iniciais ou condições de fronteira 
é uma tarefa difícil. E esse é o objetivo central deste trabalho.
O método de resolução desses problemas é conhecido como o método 
de Fourier, o qual consiste em duas etapas. Na primeira, utiliza-se sepa­
ração de variáveis para obter problemas de autovalor, para equações 
diferenciais ordinárias, estreitamente relacionados com as equações dife­
renciais parciais em estudo. Nessa etapa, obtém-se uma família de soluções 
da equação diferencial parcial que satisfazem a uma parte das condições
de fronteira. A idéia básica, a seguir, é utilizá-las para compor a solução 
do problema como uma série cujos termos são produtos dessas soluções 
por coeficientes adequadamente escolhidos; essa é a segunda etapa, que 
requer a chamada Análise de Fourier.
No Capítulo 1, aplica-se o método de Fourier para o tratamento 
detalhado do problema da condução do calor em uma barra; visamos, 
desse modo, motivar o estudo das séries de Fourier através de um exemplo 
de bastante significado histórico. De fato, esse é precisamente um dos 
problemas estudados por Fourier em seu tratado de 1822, Théorie ana~ 
lytique de la chaleur (Teoria analítica do calor). É nesse trabalho que o 
problema de representação de uma função por uma série trigonométrica 
é colocado em termos mais claros, concluindo uma era de estudo desse 
problema, marcada por dúvidas e controvérsias mantidas entre eminentes 
matemáticos como d’Alembert, Euler, Daniel Bernoulli e Lagrange. Re- 
conheça-se que o trabalho de Fourier carece de rigor, o que é absoluta­
mente compreensível porque, na época, a Análise não estava ainda em 
bases sólidas. Foram precisamente as dúvidas e imprecisões em problemas 
como os da convergência da série de Fourier, cuja relevância era indis­
cutível, que motivaram matemáticos como Cauchy, Bolzano, Dirichlet e 
outros, a procederem a uma formalização mais cuidadosa da Análise.
Os Capítulos 2 e 3 contêm uma teoria das séries de Fourier, e a sepa­
ração em dois capítulos visa a atender diferentes grupos de leitores. Aqueles 
que têm menor interesse pelas questões matemáticas e visam mais ás 
aplicações das séries de Fourier poderão omitir o Capítulo 3, ou, pelo 
menos, ler apenas os resultados, deixando as demonstrações de lado.
Com o instrumental adquirido nos Capítulos 2 e 3, tratam-se, no 
Capítulo 4, vários problemas de condução do calor em uma barra.
O Capítulo 5 estuda os vários problemas para a equação unidimen­
sional das ondas. Além de utilizarmos o método de Fourier, tratamos 
alguns problemas usando o fato de que a equação das ondas possui uma 
solução geral, o que já foi observado por d’Alembert. Esse capítulo contém, 
na Secção 5.11, um estudo detalhado da existência de solução generalizada 
para a equação das ondas; os leitores que não estejam familiarizados 
com a teoria da integral de Lebesgue podem omitir essa secção, onde 
se faz uso dos chamados espaços de Sobolev.
Outro instrumental básico introduzido neste texto é a transformada 
de Fourier. O Capítulo 6 versa sobre ela e algumas de suas aplicações 
às equações do calor e das ondas.
Finalmente, o Capítulo 7 trata o problema de Dirichlet para a equação 
de Laplace em regiões muito simples como retângulos, discos ou coroas.
Para essas regiões, que têm um certo grau de simetria, o método de Fourier 
funciona particularmente bem. O problema de Dirichlet para regiões 
mais gerais requer outras técnicas, e foge ao objetivo deste trabalho.
Esperamos ter procedido a um desenvolvimento, suficiente para nossos 
propósitos, das séries e transformadas de Fourier, bem como discutido 
um número de exemplos que mostram a força e a utilidade dos métodos 
introduzidos. O Autor procurou manter a um mínimo os pré-requisitos 
matemáticos, visando a tornar o texto acessível a pessoas que tenham 
interesse nas aplicações, mas que careçam ainda de um conhecimento 
mais amplo das modernas teorias matemáticas. Apesar disso, procurou-se, 
através de diversas observações (quando marcadas com um asterisco (*), re­
querem o conhecimento de Álgebra Linear; quando marcadas com dois (**), 
exigem, além disso, familiaridade com a integral de Lebesgue), mostrar as 
conexões do que estudamos com outros ramos da Matemática atual; e não 
esqueçamos que boa parte dessa Matemática foi criada no estudo de ques­
tões como as consideradas neste texto. Espera-se assim motivar os leitores a 
aprofundarem seus conhecimentos matemáticos.
A questão central na teoria das séries de Fourier é expressar uma 
dada função como uma série de senos ou (e) co-senos, os quais, como 
veremos no texto, são autofunções de determinados problemas de auto­
valor. A consideração de certos problemas para as equações diferenciais 
parciais em estudo conduz à necessidade de escrever-se uma dada função 
como uma série de autofunções de problemas de autovalor mais gerais. 
Essas questões são bem mais dificeis e, para atacá-las de modo mais con­
ciso e elegante, requer-se um instrumental matemático mais poderoso: 
em vista disso, decidimos omiti-las do presente trabalho.
CAPÍTULO 1
POR QUE ESTU DAR S É R IE S DE
FO U R IER7
Este capitulo, além de responder à pergunta enunciada no titulo 
do capitulo, mostra como surgiu a teoria das séries de Fourier, e assim 
se constitui em uma motivação adequada para o trabalho desenvolvido 
em parte substancial deste texto. Estudaremos o problema da condução 
do calornuma barra. Na tentativa de resolvê-lo, usaremos a matemática 
que aprendemos nos cursos de Cálculo Diferencial e Integral e de Equações 
Diferenciais, e chegaremos à conclusão de que ela é insuficiente. Espe­
ramos convencer o leitor de que a resolução do problema requer algo 
mais, e que esse algo mais é a série de Fourier.
1.1 Condução do calor numa barra
Considere uma barra de comprimento L, cuja secção transversal tem 
área A, feita de um material condutor uniforme de calor. Suponhamos 
que a superficie lateral da barra esteja isolada termicamente de modo a 
não permitir, através dela, transferências de calor com o meio ambiente. 
Transferências podem, entretanto, ocorrer através das extremidades da 
barra.
Figura 1.1
Isolamento
térmico
A uniformidade do material e o isolamento térmico lateral implicam 
que o fluxo de calor se dê somente na direção longitudinal, e, portanto, 
estamos em presença de um problema de condução do calor em uma 
dimensão apenas. Mais precisamente, as várias grandezas fisicas são cons­
tantes em cada secção transversal, podendo, obviamente, variar de uma 
secção para outra.
A lei do resfriamento de Fourier diz o seguinte: considere duas placas, 
Pj e P2 » de áreas iguais a A, mantidas constantemente às temperaturas
[ Capftulo 1 ]
Tj e T2 , respectivamente; se colocadas paralelamente a uma distância d 
uma da outra, haverá passagem de calor da placa mais quente para a 
mais fria, e a quantidade de calor, por unidade de tempo, transferida de 
uma placa para outra é dada por
kA\T2-T^\
Q = (1)
onde k é a condutibilidade térmica do material entre as placas. No sistema 
CGS, k tem as dimensões de cal/cm-s-°C. Utilizaremos a seguir essa lei 
para estudar a condução do calor na barra.
Representemos por m(x , t) a temperatura de um ponto de abcissa x 
(imaginemos que a barra esteja colocada sobre o eixo dos x, como indica 
a Figura 1.2) no tempo t. Observe que a temperatura independe das coor­
denadas espaciais y c z.
Tomemos duas secções transversais da barra localizadas em x e 
em X -h d. Para aplicar a lei de Fourier, imaginamos essas secções como 
as placas Pj e P2 acima. Entretanto há uma dificuldade porque as tem­
peraturas nessas secções variam com o tempo, e, portanto, não são cons­
tantes como requer a lei de Fourier. Para superar essa dificuldade, vamos 
introduzir a grandeza fluxo de calor através duma secção x, num instante í, 
o que será feito do seguinte modo: fixe o tempo f em (1), faça T2 = u(x -h d, t) 
e Tj = u(x, í), e passe ao limite quando d tende a zero. Tal limite será 
kA\u^(x, í)|. Definimos, então, o fluxo de calor na direção positiva do 
eixo X como uma função q(x, t) dada por
q(x, t) = -kAu^(x, t), (2)
O sinal menos em (2) é justificado do seguinte modo: se a temperatura u 
crescesse com x, seria positivo; mas, como o calor fluiria para a esquerda,
[ Secçâk) 1 -1 ]
q deveria ser negativo. Por outro lado, se u decrescesse com x, seria 
negativo, mas, como o calor fluiria para a direita, q deveria ser positivo.
Fixemos agora um elemento da barra entre Xq e Xq + á, e vejamos 
qual é a quantidade de calor (q) que aí entra, no período de tempo entre 
íq e íq -h T. Usando o fluxo de calor q(x, í), podemos ver que
q = <7(Xq , t ) d t - \ q{xo + S, t) dt,
t̂o •'ÍO
OU seja.
Jto
to + r
0 - dt. (3)
Por outro lado, sabemos que o calor específico (c) de uma substância 
é a quantidade de calor necessária para elevar em 1 ”C a temperatura de 
um grama dessa substância. Portanto q pode ser também escrito como
J*to + T pOCo + <5 cu,{x, t)dt p A dx, (4)
to Jxo
onde p é a densidade da substância.
Usando o teorema fundamental do cálculo em (3) e, a seguir, igua­
lando o valor de q assim obtido com o valor de q dado em (4), obtemos
lío + T fXo + ó pfo + t pxo + S
ku^J^x, t)dx dt = cpUj(x, t)dxdt (5)
wo •'XO
Como a expressão (5) é válida para todo íq > 0, todo 0 < Xq < L 
e todos T > 0 e á > 0, concluímos que
0 = í),
ou seja.
pio + T pjc 
JiO •'■XO
u, = Ku^ (6)
onde K = k/(cp) é a difusibilidade térmica, que, no sistema CGS, tem as 
dimensões cm^/s. Na Tabela 1.1 apresentamos os valores de K para dife­
rentes substâncias. A Equação (6) é chamada a equação do calor, e é a 
lei de variação da temperatura m(x , í) numa barra uniforme com a super­
fície lateral isolada termicamente.
Observações. Na dedução da equação do calor, fizemos várias hipóteses, 
algumas ditadas pela experiência, e, nesse caso, elas são 
leis físicas. Os fatos básicos na dedução foram: (i) a lei do resfriamento 
de Fourier e (ii) a expressão (4) da quantidade de calor em função do calor 
específico, c. Além disso, fez-se a hipótese de que a temperatura é uma
função cujas derivadas parciais até segunda ordem são contínuas na 
região do plano (x, í), dada por 0 < x < L e í > 0.
Tabela 1.1 Valores de K para diferentes substâncias
4 Capítulo 1 ]
Material
Prata
Cobre
Alumínio
Ferro fundido
Granito
Argila
Agua
X(cm Vs) ^
1,71
1,14
0,86
0,12
0,011
0,0038
0,00144
Análise do que fizemos até aqui. A temperatura m(x, t) da barra obedece
à equação do calor (6). Entretanto tal 
equação tem muitas soluções. Por exemplo, qualquer constante, m(x, t) = 
= constante, é uma solução de (6). Outras soluções triviais seriam m(x, t) = 
= cx, onde c é uma constante. E vemos que há muitas outras. Qual delas 
vai representar a distribuição de temperatura na barra? Aí entram em 
cena informações adicionais sobre o problema específico em estudo. Ini­
cialmente vemos que a distribuição de temperatura deve depender da 
temperatura inicial ao longo da barra. Fisicamente isso é razoável; mate­
maticamente é um dado essencial na determinação de m(x. t). Essa dis­
tribuição inicial da temperatura é a condição inicial do problema, e escre­
vemos que
M(x, 0) = / ( x ) ,
onde / : [0, L] -► IR é uma função dada que descreve a temperatura nos 
vários pontos da barra no instante t = 0.
Além dessa condição, é importante saber o que se passa nas extre­
midades da barra. Como elas não estão isoladas termicamente, pode 
haver entrada ou saída de calor. Isso deve, necessariamente, influir no 
valor de m(x, í). Temos, pois, de enunciar as condições de fronteira, as 
quais podem ser de vários tipos.
CONDIÇÕES DE FRONTEIRA. Tipo I. Suponhamos que, por algum
processo, as extremidades da 
barra sejam mantidas a temperaturas conhecidas. Por exemplo, tempera-
tura constante em cada extremidade,
u (0 ,t)= T i e m(L, í) = T 2 ,
onde Tj e T2 são temperaturas dadas. Um caso mais complexo seria 
aquele em que se conhece a variação da temperatura em uma extremidade 
(ou em ambas), isto é,
w(0, t) = h^{t) e u(L, t) = h,(tl
onde ^q(í) e h^(t\ para í > 0, são as temperaturas (conhecidas) em cada 
uma das extremidades.
Tipo II. Suponhamos que as extremidades estejam isoladas termicamente.
Isso quer dizer que os fluxos de calor através dex = 0 e x = L 
são nulos. Da Expressão (2) para o fluxo de calor, vemos que as condições 
laterais nesse caso têm a forma
u,(0, t) = t) = 0.
Tipo III. Suponhamos que o meio ambiente tenha temperatura Uq e que 
haja transferências de calor, entre a barra e o meio ambiente, 
regidas pela lei
kuJO, t) = ^{m(0, O-Uq},
-ku,(L, t) = e{u(L, í)-Wo},
onde e é uma constante, dita emissividade, característica do par constituído 
pelo material da barra e pelo meio ambiente.
Tipo IV. Uma combinação de duas quaisquer das condições acima, como, 
por exemplo,
u(0, í) = 0 e Wĵ (L, í) = 0.
[ Secção 1.2] 5
1.2 Formulação matemática do problema 
da condução do calor
Vamos representar por ât a região do plano (x, t) determinada por 
0 < x < L e í > 0 , e por ât a união de ^ com sua fronteira que é for­
mada pelas semi-retas (x = 0, í > 0} e {x = L, í > 0} e pelo segmento 
{0 ^ X < L, í = 0}. O problema da condução do calor consiste em de­
terminar uma função real u(x, t) definida em ^ que satisfaça à equação
[ Caprtulo 1 ]
do calor
em
que satisfaça à condição inicial
m(x, 0) = /(x), 0 < X < L,
(1)
(2)
onde /: [0, /.] -► IR é uma função dada, e, finalmente,que satisfaça às 
condições de fronteira. Vamos começar com o caso em que as tempe­
raturas nas extremidades da barra são mantidas constantemente zero, 
isto é,
u(0, t) = u(L, t) = 0. (3)
O problema dado em (l)-(3) é chamado um problema de valores inicial 
e de fronteira, ou problema misto. Neste trabalho preferimos a primeira 
terminologia porque ela explica melhor a natureza do problema.
Método de Fourier. Esse método consiste em, primeiramente, usar sepa­
ração de variáveis e procurar soluções w(x, í) do pro­
blema na forma
u(x, t) = F(x)G(t). (4)
Ao iniciar essa busca, esclarecemos que vamos proceder como o pesqui­
sador que procura descobrir algo. Faremos uma série de raciocínios infor­
mais, sem nos preocuparmos com a justificação rigorosa de cada passo. 
Nossa meta é descobrir uma função ou funções que se constituam candi­
datos razoáveis à solução do nosso problema. Uma vez identificado esse 
candidato tentaremos provar rigorosamente que ele é a solução do pro­
blema.
Substituindo (4) na equação do calor, obtemos
F(x)G'(t) = KF\x)G{t) (5)
ou 1 G '(t)^F '(x) 
K G(t) F(x) (6)
[Observe que, para passar de (5) para (6), devemos admitir que G(t) e 
F(x) nunca se anulam. Entretanto, no espírito enunciado acima, não nos 
preocuparemos com isso, por enquanto.]
Agora observe que o lado esquerdo de (6) é função apenas de t, en­
quanto que o lado direito é função apenas de x. Logo, tanto o lado es­
querdo de (6) como o lado direito (que são iguais!) devem independer
[ Secção 1. 2]
de X e de t. Isso quer dizer
F"(x) = a 1 G'(t) = (7)F(x) K G(t)
onde a é um parâmetro independente de í e de x.
A primeira equação, em (7), nos diz que F deve satisfazer à equação 
diferencial ordinária
F"{x) - (tF(x) = 0, para 0 < x < L, (8)
e, como m(0, t) = w(L, í) = 0 a função F(x) deve satisfazer também às con­
dições
F(0) = F(L) = 0, (9)
pois, como m(0, t) = F(0)G(í) = 0 para todo t > 0, segue-se que, se F(0) ^ 0, 
então G(t) = 0 e, portanto, m = 0. E, se bem que m = 0 seja solução da 
equação do calor e satisfaça às condições de fronteira, essa função não 
tem chance de satisfazer à condição inicial m(x , 0) = /(x), a menos que
m ^ 0.
Agora procedemos no sentido de ver quais os valores de a que con­
duzem a soluções F(x) do problema dado em (8)-(9). É claro que estamos 
interessados apenas nas soluções F não identicamente nulas, de outro 
modo, obteríamos w = 0, o que não interessa. Hà três possibilidades 
para a, conforme segue.
i) Se (T > 0, a solução geral de (8) é da forma
F(X) = -h C2^ - y/~ãx
Portanto, se tal F satisfizer a (9), o par (Cj, C2 ) de constantes deverá ser 
solução do sistema
c 1 4- c 2 = 0,
-h = 0.
Mas a única solução desse sistema é Cj = C2 = 0. E isso implica F = 0, 
o que não interessa. '
ii) Se (T = 0, a solução geral de (8) é da forma
F(x) = CjX + Cj ,
e, para satisfazer às condições (9), devemos ter 
V C2 = 0 e c^L + Cj = 0,
o que implica c, = C2 = 0 e, portanto, F = 0.
8 [ Capítulo 1 ]
iii) Se (7 < 0, fazemos a = -)?, e a solução geral de (8) é da forma
F{x) = Cj COS Xx H- C2 sen Xx.
Para que uma tal F satisfaça (9), devemos ter
Cj = 0 e C2 sen XL = 0.
Como não queremos C2 = 0, devemos ter
sen XL = 0,
o que implica XL = nn, onde n é um inteiro não-nulo (n = ±1, ± 2,.. .)• 
Os valores de -a = X̂ :
A? =
n 71
(10)
são chamados os valores próprios ou autovalores do problema dado em 
(8)-(9), e as funções
F„(x) = sen mix (11)
são chamadas as funções próprias ou autofunçôes do problema dado em 
(8)-(9). Não há necessidade de considerar os valores negativos de X̂ , pois 
isso conduziria apenas a uma autofunção diferindo apenas no sinal de 
uma outra obtida para um X̂ positivo. Mais adiante trabalharemos com 
expressões da forma c^F„(x\ com a constante a determinar.
Vejamos agora a segunda equação diferencial ordinária em (7). Sua 
solução geral é
G(t) = (12)
Logo, para cada n = 1, 2, 3 ,.. ., temos uma função
u„(x, t) = e sen >Lá (13)
a qual satisfaz à Equação (1) e às condições de fronteira (3), como o leitor 
poderá verificar sem dificuldades.
Esses chegaram quase a resolver nosso problema dado em (l)-(3). 
A dificuldade está em que, sendo
u„(x, 0) = sen nnx
M„(x, t) só seria solução de (1), (2) e (3) se a função dada /(x) tivesse a forma
/(x) = sen — •
[ Secção 1.2 J
Assim, a solução de (l)-(3) com f(x) = sen 5nx/L é a' função 
u^(x, t) =
Suponha agora que a condição inicial seja /(x) = 3 sen 5nx/L. Algo 
nos diz que a solução do problema dado em (l)-(3), nesse caso, deveria ser
s e n - ^ ' (14)m(x, t) = 3e
E, de fato, podemos verificar isso, mostrando primeiro que tal função 
satisfaz à Equação (1). A seguir, fazendo x = 0 e x = L, obtemos as con­
dições de fronteira (3). E, finalmente, fazendo í = 0, obtemos a condição 
inicial (2) satisfeita.
Vamos um passo além. Suponha que a condição inicial dada fosse
 ̂ 27TX ̂ 5tix / ( x) = 4 sen —r— -h 3 sen - j - •
Algo nos diz que, nesse caso, a solução do problema dado em (l)-(3) de­
veria ser
U(X, t) = sen -h 3̂ -25n2|Cí/L2
E, de fato, como acima, poderemos verificar que todas as condições são 
satisfeitas.
A verificação de que (14) e (15) satisfazem à Equação (1) possivelmente 
indicou ao leitor que o seguinte fato geral é verdadeiro, explicando aquele 
algo misterioso!
“Se m(x, t) e v{x, t) forem soluções da Equação (1), então qualquer 
função da forma
au{x, t) -I- bv(x, í),
onde a c b são constantes, será também uma solução de (1).” Esse fato é 
expresso dizendo-se que a Equação (1) é linear. Ou, ainda, uma combinação 
linear de soluções é também uma solução. Esse é o chamado princípio 
da superposição, o qual vale também para combinações lineares de três 
ou mais (qualquer número finito de) soluções.
Portanto qualquer expressão da forma
N
E í),
10 [ Capítulo 1 ]
^ nnx
L ^nSen —
n = l ^
onde os são constantes e os são as funções definidas em (13), é solução
de (1) e (3). Conseqüentemente, se a condição inicial /(x) for da forma
então, nesse caso, a solução de (l)-(2)-(3) será
0 = E c „ e - " '- 'W s e n ^ -
n = l ^
E se / não tiver a forma simples acima? Aí vem a idéia de tomarmos “somas 
infinitas”. A seguir apresentamos a motivação informal para o estudo 
das séries de Fourier. Suponhamos que a função dada /(x) possa ser ex­
pressa em uma série da forma
m nnxc„sen —
n = l ^
(16)
Então o candidato para solução do problema dado em (l)-(3) nesse caso 
seria
u(x, í) = f
n = l ^
(17)
O método de Fourier culmina com a indicação desse candidato. Traba­
lharemos agora no sentido de elegê-lo.
O trabalho não será trivial. Vários problemas surgeni.
PROBLEMA 1. Será que a função /(x) dada pode ser escrita na forma 
(16)7 Aí deveremos estudar que funções podem ser es­
critas nessa forma, bem como a questão de obter os coeficientes , para 
uma dada função /.
PROBLEMA 2. Sendo a função (17) definida por uma série, põe-se a 
questão de convergência da série. E, em seguida, a questão 
de verificar que, de fato, essa função satisfaz à equação diferencial (1).
Para resolver o Problema 1 vamos, nos Capítulos 2 e 3, desenvolver 
a teoria das séries de Fourier. Uma vez feito isso, voltaremos, no Capí­
tulo 4, ao problema da condução do calor, para completar sua resolução. 
E estudaremos, nos capítulos posteriores, outros problemas físicos que
[ Secção 1.2 ] 11
podem ser atacados com as técnicas desenvolvidas na resolução do pro­
blema do calor.
EXERCÍCIO. Proceda como na Secção 1.2 acima e estude o problema 
M, = , em
M,(0, í) = mJL, t) = 0, para t > 0,
u(x, 0) = /(x), para 0 < x < L.
CAPÍTULO 2
S É R IE S DE FO U R IER
Vimos no Capítulo 1 a necessidade de saber se (ou quando) uma 
função real /(x), definida para 0 < x < L, pode ser expressa como
^ nnx/W= I, ‘̂ nSen-̂ ..
n = 1 ^
(1)
com os coeficientes escolhidos adequadamente. No Exercício 1, do 
Capítulo 1, coloca-se uma questão semelhante, que é a de saber se uma 
função /(x) pode ser expressa como
\ V flTíXf{x) = X c„ COS — •
n = 0
É, pois, importante considerar a questão geral seguinte:“que funções 
/ : IR -► (R podem ser expressas na forma
y., , 1 ^ / nnx , MTTxV,,/(x) = Y ^ o + I ( ■ (2)
A justificativa para ja^ em vez de virá mais adiante, sendo essa escolha 
apenas por conveniência.
2.1 Funções periódicas
Uma função / : IR -► IR é periódica de período T se /(x H- T) = /(x) 
para todo x.
EXEMPLOS. 1) A função sen x é periódica de período 2tc.
2) A função /(x) = x -[x ] , onde [x] representa o maior 
inteiro menor do que ou igual a x, é periódica de p>eríodo 1. Veja o gráfico 
da Figura 2.1.
Se T é um período para a função /, então 2T também é um período,
pois
/(X + 2T) = /(x + T) = /(x).
[ Secção 2.1 ] 13
E, em geral, kT é um período, onde k é um inteiro positivo, negativo ou 
nulo. Bom, fc = 0, implicaria em dizer que 0 é um período da /. Mas isso 
não tem interesse pois 0 é um período de qualquer função. Por esse motivo, 
sempre que falamos em período T, consideramos T # 0. O menor período 
positivo é chamado o período fundamental Entretanto é praxe usar apenas 
a expressão período para designar período fundamental. Assim, quando 
dizemos que 2n é o período da função senx, estamos nos referindo ao 
período fundamental. É claro que 4n, -4n, 6tc, etc., são também períodos 
do senx.
EXEMPLO 3. O período fundamental T da função sen nnx/L pode ser 
determinado do seguinte modo. Devemos ter
nn{x -h T)sen nnx= sen- j - » para todo x e ILá
ou seja.
nnx nnT nnx nnT nnxsen —j— COS —z— -h cos sen = sen —r- 'Li Lí Li Lí Li
Para x = L/2n, obtemos
o que implica
n nnT nsen ^ COS — = sen 2 L 2
nnT . 
COS — = 1
(3)
(4)
e, daí, usando a identidade sen^ 6 + cos^ 0 = 1 , obtemos
nnTsen- = 0. (5)
14 [ Capítulo 2 ]
Como estamos interessados no menor valor positivo de T que satisfaça 
(4) e (5), simultaneamente, obtemos nuT/L = 2n, isto é, o período funda­
mental de sen mttx/L é T = 2Lln. O período fundamental de cos nnx/L 
é também 2L/n. Por quê?
2.2 Convergência uniforme
Uma série numérica converge se a sucessão das reduzidas,
também chamadas de somas parciais, converge. Lembremos que a su­
cessão das reduzidas é aquela cujo termo geral é
(reduzida de ordem n).
O leitor está convidado a relembrar que as séries
(i) z CO"’ a > 1, (ii) Z com |A| < 1,
n = l
convergem. A segunda série é chamada a série geométrica, e sua soma, 
que é definida como o limite da sucessão das reduzidas, é A/(l-A). Por 
outro lado, a série 1/n®, com a < 1, não converge, e, então, diz-se 
que ela diverge. Para a = 1, essa série é conhecida como a série harmônica.
Uma série de funções w„(x), onde û : / -► R são funções reais 
definidas em um subconjunto / de U, convergirá pontualmente se, para 
cada XqSI fixado, a série numérica convergir. Isso equivale
a dizer que, dados 6 > 0 e Xq g 7, existe um inteiro N, dependendo de £ 
e de Xq , tal que
m
Z "jW <«
j = n
para todos n < m, tais que n > N.
Uma série de funções m„(x) convergirá uniformemente, se, dado 
£ > 0, existir um inteiro N, dependendo apenas de £ (e não de x), tal que 
Uj(x)\ < £, para todos m > n N.
EXEMPLOS. 1) A série w„(x), onde w„(x) = x/n^ é considerada como 
definida em [0, 1], converge uniformemente. Deüa^o, para
x g [0, 1],
1Z
j = n J
[ Secção 2.2 ] 15
2) A série w„W, onde u^{x) = x, m„(x ) = x " - x""S 
n > 1, é uma função definida para 0 < x < 1, converge pontualmente 
para cada x e [0, 1]. De fato, a reduzida de ordem, n, Uj[x) = x", con­
vergirá para 0 s e 0 < x < 1, e para 1 se x = 1. Tal série não converge uni­
formemente, pois, dados 0 < £ < l / 2 e N inteiro, tomamos x = 
em
e, portanto, dado e > 0, podemos determinar um inteiro N, independente
de X e dependente apenas de £„ tal que 1/j^ < e, para m > n > N.
-1Y, Uj{x) = x '"- x^
j = N
e, daí, |x"*-x^ ̂| = |(26)'"/̂ ̂ ^^-2£|. Logo, se m for suficientemente 
grande, (26)"*̂ ^̂ ” ^̂ < 6, e obtemos que
j = N
> B
para x =
Na verificação de que a série do Exemplo 1 acima converge unifor­
memente, usamos o artificio de majorar a série de funções por uma série 
numérica convergente. É essa idéia que está atrás do chamado teste M 
de Weierstrass, que enunciamos a seguir. Esse critério não só assegura 
convergência uniforme, mas também convergência absoluta. Uma série 
Zw„(x) convergirá absolutamente se a série Z|w„(x)| dos valores absolutos 
convergir.
Teste M de Weirstrass. "̂ Seja j m„(x ) uma série de funções û : I R de­
finida em um subconjunto I de R. Suponha que 
existam constantes > 0 tais que
I u„(x) I < , para todo x 6 7,
e que a série numérica Z®̂ j convirja. Então, a série de funções Z®̂ j m„(x ) 
converge uniforme e absolutamente em /.”
Esse critério de convergência uniforme é muito cômodo, pois ele 
reduz o problema (nada simples!) de verificar a convergência de uma série 
de funções àquele da convergência de uma série numérica.
Por que estudar convergência uniforme? A razão é que as séries que 
convergem uniformemente apresentam excelentes propriedades. Vejamos 
algunías delas, que enunciamos a seguir sob forma de proposições, cujas 
demonstrações são omitidas.
16 [ Capítulo 2 ]
Observações. 1) No Exemplo 1 acima, a soma da série é =
= 7r^x/6, que é uma função contínua em [0, 1]. Ainda neste 
capitulo, usaremos a teoria das séries de Fourier para mostrar que
p r o p o s iç ã o 2.1. Suponhamos que as funções û sejam contínuas e que
a série j m„(x) convirja uniformemente. Então a
soma da série u(x) = ̂w„(x) é também uma função contínua.
t-2 = ^2= 7176.
2) No Exemplo 2, a soma da série é a função w(x), definida 
como sendo 0 para 0 < x < 1, e 1 para x = 1. Logo, uma função des­
contínua. Observe que, nesse caso, as funções m„(x) são contínuas, mas a 
convergência não é uniforme.
p r o p o s iç ã o 2.2. Suponhamos que as funções û sejam integráveis em 
um intervalo I e que a série j uj^x) convirja unifor­
memente. Então
( Z W„(x)^dx = Z Í
I \ n = l J n = l J j
PROPOSIÇAO 2.3. Suponhamos que as funções m„(x) definidas em um in- 
 ̂" tervalo I sejam continuamente deriváveis e que a série
1 K M das derivadas convirja uniformemente. Suponhamos ainda que, 
pàrá um dado Xq € /, a série Z®̂ ̂w„(̂ o) convirja. Então
s ( | . “■»*>)
2.3 Coeficientes de Fourier
í / ; j ' ̂ '7 .Se üma função f(x) for expressa como
, . 1 ^ / nnx , nnx\
 ̂ f ix) = y «0 + I COS - y + sen - j - j .yío ri .q r b. /(x) = y ÚQ + ^ a „ c o s -^ + fc „ s e n ^ j, (6)
í>rr:ij
é de se esperar qiie os coeficientes â e estejam intimamente ligados 
àiifunçâò^/.f^Que expressões têm eles em termos da função /? Para des- 
eobrHlòà, vaiwiòs supor que a igualdade (6) se verifique, e mais, que a série 
em}i6y''Cáw4ffq^Mniformemente. Observe que, como conseqüência da Pro­
posição 2.1, a função / deve ser contínua (e, portanto, pode ser integrada)
[ Secção 2.3 ] 17
e deve ser periódica de período 2L, pois o período (fundamental) de 
COS nx/L é 2L, e 2L é período para as demais funções seno e co-seno que 
aparecem na série. Assim, usando a Proposição 2.2, podemos integrar 
ambos os lados de (6) para obter
Í f {x)dx = 1 * -yao àx+ Y, a„ nnx , , COS —=— dx -h nnx , sen dx
J - L
e, daí,
^ J - L "=*
1 í
J-L •
•L
J-L
" o - r J /(x) dx. (7)
pois, /•L
1 ^ 1 COS- j - dx =
J-L
\ j asen dx = 0. (8)
Para obter os demais coeficientes, exploramos a mesma idéia e usamos 
as relações de ortogonalidade:
nnx mnx , ^ ^
COS ~Y- sen —j— ax = 0, se n, m > 1; (V)J-i Lir
nnx mnx . ÍL, se n = m > 1,
COS - j - COS - j — dx = < (10)
-í- *‘0, se n # m,n, m > 1;
nnx mnx , ÍL, se n = m > 1,
S Q n —i - s c n —i— d x = i ' ̂ , (11)J L L |0, se n ^ m, n, m > 1.
Para demonstrar (9), (10), (11), o leitor poderá usar as identidades 
trigonométricas que expressam produtos de senos, ou de co-senos, ou 
de seno por co-seno, como soma de senos ou de co-senos.
Agora, multiplicando (6) por cos mnx/L, para m > 1 fixado, e inte­
grando, obtemos
, mnx . ,/ (x )c o s -^ á x = a„L. ( 12)
De modo semelhante, obtemos
r . tmtx , , ,f ( x ) s e n - j -d x = b„L. (13)
18 [ Capítulo 2 ]
Finalmente, de (7), (12) e(13), obtemos
1
~ L
f / ( x ) c o s ^ d x . « > 0; (14)
J-L
/•L
I /•/ ̂ J J / (x )se n -y -d x , « > 1, (15)
e agora o leitor pode apreciar a introdução do 1/2 antes do em (6), 
pois, assim, temos uma única fórmula para todos os .
Agora estamos em condições de dar uma boa definição. Seja / : IR -► R 
uma função periódica de período 2L, integrável e absolutamente inte­
grável em cada intervalo limitado; em particular, í^£^|/(x)|dx < oo. Os 
números para n > 0, e para n > 1 dados em (14) e (15) são defi­
nidos como os coeficientes de Fourier da função /. A exigência da inte- 
grabilidade e integrabilidade absoluta de / é necessária para que as Ex­
pressões (14) e (15) façam sentido. Um estudo detalhado e cuidadoso 
dessa questão foi adiado para a Secção 3.1. Observe que
j* /(x) COS ^ áx I < j* I /(x) I dx.
2.4 Série de Fourier
Dada uma função /: IR -► IR periódica de período 2L, integrável e 
absolutamente integrável, podemos calcular seus coeficientes de Fourier 
pelas Expressões (14) e (15) da Secção 2.3. E, assim, podemos escrever
J_
2
, 1 ^ / nnx , nnx\
/(x) ~ y «0 + I I C O S + «Cn y - j- (16)
e isso significa que a expressão do lado direito é a série de Fourier de f.
Uma questão natural surge imediatamente. Que relação há entre / 
e sua série de Fourier? Seria bom se fosse igualdade! Infelizmente isso 
não ocorre sempre. E algo mais grave pode acontecer: a série de Fourier 
pode até divergir. Há exemplo de função contínua cuja série de Fourier 
diverge (veja Titchmarsh, Theory of Functions, p. 416). A seguir, estudaremos 
condições suficientes para que a função / seja igual à sua série de Fourier.
Uma função / ; IR -► IR será seccionalmente contínua se ela tiver apenas 
um número finito de descontinuidades (todas de primeira espécie) em
[ Secção 2.4 ] 19
/(a . + 0 )= lim / ( X ) e / ( a . - 0 ) = lim /(x).
x-*aj+ x - * a j -
É claro que toda função contínua é seccionalmente contínua. A função 
/(x) = 1/x, X ^ 0, nãoé seccionalmente contínua, pois sua descontinuidade 
em X = 0 é de segunda espécie. A função / : IR -► IR definida por
qualquer intervalo limitado. Em outras palavras, dados a < b, existem
a < fli < Ü2 < . . . < < b, tais que / é contínua em cada intervalo
aberto ; = 1, . . . , n - 1, e existem os limites
1 ’ se X ^ 1,
m = \ l/n. se l/(n + 1) < X < l/n.
0 , se X < 0.
não é seccionalmente continua, apesar de todas as descontinuidades 
serem de primeira espécie; acontece, porém, que, no intervalo (0, 1), há 
um número infinito de tais descontinuidades.
EXEMPLOS DE FUNÇÕES SECCIONALMENTE CONTÍNUAS
1) A função sinal de x, definida abaixo:
sign X =
2) A função /(x) = x - [x ] (veja o gráfico na Figura 2.1).
3) A função da Figura 2.3
+ 1 , se X > 0 ;
0, se x = 0 ;
- 1 . se X < 0.
f{x)
^ fx + 1 ,
10 .
X ^ 0 ; 
X < 0.
4) A função da Figura 2.4;
/(x) =
1,
0,
0 ^ X < n; 
^ ^ X < 0 ;
e periódica de período 2n.
20 [ Capítulo 2 ]
5) A função da Figura 2.5: /(x) = |x|, para |x| < 1 e periódica de pe­
ríodo 2 .
Uma função / : R -► R será seccionalmente diferenciàvel se ela for 
seccionalmente continua e se a função derivada / ' for também seccional­
mente contínua. Observe que a derivada f não está definida em todos 
os pontos: com certeza f \ x ) não existe nos pontos x onde / é descontínua; 
e mais, f \ x ) pode não existir, mesmo em alguns pontos onde / é contínua. 
As funções dos Exemplos (1) a (5) acima são seccionalmente diferenciáveis.
A seguinte função é contínua, mas não seccionalmente diferenciável:
[ Secção 2.4 ] 21
f(x) _ f v T ^ ,
se |x| < 1 , 
e periódica de período 2,
pois, nos pontos onde / ' é descontínua, a descontinuidade é de segunda 
espécie. Veja o gráfico da Figura 2.6.
Agora enunciamos um resultado que fornece condições suficientes 
para a convergência da série de Fourier de uma função /.
TEOREMA DE FOURIER. Seja f: IR-► R uma função seccionalmente
diferenciável e de período 2L. Então a série 
de Fourier da função f dada em (16), converge, em cada ponto x, para 
j[ f{ x + 0) + / ( x - 0)], isto é,
y U ix + 0) + /(x - 0)] = y Uo + X ( «n COS ^ sen — j- (17)
A demonstração desse teorema será feita no Capítulo 3. No momento, 
aplicá-lo-emos para obter alguns resultados interessantes.
EXERCÍCIO 1. Calcular a série de Fourier da função / definida no 
Exemplo 4 acima e traçar o gráfico da função definida 
por essa série. Compare esse gráfico com o gráfico da função na Figura 2.4.
Resolução, (i) Cálculo dos coeficientes: 
f(x)dx- 1
22 [ Capftulo 2 ]
e para n 0
a. = — I f(x) COS nxdx
= - fJo
. 1 sen nx
COS nxdx = —n n = 0,
, 1 -c o sn x r 1sen nxdx = ------------- = — (1 - cos nn\nn
ou
í » 2 * - 0 e ^ 2 t - i k = 1 , 2 , . . .
(ii) A série de Fcurier será:
/ w ~ - y + Z sen (2 fc- l)x.
(18)
(19)2 (2fc-l)7T^
(iii) Pelo teorema de Fourier, o gráfico da função definida pela série é 
o da Figura 2.7 [e nem é preciso conhecer a Expressão (19) para traçá-lo!].
EXERCÍCIO 2. Use os resultados do Exercício 1 para obter uma ex­
pressão em série para n.
Resolução, No ponto x = tc/2, a série de Fourier é igual a 1, em virtude 
do teorema de Fourier. Logo,
1
2 (2fc-l)7i
sen |̂ (2f e - l ) ^ j .
OU seja,
T - | ,
ou, finalmente,
4 3 5 7 9 , t ', 21-1
que é conhecida como a série de Leibniz,
[ Secção 2.5 ] 23
2.5 Séries de Fourier de funções pares 
e ímpares
Uma função / : IR -► (R é par se f(x) = /(-x), para todo xg IR. Isso 
significa que o gráfico da função / é simétrico com relação ao eixo dos y. 
Uma função / : IR IR é ímpar se /(x) = -/(-x), para todo xg IR. E isso 
significa que o gráfico da / é simétrico com relação à origem.
EXEMPLOS, (i) As funções /(x) = cos nnx/L,f{x) = x^" para n = 1, 2 ,.. ., 
são funções pares.
(ii) As funções f(x) = sen nnx/L, f(x) = x^""^ para n = 
= 1 , 2, . . . , são funções ímpares.
A proposição seguinte, sobre funções pares e ímpares, é facilmente 
demonstrável.
PROPOSIÇÃO 2.4. (i) A soma de duas funções pares é uma função par.
A soma de duas funções ímpares é ímpar.
(ii) 0 produto de duas funções pares é uma função par.
(iii) O produto de duas funções ímpares é uma função
par.
(iv) O produto de uma função par por uma função 
ímpar é uma função ímpar.
Para dar uma idéia de como esses fatos são provados, vamos de­
monstrar (iv). Sejam /: IR -► IR uma função par e IR -► IR uma função 
ímpar. Então
(fgKx) = f{x)g{x) = /(-x)[-ff(-x)] = -[ /( -x ) • 0(-x)] =
O que mostra que fg é ímpar.
Outro fato importante que será utilizado é a proposição exposta 
a seguir.
PROPOSIÇÃO 2.5. (i) Seja / : IR -► IR uma função par que é integrável em 
qualquer intervalo limitado. Então
/•L /»L
r / - í >
(ii) Se f: U R é uma função ímpar e integrável em 
qualquer intervalo limitado, então
f̂ L
/ = 0.I
Demonstração de (i). Basta observar que
L
/
24
Í Í ÍJ - L J - L Jo 
^0 0̂
f{x)dx = - \ f{-y)dy= f(y)dy, 
J - L J l J o
[ Capítulo 2 ]
(20)
(2 1 )
onde fizemos a mudança de variável y = -x, para obter a segunda integral 
em (21), e usamos o fato de que / é par para obter a terceira integral. De 
modo análogo se demonstra (ii).
Agora aplicamos as duas proposições anteriores ao cálculo da série 
de Fourier de funções pares e ímpares.
(a) Se / for uma função par, periódica de período 2L, integrável e 
absolutamente integrável, então
a„ = - r í f ( x ) c o s ^ d x , b„ = 0,
Jo
pois, em virtude da Proposição 2.4, a função /(x) cos nnxILé par e a função 
/(x)sen mttx/ L é ímpar, e os valores dos coeficientes a„ e acima, são 
obtidos usando-se a Proposição 2.5. Portanto a série de Fourier de uma 
função par é uma série de co-senos.
(b) Se / for uma função ímpar, periódica de período 2L, integrável e 
absolutamente integrável, então
«n = 0 e K = y Í
Jo
usando as Proposições 2.4 e 2.5 como fizemos no caso de / par, em (a) 
acima. Assim, a série de Fourier de uma função ímpar é uma série de senos.
2.6 Cálculo de algumas séries de Fourier
I) Seja / j i IR -► IR periódica de período 2L e definida por/^(x) = x, 
para - L< x < L. Como é ímpar, teremos uma série de senos cujos 
coeficientes são
, 2 nnx ,= — X sen - j — dx.
Jo
[ Secção 2.6 ] 25
Fazendo a mudança de variável y = nnx/L, obtemos
2L (*""
í»» = ^ ysenydy.
Jo
Integrando por partes,
ry sen ydy = -y cos y r+ COS ydy = -nn cos nn.
Logo,
" nn
Portanto a série de Fourier da função (gráfico na Figura 2.8) é
II) Seja / 2 : (R -► R periódica de período 2L e definida por
. { L - X, para 0 < x < L;
h W -L < X < 0.
Como /2 é uma função par, temos uma série de co-senos, cujos coeficientes 
são
2 f \ , . . 2 ,
ío = 77 (L-x)dx = — y = L,
Jo
2a, = y (L -x )co sy -d x .
Jo
26 [ Capítulo 2 ]
2L
Fazendo uma mudança de variável como no exemplo acima e integrando
por partes,
= n n
ou seja.
a,* = 0 , a.
4L
1 , 2 , . . .
Portanto a série de Fourier da função / j (gráfico na Figura 2.9) é
, L 4L ^
/ 2(^) ~ ^ + :;;t Z
1
2 (2k-iy5 COS
(2/c-l)7tx
Observe que, em virtude do teorema de Fourier, o símbolo ~ pode ser 
substituído por =. Usando o teorema de Fourier, para x = 0, obtemos
1_L ^ ^
ou seja.
1 ^ 1 1 1
8 Z
III) Seja / 3 : IR -► R periódica de período 2Le definida por / 3(x) = x ,̂ 
para -L < x < L. Como é par, teremos uma série de co-senos cujos 
coeficientes são:
2 2 .
Jo
2 2 j= — x ^ COS - j — d x .
Jo
[ Secção 2.6 ] 27
Fazemos a seguinte mudança da variável independente y = nnx/L, e
obtemos
2l 2 p
COS y dy.
Integrando por partes, temos
4^2 /«-
J o
y sen y dy
e, usando o valor da integral já obtido no exemplo I acima, temos
4L^
n n
Portanto a série de Fourier da função / j (gráfico na Figura 2.10) é
4L^ ^ (- 1)" nnx
Observe que, de fato, tem-se = em vez de como conseqüência do teo­
rema de Fourier.
Usando o teorema de Fourier para x = L, obtemos
T 2 AT 2 00 1
n= 1
OU seja.
71̂ ^ 1 , 1 1 1
6 - - I j íT = í + 2í + 3T + 4T + ---
n= 1
Atenção: ""Uma função dada num intervalo [0, L] pode ser representada 
por mais de uma série de Fourief\ Vamos elaborar este ponto. Em todas 
as séries de Fourier calculadas anterior mente, a função era dada em toda 
a reta; de fato, dávamos uma expressão para / num intervalo fundamental
28 [ Capítulo 2 ]
(-L, L] e dizíamos que / era periódica de período 2L. Se agora dermos a 
função num intervalo [0, L] e nada dissermos sobre o período, teremos 
a liberdade de escolher um período qualquer T, T > L, e de definirmos a 
função do jeito que nos convier no intervalo (L, T). Essa liberdade de 
escolha será utilizada em problemas de aplicação para atingir certos 
objetivos. Vamos ilustrar esses comentários com os seguintes exemplos.
EXEMPLO 1. Dada f(x) = x, para 0 < x < tt, escreva / como uma 
série de senos.
Resolução. Para obter uma série de senos, devemos definir / para outros 
valores de x, de modo que seja uma função ímpar. Portanto 
tomemos /(x) = x, para - tt < x < tt, e periódica de período 2n. A série 
de Fourier de uma tal / foi calculada em (I) acima, e é
2 > — —̂ sennx.n
Conseqüentemente, pelo teorema de Fourier, temos
para 0 < x < n.X = 2 2 ̂ -------- sen nx,
(E, em verdade, para - tt < x < 0, mas isso não foi pedido no problema. 
Observe que a série de Fourier não é igual a x para x = n.)
EXEMPLO 2. Observe ainda que, no exemplo anterior, poderíamos ter 
escolhido um período maior que 2n. Por exemplo, 4n. 
E aí teríamos de definir também / no intervalo (tt, 2ti], além de dizer que 
ela é ímpar. Considere a função definida no intervalo -2n < x < 2n pelo
[ Secção 2.6 ] 29
Calculemos os coeficientes , lembrando que L = 2n, 
^ ĵ J* X sen ^ J + 27t) sen ^ dxj»
ou
, S nn^ sen — " n^n 2
Portanto a série de Fourier é
71 ^ 1 nn nx— > ^ se n ^ se n - ;^ * 
8 „t-i 2 2
Assim, em virtude do teorema de Fourier,
8 ^ 1 nn nx r\ ^ ^X = — X -T sen ^ sen » 0 < x < tt,
^ n= 1 ^ ̂ ^
OU
8 ® (2k-l)xX = — ^ ̂ sen ^ ) 0 < X < 7T.TT (2k-l)^
Observação. A série de Fourier que acàbamos de calcular poderia ser 
obtida da série de Fourier da função de (II) acima. Para tanto, 
basta observar que a função / do Exemplo 2 acima está relacionada com 
a função de (II) (que, para efeito do que estamos explicando, vamos chamar 
de g t fazer L = 27t) pela expressão
f{x) = g (x -n )-n .
Logo, a^if) = a^ig) - 2n, e deixamos ao leitor mostrar que
a„(/) = c o s y a„(0),
K (f) = senya„(3),
e essas expressões fornecerão a série de Fourier da função /.
EXEMPLO 3. Dada /(x) = x, para 0 < x < tt, escreva / como uma 
série de co-senos.
Resolução. Para obter uma série de co-senos, devemos definir / para 
outros valores de / de modo que seja uma função par. Tomemos, 
então, /(x) = |x | para -n ^ x ^ n e periódica de período 2n. (Como no 
exemplo acima, se tomarmos outros períodos, por exemplo, teremos
30 [ Capítulo 2 ]
uma outra série de co-senos.) Portanto, = 0 e
t
X COS nx dx,
^ Jo
que calculado dá
n
n = 1 , 2 , . . .
= - f” Jo
}U- =
^ 2 1 2xdx = -----—n^ = n.n 2
Portanto a série de Fourier da função é
4 ® 17T 4 y
e, daí.
7t 4 ^
^ = - 5 - - v z
2
1
^cos (2k - l)x
2 7T (2fc-l) ̂COS (2k - l)x, 0 ^ X < 71.
Compare a série acima com a série de (II). A série acima pode ser obtida 
da série em (II) fazendo-se L = ti e, a seguir, transladando de tt, ao longo 
do eixo dos x, a função de (II).
EXEMPLO 4. Dada /(x) = x, para 0 < x < tt, escreva / como uma 
função de senos e co-senos.
Resolução. Podemos definir /, para outros valores de x, de modo que 
seja periódica de período 2n e /(x) = 0 para - tt < x < 0.
Assim,
1 r
. 1 r
i>. = — X ̂ Jo
X áx = y Jt,
X COS nx dx =
sen «X dx =
( - iy - 1
n^n
(_!)»+1
Logo, a série de Fourier dessa / é
J_ ^ ___1
4 ^ 7t tt 'i (2fe-l)
00 / l̂ w+l
j COS (2ÍC - l)x + Y, '— z—
n = l
[ Secção 2.7 ] 31
daí.
Jt 2 Ã
^ = —A------ 2Á “TT
\fl+ 1
4 7Ü fcTi (2fc
1 ® (-\ \n
— COS (2fc - l ) x + Y, — ~— sen nx,
“ n=l ^
0 ^ X < ;r.
Observe que essa expressão pode ser obtida somando-se as séries dos 
Exemplos 1 e 3 e dividindo por 2.
O conjunto de exercícios ao final do capitulo formaliza as idéias 
expressas nas observações anteriores, em que se chamou atenção para 
o fato de que, se uma função puder ser obtida de outra mediante uma 
translação, ou uma mudança da variável independente, então sua série 
de Fourier poderá ser obtida imediatamente a partir da série de Fourier 
da outra.
2.7 Integração de séries de Fourier
Se uma função /: IR IR for igual à sua série de Fourier
y/ X ^ . nnx\f{x) = y + K COS - y + sen j .
a qual se supõe convergir uniformemente, pode-se usar a Proposição 2.2 
para concluir que
j^ /(x )dx = ^ d x + Z a . c o s ^ d x + b „ sen ^d x" j- (22)
Nesta seção mostraremos que (22) será válida mesmo se a série de 
Fourier não convergir uniformemente para /, ou mesmo se a série de 
Fourier não convergir para /. Isso é uma indicação de que a série de Fourier 
é um tipo muito especial de série, rica de propriedades interessantes. 
Vejamos.
Iniciamos com uma função / : IR IR periódica de período 2L e sec­
cionalmente contínua. Definimos a função F : IR -► IR, pela expressão
(23)
a qual é contínua. Como conseqüência do teorema fundamental do Cálculo, 
temos que F'(x) existe em todos os pontos x onde / é contínua e, além 
disso, F'(x) = /(x) nesses pontos. Assim, F'(x) é seccionalmente contínua.
32 [ Capítulo 2 ]
Observe também que F é periódica de período 2L, pois
F(x + 2L)-F(x) = |^ / ( í ) - ^ j á í = j |^ / ( t ) - ^ já í , (24)
onde usamos, para escrever a última igualdade, os fatos de que f ( t ) -a J 2 
é periódica de período 2L e de que
a + L (̂L
9f + t ç̂L^ = 1 I-L J-L
para toda função g periódica de período 2L e todo número real a fixado. 
Agora, concluímos que a Expressão (24) é zero, porque
I fit)d t = a ^ L = j ^ d t .
Resumindo, a função F definida em (23) é contínua, tem derivada 
F' continua por partes e é periódica de período 2L. Logo, pelo Teorema 
de Fourier, temos
 ̂ ^ í . « nnx\f(^) = ^ + E COS — + sen — j .
onde os coeficientes de Fourier e são dados por
(25)
1
L í F(x) COS dx.n> 0, (26)
J - L
1Bn = J F{x) sen dx. n > 1 . (27)
Agora usaremos a fórmula de integração por partes para relacionar 
os coeficientes de Fourier da F com aqueles da /:
. 1 r_ . , L nnx\^ . L nnx . 1
ou seja.
De modo semelhante,
. -L ^A = — f> , n > 1. " n n " (28)
_ 1 r - L nnx ^ \ ^ 1
B. - x [ - f W ; s “ ' T + J_^
[ Secção 2.7 ] 33
e, daí, usando o fato de que F(L) = F(-L), obtemos
B„ = — n > 1. " n n ” (29)
Para calcular o coeficiente Aq , fazemos x = 0 em (25) e obtemos a se­
guinte expressão, lembrando que F(0) = 0:
0 = ^ + l A , ,n= 1
OU seja.
 ̂ 2L ” b„
Ao = — 1 -T- (30)
Agora, usando (23), (25) e as expressões para os coeficientes de Fourier 
de F, dados em (28), (29) e (30), obtemos
J*"". flo L, ^ ^ f-b„ nnx a„ nnx\f. = ^ x + — X -!>- + — X — COS— + -^sen— .0 2 „t'i n 7T „=1 V " L n L J
que também pode ser escrita como
J* = J * ^ d t + a „ c o s ^ d t + j**b „ s e n '^ d ty (31)
A Expressão (31) fornece (22) fazendo-se x = a e x = b e subtraindo-se 
as expressões obtidas.
Resumindo, demonstramos o resultado exposto a seguir.
TEOREMA SOBRE A INTEGRAÇÃO DE SÉRIES DE FOURIER.
Seja f: R -> IR uma função periódica de período 2L 
e seccionalmente continua e seja
^ / tinx , nnx\ y + k COS - y + sen — j (32)
sua série de Fourier. Então
i) a série pode ser integrada termo a termo e o valor da série integrada 
é a integral de /; mais precisamente,
/(x) dx = y <(x + Y COS ^ ^
ii) a função F(x) = |q \^f(t)-(aJ2)] dt é periódica de período 2L, con­
tínua, tem derivada F' seccionalmente contínua e é representada por sua
34 [ Capftulo2 ]
série de Fourier
nr, ̂ <̂ o"| J L ^ ^ ^ {-i>n rmx\ ,,
 ̂ ^ ^ í». 1 r'' J
T . ? , T - 2 l J _ / W ‘' '- <’ ’ •
Observação. Para as aplicações, o teorema acima toma a forma prática 
seguinte: se
y/ X ^ . n7rx\/(x) ~ y + Z IC O S - y + í>„ sen — j .
então
F(«)-r(/(oy)..=
Aplicações. Todas as funções abaixo são periódicas de período 2L.
i) Considere a função /j da Secção 2.6, f^(x) = x, para -L < x < L. 
Temos
/iW
2L ® (- 1)"^ nnxsen- , n L
Logo,
e, portanto.
F(x) = y e íí: F{x)dx = y
X^ 2L^ ^ (-1)" MTTX
+ S - -
2 00Z | —II ruLJS. _ _-- 2 ^ COS —r - > -L < X < L. (36)
ii) Aplicando novamente o teorema a (36), e como
= y - V’ i
obtemos
x ̂ L^x 2L ̂ ® (-1)" nnx
—---- 7— = —r- / —^ sen >
6 6 n^ L -L < X < L. (37)
[ Secção 2.8 ] 35
iii) Usaremos o teorema acima mais uma vez em (37). Como 
, r / t ^ L h \ . _ x * L V 1 r . _ IL*
Jo ^ 24 12 360’
obtemos
X* L^x^ 7L“ 2L* ^ ( - i r " ‘ nnx
= -TÃn + ^ - I24 12 360 ■ „t'i n* L
Fazendo x = Z. em (38), obtemos
90 ^
- L < x < L. (38)
(39)
n = 1
2.8 Estimativas dos coeficientes de Fourier
Mostraremos nesta secção como obter certas estimativas dos coe­
ficientes de Fourier de uma função dada, a partir de hipóteses sobre deri- 
vabilidade da mesma.
i) Supondo que / seja periódica de período 2L, integrável e absolu­
tamente integrável, podemos obter imediatamente as seguintes estimativas:
1
L f /(x )c o s^ ^ d x 4 Í | / ( ^ ) |‘í^. (40)J-L J -L
1 J /(x )sen ^ ^ íix J \f{x)\dx. (41)|í>nl =
onde utilizamos o fato de que as funções seno e co-seno são limitadas, 
erfi valor absoluto, por 1. Portanto, com a simples hipótese de integra- 
bilidade de / e | / 1, concluímos que existe uma constante M [em verdade, 
M = L~^ f(x)\dx], tal que
|u^| < M, \b„\ < M, para todo n.
ii) Suponhamos agora que / seja periódica de período 2L, derivável, 
e tal que a derivada / ' seja integrável e absolutamente integrável. Então, 
integrando por partes, temos, para n > 1,
Li ' L'... , nnx . E , nnx f (x ) COS —r - dx = — f(x) sen —p - L nn' L f-i- J-L , nnx j f (x) sen - j - dx.
