Análise de Funções Quadráticas

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h (m)
t (s)
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.
 45. Em uma partida de futebol, Gabriel fez um lançamento no qual a trajetória da bola 
descreveu uma parábola. Essa trajetória tem a medida de sua altura h (em metros) dada 
em função da medida do tempo t (em segundos) decorrido após o chute.
Agora, relacione os gráficos à lei de formação da função que eles representam. Para 
isso, escreva o algarismo romano e a letra correspondentes.
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I. II. III.
 y = x 2 − 2x + 4 y = − x 2 + 2x + 1 y = − x 2 − 2x + 3 A. B. C.
 47. Considere as funções quadráticas dadas por y = x 2 + 1 e y = − x 2 − 1 .
a ) No GeoGebra, construa em um mesmo plano cartesiano os gráficos dessas funções.
b ) A parábola de qual dessas funções tem concavidade voltada para baixo?
Analise a trajetória da bola e responda às questões.
a ) Qual foi a medida da altura máxima atingida pela bola?
b ) Quantos segundos depois do lançamento a bola tocou o solo novamente?
c ) Sabendo que a trajetória da bola pode ser descrita por h = − 5 t 2 + 20t , determine a 
medida da altura atingida pela bola, após o lançamento, depois de:
 I . 1 s. II . 2,5 s. III . 1,5 s.
d ) Em quantos segundos após o lançamento a bola atingiu a altura máxima?
 46. Considere os gráficos a seguir.
45. Respostas: a) 20 m ; b) 4 s ; c) I. 15 m ; 
II. 18,75 m ; III. 18,75 m ; d) 2 s .
46. Resposta: III-A; I-B; II-C.
47. Respostas: a) Resposta na seção Resoluções; b) Resposta: A parábola de y = − x 2 − 1 tem a 
concavidade voltada para baixo, pois − 1 > 0 .
183
• Na atividade 45, os estudantes 
podem estabelecer relação do con-
teúdo estudado com uma situação 
do cotidiano, reconhecendo e ana-
lisando suas características, bem 
como percebendo as relações da 
Matemática com o mundo físico, o 
que favorece o desenvolvimento da 
Competência geral 1.
• Se achar conveniente, oriente os 
estudantes a resolver a atividade 46 
analisando pontos pertencentes ao 
gráfico e a verificar se suas coorde-
nadas satisfazem a lei de formação 
da função. 
• Se necessário, organize os estu-
dantes em duplas para realizar a 
atividade 47. Caso não haja labo-
ratório de informática na escola, 
disponibilize malhas quadriculadas 
para a construção dos gráficos das 
funções.
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.
B.A. C.
 48. Em cada item está representado o gráfico de uma função quadrática. Qual é o sinal do 
coeficiente a dessas funções?
 49. Considere as funções quadráticas, de variáveis x e y, cujas leis de formação estão apre-
sentadas.
a ) y = (t − 4) x 2 − 5x − 2 
b ) y = (7t + 42) x 2 + 2x − 1 
c ) y = (2t − 1 _ 2 ) x 2 − x + 23 
d ) y = (35 − 5t) x 2 − 2 
e ) y = (− 2t − 8) x 2 + 3x 
f ) y = (9 + 3t) x 2 − 2x − 8 
g ) y = 4 + 2x − (t − 4) x 2 
Para quais valores de t o gráfico de cada uma dessas funções tem concavidade voltada 
para cima? E para baixo?
 50. Construa o gráfico da função quadrática definida por:
a ) y = x 2 + 1 .
b ) y = x 2 − 2x .
c ) y = 2 x 2 + 5x .
d ) y = − x 2 + 3x + 4 .
e ) y = − 2 x 2 + 2x .
f ) − 5 x 2 .
g ) y = 1 _ 2 x 2 − 1 _ 2 .
h ) y = 4 x 2 .
i ) y = − 1 _ 3 x 2 + 4 _ 3 .
j ) y = − 5 x 2 − 10x .
k ) y = − x 2 + 2x .
l ) y = x 2 + 2x − 2 .
 51. Com o GeoGebra, construa o gráfico da função quadrática definida por:
a ) y = − 3 x 2 + 1 .
b ) y = 2 x 2 + 3x + 5 .
c ) y = − x 2 − 4x + 1 .
d ) y = 4 x 2 + 8x .
e ) y = 5 x 2 − 11 .
f ) y = 1 _ 2 x 2 .
g ) y = − 3 x 2 − 7x + 4 .
h ) y = 1 _ 3 x 2 − 3x − 3 .
i ) y = 2 x 2 − 8x + 10 .
j ) y = − 1 _ 8 x 2 + x + 10 .
k ) y = 7 x 2 + 7x .
l ) y = − 4 _ 5 x 2 + 3 _ 16 x − 11 _ 7 .
