tema 02 - Transferência de calor por condução

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<p>Transferência de calor por condução</p><p>Prof. Oscar Javier Celis Ariza</p><p>Descrição</p><p>A transferência de calor por condução: estado estacionário e transiente.</p><p>Propósito</p><p>Os três modos de transferência de calor podem estar presentes em</p><p>sistemas físicos reais. O conhecimento desses fenômenos é essencial</p><p>para qualquer projeto de engenharia, especificamente, na transferência</p><p>de calor por condução, tanto em estado estacionário como transiente</p><p>(variação de temperatura com o tempo).</p><p>Preparação</p><p>Antes de iniciar o estudo deste conteúdo, faça o download do</p><p>Solucionário, nele você encontrará o feedback das atividades.</p><p>Objetivos</p><p>Módulo 1</p><p>Condução de calor estável em geometrias</p><p>simples</p><p>Identificar as equações de condução de calor e condições de</p><p>contorno em geometrias simples (paredes, cilindros e esferas).</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 1/69</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/docs/solucionario_transferencia_de_calor_por_conducao.pdf</p><p>Módulo 2</p><p>Condução em estado estacionário</p><p>Aplicar cálculos para resolução de problemas em estado estacionário</p><p>que envolvem transferência de calor por condução utilizando</p><p>resistências térmicas.</p><p>Módulo 3</p><p>Condução em estado não estacionário</p><p>Resolver problemas uni e bidimensionais em estado transiente pelo</p><p>método de diferenças finitas.</p><p>Introdução</p><p>Olá! Antes de começarmos, assista ao vídeo e confira os</p><p>principais pontos abordados neste conteúdo.</p><p></p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 2/69</p><p>1 - Condução de calor estável em geometrias simples</p><p>Ao �nal deste módulo, você será capaz de identi�car as equações de condução de calor e</p><p>condições de contorno em geometrias simples (paredes, cilindros e esferas).</p><p>Vamos começar!</p><p>Como identi�car as equações de</p><p>condução de calor e condições de</p><p>contorno em geometrias simples?</p><p>Veja a seguir os principais pontos que serão abordados sobre o assunto.</p><p>Transferência por condução</p><p>unidimensional</p><p>A transferência de calor tem direção e magnitude. A razão de</p><p>transferência de calor por condução em uma direção específica é</p><p>proporcional ao gradiente de temperatura, ou seja, a variação da</p><p>temperatura com relação à distância nessa direção.</p><p></p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 3/69</p><p>No mundo real, a transferência de calor não acontece</p><p>em uma única direção.</p><p>A condução de calor, em um meio, é tridimensional e depende do tempo</p><p>e, por sua vez, a temperatura varia com a posição e o tempo. Portanto,</p><p>podemos definir que a temperatura é uma função de e</p><p>Atenção!</p><p>A condução em um meio é estacionária quando a temperatura não varia</p><p>com o tempo. Do contrário, é chamada de transiente!</p><p>A “força impulsora” para qualquer forma de transferência de calor é a</p><p>diferença de temperatura, e quanto maior for, maior será a taxa de</p><p>transferência. Em alguns problemas de transferência de calor, em</p><p>engenharia, requer-se a determinação da distribuição de temperatura de</p><p>um ao outro lado do meio, com a finalidade de calcular algumas</p><p>quantidades de interesse, por exemplo, expansão térmica, esforço</p><p>térmico, entre outros.</p><p>Isso é possível, primeiramente, mediante a escolha de um sistema de</p><p>coordenadas que dependem da configuração geométrica e seu ponto de</p><p>referência (origem). Portanto, há três tipos de coordenadas. São elas:</p><p>Neste sentido, veja na sequência a imagem dos espaços cartesianos</p><p>desses sistemas de coordenadas:</p><p>Espaços cartesianos dos sistemas de coordenadas.</p><p>Geração de calor</p><p>Em um meio no qual se transfere calor, provavelmente, pode haver a</p><p>conversão de energia mecânica, elétrica, nuclear ou química em calor</p><p>x, y, z t.</p><p>Retangulares (x, y, z)</p><p>Cilíndricas (r, , z)θ</p><p>Esféricas (r, )ϕ, θ</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 4/69</p><p>(ou energia térmica) de outra fonte externa.</p><p>Nas análises de condução de calor, esses processos por conversão são</p><p>caracterizados como geração de calor (ou de energia térmica).</p><p>Exemplo</p><p>Uma grande quantidade de calor é gerada nos elementos combustíveis</p><p>nos reatores nucleares como resultado da fissão nuclear, que serve</p><p>como fonte de calor para as usinas nucleares de geração de energia</p><p>elétrica.</p><p>A geração de calor é um fenômeno volumétrico, ou seja, acontece em</p><p>todo o meio. Portanto, a taxa de geração de calor num meio é descrita</p><p>por unidade de volume e se denota por com unidades de ou</p><p>A taxa de geração de calor em um meio pode variar com o tempo e com</p><p>a posição dentro dele. No caso, quando é conhecida a variação de</p><p>geração com a posição, a taxa total dessa geração, em um</p><p>meio de volume pode ser calculada a partir de:</p><p>No caso de ter uma taxa de geração de calor uniforme, a relação da</p><p>equação anterior se reduz a:</p><p>Equação de condução de calor em uma parede plana</p><p>Vamos estudar agora o comportamento da transferência de calor</p><p>unidimensional através de uma parede plana. Observe a imagem a</p><p>seguir:</p><p>ėger W/m3</p><p>BTU/h ⋅ ft3.</p><p>Eger(W),</p><p>ϑ,</p><p>Ėger = ∫</p><p>ϑ</p><p>ėger ⋅ dϑ</p><p>Ėger  = ėger ⋅ ϑ</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 5/69</p><p>Esquema da demonstração da transferência de calor unidimensional, por uma parede plana.</p><p>A equação de transferência de calor unidimensional para a condução de</p><p>calor no regime transiente em uma parede é dada por:</p><p>Onde:</p><p>condutividade térmica</p><p>geração de calor</p><p>densidade</p><p>calor específico</p><p>Você deve estar se perguntando o por que de o termo de derivada " "</p><p>estar presente na equação. Bom, como tínhamos falado, a transferência</p><p>de calor é multidimensional, ou seja, é função de duas variáveis, neste</p><p>caso de e Portanto, a derivada é parcial e não ordinária!</p><p>Os conceitos de derivadas parciais serão aplicados</p><p>nesta matéria.</p><p>O termo de condutividade na equação anterior indica que ela não é</p><p>constante. Isso acontece muito nos fenômenos reais, em que há a</p><p>variação de acordo com a temperatura.</p><p>No caso de condutividade térmica constante, a equação ser reduz à</p><p>seguinte forma:</p><p>∂</p><p>∂x</p><p>(k ⋅</p><p>∂T</p><p>∂x</p><p>) + ėger = ρ ⋅ Cp ⋅</p><p>∂T</p><p>∂t</p><p>K :</p><p>ėgen :</p><p>P :</p><p>Cp :</p><p>∂</p><p>T</p><p>t x.</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 6/69</p><p>Onde é a difusividade térmica:</p><p>Dependendo das condições específicas do problema, é possível</p><p>simplificar a equação unidimensional da transferência de calor em uma</p><p>parede. Acompanhe na sequência:</p><p>Observe que, quando deixa de ser função de duas variáveis para uma, a</p><p>derivada passa de ser parcial à ordinária.</p><p>Equação de condução de calor em um cilindro</p><p>A equação unidimensional de transferência de calor em regime</p><p>transiente em um cilindro de raio é a seguinte:</p><p>∂ 2T</p><p>∂x2</p><p>+</p><p>ėger</p><p>k</p><p>=</p><p>1</p><p>α</p><p>⋅</p><p>∂T</p><p>∂t</p><p>α</p><p>α =</p><p>k</p><p>ρCp</p><p> Estado estacionário</p><p>( ∂</p><p>∂t = 0)</p><p>d2T</p><p>dx2</p><p>+</p><p>ėger</p><p>k</p><p>= 0</p><p> Regime transiente sem geração de calor</p><p>(ėger = 0)</p><p>∂ 2T</p><p>∂x2</p><p>=</p><p>1</p><p>α</p><p>⋅</p><p>∂T</p><p>∂t</p><p> Estado estacionário e sem geração de calor</p><p>( ∂</p><p>∂t = 0; ėger = 0)</p><p>d2T</p><p>dx2</p><p>= 0</p><p>r</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 7/69</p><p>Observe os elementos na imagem a seguir:</p><p>Transferência de calor em um cilindro em regime transiente.</p><p>No caso de condutividade térmica constante, temos:</p><p>Como vimos, a escolha das coordenadas depende da geometria do</p><p>problema.</p><p>Utilizando a mesma analogia da placa ou parede plana, é possível</p><p>simplificar a equação anterior sob condições específicas, acompanhe</p><p>na sequência:</p><p>1</p><p>r</p><p>∂</p><p>∂r</p><p>(r ⋅ k ⋅</p><p>∂T</p><p>∂r</p><p>) + ėger = ρ ⋅ Cp ⋅</p><p>∂T</p><p>∂t</p><p>1</p><p>r</p><p>∂</p><p>∂r</p><p>(r ⋅</p><p>∂T</p><p>∂r</p><p>) +</p><p>ėger</p><p>k</p><p>=</p><p>1</p><p>α</p><p>⋅</p><p>∂T</p><p>∂t</p><p> Estado estacionário</p><p>( ∂</p><p>∂t = 0)</p><p>1</p><p>r</p><p>d</p><p>dr</p><p>(r ⋅</p><p>dT</p><p>dr</p><p>) +</p><p>ėger</p><p>k</p><p>= 0</p><p> Regime transiente</p><p>a temperatura do ponto central após 10</p><p>minutos.</p><p>Malha com pontos nodais.</p><p>Como os quatro lados estão expostos à convecção com ar e a barra é</p><p>simétrica, temos que as temperaturas assim</p><p>como Ou seja, somente podemos realizar os</p><p>cálculos para os pontos 1, 2 e 5 . Assumindo que os</p><p>balanços em cada ponto são:</p><p>Ponto 1: a convecção é mais predominante neste ponto, lado esquerdo e</p><p>superior tem convecção para metade do elemento de volume. Lado</p><p>direito e inferior tem condução também para metade do elemento de</p><p>volume. No termo transiente e de geração, o ponto 1 está no centro de</p><p>de elemento de volume. Portanto:</p><p>Multiplicando os dois lados da equação por e substituindo</p><p>e obtemos:</p><p>τ =</p><p>α ⋅ Δt</p><p>l2</p><p>≤</p><p>1</p><p>4</p><p>k = 28W/m∘C;α = 12 × 10−6m2/s</p><p>32∘C.</p><p>20cm× 20cm</p><p>ė = 8 × 105W/m3.</p><p>30∘C,</p><p>45W/m2.</p><p>Δx =</p><p>Δy = 10cm,</p><p>T1 = T3 = T7 = T9,</p><p>T2 = T4 = T8 = T6.</p><p>Δx = Δy = l,</p><p>1/4</p><p>h ⋅</p><p>l</p><p>2</p><p>⋅ (T∞ − T i</p><p>1) + h ⋅</p><p>l</p><p>2</p><p>⋅ (T∞ − T i</p><p>1) + k ⋅</p><p>l</p><p>2</p><p>⋅</p><p>T i</p><p>2 − T i</p><p>1</p><p>l</p><p>+ k ⋅</p><p>l</p><p>2</p><p>⋅</p><p>T i</p><p>4 − T i</p><p>1</p><p>l</p><p>+ ė ⋅</p><p>l2</p><p>4</p><p>=</p><p>= ρ ⋅</p><p>l2</p><p>4</p><p>⋅ CP ⋅</p><p>T i+1</p><p>1 − T i</p><p>1</p><p>Δt</p><p>2/k</p><p>α = k/ρ ⋅ Cp τ = α⋅Δt</p><p>l2</p><p>,</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 58/69</p><p>Para ficar da forma explícita, o termo deve ser isolado, e T2=T4.</p><p>Portanto:</p><p>Um dos critérios de utilizar o método explícito é que os coeficientes</p><p>primários, ou seja, aqueles que acompanham as variáveis de</p><p>temperatura devem ser positivos. Os pontos que estão mais expostos a</p><p>convecções são utilizados para realizar essa análise. Da equação acima,</p><p>o único termo que fica nesse critério é Será que</p><p>ele é maior ou igual a zero?</p><p>De acordo as condições do problema:</p><p>Para utilizar o método explícito, o</p><p>Ponto 2: temos aqui a metade do elemento de volume, tanto para a</p><p>geração como no termo transiente.</p><p>Lembrando que:</p><p>2h ⋅</p><p>l</p><p>k</p><p>⋅ (T∞ − T i</p><p>1) + T i</p><p>2 − T i</p><p>1 + T i</p><p>4 − T i</p><p>1 + ė ⋅</p><p>l2</p><p>2k</p><p>=</p><p>1</p><p>2τ</p><p>⋅ (T i+1</p><p>1 − T i</p><p>1)</p><p>T i+1</p><p>1</p><p>T i+1</p><p>1 = [1 − 4τ − 4τ ⋅ h ⋅</p><p>l</p><p>k</p><p>] ⋅ T i</p><p>1 + 4τ ⋅ (T i</p><p>2) + (4τ ⋅ h ⋅</p><p>l</p><p>k</p><p>⋅ T∞ + ė ⋅ τ ⋅</p><p>l2</p><p>k</p><p>)</p><p>[1 − 4τ − 4τ ⋅ h ⋅ l</p><p>k ].</p><p>1 − 4τ − 4τ ⋅ h ⋅</p><p>l</p><p>k</p><p>≥ 0</p><p>4τ + 4τ ⋅ h ⋅</p><p>l</p><p>k</p><p>≤ 1</p><p>4τ ⋅ (1 + h ⋅</p><p>l</p><p>k</p><p>) ≤ 1</p><p>τ ≤</p><p>1</p><p>4 (1 + h ⋅ l</p><p>k )</p><p>≤</p><p>1</p><p>4(1 + 45 ⋅ 0,1</p><p>28 )</p><p>τ ≤ 0, 2153</p><p>α ⋅ Δt</p><p>l2</p><p>≤ 0, 2153</p><p>Δt ≤</p><p>0, 2153 ⋅ (0, 12)</p><p>12x10−6</p><p>≤ 179, 48s</p><p>Δt ≤ 179, 48s.</p><p>h ⋅ l ⋅ (T∞ − T i</p><p>2) + k ⋅</p><p>l</p><p>2</p><p>⋅</p><p>T i</p><p>1 − T i</p><p>2</p><p>l</p><p>+ k ⋅</p><p>l</p><p>2</p><p>⋅</p><p>T i</p><p>5 − T i</p><p>2</p><p>l</p><p>+ k ⋅</p><p>l</p><p>2</p><p>⋅</p><p>T i</p><p>3 − T i</p><p>2</p><p>l</p><p>+ ė ⋅</p><p>l2</p><p>2</p><p>=</p><p>= ρ ⋅</p><p>l2</p><p>2</p><p>⋅ CP ⋅</p><p>T i+1</p><p>2 − T i</p><p>2</p><p>Δt</p><p>T3 = T1.