36 [ Capítulo 2 ]
OU seja.
a„ = - — í f'(x) sen dx, rm L ’ (42)
e, tomando os valores absolutos,
\n x )\d x .
De modo análogo, tem-se
, , r /•/ X nnx , -L . nnx ̂ . L . nnx ,
= f(x) sen - j - <(̂ = — /(>:) cos ̂ + — f ~ TJ L nn -L J_ t
ou seja.
Lb = — {f{L) COS n n - f (-L) cos (-/irt)} -f-nu nu
e, daí, em virtude da periodicidade de /,
L nnx— f{ x )c o s - j -d xJ-L ^
= — í f'(x) COS dx. nn 1 / L (43)
Tomando valores absolutos,
| b j < ^ j J/'(x)|dx.
Portanto, na hipótese de que / seja contínua e que tenha derivada inte­
grável e absolutamente integrável, concluímos que existe uma constante M 
[de fato, M = | /'(x)| Jx], tal que
|a „ |< ^ > \b „ \< ^ , para todo M = 1 ,2 ,... (44)
iii) Se supusermos que / seja periódica de período 2L com primeira 
derivada contínua, e a segunda derivada integrável e absolutamente inte­
grável, poderemos melhorar as estimativas (44), realizando mais uma 
integração por partes em (42) e (43). De fato, em (42), obtemos
1 í L nux ̂ L nux j
e, daí,
\ f ”iX)\dx.
[ Secção 2.9 J 37
De modo análogo, obtemos
Portanto concluímos que existe M [= Ltc ̂^-L\f"(x)\dx], tal que
I I II I ~p a ra « = 1 , 2 , . . .
2.9 Forma complexa da série de Fourier
Usamos a fórmula de Euler,
= COS 6 + i sen 6,
e suas conseqüências,
COS 0 = -----r----- e sen 0 =
2 i
para escrever
M7TX
COS —— h b„ sen - innx/L
Logo, o coeficiente de é dado por
a„ b„ 1 , , 1 y MTTX . n n x \ ,
„̂ = y + ^ = y K - ‘í>n) = y : J^/(x)(^cos — - ,s e n — jdx ,
OU seja.
Definimos também
c = ^ = - L r
“ 2 2L J_^
f { x ) d x .
Resumindo, mostramos que, se / : R -► R for periódica de período 2L, 
integrável e absolutamente integrável, então a série de Fourier de / poderá 
ser escrita na forma
Z
,innxlL
38 [ Capítulo 2 ]
onde
-íj: f(x)e dx, para « = 0, ± 1 , ± 2 , . . .
2.10 Identidade de Parseval
Dada uma função / : R -► (R periódica de período 2L, onde /, | / 1 
e I / l̂ são integráveis, vimos, nas secções anteriores, que se podem cal­
cular seus coeficientes de Fourier e b„.
y «0 + Z («n + T I l (45)
Apesar de não a demonstrarmos de imediato, essa identidade é uma arma 
tão poderosa no estudo das séries de Fourier que decidimos não adiar 
sua introdução. Sua demonstração e seu interessante significado geo­
métrico serão tratados na Secção 11 do Capítulo 3.
Aplicação /. Cálculo de soma de séries. Por exemplo, a Expressão (37) nos 
diz que os coeficientes de Fourier da função f{x) = x^-L^x, 
periódica de período 2L, são = 0 e
(- 1)" 1 2L̂
b =
Daí, uma aplicação direta da Fórmula (45) nos dá
945
V -L = ^ .2̂ ^6 — QAC ‘
Aplicação II. Convergência de algumas séries. Por exemplo, seja/: [0, L] -► R 
uma função continuamente derivável, tal que/(O) = f(L) = 0,
e seja
nnxf (x) sen - j - dx.
Então provaremos, como conseqüência de (45), que
t IM <n = 1
(46)
(47)
[ SecçSo 2.10 ] 39
Para isso, integramos por partes em (46)
Portanto, pensando / como uma função ímpar e periódica de período 2L, 
e / ' como uma função par e periódica de período 2L, concluímos que
K = --- »" WTT " (48)
onde são os coeficientes de Fourier de / e a'̂ os coeficientes de Fourier 
de / ' . Agora, usando a desigualdade ab \b^, obtemos, de (48),
e, portanto. r 2 00 1 1 00
I \b„\<^2 z i + i In = 1 = 1 wn = 1 2 n = 1
onde a segunda série converge em virtude da identidade de Parseval. 
Nas aplicações, é importante estabelecer convergência de séries do tipo (47) 
(cf. Capítulo 4).
Aplicação III. Esta aplicação refere-se à decisão de que certas séries tri­
gonométricas não são séries de Fourier de funções / tais 
que / e | / |^ sejam integráveis. Por exemplo, qualquer que seja a > 0, 
a série
sen nxz
n = 1
(49)
converge,, para todo x e R; e, além disso, a convergência é uniforme em 
todo subintervalo fechado de (0,27i). Aqui está um exemplo de uma série 
convergente, e que não converge absolutamente se a < 1. Conseqüente- 
mente, a convergência de (49) não pode ser decidida pelo teste M de 
Weierstrass; necessita-se de critérios de convergência condicional, como 
os critérios de Abel e Dirichlet. Nesse caso é conveniente usar o critério 
de Abel (veja p. 212 do nosso livro de Análise /): tome e = cos nx;
a condição (ii) é facilmente verificável se observamos que
1 1 ^ a
( n + l ) “n*
em virtude do teorema do valor médio. Em resumo, a série (49) define 
uma função /(x), i.e.,
^ sen nx 
/ (^ )= Z —Z5--
n = l "
40 [ Capítulo 2 ]
n = l
e a conclusão se segue da identidade de Parseval.
Entretanto, se a < 1/2, a série (49) não é a série de Fourier de uma função /
como especificada acima, pois, nesse caso,
00 1
2.11 Nota histórica
Em cursos de Análise, estudam-se vários critérios de convergência 
de séries ligados com os nomes de Dirichlet, Abel, Dedekind e outros 
matemáticos; as condições envolvidas são artificiais, se vistas de per si, 
e levam um estudante mais crítico a pensar por que e para que esses emi­
nentes matemáticos as criaram. É importante, sob o ponto de vista de 
educação científica, esse estudante compreender que a motivação desses 
matemáticos não foi simplesmente generalizar os critérios conhecidos. 
Os matemáticos do século XIX receberam de seus colegas do século an­
terior, problemas dificeis ligados a questões de Física, entre os quais o 
mais ilustrativo é o problema de vibração de cordas, e eles tiveram de 
desenvolver intensamente o instrumental matemático existente. Veja a 
Aplicação III da Secção 2.10. As observações que apresentamos a seguir 
são baseadas no excelente apanhado histórico de autoria de Carslaw.
Como veremos no Capítulo 5, o problema de vibração de uma corda 
se reduz á solução da equação
conhecida como equação das ondas. As primeiras tentativas de resolvê-la 
foram feitas por d’Alembert (1747), Euler (1748) e Daniel Bernoulli (1753). 
Os dois primeiros chegaram à conclusão de que a solução devia ser da 
forma
m( x , t) = F(x + c*í) -h G(x - ct). (a)
Já Bernoulli chegou á expressão
00
0 = Z (b)
n = í
quando a corda (de comprimento n) vibra por um deslocamento de sua 
posição de repouso.
[ Secção 2.11 ] 41
Olhando para as Expressões (a) e (b), dizemos: ótimo! Todos eles 
chegaram à expressão correta. Para entender as apaixonadas polêmicas 
entre Euler, d’Alembert e Bernoulli, será preciso atentar para o fato de 
que o conceito de função, como o que hoje entendemos, não estava as­
sentado na época; aliás o conceito de função só foi formalizado durante 
o século XIX. Na época de Euler, havia duas classes de funções: as funções 
contínuas, que eram aquelas que podiam ser expressas por uma equação 
entre x e e as funções geométricas, que eram todas aquelas que podiam 
ser traçadas à mão livre. E se admitia que, se uma função contínua fosse 
dada por uma fórmula em um pequeno intervalo, então a função estaria 
determinada nos demais pontos fora desse intervalo. (Veja você a confusão 
da época: uma função com esta última propriedade é de uma categoria 
muito restrita de funções, chamadas analíticas.) Admitia-se também que 
a classe das funções contínuas era menor que a das funções geométricas, 
porque uma linha quebrada não era uma função contínua, no sentido 
da época, e sim várias funções.
Formalmente as soluções de d’Alembert e Euler eram as mesmas, 
mas, em cada caso, o significado de função era diferente. Euler admitia 
quaisquer funções geométricas para dados iniciais; d’Alembert tomava 
apenas funções contínuas. Assim, o problema de vibração da corda dedi­
lhada, com posição inicial dada por uma poligonal, era impossível para 
d’Alembert. Bernoulli sustentava que sua solução era absolutamente 
geral e que deveria conter aquelas dadas por d’Alembert e Euler. Este 
contestava que isso era impossível, pois, se a função fosse representada 
por uma série de senos, isso implicaria ser ela periódica e ímpar; a idéia 
de que uma expressão analítica representasse a função apenas em um 
intervalo não era aceita na época, o que explica esse argumento de Euler.
Em 1759, Lagrange entrou em cena e mostrou que a solução da equação 
das ondas — no caso da posição inicial da corda (de comprimento 1) 
ser f(x) e a velocidade inicial ser g{x) — é dada por
m(x, t)
Jo
í ' Z -
Jo " = 1
(sen nny sen nnx cos nnct) f (>̂) dy -h
(sen nny sen nnx sen nnct) g(y) dy
e daí ele transformou a expressão na forma prevista por Euler. É curioso 
notar que Lagrange não observou que, fazendo í = 0 em sua expressão 
e permutando a integral com o somatório, obtém-se o desenvolvimento 
da função / em uma série de senos, cujos coeficientes são precisamente o 
que hoje chamamos coeficientes de Fourier.
42 [ Capítulo 2 ]
Coube a Fourier (1811), em sua Théorie mathématique de la chaleur 
(Teoria matemática de condução do calor), explicitar os coeficientes e 
escrever as séries de senos e co-senos de várias funções. Ele afirmou que 
qualquer função podia ser expressa pela série que hoje leva seu nome. 
Apesar de isso não ser verdade, Fourier tem o mérito de ter explicitado 
claramente a forma da série que deveria representar a função.
Dirichlet foi um dos primeiros a reconhecer que nem toda função 
pode ser representada por sua série de Fourier, e produziu os primeiros 
critérios para validade dessa representação, em 1829 e 1837. Enquanto 
isso, a Análise ganhava uma fundamentação mais rigorosa com os tra­
balhos de Cauchy, Bolzano e outros. Isso propiciá as contribuições de 
Riemann à teoria das séries de Fourier, sem esquecer que ele próprio é 
responsável por parte desse trabalho da colocação da Análise em uma 
base sólida. Riemann se propôs a achar condições necessárias e suficientes 
para que uma função pudesse ser representada por sua série de Fourier. 
Como obviamente essas questões se ligam à integração de funções, o 
Cálculo Integral teve de ser posto em base firme. E data daí a teoria da 
integral de Riemann que hoje estudamos.
A esperança de provar que toda função contínua pudesse ser repre­
sentada por sua série de Fourier ruiu quando, em 1876, du Bois-Reymond 
construiu uma função contínua cuja série de Fourier divergia em um 
dado ponto, e, mais tarde, ele construiu uma função contínua cuja série 
de Fourier divergia em um conjunto denso. Exemplos mais simples foram 
dados, em 1909, por Fejér.
Os exemplos de du Bois-Reymond motivaram a busca de novos 
critérios para a convergência da série de Fourier de uma função. O cri­
tério de Dini, que estudaremos no Capítulo 3, data de 1880. Outro critério, 
de autoria de Jordan, surgiu em 1881 e envolvia a idéia de função de va­
riação limitada, por ele criado. O critério de Lipschitz (1864) é um caso 
particular do critério de Dini.
Todas essas investigações conduziram a uma melhor compreensão 
das funções descontínuas e propiciaram os trabalhos de Harnack, Hankel, 
Borel e Lebesgue, que culminaram com a introdução de um novo con­
ceito de integral. E aí começou a teoria moderna das séries de Fourier.
EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 2
1.1. Defina uma função periódica de período 2 e igual a no intervalo 
aberto (0,2). Há mais de uma resposta? E se a função pedida fosse 
igual a x ̂ no intervalo [0,2)7
43
1.2. Se f c g forem périódicas de período T, mostre que f g e fg serão 
também periódicas de período T.
1.3. Se / for periódica de período T, mostre que Xf será periódica de 
mesmo período, onde X é um número real dado.
1.4. Se / for uma função diferenciável e periódica de período 7, mostre 
que a função derivada / ' será também periódica de mesmo período.
1.5. Seja /: (R -► IR uma função periódica de período T, e integrável 
em qualquer intervalo. Mostre que
f
 + T i*T
onde a é um número real qualquer fixado.
1.6. A soma de duas funções periódicas de períodos diferentes pode 
ser periódica. Dê um exemplo.
1.7. A soma de duas funções periódicas de períodos diferentes pode 
não ser periódica. Dê um exemplo.
1.8. Mostre que, se /^i IR -► IR é periódica de período Tj e IR -► IR 
é periódica de período T2 , e se existem inteiros m e n tais que 
mTi = /7T2 , então /j + / 2 é periódica de período m Tj.
1.9. Mostre que senax + senbx é periódica se e só se a/b é racional.
1.10. Seja / : IR-► IR uma função periódica de período T. Mostre que 
a função
F(x)
é periódica (de período T) se e só se
í / = 0.
Jo
1.11. Para /: IR -► IR periódica de período 7, determine a constanteA 
tal que a função abaixo seja periódica de período 7:
7(x) / - Ax.
44 [ Capítulo 2 ]
1.12. Sejam / e g funções seccionalmente contínuas e periódicas de pe­
ríodo T. Mostre que a função
h(x) dy
é contínua e periódica de período T.
1.13. O período fundamental de uma função periódica é definido como 
o menor 7 > 0 tal que f(x + 7) = f ( x \ para todo x. Dê um exemplo 
de uma função periódica sem período fundamental. Mostre que, 
se / for contínua, periódica e não-constante, então ela terá período 
fundamental.
3.1. Demonstre as relações de ortogonalidade (Fórmulas (9), (10) e (11) 
do Capítulo 2), usando identidades trigonométricas.
3.2. Faça o mesmo Exercício 3.1, usando a fórmula de integração por 
partes.
4.1. Calcule a série de Fourier da função f(x) = sen ̂x .
4.2. Calcule a série de Fourier de f(x) = cos^ x.
4.3. Calcule a série de Fourier da onda senoidal retificada, isto é,
/ ( x ) = (sen x )* ',
ou seja, a parte não-negativa do seno
m =
sen X 
0
se
se
sen X > 0. 
sen X < 0.
4.4. Calcule a série de Fourier da função
= -n < X < n
^periódica de período 2n.
4.5. Calcule a série de Fourier da função
/ (9) = e’' COS (r sen 6).
5.1. Mostre que se /: R -► (R for uma função par, e /(x) ^ 0, então 
\ / f é uma função par. Mesmo problema para funções ímpares.
5.2. Se / : R -► R for uma função par diferenciável então / ' será ímpar. 
Mostre também que, se / : R -► R é ímpar e diferenciável, então 
/ ' é par.
6.1. Use a série de Fourier da função definida por
_ ícos ax, -n < X ^ n 
|periódíca de período 2n.f(x)
onde a é número real ^ 0, para mostrar que
1 /1 ^ 
COtgaTT = — ( — - Z
2a
quando a não é inteiro.
6.2. Determine a série de Fourier de f{x) = |sencox|.
6.3. Quais são as relações entre os coeficientes de Fourier da função 
/ (x), periódica de período 2L, e da função g{x) = /(x -h a), onde a 
é uma constante?
6.4. Quais são as relações entre os coeficientes de Fourier da função 
/ (x) e da função ^(x) = /(x) + /c?
6.5. Quais as relações entre os coeficientes de Fourier das funções 
/, g Q xf Pg, onde a e jS são constantes?
6.6. Mostre que, se a função / for periódica de período 2L, então a 
função ^(x) = / (/cx), onde k é uma constante positiva, será periódica 
de período 2L/k.
6.7. Qual é a relação entre os coeficientes de Fourier da função /, pe-
^ riódica de período 2L, e da função ^(x) = /(fcx), onde k é uma
constante positiva?
6.8. Seja / : IR -► (R uma função absolutamente integrável e periódica 
de período fundamental 2L, e seja T um período qualquer (não 
necessariamente, o fundamental) de /. Mostre que
f*T ^ ^ f*T... ̂ 2nnx , , 2/(x)COS^r-í/x, = Y 2nnx 7(x) sen dx.
6.9. Escreva a série de Fourier da função
/(x) = 2x, - n < X < n 
e periódica de período 2n.
6.10. Escreva a série de Fourier da função
/(x) = X, 0 < X < 2n 
e periódica de período 2n.
7.1. Os números de Bernoulli são definidos a partir do desenvolvimento 
em série de Taylor da função x/(^^-l):
1 »?o «!
46 [ Capítulo 2 ]
Mostre que a seguinte fórmula de recorrência se verifica:
A seguir mostre que os números de Bernoulli são racionais e ob­
tenha os primeiros deles:
= 1 , -1/2, B, = 1/6, B^ = -1/30, B^ = 1/42.
Mostre também que B2 „+ i = 0, para n > 1.
7.2. Os polinómios de Bernoulli BĴ t) são definidos pelo desenvolvimento
— - = y —r 5 „ ( í )x " .
Use os desenvolvimentos em séries de potências de x/(í»^-1) e 
de e""' para mostrar que
B„(í) = Boi" + Q B . í " - ‘ + • ■ • + B„_ + B„.
Mostre que B'J[t) = nB„_^(t) e que ^QBj[t)dt = 0. Calcule os três 
primeiros polinómios de Bernoulli.
7.3. Mostre, por indução, e via integração, que as séries de Fourier 
dos polinómios de Bernoulli são
n par, 
n ímpar.
7.4. Mostre que
1 (
lc=l k
hin 2(2n)l
9.1. Se a não for inteiro, use a forma complexa para obter as séries 
de Fourier das funções
f ( \ _ fc O S a X , -7T ^ X < TC,
^ ^ |periódica de período 27c,
_ fsen ax, - tc < x < tc,
 ̂ ̂ ^periódica de período 2tc.
9.2. Use a forma complexa para obter a série de Fourier da função
= -TC < X < TC,
 ̂ ̂ [periódica de período 2n.
47
9.3. Ache as funções cujas séries de Fourier estão abaixo indicadas:
acy a” COS nx Xy a " sen nx 00y COS nx 00V
n= 1 n An= 1 n n = 1 n! ’ n = ]
sen nx , | a | < 1.
10.1. Mostre que a série trigonométrica
^ sen nx 
n=2 In n
não é série de Fourier de uma função integrável e absolutamente 
integrável.
10.2. Use o Exercício 1 da Secção 2.4 e a identidade de Parseval para 
mostrar que
* 1 tt"
10.3. S e /e g são periódicas de período 2Lc seccionalmente contínuas, 
mostre que
r í: f(x)g(x)dx = ^ao«o + Z + M-)-
onde e são os coeficientes de Fourier de / e e os de g.
10.4. Use o exercício anterior para escrever ^Qxf(x)dx em termos de
= -^ f f ix) sen dx. 
Jo
10.5. Use a identidade de Parseval para mostrar que se / : IR -► IR for 
periódica de período 2L, e tal que / ' é contínua então a série abaixo 
é convergente
z s /o i+ b i
n = 1
onde b„ são os coeficientes de Fourier.
10.6. Nas hipóteses do exercício anterior mostre que lim na„ = 0 e 
lim nb„ = 0, quando n ^ c c . Compare este resultado com a estima­
tiva (//) da seção 2.8.
10.7. Mostre que as séries abaixo não são séries de Fourier de funções 
diferenciáveis
^ COS nx ^ sen nx
CAPÍTULO 3
C O N V ER G ÊN C IA DAS S É R IE S 
DE FO U R IER
Vimos no Capítulo 2 que, dada uma funçãd /: [R -► (R periódica de 
período 2L, muito pouco mais se exige para que possamos obter seus 
coeficientes de Fourier e, conseqüentemente, escrever sua série de Fourier. 
A condição mínima pedida para tal, neste texto, é que / seja integrável 
e absolutamente integrável no intervalo Z.]; na Seção 3.1 explica­
remos em detalhe essas noções. Um dos objetivos principais do presente 
capítulo é estudar a convergência da série de Fourier de uma função /. 
Para isso, condições adicionais na / serão necessárias. Há também vários 
tipos de convergência que serão estudados: convergência pontual, con­
vergência uniforme e convergência em média. As questões tratadas neste 
capítulo são mais delicadas e bem mais difíceis que as do capítulo anterior, 
razão pela qual foram postas separadamente. Isso permite que este ca­
pítulo possa ser omitido por aqueles interessados mais no aspecto compu­
tacional e nas aplicações das séries de Fourier às Equações Diferenciais.
3.1 Classes das funções consideradas
Para definirmos os coeficientes de Fourier, e, conseqüentemente, 
termos a série de Fourier de uma função /, as hipóteses mínimas a fazer 
sobre ela são periodicidade (chame de 2L o período), integrabilidade e 
integrabilidade absoluta no intervalo \_-L, L], Expliquemos essas noções. 
A integral que usamos neste trabalho, é a integral de Riemann estudada 
nos cursos de Cálculo. Considerernos funções /: [a, fc] -► [R definidas em 
um intervalo limitado [a, fe]. Temos dois casos a considerar.
i) A função / é limitada. Neste caso ela é integrável se o supremo 
das somas inferiores é igual ao ínfimo das somas superiores.
ii) A função / não é limitada. Neste caso, a função / é integrável
(a integral é então chamada integral imprópria) se o intervalo [a, fc] puder 
ser decomposto em um número finito de intervalos , com =
= tais que, para todos á > 0 e á' > 0, a função / é limitada e
[ Sm ç£o 3.1 ] 49
integrável em [a^ + á, b ^ - á'] e os limites abaixo existem
ric /•bh - ô'f ( x ) dx = lim f{x)dx.
S'-¥Q •'flk + í
Neste caso, a integral imprópria de / é
\ f ( x)dx= \ f(x)dx.
Ja <̂=1 Jau
A função / será absolutamente integrável se o valor absoluto | / | for 
integrável no sentido (i) ou (ii) acima.
Funções contínuas, e, mais geralmente, funções seccionalmente con­
tínuas no intervalo [a, fc] são limitadas e integráveis no sentido (i) acima.
Observações. 1) Se / for integrável e limitada, então, / será absolutamente 
integrável. Entretanto a recíproca não é verdadeira, pois, a 
função de Dirichlet [definida como f{x) = 1, se x for racional, e /(x) = -1, 
se x fof irracional], não é integrável em [0,1], mas a função valor abso­
luto de / resulta identicamente 1. e é, obviamente, integrável.
2) Se / não for limitada, a integrabilidade de / não implica em sua 
integrabilidade absoluta. Por exemplo, a função /: (0,1]-► IR definida 
por f(x) = (-1)”/?, para \/(n + 1) < x < l/n é integrável, mas não abso­
lutamente integrável. Na verificação desse fato, você usa a convergência 
da série I(-l)7 « e a divergência da série I(l/n).
3) Concluímos, pois, que há funções integráveis / tais que | / | não 
é integrável, bem como há funções não-integráveis / tais que | / | é inte­
grável.
4) Será conveniente, para concisão dos enunciados, usar a seguinte 
notação: / será uma função e | / | forem integráveis.
Resumindo — Se f: [-L, L] -► (R for uma função então os coeficientes 
de Fourier de f estarão bem definidos.
Para provar a assertiva precedente, será bom dar uma espiada nos 
Exercícios 1 a 6, deste Capítulo, e por que não os resolver?
Observação*" .̂ A integral de que vimos falando é aquela estudada no 
Cálculo, e é chamada integral de Riemann. Existe uma 
noção mais geral de integral: a integral de Lebesgue. Ela é mais geral no 
sentido de que toda função absoluta mente integrável (à Riemann) em
50 [ Capítulo 3 ]
[a, h~\ é integrável à Lebesgue e as duas integrais de tal função têm o mesmo 
valor. E, além disso, existem funções integráveis á Lebesgue que não o 
são à Riemann, como, por exemplo, a função de Dirichlet definida acima. 
Gostaríamos de enfatizar que uma função não-limitada e integrável à 
Riemann, sem ser absolutamente integrável à Riemann, não é integrável 
à Lebesgue. Isso decorre de uma propriedade da integral de Lebesgue: 
7 será integrável à Lebesgue se, e só se, | / | o for.” Finalmente, observamos 
que se / for integrável à Lebesgue, os coeficientes de Fourier de / estarão 
bem definidos, se entendermos aquelas integrais nas expressões de 
e como integrais de Lebesgue.
O resultado seguinte será de grande valia nas demonstrações dos 
resultados deste capítulo.
TEOREMA 3.1. Seja f: [fl, fc] -► U uma função Então, dado e > 0, 
existe uma função contínua ij/: [u, í>] -► IR, tal que
f f ( x ) - [ l / { x ) \ d x < e
\l/(a) = il/(b) = 0 .
Demonstração, (i) Suponha inicialmente que / seja limitada e integrável. 
Logo, dado £ > 0, existe uma partição
tal que
f
a = Xq < Xj < • • • < = b
f { x ) d x - X mJ^XJ-XJ_^) < e/2, 
j=i
( 1)
onde mj = inf{/(x): Xj_^ < x < Xj}. Agora designe xM a função assim 
definida
X(x) = m ., para x._^ < x < Xj . (2)
Então o somatório em (1) é a integral de xW em [a, b], e (1) pode ser escrito 
como
í f{ x )d x - r xM dx = f [f(x)-x{x)']dx < c/2 . 
Ja Ja Ja
(3)
Antes de prosseguirmos vamos ilustrar com uns gráficos simples a idéia 
que será explorada para concluir a demonstração. Suponha que a partição 
tenha quatro pontos e o gráfico de xW seja o da Figura 3.1, e, para cada, n 
consideremos a função ij/̂ obtida, substituindo-se na Figura 3.1 os “re­
tângulos” por trapézios, cujos lados inclinados têm inclinação n. Usando
essa idéia para uma função x(^) qualquer, como a definida em (3), temos
[ Secçio 3.1 ] 51
Seja Aí > 0 tal que | /(x)| < Aí, para todo xe[a ,ò ]. Logo, de (4) tem-se
kM^f \x{x)-^„{x)\dx < tgn
Portanto como k está fixado, existe n, tal que
\x(x)-^„(x)\dx < e.jl.f'
(5)
(6)
De (3) e (6) obtemos que, dado e > 0, existe uma função contínua
52 [ Capítulo 3 ]
Essa função il/„ é a função ij/ anunciada no teorema.
ii) Suponha que / não seja limitada, mas seja integrável e absoluta­
mente integrável no sentido das integrais impróprias. Para facilitar su­
ponha que / se torne ilimitada apenas nas vizinhanças de u e ò. Portanto, 
dado e > 0, existe á > 0 tal que
r i / ( x ) i í / x - r i /(x)iáx
Ja *Ja + õ
< €/2. (7)
Como / é limitada e integrável em [u -h á, fc - á], existe uma função con­
tínua ij/: [fl -h á, ò -á ] -► (R, com \l/(a -h á) = \l/(b-ô) = 0 tal que
-s
\ f{x)-il/(x)\dx < e/2. (8)
definida assim:
f '
Considere a função \j/: [a, ò]
para a - \ - S < x < b - ô ; 
para a < x < a ô, e b -ô < x < b.
Temos
^ íiA(x),
jo ,
|/(x)-i^(x)|<ix = J |/(x)|dx
+ | /W |á x + \f{x)-\l/(x)\dx
J b - S Ja + â
e, usando (7) e (8), obtemos
\f(x)-\p(x)\dx < e,
O que completa a demonstração do Teorema 3.1. Q.E.D.
f'
Observações. 1) O Teorema 3.1 diz que, dada / : [a, fe] -► IR, uma função ^ 
existe uma sucessão de funções contínuas ij/̂ : [u, fc]-^IR, 
com = il/J,b) = 0 tal que
lim f|/(x)-i/^„(x)|dx = 0.J.
2) Suponha que / : IR -► IR seja uma função periódica de período 
2L, em [-L, L]. Então existe uma sucessão de funções contínuas 
IR -► IR, periódicas de período 2L [de fato. pode-se tomar =
[ Secção 3.2 ] 53
lim í \f{x)-il/„(x)\dx = 0.
"-*® ) -L
Observação**. Para sua cultura, vão as seguintes observações. Dada uma 
sucessão de funções contínuas \J/̂ : [a, b] -► IR dizemos que 
ela converge no sentido do I}, se
= ij/Jl̂ L) =: 0, para todo ti] e tal que
lim f \iP„{x)-il/Jx)\dx = 0.
n,m-*ao
Pode, nesse caso, existir uma função /: [a, b] -► IR integrável e absoluta­
mente integrável, no sentido aqui estudado, tal que
flim \f(x)-il/„(x)\dx = 0. (9)
e dizemos que / ê o limite de ij/̂ no sentido do I). Em geral, tal / não existe. 
Se, no entanto, usarmos o conceito mais geral de integral de Lebesgue, 
então existe uma função / integrável à Lebesgue tal que (9) seja verdade, 
entendendo a integral como integral de Lebesgue. E aí teríamos o fato 
seguinte: as funções integráveis à Lebesgue em [a, b] são os limites no 
sentido do 1} de sucessões de funções contínuas em [a, b]. O espaço das 
funções integráveis à Lebesgue em [a, b] é designado por l}\_a, b]. Trata-se 
de um espaço vetorial, e a expressão
= f '
f(x)\dx
define uma norma. Portanto L [̂a, b] é um espaço normado, e nossas 
observações podem ser sintetizadas, dizendo-se que as funções contínuas 
formam um conjunto denso nele.
3.2 Convergência pontual da série de Fourier
Nesta secção daremos condições suficientes sobre a função / que 
garantam a convergência da série de Fourier num ponto fixado x para 
o valor f(x), ou, em geral, para | [ / ( x -h 0) -l- /(x -0 )]. Além das hipó­
teses mínimas (cf. Secção 3.1) que são necessárias para que se possa definir 
os coeficientes de Fourier faremos outra hipótese sobre o comportamento
54 [ Capítulo 3 ]
de / nas vizinhanças do ponto x. Nosso objetivo é fazer estimativas do 
valor
/(x + 0) + / ( x - 0)
onde
, , 1 , V / . LSnW = y «0 + K c o s - y + ^ s e n - ^ j -
Vamos inicialmente escrever a soma parcial s„(x) de modo mais 
conveniente com o propósito de obter majorações para e„(x). Usando as 
expressões dos coeficientes de Fourier e a identidade trigonométrica 
COS a COS b + sen a sen b = cos (a - b), obtemos
.‘>„W = I ^ j ^ y + É (10)
A expressão abaixo é conhecida como o núcleo de Dirichlet
_ , - 1 / 1 A knx\
-r(,T + .Ç,“ '-r| (1 1 )
que tem as propriedades enunciadas a seguir.
i) DĴ x) é uma função par.
ii) Usando as relações de ortogonalidade (9) e (10) do Capítulo 2, 
obtemos
fL
D„(x)dx = 1.r
iii) D„(x) é uma função contínua.
iv) D„(x) é uma função periódica de período 2L. 
V) D„(0) = (n + i)/L
vi) Vale a seguinte expressão compacta de
D„(x), para x 9̂ 0, ± 2L, ± 4L,.,
D„(x) = ^
j sen(n + ^) —
sen nx2L
(12)
Para provar (12), calculemos a expressão 
5„(0) = 1 + X
[ Secção 3.2 ]
Observe que
s„(«) = Rc
e que
1 + 1
1 + .- + • • • + r " = - - - - > para z #
1 - z
Logo.
1 / (n+IKf - í « / 2 fln-h(l/2}]0
— R p ̂ ̂ —- IVC ^-~,0/2 ^,012
55
para 0 / 0. ±2?:, ±4?:__ Daí. se segue
” ̂ 2 s e n f
e. usimdo isso em (II), obtemos imediatamente (12).
Voltemos a (10), usando (11) e (12), e, mudando a variável indepen­
dente y = X - r, obtemos
ÍL /*L + XD „ { x - y ) f ( y ) d y = D „ U ) f { x - t ) d t .
-L J-L+x
Como e f são periódicas de período 2L, a soma parcial pode ser 
escrita como
\{ t)i\x -t)d t. (13)
-L
= I OJO,
Usando o fato de que D„(r) é uma função par,
fO f L f L
D„{t)f{x-t)dt + \ D„(f)/(x-f)ííí= D„(í) [/(x + f) + /(x - f)] í/f,
J - L Jo Jo
e, daí, (13) pode ser finalmente escrita como
= (* ^«(0 [/(x + t) + f{x - f)] dt, (14)
Jo
e a expressão, para a qual queremos obter estimativas, ganha a forma 
seguinte:
= í £>„(f){[/(x + f)-/(x + 0)] + [/(x -f)-/(x -0 )]}< /f. (15) 
Jo
Definindo a função
g(x. r) = [/(x + r)-/(x + 0)] + [/(x - f)- /(x - 0)],
enunciamos agora um resultado sobre a convergência da série de Fourier 
no ponto X.
56 [ Capítulo 3 ]
TEOREMA 3.2. (Teste de Dini). Seja / : (R -► R uma função periódica de
período 2L e i f ̂ em L ] . Fixado x , 
em [-T, T], suponha que f(x -I- 0) é' /(x -0 ) existam e que exista /̂ > 0 
tal que
í g{x, t) dt < 00. (16)
Então í'„(x)-► 0, ou seja, \ ( x ) -► [/(x + 0) + /(x-0)]/2 , quando m -> oo.
A demonstração desse resultado será feita na Secção 3.4, usando o 
lema de Riemann-Lebesgue, o qual será nosso próximo objetivo.
3.3 Lema de Riemann-Lebesgue
O enunciado desse lema é: seja / : \_a, fc] -► R uma função em um in­
tervalo \_a, ò]. Então
f (x) sen (íx) í/x = 0, (17)lim f
Ja
lim r ,
Ja
/ (x) COS (íx) dx = 0. (17)
Demonstração, (a) Suponhamos, inicialmente, que / seja limitada, isto é, 
que exista M > 0 tal que |/(x)| < M, para todo xg \_a, 6]. 
Lembremos o que significa dizer que uma função / limitada é integrável: 
dado í: > 0, existe uma partição n do intervalo [a, fe]
7t: a = Xq < Xj < • • • < x̂ = ò,
tal que
s[.f, n'\ - .s[/, n] < c,
onde
S [/Jt] = Z Mj = sup [/(x): x^.., < x < x j,
j=i
''[7-^] = Z ntj = inf[/(x): Xj_, < x < x j
j=i
são as somas superior e inferior associadas à partição n. Vamos de­
monstrar (17). Considere a partição do intervalo [a, ò] determinada pelos
[ Secção 3.3 ] 57
pontos Xj = a j/n (b - a\ para y = 0, 1 ,..., n. Então
r/(x) sen (íx) Jx = ^ f(Xj) j sen(íx)dx -I-
+ Z í [/w-/(x̂.)]sen(íx)</x.
Jxj-1
Agora, observe que
rJ x j - i sen (íx) dx -COS (íx) XJí x j - i 2< — t
e que
I/ (x)- / (x )̂\< Mj - rrij, para x̂ ._, < x < Xj.
Usando as estimativas (19) e (20) em (18), obtemos
f/ (x) sen (íx) dx 2nM i , , , ,, ,+ E - "’;XXj- - Xj. _,),r j = i
(18)
(19)
(20)
(21)
e atente para o fato de que o somatório em (2 1 ) é a diferença 5 [/, tt] - n~\.
Portanto, dado ̂ > 0, tome n tal que essa diferença seja menor que c/2. 
E a seguir, com esse n fixado, tome tal que I iíM /íq < e/2. Logo, dado 
/: > 0. temos que
f/(x) sen (íx)dx < e
para todo r > íq , e isso completa a demonstração de (17). A demonstração 
de (17 ) se faz de modo análogo.
(b) Suponhamos agora que / seja uma função qualquer. Dado 
e > 0, tome uma função contínua : [u, fc] -♦ IR tal que
r f{x)-ij/{x)\dx < c/2, (22)
usando para tal o Teorema 3.1. Agora, como toda função contínua num 
compacto é limitada e integrável, podemos aplicar a parte (a) da demons­
tração e concluir que existe , tal que, para í > íq , se tem
f ij/ix) sen (íx) dx < e/2 . (23)
Agora, como
j* / (x ) sen (íx) dx = ^ \ fil/(x) sen (íx) dx -h [/(x)-^(x)]sen(íx)dx,
58 [ Capítulo 3 ]
tem-se
f/ (x) sen (íx) dx Hf il/(x) sen (íx) í/x M- \f{x)~ il/(x) | dx.f'
Logo, basta usar as estimativas (22) e (23) para concluir que, dado c > 0, 
existe íq , tal que, para í > íq , se tem
f /(x) sen (íx) dx < c,
o que completa a demonstração do lema de Riemann-Lebesgue.
3.4 Convergência pontual da série de 
Fourier (continuação)
Inicialmente vamos demonstrar o teste de Dini. A idéia é decompor 
ej(x) em duas partes:
A primeira integral será feita pequena tomando-se ô convenientemente 
pequeno e usando (16). Quanto à segunda integral, usaremos o lema de 
Riemann-Lebesgue. Vejamos os detalhes: como
n t
2L s e n ^
(24)
e como a função no segundo membro de (24) é contínua e crescente em 
[0, /.], obtemos a estimativa
|íD „ ( í) |< ^ , para fG[0,L;i.
Logo, dado í: > 0, tome ô < min (L, rj), tal que
áí < y »< 1 r g(x, t)
Jo t
o que é possível em virtude da Hipótese (16). Agora com esse ô fixado, 
olhe a segunda integral. Para aplicar o lema de Riemann-Lebesgue, basta
[ Seccso 3.4 ] 59
verificar se a função
h{t) = g(x, t) nt
2L s e n ^
t e [á, L],
é integrável. Mas isso é imediato porque o denominador nunca se anula 
em [á, L] c g é integrável. Logo, para n suficientemente grande
f*L £
< T ’
e o teste de Dini fica provado.
O teste de Dini pode ser utilizado para obter condições suficientes 
para convergência da série de Fourier, condições que sejam mais facil­
mente verificáveis.
(A) Suponha que f seja Hõlder contínua na vizinhança do ponto x, isto é, 
que existam constantes ct>0, S > 0 e K > 0 tais que
\f ( t ) - f ( s ) \< K \t - s \^ (25)
para í, 5 g [x - á, x -h á]. A desigualdade (25) implica que / seja con­
tínua em X, e, portanto, /(x -h 0) = /(x -0 ) = /(x). Isso juntamente 
com (25) implica
| 3 ( x , í ) | < | / ( X + t)-f{x)\ + | / ( x - f ) - / ( x ) | < 2Kt\
Logo,
g(x, t)r ^ á r < 2 K f r « - Jo Jo dt < 00,
e vê-se que a condição (16) do teste de Dini se verifica.
(B) Suponha que f tenha derivada no ponto x. Neste caso, pode-se provar 
que uma desigualdade como (25) se verifica com a = 1. E o resultado 
se segue de (A).
(C) Suponha que f seja seccionalmente contínua e que as razões incrementais
f(x + t ) - f (x + 0) / ( x - í ) - / ( x - 0)
t t
sejam limitadas para t > 0 suficientemente pequeno. Em particular, 
isso é verdade se as derivadas laterais em x existem:
f \{ x ) = lim
f-»0 +
Z'_(x) = lim
f-»0 +
/ ( X + í) - /(x + 0)
/ ( x - í ) - / ( x - 0)
60 [ Capítulo 3 ]
Nessas condições é fácil ver que a condição de Dini se verifica. Por­
tanto isso estabelece a validade do teorema de Fourier, enunciado 
na Secção 4 do Capítulo 2.
3.5 Desigualdade de Bessel
Uma função /: [a, b] -► IR é chamada de quadrado integrável se / e 
I / 1̂ forem integráveis. Usaremos a nomenclatura função para de­
signar uma tal função.
Observações. 1) Se / for limitada e integrável a Riemann (cf. Secção 3.1), 
então / será de quadrado integrável, e
f \f(x ) \^ d x < M H b -a \
onde M = sup{|/(x)|: xe[a,b]}.
2) No caso de / não ser limitada, pode acontecer que / seja
mas não Veja o exemplo: f(x) = para 0 < x < 1,
í x~^'^dx = 2; í |x"^^^|^áx= í x~ ^dx= co .
Jo Jo Jo
3) Se / for então / é necessariamente «Sf ̂ (Lembramos 
que nossas funções estão definidas em intervalos limitados). A demons­
tração desse fato repousa na desigualdade de Cauchy-Schwarz para in­
tegrais, que será demonstrada na secção seguinte: “Sejam f e g funções 
de quadrado integráveis em um intervalo [a, b]. Então fg é absolutamente 
integrável e
| /(x)^(x)|ííx < y | /(x)|^dxj y |3(x)|^dxJ . (26)
Usando a desigualdade (26) com ^(x) = 1, obtemos
11/2
/(x)| dx < (b-aY^^ [ f l/ ,
O que demonstra a assertiva, acima.
Uma sucessão ( Q de funções de quadrado integráveis, em um in­
tervalo [u, b], converge, em média quadrática, para uma função / de qua-
[ Secção 3.5 ] 61
drado integrável, se
A expressão
1" 
f
f(x )\U x = 0.
/„W -/W |^ áx
é chamada o erro médio quadrático, na aproximação de / por .
Mostraremos agora que as reduzidas 5„(x) da série de Fourier de 
uma função / de quadrado integrável são os polinómios trigonométricos 
que melhor aproximam / em média quadrática. Mais precisamente, con­
sidere um polinómio trigonométrico de ordem n:
/ ̂ ̂í , knx\^ COS + sen — j ,
e designemos por
= j |s„(x)-/(x)|^dx
= j*
Então o que vamos provar é
í'n ^ . (27)
Para demonstrar (27), calculamos usando as relações de ortogonalidade 
(9) e (10) do Capítulo 2, e as expressões dos coeficientes de Fourier, e ob­
temos
= y ^ 0 + ^ Z ^ k ) ■»"
^ k = l
+ í \f(x )\^d x - LüqCq - 2L ^ (flfcCfc -h bfcdfc).
J - L
E, daí, completando quadrados, temos
L "
= -y^Co-flo)^ + ^ Z +^ 1,= 1
+ '̂ Z + í l/wP
*=1
d , - ^ - L Í K +(,;).
k = 1
62 [ Capítulo 3 ]
A geometria da melhor aproximação*. (Esta conversa pode ser omitida,
sem prejuízo para o entendimento 
da seqüência. por aqueles que nunca estudaram Álgebra Linear). Vamos 
chamar de o espaço das funções /: [-L, L] -► U que são de quadradointegrável. Mostraremos na Secção 3.6 que se / e gf forem de quadrado 
integrável então f g também será, e isso é precisamente o significado 
da desigualdade de Minkowski. Além disso, (xf será de quadrado integrável 
se / também o for e se a for uma constante. Portanto concluímos que Jíf ̂ 
é um espaço vetorial. As funções 1, cos mttx/L, sen nnx/L, para n = 1 ,2 ,..., 
são de Para cada m, as funções 1, cos jnx/L, sen jnx/L, para j = 
geram um subespaço vetorial E„ de Observe que tanto s„(x) como 
í„(x) pertencem a E^. No espaço podemos definir uma norma pela 
expressão
Agora observe que o menor valor de será obtido quando Cq = Qq ,
Cf̂ = para k = 1 , . . . , n. Neste caso, vê-se que coincide com .
Logo, em geral, temos e^< ê^,
Para ver que isso realmente é urna norma, usa-se a desigualdade de 
Minkowski. Assim, o se torna um espaço normado e, daí, podemos 
falar em distância entre duas funções / e ^ de | | / - ^ | | 2 • Portanto o 
que provamos acima é que é o elemento de £„ que está mais próximo 
de /. Podemos ir mais além nas considerações geométricas. De fato, em 
temos uma noção de ortogonalidade: f e g em são ortogonais se
r .
f{x)g{x)dx = 0.
E, usando essa noção, definimos a projeção'ortogonal de / sobre , como
sendo o elemento ge E^, tal que / - g é ortogonal a todo he E^. Afir­
mamos, agora, que é a projeção ortogonal de / sobre . Para tal basta 
observar que temos
r
( / - sj<p = 0,
para <jp = 1, cos jnx/L, sen jnx/L, para j = 1, 2 ,.. ., n.
[ Secção 3.6 ] 63
Para estabelecer a desigualdade de Bessel, desigualdade (29) abaixo, 
observamos que é > 0, para qualquer escolha dos coeficientes e d^. 
Portanto
e, daí,
0< é>„= f \ f(x)\Ux-̂ -L t K +
J-L
1
bl) (28)
T + Z («í + bl) <
fc=l - J - L
Como essa desigualdade vale para todo /i, concluímos que
° + l + bl)
k= 1
dx. (29)
3.6 Desigualdades de Cauchy-Schwarz e de 
Minkowski
Antes de proceder ao estabelecimento das desigualdades (31) e (33) 
abaixo, vamos mostrar ao leitor que ele já conhece uma desigualdade 
desse tipo. Considere dois vetores a = (a j, a2) e ^ = (j5j , ^ 2 )̂ com­
ponentes não-negativas. O produto escalar é definido pela expressão 
(X = -h a2Í?2- (e)
Chamando de |a| = (aj -h a norma do vetor a, e de 0 o ângulo
do vetor a com o semi-eixo positivo dos x, podemos escrever
(X = (|a| COS 0, |a| sen 0).
64 [ Capítulo 3 ]
De modo semelhante, 
(Olhe a Figura 3.4.)
= (|/í|cos</), |/l(sen<;i).
Figura 3.4
OU
Logo, o produto escalar pode ser escrito como
a • /f = |a| \p \(cos 6 cos (l> H- sen 6 sen <̂)
«•/l = |«| |/l|cos(0 -(;í)). (e')
Juntando (e) e (e'), obtemos
“ l^l + «2^2 ^ l«l 1^1
OU
«1^1 + «2^2 ^ («? + (30)
Agora, se (a , , Uj) e (h j, hj) s^o dois vetores quaisquer de temos 
Iflihi + a^b^l < |a , | |h ,| + \a^\ Ib^] 
e, aplicando a desigualdade (30) aos vetores (|Ui |, |u2 |) ̂(|^i I» l^2 |)» obtemos 
iflifci + a2 b2 \ < (a\ +
que é a desigualdade de Cauchy-Schwarz para vetores do
Sejam, agora, a = (â e fc = , . . . , fcj dois vetores do R".
A desigualdade de Cauchy-Schwarz para vetores do R" tem a seguinte 
forma:
I
Para demonstrá-la, considere a expressão
Ê = Ê + 2í Ê “A + Ê (32)
J = l J = i j = l J=1
Olhando o primeiro membro de (32), vemos que essa expressão é sempre 
> 0 para todo t real. Olhando o segundo membro de (32), reconhecemos 
um trinômio do segundo grau em t, O fato de que esse trinômio é sempre
> 0, implica que seu discriminante deva ser < 0. Isto é,
O que implica, imadiatamente, a desigualdade (31).
Sejam agora / : [a, fc] IR e [a, fc] -> (R duas funções de quadrado 
integrável. A desigualdade de Cauchy-Schwarz para funções de quadrado 
integrável tem a forma
I ^̂f{x)g{x)dx I < |/(x)|̂ dxj |̂(x)|̂ dxj (33)
A demonstração é análoga ao caso anterior. Basta considerar a expressão
[ SecçSo 3.6 ] 6 5
f [/(x) + tg(x)Ydx
e proceder como no caso dos vetores do IR".
Uma outra desigualdade, bastante útil, é a seguinte:
conhecida como a desigualdade do triângulo ou desigualdade de Minkowski. 
O nome desigualdade do triângulo provém do fato de que 
é o módulo do vetor a = (Aj , . . . , a j em IR", que vamos representar, como 
acima, por |a|. Logo, a desigualdade do triângulo pode ser escrita como
\a + fc| < |a| -1- \b\.
Veja a Figura 3.5, para o caso do IR̂ .
Demonstração da desigualdade do triângulo no IR". Na identidade
X {aj + b / = E + 2 X ajbj + ^ bj,
7=1 7=1 7=1 7=1
66 [ Capítulos ]
use a desigualdade de Cauchy-Schwarz e obtenha
n n / " \ 1/2 / " \ 1/2 "
j=i j = í v=i / v=i / j=i
e observe que o lado direito da desigualdade acima é o quadrado de | a | + | fc |. 
Daí, se segue, imediatamente, a desigualdade do triângulo.
De modo análogo, poderemos demonstrar a desigualdade de Minkowski 
para funções de quadrado integrável, que é a seguinte:
[ [ i/ M . [ f k w r . . ] "
Basta, na identidade
= í \ f{x)\^dx + 2 j j
Ja Ja
fh
f(x) + g{x)\^ dx = |/(x)|^ áx + 2 f{x)g(x)dx + \g(x)\^dx.
usar a desigualdade de Cauchy-Schwarz, e proceder como no caso do U”.
PROPOSIÇÃO 3.1. / : [a, fc]->(R uma função de quadrado inte-
grável Então existe uma sucessão de funções con­
tínuas ij/̂ : [fl, b] -► R, com = il/„(b) = 0, tal que
f |/(x)-iA„(x)|^dx = 0.
Ja
Demonstração, (i) Suponha inicialmente que / seja limitada. Como / é 
de quadrado integrável, segue-se que / é absolutamente 
integrável, em virtude da desigualdade
11/2
£ |/(x ) |d x ^ ( i> -a ) i/^ I |/(x )|^dx j
que é uma conseqüência da desigualdade de Cauchy-Schwarz. Agora, usa­
mos o Teorema 3.1. Dado 6 > 0, existe uma função contínua ij/: [a, fc] -► JR, 
com [l/(a) = il/(b) = 0 tal que
/(x )-^ (x )|dx < e.f
Uma olhada na demonstração do Teorema 3.1 deverá convencê-lo de 
que |^(x)| < M, onde M é uma constante, tal que
I /(x)| < M, para todo x g [u, í?].
[ Secção 3.6 ] 67
Fssas majorações de e / permitem escrever
fI / (x ) - dx < 2M I / (x ) - i/^(x)I dx < IMv.,
e, daí. se segue a conclusão do teorema neste caso.
(ii) Suponha, agora, que / não seja limitada. A idéia da demonstração 
aparece completamente no caso particular em que / se torna ilimitada 
apenas nas vizinhanças de a e ò. O caso geral seria demonstrado de modo 
análogo. Dado e > 0, escolha á > 0, tal que
3 + <5r + ò \ m \ f 1/ ̂dx < ^ e 1 | / ( x ) |^ d x < ^ -
Agora, usamos a parte (a) do teorema, já provada, para determinar uma 
função il/: [a -h á, ò -á ] -► IR contínua, com il/{a -h á) = \ l / ( b - ô ) = 0 tal 
que
\f(x)-\l/{x)\^ dx <
Ja + ó
Portanto, definindo
obtém-se
0 , se a < X < a ô.
n x ) = \ il,{x). se a - \ - S < x < b - ô ,
0 , se b - S < X < b.
f{x)-ij/{x)\^ dx < s,
O que conclui a demonstração. Q.E.D.
Observação. Suponha que /: (R -► IR seja uma função periódica de período 
2L e de quadrado integrável em [-L, L]. Então existe uma 
sucessão de funções contínuas ij/̂ : (R -► IR periódicas de período 2L 
[de fato, pode-se tomar = il/„(L) = 0, para todo n] e tal que
t%L
'lim f |/(x)-iA„(x)|2Jx = 0.
J-L
Observação**. Se usarmos a integral de Lebesgue, segue-se, da desigual­
dade de Cauchy-Schwarz, que toda função de quadrado 
integrável (á Lebesgue) é do espaço L̂ [u, ò]. Designando por l}\_a,b~\ 
o espaço das funções de quadrado integráveis à Lebesgue, temos que 
í?[a, ò]c: íí[a, ò].
3.7 Convergência uniforme da série de Fourier
Nesta secção estudaremos condições suficientes sobre a função / 
(periódica de período 2L) que garantam a convergência uniforme de sua 
série de Fourier. A idéia é aplicar o teste M de Weierstrass dado na 
Secção 2.2. Como
6 8 [ Capítulo 3 ]
a„COS -nnx17 < b„ sen
nnx
~17 < \b„
devemos ver em que condições a série numérica
E (|«.l + IM) (34)
converge.
Observamos, em primeiro lugar, utilizando o que se provou em (iii) 
da Secção 2.8 que, caso a função / tenha derivada primeira contínua e 
a derivada segunda seja uma função então a série (34) é majorada 
pela série 1/n^, a qual converge.
Entretanto poderemos provar a convergência de (34) sob condições 
menos restritivas em f De fato, suponha apenas que / sejacontínua e 
que a derivada primeira seja uma função Então, usando as Relações 
(42) e (43) do Capítulo 2, concluímos que
^ ” nn " (35)
onde a'„ e b'„ designam os coeficientes de Fourier de / '. Portanto a reduzida 
de ordem n da série (34) é
L 1 (36)
(37)
E (K l+ 1̂.1) = ^ E j (Wj \ + Wj \),
j = l j = l J
a qual é majorada por
onde usamos a desigualdade de Cauchy-Schwarz para vetores do IR” 
(cf. Secção 3.6). A seguir use a desigualdade (|a| + |fc|)̂ < 2{â + b^\ 
que é a desigualdade de Cauchy-Schwarz em (R̂ , no segundo somatório 
de (37). Obtemos, então, a seguinte majoração de (36)
[ SecçSo 3.7 ] 69
Portanto a série (34) é majorada por
onde ambas as séries convergem, a segunda convergindo em virtude da 
desigualdade de Bessel.
Resumindo, provamos o resultado exposto a seguir.
T E O R E M A 3.3. (Prim eiro Teorema sobre a Convergência Uniforme da 
Série de Fourier). Seja f uma função periód ica de p eríodo 2L, contínua e 
com derivada prim eira de quadrado in tegrável Então, a série de Fourier 
de f converge uniformemente para /.
Observe que no teorema acima pede-se que a função seja contínua 
em toda a reta. E quanto à derivada primeira permitimos que ela seja 
descontínua, í mesmo que se torne ilimitada nas vizinhanças de uns tantos 
pontos isolados. Se / for descontínua em um ponto Xq, a série de Fourier 
não pode convergir uniformemente para / em nenhum intervalo que 
contenha X q . Isso porque sabemos (cf. Proposição 2.1 do Capítulo 2) 
que o limite uniforme de uma sucessão de funções contínuas (no caso, as 
reduzidas i (̂x) da série de Fourier de / ) é uma função contínua (no caso, 
seria /). Logo, para se ter a convergência uniforme da série de Fourier 
em toda a reta, a função / deve ser necessariamente contínua. Mas aí 
surge a seguinte indagação: e se / for contínua em um intervalo fechado 
[a, fc], será verdade que a série de Fourier da / converge uniformemente 
para / neste intervalo [a, b]? A resposta é sim, isto é, vale o resultado 
seguinte.
T E O R E M A 3.4. (Segundo Teorema sobre Convergência Uniforme da Série 
de Fourier), Seja f periód ica de período 2L, seccionalm ente contínua e 
tal que a derivada prim eira é de quadrado in tegrável Então, a série de 
Fourier de f converge uniformemente para f em todo intervalo fech ado 
que não contenha pon tos de descontinuidade de f .
A demonstração utiliza o lema enunciado a seguir.
LEMA 3.1. Seja ip a função periódica de período 2L assim definida:
4 (1 + f) - L < X < 0
i p{x)={0 x = 0 (38)
0 < X < L.
70 [ Capítulo 3 ]
Então, a série de Fourier de ij/ converge uniformemente para ij/ em qualquer 
intervalo que não contenha pontos da forma 2Ln, para n inteiro.
Demonstração do Teorema 3.4. Vamos demonstrar logo o Teorema 3.4,
com a ajuda do lema, e depois provamos o 
referido lema. Sejam Xj ,...,X|^, os pontos do intervalo [-L, L), onde / 
é descontínua, e sejam , . . . , os saltos da f nesses pontos de descon- 
tinuidade, isto é, coj = f(x . -f 0)-/(x^.-0). Logo, a função Ojipix-Xj) é 
descontínua em pontos da forma Xj ± 2Ln, n = 0 ,1 ,2 ,..., e o salto nesses 
pontos é (Oj. Então a função f{x)-o)j{l/(x-Xj) é contínua nesses pontos 
e em todos os pontos onde / já é contínua. Desse modo, produzimos uma. 
função com menos descontinuidades que a função original /. Para eliminar 
todas as descontinuidades, repetimos esse processo k vezes e teremos a 
função
g (x)= f{x)- Y, COj\l/{x-Xj), 
j= 1
que é contínua para todo x. Portanto podemos aplicar o Primeiro Teorema 
sobre a Convergência Uniforme da Série de Fourier, para ver que a série 
de Fourier de g converge uniformemente para g, em toda a reta. Pelo 
lema, a série de Fourier da função \l/(x-Xj) converge uniformemente em 
qualquer intervalo fechado que não contenha pontos da forma Xj ± 2Ln. 
Como a série de Fourier da função / é a soma das séries de Fourier das 
funções g e o)jil/(x-Xj), para j = l,...,fc , segue-se que ela converge uni­
formemente em qualquer intervalo fechado que não contenha pontos 
da forma Xj ± 2Ln, para j = 1 ,..., /c e n = 0 ,1 ,2 ,..., que são justamente 
os pontos de descontinuidade da /. Isso completa a demonstração do 
teorema. Q.E.D.
