A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
96 pág.
fluidos in

Pré-visualização | Página 4 de 19

nula (µ=0) e portanto a tensão τ=0. 
 
(b) Num perfil uniforme de velocidade du/dy=0 e, portanto a magnitude da tensão de cisalhamento é nula em toda a seção (τ=0). 
 
 
(c) Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada o perfil de velocidade será do tipo u=k1 + k2y . Desta forma o termo du/dy=k2 = 
constante, portanto, a tensão de cisalhamento será igual em todos os pontos da seção (τ=cte). 
 
(d) Se o perfil de cisalhamento for parabólico, por exemplo, do tipo: 
 
 u=k1 + k2y2 , desta forma o termo du/dy=k2 y , 
 
Desta forma a tensão de cisalhamento vai aumentando linearmente. 
 
 Para y=0 (centro do canal) τ=0. 
 
 Para y=ymax (paredes) τ=τmax. 
 
 Desta forma a tensão de cisalhamento será zero no centro e máxima nas paredes. (τ=ky) 
 
Mecânica dos Fluidos 
PUCRS C-16 
Solução – Problema 2
Considerando um perfil parabólico de velocidade V(y)= a + by2 determinar 
(a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de cisalhamento em y=0 e em 
y= -100mm. 
Considere um fluido com viscosidade dinâmica igual a 8.0x10-3 kg/ms. 
 
 
 
Para y=0; V=Vmax=2,5m/s 
 
como 2byaV += achamos que a=2,5m/s 
 
Para y=-100 mm V=0 com 2byaV += achamos 
 
( )
2
22
2505,2
250
1,0
5,20
yV
y
aV
b
−=
−=
−
=
−
=
 
O gradiente de velocidade é dada por: y
dy
du
500−= 
Tensão de cisalhamento em y=0 : 
0x500x08,0x10 3- ===
dy
du
µτ 
Tensão de cisalhamento em y=-0,1m 
2
 3- 4,00)x500x(-0,18,0x10
m
N
dy
du
−=== µτ 
Solução – Problema 3 
 
Duas superfícies grandes planas estão separadas por um espaço de 25mm. Entre elas encontra-se óleo de massa específica de 
850 kg/m3 e viscosidade cinemática igual a 7,615x10-5m2/s. Determinar a força necessária para puxar uma placa muito fina de 
0,4m2 de área a uma velocidade de 0,15m/s que se move eqüidistante entre ambas as superfícies. Considere um perfil linear de 
velocidade (dv/dy=u/y). 
21 FFF += 
2
2
5
3
N.s/m06473,010615,7850 === −
s
m
x
m
kg
ρνµ 
 
1
1
y
u
A
dy
du
AAF µµτ ≡== 
2
2
y
u
AF µ≡ como y1=y2 temos que F1=F2. 
 
 
N
m
s
m
x
m
sN
xmx
y
u
AF 62,0
0125,0
15,0
.
06473,04,022
2
2 ==





= µ 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
Jorge A. Villar Alé C-17 
Solução – Problema 4 
[4] Uma placa infinita move-se sobre uma Segunda placa, havendo entre 
elas uma camada de líquido, como mostrado na figura. Para uma pequena 
largura da camada d, supomos uma distribuição linear de velocidade no 
líquido. A viscosidade do líquido é de 0,65 centipoise A densidade relativa 
é igual a 0,88 Determinar: 
 
(a) A viscosidade absoluta em Pa s e em (kg/ms) 
(b) A viscosidade cinemática do líquido 
(c) A tensão de cisalhamento na placa superior (Pa) 
(d) A tensão de cisalhamento na placa inferior em (Pa) 
(e) Indique o sentido de cada tensão de cisalhamento calculado em c e d. 
Hipóteses: 
• Distribuição linear da velocidade 
• Escoamento em regime permanente 
• Viscosidade constante 
(a) 1 cP = Pa s /1000 
 s 105,6
1000
)65,0( 4 Pax
cP
sPa
cP −==µ
 1 cP = Pa s /1000 
 
)/(105,6
1000
)/(
)65,0( 4 mskgx
cP
mskg
cP −==µ
(b) A viscosidade dinâmica 
s
m
x
m
kg
x
ms
kg
x 2
3
3
4
1039,7
100088,0
105,6
−
−
===
ρ
µ
ν
O perfil de velocidade é representado por a equação de uma reta: 
bmyyu +=)(
Para y=0 u=0 e por tanto b=0 (intercepto no eixo de coord.) 
Para y=d u=U e por tanto m= U/d
Desta forma o perfil de velocidade é dado como: 
y
d
U
yu 





=)(
O gradiente é dado por: 
ctes
x
d
U
dy
du
====
−11000
3,0
10003,0
(c) A tensão de cisalhamento na placa inferior em (Pa) 
Pa
m
N
sms
kg
x
d
U
dy
du
y
yx 65,065,0
1
1000105,6
2
4
0
==





