euf-2023-1-YrD1b2j1lGC9WBNA

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<p>L(q,q̇,t) =</p><p>✓</p><p>1</p><p>2</p><p>mq̇2 �</p><p>m!2q2</p><p>2</p><p>◆</p><p>e2�t,</p><p>m �</p><p>q̈ + 2�q̇ + !2q = 0</p><p>q̈ + !2q = 0</p><p>q̈ + �q̇ + !2q = 0</p><p>q̈ + �q̇ + 2!2q</p><p>q̈ + �q̇ + 4!2q = 0</p><p>L(q,</p><p>·</p><p>q,t) =</p><p>✓</p><p>1</p><p>2</p><p>mq̇2 �</p><p>m!2q2</p><p>2</p><p>◆</p><p>e3�t,</p><p>m �</p><p>q̈ + 3�q̇ + !2q = 0</p><p>q̈ + 1</p><p>3!</p><p>2q = 0</p><p>q̈ + �q̇ + 2!2q = 0</p><p>q̈ + �q̇ + 3!2q = 0</p><p>q̈ + �q̇ + 1</p><p>3!</p><p>2q</p><p>E</p><p>Fr = qE �mg � bv.</p><p>q</p><p>m g b</p><p>t = 0</p><p>qE �mg</p><p>b</p><p>(1� e�</p><p>b</p><p>m t)</p><p>qE �mg</p><p>2b</p><p>(1� e�</p><p>2b</p><p>m t)</p><p>qE �mg</p><p>3b</p><p>(1� e�</p><p>3b</p><p>m t)</p><p>(qE �mg)</p><p>m</p><p>t</p><p>qE</p><p>b</p><p>E</p><p>Fr = qE �mg � 2bv.</p><p>q</p><p>m g b</p><p>t = 0</p><p>qE �mg</p><p>2b</p><p>(1� e�</p><p>2b</p><p>m t)</p><p>qE �mg</p><p>b</p><p>(1� e�</p><p>b</p><p>m t)</p><p>qE �mg</p><p>3b</p><p>(1� e�</p><p>3b</p><p>m t)</p><p>(qE �mg)</p><p>m</p><p>t</p><p>2qE</p><p>b</p><p>4m m</p><p>4m v m</p><p>F (t) =</p><p>8</p><p>>>>><</p><p>>>>>:</p><p>t</p><p>⌧ Fmax, se 0  t  ⌧,</p><p>(2� t</p><p>⌧ )Fmax, ⌧ < t  2⌧,</p><p>0, se t > 2⌧,</p><p>t = 0</p><p>Fmax</p><p>4</p><p>mv</p><p>⌧</p><p>3</p><p>mv</p><p>⌧</p><p>mv</p><p>⌧</p><p>0</p><p>1</p><p>3m 2m</p><p>3m v 2m</p><p>F (t) =</p><p>8</p><p>>>>><</p><p>>>>>:</p><p>t</p><p>⌧ Fmax, se 0  t  ⌧,</p><p>(2� t</p><p>⌧ )Fmax, ⌧ < t  2⌧,</p><p>0, se t > 2⌧,</p><p>t = 0</p><p>Fmax</p><p>3</p><p>mv</p><p>⌧</p><p>4</p><p>mv</p><p>⌧</p><p>mv</p><p>⌧</p><p>0</p><p>1</p><p>~F (x,y) = �20bx3y2~i� 10bx4y ~j,</p><p>b</p><p>r⇥ ~F = 0 ~F U(x,y) = 5bx4y2 +K</p><p>K</p><p>r⇥ ~F = 0</p><p>(x,y) = (0,0)</p><p>r⇥ ~F 6= 0</p><p>r⇥ ~F = 0 ~F U(x,y) = 10bx4y2 + bx3y2 +K</p><p>K</p><p>~F (x,y) = �3ax2y~i� ax3 ~j,</p><p>a</p><p>r⇥ ~F = 0 ~F U(x,y) = ax3y +K K</p><p>r⇥ ~F = 0</p><p>(x,y) = (0,0)</p><p>r⇥ ~F 6= 0</p><p>r ⇥ ~F = 0 ~F U(x,y) = 3ax3y + ax3y +K</p><p>K</p><p>k</p><p>m R �x</p><p>g</p><p>�x =</p><p>r</p><p>5</p><p>mRg</p><p>k</p><p>�x =</p><p>r</p><p>mRg</p><p>k</p><p>�x =</p><p>r</p><p>2</p><p>mRg</p><p>k</p><p>�x =</p><p>r</p><p>5</p><p>2</p><p>mRg</p><p>k</p><p>�x =</p><p>r</p><p>1</p><p>2</p><p>mRg</p><p>k</p><p>k</p><p>m R</p><p>�x</p><p>g</p><p>k</p><p>k = 5</p><p>mRg</p><p>�x2</p><p>k =</p><p>mRg</p><p>�x2</p><p>k = 2</p><p>mRg</p><p>�x2</p><p>k =</p><p>5</p><p>2</p><p>mRg</p><p>�x2</p><p>k =</p><p>1</p><p>2</p><p>mRg</p><p>�x2</p><p>M l</p><p>O</p><p>m</p><p>v =</p><p>M</p><p>m</p><p>r</p><p>gl</p><p>3</p><p>v =</p><p>M</p><p>m</p><p>r</p><p>gl</p><p>6</p><p>v =</p><p>M</p><p>m</p><p>r</p><p>gl</p><p>9</p><p>v =</p><p>M</p><p>m</p><p>r</p><p>4gl</p><p>3</p><p>v =</p><p>M</p><p>m</p><p>r</p><p>4gl</p><p>6</p><p>M</p><p>l O</p><p>m</p><p>v</p><p>m/M</p><p>m</p><p>M</p><p>=</p><p>r</p><p>gl</p><p>3v2</p><p>m</p><p>M</p><p>=</p><p>r</p><p>gl</p><p>6v2</p><p>m</p><p>M</p><p>=</p><p>r</p><p>gl</p><p>9v2</p><p>m</p><p>M</p><p>=</p><p>r</p><p>4gl</p><p>3v2</p><p>m</p><p>M</p><p>=</p><p>r</p><p>4gl</p><p>6v2</p><p>xi mi</p><p>m2</p><p>k</p><p>2</p><p>k</p><p>3</p><p>k</p><p>4</p><p>k</p><p>5</p><p>k</p><p>1</p><p>m</p><p>1</p><p>m</p><p>2</p><p>m</p><p>3</p><p>m</p><p>4</p><p>ẍ2 +</p><p>k2</p><p>m2</p><p>(x2 � x1) +</p><p>k3</p><p>m2</p><p>(x2 � x3) = 0</p><p>ẍ2 +</p><p>k2</p><p>m2</p><p>(x2 + x1) +</p><p>k3</p><p>m2</p><p>(x2 + x3) = 0</p><p>ẍ2 +</p><p>k3</p><p>m2</p><p>(x2 � x1) +</p><p>k2</p><p>m2</p><p>(x2 � x3) = 0</p><p>ẍ2 �</p><p>k2</p><p>m2</p><p>(x2 � x1)�</p><p>k3</p><p>m2</p><p>(x2 � x3) = 0</p><p>ẍ2 +</p><p>k2 + k3</p><p>m2</p><p>x2 = 0</p><p>xi mi</p><p>m3</p><p>k</p><p>2</p><p>k</p><p>3</p><p>k</p><p>4</p><p>k</p><p>5</p><p>k</p><p>1</p><p>m</p><p>1</p><p>m</p><p>2</p><p>m</p><p>3</p><p>m</p><p>4</p><p>ẍ3 +</p><p>k3</p><p>m3</p><p>(x3 � x2) +</p><p>k4</p><p>m3</p><p>(x3 � x4) = 0</p><p>ẍ3 +</p><p>k3</p><p>m3</p><p>(x3 + x2) +</p><p>k4</p><p>m3</p><p>(x3 + x4) = 0</p><p>ẍ3 +</p><p>k4</p><p>m3</p><p>(x3 � x2) +</p><p>k3</p><p>m3</p><p>(x3 � x4) = 0</p><p>ẍ3 �</p><p>k3</p><p>m3</p><p>(x3 � x2)�</p><p>k4</p><p>m3</p><p>(x3 � x4) = 0</p><p>ẍ3 +</p><p>k3 + k4</p><p>m3</p><p>x3 = 0</p><p>q</p><p>R d ⌧ R U</p><p>U =</p><p>q2d</p><p>2⇡✏0R2</p><p>U =</p><p>q2d</p><p>⇡✏0R2</p><p>U =</p><p>q2</p><p>⇡✏0R</p><p>U =</p><p>q2R</p><p>4✏0d2</p><p>U =</p><p>q2R2</p><p>2⇡✏0d3</p><p>q</p><p>R d ⌧ R</p><p>u</p><p>u =</p><p>q2</p><p>2✏0⇡2R4</p><p>u =</p><p>q2</p><p>4✏0⇡2R4</p><p>u =</p><p>q2</p><p>2✏0⇡R4</p><p>u =</p><p>q2d</p><p>2✏0⇡2R5</p><p>u =</p><p>q2d</p><p>4✏0R5</p><p>R q</p><p>!</p><p>B =</p><p>µ0!q</p><p>4⇡R</p><p>B =</p><p>µ0!q</p><p>2⇡R</p><p>B =</p><p>2⇡µ0!q</p><p>R</p><p>B =</p><p>4⇡µ0!q</p><p>R</p><p>B =</p><p>2µ0!q</p><p>⇡R</p><p>D q</p><p>!</p><p>B =</p><p>µ0!q</p><p>2⇡D</p><p>B =</p><p>µ0!q</p><p>⇡D</p><p>B =</p><p>2⇡µ0!q</p><p>D</p><p>B =</p><p>4⇡µ0!q</p><p>D</p><p>B =</p><p>4µ0!q</p><p>⇡D</p><p>n</p><p>i = i0 cos(!t) A</p><p>E</p><p>E = A!µ0i0n sin(!t)</p><p>E = A!µ0i0n cos(!t)</p><p>E = �A!µ0i0n sin2(!t)</p><p>E = �A!µ0i0n2 cos(!t)</p><p>E = A!µ0i0n cos2(!t)</p><p>n</p><p>i = i0 sin(!t) A</p><p>E</p><p>E = �A!µ0i0n cos(!t)</p><p>E = A!µ0i0n sin(!t)</p><p>E = A!µ0i0n sin2(!t)</p><p>E = �A!µ0i0n2 cos(!t)</p><p>E = �A!µ0i0n cos2(!t)</p><p>~B = B0</p><p>⇥</p><p>e�↵x cos(ky � !t)x̂+ e�↵x sin(ky � !t)ŷ + 3e�↵y cos(kx� !t)ẑ</p><p>⇤</p><p>.</p><p>↵ k</p><p>↵ = k</p><p>↵ = 2⇡k</p><p>↵ = k ln 2</p><p>↵ = 2⇡k ln 2</p><p>↵ = k/2⇡</p><p>~B = B0</p><p>⇥</p><p>e�↵x cos(ky � !t)x̂+ 2e�↵x sin(ky � !t)ŷ + 3e�↵y cos(kx� !t)ẑ</p><p>⇤</p><p>.</p><p>↵ k</p><p>↵ = 2k</p><p>↵ = 2⇡k</p><p>↵ = k ln 2</p><p>↵ = 2⇡k ln 2</p><p>↵ = k/2⇡</p><p>C</p><p>1 2</p><p>R</p><p>V</p><p>L</p><p>C t = 0</p><p>t > 0 I L</p><p>0</p><p>t</p><p>I</p><p>0</p><p>t</p><p>I</p><p>0</p><p>t</p><p>I</p><p>0</p><p>t</p><p>I</p><p>0</p><p>t</p><p>I</p><p>C</p><p>1 2</p><p>R</p><p>V</p><p>L</p><p>C t = 0</p><p>Q</p><p>t > 0</p><p>0</p><p>Q</p><p>t</p><p>0</p><p>Q</p><p>t</p><p>0</p><p>Q</p><p>t</p><p>0</p><p>t</p><p>Q</p><p>0</p><p>Q</p><p>t</p><p>B</p><p>D</p><p>vv</p><p>R</p><p>0</p><p>R</p><p>D0 B</p><p>t = 0</p><p>v</p><p>Bv</p><p>✓</p><p>D0 �</p><p>2vt</p><p>⇡</p><p>◆</p><p>Bv</p><p>2</p><p>✓</p><p>D0 +</p><p>vt</p><p>⇡</p><p>◆</p><p>Bv</p><p>2</p><p>D0</p><p>BvD0</p><p>⇡Bv</p><p>2</p><p>D0</p><p>B</p><p>D</p><p>vv</p><p>R</p><p>0</p><p>R</p><p>D0 B</p><p>t = 0</p><p>v</p><p>Bv</p><p>R</p><p>✓</p><p>D0 �</p><p>2vt</p><p>⇡</p><p>◆</p><p>Bv</p><p>2R</p><p>✓</p><p>D0 +</p><p>vt</p><p>⇡</p><p>◆</p><p>Bv</p><p>2R</p><p>D0</p><p>Bv</p><p>R</p><p>D0</p><p>⇡Bv</p><p>2R</p><p>D0</p><p>~E(t) =</p><p>E0e�t/⌧ êz êz E0 > 0 ⌧ > 0</p><p>✏0⇢</p><p>2⌧</p><p>E2</p><p>0e</p><p>�2t/⌧ ê⇢</p><p>✏0⇢</p><p>2⌧</p><p>E2</p><p>0e</p><p>�2t/⌧ ê'</p><p>✏0</p><p>2</p><p>E2</p><p>0e</p><p>�2t/⌧ êz</p><p>✏0</p><p>2</p><p>E2</p><p>0e</p><p>�2t/⌧ ê'</p><p>0</p><p>~E(t) =</p><p>E0 cos (!t) êz êz E0 > 0</p><p>! > 0</p><p>1</p><p>2</p><p>✏0!⇢E2</p><p>0 sin (!t) cos (!t) ê⇢</p><p>1</p><p>2</p><p>✏0!⇢E2</p><p>0 sin</p><p>2 (!t) ê'</p><p>1</p><p>2</p><p>✏0E2</p><p>0 cos</p><p>2 (!t) ê'</p><p>1</p><p>2</p><p>✏0E2</p><p>0 sin</p><p>2 (!t) êz</p><p>0</p><p>~E = E0x̂</p><p>~B = B0ẑ E0 > 0 B0 > 0</p><p>xy</p><p>x</p><p>y</p><p>1 2 3 4 5</p><p>6</p><p>~E = E0ŷ</p><p>~B = B0ẑ E0 > 0 B0 > 0</p><p>xy</p><p>x</p><p>y</p><p>5 61</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>�</p><p>400 �</p><p>2,00⇥ 104</p><p>125 3</p><p>�</p><p>400 �</p><p>2,00⇥ 104</p><p>125 3</p><p>P0, V0 T0</p><p>P0/3</p><p>P0, V0 T0</p><p>P0/3</p><p>⇢ V0</p><p>�T > 0 �</p><p>cB</p><p>�P</p><p>⇢cB</p><p>⇢cB</p><p>�P</p><p>�⇢cB</p><p>3</p><p>�P⇢</p><p>cB�T</p><p>�P</p><p>⇢cB�T</p><p>⇢ V0</p><p>�T > 0 �</p><p>cB</p><p>⇢cB</p><p>�P</p><p>�P</p><p>⇢cB</p><p>�⇢cB</p><p>3</p><p>cB�T</p><p>�P⇢</p><p>⇢cB�T</p><p>�P</p><p>P0 V0</p><p>4P0</p><p>R</p><p>1,5R ln(4)</p><p>2,5R ln(2)</p><p>3,5R ln(4)</p><p>4,0R</p><p>2,5R</p><p>P0 