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NUMEROS NATURAIS
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Operação Com Números Naturais
Nas operações com números inteiros, fazemos cálculos que envolvem adição, subtração, divisão e
multiplicação.
Antes de tratarmos das operações com números inteiros, devemos recordar quais elementos fazem
parte desse conjunto. Pertencem ao conjunto dos números inteiros todos os números positivos,
negativos e o zero. Sendo assim:
Z = {… - 3, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, + 1, + 2, + 3, + 4...}
As operações com números inteiros estão relacionadas com a soma, subtração, divisão e
multiplicação. Ao realizar alguma das quatro operações com esses números, devemos também
operar o sinal que os acompanha.
Números Naturais
Quando contamos uma quantidade de qualquer coisa (objetos, animais,estrelas,pessoas,etc)
empregamos os números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,..........
Esses números são chamados de números naturais.
Existem infinitos números naturais os números que aparecem juntos, como na sequencia acima são
chamados números consecutivos. Por exemplo 12 e 13 são consecutivos 13 é o sucessor (vem
depois ) de 12 e 12 é o antecessor (vem antes) de 13
Observações:
1) todo número natural tem um sucessor (é o que vem depois)
2) todo número natural tem um antecessor (é o que vem antes), com exeção do zero
3) Um número natural e o seu sucessor são chamados números consecutivos.
par ou impar
Um número natural é par quando termina em 0,2,4,6 ou 8
Os números pares são: 0,2,4,6,8,10,12,14,16......
Um número é ímpar quando termina em 1,3,5,7, ou 9.
Os números ímpares são: 1,3,5,7,9,11,13,15.......
Propriedades Da Adição De Números Naturais
Vamos observar a seguinte situações:
1º) consideremos os números naturais 40 e 24 e vamos determinar a sua soma ?
(R: 40 + 24 = 64)
trocando a ordem dos números, vamos determinar a sua soma
24 + 40 = 64
De acordo com as situações apresentadas, podemos escrever
40 + 24 = 24 + 40
Esse fato sempre vai ocorrer quando consideremos dois números naturais
Daí concluímos
Numa adição de dois números naturais, a ordem das parcelas não altera a soma.
Essa propriedade é chamada PROPRIEDADE COMUTATIVA DA ADIÇÃO
2º) Consideremos os números naturais 16,20 e 35 e vamos determinar a sua soma:
16 + 20 + 35
=36 + 35
=71
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16 + 20 + 35
= 16 + 55=
=71
De acordo com as situações apresentadas, temos
(16 + 20) + 35 = 16 + (20 + 35)
Esse fato se repete quando consideramos três números naturais quaísquer
Então:
Numa adição de três ou mais números naturais quaisquer, podemos associar as parcelas de modo
diferentes.
Essa propriedade é chamada PROPRIEDADE ASSOCIATIVA DA ADIÇÃO
3º) Consideremos os números naturais 15 e 0 e vamos determinar a sua soma, independentemente
da ordem dos números:
15 + 0 = 15
0 + 15 = 15
Você nota que o número o não influi no resultado da adição. Então
Numa adição de um número natural com zero a soma é sempre igual a esse número natural.
Nessas condições, o numero zero é chamado elemento neutro da adição.
Subtração
Na matemática, a operação da subtração é empregada quando devemos tirar uma quantidade de
outrea quantidade.
veja o exemplo
O estádio do Pacaembu, na cidade de São Paulo, tem capacidade para 40.000 pessoas. È também
na cidade de São Paulo que se encontra o estádio do Morumbi que tem capacidade para 138.000
pessoas.
Para se ter uma idéia do tamanho do Morumbi, se colocarmos nele 40.000 ainda sobrarão muitos
lugares. Quanto sobrarão? Dos 138.000 lugares devemos tirar os 40.000 assim
138.000 - 40.000 = 98.000
sobrarão 98.000 lugares.
Subtrair significa tirar,diminuir.
Na subtração anterior, o número 138.000 é chamado minuendo e 40.000 é o subtraendo, o resultado,
98.000, é chamado diferença ou resto.
Multiplicação
A multiplicação é uma adição de parcelas iguais.
veja
3+3+3+3 = 12
Podemos representar a mesma igualdade por
4 x 3 = 12 ou 4 . 3 = 12
Essa operação chama-se multiplicação e é indicada pelo sinal . ou x
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Na multiplicação 4 x 3 = 12
dizemos que;
4 e 3 são os fatores
12 é o produto
1º exemplo
Um edifício de apartamentos tem 6 andares. Em cada andar a 4 apartamentos. Quantos
apartamentos tem o edificio todo?
Resolução
Para resolver esse problema, podemos fazer
4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24
Essa mesma igualdade pode ser representada por:
6 x 4 = 24
Logo podemos dizer que o edificio tem 24 apartamentos
2° Exemplo
A fase final do torneio de voleibol da liga nacional é disputado por 4 equipes. Cada equipe pode
inscrever 12 jogadores. Quantos jogadores serão inscritos para disputar a fase final desse torneio?
resolução
Para resolver esse problema podemos fazer 12 + 12 + 12 + 12 = 48
Essa mesma igualdade pode ser representada por:
4 x 12 = 48
Divisão
Consideremos dois números naturais, dados numa certa ordem, 10 é o primeiro deles e 2 é o
segundo.
Por meio deles determina-se um terceiro número natural que, multiplicado pelo segundo dá como
resultado o primeiro. Essa operação chama-se divisão e é indicada pelo sinal: Assim.
10:2 = 5 porque 5x2 = 10
Na divisão 10:2=5
dizemos que
10 é o dividendo
2 é o divisor
5 é o resultado ou quociente
Exemplo
Um cólegio levou 72 alunos numa excursão ao jardim zoológico e para isso repartiu igualmente os
alunos em 4 ônibus. Quantos alunos o colégio colocou em cada ônibus?
Para resolver esse problema, devemos fazer uma divisão 72 : 4 = 18 , sendo assim cada ônibus tinha
18 alunos.
Grandezas E Medidas
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As grandezas e as medidas estão presentes em nossa sociedade desde a antiguidade. Graças ao
Sistema Internacional de Unidades (SI) sua padronização foi possível.
A matemática pode ser considerada uma grande invenção que foi sendo estruturada ao longo dos
séculos. Suas formulações e conjecturas surgiram para suprir as demandas sociais e científicas da
nossa sociedade, um exemplo disso são as grandezas e as medidas.
Em algum momento, ao logo da história, o homem sentiu a necessidade de determinar padrões
referentes a grandezas e medidas e foi da comparação entre as grandezas de mesma origem que
surgiu as ideias relacionadas à medida. Começamos a medir utilizando as partes do corpo, como
palmos, pés, dedos. Em determinadas civilizações, as medidas referentes ao corpo do rei eram
adotadas como padrão para as medições.
Por muito tempo a relação entre as civilizações foi muito difícil, pois cada nação adotava um padrão
para medir. Foi com o passar do tempo que obtivemos a padronizarão das medidas, que ocorreu por
meio do Sistema Internacional de Unidades (SI), sendo regulamentada na década de sessenta.
O sistema metro - quilograma – segundo foi utilizado como base e o SI reconhecido por diversas
nações. Todas as modificações nesse sistema são feitas por meio de acordos e é utilizado por
praticamente todo o mundo, exceto pelos países: Estados Unidos, Libéria e Myanmar.
No SI temos as medidas básicas e as derivadas, que recebem esse nome por utilizar como origem as
básicas. Devemos entender como grandeza aquilo que pode ser quantificado, como comprimento,
temperatura, massa, tempo, volume, força etc. Já medidas é o que mensura as grandezas, cada
medida possui o seu próprio símbolo.
Podemos então enumerar o que a área do conhecimento matemático estuda referente a grandezas e
medidas:
• Medida do comprimento
• Transformação das unidades da medida de comprimento
• Perímetro de polígonos
• Unidades de medidas das superfícies
• Área das figuras planas
• Medida do espaço
• Volume
• Unidade de medida do volume
• Transformações das unidades de medida de volume
• Unidade de medida para capacidade
• Unidade de medida de massa
• Transformações das unidades de medida para massa
• Ângulos
• Medidas de ângulos
• Operações com medidas de ângulos• Estudo do Tempo
Conjuntos
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Conjuntos, na matemática é uma coleção de elementos.
• O conjunto de todos os alunos de uma sala (A);
• O conjunto musical (M);
• O conjunto dos números inteiros (Ζ);
• O conjunto dos números naturais (Ν).
Por definição, qualquer conjunto é representado por uma letra do alfabeto em maiúsculo: A, B, C, ...,
Z.
Elemento de um conjunto é qualquer coisa que pertença a um determinado conjunto.
• 5 é um elemento do conjunto dos números inteiros (Ζ);
• 11 é um elemento do conjunto dos números primos (P);
• João é um elemento do conjunto dos alunos da sala (A);
• 0,6 é um elemento do conjunto dos números reais (R).
Por definição, um elemento é representado por uma letra minúscula d alfabeto: a, b, c, ..., z.
Pertinência é característica associada a um elemento ao qual faz parte de um conjunto. Símbolo:
• 1 pertence ao conjunto dos números naturais (N): 1 ∈ N;
• João pertence ao conjunto dos alunos da sala: João ∈ A;
• 0,5 pertence ao conjunto dos números reais: 0,5 ∈ R;
• 13 pertence ao conjunto dos números primos: 13 ∈ P.
Representação de conjuntos na matemática
A representação, na matemática, é bastante simples e é representado entre chaves ou, também,
pode ser representado pela forma geométrica.
1. A = {João, Paulo, Ana, Carla, …}
2. N = {1, 2, 3, 4, 5, …}
3. P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}
V = {a, e, i, o, u}
Um conjunto A também pode ser definido quando temos uma regra na qual podems verificar se um
dado elemento pertence ou não a A.
1. {x | x é uma vogal}
2. {x : x é um número inteiro}
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NÚMEROS RACIONAIS
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Números Racionais
Pertencem ao conjunto dos racionais os números positivos, negativos, decimais, frações e dízimas
periódicas. Representamos esse conjunto por meio da letra Q maiúscula:
Lê-se: O conjunto dos números racionais é igual a x, tal que x é igual a (a) sobre (b), (a) pertence ao
conjunto dos inteiros e (b) pertence ao conjunto dos inteiros com a ausência do zero.
É possível realizar as quatro operações com os números racionais. Entre essas operações, podemos
destacar:
• Soma de duas ou mais frações:
Para somar duas ou mais frações, é necessário que o denominador em todas as frações seja o
mesmo. Após verificar isso ou reduzir os denominadores a um mesmo valor por meio do Mínimo
Múltiplo Comum (MMC) ou das frações equivalentes, basta conservar o denominador e somar os
expoentes. Veja:
Utilizando o MMC para reduzir os denominadores:
1 + 2 + 4 = 1 + 2 + 4 = 3 + 4 + 24 = 31
2 3 2 3 1 6 6
Cálculo do MMC
2, 3, 1| 2
1, 3, 1| 3
1, 1, 1|
MMC (2, 3, 1) = 2 x 3 = 6
Para obter os números do numerador, foi feito o seguinte:
6 : 2 = 3 x 1 = 3
6 : 3 = 2 x 2 = 4
6 : 1 = 6 x 4 = 24
Utilizando as frações equivalentes:
1 x 3+ 2 x 2+ 4 x 6= 3 + 4 + 24 = 31
2 x 3 3 x 2 1 x6 6 6 6 6
• Soma de dois ou mais números decimais
Na soma de números decimais, juntamos número inteiro com inteiro, parte decimal com decimal,
parte centesimal com centesimal e assim por diante. Observe o exemplo abaixo:
2,57 + 1,63 =
2 e 1: partes inteiras
0,5 e 0,6: partes decimais
0,07 e 0,03: partes centesimais
Para resolver a soma de números decimais, podemos estruturar o algoritmo da adição.
2,57
+ 1,63
4,20
NÚMEROS RACIONAIS
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Podemos também somar números decimais por meio de frações. Para isso, basta transformar cada
número decimal em uma fração. Confira o exemplo abaixo:
2,57 + 1,63 = → Represente os números decimais na forma de fração;
= 257 + 163 = → Como o denominador em ambas as frações é 100, podemos somá-los.
100 100
= 420 = → Realize a divisão de 420 por 100.
100
= 4,20
• Subtração de duas ou mais frações:
O processo de subtração de fração é semelhante ao da soma. A diferença está no sinal da operação,
que será de menos. Observe:
5 – 3 – 2 = 5 +( – 3 ) + ( – 2 )= 20 – 9 – 24 = – 13
3 4 3 ( 4 ) 12 12
Cálculo do MMC:
3, 4, 1| 2
3, 2, 1|2
3, 1, 1|3
1, 1, 1|
Para obter os números do numerador, fizemos o seguinte:
12 : 3 = 4 x 5 = 20
12 : 4 = 3 x – 3 = – 9
12 : 1 = 12 x – 2 = – 24
• Subtração de dois ou mais números decimais:
Devemos subtrair número inteiro com inteiro, parte decimal com decimal, parte centesimal com
centesimal e assim por diante. Confira o exemplo abaixo:
3,15 – 2,04 – 1 =
Para resolver essa subtração de números decimais, devemos subtrair os dois primeiros termos da
esquerda para a direita (3,15 – 2,04).
3,15
- 2,04
1,11
Agora temos que subtrair 1,11 – 1 =
1,11
- 1,00
0,11
Podemos também resolver o exemplo anterior por meio da subtração de frações. Acompanhe:
3,15 – 2,04 – 1 = → Transforme os números 3,15 e 2,04 em frações.
= 315 – 204 – 1 = → Como os denominadores das frações são iguais, faça a subtração dos
numeradores.
100 100
= 111 – 1 = → Como os denominadores das frações são diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo
100 1 denominador. O MMC (100, 1) é 100.
= 111 – 100 = → Como reduzimos para o mesmo denominador, podemos subtrair os numeradores.
NÚMEROS RACIONAIS
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100
= 11 = → Faça a divisão de 11/100
100
= 0,11
• Multiplicação de frações
Na multiplicação de frações, devemos multiplicar os numeradores com numeradores e os
denominadores com denominadores. Confira:
3 x 6 = ( 3 x 6 ) = 18 → Como a fração não está na forma irredutível, temos que simplificá-la.
7 4 ( 7 x 4 ) 28
3 x 6 = ( 3 x 6 ) = 18 : 2 = 9
7 4 ( 7 x 4 ) 28 : 2 14
• Multiplicação de números decimais
Ao multiplicarmos números decimais, devemos estruturar o algoritmo. Para saber a posição da vírgula
no produto obtido, contamos quantas casas decimais possui cada número decimal e deslocamos a
vírgula em relação aos algarismos do produto da direita para a esquerda. Observe o exemplo:
2,4 x 1,2 = → Inicialmente estruture o algoritmo da multiplicação.
2,4
x 1,2
+ 48
24
2,88 → Observe que a vírgula ficou entre os algarismos 2 e 6. Isso aconteceu porque o número 2,4
possui uma casa decimal, e o número 1,2 também possui uma casa decimal. Assim, temos, no total,
duas casas decimais. Sendo assim, devemos deslocar a vírgula do produto obtido (288) duas casas
da direita para a esquerda (2,88).
Poderíamos também resolver esse exemplo por meio de frações.
2,4 x 1,2 = → Transforme os números decimais em frações.
= 24 x 12 = → Multiplique os numeradores (24 x 12) e os denominadores (10 x 10).
10 10
= 288 = → Faça a divisão de 288 por 100.
100
= 2,88
• Divisão de duas ou mais frações
Para dividirmos duas ou mais frações, utilizamos uma regra prática: conserva-se a primeira fração,
multiplicando-a pelo inverso da segunda. Recorde-se que o inverso de uma fração é dado ao
trocarmos o seu denominador pelo numerador. Veja:
13 : 9 = 13 x 2 = 26
7 2 7 9 63
1 : 4 : 2 = (1 : 4 ) : 2 = ( 1 x 5 ) : 2 = 5 : 2 = 5 x 6 = 30 :2 = 15
2 5 6 ( 2 5 ) 6 ( 2 x 4 ) 6 8 6 8 x 2 16 : 2 8
• Divisão de dois ou mais números decimais
Para realizar a divisão de números decimais, devemos igualar a quantidade de casas decimais dos
números e efetuar a divisão. Confira o exemplo abaixo:
1,23 : 0,5 = → O número 1,23 possui duas casas decimais, e o número 0,5 possui uma casa decimal.
Para igualar a quantidade de casas decimais, devemos multiplicar ambos os números pelo termo
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decimal, ou seja, 10, 100, 1000..., que possui a maior quantidade de casas decimais. Sendo assim,
temosque multiplicar 1,23 e 0,5 por 100.
(1,23 x 100) : (0,5 x 100) = 123 : 50 → Utilizando o algoritmo da divisão, temos 123 : 50.
123 |50
- 100 2,46
230
- 200
300
- 300
0
1,23 : 0,5 = 2,46
Veja agora como transformar os números decimais do exemplo anterior em frações:
1,23 : 0,5 = → Transforme os números decimais em frações.
= 123 : 5 = → Aplicando a regra aprendida anteriormente, conserve a primeira fração e
100 10 multiplique-a pelo inverso da segunda.
= 123 x 10 = → Faça o produto dos numeradores e dos denominadores.
100 5
= 1230 = → Realize a divisão de 1230 por 500.
500
= 2,46
• Soma, subtração, multiplicação e divisão de dízimas periódicas
A dízima periódica é um número decimal em que os algarismos após a vírgula repetem-se
infinitamente. Exemplos: 1,222..., 1,2323..., 2,23562356...
A repetição desses algarismos após a vírgula é chamada de período. Veja:
• O período de 1,222... é 2.
• O período de 1,2323... é 23.
• O período de 2,23562356... é 2356.
Para realizar a soma, subtração, multiplicação e divisão de dízimas periódicas, devemos descobrir o
período e aplicar as definições aprendidas anteriormente para números decimais, haja vista que a
dízima periódica é um número decimal. Vejamos alguns exemplos:
• Soma de dízima periódica
2,333... + 1,555... =
O período de 2,333... é 3, e o período de 1,555... é 5. Realizando a soma, temos:
2,3
+1,5
3,8
• Subtração de dízima periódica
3,6565... - 1,222... =
O período de 3,6565... é 65, e o período de 1,222... é 2. Fazendo o algoritmo da subtração, temos:
3,65
- 1,22
2,43
• Multiplicação de dízima periódica
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5,2323... x 1,111... =
O período de 5,2323... é 23, e o período de 1,111... é 1. Efetuando o produto, temos:
5,23
x 1,11
523
+ 523
523
5,8053
A multiplicação resultou em: 5,2323... x 1,111... = 5,23 x 1,11 = 5,8053
• Divisão de dízima periódica
2,5252 … : 0,555... =
O período de 2,5252... é 52, e o período de 0,555... é 5. Realizando a divisão, temos:
2,52 : 0,5 = (2,52 x 100) : ( 0,5 x 100) = 252 : 50
252 | 50
- 250 5,04
200
- 200
0
A divisão de: 2,5252 … : 0,555... = 2,52 : 0,5 = 5,04
Números Racionais
Racionais Positivos e Racionais Negativos
O quociente de muitas divisões entre números naturais é um número racional absoluto.
Números racionais positivos e números racionais negativos que sejam quocientes de dois negativos
que sejam quocientes de dois números inteiros, com divisor diferente de zero.
Por exemplo:
(+17) : (-4) =
é um número racional negativo
Números Racionais Positivos
Esses números são quocientes de dois números inteiros com sinais iguais.
(+8) : (+5)
(-3) : (-5)
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Números Racionais Negativos
São quocientes de dois números inteiros com sinais diferentes.
(-8) : (+5)
(-3) : (+5)
Números Racionais: Escrita Fracionária
têm valor igual a e representam o número racional .
Obs.: Todo número inteiro é um número racional, pois pode ser escrito na forma fracionária:
Denominamos número racional o quociente de dois números inteiros (divisor diiferente de zero), ou
seja, todo número que pode ser colocado na forma fracionária, em que o numerador e denominador
são números inteiros.
Os Números Irracionais (I) fazem parte do conjunto dos Números Reais (R) junto com os Números
Racionais (Q).
Entretanto, eles não são representados por meio de frações, pois não podem ser obtidos a partir da
divisão de dois números inteiros (Z).
Assim, os números irracionais são números decimais, infinitos e não-periódicos, por exemplo,
0,232526; 2,354224.
Interessante notar que a invenção dos Números Irracionais (I) fora considerado um marco nos
estudos da geometria. Isso porque preencheu lacunas ao ser descoberto a partir da diagonal de um
quadrado.
Ao pensarmos no "Teorema de Pitágoras" em que “A soma dos quadrados dos catetos é igual ao
quadrado da hipotenusa” podemos calcular a diagonal do quadrado, supondo que o lado = 1, seu
resultado será a √2, um número irracional infinito e inconstante: √2: 1,414213562373.... Do mesmo
modo, outros números irracionais: √3 = 1,7320508.... √7 = 2,645751...
Deve-se ter cuidado para não confundir um Número Irracional (I) com as dízimas periódicas,
consideradas Números Racionais (Q), uma vez que podem ser representados por meio de frações e
seus números são constantes, por exemplo: 0,03333... = 3/9.
Com isso, conclui-se que todas as dízimas não-periódicas são Números Irracionais (I).
Classificação Dos Números Irracionais (I)
Outra importante descoberta feita pelos matemáticos acerca dos Números Irracionais (I) foi o estudo
da circunferência, resultando na repetição de alguns números.
Um Número Irracional muito conhecido é o famoso Número Pi=3,141592..., denominado de
"Constante de Arquimedes" que faz parte das "Constantes Irracionais" ou "Números
Reais Transcendentais".
NÚMEROS RACIONAIS
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Outros exemplos notórios de "Constantes Irracionais" são: o "Número Áureo" ou "Número de Ouro" =
1,618033... e a "Constante de Euler" ou "Número de Neper" = 2,718281...
Já os "Números Reais Algébricos Irracionais" são as raízes inexatas dos números racionais, por
exemplo:√2, √5, √17, √103, dentre outras.
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NÚMEROS REAIS
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Números Reais
Chamamos de Números Reais o conjunto de elementos, representado pela letra maiúscula R, que
inclui os:
•Números Naturais (N): N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
• Números Inteiros (Z): Z= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
• Números Racionais (Q): Q = {...,1/2, 3/4, –5/4...}
• Números Irracionais (I): I = {...,√2, √3,√7, 3,141592....}
Conjunto dos Números Reais
Para representar a união dos conjuntos, utiliza-se a expressão:
R = N U Z U Q U I ou R = Q U I
Onde:
R: Números Reais
N: Números Naturais
U: União
Z: Números Inteiros
Q: Números Racionais
I: Números Irracionais
Diagrama dos conjuntos numéricos
Ao observar a figura acima, podemos concluir que:
• O conjunto dos números Reais (R) engloba 4 conjuntos de
números: Naturais (N), Inteiros (Z), Racionais (Q) e Irracionais (I)
• O conjunto dos números Racionais (Q) é formado pelo conjuntos dos Números Naturais (N) e dos
Números Inteiros (Z). Por isso, todo Número Inteiro (Z) é Racional (Q), ou seja, Z está contido em Q.
• O Conjunto dos Números Inteiros (Z) inclui os Números Naturais (N); em outras palavras, todo
número natural é um número inteiro, ou seja, N está contido em Z.
