PRINCPIO_FUNDAMENTAL_DA_CONTAGEM

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PRINCÍPIO 
FUNDAMENTAL DA 
CONTAGEM
O princípio fundamental da contagem é
conhecido também como princípio
multiplicativo. Ele é a base para resolver
problemas envolvendo análise combinatória.
A análise combinatória é a área da matemática
que analisa a quantidade de agrupamentos
possíveis para determinadas situações, e o
princípio fundamental da contagem é um meio
para calcular o total de combinações possíveis.
RESUMINDO
Diz que, se uma decisão pode ser tomada de m
maneiras e outra de n maneiras, a quantidade
de maneiras que essas decisões podem ser
tomadas simultaneamente é o produto m · n.
É utilizado para resolver problemas envolvendo
análise combinatória.
É conhecido também como princípio
multiplicativo.
Situação 1:
Você já se perguntou quantas senhas
podemos construir utilizando 4
números?
Situação 2:
Quantas placas de automóveis é 
possível registrar no padrão atual?
Situação 3:
De quantas maneiras diferentes os
números da loteria podem ser
sorteados?
QUESTÃO 1
Matheus foi até a concessionária para comprar o
seu tão sonhado carro zero. Chegando à loja, ele
encontrou 3 carros que cabiam no seu
orçamento. Todos os 3 eram vendidos com 2
opções de câmbio, manual ou automático. Além
da escolha do veículo e do tipo e câmbio, há 4
opções de cor, branco, preto, prata ou vermelho.
De quantas maneiras distintas Matheus pode
tomar essa decisão?
QUESTÃO 2
Aproveitando o Dia das Mulheres, que tem
grande potencial de vendas de cosméticos, a
vendedora decidiu montar um kit beleza que
contém 3 batons distintos, 2 sombras distintas e
1 delineador. Sabendo que, na loja, as opções de
batons são: rosa, vermelho, marrom, nude e
laranja; as opções de sombra são: azul, marrom
e bege; e as opções de delineador são: preto ou
branco. De quantas maneiras distintas esse kit
pode ser montado?
QUESTÃO 3
Eduardo deseja criar um e-mail utilizando um anagrama
exclusivamente com as sete letras que compõem o seu nome, antes
do símbolo @.
O e-mail terá a forma *******@site.com.br e será de tal modo que
as três letras “edu” apareçam sempre juntas e exatamente nessa
ordem. Ele sabe que o e-mail eduardo@site.com.br já foi criado por
outro usuário e que qualquer outro agrupamento das letras do seu
nome forma um e-mail que ainda não foi cadastrado.
De quantas maneiras Eduardo pode criar um e-mail desejado?
A) 59
B) 60
C) 118
D) 119
E) 120
QUESTÃO 4
O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a
participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6
personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde
um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira
é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual
cômodo da casa o objeto foi escondido.
Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e
dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das
anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez.
Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a
brincadeira é encerrada. O diretor sabe que algum aluno acertará a
resposta porque há:
A) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
B) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
C) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
D) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
E) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
QUESTÃO 5
Uma montadora de carros oferece a seus clientes as
seguintes opções na montagem de um carro: 2 tipos de
motores (1.8 ou 2.0), 2 tipos de câmbios (manual ou
automático), 6 cores (branco, preto, vermelho, azul,
cinza ou prata) e 3 tipos de acabamento (simples,
intermediário ou sofisticado). De quantas maneiras
distintas pode-se montar esse carro?
A. 4
B. 13
C. 24
D. 36
E. 72
QUESTÃO 6
Numa lanchonete o lanche é composto por três
partes: pão, molho e recheio. Se essa lanchonete
oferece aos seus clientes duas opções de pão,
três de molho e quatro de recheio, a quantidade
de lanches distintos que ela pode oferecer é de
A. 9
B. 12
C. 18
D. 24
QUESTÃO 7
“Genius era um brinquedo muito popular na década de
1980 (...). O brinquedo buscava estimular a memorização
de cores e sons. Com formato semelhante a um OVNI,
possuía 4 botões de cores distintas que emitiam sons
harmônicos e se iluminavam em sequência. Cabia aos
jogadores repetir o processo sem errar”.
