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AULA ATIVIDADE ALUNO 
 
AULA 
ATIVIDADE 
ALUNO 
 
 
AULA ATIVIDADE ALUNO 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III 
Teleaula: 04 
Olá! Você está bem? Espero que sim! 
Pois bem, chegou o momento de interagirmos e desenvolvermos competências 
importantes para sua formação. Tenho certeza de que se dedicando e se esforçando, 
você será, em breve, um excelente profissional! 
Nossa atividade terá dois momentos, dispostos da seguinte forma 
- Etapa 1: 1h20 
- Intervalo: 20 min 
- Etapa 2: 1h20 
Etapa 1 
Questão 1 
Por meio da avaliação de integrais impróprias é possível identificar a transformada de 
Laplace de diversas funções, desde que as integrais sejam convergentes. 
Considere a função de uma variável real definida por 
𝑓(𝑡) = 𝑡𝑒−2𝑡 
Determine a transformada de Laplace para a função 𝑓 empregando a definição de 
transformada, por meio do cálculo da integral imprópria correspondente. 
Questão 2 
As propriedades das Transformadas de Laplace permitem a comparação entre 
diferentes funções, auxiliando, inclusive, na resolução de problemas de valor inicial 
envolvendo equações diferenciais ordinárias. 
Considere a função de uma variável real dada por 
𝑓(𝑡) = 2𝑒−5𝑡senh(3𝑡) − 𝑒2𝑡 cos(2𝑡) + 𝑒−𝑡 
Determine a transformada de Laplace associada à função 𝑓(𝑡). 
Observação: A função senh(𝑥) corresponde à função seno hiperbólico, a qual pode ser 
associada à função exponencial da seguinte forma: senh(𝑥) =
𝑒𝑥−𝑒−𝑥 
2
. 
Questão 3 
Para o estudo das transformadas inversas de Laplace, um dos conceitos muito utilizado 
é a expansão em frações parciais, o que permite a decomposição de uma razão de 
 
 
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polinômios em uma soma de frações envolvendo polinômios com menores graus, 
permitindo a utilizando das informações sobre as principais transformadas de Laplace. 
Em relação a esse tema, determine a expansão em frações parciais do seguinte termo: 
3𝑥 − 1
𝑥(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)
 
Questão 4 
Na resolução de um problema de valor inicial por meio de Transformadas de Laplace, 
um pesquisador obteve a seguinte função 
𝐹(𝑠) =
𝑠2 − 𝑠 + 10
(𝑠 − 1)(𝑠2 + 4)
 
que corresponde à Transformada de Laplace de uma função 𝑓(𝑡). 
Com base nas propriedades da transformada e transformada inversa de Laplace, 
determine a transformada inversa de Laplace da função 𝐹(𝑠). 
Questão 5 
As transformadas de Laplace podem ser aplicadas na resolução de um problema de valor 
inicial, permitindo a conversão da equação diferencial em uma equação algébrica. 
Sabendo que as transformadas de Laplace são operadores lineares e que 
ℒ{𝑦′} = 𝑠ℒ{𝑦} − 𝑦(0) 
resolva o seguinte problema de valor inicial empregando as transformadas de Laplace: 
{
𝑦′ − 3𝑦 = 𝑒2𝑡
𝑦(0) = 1
 
Questão 6 
As transformadas de Laplace podem ser empregadas também na resolução de 
problemas de valor inicial envolvendo equações diferenciais ordinárias de 2ª ordem, 
associadas a condições iniciais para a função em estudo e sua derivada de 1ª ordem. 
Com base nesse tema, determine a solução para o seguinte problema de valor inicial 
empregando transformadas de Laplace: 
{
𝑦′′ + 16𝑦 = 𝑓(𝑡)
𝑦(0) = 0
𝑦′(0) = 1
 
onde 
𝑓(𝑡) = {
𝑐𝑜𝑠(4𝑡) , 0 ≤ 𝑡 < 𝜋
0, 𝑡 ≥ 𝜋
 
 
 
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Observação: para a resolução desse problema é necessário considerar as propriedades 
envolvendo transformadas de Laplace e funções descontínuas. Além disso, sabendo que 
a função degrau unitário seja definida por 
𝑢(𝑡 − 𝑐) = {
0, 0 ≤ 𝑡 < 𝑐
1, 𝑡 ≥ 𝑐
 , 𝑐 ≥ 0 
então podemos representar 𝑓(𝑡) em função da função degrau unitário por 
𝑓(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠(4𝑡) − 𝑐𝑜𝑠4(𝑡 − 𝜋)𝑢(𝑡 − 𝜋) 
Etapa 2 
Uma importante estratégia de estudo em Matemática é a elaboração de esquemas com 
os principais conceitos e conteúdo. Neste momento, você deverá focar apenas nas 
informações da quarta unidade e inserir as principais definições, fórmulas, propriedades 
etc., ou seja, todas as informações que forem importantes para você. Para elaborar os 
esquemas você pode utilizar o Power point, o canva (https://www.canva.com/) ou ainda 
o seu caderno. 
Bons estudos! 
 
https://www.canva.com/