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<p>MATEMÁTICA VUNESP PROFESSOR – AULA 01: NÚMEROS INTEIROS</p><p>Números inteiros: operações e propriedades</p><p>Conjunto dos números inteiros</p><p>A subtração nem sempre é possível no conjunto dos</p><p>números naturais. Para tornar tal operação sempre</p><p>possível, foi criado o conjunto dos números inteiros, que</p><p>será indicado por .</p><p>Note que o conjunto reúne os números negativos,</p><p>o zero e os números positivos.</p><p>Representação dos números inteiros na reta</p><p>Para representar os números inteiros em uma reta,</p><p>vamos assinalar na origem da reta, localizada no centro,</p><p>o inteiro 0 (zero):</p><p>À direita de 0 (sentido positivo), mantendo uma</p><p>mesma unidade de medida, assinalaremos os pontos que</p><p>correspondem aos números inteiros positivos e à</p><p>esquerda de 0 (sentido negativo), com a mesma unidade,</p><p>assinalaremos os pontos que correspondem aos números</p><p>inteiros negativos:</p><p>Valor absoluto ou módulo</p><p>Exemplos:</p><p>a) 4 4  b) 6 6 </p><p>c) 1 1  d) 7 7 </p><p>Observação:</p><p> O módulo de zero é o próprio zero.</p><p>Simétrico ou oposto de um número inteiro:</p><p>Exemplos:</p><p>a) O oposto de 5 é –5.</p><p>b) O oposto de –6 é 6.</p><p>c) O oposto de 8 é –8.</p><p>d) O oposto de –9 é 9.</p><p>Observação:</p><p> O oposto de zero é o próprio zero.</p><p>Operações no conjunto</p><p>Adição de números positivos</p><p>Exemplos:</p><p>a) (+ 3) + (+ 7) = + 3 + 7 = +10</p><p>Maneira simplificada: 3 + 7 = 10</p><p>b) (+ 12) + (+ 26) + (+ 30) = + 38 + 30 = + 68</p><p>Maneira simplificada: 12 26 30 38 30 68    </p><p>Observações:</p><p> Para obter a soma de três ou mais números inteiros,</p><p>adicionamos os dois primeiros e, em sequência,</p><p>adicionamos esse resultado com o terceiro, e assim</p><p>por diante.</p><p> Podemos dispensar o sinal positivo da primeira</p><p>parcela quando esta for positiva.</p><p> Ao eliminarmos os parênteses e o sinal positivo</p><p>que os antecede, devemos conservar o sinal do</p><p>número que está dentro dos parênteses.</p><p>Adição de números negativos</p><p> 3 2 1 0 1 2 3, , , , , , , ,   </p><p>Valor absoluto de um número inteiro é o número</p><p>natural que o representa, ou seja, é o número sem o</p><p>sinal.</p><p>a a  ou a a </p><p>Para todo número inteiro a existe – a de modo que</p><p>  0a a  </p><p>A soma de dois ou mais números positivos resulta</p><p>em um número positivo.</p><p>A soma de dois ou mais números negativos resulta</p><p>em um número negativo.</p><p> Produto ou quociente de sinais iguais =</p><p>resultado positivo.</p><p> Produto ou quociente de sinais diferentes =</p><p>Licenciado para - K</p><p>A</p><p>LIN</p><p>E</p><p>JA</p><p>N</p><p>A</p><p>IN</p><p>A</p><p>G</p><p>O</p><p>M</p><p>E</p><p>S</p><p>B</p><p>A</p><p>R</p><p>B</p><p>O</p><p>S</p><p>A</p><p>- 40655892826 - P</p><p>rotegido por E</p><p>duzz.com</p><p>MATEMÁTICA VUNESP PROFESSOR – AULA 01: NÚMEROS INTEIROS</p><p>2</p><p>Exemplos:</p><p>a) (– 4) + (– 5) = – 9</p><p>Maneira simplificada: – 4 – 5 = – 9</p><p>b) (– 6) + (– 8) + (– 11) = (– 14) + (– 11) = – 25</p><p>Maneira simplificada: – 6 – 8 – 11 = – 14 – 11 = – 25</p><p>Adição de números com sinais diferentes</p><p>Exemplos:</p><p>a) (– 10) + (+ 2) = – 8</p><p>Maneira simplificada: – 10 + 2 = – 8</p><p>b) (+ 10) + (– 2) = + 8</p><p>Maneira simplificada: 10 – 2 = 8</p><p>Subtração de números inteiros</p><p>A subtração é a operação inversa da adição.