</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 59/69</p><p>Multiplicando os dois lados da equação por e substituindo</p><p>e obtemos:</p><p>Isolando o termo temos:</p><p>Ponto 5: por ser um ponto interno, podemos aplicar diretamente a</p><p>equação explícita:</p><p>Lembrando que as temperaturas Portanto:</p><p>Precisamos escolher um e, por conveniência,</p><p>escolhemos 120s. Para esse valor, temos o seguinte:</p><p>Substituindo os valores constantes nas três equações explícitas,</p><p>obtemos:</p><p>h ⋅ l ⋅ (T∞ − T i</p><p>2) + k ⋅</p><p>T i</p><p>1 − T i</p><p>2</p><p>2</p><p>+ k ⋅</p><p>T i</p><p>5 − T i</p><p>2</p><p>2</p><p>⋅ +k ⋅</p><p>T i</p><p>1 − T i</p><p>2</p><p>2</p><p>+ ė ⋅</p><p>l2</p><p>2</p><p>= ρ ⋅</p><p>l2</p><p>2</p><p>⋅ CP ⋅</p><p>T i+1</p><p>2 − T</p><p>Δt</p><p>h ⋅ l ⋅ (T∞ − T i</p><p>2) + k ⋅ (T i</p><p>1 − T i</p><p>2) + k ⋅</p><p>T i</p><p>5 − T i</p><p>2</p><p>2</p><p>+ ė ⋅</p><p>l2</p><p>2</p><p>= ρ ⋅</p><p>l2</p><p>2</p><p>⋅ CP ⋅</p><p>T i+1</p><p>2 − T i</p><p>2</p><p>Δt</p><p>2/k</p><p>α = k/ρ ⋅ Cp τ = α⋅Δt</p><p>l2</p><p>,</p><p>2h ⋅ l</p><p>k</p><p>⋅ (T∞ − T i</p><p>2) + 2 ⋅ (T i</p><p>1 − T i</p><p>2) + T i</p><p>5 − T i</p><p>2 + ė ⋅</p><p>l2</p><p>k</p><p>=</p><p>T i+1</p><p>2 − T i</p><p>2</p><p>2τ</p><p>T i+1</p><p>2 ,</p><p>T i+1</p><p>2 = ( 4τh ⋅ l ⋅ T∞</p><p>k</p><p>+ 2ė ⋅ τ ⋅</p><p>l2</p><p>k</p><p>) + 4τ ⋅ T i</p><p>1 + 2τ ⋅ T i</p><p>5 + (1 − 3τ −</p><p>4τh ⋅ l</p><p>k</p><p>)T i</p><p>2</p><p>T i+1</p><p>no = τ ⋅ (T i</p><p>esq + T i</p><p>sup + T i</p><p>dir + T i</p><p>inf ) + (1 − 4τ) ⋅ T i</p><p>nó + τ ⋅</p><p>ėinó ⋅ l2</p><p>k</p><p>T i+1</p><p>5 = τ ⋅ (T i</p><p>4 + T i</p><p>2 + T i</p><p>6 + T i</p><p>8) + (1 − 4τ) ⋅ T i</p><p>5 + τ ⋅</p><p>ė ⋅ l2</p><p>k</p><p>T2 = T4 = T8 = T6.</p><p>T i+1</p><p>5 = τ ⋅ (4T i</p><p>2) + (1 − 4τ) ⋅ T i</p><p>5 + τ ⋅</p><p>ė ⋅ l2</p><p>k</p><p>Δt ≤ 179, 48s</p><p>τ =</p><p>α ⋅ Δt</p><p>l2</p><p>=</p><p>12 × 10−6 ⋅ (120)</p><p>0, 12</p><p>= 0, 144</p><p>T i+1</p><p>1 = 0, 3314 ⋅ T i</p><p>1 + 0, 576 ⋅ (T i</p><p>2) + 43, 92</p><p>T i+1</p><p>2 = 85, 06 + 0, 576 ⋅ T i</p><p>1 + 0, 288 ⋅ T i</p><p>5 + 0, 4754 ⋅ T i</p><p>2</p><p>T i+1</p><p>5 = 0, 576 ⋅ (T i</p><p>2) + 0, 424 ⋅ T i</p><p>5 + 41, 14</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 60/69</p><p>No tempo i=0, temos que a temperatura era uniforme, ou seja, Em</p><p>uma folha de cálculo no Excel, podemos fazer as iterações. O valor da</p><p>temperatura será o valor anterior, lembrando que, na primeira linha,</p><p>colocaremos o valor de Assim, a temperatura no centro da placa</p><p>após um tempo de será de Observe:</p><p>i t T1 T2 T5</p><p>0 0 32 32 32</p><p>1 120 73,0 127,9 73,1</p><p>2 240 141,8 209,0 145,8</p><p>3 360 211,3 308,1 223,3</p><p>4 480 291,4 417,5 313,3</p><p>5 600 381,0 541,6 414,5</p><p>6 720 482,1 681,4 528,8</p><p>7 840 596,2 839,0 657,8</p><p>8 960 724,7 1016,8 803,3</p><p>9 1080 869,8 1217,2 967,4</p><p>10 1200 1033,3 1443,3 1152,4</p><p>Tabela: Folha de cálculo relacionando: corrente, tempo e temperaturas.</p><p>Mão na massa</p><p>Questão 1</p><p>Uma parede com de espessura e difusividade térmica de</p><p>, encontra-se, inicialmente, a uma temperatura</p><p>uniforme igual a . Subitamente, uma das suas faces tem a sua</p><p>temperatura reduzida a , enquanto a outra é perfeitamente</p><p>isolada. Qual é a temperatura na parede isolada após 20 minutos?</p><p>Utilize a técnica de diferenças finitas com incremento espacial e no</p><p>tempo de e , respectivamente.</p><p>32∘C.</p><p>T i</p><p>n</p><p>32∘C.</p><p>10min(600s) 414, 5∘C.</p><p></p><p>0, 12m</p><p>1, 5 × 10−6m2/s</p><p>85∘C</p><p>20∘C</p><p>30mm 300s</p><p>A 76, 9∘C</p><p>B 64, 7∘C</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 61/69</p><p>Parabéns! A alternativa A está correta.</p><p>Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no</p><p>campo Preparação.</p><p>Questão 2</p><p>As questões 2 e 3 são baseadas na seguinte informação:</p><p>Uma placa de grande espessura, com difusividade térmica de</p><p>e condutividade térmica de , está</p><p>inicialmente a uma temperatura uniforme de . De repente, a</p><p>sua superfície é exposta a uma substância refrigerante a , que</p><p>mantém um coeficiente de transferência de calor por convecção</p><p>igual a . Usando um incremento no espaço de ,</p><p>determine o seguinte:</p><p>Qual seria o intervalo de tempo adequado para utilizar o método</p><p>explícito?</p><p>Parabéns! A alternativa B está correta.</p><p>Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão e veja o</p><p>feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo</p><p>Preparação.</p><p>C 52, 5∘C</p><p>D 42, 3∘C</p><p>E 85∘C</p><p>5, 6 × 10−6m2/s 20W/m ⋅K</p><p>325∘C</p><p>15∘C</p><p>100W/m2K 15mm</p><p>A ≥ 0s</p><p>B ≤ 18, 7s</p><p>C ≤ 20, 3s</p><p>D ≤ 0, 5s</p><p>E ≤ 65s</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 62/69</p><p>Questão 3</p><p>Qual será a temperatura a uma profundidade de passados 3</p><p>minutos do início do processo? Assuma um .</p><p>Parabéns! A alternativa C está correta.</p><p>Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no</p><p>campo Preparação.</p><p>Questão 4</p><p>Uma parede plana de aço inox</p><p>e com uma</p><p>espessura de experimenta uma geração uniforme de calor de</p><p>. Os lados direito e esquerdo da parede são mantidos</p><p>à temperatura constantes de e respectivamente.</p><p>Após 20 minutos, qual é o valor da temperatura no centro da placa?</p><p>45mm</p><p>Δt = 18s</p><p>A 276, 18∘C</p><p>B 325∘C</p><p>C 314, 07∘C</p><p>D 260, 70∘C</p><p>E 300∘C</p><p>(k = 15, 1W/m∘C;α = 3, 91 × 10−6m2/s)</p><p>1m</p><p>10000W/m3</p><p>20∘C 100∘C</p><p>A 120∘C</p><p>B 20∘C</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 63/69</p><p>Parabéns! A alternativa D está correta.</p><p>Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no</p><p>campo Preparação.</p><p>Questão 5</p><p>Uma barra longa de aço tem sua seção transversal como se</p><p>apresenta a seguir. A barra é extraída de um forno de tratamento</p><p>térmico a e se coloca no fundo de um tanque cheio de água</p><p>a . Para intensificar a transferência de calor, é aplicada</p><p>agitação constante na água, de tal maneira que a temperatura fica</p><p>quase constante na superfície de todas as faces da barra,</p><p>, com exceção da face inferior à qual é adiabática.</p><p>As</p><p>propriedades da barra são</p><p>.</p><p>Qual seria o intervalo de tempo ideal para aplicar o método explícito</p><p>de diferenças finitas?</p><p>C 66∘C</p><p>D 81∘C</p><p>E 92∘C</p><p>700∘C</p><p>10∘C</p><p>Ts = 10∘C</p><p>k = 40W/m∘C;Cp = 430J/kg ⋅ ∘C; ρ = 8000kg/m3</p><p>A Δt ≤ 13, 4s</p><p>B Δt ≤ 0, 25s</p><p>C Δt ≤ 0, 5s</p><p>D Δt ≤ 23, 5s</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 64/69</p><p>Parabéns! A alternativa A está correta.</p><p>Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no</p><p>campo Preparação.</p><p>Questão 6</p><p>Assumindo um intervalo de tempo de 10s, qual é o valor da</p><p>temperatura no ponto 5 após 20s?</p><p>Parabéns! A alternativa E está correta.</p><p>Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no</p><p>campo Preparação.</p><p>Teoria na prática</p><p>Consideremos a transferência de calor bidimensional em uma barra</p><p>sólida em formato de que está inicialmente a uma temperatura</p><p>uniforme de e cuja seção transversal está representada na</p><p>imagem a seguir. As propriedades da barra são</p><p>. O lado direito da barra está isolado e a superfície</p><p>inferior se mantém a uma temperatura uniforme de em todo</p><p>momento. No instante , a superfície superior completa se sujeita a</p><p>uma convecção com ar a uma temperatura de e um coeficiente de</p><p>E Δt ≤ 0s</p><p>A 700∘C</p><p>B 315∘C</p><p>C 10∘C</p><p>D 234∘C</p><p>E 169∘C</p><p>_black</p><p>L</p><p>140∘C</p><p>k = 15W/m∘C;α =</p><p>3, 2 × 10−6m2/s</p><p>140∘C</p><p>t = 0</p><p>25∘C</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 65/69</p><p>transferência de calor de . Além disso, a superfície</p><p>esquerda se mantém a um fluxo de calor uniforme de .</p><p>A rede de pontos é igualmente espaçada com .</p><p>Utilizando o método explícito, determine a temperatura do nó 2 após 2</p><p>minutos.</p><p>Falta pouco para atingir seus objetivos.</p><p>Vamos praticar alguns conceitos?</p><p>Questão 1</p><p>Análise as seguintes afirmações sobre condução de calor</p><p>transiente:</p><p>I. Na transferência de calor por condução em regime transiente,</p><p>sempre existirá geração de calor.</p><p>II. O critério de estabilidade do método explícito por diferenças</p><p>finitas é função do número de Fourier .</p><p>III. Os coeficientes primários que acompanham as variáveis de</p><p>temperatura no método explícito precisam ser maiores ou</p><p>iguais a zero.</p><p>Podemos afirmar que está correto o descrito em:</p><p>80W/m2∘C</p><p>q̇ = 8000W/m2</p><p>Δx = Δy = 1, 5cm</p><p>Mostrar solução</p><p>τ</p><p>A Somente II.</p><p>B Somente III.</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 66/69</p><p>Parabéns! A alternativa D está correta.</p><p>Se o problema não apresentar uma variação de geração de energia</p><p>ou energia uniforme, o termo deve ser desconsiderado.</p><p>Questão 2</p><p>Análise as seguintes afirmações sobre a transferência de calor por</p><p>condução bidimensional transiente:</p><p>I. Se o problema não tiver variação da temperatura com o tempo</p><p>no balanço de energia em um ponto da malha, a equação é</p><p>assertiva para a análise em estado estacionário.</p><p>II. Pontos que são predominantes de convecção são estratégicos</p><p>para analisar o critério de estabilidade do método explícito de</p><p>diferenças finitas.</p><p>III. A malha sempre deve ser quadrada para ser utilizado o método</p><p>bidimensional por diferenças finitas.</p><p>Podemos afirmar que está correto o descrito em:</p><p>Parabéns! A alternativa C está correta.</p><p>C I e II.</p><p>D II e III.</p><p>E I, II e III.</p><p>A Somente I.</p><p>B Somente II.</p><p>C I e II.</p><p>D II e III.</p><p>E I, II e III.</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 67/69</p><p>A ausência da variação da temperatura com o tempo no balanço de</p><p>energia em determinado ponto da malha permite que a análise seja</p><p>feita sob as condições estacionárias. Em um ponto da malha, a</p><p>equação é assertiva para a análise em estado estacionário. Um</p><p>critério para se utilizar na análise da solução do problema de</p><p>transferência de calor é a análise dos pontos predominantes na</p><p>malha.</p><p>Considerações �nais</p><p>Como vimos, a transmissão de calor é uma área relevante em múltiplos</p><p>problemas de engenharia e na vida cotidiana. Observamos o fato de que</p><p>os mecanismos de transferência de calor por condução podem</p><p>acontecer tanto em estado estacionário como de forma transiente.</p><p>Independentemente da forma de propagação, é possível calcular ou</p><p>aproximar a taxa de transferência de calor mediante a equação geral de</p><p>condução, resistências térmicas ou balanço de energia para elementos</p><p>de volume.</p><p>Podcast</p><p>Para encerrar, ouça um resumo dos conceitos básicos abordados neste</p><p>estudo.</p><p></p><p>Explore +</p><p>Para continuar com as discussões tratadas neste conteúdo, sugerimos</p><p>a leitura dos seguintes artigos:</p><p>Dissipadores de calor microaletados para resfriamento de</p><p>processadores, de Isabelle Guimarães da Silva, João Batista Campos-</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 68/69</p><p>Silva e Elaine M Cardoso, publicado em 2020.</p><p>Um estudo das variações da temperatura do solo via equação do calor,</p><p>de Gustavo Sutana Lima e Judith de Paula Araújo, disponível no portal</p><p>SciELO.</p><p>Referências</p><p>BERGMAN, T. L. Fundamentos de transferência de calor e de massa. 7.</p><p>ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017.</p><p>CREMASCO, M. A. Fundamentos de Transferência de Massa. 3. ed. São</p><p>Paulo: Blucher, 2015.</p><p>ÇENGEL, Y. Transferência de Calor e massa: fundamentos e aplicações.</p><p>4. ed. New York: McGraw Hill, 2011.</p><p>DATLA, G.; SAHU, P. K.; SAINI, J. Review on numerical analysis of</p><p>rectangular fin profile using different fin materials. International</p><p>Research Journal of Engineering and Technology (IRJET), v. 6. n. 10. out.</p><p>2019.