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GEOMETRIA ANALÍTICAGEOMETRIA ANALÍTICA
NÚCLEO BÁSICO DE ENGENHARIA
DISCIPLINA: GEOMETRIA ANALÍTICA
PROF. MSC. JULIERME GOMES CORREIA DE OLIVEIRA - 40H
1. PROFESSOR NA NET: juliermegco@yahoo.com.br
2. EMENTA: Vetores. A reta. Estudo do plano. Estudo das cônicas. Estudo das quádricas.
3. COMPETÊNCIAS ESPECÍFICAS: 
• Operação com Vetores;
• Análise e operação com Retas;
• Análise e operação com Planos;
• Análise e operação com as Cônicas;
4. ATIVIDADES DE COMPLEMENTAÇÃO DE CARGA-HORÁRIA: 
Os alunos deverão apresentar, no final da disciplina, um único trabalho apresentando todos os exercícios 
propostos nas listas de exercícios entregues no início de cada aula.
BIBLIOGRAFIA
Livros-Textos:
1. STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P.. Geometria Analítica, 2a ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987.
2. WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica, 1a ed. São Paulo: PEARSON EDUCATION DO BRASIL, 2000.
Livros Complementares:Livros Complementares:
1. BOULOS, P. Introdução à Geometria Analítica no espaço. São Paulo: PEARSON EDUCATION DO BRASIL, 1997.
2. CAMARGO, I.; BOULOS, P.. Geometria Analítica, um tratamento vetorial, 3a ed. São Paulo: Prentice Hall, 2005.
ATENÇÃO
Este material não deve ser utilizado como 
material de estudo, ele é apenas um guia para o 
acompanhamento das aulas. É imprescindível 
que o aluno utilize a bibliografia sugerida.
VETORESVETORES
O que é um Vetor?O que é um Vetor?O que é um Vetor?O que é um Vetor?
“É um ente matemático representado por um 
segmento de reta orientado”. 
�Módulo
Módulo
Sentido
Direção da
Reta Suporte
�Módulo
�Direção
�Sentido 
Seja um segmento orientado de origem
no ponto A e extremidade no ponto B:
Representação de vetores:
v
A(xA,yA)
B(xB,yB)
Este vetor é representado por AB ou AB ou v:
O módulo de AB é representado por AB ou | v | e calculado por:
( ) ( ) ( ) , , ,B B A A B A B A
v AB B A
x y x y x x y y
= = −
= − = − −
� ����
( ) ( ) ( )2 2,B A B A B A B Av x x y y x x y y= − − = − + −
�
Exemplo*: Dados os pontos A( 2 , 3 ) e B( 5 , 7 ),
obtenha um vetor v formado por AB. Calcule o
módulo de v.
( 2 , 3 )A
( 3 , 4 )v =
�
( 2 , 3 )
( 5 , 7 )
 ( 5 , 7 ) ( 2 , 3 ) ( 5 2 , 7 3 )
( 3 , 4 )
A
B
v AB B A
v
= = −
= − = − −
=
� ����
�
2 2
( 3 , 4 )
 3 4
 9 16
 25
5
v
v
=
= +
= +
=
=
�
Sejam dois vetores u = (xu , yu) e v = (xv , yv), a operação da
soma e da subtração está definida algebricamente por:
Soma Vetorial (método algébrico):
( ) ( )
( )
:
, ,
 ,
u u v v
u v u v
Soma
u v x y x y
x x y y
+ = +
= + +
� �
( ) ( )
( )
Subtração:
, ,
 ,
u u v v
u v u v
u v x y x y
x x y y
− = −
= − −
� �
Exemplo: Dados os vetores u, v e w, e sabendo 
que:
u = (4 , 0);
v = (4 , 4);
Soma Vetorial (método gráfico):
v = (4 , 4);
w = (4 ,-8);
Obtenha graficamente o vetor S, onde:
S = u + v + w
u = (4,0)
4
4 4
-8u = (4,0) -8
-4
12
Seja um vetor v = (xv , yv), é possível obter um vetor w,
múltiplo de v, usando a propriedade da multiplicação por
escalar:
Multiplicação por Escalar:
( )
( )
( )
Seja n R:
 
