GEX101_mat_aula_11- trigonometrica

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GEX101 – MATEMÁTICA FUNDAMENTAL 
Turmas 02A, 07A, 09A, 10A 
Aulas 21 e 22 
 01, 05 e 06 de abril de 2013 
 
Professora Isabel Amorim 
Capítulo 6 e 7 do livro: 
Connallly, Hughes-Hallett, Gleason, et al.; Funções para modelar variações: uma preparação 
para o cálculo. 3ª Edição, Editora LTC, Rio de Janeiro, 2009. 
 
Apêndice A: Capítulo 1 do livro: 
Anton, H.; Cálculo, um novo horizonte, volume 1, 6ª Edição, Editora Bookman, Porto Alegre, 
2000. 
 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
1 Introdução: 
A trigonometria (que significa medida de triângulo) utiliza-se das propriedades dos triângulos para 
obter medidas do mundo à nossa volta. No sec. IV a.C., o matemático Eudoxus usou trigonometria 
para calcular o raio da Terra. Nos dias de hoje, a trigonometria é muito utilizada por cientistas, 
engenheiros, agrimensores, empreiteiros, etc. 
 
1.1 Ângulos: 
Os ângulos em um plano podem ser gerados pela rotação de um raio (semi-reta) em torno de sua 
extremidade. 
 
Lado inicial do ângulo: posição inicial do raio r. 
Lado final do ângulo: posição final do raio. 
Vértice do ângulo: o ponto onde os lados inicial e final do ângulo se cruzam. 
 
Um ângulo é considerado positivo se gerado no sentido anti-horário e negativo se gerado no 
sentido horário. 
 
Existem dois sistema padrão de medida para descrever o tamanho de um ângulo: 
medida em graus e medida em radianos. 
 
 Medida em graus 
Na medida em graus, 1 grau (escreve-se 1º) é a medida de um ângulo gerado por 1/360 de uma 
revolução, ou seja, pela divisão de uma circunferência em 360 partes congruentes (iguais). 
Assim há: 
360º em um ângulo de uma revolução; 
180º em um ângulo de meia revolução; 
90º em um ângulo de ¼ de revolução (ângulo reto), e assim por diante. 
 
Os graus são divididos em 60 partes iguais, denominadas minutos (1’ = um minuto). 
Os minutos, por sua vez, são divididos em 60 partes iguais, denominadas segundos (1” = um 
segundo). 
Assim, temos que 
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um minuto é 1/60 de um grau. 1’= 1º/60 
um segundo é igual 1/60 de um minuto 1”= 1’/60 
As subdivisões menores de um grau são expressas como frações de segundos. 
 
 Medida em radianos: 
 
Na medida em radianos, os ângulos são medidos pelo comprimento do arco que eles subentendem 
sobre um círculo de raio 1 e vértice no centro do círculo. 
Uma unidade de arco sobre o círculo de raio 1 é denominada radiano (escreve-se rad). 
 
A circunferência inteira de um círculo de raio 1 tem 2π radianos. 
Assim: 
um ângulo 360º subentende um arco de 2π radianos; 
um ângulo 180º subentende um arco de π radianos; 
um ângulo 00º subentende um arco de π/2 radianos; (ângulo reto), e assim por diante. 
A tabela 1 mostra a relação entre as medidas em graus e em radianos para alguns ângulos positivos. 
 
Tabela 1: medidas em graus e em radianos para alguns ângulos positivos 
Graus 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 270º 360º 
Radianos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
π 
 
 
2π 
 
Como converter graus em radianos e vice-versa: 
 
A partir do fato de que π radianos correspondem a 180º, obtemos as fórmulas a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1:a) Expresse 146º em radianos. b) Expresse 3 radianos em graus. 
 
Solução (a): 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução (b): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2 A circunferência trigonométrica 
A circunferência trigonométrica é uma circunferência orientada cujo raio mede 1 unidade de 
comprimento, e o sentido positivo é o anti-horário. 
Os eixos x e y dividem a circunferência em quatros partes congruentes (iguais) chamadas 
quadrantes, numeradas de 1 a 4 contadas a partir do zero no sentido positivo. 
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Partindo da origem e deslocando, no sentido positivo, sobre a circunferência até um ponto A 
obtemos um ângulo . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 Funções trigonométricas para triângulos retângulos: 
 
Um ângulo θ determina um ponto P sobre uma circunferência unitária, cujo centro está na origem. 
O ângulo θ também determina o triângulo retângulo com hipotenusa 1. 
Como a distância do ponto P, com coordenadas até a origem é 1, temos que : 
 
 
 
Tal que elevando ao quadrado ambos os lados, obtemos a equação da circunferência: 
 
 
 
Assim, podemos utilizar o ângulo θ para localizar pontos sobre a circunferência unitária. 
Por exemplo, 
o ângulo θ = 90º especifica o ponto P=(0,1) sobre a circunferência unitária. 
o ângulo θ = 180º especifica o ponto P=(-1,0) sobre a circunferência unitária. 
 
