Matemática Básica__Resumo

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MÓDULO 01 – NÚMEROS NATURAIS
SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL
· Com apenas 10 símbolos (algarismos) , pode-se escrever qualquer número natural por maior que seja. 
· O sistema decimal é de base 10, já que os agrupamentos são feitos de 10 em 10
· O sistema decimal é posicional, porque a depender da posição o mesmo algarismo pode assumir diferentes valores
· Todo algarismo tem valor posicional 10 vezes maior do que teria se ocupasse uma posição imediatamente à sua direita
ORDENS E CLASSES
VALOR RELATIVO E ABSOLUTO DE UM ALGARISMO
· Valor relativo (posicional): valor atribuído ao algarismo em função da ordem ocupada
· Valor absoluto: número de unidades simples que ele representa quando é considerado isoladamente dos outros algarismos que formam o número
DECOMPOSIÇÃO DE UM NÚMERO NATURAL
RETA NUMÉRICA E OS NÚMEROS NATURAIS
· Os números naturais podem ser representados em uma reta, na qual cada ponto está associado a um número. Para tanto, estabelecemos um sentido e uma unidade. Em seguida, representamos cada número natural por um ponto. Essa reta é denominada reta numérica.
· Na reta numérica, a distância entre dois pontos correspondentes a dois números naturais consecutivos é sempre a mesma (equidistante)
· Existem ramos da matemática que usam o zero como natural e outros não por convenção (álgebra e a aritmética consideram)
IGUALDADE E DESIGUALDADE
· Diferente (≠): Significa dizer que um número qualquer seria “menor do que” ou “maior do que” outro
ANTECESSOR E SUCESSOR
· Antecessor: número que vem imediatamente antes de outro 
· Sucessor: número que vem imediatamente depois 
· Todo natural tem sucessor, mas nem todo terá antecessor (Zero é o único natural que não possui antecessor)
NÚMEROS CONSECUTIVOS
· Dois ou mais números naturais que se seguem (um vem após o outro)
· Em casos de números consecutivos impares há duas formas de demonstração, sendo a segunda opção a melhor para fins de contagem
NÚMEROS PARES
· Os números naturais pares são números da forma em que é um número natural (terminam em 0, 2, 4, 6 ou 8)
NÚMEROS ÍMPARES
· Os números naturais ímpares são números da forma em que é um número natural (terminam em 1, 3, 5, 7 ou 9). Se consideramos o conjuntos dos inteiros, os números ímpares podem assumir tanto a forma quanto a forma 
· Os números impares são aqueles não múltiplos de 2 (ou seja, não consta o fator 2 na fatoração prima)
QUANTIDADE DE ALGARISMOS EM UMA SEQUÊNCIA DE NATURAIS CONSECUTIVOS
QUANTAS VEZES CADA ALGARISMO APARECE DE 1 A 99?
· Cada algarismo aparece exatamente 20 vezes em uma sequência de 1 a 99. Sempre observar as vezes que em o algarismo aparecerá duas vezes no mesmo número.
MÓDULO 02 – OPERAÇÕES COM NATURAIS
· Operações Matemáticas: Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão
· O Conjuntos dos naturais é bem defino quanto a adição e a multiplicação (ambas operações possuem a propriedade do fechamento)
ADIÇÃO
· A adição pode ser empregada com a ideia de juntar ou de acrescentar quantidades
· Adicionar significa “juntar”, “ajuntar”, “acrescentar”, “acrescer”, 
· “somar”, “reunir”, “agregar”.
· O símbolo “+” representa a operação de adição. O resultado da adição é chamado de soma. Portanto “adição” e “soma” não têm o mesmo significado. Adição é a operação, enquanto a soma é o resultado da adição
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO
Comutativa
· A ordem das parcelas não altera a soma
Associativa 
· A adição de três números naturais pode ser feita associando-se as duas primeiras ou as duas últimas parcelas
Elemento Neutro 
Propriedade do Fechamento
· A soma de dois números naturais é um número natural
SUBTRAÇÃO
· A subtração está relacionada com as ideias de tirar, diminuir, completar e comparar
· O símbolo “–” representa a operação de subtração. O resultado da subtração é a diferença (resto). Portanto “subtração” e “diferença” não têm o mesmo significado. Subtração é a operação, enquanto a diferença é o resultado da subtração
PROPRIEDADES DA SUBTRAÇÃO
· A operação de subtração não é comutativa, não é associativa, não possui elemento neutro, tampouco apresenta a propriedade de fechamento em relação ao conjunto dos naturais 
· Somando ou subtraindo um mesmo número do minuendo e do subtraendo, a diferença não se altera
EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM ADIÇÕES E SUBTRAÇÕES
· Efetuamos as adições e subtrações na ordem em que aparecem
· Nas expressões que apresentam sinais de associação como parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { }, efetuamos em primeiro lugar as operações dentro desses símbolos “de dentro para fora”
RELAÇÃO ENTRE ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
· Adição e subtração são operações inversas. Essa ideia permite a resolução de problemas de trás pra frente
MULTIPLICAÇÃO
· A multiplicação está associada às ideias de somar parcelas iguais, calcular elementos em organizações retangulares, quantidades de possibilidades em tomadas de decisões (sucessivas) e proporcionalidade
· Multiplicação é a operação, enquanto o produto é o resultado da multiplicação
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO
Comutativa
· A ordem dos fatores não altera o produto
Associativa 
· A multiplicação de três números naturais pode ser feita associando-se os dois primeiros ou os dois últimos fatores
Elemento Neutro 
Propriedade do Fechamento
· A multiplicação de dois números naturais é um número natural