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48. Respostas: A. a > 0 ; B: a < 0 ; C. a < 0 .
49. Respostas: a) t > 4 , t < 4 ; b) t > − 6 , t < − 6 ; c) t > 1 _ 4 , t < 1 _ 4 ; 
d) t < 7 , t > 7 ; e) t < − 4 , t > − 4 ; f) t > − 3 ; t < − 3 ; g) t < 4 ; t > 4 .
50. Respostas na seção Resoluções.
51. Respostas na seção Resoluções.
184
• Nas atividades 48 e 49, se neces-
sário, relembre os estudantes que, 
se o coeficiente a é positivo (a > 0) , 
a parábola tem concavidade vol-
tada para cima e, se o coeficiente a 
é negativo (a < 0) , a parábola tem 
concavidade voltada para baixo.
• Se necessário, disponibilize ma-
lhas quadriculadas para a realiza-
ção da atividade 50. Além disso, 
analise a conveniência de construir 
na lousa os gráficos de um ou dois 
itens, a fim de que os estudantes 
possam acompanhar os passos e 
sanar as dúvidas. 
• Se necessário, organize os estu-
dantes em duplas para realizar a 
atividade 51. Caso não haja labo-
ratório de informática na escola, 
disponibilize malhas quadriculadas 
para as construções dos gráficos 
das funções. 
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0 x
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y1
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Interseção com o eixo y
O gráfico de uma função quadrática definida por y = a x 2 + bx + c intersecta o eixo y 
quando x = 0 . Nesse caso, para determinar as coordenadas do ponto de interseção com 
esse eixo, basta substituir x por 0 na lei de formação da função, ou seja:
 y = a ⋅ 0 2 + b ⋅ 0 + c = c 
Portanto, o gráfico de uma função quadrática intersecta o eixo y no ponto (0, c) .
Acompanhe alguns exemplos.
 52. Analise os gráficos das funções qua-
dráticas dadas por y 1 = a 1 x 2 + b 1 x + c 1 
e y 2 = a 2 x 2 + b 2 x + c 2 .
Qual dos itens apresenta informações 
verdadeiras?
a ) a 1 ⋅ a 2 > 0 e c 1 ⋅ c 2 < 0 
b ) a 1 ⋅ c 2 > 0 e a 2 ⋅ c 1 > 0 
c ) a 1 ⋅ a 2 > 0 e c 1 ⋅ c 2 > 0 
Atividades Faça as atividades 
no caderno.
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O gráfico da função 
quadrática definida por 
 y = x 2 + 2x + 3 intersecta o 
eixo y no ponto (0, 3) , pois 
c = 3 .
O gráfico da função 
quadrática definida por 
y = 2 x 2 − x − 2 intersecta o 
eixo y no ponto (0, − 2) , pois 
c = − 2 .
O gráfico da função 
quadrática definida por 
y = − x 2 + 2x intersecta o 
eixo y no ponto (0, 0) , pois 
c = 0 .
52. Resposta: Alternativa b.
185
• Verifique a possibilidade de pe-
dir aos estudantes que analisem os 
gráficos apresentados nesta página 
antes de abordá-los no livro, a fim 
de que, em duplas, eles tentem 
identificar algumas regularidades. 
Em seguida, considerando as expli-
cações propostas e desenvolvidas 
por eles, apresente aquelas encon-
tradas no livro.
• Caso os estudantes apresentem 
dificuldades na realização da ativi-
dade 52, peça a eles que analisem 
os gráficos das funções e, por meio 
deles, determinem o sinal dos coe-
ficientes a 1 e a 2 . Solicite que verifi-
quem também o ponto (0, c) , que 
intersecta o eixo y , para analisar o 
sinal de c 1 e c 2 .
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0
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−3 3
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.
 53. Considere as funções quadráticas definidas pelas leis de formação a seguir.
I. III.
II. IV.
 54. Qual é o ponto de interseção entre o eixo y e o gráfico da função quadrática definida 
por:
a ) y = 5 _ 2 x 2 + 8x − 3 ?
b ) y = − 5 x 2 − 2x + 4 ?
c ) y = 36 x 2 + 12x + 1 ?
d ) y = x 
2 _ 4 − 8x + 64 ?
e ) y = x 
2 _ 9 − 1 _ 4 ?
f ) y = x 
2 _ 6 − 3 _ 10 x ?