[ Secção 3.7 ] 71
Demonstração do Lema 3.1. Vamos calcular a série de Fourier da função ij/
definida em (38). Sendo ela ímpar, temos uma
série de senos, e um cálculo simples fornece:
nnx , 1— I sen — dx = — L nn
Logo a série de Fourier da função ij/ é
1 ^ 1 nnx— ) — sen — »
^ n=i n L
(39)
e o lema estará demonstrado se provarmos que, para qualquer á > 0, 
a série acima converge uniformemente para 0 < ô < \x\ < L, Para tal 
basta mostrar que a série
00 'pind
I V
n= 1 ^
converge uniformemente, para 9 e [e, tt], £ > 0 qualquer, pois a série (39) 
é obtida tomando-se a parte imaginária de (40) e fazendo 9 = nx/L. Seja
Logo,
e, como
obtemos
E„ie) = X e"'".
k= 1
jke
I x = ^= m k = m ^
(41)
(42)
k = m
n - 1
m .
jke
Z V= Ik = n k = m k fc -h 1
Por outro lado, usando um argumento semelhante àquele usado na 
Secção 3.2 para obter o valor de 5„(0), temos, para 0 < 9 < 2n,
î0 _ î(n+ l)fl
e, dai.
£.(«) -
^ 11 _ (.1*1 ” *
sen-
Portanto segue-se de (43) que
m oik0
1 - r
sen — ms en —
72 [ Capítulo 3 ]
e, daí, temos, para 0 < £ < 0 < tc, que
m îk0
k = n msen-
o que implica, pelo critério de Cauchy, a convergência uniforme de (40). 
E a demonstração do lema está completa. Q.E.D.
Observação. A passagem de (42) para (43) é um artifício conhecido como 
a “fórmula de Abel de adição por partes”. Em geral, se (aj 
e (òj são duas sucessões e . temos
X ^k(^k X ^k+l)^k“̂
1
k = m k = m n + 1 " m m - 1 *
3.8 Núcleos de Dirac
A função impulso unitário, chamada também de função ò de Dirac, 
é “definida” como tendo as seguintes propriedades:
0 , se X ^ 0,
+ 00, se X = 0,ô{x) = (44)
r <5(x)dx = 1 . (45)
Pode pasmar! Não hà erro de impressão! Mas, como é possível? 
Bom, rigorosamente não é. O tal á não é uma função, pois, se fosse, deveria 
associar a cada número real, um outro real, e oo não é número. Além disso, 
como S é zero em toda a reta, com exceção de um único ponto, a integral 
deveria ser zero, e não um. Entretanto, para mal-estar dos matemáticos, 
essa coisa funciona bem em Mecânica Ondulatória. Em verdade, a pro­
priedade importante do á é a seguinte: se ^(x) for uma função real con­
tínua que se anule fora de um intervalo limitado, então
r S{xmx)dx = ^(0). (46)
Críticas, igualmente, se levantam contra a Expressão (46). O integrando 
não é uma função, e, portanto, não pode ser integrado!
Que fazer para dar um sentido matematicamente correto à Expres­
são (46)7 Isso é feito de modo satisfatório pela Teoria das Distribuições,
[ Secção 3.8 ] 73
criada por Laurent Schwartz, que também explica outras expressões 
formais como (46) envolvendo inclusive derivadas de ô. Nesta secção, 
faremos algo menos ambicioso, mas que servirá para justificar (46) de 
modo rigoroso. A idéia é a seguinte: tomamos uma sucessão de funções 
contínuas k^\ IR-► (R, com as seguintes propriedades:
(Dl) kj,x) > 0;
(D2) l ’̂ -^K{x)dx= 1;
(D3) dados e > 0 q rj > 0, existe tal que, para n >
I 'kj[x)dx < e.
(Como você vê as áreas debaixo de kj^x) se acumulam junto ao eixo dos y. 
Essas funções podem ser entendidas, de modo intuitivo, como aproximação 
de á). E o primeiro membro de (46) pode ser definido como
r ô(x)il/{x) dx = lim í ”J - 00 ,(x)iA(x)dx. (47)
Será nosso objetivo a seguir mostrar que, com a definição em (47), a Ex­
pressão (46) é correta.
DEFINIÇÃO. Uma sucessão de funções k \̂ (R -► (R seccionalmente con­
tínuas e satisfazendo às condições (Dl), (D2) e (D3) acima 
é chamada uma sucessão de núcleos de Dirac.
EXEMPLO. Seja fc: IR-̂ IR uma função seccionalmente contínua, não- 
-negativa e tal que 0 < j®^k(x)dx < oo. Em particular, essa 
integral será, de fato, finita se k(x) se anular fora de um intervalo limitado.
74 [ Capítulo 3 ]
Seja a = J®^k(x)áx; então as funções
formam uma sucessão de núcleos de Dirac. De fato, (Dl) e (D2)são vistas 
facilmente. Para demonstrar (D3), veja
j* kjix) dx = -^ í k(nx) dx = -^ í k(s) ds.
J |o c |> i i J | j c |> » í J \ s \ >nr i
Por outro lado, o fato de que k(s)ds < oo implica que exista r > 0 
tal que
k(s) ds < SOL.I
J | s | > r
Logo, (D3) se verifica, caso tomemos > r/rj,
A propriedade básica dos núcleos de Dirac está contida no resultado 
enunciado a seguir.
TEOREMA 3.5. Sejam (fej uma sucessão de núcleos de Dirac e f: R -► IR 
uma função seccionalmente contínua limitada. Então
(a) as funções /„ abaixo estão bem definidas.
fnM = Í *
J — Q
- s)/(s) ds; (48)
(b) supondo que seja uma função par, temos, para cada x,
n-*ao L
(c) a sucessão ( /J converge, uniformemente, para f em todo intervalo 
limitado fechado I que não contenha pontos de descontinuidade de f
Observação. A função , definida em (48), é chamada o produto de con- 
volução de k„ e /, e usa-se a notação f^= k^* f. Obviamente, 
o produto de convolução pode ser definido para classes mais amplas de 
funções. Por exemplo, se / : DR-^IRe^: IR-^R forem funções absoluta­
mente integráveis e uma delas for limitada, então o produto f* g estará 
bem definido. Uma propriedade importante do produto de convolução 
é a seguinte:
f* g = g */,OU seja, /•ao fco
J -/(jc-s)&(s)ás = J f{s)g{x-s)ds, (49)
[ Secção 3.8 ] 75
EXERCÍCIO. Sc f c g forem de quadrado integrável, então f ^ g estará 
bem definido.
Demonstração do Teorema 3.5. A parte (a) é imediata, pois o integrando
em (48) é uma função seccionalmente con­
tínua, para cada x fixado, e integrável. De fato
cuja demonstração é imediata, através de uma mudança da variável de
integração.
r k„{x-s)f(s)ds < m Í k„(y)dy,J — CO
onde
M > |/(x)|, para todo x e \
Demonstremos (b). Para facilitar a escrita (por alguns momentos!) façamos 
f(x) = | [ / ( x -h 0) -f /(x -0 )]. Devemos obter uma ma­
joração de f„(x)-f(x). Comecemos escrevendo /„ na forma abaixo, em 
vista de (49),
/nW = Í l^n(s)f(X-s)dS.
J - 00
Usando isso e a condição (D2) dos núcleos de Dirac,
/„ W - /W = í
j - 00
(50)
A idéia, agora, para fazer a majoração da integral em (50) é quebrá-la 
em duas partes. Com um á > 0 a ser escolhido mais adiante, temos
fn(x)-f{x)= í k,(s)[/(x-s)-/(x)]ds +
J | , | > í
+ Í Kis)U(X - s) -/(x )] d5 = / , + /^ .
Lembrando que é uma função par, e o que é / temos que
-f f '+ s)ds + k ,(s)/(x -s)ds-
-J^kM/(^ + 0) + /(x-0)]d5.
76 [ Capítulo 3 ]
Daí, obtemos
U2 l ^ jM s ) |/ ( ^ + « )-/(^ + 0)|<ís+ í K is ) \f{x -s )- f(x -0 ) \d s .
Jo Jo
Agora, usando o fato de que / é seccionalmente contínua, temos que. 
dado £ > 0, existe á > 0 tal que
|/(x + s )- /(^ + 0)| < e e | / ( x - s ) - / ( x - 0)| < e 
para 0 < 5 < á. Logo,
I/2 I < 2£ kjls)ds < e kj^s)ds = £.
Jo J-00
Agora, com esse ô que acabamos de determinar, vamos majorar
|/,|<2m I*
J |s l> i
fc„(s) ds.
;|s| >5
Daí, se segue, pela condição (D3) dos núcleos de Dirac, que existe Mq 
tal que, para n > iíq, temos
Uil < 2M£,
Portanto, dado e > 0, existe Hq tal que, para n > Hq, temos 
|/„(x)-/(x)| < (1 + 2M)£, 
o que prova a parte (b).
Demonstremos (c). A exemplo do que se fez na parte (b) desta demons­
tração, vamos decompor a integral de (50) em duas 
partes. Sejam a e fc as extremidades do intervalo /, isto é, / = [a, b]. É 
claro que podemos tomar um rj > 0, tal que o intervalo fechado /' = 
= [u -ry, b + rj~\ também não contenha pontos de descontinuidade de /. 
Dado £ > 0, existe á > 0 tal que se x^, X2 € /' e |x^ - X2 I < <5, então 
|/ ( x i ) - / ( x 2)l < £. (Isso é a continuidade uniforme da / no intervalo 
fechado limitado /'). Bom, agora vamos à decomposição da integral em (50):
f„{x) - f(x ) = j* k„{s)\_ f (x - s) - / (x)] ds +
J)s| > ó
+
e, daí.
í
J|s|
K i^)U i^-s)-f(x)']ds (51)
/„(x) -/(x ) I < 2M í k„{s) ds + f k„(s) 1 /(X - s) -/(X) I ds. (52)
J|s|><5 J|s|<<5
[ Secção 3.9 ] 77
Tomando ô < rj, segue-se que x - s variará em /' se x percorrer /. Logo,
a segunda integral em (52) será majorada por
kjis) ds < e \ kjls) ds = e. 
J |s| <(5 J-O O|s|
Para majorar a primeira integral em (52), usamos a condição (D3) dos 
núcleos de Dirac. Logo, com esse £ > 0 dado, e o correspondente ú > 0, 
determinamos tal que a primeira integral seja < £, para todos n > iíq. 
Concluímos que
|/„(x)-/(x)| < 2AÍ£ + £,
para todo x e / e todo « > «o . Isso dá a convergência uniforme de (/J em /. 
O Teorema 3.5 está demonstrado. Q.E.D.
Volta ao ô de Dirac e à explicação de (46). Sendo ij/ contínua e limitada, se-
gue-se do teorema acima que
\l/(0) = lim I kj(-s)\l/(s) ds.í
Portanto, se os núcleos forem também funções pares, isto é, kj(-s) = kj ŝ), 
obteremos exatamente a Expressão (47).
3.9 Teorema da aproximação de Weierstrass
Os polinómios são funções contínuas muito simples, porque eles 
são determinados pelo conhecimento de um número finito de parâmetros, 
seus coeficientes. Por outro lado, para que uma função contínua qual­
quer seja considerada conhecida, devemos saber os seus valores em todos 
os pontos do seu campo de definição. Em muitos casos, necessitamos, 
entretanto, apenas de valores aproximados. O teorema de Weierstrass 
da aproximação por polinómios é bastante útil nessa linha de idéias.
TEOREMA 3.6. (O teorema de Weierstrass). Seja f: [a, ò] -► R uma função
real contínua, definida no in­
tervalo [a,bl Então existe uma sucessão de polinómios que converge 
uniformemente para f em [a, b].
78 [ Capítulo 3 ]
Demonstração. Vamos usar o Teorema 3.5 da Secção 3.8, tomando um
tipo especial de núcleos de Dirac, conhecidos como os núcleos de Landau:
Ln(x)=i
onde
r d - X ^ r para |x| ^ 1 ,
0, para |xl > 1 ,
- x )̂" dx.
(53)
É imediato que (LJ satisfaz às propriedades (Dl) e (D2) dos núcleos de 
Dirac; demonstremos que também satisfaz a (D3). Em primeiro lugar 
observamos que
c„ = 2 í (1 -x)"(l -h x)"dx > 2 í (1 -x)"dx = 
Jo Jo n-h 1
A seguir, como é uma função par, temos, para 0 < á < 1,
( i - x ^ r
(54)
f K(x)àx = 2 í
J|x|>^ Jó
-dx
e, como (1 -x^y* é decrescente em x, vem
í
J \ x \ > ô
L ,( x ) d x ^ ^ { l - Õ ^ m - S )
e, daí, usando (54),
jJi*i>í
(55)
Sendo á < 1, vê-se que, dado e > 0, o segundo membro de (55) será < e, 
para n maior do que um certo n„. E, assim, (D3) está verificada.
Demonstremos, inicialmente, o teorema no caso em que [o, á] = [0,1] 
e /(O) = /( l ) = 0. Defina a função
Í /W ’ se *6 [0,1],
' ' jo , se X < 0 ou X > 1, 
a qual é contínua e limitada em toda a reta. A seguir, defina as funções
FJix)
- [
LJix-s)F{s)ds.
Pelo Teorema 3.5 da Secção 3.8. essas funções convergem uniformemente 
para /(x) em [0,1]. Resta, para concluir a demonstração nesse caso, provar
[ Secção 3.9 ] 79
que F„(x) é um polinómio em x. quando xe [0 . 1]. Isso será feito obser-
\ando-se. primeiramente, que
f„(x) = í L„(x - s)/(.s) ds. 
Jo
E. para xe [0. 1]. tem-se | x - 5 | < 1. o que implica que, para tais x.
w = - [1 -(x-s)^]7(i)í/i.
Desenvolvendo a potência do integrando, obtém-se que F,,(x) é uma soma 
de intesrais da forma
üjX-' í sif{s)ds,
Jo
para 7 = 0. 1 .......2n, o que acarreta que seja um polinómio de grau 2n.
Se [a. ò] 7̂ [0. 1]. considere a função
gf(.v) = /( [b - a ] y -h ai
a qual é contínua para yG[0. 1]. Portanto, se tivermos uma sucessão 
de polinómios P„(3’)'convergindo uniformemente para g(yi então os po­
linómios
convergirão uniformemente para / (x) em [a, fc].
Finalmente, se /(O) e/ou / (l) não forem iguais a 0, considere a função
/i(x )= /(x )- /(0) - x [ / ( l ) - / ( 0)],
a qual é contínua em [0, 1] e h(0) = h(\) = 0. Portanto, se tivermos uma 
sucessão de polinómios R„(x) aproximando uniformemente h(xi então 
os polinómios
S„(x) = R„(x) + /(0) + x [/(l)- /(0 )] 
aproximarão uniformemente /(x). Q.E.D.
Observação. Quem já estudou a teoria das funções analíticas deve ter 
ficado intrigado com uma assertiva feita durante a demons­
tração do teorema acima. Dissemos que devíamos provar que Fj(x) é 
um polinómio em x para x g [0, 1]. Por que não para todo x em R? A 
resposta reside no fatode que não é analítica em todos os pontos da 
reta. De fato, sendo e / apenas funções contínuas, segue-se apenas que 
a convolução * f, a qual é a função é contínua em toda a reta.
80 [ Capítulo 3 ]
Nota. O Teorema 3.6, desde sua primeira demonstração por K. Weierstrass, 
em 1885, recebeu várias outras provas usando métodos diferentes. 
A demonstração acima parece dever-se a Landau, e pode ser vista tam­
bém no livro Methods of Mathematical Physics, Volume I, de R. Courant 
e D. Hilbert. Uma outra demonstração usando poligonais é devida a H. 
Lebesgue, e pode ser vista no Cours cTAnalyse de F. Goursat. Ainda outra 
demonstração clássica usa os chamados polinómios de Bernstein, e está 
exposta no livro Análise /, do presente autor. O teorema da aproximação 
de Weierstrass possui uma importante e extremamente útil generalização, 
devida a M. H. Stone, a qual pode ser vista no livro Aplicações da Topo- 
logia à Análise, de C. S. Hónig, publicado nesta coleção do Projeto Eu- 
clides.
3.10 0 teorema de Fejér
Pode parecer á pessoa que inicia seus estudos de Análise que somente 
as séries convergentes são úteis, e que as séries divergentes são uma espécie 
de desmancha prazer. Entretanto, isso não é verdade. Séries divergentes 
têm sido utilizadas e muito se pode fazer com elas. Nesta secção daremos 
um exemplo dessa situação.
Quando se tem uma série ̂a^, sua convergência é um conceito 
definido de um modo bem particular. Veja como se faz. Tomamos a su­
cessão das reduzidas A„ = Oj e dizemos que a série converge, se a 
sucessão (A )̂ converge. Se você pensar bem, você mesmo poderá se per­
guntar por que é feito assim? A resposta é simples e está dentro de um 
procedimento geral em Matemática: faz-se assim, porque o conceito 
resultante é útil. Se houver necessidade e uso de um outro tipo de con­
vergência de série, por que não introduzi-lo?
Por exemplo, a série = 1 -1 - l- .l- l -h ••• diverge no
sentido da definição acima. Entretanto Euler e outros matemáticos obser­
varam que a média aritmética da sucessão das reduzidas converge para 1/2. 
De fato, as reduzidas dessa série são A^ = 1, A 2 = 0, A^ = l, A^ = 0 , , 
e as médias aritméticas
-h A„
sao
' 2 n - í =2 n - \ In
que formam obviamente uma sucessão (â ), a qual converge para 1/2. 
Quando uma série converge no sentido de que as médias aritméticas das
[ Secção 3.10 ] 81
reduzidas converge, dizemos que ela é Cesàro-somável. O leitor poderá 
provar sem dificuldade que toda série convergente no sentido comum é 
Cesàro-somável, e a soma da série (no sentido comum) é igual ao limite 
da sucessão das médias aritméticas das reduzidas. Isso mostra que o 
conceito de somabilidade à Cesàro é bom, porque ele torna somáveis 
séries que divergem, sem perturbar aquelas que já convergem.
Vejamos agora o que a somabilidade à Cesàro faz com as séries de 
Fourier. Já vimos que uma função contínua /: IR -► (R, periódica de período 
2L, tem sua série de Fourier. E vimos, também, que essa série nem sempre 
converge no sentido comum. Entusiasmados e inspirados, pelo que aca­
bamos de ver sobre a somabilidade à Cesàro, perguntamos se ela não 
seria Cesàro-somável. Fejér respondeu afirmativamente essa questão, em 
1904. Como veremos abaixo, o teorema de Fejér também diz algo sobre 
a convergência nos pontos de descontinuidade.
Consideremos, pois, uma função /: IR- ̂ IR seccionalmente contínua 
e periódica de período 2L. Representemos por s„(x) a reduzida de ordem n
, , 1 ^ / knx , knx\
= y «0 + («»COS - ^ + sen — 1
e, por a média aritmética de Sq,
n + 1(Sq + s, +
Como vimos na Secção 3.2
onde
,{x-y)f{y)dy.
te', r
- L ( y ' “ T j - 2 i — nx
'iL
(57)
para x ^ 0, ± 2L, ± 4L,... Logo, as médias aritméticas têm também 
uma representação integral
onde
+1 (^) = J + 1 - y ) f ( y ) ^y> (58)
 ̂ fc = 0
(59)
núcleo de Fejér.
82 [ Capítulo 3 ]
LEMA 3.2. O núcleo E„+i(x) de Fejér é uma função par, continua, periódica
de período 2L, que pode ser expressa como
1
2L(n + 1)
para x ^ 0, ±2L, ± 4 L , . . .e tal que
sen (n + l)jtx
sen ;tx2 l
r íf>.\ " + 1
2L
(60)
(61)
Demonstração. Segue-se, diretamente da defínição, que é contínua, 
par e periódica de período 2L, pois Dj tem essas mesmas 
propriedades. De (57) e (59) temos
í'.+ i(*) =
1 sen
sen2 ^n -h 1)
Portanto devemos obter uma expressão para
M&) = Ê (^ + 2)6-
Observe que A(0) é a parte imaginária de
nx
2L
^ í̂[k+(i/2)ie _ îe/2 ^ 
k - O k ^ O
ei2 l - e 'i(n+í)B
que é igual a 
Logo,
^-.í/2_^.o/2 = _2j-5en0/2
A{0)^ 1 - COS {n
r (n + l)0 T
+ 1)0 r ° 2 J
 ̂ 02 se n y 0s e n y
onde tudo isso vale para 0 / 0 , ± 2 n ,— Fazendo 0 = nx/L, obtemos a 
Expressão (60). Para obter (61), observamos que D j{0 ) = L~^(j + |), e o 
lema está demonstrado. Q.E.D.
As informações dadas pelo lema acima são essenciais para demonstrar 
o teorema abaixo.
TEOREMA 3.7 (Teorema de Fejér). Seja / : R -► IR uma função seccional-
mente continua, periódica de período
[ Secção 3.10 ] 83
1
2L. Então,
i) para cada x,
lim <T„(x) = y [/(x + 0) + /(x - 0)],
ii) a sucessão (a j converge uniformemente para f em todo intervalo 
fechado I que não contenha pontos de descontinuidade de f.
Demonstração. Comecemos observando que, em virtude de (58), temos
^(y)f{x-y)dy.
Agora, definimos as funções
e, portanto, temos
„+,(x) = | F„+,(j')./
funções
^ - L < x ^ L ,
|x |> L ,
J- 00
(62)
Para aplicar o Teorema 3.5 da Secção 3.8, devemos provar que (4>„+i) 
é uma sucessão de núcleos de Dirac. A propriedade (Dl) é imediata. Ve­
jamos agora a propriedade (D2):
J iM ■<•< - I F ., iM I OiM
= | CO,f ] , í x . l .
e, como
segue-se que
r = 1-
Para verificar a propriedade (D3), sejam dados £ > 0 e á > 0. Temos
f . 2 f F ..,(x)dx S f <(,,
J | i | > 4 Jt F 1 g g j j 1
V 2l ;
onde usamos a majoração
sen (n -h \ ) k x ~
sen
2L
nx
2L
84 [ Capítulo 3 ]
que é válida para x, no intervalo de integração [ó, L]. Logo,
L -S
í
J| jc I > ó
(x) dx <
L{n -h 1)( sen
e, daí, para n suficientemente grande, a condição (D3) dos núcleos de 
Dirac está satisfeita. Portanto o Teorema 3.5 se aplica imediatamente, 
para terminar a demonstração do teorema de Fejér. Q.E.D.
3.11 Identidade de Parseval
Volte à Secção 3.5, e olhe a Relação (28). Você então concordará 
que as duas assertivas abaixo são equivalentes
e lim^„ = 0 (63)
^2 00
? + Z + bi) dx. (64)
A Relação (64) é conhecida como a identidade de Parseval. Mostraremos, 
a seguir, que (63) ocorre, ou seja.
Um r = 0, (65)
para toda função / de quadrado-integrável em [-L, L]. Seguir-se-á, como 
conseqüência, que a identidade de Parseval é válida para tais /. A Ex­
pressão (65) é também escrita assim
m . U m t ( » . COS + í h ) ] ,
onde l.i.m. são as iniciais da expressão inglesa limit in (the) mean.
TEOREMA 3.8. Seja f: IR -► R uma função periódica de período 2L, e de 
quadrado integrável em [-L, L]. Então a série de Fourier 
da f converge em média quadrática para f ou seja, a relação (65) é válida.
Demonstração no caso de f contínua. Pelo teorema de Fejér, a sucessão
(dj das médias aritméticas das re­
duzidas ŝ converge uniformemente para / em [-L, L], i.e..
max |d„(x)-/(x)| -► 0, quando n -► oo.
- L ^ X ^ L
Como
r k„(^)-/(^)|^4x < 2L[ max |ff„(x)-/(x)(]^- L < X < L
[ Secção 3.11 ] 85
temos que
j* |(7„(x)-/(x)|^ dx -► 0, quando n oo. (66)
Por outro lado, como aj^x) é um polinómio trigonométrico de ordem n, 
temos, pelos resultados da Secção 3.5
(*L
15„(x) -/(x ) I ̂dx < I I <T„(x) -/(x ) I ̂dx.
que juntamente com (66) dá (65), ou seja, a assertiva do teorema.
Demonstração no caso geral. Vimos na Secção 3.6 que toda função / de
quadrado integrável pode ser aproximada 
em média quadrática por funções contínuas ij/. E, além disso, se / for pe­
riódica de periodo 2L, então ij/ também o será. Procedamos à demons­
tração do teorema. Dado £ > 0, devemos provar que existe n ̂ tal que
r |5„(x)-/(x)|^ dx < E, para n > n ̂. (67)
Pelo que acabamos de dizer, existe ij/: 
período 2Ltal que
R contínua e periódica de
íj|/(x)-iA (x)|^dx< (68)
Por outro lado, aplicando o teorema já demonstrado para o caso de uma 
função contínua, segue-se a existência de , tal que para n > Mq - temos 
r*i-
(69)Ij
onde ŝ representa a reduzida de ordem n da série de Fourier de ip. Agora, 
pela desigualdade de Minkowski, tem-se
[J - [J* +
+ 1̂1 |'/'(jc)-s„(̂)|̂<(jcj
e, daí, usando (68) e (69),
rLr | /(x)-s„(x)|^rfx < < e,
86 [ Capítulo 3 ]
j* I/W- “ J* I dx< e 
para n > ou seja, (67), que é a tese do teorema. Q.E.D.
Sistema ortonormal. Um conjunto de funções de quadrado integrável 
em [-L, L] é chamado um sistema ortogonal, se
(*L
= se n ^ m.
se £ < 1. Em vista dos resultados da Secção 3.5, como \ é um polinómio
trigonométrico de ordem n, temos
-L
L
^l(x) dx = c„ # 0.
- L
E recebe o nome de ortonormal se = 1, para todo n. Já vimos que o 
sistema trigonométrico
, nx nx 2nx 2nx knx knx1, COS — > sen — > cos » sen —r - »• • • > cos » sen - y - »• • •Lâ Lí Lí Lí Lí
é ortogonal. Decorre, também, das relações de ortogonalidade que 
1 1 ;rx 1 nx 
:COs — > — = s e n
1 knx 1 knx
é um sistema ortonormal.
Um sistema ortonormal é completo se, para uma função / de quadrado 
integrável em [-L, L], tivermos
(*L
f^ n = (^1)I
então / = 0. Neste nosso trabalho, dizer / = 0 significa que f(x) = 0 em 
todos os pontos de continuidade da função /.
TEOREMA 3.9. O sistema trigonométrico (70) é completo
Demonstração. Decorrência imediata da identidade de Parsevai/pois, neste 
caso, (71) diz que todos os coeficientes de Fourier de / . 
se anulam. Portanto
(̂L
\f(x)\^dx = 0.r
[ Secção 3.11 ] 87
o que implica / = 0. De fato, se Xq for um ponto de continuidade de /
c /(^o) ^ então existirá um intervalo I = \_Xq - á, Xq + á] onde f (x) # 0.
Logo,
0 <
o que é absurdo.
I |/(x)|̂dx < j* |/(x)|̂ ííx = 0,
TEOREMA 3.10. (Unicidade da Série de Fourier). Sejam f e g funções pe­
riódicas de período 2L
e de quadrado integrável em [-L, L]. Suponha que suas séries de Fourier 
sejam as mesmas. Então f = g (ou seja f(x) = ^(x) em todos os pontos de 
continuidade de f e g).
Demonstração. Seja h = f-g . Como os coeficientes de Fourier de / e ̂
são os mesmos, então = 0» P^ra todas as do
sistema trigonométrico. Logo, pelo teorema anterior, = 0, e a demons­
tração está concluída. Q.E.D.
Observação. A terminologia sistema ortonormal completo se justifica no 
sentido de que ele não é uma parte de um outro sistema orto­
normal, isto é, ele é maximal. É comum encontrar na literatura a expressão 
sistema ortonormal fechado para designar um sistema no qual vale a 
identidade de Parseval para funções / de quadrado integráveis.
TEOREMA DE RIESZ-FISCHER. Vimos acima. Teorema 3.8, que dada
uma função /: R -► R periódica, de 
período 2L e de quadrado integrável em [-L, L], então vale a identidade 
de Parseval. Em particular, vê-se que os coeficientes de Fourier satisfazem 
à relação
+ (72)
^ n= 1
Pergunta. Dadas sucessões (aJ^=o ̂ coeficientes de
Fourier de alguma função?
Resposta. Nem sempre. Já vimos que os coeficientes de Fourier devem 
satisfazer a certas estimativas. Além disso, se eles são coeficientes de Fourier 
de uma função de quadrado integrável, então devem necessariamente 
satisfazer à desigualdade (72).
Pergunta. A desigualdade (72) é suficiente para que esses â e sejam 
precisamente os coeficientes de Fourier de uma função de quadrado in­
tegrável?
88 [ Capítulo 3 ]
Resposta. Não, se tivermos ao nosso dispor apenas funções de quadrado 
integráveis à Riemann. Se tivermos a classe mais ampla de funções de 
quadrado integráveis à Lebesgue, então a resposta será sim. Esse é o con­
teúdo do teorema de Riesz-Fischer, provado em 1907.
3.1 2 Funções de variação limitada
Nesta secção apresentaremos mais um teste de convergência pontual 
das séries de Fourier, o qual não contém e nem está contido no teste de 
Dini. Trata-se de um teste simples, de autoria de Jordan, que o formulou, 
em 1881, usando seu conceito de função de variação limitada. Esse tipo 
de funções iria desempenhar um importante papel na emergente teoria 
de Lebesgue.
Uma função /: [íz, fc] -► R será de variação limitada se existir uma 
constante M tal que, para qualquer partição
a = Xf, < X, < < x = b
do intervalo [a, ò], tenhamos
(73)Z |/ (x ,) - /(x ._ ,) |< M . 
j=i
A menor das constantes M que pode ser usada em (73), para todas as 
partições, é chamada a variação de / em \_a, b], e a designaremos por 
V\_a, b~\.
Nem toda função contínua é de variação limitada; por exemplo, 
/(x) = xsenl/x. Obviamente, há funções descontínuas que são de va­
riação limitada; por exemplo,/(x) = 0, se0 < x < 1,e/(x) = 1, se 1 < x < 2. 
Qualquer função monotônica / : [a, fc] -> (R é de variação limitada, e, 
além disso, tem-se que K[a, fc] = \f(b)-f(a)\. Deixamos ao leitor a veri­
ficação de que qualquer função / de variação limitada é a diferença de 
duas funções monotônicas:
M x) = y (V[a, x] + /(X)), f,{x) = y (V[a, x] -/(x)).
Esse fato é extremamente importante, porque implica que / tenha no 
máximo um número contável de descontinuidades, e, além disso, que 
essas descontinuidades sejam de primeira espécie; conseqüentemente, os 
limites de / à direita e à esquerda, /(x -h 0) e /(x -0 ), existem e são finitos, 
em cada ponto x.
TEOREMA 3.11 (Teste de Jordan). Seja f uma função de variação limitada
e periódica de período 2L. Então, sua 
série de Fourier converge para [ / (x -h 0) -f /(x - 0)]/2.
[ Secção 3.12 ] 89
Na dcinonslraçào desse teorema usaremos o resultado abaixo e o 
Segundo Teorema do Valor Médio para integrais.
TFX)RrMA 3.12 {Principio dc Ijh alizaçüo dc Ricmann). Seja f uma função
* e periódica de
período 2L. Então, sua série de Fourier em um ponto x e [-T, L] convergirá 
para s(x) .;e, e só se, existir 0 < À < L tal que
nt
q{x, t)dt = 0, (74)lim í
/ 1. A sen {n -h
onde
q{x, t) = f(x +/)-!- f{x t) - 2s{x).
Observação. Nas hipóteses do Teorema 3.12. acima, não se segue a exis­
tência dos limites laterais de /, razão pela qual a função g 
acima difere daquela que aparece no teste de Dini.
Demonstração. Usando a Expressão (14) para a /i-ésima soma parcial da 
série de Fourier de f vemos que, a série de Fourier de / 
converge para .s(x) se, e só se,
lim í D^jt)g{x,t)dt = 0.
Jo
Pelo lema de Riemann-Lebesgue, vê-se que, pára qualquer z e (0, L)
l™ f D .VW -,)'!- - Ura i j » n [ ( » + . 0.
jx Jx \-\ / -1 sen —
2L
Logo. a convergência da série de Fourier para .s(x) é equivalente a
lim
n-*ao
,{t)g(x. t) dt = 0, (75)
para algum A € (0, L ). Agora, considere a função
1 1/i(í) =
sen -nt nt2L 2L
a qual é contínua, para 0 < f < A < Z.. E, além disso, h{t) -<■ 0, quando 
t -y 0+ . Logo,
jim X J sen ĵ (n + ^ j h(t)g(x. t) dt = 0, (76)
em virtude do lema de Riemann-Lebesgue. E, finalmente, de (75) e (76) 
segue-se o resultado. Q.E.D.
90 [ Capítulo 3 ]
LEMA 3.3 (Segundo Teorema do Valor Médio). Sejam g: [a, fc] -► IR uma
função não-negativa em
(a, b] e não-decrescente ̂/ : [a, fc] -► IR uma função Então, existe S em 
\_a, b] tal que
r gfdx = g(a -h 0) í fdx -h ^(b-0) T fdx. 
Ja Ja * Jò
(77)
Demonstração. Basta demonstrar (77X para o caso em que g(a -h 0) = 0, 
pois o caso geral se seguirá deste, aplicando-o à função 
g(x) - g(a -I- 0). A função
F(t) = ^ f d x
é contínua em [u, b], e sejam M q m, respectivamente, o máximo e o mí­
nimo de F em [u, b]. Assim g(b-0)F(t) é continua em [a, b], e vê-se que 
o resultado será conseqüência do teorema do valor intermediário, se 
mostrarmos que
ímg(b-0) ^ gfdx < Mg{b-0). (78)
Dado n > 0 inteiro, construimos a seguinte partição do intervalo [a, b~\, 
onde A = g{b-0):
a = Xq < Xi < ■ • ■ < x„ = b, Xj= sup | í e [a, b]; g(t) <
Obviamente
Agora, definimos a função simples
<p(x) = — , para xe(x^ .i,x^) 
e nos pontos da partição não importa. Portanto
0 ^ (p{x)-g(x) ^ .n
exceto nos pontos da partição, e, daí, se segue
Por outro lado, temos
[ Secção 3.12 ] 91
que é igual a 
A
n
X j [ F ( X j _ , ) - F(Xj)]= - [ F (X o ) + Z F ( X . . , ) ]
j=2
e, daí. se segue
De (79) e (80), obtém-se
/Im (pfdx < AM. (80)
í í Sf‘ix < A M + ^ í \ f \d x ,
Ja Jn va
e, fazendo n -► x , tem-se (78). Q.E.D.
Observação. A Relação (77) será válida se a hipótese de g ser nào-decres- 
cente for substituída pela de g ser não-crescente. A de­
monstração se reduz ao caso anterior substituindo .y por -v.
Aplicação. Afirmamos que existe M > 0 tal que
í
sen Xdx < M, (81),
para quaisquer a < b. De fato, como sen x/x -► 1. quando x -► 0. vemos 
que o integrando é contínuo, e, portanto, basta mostrar (81) para b > a > \. 
Pelo Lema 3.3, existe ô > a Vd\ que
sen X I 1 j 1------dx = — sen xdx
1 ^ I « 1 M .
sen Y dx < 4,
de onde se segue o resultado.
Demonstração do Teorema 3.11. Vamos usar o Teorema 3.12. com 
ôf(x, t) = f(x + f) + f(x - t) - f(x -h 0) - / (x - 0).
Observe que, para cada x fixado, ^ é de variação limitada em t e, conse- 
qüentemente, existem funções não-negativas monótonas não-decrescentes 
g^U) e g2 Ít) tais que ^(x, í) = ôfi(í)-^2(0 e g^(0 -f- 0) = g2(0 -h 0) = 0. Em 
virtude do Teorema 3.12 basta demonstrar que
limn-» 00
sen
Jo
[/ u giit)dt = 0, 1 = 1 . 2. (82)
92 [ Capítulo 3 ]
Portanto, dado £ > 0, tomemos 0 < A < L tal que |^,(í)| < e, para í e(0, A),
e, assim, a integral em (82) se decompõe na soma das duas integrais
Giit) dt
L ----- bjg.(t)dt.
A segunda tende a zero, quando m -► cx), em virtude do lema de Riemann- 
-Lebesgue. Para fazer estimativas da primeira integral, usamos o Segundo 
Teorema do Valor Médio: existe ô em (0,A), tal que aquela integral é 
igual a
--isen (n +
,(A-0) ---- L - ----- ^ d t = g,{X-0)
Jô J(n +
.(n+ 1/2) nÀ/L sen y
dy,
Jó J ( n + 1/2) nô/L
a qual é menor que sAÍ, onde M é a constante em (81). E, daí, o resultado. 
Q.E.D.
Exemplo de uma função à qual o teste de Jordan se aplica, mas não o de 
Dini:
* 0 < | x | < ^ ,
. m =
log X
0, X = 0,
e periódica de período 1. É fácil ver que / é contínua e monótona em cada 
intervalo [0. ^], 0], o que acarreta / ser de variação limitada. A não-
-aplicabilidade do teste de Dini se prende ao fato de que a integral abaixo
diveree: r 1
dx.
f * logx
Exemplo de uma função á qual se aplica o teste de Dipi, mas não o de Jordan :
' J
0 < l x | < l ,
■ ' 0. x ~ 0 ,
e periódica de período 2. .
Observação. Historicamente, um dos primeiros testes de convergência pon 
tual da série de Fourier foi proposto por Dirichlet; vê-se.
[ Secção 3.13 ] 93
facilmente, que ele é ujn caso particular do teste de Jordan. As condições 
a que a função deve satisfazer nesse teste são conhecidas como condições 
de Dirichlei, e são as seguintes: (i) / é limitada em [-L, L]; (ii) nesse in­
tervalo, / tem apenas um número finito de máximos e mínimos; (iii) nesse 
intervalo, /tem no máximo um número finito de pontos de descontinuidade.
3.13 Fenômeno de Gibbs
Considere uma função / periódica de período 2L, seccionalmente 
contínua e tal que sua derivada primeira seja integrável e absolutamente 
integrável. Vimos no Teorema 3.4 da Secção 3.7 que sua série de Fourier 
converge uniformemente em todo intervalo fechado que não contém 
pontos de descontinuidade de /. Obviamente, se o intervalo contiver um 
ponto de descontinuidade, a convergência não pode ser uniforme em tal 
intervalo (cf. Proposição 2.1). Gibbs estudou a convergência da série 
de Fourier na vizinhança de um ponto de descontinuidade ^ e descobriu 
um aspecto curioso dessa convergência, o qual hoje é conhecido como o 
fenômeno de Gibbs: designando por e) a oscilação (isto é, a diferença 
entre o máximo e o mínimo) da soma parcial s„(x) no intervalo [{ - e, + e], 
tem-se que co„(í, e) não aproxima o salto de / em (ou seja, f ( i -I- 0) - 
-/(í^r-0)), não importando quão pequeno seja e. Antes de mais nada, 
olhe a figura que mostra uma soma parcial da função \l/(x) definida em (38); 
observe que a soma parcial ultrapassa o valor máximo da função il/ na 
vizinhança do 0. E, em termos da topologia do plano, os gráficos das 
somas parciais (na vizinhança de x = 0) se aproximam de um segmento 
do eixo y, o qual é maior do que j]. Tal intervalo é chamado de inter­
valo de Gibbs. As noções que acabamos de expor serão a. seguir apresen-
94 [ Capítulo 3 ]
lim s^(xj) = y.
Seja i um ponto onde / tem um salto. Um ponto ((J, y) pertencerá
ao intervalo de Gibbs em x = í, se existirem sucessões (rij) de inteiros
positivos e Xfc -► íj tais que
k~* 00
LEMA 3.4. 0 intervalo de Gibbs da função ij/, definida em (38), no ponto 
X = 0, ̂ o conjunto dos y, tais que
, 1 1 f" sen T ,
Demonstração. A n-ésima soma parcial da série de Fourier de (cf. (39)) 
pode ser expressa assim:
ou, ainda.
, , 1 ^ 1 knx 1 ^ r k n t,
s,(x)= f D „ {t)d t-^ ,
Jo
onde é o núcleo de Dirichlet definido em (11). A seguir, usando a Ex­
pressão (12), temos
nt-xsen(M + ^ ) y
^"W=2L
° 2L
sen(n + (83)
Vamos, a seguir, analisar o comportamento das integrais acima quando 
x - + 0 e n - ^ o o . Na segunda integral, observamos que a função
1 1
g(t) =
sen nt nt 2L 2L
(84)
é contínua em 0 < |í| < L, e g(t) -► 0, quando t 0; logo, o integrando 
da segunda integral de (83) é limitado nas vizinhanças de x = 0. Portanto 
a segunda integral tende a zero quando x -► 0, uniformemente em n.
Para tratar a primeira integral, fazemos uma mudança de variável 
independente: r = (n \)ntjL. e obtemos
n
f*[n + {í l2)]nxlL sen Tdx.
[ Secção 3.13 ] 95
Antes de prosseguir, fazemos a seguinte afirmação, cuja demonstração 
é simples: dado a, -oo < a < oo, existe uma sucessão -► 0 tal que 
(n + j)nx„/L->' a.
Usando a observação do parágrafo anterior concluímos que, para 
essa sucessão (x ):
^ Jo ^
(85)
Um parêntesis: a integral no segundo membro de (85) define uma função
Si(a) = sen T , ----- dxT
conhecida como a função seno-integral, que desempenha um papel im­
portante na teoria da transformada de Fourier e aplicações, e que. em 
vista de sua importância, tem seus valores dados em extensas tabelas 
para diferentes valores de a. É imediato que Si (a) é uma função ímpar. 
Além disso.
lim Si (a) = sen Tdx
é a conhecida integral de Dirichlet, cujo valor é tt/2 (cf. Aplicação II do 
Apêndice ao Capítulo 6). O gráfico da função (sen t)/t nos ajuda a traçar 
o gráfico de Si (a). De fato, daí vemos que o máximo da função Si (a) ocorre 
em a = 7T.
96 [ Capftulo 3 ]
Demonstração do Lema 3.4 {continuação). Segue-se de (85) que o intervalo
de Gibbs contém o intervalo
/
Para concluir a demonstração basta observar que, dado um ponto y no 
intervalo de Gibbs. então existe a tal que \/n Si (a) = y. isto é.
1 sen T ,
= — ------dr,
^ Jo ^
o que conclui a demonstração.
Observação. O comprimento do intervalo de Gibbs para a função ij/, no 
ponto X = 0, é 1,089, o que mostra que as aproximações 
ultrapassam de cerca de 9 % o valor da função ij/ nas vizinhanças de x = 0.
TEOREMA 3.13. Seja f uma função periódica de período 2L, seccional- 
mente contínua e cuja derivada primeira seja integrável 
e absolutamente integrável. Então, o intervalo de Gibbs de f no ponto de 
descontinuidade ^ é o conjunto dos y tais que
y -
/(^ + 0 ) + / ( í - 0 ) CO r sen T ,< — ----- dx,n XJo
onde (O = \f(^ 0 ) - / ( í - 0 ) | é o salto de f no ponto
Demonstração. Basta observar que a função
^ (x ) = / ( X ) - [/(^ + 0) - / ( í - 0)-]il;{x - cí)
é continua nas vizinhanças de i.e. em um certo intervalo |x-(^| < e. 
Como então, a série de Fourier da g converge uniformemente nesse inter­
valo, segue-se que o intervalo de Gibbs de / é o mesmo da função ccnl/{x); 
daí, o resultado. Q.E.D.
3.14 Problema isoperimétrico
Esse é um problema do Cálculo das Variações, cuja origem se liga 
pitorescamente à fundação de Cartago, por Elisa (chamada de Dido, 
na Eneida), irmã do rei Pigmalião de Tiro. Segundo a lenda, a ela foi dito 
que ganharia a terra que pudesse cercar com o couro de uma vaca; cor­
tando o couro em finas tiras, ela cercou um grande terreno de forma circular, 
o qual teria sido o núcleoinicial da cidade. A intuição feminina de Dido 
conduziu-a a escolher o círculo que é, de fato, a curva que engloba maior
[ Secção 3.14 ] 97
TEOREMA 3.14. {A desigualdade isoperimétrica). A área A englobada por
qualquer curva simples
plana fechada retificàvel C, de comprimento L, satisfaz à desigualdade
A < LV47t; (87)
além disso, a igualdade ocorre, se e só se, C for um círculo.
Relembrando as curvas — Defme-se caminho como sendo uma função con­
tínua y: [a, b] -► Um caminho y é fechado 
se y(a) = y(ò); e é simples se y(t^) ^ y(í2), para a < t̂ < t 2 < b. O con­
junto C dos pontos imagens do caminho é chamado uma curva: C = {y(t) = 
= (x{t), y(í)): t G \_a, fc]}. Assim, a cada caminho y corresponde uma curva C. 
Entretanto uma curva pode ser determinada por caminhos diferentes; 
por exemplo,
f. [0, 1] -►
[ 0 , 1 ] y,(t) = y(t^ 
j: [ a , f c ] IR̂ VzW = rMO), 
onde q>: \_a, b~\ -► [0, 1] é uma bijeção contínua, são caminhos diferentes 
e determinam a mesma curva; neste caso, cada um dos caminhos que 
determina a curva é chamado uma parametrização da curva. Uma curva 
é fechada ou simples se ela corresponder a um caminho fechado ou simples, 
respectivamente. Uma curva C é retificàvel se ela corresponder a um ca­
minho y: [a, fe] -► que é uma função de variação limitada. {Uma função 
y: \_a,b~\ -► ser de variação limitada, significa que existe uma constante 
K > 0, tal que, para qualquer partição u < íq < íj < • • • < = fc do in­
tervalo [a, b~\, tem-se |y(^)“ y(^-l)| < A menor constante K que 
serve para esse propósito é o comprimento L da curva C. Como o leitor 
pode ver o comprimento da curva C é o sup dos comprimentos das poli­
gonais com vértices na curva C. Uma curva é seccionalmente diferenciável 
se ela tiver uma parametrização (x(t), >;(í)), onde as funções x(í) e y{t) são 
seccionalmente diferenciáveis. Para curvas seccionalmente diferenciáveis 
C, pode-se provar que seu comprimento é dado por
área entre todas as curvas de igual perímetro. Esse problema é hoje co­
nhecido como o problema isoperimétrico, ou problema de Dido, o qual
resolvemos aqui usando séries de Fourier, seguindo o trabalho de Hurwitz.
y-
7i-
?2*
-f'-( t ) ^ d t , (88)
onde y(t) = (x(í), y(t)) é um caminho que define C; e, nessa prova, está 
contido o fato de podermos na integral (88) tomar qualquer parametrização 
da curva C. Dada uma curva seccionalmente diferenciável C, de com-
98 [ Capftuk) 3 ]
primento L, correspondente a um caminho y(t) = (x{t\ y(t)\ te\_a,b~\, o
parâmetro 5, comprimento de arco, é definido por
s(t) (t)̂ + dx.
Logo s : [a , b~\ -► [0, L] é uma bijeção diferenciável, e portanto para a 
curva C pode-se usar uma parametrização 7(5) = (x(5), 7(5)), 5 g [0, L], 
onde x(5 ) = x (í(5 )) e y(5) = y(í(5 )), ou, equivalentemente, x ( í ) = x(s(t)) e 
y ( í) = y(s{t)). Logo, x '( í ) = x '( s ( í) )5 '( í) e y'(t) = y'(s{t))s'{t) e, daí, se segue que
x\s)^ -h = 1 , 5g [0,L]. (89)
Finalmente, pode-se provar que a área englobada por uma curva 
fechada, simples e seccionalmente diferenciável é dada por
=fx(t)y'(t) dt. (90)
Demonstração do Teorema 3.14. Vamos apenas demonstrar o teorema no
caso de curvas C seccionalmente diferen­
ciáveis. Seja 7(5) = (x(s), y(s)), 5 e [0, L] uma parametrização de C usando 
o comprimento de arco. Fazendo t = s/L obtemos a parametrização 
7(í) = (x(í), y(í)), í G [0, 1], onde x(í) = x(íL) e y(t) = y(tL). Logo, em vista 
de (89),
x W + y W = (91)
Como as funções x(í) e y(t) são periódicas de período 1 e seccionalmente 
diferenciáveis, usando o teorema de Fourier, temos
x(í) = Z (̂ fi 2nnt)
e, daí.
y(í) = «0 + Z (*̂n + Pn 2nnt)n = 1
00
^'(0 Z 2n7lí),
n = 1
CO
/(O ^ Z 2n7i(-a„ sen 2nnt cos 2m7cí).
n = 1
Pela identidade de Parseval, Relação (64), temos
f = 2 f \x'{t)\^ dt,
Jo
(92)
(93)
n = 1
^ 4n^n (̂ct ̂ -h „̂) = 2 f | y ( o r
Jo
dt
[ SecçSo 3.15 ] 99
e, daí, usando (91), se segue
211̂ f + bj; + + ^1) = L \ (94)
Por outro lado, também da identidade de Parseval, via Exercício 10.3 
do Capitulo 2,
00
E 2n ii(aA -«A ) = 2 x(t)y'(t)dt.
n = l Jo
(95)
De (90), (94) e (95), obtemos
L^-4nA = 2n^ f + (nb„ + a f + (n^-lXoc^ +
n= 1
O que implica a desigualdade isoperimétrica procurada
- An A > 0 . _
A igualdade ocorrerá (e esse é o caso da curva de máxima área com dado 
perímetro) se
«1 = . ^1 = - “ i e a„ = = a„ = fc„ = 0, para n > 1.
Voltando às Expressões (92) e (93), podemos ver que (x(í), MO) é a repre­
sentação paramétrica de um círculo. Finalmente, o caso geral de uma 
curva retificàvel pode ser tratado aproximando-a por curvas seccional­
mente diferenciáveis, que podemos tomar como poligonais. Deixamos 
ao leitor completar os detalhes. Q.E.D.
3.15 Nota histórica
O aparecimento da integral de Lebesgue, no começo deste século, 
possibilitou um estudo mais profundo e mais elegante da teoria da con­
vergência de séries de Fourier.
As dificuldades com a convergência pontual, indicadas nos exemplos 
de du Bois-Reymond, tornaram-se mais dramáticas quando Kolmogorov, 
em 1926, mostrou a existência de funções integráveis, cuja série de Fourier 
diverge em todos os pontos. Em 1915, Lusin propôs o seguinte problema: 
se / é tal que
+ Ê (a)
^ n = l
então, é verdade que a série de Fourier converge quase sempre, i.e., a 
menos de um conjunto de medida de Lebesgue zero? A questão tem um
100 [ Capítulo 3 ]
significado especial se lembrarmos que, alguns anos antes, F. Riesz e 
Fischer haviam mostrado que a condição (a) é necessária e suficiente para 
que a série de Fourier convirja em média quadrática para /. Este resultado, 
hoje conhecido como o Teorema de Riesz-Fischer, é dos mais marcantes 
na teoria da Série de Fourier. Sua validade se liga à completicidade do 
espaço das funções de quadrado integrável à Lebesgue.
O problema de Lusin resistiu meio século aos esforços de grandes 
pesquisadores, e foi, finalmente, respondido na afirmativa por Carleson, 
em 1966. Como conseqüência obtém-se que a série de Fourier de uma 
função contínua converge em quase todos os pontos. Isso mostra que o 
exemplo de du Bois-Reymond de uma série de Fourier, de uma função 
contínua, que diverge em um conjunto denso, é, de certo modo, o melhor 
que se pode obter em matéria de contra-exemplo.
A introdução da integral de Lebesgue e os sucessos de Riesz e Fischer, 
no tratamento do I}, contribuíram para a sistematização do estudo de 
espaços de funções e para um intenso desenvolvimento da Análise Fun­
cional. Desde os trabalhos de Cantor, se evidenciara a possibilidade de 
se tratar conjuntos abstratos e, no começo deste século, as noções topo- 
lógicas tomaram um aspecto sistemático, principalmente com Fréchet. 
As técnicas criadas são tão poderosas que resolvem problemas da natu­
reza do enunciado a seguir.
Weierstrass, em 1872, construiu uma função contínua, sem derivada 
em nenhum ponto. Com o surgimento de técnicas topológicas (mais pre­
cisamente, o teorema da Categoria de Baire) foi possível mostrar que, na 
classe de todas as funções contínuas, há “mais” funções sem derivadas em 
nenhum ponto do que funções com derivada em pelo menos um ponto! 
Um enunciado preciso desse resultado requer as noções de conjuntos 
de primeira e de segunda categoria.
Usando técnicas análogas, é possível mostrar a existência de funções 
reais contínuas cuja série de Fourier diverge em um conjunto P, com a 
potência do contínuo (cf. K. Yosida, Functional Analysis, Springer Verlag, 
1974) reforçando os exemplos de du Bois-Reymond e Fejér.
EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 3
1.1. Se f e g são funções integráveis em [a, ò], então f g é- integrável 
também.
1.2. Dê um exemplo mostrando que, se f c g forem absolutamente inte­
gráveis em [a, fc], não se seguirá que f g seja absolutamente in­
tegrável.
101
1.3. Mostre que se f t g forem funções \ então / + g será também ^
1.4. Sq f e g forem integráveis e limitadas em [a, b], então fg será inte­
grável.
1.5. Dê um exemplo mostrando que sq f c g forem integráveis em \_a, b], 
mas uma delas nãofor limitada, então fg poderá não ser integrável.
1.6. Mostre que se / for uma função ̂ em [a, b] e ^ for limitada e in­
tegrável, então fg será ^
1.7. Sejam f g: R -► R funções periódicas de período 2L, e de quadrado 
integrável em [-L, L]. Sejam (resp.: a j e b„ (resp.: P„) os coe­
ficientes de Fourier de / (resp.: g). Então
^ + Z + Mn) " T I f(x)9M dx.
12.1. Mostre que a integral da função (xlogx)"^ no intervalo (0,1/2) 
é divergente.
13.1. Mostre que a função definida em (84) é tal que g(t) -► 0, quando t -► 0.
13.2. Dado -oo < a < oo, mostre que existe uma sucessão -► 0 tal 
que «x„ -► a.
14.1. Mostre que o comprimento de uma curva seccionalmente diferen- 
ciável C é dada pela Expressão (88). Comente o fato dessa fórmula 
independer da parametrização.
14.2. Mostre que a área de uma curva fechada simples seccionalmente 
diferenciável é dada pela Expressão (90), ou ainda pela expressão
[x(t)y(t)-x'(í)>’(í)]ííí-
14.3. Prove que se e = b̂ = 0, então as
funções x(í) e y(t) definidas em (92) e (93) são as equações paramétricas 
de um círculo centrado em (Qq , «q) e raio (à] -h
CAPÍTULO 4
EQUAÇÃO DO CALOR
Neste capítulo retomamos a análise do problema da condução de 
calor em uma barra, estudo esse iniciado no Capítulo 1, onde ficou evi­
denciada a necessidade de estudar séries de Fourier. Com o estudo que 
se fez da teoria dessas séries nos dois capítulos precedentes, poderemos 
agora analisar vários problemas de valores inicial e de fronteira para a 
equação do calor. Mostraremos como obter formalmente expressões que 
devem ser soluções, e a seguir, usando os resultados mais delicados de 
convergência do Capítulo 3, provaremos que essas expressões são, de 
fato, soluções.
4.1 Condução do calor: barra com 
extremidades mantidas a 0 °C
No Capítulo 1 começamos o estudo do problema da condução do 
calor em uma barra com extremidades mantidas à temperátura zero. 
Matematicamente, o problema consiste em determinar uma função u(x, t), 
definida para r > 0 e 0 < x < Z., tal que
Uj = , í > 0, . 0 < X < L,
u(0, t) = u(L, r) = 0, í > 0, (1)
u(x, 0) = / (x), 0 < X < L,
onde a constante ZC e a função / são dadas. Um problema desse tipo é 
chamado um problema de valores inicial e de fronteira, para o qual usamos 
a sigla PVIF, num epidêmico costume dos dias de hoje. Pelo método de 
separação de variáveis chegamos, no Capítulo 1, a uma expressão que nos 
pareceu ser razoável candidato à solução do PVIF (1). A expressãõ foi 
a seguinte:
c„e - n̂ n̂ Ktll̂ sen-nnx
n = 1
onde os coeficientes deviam ser escolhidos de modo que
^ nnx
/ W = I ‘ «sen — •
(2)
(3)
[ Secção 4.1 ] 103
Portanto não há escolha, os c*„ devem ser os coeficientes de Fourier da
função f\ dada em [0, L], e estendida para o resto de IR de modo a ser
ímpar e periódica de período 2L. Assim
2 r ‘
' ■ í- i '
nnxf(x) sen—j —dx. (4)
Lembramos ao leitor que a igualdade (3) não se verifica para uma função / 
arbitrária. Portanto a distribuição inicial de temperatura deve satisfazer 
a certas condições. Pelo teorema de Fourier vê-se que (3) se verificará, 
para todo x em [0, L], caso / seja contínua, /(O) = /(L) = 0 e / ' seja 
seccionalmente contínua.
Resumindo — Pelo nosso procedimento no Capítulo 1 e pelas observações 
acima somos levados a crer que a Expressão (2), onde os 
coeficientes são dados em (4), seja a solução do PVIF (1). E de fato é! 
Isso, porém, deve ser demonstrado cuidadosamente e será objeto do 
resto desta secção.
Antes de prosseguir, devemos definir o que se entende por solução 
do PVIF (1). Isso realmente deve ser feito, pois a função
f(x) , í = 0 e 0 < X < L
í)=«{0 , í > 0 e x = 0 ou x = L,
2001, í > 0 e 0 < x < L ,
satisfaz ao PVIF (1) e não parece que seja uma solução aceitável. O ruim 
dessa função é que seus valores, para t > 0, não têm nenhuma relação 
com os valores iniciais /(x), nem com as condições de fronteira nulas. 
