MATERIAL_TERICO_INSS_GRAN_ONLINE_2015_LGICA-josimar

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<p>1</p><p>RACIOCÍNIO LÓGICO</p><p>PROF. JOSIMAR PADILHA</p><p>“Nós somos o que fazemos repetidamente, a excelência</p><p>não é um feito, e sim, um hábito”.Aristóteles.</p><p>Sucesso!</p><p>2</p><p>01 - NOÇÕES DE CONJUNTOS</p><p>Nesta primeira aula iremos estudar sobre “noções de conjuntos”, uma vez que a mesmo trará uma</p><p>interpretação concreta dos fundamentos utilizados na lógica proposicional. É importante ressaltar que é um</p><p>conteúdo constante nas últimas provas de concursos públicos.</p><p>Introdução</p><p>Relação de Pertinência: É a relação existente entre elemento e conjunto. Caso você queira</p><p>relacionar um elemento “x” a um conjunto “X”, a relação deverá ser:</p><p>O elemento x pertence a X (x  X) ou o elemento x não pertence a X( x X) .</p><p>Uma outra maneira para definir conjuntos, consiste em escrever uma lista dos elementos do</p><p>conjunto, entre chaves. Desse modo, escreveríamos o conjunto A da seguinte forma:</p><p>A = { I,II,III,IV,V,VI,VII,VIII,IX,,X,...}</p><p>Um conjunto poderá ser representado por diagramas da seguinte forma:</p><p>Relação de Inclusão: É a relação existente entre conjunto e subconjunto ou subconjunto e conjunto.</p><p>Caso você queira relacionar um subconjunto A a um conjunto B, a relação deverá ser:</p><p>Ex.: No diagrama abaixo temos que A contém o conjunto B. Logo A é um conjunto e B é um</p><p>subconjunto. A relação existente entre os dois é a seguinte:</p><p>A  B “A contém B” e B A “B está contido em A”</p><p>3</p><p>Número de subconjuntos</p><p>O número de subconjuntos de um conjunto como por exemplo:</p><p>A= { a, b } = { a } , { b } , {a, b } , { } ; temos neste caso 4(quatro) subconjuntos de um conjunto A</p><p>com 2 elementos.</p><p>Conjunto vazio é aquele que não possui nenhum elemento. E ele está contido em qualquer conjunto.</p><p>Representação: ou { }, nunca {}.</p><p>Conjunto das partes:</p><p>Denotado por P(A) e possui todos os subconjuntos de A. n(P(A)) = 2 n(A) ( número de elementos do conjunto) .</p><p>C= { a,b,c } = { a } , {b} , { c } , { a,b} , { a,c} , {b,c} , {a,b,c} ,{ } = 23=8 subconjuntos.</p><p>Operações com conjuntos</p><p>REUNIÃO OU UNIÃO:</p><p>Iremos identificar uma União entre dois conjuntos quando tivermos o termo: “OU”</p><p>Conceito . Dados dois conjuntos quaisquer A e B, chama-se união ou reunião de A e B o conjunto formado</p><p>pelos elementos que pertencem a pelo menos um desses conjuntos (podendo, evidentemente, pertencer aos</p><p>dois), isto é, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Em símbolos:</p><p>Exemplos:</p><p> {1; 2} U {3; 4} = {1; 2; 3; 4}</p><p> {n, e, w, t, o, n} U {h, o, r, t, a} = {a, e, h, n, o, r, t, w}</p><p>A definição 1 nos diz que um elemento x pertencer a A U B é equivalente a dizer que uma das proposições “x</p><p>pertence A” ou “x pertence a B” é verdadeira. Desse fato decorre que:</p><p>Propriedades da União</p><p>Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes propriedades:</p><p>1. Idempotência: A U A = A. A união de um conjunto qualquer A com ele mesmo é igual a A;</p><p>2. Comutativa: A U B = B U A;</p><p>3. Elemento Neutro: Ø U A = A U Ø = A . O conjunto Ø é o elemento neutro da união de conjuntos;</p><p>4. Associativa: (A U B) U C = A U (B U C).</p><p>4</p><p>INTERSECÇÃO</p><p>Iremos identificar uma Interseção entre dois conjuntos quando tivermos os termos:</p><p>“e”, “ simultaneamente” e “ ao mesmo tempo”</p><p>Conceito. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos intersecção de A e de B (ou de A com B) a</p><p>um novo conjunto, assim definido:</p><p>Exemplos:</p><p>Da definição de intersecção resulta que:</p><p>Os fatos acima nos diz que A intersecção B é um subconjunto de A e de B, ou seja:</p><p>Propriedades da Intersecção</p><p>Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes propriedades:</p><p>1. Idempotência:</p><p>2. Comutativa:</p><p>3. Elemento Neutro - O conjunto universo U é o elemento neutro da intersecção de conjuntos:</p><p>4.Associativa:</p><p>Quando dois conjuntos quaisquer A e B não têm elemento comum, dizemos que A e B são conjuntos</p><p>disjuntos. Em outras palavras, dois conjuntos são disjuntos quando a intersecção entre eles é igual ao</p><p>conjunto vazio.</p><p>5</p><p>DIFERENÇA</p><p>Iremos identificar uma Diferença entre dois conjuntos quando tivermos os termos :</p><p>“apenas ”, “ somente” e “ exclusivamente”, ligados ao conjunto.</p><p>Conceito. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos a diferença entre A e B o conjunto dos</p><p>elementos de A que não pertencem a B.</p><p>Exemplos:</p><p> {a, b, c} - {a, c, d, e, f} = {b}</p><p> {a, b} - {e, f, g, h, i} = {a, b}</p><p> {a, b} - {a, b, c, d, e} = Ø</p><p>Temos a seguir uma interpretação concreta por meio do diagrama de Euler-Venn em que a diferença</p><p>corresponde à parte branca de A.</p><p>COMPLEMENTAR DE B EM A</p><p>Definição 4. Dados os conjuntos A e B quaisquer, com B contido em A, chama-se complementar de B em</p><p>relação a A o conjunto A - B, e indicamos como:</p><p>APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS</p><p>01) (ESAF/TÉCNICO-2006) X e Y são dois conjuntos não vazios. O conjunto X possui 64 subconjuntos. O</p><p>conjunto Y, por sua vez, possui 256 subconjuntos. Sabe-se, também, que o conjunto Z = X ∩ Y possui 2</p><p>elementos. Desse modo, conclui-se que o número de elementos do conjunto P = Y - X é igual a:</p><p>a) 4</p><p>6</p><p>b) 6</p><p>c) 8</p><p>d) vazio</p><p>e) 1</p><p>Nesta questão é dado dois conjuntos não vazios , ou seja, possuem elementos, mas é fornecido a</p><p>quantidade de subconjuntos de cada conjunto, em que deveremos encontrar o número de elementos da</p><p>seguinte maneira :</p><p>Para o conjunto X temos que : P(X)=64 , sendo P(X) = 2n . Logo,</p><p>2n=64, fatorando o número 64 temos que 64= 26</p><p>2n=26</p><p>n=6 ( o número de elementos do conjunto n(X) = 6)</p><p>Para o conjunto Y temos que : P(Y)=256 , sendo P(Y) = 2n . Logo,</p><p>2n=256, fatorando o número 256 temos que 256= 28</p><p>2n=28</p><p>n=8 ( o número de elementos do conjunto n(Y) = 8)</p><p>Para o conjunto Z , segundo o enunciado temos : Z = X ∩ Y possui 2 elementos ( n(Z)=2 ) . Logo,</p><p>7</p><p>Após construirmos os diagramas e suas respectivas operações temos que a questão solicita o</p><p>número de elementos do conjunto P = Y - X . Sendo assim, trata-se da diferença entre os conjuntos Y e X ,</p><p>em que devemos selecionar os elemento que pertencem a Y mas não pertencem a X.</p><p>De acordo com o diagrama acima temos que P= Y-X = 6 elementos .</p><p>Resposta : Letra B</p><p>02) (CESPE-2002) Para preencher vagas disponíveis, o departamento de pessoal de uma empresa aplicou</p><p>um teste em 44 candidatos, solicitando, entre outras informações, que o candidato respondesse se já havia</p><p>trabalhado</p><p>I em setor de montagem eletromecânica de equipamentos;</p><p>II em setor de conserto de tubulações urbanas;</p><p>III em setor de ampliações e reformas de subestações de baixa e de alta tensão.</p><p>Analisados os testes, o departamento concluiu que todos os candidatos tinham experiência em pelo menos</p><p>um dos setores citados acima e que tinham respondido afirmativamente</p><p>• 28 pessoas à alternativa I.</p><p>• 4 pessoas somente à alternativa I.</p><p>• 1 pessoa somente à alternativa III.</p><p>• 21 pessoas às alternativas I e II.</p><p>• 11 pessoas às alternativas II e III.</p><p>• 13 pessoas às alternativas I e III.</p><p>Com base nas informações anteriores, assinale a opção incorreta.</p><p>a) Apenas 10 candidatos têm experiência nos 3 setores.