==


= −
=
µµτ
• A placa superior é uma superfície y (negativa), portanto τyx atua no 
sentido negativo (-) dos x 
• A placa inferior é uma superfície y (positiva), portanto τyx atua no 
sentido positivo dos x 
Mecânica dos Fluidos 
PUCRS C-18 
Solução – Problema 5 
 
[5] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas é 
dada pela equação 
 














−=
2
1
2
3
h
yV
u 
 
onde V é a velocidade média. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1,92 N.s/m2. Considerando que V=0,6m/s e 
h=5mm determinar: 
c) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal 
d) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal. 
 
Utilizando a lei universal 
 
τ µ=
du
dy
 
 
A distribuição da velocidade é unidimensional e em regime permanente já que u=u(y). Para determinar a tensão de cisalhamento 
devemos determinar o gradiente de velocidade du/dy. Derivando a equação da distribuição da velocidade temos, 
 
y
h
V
h
yV
dy
du
22
3
20
2
3
−=











−= 
 
a) A tensão de cisalhamento na parede inferior do canal é dada para y=-h, 
 
Paou
m
N
m
x
s
m
xx
m
Ns
h
V
h
h
V
hy 691 691
005,0
1
6,0392,1
3
)(
3
222
=

















==−−=
−=
µµτ 
 
esta tensão cria um arrasto na parede. Como a distribuição de velocidade é simétrica, a tensão de cisalhamento na parede superior 
apresenta o mesmo valor, e sentido da tensão na parede inferior. 
 
Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal é dada para y=0 ou du/dy. 
 
Desta forma a tensão de cisalhamento neste plano é nula. τplano médio=0. 
 
O gradiente de velocidade e portanto a tensão de cisalhamento varia linearmente com y. Neste caso a tensão de cisalhamento varia 
de 0 no plano central a 691Pa nas paredes. 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
Jorge A. Villar Alé C-19 
Solução – Problema 6 
[ 6 ] O perfil de velocidade do escoamento de um óleo numa superfície sólida é dada por: ( ) .2 2yyU = 
Onde ( )yU é o perfil de velocidade em m/s e y o afastamento da superfície em (m). O óleo apresenta viscosidade absoluta de 
2x10-3Pa.s Determinar a tensão de cisalhamento a 20cm da superfície sólida. 
 
Como o perfil de velocidade é dado por ( ) .2 2yyU = Desta forma 
( )
.4y
dy
ydU
= 
A tensão de cisalhamento é dada por: 
y
u
∂
∂
= µτ 
2
3 0016,0)2,0(4102
)(
m
N
xxx
dy
ydU
===
−
µτ 
 
Solução – Problema 7 
 
[ 7 ] Um embolo de 100kg se move por gravidade no interior de um cilindro vertical. O diâmetro do êmbolo é 
de 200mm e o diâmetro do cilindro de 200,1mm. A altura do embolo é de 320mm. O espaço entre o embolo e 
o cilindro esta cheio de óleo com viscosidade dinâmica igual a 8,5 N.s/m2. Determinar a velocidade na 
descida considerando um perfil linear de velocidade (du/dy=u/y). 
 
y
u
DL
dy
du
AAF µpiµτ === 
 
( )
s
cm
s
m
xxx
xx
DL
Fy
u 87,20287,0
5,832,02,0
00005,098,9100
====
piµpi
 
 
Solução – Problema 8 
 
[ 8 ] Ar a 200C escoa sobre uma placa plana apresentando um perfil de 
velocidade senoidal tal como mostrado na figura. Determine a tensão de 
cisalhamento para y=3,5mm. Considere a massa especifica do ar igual a 
1,23 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,8x10-5 (Pa s). Ob. O gradiente 
de velocidades é dado por: 
 












=
b
y
b
U
dy
du
2
cos
2
max
pipi
 
 
Obs. Apresente a dedução de unidades no sistema internacional do 
resultado. 
 
 
Pa
sxPax
xx
x
x
x
x
b
U
dy
du
dy
du
mmy
mmy
0257,0 
068,1428.108,1 
707106,01000
0,72
0,9 
0,72
5,3
cos
2
5
max
5,3
5,3
=
=












=


















==
=
−
=
=
pi
µ
pipi
µµτ
µτ
Mecânica dos Fluidos 
PUCRS C-20 
1.4 PROBLEMAS PROPOSTOS – Lei da Viscosidade de Newton (Cap.2) 
 
[1] A Fig. mostra duas placas planas paralelas a distância de 2 mm. A placa superior move-se com velocidade de 4 m/s, enquanto a 
inferior é fixa. Se o espaço entre as duas placas for preenchido