Exercícios de Mecânica Geral

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7a Lista de Exerćıcios – Mecânica Geral e Teórica I
Cálculo de Variações
1 Mostre que a distância mais curta entre dois pontos em um plano é uma linha reta.
2 Mostre que a distância mais curta entre dois pontos em um espaço (tridimensional) é uma linha reta.
3 Considere a superf́ıcie gerada ao girar a linha conectando dois pontos fixos (x1, y1) e (x2, y2) sobre um
eixo coplanar com os pontos. Encontre a equação da linha conectando os pontos de modo que a área da
superf́ıcie gerada pela revolução (isto é, a área da superf́ıcie da revolução) seja um mı́nimo. Obtenha a
solução utilizando a equação
∂f
∂x
− d
dx
(
f − y′
∂f
∂y′
)
. (1)
4 Considere a luz passando de um meio com ı́ndice de refração n1 em outro meio com ı́ndice de refração n2.
Fig. 1 Utilize o prinćıpio de Fermat para minimizar o tempo e derive a lei de refração: n1 sin θ1 = n2 sin θ2.
Figure 1: Exerćıcio 4.
5 Encontre a razão do raio R para a altura H de um cilindro circular direito de volume fixo V que
minimize a área da superf́ıcie A.
6 Encontre o caminho mais curto entre os pontos (x, y, z) (0,−1, 0) e (0, 1, 0) na superf́ıcie cônico z =
1−
√
x2 + y2. Qual o comprimento do caminho? Nota: este é o caminho mais curto da montanha ao redor
de um vulcão.
7 Os cantos de um retângulo ficam na elipse (x/a)2 + (y/b)2 = 1. (a) Onde os cantos devem estar
localizados para maximizar a área do retângulo? (b) Que fração da área da elipse é coberta pelo retângulo
com área máxima?
8 Uma part́ıcula de massa m tem o movimento restringido sob a gravidade sem fricção na superf́ıcie
xy = z. Qual é a trajetória da part́ıcula se ela iniciar do repouso em (x, y, z) = (1,−1,−1) com o eixo
vertical z.
1
Formalismo de Lagrange e Hamilton
9 Obtenha a Lagrangiana para uma part́ıcula movendo-se em uma dimensão ao longo do eixo x e sujeita
à força F = −kx (com k positivo). Determine a equação de Lagrange do movimento e resolva-a.
10 Considere uma massa m movendo-se em duas dimensões com energia potencial U(x, y) = (12)kr2,
onde r2 = x2 + y2. Obtenha a Lagrangiana, usando coordenadas x e y, e determine as duas equações
de movimento de Lagrange. Descreva as suas soluções. [Esta é a energia potencial de um ı́on em uma
”armadilha iônica”, a qual pode ser usada para estudar as propriedades dos ı́ons atômicos.]
11 Considere duas part́ıculas movendo-se sem v́ınculos em três dimensões, com energia potencial U(~r1, ~r2).(a)
Obtenha as seis equações de movimento a partir da aplicação da segunda lei de Newton para cada part́ıcula.
(b) Obtenha a Lagrangiana L(~r1, ~r2, ~̇r1, ~̇r2) = T − U e mostre que as seis equações de Lagrange são as
mesmas que as seis equações de Lagrange em coordenadas retangulares, que, por sua vez, estabelecem o
prinćıpio de Hamilton. Como o último é independente das coordenadas, isso demonstra as equações de
Lagrange em qualquer sistema de coordenadas.
12 Considere o pêndulo da figura 2, suspenso dentro de um vagão de trem, e suponha que o vagão
esteja oscilando para frente e para trás, de modo que o ponto de sustentação do pêndulo tem posição
xs = A cos (ωt), ys = 0. Use o ângulo φ como a coordenada generalizada e obtenha as equações que
fornecem as coordenadas cartesianas do lóbulo em termos de φ e vice-versa.
Figure 2: Exerćıcio 12
13 Uma massa m1 repousa sobre uma mesa horizontal sem atrito e está atada a um fio de massa de-
spreźıvel. O fio segue horizontalmente até a borda da mesa, onde passa por uma roldana de massa
despreźıvel, sem atrito, e a seguir é pendurado verticalmente. Uma segunda massa m2 é agora atada a
outra extremidade do fio. Obtenha a Lagrangiana para esse sistema. Determine a equação de movimento
de Lagrange e resolva-a para a aceleração dos blocos. Como sua coordenada generalizada, use a distância
x da segunda massa abaixo do topo da mesa.
14 O ponto de apoio de um pêndulo simples de comprimento b se move na margem sem massa de raio
a em rotação com velocidade angular constante ω. Obtenha a expressão para as componentes cartesianos
de velocidade e aceleração da massa m. Obtenha também a aceleração angular para o ângulo θ mostrado
na figura 3
15 Um carrinho (massa m) está montado sobre um trilho dentro de um carro grande. Os dois estão presos
por uma mola (constante da força k) de tal forma que o carrinho está em equiĺıbrio no centro do carro
maior. A distância do carrinho a partir de sua posição de equiĺıbrio é denotada por x e a do carro maior
a partir de um ponto fixo no solo é X, conforme ilustra a figura 4. O carro é agora forçacado a oscilar tal
que X = A cos(ωt), com A e ω fixos. Escreva a Lagrangiana para o movimento do carro e mostre que a
equação de Lagrange tem a forma
ẍ+ ω2
0x = B cos(ωt)
2
Figure 3: Exerćıcio 14.
Figure 4: Exerćıcio 15.
onde ω0 é a frequência natural ω0 =
√
k/m e B é uma constante. Esta é a forma assumida para oscilações
forçadas (exceto pelo fato de que estamos ignorando o amortecimento). Logo, o sistema descrito aqui seria
uma maneira de pensar o movimento discutido naquela ocasião.
16 Determine a Lagrangiana, o momento generalizado e a Hamiltoniana para uma part́ıcula livre (nen-
huma força agindo sobre ela) compelida a mover-se ao longo do eixo x. Use x como coordenada generalizada.
Determine e resolva as equações de Hamilton.
17 Determine a Hamiltoniana e as equações de movimento de Hamilton para (a) um pêndulo simples e
(b) uma máquina de Atwood simples onde a massa da polia (simples) não é despreźıvel. O momento de
inércia de uma polia de raio R é I = (12)MR2 e sua energia cinética é T = (12)Iω2, sendo ω a velocidade
angular.
18 Um pêndulo plano de comprimento l e massa m está conectado a um bloco de massa M que pode se
mover numa mesa horizontal sem atrito. Veja a figura 5.
a) Expresse as coordenadas da massa m em termos das coordenadas x e θ.
b) Construa a Lagrangeana deste sistema.
c) Usando as equações de Euler-Lagrange, deduza as equações do movimento para o sistema acoplado
pêndulo + bloco.
c) Escreva o Hamiltoniano para este sistema e encontre as quantidades conservadas.
e) Encontre a frequência ω de pequenas oscilações do pêndulo.
3
Figure 5: Exerćıcio 18
4