</p><p>Exemplos:</p><p>a) (+ 7) – (– 3) = + 7 + 3 = + 10</p><p>b) (– 4) – (– 6) = – 4 + 6 = + 2</p><p>c) (– 5) – (– 6) – (+ 8) = – 5 + 6 – (+ 8) = 1 – 8 = – 7</p><p>Observações:</p><p> Para subtrairmos três ou mais números inteiros,</p><p>subtraímos os dois primeiros e, em sequência,</p><p>subtraímos esse resultado com o terceiro, e assim</p><p>por diante.</p><p> Ao eliminarmos os parênteses e o sinal negativo</p><p>que os antecede, devemos trocar o sinal do número</p><p>que está dentro dos parênteses.</p><p>Multiplicação e divisão de números inteiros</p><p>Observe as sequências e os resultados das</p><p>multiplicações:</p><p>4 . 2 = 8 4 . (–2) = – 8</p><p>3 . 2 = 6 3 . (–2) = – 6</p><p>2 . 2 = 4 2 . (–2) = – 4</p><p>1 . 2 = 2 1 . (–2) = – 2</p><p>0 . 2 = 0 0 . (–2) = 0</p><p>(– 1) . 2 = – 2 (– 1) . (–2) = 2</p><p>(– 2) . 2 = – 4 (– 2) . (–2) = 4</p><p>(– 3) . 2 = – 6 (– 3) . (–2) = 6</p><p>(– 4) . 2 = – 8 (– 4) . (–2) = 8</p><p>Observe as sequências e os resultados das divisões:</p><p>8 : 2 = 4 8 : (–2) = – 4</p><p>6 : 2 = 3 6 : (–2) = – 3</p><p>4 : 2 = 2 4 : (–2) = – 2</p><p>2 : 2 = 1 2 : (–2) = – 1</p><p>0 : 2 = 0 0 : (–2) = 0</p><p>(– 2) : 2 = – 1 (– 2) : (–2) = 1</p><p>(– 4) : 2 = – 2 (– 4) : (–2) = 2</p><p>(– 6) : 2 = – 3 (– 6) : (–2) = 3</p><p>(– 8) : 2 = – 4 (– 8) : (–2) = 4</p><p>Pelos resultados observados, conclui-se que:</p><p>Na multiplicação:</p><p> (número positivo)  (número positivo) = número</p><p>positivo</p><p> (número positivo)  (número negativo) = número</p><p>negativo</p><p> (número negativo)  (número positivo) = número</p><p>negativo</p><p> (número negativo)  (número negativo) = número</p><p>positivo</p><p>Na divisão:</p><p> (número positivo)  (número positivo) = número</p><p>positivo</p><p> (número positivo)  (número negativo) = número</p><p>negativo</p><p> (número negativo)  (número positivo) = número</p><p>negativo</p><p> (número negativo)  (número negativo) = número</p><p>positivo</p><p>A soma de dois números inteiros de sinais diferentes</p><p>é obtida subtraindo-se os valores absolutos, dando-se</p><p>o sinal do número que tiver o maior módulo.</p><p> Produto ou quociente de sinais iguais =</p><p>resultado positivo.</p><p> Produto ou quociente de sinais diferentes =</p><p>resultado negativo.</p><p>A soma de dois ou mais números negativos resulta</p><p>em um número negativo.</p><p>Para subtrairmos dois números inteiros, adicio-</p><p>namos ao primeiro o oposto do segundo.