Definimos conjunto como sendo um agrupamento de elementos, que, nos conjuntos numéricos, são
números. O conjunto dos reais é representado pela letra maiúscula R e é formado pelos
números naturais, inteiros, racionais e irracionais. Veja a representação numérica de cada um desses
conjuntos:
NÚMEROS REAIS
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• Conjunto dos números naturais: É representado por todos os números positivos. Seu símbolo é
o N maiúsculo.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6 , 7...}
• Conjunto dos números inteiros: Esse conjunto é formado pelos elementos do conjunto dos
números naturais e os números inteiros negativos. Ele é representado pela letra maiúscula Z.
Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...}
• Conjunto dos números racionais: É representado pela letra maiúscula Q. Pertencem a esse
conjunto os números naturais, inteiros, decimais, fracionários e dízima periódica.
Q = {-2, -1,23, -1, 0, + 1, + 2, + 2,5 ….}
2
• Conjunto dos números irracionais: Esse conjunto é formado pelos números que são dízimas não
periódicas, ou seja, decimais infinitos que não possuem uma repetição de números após a vírgula. É
representado pela letra maiúscula I.
I = {… - 1, 234537..., 3,34527..., 5,3456...}
Como o conjunto dos números reais possui todos os conjuntos descritos acima, sua representação
numérica é:
R = {… -4, -3, -2, -1,23, 0, + 1, 1, 2, 3,34527..., 5 , 6 , 7}
2
Veja agora como podemos representar o conjunto dos reais por meio de diagramas. A relação
estabelecida na imagem a seguir é de inclusão, isto é, um conjunto está contido em outro conjunto.
Números reais é o nome dado ao conjunto numérico mais conhecido e utilizado por todos, pois
qualquer número inteiro ou decimal pertence também a esse conjunto. Sua definição mais utilizada é
a seguinte: A união entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais.
Alguns exemplos de números reais:
1 – O conjunto dos números naturais. Todo número natural é também um número real, pois os
números naturais são também números racionais.
2 – O conjunto dos números inteiros. Todo número inteiro é também um número real, pois os
números inteiros são também números racionais.
3 – Números decimais. Todo número decimal é também um número real, pois os números decimais
pertencem ou ao conjunto dos números racionais ou ao conjunto dos números irracionais.
4 – Raízes. Toda raiz, quadrada ou não, é um número racional ou irracional. Logo, pertence ao
conjunto dos números reais.
Propriedades dos Números Reais
NÚMEROS REAIS
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O conjunto dos números reais apresenta as seguintes propriedades. Dados os números reais a, b e c:
1 – Comutatividade: a + b = b + a
2 – Associatividade: (a + b) + c = a + (b + c)
3 – Existência de elemento neutro da soma: a + 0 = a
4 – Existência de elemento inverso da soma: a + (– a) = 0
5 – Comutatividade: a·b = b·a
6 – Associatividade: (a·b)·c = a·(b·c)
7 – Existência de elemento neutro da multiplicação: a·1 = a
8 – Existência de elemento inverso da multiplicação: a·(– a)= 1, em que – a = 1/a
9 – Propriedade distributiva: a(b + c) = a·b + a·c
Para compreender o significado da definição “união entre o conjunto dos números racionais e
irracionais”, é importante conhecer o conceito de união, bem como os elementos pertencentes a cada
um desses conjuntos.
União entre conjuntos:
A união é um caso de operação entre conjuntos. Os elementos que pertencem à união entre dois
conjuntos pertencem a um conjunto ou a outro. A palavra ou indica que todos os elementos de ambos
os conjuntos pertencem à união entre eles, mas nenhum elemento é repetido na união.
Por exemplo: Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {3, 4, 5}, a união entre A e B é representada por
AUB = {1, 2, 3, 4, 5} e designa os elementos que pertencem a A ou a B.
Conjunto dos números racionais:
O conjunto dos números racionais é formado por todos os números que podem ser escritos em forma
de fração. Existem três tipos de números que se encaixam nessa definição:
1 – números inteiros
2 – números decimais finitos
3 – dízimas periódicas
Isso ocorre porque qualquer número inteiro pode ser escrito na forma de fração, desde que o próprio
número inteiro seja o numerador e 1 seja o denominador. A partir dessa fração, é possível encontrar
infinitas frações com o mesmo resultado, bastando para isso multiplicar numerador e denominador
pelo mesmo número.
Já os decimais finitos podem ser transformados em fração ao cumprir o passo anterior e multiplicar a
fração por alguma potência de 10, em que o expoente é igual ao número de casas decimais do
decimal finito.
As dízimas periódicas, por sua vez, podem ser escritas na forma de fração utilizando-se um artifício
que envolve equações e sistemas de equações.
São subconjuntos do conjunto dos números racionais: O conjunto dos números naturais e o conjunto
dos números inteiros. Portanto, números naturais e inteiros também são números reais.
Conjunto dos números irracionais:
O conjunto dos números irracionais é complementar ao conjunto dos racionais. Isso significa que os
números irracionais são o conjunto dos números que não são racionais. Dessa maneira, qualquer
NÚMEROS REAIS
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número que não pode ser escrito na forma de fração é um número irracional. Os números que se
encaixam nessa definição são:
1 – decimais infinitos não periódicos;
2 – raízes não exatas.
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GESTÃO DE PESSOAS
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Razões e Proporções
Na vida cotidiana, nos negócios e na ciência existem muitas situações que necessitam do uso de
razões e proporções. Neste artigo, vamos conhecer mais sobre cada um destes conceitos e suas
respectivas aplicações.
O que é razão?
A razão é a forma mais comum e prática de se fazer a comparação relativa entre duas grandezas.
Para isto, é necessário que ambas estejam na mesma unidade de medida. Por exemplo: só
poderemos obter a razão entre o comprimento de duas ruas, se as duas estiverem em quilômetros,
mas não poderemos obtê-la caso uma esteja em metros e a outra em quilômetros, ou qualquer outra
unidade de medida diferente. Neste caso, é preciso escolher uma unidade de medida e converter
uma das grandezas para a escolhida.
Para obtermos a razão entre dois números a e b, por exemplo, dividimos a por b. Vale ressaltar
que b deve ser diferente de zero. Ou seja, chamamos de razão entre a e b o quociente a/b=k. (Lê-se
“a está para b”).
O numerador a recebe o nome de antecedente, e o denominador b é denominado consequente dessa
razão.
Veja o exemplo a seguir:
Exemplo: Uma loja tem 1200m² de área construída e 3000m² de área livre. Qual é a razão da área
construída para a área livre?
Para resolvermos o problema, aplicamos a razão = área construída/área livre = 1200/3000 = 2/5.
Ou seja, isto significa que a área construída representa 2/5 = 0,4 ou 40% da área livre.
O conceito de razão é ainda aplicado para calcularmos escala, velocidade média e densidade.
O que é proporção?
A proporção é a expressão que indica uma igualdade entre duas ou mais razões. Dados quatro
números racionais A, B, C e D diferentes de zero, a proporção pode ser expressa da seguinte forma:
A/B = C/D.
O antecedente da primeira razão (A) e o consequente da segunda (D) são chamados de extremos,
enquanto o consequente da primeira razão (B) e o antecedente da segunda razão (C) são chamados
de meios.
A propriedade fundamental da proporção
Uma proporção também pode ser escrita como a igualdade entre os produtos, da seguinte maneira:
A.D = B.C. Esta é a propriedade fundamental da proporção, em que o produto dos meios é igual ao
produto dos extremos.
GESTÃO DE PESSOAS
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Exemplo: Na sala A de uma determinada escola, temos 3 meninas para cada 4 meninos, ou seja,
temos a razão de 3 para 4, cuja divisão é igual a 0,75.
Na sala B da mesma escola, temos 6 meninas para cada 8 meninos, ou seja, a razão é de 6 para 8,
que é igual a 0,75. Ambas as razões são iguais a 0,75 e, por isso, são chamadas de proporção.
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DIVISÃO PROPORCIONAL
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Divisão Proporcional
Divisão Em Duas Partes Diretamente Proporcionais
Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a p e q, montamos um
sistema com duas equações e duas incógnitas, de modo que a soma das partes seja A+B=M, mas
A
p
=
B
q
A solução segue das propriedades das proporções:
A
p
=
B
q
=
A+B
p+q
=
M
p+q
= K
O valor de K é que proporciona a solução pois:
A = K p e B = K q
Exemplo: Para decompor o número 100 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3,
montaremos o sistema de modo que A+B=100, cuja solução segue de:
A
2
=
B
3
=
A+B
5
=
100
5
= 20
Segue que A=40 e B=60.
Exemplo: Determinar números A e B diretamente proporcionais a 8 e 3, sabendo-se que a diferença
entre eles é 60. Para resolver este problema basta tomar A-B=60 e escrever:
A
8
=
B
3
=
A-B
5
=
60
5
=12
Segue que A=96 e B=36.
Divisão Em Várias Partes Diretamente Proporcionais
Para decompor um número M em partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, deve-
se montar um sistema com n equações e n incógnitas, sendo as somas X1+X2+...+Xn=M e
p1+p2+...+pn=P.
X1
p1
=
X2
p2
= ... =
Xn
pn
A solução segue das propriedades das proporções:
X1 = X2 =...= Xn = X1+X2+...+Xn = M = K
DIVISÃO PROPORCIONAL
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p1
p2
pn
p1+p2+...+pn
P
Exemplo: Para decompor o número 120 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6,
deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas tal que A+B+C=120 e 2+4+6=P. Assim:
A
2
=
B
4
=
C
6
=
A+B+C
P
=
120
12
=10
logo A=20, B=40 e C=60.
Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-
4C=120.
A solução segue das propriedades das proporções:A
2
=
B
4
=
C
6
=
2A+3B-4C
2×2+3×4-4×6
=
120
-8
= – 15
logo A=-30, B=-60 e C=-90. Também existem proporções com números negativos! :-)
Divisão Em Duas Partes Inversamente Proporcionais
Para decompor um número M em duas partes A e B inversamente proporcionais a p e q, deve-se
decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a 1/p e 1/q, que são,
respectivamente, os inversos de p e q.
Assim basta montar o sistema com duas equações e duas incógnitas tal que A+B=M. Desse modo:
A
1/p
=
B
1/q
=
A+B
1/p+1/q
=
M
1/p+1/q
=
M.p.q
p+q
= K
O valor de K proporciona a solução pois: A=K/p e B=K/q.
Exemplo: Para decompor o número 120 em duas partes A e B inversamente proporcionais a 2 e 3,
deve-se montar o sistema tal que A+B=120, de modo que:
A
1/2
=
B
1/3
=
A+B
1/2+1/3
=
120
5/6
=
120.2.3
5
= 144
Assim A=72 e B=48.
Exemplo: Determinar números A e B inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença
entre eles é 10. Para resolver este problema, tomamos A-B=10. Assim:
A
1/6
=
B
1/8
=
A-B
1/6-1/8
=
10
1/24
= 240
DIVISÃO PROPORCIONAL
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Assim A=40 e B=30.
Divisão Em Várias Partes Inversamente Proporcionais
Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn inversamente proporcionais a p1, p2, ..., pn,
basta decompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a 1/p1, 1/p2, ...,
1/pn.
A montagem do sistema com n equações e n incógnitas, assume que X1+X2+...+ Xn=M e além disso
X1
1/p1
=
X2
1/p2
= ... =
Xn
1/pn
cuja solução segue das propriedades das proporções:
X1
1/p1
=
X2
1/p2
=...=
Xn
1/pn
=
X1+X2+...+Xn
1/p1+1/p2+...+1/pn
=
M
1/p1+1/p2+...+1/pn
Exemplo: Para decompor o número 220 em três partes A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e
6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, de modo que A+B+C=220. Desse
modo:
A
1/2
=
B
1/4
=
C
1/6
=
A+B+C
1/2+1/4+1/6
=
220
11/12
= 240
A solução é A=120, B=60 e C=40.
Exemplo: Para obter números A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-
4C=10, devemos montar as proporções:
A
1/2
=
B
1/4
=
C
1/6
=
2A+3B-4C
2/2+3/4-4/6
=
10
13/12
=
120
13
logo A=60/13, B=30/13 e C=20/13.
Existem proporções com números fracionários! :-)
Divisão Em Duas Partes Direta E Inversamente Proporcionais
Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a c e d e
inversamente proporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes A e B
diretamente proporcionais a c/q e d/q, basta montar um sistema com duas equações e duas
incógnitas de forma que A+B=M e além disso:
A
c/p
=
B
d/q
=
A+B
c/p+d/q
=
M
c/p+d/q
=
M.p.q
c.q+p.d
=K
O valor de K proporciona a solução pois: A=Kc/p e B=Kd/q.
DIVISÃO PROPORCIONAL
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Exemplo: Para decompor o número 58 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, e,
inversamente proporcionais a 5 e 7, deve-se montar as proporções:
A
2/5
=
B
3/7
=
A+B
2/5+3/7
=
58
29/35
= 70
Assim A=(2/5).70=28 e B=(3/7).70=30.
Exemplo: Para obter números A e B diretamente proporcionais a 4 e 3 e inversamente proporcionais
a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 21. Para resolver este problema basta escrever que
A-B=21 resolver as proporções:
A
4/6
=
B
3/8
=
A-B
4/6-3/8
=
21
7/24
= 72
Assim A=(4/6).72=48 e B=(3/8).72=27.
Divisão Em N Partes Direta E Inversamente Proporcionais
Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn e
inversamente proporcionais a q1, q2, ..., qn, basta decompor este número M em n partes X1, X2, ...,
Xn diretamente proporcionais a p1/q1, p2/q2, ..., pn/qn.
A montagem do sistema com n equações e n incógnitas exige que X1+X2+...+Xn=M e além disso
X1
p1/q1
=
X2
p2/q2
=...=
Xn
pn/qn
A solução segue das propriedades das proporções:
X1
p1/q1
=
X2
p2/q2
=...=
Xn
pn/qn
=
X1+X2+...+Xn
p1/q1+p2/q2+...+pn/qn
Exemplo: Para decompor o número 115 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 1, 2 e 3
e inversamente proporcionais a 4, 5 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas
de forma de A+B+C=115 e tal que:
A
1/4
=
B
2/5
=
C
3/6
=
A+B+C
1/4+2/5+3/6
=
115
23/20
= 100
logo A=(1/4)100=25, B=(2/5)100=40 e C=(3/6)100=50.
Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 1, 10 e 2 e inversamente
proporcionais a 2, 4 e 5, de modo que 2A+3B-4C=10.
A montagem do problema fica na forma:
A = B = C = 2A+3B-4C = 10 = 100
DIVISÃO PROPORCIONAL
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1/2
10/4
2/5
2/2+30/4-8/5
69/10
69
A solução é A=50/69, B=250/69 e C=40/69.
Regra De Sociedade
Regra de sociedade é um procedimento matemático que indica a forma de distribuição de um
resultado (lucro ou prejuizo) de uma sociedade, sendo que os membros poderão participar com
capitais distintos e também em tempos distintos. Os capitais dos membros participantes são
indicados por: C1, C2, ..., Cn e os respectivos tempos de participação deste capitais da sociedade por
t1, t2, ..., tn.
Definiremos o peso pk (k=1,2,...,n) de cada participante como o produto:
pk = Ck tk
e indicaremos o capital total como a soma dos capitais participantes:
C = C1 + C2 + ... + Cn
A Regra de Sociedade é uma aplicação imediata do caso de decomposição de um valor M
diretamente proporcional aos pesos p1, p2, ..., pn.
Exemplo: Ocorreu a formação de uma sociedade por três pessoas A, B e C, sendo que A entrou com
um capital de R$50.000,00 e nela permaneceu por 40 meses, B entrou com um capital de
R$60.000,00 e nela permaneceu por 30 meses e C entrou com um capital de R$30.000,00 e nela
permaneceu por 40 meses. Se o resultado (que pode ser um lucro ou um prejuizo) da empresa após
um certo período posterior, foi de R$25.000,00, quanto deverá receber (ou pagar) cada sócio?
Os pesos de cada sócio serão indicados em milhares para não termos muitos zeros nas expressões
dos pesos. Desse modo:
p1=50x40=2000; p2=60x30=1800; p 3=30x40=1200
A montagem do problema estabelece que A+B+C=25000 e além disso:
A
2000
=
B
1800
=
C
1200
A solução segue das propriedades das proporções:
A
2000
=
B
1800
=
C
1200
=
A+B+C
5000
=
25000
5000
= 5
A participação de cada sócio é X=5(2000)=10000, Y=5(1800)=9000 e Z=5(1200)=6000.
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REGRA DE TRÊS
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Regra De Três
Um Pouco De História
Estuda-se em proporção a relação entre grandezas. Em alguns casos vemos que as grandezas são
diretamente proporcionais, ou seja, o aumento de uma implica o aumento da outra, em outros,
inversamente proporcionais, isto é, o aumento de uma implica a redução da outra. Seja em quaisquer
dos casos anteriores, podemos resolver grande parte dos problemas relacionados às grandezas
proporcionais utilizando regra de três simples ou composta.
O conhecimento e a utilização de conceitos semelhantes à regra de três são muito antigos, tendo sua
provável origem na China antiga, podendo ser observadosem tempos muito distantes. Vários
problemas envolvendo manipulações muito próximas do que hoje conhecemos como regra de três
podem ser vistos no Papiro Rhind, documento confeccionado no Egito há cerca de 3000 anos. Mais
recente que o Papiro Rhind, o livro Liber Abaci do matemático italiano Leonardo Fibonacci (1175-
1250) revela vários problemas envolvendo a regra de três.
Apesar de sua criação ser tão remota, as aplicações relativas à regra de três são as mais variadas.
Tratando da matemática utilitária, podemos dizer que a regra de três é primordial a nossa vida, pois
soluciona questões corriqueiras com muita simplicidade e economia de tempo.
Vejam abaixo alguns problemas envolvendo regra de três simples e composta, direta e inversamente
proporcionais.
1. Um quilo (usarei “quilo” simplificadamente para representar quilograma (Kg)) de farinha de trigo é
suficiente para fazer 12 pães. De quanta farinha necessito para fazer 18 pães?
2. Quatro pedreiros constrói uma pequena casa em 90 dias. Dois pedreiros construirá a mesma casa
em quanto tempo?
3. Se 8 homens levam 12 dias montando 16 máquinas, então, nas mesmas condições, 15 homens
levarão quantos dias para montar 50 máquinas?
4. Trabalhando 6 dias, 5 operários produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo serão
produzidas por 7 operários em 9 dias de trabalho?
Grandezas Diretamente Proporcionais
Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando o aumento de uma implica o
aumento da outra. Ao dobrarmos uma grandeza, a outra também será dobrada, ao triplicarmos uma,
a outra também será triplicada. Em outras palavras, grandezas diretamente proporcionais variam
sempre na mesma razão.
Vejam o exemplo
NÚMERO DE PESSOAS DE CERTA
FAMÍLIA
DESPESA SEMANAL COM
ALIMENTAÇÃO (R$)
RAZÃO
4 200 1/50
5 250 1/50
Observação: A tabela acima é meramente ilustrativa e supõe que com o ingresso de mais um
membro nesta família aumentará proporcionalmente sua despesa semanal.
Grandezas Inversamente Proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o aumento de uma implica na redução da
outra, ou seja, quando dobramos uma delas, a outra se reduz a metade; quando triplicamos uma
delas, a outra fica reduzida a terça parte, etc.
Os números racionais x, y e z são inversamente proporcionais aos números racionais a, b e c,
respectivamente, quando se tem: x . a = y . b = z . c
REGRA DE TRÊS
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Veja o exemplo
NÚMERO DE OPERÁRIOS DE
CERTA OBRA
DIAS GASTOS PARA CONCLUI-LA
(DIAS)
RELAÇÃO x.a = y.b
12 60 12 . 60 = 720
6 120 6 . 120 = 720
Razão:
12/6 = 2/1
60/120 = 1/2
Note que 12/6 e 60/120 possuem razões inversas, isto é, 2/1 é o inverso de 1/2.
Regra de três simples
Quando, em uma relação entre duas grandezas, conhecemos três valores de um problema e
desconhecemos apenas um, poderemos chegar a sua solução utilizando os princípios da regra de
três simples. Para isso, basta que multipliquemos os meios entre si e os extremos também entre si.
Acompanhem:
Exemplo: os números 6 e 10 são diretamente proporcionais a 12 e x respectivamente. Nessas
condições, vamos encontrar o valor de x que torne essa afirmação verdadeira.
Vamos à solução dos problemas (1) e (2) propostos no início deste trabalho.
(1) Um quilo de farinha de trigo é suficiente para fazer 12 pães. De quanta farinha necessito para
fazer 18 pães?
● Vamos chamar o valor desconhecido de x emontar uma tabela contendo os valores.
Inicialmente teremos que analisar se as grandezas quantidade de farinha de trigo e número de
pãessão inversa ou diretamente proporcionais.
REGRA DE TRÊS
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• Se duplicarmos a quantidade de farinha de trigo, a quantidade de pães também duplicará. Se
triplicarmos a farinha, os pães também serão triplicados, e assim por diante. Sendo assim, somos
levados a concluir que essas duas grandezas são diretamente proporcionais;
• Sabendo dessa informação, basta escrevermos a proporção de acordo com o quadro acima e partir
para sua solução;
• As flechas no mesmo sentido indicam que as grandezas são diretamente proporcionais.
Conclusão: para fazer 18 pães precisaremos de 1,5 kg de farinha de trigo.
(2) Quatro pedreiros constroem uma pequena casa em 90 dias. Dois pedreiros construirão a mesma
casa em quanto tempo?
● Vamos chamar o valor desconhecido de x emontar uma tabela contendo os valores.
Como no caso anterior, teremos que analisar se as grandezas quantidade de pedreiros e dias gastos
na construção são inversa ou diretamente proporcionais.
• Se aumentarmos o número de pedreiros, a duração da obra será reduzida, portanto, essas
grandezas são inversamente proporcionais;
• Sabendo dessa informação, basta escrevermos a proporção de acordo com o quadro acima e partir
para sua solução;
• Como as grandezas são inversamente proporcionais, devemos inverter uma das frações;
• As setas contrárias indicam que as grandezas são inversamente proporcionais.
Conclusão: se reduzirmos o número de pedreiro a dois, teremos a obra concluída em 180 dias.
REGRA DE TRÊS
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Regra De Três Composta
Quando trabalhamos com três grandezas, direta ou inversamente proporcionais e, num determinado
problema, existem seis valores, dos quais cinco são conhecidos e apenas um desconhecido, pode-se
encontrar o valor da incógnita através da regra de três composta.
Vamos à solução dos problemas (3) e (4) propostos no início deste trabalho.
(3) Se 8 homens levam 12 dias montando 16 máquinas, então, nas mesmas condições, 15 homens
levarão quantos dias para montar 50 máquinas?
● Vamos chamar o valor desconhecido de x e montar uma tabela contendo os valores:
Analisemos as grandezas a fim de saber se são direta ou inversamente proporcionais entre si.
• Fixando a grandeza quantidade de homens, vamos relacionar as grandezas tempo de
montagem com número de máquinas. Se dobrarmos o tempo de montagem, dobraremos o número
de máquinas. Logo, essas duas grandezas são diretamente proporcionais.
• Fixando a grandeza número de máquinas, vamos relacionar as grandezas quantidade de
homens com tempo de montagem. Se dobrarmos o número de homens, teremos reduzido à metade o
tempo de montagem. Logo, essas duas grandezas são inversamente proporcionais.
• Sabendo dessas informações, basta escrevermos a proporção de acordo com a tabela acima;
• Como temos grandezas inversamente proporcionais, devemos inverter uma das frações;
Conclusão: Com 15 homens, serão construídas 50 máquinas em 20 dias.
