2. Tipos de Capitalização

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Faculdade de Ciências Econômicas - UFMG 1
CAD 045 – Investimento e 
Cálculo Financeiro
Aula 02 – Valor do Dinheiro no tempo: 
Capitalização Simples, Composta e 
Contínua
Prof. Bruno Pérez Ferreira
Faculdade de Ciências Econômicas - UFMG 2
Tópicos desta seção
 Diagramas de fluxos de caixa
 Conceitos básicos em Matemática Financeira
 Regime de Juros Simples: características e 
aplicações
 Capitalização Composta: características e 
aplicações
 Capitalização Contínua: características e 
aplicações
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Diagramas de fluxos de caixa
 Fluxos de caixa: representam o conjunto das 
entradas e saídas de capital ao longo do tempo.
 Por convenção, entradas de capital são 
representadas por valores positivos, e saídas por 
valores negativos:
(saída de $)
Entradas de $
n
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Conceitos básicos em Matemática 
Financeira
 Variáveis fundamentais:
 P, PV ou VP: principal ou valor presente de um ativo 
qualquer;
 S, FV ou VF: montante ou valor futuro de um ativo qualquer;
 R, PMT ou PGTO: o valor da prestação de um financiamento 
concedido ou de um plano de investimentos programados;
 n: o prazo de uma aplicação ou empréstimo.
 J: juros ganhos ou pagos (em $) em uma operação;
 i: a taxa de juros de um financiamento concedido sobre um 
ativo.
 d: taxa de desconto (utilizada nas operações de desconto 
simples);
 r: taxa real de juros.
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Conceitos básicos em Matemática 
Financeira
 Capital: na perspectiva da matemática 
financeira, é qualquer valor expresso em 
moeda e disponível em determinada época.
 Juro: representa a remuneração do capital 
empregado.
 Taxa de juros: é a razão entre os juros 
recebidos (ou pagos) no final de um 
determinado período de tempo e o capital 
inicialmente empregado.
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Conceitos básicos em Matemática 
Financeira
 Fatores que afetam a taxa de juros:
 Risco
 Despesas: operacionais, contratuais e tributárias
 Inflação
 Remuneração real (custo de oportunidade)
 Formas de representação da taxa de juros:
 Decimal
 Percentual
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Conceitos básicos em Matemática 
Financeira
 Formas de cotação dos prazos:
 As formas mais comuns no mercado são as 
seguintes:
 Ano comercial: ano com base em 360 dias.
 Dias úteis: ano com base em 252 dias.
 Além destas formas, também são utilizadas as 
cotações com base no ano civil (365 dias). No 
entanto, a grande maioria das operações no 
mercado utiliza as duas convenções acima.
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Regime de Juros Simples: características
 Os juros são calculados incidem sempre 
sobre a mesma base P;
 Os juros J formados são calculados por J=P.i
 Logo, o crescimento dos juros é linear:
S1 = P + i.P = P (1+i)
S2 = (P + i.P)+i.P = P (1+2.i)
...
Sn = P +n.i.P → S = P (1+n.i) (1)
J=n.i.P (2)
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Regime de Juros Simples: características
 A expressão (1) indica que os juros são 
diretamente proporcionais ao capital P, ao 
número de períodos n e à taxa de juros i.
 O domínio da função indicada em (2) é o 
conjunto dos números reais não negativos.
 Rearranjando a equação (2), obtemos:
P=S/(1+i.n) (3)
i=1/n(S/P-1) (4)
n=1/i(S/P-1) (5)
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Regime de Juros Simples: aplicações
 O regime de juros simples é pouco utilizado 
na prática. Na verdade, apenas em 
operações de desconto e em operações com 
cheque especial.
 No entanto, utilizaremos os exemplos a 
seguir de modo a fixar as relações básicas 
deste regime.
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Regime de Juros Simples: exemplos
 Determinar os juros ganhos na aplicação de 
R$ 3.000 por 01 ano à taxa simples de 2% 
a.m.
 Determinar o montante de R$ 1.900 
aplicados por 06 meses à taxa simples de 
1,5% a.m.
 Determinar a taxa anual simples que 
transforma R$ 5.600 em R$ 8.000 em um 
ano.
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Capitalização Composta: características
 Regime mais comum nas operações do dia a 
dia;
 Consiste na incidência dos juros sobre o 
saldo inicial em cada período:
S1 = P + i.P = P(1+i)
S2 = P(1+i) + i.P(1+i) = P(1+i)2
...
Sn = P(1+i)n-1 + i.P(1+i)n-1 → S = P(1+i)n (6)
P = S/(1+i)n (7)
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Capitalização Composta: características
 O modelo matemático derivado em (6) e (7) 
considera que a taxa de juros i é constante ao 
longo do tempo;
 Neste regime, a relação entre o montante S e o 
principal P é uma função exponencial em n.
 O fator (1+i)n em (6) é denominado fator de 
capitalização ou fator de valor futuro para 
aplicação única;
 Já o fator (1+i)-n em (7) é denominado fator de 
desconto ou fator de valor presente para 
pagamento único.
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Capitalização Composta: aplicações
 A maioria das aplicações financeiras de 
renda fixa e operações de empréstimo são 
regidas pela capitalização composta.
 Os exemplos a seguir ilustram algumas das 
aplicações básicas.
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Capitalização Composta: exemplos
 À taxa de juros de 12,1% a.a., determine o 
valor futuro de R$ 5.000 aplicados hoje, a ser 
resgatado em um prazo de 5 meses.
 Um CDB paga taxa de 1,8% a.m. Qual é o 
valor a ser depositado hoje para que se 
obtenha R$ 25.000 após 2 anos?
 Um investidor aplicou R$ 4.800 em um fundo 
de renda fixa e resgatou após 4 anos o 
montante de R$ 7.900. Qual foi a taxa de 
juros mensal desta operação?
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Capitalização Contínua: características
 Nesse regime, a atualização é feita contínua e 
uniformemente no tempo.
 Observe a relação abaixo entre período de 
capitalização e montante para i nominal =12%a.a. e 
P = R$ 100:
Capitalização Frequência Montante
Anual 1 112.00R$ 
Semestral 2 112.36R$ 
Trimestral 4 112.55R$ 
Mensal 12 112.68R$ 
Diária 360 112.75R$ 
Horária 8640 112.75R$ 
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Capitalização Contínua: características
 No regime de juros 
compostos, a taxa de juros i 
representa a variação 
discreta do montante em 
um intervalo discreto de 
tempo n:
 Já na capitalização 
contínua, a taxa de juros r
consiste na variação 
infinitesimal do montante 
em um intervalo 
infinitesimal de tempo n:
(8) 1
nS
Si




