Espaços vetorial

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<p>Espaços Vetoriais</p><p>Álgebra Linear</p><p>Discente: Laércio Silva da Costa</p><p>Coordenadora: Lilian de Oliveira Carneiro</p><p>Curso: Engenharia de Minas, 9º Semestre</p><p>CONTEÚDO</p><p>1. ESPAÇOS VETORIAIS</p><p>1.1 DEFINIÇÃO</p><p>1.2 AXIOMAS</p><p>2. SUBESPAÇOS VETORIAIS</p><p>2.1 DEFINIÇÃO</p><p>2.2 INTERSECÇÃO DE SUBESPAÇOS</p><p>2.3 SOMA DE SUBESPAÇOS</p><p>3. COMBINAÇÃO LINEAR</p><p>3.1 DEFINIÇÃO</p><p>4. CONJUNTO GERADORES</p><p>5. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR</p><p>6. BASE E DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL</p><p>7. MUDANÇA DE BASE</p><p>8. REFERÊNCIAS</p><p>2</p><p>1. ESPAÇOS VETORIAIS</p><p>1.1 DEFINIÇÃO</p><p>Definição: Considerando um conjunto V não vazio, no qual duas operações a seguir estão 		 definidas:</p><p>i) Adição de Vetores: Seja quaisquer vetores u e v ∈ V, logo u + v V;</p><p> Somar o vetor u e o vetor v do mesmo espaço vetorial, é considerar que o resultado da soma 	 desses dois vetores também estarão dentro desse mesmo espaço.</p><p>Observe na esquematização abaixo:</p><p>u v</p><p>u + v</p><p>Espaço vetorial V</p><p>3</p><p>1. ESPAÇOS VETORIAIS</p><p>1.1 DEFINIÇÃO</p><p>Definição: Considerando um conjunto V não vazio, no qual duas operações a seguir estão definidas:</p><p>ii) Multiplicação por Escalar: Seja um vetor qualquer u ∈ V e um escalar real r ∈ K, logo ru ∈ V.</p><p> Multiplicar o escalar r pelo vetor v, é considerar um novo vetor digamos w = kv, que possui a 	 mesma direção de v e tem como comprimento k vezes o comprimento de v.</p><p>Seja v = (a, b) ∈ V e um escalar real qualquer r ∈ K, então w = kv, então</p><p>w = k(a, b) = (wa, wb)</p><p>Exemplo: v = (2, -5), w = 3v  w = 3*(2, -5)  w = (6, -15), logo o w = (6, -15) ∈ V</p><p>4</p><p>1. ESPAÇOS VETORIAIS</p><p>1.2 AXIOMAS</p><p>Definição: Um espaço vetorial real é um conjunto V, não vazio, com duas operações definidas sobre esse 	 espaço, a soma e multiplicação por escalar desses vetores, para quaisquer (u, v, w) ∈ V e 	 (a, b) ∈ K. Então, o Conjunto V será um Espaço Vetorial se satisfizer as condições de soma de 	 vetores e multiplicação por escalar, bem como, os oitos Axiomas a seguir:</p><p>Axiomas da Soma</p><p>A1) Seja quaisquer vetores (u, v, w) V, logo vale (u + v) + w = u + (v + w);</p><p>A2) Seja quaisquer vetores (u, v) ∈ V, logo u + v = v + u;</p><p>A3) Existe 0 ∈ V tal que u + 0 = u. (0 é chamado vetor nulo);</p><p>A4) Seja o vetor u ∈ V, logo existe o seu simétrico (-u), logo u + (-u) = (-u) + u = 0.</p><p>∈</p><p>5</p><p>1. ESPAÇOS VETORIAIS</p><p>1.2 AXIOMAS</p><p>Axiomas da Multiplicação</p><p>M1) Seja quaisquer vetores (u, v) V e r K um escalar real qualquer, logo r(u + v) = ru + rv;</p><p>M2) Seja quaisquer escalares r, s K e o vetor u V, logo (r + s)u = ru + su;</p><p>M3) Seja quaisquer escalares r, s K e o vetor u V, logo (rs)u = r(su);</p><p>M4) Seja o vetor u V e um escalar unitário (1) K, logo 1u = u.