</p><p>8</p><p>b) Somente 36 candidatos têm experiência no setor de conserto de tubulações urbanas.</p><p>c) Apenas 15 candidatos têm experiência no setor de ampliações e reformas de subestações.</p><p>d) Somente 2 candidatos têm experiência apenas nos setores de montagem e de ampliações e reformas de</p><p>subestações.</p><p>e) Somente 1 candidato tem experiência apenas nos setores de conserto de tubulações urbanas e de</p><p>ampliações e reformas de</p><p>é verdade que Gosto de lógica. Se é</p><p>falso que gosto de lógica, obrigatoriamente, é falso que gosto de matemática, e, se é falso que gosto de</p><p>matemática, obrigatoriamente, é falso que gosto de lógica. Qualquer outra possibilidade representa um</p><p>conjunto vazio. A tabela e o diagrama abaixo representam esta situação.</p><p>V V F V V</p><p>V F F F</p><p>F V V F V</p><p>F F F V</p><p>Tabela Verdade</p><p>A B AB</p><p>V V V</p><p>46</p><p>Conclusão: Na proposição bi-condicional se a primeira das duas proposições simples que a compõem for</p><p>verdadeira a segunda será verdadeira e se a primeira for falsa a segunda será falsa. Se a segunda for falsa a</p><p>primeira será falsa e se a segunda for verdadeira a primeira será verdadeira. Veja:</p><p>Quando temos:</p><p>P→Q  PQ</p><p>e Logo P=Q  P↔Q</p><p>Q→P  QP</p><p>Uma aplicação deste conceito foi comentada na prova do TRF 1ª REGIÃO em 2006.</p><p>Se todos nossos atos tem causas, então não há atos livres.</p><p>Se não há atos livres, então todos nossos atos tem causas.</p><p>Tomando como proposições:</p><p>P1: Todos nossos atos tem causas.</p><p>P2: Não há atos livres.</p><p>P→Q</p><p>→ P↔Q “Todos nossos atos tem causas se e somente se não há atos livres.”</p><p>Q→P</p><p>P é condição necessária e suficiente para Q</p><p>Temos que observar que em muitas questões de concursos públicos os conectivos lógicos: condicional e</p><p>bicondicional são expressões não em uma linguagem formal ( seu significado), mas por meio de condições</p><p>impostas as proposições simples que compõem uma sentença composta. Vejamos nas questões abaixo:</p><p>APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS</p><p>01-(EPPGG - MP/2005 –ESAF)</p><p>Carlos não ir ao Canadá é condição necessária para Alexandre ir à Alemanha. Helena não ir à Holanda é</p><p>condição suficiente para Carlos ir ao Canadá. Alexandre não ir à Alemanha é condição necessária para</p><p>Carlos não ir ao Canadá. Helena ir à Holanda é condição suficiente para Alexandre ir à Alemanha. Portanto:</p><p>a) Helena não vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.</p><p>b) Helena vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.</p><p>V F F</p><p>F V F</p><p>F F V</p><p>V V</p><p>F F</p><p>47</p><p>c) Helena não vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.</p><p>d) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre vai à Alemanha.</p><p>e) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.</p><p>Comentário :</p><p>Primeiramente vamos identificar os conectivos e construir a estrutura para chegarmos a uma</p><p>conclusão verdadeira.</p><p>(F) (F)</p><p>P1: Alexandre ir à Alemanha Carlos não ir ao Canadá (V)</p><p>(V) (V)</p><p>P2: Helena não ir à Holanda  Carlos ir ao Canadá (V)</p><p>(F) (V)</p><p>P3: Carlos não ir ao Canadá Alexandre não ir à Alemanha(V)</p><p>(F) (F)</p><p>P4: Helena ir à Holanda  Alexandre ir à Alemanha (V)</p><p>Logo partindo de que todas as premissas ( proposições ) são verdadeiras e utilizando as tabelas-</p><p>verdade valoramos as proposições simples.</p><p>Analisando os itens propostos pela questão para se chegar a uma conclusão verdadeira, temos:</p><p>a) Helena não vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.</p><p>V ^ F ^ V = F ( errado )</p><p>b) Helena vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.</p><p>F ^ V ^V = F ( errado )</p><p>c) Helena não vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.</p><p>V ^ V ^V = V ( certo )</p><p>d) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre vai à Alemanha.</p><p>F ^ F ^ F = F ( errado )</p><p>e) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.</p><p>F ^F ^ F = F ( errado )</p><p>Logo temos como item correto a letra C .</p><p>02 (ESAF/TÉCNICO-2006)</p><p>Sabe-se que Beto beber é condição necessária para Carmem cantar e condição suficiente para Denise</p><p>dançar. Sabe-se, também, que Denise dançar é condição necessária e suficiente para Ana chorar. Assim,</p><p>quando Carmem canta,</p><p>a) Denise não dança ou Ana não chora.</p><p>b) nem Beto bebe nem Denise dança.</p><p>c) Beto bebe e Ana chora.</p><p>d) Beto não bebe ou Ana não chora</p><p>e) Denise dança e Beto não bebe</p><p>Comentário :</p><p>Primeiramente vamos identificar os conectivos e construir a estrutura para chegarmos a uma</p><p>conclusão verdadeira.</p><p>(V) (V)</p><p>P1: Carmem cantar Beto beber (V)</p><p>(V) (V)</p><p>P2: Beto beber  Denise dançar (V)</p><p>(V) (V)</p><p>P3: Denise dançar ↔ Ana chorar (V)</p><p>(V)</p><p>P4: Carmem cantar (V)</p><p>Logo partindo de que todas as premissas ( proposições ) são verdadeiras e utilizando as tabelas-</p><p>verdade valoramos as proposições simples.</p><p>Analisando os itens propostos pela questão para se chegar a uma conclusão verdadeira, temos:</p><p>(F) v (F) = (F)</p><p>a) Denise não dança ou Ana não chora</p><p>48</p><p>(F) ^ (F) = F</p><p>b) Nem Beto nem Denise dançam</p><p>(V) ^ (V) = V</p><p>c) Beto bebe e Ana chora</p><p>(F) ^ (F) =F</p><p>d) Beto não bebe e Ana não chora</p><p>(V) ^ (F) =F</p><p>e) Denise dança e Beto não bebe.</p><p>Logo temos como item correto a letra C .</p><p>Momento de Treinamento</p><p>1) (ESAF) Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para Maria sorrir e condição suficiente para</p><p>Daniela abraçar Paulo. Sabe-se, também, que Daniela abraçar Paulo é condição necessária e suficiente para</p><p>Sandra abraçar Sérgio.</p><p>Assim, quando Sandra não abraça Sérgio:</p><p>A) João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça Paulo.</p><p>B) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela não, abraça Paulo.</p><p>C) João está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo.</p><p>D) João não está feliz, e Maria não sorri e Daniela não abraça Paulo.</p><p>E) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela abraça Paulo.</p><p>2) (ESAF) O Rei ir à caça é condição necessária para o Duque sair do castelo, e é condição suficiente para a</p><p>Duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o Conde encontrar a Princesa é condição necessária e suficiente para o</p><p>Barão sorrir e é condição necessária para a Duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu, logo:</p><p>A) A Duquesa foi ao jardim ou o Conde encontrou a Princesa.</p><p>B) Se o Duque não saiu do castelo, então o Conde encontrou a Princesa.</p><p>C) O Rei não foi à caça e o Conde não encontrou a Princesa.</p><p>D) O Rei foi à caça e a Duquesa não foi ao jardim.</p><p>E) O Duque saiu do castelo e o rei não foi à caça.</p><p>3) (ESAF) Sabe-se que a ocorrência de B é condição necessária para a ocorrência de C e condição</p><p>suficiente para a ocorrência de D. Sabe se, também, que a ocorrência de D é condição necessária e</p><p>suficiente para a ocorrência de A. Assim, quando C ocorre:</p><p>A) D ocorre e B não ocorre.</p><p>B) D não ocorre ou A não ocorre.</p><p>C) B e A ocorrem.</p><p>D) Nem B nem D ocorrem.</p><p>E) B não ocorre ou A não ocorre.