</p><p>Licenciado para - K</p><p>A</p><p>LIN</p><p>E</p><p>JA</p><p>N</p><p>A</p><p>IN</p><p>A</p><p>G</p><p>O</p><p>M</p><p>E</p><p>S</p><p>B</p><p>A</p><p>R</p><p>B</p><p>O</p><p>S</p><p>A</p><p>- 40655892826 - P</p><p>rotegido por E</p><p>duzz.com</p><p>MATEMÁTICA VUNESP PROFESSOR – AULA 01: NÚMEROS INTEIROS</p><p>3</p><p>Regra prática:</p><p>Exemplos:</p><p>a)    7 2 14    </p><p>b)    4 5 20    </p><p>c)    5 6 30    </p><p>d)    3 7 21    </p><p>e)          3 7 5 21 5 105          </p><p>f)    20 4 5    </p><p>g)    36 9 4    </p><p>h)    56 8 7    </p><p>i)    42 7 6    </p><p>Observação:</p><p> Na multiplicação de três ou mais números inteiros,</p><p>multiplicamos os dois primeiros e, em sequência,</p><p>multiplicamos esse produto com o terceiro, e assim</p><p>por diante.</p><p>Potenciação de números inteiros</p><p>Quando escrevemos</p><p>32 8 , dizemos que 2 é a base</p><p>(fator que se repete), 3 é o expoente (o número de vezes</p><p>que repetimos a base) e 8 é a potência (resultado da</p><p>operação).</p><p>Exemplos:</p><p>a) 32 2 2 2 8   </p><p>b) 45 5 5 5 5 625    </p><p>c) 31 1 1 1 1   </p><p>d) 510 10 10 10 10 10 100000     </p><p>Exemplos:</p><p>a) 35 5 5 5 125   </p><p>b)</p><p>3( 2) ( 2) ( 2) ( 2) 8        </p><p>c)</p><p>4( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) 16         </p><p>d) 42 2 2 2 2 16       </p><p>e) 17 7</p><p>f) 06 1</p><p>g)  </p><p>0</p><p>6 1 </p><p>Expoente par</p><p>Observe as sequências e os resultados das potências</p><p>de bases de números inteiros:</p><p>a)      </p><p>2</p><p>3 3 3 9      </p><p>b)      </p><p>2</p><p>3 3 3 9      </p><p>c)          </p><p>4</p><p>1 1 1 1 1 1          </p><p>d)          </p><p>4</p><p>1 1 1 1 1 1          </p><p> Produto ou quociente de sinais iguais =</p><p>resultado positivo.</p><p> Produto ou quociente de sinais diferentes =</p><p>resultado negativo.</p><p>A potenciação é uma multiplicação em que todos os</p><p>fatores são iguais.</p><p> A potência de base a e expoente n é o</p><p>produto de n fatores iguais a a:</p><p>n fatores</p><p>...  na a a a a</p><p> Potência com expoente n = 1:</p><p>1 a a</p><p> Potência com a ≠ 0 e expoente n = 0:</p><p>0 1a</p><p>Quando o expoente for par, a potência é um número</p><p>positivo.</p><p>Licenciado para - K</p><p>A</p><p>LIN</p><p>E</p><p>JA</p><p>N</p><p>A</p><p>IN</p><p>A</p><p>G</p><p>O</p><p>M</p><p>E</p><p>S</p><p>B</p><p>A</p><p>R</p><p>B</p><p>O</p><p>S</p><p>A</p><p>- 40655892826 - P</p><p>rotegido por E</p><p>duzz.com</p><p>MATEMÁTICA VUNESP PROFESSOR – AULA 01: NÚMEROS INTEIROS</p><p>4</p><p>Nota: Qual é o resultado de 23 ?</p><p>A resposta é –9, pois  23 3 3 9      . Repare que</p><p>       </p><p>223 3 3 9 e 3 3 3 9             .</p><p>Expoente ímpar</p><p>Observe as sequências e os resultados das</p><p>potências:</p><p>a)        </p><p>3</p><p>3 3 3 3 27        </p><p>b)        </p><p>3</p><p>3 3 3 3 27        </p><p>c)            </p><p>5</p><p>2</p><p>2 2 2 2 2 32            </p><p>d)            </p><p>5</p><p>2 2 2 2 2 2 32            </p><p>Radiciação de números inteiros</p><p>Para indicar qual é o número que elevado ao</p><p>quadrado é igual a 25, escrevemos 25 . Com efeito,</p><p>25 5 , pois</p><p>25 25 .</p><p>Quando escrevemos 3 8 2 , dizemos que 8 é o</p><p>radicando, 3 é o índice e 2 é a raiz (resultado da</p><p>operação).</p><p>Exemplos:</p><p>2a) 81 9 pois 9 81, </p><p>33b) 8 2 pois 2 8, </p><p>44c) 625 5 pois 5 625, </p><p> </p><p>33d) 64 4 pois 4 64     ,</p><p>Observação:</p><p> Não é necessário escrever o índice 2 no radical</p><p>para a raiz quadrada.