Considerando uma fase do jogo em que 3 luzes irão
acender de forma aleatória e em sequência, podendo
cada cor acender mais de uma vez. O número máximo de
formas que essa sequência de 3 luzes poderá acender é:
QUESTÃO 8
Quantos números inteiros positivos pares, com
três dígitos distintos, podemos formar com os
algarismos 3, 4, 5, 6 e 7?
A. 28. 
B. 36. 
C. 32. 
D. 24.
QUESTÃO 9
Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, e 6. A partir
deles, podem ser criados ____ números pares de
quatro algarismos distintos.
A. 60
B. 120
C. 180
D. 360
QUESTÃO 10
Estima-se que haja, no Acre, 209 espécies de
mamíferos, distribuídas conforme a tabela abaixo.
Deseja-se realizar um estudo comparativo entre três
espécies de mamíferos – uma do grupo dos Cetáceos,
outra do grupo dos Primatas e a terceira dos grupos
dos Roedores. O número de conjuntos distintos que
podem ser formados com essas espécies para esse
estudo é igual a:
a) 1320
b) 2090
c) 5840
d) 6600
e) 7245
QUESTÃO 11
Quantos números naturais de 3
algarismos distintos existem?
QUESTÃO 12
Um casal e seus quatro filhos vão ser colocados
lado a lado para tirar uma foto. Se todos os
filhos devem ficar entre os pais, de quantos
modos distintos os seis podem posar para tirar a
foto?
FATORIAL
EXEMPLOS
4!
7!
5!
Resolva os 
fatoriais ao 
lado
OBSERVAÇÃO
EXEMPLO
(3!)²
(3²)!
Determine o 
fatorial de 
cada item 
abaixo.
DICA!
4!/3!
 200!/198!
Multifatorial
Recordando a 
última aula
De quantas maneiras diferentes pode-se vestir
uma pessoa que tenha 5 camisas, 3 calças , 2
pares de meia e 2 pares de sapato?
Recordando a 
última aula
Calcule o valor ou simplifique os fatoriais:
 a) 7!/4!
b) 3!5!/4!6!
 c) n!/(n-2)!
d) (n+1)!/(n+2)!
 e) (n+2)!/(n-2)! * (n-1)!/(n+2)!
Recordando a 
última aula
Determine o valor de n nas equações:
 a) n!/(n-2)! = 56
b) (n+2)! + (n+1)! = 15n!
TEOREMA DE 
DIRICHLET
Se m objetos devem ser guardados em n gavetas com m
> n, então, pelo menos uma gaveta deverá ter mais de 1
objeto.
Exemplo:
Se eu tenho 10 camisas e 8 gavetas, tudo o que podemos garantir é
que pelo menos uma gaveta terá mais de uma camisa. Essa
conclusão é fácil de ser tomada. Se eu colocar uma camisa em cada
gaveta, terei um total de 8 camisas. Se eu quiser guardar todas as 10
camisas em gavetas, eu teria que, necessariamente, acumular mais
de uma camisa em alguma gaveta.
Exemplo 1
Em uma sacola há uma bola branca, duas pretas
e quatro vermelhas. Não há outras bolas na
sacola além dessas que foram citadas. Retiram-
se quatro bolas da urna, aleatoriamente. Sobre
as bolas retiradas, é correto afirmar que:
a) Todas são vermelhas.
b) No máximo uma é vermelha.
c) Pelo menos uma é preta.
d) Pelo menos duas são da mesma cor.
e) Pelo menos duas são vermelhas.
Exemplo 2
Em uma gaveta há 5 pares de meias pretas, 7 pares de meias
vermelhas e 10 pares de meias brancas. O número mínimo de pares
de meias que precisam ser retirados da gaveta, sem que se veja a
cor, para que certamente sejam retirados pelo menos três pares de
meias de cores diferentes é:
PERMUTAÇÕES
 A permutação é uma técnica de contagem utilizada para 
determinar quantas maneiras existem para ordenar os 
elementos de um conjunto finito. Fazer uma permuta é 
realizar uma troca e, nos problemas de combinatória, 
significa trocar os elementos de lugar, considerando a 
ordenação desses.