</p><p>GABARITO</p><p>01 D</p><p>02 C</p><p>03 C</p><p>49</p><p>VI- NEGAÇÃO OU MODIFICADOR LÓGICO</p><p>O 'não' é chamado de modificador lógico porque ao ser inserido em uma proposição muda seu valor lógico,</p><p>ou seja, faz a negação da proposição. Quando formos representar a negação de uma proposição, vamos</p><p>usar o sinal de til (~) ou (¬) antes da letra que representa a proposição</p><p>Proposição p Proposição ¬p</p><p>Reginaldo é</p><p>trabalhador</p><p>Reginaldo não é trabalhador</p><p>Não é verdade que</p><p>Reginaldo é trabalhador</p><p>É falso que Reginaldo é</p><p>trabalhador</p><p>Se uma proposição p é verdadeira, então a sua negação, a proposição ¬p, é falsa. Veja:</p><p>Se a proposição...</p><p>tem valor lógico...</p><p>A bola é pesada verdadeiro</p><p>então a proposição... tem valor lógico...</p><p>A bola não é pesada Falso</p><p>Se uma proposição ¬p é verdadeira, então a sua negação, proposição p, é falsa.Veja:</p><p>Se a proposição... tem valor lógico...</p><p>Não quero. verdadeiro</p><p>então a proposição... tem valor lógico...</p><p>Quero. Falso</p><p>Não quero, verdadeiro. Quero, falso Podemos representar as tabelas acima apenas por:</p><p>p ~ p ou ¬ p</p><p>V F</p><p>F V</p><p>50</p><p>03– LÓGICA DE 1ª ORDEM</p><p>VERDADES E MENTIRAS</p><p>As três “Leis do Pensamento” ou Princípios Fundamentais da</p><p>Lógica Proposicional</p><p>Os que definiram a Lógica como a ciência. das leis do pensamento sustentaram, freqüentemente,</p><p>que existem exatamente três leis fundamentais do pensamento, as quais são necessárias e suficientes para</p><p>que o pensar se desenvolva de maneira "correta". Essas leis do pensamento receberam, tradicionalmente,</p><p>os nomes de Princípio de Identidade, Princípio de Contradição (por vezes, Principio de Não-Contradição) e</p><p>Princípio do Terceiro Excluído. Há formulações alternativas desses princípios, apropriadas a diferentes</p><p>contextos. No nosso caso, as formulações apropriadas são as seguintes:</p><p>O Princípio de Identidade afirma .que se qualquer enunciado é verdadeiro, então ele é verdadeiro. ,</p><p>O Princípio da Não-contradição afirma que nenhum enunciado pode ser verdadeiro e falso.</p><p>O Princípio do Terceiro Excluído afirma que um enunciado ou é verdadeiro, ou é falso.</p><p>O princípio da Identidade afirma que todo o enunciado da forma p p é verdadeiro, ou seja, que</p><p>todo o enunciado desse tipo é uma tautologia. O princípio de Contradição afirma que todo o enunciado da</p><p>forma p /\ ~ p é falso, ou seja, que todo o enunciado desse tipo é contraditório. O “Princípio do Terceiro</p><p>Excluído” afirma que todo o enunciado da forma p v ~ p é verdadeiro, ou seja, que todo o enunciado desse</p><p>tipo é uma tautologia.</p><p>Nas provas de concursos temos questões de analítica em que devemos aplicar</p><p>conhecimentos associados aos princípios fundamentais, onde devemos experimentar as</p><p>duas valorações possíveis para uma proposição, V ou F. Sendo que apenas uma das</p><p>hipóteses deverá dar certo, a outra resultará em uma contradição, vamos aos exemplos:</p><p>APLICAÇÃO: QUESTÃO DE CONCURSO COMENTADA</p><p>01-( CESPE –2008 –SEBRAE -ANALISTA )Com relação à lógica formal, julgue o item seqüente.</p><p>( ) Toda proposição lógica pode assumir no mínimo dois valores lógicos.</p><p>51</p><p>Comentário</p><p>O item está errado, pois segundo a informação da sentença dá-se a entender que uma proposição</p><p>pode assumir uma quantidade de dois ou mais valores lógicos, o que não respeita uma das leis do</p><p>pensamento: “Princípio do Terceiro Excluído”.</p><p>02- (CESPE-2004- PF- PAPILOSCOPISTA) - Denomina-se contradição uma proposição que é sempre falsa.</p><p>Uma forma de argumentação lógica considerada válida é embasada na regra da contradição, ou seja, no</p><p>caso de uma proposição ¬R verdadeira (ou R verdadeira), caso se obtenha uma contradição, então conclui-</p><p>se que R é verdadeira (ou ¬R é verdadeira). Considerando essas informações e o texto de referência, e</p><p>sabendo que duas proposições são equivalentes quando possuem as mesmas valorações, julgue o item</p><p>que se segue:</p><p>( ) Considere que, em um pequeno grupo de pessoas — G — envolvidas em um acidente, haja apenas dois</p><p>tipos de indivíduos: aqueles que sempre falam a verdade e os que sempre mentem. Se, do conjunto G, o</p><p>indivíduo P afirmar que o indivíduo Q fala a verdade, e Q afirmar que P e ele são tipos opostos de indivíduos,</p><p>então, nesse caso, é correto concluir que P e Q mentem.</p><p>Comentário :</p><p>Neste tipo de questão temos apenas dois tipos de indivíduos, logo aplicaremos o seguinte método</p><p>(experimentação): Primeiro atribuiremos a P que ele fale sempre a verdade, então iremos realizar a</p><p>análise, se houver alguma contradição, iremos atribuir a P que ele sempre fale a mentira. Uma das</p><p>hipóteses dará certo, de acordo com as leis do pensamento.</p><p>Sendo assim temos:</p><p>Indivíduo P Indivíduo Q</p><p>FALA VERDADE FALA VERDADE</p><p>1- Atribuindo a P V(verdade) acreditaremos no que ele disser , pois fala a verdade, logo ao</p><p>falar que Q fala a verdade, teremos que Q irá falar a verdade também (v).</p><p>ANALISANDO: Quando Q afirma que ele e P são tipos opostos, o mesmo entra em contradição,</p><p>o que não deveria acontecer, pois o mesmo só fala a verdade, logo esta análise está inválida.</p><p>______________________________________________________________________________________</p><p>Indivíduo P Indivíduo Q</p><p>FALA MENTIRA FALA MENTIRA</p><p>2- Atribuindo a PF(mentira), pegamos o oposto do que ele disse, pois o mesmo sempre mente,</p><p>logoQ irá mentir também, e ao mentir disse que P fala a verdade, o que é mentira, pois o Q é mentiroso,</p><p>logo os dois mentem. E assim podemos concluir que os dois mentem. O item está correto.</p><p>03-(CESPE-2004- SERPRO ANALISTA ) No final dos anos 70 do século passado, um importante lógico</p><p>chamado Smullyan descreveu, em um livro, uma ilha onde havia apenas dois tipos de pessoas: mentirosas,</p><p>pois só falavam mentiras, e honestas, pois só falavam verdades. Um visitante chega à ilha, aproxima-se de</p><p>quatro nativos, chamados Jari, Marli, Geni e Marlim, e inicia WTI a conversação da qual se relatam os</p><p>seguintes trechos.</p><p>Q fala a</p><p>verdade Eu e P somos</p><p>de tipos</p><p>opostos</p><p>Q fala a</p><p>verdade</p><p>Eu e P somos</p><p>de tipos</p><p>opostos</p><p>52</p><p>( ) De acordo com o trecho 1 da conversa, está correto que o visitante conclua que Jarí e Marli são ambos</p><p>mentirosos.</p><p>( ) De acordo com o trecho 2 da conversa, se o visitante concluiu que Geni é honesta e Marlim é mentiroso,</p><p>então o visitante chegou a uma conclusão errada.</p><p>Comentário :</p><p>Esta questão pode ser analisada da mesma forma da segunda questão (PF 2004) já comentada</p><p>anteriormente.</p><p>No trecho 1 temos: Supondo Jarí (V) fala sempre a verdade temos que Marli também falará a</p><p>verdade o que faz com que Marli entre em contradição, pois o mesmo afirmar que eles são tipos opostos.</p><p>Então iremos supor agora que Jarí (F) fala sempre a mentira o que faz com que Marli fale mentira</p><p>também segundo a contradição . Supondo Marli com (F) falando a mentira temos que sua declaração</p><p>deverá ser analisada de forma contrária o que faz com que Jari também é mentirosa. Logo os dois mentem.</p><p>No trecho 2 temos : Neste caso é melhor começarmos analisar pela Marlim ,pois sua declaração é</p><p>simples,então supondo Marlim (V) temos que Geni fala a mentira, o que faz com que este minta e ao mentir</p><p>o mesmo afirma que os dois são honestos , o que não é verdade pois ao afirmar que os dois são honestos</p><p>ele está mentindo o que deixa a questão com as seguintes valorações : Marlim(V) e Geni (F).