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Projeto estrutural de edificios - José Samuel Giongo

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necessário aplicar a regra citada. 
l l l 
 
 
a) Apoio de vão extremo b) Apoio de vão intermediário 
Figura 5.7 – Vão efetivo [NBR 6118:2003] 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 
 
101
 A figura 5.8 mostra os casos de lajes isoladas, contínuas e em balanço com as 
indicações da NBR 6118:2003 para cálculo de vãos efetivos. 
 
 
 
Figura 5.8 – Vãos efetivos das lajes 
 
 
5.6 ALTURA ÚTIL E ESPESSURA 
 
 A NBR 6118:2003 prescreve as espessuras mínimas de lajes maciças de 
edifícios, em função da utilização, conforme indicado no capítulo 3 deste texto. 
 Claudinei Pinheiro Machado, sugere a seguinte expressão para pré-
dimensionamento da altura útil (d): 
 
 d0 = (2,5 – 0,1 . n) l* 
 
 sendo l* o menor valor entre o vão efetivo lx e 0,7 ly; 
 
 lx é a medida do menor vão efetivo; 
 
 n = número de bordas engastadas; 
 
 os vãos efetivos são medidos em metros; 
 
 d0 em centímetros. 
 
 Ishitani et al. (2001) indica que as espessuras das lajes maciças podem ser pré-
dimensionadas, considerando: 
Capítulo 5 - Lajes maciças 
 
102
 
 h = 2,5% lx 
 
 sendo lx a medida do menor vão efetivo. 
 
 A espessura adotada no projeto deve ser verificada, do ponto de vista dos 
estados limites último e de serviço. 
 A altura útil (d) é a indicada na figura 5.9 onde podem ser vistas as barras das 
armaduras nas duas direções. O cobrimento (c) é medido a partir da barra mais 
próxima da face do elemento estrutural. 
 
 
 
Figura 5.9 - Altura útil e altura total 
 
 Os valores dos cobrimentos a serem adotados em função das condições de 
agressividade do meio ambiente estão indicados na NBR 6118:2003 e no capítulo 3. 
 As espessuras das lajes devem atender os valores mínimos indicados na NBR 
6118:2003 e neste texto mostradas no item 3.2.1.1. 
 
 
5.7 CÁLCULO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES 
 
 Havendo disponibilidade de equipamento computacional e programas para 
análise de placas contínuas, os esforços solicitantes podem ser determinados 
considerando a continuidade entre lajes e, mais precisamente, as ligações com as 
vigas e suas deformabilidades e deslocabilidades. Esses programas são escritos 
considerando os processos dos elementos finitos, dos elementos de contorno e 
analogias de grelhas. 
 A NBR 6118:2003 permite que, quando houver predominância de forças 
permanentes, as lajes vizinhas em um pavimento de lajes maciças podem ser 
consideradas como isoladas, realizando-se compatibilização dos momentos fletores 
atuantes nas bordas, em função das condições de vinculação adotadas. A 
compatibilização de modo aproximado será estudada no item 5.8.4. 
 
5.7.1 REAÇÕES DE APOIO 
 
 Considere-se uma placa retangular simplesmente apoiada no seu perímetro 
(Figura 5.10a). Admita-se que os apoios forneçam vínculos unilaterais, isto é, que os 
apoios somente mobilizem reações dirigidas de baixo para cima. 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 
 
103
 
 
Figura 5.10 - Laje retangular simplesmente apoiada 
 
 Sob a ação de força uniformemente distribuída no sentido de cima para baixo, 
por exemplo, verifica-se que os cantos das placas deslocam-se dos apoios (Figura 
5.10b). 
 Nas lajes de concreto, por causa do monolitismo existente entre lajes e vigas, 
verifica-se que as bordas permanecem retilíneas. Isto significa que os apoios fornecem 
vínculos bilaterais, ou seja, ao longo das bordas mobilizam reações nos dois sentidos. 
 Convencionando-se as reações dirigidas de baixo para cima como positivas, 
junto aos cantos da placa haverá reações negativas. O diagrama das reações de apoio 
ao longo de uma borda de uma placa retangular, sob a ação de uma ação 
uniformemente distribuída, é ilustrado na figura 5.11a. 
 No entanto, aplicando-se a Teoria das Placas Delgadas, com a sua formulação 
usual, em lugar das reações negativas, distribuídas junto aos cantos (Figura 5.11a), 
obtém-se a distribuição aproximada, indicada na Figura 5.11b. 
 
