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Projeto estrutural de edificios - José Samuel Giongo

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transformada em equação dos coeficientes de 
multiplicação, resultando: 
 
 

 +−υ+υ=υ
2
vv
2
1 xNBR
'
xNBR'
NBRxNBRxTABx 
 
5.7.2.3 Exemplo 3 
 
 Para a laje do exemplo 2 calcular os coeficientes ν para λ = 1,0. 
 
 Solução: 
 
 Usando a tabela 2.3a, laje tipo 5.a. (PINHEIRO, 1993): 
 
 λ=υλ=υ 5,2;3
6
5 '
NBRxNBRx 
 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 
 
111
 Para: λ = 1,0 
 
 νx NBR = 1,44 
 
 ν‘ x NBR = 2,50 
 
 Usando a expressão anterior vem: 
 
 
71,1
2
44,150,250,2
2
144,1
TABx
TABx
=υ


 +−+=υ
 
 
 Esse valor confere com o valor indicado na tabela 2.3c, laje tipo 5.A - λ=1,0. 
 
 
5.8 CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES 
 
5.8.1 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA SUPERFÍCIE ELÁSTICA 
 
 A teoria clássica de placas delgadas, baseada na teoria de Kirchchoff, interpreta 
suficientemente bem o comportamento das lajes que apresentam relação 
espessura/menor vão entre 1/5 e 1/100. As lajes usuais de edifícios possuem essa 
relação entre 1/40 e 1/60, atingindo até 1/80. Uma descrição concisa dos fundamentos 
do método é apresentada neste item. Para uma análise mais detalhada deste assunto, 
existe ampla bibliografia, encontrando em TIMOSHENKO (1970) sua obra clássica. 
 Supõe-se que a placa é constituída de material homogêneo e isótropo e 
comporta-se linearmente (segue a lei de Hooke). A ação p = [g + q](x,y), normal ao 
plano da placa, pode ser distribuída com qualquer lei, sobre toda ou parte da placa. A 
deformada da placa pode ser definida pela função w(x,y), que determina os 
deslocamentos verticais dos pontos (x,y) do plano médio da mesma. Dessa forma, 
admite-se que os pontos do referido plano médio têm apenas deslocamentos verticais, 
pequenos em relação à espessura da placa, e que as retas normais ao plano médio 
permanecem perpendiculares à superfície deformada do mesmo (os deslocamentos 
horizontais são desprezíveis). 
 A convenção adotada supõe tensões normais positivas, quando provocam 
tração na face inferior do elemento, e tensões tangenciais positivas (sempre tomando a 
face inferior como referência), se coincidem com o sentido positivo dos eixos. Os 
esforços são considerados positivos quando os momentos fletores provocam tração 
nas fibras inferiores, os momentos volventes têm seu vetor emergente da face 
considerada e as forças cortantes tendem a girar o elemento no sentido horário, 
olhando o eixo da esquerda para direita. 
 Os esforços solicitantes atuantes num elemento genérico da placa estão 
indicados na figura 5.17. 
 As expressões relativas aos esforços solicitantes estão indicados a seguir. 
Capítulo 5 - Lajes maciças 
 
112
 
 
Figura 5.17 - Esforços solicitantes em um elemento de placa 
 
 ∫= 2/h 2/hx dzv = força cortante por unidade de comprimento da 
 seção da placa perpendicular ao eixo x. 
 
 ∫= 2/h 2/hy dzv = força cortante por unidade de comprimento da 
 seção da placa perpendicular ao eixo y. 
 
 ∫ σ= 2/h 2/h xx zdzm = momento fletor por unidade de comprimento da 
 seção da placa perpendicular ao eixo x (em torno de y). 
 
 ∫ σ= 2/h 2/h yy zdzm = momento fletor por unidade de comprimento da 
 seção da placa perpendicular ao eixo y (em torno de x). 
 
 ∫ τ−= 2/h 2/h xyyxyx zdzmm = momento torçor por unidade de comprimento. 
 
 Fazendo-se o equilíbrio das forças verticais, obtém-se: 
 
 0dxdy
v
vdxvdydxvvdyvdy.dx.p
y
y
yy
x
x
xx =



∂
∂++−



∂
∂++− 
 
 p
vv
y
y
x
x −=



∂
∂+



∂
∂ [5.2] 
 
 Da condição de equilíbrio de momentos fletores em torno do eixo x, resulta 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 
 
113
 
0dydx
m
mdym
dxdy
m
mdxmdxdydy
v
v
2
dydydxvv
2
dydyv
2
dydy.dx.p
x
xy
xyxy
y
y
yy
y
y
y
x
x
xx
=



∂
∂++−
+



∂
∂+−+



∂
∂++
+



∂
∂++−
 
 
 



∂
∂+



∂
∂=
x
xy
y
y
y
mm
v [5.3] 
 
 Analogamente, para o equilíbrio de momentos fletores em torno de y. 
 