</p><p>INCROPERA, F. P. Fundamentos de transferência de calor e massa. 6.</p><p>ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012.</p><p>KREITH, F. MANGLIK, R. M.; BOHN, M. S. Princípios de transferência de</p><p>calor. São Paulo: Cengage Learning, 2014.</p><p>Material para download</p><p>Clique no botão abaixo para fazer o download do</p><p>conteúdo completo em formato PDF.</p><p>Download material</p><p>O que você achou do conteúdo?</p><p>Relatar problema</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 69/69</p><p>javascript:CriaPDF()</p><p>sem geração de calor</p><p>(ėger = 0)</p><p>1 ∂ ( ∂T ) 1 ∂T</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 8/69</p><p>Equação de condução de calor em uma esfera</p><p>Consideremos uma esfera de densidade calor específico e raio</p><p>exterior</p><p>Processo de condução de calor em uma esfera.</p><p>A equação unidimensional de condução de calor, em regime ou estado</p><p>transiente, para uma esfera é:</p><p>No caso de condutividade constante:</p><p>Em condições específicas, a equação se reduz às seguintes formas:</p><p>1</p><p>r</p><p>∂</p><p>∂r</p><p>(r ⋅</p><p>∂T</p><p>∂r</p><p>) =</p><p>1</p><p>α</p><p>⋅</p><p>∂T</p><p>∂t</p><p> Estado estacionário e sem geração de calor</p><p>( ∂</p><p>∂t = 0; ėger = 0)</p><p>d</p><p>dr</p><p>(r ⋅</p><p>dT</p><p>dr</p><p>) = 0</p><p>ρ, Cp</p><p>R.</p><p>1</p><p>r2</p><p>∂</p><p>∂r</p><p>(r2 ⋅ k ⋅</p><p>∂T</p><p>∂r</p><p>) + ėger = ρ ⋅ Cp ⋅</p><p>∂T</p><p>∂t</p><p>1</p><p>r2</p><p>∂</p><p>∂r</p><p>(r2 ⋅</p><p>∂T</p><p>∂r</p><p>) +</p><p>ėger</p><p>k</p><p>=</p><p>1</p><p>α</p><p>⋅</p><p>∂T</p><p>∂t</p><p> Estado estacionário</p><p>( ∂</p><p>∂t = 0)</p><p>1 d ( dT )</p><p>ė</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 9/69</p><p>Equação geral de condução de calor</p><p>Já consideramos a condução unidimensional de calor e desprezamos</p><p>algumas direções. Na prática, a maior parte dos problemas de</p><p>transferência de calor pode ser aproximada como unidimensional. No</p><p>entanto, em casos particulares, é preciso resolver a condução de calor</p><p>multidimensional.</p><p>Apresentaremos, a seguir, as equações considerando as dimensões</p><p>para os três sistemas de coordenadas: retangulares, cilíndricas e</p><p>esféricas.</p><p>Coordenadas retangulares</p><p>A equação geral de condução de calor em coordenadas retangulares</p><p>com condutividade constante, chamada de Fourier – Biot, é:</p><p>1</p><p>r2</p><p>d</p><p>dr</p><p>(r2 ⋅</p><p>dT</p><p>dr</p><p>) +</p><p>eger</p><p>k</p><p>= 0</p><p> Regime transiente sem geração de calor</p><p>(ėger = 0)</p><p>1</p><p>r2</p><p>∂</p><p>∂r</p><p>(r2 ⋅</p><p>∂T</p><p>∂r</p><p>) =</p><p>1</p><p>α</p><p>⋅</p><p>∂T</p><p>∂t</p><p> Estado estacionário e sem geração de calor</p><p>ou</p><p>( ∂</p><p>∂t = 0; ėger = 0)</p><p>d</p><p>dr</p><p>(r2 ⋅</p><p>dT</p><p>dr</p><p>) =</p><p>1</p><p>α</p><p>⋅</p><p>∂T</p><p>∂t</p><p>r</p><p>d2T</p><p>dr2</p><p>+ 2</p><p>dT</p><p>dr</p><p>= 0</p><p>∂ 2T</p><p>∂x2</p><p>+</p><p>∂ 2T</p><p>∂y2</p><p>+</p><p>∂ 2T</p><p>∂z2</p><p>+</p><p>ėger</p><p>k</p><p>=</p><p>1</p><p>α</p><p>⋅</p><p>∂T</p><p>∂t</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 10/69</p><p>A partir dessa equação, é possível, mediante condições específicas,</p><p>transformá-la em casos reduzidos de acordo ao problema. Por exemplo,</p><p>nas considerações de regime estacionário, transiente e sem geração,</p><p>temos:</p><p>Vamos entender melhor o uso da equação geral de condução em</p><p>coordenadas cartesianas?</p><p>Exemplo 1</p><p>Consideremos, a seguir, uma panela de aço, utilizada para ferver água,</p><p>colocada sobre a parte superior de um fogão elétrico. A seção do fundo</p><p>da panela tem uma espessura e um diâmetro de</p><p>. A unidade elétrica de aquecimento, que está na parte</p><p>superior do fogão, consome 1250W de potência durante a cocção e 85%</p><p>do calor gerado no elemento de aquecimento se transfere de maneira</p><p>uniforme para a panela. A transferência de calor desde a superfície</p><p>superior da seção do fundo até a água é por convecção com um</p><p>coeficiente de transferência de calor de h. Supondo condutividade</p><p>térmica constante e transferência unidimensional de calor, expresse a</p><p>formulação matemática deste problema de condução de calor em</p><p>estado estacionário.</p><p> Estado estacionário</p><p>Equação de Poisson</p><p>∂ 2T</p><p>∂x2</p><p>+</p><p>∂ 2T</p><p>∂y2</p><p>+</p><p>∂ 2T</p><p>∂z2</p><p>+</p><p>ėger</p><p>k</p><p>= 0</p><p> Regime transiente sem geração de calor</p><p>Equação de difusão</p><p>∂ 2T</p><p>∂x2</p><p>+</p><p>∂ 2T</p><p>∂y2</p><p>+</p><p>∂ 2T</p><p>∂z2</p><p>=</p><p>1</p><p>α</p><p>⋅</p><p>∂T</p><p>∂t</p><p> Estado estacionário e sem geração de calor</p><p>Equação de Laplace</p><p>∂ 2T</p><p>∂x2</p><p>+</p><p>∂ 2T</p><p>∂y2</p><p>+</p><p>∂ 2T</p><p>∂z2</p><p>= 0</p><p>L = 0, 5cm</p><p>D = 20cm</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 11/69</p><p>Panela de aço.</p><p>Bom, antes de resolver qualquer problema de transferência de calor</p><p>utilizando a equação geral, precisamos analisar todas as considerações</p><p>envolvidas, para simplificar a equação.</p><p> Consideração 1</p><p>Por que utilizar coordenadas cartesianas em vez de</p><p>cilíndricas, já que a panela é cilíndrica? Como a área</p><p>superficial do fundo da panela é bem maior em</p><p>relação à sua espessura, podemos considerá-la</p><p>como uma placa, em vez de um cilindro. Vamos,</p><p>agora, tentar reduzir a equação geral de condução</p><p>de calor em coordenadas cartesianas:</p><p>∂ 2T</p><p>∂x2</p><p>+</p><p>∂ 2T</p><p>∂y2</p><p>+</p><p>∂ 2T</p><p>∂z2</p><p>+</p><p>ėger</p><p>k</p><p>=</p><p>1</p><p>α</p><p>⋅</p><p>∂T</p><p>∂t</p><p> Consideração 2</p><p>O problema descreve que somente existe condução</p><p>em uma única direção. Assumindo que seja</p><p>somente em sentido do fundo da panela para a</p><p>superfície da água. Podemos desconsiderar</p><p>qualquer transferência em outro sentido. Portanto,</p><p>e serão desconsiderados:</p><p>x,</p><p>y z</p><p>∂ 2T</p><p>∂x2</p><p>+</p><p>ėger</p><p>k</p><p>=</p><p>1</p><p>α</p><p>⋅</p><p>∂T</p><p>∂t</p><p> Consideração 3</p><p>A transferência acontece em estado estacionário,</p><p>assim, não existe qualquer variação de temperatura</p><p>t E tã últi t d ã</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 12/69</p><p>Muito bem! Temos aqui uma equação diferencial que depende de uma</p><p>única variável. Desse modo, podemos colocar na notação de derivada</p><p>ordinária em vez de parcial. Além disso, para resolver esta equação de</p><p>segunda ordem, precisamos de umas condições de contorno e iniciais.</p><p>Mas o que seria isso? Não se preocupe, porque iremos falar desses</p><p>termos mais adiante! O objetivo desta primeira parte é de construir a</p><p>expressão matemática de transferência de calor, utilizando a equação</p><p>geral de condução em coordenadas cartesianas. Vejamos!</p><p>Coordenadas cilíndricas</p><p>A equação geral de condução de calor em coordenadas cilíndricas, a</p><p>partir de um balanço de energia sobre um elemento de volume e,</p><p>fazendo uma conversão entre coordenadas retangulares e cilíndricas, é</p><p>dada por:</p><p>Vamos para mais um exemplo para o entendimento do uso da equação</p><p>geral de condução em coordenadas cilíndricas.</p><p>Exemplo 2</p><p>Um arame com condutividade térmica de raio de</p><p>e um comprimento de esquenta, por resistência,</p><p>com o tempo. Então, o último termo da equação</p><p>será zero:</p><p>∂ 2T</p><p>∂x2</p><p>+</p><p>ėger</p><p>k</p><p>= 0</p><p> Consideração 4</p><p>Podemos observar que temos uma fonte de</p><p>geração de calor, no entanto, ela acontece no fogão</p><p>e não dentro do material condutor de aço, local</p><p>onde estamos realizando a análise de transferência.</p><p>Logo, não existe geração de calor e, finalmente,</p><p>temos a equação reduzida da seguinte forma:</p><p>∂ 2T</p><p>∂x2</p><p>= 0</p><p>d2T</p><p>dx2</p><p>= 0</p><p>1</p><p>r</p><p>∂</p><p>∂r</p><p>(k ⋅ r ⋅</p><p>∂T</p><p>∂r</p><p>) +</p><p>1</p><p>r2</p><p>∂</p><p>∂φ</p><p>(k ⋅ r ⋅</p><p>∂T</p><p>∂φ</p><p>) +</p><p>∂</p><p>∂z</p><p>(k</p><p>∂T</p><p>∂Z</p><p>) + ėger = ρ ⋅ Cp ⋅</p><p>∂T</p><p>∂t</p><p>1922W/m ⋅K,</p><p>1, 52 × 10−3m 0, 4m</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 13/69</p><p>de uma quantidade de água. Supondo condutividade térmica</p><p>constante e transferência unidimensional de calor, expresse a</p><p>formulação matemática deste problema de condução de calor durante</p><p>uma operação estacionária.</p><p>O primeiro passo é reduzir o máximo possível a equação geral de calor</p><p>por condução:</p><p>Considerando o arame como um cilindro e que a varação da superfície é</p><p>homogênea, e segundo o enunciado, de forma unidimensional, podemos</p><p>considerar razoavelmente que somente a temperatura varia com relação</p><p>ao raio. Assim, as variáveis e são desconsideradas.</p><p>Operando em processo estacionário, temos, então, que o termo de</p><p>temperatura com relação tempo é nulo:</p><p>Sendo a condutividade térmica constante, é possível retirar do</p><p>parênteses e dividir a equação por de tal forma que:</p><p>Existe uma geração de calor dentro do material, a partir da potência da</p><p>resistência sobre o volume do cilindro da seguinte forma:</p><p>Substituindo o valor de geração de calor e a condutividade térmica</p><p>dentro da equação, e sendo a variação da temperatura função de uma</p><p>única variável (derivada ordinária), obtemos a expressão matemática</p><p>assim:</p><p>2kW</p><p>1</p><p>r</p><p>∂</p><p>∂r</p><p>(k ⋅ r ⋅</p><p>∂T</p><p>∂r</p><p>) +</p><p>1</p><p>r2</p><p>∂</p><p>∂φ</p><p>(k ⋅ r ⋅</p><p>∂T</p><p>∂φ</p><p>) +</p><p>∂</p><p>∂z</p><p>(k</p><p>∂T</p><p>∂z</p><p>) + ėger = ρ ⋅ Cp ⋅</p><p>∂T</p><p>∂t</p><p>φ z</p><p>1</p><p>r</p><p>∂</p><p>∂r</p><p>(k ⋅ r ⋅</p><p>∂T</p><p>∂r</p><p>) + ėger = ρ ⋅ Cp ⋅</p><p>∂T</p><p>∂t</p><p>1</p><p>r</p><p>∂</p><p>∂r</p><p>(k ⋅ r ⋅</p><p>∂T</p><p>∂r</p><p>) + ėger = 0</p><p>k,</p><p>1</p><p>r</p><p>∂</p><p>∂r</p><p>(r ⋅</p><p>∂T</p><p>∂r</p><p>) +</p><p>ėger</p><p>k</p><p>= 0</p><p>ėger = E</p><p>⋅</p><p>ger/ϑ</p><p>ϑ = ( π ⋅D2</p><p>4</p><p>) ⋅ L =</p><p>(</p><p>π ⋅ (1 × 10−3m)</p><p>2</p><p>4</p><p>) ⋅ 0, 4m = 3, 14 × 10−7m3</p><p>ėger =</p><p>Eger</p><p>ϑ</p><p>=</p><p>2000W</p><p>3, 14 × 10−7m3</p><p>= 6, 37 × 109</p><p>W</p><p>m3</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 14/69</p><p>Coordenadas esféricas</p><p>A partir de um elemento de volume em coordenadas esféricas e</p><p>mediante uma relação entre as coordenadas retangulares e esféricas, a</p><p>equação geral de condução de calor em coordenadas esféricas é:</p><p>Resolver de forma analítica esse tipo de equação é muito complexo e</p><p>precisaremos de métodos aproximados de resolução de equações</p><p>diferenciais parciais com ajuda de algum software.</p><p>Exemplo 3</p><p>Vamos analisar o comportamento de uma esfera metálica de raio</p><p>que é esquentada dentro de um forno até uma temperatura em toda</p><p>sua extensão. Posteriormente, é retirada do forno, deixando cair dentro</p><p>de uma massa de água que está a uma temperatura de onde se</p><p>resfria por convecção com um coeficiente médio de transferência de</p><p>calor h. Supondo que a condutividade térmica seja constante e a</p><p>transferência unidimensional de calor em regime transiente, vamos</p><p>expressar a formulação matemática deste problema de condução de</p><p>calor.