</p><p>Expressões numéricas</p><p>Para resolver uma expressão numérica, devemos</p><p>resolver as operações obedecendo à seguinte ordem:</p><p>Em expressões numéricas onde aparecem os sinais</p><p>de associação, devemos obedecer à seguinte ordem:</p><p>Exemplos:</p><p>01. Calcule o valor de   2 3 4 1 2 3 4         .</p><p>Solução:</p><p>  </p><p>  </p><p>  </p><p>  </p><p> </p><p> </p><p>2 3 4 1 2 3 4</p><p>2 3 4 1 3 4</p><p>2 3 4 1 3 4</p><p>2 3 8 4</p><p>2 3 8 4</p><p>2 7</p><p>2 7</p><p>5</p><p>         </p><p>          </p><p>      </p><p>    </p><p>    </p><p>  </p><p>  </p><p> </p><p>02. Determine o valor de    26 9 20 4 3         .</p><p>Solução:</p><p>   </p><p> </p><p> </p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>6 9 20 4 3</p><p>6 9 5 3</p><p>6 9 2</p><p>6 9 2</p><p>36 3 2</p><p>41</p><p>         </p><p>        </p><p>    </p><p>  </p><p>   </p><p></p><p>Quando o expoente for ímpar, a potência tem o</p><p>mesmo sinal da base.</p><p>A radiciação é a operação inversa da potenciação.</p><p>1º) Potenciação e radiciação</p><p>2º) Multiplicação e divisão</p><p>3º) Adição e subtração</p><p>1º) Parênteses ( )</p><p>2º) Colchetes [ ]</p><p>3º) Chaves { }</p><p>Licenciado para - K</p><p>A</p><p>LIN</p><p>E</p><p>JA</p><p>N</p><p>A</p><p>IN</p><p>A</p><p>G</p><p>O</p><p>M</p><p>E</p><p>S</p><p>B</p><p>A</p><p>R</p><p>B</p><p>O</p><p>S</p><p>A</p><p>- 40655892826 - P</p><p>rotegido por E</p><p>duzz.com</p><p>MATEMÁTICA VUNESP PROFESSOR – AULA 01: NÚMEROS INTEIROS</p><p>5</p><p>TÓPICOS COMPLEMENTARES</p><p>Propriedades da adição e da multiplicação de números</p><p>inteiros</p><p>Considerando os números , , a b c são válidas as</p><p>propriedades abaixo.</p><p>Devido à propriedade do elemento oposto ou</p><p>simétrico da adição, podemos definir a operação de</p><p>subtração no conjunto dos números inteiros, estabe-</p><p>lecendo que a – b = a + (– b).</p><p>No conjunto é sempre possível efetuar a adição,</p><p>a multiplicação e a subtração, ou seja, a soma e a</p><p>diferença de dois números inteiros resultam sempre em</p><p>um número inteiro (propriedade do fechamento).</p><p>Já na divisão de dois números inteiros nem sempre</p><p>resulta em um número inteiro:</p><p>( 8) : ( 4) 2     é possível em</p><p>( 5) : ( 2) ?    não é possível em</p><p>Assim, temos a necessidade de ampliar o conjunto</p><p>dos números inteiros, introduzindo as frações não</p><p>aparentes.</p><p>Potência com expoente negativo:</p><p>Exemplo:</p><p>3 3</p><p>3 2 1 1 1 1 1</p><p>2</p><p>1 2 2 2 2 8</p><p> </p><p>          </p><p>              </p><p>         </p><p>.</p><p>Perceba que o resultado de</p><p>32</p><p>não é um número</p><p>inteiro. Vamos estudar o conjunto dos números</p><p>racionais na próxima aula do curso.