 , onde:
 ,
 ,
w v
w w
w vv v
v v
w n v x n x
w x y
y n yn x y
n x n y
∈
= ⋅ = ⋅
→ = 
= ⋅= ⋅ 
= ⋅ ⋅
�� �
��
Seja w, um vetor múltiplo de v, ou seja, w = n·v (nœR),
então:
1) Módulo: O módulo de w necessariamente será um
Propriedades da Multiplicação por escalar:
1) Módulo: O módulo de w necessariamente será um
múltiplo do módulo de v, ou seja, |w| = n·|v|;
2) Direção: A direção de w é a mesma direção de v;
3) Sentido: O sentido de w será determinado pelo sinal de
n.
n = 2
v = (1,1)
w = 2 v
Exemplo:
y
2
w = 2 v
w = ? 
0 1 2 x
1
w = (2,2) 
v = (1,1) 
O ângulo entre dois 
vetores u e v , não 
Ângulo Entre Vetores:
s
nulos, é o ângulo 
formado pelas semi-
retas que dão 
direção aos mesmos.
u
θ r
0 ≤ θ ≤ π
v
Se θ = 0:
θ = 0 •Mesma direção
Vetores Colineares: 
Ângulo Entre Vetores:
θ = 0 •Mesma direção
•Mesmo sentido
Se θ = π
θ = π •Mesma direção
• Sentidos opostos
θ = π /2:
Vetores Ortogonais: 
u
Ângulo Entre Vetores:
u
v
Propriedades dos Vetores 
Ortogonais: 
1. | u + v |2 = |u|2 + |v|2
2. Se u é ortogonal a v, u também é ortogonal a um múltipo 
de v;
Decomposição de um Vetor no Plano (R²):
“Qualquer vetor v contido em um plano poderá ser 
decomposto em qualquer conjunto de dois vetores 
não colineares contidos no mesmo plano ”. 
w = n·u + m·v
w
Projeção de w sobre u
m·v
v
u
w
n·u
Projeção de w sobre v
w = n·u + m·v
“Qualquer conjunto de dois vetores não colineares, 
são uma base para o plano.”
Base para o Plano (R²):
são uma base para o plano.”
βR² = { v1 , v2 }
v = (x, y)
Ordenada
Abscissa
y
Base Canônica do Plano (R²):
“A partir de agora, quando 
x
j
i
(0, 1)
( 1, 0)
falarmos em base do plano 
(R²), estaremos nos 
referindo à base canônica.”
βR² = { i , j }
Expressão Analítica de um vetor no Plano:
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
 , 
 , 0 0 , 
1 , 0
v x y
x y
i
=
= +
 =
�
�
( ) ( )
( )
( )
( )
1 , 0
 1 , 0 0 , 1 :
0 , 1
 , 
i
x y mas
j
v x y x i y j
 =
= ⋅ + ⋅ 
=
= = ⋅ + ⋅
�
� � �
Dois vetores u = (x1, y1) e v = (x2, y2) são iguais se e somente se 
x1 = x2 e y1 = y2, e escreve-se que u = v;
Exemplo:
Sejam os vetores u = ( x+1 , 4 ) e v = ( 5 , 2y-6 ),
de acordo com a definição de igualdade de vetores,
encontre o valor de x e y na qual u = v.encontre o valor de x e y na qual u = v.
( ) ( )
 
1 , 4 5 , 2 6
1 5 4
 
2 6 4 5
u v
x y
x x
y y
=
+ = −
+ = =
→
− = =
� �
“Todos os estudos feitos no espaço (R³) é análogo ao estudo 
realizando no plano (R²), considerando as devidas 
adequações”. 
Decomposição de um Vetor no Espaço (R³):
No espaço, qualquer conjunto {v1, v2, v3} de 3 vetores 
NÃO COPLANARES e NÃO COLINEARES entre si é 
uma base para o R³
t = k·u + m·v + n·w βR³ = { u , v , w}
Base Canônica do Espaço (R³):
z
v = (x, y, z)
Cota
x
j
i
( 1, 0, 0)
y
k
( 0, 1, 0)
( 0, 0, 1)
βR³ = { i , j, k }
Ordenada
Abscissa
Cota
Expressão Analítica de um vetor no Espaço:
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
 , , 
 ,0,0 0, ,0 0,0, 
1,0,0
 1,0,0 0,1,0 0,0,1 : 0,1,0
v x y z
x y z
i
x y z mas j
=
= + +
 =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ =
�
�
�
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
 1,0,0 0,1,0 0,0,1 : 0,1,0
0,0,1
 , , 
x y z mas j
k
v x y z x i y j z k

= ⋅ + ⋅ + ⋅ =

=
= = ⋅ + ⋅ + ⋅
�
�
� � � �
No espaço (R³), dois vetores u = (x1, y1 , z1) e v = (x2, y2 , z2) são 
paralelos entre si, se e somente se: 1 1 1
2 2 2
x y z
x y z
= =
1. u + v = v + u;
2. (u + v) + w = u + (v + w)
3. u + 0 = u
Operações com vetores:
3. u + 0 = u
4. u + (-u) = 0
5. m·(n·v) = (m·n)·v (n e m œ R)
6. (m+n)·v = n·v + m·v (n e m œ R)
7. n·(u + v) = n·u + n·v (n œ R)
Exemplo: Determine o vetor w = (x,y,z) para que a
igualdade 3w + 2u = 4 v – w seja satisfeita, sabendo
que u = (3, -1,0) e v = (-2, 4,1).
( )
( )
( )
( )
3 , 1 , 0 2 6 , 2 , 0
 
4 8 , 16 , 42 , 4 , 1
 3 2 4
 3 4 2
u u
vv
w u v w
w w v u
= − = −
→ 
= −= − 
+ = −
+ = −
� �
��
�� � � ��
�� �� � �
( ) ( )
( )
( )
4 8 , 16 , 4 6 , 2 , 0
4 14 , 18 , 4
1
14 , 18 , 4
4
7 9
 , , 1 
2 2
w
w
w
w
= − − −
= −
= −
− =  
 