</p><p>Assim como nos casos anteriores, precisamos reduzir ou simplificar a</p><p>equação geral de transferência de calor. Por ser uma esfera, as</p><p>coordenadas esféricas são as indicadas para descrever o</p><p>comportamento térmico. Comportamento de temperatura</p><p>unidimensional e uniforme é característico de uma variação de</p><p>temperatura com relação ao raio da esfera. Portanto, as variáveis e</p><p>são desprezíveis:</p><p>O problema não descreve nenhuma geração de energia dentro da esfera,</p><p>então:</p><p>1</p><p>r</p><p>∂</p><p>∂r</p><p>(r ⋅</p><p>∂T</p><p>∂r</p><p>) +</p><p>6, 37 × 109 W</p><p>m3</p><p>1922 W</p><p>m⋅K</p><p>= 0</p><p>1</p><p>r</p><p>∂</p><p>∂r</p><p>(r ⋅</p><p>∂T</p><p>∂r</p><p>) + 3, 31 × 106</p><p>K</p><p>m2</p><p>= 0</p><p>1</p><p>r</p><p>d</p><p>dr</p><p>(r ⋅</p><p>dT</p><p>dr</p><p>) + 3, 31 × 106</p><p>K</p><p>m2</p><p>= 0</p><p>1</p><p>r2</p><p>∂</p><p>∂r</p><p>(k ⋅ r2 ⋅</p><p>∂T</p><p>∂r</p><p>) +</p><p>1</p><p>r2 sin2 θ</p><p>⋅</p><p>∂</p><p>∂φ</p><p>(k</p><p>∂T</p><p>∂φ</p><p>) +</p><p>1</p><p>r2 sin θ</p><p>⋅</p><p>∂</p><p>∂θ</p><p>(k ⋅ sin θ ⋅</p><p>∂T</p><p>∂θ</p><p>) + ėger</p><p>= ρ ⋅ Cp ⋅</p><p>∂T</p><p>∂t</p><p>r0,</p><p>Ti</p><p>T∞,</p><p>θ φ</p><p>1</p><p>r2</p><p>∂</p><p>∂r</p><p>(k ⋅ r2 ⋅</p><p>∂T</p><p>∂r</p><p>) + ėger = ρ ⋅ Cp ⋅</p><p>∂T</p><p>∂t</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 15/69</p><p>O problema é transiente, indicando que há a variação da temperatura</p><p>com o tempo, ou seja, o último termo é mantido nesta análise. No</p><p>entanto, a condutividade térmica é constante. Assim, retirando-a do</p><p>parênteses e dividindo a equação por temos:</p><p>Finalmente, observamos que os dados de condição da superfície</p><p>exterior, assim como a questão de convecção, não influenciam a</p><p>equação geral de transferência de calor por condução.</p><p>Condições de contorno e iniciais</p><p>As equações de condução de calor apresentadas foram desenvolvidas</p><p>mediante um balanço de energia sobre um elemento diferencial no</p><p>interior do meio e seguem sendo as mesmas, sem importar as</p><p>condições térmicas sob as superfícies dele.</p><p>Ou seja, as equações diferenciais não incorporam</p><p>informação detalhada com as condições sobre as</p><p>superfícies, por exemplo, a temperatura das</p><p>superfícies, temperatura do ambiente ou mesmo um</p><p>fluxo específico de calor.</p><p>A expressão matemática das condições térmicas é chamada condições</p><p>de contorno. Precisamos dessas condições para resolver as derivadas.</p><p>Lembra, em Cálculo, que para eliminar as derivadas, era possível</p><p>mediante uma integral? E que ao resolver cada integral, era gerada uma</p><p>constante arbitrária? Pois é! Esses são os valores necessários para</p><p>substituir nas equações e encontrar os valores das constantes.</p><p>De acordo com a ordem da equação diferencial, será necessário igual</p><p>número de condições contorno, por exemplo, uma equação diferencial</p><p>de segunda ordem precisará de duas condições de contorno para sua</p><p>resolução.</p><p>Por outro lado, todas as condições de argumentos físicos coerentes no</p><p>tempo inicial ou no instante quando são chamadas de condição</p><p>inicial.</p><p>1</p><p>r2</p><p>∂</p><p>∂r</p><p>(k ⋅ r2 ⋅</p><p>∂T</p><p>∂r</p><p>) = ρ ⋅ Cp ⋅</p><p>∂T</p><p>∂t</p><p>k,</p><p>1</p><p>r2</p><p>∂</p><p>∂r</p><p>(r2 ⋅</p><p>∂T</p><p>∂r</p><p>) =</p><p>ρ ⋅ Cp</p><p>k</p><p>⋅</p><p>∂T</p><p>∂t</p><p>1</p><p>r2</p><p>∂</p><p>∂r</p><p>(r2 ⋅</p><p>∂T</p><p>∂r</p><p>) =</p><p>1</p><p>α</p><p>⋅</p><p>∂T</p><p>∂t</p><p>t = 0</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 16/69</p><p>Vamos, a seguir, ver alguns casos específicos de condições de contorno</p><p>e inicial:</p><p>Condição de contorno de temperatura especí�ca</p><p>A temperatura de uma superfície exposta pode ser mensurável</p><p>diretamente. Portanto, as condições de contorno para uma transferência</p><p>unidimensional de calor através de uma parede plana de espessura</p><p>são:</p><p>Onde e são as temperaturas específicas na superfície em e</p><p>respectivamente.</p><p>Condição de contorno de �uxo especí�co de calor</p><p>Quando existe informação suficiente sobre as interações de energia na</p><p>superfície, é possível determinar, utilizando a Lei de Fourier, a velocidade</p><p>de transferência de calor e, portanto, seu fluxo:</p><p>O sinal do fluxo específico de calor é positivo se o fluxo de calor é na</p><p>direção positiva do eixo coordenador e negativo se for oposto.</p><p>No caso de contorno isolado, podemos deixar claro que não existe fluxo</p><p>de calor, assim:</p><p>Ou:</p><p>Condição de convecção no contorno</p><p>É muito provável que a convecção seja a condição de contorno comum</p><p>encontrada na prática. Isso se deve ao fato de que a maior parte das</p><p>superfícies de transferência de calor está exposta a um meio (ambiente)</p><p>e a uma temperatura específica. A condição de contorno de convecção</p><p>é baseada em um balanço de energia superficial expresso como:</p><p>L</p><p>T (0, t) = T1</p><p>T (L, t) = T2</p><p>T1 T2 x = 0</p><p>x = L,</p><p>q̇ = −k ⋅</p><p>∂T</p><p>∂x</p><p>= ( fluxo de calor na direção positiva de x )</p><p>k ⋅</p><p>∂T (0, t)</p><p>∂x</p><p>= 0</p><p>∂T (0, t)</p><p>∂x</p><p>= 0</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 17/69</p><p>Para a transferência de calor unidimensional na direção , numa placa</p><p>de espessura , as condições de contorno sobre ambas as superfícies</p><p>são descritas assim:</p><p>Onde e são os coeficientes de transferência de calor por</p><p>convecção, e e são as temperaturas do meio circundantes</p><p>sobre os dois lados da placa.</p><p>Vamos retomar o caso do aquecimento da panela de aço que está</p><p>aquecendo uma quantidade de água (Exemplo 1) água. A equação</p><p>matemática simplificada que expressa o fenômeno de transferência de</p><p>calor por condução de calor é:</p><p>No entanto, há ainda algumas condições que acontecem na superfície</p><p>ou no contorno do problema. Lembra que definimos que não existe</p><p>geração de calor dentro do material condutor? No entanto, a fonte de</p><p>calor que vem do fogão está aportando um fluxo à superfície do fundo</p><p>da panela. O problema sinaliza que, na parte superior do fogão,</p><p>consome 1250W de potência e que somente 85% do calor gerado no</p><p>elemento de aquecimento se transfere de maneira uniforme para a</p><p>panela. Aqui, temos uma condição de contorno com fluxo específico de</p><p>calor. Vejamos!</p><p>Quando temos um fluxo de calor de 85% da potência, ou</p><p>seja, 1062,5W são atribuídos para a superfície. Portanto, o fluxo de</p><p>calor por área é:</p><p>Assim, a primeira condição de contorno de fluxo de calor específico,</p><p>quando x = 0, é:</p><p>=</p><p>⎛⎜⎝ condução de calor na superfície</p><p>numa direção selecionada</p><p>⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝ convecção de calor na superfície</p><p>na mesma direção</p><p>⎞⎟⎠x</p><p>L</p><p>− k ⋅</p><p>∂T (0, t)</p><p>∂x</p><p>= h1 ⋅ [T∞1 − T (0, t)]</p><p>− k ⋅</p><p>∂T (L, t)</p><p>∂x</p><p>= h2 ⋅ [T (L, t) − T∞2 ]</p><p>h1 h2</p><p>T∞1 T∞2</p><p>d2T</p><p>dx2</p><p>= 0</p><p>x = 0</p><p>q̇s =</p><p>Ėger</p><p>A</p><p>A = πD2 = π ⋅ (0, 2m)2 = 0, 125m2</p><p>q̇s =</p><p>Ėger</p><p>A</p><p>=</p><p>1200W</p><p>0, 125m2</p><p>= 8455</p><p>W</p><p>m2</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 18/69</p><p>Quando na superfície superior do aço, existe</p><p>uma transferência de contorno por convecção para água. Neste</p><p>caso, teremos:</p><p>Finalmente, esse problema tem as seguintes equações e condições de</p><p>contorno:</p><p>Condição de contorno com radiação</p><p>Em alguns casos, por exemplo, aplicações espaciais ou criogênicas,</p><p>uma superfície de transferência de calor está rodeada por um espaço</p><p>vazio e, portanto, a transferência de calor por convecção</p><p>é nula.</p><p>Nesses casos, a radiação se converte no único</p><p>mecanismo de transferência entre a superfície e o</p><p>ambiente.</p><p>Utilizando um balanço de energia, a condição de contorno com radiação</p><p>sobre uma superfície pode se expressar:</p><p>Para uma transferência unidimensional de calor na direção de numa</p><p>placa de espessura as condições de radiação no contorno sobre</p><p>ambas as superfícies podem ser expressas assim:</p><p>q̇ = −k ⋅</p><p>∂T</p><p>∂x</p><p>−k ⋅</p><p>dT (0)</p><p>dx</p><p>= 8455</p><p>W</p><p>m2</p><p>x = L = 0, 005m,</p><p>−k ⋅</p><p>∂T (L, t)</p><p>∂x</p><p>= h ⋅ [T (L, t) − T∞]</p><p>−k ⋅</p><p>dT (0, 005, t)</p><p>dx</p><p>= h ⋅ [T (0, 005, t) − T∞]</p><p>d2T</p><p>dx2</p><p>= 0</p><p>−k ⋅</p><p>dT (0)</p><p>dx</p><p>= 8455</p><p>W</p><p>m2</p><p>−k ⋅</p><p>dT (0, 005, t)</p><p>dx</p><p>= h ⋅ [T (0, 005, t) − T∞]</p><p>=</p><p>⎛⎜⎝ condução de calor na superfície</p><p>numa direção selecionada</p><p>⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝ Troca de radiação na superfície</p><p>na mesma direção</p><p>⎞⎟⎠x,</p><p>L,</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 19/69</p><p>Onde e são as emissividades das superfícies de contorno,</p><p>é a constante de Stefan - Boltzmann,</p><p>e são as temperaturas médias das superfícies</p><p>circundantes dos dois lados da placa, respectivamente.</p><p>Mão na massa</p><p>As questões 1 e 2 são baseadas na seguinte informação:</p><p>Uma panela, usada para ferver água, é colocada sobre um fogão, a</p><p>partir do qual calor é transferido a uma taxa fixa q0 (W). Há dois</p><p>estágios no processo. No estágio 1, a água é levada de sua</p><p>temperatura inicial (ambiente) até o ponto de ebulição, quando o</p><p>calor é transferido da panela para a água por convecção natural.</p><p>Durante esse estágio, pode-se admitir um valor constante do</p><p>coeficiente de transferência de calor , enquanto a temperatura</p><p>média da água aumenta com o tempo, . No estágio 2 ,</p><p>a água encontra-se em ebulição e a sua temperatura mantém-se em</p><p>um valor fixo, , enquanto o fornecimento de calor</p><p>continua. Considere uma base de panela com espessura e</p><p>diâmetro com um sistema de coordenadas no qual e</p><p>nas superfícies de contato com o fogão e com a água,</p><p>respectivamente.</p><p>Questão 1</p><p>Qual é a equação de calor e as condições de contorno que</p><p>determinam a variação da temperatura com a posição e o tempo na</p><p>base da panela ao longo do estágio 1? Expresse o resultado em</p><p>termos de e , assim como as propriedades pertinentes</p><p>do material da panela.</p><p>− k ⋅</p><p>∂T (0, t)</p><p>∂x</p><p>= ε1 ⋅ σ ⋅ [T 4</p><p>amb1 − T (0, t)4]</p><p>− k ⋅</p><p>∂T (L, t)</p><p>∂x</p><p>= ε2 ⋅ σ ⋅ [T (L, t)4 − T 4</p><p>amb2</p><p>]</p><p>ε1 ε2</p><p>σ = 5, 67 × 10−8W/ (m2 K4)</p><p>Tamb1 Tamb2</p><p></p><p>Ti</p><p>h</p><p>T∞ = T∞(t)</p><p>T∞ = Teb</p><p>L</p><p>D, x = 0</p><p>x = L</p><p>q0,D,L T∞</p><p>A</p><p>⎧⎪⎨⎪⎩ ∂ 2T</p><p>∂x2 = 1</p><p>α</p><p>⋅ ∂T</p><p>∂t</p><p>T (x, 0) = Ti</p><p>−k ∂T</p><p>∂x x=0</p><p>= q0</p><p>(πD2/4)</p><p>−k ∂T</p><p>∂x x=L</p><p>= h [T (L, t) − T∞(t)]∣∣23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 20/69</p><p>Parabéns! A alternativa A está correta.</p><p>Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no</p><p>campo Preparação.</p><p>Questão 2</p><p>Qual é a equação de calor e as condições de contorno que</p><p>determinam a variação da temperatura na base da panela ao longo</p><p>do estágio 2? A superfície da panela em contato com a água</p><p>encontra-se a uma temperatura fixa .</p><p>B ⎧⎪⎨⎪⎩ d2T</p><p>dx2 = 0</p><p>T (x, 0) = Ti</p><p>−k dT</p><p>dx x=0</p><p>= 0</p><p>−k dT</p><p>dx x=L</p><p>= h [T (L, t) − T∞(t)]∣∣C</p><p>⎧⎪⎨⎪⎩ ∂ 2T</p><p>∂x2 = 1</p><p>α ⋅ ∂T</p><p>∂t</p><p>−k ∂T</p><p>∂x x=0</p><p>= q0</p><p>(πD2/4)</p><p>−k ∂T</p><p>∂x x=L</p><p>= h [T (L, t) − T∞(t)]∣∣D</p><p>⎧⎪⎨⎪⎩ ∂ 2T</p><p>∂x2 = 1</p><p>α ⋅ ∂T</p><p>∂t − q0</p><p>k</p><p>T (x, 0) = Ti</p><p>−k ∂T</p><p>∂x x=0</p><p>= q0</p><p>(πD2/4)</p><p>−k ∂T</p><p>∂x x=L</p><p>= h [T (L, t) − T∞(t)]∣∣E</p><p>⎧⎪⎨⎪⎩ ∂ 2T</p><p>∂x2 = 1</p><p>α</p><p>⋅ ∂T</p><p>∂t</p><p>T (x, 0) = Ti</p><p>−k ∂T</p><p>∂x x=L</p><p>= h [T (L, t) − T∞(t)]∣ TL</p><p>A</p><p>⎧⎪⎨⎪⎩ ∂ 2T</p><p>∂x2 = 1</p><p>α</p><p>⋅ ∂T</p><p>∂t</p><p>T (x, 0) = Ti</p><p>−k ∂T</p><p>∂x x=0</p><p>= q0</p><p>(πD2/4)</p><p>−k ∂T</p><p>∂x x=L</p><p>= h [T (L, t) − T∞(t)]∣∣B</p><p>⎧⎪⎨⎪⎩ d2T</p><p>dx2</p><p>= 0</p><p>T (L) = TL</p><p>−k</p><p>dT</p><p>dx x=0</p><p>=</p><p>q0</p><p>(πD2/4)</p><p>−k</p><p>dT</p><p>dx x=L</p><p>=h [TL − Teb]∣∣23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 21/69</p><p>Parabéns! A alternativa B está correta.</p><p>Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no</p><p>campo Preparação.</p><p>As questões 3 e 4 são baseadas na seguinte informação:</p><p>Em uma partícula esférica de raio , há geração térmica uniforme a</p><p>uma taxa e com condutividade térmica constante A</p><p>temperatura da superfície tem um valor de e está sendo</p><p>resfriada pelo ar ambiente .