</p><p>Quando que um Conjunto V não será subespaço?</p><p>Basta apenas um axioma não ser satisfeito para que o conjunto V NÃO SEJA um espaço vetorial</p><p>∈</p><p>∈</p><p>∈</p><p>∈</p><p>∈</p><p>∈</p><p>∈</p><p>∈</p><p>6</p><p>1. ESPAÇOS VETORIAIS</p><p>EXEMPLO: Verifique se o conjunto R² é ou não um espaço vetorial definida as operações a seguir:</p><p>Soma: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)</p><p>Multiplicação por escalar: r(x, y) = (x, ry)</p><p>A1) (u + v) + w = u + (v + w)</p><p> Seja os vetores u = (u1, u2), v = (v1, v2), w = (w1, w2) R², logo temos:</p><p>Lado esquerdo da igualdade: Lado direito da igualdade:</p><p>(u + v) + w = ((u1, u2) + (v1, v2)) + (w1, w2)</p><p>= ((u1 + v1, u2 + v2) + (w1, w2)</p><p>= (u1 + v1 + w1, u2 + v2 + w2)</p><p>u + (v + w) = (u1, u2) + ((v1, v2) + (w1, w2))</p><p>= (u1, u2) + (v1 + w1, v2 + w2)</p><p>= (u1 + v1 + w1, u2 + v2 + w2)</p><p>Logo, veja que o axioma A1 é valido pois, (u + v) + w = u + (v + w)</p><p>∈</p><p>7</p><p>1. ESPAÇOS VETORIAIS</p><p>EXEMPLO: Verifique se o conjunto R² é ou não um espaço vetorial definida as operações a seguir:</p><p>Soma: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)</p><p>Multiplicação por escalar: r(x, y) = (x, ry)</p><p>A2) u + v = v + u:</p><p> Seja os vetores u = (u1, u2), v = (v1, v2) , logo temos:</p><p>Lado esquerdo da igualdade: Lado direito da igualdade:</p><p>u + v = (u1, u2) + (v1, v2)</p><p>= (u1 + v1, u2 + v2)</p><p>v + u = (v1, v2) + (u1, u2)</p><p>= (v1 + u1, v2 + u2)</p><p>Logo, veja que o axioma A2 é valido pois, u + v = v + u</p><p>∈ R²</p><p>8</p><p>1. ESPAÇOS VETORIAIS</p><p>EXEMPLO: Verifique se o conjunto R² é ou não um espaço vetorial definida as operações a seguir:</p><p>Soma: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)</p><p>Multiplicação por escalar: r(x, y) = (x, ry)</p><p>A3) u + 0 = u:</p><p> Seja os vetores u = (u1, u2) , e vetor nulo 0 = (0, 0) , logo temos:</p><p>Lado esquerdo da igualdade: Lado direito da igualdade:</p><p>u + 0 = (u1, u2) + (0, 0)</p><p>= (u1 + 0, u2 + 0)</p><p>= (u1, u2)</p><p>u = (u1, u2)</p><p>Logo, veja que o axioma A3 é valido pois, u + 0 = u</p><p>∈ R²</p><p>∈ R²</p><p>9</p><p>1. ESPAÇOS VETORIAIS</p><p>EXEMPLO: Verifique se o conjunto R² é ou não um espaço vetorial definida as operações a seguir:</p><p>Soma: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)</p><p>Multiplicação por escalar: r(x, y) = (x, ry)</p><p>A4) u + (-u) = (-u) + u = 0:</p><p> Seja os vetores u = (u1, u2) e o seu simétrico u = (-u1, -u2) , logo temos:</p><p>Lado esquerdo da igualdade: Lado direito da igualdade:</p><p>u + (-u) = (u1, u2) + (-u1, -u2)</p><p>= ((u1 + (-u1)), (u2 + (-u2)))</p><p>= (0, 0)</p><p>(-u) + u = (-u1, -u2) + (u1, u2)</p><p>= ((-u1) + u1), ((-u2) + u2))</p><p>= (0, 0)</p><p>Logo, veja que o axioma A4 é valido pois, u + (-u) = (-u) + u = 0</p><p>∈ R²</p><p>∈ R²</p><p>10</p><p>1. ESPAÇOS VETORIAIS</p><p>EXEMPLO: Verifique se o conjunto R² é ou não um espaço vetorial definida as operações a seguir:</p><p>Soma: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)</p><p>Multiplicação por escalar: r(x, y) = (x, ry)</p><p>M1) r(u + v) = ru + rv:</p><p> Seja os vetores u = (u1, u2) e v = (v1, v2) e os escalar r K, logo temos:</p><p>Lado esquerdo da igualdade: Lado direito da igualdade:</p><p>r(u + v) = r((u1, u2) + (v1, v2))</p><p>= r((u1 + v1), (u2 + v2))</p><p>= ((u1 + v1), (ru2 + rv2))</p><p>ru + rv = r(u1, u2) + r(v1, v2)</p><p>= (u1, ru2) + (v1, rv2)</p><p>= ((u1 + v1), (ru2 + rv2))</p><p>Logo, veja que o axioma M1 é valido pois, r(u + v) = ru + rv</p><p>∈</p><p>∈ R²</p><p>∈ R²</p><p>11</p><p>1. ESPAÇOS VETORIAIS</p><p>EXEMPLO: Verifique se o conjunto R² é ou não um espaço vetorial definida as operações a seguir:</p><p>Soma: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)</p><p>Multiplicação por escalar: r(x, y) = (x, ry)</p><p>M2) (r + s)u = ru + su:</p><p> Seja o vetor u = (u1, u2) e os escalares r,s K, logo temos:</p><p>Lado esquerdo da igualdade: Lado direito da igualdade:</p><p>(r + s)u = (r + s)(u1, u2)</p><p>= ((u1, (r + s)u2))</p><p>= ((u1, (ru2 + su2))</p><p>ru + su = r(u1, u2) + s(u1, u2)</p><p>= (u1, ru2) + (u1, su2)</p><p>= (u1 + u1), (ru2 + su2)</p><p>= ((2u2), (ru2 + su2))</p><p>Logo, veja que o axioma M2 não é valido pois, (r + s)u ≠ ru + su</p><p>∈</p><p>∈ R²</p><p>12</p><p>2. SUBESPAÇOS VETORIAIS</p><p>2.1 DEFINIÇÃO</p><p>Definição: Sejam V um espaço vetorial e seja W um subconjunto de V. Então podemos afirmar que W é um subespaço de V quando o próprio W for um espaço vetorial.</p><p> Sobre o mesmo corpo de escalares em que V foi definido;</p><p> Sobre às operações de soma e multiplicação de vetores por escalar que V foi definido.</p><p>Para mostrarmos que o subconjunto W é um subespaço vetorial, precisamos mostrar que W satisfaz os oitos axiomas da definição de espaço vetorial. Então, se W for um subconjunto de um espaço vetorial de V, logo alguns axiomas valem para W, pois eles são validos para o espaço vetorial V.</p><p>Subconjunto de V</p><p>V</p><p>W</p><p>Conjunto V</p><p>V</p><p>W</p><p>Espaço Vetorial V</p><p>Subespaço de V</p><p>Se os axiomas valem para W</p><p>13</p><p>2. SUBESPAÇOS VETORIAIS</p><p>2.1 DEFINIÇÃO</p><p>Definição: Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se:</p><p>(i) O vetor nulo 0</p><p>(ii) Para quaisquer</p><p>u, v W e escalar r , então:</p><p>1. A soma u + v</p><p>2. O múltiplo ru</p><p> Podemos fazer duas observações:</p><p>Se as duas propriedades acimas são validas para afirmar que W é ele próprio um espaço vetorial, então não precisamos usar os oitos axiomas para mostrar que V é um espaço vetorial, já que W está contido em V, então a duas propriedades acima serve para mostrar que o conjunto V é um espaço vetorial.</p><p>Qualquer subespaço W de V precisa necessariamente conter o vetor nulo.