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REGRA DE TRÊS
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(4) Trabalhando 6 dias, 5 operários produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo serão
produzidas por 7 operários em 9 dias de trabalho?
● Chamaremos o valor desconhecido de x:
Vamos fazer a análise dos dados contidos na tabela acima.
• Fixando a grandeza dias de trabalho, vamos relacionar as grandezas número de
operários com quantidade de peças. Ao dobrarmos o número de operários, dobraremos também o
número de peças fabricadas. Dessa forma, essas duas grandezas são diretamente proporcionais;
• Fixando a grandeza número de operários e relacionando as grandezas dias de
trabalho com quantidade de peças, temos: ao dobrarmos o número de dias de trabalho, dobraremos
também a quantidade de peças produzidas, ou seja, estas grandezas também são diretamente
proporcionais;
• Portando esses dados, deveremos escrever a devida proporção de acordo com a tabela acima;
• Como temos grandezas diretamente proporcionais, manteremos as frações em suas formas
originais.
Conclusão: com 7 operários, em 9 dias serão produzidas 840 peças.
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JUROS SIMPLES E COMPOSTO
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Juros Simples e Composto
Ao longo dos tempos constatou-se que o problema econômico dos governos; das instituições;
das organizações e dos indivíduos, decorria da escassez de produtos e/ou serviços, pelo fato de
que as necessidades das pessoas eram satisfeitas por bens e serviços
cuja oferta era limitada. Ao longo do processo de desenvolvimento das sociedades, o problema
de satisfazer as necessidades foi solucionado através da especialização e do processo de troca
de um bem pelo outro, conhecido como escambo. Mais tarde surgiu um bem intermediário, para
este processo de trocas que foi a moeda. Assim, o valor monetário ou preço propriamente dito,
passou a ser o denominador comum de medida para o valorizar os bens e os serviços e a moeda
um meio de acúmulo deste valor constituindo assim a riqueza ou capital.
Constatou-se assim, que os bens e os serviços poderiam ser consumidos ou guardados para o
consumo futuro. Caso o bem fosse consumido ele desapareceria e, caso houvesse o acúmulo,
surgiria decorrente deste processo o estoque que poderia servir para gerar novos bens e/ou
riqueza através do processo produtivo. E começou a perceber que os estoques eram feitos não
somente de produtos, mas de valores monetários também, que se bem administrado poderiam
aumentar gradativamente conforme a utilidade temporal.Surge-se daí a preocupação e a
importância do acúmulo das riquezas em valores monetários como forma de investimento futuro
e aumento do mesmo conforme o surgimento das necessidades.
Com o passar dos tempos essa técnica foi sendo melhorada e aperfeiçoada conforme as
necessidades de produção e tão quanto à necessidade mercantis que aflorava cada vez mais
tornando os produtores mais competitivos quanto ao aumento de oferta de suas produções.
Atualmente a técnica utilizada para compreensão de como o capital se comporta em uma
aplicação ao longo do tempo é realizado pela Matemática Financeira. De uma forma simplificada,
podemos dizer que a Matemática Financeira é o ramo da Matemática Aplicada e/ou Elementar,
que estuda o comportamento do dinheiro no tempo. A Matemática Financeira busca quantificar
as transações que ocorrem no universo financeiro levando em conta, a variável tempo, quer
dizer, o valor monetário no tempo (time value money).
As principais variáveis envolvidas no processo de quantificação financeira são: o capital, a taxa
de juros e o tempo.
Capital
Capital é todo o acúmulo de valores monetários em um determinado período de tempo
constituindo assim a riqueza como expresso anteriormente. Normalmente o valor do capital é
conhecido como principal (P). A taxa de juro (i), é a relação entre os Juros e o Principal, expressa
em relação a uma unidade de tempo.(n)
Juros
Deve ser entendido como Juros, a remuneração de um capital (P), aplicado a uma certa taxa (i),
durante um determinado período (n), ou seja, é o dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado.
Portanto, Juros (J) = preço do crédito.
A existência de Juros decorre de vários fatores, entre os quais destacam-se:
a) inflação: a diminuição do poder aquisitivo da moeda num determinado período de tempo;
b) risco: os juros produzidos de uma certa forma compensam os possíveis riscos do
investimento.
c) aspectos intrínsecos da natureza humana: quando ocorre de aquisição ou oferta de
empréstimos a terceiros.
Costuma-se especificar taxas de juros anuais, trimestrais, semestrais, mensais, entre outros,
motivo pelo qual deve-se especificar sempre o período de tempo considerado.
JUROS SIMPLES E COMPOSTO
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Quando a taxa de juros incide no decorrer do tempo, sempre sobre o capital inicial, dizemos que
temos um sistema de capitalização simples (Juros simples). Quando a taxa de juros incide sobre
o capital atualizado com os juros do período (montante), dizemos que temos um sistema de
capitalização composta (Juros compostos).
Na prática, o mercado financeiro utiliza apenas os juros compostos, de crescimento mais rápido
(veremos adiante, que enquanto os juros simples crescem segundo uma função do 1º grau –
crescimento linear, os juros compostos crescem muito mais rapidamente – segundo uma função
exponencial).
Juros Simples
O regime de juros simples é aquele no qual os juros incidem sempre sobre o capital inicial. Este
sistema não é utilizado na prática nas operações comerciais, mas, a análise desse tema, como
introdução à Matemática Financeira, é de uma certa forma, importante.
Considere o capital inicial P aplicado a juros simples de taxa i por período, durante n
períodos.
Lembrando que os juros simples incidem sempre sobre o capital inicial, podemos escrever a
seguinte fórmula, facilmente demonstrável:
J = juros produzidos depois de n períodos, do capital P aplicado a uma taxa de juros por
período igual a i.
No final de n períodos, é claro que o capital será igual ao capital inicial adicionado aos juros
produzidos no período. O capital inicial adicionado aos juros do período é denominado
MONTANTE (M). Logo, teríamos:
Exemplo:
A quantia de R$ 3.000,00 é aplicada a juros simples de 5% ao mês, durante cinco anos.
Calcule o montante ao final dos cinco anos.
Solução:
Temos: P = 3000,
i = 5% = 5/100 = 0,05 e
n = 5 anos = 5 x 12 = 60 meses.
Portanto, M = 3.000,00 x (1 + 0,05 x 60) = 3.000,00 x (1+3) = R$ 12.000,00.
A fórmula J = Pin, onde P e i são conhecidos, nos leva a concluir pela linearidade da função
juros simples, senão vejamos:
Façamos P.i = k.
Teremos, J = k.n, onde k é uma constante positiva. (Observe que P . i > 0)
Ora, J = k.n é uma função linear, cujo gráfico é uma semi-reta passando pela origem. (Porque
usei o termo semi-reta ao invés de reta?).
Portanto, J/n = k, o que significa que os juros simples J e o número de períodos n são grandezas
diretamente proporcionais. Daí infere-se que o crescimento dos juros simples obedece a uma
função linear, cujo crescimento depende do produto P.i = k, que é o coeficiente angular da semi-
reta J = kn.
J = P . i . n = Pin
JUROS SIMPLES E COMPOSTO
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M = P + J = P + P.i.n = P(1 + i.n)
É comum nas operações de curto prazo onde predominam as aplicações com taxas
referenciadas em juros simples, ter-se o prazo definido em número de dias. Nestes casos o
número de dias pode ser calculado de duas maneiras:
• Pelo tempo exato , pois o juro apurado desta maneira denomina-se juro exato, que é
aquele que é obtido quando o período (n) está expresso em dias e quando o período é
adotada a conversão de ano civil (365 dias)
• Pelo ano comercial, pois o juro apurado desta maneira denomina-se juro comercial que é
aquele calculado quando se adota como base o ano comercial (360 dias)
Exercício Proposto 01:
Calcule o montante ao final de dez anos de um capital R$ 10.000,00 aplicado à taxa de juros
simples de 18% ao semestre (18% a.s).
Resposta: R$ (?)
Vimos anteriormente, que se o capital (P) for aplicado por (n) períodos, a uma taxa de juros
simples (i), ao final dos n períodos, teremos que os juros produzidos serão iguais a J = Pin e que
o montante (capital inicial adicionado aos juros do período) será igual a M = P(1 + in).
O segredo para o bom uso destas fórmulas é lembrar sempre que a taxa de juros i e o período n
têm de ser referidos à mesma unidade de tempo.
Assim, por exemplo, se num problema, a taxa de juros for i =12% ao ano = 12/100 = 0,12 e o
período n = 36 meses, antes de usar as fórmulas deveremos colocá-las referidas à mesma
unidade de tempo, ou seja:
a) 12% ao ano, aplicado durante 36/12 = 3anos , ou
b) 1% ao mês = 12%/12, aplicado durante 36 meses, etc.
Exemplos:
01 – Quais os juros produzidos pelo capital R$ 12.000,00 aplicados a uma taxa de juros simples
de 10% ao bimestre durante 5 anos?
0
1º
mês
2º
mês
3º
mês
4º
mês
mese
s
JUROS SIMPLES E COMPOSTO
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Solução 01:
Temos que expressar i e nem relação à mesma unidade de tempo.
Vamos inicialmente trabalhar com BIMESTRE (dois meses):
i = 10% a.b. = 10/100 = 0,10
n = 5 anos = 5 x 6 = 30 bimestres (pois um ano possui 6 bimestres)
Então: J = R$ 12.000,00 x 0,10 x 30 = R$ 36.000,00
Solução 02:
Para confirmar, vamos refazer as contas, expressando o tempo em meses.
Teríamos:
i = 10% a x b = 10/2 = 5% ao mês = 5/100 = 0,05
n = 5 anos = 5 x 12 = 60 meses
Então: J = R$ 12.000,00 x 0,05 x 60 = R$ 36.000,00
02 – Um certo capital é aplicado em regime de juros simples, a uma taxa mensal de 5%. Depois
de quanto tempo este capital estará duplicado?
Solução 01:
Temos: M = P(1 + in). Logo, o capital estará duplicado quando M = 2P. Logo, vem:
2P = P(1 + 0,05n); (observe que i = 5% a.m. = 5/100 = 0,05).
Simplificando, fica:
2 = 1 + 0,05n 1 = 0,05n, de onde conclui-se n = 20 meses ou 1 ano e oito
meses.
Exercício Proposto 02:
Um certo capital é aplicado em regime de juros simples, a uma taxa anual de 10%. Depois de quanto
tempo este capital estará triplicado?
Resposta: (?) anos.
Juros Compostos
O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, devido aos juros, segundo duas
modalidades, a saber:
a) Juros simples – ao longo do tempo, somente o principal rende juros;
b) Juros compostos - após cada período, os juros são incorporados ao principal e passam, por
sua vez, a render juros. Também conhecido como "juros sobre juros".
O regime de juros compostos considera que os juros formados em cada período são acrescidos
ao capital formando um montante, capital mais juros, do período. Este montante, por sua vez,
passará a render juros no período seguinte formando um novo montante e assim
sucessivamente.Pode-se dizer então, que cada montante formado é constituído do capital inicial,
juros acumulados e dos juros sobre juros formados em períodos anteriores.
Este processo de formação de juros compostos é diferente daquele descrito para os juros
simples, onde somente o capital rende juros, não ocorrendo remuneração sobre os juros
formados em períodos anteriores.
Vamos ilustrar a diferença entre os crescimentos de um capital através juros simples e juros
compostos, com um exemplo:
JUROS SIMPLES E COMPOSTO
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Suponha que R$ 1.000,00 são empregados a uma taxa de 20% a.a.,por um período de 4 anos a
juros simples e compostos Teremos:
P= R$ 1.000,00 i= 20% a.a n= 4 anos
n Juros Simples Juros Compostos
Juros por periodo Montante Juros por periodo Montante
1 1.000,00 x 0,2 = 200 1.200,00 1.000,00 x 0,2 = 200 1.200,00
2 1.000,00 x 0,2 = 200 1.400,00 1.200,00 x 0,2 = 240 1.440,00
3 1.000,00 x 0,2 = 200 1.600,00 1.440,00 x 0,2 = 288 1.728,00
4 1.000,00 x 0,2 = 200 1.800,00 1.728,00 x 0,2 = 346 2.074,00
O gráfico a seguir permite uma comparação visual entre os montantes no regime de juros simples
e de juros compostos. Verificamos que a formação do montante em juros simples é linear e em
juros compostos é exponencial:
Fonte: Elaborado pelo autor
Observe que o crescimento do principal segundo juros simples é LINEAR enquanto que o
crescimento segundo juros compostos é EXPONENCIAL, portanto tem um crescimento muito
mais "rápido".
Exemplo 2:
Um empresário faz uma aplicação de R$ 1.000,00 a taxa composta de 10% ao mês por um
prazo de dois meses.
1º Mês:
O capital de R$ 1.000,00 produz um juros de R$ 100,00 (10% de R$ 1.000,00), pela fórmula dos
juros simples já estudada anteriormente, ficaria assim:
M = C x (1 + i) M = 1.000,00 x (1 + 0,10) M = 1.100,00
2º Mês:
O montante do mês anterior (R$ 1.100,00) é o capital deste 2º mês servindo de base para o
cálculo dos juros deste período. Assim:
M = 1.100,00 x (1 + 0,10) M = 1.210,00
JUROS SIMPLES E COMPOSTO
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Tomando-se como base a fórmula dos juros simples o montante do 2º mês pode ser assim
decomposto:
M = C x (1 + i ) x (1 + i ) M = 1.000,00 x (1 + 0,10 ) x (1 + 0,10 )
M = 1.000,00 x (1 + 0,10)2 M = 1.210,00
Exemplo 3:
A loja São João financia a venda de uma mercadoria no valor de R$ 16.00,00, sem entrada,
pelo prazo de 8 meses a uma taxa de 1,422. Qual o valor do montante pago pelo cliente.
M = C x (1 + i)
n
M = 16.000,00 x (1 + 1,422)
8
M = 22.753,61
Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores particulares costumam reinvestir
as quantias geradas pelas aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros
compostos na Economia. Na verdade, o uso de juros simples não se justifica em estudos
econômicos.
Fórmula para o cálculo de Juros compostos
Considere o capital inicial (P) R$ 1.000,00 aplicado a uma taxa mensal de juros compostos (i) de
10% (i = 10% a.m.). Vamos calcular os montantes (principal + juros), mês a mês:
• Após o 1º mês, teremos: M1 = 1000 x 1,1 = 1100 = 1000(1+0,1)
• Após o 2º mês, teremos: M2 = 1100 x 1,1 = 1210 = 1000(1+0,1)2
• Após o 3º mês, teremos: M3 = 1210 x 1,1 = 1331 = 1000(1 + 0,1)3
Dando continuidade ao raciocínio dos juros compostos, a evolução dos juros que incide a um
capital para cada um dos meses subseqüentes Após o nº (enésimo) mês o montante acumulado
ao final do período atingiria :
S = 1000 (1 + 0,1)
n
De uma forma genérica, teremos para um principal P, aplicado a uma taxa de juros
compostos i durante o período n :
ou
Onde:
S / M = montante;
P / C = principal ou capital inicial ; i = taxa de juros e
n = número de períodos que o principal P (capital inicial) foi aplicado.
NOTA: Na fórmula acima, as unidades de tempo referentes à taxa de juros (i) e do período (n),
tem de ser necessariamente iguais. Este é um detalhe importantíssimo, que não pode ser
esquecido! Assim, por exemplo, se a taxa for 2% ao mês e o período 3 anos, deveremos
considerar 2% ao mês durante 3 x 12=36 meses.
Taxa Nominal e Taxa Real
Taxa nominal
A taxa nominal de juros relativa a uma operação financeira, pode ser calculada pela expressão:
Taxa nominal = Juros pagos / Valor nominal do empréstimo
M = C (1 + i ) n S = P (1 + i) n
JUROS SIMPLES E COMPOSTO
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Assim, por exemplo, se um empréstimo de $100.000,00, deve ser quitado ao final de um ano,
pelo valor monetário de $150.000,00, a taxa de juros nominal será dada por:
Juros pagos = Jp = $150.000 – $100.000 = $50.000,00
Taxa nominal = in = $50.000 / $100.000 = 0,50 = 50%
Taxa Real
A taxa real expurga o efeito da inflação.
Um aspecto interessante sobre as taxas reais de juros é que, elas podem ser inclusive,
negativas!
Vamos encontrar uma relação entre as taxas de juros nominal e real. Para isto, vamos supor que
um determinado capital P é aplicado por um período de tempo unitário, a uma certa taxa nominal
in .
O montante S1 ao final do período será dado por S1 = P(1 + in).Consideremos agora que durante
o mesmo período, a taxa de inflação (desvalorização da moeda) foi igual a j. O capital corrigido
por esta taxa acarretaria um montante S2 = P (1 + j).
A taxa real de juros, indicada por r, será aquela que aplicada ao montante S2, produzirá o
montante S1. Poderemos então escrever:
S1 = S2 (1 + r)
Substituindo S1 e S2 ,
vem: P(1 + in) = (1+r). P
(1 + j)
Daí então, vem que:
(1 + in) = (1+r). (1 + j), onde:
in = taxa de juros nominal
j = taxa de inflação no
período r = taxa real de juros
Observe que se a taxa de inflação for nula no período, isto é, j = 0, teremos que as taxas
nominal e real são coincidentes.
Veja o exemplo a seguir:
Numa operação financeira com taxas pré-fixadas, um banco empresta $120.000,00 para ser
pago em umano com $150.000,00. Sendo a inflação durante o período do empréstimo igual a
10%, pede-se calcular as taxas nominal e real deste empréstimo.
Teremos que a taxa nominal será igual a:
in = (150.000 – 120.000)/120.000 = 30.000/120.000 = 0,25 =
25%
Portanto in = 25%
Como a taxa de inflação no período é igual a j = 10% = 0,10, substituindo na fórmula anterior, vem:
(1 + in) = (1+r). (1 + j)
(1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,10)
1,25 = (1 + r).1,10
1 + r = 1,25/1,10 = 1,1364
JUROS SIMPLES E COMPOSTO
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Portanto, r = 1,1364 – 1 = 0,1364 = 13,64%
Se a taxa de inflação no período fosse igual a 30%, teríamos para a taxa real de juros: (1 +
0,25) = (1 + r).(1 + 0,30)
1,25 = (1 + r).1,30
1 + r = 1,25/1,30 = 0,9615
Portanto, r = 0,9615 – 1 = -,0385 = -3,85% e, portanto teríamos uma taxa real de juros negativa!
Valor Presente e Valor Futur
Deve ser acrescentado ao estudo dos juros compostos que o capital é também chamado de valor
presente (PV) e que este não se refere necessariamente ao momento zero. Em verdade, o valor
presente pode ser apurado em qualquer data anterior ao montante também chamado de valor
futuro (FV).
As fórmulas do valor presente (PV) e do valor futuro (FV) são iguais já vistas anteriormente, basta
trocarmos seus correspondentes nas referidas fórmulas, assim temos:
ou
Onde (1 + i) n é chamado de fator de capitalização do capital, FCC (i,n) a juros compostos, e 1 /
(1 + i) n é chamado de fator de atualização do capital, FAC (i,n) a juros compostos.
A movimentação de um capital ao longo de uma escala de tempo em juros compostos se
processa mediante a aplicação destes fatores, conforme pode ser visualizado na ilustração
abaixo:
Observe que FV no período n é equivalente a PV no período zero, se levarmos em conta a taxa
de juros i. Esta interpretação é muito importante, como veremos no decorrer do curso. É
conveniente registrar que existe a seguinte convenção: seta para cima, sinal positivo (dinheiro
recebido) e seta para baixo, sinal negativo (dinheiro pago). Esta convenção é muito importante,
inclusive quando se usa a calculadora HP 12C. Normalmente, ao entrar com o valor presente VP
numa calculadora financeira, o fazemos seguindo esta convenção, mudando o sinal da quantia
considerada como PV para negativo, usando a tecla CHS, que significa uma abreviação de
"change signal", ou seja, "mudar o sinal". É conveniente ressaltar que se entrarmos com o PV
positivo, a calculadora expressará o FV como um valor negativo e vice versa, já que as
calculadoras financeiras, e aí se inclui a HP 12C, foram projetadas,
M = C x (1 + i ) n ou FV= PV (1 + i )
n
PV = FV x FAC ( i , n )
FV PV
FV PV
FV = PV x FCC ( i , n )
PV = FV
(1 + i )
n
C = M
(1 + i ) n
JUROS SIMPLES E COMPOSTO
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considerando esta convenção de sinais. Usaremos sempre a convenção de sinal negativo para
VP e em conseqüência, sinal positivo para FV. Veremos com detalhes este aspecto, no
desenvolvimento do curso.
Exemplos Práticos:
Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses à
taxa de juros composta de 3,5% a .m.?
Solução:
PV = R$ 12.000,00
n = 8 meses
i = 3,5 % a .
m. FV = ?
FV= PV (1 + i) n FV= 12.000,00 (1+0,035)8
FV= 12.000,00 X 1,316 FV= R$ 15.801,71
Se uma pessoa deseja obter R$ 27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela depositar hoje
numa poupança que rende 1.7% de juros compostos ao mês?
Solução:
FV = R$ 27.500,00
n = 1 ano (12
meses) i = 1.7% a
. m.
PV = ?
PV = FV.PV = 27.500,00.PV = 27.500,00 (1 + i) n(1 + 0,017) 12 1,224
PV = 22.463,70
Exercícios Propostos 03:
Aplicando-se R$ 1.000,00 por um prazo de dois anos a uma taxa de 5% ao semestre, qual será o
montante no fim do período?
Resposta: R$ (?)
Exercícios Propostos 04:
Um capital de R$ 2.000.000,00 é aplicado durante um ano e três meses à taxa de 2% a.m.
Quais os juros gerados no período?
Resposta: R$ (?)
Exercícios Propostos 05:
Determinado capital aplicado a juros compostos durante 12 meses, rende uma quantia de juros
igual ao valor aplicado. Qual a taxa mensal dessa aplicação?
Resposta: R$ (?)
Exercícios Propostos 06:
Calcule o montante de R$1.000,00 aplicados a 10% a.a. durante 50 dias.
JUROS SIMPLES E COMPOSTO
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Resposta: R$ (?)
Equivalência Financeira
Diz-se que dois capitais são equivalentes a uma determinada taxa de juros, se os seus valores
em um determinado período n, calculados com essa mesma taxa, forem iguais.
Exemplo 01:
1º Conjunto 2º Conjunto
Capital (R$) Vencimento Capital (R$) Vencimento
1.100,00 1 º a.a 2.200,00 1 º a.a
2.420,00 2 º a.a 1.210,00 2 º a.a
1.996,50 3 º a.a 665,5 3 º a.a
732,05 4 º a.a 2.196,15 4 º a.a
Verificar se os conjuntos de valores nominais, referidos à data zero, são equivalentes à taxa de
juros de 10% a.a.
Para o 1.º conjunto:
P0 = 1.100 x FAC (10%; 1) + 2.420 x FAC (10%; 2) +
+ 1.996,50 x FAC (10%; 3) + 732,05 x FAC (10%; 4)
P0 = 1.000 + 2.000 + 1.500 + 500
P0 = 5.000,00
Para o 2.º conjunto:
P0 = 2.200 x FAC (10%; 1) + 1.210 x FAC (10%; 2) +
+ 665,50 x FAC (10%; 3) + 2.196,15 x FAC (10%; 4)
P0 = 2.000 + 1.000 + 500 + 1.500
P0 = 5.000,00
Logo os dois conjuntos de capitais são equivalentes, pois P0 de um é igual ao P0 de
outro.