</p><p>Questão 3</p><p>Qual é a equação de condução de calor e as condições de contorno</p><p>do problema?</p><p>C</p><p>⎧⎪⎨⎪⎩ d2T</p><p>dx2 = − q0</p><p>k</p><p>T (L) = TL</p><p>−k dT</p><p>dx x=0</p><p>= q0</p><p>(πD2/4)</p><p>−k dT</p><p>dx x=L</p><p>= h [TL − Teb]∣∣D</p><p>⎧⎪⎨⎪⎩ d2T</p><p>dx2 = 0</p><p>−k dT</p><p>dx x=0</p><p>= q0</p><p>(πD2/4)</p><p>−k dT</p><p>dx x=L</p><p>= h [TL − Teb]∣∣E {</p><p>d2T</p><p>dx2 = 0</p><p>−k dT</p><p>dx x=L</p><p>= h [TL − Teb]∣ r1</p><p>q̇ k.</p><p>Ts</p><p>(T∞,h)</p><p>A</p><p>⎧⎪⎨⎪⎩ d</p><p>dr</p><p>(r2 ⋅ dT</p><p>dr</p><p>) = 0</p><p>T (r1) = TS</p><p>−k dT</p><p>dr r=r1</p><p>= h [TS − T∞]∣B</p><p>⎧⎪⎨⎪⎩ d</p><p>dr</p><p>(r2 ⋅</p><p>dT</p><p>dr</p><p>) = −</p><p>q̇</p><p>k</p><p>⋅ r2</p><p>T (r1) = T∞</p><p>−k</p><p>dT</p><p>dr r=r1</p><p>= h [Ts − T∞]∣C</p><p>⎧⎪⎨⎪⎩ d</p><p>dr</p><p>(r2 ⋅</p><p>dT</p><p>dr</p><p>) = −</p><p>q̇</p><p>k</p><p>⋅ r2</p><p>T (r1) = TS</p><p>−k</p><p>dT</p><p>dr r=r1</p><p>= h [Ts − T∞]∣23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 22/69</p><p>Parabéns! A alternativa C está correta.</p><p>Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no</p><p>campo Preparação.</p><p>Questão 4</p><p>Qual pode ser a expressão que representa em função dos</p><p>parâmetros conhecidos? Deixe indicada a constante de integração</p><p>como .</p><p>Parabéns! A alternativa C está correta.</p><p>Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no</p><p>campo Preparação.</p><p>Questão 5</p><p>Em um elemento combustível cilíndrico para reator nuclear, com</p><p>50mm de diâmetro, há geração interna de calor a uma taxa</p><p>uniforme . Em condições de regime</p><p>estacionário, a onde está em e em</p><p>. As propriedades do elemento combustível são</p><p>D</p><p>⎧⎪⎨⎪⎩ d</p><p>dr (r2 ⋅ dT</p><p>dr ) = 0</p><p>T (r1) = Ts</p><p>−k dT</p><p>dr r=r1</p><p>= h [T∞ − Ts]∣E</p><p>⎧⎪⎨⎪⎩ d</p><p>dr</p><p>(r2 ⋅</p><p>dT</p><p>dr</p><p>) = −</p><p>q̇</p><p>k</p><p>⋅ r2</p><p>T (r1) = TS</p><p>dT</p><p>dr</p><p>C1</p><p>A dT</p><p>dr = C1</p><p>r2</p><p>B dT</p><p>dr = q̇</p><p>3k r</p><p>C dT</p><p>dr</p><p>= − q̇</p><p>3k r+</p><p>C1</p><p>r2</p><p>D dT</p><p>dr = − q̇</p><p>3k r</p><p>2 + C1</p><p>E dT</p><p>dr = C1</p><p>q̇ = 5 × 107W/m3</p><p>d2T</p><p>dr2</p><p>= −8, 33 × 105 T ∘C r m</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 23/69</p><p>. Qual é a taxa de</p><p>transferência de calor, por unidade de comprimento, quando</p><p>Parabéns! A alternativa E está correta.</p><p>Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão e veja o</p><p>feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo</p><p>Preparação.</p><p>Questão 6</p><p>A distribuição de temperaturas, em regime estacionário, em uma</p><p>placa plana de material semitransparente, com condutividade</p><p>térmica e espessura , exposto à irradiação laser, é descrita por:</p><p>Onde A, a, B e C são constantes conhecidas. Nesta situação, a</p><p>absorção de radiação do material é manifestada por um termo de</p><p>geração de calor distribuída, . Deduza uma expressão para</p><p>essa geração de calor.</p><p>k = 30W</p><p>m⋅K ; ρ = 1100 kg</p><p>m3 ; Cp = 800 J</p><p>kg.K</p><p>r = 25mm?</p><p>A 6, 1 × 104W/m</p><p>B 2, 3 × 104W/m</p><p>C 5, 7 × 104W/m</p><p>D 4, 5 × 104W/m</p><p>E 9, 8 × 104W/m</p><p>k L</p><p>T (x) = −</p><p>A</p><p>k ⋅ a2</p><p>e−ax +Bx+ C</p><p>q̇(x)</p><p>A q̇ = − A</p><p>k ⋅ e−ax</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 24/69</p><p>Parabéns! A alternativa E está correta.</p><p>Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no</p><p>campo Preparação.</p><p>Teoria na prática</p><p>Na indústria de tratamento térmico, é comum o uso de fornos</p><p>descontínuos elétricos. Considere um forno descontinuo por uma placa</p><p>de aço de de espessura e condutividade térmica de .</p><p>O forno está localizado numa habitação com uma temperatura do ar</p><p>circundante de e um coeficiente de transferência de calor por</p><p>convecção de .K. Se a superfície interna do forno está sujeita</p><p>a um fluxo uniforme de calor de , e a superfície externa tem</p><p>uma emissividade de , qual é temperatura superficial interna da</p><p>placa do forno?</p><p>B q̇ = A/e−ax</p><p>C q̇ = e−ax</p><p>D q̇ = A ⋅ e−ax +Bx</p><p>E q̇ = A ⋅ e−ax</p><p>_black</p><p>20mm 25W/mK</p><p>20∘C</p><p>10W/m2</p><p>5kW/m2</p><p>0, 30</p><p>Mostrar solução</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio#</p><p>25/69</p><p>Falta pouco para atingir seus objetivos.</p><p>Vamos praticar alguns conceitos?</p><p>Questão 1</p><p>Analise as seguintes afirmações sobre o termo de geração de calor:</p><p>I. A geração de calor é um fenômeno volumétrico que acontece</p><p>em todo o meio.</p><p>II. O termo de geração de calor é considerado nulo quando o</p><p>problema está em regime estacionário.</p><p>III. A taxa de geração de calor em um meio pode ser função tanto</p><p>do tempo como da posição.</p><p>Podemos afirmar que está correto o descrito em:</p><p>Parabéns! A alternativa C está correta.</p><p>Os processos de conversão de energia, ao serem analisados,</p><p>caracterizam-se como geradores de calor, que, por sua vez, é um</p><p>fenômeno volumétrico. A taxa com que isso ocorre pode variar com</p><p>o tempo e posição, isto é, conforme o gradiente de temperatura</p><p>varia.</p><p>Questão 2</p><p>Analise as seguintes afirmações sobre a equação geral de</p><p>condução de calor:</p><p>A Somente I.</p><p>B Somente II.</p><p>C I e III.</p><p>D II e III.</p><p>E I, II e III.</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 26/69</p><p>I. Dependendo da geometria do meio condutor, podemos utilizar</p><p>a equação em coordenadas cartesianas, cilíndricas ou</p><p>esféricas.</p><p>II. A equação geral após as considerações do problema pode ser</p><p>reduzida em função de uma única variável, neste caso a</p><p>derivada passa de parcial para ordinária.</p><p>III. As condições de contorno e iniciais devem ser empregadas</p><p>dentro dos termos da equação geral de condução de calor.</p><p>Podemos afirmar que está correto o descrito em:</p><p>Parabéns! A alternativa C está correta.</p><p>Grande parte dos problemas de transferência de calor pode ser</p><p>aproximada como unidimensional. Em casos particulares, é preciso</p><p>resolver a condução de calor multidimensional. A escolha das</p><p>coordenadas irá depender, portanto, da geometria do problema.</p><p>Após o dimensionamento e considerações adequadas, é possível</p><p>reduzi-lo a um problema de variável única. Vale ressaltar que as</p><p>condições de contorno e iniciais são utilizadas para encontrar os</p><p>valores das constantes de integração na resolução da equação</p><p>geral de condução de calor. Essas condições não interferem na</p><p>expressão matemática da equação geral de condução de calor.</p><p>A Somente I.</p><p>B Somente II.</p><p>C I e II.</p><p>D II e III.</p><p>E I, II e III.</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 27/69</p><p>2 - Condução em estado estacionário</p><p>Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar cálculos para resolução de problemas em</p><p>estado estacionário que envolvem transferência de calor por condução utilizando resistências</p><p>térmicas.</p><p>Vamos começar!</p><p>Como resolver problemas de</p><p>condução em estado estacionário?</p><p>Veja a seguir os principais pontos que serão abordados sobre o assunto.</p><p>Resistência térmica em paredes</p><p>planas</p><p>A equação de taxa de transferência de calor para uma parede plana,</p><p>espessura temperaturas nas superfícies de e pode ser</p><p>descrita mediante a Lei de Fourier da seguinte forma:</p><p></p><p>L, T1 T2,</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 28/69</p><p>E, ao separar as variáveis e integrar desde onde até</p><p>onde obtemos:</p><p>No entanto, os termos e são constantes e podem ser</p><p>reorganizados para obter a seguinte expressão:</p><p>Em que:</p><p>Onde é a resistência térmica em contrário da condução de calor e</p><p>depende somente da configuração geométrica e das propriedades</p><p>térmicas do meio. Se observarmos, a resistência térmica pode ser</p><p>expressa como que é a razão do potencial de</p><p>arraste de com relação à taxa de transferência de calor e que é</p><p>análoga à relação de fluxo de corrente elétrica expressa como:</p><p>Onde é a resistência elétrica e é queda de voltagem ao longo da</p><p>resistência. Portanto, a taxa da transferência de calor através de um</p><p>meio corresponde à corrente elétrica, a resistência térmica à resistência</p><p>elétrica e a diferença de temperatura à queda de voltagem. Observe na</p><p>imagem a seguir:</p><p>Taxa de calor dissipado pela resistência.</p><p>Q̇cond  = −k ⋅A ⋅</p><p>dT</p><p>dx</p><p>x = 0 T (0) = T1</p><p>x = L, T (L) = T2</p><p>∫</p><p>L</p><p>0</p><p>Q̇cond  ⋅ dx = −∫</p><p>T2</p><p>T1</p><p>k ⋅A ⋅ dT</p><p>Q̇cond  = k ⋅A ⋅</p><p>T1 − T2</p><p>L</p><p>L, k A</p><p>Q̇cond  =</p><p>T1 − T2</p><p>Rcond</p><p>Rcond  =</p><p>L</p><p>k ⋅A</p><p>Rcond</p><p>Rparede  = ΔT/Q̇cond ,</p><p>ΔT</p><p>I,</p><p>I =</p><p>V1 − V2</p><p>Re</p><p>=</p><p>ΔV</p><p>Re</p><p>Re ΔV</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 29/69</p><p>Corrente elétrica que atravessa a resistência.</p><p>Uma analogia de resistências também pode ser aplicada para um</p><p>processo de transferência de calor por convecção. A Lei de Newton de</p><p>resfriamento para a taxa de transferência de calor por convecção pode</p><p>ser arranjado da seguinte forma:</p><p>Em que:</p><p>Onde:</p><p>resistência térmica da superfície contra a convecção de</p><p>calor</p><p>: temperatura da superfície</p><p>: temperatura do ambiente</p><p>: área</p><p>Observemos que, se o coeficiente de transferência de calor é muito</p><p>grande a resistência da convecção tende a zero, portanto,</p><p>Ou seja, a superfície não oferece resistência à convecção e,</p><p>assim, não desacelera o processo de transferência de calor.</p><p>A taxa de transferência de calor por radiação entre uma superfície de</p><p>emissividade área temperatura e temperatura circundante de</p><p>pode ser expressa como:</p><p>Onde:</p><p>Q̇conv =</p><p>Ts − T∞</p><p>Rconv</p><p>Rconv =</p><p>1</p><p>h ⋅As</p><p>Rconv:</p><p>Ts</p><p>T∞</p><p>As</p><p>(h → ∞),</p><p>Ts ≈ T∞.</p><p>ε, As, Ts</p><p>Tamb</p><p>Q̇rad = ε ⋅ σ ⋅As ⋅ (T 4</p><p>s − T 4</p><p>amb) = hrad ⋅As ⋅ (Ts − Tamb) =</p><p>Ts − Tamb</p><p>Rrad</p><p>Rrad =</p><p>1</p><p>hrad ⋅As</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 30/69</p><p>E sendo a resistência térmica de uma superfície contra a radiação</p><p>e</p><p>No caso de radiação e convecção, simultaneamente, podemos utilizar o</p><p>coeficiente de transferência de calor combinado:</p><p>Rede de resistências térmicas</p><p>Consideremos a transferência unidimensional em regime estacionário</p><p>através de uma parede plana de espessura área e condutividade</p><p>térmica que está exposta à convecção sobre ambos os lados com</p><p>temperatura e com coeficientes de transferência de calor e</p><p>respectivamente.</p><p>Transferência de calor (regime estacionário) por meio de uma parede.</p><p>A taxa de transferência de calor é igual nas três fases, ou seja:</p><p>Desta forma representada:</p><p>Ou assim:</p><p>Rrad</p><p>hrad :</p><p>hrad =</p><p>Q̇rad</p><p>As ⋅ (Ts − Tamb)</p><p>= ε ⋅ σ ⋅ (T 2</p><p>s + T 2</p><p>amb) ⋅ (Ts + Tamb)</p><p>hcomb = hconv + hrad</p><p>L, A</p><p>k</p><p>T∞1 T∞2 h1</p><p>h2,</p><p>= =</p><p>⎛⎜⎝  taxa de convecção</p><p>de calor até a parede</p><p>⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝  taxa de condução</p><p>de calor através da parede</p><p>⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝  taxa de convecção</p><p>de calor desde a parede</p><p>⎞⎟⎠Q̇ = h1 ⋅A ⋅ (T∞1 − T1) = k ⋅A ⋅</p><p>T1 − T2</p><p>L</p><p>= h2 ⋅A ⋅ (T2 − T∞2)</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 31/69</p><p>Ou de uma forma geral:</p><p>Onde:</p><p>Notemos que as resistências térmicas estão em séries e a resistência</p><p>térmica equivalente se determina simplesmente ao somar cada uma</p><p>delas, assim como acontece em circuitos elétricos em série.</p><p>Algumas vezes, é conveniente expressar a transferência de calor através</p><p>de um meio de uma forma análoga à Lei de Newton de resfriamento</p><p>como:</p><p>Onde é o coeficiente de transferência de calor total em (\W/m^2 \cdot</p><p>K.