 
 
Figura 5.11 - Distribuição das reações de apoio 
 
 Para o cálculo das vigas de apoio, seria extremamente trabalhoso adotar-se o 
diagrama indicado na Figura 5.11b. Usualmente, partindo-se de uma simplificação, 
admite-se distribuição uniforme, ou seja, consideram-se reações médias, sem as 
reações de canto (Figura 5.11c). Esta simplificação conduz a resultados contra a 
segurança para o apoio em questão. Uma alternativa que se aproxima bastante da 
distribuição correta é ilustrada na Figura 5.11d, sendo levadas em conta as reações de 
canto e, em relação ao procedimento usual, o trabalho de cálculo não e aumentado 
praticamente. 
Capítulo 5 - Lajes maciças 
 
104
 Para a determinação exata da distribuição das reações de apoio da placa, deve-
se levar em conta a flexibilidade das vigas, o que pode ser feito empregando-se o 
processo dos elementos finitos ou dos elementos de contorno, ambos com auxílio de 
programa computacional. 
 O cálculo das reações de apoio das lajes maciças retangulares com ação 
uniformemente distribuída pode ser feito, considerando as indicações da 
NBR6118:2003, cujo texto é exposto a seguir, a partir da determinação aproximada das 
linhas de plastificação da laje obtidas com as condições de vinculação dos lados. 
 As reações em cada apoio são correspondentes às ações atuantes nos 
triângulos trapézios determinados pela formação das charneiras plásticas 
correspondentes à análise feita com os critérios de análise plástica indicados na NBR 
6118:2003. 
 Permite-se, quando a análise plástica não for realizada, as charneiras podem ser 
aproximadas por retas inclinadas, na planta da laje, a partir dos vértices com os 
seguintes ângulos: 
 
45o entre dois apoios de mesmo tipo, isto é quando para o vértice concorrem 
apoios considerados ambos engastados ou ambos apoiados; 
 
60o a partir do apoio engastado quando o outro for considerado simplesmente 
apoiado; 
 
 90o a partir do apoio quando a borda vizinha for livre. 
 
 Este procedimento, sugerido pela NBR 6118:2003, foi inspirado no 
comportamento da laje em regime plástico. Para um refinamento de cálculo, a 
determinação das reações de apoio deve ser feita em regime elástico, uma vez que as 
ações, geralmente, se transferem das lajes para as vigas com a estrutura trabalhando 
elasticamente. 
 
5.7.1.1 Exemplo 1 
 
 Calcular as reações de apoio da laje L1, sabendo que a ação total é 
g+q=6kN/m2. 
 A laje do exemplo tem lados paralelos ao menor vão efetivo engastado e o outro 
com borda livre; os lados paralelos ao maior vão efetivo, um é apoiado e ouro 
engastado. Uma das bordas é considerada livre, isto é sem viga apoiando essa borda 
da laje por uma decisão arquitetônica. 
 
 
 
Figura 5.12 - Exemplo laje tipo 12 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 
 
105
 Determinam-se as áreas A1, A2 e A3: 
 
 
2,60my
1,10mx
1,90mx
 4,5yy
3,0xx
1,73xx
x
y
60tg
y
x
45tg
2
2
1
21
21
2
1
2
1o
1
1o
=
=
=
=+
=+
=
=
=
 
 
 
m/kN7,5v
m/kN0,9v
m/kN2,5v
m85,2A;m75,6A;m91,3A
'
y
'
x
x
2
3
2
2
2
1
=
=
=∴
===
 
 
5.7.1.2 Exemplo 2 
 
 Para a laje da figura, determinar as reações de apoio. 
 Dados: g + q = 6,0 kN/m2. 
 Esta laje do exemplo é considerada engastada em três lados consecutivos e 
uma borda é considerada apoiada. Nota-se que um lado engastado e outro apoiado 
são paralelos ao maior vão efetivo, definindo uma laje tipo 5A, de acordo com o 
adotado por PINHEIRO (1993). 
 
 
 
Figura 5.13 - Exemplo, laje tipo 5A 
 
 Usando o critério da NBR 6118:2003,