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a ) Quais dessas funções têm o gráfico com a concavidade voltada para cima?
b ) Quais são as coordenadas do ponto em que o gráfico de cada uma dessas funções 
intersecta o eixo y?
c ) Relacione no caderno cada função a um dos gráficos a seguir.
 y = x 2 − 3x + 3 y = − x 2 + x − 2 
 y = x 2 + 2x + 4 y = − 2 x 2 + 3x + 1 B.
A. C.
D.
54. Respostas: a) (0, − 3) ; b) (0, 4) ; c) (0, 1) ; d) (0, 64) ; e) (0, − 1 _ 4 ) ; f) (0, 0) .
53. Respostas: a) A e B; b) A. (0, 3) ; B. (0, 4) ; C. (0, − 2) ; D. (0, 1) ; c) A-II; B-IV; C-I; D-III.
186
• Nas atividades 53 e 54, se neces-
sário, reforce aos estudantes que 
o gráfico de uma função quadrá-
tica definida por y = a x 2 + bx + c 
intersecta o eixo y quando x = 0 . 
Portanto, o gráfico de uma função 
quadrática intersecta o eixo y no 
ponto (0, c) .
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.
Interseção com o eixo x e zeros da função quadrática
O gráfico de uma função quadrática, na forma y = a x 2 + bx + c , intersecta o eixo x nos 
pontos em que y = 0 , ou seja, quando:
 a x 2 + bx + c = 0 
A equação a x 2 + bx + c = 0 é uma equação do 2º grau com incógnita x e coeficientes 
reais a, b e c, tal que a ≠ 0 . As raízes reais dessa equação são:
 x 1 = − b + √ 
_
 Δ _ 2a x 2 = − b − √ 
_
 Δ _ 2a 
com Δ = b 2 − 4ac .
Desse modo, o gráfico da função quadrática definida por y = a x 2 + bx + c intersecta o 
eixo x nos pontos ( − b + √ 
_
 b 2 − 4ac ______________ 2a , 0) e ( − b − √ 
_
 b 2 − 4ac ______________ 2a , 0) .
Os zeros de uma função quadrática são as abscissas dos pontos de 
interseção de seu gráfico com o eixo x.
Considere, por exemplo, a função quadrática definida por y = x 2 + x − 2 . Determinare-
mos as coordenadas dos pontos em que o gráfico dessa função intersecta o eixo x. Para 
isso, resolvemos a equação x 2 + x − 2 = 0 .
 Δ = b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c 
 Δ = 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 2) 
 Δ = 1 + 8 
 Δ = 9 
Note que a = 1 , 
b = 1 e c = − 2 .
Atenção!
Portanto, o gráfico dessa função intersecta o eixo x nos pontos (− 2, 0) e (1, 0) . Então, − 2 
e 1 são os zeros dessa função.
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 x = − b ± √ 
_
 Δ _ 2a = 
− (+ 1) ± √ 
_
 9 
 ___________ 2 ⋅ 1 = − 1 ± 3 _ 2 
 x 1 = − 1 + 3 _ 2 = 2 _ 2 = 1 x 2 = − 1 − 3 _ 2 = − 4 _ 2 = − 2 
187
• Verifique a possibilidade de ques-
tionar os estudantes em relação ao 
gráfico apresentado nesta página 
antes de abordá-lo no livro e depois 
das explicações dadas em relação 
aos zeros de uma função quadrá-
tica, a fim de que, em duplas, eles 
tentem determinar as coordenadas 
dos pontos em que o gráfico des-
sa função intersecta o eixo x . Para 
isso, se faz necessário resolver a 
equação. Em seguida, considerando 
as explicações propostas e desen-
volvidas por eles, apresente aquelas 
encontradas no livro.
 a > 0 
 a < 0 
0
c
x1 x2 x
y
0
c
x2x1 x
y
0
c
x1 = x2 x
y
0
c
x
y
x1 = x2
0
c
x
y
0
c
x
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1−2−3
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x
y
 Δ > 0 
 Δ > 0 
 Δ = 0 
 Δ = 0 
 Δ < 0 
 Δ < 0 
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.