��
��
��
��
Exemplo: Determine os valores de m e n para que
os vetores sejam paralelos :
u = ( m+1 , 3 , 1 ) e v = ( 4 , 2 , 2n-1 )
 // :Se u v
� �
 // :
1 3 1
4 2 2 1
1 3
1 6 5
4 2
 2 5
1 3 2 1 
3 6
2 1 2
Se u v
m
n
m
m m
n n
n
+
= =
−
+ + = ∴ ==
→
− = ∴ = =
 −
PRODUTO ENTRE VETORESPRODUTO ENTRE VETORESPRODUTO ENTRE VETORESPRODUTO ENTRE VETORES
•Produto Escalar
•Produto Vetorial
•Produto Misto
“ Chama-se produto escalar, ou produto interno, aoperação na qual se obtêm um número real a partir 
de dois vetores.”
Produto Escalar:
de dois vetores.”
Sejam os vetores u e v tal que: 
( )
( )
 , , 
 , , 
u u u
v v v
u x y z
v x y z
 =

=
�
�
( ) ( ) , , , , u u u v v v u v u v u vu v x y z x y z x x y y z z⋅ = ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅
� �
1. u · u ≥ 0
2. u · v = v · u
3. w · ( u + v ) = ( w · u ) + ( w · v ) 
Propriedades do Produto Escalar:
3. w · ( u + v ) = ( w · u ) + ( w · v ) 
4. (mu ) · v = m( u · v ) = u · ( mv ) (m œ R)
5. u · u = | u |²
6. cos θ = 
u v
u v
⋅
� �
� �
“ Chama-se produto vetorial a operação entre dois 
vetores na qual se obtêm um terceiro vetor 
ortogonal a estes dois vetores.”
Produto Vetorial:
ortogonal a estes dois vetores.”
Sejam u e v:
( )
( )
 , , 
 , , 
u u u
v v v
u x y z
v x y z
 =

=
�
�
 det u u u
v v v
i j k
u v x y z
x y z
× =
� � �
� �
1. u x u = 0
2. u x v = ─ ( v · u )
Propriedades do Produto Vetorial:
3. w x ( u + v ) = ( w x u ) + ( w x v ) 
4. (mu ) x v = m( u x v ) = u x ( mv ) (m œ R)
5. u x v = 0 apenas se u ou v é nulo ou se os 
mesmos são colineares.
6. u x v é ortogonal a u e a v;
7. Identidade de Lagrange: | u x v |² = |u|²|v|²- ( u · v )²
8. | u x v | = |u||v| sen θ
Propriedades do Produto Vetorial:
8. | u x v | = |u||v| sen θ
9. u x ( v x w ) ≠ (u x v ) x w
10. O módulo do produto vetorial de dois vetores mede 
a área do paralelogramo formado por eles; A = |u x v|
u 
v 
Produto Misto:
( )
( )
( )
 , , 
 , , 
u u u
v v v
u x y z
v x y z
 =

=

�
�
��
Sejam u, v e w:
( ) , , w w ww x y z

=
��
( )( , , ) det 
u u u
v v v
w w w
x y z
u v w u v w x y z
x y z
= ⋅ × =
� � �� � � ��
1. A única maneira do produto misto entre três vetores ser
nulo é se um destes vetores é o próprio vetor nulo, se dois
destes vetores são colineares, ou se os três vetores são
Propriedades do Produto Misto:
destes vetores são colineares, ou se os três vetores são
coplanares.
2. Ordem cíclica: ( u , v , w ) = ( v , w , u ) = ( w , u , v )
3. Ordem acíclica: ( u , v , w ) = ─ ( v , u , w )
4. ( u, v , w1 + w2) = ( u, v , w1) + ( u , v , w2 )
5. ( nu , v , w ) = ( u , nv , w ) = ( u , v , nw )
Propriedades do Produto Misto:
6. Geometricamente, o valor absoluto
produto misto de três vetores é igual ao
volume do paralelepípedo formado por
eles.
u 
v 
v 
V = |( u, v, w )|
Exercício: Dados os vetores u e v, e os pontos A e 
B, determine o valor de n tal que: u · ( v + BA) = 5
(4 , 1 , 2) (3 , 2 , 1) (4 , , 1) ( , 2 , 3)A B u n v n− − = − =
� �
( ) (4 , , 1) ( 1 , 1 , 6)u v BA n n• ⋅ + = − ⋅ + −
� � ����
 (4 , 1 , 2) (3 , 2 , 1)
 (1 , 3 , 3)
 ( , 2 , 3) (1 , 3 , 3)
 ( 1 , 1 , 6)
BA
v BA n
n
• = − − −
= −
• + = + −
= + −
����
� ����
( )
( ) ( ) ( )
 (4 , , 1) ( 1 , 1 , 6)
 4 1 1 1 6
 4 4 6
 3 2
3 2 5
7
3 7 n
3
u v BA n n
n n
n n
n
n
n
• ⋅ + = − ⋅ + −
= ⋅ + + ⋅ − + − ⋅
= + − −
= −
− =
= ∴ =
Exercício: Calcule o ângulo entre os vetores 
u=(1 , 1 , 4) e v=(-1 , 2 , 2)
2 2 2
 (1 , 1 , 4) 
 1 1 4 18 3 2
u
u
• =
= + + = =
��
��
( )( )
9
cos
3 2 3
u v
u v
θ
⋅
= =
� �
� �
( )
( )
2 2 2
 ( 1 , 2 , 2)
 1 2 2 9 3
 (1 , 1 , 4) ( 1 , 2 , 2)
 1 1 1 2 4 2
 9
v
v
u v
• = −
= − + + = =
• ⋅ = ⋅ −
= ⋅ − + ⋅ + ⋅
=
�
�
�� �
( )( )3 2 3
9
 