Propriedade Distributiva
· Propriedade distributiva em relação a adição ou a subtração
DIVISÃO
· A divisão está associada às ideias de repartir uma certa quantidade em partes iguais ou à ideia de medida, ou seja, quantas vezes uma quantidade cabe em outra
· O conjunto dos naturais não é fechado em relação à divisão
· Resto: equivale no mínimo 0 (divisão exata) e no máximo 𝑑 – 1
ZERO NA DIVISÃO
· Zero dividido por qualquer número diferente de zero dá sempre zero
· Quando o divisor é nulo, há duas possibilidades, a saber
RELAÇÃO ENTRE MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
· multiplicação e divisão são operações inversas. Essa ideia permite a resolução de problemas de trás pra frente
EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM AS 4 OPERAÇÕES
1. Primeiro, efetuamos as multiplicações e divisões na ordem em que aparecem
2. Em seguida, efetuamos adições e subtrações na ordem em que aparecem.
3. Havendo parênteses, colchetes ou chaves, damos prioridades às expressões dentro desses símbolos
PEMDAS
· Se uma expressão numérica possui todas as operações estudadas, devemos seguir a regra do PEMDAS para calculá-las
IGUALDADE 
· Tanto as igualdades quanto as desigualdades são relações e não operações 
PROPRIEDADES DA IGUALDADE 
· A igualdade é reflexiva, pois 𝑥 = 𝑥, para todo 𝑥
· A igualdade é simétrica, pois 𝑥 = 𝑦 ⟹ 𝑥 = 𝑦
· A igualdade é transitiva, pois se 𝑥 = 𝑦 e 𝑦 = 𝑧, então 𝑥 = 𝑧.
· Ao somar ou subtrair um mesmo número real em ambos os lados de uma equação, obtém-se uma equação equivalente
· Ao multiplicar ou dividir um mesmo número real em ambos os lados de uma equação, obtém-se uma equação equivalente. No caso da divisão, o número não pode ser igual a zero
MÓDULO 03 – MÚLTIPLOS E DIVISORES
DIVISORES
· Se a divisão de um número natural por outro (não nulo) é exata, dizemos que o primeiro é divisível pelo segundo, ou que o segundo número é divisor do primeiro
· Para indicar que 𝑎 divide 𝑏, usa-se a notação 𝑎 | 𝑏. Se 𝑎 não divide 𝑏, usa-se a notação 𝑎 ∤ 𝑏
· Sejam 𝑑, 𝑛 e 𝑘 números naturais:
Diz-se que 𝑑 divide 𝑛 e escreve-se 𝑑 | 𝑛 se existe um 𝑘 tal que 𝑛 = 𝑘 ∙ 𝑑
Pode-se dizer que 𝑛 é um múltiplo de 𝑑, que 𝑑 é um divisor de 𝑛, ou que 𝑑 é um fator de 𝑛
· A relação entre elementos dos naturais 𝑑|𝑛 que acabamos de introduzir, goza das seguintes propriedades:
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
NÚMEROS PRIMOS
· Número natural maior do que 1 (n > 1) que possui apenas dois divisores, ele mesmo e o número 1
· Um número natural maior do que 1 que não é primo é um número composto. Ou seja, todo número natural é primo ou produto de primos (composto)
· Número 1 não é primo e nem composto
· Número 2 é o único primo par
· Conjunto dos números primos é infinito(Teorema de Euclides)
Reconhecimento de um número primo
FATORAÇÃO
· Transformar soma ou subtração em produto
· Fatoração completa: decomposição em números primos
· Fatoração canônica: decomposição em números primos ordem crescente (hierarquizada)
· Paridade: Se em sua fatoração prima não apresentar o fator 2, o número será ímpar. Números pares são da forma sendo um natural qualquer múltiplo de 2
QUADRADO PERFEITO
· Quando todos os expoentes de sua fatoração prima forem números pares (Fatoração prima com expoentes pares)
· Todo quadrado perfeito tem raízes exatas
· Gerar quadrado perfeito em multiplicações: basta elevar os fatores ao expoente 2
CUBO PERFEITO
· Quando todos os expoentes de sua fatoração prima forem números múltiplos de 3 (Fatoração prima com expoentes múltiplos de 3)
· Todo cubo perfeito tem raízes exatas
· Gerar cubo perfeito em multiplicações: basta elevar os fatores ao expoente 3
DETERMINAR DIVISORES DE UM NÚMERO NATURAL
· Para determinar quais sãos os divisores de um número natural, basta fatorar e fazer as multiplicações via dispositivo prático
QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NÚMERO NATURAL
· Para descobrir quantos divisores possui um número natural, basta pegar os expoentes de cada fator primo, adicionar uma unidade e multiplicar os resultados entre si (princípio multiplicativo). 
· Dos divisores de 720 quantos são pares e quantos são ímpares? 
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)
· Maior dos divisores comuns de dois ou mais números
· Produto dos fatores primos comuns elevados ao menor expoente possível (Fatoração simultânea)
· Números primos entre si (co-primos): ocorre quando o mdc de dois números quaisquer é equivalente a 1
· O MDC de números consecutivos é sempre o produto deles, pois eles são primos entre si
· Serve para simplificar frações 
· Sempre que ocorrer de , a fração será irredutível
· Achar o MDC: Algoritmo de Euclides 
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)
· O menor dos múltiplos comuns (excluído o zero) de dois ou mais números
· Produto dos fatores comuns elevados aos maiores expoentes e dos fatores não comuns
· Usar fatoração completa
· O MMC representa também o intervalo entre os múltiplos comuns 
· O MMC entre dois números, em que um é múltiplo do outro, será o maior número 
· Quando os números são primos entre si, o MMC será produto dos números
· Serve para reduzir frações a um mesmo denominador
MMC E EQUAÇÕES/SISTEMAS DE EQUAÇÕES
RELAÇÃO ENTRE MDC E MMC
· Se temos dois números naturais e , é válida a seguinte relação:
APLICAÇÃO DE MDC E MCC EM QUESTÕES
· MDC: Agrupamento mínimo ou máximo entre grandezas 
· MMC: Ideia de encontro entre duas grandezas 
MÓDULO 04 – ORIENTAÇÃO TEMPORAL
MÓDULO 05 – FRAÇÕES
IDEIAS ASSOCIADAS A FRAÇÃO
 