</p><p>∈</p><p>∈ K</p><p>∈ W;</p><p>∈ W;</p><p>∈ W;</p><p>14</p><p>2. SUBESPAÇOS VETORIAIS</p><p>Exemplo: Seja V = R³. Seja W o subconjunto de V definido por: W = {(x, y, z) : x = 0}</p><p>Então verifique se W é um subespaço de V.</p><p>Observe que os elementos de W são vetores do R³ cuja a primeira componente do vetor é igual a zero, como por exemplo: W1 = (0, -1, 2) e w2 = (0, 1, 5)</p><p>Mas note que, se w então os vetores de W podem ser escritos da forma: w = (0, y, z) em que x, y</p><p>Então vamos verificar se V = R³ contém o elemento nulo e se é fechado para a soma e multiplicação por escalar.</p><p>Vetor nulo: O vetor nulo de V é v = (0,0,0) e esse elemento também está em W, uma vez que a primeira 	 componente do vetor é nulo e as duas variáveis independentes (x,y) também são nulas.</p><p>∈ W,</p><p>∈ R.</p><p>15</p><p>2. SUBESPAÇOS VETORIAIS</p><p>Fechado para a soma e multiplicação por escalar: Seja u = (0,y1,z1) e v = (0,y2,z2) elementos de W, seja também um escalar r</p><p> Soma: Temos que u + v = [(0,y1,z1) + (0,y2,z2)] = (0, y1+y2, z1+z2) uma vez que a primeira 	 coordenada é nula, a segunda componente só depende de y e a terceira componente só 	 depende de z;</p><p> Multiplicação por Escalar: Temos u = (0,y,z) elemento de W e</p><p>Portanto como as condições (i) e (ii) foram satisfeitas, então podemos afirmar que o subconjunto W é subespaço vetorial de V = R³.</p><p>OBS: Se qualquer uma das condições (i) ou (ii) do teorema não forem satisfeitas, então afirmar se que o conjunto dado não será um subespaço vetorial.</p><p>r ∈ K.</p><p>∈ W,</p><p>Temos que, ru = (0, ry, rz) ∈ w, pois a primeira componente é nula, a segunda depende somente de ry e a terceira depende somente de rz.</p><p>16</p><p>2. SUBESPAÇOS VETORIAIS</p><p>2.2 INTERSECÇÃO DE SUBESPAÇOS</p><p>Teorema: (Intersecção de subespaços): Dados W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial v, a intersecção W1∩W2 ainda é um subespaço de V.</p><p>EXEMPLO: Em R4 consideremos os subespaços abaixo:</p><p>U = {(x, y, z, t) R4; x – y + z = 0} e W = {(x, y, z, t) R4; x = y e z = t}</p><p>Observemos que (x, y, z, t) U  x – y + z 0  y = x + z</p><p>E que (x, y, z, t) W  x = y e z = t</p><p>Logo, podemos encontrar U ∩ W da seguinte maneira:</p><p>∈</p><p>∈</p><p>∈</p><p>∈</p><p>y = x + z</p><p>x = y</p><p>z = t</p><p>y = y + z</p><p>x = y</p><p>z = t</p><p>0 = z</p><p>x = y</p><p>z = t</p><p>z = t = 0</p><p>x = y</p><p>Portanto:</p><p>U ∩ W = {(x, y, z, t) ∈ R^4; x = y e z = t = 0}</p><p>17</p><p>2. SUBESPAÇOS VETORIAIS</p><p>2.3 SOMA DE SUBESPAÇOS</p><p>Teorema: (Soma de subespaços): Sejam W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V, então, o conjunto W1 + W2 é subespaço de V.