9 2
1
 
2
2
 45 
2
o
u v
θ
=
=
= → =
Exercício: Calcule um vetor w ortogonal aos vetores
u=(1 , 1 , 4) e v=(-1 , 2 , 2) simultaneamente
det 1 1 4
1 2 2
i j k
w u v= × =
−
� � �
�� � �
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
1 2 2
 1 2 2 4 1 2 ( 1) 4 1 2 ( 1) 1
 2 8 2 4 2 1
 6 6 3
 6 , 6, 3 
i j k
i j k
i j k
w
−
= ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅ + ⋅ − − ⋅
= − − + + +
= − − +
= − −
� � �
� � �
� � �
��
Exercício: Calcule a área do paralelogramo formado 
pelos vetores u=(1 , 1 , 4) e v=(-1 , 2 , 2)
( )Do exercício anterior: 6 , 6, 3u v× = − −
� �
� �
( ) ( )
,
2 2 2
,
 6 6 3
 36 36 9
 81
 9 
u v
u v
A u v
A
= ×
= − + − +
= + +
=
=
� �
� �
� �
Exercício: Calcule o volume do paralelepípedo formado 
pelos vetores u=(1 , 1, 4) , v=(-1 , 2, 2) e w=(-2 ,-2, 3)
( )
1 1 4
, , det 1 2 2
2 2 3
u v w = −
− −
� � ��
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 3
 1 2 3 ( 2) 2 1 ( 1) 3 ( 2) 2 4 ( 1) ( 2) ( 2) 2
 6 4 3 4 4 2 4
 10 1 4 6
 10 1 24
 33
 
− −
= ⋅ ⋅ − − ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅ + ⋅ − ⋅ − − − ⋅
= + − − + + ⋅ +
= − + ⋅
= − +
=
( ), , , , , , 33 u v w u v wV u v w V= ∴ =� � �� � � ��
� � ��
A RETAA RETAA RETAA RETAA RETAA RETAA RETAA RETA
P(x, y, z)
r
Equação Vetorial da Reta:
A(x1, y1, z1)
v = (a, b, c) 
i j
k
1 1 1
AP = t v
(x, y, z) = (x , y , z ) + t(a, b, c)
���� �
Exercício: a)Determine a Equação Vetorial da Reta que
passa pelo ponto A(3, 0, 5) e tem a direção do vetor
v = 2i + 2j – k; b) O Ponto P(7, 4, -7) pertence a
esta reta?
) ( , , )a P x y z
) (7, 4, 7)
 r: ( , , ) (3,0,5) (2, 2,1)
b P
x y z t
−
= +
 (3,0,5)
 (2, 2,1)
 
 
 
( , , ) (3,0,5) (2, 2,1)
A
v
AP t v
P A t v
P A t v
x y z t
=
=
− =
= +
= +
�
����� �
�
�
 r: ( , , ) (3,0,5) (2, 2,1)
 r ?
(7, 4, 7) (3,0,5) (2, 2,1)
(7, 4, 7) (3,0,5) (2, 2,1)
(4, 4, 12) (2 , 2 , )
2 4 2 
 2 4 2 FALSO!
12 12
x y z t
P
t
t
t t t
t t
t t
t t
= +
∈
− = +
− − =
− =
= → =

= → =
 = − → = −
P(x, y, z)
r
Equação Paramétrica da Reta:
(x, y, z) = (x , y , z ) + t(a, b, c)
A(x1, y1, z1)
v = (a, b, c) 
i j
k
1 1 1
1 1 1
1
1
1
(x, y, z) = (x , y , z ) + t(a, b, c)
(x, y, z) = (x + at , y +bt , z +ct) 
 
x = x + at
 y = y + bt 
z = z + ct
↓





Exercício: a) Determine a Equação paramétrica da
Reta que passa pelo ponto A(3, -1, 2) e paralela ao
vetor v=–3i–2j+k; b) O Ponto Q(0, 3, 1) pertencem
a esta reta?
) ( , , ) (3, 1,2) (3, 2,1)a P x y z A v− = −
�
) (0,3,1)
3 3 
b Q
x t= +
) ( , , ) (3, 1,2) (3, 2,1)
. Vetorial: ( , , ) (3, 1, 2) (3, 2,1)
 ( , , ) (3, 1,2) (3 , 2 , )
 ( , , ) (3 3 , 1 2 ,2 )
3 3 
. Paramétrica:
a P x y z A v
Eq x y z t
x y z t t t
x y z t t t
x t
Eq y
− = −
= − + −
= − + −
= + − − +
= +
= 1 2
2 
t
z t


