Lista de Exercícios I - Algebra Linear

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Lista I
1. Determine o valor de x sabendo que a matriz
 2 x2
2x− 1 0
 e´ sime´trica.
2. Sendo A =
 1 0
1 1
 , calcule as poteˆncias A2, A3, A4 e An para um inteiro
positivo n qualquer.
3. Seja A =
 1 9
0 16
 . Mostre que a equac¸a˜o matricial X2 = A admite
exatamente 4 soluc¸o˜es e determine-as.
4. Para cada matriz dada a seguir, encontre uma matriz na forma em escada, a`
qual a matriz dada e´ linha-equivalente.
a)

1 2 1 0
−1 0 3 5
1 −2 1 1
 b)

2 −1 3
1 4 2
1 −5 1
4 16 8

5. Mostre que os termos da diagonal principal de uma matriz anti-sime´trica
n× n sa˜o todos na˜o nulos.
6. Mostre que toda matriz triangular inferior e sime´trica e´ diagonal.
7. Seja A uma matriz quadrada n × n. Definimos o trac¸o de A como sendo
a soma dos termos que constituem sua diagonal principal e o denotamos por
tr(A). Mostre que tr(AB) = tr(BA) onde A e B sa˜o matrizes n× n.
8. Mostre que se A e´ anti-sime´trica enta˜o A2 e´ sime´trica.
9. Calcule as inversas das seguintes matrizes invert´ıveis:
a)
 −1 3
0 4
 b)

−1 4 −5
0 8 2
−3 0 1

10. Resolva o sistema linear a seguir calculando a inversa da matriz dos coefi-
cientes (que e´ invert´ıvel) e aplicando a fo´rmula X = A−1B.
2x − y + 5z = 4
7x + z = −1
y + 3z = 0
11. Determine a inversa da matriz A =
 a b
c d
 usando o me´todo de escalo-
namento.
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12. Resolva os seguintes sistemas:
a)

x + 2y − z = 3
2x + 4y − 2z = 4
3x + 6y − 3z = 5
b)

x + 2y − z = 3
2x + 4y − 2z = 5
x + 2y + z = 9
c)

x + 2y − 3z = 1
3x + y + z = 2
8x + y + 6z = 6
d)

3x − 5y + 2z = 4
4x − 3y + z = 3
5x − 7y + 3z = 2
13. Para quais valores de m e n o sistema abaixo possui soluc¸a˜o?

x + y − z = 1
x + 2y − 2z = 3
3x + 3y + mz = n
14. Determine os valores de m e n para os quais o sistema
2x − y + 3z = 1
x + 2y − z = 4
3x + y + mz = n
e´:
a) indeterminado
b) imposs´ıvel.
15. Determine a para que o sistema

x + y + z = 0
x + 2y + az = 0
x + 4y + a2z = 0
so´ admita
a soluc¸a˜o trivial.
16. Seja A =

a11 0 0
0 a22 0
0 0 a33
 . Se aii 6= 0 para todo i, mostre que A e´
invert´ıvel e que A−1 =

a11
−1 0 0
0 a22
−1 0
0 0 a33
−1
 . Generalize para A n× n.