</p><p>EXEMPLO: Em R4 consideremos os subespaços abaixo:</p><p>U = {(x, y, z, t) R4; x – y + z = 0} e W = {(x, y, z, t) R4; x = y e z = t}</p><p>Observemos que (x, y, z, t) U  x – y + z 0  y = x + z</p><p>Logo, U + W é o seguinte subespaço de R4 :</p><p>Os vetores de U podem ser escrito como: U = (x1, x1 + z1, z1, t1)</p><p>Os vetores de W podem ser escrito como: W = (y2, y2, t2, t2)</p><p>U + W = {(x, y, z, t) ∈ R4; (x, y, z, t) = (x1, x1 + z1, z1, t1) + (y2, y2, t2, t2)}</p><p>= {(x, y, z, t) ∈ R4; (x, y, z, t) = (x1 + y2, x1 + z1 + y2, z1 + t2, t1 + t2)}</p><p>∈</p><p>∈</p><p>∈</p><p>18</p><p>3. COMBINAÇÃO LINEAR</p><p>3.1 DEFINIÇÃO</p><p>Definição: Sejam V um espaço vetorial real, v1, v2, ..., vn ∈ V e números reais que variam de a1, ..., an.</p><p>Então, o vetor v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn é um elemento de V ao que chamamos combinação 	 linear de v1, ..., vn.</p><p>Note ainda que, se W é um subespaço vetorial de V, então os vetores v1, ..., vn de V podem 	 gerar W, que será chamado de subespaço gerado por v1, ..., vn e usamos a notação</p><p>W = [v1, ..., vn]</p><p>Abaixo vamos ver alguns exemplos para fixar melhor os conceitos:</p><p>19</p><p>3. COMBINAÇÃO LINEAR</p><p>Exemplo: Escreva o vetor V = (1, -2, 5) como combinação linear dos vetores</p><p>u = (1, 1, 1), v = (1, 2, 3) e w = (2, -1 ,1).</p><p>Temos que: V = au + bv + cw, logo:</p><p>(1, -2, 5) = a(1, 1, 1) + b(1, 2, 3) + c(2, -1 ,1)</p><p>(1, -2, 5) = (a, a, a) + (b, 2b, 3b) + (2c, -c, c)</p><p>(1, -2, 5) = (a + b + 2c, a + 2b – c, a + 3b + c)</p><p>Montando um sistema temos:</p><p>a + b + 2c = 1</p><p>a + 2b – c = -2</p><p>a + 3b + c = 5</p><p>Vamos resolver o sistema</p><p>Usando as operações elementares temos:</p><p>a + b + 2c = 1</p><p>a + 2b – c = -2</p><p>a + 3b + c = 5</p><p>L2  L2 + (-1)L1</p><p>L3  L3 + (-1)L1</p><p>a + b + 2c = 1</p><p>0 + b – 3c = -3</p><p>0 + 2b - c = 4</p><p>L3  L3 + (-2)L2</p><p>20</p><p>3. COMBINAÇÃO LINEAR</p><p>Exemplo: Escreva o vetor V = (1, -2, 5) como combinação linear dos vetores</p><p>u = (1, 1, 1), v = (1, 2, 3) e w = (2, -1 ,1).</p><p>Utilizando a substituição para trás, temos:</p><p>L3  C = 10/5  C = 2</p><p>Substituindo o valor de C na linha 2 (L2), para encontrar o valor de B temos:</p><p>L2  b – 3c = -3</p><p>b – 3(2) = -3  b = 3</p><p>a + b + 2c = 1</p><p>0 + b – 3c = -3</p><p>0 + 0 + 5c = 10</p><p>21</p><p>3. COMBINAÇÃO LINEAR</p><p>Exemplo: Escreva o vetor V = (1, -2, 5) como combinação linear dos vetores</p><p>u = (1, 1, 1), v = (1, 2, 3) e w = (2, -1 ,1).</p><p>Agora substituindo o valor de B = 3 e C = 2 na Linha 1 (L1), encontraremos o valor de A e assim chegaremos a solução do sistema e consequentemente a solução da nossa questão:</p><p>L1  a + b + 2c = 1</p><p>a + 3 + 2(2) = 1</p><p>a + 3 + 4 = 1  a = -6</p><p>a + b + 2c = 1</p><p>0 + b – 3c = -3</p><p>0 + 0 + 5c = 10</p><p>22</p><p>3. COMBINAÇÃO LINEAR</p><p>Exemplo: Escreva o vetor V = (1, -2, 5) como combinação linear dos vetores</p><p>u = (1, 1, 1), v = (1, 2, 3) e w = (2, -1 ,1).