Exemplo 02 :
Seja um capital de R$ 10.000,00, que pode ser aplicado alternativamente à taxa de 2%
a.m ou de 24% a.a. Supondo um prazo de aplicação de 2 anos, verificar se as taxas são
equivalentes:
Solução:
Aplicando o principal à taxa de 2% a.m. e pelo prazo de 2 anos teremos:
J1 = R$ 10.000,00 x 0,02 x 24 = R$ 4.800,00
Agora se aplicarmos o principal à taxa de 24% a.a. e pelo prazo de 2 anos teremos:
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J2 = R$ 10.000,00 x 24 x 2 = R$ 4.800,00
OBS: Na utilização das fórmulas o prazo de aplicação (n) e a taxa (i) devem estar expressos na
mesma unidade de tempo. Caso não estejam, é necessário ajustar o prazo ou a taxa.
Descontos Simples
Existem dois tipos básicos de descontos simples nas operações financeiras: o desconto
comercial e o desconto racional. Considerando-se que no regime de capitalização simples, na
prática, usa-se sempre o desconto comercial, este será o tipo de desconto a ser abordado a
seguir.
• Desconto Racional: Nesta modalidade de desconto a “recompensa pela liquidação do título
antes de seu vencimento é calculada sobre o valor a ser liberado (Valor Atual).Incorpora os
conceitos e relações básicas de juros simples. Veja”:
J = P . i . n => D = VD . d . n
• Desconto Comercial: Nesta modalidade de desconto a “recompensa pela liquidação do título
antes de seu vencimento é calculada sobre o Valor Nominal do título. Incorpora os conceitos de
juros bancários que veremos detalhadamente a seguir”:
J = P . i . n => D = VN . d . n
Vamos considerar a seguinte simbologia:
N = valor nominal de um título. V = valor líquido, após o desconto.
Dc = desconto comercial. d = taxa de descontos
simples. n = número de períodos.
Teremos:
V = N - Dc
No desconto comercial, a taxa de desconto incide sobre o valor nominal N do título.
Logo:
Dc = Ndn
Substituindo,
vem: V = N(1 -
dn)
Exemplo:
Considere um título cujo valor nominal seja R$10.000,00. Calcule o desconto comercial a ser
concedido para um resgate do título 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de
desconto de 5% a.m.
Solução:
V = 10000 . (1 - 0,05 . 3) = 8500
Dc = 10000 - 8500 = 1500
Resp: valor descontado = R$ 8.500,00; desconto = R$1.500,00
Desconto Bancário
Nos bancos, as operações de desconto comercial são realizadas de forma a contemplar as
despesas administrativas (um percentual cobrado sobre o valor nominal do título) e o IOF -
imposto sobre operações financeiras.
JUROS SIMPLES E COMPOSTO
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É óbvio que o descontoconcedido pelo banco, para o resgate de um título antes do vencimento,
através desta técnica, faz com que o valor descontado seja maior, resultando num resgate de
menor valor para o proprietário do título.
Exemplo:
Um título de R$ 100.000,00 é descontado em um banco, seis meses antes do vencimento, à taxa de
desconto comercial de 5% a.m. O banco cobra uma taxa de 2% sobre o valor nominal do título como
despesas administrativas e 1,5% a.a. de IOF. Calcule o valor líquido a ser recebido pelo proprietário
do título e a taxa de juros efetiva da operação
Solução:
Desconto comercial: Dc = 100000 . 0,05 . 6 = 30000
Despesas administrativas: da = 100000 . 0,02 = 2000
IOF = 100000 . (0,015/360) . 180 = 750
Desconto total = 30000 + 2000 + 750 = 32750
Daí, o valor líquido do título será: 100000 - 32750 = 67250
Logo, V = R$ 67.250,00
A taxa efetiva de juros da operação será: i = [(100000/67250) - 1].100 = 8,12% a. m.
Observe que a taxa de juros efetiva da operação, é muito superior à taxa de desconto, o que é
amplamente favorável ao banco.
Duplicatas
Recorrendo a um dicionário encontramos a seguinte definição de duplicata: Título de crédito
formal, nominativo, emitido por negociante com a mesma data, valor global e vencimento da
fatura, e representativo e comprobatório de crédito preexistente (venda de mercadoria a prazo),
destinado a aceite e pagamento por parte do comprador, circulável por meio de endosso, e
sujeito à disciplina do direito cambiário.
Observação:
a) A duplicata deve ser emitida em impressos padronizados aprovados por Resolução do Banco
Central.
b) Uma só duplicata não pode corresponder a mais de uma fatura.
Considere que uma empresa disponha de faturas a receber e que, para gerar capital de giro, ela
dirija-se a um banco para trocá-las por dinheiro vivo, antecipando as receitas. Entende-se como
duplicatas, essas faturas a receber negociadas a uma determinada taxa de descontos com as
instituições bancárias.
Exemplo:
Uma empresa oferece uma duplicata de R$ 50000,00 com vencimento para 90 dias, a um
determinado banco. Supondo que a taxa de desconto acertada seja de 4% a. m. e que o banco,
além do IOF de 1,5% a.a. , cobra 2% relativo às despesas administrativas, determine o valor
líquido a ser resgatado pela empresa e o valor da taxa efetiva da operação.
Solução:
Desconto comercial = Dc = 50000 . 0,04 . 3 = 6000
Despesas administrativas = Da = 0,02 . 50000 = 1000
IOF = 50000(0,015/360).[90] = 187,50
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Teremos então:
Valor líquido = V = 50000 - (6000 + 1000 + 187,50) = 42812,50
Taxa efetiva de juros = i = [(50000/42812,50) - 1].100 = 16,79 % a.t. = 5,60% a.m.
Resp: V = R$ 42812,50 e i = 5,60 % a.m.
Exercícios Propostos 07:
Um título de R$ 5.000,00 vai ser descontado 60 dias antes do vencimento. Sabendo-se que a
taxa de juros é de 3% a.m., pede-se calcular o desconto comercial e o valor descontado.
Resposta: R$ (?)
Exercícios Propostos 08:
Um banco realiza operações de desconto de duplicatas a uma taxa de desconto comercial de
12% a . a., mais IOF de 1,5% a . a. e 2% de taxa relativa a despesas administrativas. Além disto,
a título de reciprocidade, o banco exige um saldo médio de 10% do valor da operação. Nestas
condições, para uma duplicata de valor nominal R$ 50000,00 que vai ser descontada 3 meses
antes do vencimento, pede-se calcular a taxa efetiva de juros da operação. Resposta: R$ (?)
Fluxo de Caixa
Conjunto de entradas e saídas de dinheiro (caixa) ao longo do tempo. Um diagrama de fluxo de
caixa, é simplesmente a representação gráfica numa reta, dos períodos e dos valores monetários
envolvidos em cada período, considerando-se uma certa taxa de juros i.
Traça-se uma reta horizontal que é denominada eixo dos tempos, na qual são representados os
valores monetários, considerando-se a seguinte convenção:
• dinheiro recebido seta para cima
• dinheiro pago seta para baixo.
Exemplo:
Veja o diagrama de fluxo de caixa a seguir:
O diagrama da figura acima, por exemplo, representa um projeto que envolve investimento inicial
de 800, pagamento de 200 no terceiro ano, e que produz receitas de 500 no primeiro ano, 200 no
segundo, 700 no quarto e 200 no quinto ano.
Convenção: dinheiro recebido flecha para cima valor positivo
dinheiro pago flecha para baixo valor negativo
JUROS SIMPLES E COMPOSTO
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Vamos agora considerar o seguinte fluxo de caixa, onde C0, C1, C2, C3, ..., Cn são capitais
referidos às datas, 0, 1, 2, 3, ..., n para o qual desejamos determinar o valor presente (PV).
O problema consiste em trazer todos os capitais futuros para uma mesma data de referencia.
Neste caso, vamos trazer todos os capitais para a data zero. Pela fórmula de Valor Presente vista
acima, concluímos que o valor presente resultante - NPV - do fluxo de caixa, também conhecido
como Valor Presente Líquido (VPL), dado será:
Esta fórmula pode ser utilizada como critério de escolha de alternativas, como veremos nos
exercícios a seguir.
Exercícios:
1 - Numa loja de veículos usados são apresentados ao cliente dois planos para pagamento de um
carro:
Plano A: dois pagamentos, um de $ 1.500,00 no final do sexto mês e outro de $ 2.000,00 no
final do décimo segundo mês.
Plano B: três pagamentos iguais de $ 1.106,00 de dois em dois meses, com início no final do
segundo mês.
Sabendo-se que a taxa de juros do mercado é de 4% a.m., qual o melhor plano de pagamento?
Solução:
Inicialmente, devemos desenhar os fluxos de caixa correspondentes:
Plano A:
Plano B:
JUROS SIMPLES E COMPOSTO
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Teremos para o plano A:
Para o plano B, teremos:
Como o plano A nos levou a um menor valor atual (ou valor presente), concluímos que este
plano A é mais atraente do ponto de vista do consumidor.
Exercício:
1 - Um certo equipamento é vendido à vista por $ 50.000,00 ou a prazo, com entrada de $
17.000,00 mais três prestações mensais iguais a $ 12.000,00 cada uma, vencendo a primeira
um mês após a entrada. Qual a melhor alternativa para o comprador, se a taxa mínima de
atratividade é de 5% a.m.?
Solução:
Vamos desenhar os fluxos de caixa:
À vista:
A prazo:
Vamos calcular o valor atual para esta alternativa:
JUROS SIMPLES E COMPOSTO
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Como o valor atual da alternativa a prazo é menor, a compra a prazo neste caso é a melhor
alternativa, do ponto de vista do consumidor.
Exercício:
1 - Um equipamento pode ser adquirido pelo preço de $ 50.000,00 à vista ou, a prazo conforme o
seguinte plano:
Entrada de 30% do valor à vista, mais duas parcelas, sendo a segunda 50% superior à primeira,
vencíveis em quatro e oito meses, respectivamente. Sendo 3% a.m. a taxa de juros do mercado,
calcule o valor da última parcela.
Solução
Teremos:
Resolvendo a equação acima, obtemos x = 19013,00
Portanto, o valor da prestação é $19013,00.
Exercício Proposto 09:
Uma loja vende determinado tipo de televisor nas seguintes condições: R$ 400,00 de entrada,
mais duas parcelas mensais de R$ 400,00, no final de 30 e 60 dias respectivamente. Qual o valor
à vista do televisor se a taxa de juros mensal é de 3% ?
Resposta: R$ (?)
Noção Elementar de Inflação e Saldo Médio Bancário
Outro conceito importante no estudo da Matemática Financeira é o de inflação.
Entenderemos como INFLAÇÃO num determinado período de tempo, como sendo o aumento
médio de preços, ocorrido no período considerado, usualmente medido por um índice expresso
como uma taxa percentual relativa a este mesmo período.
Para ilustrar uma forma simples o conceito elementar de inflação apresentamos acima, vamos
considerar a tabela abaixo, onde está indicado o consumo médio mensal de uma determinada família
em dois meses distintos e os custos decorrentes associados:
Indicadores Mês 01 Mês 02
Produto Quantidade Preço ($)Subtotal Preço ($) Subtotal
JUROS SIMPLES E COMPOSTO
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Arroz 5 kg 1,20 6,00 1,30 6,50
Carne 15 kg 4,50 67,50 4,80 72,00
Feijão 4 kg 1,69 6,76 1,80 7,20
Óleo 2 latas 2,40 4,80 2,45 4,90
Leite 20 litros 1,00 20,00 1,10 22,00
Café 1 kg 7,60 7,60 8,00 8,00
Açúcar 10 kg 0,50 5,00 0,65 6,50
Passagens 120 0,65 78,00 0,75 90,00
TOTAL ********** 195,66 ********** 217,10
A variação percentual do preço total desta cesta de produtos, no período considerado é igual a:
V = [(217,10 / 195,66) - 1] x 100 = 0,1096 = 10,96 %
Diremos então que a inflação no período foi igual a 10,96 %.
Notas:
a) Para o cálculo de índices reais de inflação, o número de itens considerado é bastante superior
e são obtidos através de levantamento de dados em determinadas amostras da população, para
se determinar através de métodos estatísticos, a "cesta de mercado", que subsidiará os cálculos;
b) A metodologia sugerida no exemplo acima é conhecida como método de Laspeyres ;
c) Podemos entender agora os motivos que determinam as diferenças entre os índices de inflação
calculados entre instituições distintas tais como FIPE, FGV, DIEESE, entre outras.
Juros e saldo médio em contas correntes
Vamos considerar o caso de uma conta corrente, da qual o cliente saca e deposita recursos ao
longo do tempo. Vamos ver nesta seção, a metodologia de cálculo do saldo médio e dos juros
mensais decorrentes da movimentação dessa conta.
As contas correntes associadas aos "cheques especiais" são exemplos corriqueiros da aplicação
prática da metodologia a ser apresentada.
Juros em contas correntes (cheques especiais)
Considere os capitais C1, C2, C3, ... , Ck aplicados pelos prazos n1, n2, n3, ... , nk, à taxa de juros
simples i. A fórmula abaixo, permite o cálculo dos juros totais J produzidos no período
considerado:
J = i.(C1.n1 + C2.n2 + C3.n3 + ... + Ck.nk)
O cálculo dos juros pelo método acima (conhecido como "Método Hamburguês") é utilizado para a
determinação dos juros sobre os saldos devedores dos "cheques especiais".
Serie de Pagamentos
Série de pagamentos - é um conjunto de pagamentos de valores R1, R2, R3, ... Rn,
distribuídos ao longo do tempo correspondente a n períodos, podendo esses pagamentos
serem de valores constantes ou de valores distintos. O conjunto de pagamentos (ou
recebimentos) ao longo dos n períodos, constitui - se num fluxo de caixa. Vamos resolver a
JUROS SIMPLES E COMPOSTO
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seguir, os problemas nos quais R1 = R2 = R3 = ... Rn = R, ou seja: pagamentos (ou recebimentos)
iguais.
Quando a série de pagamentos (ou recebimentos) se inicia um período após a data
zero, o fluxo recebe o nome de POSTECIPADO. Quando o início dos pagamentos ou
recebimentos ocorre na data zero, o fluxo recebe o nome de ANTECIPADO.
Exemplos:
1 - Pagamentos no início dos períodos: Fluxo ANTECIPADO
2 - Pagamentos no final dos períodos: Fluxo POSTECIPADO
Fator de acumulação de capital – FAC
O problema a resolver é o seguinte:
Determinar a quantia S acumulada a partir de uma série uniforme de pagamentos iguais a R, sendo i
a taxa de juros por período
Vamos considerar dois casos: fluxo postecipado e fluxo antecipado.
NOTA: na calculadora HP12C, R é expressa pela tecla PMT (pagamentos periódicos).
Portanto R e PMT possuem o mesmo sentido, ou seja, a mesma interpretação. Da mesma
forma, S corresponde a FV na calculadora HP 12C.
A) Fluxo postecipado
Considere o fluxo de caixa postecipado a seguir, ou seja: os pagamentos são feitos nos finais dos
JUROS SIMPLES E COMPOSTO
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períodos.
Vamos transportar cada valor R para o tempo n, supondo que a taxa de juros é igual a i
, lembrando que se trata de um fluxo de caixa POSTECIPADO, ou seja, os pagamentos são
realizados no final de cada período.
Teremos:
S = R(1+i)n-1 + R(1+i)n-2 + R(1+i)n-3 + ... + R(1+i) + R
Colocando R em evidencia, teremos:
S = R[(1+i)n-1 + (1+i)n-2 + (1+i)n-3 + ... + (1+i) + 1]
Observe que a expressão entre colchetes é a soma dos n primeiros termos de uma progressão
geométrica de primeiro termo (1+i)n-1, último termo 1 e razão 1/(1+i).
Aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica, teremos:
Nota: em caso de dúvida, consulte sobre Progressão
Geométrica (1+i)n-1 + (1+i)n-2 + (1+i)n-3 + ... + (1+i) + 1 =
Substituindo o valor encontrado acima, vem finalmente que:
• o fator entre colchetes é denominado Fator de acumulação de capital – FAC(i,n).
• assim, teremos: S = R . FAC(i,n). Os valores de FAC(i,n) são tabelados. Na prática, utilizam-se
as calculadoras científicas ou financeiras, ao invés das tabelas.
Usando-se a simbologia adotada na calculadora HP 12C, onde R = PMT e S = FV, teremos a fórmula
a seguir:
Fator de valor atual – FVA
Considere o seguinte problema:
Determinar o principal P que deve ser aplicado a uma taxa i para que se possa retirar o valor R em
cada um dos n períodos subseqüentes.
JUROS SIMPLES E COMPOSTO
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Este problema também poderia ser enunciado assim: qual o valor P que financiado à taxa i por
período, pode ser amortizado em n pagamentos iguais a R?
Fluxo postecipado (pagamentos ao final de cada período, conforme figura a seguir):
Trazendo os valores R para o tempo zero, vem:
O fator entre colchetes representa a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de
primeiro termo 1/(1+i), razão 1/(1+i) e último termo 1/(1+i)n.
Teremos então, usando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica.
O fato r entre colchetes será então igual a:
Substituindo, vem finalmente:
• o fator entre colchetes é denominado Fator de valor atual – FVA(i,n);
• assim, teremos: P = R . FVA(i,n). Os valores de FVA(i,n) são tabelados;
• observe que P corresponde a PV e R corresponde a PMT na calculadora HP 12C.
Usando a simbologia da calculadora HP 12C, a fórmula acima ficaria:
Sistema De Amortização De Empréstimos
Sistema De Amortização Constante – (SAC)
Nesse sistema as parcelas de amortização são iguais entre si. Os juros são calculados a cada
período multiplicando-se a taxa de juros contratada pelo saldo devedor existente no período.
• Amortização numa data genérica t
Os valores são sempre iguais e obtidos por A= P/n onde A1 = A2 = A3 = ... An = A = cte e n = prazo
total
JUROS SIMPLES E COMPOSTO
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n
A n.A P
Isso implica que a soma das n amortizações iguais seja:
• Saldo Devedor numa data genérica t
No sistema SAC o saldo devedor decresce linearmente em um valor igual à amortização A = P/n .
Assim, o saldo devedor, logo após o pagamento da prestação ( AMORTIZAÇÃO + JUROS )
correspondente, será:
Assim, o valor dos juros pagos na referida data será:
ou então:
Onde: n = prazo total
t = o momento desejado
Somatório dos Juros
Como a variação de juros no Sistema SAC se trata de uma progressão aritmética, o somatório
dos juros de um determinado período se faz utilizando a fórmula do somatório dos n termos de
uma P.A.
Com isso:
Prestação Numa Data Genérica T
Soma-se a amortização do momento desejado (que é constante em todos os momentos) como
os juros referentes a este momento.
R1 A + J1
Jt = Ai (n – t + 1)
Jt = Pi – (t – 1).Ai
t = 1
1 t
2
( J J )t
J =
JUROS SIMPLES E COMPOSTO
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R2 A + J2
R3 A + J3
Rt A + Jt
Assim , o pagamento de um financiamento pelo sistema SAC, num prazo de n períodos e à
uma taxa i por período seria como o diagrama e a tabela abaixo:
DATA S aldo Devedor Juros Amortização P res tação
T P t = P t- 1 - A Jt = P t- 1 . i At = A = P / n Rt = A + Jt
0 P 0 = P - - -
1 P 1 = P – A J1 = P . i A1 = A R1 = A + J1
2 P 2 = P 1 – A J2 = P 1 . i A2 = A R2 = A + J2
3 P 3 = P 2 – A J3 = P 2 . i A3 = A R3 = A + J34 P t = P t- 1 – A Jt = P t- 1 . i At = A R4 = A + J4
n P n = P n- 1 – A Jn = P n- 1 . i An = A Rn = A + Jn
Orde m de
Obte nção
das Parc e
las
2.º
3.º
1.º
4.º
Vejamos agora um exemplo numérico:
P = $ 1.000,00
n = 4
prestações i
= 2% a.p.
t Saldo Devedor Amortização Juros P res tação
0 1.000,00 - - -
1 750,00 250,00 20,00 270,00
JUROS SIMPLES E COMPOSTO
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2 500,00 250,00 15,00 265,00
3 250,00 250,00 10.00 260,00
4 0,00 250,00 5,00 255,00
Sistema De Prestações Constantes - (PRICE)
Prestação Numa Data Genérica T
No sistema PRICE a prestação é constante e em qualquer data t o seu valor é dado por:
Rt = R1 = R2 = ... = Rn = cte.
Rt = R = P x FPR(i,n) = constante
Juros Numa Data Genérica T
Os juros de um determinado período são calculados sobre o saldo devedor do período anterior.
Ou Jt = Rt - At Rt = R = cte.
Jt = R - At
Ou Jt = R - At = R - A1(1 + i)t-1 A1 = R – J1
= R – P.i
Assim: Jt = R – ( R – P.i ) ( 1 + i )t-1
Amortização numa data genérica t
No sistema PRICE o crescimento das amortizações é exponencial ao longo do tempo.
Dado que At=R – Jt e J= P.i, então:
DATA 1 – final do 1.º período
Juros = J1 = P.i
Amortização = A1 = R – J1 = ( R - P.i)
DATA 2 – final do 2.º período
Juros = J2 = P1.i = [ P (1 + i) – R ].i = [ P (1 + i).i – R.i ]
Amortização = A2 = R – J2 = R - P.( 1 + i).i + R = R.(1 + i ) – P.(1 + i).i
= (R – P.i) . (1 + i) = A2 = A1 (1 + i)
DATA 3 – final do 3.º período
Juros = J3 = P2.i = P.i – A1.i – A1 (1 + i).i
Amortização = A3 = R – J3 = R - [P.i – A1.i - A1 (1 + i).i] A3
= (R - P.i) + A1.i + A1 (1 + i).i
Jt = i . Pt-1
JUROS SIMPLES E COMPOSTO
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= A1 + A1.i + A1 (1 + i).i
= A1 (1 + i) + A1 (1 + i).i
= A1 (1 + i).(1 + i)
A3 = A1 (1 + i)2
Então teríamos:
A2 = A1 ( 1 + i ) A3 = A1 ( 1 + i )2 A4 =
A1 ( 1 + i )3
... ..... ... An
= A1 ( 1 + i )n-1
O que comprovaria a expressão:
At = A1.(1 + i)t-1 ; para uma data genérica t ou At = A1. FPS(i%, ( t - 1))
Para testar a consistência da fórmula acima:
A1 = 22.192 t = 3
i = 8% a.a. A3 = ?
At = A1.(1 + i)t-1 A3 = 22.192.(1 + 0,08)2 A3
= 22.192 x 1,1664 = 25.884,75
Ou
At = A1 x FPS [ i , (t-1) ] pois (1 + i)t-1 = FPS [ i , (t-1) ] desse modo, no exemplo
anterior teríamos:
A3 = 22.192 x FPS( 8%,2) = 22.192 x 1,1664 = 25.884,75
Saldo Devedor numa data genérica t
O Saldo devedor de um determinado período é dado pela diferença entre o saldo devedor do
período anterior e a amortização do período.