Não será insensato requerer que os valores da função w(x, r), na região
^ = {(x, í ) g IR̂ : 0 < X < L, í > 0},
estejam ligados com os dados inicial e de fronteira. Com isso em mente 
damos a definição enunciada a seguir, onde usamos a notação
^ = {(x, í) 6 (R̂ : 0 < X < L, í > 0}, 
para designar a aderência de
DEFINIÇÃO (I) DE SOLUÇAO DO PVIF (1). Uma função m: ^ ^ é
uma solução do PVIF (1)
se ela for continua em tiver derivadas parciais û e u^ ̂ em e satisfizer 
às três relações em (1).
104 [ Capítulo 4 ]
Observação. A definição anterior é extremamente natural, mas exige que 
o dado inicial f(x) seja uma função contínua e que /(O) = 
= /(L) = 0. E se esse não for o caso? Exemplos de situações fisicas em 
que isso não ocorre e em que gostaríamos de falar de solução: (i) barra 
inicialmente a uma temperatura constante, / (x) = 50 °C, por exemplo; 
(ii) duas barras de mesmo material, uma a 50 °C e outra a 100 °C, postas 
em contacto em uma das extremidades, e, a partir desse instante olhadas 
como um sistema constituído de uma única barra, cuja temperatura inicial 
f(x) é, então, uma função descontínua. Para atender a esse tipo de con­
dição inicial, damos a definição abaixo, onde se usa a notação
^ = {(x, í) 6 : 0 < X < L, í > 0}.
Observe que se quisermos tratar problemas com condições iniciais desse 
tipo devemos abrir mão da igualdade (3). Mesmo sem ter (3) podemos 
calcular os coeficientes para uma classe muito grande de funções / 
(por exemplo, / e | / 1 integráveis, e, em particular, / seccionalmente con­
tínua), e, portanto, escrever a Expressão (2) que ainda tem chances de 
ser solução do PVIF em um sentido eventualmente mais fraco. E isso é 
o que fazemos na definição que se segue.
d e f in iç ã o (II) DE SOLUÇÃO DO PVIF (1). Uma função contínua
u: ^ U é uma solu­
ção do PVIF (1), se
û = Ku^^ , 0 < X < L, í > 0,
u(0, t) = u(L, 0 = 0, í > 0,
m(x, t)(p(x) dx = \ f (x)ç)(x) dx,
0 Jo ‘
para toda função q> seccionalmente contínua em [0, L].
(5)
Por que uma tal definição? O que significa (5)? Como veremos a seguir, (5) 
quer dizer que a condição inicial é satisfeita num certo sentido médio, 
cuja razoabilidade é justificada pelo fato de que é mais próprio falar em 
temperatura média na vizinhança V de um ponto x, do que propriamente 
em temperatura no ponto x. Se a vizinhança V não fosse um contínuo, 
e sim um conjunto com n pontos Xj , . . . , x„, a tal temperatura média seria 
a média aritmética
m(Xi , {)+•• • + u(x„, f). 
n
[ Secção 4.1 ] 105
Sendo V um conlínuo, tomamos a versão contínua da média aritmética, 
para definir a temperatura média.
u(x,t)Xy{x)dxl\ x^,(x)íix, 
Jo Jo
onde Xv ^ função característica da vizinhança K, isto é, Xyi^) = l, se 
X G K, e Xv^ )̂ X i V. Como funções características de qualquer
vizinhança de pontos x de [0, /.] são funções seccionalmente contínuas, 
(5) implica em dizer que a temperatura média evolua continuamente a 
partir de r = 0.
A Definição (II) é uma extensão da Definição (I), isto é, se o PVIF 
(l) tiver uma solução no sentido (I), então essa solução é também no sen­
tido (II). De fato, basta verificar que (5) se verifica. Seja, pois, uma função 
(p(x) seccionalmente contínua e sejam i j . j = l , . . . , /c, intervalos disjuntos, 
formando uma partição de [0, /.] e tais que cp seja contínua em cada um 
deles. Assim, para provar (5), basta observar que
lim m( x , t)(p(x) dx = \ f {x)(p(x) dx,
- o j / , J , /
para cada Ij, decorrência do fato de que a função u{x,t)(p(x) é uniforme­
mente contínua no conjunto {(x, í): x g /̂ , 0 < í < 1}.
TEOREMA 4.1. Se f for de quadrado integrável em [0, L], então a Ex­
pressão (2) define uma função em ^ que é solução do 
PVIF (1) no sentido (II).
Demonstração, (i) As séries
n = l ^ n = l ^
nnx
n = 1
2̂ ^-nin‘K
E
convergem uniformemente em qualquer sub-retângulo de É:
^ 1 2 = t): 0 < x^ < X < X2 < L, 0 < t̂ < t < t2 < 00}.
De fato, elas são majoradas, respectivamente, pelas séries 
e onde a = n^K tJL^, cujas convergências decorrem da apli­
cação do teste da razão. Portanto basta aplicar o teste Mde Weierstrass 
para concluir a convergência uniforme das três séries de funções acima.
106 [ Capítulo 4 ]
(ii) A convergência uniforme (em sub-retângulos .^ ,2) da primeira sé­
rie em (i) implica que (2) define uma função contínua em
(iii) Agora, lembramos o seguinte resultado, que possivelmente o
leitor tenha estudado em seu curso dc Cálculo: “Seja í) uma
série de funções continuamente diferenciáveis em um retângulo R^i — 
= {(x, /): X, < X < X2 , f 1 < í < Í2}’ convirja para uma função
m( x , y ) e tal que a série l^dujdx ( x , y ) , obtida por derivação termo a termo, 
convirja uniformemente para uma função i ;(x , y ). Então, du/dx existe e 
é igual a i;.” Usando esse fato obtemos
, . n ^ K 2 -n^n^K tiuM,(x, í) = ----j-j- ^ n n K t/L
u j x , t) = 7̂
sen
-n̂ n̂ K tlL̂ sen nnx
o que mostra que u é uma solução da equação em
(iv) Sejam os coeficientes de Fourier de (p(x) estendida como função 
ímpar e periódica de período 2L. Então pela identidade de Parseval
i c A =X r
" = 1 ^ Jo
f{x)(p(x) dx. (6)
Por outro lado.
j* u(x,t)(p{x)dx = ^ Í. c„e sen ^ (joíx) dx, (7)
Jo " = i Jo ^
para r > 0, onde usamos a convergência uniforme (em x) da série 
sen (nnxlL)<f>(x\ para í > 0 fixado. Assim, de (7) obtemos
(8)í w(x, t)q>(x) dx = Y, ^ ̂ ’ í > 0.2
Finalmente observamos que
-n^n^K í /.2
n = 1 ^ I 1̂ 1
1 r ® ® n
y [ Z ^ Í ’n + (9)
para t > 0, onde usamos a desigualdade |a| \P\ < conse-
qüência imediata de ( |a |- |^ |)^ > 0. Portanto a desigualdade (9) implica 
que a série no lado esquerdo de (9) convirja uniformemente em í > 0. 
Consequentemente ela define uma função contínua de t, o que implica
lim Y, ^ - n̂ n̂ k t!L̂ L _t = Z < ^A ■
[ Secção 4.1 ] 107
Isso. juntamente com (6) e (8), implica (5). A demonstração do Teorema 4.1 
está concluída. Q.E.D.
Observação. Como séries da forma ̂ n^c\e - n-n-K t 1.̂ sen nnx/L , para
7 = 0. 1.2__ _ convergem uniformemente em sub-retângulos
segue-se que a Expressão (2) define uma função w(x, r) que é infini­
tamente diferenciável em Isso mostra que o fenômeno da condução 
do calor é altamente regularizador ou suavizador, nomenclatura inspirada 
na expressão smoothing process. Praticamente, isso quer dizer que a dis­
tribuição de temperatura de uma barra, dada por uma função (quase!) 
arbitrária, tende rapidamente, ou seja, com velocidade infinita, a se uni­
formizar e ser descrita por uma função Por exemplo, duas barras 
com temperaturas diferentes, postas em contacto em uma das extremidades, 
para formar um sistema único, têm imediatamente (para qualquer t > 0) 
uma distribuição de temperatura descrita por uma função contínua (e 
até mesmo infinitamente diferenciável) mesmo no ponto de contacto, 
onde há uma descontinuidade no instante t = 0.
TEOREMA 4.2. Seja f: [0. /.] -► U uma função continua com f(0) = f ( L ) = 0 
e tal que a derivada f exista em [0, L] e seja de quadrado 
integrável. Então a Expressão (2) define uma função contínua em que 
é solução do PVIF (1) no sentido (I).
Demonstração. A continuidade de /, hipótese no presente teorema, im­
plica que ela seja de quadrado integrável e, conseqüente- 
mente, pode-se aplicar o Teorema 4.1 para concluir que a Expressão (2) 
é solução do PVIF (1) no sentido (II). Portanto será suficiente provar que (2) 
define uma função contínua em / > 0. A série de (2) é majorada por 
para todo (x, t) e Se mostrarmos que esta última série (numérica) con­
verge, concluiremos que a série em (2) converge uniformemente em âí, 
pelo teste M de Weierstrass, e, daí, que a referida série define uma função 
contínua em Para a convergência de necessitamos de uma ex­
pressão ligando com coeficiente de Fourier de / ' , a qual será obtida 
como se segue, usando integração por partes
2 . nnx
c„ = - - / ( X ) s e n — =
Jo
Daí,
2 , nnx— ,/(x)cos — nn L
c = — d" WTC "
-h 2 nnx— I / (x ) COS —f— dx.
(10)
108 [ Capftulo4 ]
onde os d, são os coefícientes de Fourier de /'(x) estendida como uma
função par e periódica de periodo 2L. Obtemos da Equação (10) |c„| ^
e, dai,
2:|c„| + < 00, ( 11)
onde se usou a desigualdade de Bessel, < f í o | / T > concluir 
que a última série em (11) converge.
4.2 Condução do calor; barra sujeita a outras 
condições laterais
Nesta secção estudaremos três problemas de valores inicial e de fron­
teira, nos quais as condições de fronteira são de outros tipos descritos 
no Capítulo 1, sempre envolvendo o fluxo de calor, dado por em uma 
ou em ambas as extremidades. A técnica de resolução é, em tudo, seme­
lhante ao caso da barra com as extremidades mantidas a 0 °C, motivo 
pelo qual nossa discussão será muito sucinta. O leitor está convidado a 
considerar a presente secção como um exercício orientado.
EXEMPLO 1. Barra isolada termicamente também nas extremidades. O 
problema matemático é determinar uma função u(x, t) em ^ (cf. notações 
da Secção 4.1) tal que
u, = , em
(12)Mjc(0, 0 = 0 = 0, para t > 0,
m( x , 0) = / (x), para 0 < x < L.
Pelo método de separação de variáveis, fazendo u(x, t) = F(x)G(t), obtemos 
as equações
G(t) = aKG(t\ t > 0, (13)
F'(x) - (tF (x ) = 0, 0 < X < L, (14)
onde G é um parâmetro a ser determinado, de modo que as soluções de (14) 
satisfaçam às condições de fronteira
F(0) = F(L) = 0, (15)
as quais foram obtidas das condições de fronteira do PVIF (12). Os auto­
valores G do problema de autovalores (14)-(15) são dados por g ̂= -n^n^/L^,
[ Secção 4.2 ] 109
Resumindo — Pelo processo de separação de variáveis obtemos a seguinte 
família (enumerável) de soluções da equação do calor que 
satisfazem também às condições de fronteira do PVIF (12): uj(x,t) = 
_ COS nTTx/L. A idéia, como no caso do PVIF (1), é obter coe­
ficientes tais que
« = 0 ,1 ,2 ,. . . , e a cada autovalor corresponde a autofunção F„(x) =
= COS nnx/L. Correspondendo a cada (t„ obtemos uma solução de (13)
dada por G„(í) =
^ nnx
/ W = L ^nCos — 1
n = 0 ^
(16)
e, vê-se, pois, que eles devem ser os coeficientes de Fourier da /, dada em 
[0, L] e estendida de modo a ser uma função par e periódica de período 2L, 
isto é,
/(x) dx.
C„ = ^ I* /Wcos^^dx, n=l,2,.. .
Jo
Portanto a solução do PVIF (12) deve ser dada por
nnx
ĉ e " ‘ C O S
n = 0
~T~ ’
(17)o
(17) „
( 18)
onde os coeficientes são dados em (17)q„. De fato, a Expressão (18) 
define uma função u contínua em ^ e infinitamente diferenciável em 
Além disso, u satisfaz à equação do calor e às condições de fronteira do 
PVIF (12). E a condição inicial? Em primeiro lugar, observe que (16) só 
se verificará para todo x em [0, L] se exigirmos algo da / ; por exemplo, 
continuidade e existência da derivada/'(x) como função seccionalmente con­
tínua (cf. teorema de Fourier, na Secção 2.4). Nessas hipóteses, o leitor poderá 
provar, usando integração por partes, que = -L/nn d„, n= 1,2,. . . , 
onde d„ = 2/L^Q.f\x)scn(nnx/L)dx. Portanto
00 T 2 00
E k.l s ^ E
1 1
S á ' < 00, (19)
onde a convergência da última série é conseqüência da desigualdade de 
Bessel. (19) então implica que a função u defínida em (18) seja contínua 
em e, portanto, que tal u satisfaça também á condição inicial.
110 [ Capítulo 4 ]
E se / não for contínua? Como no PV IF (!) pode-se mostrar que, sob
a hipótese de / ser de quadrado integrável, (18) satisfaz à condição inicial
no sentido
lim u{x, t)(p{x) dx = / (
Jo
m( x , t)(p{x) dx = I f{x)(p{x) dx 
Jo
para toda função cp seccionalmente contínua.
EXEMPLO 2. Barra com uma extremidade isolada termicamente e a 
outra mantida a 0 °C. Matematicamente tem-se o pro­
blema de determinar uma função w(x,/) definida em tal que
= em
m(0, í) = uJL, t) = 0, para t > 0, (20)
u(x, 0) = / (x), para 0 < x < L
Pelo método de separação de variáveis chegamos ao problema de auto­
valores
F"(x) - aF(x) = 0
F(0) = F(L)= 0 ' para 0 < x < L (21)
cujos autovalores são = - ( 2 n - n = 1,2,. . . , e respectivas 
autofunções sen (2n - 1 )7t x / 2 L . Logo, a solução do PVIF (20) deve ser
m(x , í ) = X ‘
-(2n-1)2h2í:i/(4/,2) (2n 1)71X
2L
onde os coeficientes c„devem ser tais que
( 2« -
/ W = I ^nSen
1)7TX
2L
(22)
(23)
E vem imediatamente a pergunta: pode ser /escrita na forma (23)7 Observe 
que / deve ser definida de modo a ser uma função ímpar, a fim de termos 
uma série de senos. Observe também que não funciona a idéia de definir / 
como periódica de período 2L, como nos casos anteriores. De fato, 2L 
está fazendo o papel de L dos outros problemas. Logo, defina / de modo 
a ser periódica de período 4L. Entretanto isso não define a função em 
toda reta; devemos dizer os valores de / no trecho [L, 2L]. Se / for aí 
definida, de modo arbitrário, a série de / conteria todos os senos da forma
sen jnx/2L,j = 1,2,__ Como não desejamos tais senos com j par, bastará
definir /(x) = /(2L-x), para x em [L, 2L]. O leitor está convidado a
[ Secção 4.2 ] 111
justificar a assertiva anterior, mostrando que, com tal /, tem-se
m2L
íJo f(x)sen^-^dx = 0, (24)
para j = 2m, m = 1,2,... Resumindo, verificar-se-á (23), para todo x em 
[0, L], se/for contínua em [0, L] com / ' seccionalmente contínua,/(O) = 0, 
e estendida como acabamos de descrever. E, então, os coeficientes 
serão dados por
(2n- \)nx= — I / (x) sen---- —---- dx. (25)2L
Um cálculo semelhante àquele usado na demonstração de (24) levará à 
conclusão de que (25) poderá ser escrito na forma
2 Ç’'
' ■ - r I ^
J o
 ̂ (2n- l)nx/ (x) sen---- 2 ;̂---- dx. (26)
Usando integração por partes, pode-se ver que
%L
" (2n-l)n
2L , , 2 f P . , , , (2n -l)nx^
Jo 2L
o que mostra que a série |c„| converge, usando Bessel e idéias aná­
logas aos dos problemas anteriores. Em conclusão, (22) define uma função 
contínua em infinitamente diferenciável em ^ que é solução do PVIF 
(20). Se / for apenas de quadrado integrável em [0, L], a Expressão (22) 
define uma função infinitamente diferenciável em contínua em 
que satisfaz á equação do calor e ás condições laterais. Quanto á condição 
inicial, veremos que ela é satisfeita no sentido médio, já discutido nos 
outros exemplos.
EXEMPLO 3. Barra com uma extremidade mantida a 0 ®C e verificando- 
se na outra uma lei estabelecendo que o fluxo de calor através dela seja 
proporcional à diferença de temperatura entre o meio ambiente e a barra. 
O problema matemático é o seguinte: determinar uma função u(x, í) em 
^ tal que
= em
M̂(0, t) -I- /cm(0, t) = 0, m(L, í) = 0, para t > 0, (27)
m(x , 0) = /(x), para 0 < x < L.
1 1 2 [ Capítulo 4 ]
(28)
Por separação de variáveis chegamos ao problema de autovalores
F ”(x) - oF(x) - 0 
F(0) + kF(0) = F(L) = 0.
Deixamos ao leitor provar o seguinte: (i) a = 0 é um autovalor se kL= I , 
e, nesse caso, a autofunção é Fo(-’̂ ) = v — L; (ii) existe um autovalor posi­
tivo G, se kL > \ . e, nesse caso, o autovalor ít é a solução da equação 
{k -h ^ ) ! ( k — ^/ã) = (iii) no caso de ít < 0, tome a = - e mostre
que os autovalores a„ = - kl são obtidos das soluções da equação 
k ig kL = A. Portanto os autovalores formam uma sucessão a,,, cr„-> — ac, 
e para n grande = - (2n -\- \ fn^iAL^. O leitor pode ver que, se L/c < I , 
então, / j está entre 0 e n/2, e se Lk'^ então, k̂ está entre nj2 e 3ti/2. 
As autofunções correspondentes são F„(x) = cos k„x -h sen onde 
a„ e são soluções do sistema linear
ka„ -h k„h„ = 0,
a„ -h (tg k„L)b, = 0.
Como nos casos anteriores, o candidato à solução do PVIF (27) é
X c ^ e (a„ COS k ^ x -h sen A„x),
n = 1
onde os devem ser determinados de modo que
00
/(x) = ^ c„(a„ COS X„x + b„ sen X„x).
n = l
E agora? Como se vê fomos automaticamente levados à questão de escrever 
/com o uma série de autofunções de um problema de autovalores. Observe 
que ela não é uma série de Fourier, pois os k̂ não são, necessariamente, 
da forma pn/qL, onde p e q são inteiros. Bom, a matemática desenvolvida 
até aqui é insuficiente para resolver esse problema. Entretanto não nos 
desesperemos! Os matemáticos do passado tiveram ciência desse pro­
blema, e já o resolveram para nós. Eles produziram uma teoria elegante 
e poderosa, chamada a Teoria de Sturm-Liouville.
4.3 Condições de fronteira não-homogêneas
Consideremos, agora, o problema da condução do calor numa barra 
submetida a temperaturas não-nulas nas extremidades. O problema mate-
[ Secção 4.3 ] 113
mático seria determinar u{x, t) tal que 
u^= em
u(0, t) = /io(í), m(L, t) = fci(í), para t > 0, (29)
m(x , 0) = /(x), para 0 < x < L,
onde f, Hq e são funções dadas. A idéia da resolução deste problema é 
procurar reduzi-lo a um outro com condições de fronteira homogêneas, 
do tipo já estudado, através de uma mudança da variável dependente u. 
Assim suponha que seja possível achar uma função v(x, í) de classe 
em ^ tal que
t;(0, t) = /io(í), v(L, t) = ĥ {t).
Então, designando por u a solução do PVIF (29), segue-se que a função 
w = u -v satisfaz ao seguinte problema:
0, em
w(0, t) = w(L, f) = 0, para t > 0, (29)^
w(x, 0) = / (x) - i;(x, 0), para 0 < x < L,
onde ^(x, í)= Kv^^-v^. Se for possível determinar v de modo que ela 
seja solução da equação do calor em então ^ = 0, e w é simplesmente 
a solução de um problema do tipo do PVIF (1).
Em alguns casos, o programa descrito acima é exeqüível. Vejamos 
dois exemplos.
EXEMPLO 1. /zo(í) = a e h^(t) = P, onde ct e P são constantes. Basta 
tomar i;(x, í) = a -f ()? - a)x/L. Uma tal v é solução da equação do calor. 
Portanto w é a solução do problema 
w, = Xw^^, em
w(0, t) = w(L, t) = 0, em í > 0,
B — (X,w(x,0) = f(x )-(x -^ - j—X, para 0 < x < L,
cuja solução é
w(x, f)= Y,
n = 1 E
onde os são os coeficientes de Fourier (de seno) da função / ( x ) - a - 
-[(^-a)/L]x. Logo, a solução do PVIF (29) com h^it) = a e h^{t) = P é
m(x , í ) =
P-OL
a + + Y,
^ n = l
ce sen — •
114 [ Capftulo4 ]
EXEMPLO 2. /Iq(í) = aj -h (X2 t e h^(t) = ^ tentássemos imitar
o exemplo 1, deveríamos escolher v como sendo h(̂ (t) 4- 
-h X Uma tal v satisfaria as condições de fronteira, mas
não a equação do calor, pois = 0 e = 0 ^ 2 x(^2 ” ®2V^ Deve-se,
pois, corrigir tal v, e para isso há que se determinar uma função y(x) tal 
que = «2 (P2 ~ ^ 2 )̂ = VU-) = 0. Essa função y é então
obtida por duas quadraturas. (A terminologia quadratura, hoje perdida, 
era comum para designar a determinação da primitiva. Aqui ela é usada, 
não como saudosismo, mas simplesmente como culto ao passado!). Então 
escolheremos
v{x, t) = ho(t) + ^ [ / i , ( í ) - / » o ( 0 ] + y (^ ) -
Deixamos ao leitor as considerações de como a condição inicial é satis­
feita, o que deve ser feito impondo-se condições na função /.
Deixamos ao leitor a verificação de que
y(x) = ^ x ( x - L ) + ^
6 LK x(x^ - 1 ?
e que, assim, a função v satisfaz á equação do calor e ás condições de fron­
teira 1̂ (0, í) = hç̂ it) e y(L, í) = h {̂t). Logo, w = u -v é solução de um pro­
blema do tipo do PVIF (1).
Em geral, não é fácil obter uma i; com todas essas propriedades. Se 
trabalharmos com uma v, satisfazendo apenas ás condições de fronteira 
i;(0, í) = /íq(í) e v(L,t) = h (̂tX então a resolução do PVIF (29) será redu­
zida á obtenção da solução w do PVIF (29)^, pois, então u = v w. O 
PVIF (29) ̂ tem condições de fronteira homogêneas, mas a equação já 
não é mais homogênea. O estudo desse problema será o objeto da pró­
xima secção.
4.4 Equação do calor não-homogênea
Voltemos à dedução da equação do calor na Secção 1.1, e imaginemos 
que exista uma fonte interna de calor a fornecer calor à barra, na razão h, 
por unidade de tempo e por unidade de volume. Supondo que h seja função 
de X e de í, deve-se adicionar h(x,t)dx dt à Expressão (5) da
Secção 1.1. E, consequentemente, a equação obtida após aquela relação (5) 
é da forma û = Ku^^ g(x, í), que chamaremos equação do calor não-
[ Secçâò 4.4 ] 115
-homogênea, Para essa equação podemos propor vários problemas de 
valores inicial e de fronteira, distinguíveis um do outro pelas diferentes 
condições de fronteira apresentadas nas Secções 4.1 e 4.2. A título de 
ilustração, estudemos o seguinte PVIF:
u, = + g(x, í), em
m(0, t) = u(L, t) = 0, para t > 0, (30)
m(x , 0) = /(x), para 0 < x < L.
A resolução do PVIF (30) usa o método conhecido por variação 
dos parâmetros, cuja motivação é a seguinte. Caso g = 0, o PVIF (30) 
tornar-se-ia um PVIF (1), que tem por solução
nnx
n = l ^
Então tentaremos a solução do PVIF (30) na forma
nnxu(x,. 0 = Z c„(í)sen — >
n = l ^
(31)
a qual já satisfaz às condições de fronteira exigidas. Agora procederemos 
à determinação dos coeficientes c„(í) de modo que a equação do calor 
não-homogênea seja satisfeita, bem como a condição inicial. Assim, subs­
tituindo na equação do PVIF (30), temos, formalmente.
c„(t)sen— = - K j j Z sen — + g(x,t).
n = l ^ ^ n = l ^
-2 00 nnx (32)
Suponhamos que, para cada í > 0, a função g(x, t) seja representàvel 
por sua série de Fourier (de senos)
9ÍX, 0 = z ^n(0 sen — •
n = l ^
(33)
Logo, de (32) e (33), obtemos a equação diferencial 
,, , Kn^n^ , . , .
^n(0 = ---- p — ^n(0 + t > 0, (34)
para a função cjit), que, em virtude da condição inicial do PVIF (30), 
deve satisfazer à condição inicial
(%L M-rr V
Jo
(35)c„(0) = -^ í / (x) sen ^ dx. 
Jo
116 [ Capítulo 4 ]
Cn(t) = + ^ - n ^ n ^ K t lL ^ C g^(s )e ^n 2 n 2 K s /L 2
Jo
Portanto os coeficientes c„(t) serão obtidos como a solução do problema
de valor inicial (34)-(35), a qual é
(36)
Resumindo — A solução do PVIF (30) deve ser dada pela expressão (31) 
com os coeficientes dados por (36). E agora se colocam as 
questões delicadas de convergência da série em (31), de que ela define 
realmente uma solução da equação do calor não homogênea, e, finalmente, 
a questão de como é a condição inicial satisfeita. Vamos estudar, no teo­
rema abaixo, essas questões no caso particular de g ser função apenas de x.
TEOREMA 4.3. Suponha que f(x) e g(x) sejam funções contínuas com 
derivadas contínuas por partes em [0, L] e tais que f (0) = 
= /(L) = g(0) = g(L) = 0. Então o PVIF
w, = Ku^^ g(x\ em
m(0, t) = m(L, t) = 0, para t > 0, (37)
u(x, 0) = /(x), para 0 < x < L,
tem por solução a função w(x, í) definida em (31), com os coeficientes cj t̂) 
dados por
onde
-n̂ n̂ KtlU r r 1 (38)
7(x) SQn-j-dx, (39)
. X unx , (40)^(x) sen - j - dx.
Demonstração. Como g não depende de í, vê-se que os coeficientes de 
Fourier gj t̂), usados acima, são as constantes ĝ dadas 
em (40). Logo, a Expressão (36) para torna-se exatamente (38). A série 
em (31) é dominada por CjZ(l/n^) -f e isso implica na conti­
nuidade de u em Para provar que u é de classe em basta provar 
que as séries obtidas derivando-se a série de (31), termo a termo, convergem 
uniformemente em í > íq , para todo íq > 0. Uma análise das várias séries 
obtidas tomando derivadas primeiras e segundas com relação a x e í, 
leva-nos a concluir que a única dificuldade está na convergência uniforme 
de l^„sen nnx/L. Isso é, porém, conseqüência das hipóteses feitas sobre g
[ Secção 4.4 ] 117
(cf. Teorema 3.3 do Capítulo 3). Finalmente, vemos que (31) defíne uma 
função contínua em M (e conseqüentemente a condição inicial será satis­
feita) se a série 2 |/„ | convergir. E isso, novamente é verdade, como con- 
seqüência das hipóteses sobre /.
Temperatura de equilíbrio. Suponhamos que o PVIF 
w, = Ku^^-\- g{xX em
u(0, t) = /io(í), u(L, t) = fcj(í), para t > 0,
m(x , 0) = /(x), para 0 < x < L,
tenha por solução uma função m(x , í). Uma função U(x,t) é uma solução 
assintótica se
lim [í/(x, í) - m( x , í)] = 0.í-»00
Se existir uma solução assintótica independente de í, isto é, uma função 
U(x) tal que
lim [u(x, í) - (/(x)] = 0,
t-*ao
então ela é chamada a temperatura de equilíbrio, e a função ü(x , t) = m(x , í ) - 
-U(x) é chamada a parte transiente da solução.
EXEMPLO 1. Consideremos o PVIF
Uj = Ku^^, em ^
w(0, t) = a, u(L, t) = P, para t > 0,
m(x , 0) = /(x), para 0 < x < L
e mostremos que a temperatura U(x) de equilíbrio é a solução do problema
KUxx = 0» em 0 < x < L,
1/(0) = a e U(L) = p,
ou seja,
U(x) = tx + ^ x .
De fato, mostramos na Secção 4.3 que a solução do PVIF acima é dada por
« (X ,í) = a + ^ x + X s e n ^ •T „ = i L
nnx
Logo,
lim [ m(x , í ) - í / ( x ) ] = lim ^ sen = 0 ,t-»oo í-»oo n= 1
O que prova que 1/ é a solução de equilíbrio.
118 [ Capítulo 4 ]
EXEMPLO 2. A temperatura de equilíbrio do PVIF
u, = + g(x), em
«(0, t) = a, u(L, í) = p, para t > 0,
u(x,0) = /(x), para 0 < x < L,
é dada pela solução U{x) do problema
KU"{x) + g{x) = 0, 0 < x < L ,
17(0) = a, U{L) = p.
De fato, a função v{x,t) = u(x,t)-U(x) satisfaz ao PVIF
V, = , em 0 1 ,
t)(0, t) = t)(L, t) = 0, para t > 0,
i;(x,0) = fix)-U {x),
cuja solução tem a forma
i>(x, í) = Z sen .
Lj
onde os são os coeficientes de Fourier (de senos) da função f(x)~ U(x), 
Logo, lim,^„[«(x,t)-[/(x)] = lim,^„tKx,t) = 0.
4.5 Condução do calor em uma barra 
não-homogênea
Voltemos à dedução da equação da condução de calor na Secção 1.1, 
e suponhamos que a condutividade térmica k seja uma função k(x). Su­
pondo também a presença de uma fonte interna de calor que produza 
calor na razão de h(x, t, u) por unidade de volume e por unidade de tempo, 
a Equação (5) da Secção 1.1 se tornará
+ t /•Xq + Ô
I [k(x)u,(x, í)], dx áí = I I cp(x)«,(x, í) dx dt +
to Jxo •'ío •'*0
Ío + T pxo + s h(x, t) dx dt,
J Jxo
o que nos levará a uma equação da forma
^ (HxK)x + “)• (41)
[ Secção 4.5 ] 119
Como se vê a Equação (41) poderá ser não-linear se o fluxo de calor 
produzido pela fonte interna depender da temperatura. Entretanto, nós 
nos limitaremos a estudar a Equação (41), no caso em que g(x, í, m) é a da 
forma a{x, t)u -h b{x, í), o que dá origem apenas a uma equação linear. 
Mesmo nesse caso, o estudo do PVIF para a equação é difícil. Vamos 
considerar um caso, ainda mais simples {g = 0), e mostrar o aparecimento 
de questões novas, para as quais não temos ainda o preparo suficiente. 
Considere o PVIF
1
^ [fc( )̂“x]x. em âl.
m(0, t) = m(L, t) = 0, para t > 0, 
m(x, 0) = f(x), para 0 < x < L.
Usando separação de variáveis, tentamos a solução u na forma 
F{x)G(t). Vemos, então, que F deve ser solução de um problema de auto­
valor da forma
J-[k (x )F (x )] ' + / íF ( x ) = 0,
(42)
O Problema (42) contém, como caso particular, aquele estudado no Ca­
pítulo 1, quando (t(x) = l,k{x) = K .E esse caso foi simples tratá-lo, porque 
os coeficientes da equação diferencial eram constantes. O caso mais geral, 
(42), é bem mais dificil e será estudado no Volume II, no qual mostraremos 
a existência de uma sequência de autovalores, bem como discutiremos a 
representação de uma dada função /(x) como uma série das autofunções 
correspondentes a esses autovalores. Tudo isso constituirá a teoria do 
problema de Sturm-Liouville, a qual possibilitará tratar outros PVIF 
para a Equação (41).
Algumas vezes equações do tipo (41) são redutíveis à equação do 
calor, fazendo-se uma müdança da variável dependente u. Para ilustrar 
essa idéia, considere a equação
u, = -h Lu^ -h M M, (43)
onde K, L, Aí são constantes. Introduza a variável v dada por m(x, t) = 
= f), com /i e A a determinar. Substituindo-se em (43), obtemos
y, = + (L + 2fiK)v^ + (Aí + L/z + - X)v
a qual se reduz a v̂ = pela escolha adequada de /x e A:
L . AKM -L^
120 [ Capítulo 4 ]
4.6 Unicidade de solução do PVIF (1)
Suponha que Mj(x, t) e U2(x, t) sejam duas soluções do PVIF (1) no 
sentido (I). Então, u = u^-U 2 é uma função contínua em ^ e tal que
M, = , em
m(0, t) = m(L, t) = 0, para t > 0, (44)
m(x , 0) = 0, para 0 < x < L.
A unicidade de solução do PVIF (1) no sentido (I) estará provada se mos­
trarmos que as relações (44) implicam m = 0. Isso é, porém, conseqüência 
imediata do resultado enunciado a seguir.
TEOREMA 4.4 (Princípio do Máximo-Mínimo). Seja u{x, t) uma função
contínua no retângulo
^ 12 = {(̂ » 0* < X < X 2 , í i < í < Í2}» ^
Xj < X < X2 ̂ < í < Í2 • ^^tào o máximo de u é assumido em um dos
seguintes lados de ^ ^ 2 '.
(f, = {x = X j , í , < í < fj} , if j = { x , < X < X j , í = íj}
íf j = {x = X j , í j < í < fj} .
Demonstração (Privalov). Sejam M o máximode w em ^ j 2 e m o máximo
de u em kj ^ 2 ^ ^ 2 • Quer-se provar que 
M = m. Suponha, por contradição, que M > m e seja (Xq , tç) um ponto 
de ^ i 2\(^i ^ ^ 2 ^ ^3)» ^ assume seu valor máximo. Defina a função
v{x, t) = «(x, t) + (x - Xq)̂ , (45)
onde L= X2 - x^. Como em ^ 2 ^ ^3 lemos
i;(x, í) < m H— < M 
e
iKXo, Í q) = m(X o , ío) = Aí,
segue-se que o máximo de v é assumido em um ponto (x, t) de
Em tal ponto de máximo devemos ter
I) > 0 e u,,(x, r) < 0. (46)
[ Secção 4.6 ] 121
Por outro lado, usando (45), tem-se
i?,(x, T) = M,(x, í)
^ ^ M -mÜ„(x, í) = í) +
e, como u satisfaz à equação do calor,
v,{x, t) = Kv^Jx, t ) - K < K v jx , t),
que contradiz as desigualdades em (46). Portanto provamos que u assume 
seu máximo em u ^2 ^3 • ver que o mínimo também é atingido,
aí basta observar que -u também satisfaz à equação do calor e que o mí­
nimo de u é igual a -max(-w). Q.E.D.
Para referência futura enunciamos o seguinte resultado de unicidade 
que foi provado acima.
TEOREMA 4.5. Seja f uma função dada em [0, L]. Então, a solução do 
PVIF (1) no sentido (I), caso exista, é única.
O resultado seguinte descreve a unicidade de solução no sentido (II).
TEOREMA 4.6. Seja f uma função de quadrado integrável em [0, L]. Então 
a solução do PVIF (1) no sentido (II) é única.
Demonstração. Já provamos que a Expressão (2) é uma tal solução. A 
presente deníonstração consiste em provar que se u for 
uma solução do PVIF (1) no sentido (II), então ela é igual à Expressão (2). 
Bom, para cada í > 0 fixado, a função m(x , t) é contínua e derivável para x 
em [0, L]. Logo,
w(x» 0 = Z MO sen > 0 < X < L, í > 0,
n=l ^
onde
Daí,
= T I 
;(0 = "T I
, nnx . t) sen - j — dx.Li
, nnx , t) sen dx.
pois M, é continua em í > 0. Usando o fato de que u é solução do PVIF (1), 
temos
2X , nitx^ 2K nV ,b„{t) = — u„(x, t) sen ~ ^ d x = -----p — u(x, t)
Jo Jo
nnx .sen - j — dx.
122 [ Caprtulo 4 ]
OU seja.
de onde se obtém
m =
Kn^n2 ^ 2
b M
Logo,
b„{t) = t > 0 .
u(x, í) = X sen > 0 < X < L, í > 0.
n = l ^
Resta demonstrar que p ̂= c^. Para tal usamos (3), com q>(x) = sen mnxlL, 
e temos que
í u(x, t) sen áx = f dx = ^
Jo Jo
tende para §c^, o que mostra que P„ = c^.
Observação, É fácil ver que o Teorema 4.4 implica também a unicidade 
de solução, no sentido (I), do PVIF não-homogêneo
M, = Km, , + g(x, í), em 
m( 0 , t) = /io(í), m( L , í) = fci(í), para í > 0, 
m(x , 0 ) = / ( x ).
TEOREMA 4.7. (Continuidade da solução com os dados iniciais) Sejam 
f iM ^ fii^) funções contínuas em [0, L]; para as quais
os PVIF
Uj = Ku^^, em
m( 0 , t) = m( L , t) = 0 , para t > 0 , 
m(x , 0) = f.(x), para 0 < x < L,
para i = 1,2, têm soluções û e U2 , no sentido (I). Então,
max |u,(x,í)-U 2(x,í)| < max |/ i (x ) - /2(x)|.
i x , t ) e ã ' x e [ 0 , L ] ' '
Demonstração. Conseqüência imediata do Teorema 4.4. Utilizaremos esse 
resultado para provar o teorema a seguir.
TEOREMA 4.8. Seja f(x) uma função contínua em [0, L] comf(0) = f(L) = 0, 
então existe uma e somente uma solução do PVIF (1) no
sentido (I).
[ Secção 4.6 ] 123
Demonstração. Basta mostrar a existência de solução, uma vez que a uni­
cidade se segue imediatamente pela aplicação do Teo­
rema 4.5. As hipóteses feitas sobre / implicam, em vista do Teorema 4.1, 
que o PVIF (1) tem solução no sentido (II), e, em particular, essa solução 
m( x , r) é dada em ^ por
Observação. Compare com o Teorema 4.2, onde a existência de solução
foi obtida mediante a hipótese adicionai de que / ' fosse de
quadrado integrável.
com
m( x , 0 = X s e n
n = 1 ^
Jo
Em virtude da convergência uniforme (em y, para (x, t) em ^ fixado) da 
série em (47), a solução u pode ser escrita como
u(x,í) = J ^ s e n ~ se n '^ ~ ^ f{ y )d y , (47)
expressão válida para (x, í) em É. Logo,
u(x, 0 = Í 
Jo
G(x,y,t)f(y)dy, em â . (48)
onde G(x, y, t) designa a expressão entre colchetes no integrando de (47). 
Observe que a função G(x, y, t) é contínua nas três variáveis para í > 0. 
A idéia central da demonstração consiste em aproximar a função /(x) 
por uma sucessão de funções continuamente diferenciáveis /^(x), com 
./fc(0) = /fc(L) = 0. A aproximação aqui deve ser entendida no sentido 
uniforme, i.e., maxo ^^^^|/^(x)-/(x)| -+0, quando k -► oo. Para cada fc, 
o PVIF
Mj = em áP,
m(0 , t) = m( L , t) = 0, para t > 0,
m( x , 0) = /^(x), para 0 < x < L,
tem uma solução m̂ , contínua em em vista do Teorema 4.2. Tal so­
lução pode ser expressa como
Jo
t¥Ay)dy, em áP. (49)
124 [ Capitulo 4 ]
Aplicando o Teorema 4.7, temos
max I u^{x, í) - (x, r) I < max \ f (x) - f (x) |,
k, ^ inteiros, o que implica existir uma função contínua i;(x, í) em ^ tal que
lim ŵ (x, t) = v{x, í).
k-*ao
(50)
onde o limite é uniforme. Como converge uniformemente para /, ob­
temos de (49) e (50)
ü(x, í) = í G(x, y,
Jo
t)f{y)dy, em (51)
Consequentemente, (48) e (51) implicam que w(x, t) = r(x, t), em â . Além 
disso, (50) implica que p (x , 0) = /(x). Logo, a função r(x, t), continua em 
é a solução do PVIF (1) no sentido (I). Q.E.D.
4.7 Variações da temperatura do solo
Deve-se a Fourier, Poisson e Kelvin, o estudo, que apresentamos a 
seguir, das variações da temperatura do solo, como conseqüência das 
mudanças de temperatura na superfície decorrentes do calor recebido 
ou cedido, através de radiação, pela Terra; ignoram-se as influências, 
que possam vir a ter nessa temperatura os processos radioativos no in­
terior da Terra. A discussão a seguir baseia-se no livro de Sommerfeld, 
Partial Differential Equations. O modelo trata a Terra como um semi- 
-espaço de IR̂ , digamos x > 0, e supõe que os parâmetros dependam 
apenas da profundidade x. Portanto o problema pode ser considerado 
como o da condução do calor em uma barra semi-infínita, isolada termi- 
camente nas laterais, com a extremidade x = 0 submetida a uma tem­
peratura periódica f(t), O período T dessa função será o dia ou o ano, 
de acordo com o que se queira estudar em datalhe. Matematicamente, 
temos o problema de determinar a função u(x, t) que satisfaz à equação 
do calor
u, = , í 6 I X > 0,
bem como à condição de fronteira
« (0 ,0 = /(O, te l
Observe que não se impõe condição inicial.
(60)
(61)
[ Secção 4.7 ] 125
A idéia da resolução do problema dado em (60)-(61) é a seguinte:
expressamos f{t) como sua série de Fourier,
m = z (62)
onde f*TI21 r
<-n = Y dt, n = 0, ± 1 ,± 2 , . . . ,
J-T/2
sendo o período T igual a um dia ou um ano. A solução de (60) é, então, 
procurada na forma
u(x, t)= X (63)
Substituindo na Equação (60) e usando a condição de fronteira (61), ob­
temos o seguinte problema de valor inicial para a determinação de u \̂
2 nniu„ = u„ ,n T ̂^ X > 0, (64)
t̂ „(0) = 1, (65)
bem como a informação adicional (fisicamente plausível!) de que m„(x ) 
seja uma função limitada em x > 0. Nessas condições, a solução de (64)-(65) é
Û (X) = ^-(l±0(|n|7r/Xr)iy
onde os sinais -h ou - correspondem, respectivamente, a n positivo ou 
negativo. Lembrando que c_^= para m > 0, e chamando de o ar­
gumento (principal) do número complexo temos, substituindo (66) 
em (63).
u(x,í) = Co + 2 X! |c'„|c + y,2 nnt nn \ K f ^ ) ' (67)
Uma análise da Expressão (67) mostra que m( x , í ) é uma superposição 
de ondas correspondendo aos harmônicos de /:
\c^\e COS f 2 nnt I nn \+ yn-yj Kn|cos y„
Assim, cada onda tem sua amplitude amortecida exponencialmente pelo 
fator e cada uma delas está defasada de {nn/KTy^^x. Para
termos uma idéia quantitativa, vamos tomar K = 0,002 cm^/s e T = 365 x 
X 24 X 60 X 60 = 3,15 x 10*̂ s; e, daí, obtemos (njKTY'^ = 0,00706. O 
amortecimento de cada onda cresce quando n aumenta; portanto a pri-
126 [ Capítulo 4 ]
meira onda predomina, como podemos concluir dos seguintes números: 
a 500 cm o fator de amortecimento da primeira onda (n = 1) é 0,03 e da 
segunda onda (n = 2) é 0,006. Vamos, pois, concentrar nossa atenção 
no caso em que f(t) = cos2nt/T é apenas o primeiro harmônico. Nesse 
caso Cq = 0 e, daí,
u(x,t) = e-inlKT)̂ l̂ x COS '2 nt I n \
Para x = 445 cm, essa onda está defasada de 0,00706 x 445 ^ ti e amor­
tecida por um fator 0,04. Pondo na mesma figura os gráficos de f(t) e 
m(x , í) para x = 445 cm, temos o resultado na Figura 4.1. Daí, vemos 
que a temperatura do solo a 445 cm está completamente defasada da 
temperatura na superficie. Assim, a 445 cm de profundidade tem-se verão, 
enquanto na superficie é inverno! E vice-versa. Além disso, a flutuação 
das temperaturas a essa profundidade é apenas 4% do que acontece na 
superficie.
Se considerarmos T = 24 x 60 x 60 = 86 400 s, poderemos estudar 
as variações de temperatura ao longo do dia. Neste caso, {njKTY'^ = 
= 0,135 e a completa defasagem ocorre a 23 cm, e o amortecimento na
[ Secção 4.7 ] 127
temperatura se dá por um fator de 0,04. Portanto as variações de tempe­
ratura na superfície penetram pouco no solo, e afetam apenas uma camada
relativamente superficial do mesmo.
EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 4
2.1. Resolva (formalmente) o PVIF
M, = em
M̂(0, í) = u^{L, t) -I- few(L, t) = 0, para t > 0, 
m(x , 0) = / (x), para 0 < x < L.
2.2. Resolva (formalmente) o PVIF
em
M̂(0, t) -h fcou(0, t) = m̂ (L, í) -h k^u(L, í) = 0, í > 0, 
u (x , 0) = / (x ) , 0 < X < L .
3.1. Transforme o problema
u, = em
m(0, t) = Ae m(L, í) = B, para í > 0, 
m( x , 0) = 0, para 0 < x < L,
num outro em que as condições de fronteira sejam homogêneas.
3.2. Transforme o problema
u, = , em
0 = 9o(0, t) = 3 j(í), para t > 0,
m(x , 0) = /(x), para 0 < x < L,
num outro em que as condições de fronteira sejam homogêneas, 
supondo que e sejam diferenciáveis.
3.3. Transforme o problema
M, = em
w(0, t) = para t > 0,
uJ^L, t) -f au(L, t) = /ii(í), para t > 0,
m( x , 0) = /(x), para 0 < x < L,
num outro em que as condições de fronteira sejam homogêneas.
4.1. Complete os detalhes da demonstração do Teorema 4.3.
4.2. (i) Mostre que a Expressão (31), com dado por (36), define uma 
função contínua em caso g(x, t) seja uma função contínua em
128 [ Capítulo 4 ]
(ii) Enuncie condições em g, para que (31) e (36) definam uma so­
lução da equação do calor não-homogênea.
(iii) Enuncie condições em / que assegurem que (31) e (36) definam u 
contínua em ^ satisfazendo á condição inicial.
4.3. Estude o problema
M, = g(x. r), em
1/̂ (0, t) = uJL. t) = 0, para t > 0,
m(x, 0) = / (x), para 0 < x < L.
4.4. Mostre que, em geral, o PVIF
g{x), em
ŵ (0, t) = OL, uJL, t) = P, para t > 0, 
m( x , 0 ) = / ( x )
não tem solução de equilíbrio. Determine a condição a que neces­
sariamente X, p, K, g Q /.devem satisfazer, para que exista a solução 
de equilíbrio.
4.5. Considere o PVIF
Uj = + 7, em
m(0, í) = a e u(L, t) = P, í > 0,
m(x , 0 ) = 0 ,
onde OL, p Q y são constantes. Calcule a solução U{x) de equilíbrio. 
Determine a solução desse PVIF.
4.6. Considere o PVIF
g{t), em
M̂(0, t) = uJL, t) = 0, í > 0, 
u(x, 0) = /(x).
Mostre que a função v = u - G(r), onde G(t) é uma primitiva de g(t) 
com G(0) = 0, satisfaz a um PVIF do tipo do Exemplo 1 da Secção 4.2. 
Escreva a solução do PVIF acima. Dê explicitamente essa solução 
no caso g(t) = cos wí e /(x) = 0. Determine uma solução assintótica 
(a mais simples que você consiga!) do PVIF acima.
4.7. Obtenha a solução do problema
u, = Ku^ -h e~ em
uJO, t) = uJL, t) = 0, para t > 0, 
m( x , 0) = 0, para 0 < x < L.
129
4.8. Estude o PVIF (30). no caso f(x) = 0 e g{x. t) = g{t).
4.9. (Um princípio de Duhamel). Mostre que a solução do PVIF (30) 
no caso f(x) = 0, pode ser expressa na forma
u(x,t)= 0(x, í;
Jo
5) ds.
onde O é a solução do PVIF
, 0 < X < L, í > 5,
0(0, í; s) = 0(L, í; i) = 0, í > s, 
0(x, s; s) = g(x, s).
CAPÍTULO 5
EQUAÇÃO D A S O N D A S
Neste capítulo, discutimos alguns problemas fisicos que são regidos 
pela equação das ondas. A fisica desses problemas é apresentada em de­
talhe, visando um duplo objetivo. Primeiro, motivar os alunos de Física 
e Engenharia para as questões matemáticas que tratamos aqui. Segundo, 
procurar incutir nos alunos de Matemática um certo interesse pelas re­
lações da matemática, que ele estuda, com problemas de outras áreas; 
como ele verá, essas conexões são extremamente interessantes, e não são 
difíceis de serem entendidas, requerendo apenas um conhecimento limi­
tado de Física.
Estudamos também a resolução de vários problemas para a equação 
das ondas, entre eles o problema de Cauchy e problemas de valores inicial 
e de fronteira. Para estes últimos utilizamos a teoria das séries de Fourier, 
estudadas nos Capítulos 2 e 3.
5.1 Equação da corda vibrante
Nesta secção estudamos o problema das pequenas vibrações trans­
versais de uma corda perfeitamente flexível. O fenômeno tem lugar num 
plano (x, u) e supõe-se que a corda vibre em torno da posição de repouso 
ao longo do eixo x. Faz-se a hipótese de que as partículas constituintes 
da corda se desloquem apenas na direção do eixo u, e daí vem a termi­
nologia de vibração transversal. Supõe-se também que a corda não ofereça 
resistência a ser dobrada, (isto é, resistência à flexão) e daí vem o nome 
flexível. Para deduzir a equação diferencia.!, a qual deve satisfazer a função 
m(x , í), que representa a posição do ponto x da corda no instante í, uti­
lizamos a lei de Newton: “A derivada com relação ao tempo da quantidade 
de movimento do corpo é igual á soma das forças aplicadas”. As grandezas 
envolvidas nessa lei são vetoriais, de modo que ao aplicá-la, um cuidado 
especial deve ser tomado com a direção e a orientação de forças, velocidades, 
acelerações, etc. Vamos aplicar essa lei ao sistema mecânico constituído 
por um trecho da corda entre dois pontos arbitrários, x = a t x = b. 
Designando por p(x, t) a densidade da corda, vemos, inicialmente, que a 
hipótese das partículas se deslocarem apenas em direção normal a x.
[ Secção 5.1 ] 131
implica que, de fato, a densidade independa de t. Portanto vamos de- 
signà-la por p(x). Assim, a quantidade de movimento da corda entre a 
e fc é dada por
M(t) =fp(x)u,(x, í) dx. (1)
onde M̂(x, t) designa a velocidade do ponto x da corda no instante t. Observe 
que a hipótese de vibração transversal implica que não haja componente 
da velocidade na direção x, njas apenas na direção u. Há dois tipos de 
forças a serem considerados. T^rimeiro, a ação do resto da corda sobre o 
trecho entre a e fe, que é representada por forças de tensão na direção 
das tangentes, as forças e F^, indicadas na Figura 5.1. Representemos 
por f(a,t) e /(fc, í), respectivamente, as intensidades dessas forças. Sejam 
6 ̂ e 0̂ os ângulos das tangentes a corda com o eixo dos x nos pontos de 
abcissa a e ò, respectivamente. Usando a lei de Newton, acima enunciada, 
e lembrando que não há quantidade de movimento na direção x:
/(ò, t) COS Of, = / ( u , t) COS 9^,
de onde se conclui que a componente horizontal da tensão é independente 
do ponto X e é função apenas do tempo í ; usemos para ela a notação t ( í ). 
Assim a resultante vertical das forças de tensão atuando sobre o trecho 
da corda entre os pontos de abcissa a q b é
fb
t(0 tg Bf, - r(t) tg B̂ = r(t)ujx, í)|í=^ = T(t)ŵ (̂x, í) dx. (2)
Além das forças de tensão, o sistema pode estar sujeito à ação de forças 
externas como gravidade, resistência ao movimento oposta pelo meio 
onde está a corda, ou forças tendentes a restaurar a posição de equilíbrio 
da corda. Designando por h^(x, í, u) a densidade linear dessas forças ao 
longo da corda e utilizando a lei de Newton, acima enunciada, bem como
132 í Capitulo 5 ]
as Expressões (1) e (2), temos 
p(x)u,(x, í) dx^ j P(x)u,(x, t)dx= j
Ja Ja
t ( í ) m^ , ( x , 0 dx + /ij(x, t, u) dx. (3)
Supondo que u„(x, t) seja contínua, podemos levar a derivada d/dt para 
dentro da integral em (3). E como a q b são arbitrários, obtém-se de (3) a 
equação das ondas:
p{x)u„ = T(t)û ̂+ /ii(x, í, m), (4)o
ou seja,
W,, = t, u), (4)
onde c*(x, í)̂ = t(í)/p(x) e h{x,t,u) = h^(x,t,u)/p(x).
Um pouco de Análise Dimensional. t(í) tem a dimensão de força, isto é,
MLT~^, onde M é massa, L é com­
primento eT é tempo. Por outro lado, p(x), que é uma densidade linear, 
tem a dimensão ML~^. Logo, c(x, í) tem a dimensão LT~ \ isto é, a di­
mensão de uma velocidade. Mais adiante veremos que essa velocidade 
tem um sentido fisico. É fácil ver que a Equação (4) está, como não poderia 
deixar de ser, dimensionalmente correta. De fato, tem a dimensão de 
uma aceleração, isto é, LT"^, e u^ ̂ tem a dimensão L "^ Além disso, 
/ii(í,x, m) tem a dimensão de força por unidade de comprimento, isto é, 
MT~^. Logo, h = h jp tem dimensão LT~^.
Exemplos da Equação (4), de acordo com o tipo de forças externas.
1) O caso das vibrações livres. Suponha que as únicas forças atuantes se­
jam as de tensão. A Equação (4) se torna
“,r = . (5)
onde se pode supor c como constante, caso a corda seja homogênea (p(x) = 
= constante) e caso as vibrações tenham amplitude muito pequena (t(í) = 
= constante).
2) Vibrações forçadas. Suponha que a corda esteja sujeita a uma força
exterior, que pode variar com x e í. Então, a Equa­
ção (4) se torna
“t( = 0- (6)
3) Vibrações amortecidas. Suponha que a corda esteja imersa em um
fluido (o ar, por exemplo), o qual opõe uma 
resistência ao movimento. Nesse caso, há uma força externa dependendo
[ Secção S.1 I 133
r-bK . (7)
A força de amortecimento pode depender, de modo não-linear, da velo­
cidade, e, aí, o problema é bem mais complicado. Não trataremos de 
problemas não-lineares neste trabalho.
4) Vibrações sob ação de uma força restauradora. Suponha que exista um
dispositivo que produza
uma força tendente a trazer a corda para a posição u = 0, e que essa força 
seja dada por h(x, t) = -au(x, t). Então, obtém-se
“„ = (8)
Resumindo — Provamos que uma corda, vibrando em torno da posição 
u = 0 , tem sua posição m(x , t) governada pela equação das 
ondas, a Equação (4). A descrição do fenômeno físico não está completa 
ainda. Falta dizer algo sobre a extensão da corda, sobre o tipo de arti­
culação das extremidades e, fínalmente, sobre o que provocou o início 
do processo vibratório. Vamos considerar alguns casos.
1) Corda finita com extremidades fixas. Suponhamos que a corda tenha
comprimento L, e que, quando em 
sua posição de repouso, ela ocupe a porção do eixo dos x (no plano x, u) 
entre 0 e L. Assim, a hipótese de extremidades fíxas implica que
m(0, t) = u(L, t) = 0, para t > 0, (9)
que são chamadas condições de fronteira. Sob o ponto de vista matemático 
não interessa a natureza do processo que provoca o início das vibrações. 
O que importa, e isso ficará claro mais adiante, é o deslocamento inicial 
da corda, representado por w(x, 0), e o modo como a corda é abandonada 
nesta posição, o que é traduzido pela velocidade inicial w,(x, 0). Assim, 
devem ser dados
ii(x, 0) = f(x), para 0 < x < L, (10)
w,(x, 0) = ^(x), para 0 ^ x < L, (11)
que são chamadas condições iniciais. Vemos, pois, que o problema da corda
vibrante fínita, com extremidades fíxas, consiste em determinar uma
função m(x , í ), para 0 ^ x ^ L e í > 0 , que satisfaça à equação das ondas 
(4), às condições de fronteira (9) e às condições iniciais (10) e (11). Um
da velocidade, que suporemos ser da forma h(x, t) = -bu^(x, í), b > 0. O
sinal negativo se explica, pois essa é uma força de resistência ao movi­
mento. Assim, a Equação (4) se toma
134 [ Capítulo 5 ]
problema desse tipo é conhecido como um problema de valores inicial e 
de fronteira, ou abreviadamente, um PVIF. Esse problema inclui, como 
caso especial, as vibrações das cordas de uma harpa ou de um cravo, 
onde a corda é deslocada e depois solta para começar sua vibração; neste 
caso, /(x) # 0 e g(x) = 0. O outro caso especial é o das vibrações das 
cordas do clavicórdio ou do piano, onde a corda, em repouso, é percutida 
por um golpe de martelo; neste caso, f(x) = 0 e ^(x) # 0.