− −
 = +
3 3 
 r: 1 2
2 
 r ?
0 3 3 1
3 1 2 1 ok, Q r!
1 2 1
x t
y t
z t
P
t t
t t
t t
= +

= − −
 = +
∈
= + = −

= − − → = − ∈
 = + = −
P(x, y, z)
r
Equação Simétrica da Reta:
1
1
1
1
t = 
x = x + at
 y = y + bt t = 
x x
a
y y
−

 
− 
→ 
A(x1, y1, z1)
v = (a, b, c) 
i j
k
1
1
1
1 1 1
 y = y + bt t = 
z = z + ct
t = 
 
 
 
a
z z
a
x x y y z z
a b c
→ 
 
 −

↓
− − −
= =
Exercício: Determine a Equação simétrica da Reta que
passa pelo ponto A(3, 0, -5) e tem a direção do
vetor v = 2i + 2j - k.
( , , ) (3,0, 5) (2, 2, 1)
3
P x y z A v
x
− = −
− =
�
3
23 2 3 2 
. Paramétrica: 2 2 
2
5 5 
5
1
3
. Simétrica: 
2
x
t
x t x t
y
Eq y t y t t
z t z t
z
t
x
Eq t
− =
= + − =  
  
= → = → =  
  = − − + = −  +
= −
−
=
5
 
2 1
y z +
= =
−
P(x, y, z)
r
Equação Reduzida da Reta:
A(x1, y1, z1)
v = (a, b, c) 
i j
k
1 1 1
1 1
1 1
 
 
 
 
x x y y z z
a b c
x x y y
y mx na b
x x z z z px q
a c
− − −
= =
↓
− − = = +
→ 
− − = + =

Exercício: Determineas Equações Reduzidas da Reta
que passa pelos pontos A(2, 1, -3) e B(4, 0, -2).
(2,1, 3) (4,0, 2)
(2, 1,1) 
2 1 3
 . Simétrica: 
2 1 1
A B
AB
x y z
Eq
− −
= −
− − +
= =
−
����
2 1 1
2 1
2 1
 
2 3
2 1
x y
x z
−
− − = −

− + =

2 2 2 2 4
 
2 2 6 2 8
4
2
 . Reduzida: 
8
 
2
x y y x
x z z x
x
y
Eq
x
z
− + = − = − + 
→ → 
− = + = − 
− + =

− =

1. Retas podem ser paralelas aos planos e aos eixos
coordenados;
z
 y y=
z
z
Propriedades das Retas:
x
z
y
x1
z1
y1
A
r
1
1 1
 y y
x x z z
a c
=

− −
=
x
x1
z1
y
A r
j
1
1
1
 x x
y y bt
z z
=
 = −
 =
2. É possível Calcular o ângulo entre duas retas usando o
produto escalar;
3. Duas retas são paralelas quando quaisquer dois vetores
Propriedades das Retas:
3. Duas retas são paralelas quando quaisquer dois vetores
pertencentes às mesmas obedecem a regra de paralelismo
entre dois vetores.
4. Duas retas são ortogonais entre si quando quaisquer dois
vetores pertencentes às mesmas são ortogonais;
5. Condição de coplanaridade de duas retas:
Propriedades das Retas:
A1
A2
r1
r2
v2
v1
A1A2
( )1 2 1 2, , 0v v A A =
�� ��� �����
O PLANOO PLANOO PLANOO PLANOO PLANOO PLANOO PLANOO PLANO
Equação Cartesiana do Plano
n = (a, b, c) 
P(x, y, z)
A(x1, y1, z1)
z
i j
k πn
A(x1, y1, z1)
0n AP⋅ =
� ����
y
x ( ) ( ) ( )1 1 1 0 a x x b y y c z z− + − + − =
Exercício: Determine a equação geral do plano π que
passa pelo ponto A(2, -1, 3), sendo n = 3i + 2j – 4k
um vetor normal a π.
( , , ) (2, 1,3) (3, 2, 4)
( 2, 1, 3)
P x y z A n
AP x y z
− = −
= − + −
�
����
( 2, 1, 3)
0
(3,2, 4) ( 2, 1, 3) 0
3( 2) 2( 1) 4( 3) 0
3 6 2 2 4 12 0 : 3 2 4 16 0 
AP x y z
n AP
x y z
x y z
x y z x y zπ
= − + −
⋅ =
− ⋅ − + − =
− + + − − =
− + + − − = → + − − =
����
� ����
π
z
A
u
v tv
( ) ( )
( ) ( )
0 0 0 1 1 1
2 2 2
, , , ,
, , , ,
A x y z u a b c
P x y z v a b c
=
=
�
�
Equação Paramétrica do Plano
i j
k
AP hu tv= +
���� � �
y
x
0 1 2
0 1 2
0 1 2
x x a h a t
y y b h b t
z z c h c t
= + +