</p><p>04-(CESPE-2007- BANCO DO BRASIL) No livro Alice no País dos Enigmas, o professor de matemática e</p><p>lógica Raymond Smullyan apresenta vários desafios ao raciocínio lógico que têm como objetivo distinguir-se</p><p>entre verdadeiro e falso. Considere o seguinte desafio inspirado nos enigmas de Smullyan. Duas pessoas</p><p>carregam fichas nas cores branca e preta. Quando a primeira pessoa carrega a ficha branca, ela fala</p><p>somente a verdade, mas, quando carrega a ficha preta, ela fala somente mentiras. Por outro lado, quando a</p><p>segunda pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente mentira,</p><p>mas, quando carrega a ficha preta, fala</p><p>somente verdades.</p><p>Com base no texto acima, julgue o item a seguir.</p><p>( ) Se a primeira pessoa diz “Nossas fichas não são da mesma cor” e a segunda pessoa diz “Nossas fichas</p><p>são da mesma cor”, então, pode-se concluir que a segunda pessoa está dizendo a verdade.</p><p>Comentário :</p><p>Vamos resumir o texto da seguinte forma</p><p>FP= ficha preta FB= ficha branca</p><p>Supondo que a 1ª pessoa FALA A VERDADE, temos:</p><p>1ª Pessoa (Fala a verdade)</p><p>Trecho 1 Trecho 2</p><p>Jari diz: Marli é honesta</p><p>Marli diz: Jari e eu somos pessoas de tipos opostos</p><p>Geni diz a Marlim: nós dois somos honestos.</p><p>Marlim diz: a Geni é mentirosa.</p><p>53</p><p>V(Carrega ficha branca) ao falar que “nossas fichas não são da mesma cor”, isto é verdade, pois uma</p><p>pessoa que fala a verdade não pode mentir, logo a ficha da 2ª pessoa deverá ser preta. Sendo a ficha da 2ª</p><p>pessoa preta, a mesma deverá falar a verdade. Verificando temos: “Nossas fichas são da mesma cor”, diz a</p><p>2ª pessoa, o que é verdade, algo que não pode acontecer pois uma pessoa que fala a verdade não pode</p><p>mentir. “Princípio da não contradição”.</p><p>Supondo que a 1ª pessoa FALA MENTIRA, temos:</p><p>1ª pessoa (Fala mentira)</p><p>F(Carrega ficha preta) ao falar que “nossas fichas não são da mesma cor”, isto é mentira, pois uma pessoa</p><p>que fala mentira não pode falar a verdade, logo a ficha da segunda pessoa será preta. Sendo a ficha da</p><p>segunda pessoa preta, a mesma deverá falar a verdade. Verificando temos: “Nossas fichas são da mesma</p><p>cor”, diz a segunda pessoa, o que é verdade, logo os dois possuem fichas da mesma cor.</p><p>1ª Pessoa – FP (F)</p><p>2ª Pessoa – FP (V)</p><p>O item está certo</p><p>QUESTÕES COM CONTRADIÇÕES E EXPERIMENTAÇÃO</p><p>Nas provas de concursos temos questões em que as bancas cobram dos candidatos uma análise referente</p><p>à declarações realizadas em uma determinada situação procurando na maioria das vezes saber que é o</p><p>mentiroso e até mesmo o culpado de um determinado delito.Isto é notável nas ultimas provas para Polícia</p><p>Federal 2004 e Policia civil 2008. Sendo assim é necessário utilizar um método prático para resolução</p><p>dessas questões.</p><p>Nas questões com declarações onde existem pessoas que mentem e falam a verdade, em que</p><p>podemos perceber existir uma contradição entre declarações, pois não há como adivinhar quem mente ou</p><p>quem fala a verdade, sendo assim , devemos aplicar o que foi ensinado no início referente as três leis do</p><p>pensamento, onde uma proposição” declaração” não pode ser verdadeira(V) e falsa ( F)ao mesmo tempo,</p><p>daí teremos uma possível valoração para estas declarações... Vejamos as questões comentadas de 01 E 02</p><p>abaixo e a aplicação do método :</p><p>APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS</p><p>01) ESAF</p><p>Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando,</p><p>Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu:</p><p>Armando: “Sou inocente”</p><p>Celso: “Edu é o culpado.”</p><p>Edu: “Tarso é o culpado”</p><p>Juarez: “Armando disse a verdade”</p><p>Tarso: “Celso mentiu”.</p><p>54</p><p>Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-se</p><p>concluir que o culpado é:</p><p>a) Edu</p><p>b) Tarso</p><p>c) Juarez</p><p>d) Armando</p><p>e) Celso</p><p>RESOLUÇÃO :</p><p>De acordo com a questão temos que as declarações de:</p><p>Celso: “Edu é o culpado”</p><p>Tarso: “Celso mentiu”.</p><p>Partindo da contradição das declarações temos que: “Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu...”,</p><p>podemos deduzir que a mentira ( adotaremos como F ) está entre Celso ou Tarso, logo podemos analisar da</p><p>seguinte forma:</p><p>- Armando: “Sou inocente” (v)</p><p>- Celso: “Edu é o culpado.”</p><p>- Edu: “Tarso é o culpado” (v)</p><p>- Juarez: “Armando disse a verdade” (v)</p><p>- Tarso: “Celso mentiu”.</p><p>Sendo verdadeiras as declarações de Armando, Edu e Juarez podemos concluir que Tarso é o</p><p>culpado. Logo por Tarso ser o culpado temos que Celso mentiu e Tarso falou a verdade.</p><p>Armando: “Sou inocente” (v)</p><p>Celso: “Edu é o culpado.” (F)</p><p>Edu: “Tarso é o culpado” (v) RESPOSTA LETRA “B”</p><p>Juarez: “Armando disse a verdade” (v)</p><p>Existe uma contradição:</p><p>Não é possível as duas serem</p><p>verdadeiras ou falsas ao mesmo tempo.</p><p>Logo temos que uma é verdadeira e a</p><p>outra é falsa ou vice-versa.</p><p>Iremos valorar estas declarações de acordo</p><p>com as outras que temos certeza que são</p><p>verdadeiras, pois a única mentira irá se</p><p>encontrar na contradição.</p><p>55</p><p>Tarso: “Celso mentiu”. (v)</p><p>02) (ESAF 2000) Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Apanhado</p><p>por um funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar, eles informaram:</p><p>l.</p><p>Sabendo-se que um e somente um dos colegas mentiu, conclui-se logicamente que quem entrou sem</p><p>pagar foi:</p><p>a) Mara d) Manuel</p><p>b) Maria e) Marcos</p><p>c) Mário</p><p>RESOLUÇÃO :</p><p>De acordo com a questão temos que as declarações de :</p><p>Partindo da contradição das declarações temos que: “Sabendo-se que um e somente um dos colegas</p><p>mentiu” podemos deduzir que a mentira ( adotaremos como F ) está entre Mara ou Mário, logo podemos</p><p>analisar da seguinte forma:</p><p>(v)</p><p>(v)</p><p>Sendo verdadeiras as declarações de Marcos, Manuel e Maria, podemos concluir que foi a Mara</p><p>que entrou sem pagar, segundo a afirmação de Manuel.</p><p>Existe uma contradição:</p><p>Não é possível as duas serem</p><p>verdadeiras ou falsas ao mesmo tempo.</p><p>Logo temos que uma é verdadeira e a</p><p>outra é falsa ou vice-versa, pois Mara</p><p>vai contra a informação de Mário.</p><p>Iremos valorar estas declarações de acordo com</p><p>as outras que temos certeza que são verdadeiras,</p><p>pois a única mentira irá se encontrar na</p><p>contradição.</p><p>56</p><p>(v) RESPOSTA LETRA “A”</p><p>(v)</p><p>rcos”, disse Maria. (v)</p><p>57</p><p>MOMENTO DE TREINAMENTO:</p><p>CONTRADIÇÕES</p><p>TEXTO PARA AS QUESTÕES 01 E 02</p><p>Um grupo de 4 jovens foi encontrado por um policial que passava pelo local e frente a um muro recém-</p><p>pichado. O policial, tentando encontrar o autor do vandalismo, pergunta:</p><p>- Quem pichou o muro?</p><p>Jorge, um dos jovens, responde:</p><p>-Não fui eu. Eu estava apenas de passagem por aqui, assim, como o senhor.</p><p>Marcelo responde e seguia, apontando para outro:</p><p>- Quem pichou o muro foi Marcos.</p><p>Pedro defende o amigo:</p><p>-Marcelo está mentindo.</p><p>Marcos se manifesta, acusando outra pessoa:</p><p>-Eu jamais picharia o muro, quem pichou foi Pedro. O policial percebe que apenas um deles mentiu.</p><p>01 .( FUNIVERSA 2008 ) Com base no texto VI, assinale a alternativa correta.</p><p>a) Jorge mentiu</p><p>b) Marcos mentiu</p><p>c) Marcelo mentiu</p><p>d) Pedro mentiu</p><p>e) O diálogo e a dedução do policial são insuficientes para descobrir qual dos jovens mentiu.</p><p>02 .( FUNIVERSA 2008 ) Ainda com base no texto, assinale a alternativa correta.