2) Corda finita com extremidades livres. Neste caso, a corda, de compri­
mento L, tem suas extremidades 
forçadas a não se afastarem de trilhos colocados perpendicularmente à 
corda, no plano (x, m) de vibração. Isso implica
u,(0,í) = w.(L,í) = 0, (12)
que são as condições de fronteira deste problema. Supomos as mesmas 
condições iniciais do caso anterior. Portanto o problema de valores inicial 
e de fronteira, em consideração, é o da determinação de uma função m(x , í ), 
satisfazendo à equação (4), às condições iniciais (10) e (11) e às condições 
de fronteira (12).
3) Outras condições de fronteira. Podemos ter o caso de vibrações de uma
corda cujas extremidades se movem, 
transversalmente, de acordo com leis conhecidas. Por exemplo,
m(0, t) = a(t), u(L, t) = b(t), para t > 0.
Outra possibilidade seria aquela em que uma das extremidades, digamos, 
X = 0, tenha uma conexão elástica implicando na condição de fronteira 
M,(0, t) -h hu{0 , t) = 0.
5.2 Resolução por séries de Fourier
Vamos mostrar como o método de separação de variáveis e a teoria 
das séries de Fourier são utilizados para resolver o problema da corda 
vibrante com extremidades fixas:
em
«(0, í) = u(L, t) = 0, para í > 0, (13)
u(x, 0) = f{x), u,(x, 0) = 3(x), para 0 < x < L,
onde supomos c constante, e ^ designa a semifaixa {(x, t)€ R^: 0 < x < L,
t > 0}.
[ Secção 5.2 ] 135
Resolução formal Utilizamos o método de Fourier usado nos Capítulos 
1 e 4 para tratar a equação do calor. Relembramos que 
esse método consiste, inicialmente, em usar separação de variáveis para 
determinar funções u(x, t) = F(x)G(t) que satisfaçam à equação das ondas 
e às condições de fronteira. Isso feito, usamos essas funções para compor 
uma função que satisfaça, também, às condições iniciais. Vamos ver como 
concretizar esse projeto. Substituindo na equação das ondas temos
F' _ G" (14)
O lado esquerdo de (14) depende somente de x, e o lado direito depende 
apenas de í. Isso implica que eles, em verdade independam de x e de t. 
Logo, são iguais a um parâmetro a (independente de x e de í), o qual serà 
determinado de modo que as condições de fronteira sejam satisfeitas 
por m(x , t) = F(x)G{t). Portanto, de (14), obtemos
F - a F = 0, (15)
G" = ac^G. (16)
As condições de fronteira 0 = u(0, t) = F(0)G(í) e 0 = m(L, t) = F(L)G(í), 
implicam que F(0) = F{L) = 0, pois, de outro modo, G(í) = 0, para todo t. 
Isso acarretaria m(x , í) = 0, para todo x e todo í, o que, evidentemente, 
não interessa. Assim, chegamos ao seguinte problema de autovalores: 
determinar os valores a (que são chamados autovalores), para os quais 
o problema
F '- a F = 0, 0 < x < L ,
F(0) = F(L) = 0, (17)
tenha soluções F(x) ^ 0 (chamadas autofunções). Esse problema jà foi 
resolvido no Capítulo 1, e chegamos à seguinte conclusão. Existem auto­
valores = -n^n^/L^, para n= 1 ,2 ,..., cujas autofunções correspon­
dentes são F„(x) = sen nnx/L. A seguir, vemos que, para cada , a so­
lução geral da Equação (16) é
^ . nnct , nnctG„(t) = COS + b„ sen — ,
onde e são constantes arbitrárias. Logo, as funções
. . nnx nnct , nnx nnctw„(x, t) = sen - y - cos —— h sen - r - sen —j— (18)Lá Li Li
são soluções da equação da onda e satisfazem às condições de fronteira. 
O passo seguinte do método de Fourier é a determinação das constantes
136 [ Capítulo 5 ]
de modo que a solução m(x , í) do PVIF (13) seja dada por
, , ^ r I nnx nnctl
m(x , t)= 2 ̂ \a„ sen — cos- j - -h b„ sen — sen- j - • (19)
Esse propósito implica, em primeiro lugar, que
nnx
f(x) sen — ,
n = l ^
(20)
e, para que isso aconteça, é necessário (atenção, não é suficiente) que
(*L mr Y
(2 1 )- x f f(x) scn—=—dx.Lâ
Para a determinação dos b^, procederemos formalmente. Obtemos m,(x , í) 
derivando a série em (19), termo a termo. Usando, então, a segunda con­
dição inicial tem-se
, , líTtC . r u i ^ff(x)= 1 -j-b„sen — ‘
n = í ^ ^
nnc , 2 , nnx ,
T ”Jo
b„ = í ^(x) sen dx. 
mttc ̂ L
nnx
Logo,
de onde obtemos
(22)
(23)
Resumindo — A solução (formal) do PVIF (13) é dada pela Expressão (19) 
cujos coeficientes e são calculados em (21) e (22).
Uma pausa. Que coisa é essa de solução formal? (19) é ou não é a solução?
Tudo o que fizemos pareceu tãobonitinho, e muito bem 
acabado! Bom, o método é realmente elegante, mas nosso procedimento 
foi bastante negligente, sem preocupações com o rigor. Observe que não 
fizemos nenhuma hipótese sobre/e g\ Sem hipóteses, não se prova nada! 
O termo “solução formal” é aqui usado no sentido de que se o problema 
tiver solução, e para tal deve-se impor condições em / e gf, então ela será 
dada pela expressão obtida. É neste ponto que o leitor se define. Ele pode 
adotar a atitude de considerar o problema da corda vibrante resolvido, 
justificando para si que é possível provar tudo rigorosameríte para as 
funções f c g que aparecem na vida prática. Ou, então, ele ficará mais 
feliz discutindo mais a fundo a questão. Assim ele olhará para a Expressão 
(19), com (21) e (22), como um candidato à solução do PVIF (13). Vamos
[ SecçSo 5.2 ] 137
prosseguir nesta secção dentro dessa última atitude. Assim, colocaremos 
as seguintes questões: i) a série em (19) converge?; ii) define ela uma função 
contínua em ^?; iii) define ela uma função de classe em que seja 
solução do PVIF (13)?; iv) que condições sobre / para que (20) ocorra?
v) que condições sobre g para que (22) ocorra? Começamos com o resul­
tado enunciado a seguir.
TEOREMA 5.1. Suponha que f e g sejam funções dadas em [0, L] tais 
que f /" , g, g' sejam contínuas e e g" são seccional- 
mente contínuas. Além disso, suponha que /(O) = /(L) = /"(O) = /"(L) = 
= ^(0) = g(L) = 0. Então i) a„ e b„ estão bem definidos por (21) e (23), res­
pectivamente; ii) as igualdades (20) e (22) ocorrem; iii) a Expressão (19) 
define uma função contínua em de classe em âi, que satisfaz à equação 
das ondas em
Demonstração. A parte (i) é conseqüência imediata do fato de serem f t g 
continuas em [0, L], o que implica que as integrais em 
(21) e (23) convergem. A parte (ii) decorre das hipóteses de serem / e ^ 
de classe em [0, L] e de que /(O) = f(L) = g(0) = g(L) = 0. Pois, então, 
f c g podem ser estendidas continuamente a toda a reta de modo a serem 
ímpares e periódicas de período 2L. Confira o teorema de Fourier na 
Secção 2.4. Para provar que (19) define uma função contínua em basta 
mostrar a convergência da série Z®=j(|a„| + \b„\\ pois ela é uma majo­
rante da série (19). Integração por partes, três vezes, e as hipóteses /(O) = 
= /(L) = /"(0) = /"(L ) = 0 nos dão
Analogamente,
Jo
nnc. 2L ̂ nnx ,
Jo
(24)
(25)
De (24) e (25) se segue
I I k I, I fe'
onde íc e k' são constantes. Logo, as séries Z(|u„| + |h„|) e I(/i|a^| -h n\b„\) 
convergem, o que mostra que u é contínua em ^ e de classe em 
E mostra, também, que as derivadas primeiras de u podem ser obtidas
138 [ Capítulo 5 ]
derivando-se (19) termo a termo:
õu ^ í nn nnx nnct , nn nnx nnct\
du ^ / nnc nnx nnct , nnc nnx nnct\
De (24) e (25), obtemos
k” Ir'” (28)
onde e d„ são coeficientes de Fourier de /" ' e g'\ respectivamente. Logo, 
usando a desigualdade ab < b )̂ em (28), tem-se
e, daí,
Íin ^ \a „ \ + n^\b„\)<
n= 1
k" + k ' / 0 0 1 0 0 0 0 \(Z i + I knr+ Z |d„n- (29)
\ n = l n = l n = l /
As duas Últimas séries em (29) convergem em virtude da desigualdade de 
Bessel. Logo, a série no primeiro membro de (29) converge, o que implica 
que u seja de classe em e as derivadas segundas de u podem ser ob­
tidas derivando (26) e (27), termo a termo. Isso feito, verificar-se-á, facil­
mente, que M, de fato, satisfaz à equação da onda. E, assim, concluímos 
a demonstração do Teorema 5.1. Q.E.D.
Comentários sobre as hipóteses do Teorema 5.1. Uma função u: ^ IR é
chamada solução do PVIF 
(13) se (i) ela for contínua em ^ e de classe em com i;,(x, í) contínua 
em (ii) ela satisfizer às condições iniciais e de fronteira, (iii) ela satisfizer 
à equação da onda. O Teorema 5.1 diz da existência de uma solução, no sen­
tido acima, do PVIF (13). Entretanto as hipóteses feitas para se conseguir isso 
são muito fortes. Muito se pede, em termos de diferenciabilidade, das condi­
ções iniciais. Não podemos aplicá-lo ao caso de uma corda em vibração pro­
vocada por um deslocamento seccionalmente linear do tipo da Figura 5.2. 
Surge, então, a pergunta, o PVIF (13) para esses dados iniciais tem so­
lução? A resposta é não, se entendermos solução no sentido acima. Mais 
adiante entenderemos por que a resposta é negativa. Entretanto esse estado 
de coisas é inaceitável! Há problemas de interesse físico, em que f e g
[ SecçSo 5.3 ] 139
não são de classe C \ como no exemplo acima, e, apesar disso, devemos 
falar em solução. Há, pois, necessidade de se ampliar o conceito de solução. 
Isso será feito mais adiante com a introdução do conceito de solução 
generalizada.
Figuia 5.2
5.3 Energia da corda vibrante
Seja m(x , t) uma solução da equação da onda. Equação (4)q da Sec­
ção 5.1, com a hipótese adicional de que t( í) = t não depende de í. 
Mais precisamente, supomos que u seja uma função de classe em ^ 
e de classe em e que satisfaça à equação da onda em Multipli­
cando a Equação (4)q por m, e integrando com relação a x entre 0 e L, 
temos
p(x)u„u,dx= Tu^^u,dx+ h^(x,t,u)u,dx. 
0 Jo Jo
(30)
A seguir, observando que e realizando integração por partes
na segunda integral de (30), tem-se
1 d
Y di hi{x,t,u)u,dx.
Jo |o Jo Jo
que pode ser escrita na forma
|L
= TM, mJ H- h^(x,t,u)Ufdx. (31)
|o Jo
140 [ Capítulo 5 ]
A Relação (31) é chamada equação da energia. A expressão
K(t) = Y ÍJo
é a energia cinética da corda e
V(t) = y I* xul dx
Jo
(32)
(33)
é a energia potencial da corda e E(t) = K(t) + V(t) é a energia total 
da corda. Mais abaixo daremos a interpretação física dessas energias. 
Antes, porém, vamos tecer alguns comentários sobre a equação da energia. 
Suponhamos que u seja a solução do PVIF (13); nesse caso, = 0 e 
M,(0, í) = Uf(L,t) = 0. Assim, (31) reduz-se a
í[u p(x)uf dx + y I Jo T u l d x j = 0, (34)
o que implica que a energia E(t) seja constante com o tempo. Tem-se, 
assim, um princípio de conservação da energia para o fenômeno de vibração 
da corda com extremidades fixas, e sem ação de forças externas, isto é, 
h = 0. Diz-se, também, que o sistema é conservativo. Igual conclusão 
teremos para o caso de vibração da corda, sem ação de forças externas, 
e com condições de fronteira do tipo Mĵ (0, t) = uJ^L, f) = 0. A energia 
da corda vibrante no instante inicial t = 0 é
E(0) = y j p{x)g{xf dx + Y j x f '{ x f dx, (35)
e o princípio de conservação da energia no PVIF (13) diz que essa energia 
é mantida.
O resultado de unicidade abaixo será demonstrado, utilizando-se 
q método da energia,
TEOREMA DE UNICIDADE. A solução do PVIF abaixo, caso exista, é
única:
P(x)m„ = + k^(t,x), em
m(0, t) = h^{t), u(L, t) = h2 (t), t > 0, (36)
u(x, 0) = f(x), M,(x, 0) = ^(x), 0 < X < L.
Demonstração. Suponha que o PVIF (36) tenha duas soluções, e M2 .
Por solução nós estamos entendendo uma função de classe 
em ^ e contínua em ^ que satisfaz a todas as relações em (36). Ob-
[ Secção 5.3 ] 141
serve que isso requer as seguintes relações de compatibilidade entre os 
dados iniciais e os de fronteira: h^(0) = /(0), h2 (0 ) — g(L). É fácil ver que 
a função u = u^-U 2 é de classe em contínua em ^ e satisfaz ao 
seguinte PVIF, o qual é do tipo (13):
p(x)u„ = ,
u(0,t)= u(L,t) = 0, 
u(x, 0) = Uj(x, 0) = 0.
É claro que a energia inicial £(0) é 0. Logo, de (34) concluímos
y J p(x)û ̂ T J
o que implica que m,(x, t) = ujx, t) = 0, para (x, í) em (Lembre-se 
que p(x) e t são positivos). Logo, u(x, t) = constante em Usando a
continuidade de u, em e as condições iniciais, concluímos que u = 0 
em ou seja Mj = «2 • Tem-se, assim, a unicidade de solução no PVIF (36). 
Q.E.D.
Vamos, agora, á interpretação física das Expressões (32) e (33) e à 
conseqüente justificação dos termos energia cinética e energia potencial 
utilizados. A energia cinética, no instante í, do trecho da corda entre os 
pontos de ordenadas a e a -h h, para h pequeno, é dada por ^ p(x)huf{x, t\ 
onde X é um valor apropriado no intervalo [a, a -h h]. Fazendo uma par­
tição do intervalo, somandoas várias energias cinéticas dos trechos de 
corda nos subintervalos, e, passando ao limite (continuidade de p e m, 
com relação a x está implicitamente admitida), tem-se que, de fato, a 
energia cinética da corda vibrante é dada por (32). Para a questão da 
energia potencial, vejamos o trabalho das forças de tensão. Tomemos, 
novamente, o trecho da corda entre x = a e x = a - l - á . A força de tensão 
nesse trecho, no instante í, é, apenas, na direção transversal e é dada por
Tû (a h,t)~ TuJ,a, t) = ru^Jx, t)h,
onde X é um ponto adequado entre a e â -\- h. Assim, o trabalho ^ da 
força de tensão na corda, desde o instante t = 0 ãté t = íq , é dado por
Mo
Jo Jo
TM̂ (̂x, t)Uf(x, t) dx dt.
Daí, integrando por partes, temos
^ = f [ - ̂ (x,f)w,(x,t)| - j* TM,(x,t)M„(X,í)dxjáí.
142 [ Capítulo 5 ]
Portanto, se as extremidades da corda estão fixas, ou se as condições
de fronteira são «̂ (̂0, t) = u^{L, t) = 0, temos
- n
zu^u,^ dx dt
e daí
o que implica
= _ T i i . r
Jo 2 dt i
Tuldx dt.
^ = Y í í tu\(x,tQ)dx.
Jo Jo
Esta última expressão mostra que o trabalho das forças de tensão, para 
levar a corda da configuração inicial u(x, 0) até à configuração u(x, íq), 
depende, tão-somente, das duas configurações inicial e final. E é isso que 
motiva a definição dada para a energia potencial em (33).
5.4 Harmônicos, freqüência, amplitude
Na resolução do PVIF (13) feita na Secção 5.2 pelo método de Fourier, 
obtivemos funções
, , nnx nnct , nnx nnctMJx, í) = sen —j— cos —----h sen -y— sen —j—»
que são soluções da equação da onda, e que satisfazem às
condições de fronteira, m(0, t) = u(L, t) = 0. Essas funções são chamadas 
ondas estacionárias, pela razão que explicaremos a seguir. Para x, tal 
que nnx/L = kn, isto é, x = kL/n, k = 0,1,. . . , n, temos sen nnx/L = 0. 
Portanto esses pontos, e apenas esses, permanecem parados se a vibração 
da corda é descrita pela função [Isso corresponderia à vibração de 
uma corda com extremidades fixas e condições iniciais m( x , 0) = sen nnx/L 
e û (x, 0) = (nnc/L) sen nnx/L/] Esses pontos são chamados os nós da 
onda estacionária. Os pontos médios entre dois nós consecutivos são os 
antinós ou ventres. O dobro da distância entre dois nós é o comprimento 
de onda: assim, o comprimento de onda da onda estacionária é 2L/n.
A função é chamada também o n-ésimo harmônico ou a n-ésima 
tônica. A primeira tônica recebe, também, o nome de tônica principal ou
[ Secção 5.4 ] 143
/ X fnnct nnxM„(x, t) = a„ sen I — + 0„ 1 sen — , (37)
onde 9̂ se chama a /asc. Observe que para cada t fixado a configuração 
da corda é descrita por uma senóide. Para os valores de t tais que (nnct/L) -h 
-h = /cTT, fc = 0 , 1 , 2 , a corda passa pela posição de equilíbrio, e 
nesses momentos a velocidade dujdt é máxima. Para os valores de t tais 
que sen \_{nnct/L) 4- 0„] = ± 1 a corda tem seus desvios máximos da po­
sição de equilíbrio, e nesses momentos a velocidade é zero. Observe tam­
bém que o movimento de cada ponto x da corda obedece uma lei senoidal 
de amplitude sen nnx/L, período = 2L/nc e freqüência = T~^ = 
= nc/2L. Assim, a freqüência de vibração de todos os pontos da corda 
é a mesma. Então
harmônico fundamental, e os demais são as supertònicas. Fazendo =
= arc tg a jb ^, podemos escrever , assim,
=
nc
2L 0L„ sen -
nnx
são chamadas, respectivamente, a freqüência (ou freqüência natural) e 
amplitude do M-ésimo harmônico. Vê-se que as freqüências das super- 
tônicas são múltiplos da freqüência da tônica.
A energia do n-ésimo harmônico. Consideremos o n-ésimo harmônico u„
produzido pela corda vibrante com ex­
tremidades fixas; veja a expressão contida em (18) ou (37):
nnx
de onde se segue:
dx
/ . / tinct ^ \ nn:0 = “n sen l - j - + 0„j sen -j-
du^, , nnc {nnct ^ \ nnx-jf (í,n - + e .jsen -j-.
. . nn {nnct . \ nnx0 = a„ sen í — + 0 J cos ■
gia d(
1 / X 2 nH^c^ 2 2 / nnx\» = y J —j y - cos ̂p„ sen̂ j
1 r*" 2 ̂ 2 o l í f t t t x \ ,
T J 'íT ' ( “T )
Para calcular a energia de u„, usamos as Expressões (32) e (33) para obter 
£ . = ^ I p(x)a^ " cos^ p„ sen^ ( ^ ) dx
144 [ Capftulo 5 ]
onde = nncL 4-1- 6 ^. Supondo p e z constantes, temos
2 ^ 2n^n
clK p c ^ c o s " /í„ -h T sen^ /?J
e, como = xp \ segue-se que
onde M = Lpé a massa da corda, o>„ é a freqüência do n-ésimo harmônico 
e é a amplitude máxima desse harmônico.
A energia da corda é a soma das energias dos vários harmônicos. De fato, bas­
ta calcular a
energia no instante í = 0, uma vez que a corda vibrante, com extremidades 
fixas, forma um sistema conservativo. Assim, a energia E da corda é
/•L ̂ /»LI r
E Jo Jo= y I PÍg(x)Y á x + y j* t [ / '( x )]2 dx.
Usando as Expressões (20) e (22) e as relações de ortogonalidade, temos
_ 1 ^ , , L 1 ^ ^
® - T + T 2 '
OU seja.
2 ^ 2
4L pc
O que mostra que E = 'EE^.
5.5 Corda dedilhada
Consideremos uma corda, com extremidades fixas, posta a vibrar 
graças a um deslocamento de sua posição de equilíbrio. Teríamos que 
as configurações seriam descritas pela função m(x , í), que é a solução do 
PVIF (13), com
f( \ 0 ^ X ^ a,
^ |/i(x - L)/(a - L), para a ^ x ^ L,
g{x) = 0.
Esse é o modelo (ideal) do que ocorre quando se dedilha as cordas de uma 
harpa, ou quando se toca vários outros instrumentos de corda, como, 
por exemplo, o violão ou o violino em pizicato.
[ Secção 5 5 ] 145
A solução do PVIF (13) neste caso é dada pela Expressão (19), com
í,, = 0 e
2 h nna
= a{L-a)
Assim, o M-ésimo harmônico é dado por
2 h
T sen-
0 =
nna nnx/ r X 7 - 2 sen - 7- sen — cos - a(L-a) n^n^ L L
nnct
A configuração u(x, í) é a superposição desses harmônicos. Observe que, 
dependendo do ponto a, onde se dedilha a corda, alguns harmônicos 
podem estar ausentes na expressão de u. Dizemos, então, que esses har­
mônicos estão mudos. Por exemplo, se a = L/2, todos os harmônicos 
pares permanecem mudos. Em geral, se o ponto a for um nó do n-ésimo 
harmônico, então ele permanecerá mudo. Vê-se, então, que o primeiro 
harmônico nunca permanece mudo.
As vibrações de uma corda se transmitem ao ar produzindo ondas 
sonoras. Assim, podemos entender o som produzido pela corda vibrante 
como uma superposição de harmônicos. As qualidades fisicas do som 
são funções dos vários parâmetros que entram nas expressões de 
Assim, a altura do som é medida por sua freqüência, dada em hertz 
(ciclos por segundo). Obviamente, essa é exatamente a freqüência do har­
mônico fundamental. Quanto maior a freqüência mais alto é o som. Os 
sons audíveis variam aproximadamente entre 16 e 16 000 Hz. Vejamos 
como a altura do som depende das condições fisicas da corda. Temos
1
“ * = 2 l
Portanto, se diminuirmos o comprimento da corda, a altura do som au­
mentará na razão inversa da variação desse comprimento. Esse artificio
146 [ Capítulo 5 ]
é usado quando, na harpa, se diminui o comprimento da corda vibrante 
por um dispositivo controlado por um pedal. Os comprimentos de cordas 
vibrantes no violão ou no violino são diminuídos com a pressão dos dedos 
em certos pontos. De modo análogo, a altura aumenta segundo a raiz 
quadrada da tensão. Daí, a necessidade de afinar um violão ou um vio­
lino, pois com o tempo a tensão na corda varia e ela passa a produzir 
sons de alturas diferentes. Finalmente, a espessura da corda também 
afeta a altura do som, na razão inversa da raiz quadrada de p.
A intensidade do som depende da energia da corda vibrante. No 
caso da corda dedilhada essa energia é
E = M r Zn = 1
Vê-se, pois, que a intensidade varia proporcionalmente ao quadrado do 
deslocamento dado à corda no ponto onde se dedilha.
Finalmente, o timbre do som é uma qualidade que permite distinguir 
sons de mesma altura e mesma intensidade. Ele depende da forma de 
m(x , í), e, portanto, da distribuição de todas as supertônicas. Assim, sons 
de mesmas altura e intensidade podem ser produzidos por cordas, cujas 
vibrações são ocasionadas por dedilhamento, ou por percussão, como 
no caso do piano, ou ainda, pelo atrito com um arco, como no casodo 
violino. O que distingue esses sons é o timbre, pois a forma de u(x, t) é 
diferente em cada caso.
5.6 Vibrações forçadas. Ressonância
Consideremos o problema de vibração de uma corda com extremi­
dades fixas, e sujeita a forças externas. O deslocamento u(x, í) é a solução 
do PVIF:
“h = t), em
m(0, t) = u(L, t) = 0, para í > 0, 
u (x , 0) = /o ( x ) , para 0 < x < L ,
Mj(x, 0) = /i(x), para 0 < x < L.
Como em outras ocasiões, vamos proceder informalmente para descobrir 
um candidato à solução. A idéia é tentar soluções na forma
(39)
m( x , 0 = X c„(t) sen — ,
n= 1 ^
(40)
[ Secção 5.6 ] 147
com coeficientes c„(í) a determinar. Supondo que, para cada í, a função
g(x, t) possa ser escrita como uma série de Fourier do tipo
g(x.
. „ rmx
-0 = I 0,(í)sen —
n = l ^
(41)
e, agindo sem cerimônias (!) quanto a derivações de séries, termo a termo, 
obtemos
Z ,, flTlX ^ V-» ri li. rui,^ ^T " I -7 7 - sen -£ 7 + Innx ^ , . nnxZ 0„(t)sen — •
E, daí, se segue que
ou seja,
e: + T - c„ = g„(t).
< + (2 n o )J \ = g„, (42)
para todo í > 0, onde = ncflL é a freqüência do n-ésimo harmônico 
da corda livre (cf. Secção 5.4). Além disso, usando as condições iniciais 
do PVIF (39), concluímos
/o(^)= Z c „ (0 )se n ^ .
nnxfi{x)= Y <(0)sen — .
n = l ^
O que mostra que devemos ter
c,(0) = -^ I* f o ( x ) s e n ^ d x , 
Jo
c'„(0) = ^ í f i(x ) s e n ^ d x . 
Jo
(43)
(44)
(45)
(46)
Assim, cjt) é a solução de um problema de valor inicial para uma equação 
diferencial ordinária de segunda ordem, dado em (42), (45) e (46). A solução 
geral da Equação (42) é da forma
n̂(0 = COS 2nco„t + sen 2nco„t -h c„(í),
onde e são constantes arbitrárias que serão determinadas, de modo 
que as condições iniciais (45) e (46) sejam satisfeitas; e cj t̂) é uma solução 
particular da Equação (42) que pode ser obtida pelo método de variação 
dos parâmetros.
148 [ Capítulo 5 ]
Resumindo — Determina-se c;,(í) pela resolução do problema de valor 
inicial dado em (42), (45) e (46), e, então, a Expressão (40) 
deve ser a solução do PVIF (39). Hipóteses sobre a diferenciabilidade 
de g, / q e devem ser feitas para que se possa realmente provar que a 
série em (40) converge e que, de fato, define uma solução do PVIF (39). 
Omitiremos essa discussão, pois outras semelhantes já foram feitas ante­
riormente. Vamos ilustrar com alguns casos particulares.
EXEMPLO 1. Suponha que g{x,t) seja igual a uma constante A. em 
todo Nesse caso
c„ = 2A{\ — COS nn)[nn{2no)„f]~ ‘ 
e da expressão de c jt) segue-se
t'ní0) = a„ + c„, c-;(0) = 2n0)„b„.
Portanto
c„{t) = c„(0) COS 2no)„t -h sen 2no)„í + c„(l - cos 2no)„t)
2 no)„
e daí
m (x , /) = r ( x , / ) -h 2 2 , c„ sen^ s e n --------
n= 1 ^
onde r(x. r) é a solução do PVIF correspondente à corda livre, isto é. 
com g = 0.
EXEMPLO 2. Suponha que g{x.t) = AsQn{2n(ot), isto é. que a corda 
vibre sujeita a uma força periódica de frequência oj. Então, 
uma solução particular da Equação (42) é dada por
(1 - cos nn)
‘̂ni0 = - — jt - 2 ----- ^sen27TOj/, se2nn^(or„ — or)
A ( \ — COS m i )cAt) = ------— ^ -------- / COS 2no)t, se o) = oj„.
2nn^o)
Como c*„(0) = Q c ;,(0) = 2no)„h„ -h c ;,(0), obtem-se
c„{t) = c „(0) COS 2710JA +
2no)„
sen 27íoj„t -h R„(t)
onde
D / V ) sen 2 najt sen 2 nojA \
RnU) = c„{0)i— ^ , ----------— se o)^oj„
2 naj 2 na>„
[ Secção 5 7 ] 149
R„{ f ) -■ ̂«(0) \ f COS I n c o t sen Inojí)Inco se CO = co„
Vemos. pois. que se a frequência co da força externa for igual a uma 
das frequências próprias da corda livre, (co = aparecerá na expressão 
de u(x.t) um termo da forma
 ̂ c'„̂ (0) í COS Incoí sen
o qual não é limitado quando r -► x . Como o resto da expressão de u 
é limitada, concluímos que as amplitudes de n crescem ilimitadamente. 
Neste caso. dizemos que existe ressonância.
Por outro lado. se a freqiiência co da força externa diferir de todas as 
frequências próprias da corda livre, a expressão de n será da forma u(\. t) = 
= r(A*. t) + r). onde r(.Y. r) é a solução do PVIF correspondente à
corda livre e
"Í^-t) = JZ 2 I
1
4n^ euf-cu
 ̂ cu ̂ \ nnxI sen 2 na)t---- sen 2 moj sen —r-' cu.. / L
que define uma função limitada, pois (u„ se comporta como n. Conse­
quentemente. as vibrações se mantêm limitadas: não há. pois, ressonância, 
se cu # cu„. para todo n.
A ressonância no caso da corda vibrante, ou em outros sistemas 
mecânicos em vibração, pode ser considerada uma tragédia, algo a se 
evitar, pois, praticamente, implica em que o sistema se quebre. Já no caso 
de sistemas elétricos, a ressonância pode ser explorada beneficamente: 
o processo de sintonização consiste em pôr em ressonância um circuito 
elétrico com um impulso externo.
5.7 Corda infinita
Vamos agora estudar o problema de vibração de uma corda de com­
primento infinito. Como o leitor vê, esse problema é uma idealização 
matemática para o caso de uma corda muito longa (!). Neste caso, não 
há condições de fronteira a satisfazer, e, assim, o problema consiste em 
buscar uma função w(x, t) definida no semiplano fechado, x e R e í > 0,
150 [ Capítulo 5 ]
tal que
u = c^ut̂t ̂ **xx ’ x g R, í > 0, 
m(x , 0 ) = / ( x ), x e R , w,(x, 0) = g(x), X 6 IR, (47)
onde /(x) e ^(x) são as condições iniciais. Este problema é conhecido 
como um Problema de Valor Inicial (PVI) ou um Problema de Cauchy.
Solução geral O resultado abaixo mostra que a equação das ondas tem 
uma solução geral, isto é, uma expressão que engloba todas 
as suas soluções. Esse fato é excepcional entre as equações diferenciais 
parciais; a existência de solução geral é algo mais típico das equações 
diferenciais ordinárias.
PROPOSICAO 5.1. Se u(x,t) satisfizer à equação das ondas = c^u^^, 
onde c é constante, então existirão funções F e G 
reais de variável real, i.e., F, G: IR -► IR, tais que
u(x, t) = F(x -h ct) -h G(x - ct). (48)
Demonstração. Introduzimos novas variáveis independentes rj dadas por
i = X ct, T] = X-Ct,
e definimos a função v por
v(i, q) = v{x + ct, X - ct) = u(x, t).
Logo,
“ xx = >^íí + , U„ = + l ; „ c ^
que levando à equação das ondas fornece
% = 0-
Esta equação é facilmente integrada. De fato, dela se segue que v̂ = F^(^) 
e, desta, v = |Fj((J)J(^ + G(q). O resultado se segue, chamando de F(^) 
uma das primitivas de F ̂ e voltando às variáveis x, t. Q.E.D.
De acordo com a proposição acima, a solução (19) do PVIF (13) 
deve ser da forma (48), uma vez que (19) é solução da equação das ondas. 
De fato, usando as identidades trigonométricas
sen a cos ^ = -y [sen (u + fc) + sen {a - b)~\, 
sen a sen ̂ = -y [cos (a -b )- cos {a + b)~\.
[ Secção 5.7 ] 151
obtemos em (19) 
u(x
4 í , [
nn(x -h ct) nnix -sen------ --------h a„SQn r^ ]
, nn{x - ct) , nn(x COS —^ ^ COS ■ + ct)~\
 ̂ J
o que mostra que (19) é da forma F(x + ct) + G(x-cí), com
F(í) = y í )
e uma expressão análoga para G(rj).
FÓRMULA DE D'ALEMBERT. Para obter a solução do problema de
Cauchy para a equação das ondas, Pro­
blema (47), procuraremos determinar funções F e G, usando as condições 
iniciais. Como m(x, t) = F(x -h ct) -h G(x - ct), temos que
m(x, 0) = F(x) -h G(x) = f(x) (49)
e
M,(x, 0) = cF'(x) - cG'{x) = (̂x).
Integrando a última expressão, obtemos
F(x)-G(x) = -^ I* g(s)ds + K, 
^ Jo
(50)
onde K é uma constante arbitrária. De (49) e (50), obtemos
1F{x) = y /(x) + ^ I g{s) ds + y . 
Jo
G(x)
Portanto
g(s) ds K2
1 1 - 1 f*”"
0 = y [./"( ̂+ ct) + /(x - cí)] + y 3(s) ds - y g{s) ds,
Jo Jo
que implica
m(x, í) = y + ct) + /(x - Cí)] + y í
Jx-c
g(s) ds. (51)
conhecida como a fórmula de (TAlembert.
152 [ Capítulo 5 ]
Intervalo de dependência. Analisando a fórmula de d’Alembert vemos que
o valor da solução u do problema de Cauchy (47) 
no ponto (x, í) depende, apenas, dos valores dos dados iniciais no intervalo 
[x - cí, X -}- cí], que é chamado o intervalo de dependência do ponto (x, í). 
As retas inclinadas da figura a seguir têm inclinações 1/c e -1/c, e são 
chamadas retas características. Portanto as retas característicassão da 
forma x -h cí = constante e x - c t = constante.
Região de influência. A fórmula de d’Alembert também nos diz que os 
valores de / e g, no ponto (x, 0), influenciam os 
valores de u apenas no setor hachurado, na Figura 5.5, e determinado 
pelas semi-retas, emanando de (x, 0) com inclinações 1/c e -1/c. Essa 
região é chamada o cone de influência', nomenclatura um pouco esdrúxula 
no presente caso, pois deveria ser o setor de influência. Preferimos chamar 
de cone, pois é a mesma nomenclatura usada na equação da onda multi- 
dimensional. Assim, supondo que os dados iniciais f c g tenham suporte 
no intervalo \_a, h], isto é, f q g sq anulam fora de [a, b], segue-se que 
a solução u(x, t) é, necessariamente, nula fora da região hachurada na 
Figura 5.6, que é, então, chamada a região de influência desses dados iniciais.
Velocidade de propagação. Podemos interpretar o problema de. Cauchy
como o da vibração de uma corda infinita, 
vibração essa provocada por perturbações na corda em sua posição de 
repouso. Essas perturbações consistem em afastamento da posição de 
repouso, traduzido pela condição inicial m(x , 0 ) = / ( x ) , e por uma velo­
cidade inicial na corda, traduzida pelo dado û (x, 0) = ^ (x ) . Assim, vemos 
que, caso as perturbações iniciais estejam concentradas em um trecho 
[a, b], da corda, elas poderão afetar um ponto Xq > b apenas depois de
[ SecçSo 5.7 ] 153
transcorrido um tempo Cq = (x„ - b)/c. Isso quer dizer que as perturbações
viajam ao longo da corda com velocidade c.
154 [ Capftulo 5 ]
u(x, í) = y [ /(^ + + f(x - cOl
Dizemos nesse caso que, para cada í, u(x, t)éa superposição de duas ondas. 
A função /(x + ct) é chamada uma onda regressiva c f(x -c t) uma onda 
progressiva. Vejamos um exemplo: c = 1 e /(x) uma função cujo gráfico 
está indicado na Figura 5.8.
Na Figura 5.8(a) vê-se a onda no instante t = 0. Ela gera duas ondas: 
a regressiva, viajando para a esquerda e indicada nas Figuras 5.8(b), (d) e 
(f) por uma linha de traços e pontos; a progressiva, viajando para a direita 
e indicada nas Figuras 5.8(b), (d) e (0 por uma linha tracejada. Nas Fi­
guras 5.8(a), (c), (e) e (g) vemos as configurações u(x, t) da corda, em ins-
Corda dedilhada. Suponha que a vibração da corda seja causada apenas
pelo deslocamento inicial /(x), isto é, .̂ (x) = 0. Então
a fórmula de d’Alembert nos diz que
[ Secção 5.7 ] 155
d)
t = 1
0 / / \ f { x - \ )
-2 -1
tantes í = 0, 1/2, 1, 2. Ainda neste exemplo especial, vemos um fenômeno 
interessante: fixado um ponto x longe da perturbação inicial, esta demora 
um certo tempo até chegar a x, perturba x durante um momento e, depois, 
passa, deixando o ponto novamente em repouso para sempre. Este fato
156 [ Capítulo 5 ]
característico de ondas unidimensionais e tridimensionais (ondas sonoras 
no espaço (R̂ ), é conhecido como o fenômeno de Huyghens, e não ocorre 
com ondas bidimensionais (riiembranas vibrantes, ondas na superfície da 
água), onde a perturbação inicial continua sempre afetando o ponto x; 
observe o que se passa quando uma pedra é jogada na superfície da água. 
Ao contrário do que acontece para ondas unidimensionais, no caso de 
ondas tridimensionais, o fenômeno de Huyghens ocorre mesmo se a ve­
locidade inicial for diferente de zero.
É a expressão de u, dada na fórmula de düAlembert, realmente uma solução 
do problema de Cauchy (47)? Se o leitor fícou surpreso com tal pergunta
a estas alturas, medite um pouco. Em pri­
meiro lugar, a Proposição 5.1 tinha como hipótese a existência de uma 
solução da equação da onda, e, então, assegurava que a referida solução 
tinha uma forma especial. Em segundo lugar, no processo de obtenção 
da fórmula de d’Alembert houve a admissão tácita de que a solução 
existia. Portanto uma atitude cuidadosa de nòssa parte nos leva a olhar 
para a expressão de u dada pela fórmula como um candidato à solução; 
é o que fizemos em outras situações. Claramente, u satisfaz às condições 
iniciais. E satisfará à equação da onda, se pedirmos algo das funções / e g. 
Vemos que o seguinte basta: (y)f(x) de classe e ^(x) de classe Sob 
essas condições a função m(x , t) é de classe em todo o plano (x , í) , e 
dizemos, então, que é uma solução estrita. Entretanto, gostaremos de 
considerar o problema de Cauchy (47) para o caso em que f c g não são 
diferenciáveis, ou são, até mesmo, descontínuas. Para tal, deve-se ampliar 
o conceito de solução. E, aí, consideramos soluções generalizadas, que 
serão estudadas na Secção 5.11.
A integral de energia. Suponhamos que os dados iniciais f t g sejam tais 
que, para cada t > 0, u(x, t) e todas suas derivadas 
até segunda ordem sejam de quadrado integrável como função de x em U. 
Por exemplo, isso ocorre, se / e ^ satisfizerem à condição (y) e, além disso, 
se ambas tiverem suporte compacto, o que quer dizer que elas se anulam 
fora de um intervalo [a, fc]. Então, multiplicando a equação da onda por u,, 
obtemos a seguinte identidade
Integrando, com relação a x, de -oo a -h cx), e supondo que lim,_ ̂̂ ̂ = 0,
e que é possível permutar integração com derivação com relação a t (isso
[ SecçSo 5.7 ] 157
ocorre nas condições especiais enunciadas acima), obtemos
dt (52)
A integral em (52) é chamada a integral de energia, e a Expressão (52) diz 
que a energia é constante quando t varia. Logo,
J* [ t ■*" T ^ J* [t T j
para todo t > 0, relação que expressa a conservação da energia.
Unicidade de solução estrita do Problema de Cauchy. Suponha que f Q g
satisfazem à condi­
ção (y) e que ambas têm suporte compacto. Se o problema de Cauchy 
tiver 2 soluções, t u^, então u = u^-U 2 tem condições iniciais identi­
camente nulas e satisfaz às hipóteses necessárias para a aplicação da 
Relação (53). Logo, u,(x, t) = u^(x, t) = 0, o que implica u(x, t) = cons­
tante. Como u se anula para t = 0, concluímos que u é identicamente 
zero, e, daí, = 1̂ 2 , isto é, unicidade.
Continuidade da solução do Problema de Cauchy com os dados iniciais.
Consideremos o problema de Cauchy com dois conjuntos 
diferentes de dados iniciais: { / j , ^ 1} e { / 2 , ^2}- Suponhamos que tais dados 
satisfazem a condições que possibilitam a aplicação da equação da energia. 
Sejam a solução do problema de Cauchy para o primeiro conjunto 
de dados iniciais, e a solução do segundo problema. Aplicando a 
Relação (53) à diferença dessas funções, obtemos
C ^ I
+ y l M).
9 i? + (54)
Portanto, se os dados iniciais estiverem perto, no sentido de que a inte­
gral no segundo membro de (54) é pequena, então as soluções do problema 
de Cauchy estarão perto, no sentido de que a energia da diferença das 
soluções, dada no primeiro membro de (54) também será pequena.
O problema de Goursat. Consideremos, inicialmente, um paralelogramo
ABCD no plano (x, t), formado por segmentos de 
retas características. Chamando de x^ e t^ as coordenadas do ponto A,
158 [ Capítulo 5 ]
e, usando análogas notações para B, C c D, podemos provar
u{Xa , Ía) + u(Xo, to) = u{Xb , tg) + u{Xç , tc), ___ ^5)
onde u é uma solução qualquer da equação das ondas. Para tal, lembramos, 
primeiramente, que u(x, t) é da forma F(x + cí) + G(x - ct). E, como os 
lados do paralelogramo são segmentos de retas características, temos
+ ĉ A = Xc + etc Xg + ct„ = X„ + Ct„
«.4 - ctB » etc = ctD »
(56)
(57)
de onde se segue que
- (̂ â) + ^(^D - = ^i^B - + ^(^C -
e, finalmente, a soma das Expressões (56) e (57) nos dá (55).
O problema de Goursat consiste em procurar uma solução m(x , í) 
da equação das ondas que é igual a valores dados em um par de carac­
terísticas emanando de um ponto A. Usando a Relação (55) vemos ime­
diatamente que essa solução está determinada em todo o setor compreen­
dido pelas duas características.
Vibrações forçadas na corda infinita. O problema é a determinação de uma
solução u(x, t) do problema 
Ujj = -I- h{x, r). -X < X < 00, í > 0,
m(x , 0) = /(x), - c c < X < CO, (58)
M,(x, 0) = ^(x), - X < X < X ,
onde h , f e g são funções dadas.
[ Secção5.7 ] 159
Sem perda de generalidade, vamos supor c = 1, o que pode ser con­
seguido através de uma mudança de variável independente x. O valor 
da solução m, no ponto A = (x, í), pode ser conseguido aplicando o teorema 
da divergência na região triangular Q, limitada pelo eixo x e pelo par de 
características emanando de (x, í); veja a Figura 5.10. De fato, aplicando 
esse teorema à função vetorial 0 (x, t) = (-u^ , m,), obtemos
J div O dx dí = J O • ^ J ^ ^ ^ ^
onde = (1/ ^ / 2 , l /v ^ ) , = ( - l /x /2 , l / y / 2 ) e riĝ = (0, - 1) são as
normais unitárias exteriores às três porções da fronteira de Q. Portanto
J + Wr) ^5- h J u ^ )d s -^ u^dx.
A seguir, observando que (l/^y^)(-u^ + é a derivada direcional de u 
na direção de CA, e, analogamente, -h m,) é a derivada direcio­
nal de u na direção BA, temos
J| ~ ^xx) — *̂ (̂ ’ 0 ~w(x + í, 0 ) -h m(x , t)-u{x - í, 0 ) - û (s, 0) ds.Q Jx-r
160 [ Capftulo 5 ]
Finalmente, aplicando esta relação (que é válida para qualquer função u
de classe C^) à solução do Problema (58), obtemos
^x + í
y í írts)<ís + y í Hx,t)dxdt,
Jx-t Jq
o que nos dà, assim, uma representação para essa solução, em termos 
dos dados iniciais e do termo não-homogêneo.
5.8 Corda semi-infinita
A existência de uma solução geral, a Expressão (48), para a equação 
das ondas será, agora, utilizada para resolver problemas de valores inicial 
e de fronteira para a corda semi-infinita. Consideremos o seguinte pro­
blema:
X > 0, í > 0, 
m(0, t) = h(tX t > 0, 
u(x, 0) = / (x) e u,(x, 0) = (̂x),
(59)
X > 0,
onde K f c g são funções dadas. Mais adiante, teremos algumas palavras 
sobre a regularidade dessas funções. A resolução do Problema (59) con­
siste na determinação das funções F e G de (48) de modo que u satisfaça 
às condições iniciais e de fronteira acima. Assim, usando as condições 
iniciais, temos
F(x) + G(x) = /(x), X > 0, 
cF'(x) - cG'(x) = ^(x), X > 0.
Integrando esta última equação, e procedendo como na obtenção da 
fórmula de d’Alembert, temos
F{X) = y / ( X ) +
2
1
2c í g{s) ds + k, Jo
X > 0,
1
2c í(s) ds - k, Jo
X > 0,
onde k é uma constante. Agora, observe que para escrever m(x , í ) = 
= F(x -h ct) -h G(x - cí), devemos conhecer G para argumentos nega­
tivos, pois x - c t pode ser negativo. É aí que usamos a condição de fron-
[ Secção 5.8 ] 
teira para obter 
de onde se segue
161
F(ct) -h G(-cí) = h(t\ í > 0,
ou seja,
Gi-y) =
G(-3>) = - y f{y) - ̂ I 9(s) d s-k , y > 0.
Finalmente, podemos escrever a solução m(x , í) do Problema (59), que 
é dada por duas expressões distintas, dependendo do ponto (x, í) estar 
na região x -c í > 0, ou na região x - c í < 0 :
CX + ct
u{x, t) =
f{x + ct) + f ( x -c t)
f(ct + x) - /(c í - x)
g{s) ds, se X - Cf ^ 0,i - r
X - Cí < 0.
(60)
Comentários sobre essa solução, i) Se o ponto (x, í) estiver abaixo da ca­
racterística X - cí = 0, o valor de u(x, í) 
será como se a corda fosse infinita. Poderíamos dizer que, nesse caso, o
162 [ Capítulo 5 ]
ii) Se o ponto (x, t) estiver na região x - cí < 0, observe a geometria 
da figura acima, onde a característica, emanando de (x, í), encontra o 
eixo t no ponto í-(x/c), aí se reflete e vai encontrar o eixo x no ponto 
c t-x . Em verdade, devemos olhar esse percurso no sentido oposto: um 
sinal emanando do ponto c t - x [e, por isso, vamos entender o valor de 
/ nesse ponto, i.e., /(c í-x )] , no instante í = 0, e se propagando para a 
esquerda, com velocidade c (e, portanto, ao longo de uma característica), 
encontra a extremidade da corda, onde se reflete, e vai estar no ponto x 
no instante r; a fórmula nos diz que nessa reflexão há uma troca de sinal: 
f( c t-x ) passa a ser - /(c í-x ), pois é este valor que entra na Fórmula (60) 
para compor o valor de u(x, í). Observe que os valores iniciais w,(x, 0) 
são também refletidos. E, finalmente, há uma produção de sinais na extre­
midade da corda que se propagam para a direita, ao longo da corda, com 
velocidade c: assim, no instante t- (x /c \ aí se origina um sinal de inten­
sidade h(t - [x/c]), que vai compor o valor de u no ponto x, no instante t. 
Tudo isso se lê da Fórmula (60); interessante, não é?
Quando h = 0, o problema é redutível ao da corda infinita. Isso também se
conclui da Fór­
mula (60). De fato, o m(x , í) definido naquela fórmula é a solução do pro­
blema
ponto X não “sentirá” o fato de que a corda é limitada à esquerda, a não
ser após um tempo t = x/c.
-00 < X < 0 0 , í > 0,
. w(x, 0) = /(x) e M,(x, 0) = ^(x), -00 < x < oo.
(61)
onde /(x) é a extensão de f(x) para x < 0 de modo que / seja uma função 
ímpar, i.e.,/(-x) = -/(x), e o mesmo para g. Se você não quiser usar a 
fórmula (60), e desejar obtê-la, diretamente, para o caso de = 0, basta 
usar a fórmula de d’Alembert, tendo em vista as seguintes observações: 
como /j = 0, segue-se u(0, í) = 0, e isso será possível no Problema (61), 
se definirmos f c g como extensões ímpares de / e g, respectivamente.
Umas palavras sobre a solução expressa em (60). Se / e /i forem de classe
C^egdQ classe então,
u(x, í), definida em (60) será de classe em x > 0, í > 0. Para que u seja 
contínua em x > 0, í > 0, devemos iniciar com f q h satisfazendo a uma 
óbvia condição de compatibilidade: h(0 ) = f ( 0 ).
Um outro exemplo. Consideremos o problema
[ Secção 5.8 ] 163
M„ = , x > 0 , f > 0,
w,(0, í) = k{t), t > 0,
u{x, 0) = /(x) e u,{x, 0) = g(x), x > 0 .
O processo de resolução deste problema é, em tudo, semelhante ao que 
fizemos acima. Convidamos o leitor a fazer os detalhes e conferir a se­
guinte resposta:
/(x -f- ct) + f{ x -c t)u{x, t) =
f{ct -I- x) -l- f ( c t-x )
1
^JC + Cf
0(s) ds.
J JC - Cí
1
^ í + xJ g(s) ds
[ct - x)/c
k(s) ds, X -
Interprete a reflexão dos sinais na extremidade x = 0. Observe que no 
caso de k ser zero, a solução do problema coincidirá com a solução do 
Problema (61) (restrita a x > 0), quando f c g forem extensões pares de 
f e g para a reta toda.
Usando a mesma técnica, obtenha a solução do problema 
, X > 0, í > 0,
uJÔ t) = au(0, t), í > 0, a = constante > 0, 
m(x , 0) = /(x), u,(x, 0) = ^(x), X > 0,
que é dada por
c + cí
g{s) ds se x - cí > 0
(62)
f{ct + x) -l-/(c í-x)
j_ r2 c IJ x - c t
g(s)ds- (63)
g{s)e°'̂ ds, se 
x - c t < 0 .
É interessante a verificação direta de que u, definida pelas expressões 
contidas em (63), é, de fato, a solução do Problema (62). Como tudo lá 
depende de x -I- cí ou x - cí, concluímos que u satisfaz à equação das
164 [ Capítulo 5 ]
ondas, e nem temos que realizar as derivações! Para mostrar que u satisfaz 
às condições iniciais, usamos a primeira expressão de w, aquela para 
X - ct > 0. A verificação da condição de fronteira utiliza a expressão de u 
válida para x - cí < 0, e constitui um exercício interessante a obtenção 
de mJ x, í) nessa região! Faça os detalhes; você utilizará o Exercício 7.6.
5.9 Linhas de transmissão
Vamos considerar uma linha de transmissão de dois fios, cujo dia­
grama apresentamos na Figura 5.12, onde I j e Vj representam, respec­
tivamente, a intensidade de corrente e a tensão no ponto de emissão, e
Ir Q Vr , as grandezas correspondentes no ponto de recepção. 7(x, t) e 
F(x, í) representam a intensidade de corrente e a tensão num ponto x 
da linha de transmissão, no instante t. Para derivar as equações diferenciais 
a que devem satisfazer, vamos analisar o que se passa num pequeno trecho 
da linha, entre o ponto x e x -h Ax. Começamos traçando um modelo 
do circuito elétrico nesse trecho, e, a seguir, explicamos os vários parâ­
metros aí indicados.
Os condutores que constituem a linha de transmissão são feitos de 
metal e têm. portanto, uma certa resistência, em série. Vamos supor que 
o condutor seja uniforme, e. portanto, que a resistência por unidade de 
comprimento seja constante. Designemo-la por /?, que é dada. por exemplo, 
em ohm/quilômetro. A lei de Ohm diz que a queda de tensão num trecho 
de comprimento Ax é RAxI(x, t).
Uma certa indutância,em série, é também produzida no condutor, 
pela razão seguinte: a lei de Ampére diz que campos magnéticos em torno
[ Secção 5.9 ] 165
do condutor são criados pela corrente elétrica; a lei de Faraday diz que 
variações nesses campos induzem uma força eletromotriz retroativa no 
condutor. Vamos supor que essa indutância, designada por L, seja cons­
tante por unidade de comprimento; ela é dada em henry/quilômetro, 
por exemplo. A queda de tensão, num trecho de comprimento Ax, é dada 
por LAx 3/(x, í)/5í.
lix.t) Làx
■omnmn-
RAx
-WWW"
I(x + Ax, t)
F(x,0 V{x + Ax,r)
Figura 5.13
O par de condutores age, de certo modo, como um capacitor, e, assim, 
uma certa capacitância, em paralelo, deve aparecer. Supomos que ela, 
designada por C, seja constante por unidade de comprimento; ela é dada 
em farad/quilômetro, por exemplo. A corrente, através desse capacitor, 
é CAx dV(x, t)/õt.
Finalmente, na prática, não é possível isolar completamente os dois 
condutores. Assim, desenvolve-se uma certa condutância G, em paralelo, 
a qual supomos ser constante por unidade de comprimento. A condutância 
é uma espécie de inverso da resistência. G pode ser dada em mho/qui- 
lômetro. A corrente através dessa condutância é GAxF(x, í).
Agora, vamos às equações. A primeira lei de Kirchhoff estabelece 
que a soma algébrica das forças eletromotrizes em circuito fechado é 
zero. Assim, para um t fíxado
.dl(x,t)F(x, t)-RAxI{x, t)-L A x 
de onde se segue
V(x -h Ax, t) - K(x, t) 
Ax
e passando ao limite, quando Ax
dt V(x -h Ax. í) = 0,
= -RI(x, t ) -L 
0 :
õl(x, t) 
dt
dx dt (64)
1 6 6 [ Capítulo 5 ]
õV(x -h Ax, t)
A segunda lei de KirchhofT diz que a soma das correntes chegando
num nó do circuito elétrico é igual à soma das correntes saindo do referido
nó. Aplicando, essa lei ao circuito da figura, temos
I(x + Ax, í) = I(x,t)-GAxV(x + Ax, í)-CAx õt
Div idindo ambos os membros por Ax e passando ao limite quando Ax 0, 
obtemos
õx õt (65)
Utilizando (64) e (65) chegamos às equações
= RGK-h (KC + LG)V ̂ -h LCK„ (66)
= RGI + (KC + LG)I, + LCI,,. (67)
Uma equação dessa forma é conhecida como a equação do telégrafo.
Alguns casos especiais
1) Linhas de transmissão de corrente contínua. Neste caso, a intensidade de
corrente e a tensão não va­
riam com o tempo. Logo, as Equações (66) e (67) se tornam
v;, = RGV e = RGI,
O que mostra que V e I são soluções de equações diferenciais ordinárias.
2) Cabo submarino. Neste caso admitimos que o isolamento seja muito
bom, o que se traduz em supor que G = 0. Além 
disso supomos que a freqüência oj de corrente alternada é muito baixa. 
Teríamos L(x, í) = A(x)e''^\ com o pequeno. Daí
= -o)^A(x)e‘̂ ̂ = -io)V ̂ = o(V̂ )
de onde se segue que, num modelo aproximado, L,, pode ser desprezado 
em presença de . Conseqüentemente
= RCV,
que são equações do tipo do calor, estudadas no Capítulo 4.
e, de modo análogo.
3) Linhas de transmissão de alta-freqüência. Neste caso, pelo raciocínio
feito acima, pode-se concluir
que
V = o(L„), V; = o(LJ, / = 0 (1 ,,) e I, = 0 ( 1 „).
[ Secção 5.9 ] 167
Logo, obteremos
K .= LCV„ e h . = LCI,„
que são equações de ondas, estudadas nas secções anteriores.
Para penetrar um pouco na fisica da equação do telégrafo vamos 
considerar soluções da forma V(x, t) = e I(x, t) = 7(x)e'"', onde
Ve I podem ser funções complexas. Usando a Equação (66) para V(x)e**̂ \ 
obtemos
V" = RGV-\- (LG -h KC)io)P-f (UofLCV
e, daí,
V" = (/? + i(oL){G -h i(oC)V, (68)
Introduzimos, agora, a constante de propagação da linha de transmissão
(69)y = küL)(G -h i(oC)
e, então, a Equação (>8) se torna
V" =
cujas soluções são da forma
F(x) = Ae-^^ Be^^
onde A e B são constantes arbitrárias. Usando a Equação (64) com 
7(x, t) = I(x)e'^\ obtemos
onde
I{x) = -- (A e-^^-B en , 
^ 0
Zq = y / (G i(úC)(R + icoL) ^
é a impedância da linha de transmissão.
Se, agora, supusermos uma linha de transmissão muito longa, vemos 
que um dos coeficientes, A ou B, deve ser 0, pois, de outro modo, a tensão 
cresceria ilimitadamente. De fato, observe que y pode ser tomada com 
sua parte real positiva, pois o radicando em (69) tem parte imaginária 
positiva, para todas as linhas de transmissão da prática. Isso implica que 
K(x) = Ae~^'' e 7(x) = AZ~^ e, daí, Zq = F 7 " \ o que mostra que 
a impedância é simplesmente a relação entre a tensão e a intensidade 
de corrente em uma linha de transmissão infinita.