Permutação 
Simples
 Quando temos uma fila de n elementos todos
diferentes, o número de permutações é dado por:
Pn = n!
ANAGRAMA
Um anagrama é uma palavra que pode ser
obtida a partir de outrapor meio de trocas nas
posições das letras. A palavra formada não
precisa existir no vocabulário.
Considere a palavra AMOR.
São exemplos de anagramas dessa palavra:
RAOM, MRAO, AMRO.
Quantos 
anagramas 
podem ser 
formados com 
as letras da 
palavra 
AMOR?
PERMUTAÇÃO 
SIMPLES
Quando os elementos do grupo não se
repetem. Como no caso anterior dos
anagramas da palavra AMOR.
Exemplo 1 Calcule o valor de P5:
Exemplo 2
Considere uma fila de pessoas organizadas
por ordem de chegada em que, em um
determinado momento, há seis pessoas. De
quantas formas diferentes essas pessoas
poderiam estar ordenadas do primeiro ao
último lugar?
Exemplo 3
Quantos são os anagramas possíveis da palavra 
AVES?
Quantos começam com a lera A?
Quantos anagramas possuem as vogais lado a 
lado?
Permutações 
com 
repetições
 Quantos anagramas tem a palavra AMADA?
 Podemos generalizar esse raciocínio. O número de permutações n 
elementos com k repetições é dado por:
Quantos 
anagramas 
possíveis para 
a palavra 
MATEMÁTICA
?
Exemplo 1
Em um torneio de futsal um time obteve 8
vitórias, 5 empates e 2 derrotas, nas 15
partidas disputadas. De quantas maneiras
distintas esses resultados podem ter
ocorrido?
Exemplo 2
Em uma prova composta de 20 questões
envolvendo V ou F, de quantas maneiras
distintas teremos doze respostas V e oito
respostas F?
Permutação 
Circular
Nas permutações circulares, não existe o
primeiro e o último termo. Pense, por exemplo,
em uma mesa redonda:
Vejamos um exemplo com quatro elementos.
Permutação 
Circular
 Perceba que, na Figura 6, as duas imagens representam
a mesma permutação, porque podem ser obtidas uma
da outra por meio de uma rotação. Experimente
rotacionar a imagem da esquerda 90º no sentido
horário e você chegará à imagem da direita.
 Assim, quando se consideram as permutações
circulares, é necessário considerar que algumas
permutações são perdidas.
De quantas 
formas 
diferentes 4 
pessoas 
podem se 
sentar em uma 
mesa de 4 
cadeiras?
Exemplo 1
Três homens e três mulheres vão sentar-se à
volta de uma mesa redonda. De quantas formas
podem ficar sentados, alternadamente, ou seja,
sem que fiquem duas pessoas do mesmo sexo
uma ao lado da outra?
Exemplo 2
Em uma atividade escolar, o professor deseja
reunir seus alunos em uma roda com 3 alunos,
porém, na sala compareceram 5 alunos. De
quantas formas distintas o professor pode
organizar essa roda?
Questão 1
Quantas palavras, com significado ou não, de 3
letras podemos formar com as letras A, L e I?
Quais são essas palavras?
Questão 2
Quantos números de 4 algarismos podemos
escrever com os algarismos 2, 4, 6 e 8?
E quantos com os algarismos distintos?
Questão 3
De quantas formas uma família de 5 pessoas
pode se sentar em um banco de 5 lugares,
ficando o pai e a mãe sempre juntas, em
qualquer ordem?
Questão 4 Quantos são os anagramas da palavras
BRASIL?
Questão 5
Quantos números naturais de algarismos
distintos podemos formar entre 5000 e 10000,
com os algarismos 1, 2, 4 e 6?