</p><p>a) Jorge pichou o muro</p><p>b) Marcos pichou o muro</p><p>c) Marcelo pichou o muro</p><p>d) Pedro pichou o muro</p><p>58</p><p>e) O diálogo e a dedução do policial são insuficientes para descobrir qual dos jovens é o autor do</p><p>vandalismo.</p><p>03. (CESPE-2004) Um líder criminoso foi morto por um de seus quatro asseclas: A, B, C e D. Durante o</p><p>interrogatório, esses indivíduos fizeram as seguintes declarações.</p><p>• A afirmou que C matou o líder.</p><p>• B afirmou que D não matou o líder.</p><p>• C disse que D estava jogando dardos com A quando o líder foi morto e, por isso, não tiveram participação</p><p>no crime.</p><p>• D disse que C não matou o líder.</p><p>Considerando a situação hipotética apresentada acima e sabendo que três dos comparsas mentiram em</p><p>suas declarações, enquanto um deles falou a verdade, julgue os itens seguintes.</p><p>a) A declaração de C não pode ser verdadeira.</p><p>b) D matou o líder.</p><p>04) Quatro pessoas interrogadas pela polícia, sob suspeita de terem cometido um roubo.</p><p>- Eu não fui, diz Eduardo.</p><p>- Foi o Fábio, afirma Heitor</p><p>- Foi o Paulo, garante o Fábio</p><p>- O Heitor está mentindo, diz Paulo.</p><p>Sabendo que somente um deles mentiu e que somente um deles cometeu o roubo, quem é o ladrão?</p><p>a) Fábio c) Eduardo</p><p>b) Paulo d) Heitor</p><p>05) (FGV - FNDE 2007) Quatro irmãos, André, Bernardo, Carlos e Daniel, reparam que seu pai, quando</p><p>chegou em casa, colocou em cima da mesa da sala quatro bombons. Logo ao retornar à sala, o pai viu que</p><p>um dos bombons tinha desaparecido e perguntou às crianças quem tinha sido o autor do delito.</p><p>André disse: - Não fui eu.</p><p>Bernardo disse: - Foi Carlos quem pegou o bombom.</p><p>Carlos:- Daniel é o ladrão do bombom.</p><p>Daniel:- Bernardo não tem razão.</p><p>Sabe-se que apenas um deles mentiu. Então:</p><p>(A) André pegou o bombom.</p><p>59</p><p>(B) Bernardo pegou o bombom.</p><p>(C) Carlos pegou o bombom.</p><p>(D) Daniel pegou o bombom.</p><p>(E) Não é possível saber quem pegou o bombom.</p><p>GABARITO:</p><p>1 C 2 D 3 C C 4 B 5-D</p><p>EXPERIMENTAÇÃO</p><p>Nas questões com declarações em que não há contradições entre duas ou mais declarações</p><p>devemos valorar uma declaração como verdadeira e partir dela, caso não esteja correto, devemos começar</p><p>com a declaração sendo falsa, ou seja, experimentar. Vejamos as questões comentadas de 01 e 02 abaixo e</p><p>a aplicação do método:</p><p>APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS</p><p>01- (AFC/ ESAF) Quatro amigos, André, Beto, Caio e Dênis obtiveram os quatro primeiros lugares em um</p><p>concurso de oratória julgado por uma comissão de três juizes. Ao comunicarem a classificação final,</p><p>cada Juiz anunciou duas colocações, sendo uma delas verdadeira e outra falsa:</p><p>Juiz 1: “André foi o primeiro; Beto foi o segundo”.</p><p>Juiz 2: ”André foi o segundo; Dênis foi o terceiro”.</p><p>Juiz 3: “Caio foi o segundo; Dênis foi o quarto”.</p><p>Sabendo que não houve empates, o primeiro, o segundo, o terceiro e o quarto colocado foram</p><p>respectivamente:</p><p>a) André Caio, Beto, Dênis.</p><p>b) Beto, André, Caio, Dênis.</p><p>c) André Caio, Dênis, Beto.</p><p>d) Beto, André, Dênis, Caio.</p><p>e) Caio, Beto, Denis, André.</p><p>Comentário:</p><p>Nesta questão temos duas possibilidades para cada discurso, ou seja, cada um contendo uma</p><p>informação verdadeira para o primeiro e falsa para a segunda, ou falsa para a primeira e verdadeira para a</p><p>segunda. Logo temos que realizar uma experimentação:</p><p>60</p><p>1ª SITUAÇÃO (POSSIBILIDADE)</p><p>Supondo a valoração para o primeiro juiz: “André foi o primeiro”. (verdade)</p><p>“Beto foi o segundo”. (falso)</p><p>Temos:</p><p>Juiz 1: “André foi o primeiro ( verdadeiro) ; Beto foi o segundo”. (falso)</p><p>Juiz 2: ”André foi o segundo (falso) ; Dênis foi o terceiro”. (verdadeiro)</p><p>Juiz 3: “Caio foi o segundo ( verdadeiro) ; Dênis foi o quarto”. (falso)</p><p>Supondo a valoração para o primeiro juiz: “André foi o primeiro”. (falso)</p><p>“Beto foi o segundo”. (verdade)</p><p>2ª SITUAÇÃO (POSSIBILIDADE)</p><p>Temos:</p><p>Juiz 1: “André foi o primeiro (falso) ; Beto foi o segundo”. (verdadeiro )</p><p>Juiz 2: ”André foi o segundo (verdadeiro) ; Dênis foi o terceiro”. (falso)</p><p>Juiz 3: “Caio foi o segundo ( verdadeiro) ; Dênis foi o quarto”. (falso)</p><p>NESTE CASO TIVEMOS EMPATE ENTRE BETO E CAIO, LOGO ESTA SITUAÇÃO NÃO ESTÁ DE</p><p>ACORDO. SENDO ASSIM A PRIMEIRA SITUAÇÃO ESTA CORRETA. RESPOSTA LETRA “C”.</p><p>02- (CGU/ESAF 2008) Cinco moças, Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda, estão vestindo blusas</p><p>vermelhas ou amarelas. Sabe-se que as moças que vestem blusas vermelhas sempre contam a verdade e</p><p>as que vestem blusas amarelas sempre mentem. Ana diz que Beatriz veste blusa vermelha. Beatriz diz que</p><p>Carolina veste blusa amarela. Carolina, por sua vez, diz que Denise veste blusa amarela. Por fim, Denise diz</p><p>que Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores diferentes. Por fim, Eduarda diz que Ana veste blusa</p><p>vermelha. Desse modo, as cores das blusas de Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda são</p><p>respectivamente:</p><p>a) amarela, amarela, vermelha, vermelha e amarela.</p><p>b) vermelha, vermelha, vermelha, amarela e amarela.</p><p>c) vermelha, amarela, amarela, amarela e amarela.</p><p>d) vermelha, amarela, vermelha, amarela e amarela.</p><p>e) amarela, amarela, vermelha, amarela e amarela.</p><p>Comentário:</p><p>Esta questão assim como a anterior devemos experimentar a partir da primeira declaração como</p><p>verdadeira, caso não haja contradição a questão estará de acordo, mas se houver deveremos começar como</p><p>falsa.</p><p>A cada valoração iremos associar a cor da blusa.</p><p>61</p><p>1ª SITUAÇÃO: Ana começando falando a verdade.</p><p>- Ana diz: Beatriz veste blusa vermelha. (se Ana fala a verdade então veste blusa vermelha, sua declaração</p><p>é verdadeira, logo Beatriz veste blusa vermelha).</p><p>- Beatriz diz: Carolina veste blusa amarela. (Se Beatriz veste blusa vermelha, então fala a verdade, sua</p><p>declaração é verdadeira, logo Carolina veste amarelo e com isto é mentirosa, pois quem veste amarelo</p><p>mente).</p><p>- Carolina diz: Denise veste blusa amarela. (Se Carolina mente, então veste amarelo, sua declaração é falsa,</p><p>logo Denise veste blusa vermelha e fala a verdade, pois quem veste vermelho fala verdade).</p><p>- Denise diz: Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores diferentes. (Se Denise veste vermelho, então fala a</p><p>verdade, sua declaração é verdadeira, logo Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores diferentes. Como</p><p>sabemos que Beatriz veste blusa de cor vermelha, então Eduarda veste blusa de cor amarela, o que significa</p><p>que a mesma mente).</p><p>- Eduarda diz: Ana veste blusa vermelha. (Se Eduarda mente, então veste amarelo, sua declaração é falsa,</p><p>logo Ana tem que vestir amarelo, para que Eduarda esteja mentindo).</p><p>Percebemos que Eduarda está falando a verdade o que não pode acontecer, pois ela é uma</p><p>pessoa mentirosa. Uma pessoa que mente não pode falar a verdade (entrar em contradição). Neste caso, a</p><p>1ª situação não está de acordo.</p><p>2ª SITUAÇÃO: Ana começando falando mentira .</p><p>- Ana diz: Beatriz veste blusa vermelha. (se Ana fala a mentira então veste blusa amarela, sua declaração é</p><p>falsa, logo Beatriz veste blusa amarela).