Agora, introduzimos as constantes de atenuação a e a constante de 
fase P da linha de transmissão definidas por y = a + ifi. Com essas cons­
tantes podemos concluir, para linhas de transmissão infinitas, que
V(x)e'^^ =
I(x)e'^^ =
168 [ Capítulo 5 ]
Vq(x, t) = COS (cot - Px),
/ q(x , í) = .4 1 Z q I ■ COS (q)í - - 0),
onde 0 é o argumento da impedância, i.e., Zq = | | o que mostra
que a tensão e a intensidade de corrente são ondas progressivas, que se 
propagam com velocidade v = o)/p. A presença do fator e " " mostra 
que há um decaimento na tensão e na corrente. Portanto, ao transmitir 
a corrente elétrica ao longo da linha, hâ uma queda de tensão.
Sc CR = LGy obtemos, em (69),
e, daí, chamando Kq e / q , respectivamente, as partes reais de K e /, temos
y = y / Z c ^ -f
o que mostra que P = coyj LC, de onde se segue que, nesse caso, a ve­
locidade v = {LC)~^'^, e, portanto, independente da freqüência cu. Di­
zemos que não há dispersão, quando isso acontece.
Terminamos esta secção com uma observação de Thomas Edison, 
feita em 1887: “Take warning! Alternating currents are dangerous! They 
are fit only for powering the electric chair. The only similarity between 
an a-c and a d-c lighting System is that they both start from the same coai 
pile”.
5.10 Vibrações longitudinais de uma barra 
elástica
Consideremos uma barra que na posição de repouso tenha as se­
guintes características: comprimento L, área da secção transversal A, 
densidade volumétrica p, e módulo de Young E. Imaginemos que a barra 
jaza ao longo do eixo x, ocupando o intervalo [0, L]. Fazemos a hipótese 
de que durante todo o processo vibratório a barra permaneça aí, isto é, 
ao longo do eixo x, e supomos, também, que as vibrações sejam apenas 
longitudinais com secções transversais planas sendo levadas em secções 
transversais planas com a mesma área A. Quando o movimento vibratório 
começa, as partículas que estavam na posição x, no repouso, passam a 
ocupar outras posições. Vamos designar por u(x, t) o deslocamento longi­
tudinal da partícula que, na posição de repouso, ocupava o ponto x.
Atenção! estamos usando aqui as coordenadas de Lagrange (no caso, 
como se trata de um fenômeno unidimensional, apenas a abcissa x) que
[ Secção 5 10 ] 169
individualizam a partícula por sua posição x, no repouso. Observe que 
o X não se refere à secção x em tempos futuros durante o fenômeno. Se 
fixarmos uma posição geométrica x da barra, por ela passam partículas 
que, no repouso, estavam em outras posições. É assim que, em alguns 
problemas, é conveniente usar as coordenadas de Euler, que se referem 
a uma posição no espaço (no nosso caso apenas x), independente do mo­
vimento; quando o tempo transcorre essa posição é ocupada por par­
tículas diferentes.
A secção que, no repouso, estava em x passa a ocupar a posição 
X -h m( x , í), no instante t. Veja a Figura 5.14. Para que isso seja fisicamente 
possível, mantendo-se a área da secção transversal devemos supor que 
a barra seja compressível, isto é, que em alguns trechos ela se dilate e, 
em outros, se comprima, o que implica em p ser variável.
As vibrações são devidas a uma deformação inicial (longitudinal), 
dada por m( x , 0), e a uma velocidade inicial (longitudinal) impressa às 
partículas da barra, dada por m, (x , 0). Essas perturbações são opostas por 
forças de tensão, representadas por T(x, í), onde x é a coordenada de 
Lagrange, e que tendem a levar a barra, de volta, à sua posição de repouso. 
Atenção: T(x, t) não se refere à tensão na secção x no instante í, mas sim 
à força de tensão, no instante í, na secção que, no repouso,ocupava a 
posição x; portanto T(x, í) se refere à secção x-h m( x , f) no instante t. 
Para entendermos fisicamente a força de tensão usamos o seguinte argu-
170 [ Capftulo 5 ]
mento: se a barra fosse cortada no ponto x + u(x, t), no instante í, a força 
de tensão T(x, t) seria aquela que é necessária aplicar a um dos pedaços 
e - T(x, t \ ao outro, para que tudo continue como se não tivesse havido 
corte. Veja a Figura 5.15, onde fizemos uma separação dos dois pedaços 
para explicitar o que dissemos.
T v ü y
u{x,t)
Figura 5.15
Dependendo das condições impostas às extremidades da barra, temos 
diferentes problemas. Por exemplo, a barra pode estar presa em suas 
duas extremidades: m(0, t) = m(L, í) = 0 e assim o comprimento da barra 
é constante. A barra pode ter uma extremidade presa, w(0, í) = 0 e a outra 
livre, o que implica, que a tensão T(L, í) = 0, e, daí, uJl̂ L, í) = 0, e neste 
caso a barra pode variar de comprimento.
Para obter a equação diferencial, que descreve o deslocamento m, 
vamos aplicar a lei de Hooke, a qual diz que a tensão por unidade de área 
em uma secção transversal da barra é proporcional à variação longitu­
dinal relativa, e(x, í), da secção: T(x, t)/A = £e(x, t). A aplicabilidade dessa 
lei se limita a pequenas deformações. Para calcular essa variação, e ( x , í ), 
relativa à secção transversal que, no repouso, ocupa a posição x, proce­
demos do seguinte modo: o trecho da barra que, no repouso, ocupa a 
posição entre os pontos x e x -h /i, estará no instante í, no trecho entre 
X -I- m(x , í) e X -h /i + m( x H- fc, í). Logo, o aumento relativo de compri­
mento do referido trecho é [ m(x -h/i, í)~ w(x, í)]/i"\ que passando ao 
limite, quando -► 0, dá a = du/õx, onde a derivada parcial é calculada 
no ponto (x, í). Logo, a lei de Hooke, simplesmente, diz que
du{x, t)T(x,t) = EA dx (70)
Usamos, agora, a lei de Newton da mecânica, que diz que a variação 
da quantidade de movimento é igual à soma das forças aplicadas. Vamos 
aplicá-la ao elemento da barra, que, no repouso, está entre x e x -I- #i,
[ Secção 5 1 0 ] 171
e ao intervalo de tempo entre e íj '
r + h '|>(^, t,)Au,(i, t ,) - pi^, í ,)]
-f [T(x + l » , T ) - r ( x , T ) ] d T + n » r)dzd^.
onde /j(^, t) é a densidade linear das forças externas aplicadas, e de onde 
se segue
r + fc ^2 1 ^ 2 + h pJC + fc pf2{pAu,),dxd^^ ^ d ^ d x + I /,(^,t)díáT.Jti Jti Jx Jx Jtt
Esta última relação, que é válida para intervalos [x, x + h] e [^1 ,^2] 
arbitrários, juntamente com (70) nos fornece
(pAu,\ = (EAuJ^ -h /i(x, í). (71)
Resumindo — A Equação (71) descreve as vibrações longitudinais de uma 
barra elástica, sujeita a forças externas /j(x, í). Se supuser­
mos p constante, obteremos a equação
£
onde / = f jp . Observe que essa hipótese simplificadora, é fisicamente, 
inaceitável, pois ela é incompatível com o movimento das partículas. 
Entretanto o modelo matemático resultante constitui uma boa aproxi­
mação para o caso das pequenas vibrações longitudinais.
Sobre o módulo de Young. Trata-se de uma constante que depende do ma­
terial de que é feita a barra, e é medido em 
newton/metro quadrado no sistema MKS. Observe que E/p tem as di­
mensões de velocidade ao quadrado: de fato [£] = MLT~^L~^ e [p] = 
= AÍL"^, o que implica [E/p] = L^T~^. Portanto y j Ejp representa a 
velocidade de propagação das vibrações longitudinais. Damos abaixo uma 
pequena tabela de E e p.
E(N/m2) P<kg/m )̂
Aço
Cobre
Alumínio
21 X 10 ‘® 
12 X 10 ‘®
7 X 10^°
7.8 X 10̂
8.9 X 10̂ 
2,7 X 10̂
172 [ Capítulo S ]
5.11 ** Soluções generalizadas à Sobolev
A equação das ondas foi obtida a partir de uma equação integral, 
a Expressão (3) da Secção 5.1, que ligava a função incógnita m(x , í) com 
certos dados do problema. O problema fisico está bem representado pela 
equação integral e, a rigor, poder-se-ia tentar resolvê-la diretamente para 
obter u. Entretanto é um costume histórico supor que a solução u tenha 
mais regularidade e passar-se para uma equação diferencial equivalente. 
Veja você, soluções com essa regularidade são obtidas às custas de hi­
póteses adicionais e artificiais sobre os dados do problema. De fato, vimos 
na Secção 5.7 que o problema de Cauchy (47) tem solução estrita u(x, t) 
(i.e., M é de classe em R )̂, se / for de classe e ^ de classe em R; 
e essa solução é dada pela fórmula de d’Alembert. Na Secção 5.7 cha­
mamos a atenção sobre a necessidade de considerar o problema de Cauchy 
para dados iniciais, sem os graus de derivabilidade pedidos acima; inclu­
sive, é de interesse considerar casos em que f q g são, até mesmo, descon­
tínuas. Por exemplo, como na Figura 5.16. Que fazer para estudar tais 
problemas? Em rápidas pinceladas, a idéia é a seguinte. Dado um pro­
blema com f eg descontínuas, encontram-se sucessões (Q e J de funções, 
para as quais vale a fórmula de d’Alembert, e tais que 
sendo as convergências em normas que serão definidas logo mais. Para 
cada n, seja a solução do problema de Cauchy para os dados iniciais 
/ , e . A seguir, prova-se que esses formam uma sucessão de Cauchy 
em um certo espaço métrico completo. Finalmente, prova-se que o limite u 
dessa sucessão satisfaz á equação das ondas e às condições iniciais, em 
sentidos generalizados. Como veremos mais adiante u é, no fundo so­
lução da equação integral que abandonamos para trabalhar com a equação 
diferencial. E tudo isso mostra que a solução generalizada é, em verdade, 
mais legítima do que a solução estrita!
Observe que as aproximações a / e ^ não devem ser no sentido da 
convergência uniforme, pois f q g podem ser descontínuas; o apropriado 
é usar convergênciaá dadas por normas integrais. Observe também que 
os espaços envolvidos devem ser completos nessas normas. E é nesse
[ Secção 5.11 ] 173
ponto que a integral de Riemann é insuficiente, e devemos apelar para a 
integral de Lebesgue (cf. Exercício 11.1). Desculpe-me o leitor, mas com­
preenda que estamos atacando um problema difícil, e, conseqüentemente, 
a artilharia deve ser mais pesada!
0 espaço Ú. Seja Q uma região (i.e., um aberto conexo) de IR", a qual 
pode ser o espaço U” todo. é o espaço vetorial das
funções u: R, cujos quadrados são integráveis à Lebesgue em íl,
munido da norma
Wl h í í ) (71)
Pode-se provar que, com a norma (71), í?(íi) é um espaço normado com­
pleto, ou seja, um espaço de Banach. [Evidentemente não distinguimos 
entre funções que são iguais em quase toda parte, isto é, a menos de um 
conjunto de medida O]. Esse resultado, apesar de corriqueiro, hoje em 
dia, nos cursos de Integral de Lebesgue, foi algo marcante lá pelos inícios 
do século, e se deve a Fischer e a Riesz; ele já apareceu, neste texto, sob 
outra forma, ligado com questões das séries de Fourier. Também impor­
tante para nós, aqui, é o e s p a ç o ( D ) constituído das funções w: Q -► R, 
que são de L ,̂ em todo compacto K cz Çl Toda função de é de 
mas não reciprocamente. Por exemplo, /(x) = x"^ é de {0,1) mas 
não de (0,1). O seguinte resultado é de grande utilidade ao se trabalhar 
com esse espaço: se /eLf^^(Q), então, para cada £ > 0, existe q>e C®(íl) 
tal que ||/-<jí>|||.2(X) < e, para todo compacto K <z Q.
Derivadas generalizadas. Dada / em Lf̂
a derivada generalizada Dj de /, se
i^{0 ), uma função g em L fjíi)
g(pdx = - \ 
Jq Jí)
fDjXp dx. (72)
para toda (p em Co(D). Dj = õ/dxj, j = l , . . . ,n . O espaço C®(íí) é o 
das funções infínitamente diferenciáveis de suporte compacto em Q; o 
fato de (p ser de suporte compacto em Q significa que existe um compacto 
(i.e., fechado limitado) K, contido em Q, tal que /(x) = 0, para x fora de K. 
A função g, que se representa por Djf, é, também, chamada de derivada 
no sentido das distribuições ou derivada fraca. Observe que se / for con­
tinuamente diferenciável, então (72) será válida, com g igual à derivada 
de /, no sentido comum; no caso de n = 1 , isso é a fórmula de integração 
por partes, e, no caso n > 2 , é conseqüência do teorema da divergência.
174 [ Capítulo 5 ]
n r -11/2
>^dx+J: I \DM\^dx\ , (73)
Um espaço de Sobolev. é o espaço das funções m: Q -► R de L^(Q),
que têm derivadas generalizadas D jf em L^(Q). Em
consideramos a norma
1“ II»''.2(1})
e pode-se mostrar que, com tssa norma, é um espaço de Banach.
Também de importância, aqui, é o espaço que é o conjunto das
funções u: Q -► R de que possui derivadas generalizadas Dj em
Lf (̂Cl). Em outras palavras, u e se, para qualquer compacto
K c: £2, a restrição de u ã K pertence a Ŵ *^(K). Confira o Teorema 5.3, 
mais adiante, que diz da densidade das funções C®(Q) em
Solução generalizada da equação das ondas. Uma função m(x , í), m : R ̂ R,
é uma solução generalizada 
da equação das ondas, = 0, se we H^/;/(R^), e se
í,“(v>„ - (Pxx) àt = 0, (74)
para todas <ji>(x, í) em C®(IR̂ ).
TEOREMA 5.2. Uma função u(x, í) é uma solução generalizada da equação 
das ondas se, e só se, existirem soluções restritas Uf̂ (x, t) 
da equação das ondas, tais que
0, fe-^oo, (75)
para toda região limitada Q.
Demonstração. Suponha que û (x, t), k = 1 ,2 ,..., sejam funções de classe 
em R ,̂ que são soluções da equação das ondas, para as quais (75) se 
verifica. Isso implica que ueW^'^{Q). Agora, para ç>eCo(R"), tem-se
° ■ I. I . ■ S")
e, como (75) implica que ||wfc-w||i,2(íj) -► 0, passa-se ao limite em (76), 
para obter (74). Em conclusão, u é uma solução generalizada da equação 
das ondas. Para demonstrar a recíproca, devemos construir funções “boas”, 
Uf̂ , a partir de u. Isso é feito através do processo de regularização, uti­
lizando núcleos de Dirac. Façamos um parêntesis na demonstração, 
para apresentar os regularizadores.
[ Secção 511 ] 175
Regularizadores. Seja p : IR"-► R uma função infinitamente diferenciável, 
de suporte contido na bola unitária |x| < 1 , e tal que 
p(x) > 0 e j^np(x)dx= 1 (cf. Exercício 11.3). Consideramos a sucessão 
de núcleos de Dirac
p,{x) = £‘ V (e '‘x),
e os correspondentes operadores de regularização (em inglês, mollifier; 
em francês, regularizateur)
(J,«Xx) = í p,{x - y)u(y) dy,
Jfí
para os quais vale o resultado básico enunciado a seguir.
(77)
TEOREMA 5.3. Dada u e então Jjã é uma função C® e, para
qualquer compacto K a íl, tem-se
I J^u - « - ► 0, quando e -► 0. (78)
Demonstração. É imediato que Jju é C®. Por uma mudança de variável
(J^mXx) = £■" í p (^~ \x - >̂ ))w(y)d y = [ p(z)w(x- ez) dz (79)
J|y —x| ̂c J|z| ̂1
para £ < dist(X, 3Q) e x e K e, daí, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz 
|( J .u X x ) |^ r í p(z)dz\ r í p(z)|u(x-ez)|^dxl ,
LJ|2|^1 J U | z|^1 J
o que implica
í |(J,MXx)|^dx ^ j* p (z )r í |u (x -8z)|^áx1 áz.
Jk Jfzl^l Ux J
Daí, se obtém
II*^p* ÎIl 2(X) — II^ IIl 2(Xo) ’
onde Kq z> K é também um subconjunto compacto de Q se £ for suficien­
temente pequeno. Para provar (78), vamos inicialmente mostrar que
em L̂ (K). (81)
Dado á > 0, toma-se w eC^(Kq) tal que
l k - “ IU(K„) < <5
e observando que J^w(x) converge uniformemente em K, para w(x), quando 
£ -► 0, (isso é a versão multidimensional do teorema sobre os núcleos de
176 [ Capftulo 5 ]
Dirac, no Capítulo 3), de onde se segue que
para e suficientemente pequeno. Finalmente, em vista de (80), temos
Juntando as três últimas desigualdades, obtemos
WJm - u
< S.
de onde se segue (81). Resta-nos provar que DjJ^u -> DjU em l^(K). Para 
tal, basta estabelecer a relação
DjJ^u =
cuja demonstração é
(82)
P,{x-y)u{y)dy
J pM “ ^ ŷ == PÁ^-y)
Jn
o que conclui a prova do Teorema 5.3. Q.E.D.
Continuação da demonstração do Teorema 5.2. Seja agora u uma solução
generalizada da equação 
das ondas. Como u e H'/ /̂(IR )̂, podemos aplicar o Teorema 5.3 e obter 
uma sucessão de funções C®, = Jju, que aproximam u no sentido que
o teorema requer. Resta provar que é solução restrita da equação das 
ondas, e para isso basta mostrar que
f A q>dx dt = 0, (83)
para todo <p e Cq ((R̂ ). Para facilitar a escritura, vamos usar as notações X 
em vçz de (x, t) e \3 x P^^a o operador das ondas õ^lõt^ - 5^/5x^, e o enten­
dimento de que as integrais, a seguir, são sobre (R̂ . Então tem-se, inte­
grando por partes,
j nxU,cp dx = j[ jp.(̂ - w n dyjDx<?>(2r) dx,
que, pelo teorema de Fubini, é igual a
y)D;,<p(X)áxj«(y)áy= j|^|D;,p.(x->^M2f)d;^M(y)dy,
que, novamente, por Fubini é igual a
[ Secção 5.11 ] 177
= |j^|(D,p,(x-y)M y)dyjç)(X)ájy,
que é igual a zero, pois u é solução generalizada da equação das ondas. 
A demonstração do Teorema 5.2 está concluída. Q.E.D.
O problema de Cauchy generalizado é definido assim: dadas f e
g e Ll,(U), determi­
nar uma solução generalizada m(x , t) da equação das ondas tal que 
m(x, 0) = / (x) e M,(x, 0) = (̂x).
Uma dificuldade técnica acaba de surgir. O que quer dizer a restrição a 
f = 0 de uma função u de E a restrição de u,? A questão é alta­
mente não-trivial. Funções de ou de em estão definidas a
menos de conjuntos de medida plana nula; isto é, cada uma delas é uma 
classe de equivalência de funções que podem diferir em conjuntos de 
medida 0. Para resolver essas questões introduzimos a noção de traço. 
Antes, demonstramos uma desigualdade.
TEOREMA 5.4. Sejam u(x,t) uma função C® em R ,̂ K um intervalo limi­
tado e Q = {(x, í): x e K, a ^ t < a T}. Então
í | m( x , fl)|^dx < C í [ | m( x , í)|^ + | m,(x , í)|^]dxdí. (84)
Jk Jq
Demonstração. Seja t arbitrário em [a, a + T]. Então, de 
m(x , t ) - m( x ,
178 [ Capitulo 5 ]
segue-se, via desigualdade de Cauchy-Schwarz, que 
|«(x,a)P ^ 2[|m(x, t)|̂ -I-
e, daí,
Im(x, a)\^ á 2| |̂u(x, ^ I j ‘
Integrando em x, entre a e a -l- T, obtém-se
T\u(x,a)\^ ^ 2 |^ £ |« (x ,í)N t + |u,(x,í)|^díj.
que integrada para x em K, fornece
T J I u(x, a) 1̂ dx < 2 J ̂I m(x, í) dx dí + J | ŵ (x, í) dx dr J» 
de onde se segue (84) com C = max(2T, 2T~^).
Traço de uma função O Teorema 5.4 estabelece que o operador
restrição sl t = a
n C®(2) ^ L \ K )
é (linear) contínuo. Logo, ele pode ser estendido, por continuidade, para 
a aderência de iy^’̂ (Q) n C®(Í2), que é precisamente W^^^(Q):
Portanto, dada u € o traço dc u em t = a é definido como sendo
a função de L \ K ) , Isso resolve a questão da restrição de m a í = a. 
E a restrição de du/dt a í = a? Aqui há uma dificuldade maior. Para uma 
função u arbitrária em não é verdade que du/dt tenha um traço 
em í = a. E agora? Bom, estamos apenas interessados em funções 
que sejam soluções generalizadas da equação das ondas, e essas funções 
são mais bem-comportadas. O seguinte resultado resolve nossa questão.
TEOREMA 5.5 Seja m(x , t) uma solução estrita da equação das ondas 
em Seja Q o trapézio indicado na Figura 5.18, orule 
as retas inclinadas são características. Então
j* [M̂(x,a) -I- uf{x,à)]dx ^ T ‘ j* («̂ -(- uf)dxdt (85)
[ Secção 5 1 1 ] 179
Demonstração. Utilizando a identidade
“K = y («? + = divF, (86)
onde F = -f ŵ )], e, aplicando o teorema da divergência na
região temos
0 = - j* Y («f + « )̂ dx + j* y (m,̂ + u )̂ dx -
Ŝq Ŝx
(«X + I ( u ^ - u f d s ,
onde S' e S" são os lados inclinados do trapézio Q ,̂ S' o da direita. Daí,
(87)
Integrando essa expressão, para r entre a e a -h T, obtemos
í (Uj -h u l ) dx < { ( u f + u ^ ) dx. 
Jsa JSx
pressão, para r entre a e a + T, obt
T í ( u f -h u l ) dx ^ j ( u f -h u l ) dx dt, 
JSa JO
de onde se segue (85).
Resumindo — As desigualdades (84) e (85) implicam que
II W(^» f l) |||y l,2 (J t) ^^11 W 11,1,1.2(0), (®®)
para funções ueC°^(lR^) que são soluções da equação das ondas. Isto é, 
a restrição de tais funções a t = a é uma aplicação linear continua. Por-
180 [ Capítulo 5 ]
tanto, estendendo, por continuidade, essa aplicação, concluímos que as 
soluções generalizadas têm, para traços, funções de
Estamos, finalmente, em condições de enunciar o teorema sobre a 
existência de soluções generalizadas do problema de Cauchy.
e geLf^^{U\ existe uma solução gene-TEOREMA 5.6. Dadas
ralizada ueW^];^(U^) da equação das ondas tal que
u(x, 0) = /(x) e M,(x, 0) = g{x), 
onde u(x, 0) e m,(x, 0) são os traços de u{x, t) e w,(x, t) a t = 0.
Na demonstração desseteorema serão necessárias certas estimativas 
que estabelecemos a seguir.
TEOREMA 5.7. Seja m( x , t) a solução estrita do problema de Cauchy para 
a equação das ondas, com dados iniciais f e g. Então,
lkllL2(í:)X (89)
onde Cl é o trapézio indicado na Figura 5.19 e K sua base e C > Oé uma cons­
tante que depende apenas de T.
Demonstração. Utilizando a identidade (86) e aplicando o teorema da 
divergência na região Q ,̂ temos, como na demonstração 
do Teorema 5.5
í (ul -h uf)dx < j (ul uf)dx = 
JSr Jso
(90)
[ Secção 5.11 ] 181
I (ul -I- u])dxdt < 7 í {û uf)dx.
Jn Jso
Para estimar ^^u^dxdt, introduzimos a função
0)(í) = M̂ (í, x)dx, 0 < t < T.
Derivando e usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, temos
0'(f) “ ̂J
|0 '( í ) |2 < 4 Í u ^d x \ ufdx,
JSt,r Jst,.
OU seja,
|0'(í)| < 2/4<D(í)'/^
que, integrada entre 0 e í, conduz a
< O(0)'/2 + At.
Aplicando a desigualdade {a + b) ̂ < 2a ̂ + 2b ,̂ tem-se
e, integrando para t, entre 0 e 7,
u^dx < 2 dx 2Á^t^
iJso
< 2 j dx 27^ í
Jso Jso
que, integrada entre 0 e 7, fornece
í dx < 2T \ dx -l- 27^ í (ul -h uf)dx.
JíJ Jso Jso
As desigualdades (91) e (92) conduzem ao resultado. Q.E.D.
(91)
(92)
Demonstração do Teorema 5.6. Sejam (Q e (^J sucessões de funções C®
tais que
ll/k“/|lH'‘.2(í:) -►0 e ||^k“ ô̂ |L2(X)
Para cada fc, seja a solução estrita do problema de Cauchy com dados 
i n i c i a i s P e l o Teorema 5.7 (wjé uma sucessão de Cauchy em W^^^K). 
Pelo Teorema 5.2 tem-se uma solução generalizada u da equação das
182 [ Capítulo 5 ]
Observação. Também para soluções generalizadas do problema de Cauchy 
temos o Princípio de Conservação da Energia, como na 
Secção 5.7. De fato, suponha q u e /e t ge Então, a energia
inicial é definida pela expressão
ondas. E pelos resultados dos Teoremas 5.4 e 5.5, vê-se que a função u
satisfaz as condições iniciais, no sentido de traço. Q.E.D.
E(0) = í {|/'W |^ + \g(x)\^}dx,
J - 00
a menos de uma constante. Decorre do Teorema 5.7 que a solução gene­
ralizada do problema de Cauchy é de e, daí, definimos a energia
da corda no instante t pela expressão
£(í)= í + |«,(x,í)n<ÍJC.
J — 00
Das Relações (87) e (90) segue-se que E(t) = E(0). Deixamos ao leitor 
completar os detalhes necessários.
EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 5
2.1. Resolva o problema
, em
m(0, í) = A, u(L, t) = B, í > 0,
u(x, 0) = /(x), M,(x, 0) = g(x), 0 < X < L,
onde A c B são constantes, reduzindo-o, através de uma mudança 
de variável dependente u, a um problema do tipo (13) com con­
dições de fronteira homogêneas.
2.2. Usando a mesma técnica do exercício anterior, resolva o problema
m(0, t) = a Bt, w(L, í) = C -h Dí, í > 0, 
m(x , 0) = /(x), M,(x, 0) = ^(x), 0 < X < L ,
onde A, B,C e D são constantes.
2.3. Use o método de Fourier para resolver o problema
em
M̂ (0,í) = m,(L ,í) = 0, í > 0,
u(x,0) = /(x), M,(x,0) = ^(x), 0 < X < L,
183
2.4. Use o método de Fourier para resolver o problema
u{0j) = u^iLj) = 0, t > 0,
m(x , 0) = / ( x) , M,(x,0) = g(x), 0 < X < L .
2.5. Use o método de Fourier para resolver o problema
~
m(0, /) = m (L, 0 = 0, í > 0,
m(x , 0) = / (x), M,(x, 0) = ^̂ (x), 0 < X < /.,
onde a > 0.
2.6. Use o método de Fourier para resolver o problema
- 2bu ,̂ em
u(0, t) = u(L, 0 = 0, / > 0,
m(x , 0 ) = / (x ) , u , ( x , 0 ) = ^ ( x ) , 0 < X < L ,
onde b > 0.
2.7. (A corda dedilhada, estudada na Secção 5.5). Escreva a solução 
do PVIF (13) no caso em que g{x) = 0 e
para 0 < x < a,
L)/(a - L), para a < x < L,
onde 0 < f l < L e / i > 0 .
2.8. (A corda percutida por martelo plano, de largura 2ô). Mostre que 
a solução do PVIF (13) com /(x) = 0 e
íi;, para \x -a \ < <5,
[0, para |^ - ^ | >
onde 0 < a < L, é dada por
f(x)
_ {hx/a, 
~ \h{x - i
g(x) =
m( x , t) =
4vL 1
^ n = i n
sen nna sen nnô sen nnx sen-nnct
2.9. (A corda percutida por martelo convexo, de largura 2ô). Mostre 
que a solução do PVIF (13) com /(x) = 0 e
g{x) =
7t( x - a ) I I ci^cos—2^— » para | x - a | < d .
0,
onde 0 < a < L, é dada por
8i;áL2 00 1 1
para
nna
\x -a \ > ô.
nnô nnx nnct
° - p r -ít L‘ - ~r ~r ~r l
184 [ Capítulo 5 ]
3.1. Obtenha a equação da energia para o PVIF
- ku, em
m(0, í) = u,(L, í) = 0, í > 0,
m(x , 0 ) = / ( x ) , u ,(x , 0 ) = ^ (x ) , 0 < X < L ,
onde fc > 0, e, a seguir, demonstre que esse problema tem solução 
única.
3.2. Obtenha a equação da energia para o PVIF
u„ = , em ât,
uJO, t) - au(0, t) = u,(L, í) + pu(L, t) = 0, í > 0, 
m(x , 0) = f(x), u,{x, 0) = g(x), 0 < x < L,
onde OLQ P são constantes positivas, e, a seguir, demonstre que esse 
problema tem solução única.
4.1. Escreva o n-ésimo harmônico no Exercício 2.4, determine sua fre- 
qüência, sua amplitude e sua energia.
4.2. Um arame de aço, com 2 mm de diâmetro e 3 m de comprimento, 
fixado em suas extremidades estâ sujeito à uma força de tensão 
de 30 kg. Determine a freqüência do primeiro harmônico.
5.1. Calcule as energias dos harmônicos nos Exercícios 2.8 e 2.9.
5.2. Discuta a influência da largura do martelo e o ponto onde ele 
incide na questão do anulamento de harmônicos.
5.3. A corda tensa de um instrumento musicai tem 50 cm de compri­
mento e sua freqüência fundamental (i.e., freqüência do primeiro 
harmônico) é 4 000 Hz. Determine a freqüência do segundo har­
mônico. Determine a freqüência fundamental se, por pressão do 
dedo, a corda for reduzida a 25 cm. Determine a freqüência fun­
damental se a tensão for aumentada em 25%.
6.1. Mostre que o problema
U„ = c \ x ’ e™
u(0, í) = u(L, t) = t > 0,
u(x, 0) = /o(x), u,(x, 0) = /j(x), 0 < X < L,
pode ser reduzido a um problema do tipo (39).
6.2. Resolva o problema
m(0, í) = 0, m(L, t) = e~\ í > 0, 
u(x, 0) = M,(x, 0) = 0, 0 < X < L.
185
6.3. Resolva o problema
-h A, em
m(0, t) = 0, m(L, t) = e~\ í > 0, 
m(x , 0) = M,(x, 0) = 0, 0 < X < L,
onde A é uma constante.
6.4. Resolva o problema
+ A sen 2nt, 0 < x < 1, í < 0, 
m(0, t) = m(1, í) = 0, í > 0, 
m(x , 0) = M,(x, 0) = 0, 0 < X < 1.
6.5. Use o método desenvolvido na Secção 5.6, para resolver o Proble­
ma (29), e determine a solução do problema
- aw + g(x, í), em 
m(0, í) = m(L, t) = 0, í > 0, 
m(x , 0) = /(x), w,(x, 0) = ^(x), 0 < X < L,
onde a > 0.
6.6. Resolva o problema
= c^u^^-oiu A, em 
m(0, t) = 0, m(L, t) = B, í > 0,
m(x , 0) = M,(x, 0) = 0, 0 < X < L,
onde oi> 0, A Q B são constantes.
6.7. Resolva o problema
-1- em
m(0 , í ) = B , m(L , í ) = ^ » í > 0 ,
m(x , 0) = Mj(x, 0) = 0, 0 < X < L,
onde /l, B, C são constantes.
6.8. (Corda percutida por um martelo não-rígido). Resolva o Pro­
blema (39) com /o(x) = /i(x) = 0 e
f FqC O S sen^ > para \x -a \< ô e 0 < í < t,
0 — j |x - a| > á ou í > T.
6.9. Considere o problema
-I- Am, -h Bu^ -h Bm -f ^(x, í), em 
m( 0 , í ) = m( L , 0 = 0 , í > 0 ,
m(x , 0) = /(x), M,(X, 0) = ^(x), 0 < X < L,
1 8 6 [ Capítulo 5 ]
onde A, Be D são constantes. Determine a e ^ de modo que v(x, t) = 
= m( x , satisfaça a um problema do tipo considerado no
Exercício 6.5 acima.
6.10. Considere uma corda horizontal, de comprimento n, com as ex­
tremidades fixas, e, em vibrações transversais devido à força da 
gravidade e opostas pela resistência do ar, dada por -2bti,, onde 
b > 0 é uma constante. Suponha que, inicialmente, a corda esteja 
em repouso ao longo do eixo x. Mostre que o fenômeno é regido por
- A g - 2bUf, em 
m(0 , t) = u {n , t) = 0 , í > 0 ,
W(X, 0 ) = M,(X, 0 ) = 0 , 0 < X < 7T.
A seguir reduza o problema a um do tipo do Exercício 6.5, e obtenha 
a solução u do problema acima.
6.11. Considere o problema
H- A sen 2ncot, em 
u(0, t) = m(L, í) = 0» í > 0,
onde A, c e a> são constantes. Mostre que, exceto para certos va­
lores excepcionais de co, o problema acima tem solução da forma 
P(x) sen 2 n (o t , Calcule P(x) e esses valores excepcionais de co. En­
contre a solução m(x , í ) do problema acima que satisfaz às condições 
iniciais m(x , 0) = Mj(x , 0) = 0.
6.12. Use o método desenvolvido na Secção 5.6, usado para resolver o 
Problema (39), e determine a solução doproblema
- 2bu^, em
m(0, t ) = m(L, í ) = 0 , í > 0 ,
m(x , 0 ) = / ( x ) , M,(x, 0 ) = g{x), 0 < X < L .
6.13. Reduza o problema do Exercício 6.12 a um do tipo do Exercício 2.5, 
resolva-o e confira a resposta com a que você obteve no Exer­
cício 6.12.
7.1. Considere o problema de Cauchy
t > 0,
e determine as regiões do semiplano í > 0, onde m(x , t) = 0. Calcule 
o valor de u nos pontos (3/2, 1/10) e (5, 7/6).
«« = - 0 0 < X < 00 ,
para
para
x e [ l,2 ] .
u,(x, 0) = 0,
187
7.2. Considere o problema de Cauchy
= - c o < x < o o ,
u(x, 0 ) = 0 , - 0 0 < X < 00,
t > 0,
, fsen X, -n < X < n,
- ( o , Xí
e determine os pontos do semiplano t > 0, onde u(x, t) = 0.
7.3. Considere o fenômeno de vibração de uma corda regido pelo 
problema
- 0 0 < X < 0 0 , í > 0,
m(x, 0) = sen 2x, w,(x, 0) = cos 2x, -oo < x < oo.
Calcule os deslocamentos e as velocidades do ponto x = 0 em 
instantes futuros.
7.4. Considere o problema de Cauchy
u„ = 4 u „ ,
w(x, 0) = X ^ " * ^ M,(x, 0) = cos 2x, - 0 0 < X < 00 ,
e calcule m(0, í) e w,(0, í). Compare as respostas obtidas com as 
respostas do Exercício 7.3 acima. O que é que você conclui?
7.5. Mostre que se uma função / : (R -► R de classe for ímpar, sua 
derivada / ' é uma função par. Enuncie e demonstre um resultado 
análogo para / par.
7.6. Mostre que se a: R -► R e P: R -► R são funções de classe e 
g: R ̂-► R é de classe C \ então a função
G(x) " J ‘Ja{x) g{x, s) ds
é de classe e sua derivada é dada por
rPix)
*(JC)
s)ds + 0(x,^[x])j?'(x)-g(x,a[x])a'(x).
7.7. A velocidade inicial de uma corda vibrante, sem ação de forças 
externas, é dada por x^"^^ Calcule a posição inicial da corda para 
que a função m(x, í), representante dos deslocamentos da corda, 
seja uma onda progressiva, isto é, m(x, í) seja da forma F(x-ct).
188 [ Capítulo 5 ]
7.8. Os deslocamentos de uma corda infinita em vibração transversal 
são dados por m(x, t) = cos (x - ct). Determine a equação diferencial 
que rege essas vibrações, bem como a posição e a velocidade iniciais 
da corda.
7.9. Considere o problema de Cauchy para a equação das ondas, Pro­
blema (47), e suponha que /(x) e ^(x) sejam periódicas de período a. 
Mostre que a solução m(x, í) é periódica em x com período a.
7.10. Mostre que F(x -I- ct) G(x-ct), onde F q G são de classe C ,̂
é solução da equação u,, = , para (x, t) no plano. Observe
que estamos chamando atenção sobre a expressão da solução, 
para t < 0.
7.11. Mostre que a fórmula de d’Alembert é solução da equação das 
ondas, para todo (x, í) no plano. Observe que se r < 0, então x -h 
-h ct < X - ct, o que não alterará a fórmula se entendermos, como 
sempre entendemos (!), que = -j^ , para b < a.
7.12. Considere uma corda infinita vibrando transversalmente, sem ação 
de forças externas, e suponha que os pontos x = 0 e x = Z. perma­
neçam fixos durante todo o processo vibratório. Mostre que a 
função m(x, í) [= F(x -h ct) 4- G(x-cí)], representativa dos des­
locamentos, é periódica em x de período 2L, e periódica em t de 
período 2L/c.
7.13. Supondo que a função u(x,t) do Exercício 7.12 tenha um período 
(em x) 2p, com p < L, mostre que x = p é um nó, isto é, u{p, t) = 0, 
para todo t.
7.14. Supondo que a função w(x, í) do Exercício 7.12 tenha um período 
(em t) igual a 2p/c, com p < L, mostre que x = p é um nó.
7.15. Considere uma corda infinita vibrando transversalmente, sem ação 
de forças externas, e suponha que os pontos x = 0 e x = L per­
maneçam fixos. Que outros pontos da corda permanecem fixos?
7.16. Considere uma corda de comprimento L, fixa nas extremidades, 
e em vibração transversal. Mostre que se existir apenas um nó 
entre 0 e L, então ele deverá ocorrer necessariamente em x = L/2.
7.17. Calcule a tensão em um cabo de aço de 50 m de comprimento, 
de 3 cm de diâmetro, e com as extremidades fixas, sabendo qüe 
ele está em vibração, sem nós, á razão de 2 Hz. Use o Exercício 7.13 
e o fato de que a densidade do aço é 7 800 kg/m^.
189
7.18. Mostre que a equação + ku não tem soluções w(x, í)
da forma f(x -c t) , a não ser que k seja zero.
7.19. Seja u{x,t) uma solução do problema de Cauchy
= C^U^^-ku, - 0 0 < X < 0 0 , í > 0,
m(x , 0 ) = u,(x,0 ) = 0 , -0 0 < X < 00,
onde fc > 0, e seja (X q , íq ) um ponto fixado no plano (x , t). Defina
a função
J»X0 + c(Í0“í) (uf + c^ul -h ku^) dx.
X o - c i t o - í )
W(t)
Trace uma figura e entenda que W(t) é ã energia da equação, no 
tempo í, em um certo intervalo. Qual? Mostre que W'(t) < 0, para 
0 < í < íq . A seguir conclua que W(t) = 0, para 0 < í < , usando
os fatos que W(t) > 0, W(0) = 0 e W'(t) < 0.
7.20. Mostre que o problema de Cauchy
= C^U^^-ku, - 0 0 < X < 0 0 , í > 0,
m(x , 0) = / ( x ) , W,(X, 0) = ^ (x ) , -0 0 < X < 00 ,
onde k > 0. tem solução única. (Nota. A existência de solução 
desse problema será feita no Capítulo 6 com a ajuda da transfor­
mada de Fourier).
9.1. Considere a equação
«rr = + d u
e mostre que a onda harmônica é solução dela se -h
d = 0. (Nota. A velocidade de propagação dessa onda harmônica 
é ̂^ ^ ip Logo,
V =
CO
y / cô d
o que mostra que essa velocidade depende da freqüência, a não 
ser que d seja 0. Quando a velocidade da onda harmônica depende 
da freqüência, dizemos que há dispersão).
9.2. Mostre que a Equação (66) [ou (67)] pode ser escrita na forma da 
equação do exercício anterior, através da mudança de variável 
u = Ve^. Mostre que = (C R G L )/2 C L c d = -(CR - LG)^/4. 
Conclua que não haverá dispersão se CR = LG.
190 [ Capftulo 5 ]
10.1. Determine as freqüências dos três primeiros harmônicos da vi­
bração longitudinal de uma barra de alumínio de 4cm^ de área 
transversal e 3 m de comprimento. A barra está fixada por sua 
extremidade superior e tem a extremidade inferior livre.
10.2. Considere uma barra de aço de comprimento L e área de secção 
transversal A. Suponha que a barra esteja em posição vertical 
com sua extremidade superior engastada em uma placa, e que 
sua extremidade inferior esteja livre. Estude as vibrações longi­
tudinais na barra causadas por uma força P aplicada na extremidade 
livre e na direção do eixo da barra, e a seguir retirada bruscamente.
10.3. Considere a barra do Exercício 10.1 e suponha que uma força 
impulsiva (i.e., um golpe repentino) de 500 N seja aplicada contra 
a extremidade livre da barra na direção de seu eixo. Descreva as 
vibrações longitudinais ocasionadas.
11.1. Mostre que a função de Dirichlet, f(x )= 1 se x é irracional e 
f(x) = 0 se X é racional, não é integrável a Riemann em [0,1]. 
Enumere os racionais de [0,1]: Tj , r2 , . . . Defina funções /„(x) = 0 
se X € [ r j , . . . , r ]̂ e /^(x) = 1, nos demais pontos. Esses /„ são inte­
gráveis a Riemann e 1| / „ - / | |l2-► 0.
11.2. Mostre que a função 
(p{x) l x | < l ,|x| > 1
é infinitamente diferenciável e de suporte compacto em R.
11.3. Use o Exercício 11.2 para construir uma função p: R” -► R infini­
tamente diferenciável de suporte contido em |x| < 1 e tal que 
p(x) > 0 e |„ . p{x)dx = 1.
11.4. Seja f(x) uma função definida em um certo intervalo. Usando 
o fato de que / é aproximável por funções simples, mostre que, 
dado á > 0, existe uma função contínua ^(x) tal que | |/ - ^ j j < S 
na norma L^.
11.5. Use o teorema de Lusin e o fato de que as funções simples são 
densas em L (̂Q), Q região limitada de R", para mostrar que as 
funções contínuas em Q são densas em L (̂Q).
CAPÍTULO 6
T R A N SF O R M A D A DE FO U R IER
E A P L IC A Ç Õ ES
Neste capítulo desenvolvemos a teoria da transformada de Fourier 
para funções de Dedicamos uma secção ao espaço ^ das funções 
de decrescimento rápido, tendo em vista seu papel central na teoria mo­
derna da transformada de Fourier. Os núcleos de Dirac, introduzidos 
no Capítulo 3, são uma ferramenta unificadora, aparecendo em três 
ocasiões nestes dois últimos capítulos, na demonstração da fórmula da 
inversa de Fourier, no tratamento do problema da condução do calor e 
no problema de Dirichlet para aequação de Laplace num semiplano. 
Discutimos em detalhe a fórmula do somatório de Poisson, dada sua 
importância na condução do cálor e seu relacionamento com a função 6 
de Jacobi.
A transformada de Fourier é utilizada para tratar problemas de 
vibração de cordas infinitas e semi-infinitas, problemas da condução do 
calor em barras infinitas e semi-infinitas, e o problema de Dirichlet para 
a equação de Laplace em um semiplano, este último estudado no Ca­
pítulo 7.
6.1 À guisa de motivação
O que atrapalha a resolução de equações diferenciais é a presença 
das derivadas da função incógnita! Ora veja, consideremos a equação 
diferencial ordinária
3 / '+ 5 y -h 2 y = /(x ),
a qual escrevemos assim:
3D^y-\- 5Dy+ 2y = f(x),
com D = d/dx. Seria ótimo se pudéssemos resolver essa equação, como 
se ela fosse uma equação algébrica, e escrever
mÁx) = + 5D -h 2
192 [ Capítulo 6 ]
Infelizmente, isso não faz sentido! Entretanto, na simplicidade desse 
raciocínio, deve haver algo. As idéias mais profundas evolvem de fatos 
simples e ingênuos até. Vamos, pois, tomar uma atitude persistente e 
procurar extrair algo do raciocínio acima. Nosso esforço deve ser na 
direção de algebrizar a equação diferencial, de algum modo. E é aí que 
entra a idéia da transformada de Fourier. Usando a terminologia de 
sistema, hoje tão em voga, a transformada de Fourier pode ser entendida 
como uma caixa. No lado esquerdo (Figura 6.1), a seta representa a função 
que entra na caixa, e no lado direito, a seta, no mesmo nível, representa a 
função correspondente que sai da caixa, após ser operada ou transformada. 
A lei matemática que descreve essa operação será definida na próxima 
secção.
Figura 6.1
Usamos a notação F((J) = ^ [ /(x )] . Este sistema tem três propriedades 
extremamente importantes, que passaremos a explicar, (i) O sistema é 
linear, o que quer dizer que ele é aditivo e homogêneo. Aditividade sig­
nifica que, se temos duas funções de entrada/(x) e (̂x), tanto faz somá-las 
antes e, a seguir, passar pela caixa, como passá-las pela caixa e somar 
as funções de saída F(^) e G( )̂, depois; o resultado é o mesmo. Na notação 
acima: ^\_f(x) -h gf(x)] = .^ [/(x )] -h ^[g(xy\. Homogeneidade significa 
que, tanto faz multiplicar a função de entrada /(x) por uma constante a 
e, a seguir, passar pela caixa, como passá-la pela caixa e depois multiplicar 
a função de saída F(^) por a: .^[a/(x)] = o.^[/(x)]. O esquema é o da 
Figura 6.2.
Figura 6.2
Nota. Em termos da Álgebra Linear, o que se tem é que ^ é uma trans­
formação ou um operador linear.
[ Secção 6.1 ] 193
(ii) O sistema ' ' d e s t r ó r d e r iv a d a s , isto é, se f \ x ) entra na caixa, ela
sai como onde / = y / ~ ^ . O esquema é o da Figura 6.3.
Figura 6.3
(iii) O sistema é inversível, isto é, existe uma outra caixa, denominada 
que, se atravessada pela função de saída F(^) da caixa fornece 
/(x), de volta. Assim, se F(^) = J^ [/(x )], temos f(x) = ^~^\_F(^)].
Volta à equação diferencial. A idéia, agora, é usar as três propriedades
acima para resolver a equação diferencial. Pri­
meiro, fazemos a equação diferencial passar pela caixa (Figura 6.5). Você
pode imaginar a existência de dois universos, um de cada lado da caixa: 
o universo-x e o universo-í .̂ O nosso problema, no universo-x, é uma 
equação diferencial. Mas ele é levado num problema algébrico equivalente 
no universo-^. Bom, então, neste universo-( ,̂ o problema algébrico é 
resolvido trivialmente:
Y(^) = F(^)-3^" + 5/ ̂ + 2
Finalmente, a idéia é passar Y pela caixa ^ ̂ paia obter a solução };(x) 
do problema diferencial.
194 [ Capítulo 6 ]
A TEORIA DAS SÉRIES DE FOURIER E A LINGUAGEM DE S/S- 
TEMAS. O problema da determinação dos coeficientes de Fourier de 
uma função pode ser interpretado na linguagem de sistema, ou 
caixa, explicada acima. O papel da caixa seria o cálculo dos coeficientes 
de Fourier da função de entrada, e a saída seria a coleção dos coeficientes 
de Fourier. Assim, designando a caixa por teríamos a Figura 6.6, onde 
/ é uma função ̂em [-L, L] e periódica de período 2L, e é o coeficiente 
de Fourier
Isso é tudo! Pelo menos no que diz respeito a idéias. Nosso trabalho
será estudar bem a caixa 3F. Que tipo de funções podem ser entradas na
caixa .^? Essa e outras questões devem ser cuidadosamente tratadas.
Designando por Z o conjunto de todos os inteiros (positivos, negativos 
e o zero), podemos expressar a saída da caixa como uma função c: Z C 
tal que c(n) = c„. Segue-se da desigualdade de Bessel que c € (̂Z), isto é.
< CX),
caso / seja uma função Jíf ̂ em [-L, L] e periódica de período 2L. Desig­
nando por i f a coleção dessas funções, temos que a caixa ^ funciona 
como um operador que leva funções / de em funções de É
fácil ver que esse operador é linear. Usando integração por partes nas 
expressões dos coeficientes de Fourier vemos que ele destrói derivadas 
(Figura 6.7).
O sistema ^ é conhecido como a Análise de Fourier, e o sistema inverso 
 ̂ é a chamada Síntese de Fourier. Esta consiste em, dados n = 
= 0, ± 1 ,..., recompor a função/(x) que tenha por coeficientes de Fourier 
esses números. Já vimos que, dados (cj = cg^^(Z\ nem sempre existe 
que tenha esses números como coeficientes de Fourier. Essa é
[ Secção 6.1 ] 195
precisamente uma das deficiências da integral de Riemann. Usando-se a 
integral de Lebesgue e considerando o espaço das funções de qua­
drado integráveis à Lebesgue em [-L, L] e periódicas de período 2L, 
então o problema da síntese de Fourier tem sempre solução. Esse é o 
conteúdo do teorema de Riesz-Fisher (cf. Capítulo 3). Portanto a caixa 
inversa funciona para todos caso trabalhemos com
ao invés do conjunto (menor) Jífper •
PASSAGEM DA SÉRIE DE FOURIER PARA A TRANSFORMADA 
DE FOURIER. Procedemos, agora, a uma motivação tradicional da de­
finição de transformada de Fourier como um “limite” 
da série de Fourier. Seja f(x) uma função em [-L, L] e periódica de 
período 2L. Então, introduzindo as notações h = njL e = nh, n = 
= 0, ±1, ± 2 , . . . , temos
f{x) ~ Y.
onde
f(x)e
L
A seguir introduzimos as expressões
c (0 = I dx n = 0, ± 1, ± 2 ,...
A L '
as quais nos permitem escrever
1
sm I 
f(x)
1
( 1)
(2)
Agora concluímos a nossa motivação usando um raciocínio formal de 
passagem ao limite em (1) e (2), quando L-^ cx) e -► 0, respectivamente. 
Observe que a série em (2) tem o aspecto formal de uma soma de Riemann 
para a integral de Logo, de (1) e (2), obtemos, formalmente (é
196 [ Capítulo 6 ]
bom insistir!) as expressões
cii) =— rJ-
. m — rJ-
f(x)e dx (3)
(4)
Como veremos, nas próximas secções, (3) é a definição adequada da trans­
formada de Fourier e (4) é a fórmula da transformada inversa de Fourier.
6.2 Definição da transformada de Fourier
Dada uma função /: (R 
de Fourier pela expressão
í, gostaremos de definir sua transformada
rF{í ) = (2k) e ‘̂ ^f{x)dx. ( 1)
A Expressão (1) envolve uma integral imprópria, que deve ser entendida 
no seguinte sentido:
Íoo ^""'^/(x)dx= lim e~'"'^f(x)dx,
J-M
(2)
onde Aí e N tendem independentemente para infinito. Considerar o limite 
com Aí e N independentes é importante, quando se lida com integrais 
impróprias, pois não queremos situações como esta:
r
X dx = lim X dx = 0, (?)
e, pelo contrário, o que queremos dizer é que, neste caso, a integral im­
própria em (?) não existe.
Que tipos de funções /, devemos considerar para que as integrais 
no segundo membro de (2) existam e para que o limite exista?
Vamos, inicialmente, exibir uma classe de funções para as quais (1) 
está bem definida, e que contém a maior parte das funções presentes nas 
aplicações. Afirmar que (1) está bem definido significa que para cada 
a integral converge para um número, e, assim, temos uma função F de­
finida em ÍR. /: IR -► (R está nessa classe se
[ Secção 6.2 | 197
(i) / é seccionalmente contínua em cada intervalo [-M, N], e 
1*00
{») |/(x ) |áx < 00.
J - 00
Observe que (i) implica que a função é limitada e integrável em
[-AÍ, iV]. A condição(ii) implica que o limite em (2) exista: de fato, basta 
observar, que, dado £ > 0, existe X > 0, tal que
I |/(x )|dx < e,
e que IJ|x| >Xe *^/(x)dx < Í \fix)\dx.J |x |> K
Uma classe mais geral de funções f para as quais (1) está bem definida: O 
conjunto das funções / : IR -► IR tais que as inte­
grais imprórrias de / e | / | existem é chamado de espaço if^(IR). Cada 
função do espaço é uma função Isso requer que / e | / | sejam inte­
gráveis (no sentido da Secção 3.1) em cada intervalo [-AÍ, N] e que os 
limites abaixo existam
lim
M. N-*c fJ - h f{x) dx limM, N-*c f I/WIJ-M dx. (3)
Observe que se / for seccionalmente contínua em cada intervalo [-AÍ, N] 
e se o segundo limite em (3) existir, a função será ^
Nota. É conveniente trabalhar com ^ pois a transformada de Fourier 
resulta em algo com melhores propriedades. Entretanto, chamamos a 
atenção para o fato de que existem funções que não são ^ para as quais 
a Expressão (1) converge, mas não absolutamente; por exemplo, /(x) = 
= (sen x)/x.
Em tempo. Funções tomando valores complexos são inevitáveis: a própria 
F(^) é assim. Por esta razão, vamos trabalhar com funções /: IR -► C, defi­
nidas em DR e tomando valores no plano complexo C. Se / for uma tal 
função, ela poderá ser escrita na forma /(x) = w(x) -h iv{x), onde u q v 
serão suas partes real e imaginária, respectivamente. E entendemos o 
seguinte:
J/(x)dx = ^u(x)dx -F i ^v(x)dx.
198 [ Capítulo 6 ]
onde j designa a integral definida, ou imprópria. E, em verdade, esse enten­
dimento já foi utilizado em (1), mesmo com / real:
0̂0 0̂0 0̂0
e ~ (x) dx = COS ((Jx) / (x) d x - i sen (^x)f (x) dx.
J — 00 J — ao J — 00
Assim,/: R -► C é uma função se suas partes real e imaginária e | / | , 
que são funções de U em R, forem ̂ no sentido definido acima.
Finalmente, a definição. Se / : R -► C for uma função \ sua transformada 
de Fourier F: R -► C se definirá pela expressão
n m ) = F(^) = i2n) - 1/2 f e ‘*^/(x)dx. (1)
Observação**. Se você tiver condições de usar a integral de Lebesgue, a 
definição acima pode ser dada para toda função de Ü 
(i.e., funções integráveis à Lebesgue), com a integral entendida no sen­
tido de Lebesgue.
Que tipo de função é a transformada de Fourier F(^) de uma função f (x) 
de Uma aplicação da Proposição A6.8 mostra que F{ )̂ é contínua. 
E, além disso, F(^) se anula no infinito, i.e.,
lim F(í) = 0.
l í l - o o
Para demonstrar isso, tomemos a > 0 e, a seguir, um intervalo [-u, a] 
tal que
í \f(x)\dx < ejl.| x | > a
Por outro lado, o lema de Riemann-Lebesgue (cf. Secção 3.3) assegura
lim 1 e ‘̂ /'(x)dx = 0.
J-a
Logo, para | { | > , para um conveniente , temos
|F(^)| <
J - a I J|x| > a
dx < e.
É F(^) uma função i f A resposta é não, como mostra o exemplo abaixo, 
da função pulso unitário:
iL |:>c| < 1,
X > 1,
[ Secção 6 2 ] 199
A transformada de Fourier è um operador linear, isto é,
+ pg] = + P^ [g l
para / e g funções e a e ^ números complexos quaisquer. Isso decorre 
da linearidade da integral.
Observação*. Vamos chamar C, o conjunto das funções continuas que 
se anulam no infinito. Pode-se mostrar que e C.̂ sào 
espaços vetoriais sobre o corpo dos complexos, e que
cuja transformada de Fourier é F{^) = 2 sen Cf. Exercício 2.2.
no final deste capítulo.
= r
| /(x)| dx
I I / L = m ax|/(x)|
X 6 P.
definem normas em ̂ e , respectivamente. As observações acima 
podem ser sintetizadas dizendo-se que é um operador linear,
o qual é limitado, pois
|F(<Í)| < (271) í |/{x)|dx
J - ao
implica
< {2n) ■ 1/2
Observação**. Usando a integral de Lebesgue podemos trabalhar com
em vez de ^ onde 1} é o espaço das funções integráveis 
à Lebesgue em U. A vantagem é que Ü \ e, além disso, Ü é um espaço 
vetorial normado com a norma || • ||j acima, onde a integral usada é a 
de Lebesgue, e nessa norma ele é completo. Portanto 1} é um espaço 
de Banach, e podemos provar também que é um espaço de Banach. 
E, neste caso, temos Ü como um operador linear limitado
entre dois espaços de Banach.
Esquema de ação para a seqiiência. Vimos que, dada / em ^ não se
segue que ^ [ / ] esteja em L Logo, 
a teoria é um tanto assimétrica. Nosso programa, agora, será estudar a 
transformada de Fourier em um subconjunto das funções ifL Vamos 
escolher um conjunto onde ^ seja rico de propriedades. Um bom espaço 
seria Cq das funções infinitamente diferenciáveis de suporte compacto;
200 [ Capítulo 6 ]
uma função ter suporte compacto significa que existe um intervalo limitado 
fechado K, tal que f(x) = 0, para x fora de K, Entretanto, esse espaço 
tem a desvantagem de que a transformada de Fourier de uma função 
/ e Cq não tem, em geral, suporte compacto (cf. Exercício 3.15). Uma 
indicação de que isso é verdade é vista no exemplo simples a seguir, onde 
/ não é C®, mas tem suporte compacto.