</p><p>Logo, encontramos a solução para o sistema:</p><p>E então o vetor v = (1, -2, 5) pode ser escritor como combinação linear dos u, v e w:</p><p>Logo podemos escrever o vetor como: v = -6u + 3v + 2w</p><p>a = -6</p><p>b = 3</p><p>c = 2</p><p>23</p><p>4. Conjunto Geradores</p><p>Definição: Sejam V um espaço vetorial e v1, v2, ..., vn vetores em V. O conjunto W formado por todas as combinações lineares destes vetores é um subespaço vetorial de V. Chamamos [v1, v2, ..., vn] de gerador de W ou dizemos que W é gerado por {v1, v2, ..., vn}.</p><p>W = [v1, v2, ..., vn] = {v V | v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn, ai R}</p><p>Exemplo: Determine um gerador para W = {(x, y, z) R³| x – y + 2z = 0}</p><p>Dada a condição (x – y + 2z = 0), temos que (x = y – 2z), então os vetores de W são do tipo w = (y – 2z, y, z), onde y, z .</p><p>Veja que podemos escrever o vetor w = (y – 2z, y, z)</p><p>(y – 2z, y, z) = (y, y) + (-2z, z) = y(1, 1) + z(-2, 1)</p><p>Logo qualquer vetor de W que tem o formato w = (y – 2z, y, z), pode ser escrito como combinação linear de: (1,1) e (-2, 1).</p><p>Desse modo, W é gerador por W = [(1,1), (-2,1)]</p><p>∈</p><p>∈</p><p>∈</p><p>∈ R</p><p>24</p><p>5. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR</p><p>DEFINIÇÃO: Sejam V um espaço vetorial e v1, ..., vn ∈ V. Dizemos que o conjunto {v1, ..., vn} é 	 	 LINEARMENTE INDEPENDENTE (LI), ou que os vetores v1, ..., vn são LI, se a equação</p><p>A1v1 + ... + anvn = 0</p><p>Isso implica que a1 = a2 = ... = an = 0.</p><p>Caso exista algum ai ≠ 0 dizemos que {v1, ..., vn} é LINEARMENTE DEPENDENTE (LD), ou que 	 os vetores v1, ... Vn, são LD.</p><p>Vetores linearmente dependentes podem ser caracterizado de uma outra maneira.</p><p>TEOREMA: {v1, ..., vn} é LD se, e somente se um destes vetores for uma combinação linear dos outros 	 vetores.</p><p>ABAIXO VEREMOS DOIS EXEMPLOS DE VETORES LI E LD, PARA FIXAR O MELHOR O CONCEITO.</p><p>25</p><p>EXEMPLO (LI): Considere o seguinte conjunto de vetores S = {(1, 1, 1), (0, 1, 0)} ∈ R³ e verifique se ele é LI ou 	 LD:</p><p>Logo,</p><p>a(1, 1, 1) + b(0, 1, 0) = (0, 0, 0)</p><p>(a , a, a) + (0, b, 0) = (0, 0, 0)</p><p>(a, a + b, a) = (0, 0, 0)</p><p>Montando o sistema temos:</p><p>Portanto,</p><p>a = 0</p><p>a + b = 0</p><p>a = 0</p><p>a = 0</p><p>b = 0</p><p>Logo veja que a = b = 0, então o conjunto de vetores S são LINEARMENTE INDEPENDENTE (LI)</p><p>5. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR</p><p>26</p><p>EXEMPLO (LD): Considere o seguinte conjunto de vetores W = {(1, 0), (0, 1), (2, 2)} ∈ R² e verifique se ele é LI 	 ou LD:</p><p>Logo,</p><p>a(1, 0) + b(0, 1) + c(2, 2) = (0, 0)</p><p>(a, 0) + (0, b) + (2c, 2c) = (0, 0)</p><p>(a + 2c, b + 2c) = (0, 0)</p><p>Montando o sistema temos:</p><p>a + 2c = 0</p><p>b + 2c = 0</p><p>L2  L1 + L2(-1)</p><p>a + 2c = 0  c = -a/2</p><p>a – b = 0  a = b</p><p>Assumindo b = 2, logo a = 2 e c = -1</p><p>Temos que a = 2, b = 2 e c = 1, e então o conjunto de vetores de W SÃO LINEARMENTE INDEPENDENTES.</p><p>5. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR</p><p>27</p><p>6. BASE E DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL</p><p>Definição (Base): Um conjunto V = {v1, ..., vn} de vetores de V será uma base de V se:</p><p>i) {v1, ..., vn} é LINEARMENTE INDEPENDENTE;</p><p>ii) {v1, ..., vn} gerar V.