Assim para um empréstimo P ;a taxa de juros i por período com um prazo de N períodos ;
poderíamos elaborar seguinte
Pt = Pt-1 – At Pt = R x FRP [i%, ( n – t )]
JUROS SIMPLES E COMPOSTO
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Datas
Saldo Devedor Juros P res taçõ es
Cons tantes
Amortização
(t ) P t = P t- 1 - At Jt = P t- 1 . i Rt = R At = R – Jt
0 P o = P - - -
1 P 1 = P – A1 J1 = P .i R A1 = R – J1
2 P 2 = P 1 – A2 J2 = P 1.i R A2 = R – J2
3 P 3 = P 2 – A3 J3 = P 2.i R A3 = R – J3
T P t = P t- 1 – At Jt = P t- 1.i R At = R – Jt
. . . . . . . . . . . . . . . . .
N P n = P n- 1 – An Jn = P n- 1.i R An = R – Jn
TOTAIS
n
J t n.R
P
1
R n.R t n
A t P
t 1
Ordem de
obtenção
de
parcelas
4.º
2 .º
1.º
3 .º
Vejamos agora um exemplo numérico:
P = 1.000,00
i = 2% a.p.
n = 4 prestações
t Saldo Devedor Amortização Juros P res tação
0 1.000,00 - - -
1 757,38 242,62 20,00 262,62
2 509,91 247,47 15,15 262,62
3 257,49 252,42 10,20 262,62
4 - 257,49 5,15 262,62
Um financiamento pelo Sistema Price pode ser calculado utilizando-se máquinas financeiras, pois
suas prestações são constantes.
Sistema De Amortização Mista – (SAM)
Aqui o valor da prestação é obtido através da média aritmética das prestações obtido através do
sistema PRICE e SAC.
JUROS SIMPLES E COMPOSTO
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Ex.:
P = 1.000,00 i = 8 % a.a. n = 4 anos
S IS T. P RICE
ANO
S A LDO
DEVEDOR
Juros P res tação Amotização S aldo Final
1.000,00
1 1.000,00 80,00 301,92 221,92 778,08
2 778.08 62,25 301,92 239,67 538,41
3 538,41 43,07 301,92 258,85 279,56
4 270,56 22,36 301,92 279,56
S IS T. SAC
ANO
S A LDO
DEVEDOR
Juro s P res tação Amotização S aldo Final
1.000,00
1 100,00 80,00 330,00 250,00 750,00
2 750,00 60,00 310,00 250,00 500,00
3 500,00 40,00 290,00 250,00 250,00
4 250,00 20,00 270,00 250,00
S IST. SAM
Ano P res t . P RICE P REST. SAC S OMA P REST. S AM
1 301,92 330,00 631,92 315,96
2 301,92 310,00 611,92 305,96
3 301,92 290,00 591,92 295,96
4 301,92 270,00 571,92 285,96
Essa modalidade de pagamento é conhecida como Sistema de Amortização Mista
(SAM) e vem sendo utilizada na liquidação de financiamento imobiliário.
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PORCENTAGEM
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Porcentagem
O termo porcentagem é muito utilizado no cotidiano, principalmente em situações ligadas à
Matemática Financeira, correção monetária, investimentos, cálculo de juros, descontos, determinação
de valores de impostos entre outras situações. Dado um número qualquer x, temos que x%
corresponde à razão centesimal x/100. O símbolo % significa porcento ou divisão por cem. Observe:
15% (quinze porcento) = 15/100 = 3/20 = 0,15
20% (vinte porcento) = 20/100 = 1/5 = 0,20
25% (vinte e cinco porcento) = 25/100 = 1/4 = 0,25
40% (quarenta porcento) = 40/100 = 2/5 = 0,40
120% (cento e vinte porcento) = 120/100 = 6/5 = 1,2
Um número que possui a característica de porcentagem pode ser expresso das seguintes formas:
fração centesimal ou número decimal, a forma ficará a critério do estudante.
Exemplo 1
Uma determinada loja de eletrodomésticos vende seus produtos em até 10 vezes, incluído os juros.
No caso de pagamento à vista a loja oferece um desconto de 15% sobre o preço da mercadoria. Na
compra à vista de uma geladeira que custa R$ 1.200,00, qual o valor do desconto?
15% = 15/100 = 3/20 = 0,15
Podemos resolver o problema de duas maneiras. Observe:
Multiplicando o valor de R$1200 por 15 e depois dividindo por 100.
1200 x 15/100 = 18000/100 = 180
Multiplicando o valor de R$1200 por 0,15.
1200 x 0,15 = 180
O desconto na compra à vista da geladeira é de R$ 180,00, dessa forma, o preço seria de 1200 – 180
= R$ 1.020,00.
Exemplo 2
O atraso no pagamento de qualquer imposto ou até mesmo de prestações particulares gera multas
que são calculadas com base em índices percentuais, regularizados pelos órgãos competentes. Qual
o valor de uma prestação de R$ 550,00 que foi paga com atraso de 10 dias, sabendo que sobre o
valor deverá ser acrescentado 4% de multa?
4% = 4/100 = 1/25 = 0,04
Resolvendo de duas maneiras:
1º) 550 x 4/100 = 2200/100 = 22
2º) 550 x 0,04 = 22
O acréscimo em razão do atraso será de R$22,00, portanto, a prestação passará de R$ 550,00 para
R$ 572,00.
Porcentagem é uma razão do tipo a/b, em que b = 100. Note que sempre é possível obter essa razão
utilizando a ideia de proporcionalidade ou de frações equivalentes. Por exemplo, em uma sociedade,
se investimos uma fração de um valor inicial de R$ 1000.00, é equivalente a dizer que a nossa parte
do investimento inicial foi de . Esta razão é chamada “taxa percentual” e pode ser
PORCENTAGEM
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expressa tanto com o símbolo % (por cento), quanto na forma de fração ( ) ou ainda, em forma
textual,que nesse caso seria 40 em 100.
A ideia de porcentagem é diretamente ligada aos assuntos financeiros, quando tratamos casos de
juros ou descontos obtidos nas compras, taxas pagas por um serviço, taxa de imposto ou mesmo em
taxas de variação de resultados. Lembrando que uma porcentagem é sempre sobre algum valor e
não existe porcentagem isolada, isto significa que não faz sentido falar 20%. Precisamos deixar claro
a que corresponde essa porcentagem. Ajuda muito fazer as seguintes perguntas: 20% de que? De
qual valor? De desconto ou de juro?
Exemplo 1
Pense na situação em que você deseja comprar um jogo que custa R$150,00, mas se comprar à
vista tem desconto de 10%. Quanto você pagaria pelo jogo, comprando sem parcelar?
Nesse caso, podemos escrever o problema da seguinte forma:
Assim, o valor do seu desconto é R$15,00 e, então, o valor a ser pago corresponde a R$ 150,00 - R$
15,00 = R$ 135,00.
Exemplo 2
Agora imagine que você quer comprar uma casa que à vista custa R$ 283.000,00. Mas você não tem
todo esse dinheiro e suas economias somam apenas R$77.500,00. Sendo assim, você precisa
recorrer a um empréstimo bancário. O banco cobra taxa de juros de 1,5% do valor emprestado, se o
montante for pago em até um ano, e 2,5%, se for pago em até 24 meses. Desse modo, para que você
consiga pagar o empréstimo nesse período, quanto custará cada parcela?
Primeiramente, vamos encontrar quanto você pegou emprestado, já que os juros são calculados
sobre esse valor e não sobre o valor total da casa. Você tinha R$ 77.500 e precisava de R$ 283.000,
então o valor emprestado foi de R$ 283.000,00 - R$ 77.500,00 = R$ 205.500,00. Desse valor, vamos
calcular quanto será acrescentado pelos juros. Para conseguir pagar o empréstimo em um ano, o
valor do juro será:
Então a dívida final será de R$ 205.500,00 + R$ 3.082,50 = R$ 208.582,50, que dividido em 12
meses, cada parcela ficaria no valor de R$ 208.582,50/12 = R$ 17.381,88. Mas esse valor de parcela
é muito alto e você decide pagar em 2 anos. Então o valor da dívida será calculado com a taxa de
juros de 3,5%. Assim, refazendo os cálculos acima, temos,
juros= 3,5% de 205500 = R$7.192,50. Então o valor da dívida será calculado como sendo
R$ 205500,00 + R$7.192,50 = R$ 212.692,50, que dividido por 24 meses, cada parcela sairia no valor
de R$ 8.862,19. Essa parcela é mais viável, apesar de que o valor final pago é maior que quando é
pago em um ano.
Exemplo 3
Em bares e restaurantes é muito comum a cobrança de taxa de serviços. Embora não haja previsões
legais no código de defesa do consumidor, essa taxa é estipulada em 10% do valor da conta. Assim,
se em uma churrascaria o gasto foi de R$190,00, ao somar a taxa de serviços temos uma conta a ser
paga de R$190,00+R$19,00=R$209,00. Agora, se esse valor já é o total, incluindo a taxa de serviços,
o valor gasto pode ser calculado a partir de uma regra de três simples. Basta fazer , de onde
temos que . E, portanto, o total gasto foi R$172,72.
Exemplo 4
PORCENTAGEM
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Numa determinada empresa, o faturamento de um mês para o mês seguinte aumentou em torno de
50% e, posteriormente, teve queda de 12%. Supondo que o faturamento inicial tenha sido de
R$1.323.227,19, qual foi o valor faturado no final dos três meses?
O aumento de 50% do faturamento deve ser calculado sobre o valor faturado inicialmente. Assim, no
segundo mês, temos um aumento de:
(50/100)*1.323.227,19 = 0.5*1.323.227,19 = 661.613,60.
Então o faturamento foi de R$1.323.227,19 + R$661.613,60 = 1.984.840,79. Agora o percentual de
queda não é mais calculado sobre o valor inicial e sim sobre o valor do faturamento no segundo mês.
Como a porcentagem de queda foi de 12%, fazemos 0.12 * 1.984.840,79 = 238.180,89 e subtraímos
do montante no segundo mês. Portanto, o faturamento final foi R$ 1.984.840,79 - R$ 238.180,89 =
R$1.746.659,90
Juros Simples e Compostos
Juros Simples
Regime De Juros Simples
O regime de juros simples não é muito utilizado pelo atual sistema financeiro nacional, mas ele se
relaciona à cobrança em financiamentos, compras a prazo, impostos atrasados, aplicações
bancárias, etc. Nesse regime, a taxa de juros é somada ao capital inicial durante o período da
aplicação. O cálculo para juros simples é dado pela fórmula:
J = PV x i x n
J = Juro
PV = Capital inicial, principal ou valor presente
i = taxa de juros
n = número de períodos em que foi aplicado o capital
No cálculo do juro simples, também chamado de juro comercial, o juro sob o capital aplicado é
diretamente proporcional ao capital e o tempo de aplicação. Através da taxa de juros, irá variar ao
longo do período. Assim, utiliza-se o ano comercial, sendo 360 dias no ano e 30 dias no mês. Ex.:
Saiba Calcular Juros Simples
1) Qual o valor dos juros aplicados a um empréstimo de R$ 200, durante 6 meses, numa taxa de
juros simples de 6% ao mês?
Dados Encontrados:
PV= R$ 200
i = 6 %a.m.
PORCENTAGEM
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n = 6 meses
J = ?
Conversão Da Taxa De Juros:
6% → 6/100 → 0,06
Resolução:
J = PV x i x n → J = R$ 200 x 0,06 x 6 → J = R$ 72,00
Explicação Do Problema Em Juros Simples
1º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros)
2º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros)
3º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros)
4º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros)
5º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros)
6º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros)
Na soma dos juros durante seis meses temos R$ 72,00 de juros. Com esse exemplo, verifica-se que
no cálculo de juros simples, os juros são iguais, pois ele sempre será acrescentado ao capital inicial.
Importante
Os períodos sempre devem estar na mesma unidade de tempo da taxa de juros:
Taxa de Juros = 6% ao mês (a.m.)
Número de Períodos= 6 meses
Caso contrário, é preciso ajustar os elementos. Veja:
Taxa de Juros = 0,06% ao semestre (a.s.)
Número de Períodos = 3 anos → 6 semestres
Cálculo De Juros Simples Em Períodos Não Inteiros
Existem situações em que o prazo da aplicação é um número não inteiro, sendo preciso utilizar
frações de períodos para que não hajam erros no valor final. Supondo que o período de aplicação é 5
anos e 9 meses, é sugerido as seguintes soluções para transformá-lo de acordo com a taxa de juros:
1) transformar o período para semestres ou meses: 69 meses ou 11,5 semestres.
2) transformar o período e a taxa para a mesma unidade de tempo:
n = 5 anos e 9 meses → 69 meses
i = 20% a.s → 20/6 → 3,3 % ao mês
Juro Exato
O juro exato é utilizado quando o período de tempo da aplicação está expressa em dias ou quando é
considerado o ano civil (365 dias ou 366 dias para ano bissexto) para a realização do cálculo. A
fórmula a ser utilizada será:
J = Pv i n / 365
PORCENTAGEM
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Saiba Calcular Juro Exato
1) Qual é o juro exato de um capital de R$ 20.000 aplicado por 40 dias à taxa de 30% ao ano?
Dados Encontrados:
PV= R$ 20.000
i = 30 %a.a.
n = 40 dias
J = ?
Conversão Da Taxa De Juros:
30% → 30/100 → 0,3
Resolução:
J = Pv i n / 365 → J = R$ 20.000 x 0,3 x 40 / 365 → J = R$ 240.000 / 365 → J = R$ 657,53
Juros Compostos
Regime De Capitalização Composta
Esse regime é utilizado amplamente pelo sistema financeiro, no dia a dia e em diversos cálculos
econômicos. Os juros são gerados em cada período e acrescentados ao capital principalpara o
cálculo dos juros no período posterior.
Nesse regime, diz-se que os juros são capitalizados, pois a cada período o juro é adicionado ao
capital inicial. Assim, não existe capitalização no regime de juros simples, pois apenas o capital inicial
rende juros.
Para o cálculo do juro composto é utilizado a seguinte fórmula:
M= C (1+i)ᵑ
Saiba Calcular Juros Compostos
1) Qual será o montante de um empréstimo de R$ 200, durante 6 meses, numa taxa de juros
composta de 6% ao mês?
Dados Encontrados:
PV= R$ 200
i = 6 %a.m.
N = 6 meses
M= ?
Conversão Da Taxa De Juros:
6% → 6/100 → 0,06
Resolução:
M = C (1+i)n → M = R$ 200 (1+ 0,06)⁶ → M = R$ 200 (1,06)⁶ → M = R$ 200 x 1,41 → M= R$283,70
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PORCENTAGEM
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O que é Juro?
Geralmente, os juros são determinados pelo Copom (Comitê de Política Monetária), um órgão
do Banco Central que estabelece as normas da política monetária e da taxa de juros.
Todos os anos, durante as reuniões feitas pelos membros do Copom são definidos os índices de
consumo e produção que afetam o crescimento do país. Eles publicam relatórios sobre a inflação e
informam sobre a situação econômica do país.
De acordo com Samanez (2002), em seu livro 'Matemática Financeira: Aplicações à Análise de
Investimentos' a definição de juro é:
“Juro É Remuneração Do Capital Empregado”
Segundo essa definição, se aplico ou empresto capital a outrem, existe um valor adicional a ser
cobrado pela utilização desse dinheiro. Por exemplo, ao aplicar um capital, em um período de tempo
específico, ao final dessa aplicação o capital terá adquirido outro valor, chamado de montante. O
montante é o capital aplicado mais os juros que foram acumulados durante o período da aplicação.
O juro, também chamado de remuneração, rendimento ou juros ganhos é dado pela diferença
entre o montante (M) e o capital (C). A fórmula utilizada para o cálculo do juros é:
J = C x i
Importante:
No mercado financeiro, a taxa de juros sempre é dada na forma percentual, mas para a realização
dos cálculos é preciso transformar a taxa em fracionária. Veja o quadro:
Outro fato que deve ser considerado no cálculo dos juros é o tempo da aplicação. Se os meses forem
de 30 dias, os juros sãocomerciais, referente aos anos comerciais (360 dias). Se for considerado o
ano civil (365 dias), os juros serão chamados deexatos.
Saiba como calcular juros:
1) Calcule os juros de uma aplicação de R$5.000 durante um ano à uma taxa simples de 25% a.a.
Dados Encontrados:
C = R$ 5.000
i = 25%a.a.
PORCENTAGEM
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J = ?
Conversão Da Taxa De Juros:
25% → 25/100 → 0,25
Resolução:
J = C x i → J = R$ 5.000 x 0,25 → J = R$ 1.250,00
2) Descubra o montante do capital aplicado de R$ 2.600 durante um ano à taxa simples de 55% a.a.
Dados Encontrados:
C = R$ 2.600
i = 55%a.a.
J = ?
Conversão Da Taxa De Juros:
55% → 55/100 → 0,55
Resolução:
J = C x i → J = R$ 2.600 x 0,55 → J = R$ 1.430,00 M = C + J → M = R$ 2.600 + R$ 1.430 → M = R$
4.030,00
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TAXAS DE JUROS
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Taxa De Juros: Nominal, Efetiva Ou Real?
José Dutra Vieira Sobrinho
Economista, Superintendente de Controle Financeiro do Grupo Unibanco, São Paulo
No mercado financeiro brasileiro, mesmo entre os técnicos e executivos, reina muita confusão no que
se refere aos conceitos de taxas de juros nominal, efetiva e real.
O desconhecimento generalizado desses conceitos tem dificultado o fechamento de negócios pela
conseqüente falta de entendimento entre as partes.
Dentro dos programas dos diversos cursos de matemática financeira existe uma verdadeira "poluição"
de taxas de juros. Além das mencionadas, tem-se ainda a simples (ou linear), composta (ou
exponencial), equivalente, proporcional, aparente, antecipada, etc, sem se falar nas taxas de
desconto "por fora" (ou comercial ou bancário) e "por dentro" (ou racional), simples e compostos.
As causas de confusão reinante são antigas e numerosas, em cujo mérito não entraremos. Preferimo-
nos concentrar nas medidas que entendemos necessárias para amenizar e, se possível, solucionar o
problema existente. E a medida principal reside justamente numa conceituação simples e clara das
taxas mencionadas, o que nos propomos a fazer.
Conceito E Classificação Das Taxas De Juros
A taxa de juros pode ser definida como a relação entre os juros pagos (ou recebidos) no final do
período e o capital inicialmente tomado (ou aplicado). Assim, se uma pessoa aplica Cr$ 1.000,00
recebe Cr$ 1.300,00 no final de um certo período de tempo, a taxa de juros é de 30% nesse período,
ou seja, é a relação entre os juros de Cr$ 300,00 recebidos no vencimento do prazo combinado e o
capital de Cr$1.000,00 inicialmente aplicado.
Entendemos que as taxas de juros podem ser classificadas:
a) quanto ao regime de capitalização: simples (ou linear) e composta (ou exponencial);
b) quanto ao valor do capital inicial tomado como base de cálculo: nominal, efetiva e real.
Como se verifica mais adiante, essas duas classificações não são mutuamente excludentes, isto é
uma taxa pode ser nominal linear ou nominal exponencial, efetiva linear ou efetiva exponencial e real
linear ou real exponencial.
Classificação Quanto Ao Regime De Capitalização
Como foi mencionado, as taxas de juros quanto ao seu regime de capitalização podem ser simples ou
compostas.
A taxa de juros é simples (ou linear) quando o valor total dos juros é resultante da sua incidência
somente sobre o capital inicial, ou seja, a taxa não incide sobre o valor dos juros acumulados
periodicamente.
Exemplo:
Seja um capital de Cr$ 100.000,00 aplicado por seis meses, à taxa de 4% ao mês.
Solução:
J = C x i x n = 100.000,00 x 0,04 x 6 = 24.000,00
O quadro 1 nos mostra os saldos mensais de capital + juros, no início e fim de cada mês.
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_________________________________________________________________________________TAXAS DE JUROS
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A taxa de juros é dita composta (ou exponencial) quando o valor total dos juros é resultante da sua
incidência sobre o capital inicial e também sobre o valor dos juros acumulados periodicamente.
Assim, para o mesmo exemplo acima, teremos a seguinte solução:
Montante = M = C(1 + i)n = 100.000,00 (1,04)6 = 100.000,00 x 1,26532 = 126.532,00
J = M-C= 126.532,00 - 100.000,00 = 26.532,00
Os juros mensais e acumulados, bem como os saldos iniciais e finais de capital mais juros, são
mostrados no quadro 2.
Através dos exemplos podemos verificar que os juros acumulados, e respectivos montantes de
capital mais juros, crescem linearmente num regime de capitalização simples e exponencialmente
num regime de capitalização composta. O cálculo do primeiro, por ser extremamente simplificado,
continua sendo amplamente utilizado no mercado, embora apresente distorções que se agravam em
função do crescimento do prazo.
Classificação Quanto Ao Valor Do Capital Inicial Tomado Como Base De Cálculo
Na maior parte dos compêndios de matemática financeira, quer de autores nacionais ou estrangeiros,
as taxas são classificadas como nominal ou efetiva em função da divisão de certo período
(normalmente um ano), em subdivisões de períodos de capitalização (mensal, trimestral, semestral),
segundo uma conceituação extremamente confusa e cuja dificuldade de entendimento pude
comprovar ao longo da minha experiência como professor e como homem ligado ao mercado
financeiro. Vejamos um exemplo típico: "Calcular a taxa efetiva anual de juros correspondente à taxa
nominal de 10% ao ano, capitalizada mensalmente."
A solução pretendida é a seguinte:
taxa nominal anual
1. Taxa mensal = i = = 0,008333, em que n representa o número de
períodos de capitalização.
2. Taxa equivalente anual = (1 + i)n -1 = (1.008333)12- 1 = 0,10471 ou 10,471%
TAXAS DE JUROS
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Se esse problema fosse "calcular a taxa efetiva anual de juros, correspondente à taxa nominal de
10% ao ano, capitalizada trimestralmente", a solução seria:
taxa equivalente anual = (1,025)4-1 = 10,381%
Observa-se que, de acordo com os conceitos difundidos, a solução do problema implica a utilização
de cálculos feito segundo regimes distintos de capitalização, isto é, simples e composto. E, segundo
nos parece, a grande confusão reinante é, em boa parte, conseqüência dessa mistura de regimes.
No mundo financeiro atual, em que somente faz sentido o raciocínio em termos de capitalização
composta, a utilização da taxa nominal de juros, tal como conceituada, é totalmente inadequada, visto
as distorções que apresenta quando se consideram diferentes períodos de capitalização. Para
ilustrar, vamos admitir que um banco fixe em 60% ao ano a sua taxa nominal de juros, válida para
qualquer plano de pagamento (mensal, trimestral, semestral ou anual) escolhido pelo cliente.
Procedendo-se de acordo com o conceito corrente de taxa nominal e considerando que o banco
calcula suas taxas efetivas com base no regime de capitalização composta, teremos o quadro 3.
Através do quadro podemos observar que a adoção de uma taxa nominal faz com que as operações
com pagamentos de menor periodicidade tenham uma taxa efetiva mais elevada. Isso acontece com
operações do BNH, como já aconteceu com operações da Finame.
Por tudo isso, entendemos que a taxa deve ser classificada como nominal, efetiva ou real, em função
do capital inicial tomado como base de cálculo, como veremos a seguir.
Taxa Nominal E Taxa Efetiva
Uma taxa é nominal quando o valor do capital inicial tomado como base de cálculo não representa o
valor efetivamente recebido ou desembolsado. Trata-se, na verdade, de uma taxa aparente. Exemplo:
1. Um cliente obtém um empréstimo de Cr$ 100.000,00 para ser liquidado, no final de um ano, em um
único pagamento de Cr$ 130.000,00, garantido por uma nota promissória. Entretanto, o banco solicita
a esse cliente que mantenha 20% do valor recebido como saldo médio.