EXEMPLO./(x) = 1 - |x |/a , se |x| < a, e f(x) = 0 se |x| > a; a trans­
formada de Fourier pode ser calculada facilmente e é F(^) = 
= 2(l-cosaÇ)/(a^^y/^), que não tem suporte compacto. Em virtude 
disso, escolhemos um outro subconjunto de ^ o espaço das funções 
de decrescimento rápido, que é um pouco maior que C J. Como veremos 
na próxima secção, a teoria da transformada de Fourier Qm 6^ é mais 
elegante e mais simétrica. E o mais importante é que esse é o primeiro 
passo do estudo moderno da transformada de Fourier, onde se introduz 
a transformada de Fourier de umas coisas mais gerais do que as funções, 
chamadas distribuições, entre elas o famoso S de Dirac. Esse espaço 6^ 
é conhecido como o espaço de Schwartz, em homenagem ao matemático 
Laurent Schwartz, que criou a Teoria das Distribuições.
6.3 Espaço e transformada de Fourier e m ^
Uma função / : R -► C é de decrescimento rápido se ela for infinita­
mente diferenciável e se
lim x'"Z)"/(x) = 0 (4)
para todos m e n inteiros > 0. O conjunto das funções de decrescimento 
rápido é designado por 6 .̂ Exemplo de uma função de 6^: f(x) = 
Medite sobre o significado da definição. Deixe-me ajudá-lo: (4) significa 
que / e suas derivadas vão mais rápido para 0, quando |x| -► oo, do que 
as potências x"* vão para infinito. A condição (4) é equivalente a dizer: 
dados m, n > 0 inteiros, existe uma constante M(m, n), dependente de 
m Q n, tal que
|x"*D"/(x)| < Aí(m, n), para todo x. (5)
Para ver que (4) implica (5), fazemos o seguinte: o fato de que o limite 
em (4) é 0 nos permite achar um número N > 0 tal que |x^D"/(x)| < 1 
para |x| > N; por outro lado, a função x -► x”*D"/(x), sendo contínua 
em [-N, N], é limitada nesse intervalo, isto é, existe um número Aí ̂ > 0
[ Secção 6-3 ] 201
tal que |x"'D"/(x)| < Mj para |x| < N. Logo, o M(m,n) de (5) pode ser 
tomado como o maior dos números 1 e Mj . Para ver que (5) implica (4), 
tomamos (5) para m + 1 e /?. isto é. |x"‘‘̂ ^D"/(x)| < M(m -h l.n) e daí 
|x"’D'’/(x)| < \x\~^M(m + 1./?). o que nos dá (4).
A cada polinómio P(X) = onde os üj sào constantes po­
demos associar um operador diferencial linear com coeficientes cons­
tantes da forma P(D) = A condição (4) é equivalente ao se­
guinte: dados os polinómios P(X) e Q(X) existe uma constante M(P,Q\ 
dependente desses polinómios, tal que
\Q(x)P(D)f(x)\ < M(P. Q). (6)
Obvia mente. (6) implica (5). pois X"* e X" são polinómios: Para ver que 
(5) implica (6) basta observar que a expressão no primeiro membro de (6) é 
uma soma de termos da forma dos que aparecem no primeiro membro de (5).
A Proposição 6.1 abaixo é trivial, mas é de grande utilidade na se- 
qüência. Ela mostra que os operadores diferenciais P{D) levam funções 
de em 5̂ . e que os operadores de multiplicação por polinómios levam 
em
Observação*. O conjunto 6 ̂ é um espaço vetorial sobre o corpo C dos 
complexos. Podemos sintetizar as observações precedentes 
dizendo que a transformada de Fourier, os operadores de multiplicação 
por polinómios, e os operadores polinomiais diferenciais são transfor­
mações lineares em 6 .̂
PROPOSIÇÃO 6.1. Se f: IR -► C estiver em 5 ,̂ então D”/ c x"*/; para quais­
quer n, m > 0 inteiros, estãotambém em Sf. Conse­
quentemente, x”"D f̂ está em 9". E, além disso, Q(x)P(D]f está também em 6 ,̂ 
para quaisquer polinómios P{X) e Q(X).
PROPOSIÇÃO 6.2. Toda função de decrescimento rápido f : U 
função L
C é uma
Demonstração. Em cada intervalo [-M, N], a função/é contínua, e, por­
tanto, limitada e integrável, o que implica que | / | seja 
integrável aí. Para mostrar que a integral imprópria d e / converge, usamos 
(5) com /I = 0 e m = 2 para fazer a seguinte estimativa
I I f(x )\d x< M (2 ,0 )\ \x\-^dx = 2M(2,0)
J \ x \ ^ 1 J|jc| ̂ 1
202 [ Capftulo 6 ]
e, dai,
j I / ( X ) I j I ,/'(x)I dx + 2M{2,0) < 00. Q.E.D.
O próximo resultado é decorrência imediata das duas proposições 
anteriores.
PROPOSIÇÃO 6.3. Se f: IR -► C for uma função de 6 ,̂ então x"^D"f(x) 
é uma função ^ para todos m, n > 0 inteiros.
Decorre da Proposição 6.2 que a transformada de Fourier está bem 
definida para funções de e, obviamente, vale o seguinte resultado.
PROPOSIÇÃO 6.4. {Linearidade de ^ ) . Se f e g forem funções de
então
■^[«/+ Pg1 = « ^ [ / ] + P n g l
Que tipo de função é .^ [ / ] , para / de 6^1 Aqui vai uma resposta 
parcial; parcial porque a boa resposta é conteúdo da Proposição 6.7 
que diz ser ^\_f~\ uma função de 6 .̂
PROPOSIÇAO 6.5. Se f: IR -► C for uma função de 6 ,̂ então . ^ [ / ] será 
infinitamente derivável e
Mais geralmente, se P{X) for um polinómio, então 
P ( D f) n n = S>^\_P{-ix)f{x)l
(7)
(8)
Demonstração. Decorre imediatamente da Proposição A6.9 do Apêndice 
a este capítulo, que nos permite derivar dentro do sinal 
de integração. Q.E.D.
Agora vem uma das propriedades mais importantes da transformada 
de Fourier, o fato de que ela “destrói” derivadas.
PROPOSIÇAO 6.6. Se f: IR -► C for função de Sf, então
(9)
para todo inteiro n > l. Mais geralmente, se P(X) é um polinómio, então,
= P U ^ W ifl (10)
[ Secção 6.3 ] 203
Demonstração. Basta demonstrar para n = l, o caso geral seguindo por
indução. Use integração por partes:
í
J - 00
f'{x)dx = e \ e '^\Ax)í/x
e os dois limites no segundo membro são zero, pois / está em y . Para 
demonstrar (10), use (9) e a linearidade da transformada de Fourier. Q.E.D.
PROPOSIÇAO 6.7. Se / : R -► C for uma função de 9", então a transfor­
mada de Fourier F: IR -► C será também de 9 .
Demonstração. Usando as Proposições 6.5 e 6.6, temos, para m c n inteiros
= ^K-iDj^^a-ixrm (i i)
Pela Proposição 6.3, {-iDy(-ixYf = está em 9 ^ e, conse-
qüentemente, o primeiro membro de (11) é limitado, o que mostra que 
9 [ f~\ está em 9 . Q.E.D.
Resumindo — As proposições acima mostram que 9 é um operador linear 
de 9 em 9 . Duas perguntas são feitas a seguir.
(i) É 9 injetiva? Em outras palavras, se 9\_ ff\ = 9\_f2] para duas
funções /i e /2 em 9 , é verdade que/^ = / 2? Pela linearidade 
de 9 , a pergunta pode ser formulada assim: se 9\_ f \ = 0, é verdade que 
/ = 0?
(ii) É 9 sobrejetiva? Em outras palavras, dada uma função F(i) em 
9 , existirá uma f(x) em 9 tal que 9\_ f^ = F?
As respostas a essas perguntas são conseqüências do resultado apre­
sentado a seguir.
TEOREMA 6.1 (a Fórmula da Inversa de Fourier). Seja f: IR -► C uma
função de 9 , e seja
F((J) sua transformada de Fourier; então,
m = í*V 2tc J-o ( 12)
Observação. A Expressão (12) nos motiva a defínir um op>erador ^ de 
í f tm por
F[^](s) = (2jt)-‘/2 í c“‘0(í)dí
204 [ Capitulo 6 ]
que tem propriedades semelhantes à transformada de Fourier. O Teorema 
6.1 mostra que
e essa relação estabelece a injetividade de questão (i) acima. Para provar 
a sobrejetividade da tome uma função G( )̂ em 6^ c defina ^(x) = 
= Devemos provar que ^[^(x)] = G(i) o que se faz do seguinte
modo:
Íoo fco drj dx
- 00 J — 00
= f e'<-*«i*^[G](-x)dx = G((J),
J - 00
onde se usou (12) para escrever a última igualdade. Tudo isso pode ser 
juntado no
TEOREMA 6.2. Sf Sf é um operador linear, injetivo (Le. . ^ [ / ] = 0 
implica f = 0), sobrejetivo (i.e., = 9") e
Demonstração do Teorema 6.1. Para demonstrar (12) o que gostaríamos
de fazer seria o seguinte: substituir o F(^) 
que aparece em (12) por sua expressão dada em (1) e tentar uma mudança 
na ordem de integração
{2n) - 1/2 Íoo ^00e'""̂ (27r)~ e~'^^f(y)dyd^. (13)
- 00 J — ao
Entretanto, essas mudanças, quando se tratam de integrais impróprias, 
não podem sempre ser feitas; os integrandos envolvidos devem satisfazer 
certas condições (cf. Proposição A6.11). Veja você! No presente caso, uma 
mudança na ordem de integração conduziria a uma integral divergente
f
o que não coexistiria com o fato da Expressão (13) convergir. Portanto 
a idéia é melhorar a integral com relação a em (13), introduzindo o 
fator n = 1 ,2,...
(2n) Íao foo e~iyi- 00 J — ao <f(y)dydi =/„(x). (14)
 ̂ Sccç3o 6*3 J 205
A Expressão (14) define uma função /^, de Sf, pois é uma
função de e /„ = A mudança na ordem de integração
em (14) pode ser justificada pela aplicação da Proposição A6.11, pois, 
com f ( y ,0 = x temos
ÍOO ^00|/(y ,{)|dy = \f{y)\dy
- 00 J — 00
e fOD /*OD
\n y ,i) \d ^ = \f(y ) \\
J — ao J — 00
aí,
/•CO fco /•ao ̂ ao
\ f(y ,0 \d y d ^ < o o e \f{y ,i) \d id y
J — ao J —00 J — ao J — ao
e, daí,
Logo,
f„(x) = (2n)
Í ao /•ao
/( r)
- 00 •/ — C
< 00.
dy. (15)
Agora podemos calcular explicitamente a integral interna em (15), a qual 
é igual a
/•ao /•ao
cos\_{x-y)Qe~ ^ ^ '”^d ̂ H- i s e n l ( x - =
J — 00 J — ao
Í
ao
COS l ( x - d ^ (16)
e, usando a Relação (27) do Apêndice a este capítulo, temos que (16) é 
igual a
Logo,
e, chamando 
temos
n^/ n e -(x-y)̂ n̂ l4.
Íao 2~^n~ f (y) dy
- ao
k^(x) =
/•ao
/n(^) = K ix-y)A y)dy
J - 00
que é uma integral de convolução do tipo estudado no Capítulo 3, Secção 3.8. 
Para aplicar o Teorema 3.5 devemos mostrar que é uma sucessão de
206 [ Capítulo 6 ]
núcleos de Dirac, o que é facilmente verificável, pois
k„(x) = nk{nx), 
k(x) =
E a função k(x) satisfaz às propriedades de ser contínua, positiva e
onde
r k(x)dx = 1,
sendo a última igualdade conseqüência da Relação (28) do Apêndice. 
(Essa função k(x) é conhecida como a função de Gauss, e, em Teoria das 
Probabilidades, como a densidade da distribuição normal). Logo,
lim/„(x) =/(x). (17)
n-*co
Por outro lado, (14) pode ser escrita na forma
/„(x) = (2rt)- f e
J - ac
e se mostrarmos que
ôo i%ao
Hm e “ «e ‘ F (0d^= \ e F{i)di,
” * J - ao J - ao
esta relação, juntamente com (17), dará a fórmula (12). Portanto devemos 
mostrar que
í (18)
J - ao
tende a 0, quando n -► oo. Dado e > 0, tome tal que
\F(^)\d^ < e/4.
í
O que é possível, pois F é de 5̂ . A seguir, com fixado, tome Mq tal que 
l - e ~ < e/(4M^o), para \ í\ < n > onde M = max | F(^) |. Logo, 
a integral em (18) é majorada por
f (l-e-<^"'^)\F{i)\d^ + r (l-e-«''-')|F(<í)|dí
J |í l > < 0 J - i o
^ 2 í |F (^ | dç + M • 2^0 < Q.E.D.
J | í l > í 0
[ Secção 6.4 ] 207
6.4 Produto de convolução
Dadas duas funções f e g Qm 6 ,̂ definimos seu produto de convolução 
pela expressão
( / * 3 X ^ ) = Í f{x-y)g{y)dy. (19)
J— 00
É fácil ver que a integral acima converge (e uniformemente até), pois
ÍQO \g{y)\dy< CO, (20)
- 00
onde Aí = max| /(x)|, e que
f*g = g ♦ /•
Além disso, temos
PROPOSIÇAO 6.8. Se f e g estiverem em Sf, então f* g estará também 
em Sf
Antes de demonstrar essa proposição, observemos os seguintes fatos, 
(i) Se f c g estiverem em 5̂ , então f *g será uma função C® e se tem 
D”(f*g) = ( IT f)* g = f* ir g
para cada inteiro positivo n. De fato, temos pela Proposição A6.9
J - ao
ir ( f* g ) (x )= \ f ' ‘\x-y)g(y)dy (21)
uma vez que a integral em (21) converge uniformemente em -oo < x < oo, 
pois
|/<"'(x-y)3(y)| < M, |3(>;)|, 
onde M, = sup | / ‘"’(x)|.
(ii) Fórmula de Leibniz. P a ra / e g em 5̂ , e m > 0 inteiro, tem-se
x"(/.
pois
x*/)*(x'" *3), (22)
x"(/* x'”f(x-y)g(y)dy
= j* - y)‘/(x - y ) y ” ~'‘g ( y ) dy.
208 [ Capítulo 6 ]
Demonstração da Proposição 6.8. Deve-se provar que x”*D \f ♦ g){x) é li­
mitada. Usando (21) e (22), concluímos
que
■ m
x^D^f)*(x”̂ -^g)
e comocada uma das funções envolvidas no somatório acima está em 
6 ,̂ o resultado se segue. Q.E.D.
(23)
(24)
< 0 0 .
TEOREMA 6.3. Se f e g estiverem em S/", então 
Demonstração. Usando o Teorema A6.11 temos
Í oo fao
f(x-y)g(y)dydx ^
- 00 J — ao
fOD fOO
= e-<^ig(y)\ dy,
J— 00 J — 00
pois 0̂0 0̂0 foo foo
\h(x,y)\dydx < CO e \h(x,y)\dxdy
J — ao J — ao J — ao J — ao
onde
h{x,y) = e ''‘̂ f(x-y)g(y).
E (24) implica imediatamente (23). Q.E.D.
Observação. Uma demonstração análoga àquela do Teorema 6.3 esta­
belece
TEOREMA 6.4. Se f e g estiverem em 9 ,̂ então fg está também em í f e
3F\_fg-\ = (27t)- • H g l (25)
Demonstração. Sejam F = ^ [ / ] e G = ^[jg^. Então / = ^ [ F ] eg = á^[G]. 
Logo, pela observação anterior,
/0 = (2t: ) - ‘'"F [F * G ]
e, daí,
= (2 ^ )-‘^"F*G,
pois ^ e. isso é precisamente (25). Q.E.D.
[ Secção 6 4 ] 209
Convolução de funções O estudo do produto de convolução para
funções de é um pouco mais delicado. 
Se f c g são funções Jíf ̂ não é verdade, em geral, que o produto fg seja Jíf ̂ ; 
portanto, para tais funções o produto de convolução (19) pode não estar 
definido para todos x. A integral de Riemann não é boa para atacar esse 
problema em sua melhor generalidade (cf. a observação** abaixo). Vamos 
prosseguir com funções f e g em e uma delas (digamos / ) contínua e 
limitada em IR. Então a função y ^ f(x -y )g (y ) é Jíf̂ em IR, para cada 
XG IR fixado; pela Proposição A6.8,/*g é uma função contínua e limitada, 
pois
|(/*3X̂)1 ̂ Aí í \g(y)\dy,
J— OD
onde M = sup|/(x)|. Podemos dizer, além disso, que f* g è uma função 
pois
0̂0 fOO fCO
\(f*g)(x)\dx ̂ |/(:> c-y )| \g{y)\àydx
J — ao J — cc J — ao
\f{x -y )\d xd y .
que é igual a |/(x )| dx | (̂>')| dy < oo, onde a mudança na ordem 
de integração é possível em vista da observação após o enunciado do 
Teorema A6.11. Resumindo,
PROPOSIÇÃO 6.9. Se f e g forem funções e f for contínua e limitada
em IR, então f* g será uma função contínua limitada 
e também Jíf ̂ Além disso vale a desigualdade
/•ao /•ao ^ao
|(/* 0X̂ )1 ^ \gix)\dx. (26)
J - ao J - ao J - ao
Uma demonstração análoga à do Teorema 6.3 fornece
TEOREMA 6.3'. Se f e g estiverem em JSf ̂ e f for contínua e limitada em 
IR, então
g] = (27)
Observação**. Se f e g forem funções quaisquer de Ü em R, então f* g 
será uma função do Ü. A demonstração usa o teorema de
210 [ Capítulo 6 ]
Fubini. Além disso,
que é o mesmo que (26) para funções Vale também a relação (27) 
para quaisquer funções de Ü.
O papel regularizador ou suavizador das convoluções já foi destacado 
na Secção 3.8. Aqui nos limitamos a chamar atenção para o fato de que: 
“se / for C e ^ for C"*, ambas e uma delas limitada, então f* g será 
decorrência da Proposição A6.9.
EXERCÍCIO. Mostre que
í = J_ arc tg — > u > 0, b > 0.
Jo ^ ^
Resolução.
f{x) F(í)
(1) W|,(̂ )
(2) ^ u , { x )
(3) e
(4)
-a|x|
2 sen (bí) 
sen
~ T
2a
[Exercício 2.2(i)]
2a
(a ̂ + x^)
(5)
y /lj t
y /^ { a ^ +
s e n ^ ,14 ,
[Exercício 2.2(iii)]
(1)=>(2) pela linearidade da transformada de Fourier;
(3) => (4) pela fórmula da inversa de Fourier; (5) é o Teorema 6.3'. Portanto 
a função, cuja transformada de Fourier é F(Ç) = (sen b^)/^
será
m =
yphl
_ r " ____ i _
\n +(■>'-
ou seja>
/ w =
Oy/2M
arc tg -
X? 
b - x
dy.
[ Secção 6.5 ] 211
Pela fórmula da inversa de Fourier temos
2 b -X 1 f® JK— ^ ^ a r c tg —— = ^ = c‘*<F(í)díí,
aylrt « J 2 n J-oo
que, calculada no ponto x = 0, dá o resultado buscado.
6.5 Teorema de Plancherel
No Capítulo 3 introduzimos o conceito de função de quadrado inte­
grável, para funções /: [a, ó] -► U. Agora estendemos esse conceito para 
funções / : R -> C. Uma tal / será de quadrado integrável se as partes real 
e imaginária de / (i.e., Re / e Im / ) e | / |^ forem funções integráveis em R; 
lembramos que a integral usada aqui é a de Riemann. O conjunto das 
funções de quadrado integrável em R é designado por JSf̂ . Chamamos a 
atenção para o fato de que, no caso presente de funções definidas em toda 
a reta, uma função pode estar em sem estar em Jíf ̂ Exemplo : /(x) = 0,
se X < 1 , e /(x) = x"^ se x > 1 .
PROPOSIÇAO 6.10. Toda função de 9" é
Demonstração. Dada / em ,9̂ , a Proposição 6.2 nos diz que Re / e Im / 
são integráveis. A seguir use (5) com m = 1 e n = 0, para
concluir
í \f(x )\U x < Aí(l,0)2 I \x \-^dx = 2M(1 ,
J|x| ̂ 1 J|x| ̂ 1
0)̂
e, daí.
í l / ( x ) P d x : s f |/(x)|^dx + 2M (l,0)̂
j - 00 J|x I ^ 1
< 0 0 .
TEOREMA 6.5. (Plancherel-Parseval). Dadas f e g em tem-se
0̂0 fco
/ ( x ) ^ d x =
J- 00 J- 00.
e
f i / ( x ) i^ d x = f
J - o o J - o o
(28)
(29)
212 [ Capítulo 6 ]
Demonstração. Sejam F = . ^ [ / ] e G = Logo,
fcc fcc f(X)
= {27tY'^\ F(í) e‘̂ < ^ )d x d i,
V - 00 J - 00 J — 00
que, pela Proposição A6.11, é igual a
ÍOO MOO e‘̂ iF im d x ,
- 00 J - 00
e que, pelo Teorema 6.1, é igual a
Íoo ^ ) / ( x ) dx.
- 00
A Relação (29) é um caso particular de (28).
Observação*. Já vimos que .5̂ é um espaço vetorial sobre C. De modo 
análogo ao que fizemos no Capítulo 3 podemos ver que a expressãorr® ni/2
(30)
define uma norma em Nesses termos, a relação (29) diz que ^ será 
uma isometria em 5 ,̂ i.e., se f e g estiverem em 6 ,̂ então
Observação** {a transformada de Fourier em I}). O 1} é o espaço das fun­
ções/ : IR -► C, cujo qua­
drado da norma | / |^ é integrável à Lebesgue em IR. Toda função de 
está em í?, mas não vice-versa. Pode-se provar que Ú é um espaço de 
Banach com a norma
r r® ~ii/2
onde a integral é a de Lebesgue. SF é um subespaço denso em I}; i.e., 
dados / e e e > 0, existe e ^ tal que || / - ç)H2 < ̂ • Como Sf ^ Sf 
é uma isometria na norma || H2 » ela pode ser estendida, por continui­
dade a a , e assim cada / e terá uma transformada de Fourier em Ü. 
Detalhemos um pouco essa extensão, para benefício de quem não está 
familiarizado com essa idéia: dada/ g í?, tome ç>„ e .$^talque||(p ,-/||2 - f 0, 
quando n-^oo; como ||ç>„ - Ç>;„||2 0, quando n, m -► 00, concluímos
que W^tPn-^tPmWi Teorema 6.5. Como 1} é completo.
[ Secção 6 6 ] 213
existe F e Ú tal que 0. Essa F é a transformada de
Fourier de /.
6.6 Fórmula do somatório de Poisson e a 
equação do calor
A solução do PVIF (12) do Capítulo 4, com K = 1, é dada por
Y, cos^^» (31)
n = 0 ^
onde
Co = ^ J * fiy)ày e C„ = -|-J* f ( y ) c o s ^ d y . (32)
É razoável esperar que caso a temperatura inicial,/(x), da barra seja po­
sitiva, então, a temperatura em tempos futuros também o seja. Mas como 
estabelecer matematicamente esse fato a partir de (31)? Parece difícil, 
tendo em vista a presença dos co-senos que oscilam, mudando de sinal. 
Para tirar conclusões como a que se pretende aqui, temos que modificar 
a expressão da solução. Substituindo em (31) os valores dos coeficientes 
dados em (32), usando convergência uniforme da série e um pouco de 
trigonometria, obtemos
H x-y , t)f(y)dy.
onde
-n̂ n̂ tlL̂ WTIX 
e " " COS — •
(33)
(34)
A função k(x, í) é chamada a função de Green do PVIF (12). A Ex­
pressão (33) é interessante porque dà uma fórmula direta para a solução 
do problema, a partir da condição inicial, através de uma única quadratura. 
Se pudermos provar que a função de Green é positiva, então, a questão 
formulada acima estará, rigorosamente, respondida. É aí que entra a 
idéia da fórmula do somatório de Poisson.
TEOREMA 6.6. Seja f: uma função de classe C \ tal que 
K|/(x )| + |/'(x)| < (35)
214 [ Capítulo 6 ]
f /(x + 2feL) = ^
k = - 00
para qualquer L> 0 fixado.
Demonstração. A expressão
t f i x + 2kL) (37)
k = - 00
define uma função contínua em -L < x < L, pois a série em (37) converge 
uniformemente, em vista de
tjn, + 2.DI t t f t w ^
Além disso, ^ é de classe pois a série, obtida de (37) por derivação 
termo a termo, também converge uniformemente; para ver isso, usa-se 
uma estimativa semelhante à que fizemos acima. É imediato que a função g 
é periódica de período 2L, o que implica em g ser contínua em todo o R. 
Os coeficientesde Fourier da g são
9„ = TT I dx, « = 0, ± 1, ± 2, . . .
onde K é uma constante, e seja F(^) sua transformada de Fourier. Então
1 r 
2Í- J - t , ‘
e como a série definidora de g converge uniformemente:
■ i . u
f(x + 2kL)e-'”̂ î ̂dx =
e, dai,
1 00
' 2E . Í . i , . , , , '
— innylL dy
(38)
Por outro lado, pelo teorema de Fourier (Secção 2.4):
00
in n x fL ,
n = - 00 '»(^)= S
que, juntamente com (37) e (38), fornece a conclusão do teorema. Q.E.D.
[ Secção 6.6 ] 215
Z z F(n).
k=-oo y/ 2n n= - CO
Volta ao calor. Considere a função de Gauss
f(x) = t > 0,
que, sendo uma função de 6^, satisfaz trivialmente às hipóteses do Teo­
rema 6.6. Sua transformada de Fourier é
F(^) =
Escrevendo a Expressão (36) para esse caso
(47Tí)- '/" Z ^ - U + 2 k L ) 2 / 4 r ^ a ^ 1 ^
de onde se vê imediatamente que a função de Green fc(x, í), dada em (34), 
é positiva. E, daí, temos o fato procurado de que a temperatura m(x , í) 
do PVIF (12) é positiva para qualquer temperatura inicial f(x) > 0, não- 
-identicamente nula.
Observação. Fazendo x = 0 e L = 7 c e m (36) obtemos a fórmula do soma­
tório de Poisson mais popular:
Observação. A expressão no primeiro membro de (39) está ligada à famosa 
função 6 de Jacobi, que aparece também em Teoria dos 
Números, e cuja definição é a seguinte
0{t) = Z (í > 0).
Assim, a Expressão (39), para L = y /n c x = 0, fornece, após alguns cál- 
culos simples, a chamada equação funcional da função 9 :
(40)
Um dos usos da equação acima é para o cálculo de 6(t\ para pequenos 
valores de í; e a explicação seguinte é retirada do livro de Dym e McKean. 
Para í = 0,01, devemos utilizar 21 termos da série no primeiro membro 
de (40) para obter o valor de 6 com precisão até uma casa decimal; utili­
zando a expressão do segundo membro, basta tomar o primeiro termo 
(k = 0) para obter o valor com precisão até 130 casas decimais!
Mais uma aplicação da fórmula de Poisson. Considere a função
m = > 0),
216 [ Capítulo 6 ]
Aplicando a fórmula de Poisson
00 1 1 00y -5—~ ^ = — y e-"'"'
cuja transformada de Fourier é
ou seja.
1 1 1 + «-
k = - 00 2 ̂ + 4fĉ 7T̂ 2u \-e~
que pode ser utilizada (fazendo a -► 0) para obter ̂ ̂ = n'̂ 16.
6.7 Problema de Cauchy para a equação 
do calor
o problema da condução do calor em uma barra infinita consiste 
em determinar uma função u\ IR x [0, oo) -► (R que satisfaça à equação 
do calor
M, = , X 6 IR, í > 0 (41)
e á condição inicial
u(x, 0) = / (x), X e IR. (42)
Esse é um problema de Cauchy, ou um problema de valor inicial.
Nosso plano para resolver esse problema vem exposto a seguir. (1.®) 
Supondo que o dado inicial / seja uma função de e que a solução exista
e que seja uma função de para cada t > 0 fixado, obteremos a forma 
dessa solução. (2.°) A seguir, olhamos para essa expressão como um candi­
dato à solução no caso geral, e procuramos determinar condições sobre / 
que assegurem ser a expressão dada, solução do problema.
Primeira parte do plano. Para cada t > 0 fixado, aplicamos a transfor­
mada de Fourier (com relação a x) na Equação
(41); designando por
rU{i, t) = { 2 n ) - e " u ( x , f) dx
obtemos, na Equação (41),
(43)
(44)
[ Secção 6.7 ] 217
onde usamos a Proposição 6.6, e o fato de que a integral em (43) converge 
uniformemente. Agora, para cada ̂ fixado, a Equação (44) é uma equação 
diferencial ordinária em í, que pode ser integrada imediatamente:
U (l 0 = Cí>
onde a constante de integração é determinada usando-se a condição 
inicial (42):
C = U(^0) = (27ü)-'/2 I e-'^^ f(x)dx = F{ )̂.r
Assim, obtemos que, para cada t > 0 fixado, é
Como
j 2 K t ] '
podemos aplicar o Teorema 6.3 sobre transformada de Fourier do pro­
duto de convolução de duas funções de 6F, para obter
u(x, t) = (271)- ^'H2Kty */(x),
ou seja,
u(x, í) = {4Knt)-^'^ r
J - ao
(45).
e esse é o candidato procurado.
Prosseguimos, agora, para a segunda parte do plano, já enunciando 
um resultado que fornece condições suficientes em /, para que (45) seja 
a solução do problema de Cauchy dado em (41)-(42).
TEOREMA 6.7. Seja f: (R IR uma função seccionalmente contínua e li­
mitada. Então, a Expressão (45) define uma função u(x, t), C® 
no semiplano í > 0, que satisfaz á Equação (41). E, além disso, a condição 
inicial (42) é satisfeita no sentido seguinte:
lim u(x,t) = ^ [ f ( x 0) f(x-O)].Í - 0+ 2 (46)
Em particular, se f for contínua.
lim m( x , t) = f(x).
f - » 0 +
Observação. Um pouco de prudência e a experiência adquirida nos Ca­
pítulos 4 e 5 levam-nos ao desejo de tornar preciso o conceito 
de solução do problema de Cauchy dado em (41)-(42). Uma função u:R x
218 [ Capítulo 6 ]
X (0, oo) -► R será uma solução desse problema se (i) ela for de classe 
em IR X (0, oo), (ii) satisfizer à equação do calor (41), (iii) satisfizer à con­
dição inicial no sentido (46). Assim, o teorema 6.7 é um resultado de exis­
tência de solução do problema de Cauchy, no sentido que acabamos de 
estabelecer.
Demonstração do Teorema 6.7. Para cada r > 0, a integral em (45) con­
verge uniformemente, pois o núcleo é a 
função de Gauss, que é uma função de 6 .̂ E, por isso, vê-se imediatamente, 
pela Proposição A6.9 que u é C®, sendo as derivações permitidas dentro 
do sinal de integral. Pode-se verificar, então, que u é solução da Equação (41), 
para t > 0. Quanto à condição inicial, a idéia é usar o Teorema 3.5 sobre 
os núcleos de Dirac. O núcleo de (45) é
k(x, t) = (4iC7t í ) (47)
O qual é da forma
k(x, t) = 
k(x) =
Observamos que fc > 0 e satisfaz à condição
onde
r k(x)dx = 1 ;
portanto, podemos aplicar o Teorema 3.5 para concluir a demonstração. 
Q.E.D.
O problema de Cauchy dado em (41)-(42) tem solução únical A resposta, sur­
preendentemen­
te, é não. De fato, se f(x) = 0, então a solução m( x , í) = 0 é, obviamente, 
solução no sentido definido na observação após o enunciado do Teorema 
6.7; e a função
î (x, 0 = ^ t). (47)
onde /c é a função definida em (47), também é solução. Para ver isso, basta 
provar que fc(x, í) satisfaz à equação do calor (o que o leitor deve ter feito 
na demonstração do Teorema 6.7) e que
lim v(x,t)= lim [ - 2x7c“ /̂̂ (4Kí)"^^ ̂ = 0. (48)
í - » 0 + í - » 0 +
Portanto, para qualquer f satisfazendo ás condições do Teorema 6.7, 
as funções w(x, t) e m( x , t) -h i;(x, í), onde u está definido em (45) e i; em (47'),
[ Secção 6.7 ] 219
são duas soluções distintas do problema dado em (41)-(42). Mas, tudo isso 
é muito estranho! O problema em pauta é um modelo de um fenômeno 
fisico, e é de se esperar que a solução seja única, para que o modelo possa 
ser considerado bom. Onde é que nós falhamos? Será que a unicidade 
desejada não é atingível? Bom, vamos dar uma olhada na expressão de v. 
O limite em (48) foi zero, porque a exponencial “matou” a potência nega­
tiva de t. Mas veja, suponha que nos aproximemos do eixo í = 0 ao longo 
da parábola = 4Kt (Figura 6.8). Ao longo dessa parábola, i;(x. t) = 
= -(2Ket'n}'^)~^ e, portanto, o limite, quando í -► 0, é oo. Isso mostra que 
V não é limitada na vizinhança do eixo x, e isso não é razoável sob o ponto 
de vista fisico. Portanto nossa falha foi dar uma definição muito geral de 
solução: o limite usado para a verificação da condição inicial foi apenas 
na direção normal ao eixo. A unicidade será conseguida se pedirmos que 
a solução seja contínua e limitada no semiplano fechado t > 0. Temos 
o resultado enunciado a seguir.
TEOREMA 6.8 (unicidade). Se f: [R -► [R for limitada e contínua, então, o
Problema dado em (41)-(42) tem uma única so­
lução contínua e limitada em t > 0.
Demonstração. Basta mostrar que se /(x) = 0, então o problema só tem 
a solução contínua e limitada que é a função u(x, t) iden­
ticamente zero. Suponha, por contradição, que exista outra solução u(x, t) 
e seja M = sup | m( x , í)|. Pelos resultados do Capítulo 4 existe uma função 
contínua û em {(x, í): |x| < 1 , í > 0} que é solução da equação do calor 
(41) em {|x| < 1, í > 0} e que satisfaz às condições
u,(-l,t) = u^(\,t) = M, í > 0,
Mi(x,0)= 0, |x| < 1 - e,
u. linear em \ - s < |x| < 1 ,
220 [ Capítulo 6 ]
onde £ > 0 é uma constante fixada. Para L > 0, defina a função
que resulta contínua em |x| < L, í > 0, e satisfaz à equação do calor em 
IXI < /., í > 0, e, além disso,
M J-L , t) = u JL, í) = M, í > 0,
M̂ (x,0) = 0, |x | < L(1 -£), 
linear em L(l-£) < |x | < L.
Pelo Princípio do Máximo, Teorema 4.4., tem-se
| m(x , í)| < w (̂x,í), |x | <L, í > 0.
Agora, fixe (Xq , íq) e prove que m(Xq , íq) = 0. Para isso,
| m(X o , f o ) | < lim u ^ ( X o , to ) = lim ^ = u,(0,0) = 0. Q.E.D.
L-*co L-*ao \ i-< Lt J
6.8 Condução do calor na barra semi-infinita
(49)
O problema é a determinação de m(x , t) tal que
w, = , X > 0, í > 0,
u(0, t) = h{t\ t > 0,
u(x, 0) = /(x), X > 0.
No caso homogêneo, h(t) = 0, o problema pode ser resolvido do 
seguinte modo. Estenda /, para x < 0, como uma função ímpar e aplique 
o que se estudou na secção anterior. Designando essa extensão por / 
a solução de (49) seria
m(x , t) = (4Knt)
■“ f
supondo que / seja, digamos, contínua e limitada. Observe que a condição 
de fronteira, m(0, í) = 0 é, de fato, satisfeita.
Agora, no caso não-homogêneo, o método de extensão não funciona. 
Será interessante considerar a transformação-seno de Fourier:
= r
f(x) sen (x(J) dx (50)
[ Secção 6 8 ] 221
que está bem definida, se / for em (0, oo). É fácil provar que, se esten­
dermos / como função ímpar, e denominarmos / a extensão, teremos
(51)
Pode-se também provar, sem dificuldades, que ^[/](<í) é uma função 
ímpar. Usando esse fato e a fórmula da inversa de Fourier, obtemos
f{x) = A r~ ̂JoF̂ {̂ ) sen (x^) x > 0, (52)
supondo que/ seja contínua. A Fórmula (51) é importante porque podemos 
obter as transformadas-seno usando tudo que sabemos sobre as trans­
formadas de Fourier. A Fórmula (52) é a inversa da transformada-seno 
e é de grande valia na resolução do Problema (49) com h(t) = A, onde A 
é uma constante. Fazendo
Jo
m( x , t) sen (x (^ ) dx
e, admitindo que a solução de (49) seja uma função de classe C ,̂ para 
cada í > 0, e que, além disso,
lim w(x, t) = lim u (̂x, t) = 0, (53)X-+00 x-*’ao
obtemos, sucessivamente.
/•ao f c o
 ̂0 = w,(x, t) sen (x(̂ ) dx = K \ u^J,x, t) sen (xtj) dx
Jo Jo
e, integrando por partes, usando (53) e a condição de fronteira.
dt (54)
A condição inicial de (49) se reduz a
U^(^,0) = F^(a
e, portanto, a equação diferencial ordinária (54), com essa condição inicial, 
tem por solução
e, daí, usando (52), obtemos a expressão de u.
Para tratar problemas com outras condições de fronteira, por exemplo 
Ujp(0, t) -h au(0, t) = 0, usamos o seguinte artificio. A função y(x, t) =
222 [ Capítulo 6 ]
= u (̂x, t) + au(x, t) também é solução da equação do calor, se u for. Logo, 
um problema da forma
, X > 0, í > 0,
uJO, t) -h au(0, t) = h(t), t > 0,
m(x, 0) = / ( x), X > 0,
transforma-se num outro da forma
f’, = ,
tKO. t) = h{t),
t;(.\-.0) = f'(x) + ixfix),
O qual pode ser resolvido pelas técnicas anteriores. Uma vez obtido v, 
podemos calcular w, integrando a equação diferencial que liga w e t>, e 
obtemos
u(x, í) = -e ■ j* v{y, í)^’’ dy,
bastando para isso supor, por exemplo, que e“ t<(x, t) -► 0, quando x -► oo.
APÊNDICE AO CAPÍTULO 6
FU N ÇÕ ES R EP R ESEN T A D A S POR 
IN T E G R A IS
Dedicamos este apêndice a um tópico bastante importante, mas, via 
de regra, esquecido nos cursos de Cálculo, e, até mesmo, nos cursos iniciais 
de Análise: funções representadas por integrais, ou, na nomenclatura 
mais antiga, integrais dependendo de um parâmetro. A transformada 
de Fourier, que estudamos neste capítulo, é um exemplo de tais funções. 
Outros exemplos são:
a função gama.
F(x) e ̂dy, x > 0 ;
a transformada de Laplace de uma função /,
^ i n { s ) = \ f - “ /(x)dx;
Jo
(1)
(2)
[ Apêndice ] 223
a função C de Riemann,
as)
1 r
5 > 1, (3)
mais popularmente conhecida na forma ((s) =
Nosso objetivo é discutir as propriedades de continuidade, diferen- 
ciabilidade e integrabilidade da função 0 (x) definida pela integral
0 (x)
- r
/(x, y) dy. (4)
onde /: / x IR -► IR é uma função dada, satisfazendo certas condições 
explicitadas nas várias proposições abaixo, e / é um intervalo limitado 
ou não em IR. Vamos, porém, começar com funções representadas por 
integrais definidas, i.e..
q>(x)
- f y) dy. (5)
onde /: / x [a, fc] -► IR com / sendo um intervalo limitado ou não em IR. 
Vemos imediatamente que o resultado seguinte é verdadeiro.
PROPOSIÇÃO A6.1 (de quando (p está bem definida). Se f: I x [a, fc] -► IR
for uma função con­
tínua, então (5) define uma função q>\ / -► IR. Mais geralmente, em vez da 
continuidade de f basta pedir que, para cada x fixado, a função y ^ f ( x ,y ) 
seja integrável (cf. Secção 3.1).
PROPOSIÇÃO A6.2 (continuidade da (p). Se f: I x [a, fc] -► R for uma fun­
ção contínua, então (p: I -*R é
uma função contínua.
Demonstração. Mostremos a continuidade de (p num ponto Xq, i.e., que 
dado £ > 0, existe á > 0, tal que
\(P(Xq + h)-(p(x^)\ <£, (6)
para \h\ <ô. Para tal, fixe a > 0, e considerando a função contínua / 
restrita ao retângulo ^ = [x^ - a, Xq + a] x [a, b~\, conclua a existência 
de um á > 0, tal que
\f(x ,y )- f(x \y ') \< e /(b -a ) , (7)
para (x, y) e (x', y') em com | x - x' | < ô e | >̂ - / 1 < S. (O precedente é 
o enunciado de uma propriedade das funções contínuas em conjuntos
224 [ Capítulo 6 ]
limitados e fechados do plano, por exemplo, em retângulos, propriedade
essa chamada de continuidade uniforme). Para estabelecer (6) basta ob­
servar:
|<p(xo + h ) - q > ( X ç , ) \ < |/(Xo + h ,y)-f{xo , y)\dy (8)
e usar (7). Q.E.D.
Reforço na Proposição A6.2. Visando às aplicações da transformada de
Fourier, observamos que a continuidade da 
/ na Proposição A6.2 pode ser substituída pela condição mais fraca, que 
se segue. A função / é da forma/(x, >̂) = g{x, y)k{y\ onde g : I x [a, b] -► R 
é uma função contínua e fe: [a, b] -► R é uma função ̂ (i.e., k e |fc| inte­
gráveis. Cf. Secção 3.1). A demonstração, nesse caso, é análoga: (7) é subs­
tituído por
|0(^ ,y )-0(^',y)| < e
e (8) por
|<iO(Xo + h)-(p(x I + h ,y)- g{Xo, y) | | Hy) \ ày.
PROPOSIÇÃO A6.3 (diferenciabilidade da q>). Seja f : I x [a, b] -► R uma
função contínua, possuindo 
derivada parcial f^\ / x [a, b] -► R também contínua. Então, ç>: / -> R á 
derivável e »
(p\x) = y)dy. (9)
Demonstração. Pela Proposição A6.2 vê-se que a integral no segundo 
membro define uma função contínua, e, portanto, a de­
monstração se reduz a mostrar que, dado e > 0, existe á > 0 tal que, 
para |b| < á.
q>{x + h)-(p(x)
OU seja.
■ ■ f " "
y)dy\ < E,
dy\ < e.
[ Apêndice ] 225
ou ainda, usando o teorema do valor médio do Cálculo Diferencial,
f [,/;(x + e^h, 3;) - f^{x, 3̂ )] dy < e,
onde 0 < dy < \. Esta última relação é, porém, conseqüência imediata 
da coi>tinuidade de , através de argumento semelhante àquele usado 
na demonstração da Proposição A6.2. Q.E.D.
Reforço na Proposição A6.3. Em vez de continuidade de / e , basta
pedir que/(x, y) = g(x, y)k(y), onde g,g^:I x 
X [a, fc] -► [R são funções contínuas e fe: R -► R é uma função ^
PROPOSIÇÃO A6.4 (mudança na ordem de integração). Seja g: [c, á] x
X [a, fc] -► R uma
função continua e k: [a, b] -► R uma função Então
ftd f b /»b
, y)k{y) dy dx = j J g(x,y)k{y)dxdy. (10)fP-
Demonstração. Definimos a função F\ [c, J] x [a, b]
F{x,y) = I g{^,y)d^.
pela expressão
e a função G: [c, d] -► R por
G(x) y)k(y) dy.
F é contínua, e F^ também o é, pois o Teorema Fundamental do 
Cálculo nos diz que F^ = g. Portanto podemos aplicar a Proposição A6.3 
(reforçada) para escrever
G'(x)= { F,(x,y)k(y)dy= I g(x,y)k(y)dyJ'(x) = j FJix,y)k{y)dy = £ ^(x,:
e, daí, por integração, temos 
G(d)-G(c) 
de onde (10) se segue. Q.E.D.
■ f f ' ' "
y)k(y) dy dx.
Observação. A mudança na ordem de integração em integrais iteradas é 
uma questão delicada, só sendo possível mediante restrições
226 [ Capítulo 6 ]
como acima. O leitor poderá mostrar, sem dificuldades, que
H T x -y(X + y)ydydx 74 í í (x + y)jd x d y =
Observe que ambas as integrais existem!
Passemos, agora, a funções definidas por integrais impróprias da 
forma
<//(x)
= r
/(x, y) dy, ( 11)
onde f: I 'x [u, 00) -► R, sendo / um intervalo limitado ou não, em IR. 
Para que a ij/ esteja bem definida, o mínimo a pedir é que, para cada x 
fixado, a função y ^ f ( x ,y ) seja integrável. Nosso trabalho é saber se, 
ou quando, if/ é contínua e derivável. Primeiro, fazemos a observação 
de que a mera continuidade da / não assegura a continuidade de ij/.
EXEMPLO, /(x, y) = sen^ x é, obviamente, integrável em [0, 00),
para cada x real fixado, e
iA(x)= f f(x .y)dy 
Jo
pode ser calculado explicitamente, obtendo-se ^(x) = 0, se x = /cti, fc = 0, 
±1, ± 2 , . . . , e \l/(x) = 1 nos demais pontos da reta; portanto i// é des­
contínua. Consequentemente, há que se restringir um pouco mais a função 
/, e, para isso, introduziremos o conceito de convergência uniforme dc 
integrais. Iniciemos com a seguinte observação: a integral imprópria 
em (11) é o limite das integrais
^ n(x) =í“/(x, y) dy.
quando N -► 00. Daí, vemos que a continuidade da ij/ fica assegurada 
pela convergência uniforme da sucessão (0^), quando N -► 00. Isso motiva 
a definição seguinte.
Definição. A integral imprópria em (11) convergirá uniformemente num in­
tervalo J cz / se, dado 8 > 0, existir y(e) > a, tal que, para todo 
x e J , tenhamos
Jyie.)
J{x,y)dy < e. ( 12)
[ Apêndice ] 227
Teste M de Weierstrass. Suponha que, para cada x fixado, a função y ^ f ( x , y) 
seja em [a, oo). Suponha, também, que exista 
uma função M: \_a, oo) -► U, não-negativa, e integrável, tal que, \f(x,y)\ < 
< M{y), para todo x em J. Então, a integral em (11) converge absoluta e 
uniformemente em J, i.e., as integrais
f /(x, dy e f \f(x,y)\dy
são uniformemente convergentes em J.
Exemplos de aplicação do teste Aí.
1) ÍT i^/y^^'')dy e e^^^^dv convergem uniformemente em x > Xq 
para qualquer Xq > 0.
2) f® (cos xy)/y^'^^dy, (p > 0), e J® (cos xy)/(l -h y^) dy convergem uni­
formemente em -0 0 < X < 00.
Observação. O teste M é um critério que diz quando (11) converge uni­
formemente, mas, como vê o leitor, apenas no caso em que a 
integral de \ f(x,y)\ também convirja uniformemente. Há casos em que 
a integral em (1 1 ) converge, mas a integral imprópria do valor absoluto 
diverge. Por exemplo,
sen xyí dy.
Nessas situações, dizemos que há convergência condicional, e há critérios 
(entre eles o de Abel e de Dirichlet) para cuidar desses casos, mas não 
vamos nos deter nesse ponto.
PROPOSIÇAO A6.5 (continuidade da ij/). Se f: I x [a, oo) -► IR for uma
função continua e a integral em
(11) convergir uniformemente em I, então IR á contínua.
Demonstração. Dado e > 0 tome }/(£) tal que (12) se verifica. Logo, para 
X e X -I- em /, temos
iA(x + /i)-tA(x)
.
[/(x + h,y)-f(x,y)'\dy +
fJyU+ 1 f{x + h,y)dyJyU) Jyie) f(x,y)dy. (13)
A seguir, use a Proposição A6.2, para determinar á > 0 tal que a primeira 
integral no segundo membro de (13) seja menor que e, para \h\ < S. Em
228 Capítulo 6 ]
Reforço na Proposição A6.5. Ao invés de continuidade da f basta supor
= gi.x,y)k{y) com g : I x [a, oo) ->• R 
contínua e limitada (limitação de g como função de y, para x fixado) e 
k: [a, oo) -► (R uma função ifL De fato, para uma tal / a integral em (11) 
é uniformemente convergente, pois
vista de (12) cada uma das duas outras integrais no segundo membro
de (13) é menor que e. Logo, \\pix -f h)-il/(x)\ < 3e, para \ h\ ô, ou seja,
continuidade de ij/. Q.E.D.
f g{x, y)k(y) dy - f \Hy)\ày,
onde M é o máximo de g{x, y). para x ^ -b < x < Xq b q - oc < y < oo, 
sendo b > 0 fixado. E, aí, temos a continuidade de il/ no ponto x^ .
Observação. Uma olhada na demonstração acima mostra que, para de­
monstrar a continuidade de ij/ num ponto Xq , basta apenas 
supor que a integral em (1 1 ) convirja uniformemente em uma vizinhança 
de Xq . E isso faz uma diferença no caso em que I é um intervalo não-limitado, 
pois a integral pode ser uniformemente convergente na vizinhança de 
cada ponto, sem o ser no / todo. A razoabilidade desta observação se 
liga ao fato de que continuidade (e diferenciabilidade também, de acordo 
com a observação após a Proposição A6.6) é uma propriedade local.
PROPOSIÇÃO A6.6 (diferenciabilidade da il/). Seja f: I x [a, oo) -► R uma
função contínua, possuindo 
derivada parcial f/ . 7 x [a, oo) -► (R também continua. Suponha que a integral 
em (1 1 ) convirja (não é necessário que seja uniformemente) e que
f U x,y)dy (14)
convirja uniformemente em I. Então ij/ é derivável em todo ponto de I e
</''(̂ ) = fp -.y)dy. (15)
Demonstração. Queremos provar que, dados 6 > 0 e x e 7, existe <3 > 0, 
tal que
il̂ (x + h)-il,(x)
< e,
[ Apêndice ] 229
para \h\ < ô, ou seja,
I |^/(x + h ,y)- f{x , y) -fx(x,y) \dy\< E,
OU a in d a , p e lo te o r e m a d o v a lo r m é d io .
f >')-/x(x, J')] dy <e, 0 < 0 < 1 .
Use a convergência uniforme de (14) para determinar ><e) tal que
•'y(e)
U x,y)dy < E,
(16)
(17)
para todo x em /. Uma vez fíxado y(e), tome 5 > 0, tal que, para |/i| < 
tenhamos
í [/x(x + d h, y ) y)'] dy < e. (18)
E, assim, (17) e (18) implicam (16) com 3e, em vez de a, o que dá no mesmo. 
Q.E.D.
Reforço na Proposição A6.6. Em vez da continuidade de / e /^ , e demais
hipóteses, basta supor que/(x, y) = g{x, y)k(y), 
onde k: / -► R é uma função e g q são contínuas e limitadas na 
variável y.
Observação. A função ij/ resulta derivável num ponto Xq de /, se supusermos 
a convergência uniforme da integral (14) apenas em uma 
vizinhança de x^.
PROPOSIÇÃO A6.7 (mudança na ordem de integração). Seja f: I
X [a, oo) -►
-► IR uma função como na Proposição A6.5 ou no reforço á Proposição A6.5. 
Se a integral em (11) convergir uniformemente, então, para qualquer inter- 
valo limitado [b, c] c /, ter-se-à
n oo f»Cf{ x ,y )d y d x = \ \ f(x ,y)dxdy. (19)
Ja Jh
Demonstração. O primeiro membro de (19) é a integral da função il/ de­
finida em (11), a qual resulta contínua, em vista da Pro­
230 [ Capítulo 6 ]
posição A6.5. Logo, (19) é equivalente a
lim (* Ç f{x ,y)dxdy = Ç \l/{x)dx,
Ja Jí. Jfc
OU seja, usando a Proposição A6.4,
lim r í f{x, y) dydx = f il/(x) dx,
k i Jk
ou, ainda.
lim r f / ( X , y) dy dx = 0. (20)
Mas, isso decorre da convergência uniforme da integral em (11), pois, 
dado £ > 0, temos, para N sufícientemente grande que
f f{x.y)dy < e
e, daí, a integral dupla em (20) é majorada por e{c-b). Q.E.D.
Finalmente, para analisar a função <I>(x) definida em (4), basta ob­
servar que O é a soma de duas integrais do tipo (1 1 ):
J»oo ^ 0 ^00Ç)(x, y)dy e ç)(x, y)dy = q>{x, -z) dz, (2 1)
0 J — ao Jo
e aqui vão os análogos das Proposições A6.5, A6.6 e A6.7.
A integral em (4) convergirá uniformemente se, dado a > 0, existir 
> 0 tal que
f f(x ,y)dy-h f f(x ,y)dy
J - 00 Jyc
< e,
o que equivale a dizer que cada uma das integrais em (2 1) convergirá uni­
formemente.
PROPOSIÇAO A6.8 (continuidade da <!>). Se f \ I x U U for uma função
contínua e a integral em (4) con- 
vergir uniformemente, então O: I U será contínua. Mais geralmente, será 
suficiente admitir f(x , y) = ^(x, y)fc(y), com g: I x (R -► (R contínua e k:R-*>U 
uma função ^
PROPOSIÇAO A6.9 (diferenciabilidade da <!)). Seja f: / x IR -► IR umafun-
ção contínua, possuindo de-
[ Apêndice ] 231
rivada parcial / x IR -► (R, também contínua. Suponha que a integral
em (4) convirja e que a integralr U x, y) dyD
convirja uniformemente em R. Então O é derivàvel em R e
fx(x,y)dy.4>'(x) = f
J — c
Mais geralmente, basta admitir f(x ,y) = g(x,y)k(y), onde k: R R é uma 
função e g, g^: I X R R são funções contínuas e limitadas na va­
riável y.
p r o p o s iç ã o A6.10 (mudança na ordem de integração). Seja f: / x IR -► IR
uma função con­
tínua. Se a integral em (4) convergir uniformemente, então, para qualquer 
intervalo limitado [b, c] cz /, ter-se-á
n f (x, y)dydx= { f / (x, y) dx dy.- 00 V — 00 JbMais geralmente, basta admitir f (x,y) = g(x,y)k(y), onde fe: IR -► IR é uma 
função e g: I X R R é uma função contínua e limitada na variável y.
A Proposição A6.10, no caso em que [fc, c] é substituído por (-oo, oo) 
torna-se uma questão difícil. Obviamente,, a convergência uniforme de 
(4) não é sufíciente para garantir
f c o .fao f c o fOD
f ( x ,y )d y d x = \ f(x,y)dxdy; (22)
J — ao J — ao J — ao J — ao
como mostra o exemplo, /(x, 3;) = e'^*~^^''f(y),f de decrescimento rápido, 
o qual aparece na demonstração do Teorema 6.1. Há várias condições 
suficientes para assegurar (22). Para aplicações à Análise de Fourier o 
seguinte resultado é dos mais úteis.
PROPOSIÇÃO A6.11 (o 'fubinizinho"'). Seja f: IR x IR -► IR uma função
contínua, tal que as integrais ite­
radas abaixo convirjam
^ao foo fa o fao
\f(x ,y )\dxdy e \f{x,y)\dydx. (23)
J — 00 J - 0 0 J - 0 0 J — oo
232 [ Capftulo 6 ]
Então, as integrais iteradas da f convergem e 
f(x , y) dy dxí: í-00 V - 00
f*ao 1*00
•/ — 00 V — 00
y) dx dy. (24)
Observação. No caso da integral de Lebesgue o resultado acima é chamado 
de teorema de Fubini e basta supor que uma das integrais 
em (23) convirja, decorrendo, daí, a convergência da outra. Como toda 
função integrável, cujo valor absoluto é integrável, é também integrável 
à Lebesgue, segue-se que, também no Teorema A6.11, basta supor a con­
vergência de uma das integrais em (23).
Demonstração. Introduzimos as partes positiva e negativa da função / :
f '
se /(x, y) > 0,
se /(x,y) < 0 ;
se /(^ ,3 ')> 0 ,
se /(x, y) < 0,
1 / 1 =
de onde resulta que
f = f ^ - r e
Logo, basta demonstrar o teorema no caso de / > 0, e é isso que faremos. 
Seja <̂ (x) = jy^f(x,y)dy, onde (l>{x) = Logo,
4){x) f{x,y)dy.
para quaisquer a, b > 0. E, daí, para quaisquer c, d > 0, temos
fh
(M.x) dxr (Hx)dx> r
J — C J — c ^
f {x,y)dydx = ^ / (x, y) dx dy,
onde usamos a Proposição A6.4 na permuta das integrações. Logo,
Íoo /*d4>{x)dx> f{x,y)dxdy. (25)
- 0 0 J - a J - cComo (25) se verifica para quaisquer c e d, como
f{x ,y )d y= lim | f(x,y)dx
D
e como f(x ,y) > 0, temos
4>{x)dx> I I f(x ,y)dxdy.
í f{x ,y)dy = lim f /(x ,.
j-OO J-C
ÍOO fP /•oo(l>{x)dx > f( x , .
-0 0 J — a J — ao
(26)
[ Apêndice ] 233
fo o 1*00 /*ao
<Hx)dx>
J - ao J - OO J - y
de onde finalmente se segue
<A(x) dx> \ I /(x, y) dx dy, 
que é parte de (24). A outra parte é completamente simétrica. Q.E.D. 
Aplicação /.