= + +
 = + +
Phu
Exercício: Determine a equação paramétrica do plano
π que passa pelo ponto A(2, -1, 3), e que contém os
vetores u = -3i - 3j + k e v = (2, 1, -2)
( , , ) (2, 1,3) ( 3, 3,1) (2,1, 2)P x y z A u v
AP hu tv
− = − − = −
= +
� �
���� � �
� �
 ( , , ) (2, 1,3) ( 3, 3,1) (2,1, 2) 
 ( , , ) (2 3 2 , 1 3 , 3
AP hu tv
P A hu tv
P A hu tv x y z h t
x y z h t h t h
= +
− = +
= + + → = − + − − + −
= − + − − + +
� �
� �
2 )
 
2 3 2
 : 1 3 Equação Paramétrica
3 2
t
x h t
y h t
z h t
π
−
= − +

= − − +
 = + −
Ângulo entre uma Reta e um Plano
cos
n v
φ
⋅
=
� �
� �n
r
0
cos
90
n v
φ
θ φ
=
= −
� �n
π
v
φ
θ
Ângulo entre dois planos
θ
n1n2
θ
π1
π2
1 2
1 2
cos
n n
n n
θ
⋅
=
�� ���
�� ���
Paralelismo entre uma Reta e um Plano
v n
n
π r
v n
v
0v n⋅ =
� �
Paralelismo Entre Planos
n2
( )
( )
1 1 1 1
2 2 2 2
, ,
, ,
n a b c
n a b c
=
=
��
���
1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
= =
n1
n2
π1
π2
Perpendicularismo entre uma Reta e um Plano
( )
( )
, ,
, ,
n n n
v v v
n a b c
v a b c
=
=
�
�r
( )v v v
n
π
n
v
n n n
v v v
a b c
a b c
= =
Perpendicularismo Entre Planos
n2
( )
( )
1 1 1 1
2 2 2 2
, ,
, ,
n a b c
n a b c
=
=
��
���
n2
1 2 0n n⋅ =
�� ���
n1
π1
π2
n2
n1
INTERSEÇÕESINTERSEÇÕESINTERSEÇÕESINTERSEÇÕESINTERSEÇÕESINTERSEÇÕESINTERSEÇÕESINTERSEÇÕES
Interseção Entre Duas Retas Reversas
π1
π2
Interseção Entre Duas Retas Coplanares
ππ
 θ
 0 90oθ≤ ≤
Interseção Entre Dois Planos
 0 90oθ≤ ≤
Interseção Uma Reta e um Plano
π
 0 90oθ≤ ≤
π
DISTÂNCIASDISTÂNCIASDISTÂNCIASDISTÂNCIASDISTÂNCIASDISTÂNCIASDISTÂNCIASDISTÂNCIAS
Distância Entre Dois Pontos no Plano (R²)
y
y2
P2(x2, y2)
O(0,0)
P1(x1, y1)
x1
y1
x
x2
y2 – y1
x2 – x1
( )1 2 1 2,d P P PP=
�����
Distância Entre Dois Pontos no 
Espaço (R³)
P2
z1
z2
y1
P1
x1
x2
y2
P2’
P1’
( )1 2 1 2,d P P PP=
�����
Distância de um Ponto e uma Reta
r
P0
P1
r
v ( ) 1 00 ,
v PP
d d P r
v
×
= =
� �����
�
d
Distância Entre Duas Retas Paralelas
r
Ps
s
r
( ), r r ss
r
v P P
d d P r
v
×
= =
��� �����
���
d
Ps
s
vs
Distância Entre Duas Retas Reversas
Pr rvr
d
vs
( )
( ), ,
,
r s r s
r s
v v P P
d d r s
v v
= =
×
��� �� �����
��� ��
Exercício: Calcule a distância entre os pontos
P1(7,3,4) e P2(1,0,6).
1 2
1 2
(7,3, 4) (1,0,6)
( 6, 3, 2)
P P
PP = − −
�����
( )
( )
1 2 1 2
2 2 2
1 2
, ( 6, 3,2)
 ( 6) ( 3) 2
 36 9 4
 49 , 7
d P P PP
d P P
= = − −
= − + − +
= + +
= → =
�����
Exercício: Calcule a distância entre o ponto P(2,0,7) e
a reta
(2,0,7) (0, 2,7) (2,2,1)
 ( 2, 2,0)
rr
r
P P v
PP
=
> = −
�
����
���
2 7
: 
2 2 1
x y z
r
− −
= =
( ), r r
v PP
d P r
v
×
=
��� ����
���
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
 2 2 1 3
 det 2 2 1 2 2 8
2 2 0
 2 2 8 6 2
r
r
r r
r r
v
i j k
v PP i j k
v PP
> = + + =
 
 
> × = = − + + 
 − 
> × = − + + =
���
� � �
��� ���� � � �
��� ����
6 2
 
3
 2 2
rv
=
=
CÔNICASCÔNICASCÔNICASCÔNICASCÔNICASCÔNICASCÔNICASCÔNICAS
A Parábola
É o lugar geométrico dos
pontos de um plano na qual
Parábola
pontos de um plano na qual
a distância entre estes
pontos e a reta geratriz é
igual a distância destes
pontos ao foco da parábola.
F
Geratriz
A Parábola
y
`
, ` 0,
2 2
 