TIPOS DE FRAÇÕES
· Frações equivalentes: basta multiplicar (ou dividir) numerador e denominador pelo mesmo número
· Frações irredutíveis: ocorre quando o, não sendo possivel simplifcar mais (numerador e denominador são primos entre si)
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES
· Utilize o MDC (algorismo de Euclides)
· Se o , então as frações são irredutíveis 
REDUZIR FRAÇÕES AO MESMO DENOMINADOR
COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES
· Denominadores iguais: maior fração será aquela com maior numerador
· Numeradores iguais: maior fração será aquela com menor numerador
· Numeradores e denominadores diferentes: para comparação deverá reduzir todas ao mesmo denominador (calcular MMC)
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
· Recíproco (ou inverso multiplicativo) de um número é um número tal que 
· Adição e subtração de frações com denominadores iguais: repetir os denominadores e operar com os numeradores
· Adição e subtração de frações com denominadores diferentes: Necessita tirar o MMC para depois operar as frações
· Multiplicação de Frações: basta multiplicar os numeradores entre si e multiplicar os denominadores entre si
· Divisão de Frações: Repetir a primeira fração e multiplicar pelo recíproco (fração invertida) da segunda
POTÊNCIA COM FRAÇÃO NA BASE
RADICIAÇÃO DE FRAÇÕES
MÓDULO 06 – NÚMEROS DECIMAIS
DECIMAIS NOTÁVEIS
DECOMPOSIÇÃO DE UM NÚMERO DECIMAL
POTÊNCIAS DA FORMA 
MÓDULO 07 – SISTEMA DE UNIDADES
MÓDULO 08 – NÚMEROS INTEIROS 
· Conjunto dos números inteiros é fechado em relação a adição, multiplicação e subtração
· Para cada número inteiro positivo, existe um número inteiro negativo correspondente (simétrico ou oposto)
· O número 0 não pertence ao conjunto dos inteiros positivos e nem pertence ao conjunto dos inteiros negativos (zero não é positivo e nem negativo, e sim neutro)
SUBCONJUNTOS DOS INTEIROS (ℤ)
MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO DE UM INTEIRO
· Distância deste número até a origem (ou até o número 0)
· O módulo de um número e seu simétrico é igual 
· O módulo de zero é igual a zero 
· O módulo de um número positivo é igual ao próprio número
· O módulo de um número negativo é igual ao simétrico (oposto)
PROPRIEDADES DO MÓDULO
1. Módulo de qualquer número nunca pode ser negativo 
2. Módulo de um número é zero se e somente se este número for zero
3. Módulo de um número e o do seu oposto são sempre iguais
4. Considere um número real positivo:
5. Dois números possuem o mesmo módulo se e somente se os números são iguais ou simétricos
COMPARAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
· Dados dois números inteiros quaisquer, o maior desses números é aquele que está à direita na reta numérica
CANCELAMENTO DE NÚMEROS OPOSTOS
· A adição de um número com o seu oposto (simétrico) o resultado será igual a 0 
REGRA DOS SINAIS (Multiplicação e Divisão)
REGRA DOS SINAIS (Potenciação)
 