1
COS (x(̂ ) dx = — (27)í”
Resolução. A integral em (27) converge uniformemente para todo pois 
|é»~"'̂ cos(x( )̂| < = M(x)
e basta, então, usar o teste M de Weierstrass; relembre
í e dx = 
Jo
(28)
Logo, pela Proposição A6.5, a função
= r
= 1 ̂ COS (x{) dx
Jo
é contínua. Além disso, pela Proposição A6.6, a função if/ é derivável e
= - I sen (x^) dx, (29)= - í
Jo
pois vemos que a integral em (29) converge uniformemente, aplicando o 
teste Af, através das seguintes estimativas:
|xe"''^sen (xí^)| < xé»"* ̂ = M^(x)
1í xe ̂ dx =
Agora, integrando por partes em (29), obtemos
 ̂ /•«
e COS (xí) dx = - - j
o que mostra que ^ satisfaz à equação diferencial
f + f ^ = 0. (30)
234 [ Capítulo 6 ]
com a condição inicial
m = í e dx = , / n / 2 .
Jo
(31)
Para integrar (30X multiplicamo-la pelo seu fator integrante de Euler, 
o qual é obtemos
= 0,
o ,u e implica
onde a constante C de integração é determinada usando-se (31), e, daí, 
se obtém (27).
Aplicação II.
Jo >' 2
Resolução. Considere a função 
\l/(x)
= í
,-x,sen>- dy.
(32)
(33)
Para provar que a integral em (33) converge uniformemente em x > 0, 
usamos a integração por partes:
.00
T í l ! !J. sen ydy = -------cos y [ m COS y dy,
onde a > 0 ; obtemos
- x yr® ^ xy ^ ax /•«
J ”y sen ydy = cos a - J (1 -h xy)e j-̂----- cos ydy.y ' ct y
Observando que
|(1 -h xy)^""'^cosy| < cos y| < 1 ,
teremos a seguinte estimativa
I r j 1 r* 1 j 2-----sen y dy < ----- h ~^dy = —
\ l y « 1 3̂ “
(34)
que, sendo válida para todo x > 0, dá a convergência uniforme de (33). 
Logo, pela Proposição A6.5, ^ é continua em x > 0. Para a derivabilidade.
f Apêndice ] 235
fazendo a derivação dentro do sinal de integral, obtemos a integral
f e sen y dy, (35)
que converge uniformemente em cada intervalo da forma [a, oo), onde 
a > 0. {Observe que a convergência não é uniforme em [0, oo), pois, para 
X = 0, a integral em (35) diverge}. Logo, pela Proposição A6.6, temos
r ix ) = - f
Jo
e ""^SQuydy, (36)
que é válida para todo x > 0. A integral em (36) é a transformada de Laplace 
de sen y, que pode ser calculada explicitamente por argumentos elemen­
tares,
n x ) =
1
E. daí.
1 + 7
[j/(x) = C - arc tg X, x > 0. (37)
Para calcular a constante C de integração, temos
lim \j/{x) = C - ̂ .X-» 00 Z
e usando (33) vamos provar, mais abaixo, que esse limite é 0, e, daí, C = n/2. 
Portanto
il/(x) = — - arc tg X, X > 0.
Como if/ e arctg são funções contínuas em x > 0, obtemos
f sen V , , 71dy = il/{0) = y - arc tg 0 = y »
como se queria. Para provar que lim i/̂ (x) é 0, quando x oo, basta ob­
servar que
1
\<pix)\ < í
Jo
>dy = X > 0.
Consequência da Aplicação II.
sen xyí“>• dy = Y sgn X. (38)
236 [ Capítulo 6 ]
Resolução. Para x = 0, (38) é óbvia. Para x > 0,
r sen xy
í' sen xy dy
d z = xy
Jo ̂ Jo
y L z
fazendo a mudança de variável z = xy. Para x < 0,
sen z dz.
Jo Jo
fazendo a mudança de variável z = -xy.
Aplicação III. A função F, definida em (1), é contínua, e, de fato, é C®, 
em X > 0.
Resolução. A Expressão (1) é a soma de duas integrais
r,(x) = |^ r,(x) = | e-yy^-U y. (39)
Vamos mostrar que ambas convergem uniformemente em qualquer in­
tervalo [a, b], com 0 < a < b < co. De fato,
= M,(y), 0 < y < 1 ,
e ~ y y x - i ^ ^ M 2(y), 1 < y < oo,
e as duas integrais
j M^{y)dy e | M,{y)dy
convergem. Logo, pelo teste M, temos a convergência uniforme das inte­
grais em (39), e, portanto, a convergência uniforme da integral em (1) 
no intervalo [a, b]. Logo, F é contínua em [a, b], p>ela Proposição A6.5. 
Para ver que F é derivável em x > 0, basta usar a Proposição A6.6. Por 
derivação formal, temos
e ^y^ Mogyáy (40)
e, para justificá-la, basta mostrar que a integral em (40) converge unifor­
memente em qualquer intervalo [a, b], com 0 < a < b < co. Mas isso 
decorre das estimativas
^ |log>-| = Mj{y), 0 < y < 1,
|e “i’y'"Mog>í| ^ |log>;| = MJ[y), I < y < oo.
í My
Jo
(y) dy < co e r MJ^y) dy < 00.
Argumentos semelhantes dão outras derivadas de F.
[ Apêndice ] 237
Nota informativa. A função gama é uma das mais fascinantes em Mate­
mática, com muitas propriedades interessantes. Por 
exemplo, uma integração por partes em (1) conduz á seguinte equação 
funcional:
r(x -h 1) = xHx), X > 0,
da qual se segue que
r(M -h 1) = n!
para n inteiro positivo, uma vez que
(41)
n i ) e ^dy = l.
Um interessante fato sobre a função gama foi descoberto por Harald Bohr. 
Antes de descrevê-lo, faremos algumas considerações sobre a equação 
funcional (41). A função gama não é a única função que satisfaz a (41); 
de fato, se p: (0, oo) -► R for uma função periódica de período 1 , então 
p(x)F(x) também satisfará à Equação (41). Reciprocamente, se /(x) satis­
fizer à Equação (41), i.e., f(x + 1) = xf{x), então existirá uma função 
periódica p(x) de período 1 tal que /(x) = p(x)F(x); de fato, tome p(x) = 
= /(x)/F(x). Portanto a equação funcional
log / ( x -h l)-log /(x ) = logx, X > 0 (42)
tem por soluções
log F(x) -h log p(x).
onde p(x) é qualquer função periódica positiva de período 1. Entretanto 
se restringirmos a classe das funções onde buscamos a solução de (42), 
concluiremos que essa equação caracteriza a função gama, e esse é o teo­
rema de Bohr: “Toda solução convexa da Equação (42) em (0, oo) é da 
forma log F(x) -I- constante”, cuja demonstração pode ser encontrada no 
livro de Cálculo de Courant.
Nota final. A determinação dos valores de integrais impróprias, não só 
as estudadas aqui, mas muitas outras, pode ser feita de modo 
mais sistemático e, via de regra, mais facilmente, usando-se o teorema 
dos resíduos,estudado na Teoria das Funções de Variável Complexa. Entre­
tanto deve-se desenvolver a integração de funções complexas / : C -► C 
sobre caminhos do plano complexo, e é, precisamente, esse o objetivo 
central daquela teoria.
238 [ Capítulo 6 ]
EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 6
2.1. Sendo a > 0 uma constante, mostre que
0̂0
/ = e - ‘-’‘cos(^x)dx= 2 ^Jo « + ^
f e "^sen(í^x)áx =
2.2. Calcule as transformadas de Fourier das funções
(i) M̂(x) = ̂ U r 7 . ( ^ > 0) (função pulso)
(ii) f ( x ) ={
j l . se |x|
jo, se |x|
' 1 - UI sea
0, se
' ( ^ > 0);
\e " , se X
10, se X
(a > 0).
|x| ;< fl,
UI > a;
(a>0)
(iv)/(x) = |p ’ : : ( a>o)
(V) / ( X ) = e -
2.3. Determine a função /(x) cuja transformada de Fourier é /(^).
2.4. Mostre que a transformada de Fourier F(^) será uma função real 
quando, e apenas quando,/(x) for par, i.e., /(x) = /(-x).
2.5. Mostre que a transformada de Fourier F({) será imaginário puro 
se, e só se, /(x) for ímpar, i.e., /(x) = -f(-x).
2.6. Seja /: [0, oo) -► R uma função Jíf ̂ Etefina
(i) a transformada-co-seno de Fourier,
F , ( ^ ) = | COS { x m x ) d x ; 
JO
(ii) a transformada-seno de Fourier,
F ,( { )= f sen(xí)/(x)dx.
Jo
Mostre que, estendendo f como uma função par, temos
239
c que, estendendo / como função ímpar, temos
2.7. Seja F(0 a transformada de Fourier de f{x). Mostre que
(i) = F{
(ii) >),
X(iii)
(iv) ^
( )̂ = aF{a^) (a > 0),
f ( x - h ) J í ) = (heUl
(V) = F i i - h c ) { c e R ) .
2.8. Calcule as transformadas de Fourier das funções contínuas abaixo.
(IJ ^ ,-u -3)2/2̂ (llj
1 1, se X = 2,0, se l - x - 2 | > 1,seccionalmente linear.
2.9. Calcule as transformadas de Fourier das funções
(i) cos (c*x), (ii) é»”"^^sen (c‘x), (a > 0).
2.10. Mostre que
J^[/(x)cos(cx)] = - [F(^-c) + F(í + 0]
^ l f ( x ) sen (ex)] = - [FU - c) - F(í + c)].
2.11. Calcule as integrais
(i) í‘ - a | x | COS (c x) Jx, (ii) e """ COS (cx)dx.r
3.1. Seja /: IR -► IR uma função de classe. C^ com / e / ' em Suponha 
que /(x) -► 0, quando |x| -► oo. Mostre que
3.2. Mostre, através de um exemplo, que / ser contínua e em IR não 
implica que /(x) -► 0, quando |x| -► oo.
240 [ Capítulo 6 ]
3.3. Calcule as integrais
I
( b x ) d xr
r
(a > 0, b e U )
x ^ e C O S ( b x ) d x
3.4. Seja / : (R -► R uma função ̂ tal que
/•C O
f { x ) d x = 0 .
J - ao
Mostre que
^ [ j í # 0.
3.5. Usando as idéias do Exercício 3.1 e 3.3, faça um estudo de integrais 
da forma
f x"e """ COS (fcx) d x e x"é» “̂ s e n (fc x )d x ,
0̂0
Jo
onde a , b > 0 c n > 0 inteiro.
3.6. Mostre que se / : R -► C for seccionalmente contínua e em R,
então
/ ( x + 0 ) + / ( x - 0 )
V 2 ;r J - a o
onde F designa a transformada de Fourier de f
3.7. Mostre que, se / : R -► C for contínua e em R, e se F designar 
sua transformada de Fourier, então
^ [ F j x ) = f ( - x ) ,
e, dai, conclua que
^ \ n i x ) =/(x).
3.8. Use o Exercício 3.7 para calcular as transformadas de Fourier das 
funções
sen a x 1 - cos a x 1
X ’ x ̂ ’ -h x^
3.9. Calcule as integrais 
sen a x
(i) JJo COS (fcx) d x , (ii) COS (bx) d x .
241
3.10. Usando os resultados dos exercícios anteriores, (não esqueça o 
Exercício 3.7) faça uma tabela de funções e respectivas transformadas 
de Fourier, do tamanho compatível com seu entusiasmo e energia.
3.11. Seja / : IR -► C uma função de <9̂ e F(Ç) sua transformada de Fourier. 
Defina o n-ésimo momento de / como
Mostre que
= í x"f{x)dx.
J - 00
(i) n„ =
(ii) = t H ) x S
n = 0
3.12. Seja (R -► IR uma função de SF, tal que (p(x) > 0 e q>(x) áx = 1. 
Mostre que
m = íJ - (X
q>{t) dt
é uma função de distribuição (no sentido da Teoria das Probabi­
lidades), i.e.,
lim f(x) = 0, lim f(x) = 1 ,JC-*-00 X-̂ + 00*
/ é não-decrescente,
/ é contínua à direita (no caso presente, contínua).
3.13. Aí função característica da função de distribuição / do Exercício 3.12 
é definida pela expressão
ou
Interprete a Expressão (ii) do Exercício 3.11, neste caso.
3.14. Seja / : [0, oo) -► R uma função contínua e ̂ em (0. oo). Estenda / 
como função ímpar e denomine esta extensão de f. Mostre que 
• ^ [ /] ® função ímpar. Use esse fato e os Exercícios 2.6 e 3.6 
para provar que
F(i) =
fOO
df(x)
iJ - 00
r®
F(i) = e'^^q>{x)dx.
J - 00
f(x) = 4 í F,(^)sen(íx)áí, x > 0. 
Jo
242 [ Capítulo 6 ]
3.15. Seja / : IR-► IR uma função seccionalmentc contínua tal que 0 
e / ( x ) = 0 para | x | > a . M ostre que não existe /? > 0 tal que F ( ^ ) = 0, 
para \ i \ > b. Com pare isso com a afirm ação feita na Secção 7.2 
de que, em geral, / de suporte com pacto não implica F de suporte 
com pacto; o que provam os aqui é que F nunca é de suporte com ­
pacto, quando f é.
3.16. A transform ada de Fourier de uma função que é tam bém de 
classe C®, não é necessariamente de classe C*. Dê um exemplo 
para justificar essa afirmativa.
3.17. M ostre que se f ( x ) e x/(x) forem funções em IR, então a trans­
formada de Fourier F(^) da função f é de classe C ‘ e
F{i ) = - f = í (~ix)e ‘' \ l \ . \ ) (l.\.
sj 2n J-oc
3.18. Calcule a transform ada de Fourier de xw,(x). onde é a função 
pulso [Exercício 2.2(i)], usando o Exercício 3.17. e também dire­
ta mente.
4.1. Calcule as funções cujas transform adas de Fourier são
(i) — — (ii) '1/(4 + ç^).
4.2. Defina a função erro
erf(x)
e mostre que
lim erf(x) = 1.JC-» -i- -X
4.3. M ostre, usando o Exercício 4.1, que
X í
4.4. M ostre que
J%00 sen x dx = — -
0
4.5. Calcule o produto de convolução f * f onde f é a função do Exer­
cício 2.2(i). A seguir calcule ^ [ / * / ] diretam ente e também, usando 
o Teorema 6.4. M ostre que
f, (=?ydx = n.
243
5.1. M ostre que a Relação (28) é válida se (i) / e g forem funções 
e (ii) se uma delas, digamos /' for contínua e limitada.
5.2. M ostre que a continuidade de / pode ser substituída pela hipótese 
de / ser seccionalmente contínua, no Exercício 5.1.
5.3. Use o Exercício 5.2 para m ostrar que
Jo
5.4. Calcule a tra'*nslorrfiadà de ^ourier da função
)x, |x | < 1,
|x| > 1,
e mostre que
f ( x ) =
f (x COS X - sen x )^ dx = — ‘
m =
5.5. Estabeleça o teorem a de Plancherel para a transform ada-seno e 
para a transform ada-co-seno.
7.1. Seja / : R -> [R uma função secçionalmente contínua tal que
|/(x )| <
onde a e c são constantes positivas. Então a Expressão (45) define 
uma solução da Equação (41) na faixa 0 < í < 7, onde T = {4Ka )~\ 
e satisfaz à condição inicial no sentido de (46).
7.2. Escreva a solução do problem a de Cauchy dado em (41)-(42) com
iT | x | < a ,
1̂0, jxj > fl,
em termos de erf, e discuta a questão de “velocidade infinita” no 
fenômeno da condução do calor.
7.3. Escreva, em termos de erf, a solução do problem a de Cauchy dado 
em (41)-(42), para /(x ) = 7, se x > 0 e / (x ) = 0, para x < 0.
7.4. Use a transform ada de Fourier para resolver o problem a
X e R, í > 0.
X 6 R,
onde /(x ) e ^(x, r), para cada t fixado, são funções de .9̂ .
7.5. Use a transform ada de Fourier para resolver o problema
w, = + hu, X 6 R, r > 0.
u{x. 0) = / (x). X e R.
w, = -h g(x. í),
w(x, 0) = /(x ).
244 [ Capítulo 6 ]
7.6. Use a transform ada de Fourier para obter a fórm ula de d ’Alembert.
7.7. Use a transform ada de Fourier para resolver o problem a
-h h{x, í), X e [R. r > 0. 
m(x, 0) = Mj(x, 0) = 0. x ç [R.
8.1. Use o m étodo da transform ada-seno para m ostrar que a solução 
do Problem a (49) da Secção 6.8, com h{t) = 0, é dada por
Uo(x. t) = - - e F (^) sen (xâ) dç.
8.2. Faça os detalhes da resolução do Problem a (49), com h(r) = A. e 
mostre que a solução é
m(x, t) = uJx , r) 4- ^ 1 - erf ( )
L v y ^ / j
onde é 3. expressão do Exercício 8.1.
8.3. Considere uma represa de concreto (difusibilidade térmica K = 
= 0,0107) inicialmente a uma tem peratura constante de 15 °C. Su­
ponha que a tem peratura na superfície desça, repentinam ente, para 
-25 °C. Além disso, suponha que a represa seja bastante larga, 
para que você- possa tra ta r o problem a como o de uma barrasemi- 
-infinita. Q uanto tem po será necessário para que a tem peratura 
na profundidade de 1 m baixe para -5 ®C.
8.4. Use a transform ada-seno para resolver o problem a
= “x. - ^ > 0, t > 0,
m(0, t) = h{t), t > 0,
u(x, 0) = M,(x, 0) = 0. X > 0.
CAPÍTULO 7
EQUAÇÃO DE LAPLACE
Neste capítulo estudamos o problema de Dirichlet para a equação 
de Laplace em certas regiões especiais do plano, usando os métodos da 
série de Fourier e da transformada de Fourier. Não é nosso propósito 
discutir a solubilidade do problema de Dirichlet para regiões quaisquer. 
Esse seria um programa fascinante, mas fora dos objetivos deste texto. 
A equação de Laplace, para certas regiões do espaço tridimensional, 
cubos, cilindros e esferas, pode ser tratada pelos métodos aqui discutidos, 
mas os problemas de contorno para as equações diferenciais ordinárias 
encontradas, requerem a teoria de Sturm-Liouville, a qual está fora dos 
propósitos deste livro.
7.1 Problema de Dirichlet
Consideremos uma região Q do plano: região e domínio são ex­
pressões usadas para designar conjuntos abertos e conexos. Os três tipos 
de região que aparecem aqui são: (i) o disco de raio p e centro na origem
= ( ( x , y ) e l R ^ : x ^ -h
(ii) um retângulo
= {(x, y) e (R̂ : 0 < X < u. 0 < y < h};
(iii) um semiplano
H = { ( x , y)e (R^: -oo < x < oo, y > 0 } .
Designamos por Q a aderência de Q e por õíl a fronteira de Q.
Uma função contínua u: O —►IR será harmônica se ela satisfizer à 
equação de Laplace
õ^u d^u
O operador A é conhecido como laplaciano.
(1)
Exemplos de funções harmônicas. (1) m( x , y) = ax by c\ para quaisquer
constantes a, ò, c.
246 [ Capítulo 7 ]
(2) m(x ,>') = x ^ - y ^ .
(3) Se / : Í2 -► C for uma função analítica complexa, então suas partes 
real e imaginária serão funções harmônicas. Isso decorre imedia­
tamente das equações de Cauchy-Riemann.
Da nec essidade de se exigir continuidade de u na definição de função har­
mônica. Não é verdade que uma função u satisfazendo à equação de Laplace 
(1) seja contínua. De fato, a função
\Rce-^'\ z 0,y) = 0, z = 0, (2)
onde z = X -f iy, satisfaz à equação de Laplace, mas não é contínua na 
origem.
Laplaciano em coordenadas polares. Usando as fórmulas de mudança de
variáveis, entre coordenadas cartesia­
nas e coordenadas polares,
X = r COS 6, y = r sen 9,
podemos provar que
A 1 1A“ = '̂ rr + - ;r‘' r + 7 2 «'»*. (3)
onde ü(r, 0) = w(r cos 0, r sen 0).
Um exemplo importante de função harmônica. Quais são as funções har­
mônicas v{r,9) que só de­
pendem da distância r à origem? É fácil ver. São as funções v(r, 0) = /(r), 
cujo laplaciano é 0, isto é, de acordo com (3), são as funções / que satis­
fazem à equação diferencial
f"(r) + y f ’{r) = 0. (4)
A Equação (4) tem /(r) = 1 e /(r) = Inr como duas soluções linearmente 
independentes. A função In r é, portanto, uma função harmônica na região 
Q = U^l{0,0}, que independe de 0. Ela é chamada a solução fundamental 
da equação de Laplace. Sua importância se deve ao fato de que ela pode 
ser utilizada para formar outras funções harmônicas. Não entraremos 
nessa questão, a qual pertence à chamada Teoria do Potencial.
O problema de Dirichlet para a equação de Laplace é formulado a seguir. Dada
uma
[ Secção 7.1 ] 247
(i) u é contínua em Q,
(ii) u é harmônica em Q.
(iii) w = / em dü (condição de fronteira).
Esse problema para uma região arj^itrária Q é altamente não-trivial. 
Desenvolvimentos marcantes da Matemática no século XIX se ligaram 
às tentativas de resolvê-lo. Veremos abaixo, no exemplo de Zaremba, 
que o problema nem sempre é solúvel. O fato de ele ser solúvel para uma 
classe grande de regiões Q transcende os objetivos do presente texto. 
O leitor interessado poderá estudar esse problema em livros sobre Equações 
Diferenciais Parciais. Nas próximas secções, trataremos desse problema 
para alguns tipos especiais de regiões, utilizando as duas ferramentas 
introduzidas neste texto: séries de Fourier e transformada de Fourier.
função contínua /: d Q -► IR, determinar uma função u: Q U satisfazen­
do às condições seguintes:
Unicidade do problema de Dirichlet. Para mostrar que, caso o problema
de Dirichlet seja solúvel, a solução 
será única, utilizaremos o Princípio do Máximo, que a seguir enunciamos 
e provamos, seguindo uma demonstração de Privalov.
TEOREMA 7.1. Sejam Q uma região limitada do plano e u: Q -► (R uma 
função contínua em Q e harmônica em Q. Então o máximo 
de u é atingido na fronteira.
Demonstração. Sendo Q limitada, segue-se que Q e díl são conjuntos 
compactos (isto é, fechados e limitados) do plano. Utili­
zaremos um teorema de Análise que estabelece: “toda função real con­
tínua X -► (R, em um compacto X, tem um valor máximo p, i.e., existe 
(x ,y )eK tal que /(x, y) < /(x, y) = p, para todo (x, y) em X.” Sejam
M = max m(x , >̂ ) 
n
m = max u(x, y),
dQ
e suponhamos, por contradição, que m < M. Então u assume seu máximo 
em um ponto (x^, ŷ ) que deve estar em Q, e não em õCl. Definamos a 
função
y) = u(x, y) + (5)
onde d t o diâmetro da região Q, i.e., d é o supremo das distâncias entre 
pares de pontos de Q. Agora, observando que
^^0 ’ >̂o) = *^(^0. ^o) = ^
248 [ Capítulo 7 ]
- , M - m ,2 M + mv(x, y )< m + = — 2— < M, (x, >í) e 5ÍÍ,
concluímos que a função v assume seu máximo em um ponto (Xj, de Q, 
e não de Portanto neste ponto , j;i) < 0 e Vyy{x̂ , < 0, o
que nos dã
A ü(x,, < 0. (6)
Por outro lado, temos, a partir de (5), que
. M -m ^Av = — • 2 > 0, (7)
para todos os pontos de Í1 As desigualdades (6) e (7) são contraditórias. 
Q.E.D.
COROLÁRIO 7.1. Seja u como no Teorema 7.1. Então u assume seu mí­
nimo em õCl.
Demonstração. Aplica-se o Teorema 7.1 à função -u.
TEOREMA 7.2. Sejam û e U2 duas soluções do problema de Dirichlet, 
para um mesmo f. Então û = u^.
Demonstração. A função u = Uj - « 2 é contínua em Q, harmônica em Q 
e igual a 0 em 5Q. Logo, pelo Princípio do Máximo, 
u(x, y) < 0, para todo (x, y) em Q, e, pelo Corolário 7.1, u(x, y) > 0. Daí 
M = 0. Q.E.D.
O resultado seguinte, cuja demonstração omitimos, é o análogo do 
teorema da singularidade removível na Teoria das Funções de Variáveis 
Complexas que diz o seguinte: “Sejam O um aberto do plano complexo 
C, ZqS Í I c f: Q\zq -► C uma função analítica, queélimitada nas vizinhanças 
de Zq, então lim/(z) existe quando z -^Zq; representando por a> esse 
limite, a função / : Q -► C, definida por /(z) = /(z) se z # Zq e / ( zq) = co, 
é analítica*'. Isso quer dizer que uma singularidade isolada Zq , que não 
seja pólo ou singularidade essencial, é removível; isto é, a função pode 
ser estendida analiticamente a z«.
TEOREMA 7.3. Sejam íl uma região do plano, (Xq , ŷ j) um ponto de Q e 
u: n\{xo , ŷ } —► (R uma função harmônica, que é limitada 
em uma vizinhança de (Xq , ŷ ). (Em particular, se u for contínua em Q). 
Então, existe Uq tal que u(x, y) Uq, quando (x, y) -► (Xq , ŷ ), e a função
[ Secção 7 .2 ] 249
Exemplo de Zaremba. Seja Cl o disco furado, isto é,
Í1 = {(x, y) 6 : 0 < x ̂ H- y ̂ < 1 }.
Neste caso õCl é constituída de duas partes, a origem (0,0) e a periferia 
do disco D j. Vamos tomar a função/: õCl —►R, assim definida:
/ ( 0, 0) = 1 , f{x,y) = 0, se = 1.
Mostremos agora que o problema de Dirichlet, para uma tal Q e esse 
dado f não tem solução. De fato, suponha que tivesse, e fosse u essa so­
lução. Então, u seria continua em D j, e harmônica em Q. Pelo Teore­
ma 7.3, u seria também harmônica em . Logo, pelo Princípio do Máximo, 
m ( x , y) = 0 para todo (x, y) em , o que contradiria o fato de m ( 0 , 0) = 1 .
ü: definida por «(x^, e ü(x,y) = w(x,y), para (x,y) #
^ (Xq , yo) ̂ harmônica.
7.2 Problema de Dirichlet no retângulo
Para esse problema, a região Q é o retângulo 0 < x < a e 0 < y < f c . 
Assim, a fronteira da região se compõe de quatro segmentos, e digamos 
que as condições de fronteira sejam
0 ) = / o ( x ) , m ( x , b) = / , ( x ) ,
“(0, y) = 9oiyl «(«> >”) = 9i(y\ (8)
dadas separadamente em cada um doslados do retângulo. No espírito 
do que vimos fazendo, vê-se que esses dados de fronteira não podem ser 
arbitrários; pois, para eles comporem uma função contínua, ao longo 
da fronteira, devemos ter as seguintes condições de compatibilidade: 
/o(0) = 3o(0)./o(a) = 9iib) =/i(a) e/i(0) = go(b). Se essas condições 
não forem satisfeitas, pode-se ainda encontrar uma função u harmônica 
em a qual satisfaz às condições de fronteira em um certo sentido, no 
que não nos deteremos; obviamente u não poderá ser contínua em 
A idéia inicial para resolver esse problema é decompô-lo em quatro 
problemas de Dirichlet; cada um deles é obtido fazendo-se três das funções 
em (8) iguais a 0 e mantendo a outra. Resolve-se cada um desses problemas, 
isoladamente, e a solução do problema em pauta é a soma das quatro 
soluções dos problemas parciais. Portanto basta resolver o problema 
de Dirichlet para o retângulo com a condição de fronteira
u(x, 0) = / ( X ) , u(x, b) = u(0, y) = u(a, y) = 0. (9)
250 [ Capítulo 7 ]
Como nosso objetivo é enfatizar o método de Fourier, vamos fazer a 
hipótese simplificadora /(O) = f(a) = 0, o que torna o dado de fronteira 
contínuo ao longo de todo o contorno do retângulo; isso nos coloca nas 
condições do problema de Dirichlet que discutimos na Secção 7.1 e nos 
poupa o esforço de definir solução do problema de Dirichlet para dados 
de fronteira descontínuos.
Resumindo — O problema é determinar uma função contínua u: ^ R, 
harmônica em ^ e satisfazendo à condição de fronteira (9).
Vamos tentar soluções na forma u(x, y) = A(x)B(y). Substituindo na 
equação de Laplace, obtemos
A" B'
A ~ B ~
onde /i é um parâmetro independente de x e y. Daí, duas equações dife­
renciais ordinárias são obtidas,
A ' - M = 0, (10)
B" + /íB = 0. (1 1 )
A condição de fronteira exige (̂O)B(y) = A(a)B(y) = 0, e como não nos 
interessa B = 0, devemos ter
A(0) = A(a) = 0. (12)
A Equação (10) e as condições de fronteira (12) exigem ^ = -n^n^/a^, 
que são os autovalores do problema dado em (10)-(12), cujas autofunções 
correspondentes são
. , . nnxA„(x) = sen — • (13)
Para cada n, temos a Equação (11) na forma
B " - ^ B = 0,
cuja solução geral é
B„(y) = (14)
A condição de fronteira (9) exige A(x)B{b) = 0, e como A = 0 não inte­
ressa, obtemos B(b) = 0. Essa condição imposta em (14) nos dà P̂ = 
= e, daí,
g ( y ) = _ y ^ -n n b la ^^(nii/a)(y- h) _ - nn/a)(y- ^ ) j
u,(x, y) = sen senh ——
[ Secção 7.3 ] 251
é harmônica e satisfaz à condição de fronteira (9), com exceção da primeira 
igualdade. Tentamos agora obter uma função harmônica, que também 
satisfaça à condição (9), na forma
nn(y - b)
m(x , y ) = X ~ ~ (15)n = 1
Conseqüentemente, os coeficientes devem ser escolhidos de modo que
(16)/*/ X -nnhia i - ^ T l b MTTX/ ( )̂ = Z ^ senh------sen----->
o que será viável se f'(x) for seccionalmente contínua, por exemplo. De­
signando por
.. . nnx .f(x) sen---- dx,a
vemos que (15) toma a forma
^ nnx
u ( x , y ) = 2 . f n sen —
n= 1 “
senh nn{y - b)
senh -nnb
(17)
Resumindo - Se / : [0, a] -► IR for de classe C ,̂ com /(O) = /(a) = 0 então 
(17) é a solução do problema de Dirichlet para o retângulo 
com os dados de fronteira (9). Deixamos ao leitor a demonstração desse 
fato, que envolve a prova da convergência uniforme da série em (17) e 
de suas derivadas segundas. A regularidade de / permite obter estimativas 
de / , do tipo | / , | < Kn~^, para alguns k inteiros.
7.3 Problema de Dirichlet no disco
Usando coordenadas polares, o problema pode ser assim formulado. 
Dada uma função contínua /(0), 0 < 0 < 27t, com /(O) = f(2n), determinar 
v(i\ 0), para 0 < r < p e 0 < 0 < 27t, tal que
(i) V seja contínua e v(r, 0) = v(r, 2n\
(ii) V seja de classe em 0 < r < p e satisfaça à equação de Laplace
1 1 (18)
(iii) D(p,0)= /(0).
252 [ Capítulo 7 ]
A idéia é utilizar o método de Fourier, isto é, separação de variáveis 
e a seguir séries de Fourier. Vamos buscar soluções na forma v(r, 6) = 
= A(r)B(6). Substituindo em (18), obtêm-se duas equações diferenciais 
ordinárias
r^A" + rA' -a A = 0, (19)
B" -h (tB = 0, (20)
onde (T é um parâmetro independente de p e 0. Como B deve ser uma 
função periódica de período 2n, conclui-se que a = n ,̂ n > 0, e que a 
solução geral de (20) é
BniO) = COS nO -h sen n6.
A Equação (19) tem, para cada n, um par de soluções linearmente inde­
pendentes dadas por
1 e In r, se /i = 0,
e r~", se n > 1.
As soluções Inr e não interessam, pois elas dariam um v{r,d) descon­
tínuo na origem. Logo, AĴ r) = r", para n > 0.
Resumindo — Para cada n > 0, a função
v„(r, 6) = r"(a„ cos n6 -h b„ sen n6\
com e constantes quaisquer, satisfaz às condições (i) e (ii). Resta mostrar 
como os ajudam a descobrir uma função v que satisfaz também (iii). 
O candidato natural é
^) = Z COS n0 -I- b„ sen nO).
n = 0
(2 1 )
E nós nos propomos a mostrar que, se escolhermos os coeficientes e b̂ 
de modo conveniente, a série em (2 1 ) convergirá, e definirá uma função 
satisfazendo (i), (ii) e (iii). Primeiro, vamos à escolha inteligente dos coe­
ficientes: como queremos v(p,0) =f(0), seria desejável que
f(0) = ^0 + Z COS n0 -h b„p” sen n0,
n= 1
O que exigiria
1 f^”“ 2 ti I ■'Jo m d 6 .
1
Jo ^
(22)
(23)
f(0)cos n0d0 = ^ j m scnnedO . (24)
[ Secção 7.3 J 253
Observe que (22) ocorreria se / fosse, por exemplo, seccionalmente deri- 
vável. E isso, em geral, nào temos. Entretanto o procedimento anterior 
nos leva a crer que a Expressão (21), com os coeficientes dados em (23) 
e (24), seja a solução do problema de Dirichlet, em algum sentido. E, de 
fato, é. De modo preciso temos o resultado enunciado a seguir.
TEOREMA 7.4. Seja /(0), 0 < 0 ^ 27t, uma função contínua, com/(O) = f{2n). 
Então a Expressão (21), com os coeficientes â e defi­
nidos em (23) e (24), é uma função harmônica no disco e
v(r, 9) -*■ f (0q) quando (r, 9) ->• (p, 0q).
A demonstração desse teorema será desmembrada numa série de 
lemas.
LEMA 7.1. Nas condições do Teorema lA, a Expressão (21) define uma 
função harmônica em .
Demonst, ação. (1) A série em (21) converge, quando r < p. De fato, de 
(24) concluímos que
| a J < K p - e \b „ \< K p -\
onde K é uma constante independente de n, e, portanto, a série em (21) 
é majorada por
2K i ( 3
a qual converge se r < p.
(2) A série em (21) define uma função contínua no disco . Para tal, basta 
mostrar que a série em (2 1 ) converge uniformemente nos discos r < ,
para todo < p. Mas isso se segue do teste Aí de Weierstrass, pois a 
série em (2 1 ) é majorada (uniformemente) pela série (numérica) convergente
2K
no disco r < r,0 •
(3) A série em (21) define uma função de classe em . Para isso basta 
mostrar que as séries obtidas de (2 1 ) por derivação termo a termo con­
vergem uniformemente em discos r < , para todo < p. Perfaça essas
derivações e veja que as séries derivadas são majoradas (uniformemente).
no discx) r < Tq , por séries numéricas da forma
254 [ Capítulo 7 ]
as quais são convergentes.
(4) A função v{r,9) definida por (21) é harmônica. Deveras, como as deri­
vadas de V podem ser obtidas por derivação da série termo a termo, essa 
assertiva se segue do fato de que cada termo da série é uma função har­
mônica. Q.E.D.
LEMA 7.2. A função v(r,d) definida por (21), para r < p e 0 < 9 < 2n, 
pode ser expressa por
v(r,e) = :^ 2 — -J(0í)d0L, (25) ̂ ’ 2n + r - 2prcos(0 -a)- ' '
conhecida como a fórmula de Poisson.
Demonstração. Usando as expressões dos coeficientes, dadas em (23) e (24), 
e observando que a série converge uniformemente em a,
tem-se
+ Í I , ( 7 ) cos«(0-a)]/(a)áa.
Para calcular a soma da série acima, observamos que 
^ A" COS n9 = Ke Yj
n= 1
e que
^ Ac'* Ac'*-A^
< 1.
A fórmula de Poisson então se segue, através de alguns cálculos simples. 
Q.E.D.
LEMA 7.3 (uma forma fraca do Teorema 7.4). Suponha, que, além das hipó­
teses do Teorema l A , f seja 
de classe CV Então, a série em (21) define uma função v(r, 6) continua em 
Dp, harmônica em D e v(p,6) =f(9).
[Secção 7.3 ] 255
" np"* ” " np" "
onde e são os coeficientes de Fourier de f'(6). Logo, a série (21) é 
majorada, em D^, pela série numérica
í + lí.i).
n= 1 "
a qual é convergente, pois ela é majorada por
n = l " ^ » i = l
Demonstração, Basta mostrar que a série em (21) converge uniformemente
em Dp. A integração por partes, em (24), conduz a
que são séries convergentes; a segunda, em virtude da desigualdade de 
Bessel. Portanto aplica-se o teste M de Weierstrass para garantir a con­
vergência da série (21) em . Q.E.D.
LEMA 7.4. Para r < p e 0 < 6 < 2 n , tem-se
m2n
Àf p^ -r^p^ r^ - 2pr COS (6 - a) da = 1 . (26)
Demonstração. Considere o problema de Dirichlet no disco com f(9) = 1.
Pelo Teorema 7.2 segue-se que a única solução desse pro­
blema é v{r,0) = 1. Por outro lado, v(r,6) é também dada pela série (21), 
em Dp, pois o Lema 7.3 pode ser aplicado a dados de fronteira constantes. 
E, no disco v(r,9) é também dada pela fórmula de Poisson. Daí se 
segue (26). Q.E.D.
LEMA 7.5. Suponha as hipóteses do Teorema 7.4, e seja 9q em [0, 27t]. 
Então, v{r, 9), definido em (25) é tal que
v(r, 9) -► / (0q), quando (r, 9) (p, 0o)- (27)
Demonstração. Usando (25) e (26) temos
; [ / ( a ) - / ( 0o)] da. (28)v{r,e)-f{e^) = j ^ f
Jo p^ r ̂- 2pr COS (0 - a)
Vamos mostrar que, dado e > 0, existe á > 0, tal que, se \ p - r \ < ô e 
|0 0q| < á, então |t>(r, 0)-/(0o)| < e. Para um > 0, a ser fixado pos-
256 [ Capítulo 7 ]
teriormente, decompomos a integral em (28) na soma
= Í + Í
J|a-ao|^»í J|«-do|>>
A primeira integral pode ser majorada assim
j -r^r^- Ipr COS (0 - a) | / ( a ) - / ( 0o)|áa < (o(ri).
onde gX ) é o módulo de continuidade de /, e onde usamos o Lema 7.4. 
Para majorar a segunda integral, tomamos <5 < rjl2, e, daí,
\9-(x\ > rj/2 se \9- 6 q \ < S,
para os a tais que \ol- 9 q \ > rj. Chamando de M o máximo de |/(0)|, 
obtemos então
p^-r^
p - 2pr COS rj/2 
c, daí, se r > p/2, temos
I I ^ 4M p(p-r) ^
M2 I ^ ZíTí— ^
(p - r COS rj/2)
16M
r (̂ 1 - COS r f / 2 y p ( l - cos t ) /2 y (p-r).
[ Secção 7.4 ] 257
Para concluir a demonstração, tomamos rj tal que (o(ri) < s/2; a seguir, 
com esse rj fixado, tomamos ô tal que ô < rj/2 c
16AÍ(p - r) ^ 
p(l - COS y//2)̂ ^ 2
Nessas condições | / J e I/2 I são menores que s/2. Q.E.D.
7.4 Problema de Dirichiet para a equação de 
Laplace num semiplano
O problema consiste em, dado /: IR-► IR, determinar uma função 
u(x, y) no semiplano y > 0 tal que
^xx + ŷy = 0» em y > 0, (29)
m(x , 0 ) = / ( x ), x g IR. (30)
Usaremos o mesmo método da Secção 6.7, supondo que /(x) e w(x, y), 
para y > 0 fixado, sejam funções Designando por
obtemos
e m(x , y ) d x ,
, y) = - 7̂ f f u jx , y) dx 
2n J-oc
e usando a equação de Laplace (29), e, a seguir, integrando por partes, 
V 2n
+ r
/ T n l
e u (x , y ) dx.
Daí, se segue
pois
. / I k
U„(Í,y) = e U ( ly ) ,
u(x, y) -► 0 e M̂(x, y) 0, quando |xj -» oo. 
A solução geral da Equação (31) é
U{^,y) = + Cjí-líl»’,
(31)
(32)
258 [ Capítulo 7 ]
e como >̂) 0, quando |^| -► oo (cf. Secção 6.2), obtemos
onde Cj = U(^,0) = F(^). Agora, usando o Teorema 6.4 sobre a trans­
formada de Fourier de um produto de convolução, obtemos
m
+ (x - t f
Então podemos enunciar o resultado a seguir.
dt. (33)
TEOREMA 7.5. Seja /: IR -+ IR uma função contínua limitada. Então a 
Expressão (33) define uma função C® em y > 0, que é 
solução da equação de Laplace (29) e que satisfaz à condição (30) no sentido 
de que
lim u(x,y) = f(x).y- 0 +
Demonstração. Derivações dentro do sinal de integral em (33) são permi­
tidas pelo Teorema A6.10, e, daí, se segue imediatamente 
que M é C® e satisfaz à equação de Laplace. Para verificar a condição 
inicial usamos o teorema dos núcleos de Dirac, o Teorema 3.5, bastando 
observar que
u(x,y) = k{x,y)*f{x),
sendo os núcleos de Dirac dados por (>í" ‘ aqui faz o papel de n)
_ y 1 _ J ______ 1 - } _ í (
~ n y^ + x^ ~ y 7 i(l {xjyf) ~ y /
onde
1
7T\’7t(l -I- í")
que tem as boas propriedades para aplicação do Teorema 3.5:
k > 0 e Íoo 
- c
k(t)dt = 1 .
Unicidade. Obviamente, não se tem unicidade, pois o problema
Au = 0, X 6 (R, y > 0, 
u = 0, X 6 IR
tem duas soluções
u(x, y) = 0, u(x, y) = y.
259
Entretanto é conseqüência do Princípio do Máximo, para funções har­
mônicas, que a solução será única se impusermos a condição adicional 
u(x, y) -► 0, quando -h -► oo. Observe que a solução (33) satisfaz 
a essa condição.
EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 7
1.1. Determine relações entre as constantes o, b, c, de modo que m( x , y) = 
= ax^ bxy -h cy^ seja harmônica.
1.2. Determine relações entre as constantes a, b, c, d de modo que 
m( x , 3;) = ax^ -h 3bx^y -h 3cxy^ -1- dy^ seja harmônica.
1.3. Mostre que se f(z) = u{x,y) -h iv(x,y) for uma função analítica com­
plexa definida em uma região £2 contida no plano complexo C, 
(z = X iy), então u q v serão funções harmônicas.
1.4. Use o Exercício 1.3 para dar exemplos de funções harmônicas.
1.5. Mostre que a função definida em (2) satisfaz à equação de Laplace, 
mas não é contínua no ponto (0, 0).
1.6. Mostre que o laplaciano em coordenadas polares é dado pela ex­
pressão em (3).
1.7. Obtenha a solução geral da equação
rY \r ) + arf(r) -h bf(r) = 0,
onde acb são constantes. Discuta os vários casos, em função de a e b.
1 .8. Se Mj e M2 são soluções do problema de Dirichlet correspondentes 
a dados de fronteira /j e / 2 , mostre que
max IMj - M21 < max | / j - / 21.
1.9. Mostre que se u: IR̂ -► R for harmônica, então as funções definidas 
a seguir serão também harmônicas: v(x,y) = u{x-a, y - b \ w(x, 3;) = 
= m(Ax , Xy), z(x, y) = u((xx -h Py, yx -h òy\ onde a, b t X são cons­
tantes quaisquer e
[” í]
é uma matriz ortogonal.
1.10. Mostre que se m(x , y ) for harmônica em Í2, então a função v definida 
a seguir também será harmônica: v(^,rj) = u(x{^,rj\ y{ ,̂rj)X onde 
-h i>y = /(x -h iyX e / é analítica em Q, e, àlém disso, / ' ^ 0 em Í2.
260 [ Capítulo 7 ]
1.11. Mostre que se v{r,0) for harmônica em D , então
mlK
1 rü(0, ^
Jo
para todo r < p.
1.12. Use o Exercício 1.11 para mostrar que se u for harmônica em íl, então, 
para qualquer disco fechado D̂ {Xq, j/q) = {(x, |x-Xo|^ +
\y-yo\^ ^ P̂ } contido em Í2, ter-se-á
i
m( x (s ), y{s)) ds,
onde = {\x - X q\̂ \y-yQ\^ = p^} e s é o elemento de arco.
2.1. Resolva o problema de Dirichlet para o retângulo 01 da Secção 1.2, 
com dados de fronteira u(x, 0) = 0, u(x, b) = b, m(0, y) = w(a, y) = y.
3.1. Resolva o problema de Dirichlet para o anel
A = {(r, 0): 0 < Pi < r < P2 , 0 < 0 < 2n},
com dados de fronteira contínuos u{p^, 0) = f^{0) e u(p2 , 0) = f 2 (0 ). 
Prove a continuidade da solução até a fronteira, no caso em que 
/ i e / j são de classe
3.2. Resolva o problema de Dirichlet para o anel 1 < r < 2, com dados 
de fronteira m(1 , 0) = a e u(2, 0) = b, onde a t b são constantes dadas.
R E F E R Ê N C IA S
Os textos abaixo foram selecionados como leitura adicional para o estudante 
interessado.
TEXTOS GERAIS
P. W. Berg, J. L. McGregor, Elementary Partia l Differential Equations, Holden 
Day (1966).
R. Courant, D. Hilbert, Methods o f Mathem atical Physics, Interscience (1953).
D. Kreider, R. C. Kuller, D. R. Ostberg, F. W. Perkins, Introdução à Análise 
Linear, Ao Livro Técnico S/A e Editora da Universidade de Brasília (1972).
I. Petrovsky, Partia l Differential Equations, Interscience (1964).
L. Schwartz, Mathematics fo r the Physical Sciences, Hermann-Addison Wesley 
(1966).
S. L. Sobolev, Applications o f Functional Analysis in híathematical Physics, 
American Mathematical Society (1963).
I. S. Sokolnikoff, R. M. RÕdheffer, Mathematics o f Physics and M od em En- 
qineering, McGraw-Hill Kogakusha, L td (1958).
A. Sommerfeld, Partia l Differential Equations in Physics, Academic Press Inc. 
Publishers (1949).
A. Tijonov, A. Samarsky, Ecuaciones de la F ísica Matem ática, Editorial Mir 
(1972).
SÉRIES E INTEGRAIS DE FOURIER
N. K. Bary, A Treatise on Trigonometric Series, vol. I, Pergamon Press,(1964). 
H. S. Carslaw, Introduction to the Theory o f FouriePs Series and Integrais, 
Dover Publications, Inc.
H. Dym, H. P. McXean, Fourier Series and Integrais, Academic Press (1972).
R. E. Edwards, Fourier Series — a M odern Introduction, Holt, Rinehait and 
Winston Inc. (1967).
H. P. Hsu, Análise de Fourier, LTC Editora (1973).
S. Latig, Analysis I, Addison-Wesley Publishing Co. (1968).
W. Rogosinski, Fourier Series, Chelsea Publ. Co. (1959).
E. C. Titchmarsh, The Theory o f Functions, Oxford Universky Press (1952). 
A. Zygmund, Trigonometric Series, vol. I, Cambridge Press (1959).
APLICAÇÕES
A. Bronwell, Advanced Mathematics in Physics and Engineering, McGraw-Hill 
Book Co. (1953).
H. S. Carslaw, J. C. Jaeger, Conduction q f Heat in Solids, Oxford Press (1962).
F. S. Crawford, Jr., Waves-Berkeley Physics Course, vol. 3, McGraw-Hill 
Book Co. (1968).
M. Fercnce Jr., H. B. Lemon, R. J. Stephenson, Curso de F ís ica — Ondas 
(scfm e hiz). Editora Edgard Blücher e Editora da Universidade de São Paulo.
H. Helmholte, On the Sensations o f Tone, Dover Publications (1954).
H, Lamb, The Dynamical Theory o f Sound, Dover Publications, Inc. (1960). 
R. K. Moore, Traveling-wave Engineering, McGraw-Hill Book Co. (1960).
262
R ESP O ST A S E SU G E ST Õ E S
CAPÍTULO 2
1.1. A exigência de que a função / deva ser periódica de período 2 implica 
que / esteja definida em um xeU qualquer, para x # 2/c, /cg/ , 
pela expressão
/ (x ) = Xq , onde Xq g (0 , 2) e x - x ^ = 2/c, keZ.
Para completar a definição de / defina /(O) = a; a periodicidade 
implica /(2/c) = u. Se a função for dada por x ̂ em [0,2), então a 
periodicidade implicará
/ ( x ) = Xq , o n d e Xq g [ 0 , 2) e x - Xq = 2/c, /c g Z ,
para x g IR qualquer. Se a função fosse dada por x ̂ em [0, 2], seria 
impossível definir uma extensão periódica de período 2, pois / (O) = 0 
e/(2) = 4.
1.2. ( / + g)(x + T) = f(x + 7) + ^(x -h T) = f(x) + g( \) = ( /+ cy)(x).
1.4. /■(* + T) . lim ,
. t o = r w ./i^o n
1.5. Defina 0(x) = Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se­
gue-se que <l>'(x) = /(x -h T)-f(x). Como f é periódica de período 7, 
temos <I)'(x) = 0, o que implica 0(x) = constante. Logo, <̂ (a) = d>(0).
1.6. Cf. Exercício 1.8 e dê vários exemplos!
1.7. Cf. Exercício 1.9. sen x -h sennx.
1.9. Seja 7 o período de /(x) = sen í/x -h sen/̂ x. Pelo Exercício 1.4 
/"(x) = -a^ sen ax - sen hx é periódica de mesmo período. 
Logo, sen aT -}- sen hT = 0 e sen aT -h sen hT = 0, o que im­
plica sen aT = sen hT = 0, para a ^ b. Daí o resultado.
1.1 1 . /I = 4
1.13. A função de Dirichlet /(x) = 0, se x for racional, e /(x) = 1, se x 
for irracional.
4.1. Sen ̂X = 1/2 — l/2cos2x. Para obter essa série de Fourier não é
preciso se dar ao trabalho de calcular os coeficientes!
263
4.2. Lembre-se de que cos ̂x = -h e '^)/2] ̂ e use a fórmula do 
binômio de Newton.
 ̂ ̂ 1 2 / 1 14.3. / (x) = — + ^ sen X----cos 2x -h :r—r cos 4x -hn 2 7T \ 1 • 3 3-5
4.4. Cf. resposta do Exercício 9.2, com a = 1 .
4.5. Com r = rcos0 -h í'rsen0, tem-se f(0) = Rce^. Escreva a série de 
Taylor de e- q conclua que
f(d) = ^ cos n6.
n = 0 nl
6.1 . cosax sena;rri , , f H 1= + 2oc l i i cos nx •
^ L “ " = i " J
6. 2 .
6.3.
- 7 T r 4«' cos (2/iw.v).
6.4.
6.5. 
6.7.
6. 10.
7.1.
7.2.
9.2.
9.3. 
10.3.
. , . . .. fíTtOC HTtCC , -V
ao(í) = ô(/)' = COS a„(/) + sen — 6„(/),
, , , nnix , ̂ .. nna. , ...b„(g) = cos — b„( f ) - sen — a„(/).
+ 2 -̂, a„(í) = «„(/). 6„(̂ ) = 6„(/).
+ Pd) = aa„(/) + Pa„(g). Idem para b„. 
a»(3) = ««(./') e 6„(3) = b„(f).
71-2 j (sen nx)ln.
Referência: o livro de Cálculo, de Courant, ou o livro de Rogosinski 
sobre séries de Fourier.
Idem.
senh Tiaf 1 
n a n = l “ + "
(a cos n x - n sen nx)
]
Faça z = e'"" e observe que as séries a serem calculadas são partes 
reais ou imaginárias de séries complexas conhecidas, log (1 — az) e
Use a identidade de Parseval para a função /(x) + (̂x).
264
CAPÍTULO 3
1.2. / = função de Dirichlet, ^(x) = 2.
1.5. f(x) = (-l)"n, 1/n -h 1 < X < 1/n; ^(x) = (-1)", 1/n + 1 < x < \/n.
1.7. Use Parseval para a função / -h
12.1. Mude a variável de integração logx = y.
13.1. Mudando a notação, escreva
1 1 ̂“ sen a
sen a a ̂ a sen a
e use a regra de L’Hôspital.
13.2. Se a = ±00 tome x̂ = Se a finito, tome x„ = a/n.
14.2. Aplique o teorema da divergência à função F(x,y) = (x, 0).
CAPÍTULO 4
3.1. -I- (xAe~̂
v(0,t) = v(L,t) = 0,
y(x,0) = -.4 + ^ ( B - A ) .
K3.2. V, = + — (g, -g o )-x g 'o -:^ { g \ -g'o),
f,(0 , /) = r,(L, 0 = 0
iK x , 0) = / ( X ) - ^o(0)x - (3,(0) - 3o(0)).
3.3. Tente determinar y4(í) de modo que ^o(í) -h xA(t) satisfaça às con­
dições de fronteira. E então introduza a variável v(x, t) = m( x , t) - 
- h^it) - xA(t). Se yiL = - \ tente //qÍ/) ^ x“/4(/).
4.8. Veja expressões (31) e (36) da seção 4.4.
CAPÍTULO 5
2.1. Introduza a variável v = u - A - ( B - A)xlL.
2.2. Introduza a variável v = u-{A Dt- (A -h Bí)]x/L.
265
2.3. u(x, í) = y Cqí + 2 
onde
f (c. nnct , nnct \ nnxsen —----h d„ COS — cos —r - »L " L I L
d, = -^ j* / ( x ) c o s ^ d x , n = 0.1.2....
Jo
Í = ^ í d ( x ) c o s ' ^ á x , n = l , 2 , . .
Jo Jo
/ V ^ / ( 2 n - l ) 7 r c í ( 2 n - l ) 7 r c í \ ( 2 n - l ) 7 r x
2.4. sen 4. d. COS j S í ^ '
onde
V j — ( 2 n - l ) 7 t x ^ ( 2 n - l ) n c ( 2 n - l ) ; i x , ,
dn s e n -----2 l — = f (^)> I --------^— 2 L ^
2.5. m(x , í) = E COS X„t + d„ sen A„f) sen ^ = a +
«=i 2o L
» 2 _ 2 . .2 n n c
onde
,Ax) = X <^'nSen^s g(x) = ^ A „d„sen^-
n = l ^ n = l ^
2.6. u(x,t)= X + <í„c"^"')sen^
n < hL/nc ^
+ Z e ' '’'(c„ + d „ í) s e n ^
M = hi /wr ^
nnx
n = bL/nc
+ Z e "'(c, COS /i„í + d„ sen fi„t) sen nnx
n > hLInc
onde -(n^n^c^/L^) e = (n^n^c^lL^)-b^, e os coeficientes
e são calculados de modo que as condições iniciais sejam satis­
feitas. Cf. resposta do Exercício 6.12.
2.7. Resposta está na Secção 5.5.
3.1. Multiplicando a equação por u, vem
y ^ [w? + = cHu^uX,
e, daí, joiuf c^u\ -h ku^)dx = 0, para todo t > 0.
266
3.2. Multiplicando a equação por u, e integrando, vem
x = L
+ C^ul)dx =
x = 0
4.1.
4.2.
5.3. 
6. 1.
e basta aplicar as condições de fronteira.
Freqüência: (2/i-l)c/2L. Amplitude: sen nnx/L.
Energia: + Tul)dx = p { 2 n - + d^) 16L.
A densidade do aço é 7,8 x 10̂ kg/m^. Logo, a densidade linear 
do arame é p = n x 0,002^14 x 7,8 x 10̂ = 0,025 kg/m. Assim 
c = 35 m/s e = c/2L = 5,832 Hz.
(i) 8 000 Hz; (ii) 8 000 Hz; (iii) 4 472 Hz.
Introduza a função v = u-\_Pq {gi~go)x/L~\.
6.2. u(x,í) =
n = 1
n}n^c -̂cos-nnct nnc nnctL L + e' sen-
rmx
onde
A .= 2(-l)"L^
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8. 
6.9.
6.10.
6.11.
nn(L^ + n^n^c^)
Particularize o Exemplo 1 da Secção 5.6.
Particularize o Exemplo 2 da Secção 5.6.
u(x, í) = , [c„ COS n„t + d„ sen /i,t + 6„(t)] sen «Jtx/L, onde 6„(f) é
uma solução particular da equação diferencial ordinária b'̂ {t) + 
+ Aí> „ (0 = 3„(í), com fil = (í + n^n^c^/L^ e ^x, í) = E®,,, 3„(í) sen 
nnx/L. As constantes e serão determinadas de modo que as 
condições iniciais sejam atendidas.
A função v{x, t) = u(x, í) - Bx/L satisfaz a um problema do tipo 
do Exercício 6.5.
A função v{x, t) = m(x , í) - [B + (C - B)x/L] satisfaz a um problema 
do tipo do Exercício 6.5.
Aplique o resultado do Exercício 6.5. 
a = B/2c^ p = -A /2 .
Mostre que v = ue^ satisfaz á equação t;„ = -h b^v - A g^\ 
Além disso i;(0, t) = v(L, í) = 0 e v(x, 0) = v̂ (x, 0) = 0. Use o Exer­
cício 6.5.
Valores excepcionais de cu: nc/2L, n = 1,2,...
267
n/ X ^ 2no)x
T - +{iKcof
+ a ( i - 2nü)L\ 2na>x / f ^ 2n(úL~\ ACOS — — Isen —7— / 1 (27tcoy sen —^ |
c J ̂ / L ̂ J ( T̂tCüi)^
6.12. Tente encontrar solução na forma ̂b„(í) sen wtcx/ L e procure 
determinar os . O método é essencialmente o de Fourier, usado 
no Exercício 2.6. A resposta, que é a mesma, pode ser escrita assim:
m(x , t) =
1
n < bL/ice
nn»s e n - ^ +
+ Z e-“ [/. + í(0„ + f,/.)]sení?̂ +
n = òL/nc
Z /nCos/x„í -h •̂-^sen/x.r sen — ,
«>òL/íccL J