Na unidade 5 deste livro, você viu que uma equação do 2º grau pode ter duas raízes 
reais diferentes, ter duas raízes reais iguais ou não ter raízes reais, dependendo do valor de 
seu discriminante. Assim, como os zeros de uma função quadrática são as raízes de uma 
equação do 2º grau, essa função também pode ter dois zeros reais diferentes, ter dois zeros 
reais iguais ou não ter zeros reais.
 • Se Δ é um número positivo, ou seja, Δ > 0 , a parábola intersecta o eixo x em dois pon-
tos distintos e a função tem dois zeros reais diferentes.
 • Se Δ é igual a zero, ou seja, Δ = 0 , a parábola intersecta o eixo x em um único ponto 
e a função tem dois zeros reais iguais.
 • Se Δ é um número negativo, ou seja, Δ < 0 , a parábola não intersecta o eixo x e a 
função não tem zeros reais.
De acordo com essas características, podemos organizar o seguinte quadro.
Acompanhe mais dois exemplos de funções quadráticas: a pri-
meira não tem zeros reais e a segunda tem dois zeros reais iguais.
Exemplo 1. Função quadrática definida por y = − x 2 − x − 1 . 
Nesse caso, temos:
 Δ = (− 1) 2 − 4 ⋅ (− 1) ⋅ (− 1) 
 Δ = 1 − 4 
 Δ = − 3 
Portanto, a parábola não intersecta o eixo x.
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• Antes de apresentar o exemplo 1 
desta página, verifique o conheci-
mento dos estudantes relaciona-
do aos zeros de uma função qua-
drática que são as raízes de uma 
equação do 2o grau, de modo que 
estabeleçam relação com a fórmula 
resolutiva, estudada na unidade 5. 
Além disso, analise se eles verificam, 
nesse exemplo, que a parábola não 
intersecta o eixo x e que, portanto, 
não tem zeros reais.
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Exemplo 2. Função quadrática definida por 
y = − x 2 + 4x − 4 . Nesse caso, temos:
O gráfico da função quadrática intersecta o eixo y no ponto (0, 3) e 
o eixo x nos pontos (1, 0) e (3, 0) .
Analisando essas informações, concluímos que:
 • c = 3 , pois a interseção entre o gráfico e o eixo y ocorre em (0, 3) ;
 • x = 1 e x = 3 são os zeros da função, pois a interseção entre o gráfico e o eixo x ocorre 
em (1, 0) e (3, 0) .
 Substituindo x por 1 e c por 3 na equação a x 2 + bx + c = 0 , obtemos:
 a x 2 + bx + c = 0 
 a ⋅ 1 2 + b ⋅ 1 + 3 = 0 
 a + b + 3 = 0 
 Agora, substituindo x por 3 e c por 3 na mesma equação, obtemos:
 a x 2 + bx + c = 0 
 a ⋅ 3 2 + b ⋅ 3 + 3 = 0 
 9a + 3b + 3 = 0 
Com as equações obtidas em I e II, escrevemos e resolvemos o seguinte sistema de equa-
ções, obtendo, assim, os valores de a e b.
I.
II.
Substituindo a por 1 em a + b + 3 = 0 , obtemos o valor de b.
 a + b + 3 = 0 ⇒ 1 + b + 3 = 0 ⇒ b = − 4 
Logo, a = 1 , b = − 4 e c = 3 . Portanto, a lei de formação dessa função é y = x 2 − 4x + 3 .
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 { a + b + 3 = 0 ⋅ (− 3) 
9a + 3b + 3 = 0
 ⇒ { − 3a − 3b − 9 = 0 
 9a + 3b + 3 = 0
 
‾
 
 6a − 6 = 0 ⇒ 6a = 6 ⇒ a = 1 
Portanto, a parábola intersecta o eixo x em um único ponto.
Conhecendo algumas informações do gráfico de uma função quadrática, podemos deter-
minar sua lei de formação. Analise, por exemplo, as informações a seguir.
 Δ = 4 2 − 4 ⋅ (− 1) ⋅ (− 4) 
Δ = 16 − 16
Δ = 0 
189
• Analise se os estudantes verifi-
cam no exemplo 2 que a parábola 
intersecta o eixo x em apenas um 
ponto e que, portanto, tem dois 
zeros reais e iguais a 2.
• Se achar conveniente, peça a eles 
que construam, usando uma malha 
quadriculada, o gráfico da função 
quadrática que intersecta o eixo y 
no ponto (0, 3) e o eixo x nos pon-
tos (1, 0) e (3, 0) , para que possamacompanhar de modo significativo 
as explicações dadas a fim de deter-
minar a lei de formação da função.