 `
FP P P
p p
FP x y P P y
d d
FP P P
   = − = +   
   
=
=
���� ����
���� ����
x
F(0,p/2)
P(x,y)
P’(x,-p/2))
p/2
-p/2
d
`P P
����
FP
����
2 2
2
2 2
2
2 2
 
2 2
 
2 2
p p
x y y
p p
x y y
x y
   + − = +   
   
   + − = +   
   
+
2
4
p
py− + 2y=
2
4
p
py+ +
2
2
 
 2
 
x py py
x py
− =
=
A Parábola
A equação x² = 2py é conhecida como equação reduzida da
parábola e constitui a forma padrão da equação da parábola.
Analisando a equação, conclui-se que o tremo 2py
p > 0
Analisando a equação, conclui-se que o tremo 2py
é sempre positivo, pois x² ≥ 0, então p e y sempre
terão o mesmo sinal. Consequentemente se p > 0,
a parábola terá concavidade para cima, enquanto
que p < 0, a parábola terá concavidade para baixo.
p > 0
y > 0
p < 0
y < 0
A Elipse
É o lugar geométrico dos
pontos de um plano na qual
soma das distâncias a dois
P(x,y)
B2
soma das distâncias a dois
pontos fixos desse plano é
constante, ou seja:
dF1P + dF2P = dA1A2
Consideramos que os pontos F1 e F2 são os focos, C é o centro, e, A1,
A2, B1 e B2, são os vértices da elipse.
F1 F2
B1
A1 A2C
A Elipse
(0,b) a
b
c
F1 (-c,0) F2 (c,0)
(0,- b)
(- a,0) (a,0)
2c
2a
c
C
2 2 2a b c= +
A Elipse
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 22 2
2 22 2
2 2
 
 
2
 2
 
F P F P A Ad d d
F P F P A A
x c y x c y a
x c y a x c y
x c y
+ =
+ =
+ + + − + =
+ + = − − +
+ +
���� ����� �����
( )( )
2
2 22a x c y= − − +F1 (-c,0) F2 (c,0)
(0,b)
(- a,0) (a,0)
2
F P
�����
1FP
����
C
P(x,y)
( ) 2 x c y+ + ( )( )
( ) ( )
2
2 22 2 2 2 2 2
2
2
 
 2 4 4
a x c y
x cx c y a a x c y x c y
x
= − − +
+ + + = − − + + − +
22cx c+ + 2y+ ( )22 2 24 4a a x c y x= − − + + 22cx c− + 2y+( )
( )
( )
2 2 2
2
2 2
2
2
2 2
 4 4 4
 
 
a x c y a cx
a cx
x c y
a
a cx
x c y
a
− + = −
−
− + =
 −
− + =  
 
( )
( )
( )
1 1
2 2
1 2 2 1
,
,
2 ,0
F P P F x c y
F P P F x c y
A A A A a
= − = +
= − = −
= − =
����
�����
�����
F1 (-c,0) F2 (c,0)
(0,- b)
(- a,0) (a,0)
2a
C
2c
A Elipse
4 2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
2
 2
2
a a cx c x
x cx c y
a
a x a cx
− +
− + + =
− 2 2 2 2 4 22a c a y a a cx+ + = −
( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2 2 4 2 2 
c x
a x c x a y a a c
+
− + = −F1 (-c,0) F2 (c,0)
(0,b)
(- a,0) (a,0)
2
F P
�����
1FP
����
C
P(x,y)
( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
 
 
 1
 1
a c x a y a a c
b x a y a b
b x a y
a b
x y
a b
− + = −
+ =
+
=
+ =
F1 (-c,0) F2 (c,0)
(0,- b)
(- a,0) (a,0)
2a
C
2c
É o lugar geométrico dos pontos
de um plano cuja a diferença das
distâncias, em valor absoluto, a
P
A A
A Hipérbole
distâncias, em valor absoluto, a
dois pontos fixos deste plano é
cosntante: |dF1P - dF2P|= dA1A2
Consideramos que os pontos F1 e F2 são os focos, C é o centro, A1 e
A2, os vértices da hipérbole, e a distância entre F1 e F2, é dita distância
focal.
F1 F2A1 A2
A Hipérbole
B2(0,b)
cb
c
b
a
F1(-c,0) F2(c,0)
A1(-a,0) A2(a,0)
B1(0,-b)
2c
c
a
b
a
2 2 2c a b= +
A Hipérbole
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 22 2
2 22 2
 
 
2
 2
F P F P A Ad d d
F P F P A A
x c y x c y a
x c y x c y a
− =
− =
+ + − − + =
+ + − − + = ±
���� ����� �����
P(x,y)
( ) ( )
( ) ( )
2 22 2
2 22 2
 2
 2
 
x c y x c y a
x c y a x c y
+ + − − + = ±
+ + = ± − − +
( ) ( )( )
( ) ( )
2
2 22 2
2 22 2 2 2 2 2
2
 2
 