REGRA DOS SINAIS (Radiciação)
· Não existe raiz de número negativo com índice par no conjunto dos número inteiros. Pois não há número positivo ou negativo que elevado a um índice par dê um resultado negativo
 ⇦ 
 ⇦ 
· Logo, toda raíz quadrada será necessariamente positiva 
 ⇦ 
· Só há raiz de número negativo, se o índice for impar
MÓDULO 09 – NÚMEROS RACIONAIS
· Conjunto dos números racionais é fechado em relação a adição, multiplicação, subtração e divisão (exceto divisão por zero)
· Todo número na forma de decimal finito ou de dízima periódica pode ser convertido à forma de fração (todos que podem ser escritos em forma de fração) 
· Todos os naturais e inteiros são racionais , pois todos podem ser escritos na forma de fração (basta colocar o denominador igual a 1)
· Além dos naturais e inteiros, todos os números decimais finitos e as dízimas periódicas são também racionais
· Entre dois racionais quaisquer existem infinitos outros racionais (conjunto denso nos reais)
· Não se divide por zero, pois não há nenhum número que multiplicado por zero que dê outro resultado além de zero
· Dividir zero por zero é indeterminado, pois qualquer número multiplicado por zero obterá como resultado o próprio zero
DECIMAIS FINITOS
· Para que a representação decimal de fração tenha um número finito de algarismo, o denominador não pode ter fatores diferentes de 2 e 5
· Toda vez que aparecer no denominador fatores diferentes de 2 e 5, estaremos diante de uma dízima periódica 
FRAÇÃO GERATRIZ DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA
SUBCONJUNTOS DOS RACIONAIS ()
SIMÉTRICO X RECÍPROCO
· Números simétricos ≠ Números recíprocos
· Números simétricos (ou opostos) são aqueles em que somados obtém como resultado 0 
· Números recíprocos (ou inversos multiplicativos) são aqueles em que multiplicados obtém como resultado 1 
POTENCIAÇÃO COM EXPOENTE INTEIRO NEGATIVO
MÓDULO 10 – NÚMEROS REAIS
· Conjunto dos números reais é um conjunto formado por uma partição dos conjuntos racionais e outra pelo conjunto dos irracionais 
· Se são duas partições, implica que a intersecção entre o conjunto dos racionais e irracionais é o conjunto vazio 
· Conjuto dos irracionais é formado por todos os números que não podem ser expressos como uma razão a/b de dois inteiros (dízimas não periódicas). Logo, o conjuto dos irracionais é o complementar do conjuntos racionais 
· Conjuto dos irracionais não é fechado em relação as quatro operações
· Existe uma relaçãobiunívoca entre os números reais e os pontos da reta numérica (reta real)
APROXIMAÇÃO DE RAÍZES QUADRADAS
· Método de Newton-Raphson
· Caso geral
MÓDULO 11 – INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA
PARTES DE UMA EXPRESSÃO ALGÉBRICA
MÓDULO 12 – PORCENTAGEM
MÓDULO 13 – RAZÃO E PROPORÇÃO
RAZÕES
· Razão de para é o quociente de por , sendo 𝑏 ≠ 0 
· Denotação da razão entre os números 𝑎 e 𝑏: 
· 𝑎 é o antecedente e 𝑏 o consequente 
· A razão permite fazer comparações de grandezas entre dois números
RAZÕES ESPECIAIS
· Se a razão entre os segmentos correspondentes de figuras semelhantes é , pode-se afirmar que a razão entre as áreas é e razão entre os volumes é 
PROPORÇÃO
· Proporção é a igualdade entre duas ou mais razões
· “ está para assim como está para ⇒ 
· são os extremos e são os meios
· Proporção contínua: os meios de uma proporção são iguais 
Os meios são chamados de média geométrica dos termos 
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES
· O produto dos meios é igual ao produto dos extremos
· Dessa forma, se , então:
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES NAS PROPORÇÕES
· Números do mesmo lado da equação: simplificar numerador com denominador
· Números em lados diferentes da equação: simplificar numerador com numerador ou denominador com denominador
PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES
P1 
P2 
· Toda proporção poderá ser prolongada. Basta acrescentar uma nova fração somando os numeradores e também somandos os denominadores das frações originais da proporção (o mesmo vale pra um prolongamento que envolva a subtração)
· Sabe-se que e que. Determinar os valores de 𝑥 e 𝑦
P4 
PROPORÇÕES MÚLTIPLAS
· é a constante de proporcionalidade
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
· Duas grandezas são diretamente proporicionais se o quociente (razão) entre os elementos correspondentes for uma constante. Isso significa se dobrar , irá dobrar; se triplicar , irá triplicar
 
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
· Duas grandezas são inversamente proporicionais se o produto entre os elementos correspondentes for constante. Isso significa se dobrar , será dividido por dois; se triplicar , será dividido por três 
 
DIVISÃO PROPORCIONAL
MÓDULO 16 – INEQUAÇÕES
· Estudo das Desigualdes
· Dados dois números reais quaisquer, o maior desses números é aquele que está à direita na reta numérica
· Simétríco ≠ Número negativo
· Negativos são os simétricos dos números positivos (números menores do que zero)
· Quanto temos da para afirmar apenas que ele é o simétrico de . (não se pode afirmar o valor de ) 
AXIOMAS BÁSICOS DAS INEQUAÇÕES
· Se é um é um número real, então apenas uma das seguintes afirmações é verdadeira: 
· Se são números positivos, então são positivos
· Se são números reais, então apenas uma das seguintes afirmações é verdadeira: 
PROPRIEDADES DAS INEQUAÇÕES
1. Transitiva
2. Aditiva
MULTIPLICAÇÃO (divisão) POR UM NÚMERO
· Multiplicação ou divisão por um número positivo: Manter o sentido da desigualdade
· Multiplicação ou divisão por um número negativo: Inverter o sentido da desigualdade
SUBTRAÇÃO
 
· Subtração de inequação: subtração cruzada, diferença de um extremo pelo outro e de um meio pelo outro
DIVISÃO
SOLUÇÃO E CONJUNTO SOLUÇÃO
· Solução: Qualquer número real que torne a inequação uma sentença verdadeira 
· Conjunto solução: Todos os valores que tornam a inequação uma sentença verdadeira 
· Inequação sem solução: Conjunto solução é o conjunto vazio 
· Qualquer número real for solução: Conjunto solução é o conjunto dos números reais 
· Quando a = b, o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento e chama-se intervalo degenerado. Neste caso, os intervalos (a,b], [a,b) e (a,b) são conjuntos vazios
· É comum escrever ℝ = (−∞,+∞)
· +∞ e −∞ não representam números reais (parte da notação de intervalos ilimitados)
· Bola fechada: Número na extremidade pertence ao intervalo 
· Bola aberta: Número na extremidade não pertence ao intervalo
SISTEMA DE INEQUAÇÕES E INEQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
· A inequação não poderá ser Zero. Pois, uma divisão somente será zero, se o numerador for zero. 
· E para a divisão ser negativa (menor do que zero) , os sinais do numerador e denominador devem ser distintos um do outro.
· Logo, tem-se que 
· A inequação não poderá ser Zero. Pois, uma divisão somente será zero, se o numerador for zero. E para a divisão ser positiva (maior do que zero) , os sinais do numerador e denominador devem ser distintos um do outro.
· Logo, tem-se que 
SUBCONJUNTOS DOS RACIONAIS ()
 
 
 