</p><p>- Beatriz diz: Carolina veste blusa amarela. (Se Beatriz veste blusa amarela, então fala a mentira, sua</p><p>declaração é falsa, logo Carolina veste vermelho e com isto fala a verdade, pois quem veste vermelho fala a</p><p>verdade).</p><p>- Carolina diz: Denise veste blusa amarela. (Se Carolina fala a verdade, então veste vermelho, sua</p><p>declaração é verdadeira, logo Denise veste blusa amarela e fala mentira, pois quem veste amarelo fala</p><p>mentira).</p><p>- Denise diz: Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores diferentes. (Se Denise veste amarelo, então fala a</p><p>mentira, sua declaração é falsa, logo Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores iguais. Como sabemos que</p><p>Beatriz veste blusa de cor amarela, então Eduarda veste blusa amarela, o que significa que a mesma fala</p><p>mentira).</p><p>- Eduarda diz: Ana veste blusa vermelha. (Se Eduarda fala mentira, então veste amarelo, sua declaração é</p><p>falsa, logo Ana tem que vestir amarelo, o que realmente acontece, pois Ana é mentirosa).</p><p>Neste caso, a 2ª situação está de acordo, pois nenhuma delas entra em contradição com sua</p><p>própria declaração.</p><p>A resposta será:</p><p>Ana: Amarelo</p><p>Beatriz: Amarelo Carolina: Vermelho Denise: Amarelo Eduarda: Amarelo</p><p>62</p><p>AULA 04– LÓGICA DE 1ª ORDEM</p><p>TAUTOLOGIA</p><p>Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições é uma tautologia se ela for</p><p>sempre verdadeira, independente da verdade de seus termos.</p><p>Em filosofia e outras áreas das ciências humanas, diz-se que um argumento é tautológico quando se</p><p>explica por ele próprio, às vezes redundantemente ou falaciosamente. Por exemplo, dizer que "o mar é azul</p><p>porque reflete a cor do céu e o céu é azul por causa do mar" é uma afirmativa tautológica. Da mesma forma,</p><p>um sistema é caracterizado como tautológico quando não apresenta saídas à sua própria lógica interna —</p><p>em outro exemplo, exige-se de um trabalhador que tenha curso universitário para ser empregado, mas ele</p><p>precisa ter um emprego para receber salário e assim custear as despesas do curso universitário.</p><p>Quando uma proposição composta é sempre verdadeira, então teremos uma Tautologia. Ex: P(p,q)=</p><p>(p ∧ q) <=> ~(p ∨ q) Numa Tautologia, o valor lógico da proposição composta P(p,q,s)={(p ∧ q) ∨ (p ∧ s) ∨ [p</p><p>∧ ~(q ∧ s)]} → p, será sempre verdadeiro.</p><p>Exemplo:</p><p>A ~A B A→B ~A v B (A→B) ↔ (~A v B)</p><p>V F V V V V</p><p>V F F F F V</p><p>F V V V V V</p><p>F V F V V V</p><p>A proposição (A → 7 B) « (~A v B)é uma tautologia.</p><p>Momento de Treinamento</p><p>1) Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente da verdade dos</p><p>termos que a compõem. Verifique se a proposição composta (p /\ ~p)→(p v q)é uma tautologia.</p><p>p ~p q p /\ ~ p p v q (p /\ ~p)→(p v q)</p><p>V F V</p><p>V F F</p><p>F V V</p><p>F V F</p><p>2) (ESAF) Um exemplo de Tautologia é:</p><p>A) Se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo.</p><p>B) Se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo.</p><p>C) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo.</p><p>D) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo.</p><p>E) Se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo.</p><p>3) CESPE – STF 2008 ANALISTA JUDICIÁRIO Julgue os itens seguintes relacionados à lógica</p><p>proposicional.</p><p>1. Uma tautologia é uma proposição lógica composta que será verdadeira sempre que os valores lógicos das</p><p>proposições simples que a compõem forem verdadeiros.</p><p>http://pt.wikipedia.org/wiki/Filosofia</p><p>http://pt.wikipedia.org/wiki/Ci%C3%AAncias_humanas</p><p>http://pt.wikipedia.org/wiki/Fal%C3%A1cia</p><p>http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema</p><p>63</p><p>4) (CESPE/SENADO-2002) tautologia. S. f.</p><p>1. Vício de linguagem que consiste em dizer, por formas diversas, sempre a mesma coisa: “A gramática</p><p>usual é uma série de círculos viciosos, uma tautologia infinita.” (João Ribeiro, Cartas Devolvidas, p. 45).</p><p>2. Filos. Proposição que tem por sujeito e predicado um mesmo conceito, expresso ou não pelo mesmo</p><p>termo.</p><p>3. Filos. Erro lógico que consiste em aparentemente demonstrar uma tese repetindo-a com palavras</p><p>diferentes.</p><p>Novo Dicionário Aurélio da Língua Portuguesa. Rio de Janeiro: Nova Fronteira.</p><p>4. Na linguagem da lógica proposicional, denomina-se tautologia a toda fórmula α (nessa linguagem) para a</p><p>qual toda valoração verdadeira ou falsa dada a seus símbolos proposicionais resulta que α é verdadeira.</p><p>Considerando as acepções listadas acima, julgue, em cada item seguir, se a proposição apresentada é uma</p><p>tautologia de acordo com a acepção que a precede.</p><p>1- Acepção 2: O sal é salgado.</p><p>2- Acepção 2: Todo indivíduo gordo ingere mais alimentos do que necessita.</p><p>3- Acepção 3: Para provar que 0 < 1, suponha que 1 > 0; como isso é claramente verdade, conclui-se que 0</p><p>< 1.</p><p>4- Acepção 4: Se 7% dos candidatos inscritos no concurso público do Senado Federal concorrem a vagas</p><p>para o cargo de Consultor de Orçamentos e 93% concorrem para Consultor Legislativo, então a maioria dos</p><p>candidatos no concurso público do Senado Federal concorre para o cargo de Consultor Legislativo.</p><p>5- Acepção 4: A gramática usual é uma série de círculos viciosos, uma tautologia infinita.</p><p>5) (CESPE 2008- SEBRAE) Os conectivos e, ou, não e o condicional se... então são, simbolicamente,</p><p>representados por ^, v, ¬ e , respectivamente. As letras maiúsculas do alfabeto, como P, Q e R,</p><p>representam proposições. As indicações V e F são usadas para valores lógicos verdadeiro e falso,</p><p>respectivamente, das proposições. Com base nessas informações, julgue o item seguinte.</p><p>1.A proposição [(PQ)  (QR)]  (PR) é uma tautologia.</p><p>6) ( CESPE – TRT 5ª RG – 2008) Se A e B são proposições, então a proposição A v B ↔ (¬A) ^ (¬B) é</p><p>uma tautologia.</p><p>64</p><p>GABARITO</p><p>1-</p><p>p ~p q p /\ ~ p p v q (p /\ ~p)→(p v q)</p><p>V F V F V V</p><p>V F F F V V</p><p>F V V F V V</p><p>F V F F F V</p><p>6-E</p><p>2- a</p><p>3- errada</p><p>4- C E C C E</p><p>5- C</p><p>CONTRADIÇÃO</p><p>Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições é uma contradição ou contraválida se</p><p>ela for sempre falsa, independente da verdade de seus termos.</p><p>Exemplo:</p><p>A proposição A ↔ ~A é uma contradição</p><p>MOMENTO DE TREINAMENTO</p><p>1) Uma proposição é uma contradição quando é sempre falsa. Verifique se a proposição composta P/\~P é</p><p>uma contradição.</p><p>2) (CESPE) Considere a proposição: Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro.</p><p>Simbolizando por P trecho meu cliente fosse culpado e simbolizando por Q o trecho a arma estaria no carro,</p><p>obtém-se uma proposição implicativa, ou simplesmente uma implicação, que é lida: Se P então Q, e</p><p>simbolizada por P Q. Uma tautologia é uma proposição que é sempre V (verdadeira). Uma proposição que</p><p>tenha a forma P Q é V sempre que P for F (falsa) e sempre que P e Q forem V. Com base nessas</p><p>informações e na simbolização sugerida, julgue os itens.</p><p>subseqüentes. ...</p><p>A ~A A↔~A</p><p>V F F</p><p>F V F</p><p>p ~p p /\ ~p</p><p>V F F</p><p>F V F</p><p>65</p><p>(1) A proposição "Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro. Portanto, se a arma</p><p>do crime não estava no carro, então meu cliente não é culpado." É uma tautologia.</p><p>(2) A proposição "Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro. Portanto, ou meu</p><p>cliente não é culpado ou a arma do crime estaria no carro." não é uma tautologia.