</p><p>Teorema (Dimensão): Seja V um espaço vetorial tal que alguma base de V tem m elementos e outra base tem 		 n elementos. Então obrigatoriamente m = n.</p><p>Teorema: Dizemos que um espaço vetorial V tem dimensão finita n, ou que é n-dimensional, e denotamos 	por dimV = n se V possui alguma base com n elementos.</p><p>Abaixo veremos um exemplo para validar a definição e os teoremas acima</p><p>28</p><p>6. BASE E DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL</p><p>Exercício: Os vetores v1 = (1,0) e v2 = (0,1) formam uma base canônica do espaço vetorial V = R².</p><p>(i) Note que primeiro que esses vetores são LI, logo vamos verificar se a solução da equação é do tipo:</p><p>a1v1 + a2v2 = 0  a1(1,0) + a2(0,1) = (0,0)  (a1,0) + (0,a2) = (0,0)</p><p>(ii) Vamos verificar se esse conjunto de vetores geram R². Então para um vetor v = (x, y, z) ∈ R², logo devem existir constantes a1, a2, a3, de modo que, v = a1v1 + a2v2.</p><p>(x, y) = a1(1,0) + a2(0,1)  (x, y) = (a1,0) + (0,a2)  (x, y) = (a1,a2)</p><p>Pela igualdade de vetores, temos que: x = a1 e y = a2.</p><p>Portanto, dado o vetor arbitrário v = (x, y), podemos escreve-lo como combinação linear dos vetores v1 = (1,0) e v2 = (0,1) e a combinação linear pode ser escrito da seguinte forma:</p><p>(x, y) = x(1, 0) + y(0, 1)</p><p>Portanto, vimos que os vetores v1 e v2 geram R².</p><p>a1 = 0</p><p>a2 = 0</p><p>Portanto temos que a1 = a2 = 0. Assim os vetores são LI.</p><p>29</p><p>7. MUDANÇA DE BASE</p><p>TEOREMA: Dada uma base β = {v1, v2, ...vn} de V, cada vetor de V é escrito de maneira única como 	 	 combinação linear de v1, v2, ..., vn.</p><p>DEFINIÇÃO: Sejam β = {v1, v2, ...vn} base de V e v ∈ V onde v = a1v1 + ... + anvn. Chamamos estes números a1, ..., an de coordenadas de v em relação à base β e denotados por:</p><p>EXEMPLO: Seja a base β = {(1, 0), (0, 1)}, então queremos encontrar as coordenadas do vetor v = (4, 3) em 	 relação a essa base, logo temos:</p><p>(4, 3) = 4(1, 0) + 3(0, 1)</p><p>Portanto, [(4, 3)] =</p><p>a1</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>an</p><p>V =</p><p>β</p><p>β</p><p>4</p><p>3</p><p>30</p><p>7. MUDANÇA DE BASE</p><p>DEFINIÇÃO: Sejam β = {u1, ..., un} e β` = {w1, ..., wn} duas bases ordenadas de um mesmo espaço vetorial V. 	 Dado um vetor v ∈ V, podemos escrevê-lo como:</p><p>[v]β = x1u1 + ... +xnun</p><p>[v]β` = y1w1 + ... + ynwn</p><p>Como podemos relacionar as coordenadas de v em relação à base β, então temos:</p><p>x1</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>xn</p><p>V =</p><p>β</p><p>31</p><p>7. MUDANÇA DE BASE</p><p>DEFINIÇÃO: Sejam β = {u1, ..., un} e β` = {w1, ..., wn} duas bases ordenadas de um mesmo espaço vetorial V. 	 