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nula (µ=0) e portanto a tensão τ=0. (b) Num perfil uniforme de velocidade du/dy=0 e, portanto a magnitude da tensão de cisalhamento é nula em toda a seção (τ=0). (c) Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada o perfil de velocidade será do tipo u=k1 + k2y . Desta forma o termo du/dy=k2 = constante, portanto, a tensão de cisalhamento será igual em todos os pontos da seção (τ=cte). (d) Se o perfil de cisalhamento for parabólico, por exemplo, do tipo: u=k1 + k2y2 , desta forma o termo du/dy=k2 y , Desta forma a tensão de cisalhamento vai aumentando linearmente. Para y=0 (centro do canal) τ=0. Para y=ymax (paredes) τ=τmax. Desta forma a tensão de cisalhamento será zero no centro e máxima nas paredes. (τ=ky) Mecânica dos Fluidos PUCRS C-16 Solução – Problema 2 Considerando um perfil parabólico de velocidade V(y)= a + by2 determinar (a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de cisalhamento em y=0 e em y= -100mm. Considere um fluido com viscosidade dinâmica igual a 8.0x10-3 kg/ms. Para y=0; V=Vmax=2,5m/s como 2byaV += achamos que a=2,5m/s Para y=-100 mm V=0 com 2byaV += achamos ( ) 2 22 2505,2 250 1,0 5,20 yV y aV b −= −= − = − = O gradiente de velocidade é dada por: y dy du 500−= Tensão de cisalhamento em y=0 : 0x500x08,0x10 3- === dy du µτ Tensão de cisalhamento em y=-0,1m 2 3- 4,00)x500x(-0,18,0x10 m N dy du −=== µτ Solução – Problema 3 Duas superfícies grandes planas estão separadas por um espaço de 25mm. Entre elas encontra-se óleo de massa específica de 850 kg/m3 e viscosidade cinemática igual a 7,615x10-5m2/s. Determinar a força necessária para puxar uma placa muito fina de 0,4m2 de área a uma velocidade de 0,15m/s que se move eqüidistante entre ambas as superfícies. Considere um perfil linear de velocidade (dv/dy=u/y). 21 FFF += 2 2 5 3 N.s/m06473,010615,7850 === − s m x m kg ρνµ 1 1 y u A dy du AAF µµτ ≡== 2 2 y u AF µ≡ como y1=y2 temos que F1=F2. N m s m x m sN xmx y u AF 62,0 0125,0 15,0 . 06473,04,022 2 2 == = µ Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-17 Solução – Problema 4 [4] Uma placa infinita move-se sobre uma Segunda placa, havendo entre elas uma camada de líquido, como mostrado na figura. Para uma pequena largura da camada d, supomos uma distribuição linear de velocidade no líquido. A viscosidade do líquido é de 0,65 centipoise A densidade relativa é igual a 0,88 Determinar: (a) A viscosidade absoluta em Pa s e em (kg/ms) (b) A viscosidade cinemática do líquido (c) A tensão de cisalhamento na placa superior (Pa) (d) A tensão de cisalhamento na placa inferior em (Pa) (e) Indique o sentido de cada tensão de cisalhamento calculado em c e d. Hipóteses: • Distribuição linear da velocidade • Escoamento em regime permanente • Viscosidade constante (a) 1 cP = Pa s /1000 s 105,6 1000 )65,0( 4 Pax cP sPa cP −==µ 1 cP = Pa s /1000 )/(105,6 1000 )/( )65,0( 4 mskgx cP mskg cP −==µ (b) A viscosidade dinâmica s m x m kg x ms kg x 2 3 3 4 1039,7 100088,0 105,6 − − === ρ µ ν O perfil de velocidade é representado por a equação de uma reta: bmyyu +=)( Para y=0 u=0 e por tanto b=0 (intercepto no eixo de coord.) Para y=d u=U e por tanto m= U/d Desta forma o perfil de velocidade é dado como: y d U yu =)( O gradiente é dado por: ctes x d U dy du ==== −11000 3,0 10003,0 (c) A tensão de cisalhamento na placa inferior em (Pa) Pa m N sms kg x d U dy du y yx 65,065,0 1 1000105,6 2 4 0 == == = − = µµτ • A placa superior é uma superfície y (negativa), portanto τyx atua no sentido negativo (-) dos x • A placa inferior é uma superfície y (positiva), portanto τyx atua no sentido positivo dos x Mecânica dos Fluidos PUCRS C-18 Solução – Problema 5 [5] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas é dada pela equação −= 2 1 2 3 h yV u onde V é a velocidade média. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1,92 N.s/m2. Considerando que V=0,6m/s e h=5mm determinar: c) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal d) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal. Utilizando a lei universal τ µ= du dy A distribuição da velocidade é unidimensional e em regime permanente já que u=u(y). Para determinar a tensão de cisalhamento devemos determinar o gradiente de velocidade du/dy. Derivando a equação da distribuição da velocidade temos, y h V h yV dy du 22 3 20 2 3 −= −= a) A tensão de cisalhamento na parede inferior do canal é dada para y=-h, Paou m N m x s m xx m Ns h V h h V hy 691 691 005,0 1 6,0392,1 3 )( 3 222 = ==−−= −= µµτ esta tensão cria um arrasto na parede. Como a distribuição de velocidade é simétrica, a tensão de cisalhamento na parede superior apresenta o mesmo valor, e sentido da tensão na parede inferior. Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal é dada para y=0 ou du/dy. Desta forma a tensão de cisalhamento neste plano é nula. τplano médio=0. O gradiente de velocidade e portanto a tensão de cisalhamento varia linearmente com y. Neste caso a tensão de cisalhamento varia de 0 no plano central a 691Pa nas paredes. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-19 Solução – Problema 6 [ 6 ] O perfil de velocidade do escoamento de um óleo numa superfície sólida é dada por: ( ) .2 2yyU = Onde ( )yU é o perfil de velocidade em m/s e y o afastamento da superfície em (m). O óleo apresenta viscosidade absoluta de 2x10-3Pa.s Determinar a tensão de cisalhamento a 20cm da superfície sólida. Como o perfil de velocidade é dado por ( ) .2 2yyU = Desta forma ( ) .4y dy ydU = A tensão de cisalhamento é dada por: y u ∂ ∂ = µτ 2 3 0016,0)2,0(4102 )( m N xxx dy ydU === − µτ Solução – Problema 7 [ 7 ] Um embolo de 100kg se move por gravidade no interior de um cilindro vertical. O diâmetro do êmbolo é de 200mm e o diâmetro do cilindro de 200,1mm. A altura do embolo é de 320mm. O espaço entre o embolo e o cilindro esta cheio de óleo com viscosidade dinâmica igual a 8,5 N.s/m2. Determinar a velocidade na descida considerando um perfil linear de velocidade (du/dy=u/y). y u DL dy du AAF µpiµτ === ( ) s cm s m xxx xx DL Fy u 87,20287,0 5,832,02,0 00005,098,9100 ==== piµpi Solução – Problema 8 [ 8 ] Ar a 200C escoa sobre uma placa plana apresentando um perfil de velocidade senoidal tal como mostrado na figura. Determine a tensão de cisalhamento para y=3,5mm. Considere a massa especifica do ar igual a 1,23 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,8x10-5 (Pa s). Ob. O gradiente de velocidades é dado por: = b y b U dy du 2 cos 2 max pipi Obs. Apresente a dedução de unidades no sistema internacional do resultado. Pa sxPax xx x x x x b U dy du dy du mmy mmy 0257,0 068,1428.108,1 707106,01000 0,72 0,9 0,72 5,3 cos 2 5 max 5,3 5,3 = = = == = − = = pi µ pipi µµτ µτ Mecânica dos Fluidos PUCRS C-20 1.4 PROBLEMAS PROPOSTOS – Lei da Viscosidade de Newton (Cap.2) [1] A Fig. mostra duas placas planas paralelas a distância de 2 mm. A placa superior move-se com velocidade de 4 m/s, enquanto a inferior é fixa. Se o espaço entre as duas placas for preenchido