MÓDULO 17 – CÁLCULO ALGÉBRICO
VALOR NUMÉRICO DE UMA EXPRESSÃO ALGÉBRICA
· Para obter o valor numérico de uma expressão algébrica, deve-se seguir os seguintes passos:
1. Substituir as letras pelos números reais dados
2. Efetuar as operações indicadas, seguindo a regra do PEMDAS
· Utiliza-se os parênteses quando substituir letras por números negativos ou frações
· Nem sempre é possível calcular o valor numérico de algumas expressões para determinados valores. Por exemplo, tente calcular o valor numérico da expressão 
· É de uso comum em álgebra usar notações do tipo para expressões algébricas . Quando aparecer algo do tipo “calcule ", isto significa que deve ser calculado o valor numérico da expressão para 
MONÔMIOS OU TERMOS ALGÉBRICOS
· Número ou um produto de números em que alguns deles são representados por letras (variáveis) em que as variáveis não estão no denominador de uma fração nem no radical
· Não são monômios, por exemplo: 
· Monômios semelhantes ou termos semelhantes são aqueles que possuem a mesma parte literal
OPERAÇÕES COM MONÔMIOS
Adição Algébrica de Monômios
· Em uma expressão algébrica, podemos simplificar a expressão através dos termos que são semelhantes. Basta adicionar algebricamente os coeficientes e manter a parte literal. Essa operação é conhecida como redução de termos semelhantes
Multiplicação e Divisão de Monômios
· Para multiplicar monômios, deve-se multiplicar os coeficientes e multiplicar as partes literais
· Para dividir monômio, deve-se dividir os coeficientes e dividir as partes literais
Potenciação de Monômios
· Para calcular a potência de um monômio, eleva-se o coeficiente à potência indicada e em seguida eleva-se a parte literal à potência indicada
 
POLINÔMIOS
· Polinômio é um monômio ou a soma de monômios não-semelhantes
· São exemplos de polinômios:
· Se o polinômio não tiver termos semelhantes, ele pode receber alguns nomes especiais:
Grau de um Polinômio
· O grau de um polinômio é a soma dos expoentes da parte literal do seu termo de maior grau depois de reduzidos os seus termos semelhantes
 
 
 
OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS
Multiplicação de Monômio por Polinômio
· Para multiplicar um monômio por um polinômio devemos multiplicar todos os termos do polinômio pelo monômio utilizando a propriedade distributiva da multiplicação
Multiplicação de Polinômios
· Para multiplicar um polinômio por outro polinômio devemos multiplicar cada termo do primeiro polinômio por todos os termos do segundo e, se possível, reduzir os termos semelhantes
Divisão de Polinômio por Monômio
· Para dividir um polinômio por um monômio devemos dividir cada termo do polinômio pelo monômio
Divisão de Polinômios
· Para efetuar uma divisão de polinômios deve-se primeiramente ordenar os graus do polinômios, caso o polinômio esteja incompleto, deverá ser completado. Após isso, divide-se o polinômio de maior grau (do dividendo) por aquele de maior grau (do divisor), depois deve-se multiplicar o quociente pelo divisor (trocando o sinal) para efetuar a subtração de polinômios e dar continuidade a divisão
· O grau do resto é sempre menor que o grau do divisor
PRODUTOS NOTÁVEIS
Quadrado da soma de dois termos
· O quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo
· O quadrado da soma é diferente da soma de quadrados
Quadrado da diferença de dois termos
· O quadrado do primeiro menos duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo
Produto da Somapela Diferença
· O quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo
Cubo da Soma 
Cubo da Diferença
Outros produtos notáveis
FATORAÇÃO
· Transformar em produto 
· Advém da propriedade distributiva da multiplicação
Fatoração por evidência (fator comum)
· Calcular o MDC dos números
· Letras em comum com seus menores expoentes
Fatoração por agrupamentos
Fatoração por Produtos notáveis 
MÓDULO 18 – POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
· Potência: Multiplicação de fatores iguais
POTÊNCIA DE EXPOENTE 0 OU 1
· Toda potência de expoente 1 é igual a base
· Toda potência de base não nula e expoente 0 é igual a 1
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DAS POTÊNCIAS
 ⇒
 
POTÊNCIA COM FRAÇÃO NA BASE
POTÊNCIA COM EXPOENTE INTEIRO NEGATIVO
 ⇒ 
POTÊNCIA DE EXPOENTE RACIONAL
PROPRIEDADES DOS RADICAIS
· Não existe raiz de índice par e radicando negativo no conjunto dos números reais
· Considere números reais não-negativos um número natural maior que 1 e um número inteiro qualquer:
· Multiplicar ou dividir o índice e o expoente do radicando por um mesmo número natural positivo, o valor do radical não se altera
SIMPLIFICAÇÃO DOS RADICAIS
· 1º caso: o índice do radical e todos os expoentes do radicando possuem fator comum
· 2º caso: o índice do radical e algum expoente do radicando são iguais. Nesse caso, podemos extrair um ou mais fatores do radicando que possuam expoentes iguais ao índice do radical e escrevê-los como fatores externos sem o expoente
INTRODUZINDO UM FATOR EXTERNO NO RADICAL
RADICAIS SEMELHANTES
· Expressões que têm como fatores radicais com o mesmo índice e com o mesmo radicando 
ADIÇÃO ALGÉBRICA DE RADICAIS
· Para efetuar adição de radicais, necessita-se que os radicais sejam semelhantes (radicais com o mesmo índice e com o mesmo radicando)
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE RADICAIS
· Se os índices forem diferentes, reduz-se esses radicais a um mesmo índice
POTENCIAÇÃO DE RADICAIS
· Para potenciação com radicais, basta elevar o radicando à potência indicada
RADICIAÇÃO DE RADICAIS
· Para extrair a raiz de um radical, deve-se multiplicar os índices desses radicais e conservar o radicando e simplificando o radical se possível
COMPARAÇÃO DE RADICAIS
· Para comparar radicais (decidir quem é o maior ou o menor) devemos utilizar a seguinte propriedade 
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
· Racionalizar o denominador de uma fração significa eliminar os radicais que aparecem nesse denominador, sem alterar o valor da fração (“tirar” o radical do denominador)
· Para racionalizar, devemos multiplicar o numerador e o denominador da fração por um número chamado fator racionalizante do denominador
1º caso → denominador é um radical de índice 2
Basta multiplicar ambos os termos da fração por essa mesma raiz quadrada e, assim, obter uma fração equivalente com denominador radical
2º caso → Denominador é um radical de índice diferente de 2
Lembre-se que se a é um número não-negativo 
3º caso → Denominador é uma soma ou diferença de dois termos, sendo pelo menos um dos termos um radical
 
RADICAIS DUPLOS
MÓDULO 19 – EQUAÇÃO DE 2º GRAU
· Denomina-se equação do 2º grau toda equação que pode ser escrita na forma onde a, b e c são números reais e 
· Não existe raiz quadrada de número negativo no conjuntos dos números reais
RAIZ QUADRADA E EQUAÇÃO DO 2º GRAU
CASOS PARTICULARES DA EQUAÇÃO QUADRÁTICA
1. 
· Nesse caso, a equação reduz-se a 
· Somente o zero resolve essa equação 
· Zero é raiz dupla
2. 
· Nesse caso, a equação reduz-se a 
· Nem sempre é possível resolver esta equação no conjunto dos números reais
3. 
· Neste caso, a equação reduz-se a 
· Podemos resolver esta equação fatorando a expressão
TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO
· Somente o termo do meio pode ser negativo, o primeiro e o terceiro deverão ser positivos
COMPLETANDO QUADRADOS
· Para que a equação seja um quadrado perfeito, o termo C deverá corresponder . Quando isso não ocorrer, deve-se passar C para o outro lado da igualdade e somar o termo que corresponderia a tanto em um lado quanto do outro da equação
O resultado corresponderá a mais ou menos (a depender do sinal do termo b) elevado ao quadrado igual a menos c somado a metade de b ao quadrado:
SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO QUADRÁTICA
RELAÇÕES DE GIRARD (Soma e Produto)
COMO FABRICAR EQUAÇÕES QUADRÁTICAS
 
FORMA FATORADA DA EQUAÇÃO QUADRÁTICA
MÓDULO 21 – FUNÇÕES
PAR ORDENADO
· Considere o par ordenado . O número é chamado abscissa do par e o número é chamado ordenada do par
· Dois pares ordenados são iguais se e somente se possuírem a mesma abscissa e a mesma ordenada
Exemplo: os pares ordenados e são iguais porque: e 
· Em geral, . Só teremos a igualdade nos casos em que 
DIAGRAMA SAGITAL DE UM PAR ORDENADO
· Um par ordenado pode ser representado graficamente por uma flecha que tem por origem o primeiro elemento e por extremidade o segundo elemento 
· A figura composta pela flecha e por sua origem e extremidade chama-se diagrama sagital do par ordenado 
PLANO CARTESIANO
· Considere duas retas orientadas e (chamaremos estas retas de eixos coordenados). Considere ainda que as duas retas sejam perpendiculares (formam um ângulo de 90º) e se cortam no ponto O
· O é o eixo das abscissas e o eixo das ordenadas
· A origem do plano cartesiano é o ponto O
· O plano cartersiano é dividido em 4 quadrantes (a numeração dos quadrantes é feita no sentido anti-horário)
· Os pontos do eixo são da forma 
· Os pontos do eixo são da forma 
· Toda equação de uma reta irá descrever os pontos que passam por ela
· Bissetriz: semirreta interna a um ângulo, traçada a partir do seu vértice, que o divide em dois ângulos congruentes (ângulos com a mesma medida)
RETAS ESPECIAIS NO PLANO CARTESIANO
Retas horizontais
· Equação de uma reta horizontal: 
Retas verticais
· Equação de uma reta vertical: 
Bissetriz dos quadrantes ímpares
· Equação de uma reta bissetriz dos quadrantes ímpares: 
Bissetriz dos quadrantes pares
· Equação de uma reta bissetriz dos quadrantes pares: 
SIMETRIA NO PLANO CARTESIANO 
 Simétricos em relação ao eixo x
· O eixo é multiplicado por (gira o gráfico em torno do eixo )
 Simétricos em relação ao eixo y
· O eixo é multiplicado por (gira o gráfico em torno do eixo )
Simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares
 Simétricos em relação à origem do plano cartesiano
· O eixo e o são multiplicados por 
PRODUTO CARTESIANO
· Sejam A e B dois conjuntos não-vazios. Chama-se produto cartesiano de A por B, ou apenas produto de A por B, ou ainda A cartesiano B, o conjunto de todos os pares ordenados , tais que o primeiro elemento pertence a A e o segundo pertence a B
· Se um dos fatores do produto cartesiano for o conjunto vazio o resultado da operação será o conjunto vazio. Desta maneira, temos: 
QUADRADO CARTESIANO DE UM CONJUNTO
· No caso particular em que A = B, o produto A x B = B x A = A x A chama-se quadrado cartesiano do conjunto A ou apenas quadrado do conjunto A. Indicamos por , que se lê “A dois”. Simbolicamente, temos 
· Exemplo: O quadrado cartesiano do conjunto A = {1,2} é dado por 
· Observação: o plano cartesiano em sua totalidade é a representação do produto cartesiano 
FORMAS DE REPRESENTAÇÃO
1. TABELA DE DUPLA ENTRADA
2. DIAGRAMA SAGITAL
3. DIAGRAMA CARTESIANO
RELAÇÃO BINÁRIA
· Considere dois conjuntos A e B. Chamamos de relação binária de A em B (ou simplesmente relação de A em B) qualquer subconjunto do produto cartesiano A x B
RELAÇÃO INVERSA
· Seja R uma relação binária de A em B. Por definição, R é um subconjunto de A x B. Definimos a relação inversa de R como
 
· Em outras palavras, a relação inversa de R é a relação de B em A que se obtém permutando as coordenadas dos pares ordenados da relação R
PROPRIEDADE GRÁFICA DA RELAÇÃO INVERSA
· Os pontos e são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares 
· Desta forma, os gráficos de duas relações binárias, uma sendo a inversa da outra, são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares
FUNÇÃO
· Toda funçãoé uma relação binária, mas nem toda relação será uma função
· Uma relação binária somente será uma função se:
I. Todos os elementos de A participam da relação binária (mandam flecha) 
II. Os elementos de A participam da relação apenas uma vez (mandam apenas uma flecha)
· Em toda função, o cojunto de partida coincide com o domínio [Conjunto de Partida = Domínio]
· Conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio, ou seja, todos os elementos do conjunto imagem são elementos do contradomínio, podendo ser definido assim: 
· Função real: neste caso, estaremos considerando que o domínio e o contradomínio são o conjunto dos números reais. Assim, se f é uma função real, então f é uma função de R em R
Domínio e Imagem
Domínio mais amplo de uma função
· Quando um problema pedir o domínio de uma função, deve-se pensar na condição de existência de uma função
· Deve-se atentar para alguns problemas com certas operações como, por exemplo: 
· Não é possível dividir por zero
· Não é possível calcular raiz de índice par e radicando negativo
RECONHECIMENTO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
Imagem de um elemento
· Considere um par ordenado pertencente a uma função . O elemento é chamado valor de do elemento e escreve 
· É importante ressaltar que é a imagem do elemento pela função . Alguns livros professores costumam cometer um abuso de linguagem ao dizer “a função ”, enquanto deveriam dizer “a função ”
Reconhecimento gráfico do domínio e da imagem
Zero de uma função
· Para calcular os zeros de uma função, basta resolver a equação . Sendo que o 
· Graficamente, são os pontos em que estão sob o eixo . Ou seja, são os pontos com 
QUALIDADES DE UMA FUNÇÃO
· São qualidades de uma função de A em B :
· Sobrejetora (ou sobrejetiva)
· Injetora (ou injetiva)
· Bijetora (ou bijetiva)
· Par
· Ímpar
· Periódica
Função Sobrejetora (ou sobrejetiva)
· Dizemos que uma função f de A em B é sobrejetora (ou sobrejetiva) se e somente se o contradomínio é igual ao conjunto imagem
Função Injetora (ou injetiva)
· Dizemos que uma função f de A em B é injetora (ou injetiva) se e somente se elementos distintos do domínio possuem imagens distintas. Em outras palavras, 
· Para definir se é a função é ou não injetiva, dependerá da lei de formação, do domínio e do contradomínio 
· Para reconhecer uma função injetiva na representação cartesiana traçam-se retas horizontais ao longo do contradomínio da função. Se cada uma dessas retas cortar o gráfico em apenas um ponto ou não cortar o gráfico, então a função é injetiva. Se alguma reta cortar o gráfico em mais de um ponto, a função será não-injetiva
Injetividade x Equações
· Equações exponenciais e logaritimas INJETIVAS
· Equações quadráticas, modulares NÃO-INJETIVAS
Função Bijetora (ou bijetiva)
· Uma função ser injetiva não implica em ela ser sobrejetiva. Reciprocamente, uma função ser sobrejetiva não implica em ela ser injetiva. Porém, quando uma dada função f for injetiva e sobrejetiva, ela será chamada de função bijetiva (bijetora)
 
 
Função Par
· É função par se, e somente se, para cada número pertencente ao domínio o seu simétrico também o pertencer e ambos devem possuir a mesma imagem (elementos simétricos mandando flechas para o mesmo lugar). Por consquência, não podem ser injetoras
· Uma função é par se e somente se para todo elemento
 
· O gráfico de uma função par é sempre simétrico em relação ao eixo , pois se o ponto pertence ao gráfico, o ponto também pertencerá ao gráfico
· Para que uma função polinomial seja par, todos os expoentes de devem ser números pares
Função Ímpar
· É função ímpar se, e somente se, para cada número pertencente ao domínio o seu simétrico também o pertencer e ambos devem possuir imagens simétricas (elementos simétricos mandando flecha para lugares simétricos)
· Uma função é ímpar se e somente se para todo elemento
 
· O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem O do plano cartesiano
· Para que uma função polinomial seja ímpar, todos os expoentes de devem ser números ímpares
· 
Funções Periódicas
· Uma função é periódica se existe um número real não-nulo p tal que 
· O número real não-nulo p é o período da função periódica . Funções periódicas aparecem frequentemente no estudo de trigonometria. A função seno, por exemplo, é uma função periódica por 
RESUMO – QUALIDADES DE UMA FUNÇÃO
Composição de Funções
· A composição não é comutativa, pois 
Associatividade da Composição de Funções
· Quaisquer que sejam as funções , tem-se que 
Composta de Sobrejetoras ou Injetoras
· A composta de funções sobrejetoras é também sobrejetora e a composta de funções injetoras é também injetora. Consequentemente, a composta de bijetoras será também bijetora
Função Inversa
· Uma função de A em B diz-se inversível ou invertível se e somente se a relação inversa é uma função de B em A. É importante notar que uma função de A em B é inversível se e somente se é bijetora
· Caso não fosse injetiva, ao inverter o sentido das flechas, haveria algum elemento de B enviando mais de uma flecha. E, caso não fosse sobrejetiva, ao inverter o sentido das flechas, haveria algum elemento de B “sobrando”
· Assim como nas relações inversas, os gráficos de são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares (a reta )
· Observa-se que para obter a inversa, basta trocar y por x e calcular a equação da inversa
Função Inversa da Função Homográfica
· A função homográfica é uma função com lei de formação 
 , onde c é um número não-nulo e 
· A inversa pode ser dada pela seguinta equação:
Teorema
Análise do Crescimento das Funções
Análise do Sinal de uma Função
· Estudar o sinal de uma função significa dizer quando a função é positiva, negativa ou nula
MÓDULO 22 – FUNÇÃO AFIM
FUNÇÃO CONSTANTE
· A função constante de A em B determinada pelo elemento k é a função:
· Se o domínio da função for o conjunto dos números reais, então o gráfico da função constante será uma reta horizontal que passa pelo ponto Por exemplo, observe o gráfico da função definida por
FUNÇÃO AFIM (ou polinomial do 1º grau)
· Uma função 𝑓 é chamada de função afim quando for do tipo:
· Coeficiente 𝑎: Taxa de variação ou taxa de crescimento da função afim. Em outros contextos como Geometria Analítica ou Polinômios: o coeficiente 𝑎 também é chamado de coeficiente angular, coeficiente dominante ou coeficiente líder
· Coeficiente 𝑏: Valor inicial, coeficiente linear ou termo independente
GRÁFICO DA FUNÇÃO AFIM
· O gráfico da função afim é uma reta não-vertical (inclinada)
· A Geometria Plana ensina que dois pontos distintos determinam uma reta. Desta maneira, para construir o gráfico da função afim devemos seguir os seguintes passos:
1. Escolher dois valores arbitrários para 𝑥
2. Calcular os valores correspondentes de 𝑦
3. Marcar os dois pontos no plano cartesiano
4. Traçar a reta que passa pelos dois pontos marcados
· Coeficiente igual a zero: o gráfico irá passar pelo ponto . Ou seja, cortará o eixo no ponto de ordenada 
· Coeficiente (coeficiente linear ou termo indepente): sempre indicar onde o gráfico corta o eixo 
· Igualar a função a zero : o gráfico irá passar pelo ponto . Ou seja, cortará o eixo no ponto 
· O gráfico de uma função linear sempre passa pela origem (pois nesse caso o y sempre será igual a 0)
TAXA DE VARIAÇÃO
· O coeficiente 𝑎 da função definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 é a taxa de variação da função
· Interpretação geométrica do coeficiente 𝑎: 
· Quando são dados dois pontos , a taxa de variação pode ser calculada como o quociente entre a variação de e a variação de . Ou seja:
Função linear e Proporcionalidade
· Duas grandezas serão proprocionais se e somente se a função for linear (ou seja, se o gráfico passar pela origem)
Equação de uma reta que passa por um ponto
 
MÓDULO 23 – FUNÇÃO QUADRÁTICA
MÓDULO 24 – SEQUÊNCIAS E PROGRESSÕES
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)
· Sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual asoma do termo anterior com uma constante r 
· Constante r (razão da PA): Diferença entre dois termos consecutivos 
· Notação especial para pa de termos impares
· Se 3 números estão em progressão aritmética, o termo do meio sempre será a média aritmética dos outros dois termos
PROPRIEDADES DAS PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
· Em qualquer progressão aritmética não constante, an + am = ap + aq se e somente se n + m = p + q
· A soma de termos equidistantes de uma P.A é constante
TERMO GERAL DA PA
SOMA DOS TERMOS DA PA
 
MÉDIA DOS TERMOS
· Média dos termos da PA: Média entre os extremos ou a média entre dois termos equidistantes dos extremos
· Quantidade de termos ímpar: média dos termos coincide com o termo central da PA (termo central = média dos extremos)
· Posição central ou termo central
SOMA DOS TERMOS COM UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG)
· Sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao termo anterior multiplicado por uma constante q 
· Constante q (razão da PG): Quociente entre dois termos consecutivos 
· Se 3 números estão em progressão geométrica, o termo do meio sempre será a média geométrica dos outros dois termos
TERMO GERAL DA PG
SOMA DOS TERMOS DA PG
 
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=Igual a ≠Diferente de
>Maior do que≥Maior do que ou Igual a
<Menor do que≤Menor do que ou Igual a
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−𝒙ቐ
𝑷𝒐𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒓 𝑷𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 (𝒙>𝟎)
𝑷𝒐𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒓 𝑵𝒆𝒖𝒕𝒓𝒐 
ሺ
𝒙=𝟎
ሻ
𝑷𝒐𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒓 𝑵𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 (𝒙<𝟎)
 
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1ª Opção
x, x+1, x+2, x+3, x+4
2ª Opção
x-2, x-1, x, x+1, x+2
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▪1 a 9 = 9 x 1 → 9 Algarismos▪1 a 9 = 9 x 1 → 9 Algarismos
▪10 a 99 = 90 x 2 → 180 Algarismos▪10 a 99 = 90 x 2 → 180 Algarismos
Ainda faltam (A - 189) algarismos▪100 a 999 = 900 x 3 → 2700 Algarismos
▪100 a P → (P -100 + 1) x 3 = A -189Ainda faltam (A - 2889) algarismos
P = A + 108
 3
▪1000 a P → (P -1000 + 1) x 4 = A -2889
P = A + 1107
 4
100 ≤ P ≤ 9991000 ≤ P ≤ 9999
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>
Maior do que
<
Menor do que
≥
Maior do que ou Igual a
≤
Menor do que ou Igual a
≠
Diferente
DESIGUALDADES
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−𝒙 𝒔𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒄𝒐 𝒅𝒆 𝒙