Métodos Estatísticos II - AD1

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
AD1 – Métodos Estatísticos II – 2/2025 
 
ORIENTAÇÕES PARA PROVA COM CORREÇÃO ONLINE 
 
Seguem algumas orientações gerais para a entrega da AD. 
 
1. As respostas devem ser resolvidas a mão. 
2. As respostas devem ser resolvidas em papel A4 branco. Não use papel pautado, pois as linhas 
aumentam o tamanho da imagem escaneada. 
3. Não escreva no verso, pois prejudica a qualidade do arquivo ao escanear. 
4. Utilize caneta esferográfica com tinta azul ou preta para registro das resoluções. 
5. As respostas devem vir acompanhadas do desenvolvimento completo e justificativa, quando for o 
caso. 
6. Identifique de forma clara o número e o item da questão que está sendo resolvida. 
7. Ao término da prova, escaneie a sua resolução salvando em arquivo PDF. Veja no site da disciplina 
instruções para gerar um arquivo pdf. 
8. Só serão corrigidas as provas salvas em arquivo PDF. Qualquer outro formato não será aceito e o 
aluno ficará com nota ZERO. 
9. Faça upload do arquivo PDF pela plataforma. 
10. Fique atento ao enviar a AD. Certifique-se de receber confirmação do envio. Se a AD for postada 
como rascunho, ela não será enviada para correção. 
11. Observe atentamente os prazos! Não deixe para a última hora! 
12. PRAZO FINAL: 17/08/2025 (domingo) às 23h50m. 
 
 
 
QUESTÃO 1 
Para os itens a seguir considere a função f como aquela cujo gráfico está apresentado na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[1,0] (a) Encontre o valor de K para o qual a função f pode ser considerada uma função de 
densidade de probabilidade. 
O valor de K será aquele que faz com que a área do trapézio seja igual a 1. 
Área do trapézio = área do retângulo + área do triângulo. 
Área do retângulo = . (2 − 1) × 1
2 = 1
2
Área do triângulo = (2 − 1) × (𝐾 − 1
2 ) × 1
2 = 𝐾
2 − 1
4 .
Área do trapézio = . 
1
2 + 𝐾
2 − 1
4 = 𝐾
2 + 1
4
Queremos K tal que ⇒ . 
𝐾
2 + 1
4 = 1 𝐾 = 3
2 = 1, 5
[1,0] (b) Apresente as coordenadas dos dois pontos marcados no gráfico. 
(1.0), (1,½), (2,0), (2,3/2) 
[1,0] (c) Apresente a expressão para a função f. 
Vamos encontrar a equação da reta que passa pelos pontos (1, 1/2) e (2 , 3/2). 
Para isso precisamos resolver o sistema linear definido pelas equações: 
 e . 
1
2 = 𝑎 + 𝑏 3
2 = 2𝑎 + 𝑏
Subtraindo uma equação pela outra temos: . Substituindo a na primeira equação 1 = 𝑎
encontramos o valor de b: A expressão da função f é: 
1
2 = 1 + 𝑏 ⇒ 𝑏 =− 1
2 .
 
 
[0,5] (d) Qual o valor de f(0) e f(1,5)? Apresente as contas. 
 𝑓(0) = 0 𝑒 𝑓(1, 5) = 1, 5 − 0, 5 = 1, 0.
[1,5] (e) Seja X uma variável aleatória tal que sua função densidade de probabilidade é a função f 
apresentada nesta questão. Calcule . 𝑃(𝑋 1, 5)
 𝑃(𝑋 1, 5) = 𝑃(𝑋1,5)
𝑃(𝑋>1,5) = 𝑃(1,5 1,5)
 área do trapézio de base [1,5 , 2,0] = 𝑃(𝑋 > 1, 5) =
 (2 − 1, 5)𝑓(1, 5) + (2 − 1, 5)( 3
2 − 𝑓(1, 5)) 1
2 =
 (0, 5) + (0, 5)( 3
2 − 1) 1
2 = 1
2 + 1
8 = 5
8 = 0. 625.
 
 
 área do trapézio de base [1,5 , 1,7] = 𝑃(1, 5 1, 5) = 0,22
0,625 = 0, 352.
 
QUESTÃO 2 
A máquina que engarrafa os amaciantes em uma fábrica enche as garrafas com o líquido do produto. O 
volume do líquido que a máquina coloca dentro das garrafas varia de acordo com às condições de operação 
da máquina, não é uma medida exata para todas garrafas, e por isso pode ser considerado uma variável 
aleatória. Considere a variável aleatória X definida pelo volume em ml de líquido nas garrafas enchido pela 
máquina. Estudos mostram que a distribuição da variável aleatória X pode ser considerada uniforme no 
intervalo [990, 1010]. Baseado nessa informação faça o que se pede a seguir. 
[1,0] (a) Apresente a equação da função de densidade de probabilidade da variável aleatória X e 
esboce seu gráfico. 
 
 
[1,0] (b) Qual o volume médio de líquido nas garrafas de amaciantes enchidas por essa máquina? 
O volume médio de uma v.a. uniforme é (b+a)/2. Neste exemplo, b=1010 e a=990, logo, o 
volume médio será (1010 + 990)/2 = 1000 ml. Ou seja, 1 litro. 
[1,0] (c) Qual a probabilidade de uma garrafa enchida por essa máquina conter menos de 995ml? 
= área do retângulo de base [990,995] = (995-990)/20 = 1/4=0,25. A 𝑃(𝑋 v ) = 0,8. Qualquer que seja o valor de v, 
990 𝑣) = (1010 − 𝑣)/20
que . (1010 − 𝑣)/20 = 0, 8 ⇒ 1010 − 𝑣 = 16 ⇒ 1010 − 16 = 𝑣 ⇒ 𝑣 = 994
Ou seja, garantimos que 80% das garrafas enchidas por essa máquina contém mais de 994 
ml de líquido de amaciante.