0
−1
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2
1
1−3−4−5−6−7
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−5
−6
−7
−8
−9
−10
x
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−2
−1−2
2
2
1
1−3−4 3
3
−3
−4
−5
−6
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.
 55. Determine, se existirem, os zeros da 
função quadrática definida por:
a ) y = x 2 − 6x + 9 .
b ) y = − 4 x 2 + 2x + 2 .
c ) y = − 6 x 2 + 2x + 4 .
d ) y = − x 2 + x + 2 .
e ) y = − x 2 + 2x − 2 .
f ) y = x 2 + x − 2 .
g ) y = − 2 x 2 − 2x + 4 .
h ) y = 1 _ 2 x 2 − 1 _ 2 x − 1 .
i ) y = x 2 − 7 _ 2 x + 3 _ 2 . 
j ) y = x 2 − 3x − 10 . 
k ) y = x 2 + 2x − 3 . 
 56. Considere o gráfico da função quadrá-
tica apresentado a seguir.
Atividades Faça as atividades 
no caderno.
a ) O coeficiente a dessa função é maior 
ou menor do que 0?
b ) Qual é o coeficiente c dessa função?
c ) Quais são os zeros dessa função?
d ) Quais são as coordenadas dos pon-
tos em que a parábola intersecta o 
eixo x?
e ) Quais são as coordenadas dos pon-
tos em que a parábola intersecta o 
eixo y?
 57. Escreva no caderno se cada função 
cujas leis de formação são apresenta-
das a seguir tem dois zeros reais distin-
tos, dois zeros reais iguais ou não tem 
zeros reais.
a ) y = − x 2 − 5x + 24 
b ) y = − x 2 + 6x − 9 
c ) y = − x 2 − 4x − 5 
d ) y = 2 x 2 + 4x + 2 
e ) y = x 2 − 6x + 8 
f ) y = x 2 + 4x + 6 
 58. Analise o gráfico da função quadrática 
apresentado em cada um dos itens. Em 
seguida, escreva no caderno a lei de 
formação dessas funções.
B.
A.
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55. Respostas: 
a) Duas raízes 
iguais a 3; 
b) − 1 _ 2 e 1; c) − 2 _ 3 e 
1; d) − 1 e 2; 
e) Não tem raízes 
reais; f) 1 e − 2 ; 
g) 1 e − 2 ; h) − 1 e 
2; i) 1 _ 2 e 3; j) − 2 e 
5; k) 1 e − 3 .
56. Respostas: a) Maior do que 0; b) 5; c) 1 e 5; 
57. Resposta: a) Dois zeros reais distintos; b) Dois zeros 
reais iguais; c) Não tem zeros reais; d) Dois zeros reais 
iguais; e) Dois zeros reais distintos; f) Não tem zeros reais.
58. Respostas: A. y = x 2 + x − 6 ; 
B. y = − x 2 − 7x − 10 .
d) (1, 0) e 
(5, 0) ; 
e) (0, 5) .
190
• Proponha a realização das ativi-
dades 55, 56, 57 e 58 em duplas, 
a fim de que possam conversar e 
compartilhar as estratégias utiliza-
das. Além disso, promove-se a in-
teração entre os pares, a empatia, 
o diálogo, a resolução de conflitos, 
favorecendo, assim, o desenvolvi-
mento da Competência geral 9.
• Avalie a conveniência de distri-
buir malhas quadriculadas aos estu-
dantes e de solicitar que construam 
os gráficos cujas leis de formação 
são dadas pelos itens das atividades 
55 e 57.
0
A A’
x
y
xv − 1 xv xv + 1
V
y1
eixo de simetria
0−1
2
2
1
1
3
3−2−3
4
5
6
7
8
9
x
y
A
B
A’
B’
vértice da parábola
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Coordenadas do vértice da parábola
Como estudamos anteriormente, a parábola tem um eixo de simetria e seu vértice V ( x V , y V ) 
é o ponto em que esse eixo intersecta a parábola.
Como o vértice da parábola pertence ao eixo de simetria, sua abscissa pode ser calcula-
da pela média aritmética das abscissas de quaisquer dois pontos simétricos da parábola em 
relação ao eixo de simetria. No caso de A e A’, temos:
 − 1 + 1 _ 2 = 0 
Para obter a ordenada do vértice da parábola, substituímos x por 0 na lei de formação 
da função. Assim:
 y V = 0 2 = 0 
Portanto, o vértice da parábola é V (0, 0) .
Note que os pontos A e A’ são simétricos 
em relação ao eixo de simetria da parábola.