</p><p>CONTINGÊNCIA</p><p>Uma proposição composta será dita uma contingência sempre que não for uma tautologia nem uma</p><p>contradição. Somente isso! Você pegará a proposição composta e construirá a sua tabela-verdade. Se, ao</p><p>final, você verificar que aquela proposição nem é uma tautologia (só resultados V), e nem é uma contradição</p><p>(só resultados F), então, pela via de exceção, será dita uma contingência!</p><p>As contingências são também denominadas proposições contingentes ou proposições</p><p>indeterminadas.</p><p>P Q R (P/\Q) (P/\Q) V R</p><p>V V V V V</p><p>V V F V V</p><p>V F V F V</p><p>V F F F F</p><p>F V V F V</p><p>F V F F F</p><p>F F V F V</p><p>F F F F F</p><p>GABARITO</p><p>01) É Contradição</p><p>p ~p p /\ ~p</p><p>V F F</p><p>F V F</p><p>02) CC</p><p>66</p><p>05– LÓGICA DE 1ª ORDEM</p><p>PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE EQUIVALENTES</p><p>Duas proposições são ditas equivalentes quando são formadas pelas mesmas proposições simples e os</p><p>resultados das tabelas-verdade são idênticos.</p><p>A B</p><p>A) LEIS ASSOCIATIVAS</p><p>1) (A /\ B) /\ C A /\ (B /\ C)</p><p>2) (A v B) v C A v (B V C)</p><p>DEMONSTRAÇÃO: (A /\ B) /\ C A /\ (B /\ C)</p><p>A B C (A/\B) (A/\B) /\C B/\C A/\(B/\C)</p><p>V V V V V V V</p><p>V V F V F F F</p><p>V F V F F F F</p><p>V F F F F F F</p><p>F V V F F V F</p><p>F V F F F F F</p><p>F F V F F F F</p><p>F F F F F F F</p><p>Exemplo</p><p>B) LEIS DISTRIBUTIVAS</p><p>3) A /\ (B V C)  (A /\ B) V (A /\ C)</p><p>4) A v (B /\ C)  (A v B) /\ (A v C)</p><p>DEMONSTRAÇÃO: A /\ (B V C)  (A /\ B) V (A /\ C)</p><p>A B C BVC A/\(BVC) A/\B A/\C (A/\B)V(A/\C)</p><p>V V V V V V V V</p><p>V V F V V V F V</p><p>V F V V V F V V</p><p>V F F F F F F F</p><p>F V V V F F F F</p><p>F V F V F F F F</p><p>F F V V F F F F</p><p>F F F F F F F F</p><p>Exemplo :</p><p>67</p><p>C) LEI DA DUPLA NEGAÇÃO</p><p>5) ~(~A) A</p><p>DEMONSTRAÇÃO: ~(~A) A</p><p>A ~A ~(~A)</p><p>V F V</p><p>F V F</p><p>Exemplo :</p><p>PROPOSIÇÕES</p><p>PROPOSIÇÕES</p><p>EQUIVALENTES</p><p>Não é verdade que o</p><p>Prof. Josimar Padilha</p><p>não é brasiliense</p><p>O Prof. Josimar</p><p>Padilha é brasiliense</p><p>D) EQUIVALÊNCIA DA CONDICIONAL</p><p>6) ( A → B  ~A v B) / ( A → B ~B → ~A )</p><p>I ) A → B  ~A v B</p><p>DEMONSTRAÇÃO: A → B  ~A v B</p><p>A B ~A A→B ~A vB</p><p>V V F V V</p><p>V F F F F</p><p>F V V V V</p><p>F F V V V</p><p>As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo as proposições A</p><p>→ B e ~A v B são proposições logicamente equivalentes, isto é: A→ B  ~A v B</p><p>II) A → B ~B → ~A ( TEOREMA DA CONTRA-RECÍPROCO OU CONTRA-POSITIVA)</p><p>DEMONSTRAÇÃO: A → B ~B → ~A</p><p>A B ~A ~B A→B ~B→~A</p><p>V V F F V V</p><p>V F F V F F</p><p>F V V F V V</p><p>F F V V V V</p><p>As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo são proposições</p><p>logicamente equivalentes, isto é:</p><p>A→ B  ~B→ ~A</p><p>Essa relação é chamada de teorema contra recíproco.</p><p>Exemplos: Dizer que:</p><p>Se Beraldo briga com Beatriz, então Beatriz briga com Bia.</p><p>68</p><p>É logicamente equivalente a dizer que:</p><p>Se Beatriz não briga com. Bia, então Beraldo não briga com Beatriz.</p><p>Uma relação existente entre as equivalências condicionais é dada pela inferência que se tem por meio da</p><p>intersecção das sentenças A→ B  ~A v B e A→ B  ~B →~A , em que podemos concluir: A v B </p><p>~A→ B ou A v B  B →A.</p><p>Observe a tabela abaixo:</p><p>As três últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo as proposições A V</p><p>B, ~A → B e ~B→ A são proposições logicamente equivalentes, isto é:</p><p>A V B  ~A → B,</p><p>A V B  ~B→ A,</p><p>~A → B  ~B→A.</p><p>Exemplos:</p><p>PROPOSIÇÃO</p><p>PROPOSIÇÃO</p><p>EQUIVALENTE</p><p>Se Enny tomar</p><p>remédio, ela vai ficar</p><p>boa.</p><p>Enny não toma</p><p>remédio ou fica boa</p><p>Clara anda ou corre</p><p>Se Clara não anda,</p><p>então Clara corre.</p><p>E) LEI DE AUGUSTUS DE MORGAN</p><p>7) ~(A /\ B)  (~A) V (~B) / ~(A v B)  (~A) /\ (~B)</p><p>I) ~(A /\ B)  (~A) V (~B)</p><p>DEMONSTRAÇÃO: ~(A /\ B)  (~A) V (~B)</p><p>A B A /\ B ~(A /\ B ) ~A ~B (~A) V (~B)</p><p>V V V F F F F</p><p>A B ~A ~B A v B ~A→B ~B→A</p><p>V V F F V V V</p><p>V F F V V V V</p><p>F V V F V V V</p><p>F F V V F F F</p><p>69</p><p>V F F V F V V</p><p>F V F V V F V</p><p>F F F V V V V</p><p>As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo as proposições</p><p>~(A /\ B) e ( ~A ) V (~ B ) são proposições logicamente equivalentes, isto é: ~(A /\ B)  ~A V ~ B .</p><p>II) ~(A v B)  (~A) /\ (~B)</p><p>DEMONSTRAÇÃO: ~(A /\ B)  (~A) V (~B)</p><p>A B A V B ~(A V B ) ~A ~B (~A) /\ (~B)</p><p>V V V F F F F</p><p>V F V F F V F</p><p>F V V F V F F</p><p>F F F V V V V</p><p>As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo as proposições</p><p>~(A V B) e ( ~A ) /\ (~ B ) são proposições logicamente equivalentes, isto é: ~(A V B)  ~A /\ ~B .</p><p>F) EQUIVALÊNCIA DA BICONDICIONAL</p><p>8) [(AB) /\ (BA)]  [AB]</p><p>DEMONSTRAÇÃO</p><p>A B AB BA (AB) /\ (BA) A B</p><p>V V V V V V</p><p>V F F V F F</p><p>F V V F F F</p><p>F F V V V V</p><p>As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo as proposições</p><p>[(AB) /\ (BA)] e [AB]</p><p>G) EQUIVALÊNCIA COMUTATIVA :</p><p>Como já visto antes, ao estudarmos as tabelas-verdade, foi comentado que os conectivos: conjuntivo,</p><p>disjuntivo, disjuntivo exclusivo e bicondicional possuem a propriedade comutativa, isto é, ao trocarmos a</p><p>ordem das proposições simples, os resultados das tabelas-verdade permanecem idênticos.</p><p>Com relação ao conectivo condicional não ocorre o mesmo, uma vez que os resultados de suas tabelas-</p><p>verdade não serão os mesmos, resumindo temos que o conectivo condicional não possui a propriedade</p><p>comutativa.</p><p>(A) /\ (B) (B) /\ (A)</p><p>(A) V (B) (B) V (A)</p><p>(A ) ↔ (B) (B) ↔ (A) (A)  (B)  (B)  (A)</p><p>COMUTAM</p><p>NÃO COMUTA</p><p>70</p><p>(A) v (B)  (B) v (A)</p><p>Nas últimas provas de concursos públicos temos visto a importância das equivalências lógicas,</p><p>aparecendo com maior freqüência. As leis são cobradas, mas torna-se interessante identificar quando duas</p><p>proposições são equivalentes. Então para isto, torna-se necessário construir as tabelas-verdade</p><p>possibilitando uma a análise concreta.</p><p>APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS</p><p>01. (CESPE 2008 SEBRAE ANALISTA) Os conectivos e, ou, não e o condicional se... então são,</p><p>simbolicamente, representados por ^, V, ¬ e , respectivamente. As letras maiúsculas do alfabeto, como P,</p><p>Q e R, representam proposições. As indicações V e F são usadas para valores lógico verdadeiro e falso,</p><p>respectivamente, das proposições. Com base nessas informações, julgue o item seguinte.</p><p>1. A proposição ¬(P^Q) é equivalente à proposição (¬P)V(¬Q).</p><p>Comentário:</p><p>A proposição composta: ¬(P^Q) “não é verdade que P e Q“ , ao aplicar a Lei de De Morgan temos :</p><p>(¬P)V(¬Q). As suas tabelas verdades são idênticas. “</p><p>O item está correto.</p><p>02.( CESPE/BB-2007) As afirmações que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não</p><p>ambas, são chamadas proposições. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas: A,</p><p>B, C etc. A expressão AB, lida, entre outras formas, como “se A então B”, é uma proposição que tem</p><p>valoração F quando A é V e B é F, e tem valoração V nos demais casos. Uma expressão da forma A, lida</p><p>como “não A”, é uma proposição que tem valoração V quando A é F, e tem valoração F quando A é V. A</p><p>expressão da forma AB, lida como “A e B”, é uma proposição que tem valoração V apenas quando A e B</p><p>são V, nos demais casos tem valoração F. Uma expressão da forma AB, lida como “A ou B”, é uma</p><p>proposição que tem valoração F apenas quando A e B são F; nos demais casos, é V. Com base nessas</p><p>definições, julgue os itens que se seguem.