V0</p><p>2P0</p><p>R</p><p>1,5R ln(2)</p><p>2,5R ln(2)</p><p>3,5R ln(4)</p><p>4,0R</p><p>1,5R</p><p>S</p><p>(3c/5,0,0) S0 (u,0,0)</p><p>S</p><p>u = c/3</p><p>u = �c/3</p><p>u = c</p><p>u = 3c/10</p><p>u = �3c/10</p><p>S (4c/5,0,0)</p><p>S0 (u,0,0)</p><p>S</p><p>u = c/2</p><p>u = �c/2</p><p>u = c</p><p>u = 4c/10</p><p>u = �4c/10</p><p>50</p><p>h/mc = 2,4 m</p><p>30</p><p>27</p><p>24</p><p>21</p><p>18</p><p>60</p><p>h/mc = 2,4 m</p><p>25</p><p>28</p><p>22</p><p>31</p><p>19</p><p>R = 2RS RS</p><p>TS</p><p>T =</p><p>TS</p><p>p</p><p>2</p><p>T =</p><p>p</p><p>2TS</p><p>T =</p><p>TS</p><p>4</p><p>T = 4TS</p><p>T = TS</p><p>T = 2TS TS</p><p>RS</p><p>R =</p><p>RS</p><p>4</p><p>R = 4RS</p><p>R =</p><p>RS</p><p>p</p><p>2</p><p>R =</p><p>p</p><p>2RS</p><p>R = RS</p><p>3,29⇥10�3 s</p><p>1,00⇥ 10�13 eV</p><p>4,00⇥ 10�14 eV</p><p>6,28⇥ 10�12 eV</p><p>3,14⇥ 10�15 eV</p><p>5,00⇥ 10�11 eV</p><p>13,2⇥10�3 s</p><p>0,25⇥ 10�13 eV</p><p>2,00⇥ 10�14 eV</p><p>1,57⇥ 10�12 eV</p><p>0,79⇥ 10�15 eV</p><p>0,13⇥ 10�11 eV</p><p>3c/5 x</p><p>x = 0</p><p>x = 18000</p><p>4c/5 x</p><p>x = 0</p><p>x = 18000</p><p>M</p><p>v = 4c/5 M</p><p>M</p><p>v = 3c/5 M</p><p>En</p><p>n = 1,2,3, . . . E1 < E2 < E3 < . . . n(x)</p><p>x1 x2</p><p>1(x1) 1(x2)</p><p>1(x1) 2(x2)</p><p>1</p><p>p</p><p>2</p><p>[ 1(x1) 2(x2) + 2(x1) 1(x2)].</p><p>En</p><p>n = 1,2,3, . . . E1 < E2 < E3 < . . . n(x)</p><p>x1 x2</p><p>1(x1) 1(x2)</p><p>1(x1) 2(x2)</p><p>1</p><p>p</p><p>2</p><p>[ 1(x1) 2(x2) + 2(x1) 1(x2)].</p><p>J</p><p>⌦</p><p>J2</p><p>↵</p><p>= 15~2/4</p><p>J⌦</p><p>J2</p><p>↵</p><p>= 15~2/4</p><p>| i = cos ✓|+i+ sen ✓|�i |+i</p><p>|�i Ŝz z</p><p>+~/2 �~/2 ~/2</p><p>y z</p><p>cos2 ✓</p><p>sin2 ✓</p><p>1/2 + sin ✓ cos ✓</p><p>| i = cos ✓|+i+ sin ✓|�i |+i</p><p>|�i Ŝz z</p><p>+~/2 �~/2 ~/2</p><p>x z</p><p>cos2 ✓</p><p>sin2 ✓</p><p>1/2 + sin ✓ cos ✓</p><p>En n</p><p>1 t = 0</p><p>1p</p><p>2</p><p>( 1 + 2) t = 0</p><p>t = 0 1p</p><p>2</p><p>( 2 + 3)</p><p>1p</p><p>2</p><p>( 1 � 4)</p><p>En