A taxa nominal no período considerado é a seguinte:
Taxa nominal = = = 0,30 ou 30%
Portanto, a taxa nominal é de 30% no período (no caso, um ano), e que corresponde normalmente à
taxa contratual. Entretanto, o valor do capital inicial não corresponde ao valor efetivamente colocado
à disposição do cliente, que é de Cr$ 80.000,00. O cálculo da taxa de juros, com base neste valor,
nos dá a taxa efetiva de juros no período.
Taxa de juros = = 37,5%
TAXAS DE JUROS
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Ou seja, tudo se passa como se o empréstimo fosse de Cr$ 80.000,00 e o seu valor de resgate de
Cr$ 110.000,00 (o valor da nota promissória de Cr$ 130.000,00 será complementado pelos Cr$
20.000,00 já existentes na conta do cliente).
2. Um agiota empresta Cr$ 20.000,00 para receber Cr$ 30.000,00 no final de seis meses. Entretanto,
no ato, paga a um intermediário uma comissão de 5% sobre o valor emprestado, ou seja, Cr$
1.000,00.
As taxas, no período, são as seguintes:
Taxa nominal = = = 0,50 ou 50%
Taxa efetiva = = = 0,42857 ou 42,857%
Taxa Real
A taxa real é calculada a partir da taxa efetiva, considerando-se os efeitos inflacionários no período.
Para ilustrar, vamos tomar o segundo exemplo do item anterior, analisando a taxa de rendimento do
ponto de vista do emprestador, e admitindo que a taxa de inflação, no período correspondente ao
prazo do empréstimo (seis meses), tenha sido de 25%.
A taxa real é obtida como segue:
Taxa real =
Taxa real = 0,14286 ou 14,286%
Nota: Para se calcular a taxa real no período há uma tendência generalizada de se subtrair a taxa de
inflação da taxa efetiva, obtendo no nosso caso, uma taxa real de 17,857%, o que é errado.
A taxa real obtida está coerente com a nossa conceituação de que as taxas são nominal, efetiva ou
real em função do capital inicial tomado como base de cálculo. Assim, no caso do nosso exemplo, o
capital inicial efetivo de Cr$ 21.000,00 .tem que ser inflacionado para que se possa obter o
rendimento real.
Capital inicial efetivo corrigido = 1,25 x 21.000,00 = 26.500,00
Taxa real = = 0,14286 ou 14,286%
O conhecimento da taxa real é de fundamental importância tanto para aplicadores como para
tomadores de dinheiro. De acordo com os índices de preços calculados e publicados pela Fundação
Getúlio Vargas, a inflação brasileira no período de julho de 1979 a julho de 1980 atingiu a 106,96%.
Um aplicador que tivesse adquirido uma letra de câmbio em julho de 1979 por Cr$ 100.000,00 (valor
de emissão) para ser resgatada por Cr$ 155.000,00 um ano depois, teve o seguinte rendimento real:
- Imposto de renda pago na fonte = 0,09 x 55.000,00 = 4.950,00
- Valor pago pelo título = 100.000,00 + 4.950,00 = 104.950,00
- Taxa bruta (nominal) = -1 = 55%
- Taxa líquida (efetiva) = - 1 = 47,689%
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-Taxa real = - 1 = (28,6%)
ou seja, o aplicador teve um prejuízo de 28,6% em termos reais. E como numa transação financeira o
prejuízo de uma das partes significa lucro para a outra, o tomador de recursos seguramente teve um
rendimento real nesse período.
Finalmente, cabe observar que as três taxas mencionadas podem ser coincidentes. Assim, se não
houver nenhum pagamento, recebimento ou retenção extra, a taxa nominal é igual à efetiva. E, na
hipótese de inflação zero, a taxa real será igual à taxa efetiva.
Taxas Equivalentes e Proporcionais
Taxas Equivalentes
A conceituação de equivalência de taxas estabelece que duas taxas, referentes a períodos distintos
de capitalização, são equivalentes quando produzem o mesmo montante, no final de um determinado
tempo, pela aplicação de um capital inicial de mesmo valor. Em outros termos, isso significa que se
um capital C aplicado à taxa mensal im, durante 12 meses, produz um montante M, e se esse mesmo
capital C aplicado a uma taxa anualia, por prazo idêntico, produz o mesmo montante M, diz-se que as
taxas im (mensal)e ia (anual) são equivalentes.
A partir dessa colocação, entendemos que o conceito de taxas equivalentes é válido para os dois
regimes de capitalização existente, isto é, simples e composta. Assim, podemos afirmar que, num
regime de capitalização simples, a taxa de juros de 2% ao mês equivale a 24% ao ano, e que 48% ao
ano equivalem a 12% ao trimestre ou a 4% ao mês; já num regime de capitalização composta, 2% ao
mês equivalem a 26,824% ao ano, e 48% ao ano equivalem a 10,297% ao trimestre ou 3,321% ao
mês.
Os diversos autores, e o mercado em geral, ao mencionarem taxas equivalentes, estão-se referindo
implicitamente à capitalização composta.
Taxas Proporcionais
O conceito de taxas proporcionais é utilizado somente para capitalização simples, no sentido de que
o valor dos juros é linearmente proporcional ao tempo. Assim, a taxa proporcional de 3% ao mês,
para 10 meses, é de 30%; a de 12% ao ano, para três meses, é de 4%, e assim sucessivamente.
A proporcionalidade linear é uma característica da capitalização simples. Por isso, entendemos que o
fato de "taxas proporcionais" serem apresentadas em destaque, como parte de um programa de
matemática financeira, apenas confunde o aluno ou o leitor, que pensa tratar-se de mais um tipo de
taxas de juros.
Juros Pagos Antecipadamente
É muito comum, em determinadas operações de empréstimo ou financiamento, a cobrança
"antecipada de juros". A operação típica, e que é muito comum em nosso mercado, é a seguinte:
"Uma pessoa solicita um empréstimo de Cr$ 10.000,00 a um capitalista, o qual cobra juros
antecipados de 4% ao mês. Sendo o prazo de seis meses, o capitalista desconta juros
correspondentes a 24% do valor pedido, entregando ao solicitante um valor líquido de Cr$ 7.600,00."
Efetivamente, do ponto de vista teórico, dizer que os juros são antecipados se constitui uma
blasfêmia, visto que os mesmos somente existem em função de tempo decorrido. No caso do nosso
exemplo, o valor efetivamente emprestado é de Cr$ 7.600,00, e a taxa de juros, para o período de
seis meses, é a calculada como segue:
Taxa efetiva de juros = = = 0,31579 ou 31,579%
A taxa mensal correspondente é de 5,263% (de acordo com o regime de capitalização simples) ou de
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4,680% (de acordo com o regime de capitalização composta). Na verdade, todas as operações de
desconto bancário se enquadram dentro deste enfoque.
Conclusão
No campo da matemática financeira existem dois regimes distintos de capitalização, o simples e o
composto, com características próprias bem definidas, e que não podem e não devem ser
misturados. Assim, antes de falar-se em taxa nominal, efetiva ou real, é fundamental que se defina
qual o critério de capitalização considerado.
Segundo nosso entendimento, podemos ter taxas nominais, efetivas ou reais tanto no regime
exponencial, como no linear, visto que o fator determinante é o capital inicial tomado como base de
cálculo. Para maior clareza, vamos voltar ao segundo exemplo dado no subitem 2.2.1, em que as
taxas encontradas para o período de seis meses foram:
a) nominal: 50,000%;
b) efetiva: 42,857%;
c) real: 14,286%.
Admitindo-se o regime de capitalização simples teremos as seguintes taxas, equivalentes mensais
(dentro do nosso conceito de taxas equivalentes):
- taxa nominal mensal = = 8,333%
- taxa efetiva mensal = = 7,143%
- taxa real mensal = = 2,381%
Se quisermos as taxas trimestrais respectivas, bastará dividirmos por 2 as taxas correspondentes ao
período de seis meses.
Considerando-se agora um regime de capitalização composta, as taxas equivalentes mensais seriam
obtidas como segue:
- taxa nominal mensal = (1,50)1/ 6 - 1 = 0,06991 ou 6,991%
- taxa efetiva mensal = (1,42857)1/6 - 1 = 0,06125 OU 6,125%
- taxa real mensal = (1,14286)1/6 - 1 = 0,02251 ou 2,251%
As taxas equivalentes trimestrais seriam obtidas da mesma forma, somente substituindo, na fórmula,
o expoente 6 pelo 2.
Seguindo-se a mesma linha de raciocínio, teríamos, no caso do primeiro exemplo do subitem 2.2.1,
as seguintes taxas equivalentes mensais:
a) capitalização simples (linear):
- taxa nominal = = 2,500%
- taxa efetiva = = 3,125%
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b) capitalização composta (exponencial):
- taxa nominal = (1,30)1/12 - 1 = 0,02210 ou 2,210%
- taxa efetiva = (1,375)1/12 - 1 = 0,02689 ou 2,689%
No mundo dos negócios, principalmente dentro das médias e grandes empresas, o regime de
capitalização composta, por ser o correto, é o mais utilizado nos estudos que envolvem cálculos
financeiros e econômicos. No mercado de capitais brasileiro, mormente entre aplicadores e
tomadores de dinheiro, pessoas físicas, o critério mais popular, por ser o mais prático, é da
capitalização linear. Assim, no caso da aquisição de um título de renda fixa, com um ano de prazo e
rendimento de 48% pago no vencimento, o aplicador facilmente verifica que a taxa de rendimento
mensal é de 4% (capitalização linear); mas esse mesmo aplicador certamente não seria capaz de
calcular a taxa equivalente mensal segundo o critério de juros compostos (que no caso é de 3,321%),
visto que, além de conhecimento, o mesmo necessitaria de uma tabela específica ou de uma
calculadora científica.
O grande inconveniente da capitalização simples é a distorção crescente que a taxa de juros
apresenta, à medida que o prazo aumenta, se comparada com a taxa de juros composta, que, como
já mencionamos, é a correta. Para maior clareza vamos analisar o quadro 4.
Os números do quadro falam por si. Em termos de capitalização composta, as taxas mensais
equivalentes, relativas às taxas dos períodos considerados de 6 a 36 meses, são todas iguais, ou
seja, de 3,321%. Já as taxas mensais, calculadas de o regime de capitalização simples, crescem com
o prazo, chegando, no prazo de 36 meses, a ter um valor de quase duas vezes a taxa mensal
exponencial. Essas distorções, que são relevantes, desaconselham totalmente a utilização do critério
linear para prazos relativamente longos.
Se de um lado a utilização generalizada dos chamados juros simples, pelos leigos e semileigos, tem
suas justificativas, a utilização de taxas de descontos nas operações com LTN, quer pelos
especialistas do mercado, quer pelo Banco Central, não tem o menor sentido. De fato, a taxa de
desconto é totalmente inadequada como referência para se determinar a rentabilidade ou custo de
qualquer operação financeira. Para exemplificar, vamos admitir que num determinado leilão de LTN
os papéis de 91, 182 e 365 dias de prazo (que são os atualmente existentes) fossem adquiridos, ou
subscritos, a uma taxa de desconto de 20% ao ano. As taxas efetivas de juros correspondentes a
esses dados, num regime de capitalização composta, são as seguintes:
a) para a LTN de 91 dias: 1,725% ao mês ou 22,781% ao ano;
b) para a LTN de 182 dias: 1,773% ao mês ou 23,473% ao ano;
c) para a LTN de 365 dias: 1,880% ao mês ou 25,047% ao ano.
Para que as rentabilidades das LTN's nos três prazos sejam iguais à rentabilidade da LTN de 365
dias, considerados juros compostos, teremos as seguintes taxas de descontos correspondentes:
a) para a LTN de 91 dias: 21,731% de desconto ao ano;
b) para a LTN de 182 dias: 21,134% de desconto ao ano;
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c) para a LTN de 365 dias: 20,000% de desconto ao ano.
Portanto, as taxas de descontos não permitem uma idéia imediata das taxas efetivas de rentabilidade.
Recomendamos às autoridades monetárias que passem a adotar e divulgar a taxa efetiva de juros,
de preferência exponencial, para indicar o rendimento dos títulos sob sua tutela, visto ser esse critério
o tecnicamente correto.
Assim, visualizaríamos, de imediato, se uma LTN de 91 dias de prazo proporciona maior ou menor
rentabilidade, em termos de taxa mensal ou anual, que uma outra de 182 dias ou 365 dias.
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LÓGICA
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Lógica
Lógica (do grego λογική logos) tem dois significados principais: discute o uso de raciocínio em alguma
atividade e é o estudo normativo, filosófico do raciocínio válido. No segundo sentido, a lógica é
discutida principalmente nas disciplinas de filosofia, matemática e ciência da computação. Ambos os
sentidos se baseando no foco comum referente a harmonia de raciocínio, a proporcionalidade formal
entre argumentos, assim sendo, a correta e equilibrada relação entre todos os termos, a total
concordância entre cada um deles dentro de um desenvolvimento.
A lógica examina de forma genérica as formas que a argumentação pode tomar, quais dessas formas
são válidas e quais são falaciosas. Em filosofia, o estudo da lógica aplica-se na maioria dos seus
principais ramos: metafísica, ontologia, epistemologia e ética. Na matemática, estudam-se as formas
válidas de inferência de uma linguagem formal. Na ciência da computação, a lógica é uma ferramenta
indispensável. Por fim, a lógica também é estudada na teoria da argumentação.
A lógica foi estudada em várias civilizações da Antiguidade. Na Índia, a recursão silogística, Nyaya
remonta a 1900 anos atrás. Na China, o Moísmo e a Escola dos Nomes datam de 2200 anos atrás.
Na Grécia Antiga a lógica foi estabelecida como disciplina por Aristóteles, com a sua obra Organon.
Ele dividiu a lógica em formal e material. O estudo da lógica era parte do Trivium clássico, juntamente
com a gramática e a retórica (ver: Artes liberais).
A lógica é frequentemente dividida em três partes: o raciocínio indutivo, o raciocínio abdutivo e o
raciocínio dedutivo.
O Estudo Da Lógica
O conceito de forma lógica é central à lógica, que se baseia na ideia de que a validade de um
argumento é determinada pela sua forma lógica, não pelo seu conteúdo. A lógica silogística
aristotélica tradicional e a lógica simbólica moderna são exemplos de lógicas formais.
Lógica informal é o estudo da argumentação em língua natural. O estudo de falácias é um ramo
particularmente importante da lógica informal. Os Diálogos de Platão são bons exemplos de lógica
informal.
Lógica formal é o estudo da inferência com conteúdo puramente formal. Uma inferência possui um
conteúdo puramente formal se ele pode ser expresso como um caso particular de uma regra
totalmente abstrata, isto é, uma regra que não é sobre uma qualquer coisa em particular. As obras de
Aristóteles contêm o primeiro estudo formal da lógica. A lógica formal moderna segue e amplia o
trabalho de Aristóteles. Em muitas definições de lógica, inferência lógica e inferência com conteúdo
puramente formal são a mesma coisa. Isso não esvazia a noção de lógica informal, porque nenhuma
lógica formal captura todas as nuances da língua natural.
Lógica simbólica é o estudo das abstrações simbólicas que capturam as características formais da
inferência lógica. A lógica simbólica é frequentemente dividida em dois ramos: lógica proposicional e
a lógica de predicados.
Lógica matemática é uma extensão da lógica simbólica em outras áreas, em especial para o estudo
da teoria dos modelos, teoria da demonstração, teoria dos conjuntos e teoria da recursão.
História
O primeiro trabalho feito sobre o tema da lógica é o de Aristóteles (na verdade, os sofistas e Platão já
haviam se dedicado a questões lógicas, o trabalho de Aristóteles, porém, é mais amplo, rigoroso e
sistematizado). A lógica aristotélica tornou-se amplamente aceita em ciências e matemática e
manteve-se em ampla utilização no Ocidente até o início do século XIX. O sistema lógico de
Aristóteles foi responsável pela introdução do silogismo hipotético, lógica modal temporal e lógica
indutiva. Na Europa, durante o final do período medieval, grandes esforços foram feitos para mostrar
que as ideias de Aristóteles eram compatíveis com a fé cristã. Durante a Alta Idade Média, a lógica se
tornou o foco principal dos filósofos, que se engajaram em análises lógicas críticas dos argumentos
filosóficos.
Lógica Aristotélica
LÓGICA
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Dá-se o nome de Lógica aristotélica ao sistema lógico desenvolvido por Aristóteles a quem se deve o
primeiro estudo formal do raciocínio. Dois dos princípios centrais da lógica aristotélica são a lei da
não-contradição e a lei do terceiro excluído.
A lei da não-contradição diz que nenhuma afirmação pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo e
a lei do terceiro excluído diz que qualquer afirmação da forma *P ou não-P* é verdadeira. Esse
princípio deve ser cuidadosamente distinguido do *princípio de bivalência*, o princípio segundo o qual
para toda proposição (p), ela ou a sua negação é verdadeira.
A lógica aristotélica, em particular, a teoria do silogismo, é apenas um fragmento da assim chamada
lógica tradicional.
Lógica Formal
A Lógica Formal, também chamada de Lógica Simbólica, preocupa-se, basicamente, com a estrutura
do raciocínio. A Lógica Formal lida com a relação entre conceitos e fornece um meio de compor
provas de declarações. Na Lógica Formal os conceitos são rigorosamente definidos, e as orações
são transformadas em notações simbólicas precisas, compactas e não ambíguas.
Lógica Material
Trata da aplicação das operações do pensamento, segundo a matéria ou natureza do objeto a
conhecer. Neste caso, a lógica é a própria metodologia de cada ciência. É, portanto, somente no
campo da lógica material que se pode falar da verdade: o argumento é válido quando as premissas
são verdadeiras e se relacionam adequadamente à conclusão.Lógica Matemática
Lógica Matemática é o uso da lógica formal para estudar o raciocínio matemático-- ou, como propõe
Alonzo Church, 'lógica tratada pelo método matemático'. No início do século XX, lógicos e filósofos
tentaram provar que a matemática, ou parte da matemática, poderia ser reduzida à lógica.(Gottlob
Frege, p.ex., tentou reduzir a aritmética à lógica; Bertrand Russell e A. N. Whitehead, no clássico
Principia Mathematica, tentaram reduzir toda a matemática então conhecida à lógica -- a chamada
'lógica de segunda ordem'.) Uma das suas doutrinas lógico-semânticas era que a descoberta da
forma lógica de uma frase, na verdade, revela a forma adequada de dizê-la, ou revela alguma
essência previamente escondida. Há um certo consenso que a redução falhou -- ou que precisaria de
ajustes --, assim como há um certo consenso que a lógica -- ou alguma lógica -- é uma maneira
precisa de representar o raciocínio matemático. Ciência que tem por objeto o estudo dos métodos e
princípios que permitem distinguir raciocínios válidos de outros não válidos.
Lógica Filosófica
A lógica estuda e sistematiza a argumentação válida. A lógica tornou-se uma disciplina praticamente
autónoma em relação à filosofia, graças ao seu elevado grau de precisão e tecnicismo. Hoje em dia,
é uma disciplina académica que recorre a métodos matemáticos, e os lógicos contemporâneos têm
em geral formação matemática. Todavia, a lógica elementar que se costuma estudar nos cursos de
filosofia é tão básica como a aritmética elementar e não tem elementos matemáticos. A lógica
elementar é usada como instrumento pela filosofia, para garantir a validade da argumentação.
Quando a filosofia tem a lógica como objecto de estudo, entramos na área da filosofia da lógica, que
estuda os fundamentos das teorias lógicas e os problemas não estritamente técnicos levantados
pelas diferentes lógicas. Hoje em dia há muitas lógicas além da teoria clássica da dedução de Russell
e Frege (como as lógicas livres, modais, temporais, paraconsistentes, difusas, intuicionistas, etc. ver:
Lógica intuicionista), o que levanta novos problemas à filosofia da lógica.
A filosofia da lógica distingue-se da lógica filosófica aristotélica, que não estuda problemas levantados
por lógicas particulares, mas problemas filosóficos gerais, que se situam na intersecção da
metafísica, da epistemologia e da lógica. São problemas centrais de grande abrangência,
correspondendo à disciplina medieval conhecida por "Lógica & Metafísica", e abrangendo uma parte
dos temas presentes na própria Metafísica, de Aristóteles: a identidade de objetos, a natureza da
Necessidade, a natureza da verdade, o conhecimento a prioridade, etc. Precisamente por ser uma
"subdisciplina transdisciplinar", o domínio da lógica filosófica é ainda mais difuso do que o das outras
LÓGICA
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disciplinas. Para agravar as incompreensões, alguns filósofos chamam "lógica filosófica" à filosofia da
lógica (e vice-versa). Em qualquer caso, o importante é não pensar que a lógica filosófica é um
género de lógica, a par da lógica clássica, mas "mais filosófica"; pelo contrário, e algo
paradoxalmente, a lógica filosófica, não é uma lógica no sentido em que a lógica clássica é uma
lógica, isto é, no sentido de uma articulação sistemática das regras da argumentação válida.
A lógica informal estuda os aspectos da argumentação válida que não dependem exclusivamente da
forma lógica. O tema introdutório mais comum no que respeita à lógica é a teoria clássica da dedução
(lógica proposicional e de predicados, incluindo formalizações elementares da linguagem natural); a
lógica aristotélica é por vezes ensinada, a nível universitário, como complemento histórico e não
como alternativa à lógica clássica.» (Desidério Murcho)
"Lógica", depois ela foi substituída pela invenção da Lógica Matemática. Relaciona-se com a
elucidação de ideias como referência, previsão, identidade, verdade, quantificação, existência, e
outras. A Lógica filosófica está muito mais preocupada com a conexão entre a Linguagem Natural e a
Lógica.
Lógica De Predicados
Gottlob Frege, em sua Conceitografia (Begriffsschrift), descobriu uma maneira de reordenar várias
orações para tornar sua forma lógica clara, com a intenção de mostrar como as orações se
relacionam em certos aspectos. Antes de Frege, a lógica formal não obteve sucesso além do nível da
lógica de orações: ela podia representar a estrutura de orações compostas de outras orações,
usando palavras como "e", "ou" e "não", mas não podia quebrar orações em partes menores. Não era
possível mostrar como "Vacas são animais" leva a concluir que "Partes de vacas são partes de
animais".
A lógica de orações explica como funcionam palavras como "e", "mas", "ou", "não", "se-então", "se e
somente se", e "nem-ou". Frege expandiu a lógica para incluir palavras como "todos", "alguns", e
"nenhum". Ele mostrou como podemos introduzir variáveis e quantificadores para reorganizar
orações.
Lógica De Vários Valores
Sistemas que vão além dessas duas distinções (verdadeiro e falso) são conhecidos como lógicas
não-aristotélicas, ou lógica de vários valores (ou então lógicas polivaluadas, ou ainda polivalentes).
No início do século XX, Jan Łukasiewicz investigou a extensão dos tradicionais valores
verdadeiro/falso para incluir um terceiro valor, "possível".
Lógicas como a lógica difusa foram então desenvolvidas com um número infinito de "graus de
verdade", representados, por exemplo, por um número real entre 0 e 1. Probabilidade bayesiana pode
ser interpretada como um sistema de lógica onde probabilidade é o valor verdade subjetivo.
Lógica E Computadores
A Lógica é extensivamente utilizada em todas as áreas vinculadas aos computadores.
Partindo-se do princípio que muitas das nossas tarefas diárias são uma sequência que obedecem
uma determinada ordem, de um estado inicial, através de um período de tempo finito e que nesse
período produzimos resultados esperados e bem definidos, poderíamos classificar essas tarefas
dentro de um algoritmo que utilizam o conceito da lógica formal para fazer com que o computador
produza uma série sequencial.