Definição de seno e cosseno de um ângulo: 
O cosseno de um ângulo θ, ( ) é a coordenada x do ponto P especificado pelo ângulo θ sobre a 
circunferência unitária. 
O seno de um ângulo θ, ( ) é a coordenada y do ponto P especificado pelo ângulo θ sobre a 
circunferência unitária. 
 
Suponha que P=(x, y) seja o ponto, sobre a circunferência unitária, especificado pelo ângulo 
Então definimos as funções O cosseno de θ, ( ) e seno θ, ( ) pelas fórmulas: 
 
 e . 
 
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O seno, cosseno, a tangente, a cotangente, a secante e a cossecante de um ângulo agudo positivo θ 
podem ser definidos como razões entre os lados de um triângulo retângulo. 
O triângulo retângulo é um polígono de três lados que possui um ângulo reto (90 ou rad). Por 
definição, o lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa, e os outros dois lados de catetos. 
 
Seja θ um ângulo agudo de um triângulo retângulo. O lado do triângulo diretamente em frente ao 
ângulo θ é denominado cateto oposto, e o outro lado, que constitui um lado do ângulo θ, é 
denominado cateto adjacente. Usando esta terminologia, temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dizemos que sen, cos, tg cossec, sec, cotg são funções trigonométricas. 
No caso especial em que as circunferência tem raio 1 ( ), temos que e . 
Observe que o lado final do ângulo intersecta o círculo unitário no ponto P =( . 
Então podemos expressar as funções trigonométricas de por: 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.1 Valores das funções trigonométricas: 
Em princípio, podemos determinar os valores das funções trigonométricas para qualquer ângulo θ. 
Entretanto não existem fórmulas algébricas para calcular esses valores. Na prática, utilizamos 
calculadoras, computadores ou contamos com tabelas trigonométricas que nos fornecem valores 
para os principais ângulos 
 
Procedimento para cálculo de funções trigonométricas de ângulos θ comuns: 
 Construa o ângulo θ na posição padrão de um sistema de coordenadas 
 Encontre as coordenadas da intersecção do lado final do ângulo com o círculo unitário; as 
coordenadas são respectivamente, os valores de θ e θ. 
 Use as fórmulas definidas anteriormente para encontrar os valores das funções 
trigonométricas a partir dos valores de e : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: (pg A5) 
Calcule as funções trigonométricas para o ângulo θ=150º. 
Solução: 
 Construa um círculo unitário e coloque ângulo θ = 150º na posição padrão de um sistema de 
coordenadas 
 Observe que o ângulo AOP mede 30º e o triângulo OAP tem ângulos 30º, 60º e 90º. 
Da geometria, sabe-se que o lado menor deste triângulo tem comprimento ½ (metade da 
hipotenusa) e lado maior, pelo Teorema de Pitágoras, tem comprimento. 
 
 Assim, as coordenadas de P são: 
 
 
 
 
 
 que são respectivamente, os valores de θ e 
 θ. 
 Usando as fórmulas definidas anteriormente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: 
Calcule as funções trigonométricas de . 
Solução: Como , esse problema é equivalente ao do exemplo 2. Assim temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ângulos especiais: 
Por exemplo, sabemos da Geometria: 
 que dois lados de um triângulo retângulo de ângulos 45º, 45º e 90º são iguais; 
 que a hipotenusa de um triângulo de ângulos 30º, 60º e 90º é duas vezes o lado menor , que 
o lado oposto ao ângulo de 30º. 
A partir destes fatos e do teorema de Pitágoras, obtemos a seguinte tabela: 
 
Tabela 2: valores de , , , , e para os ângulos 30º, 45º e 60º. 
 / 
 
 
 
 
 
 
Relação entre: comprimento de arco, ângulo, raio e área: 
 Teorema: 
Se dois círculos são concêntricos, 
a razão entre os comprimentos de arco subentendidos por um ângulo central 
é igual à razão dos raios correspondentes. 
 
Seja s o comprimento de arco subentendido sobre um círculo de raio r por um ângulo centrado de θ 
radianos, então, comparando com o comprimento de arco subentendido pelo mesmo ângulo sobre 
um círculo de raio 1, obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, obtemos as seguintes relações entre o ângulo central θ, o raio r e o comprimento do arco 
subentendido s, quando θ estiver em radianos: 
 e 
 
Teorema: 
A razão entre a área A de um setor e área total do círculo 
é a mesma razão entre o ângulo central do setor e o ângulo do círculo inteiro. 
 
Assim, se os dois ângulos estiverem em radianos, temos: 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo para A, obtemos a seguinte fórmula para a área de um setor em termos do raio r e do 
ângulo θ em radianos: