Tangencia e Concordancia

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1 TANGEˆNCIA E CONCORDAˆNCIA
A partir de agora vamos tratar dos seguintes problemas: trac¸ar uma tangente a um
c´ırculo, passando por um ponto P da circunfereˆncia do c´ırculo ou fora dele; desenhar
dois c´ırculos tangentes externa ou internamente; “concordar” um segmento de reta
e um arco de c´ırculo; e, concordar arcos de c´ırculos.
1.1 Teoremas Relacionados:
Vamos enunciar alguns teoremas que sa˜o aplicados a`s questo˜es que sera˜o tratadas:(Ver
Figura 1)
T1 Se P e´ um ponto da circunfereˆncia de um c´ırculo de centro O e r e´ uma
reta tangente em P enta˜o OP ⊥ r ou seja, o raio e´ perpendicular a` reta
]tangente,(fig 1)
T2 Se dois c´ırculos sa˜o tangentes (interna ou externamente) enta˜o a reta que
une os centros contem o ponto de tangeˆncia. (fig 2 e fig 3)
T3 Se r e s sa˜o retas concorrentes e tangentes a um c´ırculo enta˜o o centro do
c´ırculo esta´ na bissetriz de um dos aˆngulos formados por r e s. (fig 4)
Figura 1:
1.2 Tangeˆncia reta x c´ırculo
Em termos gerais, uma reta tangencia uma curva no ponto P se, nas vizinhanc¸as
de P na˜o ha´ outros pontos comuns. Em termos mais precisos, no ponto P a normal
a` curva e´ perpendicular a reta (Conceitos de Ca´lculo Diferencial e Integral).
No caso de um c´ırculo, uma reta e´ tangente se tem apenas um ponto comum com
o c´ırculo.
1.2.1 Problemas:
• Problema 1
Dado um c´ırculo e um ponto P na circunfereˆncia, desenhar a reta tangente
em P .
Soluc¸a˜o: Com base no [T1] citado acima, desenhamos o raio do ponto P e
uma perpendicular, em P , a esse raio. Ver Figura 2
Figura 2:
• Problema 2 Dado um c´ırculo e um ponto P no seu exterior, trac¸ar a reta
tangente (trac¸ar as duas tangentes poss´ıveis).
Soluc¸a˜o: Sa˜o conhecidos o raio R do c´ırculo, seu centro O e a distaˆncia d
de P a O. Observe a Figura 3 a seguir e perceba que do triaˆngulo retaˆngulo
△POQ precisamos determinar o cateto PQ. Determinado esse comprimento,
podemos determinar Q no c´ırculo, (duas possibilidades) recaindo no problema
anterior,
Figura 3:
• Problema 3
Dada uma reta r e um ponto O fora dela, construir o c´ırculo de centro O
tangente a r.
Soluc¸a˜o: Lembrando o [T1] acima, o raio OP deve ser perpendicular a r
• Problema 4
Dada uma reta r e um ponto P ∈ r, desenhar um c´ırculo de raio R dado,
tangente a r no ponto P . Ver Figura 4
Soluc¸a˜o: O raio de medida R deve ser desenhado perpendicular a r no ponto
P .
Figura 4:
• Problema 5
Dada uma reta r, P ∈ r e Q /∈ r, desenhar o c´ırculo contendo Q e tangente
a r em P . Figura 5
Soluc¸a˜o: Precisamos encontrar o centro do c´ırculo. Ele esta´ na reta perpen-
dicular a r em P e na mediatriz da corda PQ do c´ırculo.
Figura 5:
• Problema 6
Dadas duas retas concorrentes r e s, desenhar o c´ırculo de raio R tangente
a`s duas retas. Figura 6
Soluc¸a˜o: O centro do c´ırculo esta´ na bissetriz do aˆngulo adequado formado
pelas retas r e s, ale´m de estar numa reta paralela a r (e s) a` distaˆncia R.
Figura 6:
• Problema 7
Dadas 3 retas r, s e t duas delas nunca paralelas, desenhar o c´ırculo tangente
a`s 3 retas. Figura 7
Soluc¸a˜o: Lembrando o problema anterior, o centro do c´ırculo esta´ nas duas
bissetrizes. Encontrado o centro, reca´ımos no P3.
Figura 7:
1.3 Tangeˆncia entre c´ırculos
Dois c´ırculos sa˜o tangentes quando tem apenas um ponto em comum (e uma reta
tangente comum nesse ponto). Os dois c´ırculos podem ser tangentes exteriormente
ou tangentes interiormente.
1.3.1 Problema:
Problema 1 Dado o c´ırculo de centro O e um ponto P em sua circunfereˆncia, desenhar
c´ırculos tangentes interiores e exteriores tangentes em P e com raio R dado.
Soluc¸a˜o: Se R e´ menor que o raio do c´ırculo dado, trace a semi-reta OP e
marque o comprimento R a` direita e a` esquerda de P, obtendo X e Y . Com
centro em cada um desses pontos trace os c´ırculos passando por P . Ver Figura
8
Figura 8:
Problema 2 Dado o c´ırculo C(O,R) de centro O e raio R, M ∈ C e N /∈ C, desenhe o
c´ırculo tangente a C em M , de modo que esse c´ırculo passe por N . Figura 9
O centro do c´ırculo procurado esta´ na reta OM , conforme [T2]. Ale´m disso
a mediatriz da corda MN tambe´m passa por ele.
Figura 9:
Problema 3 Seja C(O,R) um c´ırculo e M /∈ C. Desenhe o c´ırculo de raio r, tangente
exteriormente a C e que passe por M . Figura 10
Seja P o centro desse c´ırculo. Enta˜o d(O,P ) = R + r e portanto P esta´ no
c´ırculo de raio R + r. Como d(M,P ) = r, P esta´ no c´ırculo de centro M e
raio r. A intersec¸a˜o desses c´ırculos contem P (e um outro ponto que fornece
outra soluc¸a˜o).
Figura 10:
Problema 4 Dados o c´ırculo C(O,R) e a reta s, desenhe o c´ırculo de raio r que tangencie
simultaneamente a reta s e o c´ırculo C. Figura 11
O centro do c´ırculo procurado esta´ no c´ırculo C(O,R + r) e dista r da reta
s.
Figura 11:
Problema 5 Dados os c´ırculosC(O,R) e C(P, r) construir o c´ırculo de raio a que tangencie
ambos, externamente. Figura 12
O centro Q do c´ırculo procurado esta´ nos c´ırculos C(O,R+a) e C(P, r+a).
Duas soluc¸o˜es.Na˜o ha´ soluc¸a˜o se d(O,P ) > R+ r + a.
Figura 12:
Problema 6 Dados os c´ırculos C(O,R) e C(P, r) construir o c´ırculo tangente externa-
mente aos dois, sendo M um dos pontos de tangeˆncia. Figura 13
Figura 13:
Problema 7 Dados os c´ırculos C(O,R) e C(P, r) construir o c´ırculo tangente aos dois,
sendo um deles interno, com M um dos pontos de tangeˆncia. Figura 14
Figura 14:
Comece trac¸ando a semi-reta OM , sobre a qual esta´ o centro Q do c´ırculo
procurado. Marque N de modo que MN = PR = r, o menor dos raios.
Os pontos M e P equidistam de Q, logo devem estar na mediatriz de MP .
Obtido Q, trace o c´ırculo procurado, que passa por M
Problema 8 Dado um c´ırculo C de raio R e centro O, uma reta secante r e um ponto
P ∈ r interno ao c´ırculo, trac¸ar o c´ırculo tangente a r no ponto P e tangente
a C internamente. Observac¸a˜o: este problema e´ importante no desenho de
Arcos Abatidos de 3 ou de 5 ou mais centros.