\) Portanto:</p><p>Exemplo 1</p><p>Vamos considerar uma janela com dupla folha de de altura e</p><p>de largura que consta com duas camadas de vidro</p><p>cada uma de de espessura separadas por</p><p>um espaço de ar estancado de de</p><p>largura. Qual seria a taxa de transferência de calor estacionaria através</p><p>desta janela e a temperatura da superfície interior para um dia com a</p><p>temperatura do quarto mantida a enquanto a temperatura exterior</p><p>é de ? Assumindo que os coeficientes de transferência de calor</p><p>sobre as superfícies interna e externa são e</p><p>respectivamente.</p><p>Q̇ =</p><p>(T∞1 − T1)</p><p>1/h1 ⋅A</p><p>=</p><p>T1 − T2</p><p>L/k ⋅A</p><p>=</p><p>(T2 − T∞2)</p><p>1/h2 ⋅A</p><p>Q̇ =</p><p>(T∞1 − T1)</p><p>Rconv ,1</p><p>=</p><p>T1 − T2</p><p>Rcond</p><p>=</p><p>(T2 − T∞2)</p><p>Rconv ,2</p><p>Q̇ =</p><p>(T∞1 − T∞2)</p><p>Rtotal</p><p>Rtotal  = Rconv ,1 +Rcond  +Rconv ,2 =</p><p>1</p><p>h1 ⋅A</p><p>+</p><p>L</p><p>k ⋅A</p><p>+</p><p>1</p><p>h2 ⋅A</p><p>Q̇ = U ⋅A ⋅ ΔT</p><p>U</p><p>U ⋅A =</p><p>1</p><p>Rtotal</p><p>1, 5m</p><p>2, 4m</p><p>(k1 = 0, 78W/mK), 3mm</p><p>(k2 = 0, 026W/mK) 12mm</p><p>21∘C</p><p>−5∘C</p><p>10W/m2K 25W/m2K</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 32/69</p><p>Janela contendo duas camadas de vidro.</p><p>Observemos que, através da janela, temos 3 camadas: vidro, ar e vidro.</p><p>Ou seja, podemos assumir como uma série de resistências térmicas, da</p><p>seguinte forma:</p><p>Associação de resistências térmicas: vidro - ar - vidro.</p><p>A taxa de transferência de calor total é:</p><p>Onde e são resistências convectivas, e a área é igual para todas</p><p>as camadas Então:</p><p>A taxa de transferência de calor é:</p><p>Q̇ =</p><p>(Tint  − Text)</p><p>Rtotal</p><p>Rtotal  = R1 +R2 +R3 +R4 +R5 =</p><p>=</p><p>1</p><p>h1 ⋅A</p><p>+</p><p>L1</p><p>k1 ⋅A</p><p>+</p><p>L2</p><p>k2 ⋅A</p><p>+</p><p>L1</p><p>k1 ⋅A</p><p>+</p><p>1</p><p>h2 ⋅A</p><p>=</p><p>=</p><p>1</p><p>A</p><p>( 1</p><p>h1</p><p>+</p><p>L1</p><p>k1</p><p>+</p><p>L2</p><p>k2</p><p>+</p><p>L1</p><p>k1</p><p>+</p><p>1</p><p>h2</p><p>)</p><p>R1 R5</p><p>(A = 1, 5m ⋅ 2, 4m = 3, 6m2).</p><p>Rtotal  =</p><p>1</p><p>3, 6m2</p><p>( 1</p><p>25W/m2K</p><p>+</p><p>0, 003m</p><p>0, 78W/mK</p><p>+</p><p>0, 012m</p><p>0, 026W/mK</p><p>+</p><p>0, 003m</p><p>0, 78W/mK</p><p>+</p><p>1</p><p>10W/m2K</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 33/69</p><p>Como está em estado estacionário, essa taxa de calor é a mesma para</p><p>qualquer ponto através do material, e assim para o cálculo da</p><p>temperatura da superfície interna será:</p><p>Redes generalizadas de resistências térmicas</p><p>Os conceitos de resistências térmicas são análogos aos de circuitos</p><p>elétricos. Consideremos a parede composta como se apresenta na</p><p>imagem. Veja!</p><p>Parede composta e sua esquematização em associação de resistências em paralelo.</p><p>A transferência total de calor é a soma das transferências de calor</p><p>através do material:</p><p>Se utilizamos a analogia elétrica, obtemos:</p><p>Onde:</p><p>Q̇ =</p><p>(Tint  − Text )</p><p>Rtotal</p><p>=</p><p>(294K − 268K)</p><p>0, 169K/W</p><p>= 154W</p><p>Q̇ =</p><p>(Tint − T1)</p><p>R5</p><p>→ T1 = Tint −Q ⋅R5 = 294K − 154W ⋅</p><p>1</p><p>3, 6m2 ⋅ 10W/m2K</p><p>= 289, 7K ou 1</p><p>Q̇ = Q̇1 + Q̇2 =</p><p>T1 − T2</p><p>R1</p><p>+</p><p>T1 − T2</p><p>R2</p><p>= (T1 − T2) ⋅ ( 1</p><p>R1</p><p>+</p><p>1</p><p>R2</p><p>)</p><p>Q̇ =</p><p>T1 − T2</p><p>Rtotal</p><p>1</p><p>Rtotal</p><p>=</p><p>1</p><p>R1</p><p>+</p><p>1</p><p>R2</p><p>→ Rtotal  =</p><p>R1 ⋅R2</p><p>R1 +R2</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 34/69</p><p>É importante que saibamos que assim se configura porque as</p><p>resistências estão em paralelo e não em série.</p><p>Resistência térmica em cilindros e</p><p>esferas</p><p>Demonstramos, no módulo anterior, que a transferência de calor em um</p><p>cilindro, estado estacionário, unidimensional e sem geração de calor,</p><p>apresenta uma variação de temperatura dependente do raio.</p><p>Considerando uma camada cilíndrica de raio interior raio exterior</p><p>comprimento e condutividade térmica constante a transferência de</p><p>calor através dele pela Lei de Fourier é expressa como:</p><p>Acompanhe na imagem:</p><p>Variação de temperatura em um cilindro.</p><p>Onde é a área de transferência durante a posição em</p><p>Observe que A é dependente do raio e, por consequência, varia na</p><p>direção da transferência de calor. Resolvendo a equação diferencial por</p><p>separação de variáveis e integrando o raio desde para</p><p>Substituindo e resolvendo a integral:</p><p>r1, r2,</p><p>L k,</p><p>Q̇cond,cil = −k ⋅A ⋅</p><p>dT</p><p>dr</p><p>A = 2π ⋅ r ⋅ L r.</p><p>r1 r2 :</p><p>∫</p><p>r2</p><p>r1</p><p>Q̇cond, cil</p><p>A</p><p>dr = −∫</p><p>T2</p><p>T1</p><p>k ⋅ dT</p><p>A = 2π ⋅ r ⋅ L</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 35/69</p><p>Onde:</p><p>Observemos que a equação de taxa de transferência de calor de</p><p>condução no cilindro é similar à da parede plana, somente variam os</p><p>parâmetros dentro da resistência térmica.</p><p>Por outro lado, se desenvolvemos a mesma analogia para uma camada</p><p>de esfera, tomando e realizar a integração, podemos obter:</p><p>Onde a expressão a seguir é a resistência térmica para a camada</p><p>esférica:</p><p>Atenção!</p><p>As mesmas considerações de transferência de calor por condução em</p><p>múltiplas camadas descrita em paredes planas podem ser aplicadas</p><p>com camadas cilíndricas e/ou esféricas. A única diferença está na</p><p>definição do tipo de resistência térmica a ser empregado.</p><p>Transferência de calor desde</p><p>superfícies com aletas</p><p>As aletas são configurações alternativas que aumentam a área</p><p>superficial e são construídas de materiais altamente condutores, como</p><p>o alumínio.</p><p>Nessa configuração, a transferência de calor é</p><p>favorecida quando a superfície é exposta a uma área</p><p>maior à convecção e à radiação.</p><p>Portanto, dissipa calor rapidamente para o ambiente.</p><p>Q̇cond,cil = 2π ⋅ L ⋅ k ⋅</p><p>T1 − T2</p><p>ln (r2/r1)</p><p>Q̇cond ,cil =</p><p>T1 − T2</p><p>Rcil</p><p>Rcil =</p><p>ln (r2/r1)</p><p>2π ⋅ k ⋅ L</p><p>A = 4πr2</p><p>Q̇cond,esf =</p><p>T1 − T2</p><p>Resf</p><p>Resf =</p><p>r2 − r1</p><p>4π ⋅ r1 ⋅ r2 ⋅ k</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 36/69</p><p>Exemplo</p><p>O radiador do carro, onde há folhas metálicas finas, colocadas entre si,</p><p>aumentam a área superficial de convecção.</p><p>Observe, na imagem a seguir, alguns tipos de aletas:</p><p>Tipos de aletas.</p><p>Na análise de aletas, considera-se a operação em regime estacionário,</p><p>sem geração de calor na aleta, e supondo condutividade térmica</p><p>constante em todo o material. Além de considerar um coeficiente de</p><p>transferência de calor constante ao longo da superfície da aleta.</p><p>Dissipador de calor de CPU utilizando um conjunto de aletas.</p><p>A equação de condução de calor para uma aleta com área de seção</p><p>transversal , perímetro e condutividade térmica constante é:</p><p>Ou:</p><p>Onde:</p><p>k</p><p>h</p><p>Ac p k</p><p>d2T</p><p>dx2</p><p>−</p><p>h ⋅ p</p><p>k ⋅Ac</p><p>(T − T∞)</p><p>d2θ</p><p>dx2</p><p>−m2θ = 0</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 37/69</p><p>E é o excesso da temperatura. Na base da aleta, temos</p><p>que</p><p>A equação diferencial de segunda ordem acima é linear, homogênea</p><p>com coeficientes constantes, e segundo o que é estudado em cálculo,</p><p>temos a seguinte solução:</p><p>Onde e são constantes arbitrárias que devem ser encontradas a</p><p>partir das condições de contorno e iniciais. É normal que a temperatura</p><p>da placa, na qual estão sujeitas as aletas, seja conhecida. Portanto, uma</p><p>condição de contorno de temperatura específica é:</p><p>Analisando a extremidade da aleta, na ponta, podemos encontrar várias</p><p>situações de acordo ao problema, tais como:</p><p>Aleta in�nitamente longa</p><p>A condição de contorno na ponta da aleta é:</p><p>A variação de temperatura é:</p><p>A taxa de transferência de calor é:</p><p>Ponta da aleta isolada (perda de calor igual a zero)</p><p>A condição de contorno é:</p><p>A variação de temperatura é:</p><p>m2 =</p><p>h ⋅ p</p><p>k ⋅Ac</p><p>θ = T − T∞</p><p>θb = Tb − T∞.</p><p>θ(x) = C1e</p><p>mx + C2e</p><p>−mx</p><p>C1 C2</p><p>θ(0) = θb = Tb − T∞</p><p>(Tponta  = T∞)</p><p>θ(L) = TL − T∞ = 0</p><p>T (x) − T∞</p><p>Tb − T∞</p><p>= e−mx = e</p><p>−x⋅√ h⋅p</p><p>k⋅Ac</p><p>Q̇aleta,inf  = −k ⋅Ac ⋅</p><p>dT</p><p>dx x=0</p><p>= √h ⋅ p ⋅ k ⋅Ac ⋅ (Tb − T∞)∣dTdx x=L</p><p>= 0∣23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 38/69</p><p>A taxa de transferência de calor é:</p><p>Temperatura especí�ca</p><p>A condição de contorno é:</p><p>A variação de temperatura é:</p><p>A taxa de transferência de calor é:</p><p>Convecção (ou convecção e radiação combinadas) desde a</p><p>ponta da aleta</p><p>A condição de contorno é:</p><p>A variação de temperatura é:</p><p>A taxa de transferência de calor é:</p><p>T (x) − T∞</p><p>Tb − T∞</p><p>=</p><p>cosh(m(L− x))</p><p>coshmL</p><p>Q̇ponta isolada  = −k ⋅Ac ⋅</p><p>dT</p><p>dx x=0</p><p>= √h ⋅ p ⋅ k ⋅Ac ⋅ (Tb − T∞) ⋅ tanhmL∣(Tponta  = TL)</p><p>θ(L) = θL = TL − T∞</p><p>T (x) − T∞</p><p>Tb − T∞</p><p>=</p><p>[(TL − T∞) ⋅ (Tb − T∞)] ⋅ senh(mx) + senh(m(L− x))</p><p>senh(mL)</p><p>Q̇temp esp.  = −k ⋅Ac ⋅</p><p>dT</p><p>dx x=0</p><p>=</p><p>√h ⋅ p ⋅ k ⋅Ac ⋅ (Tb − T∞) ⋅</p><p>cosh(mL) − [(TL − T∞)/ (Tb − T∞)]</p><p>senh(mL)∣−k ⋅Ac ⋅</p><p>dT</p><p>dx x=L</p><p>= h ⋅Ac ⋅ (TL − T∞)∣T (x) − T∞</p><p>Tb − T∞</p><p>=</p><p>cosh(m(L− x)) + (h/m ⋅ k) senh(m(L− x))</p><p>cosh(mL) + (h/m ⋅ k) senh(mL)</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 39/69</p><p>A solução da equação geral para aletas com o caso de convecção na</p><p>ponta</p><p>é muito complexa. Um método aproximado é substituir o</p><p>comprimento da aleta L em relação à ponta isolada por um</p><p>comprimento de aleta corrigido. Veja:</p><p>Onde:</p><p>Em que é a espessura da aleta retangular e o diâmetro das aletas</p><p>cilíndricas.</p><p>A eficiência de uma aleta é dada por:</p><p>Assim, teremos:</p><p>E:</p><p>Onde:</p><p>Q̇conv = −k ⋅Ac ⋅</p><p>dT</p><p>dx x=0</p><p>=</p><p>√h ⋅ p ⋅ k ⋅Ac ⋅ (Tb − T∞) ⋅</p><p>senh(mL) + (h/m ⋅ k) cosh(mL)</p><p>cosh(mL) + (h/m ⋅ k) senh(mL)∣Lc = L+</p><p>Ac</p><p>p</p><p>Lc, retangular  = L+</p><p>t</p><p>2</p><p>Lc, cilíndrica  = L+</p><p>D</p><p>4</p><p>t D</p><p>ηaleta  =</p><p>Q̇aleta</p><p>Q̇aleta,máx</p><p>=</p><p>taxa real de transferência desde a aleta</p><p>taxa ideal de transferência de calor desde a aleta considerando toda com a temperatura da ba</p><p>ηaleta infinita  =</p><p>Q̇aleta</p><p>Q̇aleta,máx</p><p>=</p><p>√h ⋅ p ⋅ k ⋅Ac ⋅ (Tb − T∞)</p><p>h ⋅Aaleta  (Tb − T∞)</p><p>=</p><p>1</p><p>L</p><p>⋅√ k ⋅Ac</p><p>h ⋅ p</p><p>=</p><p>1</p><p>mL</p><p>ηponta isolada  =</p><p>Q̇aleta</p><p>Q̇aleta,máx</p><p>=</p><p>√h ⋅ p ⋅ k ⋅Ac ⋅ (Tb − T∞) ⋅ tanhmL</p><p>h ⋅Aaleta  (Tb − T∞)</p><p>=</p><p>tanhmL</p><p>mL</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 40/69</p><p>Sendo a área total superficial da aleta.</p><p>É possível calcular a transferência de calor quando se conhece a</p><p>eficiência de um aleta da seguinte forma:</p><p>Para acessar a tabela de eficiência para diferentes tipos de</p><p>configurações de aletas, clique aqui.</p><p>Exemplo 2</p><p>Consideremos uma aleta retangular muito longa, fixada a uma superfície</p><p>plana, de tal forma que a temperatura na ponta da aleta seja</p><p>praticamente a do ar circundante A largura é de</p><p>espessura de e a condutividade térmica de A</p><p>temperatura na base é de e seu coeficiente de transferência de</p><p>calor de Qual é a temperatura da aleta a uma distância de</p><p>medida desde a base? E sua perda de calor através de toda a</p><p>aleta?</p><p>Esse problema é um caso de aleta infinitamente longa e a variação de</p><p>temperatura é dada pela seguinte equação:</p><p>Precisamos, então, encontrar o valor de e segundo a tabela de</p><p>configurações para diferentes tipos de aleta e, especificamente para a</p><p>retangular, temos:</p><p>Portanto:</p><p>A temperatura varia com x, logo, para um valor de 0,05m, temos:</p><p>Q̇aleta,máx  = h ⋅Aaleta  (Tb − T∞)</p><p>Aaleta</p><p>Q̇aleta  = ηaleta  ⋅ Q̇aleta,máx  = ηaleta  ⋅ h ⋅Aaleta  (Tb − T∞)</p><p>(20∘C). 