 2 4 4
x c y a x c y
x cx c y a a x c y x c y
x
+ + = ± − − +
+ + + = ± − + + − +
22cx c+ + 2y+ ( )22 2 24 4a a x c y x= ± − + + 22cx c− + 2y+
( )
( )
2 2 2
2
2 2
 4 4 4
 
a x c y a cx
a cx
x c y
a
± − + = −
 −
− + = ± 
 
F1(-c,0)
A1 (-a,0) C
2a
2c
A2 (a,0) F2(c,0)
( )
( )
( )
1 1
2 2
1 2 2 1
,
,
2 ,0
F P P F x c y
F P P F x c y
A A A A a
= − = +
= − = −
= − =
����
�����
�����
( )
2
2
2 2
4 2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
 
2
 2
2
a cx
x c y
a
a a cx c x
x cx c y
a
a x a cx
 −
− + =  
 
− +
− + + =
− 2 2 2 2 4 22a c a y a a cx+ + = − 2 2c x+
P(x,y)
A Hipérbole
2a x a cx− 2a c a y a a cx+ + = −
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
 
 
 
 1
 1
c x
a x c x a y a a c
a c x a y a a c
b x a y a b
b x a y
a b
x y
a b
+
− + = −
− + = −
− + = −
−
=
− =
F1(-c,0)
A1 (-a,0) C
2a
2c
A2 (a,0) F2(c,0)
Translação de Eixos
Então, com a ajuda da figura, temos
que:
P
y'y
y'
x = x’ + h e y = y’ + k
Ou então:
x' = x - h e y’ = y - k
x'
x
O’(h,k)
O(0,0)
y
y'
x
x'
k
h
Equação geral da Parábola
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
2 2
2 2
 ` 2 `
 2
2 2
2
 
x p y
x h p y k
x hx h p y k
x hx h
y k
=
− = −
− + = −
− +
− =
(Equação Padrão da Parábola)
h
k
V(h,k)
2
2
2
2
2
 
2
1
 
2
1
 
2
1
: 
2
x hx h
y k
p
h h
y k x x
p p p
h h
y x x k
p p p
fazendo a
− +
− =
    
− = + − +     
     
    
= + − + +    
     
=
2
2
; - ; 
 
h h
b c k
p p p
y ax bx c
    
= = +    
     
= + +
( ) ( )2
`
 ` 2 `
`
x x h
x p y
y y k
= −
→ =
= −
(Equação Geral da Parábola)
Equação geral da elipse
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
 ` `
 1
 
 1
x y
a b
x h y k
+ =
− −
+ = (Equação Padrão da Elipse)
A1 F1 F2 A2
B2
C (x’, y’) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
 
 1
 2 2
 1
 2 2
2
2
2
x h y k
a b
x hx h y ky k
a b
b x hx h a y ky k a b
bx ay b hx a ky a b b h a k
bx ay b hx a ky a b b h a k
bx ay b hx
− −
+ =
− + − +
+ =
− + + − + =
+ − + = − −
+ − + = − −
+ − +( )2
2 2 2 2 2 2
1
a ky
a b b h a k
=
− −
( ) ( )2 2
2 2
` ` `
 1
`
x x h x y
y y k a b
= −
→ + =
= −
(Equação Padrão da Elipse)
B1
Equação geral da elipse
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 1
b a b h a k
x y x y
a b b h a k a b b h a k a b b h a k a b b h a k
       
+ − − =       − − − − − − − −       
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
1 1
: ; ; 2 ; 2
- - - -
b a
Fazendo n h m k
A a b b h a k B a b b h a k
x y
A B
   
= = = − = −   
   
+
2 2
2 2
2 2
1
1
nx my
A B
x nx y my
A B
+ + =
   + +
+ =   
   
(Equação Geral da Elipse)
Equação geral da Hipérbole
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
 ` `
 1
 
 1
x y
a b
x h y k
− =
− −
− = (Equação Padrão da Elipse)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
 
 1
 2 2
 1
 2 2
2
2
2
x h y k
a b
x hx h y ky k
a b
b x hx h a y ky k a b
bx ay b hx a ky a b b h a k
bx ay b hx a ky a b b h a k
bx ay b hx
− −
− =
− + − +
− =
− + − − + =
− − − = − +
− − − = − +
− − −( )2
2 2 2 2 2 2
1
a ky
a b b h a k
=
− +
( ) ( )2 2
2 2
` ` `
 1
`
x x h x y
y y k a b
= −
→ − =
= −
(Equação Padrão da Elipse)
F1 F2A2A1 C(x’,y’)
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 1
b a b h a k
x y x y
a b b h a k a b b h a k a b b h a k a b b h a k
       
− − + =       − + − + − + − +       
Equação geral da Hipérbole
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
1 1
: ; ; 2 ; 2
- -
b a
Fazendo n h m k
A a b b h a k B a b b h a k
x y
A B
   
= = = − − =   + +   
−
2 2
2 2
2 2
1
1
nx my
A B
x nx y my
A B
+ − =
   + +
− =   
   
(Equação Geral da Elipse)