Nas décadas de 50 e 60, pesquisadores previram que quando o conhecimento humano pudesse ser
expresso usando lógica com notação matemática, supunham que seria possível criar uma máquina
com a capacidade de pensar, ou seja, inteligência artificial. Isto se mostrou mais difícil que o
esperado em função da complexidade do raciocínio humano. A programação lógica é uma tentativa
de fazer computadores usarem raciocínio lógico e a linguagem de programação Prolog é
frequentemente utilizada para isto.
Na lógica simbólica e lógica matemática, demonstrações feitas por humanos podem ser auxiliadas
LÓGICA
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por computador. Usando prova automática de teoremas os computadores podem achar e verificar
demonstrações, assim como trabalhar com demonstrações muito extensas.
Na ciência da computação, a álgebra booleana é a base do projeto de hardware.
Tipos De Lógica
De uma maneira geral, pode-se considerar que a lógica, tal como é usada na filosofia e na
matemática, observa sempre os mesmos princípios básicos: a lei do terceiro excluído, a lei da não-
contradição e a lei da identidade. A esse tipo de lógica pode-se chamar "lógica clássica", ou "lógica
aristotélica".
Além desta lógica, existem outros tipos de lógica que podem ser mais apropriadas dependendo da
circunstância onde são utilizadas. Podem ser divididas em dois tipos:
Complementares da lógica clássica: além dos três princípios da lógica clássica, essas formas de
lógica têm ainda outros princípios que as regem, estendendo o seu domínio. Alguns exemplos:
Lógica modal: agrega à lógica clássica o princípio das possibilidades. Enquanto na lógica clássica
existem orações como: "se amanhã chover, vou viajar", "minha avó é idosa e meu pai é jovem", na
lógica modal as orações são formuladascomo "é possível que eu viaje se não chover", "minha avó
necessariamente é idosa e meu pai não pode ser jovem", etc.
Lógica epistêmica: também chamada "lógica do conhecimento", agrega o princípio da certeza, ou da
incerteza (ver: Indeterminismo). Alguns exemplos de oração: "pode ser que haja vida em outros
planetas, mas não se pode provar", "é impossível a existência de gelo a 100 °C", "não se pode saber
se duendes existem ou não", etc.
Lógica deôntica: forma de lógica vinculada à moral, agrega os princípios dos direitos, proibições e
obrigações. É o sistema de lógica usado para indicar condutas e comportamentos, e que inclui as
relações de poder entre indivíduos. Enquanto a lógica clássica trata do que "é ou não é", a lógica
deôntica trata do que "se deve ou não fazer". As orações na lógica deôntica são da seguinte forma: "é
proibido fumar mas é permitido beber", "se você é obrigado a pagar impostos, você é proibido de
sonegar", etc.
Lógica Temporal: Há situações em que os atributos de "Verdadeiro" e "Falso" não bastam, e é preciso
determinar se algo é "Verdadeiro no período de tempo A", ou "Falso após o evento B". Para isso, é
utilizado um sistema lógico específico que inclui novos operadores para tratar dessas situações.
Anticlássicas: são formas de lógica que derrogam pelo menos um dos três princípios fundamentais da
lógica clássica. Alguns exemplos incluem:
Lógica paraconsistente: É uma forma de lógica onde não existe o princípio da contradição. Nesse tipo
de lógica, tanto as orações afirmativas quanto as negativas podem ser falsas ou verdadeiras,
dependendo do contexto. Uma das aplicações desse tipo de lógica é o estudo da semântica,
especialmente em se tratando dos paradoxos. Um exemplo: "fulano é cego, mas vê". Pelo princípio
da lógica clássica, o indivíduo que vê, um "não-cego", não pode ser cego. Na lógica paraconsistente,
ele pode ser cego para ver algumas coisas, e não-cego para ver outras coisas.
Lógica paracompleta: Esta lógica derroga o princípio do terceiro excluído, isto é, uma oração pode
não ser totalmente verdadeira, nem totalmente falsa. Um exemplo de oração que pode ser assim
classificada é: "fulano conhece a China". Se ele nunca esteve lá, essa oração não é verdadeira. Mas
se mesmo nunca tendo estado lá ele estudou a história da China por livros, fez amigos chineses, viu
muitas fotos da China, etc; essa oração também não é falsa.
Lógica difusa: Mais conhecida como "lógica fuzzy", trabalha com o conceito de graus de pertinência.
Assim como a lógica paracompleta, derroga o princípio do terceiro excluído, mas de maneira
comparativa, valendo-se de um elemento chamado conjunto fuzzy. Enquanto na lógica clássica
supõe-se verdadeira uma oração do tipo "se algo é quente, não é frio" e na lógica paracompleta pode
ser verdadeira a oração "algo pode não ser quente nem frio", na lógica difusa poder-se-ia dizer: "algo
é 30% quente, 25% morno e 45% frio". Esta lógica tem grande aplicação na informática e na
estatística, sendo inclusive a base para indicadores como o coeficiente de Gini e o IDH.
LÓGICA
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Lógica de base n: uma das forma de lógica de base n era um tipo de lógica difusa. No entanto
podemos fazer enumerações de zero a n ou usar um alfabeto n-ário numa máquina de Turing,
relacioná-las e com base nisso tirar vantagens. Esta lógica pode ainda relacionar-se com muitos
assuntos em informática.
Equivalência E Implicação Lógica
Implicação Lógica
Relembrando a operação lógica da condicional p→q (lê-se: se p então q)
Você está lembrado quando estudamos as proposições condicionais e utilizamos o símbolo → ?
Vamos recordar!
Na condicional p→q, p é chamado de antecedente e q é o consequente. O símbolo “→” é chamado
símbolo de implicação. Note que, neste caso, p e q são proposições simples.
O símbolo → representa uma operação matemática entre as proposições p e q que tem como
resultado a proposição p → q, como valor lógico V ou F.
A proposição condicional “se p então q” é uma proposição composta que só admite valor
lógico falso no caso em que a proposição p é verdadeira e a proposição q é falsa, sendo
verdade nas demais situações.
O valor lógico da condicional de duas proposições é definido pela seguinte tabela-verdade:
Vamos rever esta operação lógica por meio de uma situação:
Suponha que um determinado pai faz a seguinte promessa para seu filho: “Se fizer sol amanhã, então
viajaremos para a praia”.
Há 4 possibilidades:
1. Fez sol e viajaram para a praia.
2. Fez sol e não viajaram para a praia.
3. Não fez sol e viajaram para a praia.
4. Não fez sol e não viajaram para a praia.
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LÓGICA
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Compare cada uma destas possibilidades levantadas anteriormente com os valores lógicos colocados
na tabela e responda a seguinte pergunta:
eM qUAL dAS pOSSIBILIDADES a sITUAÇÃO fOI dESCUMPRIDA?
Não é difícil concluir que na possibilidade 2, a situação foi descumprida. Você deve estar se
perguntando sobre a possibilidade 3. Afinal, se não fez sol, como viajaram para a praia? Parece
estranho, não? Na verdade, temos que tomar um certo cuidado, o pai só disse o que fariam se
fizesse sol, mas não disse o que fariam se não fizesse sol. Esta é razão da condicional na linha 3 ser
logicamente verdadeira. Temos que ter muita atenção, especialmente nesta parte. Esta é a parte que
as pessoas, em geral, apresentam mais dificuldades de compreensão. Por este motivo vamos discutir
um pouco mais sobre o assunto.
Utilizamos com frequência sentenças condicionais, como: “Se hoje chover, então vou ficar em casa”.
Vamos ver as quatro possibilidades para esta situação:
1. Choveu e fiquei em casa.
2. Choveu e não fiquei em casa.
3. Não choveu e fiquei em casa.
4. Não choveu e não fiquei em casa.
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LÓGICA
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Caro aluno, é importantíssimo que você aprenda que na lógica matemática não nos preocupamos
com qualquer relação de causa e efeito entre o antecedente e o consequente de uma implicação. O
que há é uma relação entre os valores lógicos. Neste exemplo, ficou claro para você que na
possibilidade 2, a situação foi descumprida; isto é, “choveu e não fiquei em casa” ? É provável que
você tenha dúvidas com relação à possibilidade 3. Afinal, se não choveu, como fiquei em casa?
Voltamos a dizer, sendo o antecedente (p) logicamente falso, não importa o valor lógico do
consequente (q), pois o valor lógico da condicional será sempre verdadeiro!
Desta Forma, Releia O Conceito:
A proposição condicional “se p então q” é uma proposição composta que só admite valor lógico falso
no caso em que a proposição p é verdadeira e a proposição q é falsa, sendo verdade nas demais
situações.
E Qual É A Importância Da Implicação?
O conceito de implicação é essencial para os diversos campos do conhecimento. Como exemplo,
podemos citar as implicações lógicas de um discurso que remete a explicação ou demonstração de
argumentos, e isto não é restrito à Matemática. É comum aparecerem declarações do tipo: “Sempre
que isto ocorre, e, é verdadeiro, implica que aquilo também é verdadeiro”. Pense nas diversas áreas,
tais como: Medicina, Direito, Engenharia, Educação, Propaganda e Marketing, Processamento de
Dados e tantas outras áreas, que utilizam inúmeras implicações. Enfim vivemos imersos em um
mundo de implicações lógicas! Pense a este respeito.A implicação é muito importante na linguagem matemática porque aparece sistematicamente nos
teoremas que constituem as teorias matemáticas. Um teorema é uma proposição do tipo p ⇒ q, onde
p é uma proposição verdadeira na teoria em questão. Demonstrar um teorema não é mais do que
provar que a proposição p ⇒ q é verdadeira e sendo p verdadeira, por hipótese, implica dizer que q é
também verdadeira. Num teorema é comum chamarmos a proposição p de hipótese, é o antecedente
da implicação p ⇒q. A proposição q, que é o consequente da implicação, é denominada de tese. As
demonstrações de teoremas são essenciais para o desenvolvimento de habilidades e competências
relacionadas à experimentação, observação e percepção, realização de conjecturas,
desenvolvimento de argumentações convincentes, entre outras.
O símbolo P⇒ Q (P implica Q) representa a implicação lógica. Observe neste conceito que aparecem
dois símbolos matemáticos → e ⇒. Vamos diferenciá-los?
Diferenciação dos símbolos → e ⇒
LÓGICA
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1. O símbolo → (p → q) Lê-se: se p….. então q representa uma operação matemática entre as
proposições p e q que tem como resultado a proposição p → q, com valor lógico V ou F.
2. O símbolo ⇒ ( P⇒ Q) Lê-se: P implica Q representa a não ocorrência de VF na tabela-verdade de
P → Q, ou ainda que o valor lógico da condicional P → Q será sempre V, ou então que P → Q é uma
tautologia.
Você já deve ter se familiarizado com o primeiro (símbolo →), pois fizemos uso dele em vários
exemplos envolvendo a operação lógica da condicional em que podíamos fazer um julgamento
(verdadeiro ou falso), já o segundo (símbolo ⇒) passaremos a ver agora com mais detalhes. Tenha
sempre em mente que o símbolo ⇒ representa uma implicação, cuja condicional será sempre
tautológica, isto é, será sempre logicamente verdadeira. Vamos agora ver alguns exemplos e verificar
a implicação lógica indicada em cada caso.
Exemplos:
Vamos comprovar isto para o 1ª exemplo dado. p ^ q ⇒ p
Considere a situação:
p: Marina Silva vencerá as eleições para a Presidência do Brasil.
q: A taxa de desemprego cairá nos próximos três anos.
p ^ q: Marina Silva vencerá as eleições para a Presidência do Brasil e a taxa de desemprego cairá
nos próximos três anos.
Vamos agora verificar como ficam os possíveis valores lógicos das proposições:
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LÓGICA
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Relembrando: Você está lembrado que a proposição composta da conjunção p ^ q (p e q) somente
será verdadeira quando as proposições p e q forem verdadeiras.
Perceba que quando p ^ q é verdadeira (1ª possibilidade, veja o quadro acima), p é verdadeira
também, logo dizemos que p ^ q implica p e, tem a seguinte notação: p ^ q ⇒ p. E mais, se você fizer
a condicional (p ^ q) → p, ela será sempre verdadeira, ou seja uma tautologia.
2º exemplo: p ⇒ q → p Vamos verificar esta implicação.
Atenção: A intenção aqui, caro aluno, é que você perceba que o ponto fundamental da implicação
lógica ( P implica uma proposição Q, indica-se por P ⇒ Q), é que sempre que temos um antecedente
verdadeiro, teremos um consequente verdadeiro também.
Vamos verificar se “p” de fato implica a proposição composta “q → p” (p ⇒ q → p)
Atenção: A proposição condicional q→p (lê-se: “se q então p”) é uma proposição composta que só
admite valor lógico falso no caso em que a proposição q é verdadeira e a proposição p é falsa, sendo
verdade nas demais situações. (veja a 3ª coluna da tabela seguinte)
p ⇒ q → p, pois o condicional p→ (q→p) é tautológica.
Perceba que quando p é verdadeira (1ª e 2ª colunas), q→p é verdadeira também, logo dizemos que p
implica a proposição composta q → p. (p ⇒ q → p)
Vamos agora mostrar as implicações no 3º e 4º exemplos.
3º exemplo: p Λ q ⇒ p v q
LÓGICA
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Caro aluno, não se assuste com o tamanho das tabelas-verdade. Você deve organizar as colunas, e
para iniciar, atribua todos os valores lógicos possíveis para as proposições simples p e q. (são quatro
situações; isto é, são quatro linhas).
Para compreender a tabela acima, você deverá retomar as operações da conjunção e disjunção,
além, obviamente, da condicional.
Observe que na 3ª coluna (p Λ q), temos uma conjunção, e que ela é logicamente verdadeira apenas
quando as proposições simples p e q são ambas verdadeiras, e logicamente falsas nas demais
situações.
Observe que na 4ª coluna (p v q), temos uma disjunção, e que ela é logicamente falsa apenas
quando as proposições simples p e q são ambas falsas, e logicamente verdadeiras nas demais
situações. Até aqui, tudo bem? Se ficou claro, então vamos entender melhor a 5ª coluna.
Na 5ª e última coluna, temos a condicional (p Λ q) → (p v q) logicamente verdadeira para todas as
situações, pois a condicional só é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o consequente falso.
Podemos verificar a implicação p Λ q ⇒ p v q, por meio da condicional (p Λ q) → (p v q), pois, neste
exemplo, ela é sempre verdadeira e, portanto, tautológica. Você também pode verificar a implicação
dada observando que quando a proposição p Λ q é verdadeira, temos que p v q, também, é
verdadeira (1ª linha). Logo, está verificada a implicação dada.
4º exemplo: p ⇒ p v q
Neste 4º exemplo , também verificamos a implicação p ⇒ p v q , pois a condicional p → (p v q) é
tautológica.
Observe que quando a proposição p é verdadeira, temos que p v q, também, é verdadeira (1ª e 2ª
linhas). Logo, está verificada a implicação dada.
LÓGICA
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Observação O fato de dizer que uma proposição P implica uma proposição Q, não garante dizer o
caminho inverso, isto é, que Q também implica P.
Abaixo estudaremos as situações que envolvem o caminho de ida e de volta quando consideramos
as implicações. Neste caso chamaremos de equivalências lógicas.
Equivalência Lógica
Caro aluno, estudamos as implicações lógicas e foi enfatizado que o ponto fundamental da
implicação lógica (P implica uma proposição Q, indica-se por P ⇒ Q), é que sempre que temos um
antecedente verdadeiro, teremos um consequente verdadeiro também. Está lembrado? Vimos
também que se uma proposição P implica uma proposição Q, não garante dizer o caminho inverso,
isto é, que Q também implica P. Neste capítulo trataremos de ver as situações que envolvem o
caminho de ida e de volta quando consideramos as implicações. Estas implicações são denominadas
de equivalências lógicas.
Conceito:
Diz-se que uma proposição composta P é logicamente equivalente a uma proposição composta Q
(indica-se pela notação P ⇔ Q – o símbolo ⇔ é uma forma abreviada de dizer que duas proposições
são logicamente equivalentes) quando, as tabelas verdade destas duas proposições compostas são
idênticas. De outra forma, podemos dizer que as proposições P e Q são equivalentes, se a
bicondicional P ↔ Q for uma tautologia.
E para iniciar este estudo das equivalências lógicas, considere as seguintes proposições:
1. Não vi ninguém.
2. Vi alguém.
Na primeira proposição temos uma dupla negação, logo se “não vi ninguém” (dupla negação), então
“vi alguém”.(afirmação) Podemos concluir que estas proposições são equivalentes. Desta forma,
tenha cuidado ao usar “não vi ninguém” com o sentido de pessoa alguma foi vista. Isto é lógico para
você?
Podemos construir uma tabela-verdade e colocar todos os valoreslógicos possíveis. Vamos ver como
ficam?
Para esta construção, considere p: vi alguém.
Perceba que a última coluna da tabela-verdade é a bicondicional e ela é sempre verdadeira, e
portanto tautológica.
Os valores lógicos de p e ~(~p) são idênticos. Desta forma, podemos concluir que estas proposições
são logicamente equivalentes. E também são equivalentes as proposições compostas p→~(~p) e
~(~p) → p, e esta equivalência expressa a lei da dupla negação.
Podemos indicar estas equivalências da seguinte forma:
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LÓGICA
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Vamos trabalhar esta noção de equivalência por meio de alguns outros exemplos:
1º Exemplo: Veja as seguintes sentenças:
Se hoje é sábado, então hoje é dia de pegar um cineminha.
Se hoje não é dia de pegar um cineminha, então hoje não é sábado.
Parece intuitivo que sejam logicamente equivalentes?
É verdade, pois possuem o mesmo “conteúdo lógico”.
Vamos analisar melhor esta situação, utilizando agora os conceitos da Lógica Matemática. E para
isto, considere as proposições:
p: Hoje é sábado.
q: Hoje é dia de pegar um cineminha.
Vamos verificar como ficam os possíveis valores lógicos na tabela-verdade para cada sentença dada
inicialmente:
Se hoje é sábado, então hoje é dia de pegar um cineminha. (p→q)
Você lembra que a condicional p→q será logicamente falsa apenas quando o antecedente (p) é
verdadeiro e o consequente (q) é falso? Veja a possibilidade 2. (2ª linha da tabela)
Vamos agora para a segunda sentença. E para isto, considere as proposições p e q e suas negações
~p e ~q
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LÓGICA
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Se você observar atentamente as tabelas, facilmente perceberá que as últimas colunas das tabelas,
que são das proposições condicionais (p→q) e (~q→~p), são idênticas. Desta forma, podemos
concluir que há aqui uma equivalência lógica. Assim sendo, as sentenças I e II, são equivalentes:
I -Se hoje é sábado, então hoje é dia de pegar um cineminha. (p→q)
II -Se hoje não é dia de pegar um cineminha, então hoje não é sábado. (~q→~p)
Simbolicamente representamos esta equivalência da seguinte maneira:
(p→q) ⇔ (~q→~p) (Esta equivalência é denominada de Contrapositiva da condicional dada.)
Releia o conceito inicial de equivalência lógica e observe que:
(p→q) corresponde a proposição composta
P (~q→~p) corresponde a proposição composta Q
É importante que você valorize aquilo que temos estudado dentro da Lógica Matemática, pois
certamente a fundamentação teórica é importante para o entendimento de situações, inclusive as do
nosso cotidiano.
Vamos ver mais alguns exemplos de equivalência entre proposições (P ⇔ Q). Nosso objetivo é que
você entenda a construção das tabelas-verdade como um instrumento importante de verificação das
equivalências lógicas, pois sempre que os valores lógicos das proposições P e Q forem idênticos,
elas serão equivalentes.
2º Exemplo: Vamos para o seguinte enunciado:
Verificar a equivalência das proposições a seguir:
p ∧ q ⇔ q ∧ p .
observação:
p ∧ q corresponde a proposição composta P.
q ∧ p corresponde a proposição composta Q.
Vamos recorrer à tabela-verdade e colocar os valores lógicos de cada proposição.
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LÓGICA
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Perceba que neste caso, as colunas das proposições “p ∧ q” e “q ∧ p” são idênticas, logo são
equivalentes, e sendo equivalentes, a coluna da bicondicional tem sempre valores lógicos
verdadeiros, e portanto a bicondicional é considerada tautológica.
Uma aplicação bastante interessante de equivalência lógica entre as proposições condicionais e as
proposições com o conectivo “ou” (disjunção) é:
3º Exemplo: Neste 3º exemplo, verificaremos uma transformação de uma proposição condicional em
proposição com o conectivo “ou” (disjunção), pois são equivalentes. (p→q) ⇔ (~p v q ).
Achou estranha esta equivalência? Podemos compreendê-la, utilizando a tabela-verdade. Para que
não fiquemos trabalhando apenas com letras e para que não vejamos este tópico com estranheza e
distância, vamos buscar uma solução para o enunciado abaixo:
Enunciado: Transforme, através da equivalência por disjunção, a proposição condicional “Se estudo,
passo no teste”.
Veja que inicialmente temos as seguintes proposições:
p: estudo
q: passo no teste
A proposição dada no enunciado é a proposição composta que podemos representar
matematicamente por p→q e a pedida é ( ~p v q ).
Veja, se utilizarmos a equivalência citada anteriormente (p→q) ⇔ ( ~p v q), podemos escrever:
A proposição condicional “Se estudo, passo no teste” (p→q) é logicamente equivalente a proposição
com o conectivo “ou” (disjunção) “Não estudo ou passo no teste” (~p v q)
Vamos verificar esta equivalência, por meio da tabela-verdade.
Observe que os valores lógicos das proposições “p→q” e “~p v q” são idênticos.
Resumindo
Vale destacar que toda equivalência é uma implicação lógica por natureza. Diferentemente, a
implicação não se trata necessariamente de uma equivalência lógica. Podemos então dizer que toda
equivalência é uma implicação lógica, mas nem toda implicação é uma equivalência lógica.
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LÓGICA
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Lógica De Programação
Lógica de programação é o modo como se escreve um programa de computador, um algoritmo. Um
algoritmo é uma sequência de passos para se executar uma função. Um exemplo de algoritmo, fora
da computação, é uma receita de bolo.
Na receita, devem-se seguir os passos para o bolo ficar pronto e sem nenhum problema. Na
informática, os programadores escrevem as “receitas de bolo” (algoritmos) de modo que o
computador leia e entenda o que deve ser feito, ao executar o algoritmo. Para isto é necessário
uma linguagem de programação.
A linguagem de programação é como uma língua normal, um grupo de palavras com significados. No
caso da programação, a maioria das linguagens é escrita em Inglês. Estas linguagens fazem o
computador assimilar cada comando e função de um algoritmo, depois executar cada função.
A linguagem de programação é somente como se escreve o algoritmo. O grande problema para
muitos é o que “dizer” para o computador fazer o que é desejado. Para o aprendizado foi
desenvolvido o Software VisualG, que auxilia a programação totalmente em português. Com este
software, não é necessário pensar em linguagem de programação, pois todos os comandos são em
Português, ficando assim o foco na Lógica.
Na hora de programar alguns passos são indispensáveis, como Declarar Variáveis. Variáveis podem
ser escritas por letras ou números, que representam um valor que pode ser mudado a qualquer
momento.
Cada variável tem um espaço na memória para armazenar seus dados. Porem existem vários tipos
de dados, sendo os mais comuns:
Numérico: todo e qualquer tipo numero, positivo ou negativo
Reais: podem ser positivos ou negativos e decimais.