 



∂
∂−



∂
∂=
y
xy
x
x
x
mmv [5.4] 
 
 Agrupando-se as três equações acima numa só, encontra-se uma equação que 
relaciona momentos fletores e ação: 
 
 p
y
m
yx
m
2
x
m
2
y
2
xy
2
2
x
2
−=∂
∂+∂∂
∂−∂
∂ [5.5] 
 
 É interessante relacionar os deslocamentos com a ação. Para tal, é necessário 
encontrar as expressões que ligam os momentos fletores com as curvaturas 2
2
2
2
y
w,
x
w
∂
∂
∂
∂
 
e com a torção 
yx
w2
∂∂
∂ . Pode-se iniciar analisando as deformações, a partir de um 
elemento genérico de placa, que sofre uma deformação elástica. Indicam-se por u e v 
as componentes do deslocamento de um ponto genérico, segundo as direções x e y, 
respectivamente. A partir da figura 5.17, sendo u e v as componentes do deslocamento 
do ponto 0 e ∂∂
u
x
dx o acréscimo infinitesimal (de ordem superior), da função u, em 
virtude do incremento dx da variável x, a deformação relativa εx, resulta, 
 
 
x
u
dx
dx
x
u
dx
dx
x ∂
∂=∂
∂
=∆=ε [5.6] 
 
 Analogamente, chega-se a 
 
 
y
v
y ∂
∂=ε [5.7] 
 
Capítulo 5 - Lajes maciças 
 
114
 
 
Figura 5.18 - Componentes do deslocamento segundo x e y 
 
 A variação do ângulo reto, formado pelos segmentos OP e OR, vale 
 
 
x
v
y
u
xy ∂
∂+∂
∂=γ [5.8] 
 
 Nota-se que os deslocamentos de um ponto genérico da placa são funções da 
cota z considerada (figura 6.19) e, em conseqüência da flexão, valem 
 
 
x
uzu ∂
∂−= [5.9] 
 
 
y
wzv ∂
∂−= 
 
 
 
Figura 5. 19 - Descolamento de um ponto genérico da placa 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 
 
115
 Voltando às expressões das deformações, obtém-se 
 
 2
2
x x
uz ∂
∂−=ε 
 
 2
2
y
y
wz ∂
∂−=ε [5.10] 
 
 
yx
uz2
2
xy ∂∂
∂−=γ 
 
 Sabendo-se que o material é isótropo, com módulo de deformação longitudinal E 
e coeficiente de Poisson ν, têm-se as seguintes relações entre tensões e deformações: 
 
 )(
E
1
yxx νσ−σ=ε 
 
 )(
E
1
xyy νσ−σ=ε [5.11] 
 
 
G
xy
xy
τ=γ 
 
 )(
1
E
yx2x υε+ευ−=σ 
 
 )(
1
E
xy2y υε+ευ−=σ [5.12] 
 
 xyxyxy )1(2
E.G γυ+=γ=τ 
 
 Substituindo-se os valores das deformações dadas pelas equações (5.10), 
resultam 
 z
y
w
x
w
1
E
2
2
2
2
2x 



∂
∂ν+∂
∂
υ−=σ 
 
 z
x
w
y
w
1
E
2
2
2
2
2y 



∂
∂ν+∂
∂
υ−=σ 
 
 z
yx
w
1
E 2
xy ∂∂
∂
ν+=τ 
 
 Bastam introduzir os valores das tensões, dados pelas equações (5.12), nas 
expressões que definem os esforços, para relacionar os momentos fletores e volventes 
com as curvaturas da placa. 
 
Capítulo 5 - Lajes maciças 
 
116
 dzz
w
w
x
w
1
Ezdzm 22
2
2
2
2
2/h
2/h
2/h
2/hxx 



∂
∂ν+∂
∂
µ−−=σ∫ ∫ 
 [5.13] 
 



∂
∂ν+∂
∂−= 2
2
2
2
x
y
w
x
wDm 
 
 
 dzz
x
w
y
w
1
Ezdzm 22
2
2
2
2
2/h
2/h
2/h
2/hyy 



∂
∂ν+∂
∂
ν−−=σ∫ ∫ 
 [5.14] 
 