Dado um vetor v ∈ V, podemos escrevê-lo como:</p><p>[v]β = x1u1 + ... +xnun</p><p>[v]β` = y1w1 + ... + ynwn</p><p>Com as coordenadas do mesmo vetor v em relação à base β`, então temos:</p><p>y1</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>yn</p><p>V =</p><p>β`</p><p>32</p><p>7. MUDANÇA DE BASE</p><p>Já que os vetores da β = {u1, ..., un} é base de V, podemos escrever os vetores da base β` como combinação linear dos vetores de β, isto é,</p><p>Logo, note que vamos encontrar valores para (a11, ..., ann) que corresponderá as coordenadas dos vetores da base β` = {w1, ..., wn} na base β = {u1, ..., un}.</p><p>w1 = a11u1 + a21u2 + ... + an1un</p><p>w2 = a12u1 + a22u2 + ... + an2un</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>wn = a1nu1 + a2nu2 + ... + annun</p><p>33</p><p>7. MUDANÇA DE BASE</p><p>Diante disso, temos: . A MATRIZ MUDANÇA DE BASE DE PARA</p><p>Por definição temos que:</p><p>ou ainda:</p><p>Na qual a matriz é a MATRIZ MUDANÇA DE BASE DE PARA .</p><p>a11 a12 ... a1n</p><p>a21 a22 ... a2n</p><p>. . .</p><p>. . .</p><p>. . .</p><p>an1 an2 ... ann</p><p>I =</p><p>β`</p><p>β</p><p>V =</p><p>β</p><p>I *</p><p>β`</p><p>β</p><p>V</p><p>β`</p><p>β`</p><p>β</p><p>I</p><p>β`</p><p>β.</p><p>V =</p><p>I *</p><p>β`</p><p>β</p><p>V</p><p>β`</p><p>β</p><p>I</p><p>β`</p><p>β</p><p>β</p><p>β`</p><p>34</p><p>7. MUDANÇA DE BASE</p><p>O EXEMPLO A SEGUIR ESCLARECE O PAPEL DE MATRIZ DE MUDANÇA DE BASE.</p><p>Exemplo: Sejam β = {(2, -1), (3, 4)} e β` = {(1, 0), (0, 1)} bases de R². Procuraremos, inicialmente:</p><p>w1 = (1, 0) = a11(2, -1) + a21(3, 4)</p><p>(1, 0) = (2a11, -a11) + (3a21, 4a21)</p><p>(1, 0) = (2a11 + 3a21, -a11 + 4a21)</p><p>Montando o sistema, temos:</p><p>Usando as operações elementares, chegamos:</p><p>β`</p><p>β</p><p>I</p><p>2a11 + 3a21 = 1</p><p>a11 + 4a21 = 0</p><p>a11 = 4/11</p><p>a21 = 1/11</p><p>35</p><p>7. MUDANÇA DE BASE</p><p>O EXEMPLO A SEGUIR ESCLARECE O PAPEL DE MATRIZ DE MUDANÇA DE BASE.</p><p>Exemplo: Sejam β = {(2, -1), (3, 4)} e β` = {(1, 0), (0, 1)} bases de R². Procuraremos, inicialmente:</p><p>w2 = (0, 1) = a12(2, -1) + a22(3, 4)</p><p>(0, 1) = (2a12, -a12) + (3a22, 4a22)</p><p>(0, 1) = (2a12 + 3a22, -a12 + 4a22)</p><p>Montando o sistema, temos:</p><p>β`</p><p>β</p><p>I</p><p>2a11 + 3a21 = 1</p><p>a11 + 4a21 = 0</p><p>Usando as operações elementares, chegamos:</p><p>a12 = -3/11</p><p>a22 = 2/11</p><p>36</p><p>7. MUDANÇA DE BASE</p><p>Portanto,</p><p>Podemos usar esta matriz para encontrar, por exemplo, para = (5, -8).</p><p>[(5, -8)] = [(5, -8)]</p><p>a11 a12</p><p>a21 a22</p><p>I =</p><p>β`</p><p>β</p><p>4/11 -3/11</p><p>1/11 2/11</p><p>=</p><p>β</p><p>β`</p><p>β</p><p>I</p><p>β`</p><p>4/11 -3/11</p><p>1/11 2/11</p><p>=</p><p>5</p><p>-8</p><p>=</p><p>4</p><p>-1</p><p>V</p><p>β`</p><p>V</p><p>β</p><p>V</p><p>β</p><p>=</p><p>4</p><p>-1</p><p>8. REFERÊNCIAS</p><p>BOLDRINE , Luiz. Álgebra Linear. 3. ed. [S. l.]: Harbra ltda, 1980. 407 p.</p><p>LIPSCHUTZ, Seymour et al. Álgebra Linear. [S. l.: s. n.], 1960.</p><p>38</p><p>OBRIGADO PELA ATENÇÃO!!</p><p>39</p><p>image2.jpeg</p><p>image3.png</p>