n</p><p>1 t = 0</p><p>1p</p><p>2</p><p>( 1 + 2) t = 0</p><p>t = 0 1p</p><p>2</p><p>( 1 � 4)</p><p>1p</p><p>2</p><p>( 2 + 3)</p><p>Ĵ</p><p>Ĥ = ↵(Ĵ2</p><p>x + Ĵ2</p><p>y ) + �Ĵ2</p><p>z ,</p><p>Ĵx Ĵy Ĵz ↵ �</p><p>� > ↵ Ĵ2 Ĵz {|j,mi}</p><p>j(j + 1)~2 m~</p><p>⇥</p><p>↵j (j + 1) + (� � ↵)m2</p><p>⇤</p><p>~2</p><p>Ĵx</p><p>Ĵx Ĵz</p><p>Ĵ</p><p>Ĥ = ↵(Ĵ2</p><p>x + Ĵ2</p><p>y ) + �Ĵ2</p><p>z ,</p><p>Ĵx Ĵy Ĵz ↵ �</p><p>� > ↵ Ĵ2 Ĵz {|j,mi}</p><p>j(j + 1)~2 m~</p><p>⇥</p><p>↵j (j + 1) + (� � ↵)m2</p><p>⇤</p><p>~2</p><p>Ĵx |j,mi</p><p>Ĵ2 Ĵz</p><p>|u1i , |u2i , |u3i Ĥ</p><p> B̂</p><p>Ĥ = ~!0</p><p>0</p><p>@</p><p>1 0 0</p><p>0 2 0</p><p>0 0 2</p><p>1</p><p>A ,  = a</p><p>0</p><p>@</p><p>1 0 0</p><p>0 0 1</p><p>0 1 0</p><p>1</p><p>A , B̂ = b</p><p>0</p><p>@</p><p>0 1 0</p><p>1 0 0</p><p>0 0 1</p><p>1</p><p>A ,</p><p>!0 a b t = 0</p><p>| (0)i = 1p</p><p>2</p><p>|u1i+</p><p>1</p><p>2 |u2i+</p><p>1</p><p>2 |u3i</p><p>t = 0 ~!0 2~!0</p><p>Â</p><p>t = 0 a �a</p><p>B̂</p><p>t = 0 b �b</p><p>t > 0 | (t)i =</p><p>1p</p><p>2</p><p>�i!0t |u1i+</p><p>1</p><p>2</p><p>�i2!0t |u2i+</p><p>1</p><p>2</p><p>�i!0t |u3i</p><p>t > 0</p><p>t = 0</p><p>|u1i , |u2i , |u3i Ĥ</p><p> B̂</p><p>Ĥ = ~!0</p><p>0</p><p>@</p><p>2 0 0</p><p>0 2 0</p><p>0 0 1</p><p>1</p><p>A ,  = a</p><p>0</p><p>@</p><p>0 1 0</p><p>1 0 0</p><p>0 0 1</p><p>1</p><p>A , B̂ = b</p><p>0</p><p>@</p><p>1 0 0</p><p>0 0 1</p><p>0 1 0</p><p>1</p><p>A ,</p><p>!0 a b t = 0</p><p>| (0)i = 1p</p><p>2</p><p>|u1i+</p><p>1</p><p>2 |u2i+</p><p>1</p><p>2 |u3i</p><p>t = 0 ~!0</p><p>2~!0</p><p>Â</p><p>t = 0 a �a</p><p>B̂</p><p>t = 0 b �b</p><p>t > 0 | (t)i =</p><p>1p</p><p>2</p><p>�i!0t |u1i+</p><p>1</p><p>2</p><p>�i2!0t |u2i+</p><p>1</p><p>2</p><p>�2i!0t |u3i</p><p>t > 0</p><p>t = 0</p><p>= 0 x  0 x � 5 x</p><p>2  x  4</p><p>13/16</p><p>17/64</p><p>25/64</p><p>3/8</p><p>p</p><p>5/8</p><p>= 0 x  0 x � 5 x</p><p>1  x  3</p><p>5/16</p><p>13/64</p><p>9/64</p><p>5/8</p><p>p</p><p>3/8</p><p>(✓,') =</p><p>1</p><p>p</p><p>15</p><p>[3Y42 (✓,')� Y62 (✓,') + Y31 (✓,')� 2Y10 (✓,')] ,</p><p>Ylm (✓,') ✓ '</p><p>l m</p><p>z</p><p>m = 2</p><p>2/3</p><p>3/5</p><p>7/15</p><p>1/3</p><p>0</p><p>(✓,') =</p><p>1</p><p>p</p><p>25</p><p>[4Y42 (✓,')� 2Y62 (✓,') + Y31 (✓,')� 2Y10 (✓,')] ,</p><p>Ylm (✓,') ✓ '</p><p>l m</p><p>z</p><p>m = 2</p><p>4/5</p><p>16/25</p><p>12/25</p><p>1/5</p><p>0</p><p>�E0</p><p>n = 2</p><p>�E0/8</p><p>�E0</p><p>�E0/2</p><p>�4E0</p><p>�8E0</p><p>�E0</p><p>n = 3</p><p>�E0/18</p><p>�E0/3</p><p>�E0</p><p>�9E0</p><p>�18E0</p><p>Ĥ =</p><p>✓</p><p>a†a+</p><p>1</p><p>2</p><p>◆</p><p>~!,</p><p>! a</p><p>a =</p><p>r</p><p>m!</p><p>2~ x̂� i</p><p>r</p><p>1</p><p>2m!~ p̂,</p><p>a† x̂ p̂</p><p>a†a |ni a†a |ni = n |ni</p><p>t = 0</p><p>| (0)i =</p><p>1</p><p>p</p><p>2</p><p>(|0i+ |1i) ,</p><p>hx̂ (t)i ⌘ h (t)| x̂ | (t)i</p><p>r</p><p>~</p><p>2m!</p><p>cos (!t)</p><p>r</p><p>~</p><p>2m!</p><p>sin (!t)</p><p>r</p><p>~</p><p>2m!</p><p>cos</p><p>�</p><p>3</p><p>2!t</p><p>�</p><p>r</p><p>~</p><p>2m!</p><p>sin</p><p>�</p><p>3</p><p>2!t</p><p>�</p><p>2</p><p>r</p><p>~</p><p>2m!</p><p>cos (!t)</p><p>Ĥ =</p><p>✓</p><p>a†a+</p><p>1</p><p>2</p><p>◆</p><p>~!,</p><p>! a</p><p>a =</p><p>r</p><p>m!</p><p>2~ x̂� i</p><p>r</p><p>1</p><p>2m!~ p̂,</p><p>a† x̂ p̂</p><p>a†a |ni a†a |ni = n |ni</p><p>t = 0</p><p>| (0)i =</p><p>1</p><p>p</p><p>2</p><p>(|0i+ |1i) ,</p><p>hp̂ (t)i ⌘ h (t)| p̂ | (t)i</p><p>�</p><p>r</p><p>m!~</p><p>2</p><p>sin (!t)</p><p>�</p><p>r</p><p>m!~</p><p>2</p><p>cos (!t)</p><p>�</p><p>r</p><p>m!~</p><p>2</p><p>sin</p><p>�</p><p>3</p><p>2!t</p><p>�</p><p>�</p><p>r</p><p>m!~</p><p>2</p><p>cos</p><p>�</p><p>3</p><p>2!t</p><p>�</p><p>�2</p><p>r</p><p>m!~</p><p>2</p><p>sin (!t)</p><p>N</p><p>T � = 1/kBT</p><p>Sz = 0 +1 �1 0 ✏� µH ✏+ µH</p><p>µ H</p><p>m(T,H,µ)</p><p>m(T,H,µ) =</p><p>2µ sinh(�µH)</p><p>e�✏ + 2 cosh(�µH)</p><p>m(T,H,µ) =</p><p>2µ sinh(�µH)</p><p>e�✏ � 2 cosh(�µH)</p><p>m(T,H,µ) =</p><p>2µ cosh(�µH)</p><p>e�✏ � 2 sinh(�µH)</p><p>m(T,H,µ) = µ tanh(�µH)</p><p>m(T,H,µ) = µe��✏ tanh(�µH)</p><p>N</p><p>T � = 1/kBT</p><p>Sz = 0 +1 �1 0 ✏� µH ✏+ µH</p><p>µ H</p><p>u(T,H,µ)</p><p>u(T,H,µ) =</p><p>2e��✏[✏ cosh(�µH)� µH sinh(�µH)]</p><p>1 + 2e��✏ cosh�µH</p><p>u(T,H,µ) =</p><p>2e��✏[✏ sinh(�µH)� µH cosh(�µH)]</p><p>1 + 2e��✏ sinh�µH</p><p>u(T,H,µ) =</p><p>2✏ cosh(�µH)</p><p>e�✏ + 2 cosh�µH</p><p>u(T,H,µ) = µH tanh(�µH)</p><p>u(T,H,µ) = µHe��✏ tanh(�µH)</p><p>T � = 1/kBT</p><p>En</p><p>= ✓n2, n = 1,2,3,...,</p><p>✓ > 0 u(�,✓)</p><p>�✓ � 1</p><p>u(�,✓) = ✓(1 + 3e�3�✓)</p><p>u(�,✓) = ✓(1� 3e�3�✓)</p><p>u(�,✓) = ✓(1 + e��✓)</p><p>u(�,✓) = ✓(1� e��✓)</p><p>u(�,✓) = 1/�</p><p>T � = 1/kBT</p><p>En = ✓n3, n = 1,2,3,...,</p><p>✓ > 0 u(�,✓)</p><p>�✓ � 1</p><p>u(�,✓) = ✓(1 + 7e�7�✓)</p><p>u(�,✓) = ✓(1� 7e�7�✓)</p><p>u(�,✓) = ✓(1 + e��✓)</p><p>u(�,✓) = ✓(1� e��✓)</p><p>u(�,✓) = 1/�</p><p>A B</p><p>V</p><p>NA A NB B</p><p>T</p><p>H =</p><p>1</p><p>2m</p><p>(p2x + p2y + p2z).</p><p>U = 3</p><p>2 (NA +NB)kBT</p><p>U =</p><p>3</p><p>2</p><p>NANB</p><p>NA +NB</p><p>kBT</p><p>U = 3</p><p>2 (NA �NB)kBT</p><p>U =</p><p>3</p><p>2V</p><p>(NA +NB)kBT</p><p>U = (NA +NB)kBT</p><p>A B NA</p><p>A NB B</p><p>T</p><p>H =</p><p>1</p><p>2m</p><p>(p2x + p2y + p2z) +</p><p>m!2</p><p>i</p><p>2</p><p>(x2 + y2 + z2),</p><p>!i = !A !i = !B A B</p><p>U = 3(NA +NB)kBT</p><p>U = 3</p><p>NANB</p><p>NA +NB</p><p>kBT</p><p>U = 3</p><p>2 (NA �NB)kBT</p><p>U = (NA +NB)kBT</p><p>U = 1</p><p>2 (NA +NB)kBT</p><p>!</p><p>T (� = 1/kBT )</p><p>En = ~!n, n = 0,1,2, . . . .</p><p>x = e��~!</p><p>4~!</p><p>n1 n2 Pn1,n2 = e��(En1+En2 )/⇣2 ⇣ = 1 + x+ x2 + ... = 1/(1� x)</p><p>(1� x)2(1 + 2x+ 3x2 + 4x3)</p><p>(1� x)2(1 + 2x+ 3x2)</p><p>(1� x)2(1 + x+ x2 + x3)</p><p>5x4(1� x)2</p><p>4x3(1� x)2</p><p>!</p><p>T (� = 1/kBT )</p><p>En = ~!n, n = 0,1,2, . . . .</p><p>x = e��~!</p><p>3~!</p><p>n1 n2 n3 Pn1,n2,n3 = e��(En1+En2+En3 )/⇣3 ⇣ = 1 + x+ x2 + ... = 1/(1� x)</p><p>(1� x)3(1 + 3x+ 3x2)</p><p>(1� x)3(1 + x+ x2)</p><p>(1� x)3(1 + 2x+ 2x2)</p><p>3x(1� x)3</p><p>3x2(1� x)3</p>