5cm,</p><p>1mm 200W/mK.</p><p>40∘C</p><p>20W/m2K.</p><p>5cm</p><p>T (x) − T∞</p><p>Tb − T∞</p><p>= e−mx</p><p>m,</p><p>m = √ 2h</p><p>k ⋅ t</p><p>=√</p><p>2 (20W/m2K)</p><p>(200W/mK) ⋅ (0, 001m)</p><p>= 14, 1</p><p>T (x) − 293</p><p>313 − 293</p><p>= e−14,1x</p><p>T (x) = 20e−14,1x + 293</p><p>T (0, 05) = 20e−14,1⋅(0,05) + 293 = 302, 9K ou 29, 8∘C</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 41/69</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/docs/tabela_eficiencia_aletas.pdf</p><p>Com relação à perda de calor, para aletas infinitamente longos, temos:</p><p>Mão na massa</p><p>Questão 1</p><p>A parede composta de um forno possui três materiais, dos quais</p><p>dois têm condutividade térmica e</p><p>, espessura e</p><p>conhecidas. O terceiro material, , que se encontra entre os</p><p>materiais e , possui espessura conhecida, mas a</p><p>sua condutividade térmica é desconhecida. Sob condições de</p><p>operação em regime estacionário, medidas revelam uma</p><p>temperatura na superfície externa do forno de , uma</p><p>temperatura na superfície interna e uma temperatura</p><p>do ar no interior do forno . O coeficiente convectivo</p><p>interno é conhecido, sendo igual a . Qual é o valor</p><p>de , sabendo que o material está no interior do forno e o</p><p>material C na parte externa do forno?</p><p>Parabéns! A alternativa A está correta.</p><p>Q̇aleta,inf  = √h ⋅ p ⋅ k ⋅Ac ⋅ (Tb − T∞)</p><p>Q̇aleta,inf  = √(20) ⋅ (2 ⋅ 0, 05m+ 2 ⋅ 0, 001m) ⋅ (200) ⋅ (0, 001m ⋅ 0, 05m) ⋅ (313K − 293K)</p><p>Q̇aleta,inf  = 2, 86W</p><p></p><p>kA = 20W/m.K</p><p>kC = 50W/m.K LA = 0, 30m LC = 0, 15m</p><p>B</p><p>A C LB = 0, 15m</p><p>kB</p><p>Te = 20∘C</p><p>Ti = 600∘C</p><p>T∞ = 800∘C</p><p>h 25W/m2.K</p><p>kB A</p><p>A 1, 53W/mK</p><p>B 0, 57W/mK</p><p>C 2, 77W/mK</p><p>D 3, 61W/mK</p><p>E 10W/mK</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 42/69</p><p>Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no</p><p>campo Preparação.</p><p>Questão 2</p><p>Um aquecedor elétrico delgado está inserido entre um longo bastão</p><p>circular em um tubo concêntrico, com raios interno e externo iguais</p><p>a e respectivamente. O bastão possui uma</p><p>condutividade térmica de e o tubo</p><p>. A superfície externa do tubo está sujeita à</p><p>convecção com um fluido à temperatura e um</p><p>coeficiente de transferência de calor de . A superfície</p><p>externa do cilindro está a . Qual é a temperatura da</p><p>superfície externa do cilindro ? Considere comprimento unitário</p><p>do cilindro.</p><p>Parabéns! A alternativa B está correta.</p><p>Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no</p><p>campo Preparação.</p><p>Questão 3</p><p>Um vaso esférico, usado como um reator para produzir fármacos,</p><p>tem uma parede de aço inox com de</p><p>espessura e diâmetro interno de A superfície externa do vaso é</p><p>exposta ao ar ambiente , na qual um coeficiente</p><p>convectivo de pode ser admitido. Durante uma</p><p>operação em regime estacionário, uma temperatura da superfície</p><p>interna de é mantida pela geração de energia no interior do</p><p>reator. Qual é a perda de calor no reator?</p><p>20 40mm, (A)</p><p>kA = 0, 15W/m ⋅K (B)</p><p>kB = 1, 5W/m ⋅K</p><p>T∞ = −15∘C</p><p>50W/m2 ⋅K</p><p>B 5∘C</p><p>A</p><p>A 52∘C</p><p>B 23, 5∘C</p><p>C 10, 5∘C</p><p>D −12∘C</p><p>E 15∘C</p><p>(k = 17W/m ⋅ k) 10mm</p><p>1m.</p><p>(T∞ = 25∘C)</p><p>6W/m2K</p><p>50∘C</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 43/69</p><p>Parabéns! A alternativa C está correta.</p><p>Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no</p><p>campo Preparação.</p><p>Questão 4</p><p>Um bastão de latão com de</p><p>comprimento e de diâmetro se estende horizontalmente a</p><p>partir de uma solda a . O bastão encontra-se em um</p><p>ambiente com e . Qual é a</p><p>temperaturas no bastão a da solda numa condição de</p><p>convecção?</p><p>Parabéns! A alternativa D está correta.</p><p>Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão e veja o</p><p>feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo</p><p>Preparação.</p><p>A 154W</p><p>B 853W</p><p>C 489W</p><p>D 241W</p><p>E 55W</p><p>(k = 133W/m ⋅K) 100mm</p><p>5mm</p><p>200∘C</p><p>T∞ = 20∘C h = 30W/m2K</p><p>50mm</p><p>A 280K</p><p>B 200K</p><p>C 350K</p><p>D 400K</p><p>E 450K</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 44/69</p><p>Questão 5</p><p>Uma aleta plana fabricada com a liga de alumínio</p><p>tem uma espessura na base de</p><p>e um comprimento de . Sua temperatura na base</p><p>é de e ela está exposta a um fluido para o qual</p><p>e . Para as condições anteriores e</p><p>uma aleta de largura unitária, qual é a sua eficiência?</p><p>Parabéns! A alternativa A está correta.</p><p>Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no</p><p>campo Preparação.</p><p>Questão 6</p><p>Uma casa possui uma parede composta por uma placa de gesso</p><p>(exposto no lado interno, ), isolamento à</p><p>base de fibra de vidro (no meio, ) e uma</p><p>camada de madeira (exposto para o lado externo,</p><p>), as espessuras são e ,</p><p>respectivamente. Em um dia de frio de inverno, os coeficientes de</p><p>transferência de calor por convecção são e</p><p>. A área total da superfície da parede é de</p><p>. Qual é a perda total de calor através da parede?</p><p>2024(k = 185W/m ⋅K)</p><p>t = 3mm 15mm</p><p>Tb = 100∘C</p><p>T∞ = 20∘C h = 50W/m2K</p><p>A 0,98</p><p>B 0,95</p><p>C 0,90</p><p>D 0,85</p><p>E 0,88</p><p>k1 = 0, 17W/m ⋅K</p><p>k2 = 0, 038W/m ⋅K</p><p>k3 = 0, 12W/m ⋅K 10, 100 20mm</p><p>he = 60W/m2K</p><p>hi = 30W/m2K</p><p>350m2</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 45/69</p><p>Parabéns! A alternativa E está correta.</p><p>Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no</p><p>campo Preparação.</p><p>Teoria na prática</p><p>Um reator nuclear de alta temperatura com resfriamento a gás, formado</p><p>por uma parede cilindrica composta, na qual um elemento combustível</p><p>de tório , encontra-se envolto em grafite</p><p>e hélio gasoso escoa através de um canal anular de</p><p>resfriamento. Considere as condições nas quais a temperatura do hélio</p><p>é de e o coeficiente convectivo na superficíe externa do</p><p>grafite é de . A</p><p>configuração de dentro para fora é</p><p>tório e , grafite e hélio. Se a</p><p>energia térmica é gerada uniformemente no elemento combustivel, a</p><p>uma taxa de , qual é a temperatura na superficie interna</p><p>e externa do tório? Considere de comprimento do cilindro.</p><p>Falta pouco para atingir seus objetivos.</p><p>Vamos praticar alguns conceitos?</p><p>Questão 1</p><p>A 9, 4 × 10−3K/W</p><p>B 1, 9 × 10−3K/W</p><p>C 3, 9 × 10−3K/W</p><p>D 4, 9 × 10−3K/W</p><p>E 8, 3 × 10−3K/W</p><p>_black</p><p>(kt = 57W/mK)</p><p>(kg = 3W/mK)</p><p>T∞ = 600K</p><p>h = 2000W/m2.K</p><p>(r1 = 8mm r2 = 11mm) (r3 = 14mm)</p><p>1 × 108W/m3</p><p>1m</p><p>Mostrar solução</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 46/69</p><p>Analise as seguintes afirmações sobre a transferência de calor por</p><p>condução:</p><p>I. A resistência térmica por condução é totalmente independente</p><p>da condutividade térmica.</p><p>II. A condução de calor unidimensional em camadas cilíndricas</p><p>mediante resistências térmicas é dependente do raio.</p><p>III. As resistências térmicas são equivalentes às resistências</p><p>elétricas e podemos aplicar as mesmas propriedades de</p><p>circuitos elétricos.</p><p>Podemos afirmar que está correto o descrito em:</p><p>Parabéns! A alternativa D está correta.</p><p>Ao considerar a condução de calor unidimensional em camadas</p><p>cilíndricas, é possível ver por meio da equação a seguir que há</p><p>dependência das resistências em relação ao raio. Estas ainda são</p><p>equivalentes às resistências elétricas e, por isso, as mesmas</p><p>propriedades de circuitos elétricos podem ser aplicadas. Veja:</p><p>Questão 2</p><p>Analise as seguintes afirmações sobre a transferência de calor em</p><p>aletas:</p><p>I. Aletas são utilizadas para facilitar a transferência de calor ou</p><p>dissipação para o ambiente.</p><p>II. Aletas infinitas são aquelas em que a temperatura na ponta é</p><p>equivalente à temperatura ambiente.</p><p>A Somente I.</p><p>B Somente II.</p><p>C I e II.</p><p>D II e III.</p><p>E I, II e III.</p><p>Q̇cond,cil = −k ⋅A ⋅</p><p>dT</p><p>dr</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 47/69</p><p>III. Aleta com condição de temperatura isotérmica na ponta</p><p>significa que não transfere calor para o ambiente.</p><p>Podemos afirmar que está correto o descrito em:</p><p>Parabéns! A alternativa C está correta.</p><p>Aletas que não transferem calor para o ambiente desde a sua ponta</p><p>são aletas adiabáticas.</p><p>3 - Condução em estado não estacionário</p><p>Ao �nal deste módulo, você será capaz de resolver problemas uni e bidimensionais em estado</p><p>transiente pelo método de diferenças �nitas.</p><p>Vamos começar!</p><p>A Somente I.</p><p>B Somente II.</p><p>C I e II.</p><p>D II e III.</p><p>E I, II e III.</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 48/69</p><p>Como resolver problemas de</p><p>condução em estado não</p><p>estacionário?</p><p>Veja a seguir os principais pontos que serão abordados sobre o assunto.</p><p>Condução de calor unidimensional</p><p>em regime não estacionário</p><p>Até aqui, estudamos a transferência de calor unidimensional em estado</p><p>estacionário e a solução das equações, dada de forma exata. No</p><p>entanto, quando o problema se refere à transferência de calor</p><p>unidimensional em estado transiente, mais uma variável aparece, neste</p><p>caso, o tempo. A resolução exata é um pouco complicada e, portanto, o</p><p>uso de métodos numéricos, tal como o método de diferenças finitas, é o</p><p>que mais se aproxima de um resultado satisfatório.</p><p>Método de diferenças �nitas</p><p>Consiste em substituir as derivadas encontradas por diferenciais em</p><p>variáveis espaciais e resolvendo as temperaturas em distintos pontos,</p><p>chamados de nós. Nos problemas transientes, as temperaturas mudam</p><p>com o tempo, assim como com a posição. Desse modo, a solução, em</p><p>diferenças finitas, requer a discretização no tempo e no espaço.</p><p></p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 49/69</p><p>Método das diferenças dos nós.</p><p>Para resolver esses problemas, é preciso escolher um intervalo</p><p>apropriado de tempo, e resolver para as temperaturas nodais</p><p>desconhecidas várias vezes para cada até obter uma solução no</p><p>instante desejado.</p><p>Os nós e os elementos de volume nos problemas transientes são</p><p>considerados. Por conveniência, toda a transferência de calor é até o</p><p>elemento. O balanço de energia sobre um elemento de volume, durante</p><p>um intervalo de tempo, pode ser expresso como:</p><p>(calor transferido até o elemento de volume desde todas as superfícies</p><p>durante )</p><p>(calor gerado dentro do elemento de volume durante o )</p><p>mudança no conteúdo de energia interna do elemento de volume</p><p>durante )</p><p>Ou:</p><p>Onde a transferência de calor normalmente, consta de termos de</p><p>condução para os nós internos, mas pode compreender convecção,</p><p>fluxo de calor e radiação para os nós dos contornos.</p><p>Dado que o</p><p>onde é a densidade e é o calor específico do elemento, ao dividir a</p><p>relação anterior entre temos:</p><p>Ou para qualquer nó no meio e seu elemento de volume:</p><p>Δt,</p><p>Δt</p><p>Δt,</p><p>Δt</p><p>+ Δt</p><p>= (</p><p>Δt</p><p>Δt ⋅ ∑</p><p>todos os lados</p><p>Q̇+Δt ⋅ Ėger,elemento  = ΔEelemento</p><p>Q̇,</p><p>ΔEelemento  = m ⋅ CP ⋅ ΔT = ρ ⋅ Velemento  ⋅ CP ⋅ ΔT ,</p><p>ρ Cp</p><p>Δt,</p><p>∑</p><p>todos os lados</p><p>Q̇+ Ėger,elemento  =</p><p>ΔEelemento</p><p>Δt</p><p>= ρ ⋅ Velemento  ⋅ CP ⋅</p><p>ΔT</p><p>Δt</p><p>m</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 50/69</p><p>Onde são as temperaturas do nó nos instantes</p><p>e respectivamente, e representa a</p><p>mudança de temperatura do nó durante o intervalo de tempo entre</p><p>os intervalos de tempo e</p><p>Note que o último termo é simplesmente a</p><p>aproximação em diferenças finitas da derivada parcial</p><p>que aparece nas equações diferenciais dos</p><p>problemas em estado transiente.