Para resolver, fac¸a uma figura a` ma˜o livre que solucione a questa˜o. Marque P,
Q (ponto de tangeˆncia dos dois c´ırculos), R o centro do c´ırculo interno (que
deve estar na perpendicular a r por P. As distaˆncias RP e RQ sa˜o iguais (*),
mas isso na˜o ajuda pois na˜o conhecemos R. Mas se trac¸amos os segmentos
QRO = PRX e considerarmos a informac¸a˜o (*) segue que RO = RX
,ou seja, o triaˆngulo ORX e´ iso´sceles e R esta´ na mediatriz da base OX .
Encontrado R, desenhe o c´ırculo.
Figura 15:
1.4 Concordaˆncia
Dizemos que duas curvas C1 e C2 concordam num ponto comum P se a tangente
nesse ponto a uma das curvas tambe´m tangencia a outra.
Nossos casos de estudo sa˜o treˆs: 1) concordar um segmento com um arco de c´ırculo;
2) concordar dois arcos de c´ırculo e, 3) concordar va´rios arcos e semi-retas ou
segmentos..
A figura a seguir apresenta curvas concordantes na parte I e na˜o concordantes na
parte II
Figura 16:
E´ preciso lembrar que na˜o existe apenas um arco concordando com um segmento
ou outro arco. A figura a seguir mostra 3 arcos concordando com um segmento e
ao lado 3 arcos concordando com um outro.
Figura 17:
1.4.1 Concordaˆncia segmento x arcos
Um segmento e um arco de c´ırculo somente sa˜o concordantes em um ponto comum
se o segmento tangenciar o arco.
Problema 1 Dado um segmento AB construa um semi-c´ırculo de raio 2 cm em con-
cordaˆncia com ele. Ver Figura 18
Problema 2 Dado um segmento CD construa um arco de c´ırculo que passe pelo ponto P
dado e que concorde com o segmento· Ver Figura 18
Figura 18:
1.4.2 Concordaˆncia entre arcos
Dois arcos esta˜o em concordaˆncia em um ponto P se os c´ırculos que os contem sa˜o
tangentes em P . Assim, a linha dos centros passa por P .
Problema 1 Desenhe arcos com raios 2 cm e 3 cm que tenham o mesmo sentido e sejam
concordantes. Repita a construc¸a˜o para arcos de sentido contra´rio.
Soluc¸a˜o: No caso de arcos de mesmo sentido desenhe um semi-c´ırculo de
raio 3 cm e outro de raio 2 cm tangente internamente. No caso de sentidos
contra´rios o segundo semi-c´ırculo deve ser tangente externamente.Ver Figura
19 a seguir:
Figura 19:
Problema 2 Desenhe um arco passando por P e que seja concordante e de mesmo sentido
( ou de sentido contra´rio) com o arco AB dado.
Soluc¸a˜o: Os pontos B e P pertencem ao semi-c´ırculo procurado logo o centro
dele esta´ na mediatriz de PB. Como os semi-c´ırculos devem ser tangentes
em B o centro do semi-c´ırculo procurado esta´ no raio tirado de B ou seu
prolongamento. Ver figuras f1 e f2 na Figura 20 seguir.
Figura 20:
Problema 3 Concorde dois arcos de c´ırculo com um arco de sentido contra´rio, sendo M
um dos pontos de concordaˆncia.
Soluc¸a˜o: Considerando os c´ırculos completos, procuramos o c´ırculo tangente
comum aos dois (Problema P6 da sec¸a˜o anterior). Ver Figura 21
Figura 21:
Problema 4 Concorde dois arcos de c´ırculo com um arco de mesmo sentido que um deles,
sendo M um dos pontos de concordaˆncia.
Soluc¸a˜o: Ver o problema P7 da sec¸a˜o anterior. Ver Figura 22
Figura 22:
1.4.3 Concordaˆncia entre va´rios arcos e segmentos
.