</p><p>Propriedades da potenciação</p><p> Associativa da adição:</p><p>(a + b) + c = a + (b + c)</p><p> Comutativa da adição:</p><p>a + b = b +a</p><p> Elemento neutro da adição:</p><p>a + 0 = a</p><p> Elemento oposto ou simétrico da adição:</p><p>a + (– a) = 0</p><p> Associativa da multiplicação:</p><p>(a  b)  c = a  (b  c)</p><p> Comutativa da multiplicação:</p><p>a  b = b  a</p><p> Elemento neutro da multiplicação:</p><p>a  1 = a</p><p> Distributiva da multiplicação relativa-</p><p>mente à adição:</p><p>a  (b + c) = ab + ac</p><p>No cálculo de potência com expoente negativo,</p><p>devemos inverter a base e trocar o sinal do</p><p>expoente:</p><p>1  </p><p>  </p><p> </p><p>n</p><p>na</p><p>a</p><p> Potências de mesma base</p><p>Para multiplicar, mantemos a base</p><p>e somamos os expoentes:</p><p> m n m na a a</p><p>Para dividir, mantemos a base e</p><p>subtraímos os expoentes.</p><p>: m n m na a a</p><p> Potências de mesmo expoente</p><p>Para multiplicar, mantemos o</p><p>expoente e multiplicamos as bases.</p><p>( ) n n na b ab</p><p>Para dividir, mantém-se o</p><p>expoente e dividem-se as bases.</p><p> </p><p>  </p><p> </p><p>nn</p><p>n</p><p>a a</p><p>b b</p><p> Potência da potência</p><p>Para calcular a potência de outra</p><p>potência, mantemos a base e</p><p>multiplicamos os expoentes.</p><p>  </p><p>n</p><p>m m na a</p><p>Licenciado para - K</p><p>A</p><p>LIN</p><p>E</p><p>JA</p><p>N</p><p>A</p><p>IN</p><p>A</p><p>G</p><p>O</p><p>M</p><p>E</p><p>S</p><p>B</p><p>A</p><p>R</p><p>B</p><p>O</p><p>S</p><p>A</p><p>- 40655892826 - P</p><p>rotegido por E</p><p>duzz.com</p><p>MATEMÁTICA VUNESP PROFESSOR – AULA 01: NÚMEROS INTEIROS</p><p>6</p><p>Exemplos:</p><p>a) 3 4 3 4 72 2 2 2 128   </p><p>b)</p><p>20</p><p>20 18 2</p><p>18</p><p>3</p><p>3 3 9</p><p>3</p><p>  </p><p>c) 3 3 3 32 5 (2 5) 10 1000    </p><p>d)</p><p>44</p><p>4</p><p>4</p><p>6 6</p><p>3 81</p><p>2 2</p><p> </p><p>   </p><p> </p><p>e)  </p><p>2</p><p>3 3 2 62 2 2 64  </p><p>Propriedades da radiciação</p><p>Considerando os radicais de radicandos positivos,</p><p>valem as propriedades abaixo.</p><p>Exemplos</p><p>a)</p><p>3 35 5</p><p>b) 3 2 3 2  </p><p>c)</p><p>4</p><p>4</p><p>4</p><p>5 5</p><p>7 7</p><p></p><p>d)</p><p>5 35 154 4 3 122 2 2</p><p>  </p><p>e)</p><p>3 53 5 157 7 7</p><p></p><p> </p><p>Raiz quadrada de um radicando negativo</p><p>O resultado de uma operação aritmética deve ser</p><p>único. Observe os exemplos das raízes quadradas:</p><p>a) 81 9  </p><p>b) 81 9  </p><p>c) 25 5</p><p>d) 4 2  </p><p>Considere um número inteiro negativo sendo o</p><p>radicando, como por exemplo 25 . Qual é o número</p><p>que ao ser elevado ao quadrado resulta em –25?</p><p>Note que  </p><p>2</p><p>5 25   e  </p><p>2</p><p>5 25   . Logo, os núme-</p><p>ros negativos não têm raiz quadrada no conjunto .</p><p>Analogamente, o mesmo vale para radicais de</p><p>radicandos negativos com índices pares.</p><p> 1ª propriedade:</p><p>n na a</p><p> 2ª propriedade:</p><p>n n na b a b  </p><p> 3ª propriedade:</p><p>n</p><p>n</p><p>n</p><p>a a</p><p>b b</p><p></p><p> 4ª propriedade:</p><p>n pn m m pa a</p><p> </p><p> 5ª propriedade:</p><p> </p><p>m</p><p>n mn a a</p><p> 6ª propriedade:</p><p>p pnn a a</p><p>Licenciado para - K</p><p>A</p><p>LIN</p><p>E</p><p>JA</p><p>N</p><p>A</p><p>IN</p><p>A</p><p>G</p><p>O</p><p>M</p><p>E</p><p>S</p><p>B</p><p>A</p><p>R</p><p>B</p><p>O</p><p>S</p><p>A</p><p>- 40655892826 - P</p><p>rotegido por E</p><p>duzz.com</p>