</p><p>As temperaturas nodais nos problemas transientes por comum variam</p><p>durante cada intervalo de tempo. Assim, dois métodos podem ser</p><p>utilizados:</p><p>Utiliza as temperaturas no prévio intervalo de tempo :</p><p>Utiliza a temperatura no novo intervalo de tempo :</p><p>Os dois métodos têm suas características, sendo o método explícito o</p><p>mais fácil de ser posto em prática. No entanto, coloca uma restrição</p><p>sobre o intervalo admissível de tempo para evitar instabilidades na</p><p>solução. Por outro lado, o método implícito requer que as temperaturas</p><p>nodais se resolvam simultaneamente, sem impor algum limite sobre a</p><p>magnitude do intervalo de tempo.</p><p>∑</p><p>todos os lados</p><p>Q̇+ Ėger, elemento  = ρ ⋅ Velemento  ⋅ CP ⋅</p><p>T i+1</p><p>m − T i</p><p>m</p><p>Δt</p><p>T i+1</p><p>m eT i</p><p>m m, ti = iΔt</p><p>ti+1 = (i+ 1)Δt T i+1</p><p>m − T i</p><p>m</p><p>Δt</p><p>i i+ 1.</p><p>∂T/∂t</p><p>Método explícito </p><p>i</p><p>∑</p><p>todos os lados</p><p>Q̇i + Ė i</p><p>ger,elemento  = ρ ⋅ Velemento  ⋅ CP ⋅</p><p>T i+1</p><p>m −</p><p>Δt</p><p>Método implícito </p><p>i+ 1</p><p>∑</p><p>todos os lados</p><p>Q̇i+1 + Ė i+1</p><p>ger,elemento  = ρ ⋅ Velemento  ⋅ CP ⋅</p><p>T i+1</p><p>m</p><p>Δ</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 51/69</p><p>Consideremos a condução de calor unidimensional em regime</p><p>transiente, em uma parede plana de espessura com geração de calor</p><p>que pode variar com o tempo e a posição, condutividade térmica</p><p>constante com um tamanho de malha tal que e os nós</p><p>na direção tal como se apresenta na imagem a</p><p>seguir:</p><p>Parede sofrendo condução de calor em regime transiente.</p><p>Sabendo que o elemento de volume de um nodo interior geral</p><p>compreende a condução de calor, desde dois de seus lados e o volume</p><p>do elemento é a formulação em diferenças finitas</p><p>no regime transiente para um nó interior pode ser expressa assim:</p><p>Ao cancelar a área superficial e multiplicar por obtemos:</p><p>Onde é a difusividade térmica do material da parede. Para a</p><p>continuação, definimos um número discreto de Fourier adimensional</p><p>como:</p><p>Então, a equação se reduz para:</p><p>L,</p><p>ė(x, t)</p><p>k, Δx = L/M</p><p>0, 1, 2… . ,M x,</p><p>m</p><p>Velemento  = A ⋅ Δx,</p><p>k ⋅A ⋅</p><p>Tm−1 − Tm</p><p>Δx</p><p>+ k ⋅A ⋅</p><p>Tm+1 − Tm</p><p>Δx</p><p>+ ėm ⋅A ⋅ Δx = ρ ⋅A ⋅ Δx ⋅ CP ⋅</p><p>T i+1</p><p>m − T i</p><p>m</p><p>Δt</p><p>A Δx/k,</p><p>Tm−1 − 2Tm + Tm+1 +</p><p>ėm ⋅ Δx2</p><p>k</p><p>=</p><p>Δx2</p><p>α ⋅ Δt</p><p>⋅ (T i+1</p><p>m − T i</p><p>m)</p><p>α =</p><p>k</p><p>ρ⋅Cp</p><p>τ =</p><p>α ⋅ Δt</p><p>Δx2</p><p>Tm−1 − 2Tm + Tm+1 +</p><p>ėm ⋅ Δx2</p><p>k</p><p>=</p><p>T i+1</p><p>m − T i</p><p>m</p><p>τ</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 52/69</p><p>Neste caso específico, para a parede plana, não foi definida a resolução</p><p>pelo método explícito ou implícito, o qual depende do intervalo de tempo</p><p>no primeiro membro da equação. Portanto:</p><p>Critério de estabilidade para o método explícito (limitação</p><p>sobre )</p><p>Com a finalidade de evitar as oscilações divergentes das temperaturas</p><p>nodais, o valor de deve-se manter abaixo de certo limite superior</p><p>determinado pelo critério de estabilidade. Vejamos os critérios a seguir:</p><p>Método explícito </p><p>T i+1</p><p>m = τ ⋅ (T i</p><p>m−1 + T i</p><p>m+1) + (1 − 2τ) ⋅ T i</p><p>m + τ ⋅</p><p>ėim ⋅ Δx</p><p>k</p><p>Método implícito </p><p>τ ⋅ T i+1</p><p>m−1 − (1 + 2τ) ⋅ T i+1</p><p>m + τ ⋅ T i+1</p><p>m+1 + τ ⋅</p><p>ėi+1</p><p>m ⋅ Δx2</p><p>k</p><p>+</p><p>Δt</p><p>Δt</p><p> Verificar que todos os coeficientes primários de</p><p>todas as nas expressões são maiores ou</p><p>iguais a zero em todos os nós</p><p>T i</p><p>m T i+1</p><p>m</p><p>m.</p><p> No caso de condução de calor unidimensional em</p><p>regime transiente, em uma parede plana com</p><p>temperaturas superficiais internas, usar:</p><p>τ =</p><p>α ⋅ Δt</p><p>Δx2</p><p>≤</p><p>1</p><p>2</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 53/69</p><p>A superfície superior de uma placa de latão se está resfriando mediante</p><p>um fluxo, a pressão de ar a uma temperatura de com um</p><p>coeficiente de transferência de calor por convecção de</p><p>A placa de latão de de espessura</p><p>tinha uma</p><p>temperatura inicial uniforme de ; além disso, a superfície inferior</p><p>da placa está isolada. Mediante um espaçamento nodal uniforme de</p><p>e um intervalo de tempo de determine as</p><p>temperaturas nodais da placa de latão após 10 segundos de</p><p>resfriamento utilizando o método implícito.</p><p>Superfície superior de uma placa de latão.</p><p>Precisamos realizar o balanço de energia para cada nó. Não temos</p><p>geração, mas temos convecção no ponto 0.</p><p>Ponto 0: no termo transiente, é a metade do volume do elemento</p><p>exposto à convecção.</p><p>Multiplicando pelos dois lados da equação por temos:</p><p>Substituindo no último termo e obtemos:</p><p> O método implícito é incondicionalmente estável,</p><p>portanto, qualquer intervalo de tempo pode ser</p><p>aplicado. Quanto menor o intervalo, maior a</p><p>precisão da solução.</p><p>15∘C</p><p>220W/m2∘C.</p><p>10cm (ρ = 8530kg/m3;Cp =</p><p>380J/kg∘C; k = 110W/m∘C;α = 33, 9 × 10−6m2/s)</p><p>650∘C</p><p>Δx = 2, 5cm Δt = 10s,</p><p>h ⋅ (T∞ − T i+1</p><p>0 ) + k ⋅</p><p>(T i+1</p><p>1 − T i+1</p><p>0 )</p><p>Δx</p><p>= ρ ⋅</p><p>Δx</p><p>2</p><p>⋅ Cp ⋅</p><p>(T i+1</p><p>0 − T i</p><p>0)</p><p>Δt</p><p>Δx/k,</p><p>h ⋅</p><p>Δx</p><p>k</p><p>(T∞ − T i+1</p><p>0 ) + T i+1</p><p>1 − T i+1</p><p>0 = ρ ⋅</p><p>Δx2</p><p>2k</p><p>⋅ Cp ⋅</p><p>(T i+1</p><p>0 − T i</p><p>0)</p><p>Δt</p><p>α = k/ρ ⋅ Cp τ = α⋅Δt</p><p>Δx2 ,</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 54/69</p><p>Agrupando por cada temperatura:</p><p>Ponto 1: é um ponto interno. Podemos utilizar diretamente a equação</p><p>implícita, o mesmo acontece para os pontos 2 e 3.</p><p>Ponto 2:</p><p>Ponto 3:</p><p>Ponto 4: No caso de ter uma parede isolada, temos uma condição de</p><p>taxa de transferência nula da parte de embaixo do ponto, que deve ser</p><p>considerada no balanço. Além disso, o termo transiente é a metade do</p><p>volume do elemento. Realizando o balanço, encontramos:</p><p>A pergunta é saber o valor da temperatura quando se passaram 10s, o</p><p>que significa que, na condição inicial, ou seja, i=0 temos a temperatura</p><p>uniforme e, após a primeira iteração é o ponto de</p><p>Portanto, vamos substituir nas cinco equações implícitas os</p><p>valores constantes.</p><p>(h ⋅</p><p>Δx</p><p>k</p><p>) ⋅ T∞ − (h ⋅</p><p>Δx</p><p>k</p><p>) ⋅ T i+1</p><p>0 + T i+1</p><p>1 − T i+1</p><p>0 =</p><p>1</p><p>2τ</p><p>⋅ (T i+1</p><p>0 − T i</p><p>0)</p><p>2τ ⋅ T i+1</p><p>1 − [1 + 2τ + 2τ ⋅ (h ⋅</p><p>Δx</p><p>k</p><p>)] ⋅ T i+1</p><p>0 + (h ⋅</p><p>Δx</p><p>k</p><p>) ⋅ T∞ + T i</p><p>0 = 0</p><p>τ ⋅ T i+1</p><p>m−1 − (1 + 2τ) ⋅ T i+1</p><p>m + τ ⋅ T i+1</p><p>m+1 + τ ⋅</p><p>ėi+1</p><p>m ⋅ Δx2</p><p>k</p><p>+ T i</p><p>m = 0</p><p>τ ⋅ T i+1</p><p>0 − (1 + 2τ) ⋅ T i+1</p><p>1 + τ ⋅ T i+1</p><p>2 + T i</p><p>1 = 0</p><p>τ ⋅ T i+1</p><p>1 − (1 + 2τ) ⋅ T i+1</p><p>2 + τ ⋅ T i+1</p><p>3 + T i</p><p>2 = 0</p><p>τ ⋅ T i+1</p><p>2 − (1 + 2τ) ⋅ T i+1</p><p>3 + τ ⋅ T i+1</p><p>4 + T i</p><p>3 = 0</p><p>k ⋅</p><p>(T i+1</p><p>3 − T i+1</p><p>4 )</p><p>Δx</p><p>+ 0 = ρ ⋅</p><p>Δx</p><p>2</p><p>⋅ Cp ⋅</p><p>(T i+1</p><p>4 − T i</p><p>4)</p><p>Δt</p><p>T i+1</p><p>3 − T i+1</p><p>4 = ρ ⋅</p><p>Δx2</p><p>2k</p><p>⋅ Cp ⋅</p><p>(T i+1</p><p>4 − T i</p><p>4)</p><p>Δt</p><p>T i+1</p><p>3 − T i+1</p><p>4 =</p><p>1</p><p>2τ</p><p>⋅ (T i+1</p><p>4 − T i</p><p>4)</p><p>2τ ⋅ T i+1</p><p>3 − (1 + 2τ) ⋅ T i+1</p><p>4 + T i</p><p>4 = 0</p><p>650∘C (Δt = 10s)</p><p>i+ 1.</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 55/69</p><p>Obs.: nesses problemas de diferenças finitas, não tem problema</p><p>trabalhar as temperaturas em devido à simplificação da conversão</p><p>(273K) nos</p><p>Veja que, segundo o critério, o método explícito não poderia ser usado</p><p>neste caso ). Então, substituindo os termos constantes nas</p><p>equações as equações implícitas, do ponto 0 até o 4:</p><p>Temos um sistema de 5 equações lineares com 5 incógnitas. Assim,</p><p>resolvendo em qualquer simulador on-line, encontramos que as</p><p>temperaturas após 10 segundos são:</p><p>Condução bidimensional de calor em</p><p>regime transitório</p><p>Consideremos uma região retangular onde a condução de calor é</p><p>significativa nas direções e e considere uma profundidade unitária</p><p>de na direção Pode ser gerado calor no meio com uma</p><p>velocidade de a qual pode variar com o tempo e a posição,</p><p>supondo condutividade térmica constante</p><p>Posteriormente, dividimos o plano da região em uma malha</p><p>retangular de pontos nodais espaçados com uma separação e</p><p>nas direções e respectivamente, e consideremos um nodo interior</p><p>geral cujas coordenadas são e como</p><p>mostra a imagem:</p><p>∘C</p><p>ΔT .</p><p>τ =</p><p>α ⋅ Δt</p><p>Δx2</p><p>=</p><p>33, 9 × 10−6 ⋅ 10</p><p>0, 0252</p><p>= 0, 5424</p><p>(τ ≥ 0, 5</p><p>1, 0848 ⋅ T i+1</p><p>1 − 2, 139 ⋅ T i+1</p><p>0 + 650, 81 = 0</p><p>0, 5424 ⋅ T i+1</p><p>0 − 2, 0848 ⋅ T i+1</p><p>1 + 0, 5424 ⋅ T i+1</p><p>2 + 650 = 0</p><p>0, 5424 ⋅ T i+1</p><p>1 − 2, 0848 ⋅ T i+1</p><p>2 + 0, 5424 ⋅ T i+1</p><p>3 + 650 = 0</p><p>0, 5424 ⋅ T i+1</p><p>2 − 2, 0848 ⋅ T i+1</p><p>3 + 0, 5424 ⋅ T i+1</p><p>4 + 650 = 0</p><p>1, 0848 ⋅ T i+1</p><p>3 − 2, 0848 ⋅ T i+1</p><p>4 + 650 = 0</p><p>T i+1</p><p>0 = 631, 23∘C</p><p>T i+1</p><p>1 = 644, 73∘C</p><p>T i+1</p><p>2 = 648, 51∘C</p><p>T i+1</p><p>3 = 649, 55∘C</p><p>T i+1</p><p>4 = 649, 76∘C</p><p>x y,</p><p>Δz = 1 z.</p><p>ė(x, y, z),</p><p>k.</p><p>x− y</p><p>Δx Δy</p><p>x y,</p><p>(m,n) x = mΔx y = nΔy,</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 56/69</p><p>Malha retangular de pontos nodais.</p><p>Dado que o elemento de volume centrado em torno do nodo interior</p><p>geral compreende condução de calor desde os quatro lados</p><p>(direito, esquerdo, superior e inferior) e o elemento de volume é</p><p>a formulação em diferenças</p><p>finitas, em regime transitório para um nodo deste tipo, pode ser</p><p>expressa da mesma forma que o balanço de energia descrito no modo</p><p>unidimensional:</p><p>Quando se toma uma malha quadrada e se divide</p><p>cada termo entre obtemos:</p><p>Da mesma forma que o caso unidimensional, podemos obter as</p><p>expressões para os métodos implícito e explícito:</p><p>Implícito</p><p>Explícito</p><p>Existe também aqui o critério de estabilidade para o método explícito:</p><p>(m,n)</p><p>Velemento  = Δx ⋅ Δy ⋅ 1 = Δx ⋅ Δy,</p><p>k ⋅ Δy ⋅ Tm−1,n−Tm,n</p><p>Δx</p><p>+ k ⋅ Δx ⋅ Tm,n+1−Tm,n</p><p>Δy</p><p>+ k ⋅ Δy ⋅ Tm+1,n−Tm,n</p><p>Δx</p><p>+ k ⋅ Δx ⋅ Tm,n−1−Tm,n</p><p>Δy</p><p>+ ėm,n ⋅ Δx ⋅</p><p>= ρ ⋅ Δx ⋅ Δy ⋅ CP ⋅</p><p>T i+1</p><p>m − T i</p><p>m</p><p>Δt</p><p>(Δx = Δy = l)</p><p>k,</p><p>Tesq + Tsup  + Tdir  + Tinf  − 4Tnó +</p><p>ėnó ⋅ l2</p><p>k</p><p>=</p><p>T i+1</p><p>no − T i</p><p>nó</p><p>τ</p><p>T i</p><p>esq + T i</p><p>sup + T i</p><p>dir + T i</p><p>inf − 4T i</p><p>nó +</p><p>ėinó ⋅ l</p><p>2</p><p>k</p><p>=</p><p>T i+1</p><p>no − T i</p><p>nó</p><p>τ</p><p>T i+1</p><p>no = τ ⋅ (T i</p><p>esq + T i</p><p>sup + T i</p><p>dir + T i</p><p>inf ) + (1 − 4τ) ⋅ T i</p><p>nó + τ ⋅</p><p>ėinó ⋅ l</p><p>2</p><p>k</p><p>23/08/2024, 13:55 Transferência de calor por condução</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html?brand=estacio# 57/69</p><p>Consideremos uma barra sólida,</p><p>) de seção transversal</p><p>quadrada que está inicialmente a uma temperatura uniforme de</p><p>A seção transversal da barra tem um tamanho e se gera</p><p>calor nela de forma uniforme, com uma velocidade de</p><p>Os quatro lados da barra estão sujeitos à</p><p>convecção com ar com uma temperatura ambiente de</p><p>coeficiente de transferência de calor Utilizando o método</p><p>explícito das diferenças finitas com um tamanho de malha de</p><p>determine</p>