Vamos aplicar os conceitos vistos acima a situac¸o˜es variadas apresentadas como
problemas.
Problema 1 Concordar os dois segmentos de reta AB e CD, paralelos com um arco com
mesmo “n´ıvel de origem” (chamado arco romano).]
Soluc¸a˜o: O arco deve tangenciar os segmentos em B e D. Assim BD e´ seu
diaˆmetro. Ver Figura 23
Figura 23:
Problema 2 Dados os segmentos paralelos AB e CD onde B e C tem o mesmo “n´ıvel
de origem”, concorda´-los com dois arcos de mesmo raio mas com sentidos
contra´rios.
Soluc¸a˜o: A “linha de n´ıvel” (segmento que une os pontos de n´ıvel) deve ser
dividida em 4 partes iguais. O primeiro e terceiro pontos servira˜o de centros
para os arcos.Figura 24
Figura 24:
Problema 3 Mesmo problema acima, mas com os raios dos arcos na proporc¸a˜o 1 : 2.
Soluc¸a˜o: O diaˆmetro de um dos arcos sera´ 1
3
da linha de n´ıvel e o outro 2
3
.
Executando, obtemos a Figura 25 a seguir:
Figura 25:
Problema 4 Concordar duas semi-retas paralelas de sentido opostos, origens A e B e sem
n´ıvel de origem, com dois arcos de sentido contra´rio e mesmo raio com pontos
de concordaˆncia em A e B..
Soluc¸a˜o: Se M e´ o ponto me´dio do segmento AB enta˜o os pontos de con-
cordaˆncia sera˜o A, B e M. O arco de A ate´ M tem centro G na perpendicular a`
semi-reta de origem A e tambe´m na mediatriz de AM . Coisas ana´logas valem
para o centro H do arco que vai de B ate´ M. Veja Figura 26 a seguir:
Figura 26:
Problema 5 Mesmo problema acima, mas com os diaˆmetros dos arcos iguais a AN e NB.
Soluc¸a˜o: Inteiramente ana´loga a` anterior. A Figura 27 e´:
Problema 6 Dadas duas semi-retas ortogonais de origens A e B, concorda´-las nesses pontos
com dois arcos de sentido contra´rio.
Soluc¸a˜o: Os centros C e D esta˜o nas perpendiculares a`s semi-retas por A e
por B. Os arcos procurados esta˜o em c´ırculos tangentes o que implica em C,
D e B alinhados. A Figura 28 a seguir e´ a soluc¸a˜o.
Problema 7 Concordar duas retas secantes por um arco de c´ırculo de raio AB dado.
Soluc¸a˜o: O centro do c´ırculo deve estar na bissetriz do aˆngulo escolhido.
Ale´m disso deve distar AB de cada reta. Determinado o centro A do arco,
desenhamos o arco que deve ir de uma reta a` outra. Desenhamos duas soluc¸o˜es
das 4 poss´ıveis Figura 29.
Observe que nesta construc¸a˜o os pontos de concordaˆncia na˜o foram dados.
Problema 8 Concordar uma reta r com um arco de centro T e raio s, usando um arco
de c´ırculo de raio conhecido AB de sentido contra´rio. Ver Figura 30 com os
dados:
Soluc¸a˜o: O centro do arco de concordaˆncia esta´ numa paralela a r a` distaˆncia
AB dela. Alem disso esta´ a AB+ s de T, pois os dois c´ırculos sa˜o tangentes.
Com isso achamos o centro do arco. Basta trac¸ar o arco de seu in´ıcio na reta
r ate´ seu extremo no c´ırculo de centro T. Figura 31
Problema 9 Mesmo problema acima, mas com os dois arcos de mesmo sentido.
Soluc¸a˜o: Ana´logo ao anterior exceto pelo fato da distaˆncia de T ate´ o centro
do c´ırculo ser AB − s Figura 32