Questão 6
Considere todos os anagramas da palavra JUVENIL:
 a) Quantos são?
 b) Quantos começam por JUV?
 c) Quantos tem as letras JUV juntas em qualquer ordem?
 d) Quantos tem as letras JUV juntas nessa ordem?
 e) Quantas tem as vogais juntas em ordem alfabética, e as 
consoantes juntas em qualquer ordem?
Questão 7
Colocando todos os anagramas da palavra AMIGO listados em 
ordem alfabética em um dicionário, qual será a:
 a) 1° palavra?
 b) 2° palavra?
 c) 25° palavra?
 d) penúltima palavra?
 e) 55° palavra?
Questão 8 Quantos são os anagramas da palavra ARARA?
Questão 9
Quantos anagramas da palavra CAMARADA
começam com a letra A?
Questão 10
Determine quantos são os anagramas das
palavras:
 a) MISSISSIPI
b) ARARAQUARA
 c) ABÓBORA
d) BISCOITO
Questão 11
Uma matriz quadrada 3 x 3 deve ser preenchida
com 4 zeros, 3 cincos e 2 setes. De quantas
maneiras podemos preencher essa matriz?
Questão 12
Uma prova tem 10 questões do tipo teste, cada
uma valendo 1 ponto se tivesse certa ou 0
ponto se estiver errada. De quantos modos é
possível tirar nota 7 nesse teste?
Questão 13
Um casal pretende ter 4 filhos, sendo 2
meninas e 2 meninos, em qualquer ordem de
nascimento. Quantas são as ordens possíveis
em podem ocorrer esses 4 nascimentos?
	Slide 1: PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
	Slide 2
	Slide 3: RESUMINDO
	Slide 4: Situação 1:
	Slide 5: Situação 2:
	Slide 6: Situação 3:
	Slide 7: QUESTÃO 1
	Slide 8: QUESTÃO 2
	Slide 9: QUESTÃO 3 
	Slide 10: QUESTÃO 4
	Slide 11: QUESTÃO 5
	Slide 12: QUESTÃO 6
	Slide 13: QUESTÃO 7
	Slide 14: QUESTÃO 8
	Slide 15: QUESTÃO 9
	Slide 16: QUESTÃO 10
	Slide 17: QUESTÃO 11
	Slide 18: QUESTÃO 12
	Slide 19: FATORIAL
	Slide 20: EXEMPLOS
	Slide 21: Resolva os fatoriais ao lado
	Slide 22: OBSERVAÇÃO
	Slide 23: EXEMPLO
	Slide 24: Determine o fatorial de cada item abaixo.
	Slide 25: DICA!
	Slide 26: Multifatorial
	Slide 27: Recordando a última aula
	Slide 28: Recordando a última aula
	Slide 29: Recordando a última aula
	Slide 30: TEOREMA DE DIRICHLET
	Slide 31: Exemplo 1
	Slide 32: Exemplo 2
	Slide 33: PERMUTAÇÕES
	Slide 34: Permutação Simples
	Slide 35: ANAGRAMA
	Slide 36: Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra AMOR?
	Slide 37: PERMUTAÇÃO SIMPLES
	Slide 38: Exemplo 1
	Slide 39: Exemplo 2
	Slide 40: Exemplo 3
	Slide 41: Permutações com repetições
	Slide 42: Quantos anagramas possíveis para a palavra MATEMÁTICA?
	Slide 43: Exemplo 1
	Slide 44: Exemplo 2
	Slide 45: Permutação Circular
	Slide 46: Permutação Circular
	Slide 47: De quantas formas diferentes 4 pessoas podem se sentar em uma mesa de 4 cadeiras?
	Slide 48: Exemplo 1
	Slide 49: Exemplo 2
	Slide 50: Questão 1
	Slide 51: Questão 2
	Slide 52: Questão 3
	Slide 53: Questão 4
	Slide 54: Questão 5
	Slide 55: Questão 6
	Slide 56: Questão 7
	Slide 57: Questão 8
	Slide 58: Questão 9
	Slide 59: Questão 10
	Slide 60: Questão 11
	Slide 61: Questão 12
	Slide 62: Questão 13