Atenção!
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Considerando uma função quadrática definida 
por y = a x 2 + bx + c , podemos determinar alge-
bricamente a abscissa x V do vértice da parábola 
com base em seus coeficientes. Para isso, consi-
deraremos os pontos A ( x V − 1, y 1 ) e A’ ( x V + 1, y 1 ) 
pertencentes à parábola.
No gráfico da função definida por y = x 2 , es-
tão destacados alguns pontos. Note que A (− 1, 1) 
e A’ (1, 1) são pontos do gráfico da função que 
têm ordenadas iguais. Quando isso ocorre, di-
zemos que os pontos são simétricos em relação 
ao eixo de simetria da parábola.
Os pontos B e B’ são simétricos em 
relação ao eixo de simetria da parábola? Justifi-
que sua resposta.
Questão 10.
Questão 10. Resposta: Sim, pois pertencem 
ao gráfico da função quadrática e têm 
ordenadas iguais.
191
• Como a questão 10 é oral, verifi-
que se todos chegaram à conclusão 
de que os pontos B e B’ são simé-
tricos por terem ordenadas iguais.
192
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O vértice da parábola que representa a função quadrática definida por 
y = a x 2 + bx + c é:
 V (− b _ 2a , − Δ _ 4a ) , em que Δ = b 2 − 4ac .
Substituindo x por x V − 1 e por x V + 1 na lei de formação da função, temos:
 y 1 = a ( x V − 1) 2 + b ( x V − 1) + c 
 y 1 = a ( x V + 1) 2 + b ( x V + 1) + c 
Assim:
 a ( x V − 1) 2 + b ( x V − 1) + c 
 
 

 
 y 1 
 = a ( x V + 1) 2 + b ( x V + 1) + c 
 
 

 
 y 1 
 
Desenvolvendo a equação, obtemos:
 a ( x V 2 − 2 x V + 1) + b ( x V − 1) + c = a ( x V 2 + 2 x V + 1) + b ( x V + 1) + c 
 a x V 
2 − 2a x V + a + b x V − b + c = a x V 
2 + 2a x V + a + b x V + b + c 
 − 2a x V − b = 2a x V + b 
 − 4a x V = 2b 
 x V = − b _ 2a 
Para obter a ordenada y V do vértice, substituímos x por − b _ 2a na lei de formação da fun-
ção. Assim:
 y V = a (− b _ 2a ) 
2
 + b (− b _ 2a ) + c 
 y V = a ⋅ b 2 _ 4 a 2 − b ⋅ b _ 2a + c 
 y V = b 2 _ 4a − b 2 _ 2a + c 
 y V = b 2 − 2 b 2 + 4ac ____________ 4a = − b 2 + 4ac _ 4a = − b 2 − 4ac _ 4a 
 y V = − Δ _ 4a 
Agora, determinaremos o vértice da parábola correspondente à função quadrática defini-
da por y = 3 x 2 − 6x + 7 . Para isso, fazemos:
 x V = − b _ 2a = − 
 (− 6) 
 _ 2 ⋅ 3 = 6 _ 6 = 1 
 y V = − Δ _ 4a = − 
 (− 6) 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 7
 _____________ 4 ⋅ 3 = − 36 − 84 _ 12 = 4 
Portanto, o vértice dessa parábola é V (1, 4) .
Note que a = 3 , 
b = − 6 e c = 7 .
Atenção!
192
• Antes de apresentar a função 
quadrática da página 191, definida 
por y = a x 2 + bx + c , peça aos estu-
dantes que analisem a abscissa x v do 
vértice da parábola com base em 
seus coeficientes. Permita que eles 
conversem entre si, tendo a opor-
tunidade de tornar o estudo mais 
significativo. Depois, apresente as 
explicações que se encontram nes-
ta página.
• Ao trabalhar com os estudantes 
como obter a ordenada y v do vértice, 
analise se eles compreenderam que 
 − b 2 − 4ac _ 4a = − Δ _ 4a , pois: Δ = b 2 − 4ac .
• Caso considere relevante, complemente o es-
tudo sobre funções com informações disponíveis 
no livro a seguir, que discorre sobre a história da 
Matemática desde a Antiguidade até os tempos 
modernos, com recursos pedagógicos, exercícios 
e um panorama cultural. 
 > EVES, Howard. Introdução à história da matemá-
tica. Tradução: Hygino H. Domingues. Campinas: 
Editora da Unicamp, 2004.
Algo a mais