Caractere: São os textos. Qualquer numero pode entrar aqui, porem não terá função matemática.
Saber lógica de programação é saber o melhor jeito de escrever um código, para o computador
interpretar corretamente. É saber se comunicar com a maquina a partir de uma linguagem seja lá qual
for.
Um exemplo de algoritmo, que tem como objetivo somar 3 números inteiros.Algoritmo "soma"
Var Num1, num2, num3, resultado:inteiro
Inicio
escreval("este programa ira somar 3 números inteiros de sua escolha:")
escreval("digite um numero inteiro:")
leia(num1)
escreval("digite um numero para somar ao primeiro numero:")
Leia (num2)
escreval("digite um terceiro numero para somar aos outros 2 numeros:")
Leia (num3)
Resultado <- num1+num2+num3
escreval("O resultado é: ")
escreval (resultado)
fimalgoritmo
no algoritmo acima, alguns elementos são os comandos específicos da linguagem "Portugol": Var,
Inicio, Escreval, leia, <-, Fimalgoritmo, :Inteiro. Estes comandos têm funções especificas, e um dos
objetivos da lógica de programação é entender como eles funcionam. Cada linguagem tem um
correspondente a estes comandos, com a mesma função, porem escrito de modo diferente (sintaxe).
Fundamentos Da Informática – Lógica Booleana – 1
LÓGICA
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A lógica booleana é a base de toda a informática.
Na álgebra booleana não existem números: Existem variáveis lógicas, que podem ser ou
Verdadeiras, representadas por 1, ou Falsas, representadas por 0. .
Como dito nos artigos anteriores, computadores só entendem se algo esta ligado ou desligado (1 e
0). Se considerarmos o valor de “ligado” como sendo verdadeiro, e o “Desligado” como sendo falso,
podemos criar uma máquinas capazes de tomar decisões.
Existem 3 operações booleanas: A função AND (e), a OR (ou) e a NOT (negação).
A função AND e a OR recebem 2 valores lógicos, retornando um valor lógico.
A função AND retorna verdadeiro se os dois valores recebidos forem verdadeiros. Caso um dos
valores, ou os 2 valores seja falso, seu resultado será falso.
A função OR retorna falso se os dois valores de entrada forem falsos. Se qualquer valor de entrada
for verdadeiro, ou se os 2 valores forem verdadeiros, seu resultado será verdadeiro.
A função NOT recebe somente um valor. Sua resposta será sempre o oposto da entrada: ou seja:
NOT 1 =0, e NOT 0 = 1.
Complicado? As seguintes tabelas ajudarão a explicar:
É importante saber de cor estas tabelas – o que não é dificil né?
Existe uma precedência de operadores: Primeiro calcula-se o NOT. O resto dos operadores calcula-
se na ordem que esta escrito. Se alguma operação estiver entre parentes, calcula-se ela antes…
exatamente como na matematica convencional que todos aprenderam na escola.
Vamos Calcular Umas Operações Simples:
Por exemplo:
Calculando 1 AND 0.
LÓGICA
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O valor1 é 1. O valor 2 é 0. Olhando na tabela verdade da função AND, veremos que para valor1
como 1 e valor 2 com 0, o resultado é 0.
Portanto:
1 AND 0 = 0.
Calculando 0 OR 1.
Olhando na tabela verdade da funcao OR, veremos que para valor1 como 0 e valor2 como 1, o
resultado é 1.
e NOT 1? O resultado é 0 (olhe na tabela verdade…)
Agora, a grande pergunta: Para que isto pode ser util para nossa vida? Simples:
Imagine que alguem esteja desenvolvendo um mecanismo para manter a agua aquecida. O circuito é
composto por 2 sensores (A e B )e uma resistencia (C).
O sensor A mede a temperatura da agua. Sempre que a temperatura estiver abaixo de 50 graus, este
sensor envia um sinal elétrico. Quando a agua ultrapassa os 50 graus, o sensor para de enviar o
sinal.
O sensor B mede o nivel de agua, enviando sinal elétrico se o nivel está abaixo da metade do
recipiente. Quando a agua estiver acima da metade, ele para de enviar sinal.
Desejamos um circuito que ligue a resistência (seja 1) sempre que a água estiver abaixo de 50
graus E o nível de água estiver acima da metade. (para simplificar, considere que a água nunca vai
ficar exatamente na metade do recipiente: Ou esta acima, ou esta abaixo da metade).
Observe o enunciado: A palavra E indica que as DUAS condições precisam ser verdadeiras, logo,
usaremos uma função AND.
No Momento, Nossa Equação Está Desta Forma:
<condição1> AND <condição2>.
Vamos determinar que elementos servem para nossas condições 1 e 2. Primeiro pela condição 1:
A condição 1 diz que: “A agua deve estar abaixo de 50 graus”.
Sabemos que as seguintes afirmações são verdadeiras:
1) O sensor A será verdadeiro se a agua estiver abaixo de 50 graus.
2) O sensor B será verdadeiro se a agua estiver abaixo da metade.
A primeira afirmação (sobre o sensor A) é verdadeira e funciona para nossa primeira condição. Como
o sinal enviado por A serve para a nossa condição 1, usaremos ele na equação.
Nossa equação agora está desta forma:
A AND <condição2>.
Vamos determinar a condição 2
A condição diz que:
“E o nível de água estiver acima da metade.”
Não existe um sensor que retorne verdadeiro se a água estiver acima da metade, porém, o sensor B
retorna verdadeiro se a agua estiver abaixo da metade. É Obvio que, se a agua está abaixo da
metade, é porque não está acima da metade. Assim como se a agua não está acima da metade, é
porque ela esta abaixo da metade. Portanto, dizer que “E o nivel da agua estiver acima da metade”, é
o mesmo que dizer “E o nivel da agua NÃO estiver abaixo da metade”.
LÓGICA
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Como o sensor B é verdadeiro se a agua estiver abaixo da metade, ao negarmos o sensor,
obteremos um valor verdadeiro quando a agua estiver acima da metade, portanto, a condição 2 é
NOT B.
Portanto, a equação que resolve o nosso problema de aquecimento da água é a seguinte:
A AND NOT B.
Vamos verificar?
Se a agua estiver abaixo de 50 graus e o nivel da agua estiver abaixo da metade: Ou seja: A=1 e
B=1.
A AND NOT B.
1 AND NOT 1
Calculando NOT 1, obtemos 0.
1 AND 0.
O resultado de 1 AND 0 é 0, portanto, a resistencia NÃO ligará.
E se a agua estiver acima de 50 graus e o nivel estiver acima da metade? Ou seja, A=0, B=0
A AND NOT B.
0 AND NOT 0
calculando o NOT 0, obtemos 1:
0 AND 1. Que é igual a 0. A resistencia não ligará.
E se a agua estiver abaixo de 50 graus e o nivel acima da metade? Ou seja, A=1, B=0?
A AND NOT B
1 AND NOT 0
calculando o NOT 0, obtemos 1.
1 AND 1, que é igual a 1, ou seja, a resistencia ligará.
E, finalmente: E se a agua estiver acima de 50 graus e o nivel abaixo da metade? A=0, B=1
A AND NOT B
1 AND NOT 1
1 AND 0, que é 0. A resistência não ligará.
Como podemos observar, a equação realmente resolveu nossos problemas.
É claro que ficar interpretando texto para chegar a uma conclusão é meio complicado, existe métodos
para resolver isto de forma mais simples e objetiva.
Lógica: Uma Ferramenta Indispensável Na Programação De Computadores
Lógica De Programação
O objetivo deste artigo é mostrar como a lógica de programação facilita o raciocínio na
construção e entendimento do algoritmo, mostrando que ele está muito mais presente em nosso
cotidiano do que imaginamos. Na computação o algoritmo é essencial.
LÓGICA
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À princípio, um algoritmo nada mais é do que uma receita que mostra passo a passo os
procedimentos necessários para resolução de uma tarefa. Ele não responde a pergunta: "o que
fazer?", mas sim "como fazer". Em termos mais técnicos, um algoritmo é uma sequencia lógica,
finita e definida de instruções que devem ser seguidas para resolver um problema ou executar uma
tarefa. Embora não percebemos, utilizamos algoritmo de forma intuitiva e auto diariamente quando
executamos tarefas comuns, passando totalmente despercebido, porém estando presente o tempo
todo, como é o caso de trocar uma lâmpada.
Mostraremos logo mais detalhes sobre o algoritmo e como ele é feito. A lógica de programação é
fundamental na criação de um algoritmo, pois tem, por objeto de estudo, as leis gerais do
pensamento, e as formas de aplicar essas leis corretamente na investigação da verdade.
Sua origem vem de Aristóteles (filósofo grego - 342 a.C) que sistematizou os conhecimentos
existentes, elevando-os à categoria de ciência. Em sua obra chamada Organum ("ferramenta para o
correto pensar"), estabeleceu princípios tão geraise tão sólidos que até hoje são considerados
válidos. Aristóteles se preocupava com as formas de raciocínio que, a partir de conhecimentos
considerados verdadeiros, permitiam obter novos conhecimentos. A partir dos conhecimentos tidos
como verdadeiros, caberia à Lógica de Programação a formulação de leis gerais de encadeamentos
lógicos que levariam à descoberta de novas verdades. Essa forma de encadeamento é chamada, em
Lógica de Programação, de Argumento.
A base da estruturação de um algoritmo e/ou programação é o Argumento usado, ou seja, a "busca
da verdade" e seus fundamentos lógicos.
Um argumento é uma sequência de proposições que nada mais é que as sentenças afirmativas que
podem ser verdadeiras ou falsas, na qual uma delas é a conclusão e as demais são premissas. As
premissas justificam a conclusão.
O objetivo de um argumento é justificar uma afirmação que se faz, ou dar as razões para certa
conclusão obtida. Pode-se dizer que é uma reconstrução explícita do raciocino efetuado
É necessário expor todas as razões que levaram a conclusão lógica como forma de convencimento,
ou seja, mostrar o fundamento do argumento.
Quando se fala em Validade de um Argumento, as premissas são consideradas provas evidentes da
verdade da conclusão, caso contrário não é válido. Considera-se válido quando, podemos dizer que a
conclusão é uma consequência lógica das premissas, ou ainda que a conclusão seja uma inferência
decorrente das premissas.
Vale ressaltar que há uma grande diferença em argumentos validos e verdadeiros. Se numa frase as
premissas estão bem específicas e de forma que as frases tenham alguma conclusão, não
necessariamente o resultado é verdadeiro.
Como exemplo de um Argumento Válido e a conclusão verdadeira, pode-se usar: toda baleia é um
mamífero. Todo mamífero tem pulmões, logo toda baleia é um mamífero.
Mas, se utilizado um exemplo como: Toda aranha tem seis pernas. Todo ser de seis pernas tem asas.
Logo, toda aranha tem asas. Percebe-se que a lógica de programação foi utilizada, o argumento tem
validade, mas não é um argumento verdadeiro, ou seja, a conclusão é falsa.
A Lógica Informal formula os argumentos em linguagem natural, mas enfrenta problemas de
ambigüidade e de construções confusas.
A Lógica Simbólica ou Lógica Matemática utiliza símbolos de origem matemática para formular os
argumentos. "Trabalho iniciado pelo matemático inglês George Boole (1815 – 1864) – Álgebra
Booleana; e consolidado pelo filósofo e matemático alemão Goottlob Frege (1848 – 1895) – Regras
de Demonstração Matemática."
Uma vez que a Lógica Simbólica tem sua própria linguagem técnica, é um instrumento poderoso para
a análise e a dedução dos argumentos, especialmente com o uso do computador (Prova Automática
de Teoremas).
LÓGICA
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Tradicionalmente a Lógica tem sido estudada para orientações filosóficas e matemáticas. Na
computação, ela é utilizada para representar problemas e para obter suas soluções.
A lógica de programação e a construção de algoritmos são conhecimentos fundamentais para
programar. Construído o algoritmo, você pode, então, codificar seu programa de computação em
qualquer linguagem.
Um Pouco De História Sobre Lógica De Programação
Existem muitos trabalhos desenvolvidos que podem ser considerados como ferramentas de apoio ao
ensino, as quais podem ser consideradas como trabalhos correlatos a esse.
Um desses trabalhos é Tagliari (1996), onde é desenvolvido o protótipo de um software para o auxílio
ao aprendizado de algoritmos. Esta é uma ferramenta que se propõe a permitir a visualização e
o funcionamento de algoritmos pré-definidos de maneira mais palpável do que o teste de mesa
normalmente utilizado pelos professores.
Outros dois outros trabalhos de Conclusão de Curso foram desenvolvidos. O primeiro deles é o do
acadêmico André Iraldo Gluber que consiste na criação de um sistema especialista, baseado no
trabalho de Mattos (1999) a ser utilizado no ensino de Lógica de Programação. Já o acadêmico
Gilson Klotz está desenvolvendo um Sistema Especialista que auxilie os alunos que apresentam
dificuldades de redação.
Pode-se citar ainda o trabalho de Heffernan III (2001). Neste trabalho o autor desenvolve um tutor
inteligente de álgebra cujo objetivo é facilitar o aprendizado desta matéria. A questão principal
trabalha pelo autor é fazer com que o aluno, ao ler um problema de álgebra, consiga transformar as
sentenças do problema em expressões algébricas.
Em Schank (1999) são encontradas várias ferramentas (Creanimate, Dustin, Yello, entre outras) de
apoio à verificação da lógica nos programas de computação. Essas ferramentas são voltadas não
somente para estudantes e universitários, mas também para crianças nos primeiros anos de escola.
A visão contida nestes trabalhos é interessante, dentro do contexto do presente trabalho, uma vez
que o homem que coordena o desenvolvimento dessas ferramentas, Roger C. Schank, é autor que
desenvolveu as teorias que deram origem a técnica de Raciocínio Baseado em casos.
Todas as pessoas citadas nessa referência estão objetivadas a desenvolver maneiras de facilitar o
dia a dia na vida das pessoas. Pois para resolver um problema no computador é necessário que seja
primeiramente encontrada uma maneira de descrever este problema de uma forma clara e precisa. É
preciso que encontremos uma seqüência de passos que permitam que o problema possa ser
resolvido de maneira automática e repetitiva. Além disto, é preciso definir como os dados que serão
processados serão armazenados no computador. Portanto, a solução de um problema por
computador é baseada em dois pontos: a seqüência de passos e a forma como os dados serão
armazenados no computador. Esta seqüência de passos é chamada de algoritmo. Um exemplo
simples e prosaico, de como um problema pode ser resolvido caso forneçamos uma seqüência de
passos que mostrem a solução, é uma receita para preparar um bolo.
Um maior detalhamento sobre como a informática pode ser aplicada à educação, uma discussão
sobre os erros e acertos decorrentes do uso de informática pode-se encontram na leitura de Bianchi
(2000), Komosinski (2000), Nascimento (2001) e Schank (2002).
Diante do que foi exposto, cabe salientar que a informática está cada dia mais presente em nosso
cotidiano, principalmente das crianças. Alguns softwares são extremamente lentos e adormecem as
mentes do aluno. Porém muita coisa vem sendo desenvolvida para que o raciocínio lógico seja
fortalecido e com isso os algoritmos sejam conseqüência para novos desenvolvedores.
A noção de algoritmo é central para toda a computação. A criação de algoritmos para resolver os
problemas é uma das maiores dificuldades dos iniciantes em programação em computadores. Isto
porque não existe um conjunto de regras, ou seja, um algoritmo, que nos permita criar algoritmos.
Caso isto fosse possível a função de criador de algoritmos desapareceria. Claro que existem
linhas mestras e estruturas básicas, a partir das quais podemos criar algoritmos, mas a
solução completa depende em grande parte do criador do algoritmo. Geralmente existem
LÓGICA
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diversos algoritmos para resolver o mesmo problema, cada um segundo o ponto de vista do seu
criador.
No seu livro Fundamental Algorithms vol. 1 Donald Knuth apresenta uma versão para a origem
desta palavra. Ela seria derivada do nome de um famoso matemático persa chamado Abu Ja´far
Maomé ibn Mûsâ al-Khowârism (825) que traduzido literalmente quer dizer Pai de Ja'far, Maomé, filho
de Moisés, de Khowârizm. Khowârizm é hoje a cidade de Khiva, na ex União Soviética. Este autor
escreveu um livro chamado Kitab al jabr w'al-muqabala (Regras de Restauração e Redução). O título
do livro deu origem também a palavra Álgebra.
O significado da palavra é muito similar ao de uma receita, procedimento, técnica, rotina. Um
algoritmo é um conjunto finito de regras que fornece uma seqüência deoperações para resolver um
problema específico. Segundo o dicionário do prof. Aurélio Buarque de Holanda um algoritmo é um:
"Processo de cálculo, ou de resolução de um grupo de problemas semelhantes, em que se estipulam,
com generalidade e sem restrições, regras formais para a obtenção de resultado ou de solução de
problema."
Com base em tudo temos a lógica que pode ser expressa como a arte de pensar de forma a atingir a
solução dos problemas. A lógica tem sido definida como a ciência do raciocínio, que vem a ser
uma modalidade especial do ato de pensar; a forma na qual se obtêm conclusões a partir de
evidências. É a arte de colocar ordem no pensamento (FOR93,CER79).
Assim a lógica é entendida como sendo o estudo das leis do raciocínio e do modo de aplicá-las
corretamente na demonstração da verdade (VEN97). A utilização da lógica na vida do indivíduo é
constante, visto que é por meio dela que se obtém a ordenação do pensamento humano (FOR93).
Etapas Da Lógica De Programação
Nossa metodologia é constituída por 5 etapas: a primeira compreende o que é um algoritmo,
mostrando que é uma seqüência de instruções finita e ordenada de forma lógica para a resolução de
uma determinada tarefa ou problema. Além de mostrar exemplos de algoritmos instruções de
montagem, receitas, manuais de uso, etc.
A segunda etapa mostrará exemplos de constantes e variáveis e aprofundando mais sobre o assunto
(sendo dado que não sofre nenhuma variação durante todo o algoritmo).
A terceira etapa falará sobre os operadores aritméticos que são empregados com muita freqüência
em programação. É com o seu uso (muitas vezes da combinação de vários deles) é que são feitas as
tarefas mais comuns de processamento de dados.
A quarta etapa será exemplificada através de comandos de estruturas básicas, demonstrando que
todo algoritmo como um todo é um bloco de instruções, então deve ser delimitado pelos comandos
início e fim.
A pesquisa utilizada através dos livros relacionados na bibliografia, como também as pesquisas feitas
através da internet nos levaram a identificar o tema principal do trabalho, como também analisar
todos os algoritmos básicos utilizados nos programas de computação utilizados em nosso dia a dia.
Estudo De Caso
Dificuldades No Ensino-Apredizagem De Algoritmos E Lógica De Programação
A tarefa de desenvolvimento de algoritmos está intimamente relacionada com as habilidades de
resolver problemas e descrever processos de resolução de problemas. Essas habilidades colocam
em funcionamento atividades cognitivas conceituais, de raciocínio, compreensão e representação. A
competência para resolver problemas vai muito além da capacidade de buscar soluções em um
repertório de soluções pré-definido. Por isso, podemos observar que muitos alunos são capazes de
reproduzir algoritmos prontos, mas são incapazes de efetuar modificações para adequá-los a
pequenas alterações nas condições do problema e, também, não conseguem minimamente começar
o desenvolvimento de um algoritmo para resolver problemas considerados fáceis do ponto de vista
de estruturas lógicas envolvidas. Essas observações são indícios de dificuldades com a resolução
de problemas em si, com o entendimento do problema e o delineamento dos passos para resolvê-lo.
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Dificuldades E Desafios De Natureza Didática
Existem dificuldades que não são particulares do aluno ou do professor, mas são inerentes à
disciplina de Algoritmos em si ou ao ensino geral. Entre elas são:
O grande número de alunos
Dificuldade do professor em compreender a lógica do aluno: uma vez desenvolvido o raciocínio
lógico, torna-se difícil pensar as soluções de outra forma. Como consequência o professor tem
dificuldade em compreender a lógica individual de cada aluno que os leva a construir soluções
equivocadas de algoritmos. Isso acaba tomando mais tempo do professor em correções e requer
mais cautela na elaboração de provas e projetos
Turmas heterogêneas: sempre há diferença de experiência e ritmo de aprendizagem entre os
alunos de uma turma. Tornar a aula interessante para ambos os grupos é sempre um desafio. Além
disso, mesmo os alunos aparentemente com o mesmo nível têm estilos distintos de raciocínio que
são tão individuais como uma assinatura
Ambiente de realização das provas: a realização das provas é normalmente onde o aluno percebe a
diferença entre observar e fazer. Isto é determinante na disciplina onde muitos alunos têm a
sensação de estar entendendo tudo, mas não percebem sua incapacidade de iniciar um algoritmo
sozinho.
Pouca procura dos monitores ou tutores da disciplina: os alunos com dificuldades de aprendizagem
procuram muito pouco a ajuda dos monitores ou tutores da disciplina.
Ausência de bons materiais: existem muitos livros de algoritmos, mas geralmente estes
apresentam o conteúdo com o conteúdo com nível muito alto ou de forma sucinta, tornando difícil
para o aluno iniciante aprender.
Alunos desorientados na escolha do curso: muitos alunos não têm a visão correta sobre o perfil do
curso e acabam descobrindo isso durante a disciplina.
Problemas com os recursos computacionais dos laboratórios: Tem muitos computadores sem
funcionar ou desatualizados. Isso é um grande problema para os que necessitam ter uma abordagem
prática.
Dificuldades E Desafios Enfrentados Pelo Professor
Raciocínios diferenciados: por pensarem diferente, cada aluno pode ter a sua própria solução.
Mesmo que não seja a melhor, o docente deve ter muito cuidado ao dizer que ela não funciona. Tem
que se assegurar dessa informação.
Rastreamento de programas: devido os raciocínios diferenciados, na grande maioria das vezes não
vai existir um gabarito de correção que possa ser seguido. Todo algoritmo deverá ser,
cuidadosamente testado, rastreado, para verificar sua corretude. Apresentar diferenciadas técnicas
para solução dos problemas.
Entre alguns autores não há consenso de qual melhor formalismo para ser utilizado na apresentação
de algoritmos, como também o nível de detalhamento que esse formalismo deve apresentar.
Diante disso, foi apresentado que o Profissional precisa desenvolver habilidades de raciocínio lógico-
matemático, capacidade de abstração e de construção de soluções de problemas, além de outras
para exercer mais efetivamente suas atribuições. O algoritmo assume um papel fundamental uma vez
que representa uma disciplina base na qual muitas outras dependem, dentre elas, as de linguagem
de programação.
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01 Numeros Naturais
03 Números Racionais
04 Números Reais
05 Razões e Proporções
08 Divisão proporcional
8-Regra de Três
02 Juros Simples e Composto
03.6 Porcentagem
7.1-Taxas de Juros
01 LógicaMais conteúdos dessa disciplina
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- Legislação Aplicada - sg Exercício de Fixação - Da Organização Sindical
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- Abaixo temos o gráfico de uma função quadrática. Assinale a alternativa que indica a lei dessa função. Questão 7Escolha uma opção: a. (1/2)x2 – (5/2)x
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- A função do 2º grau é representada por: f(x)=x+cf(x) = x + cf(x)=x+c. f(x)=a+bxf(x) = a + bxf(x)=a+bx. f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + cf(x)=ax2+bx+c.
- Aprender Sempre 2021 - Vol 1-56
- Aprender Sempre 2021 - Vol 1-57
