ATIVIDADE A4 - CÁLCULO AVANÇADO COM NÚMEROS COMPLEXOS

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1 - Na resolução de problemas, podemos nos deparar com integrais desconhecidas e devemos transformá-las 
em integrais que possamos reconhecer, para assim, resolvê-las. Uma integral conhecida é a integral imprópria, 
cujo integrando pode não ser limitado ao longo do intervalo de integração ou o intervalo em si pode não ser mais 
finito. 
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado sobre integral imprópria, determine a integral 
imprópria . 
 
 
2 - A transformada de Laplace é alternativa adequada de aplicação, pois, muitas vezes, consegue reduzir a 
complexidade do processo de análise ou sintetiza um novo sistema baseado em características específicas nos 
estudos das engenharias. 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre a transformada de Laplace, calcule 
 
 
3 - “A função é a fronteira entre as integrais impróprias convergentes e divergentes impróprias com 
integrandos da forma 
 
 
 
A integral imprópria converge se p > 1 e diverge se p 1.” 
Fonte: THOMAS, G. B. Cálculo. 11. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2008. v. 1. p. 614. 
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado sobre integral imprópria, analisando a integral 
imprópria , analise as afirmativas a seguir. 
 
I. A integral imprópria converge. 
II. O valor da integral é . 
III. A integral imprópria diverge. 
IV. O valor da integral é 2. 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
 
~Parabéns! Para conseguirmos identificar a alternativa correta, precisamos primeiramente determinar o valor da 
integral dada. Vamos ver um exemplo de resolução: 
 
 
 
a integral imprópria converge para o valor 
 
 
 
 
 
 
4 - No âmbito do cálculo avançado com números complexos, podemos dizer que as integrais que não obedecem 
às propriedades como o domínio da integração finito e que a imagem do integrando seja finita nesse domínio, 
são denominadas de integral imprópria. 
 Considerando essas informações e conteúdo estudado sobre integral imprópria, determine o valor de 
 
 
5 - A transformada de Laplace recebeu esse nome em homenagem ao seu descobridor Pierre-Simon Laplace, 
um matemático e astrônomo, que curiosamente utilizou os conceitos dessa importante transformação em seus 
trabalhos sobre Teoria da Probabilidade. 
Considerando essa informação e os conteúdos estudados sobre a transformada de Laplace, calcule . 
 
 
6 - A resolução de situações problemas por meio das transformadas de Laplace exigem uma análise que 
antecede sua resolução. Um exemplo é resolver uma transformada definida por uma integral em um intervalo 
de [0, + [, caso esta seja divergente. Podemos concluir que o fato de um dos extremos desse intervalo ser 
infinito indica que essa é uma integral imprópria. Assim, a integral a ser obtida por meio do limite da integral é 
definida de 0 até A, com A tendendo ao infinito. 
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado sobre Laplace, analise as afirmativas a seguir e assinale 
V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) A transformada de Laplace é um operador, pois transforma uma função em outra função. 
II. ( ) A integração é um operador, pois transforma, por exemplo, a função de sentença f(x) = 2x, x , na família 
de funções em f(x) = 2x, . 
III. ( ) Deve-se desconsiderar as operações de diferenciação e integração como lineares, visto que elas 
transformam uma combinação linear de funções numa combinação linear de transformadas. 
IV. ( ) A diferenciação é também um operador, visto que transforma em f(x) = 2x, . 
 
 
7 - As propriedades da transformada de Laplace também são úteis na resolução de equações diferenciais em 
problemas de valor inicial, escrevendo uma equação algébrica para a transformada de Laplace da solução, 
denominada equação subsidiária. Para encontrar a solução do problema, basta calcular a transformada inversa 
da equação algébrica. 
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado sobre a aplicação da transformada inversa de Laplace, 
resolva o problema de valor inicial: 
 
y” (t) + y(t) = 2t 
y(0) = 2 
y’(0) = 1 
 
 
8 - Alguns problemas aplicados de engenharia englobam conceitos de sistemas mecânicos ou elétricos, operados 
por agentes descontínuos ou impulsivos. Nesses casos, certos métodos são inconvenientes e nada práticos. Por 
isso, muitas vezes, recorrem às transformadas de Laplace que, de certa forma, são mais apropriadas para esses 
problemas. 
 Considerando essas informações e conteúdo estudado sobre transformação de Laplace, determine . 
 
~Parabéns! Viu como a resolução de transformada de Laplace é importante? Veja uma sugestão de resolução 
do problema: 
 
 
 
 
9 - As transformações são muito utilizadas nas resoluções de problemas. Basicamente, uma transformação 
transforma uma função em outra mais apropriadas ou adequadas à situação, a fim de facilitar a resolução. Uma 
importante transformada é a de Laplace, que ajuda muito na resolução de problemas lineares. 
Considerando essas informações e conteúdo estudado sobre Laplace, determine 
 
 
10 - No âmbito da matemática aplicada, uma transformação ou transformada de Laplace consegue converter 
uma equação diferencial em uma equação algébrica, o que é muito conveniente na resolução de algumas 
situações problemas. 
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado sobre transformação de Laplace, 
calcule y’ - y = 0, sendo y = y(t) em que y(0) = 1.