(9) 1
dnS
dSr 
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Capitalização Contínua: características
 Agora, utilizando a relação fundamental (6) e 
derivando a mesma com relação a n obtemos:
(13) 
contínua çãocapitaliza da básica fórmula a obtemos (6), em (12) doSubstituin
(12) 
:gera (11), e (9) doConfrontan
(11) 
:obtemos S, montante pelo (10) de lados os ambos Dividindo
(10) 
rn
r
n
n
PeS
eiir
i
Sdn
dS
iiP
dn
dS
iPS





)1()1ln(
)1ln(1
)1ln()1(
)1(
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Capitalização Contínua: características
 Da equação básica (13), obtemos:
(16) ln1
(15) ln1
:logo ,lnln
(14) 




















 
P
S
r
n
P
S
n
r
e
P
S
SeP
rn
rn
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Capitalização Contínua: aplicações
 Regime muito utilizado em Finanças na 
avaliação de derivativos, desgaste de 
equipamentos e outras situações em que os 
fluxos monetários se distribuem 
uniformemente no tempo.
 Os exemplos a seguir mostram a aplicação 
das equações (13) a (16).
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Capitalização Contínua: exemplos
 Determine o montante de uma aplicação de 
R$ 56.000 feita à taxa contínua de 2%a.m. 
durante 3 anos;
 Qual é a taxa contínua correspondente à
aplicação de R$ 5.000 e resgate de R$ 8.000 
após 36 meses?
 Determine o número de períodos 
necessários para acumular R$ 500.000, 
considerando uma aplicação inicial de R$ 
10.000 e taxacontínua de juros de 1% a.m.
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Exercícios propostos
 Capitalização Simples:
 Carvalho: página 49, exercícios 1 a 7;
 Vieira Sobrinho: página 30, exercícios 1 a 12.
 Capitalização Composta:
 Carvalho, página 66, exercícios 1 a 5;
 Vieira Sobrinho: página 44, exercícios 3 a 12.
 Capitalização Contínua:
 Samanez: página 153, exercícios 7 a 9 e 14.
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Leitura Sugerida:
 Básica:
 VIEIRA SOBRINHO, J.D. Matemática Financeira. 7. ed. 
São Paulo: Atlas , 2000. Capítulos 1 e 2.
 CARVALHO, L.C.S. et al. Matemática Financeira Aplicada. 
Rio de Janeiro: Editora FGV, 2009, páginas 33-38 e 51-60.
 SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira. 5. ed. São Paulo: 
Prentice Hall, 2010. páginas 146-149.
 Complementar:
 SECURATO, J.R. Cálculo Financeiro das Tesourarias. 3. 
Ed. São Paulo: Editora Saint Paul, 2005. Páginas 21-35.