</p><p>1 Uma expressão da forma  (AB) é uma proposição que tem exatamente as mesmas valorações V ou F</p><p>da proposição AB.</p><p>Comentário:</p><p>Se uma questão afirmar ou perguntar sobre proposições que possuem as mesmas valorações, está</p><p>implícito que se trata de uma equivalência lógica, o que no caso podemos ganhar tempo aplicando uma</p><p>das leis.</p><p>A proposição composta:  (AB) “não é verdade que A e não B”, ao aplicar a Lei de De Morgan</p><p>temos :(¬A)V(B), logo pela Lei Condicional [ A → B (¬A)V(B)] , “As suas tabelas verdades são</p><p>idênticas.”</p><p>O item está correto.</p><p>03) (ESAF/TÉCNICO-2006) Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda. Logo,</p><p>71</p><p>a) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar.</p><p>b) Elaine ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar.</p><p>c) Elaine não ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar.</p><p>d) Elaine não ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar.</p><p>e) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar.</p><p>Comentário:</p><p>Dada a proposição temos:</p><p>Elaine não ensaia  Elisa não estuda.</p><p>O antecedente (Elaine não ensaia) é condição suficiente para o conseqüente (Elisa não estuda).</p><p>O conseqüente (Elisa não estuda) é condição necessária o antecedente (Elaine não ensaia).</p><p>Segundo os itens da questão não temos nenhum que esteja de acordo com o comentário acima</p><p>realizado.</p><p>O que fazer?</p><p>Percebemos que as respostas propostas pela ESAF não satisfazem a proposição: Se Elaine não</p><p>ensaia, Elisa não estuda. Sendo assim podemos concluir que não foi utilizada esta proposição, mas outra</p><p>e logo iremos lançar mãos dos nossos conhecimentos quanto a equivalências lógicas, pois utilizaremos</p><p>uma proposição logicamente equivalente a dada pelo enunciado da questão.</p><p>Como sabemos que segundo a lei condicional temos duas equivalências, qual a indicada: A</p><p>contra-positiva, umas vez que a mesma possuem condições o que neste caso exige a questão.</p><p>Aplicando a lei condicional:</p><p>Elaine não ensaia  Elisa não estuda.  Elisa estuda  Elaine ensaia</p><p>Agora sim, temos que:</p><p>I - Elisa estudar é condição suficiente para Elaine ensaiar.</p><p>II- Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar</p><p>A resposta correta é a letra E</p><p>04) (ESAF/TÉCNICO-2006) Uma sentença logicamente equivalente a “ Se Ana é bela, então Carina é feia”</p><p>é:</p><p>a) Se Ana não é bela, então Carina não é feia.</p><p>b) Ana é bela ou Carina não é feia.</p><p>c) Se Carina é feia, Ana é bela.</p><p>d) Ana é bela ou Carina é feia.</p><p>e) Se Carina não é feia, então Ana não é bela.</p><p>Comentário:</p><p>Dada a proposição temos:</p><p>Ana é bela  Carina é feia</p><p>Segundo a lei condicional temos duas equivalências:</p><p>I - Se Carina não é feia, então Ana não é bela.</p><p>II – Ana não é bela ou Carina é feia.</p><p>Assim temos: A resposta correta é a letra E</p><p>Momento de Treinamento</p><p>1. Demonstrar, através de tabelas-verdade, as seguintes equivalências:</p><p>72</p><p>a) P PQP  )(</p><p>b) P QPQP  )(</p><p>c) Q QPQP  )(</p><p>d) P QPQP  )(</p><p>e) (P )()() RQPRPQ </p><p>f) (P )()() RQPRPQ </p><p>g) P  )()( QPQPQ </p><p>2. (CESPE) Julgue os itens:</p><p>( ) As tabelas de valorações das proposições P Q e Q P são iguais.</p><p>( ) As proposições (P SQ  ) e (P )() SQS  possuem tabelas de valorações iguais.</p><p>( ) Do ponto de vista lógico, dizer que “Rafael foi ao cinema ou Renata não foi ao parque” é o mesmo que</p><p>dizer que “Se Rafael foi ao cinema, então Renata foi ao parque”.</p><p>( ) Do ponto de vista lógico, dizer que “Rafael foi ao cinema ou Renata não foi ao parque” é o mesmo que</p><p>dizer que “Se Renata foi ao parque, então Rafael foi ao cinema”.</p><p>( ) As proposições “Quem tem dinheiro, não compra fiado” e “Quem não tem, compra” são logicamente</p><p>equivalentes.</p><p>( ) A tabela de interpretação de (P PQ  ) é igual a tabela de interpretação de P Q .</p><p>3. (FGV - M. COMUNICAÇÕES/2006) Suponha que “Se X=1, então Y>7”. Assinale a conclusão correta.</p><p>a) Se X 1 , então Y<7</p><p>b) Se X 1 , então Y 7</p><p>c) Se Y>7, então X=1</p><p>d) Se Y 7 , então X 1</p><p>e) Se Y=7, então X=1</p><p>4. (M. POG 2006) Dizer que “Ana não é alegre ou Beatriz é feliz” é do ponto de vista lógico, o mesmo que</p><p>dizer que:</p><p>a) Se Ana não é alegre, então Beatriz é feliz.</p><p>b) Se Beatriz é feliz, então Ana é alegre.</p><p>c) Se Ana é alegre, então Beatriz é feliz.</p><p>d) Se Ana é alegre, então Beatriz não é feliz.</p><p>e) Se Ana não é alegre, então Beatriz não é feliz.</p><p>5. (GESTOR) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer</p><p>que:</p><p>a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro.</p><p>b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro.</p><p>c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro.</p><p>d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista.</p><p>e) André não é artista e Bernardo é engenheiro.</p><p>6. (AFT) Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer</p><p>que:</p><p>a) Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista.</p><p>b) Se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro.</p><p>c) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista.</p><p>d) Se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista.</p><p>e) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista.</p><p>7. (ESAF) Uma sentença logicamente equivalente a “Pedro é economista, então Luísa é solteira” é:</p><p>73</p><p>a) Pedro é economista ou Luísa é solteira.</p><p>b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira.</p><p>c) Se Luísa é solteira, Pedro é economista.</p><p>d) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira.</p><p>e) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista.</p><p>8. (TRT) Um economista deu a seguinte declaração em uma entrevista:</p><p>“Se os juros bancários são altos então a inflação é baixa”. Uma proposição logicamente equivalente à do</p><p>economista é:</p><p>a) Se a inflação não é baixa, então os juros bancários não são altos.</p><p>b) Se a inflação é alta, então os juros bancários são altos.</p><p>c) Se os juros bancários não são altos, então a inflação não é baixa.</p><p>d) Os juros bancários são baixos e a inflação é baixa.</p><p>e) Ou os juros bancários, ou a inflação é baixa.</p><p>9. (UM-SP) Duas grandezas x e y são tais que “Se x = 3, então y = 7”. Pode-se concluir que:</p><p>a) Se x  3, então y  7</p><p>b) Se y = 7, então x = 3</p><p>c) Se y  7, então x 3</p><p>d) Se x = 5, então y = 5</p><p>e) Nenhuma das conclusões acima é válida</p><p>10. (ANA) Sabendo-se que o símbolo  denota negação e que o símbolo  denota o conectivo lógico ou, a</p><p>proposição A  B, que é lida “Se A, então B”, pode ser reescrita como:</p><p>a) A B</p><p>b) BA</p><p>c) A B</p><p>d) BA </p><p>e) )( BA</p><p>11. (ANPAD) Considere a sentença “Se é carnaval, os sambistas dançam nas ruas”. A contra positiva dessa</p><p>sentença é:</p><p>a) Se os sambistas não dançam nas ruas, não é carnaval.</p><p>b) Se os sambistas dançam nas ruas, não é carnaval.</p><p>c) Se não é carnaval, os sambistas não dançam nas ruas.</p><p>d) Se os sambistas dançam nas ruas, é carnaval.</p><p>e) Se é carnaval, os sambistas não dançam nas ruas.</p><p>12. (CESPE/SENADO-2002) O Teorema Fundamental da Aritmética afirma que:</p><p>Julgue se cada um dos itens subseqüentes reescreve, de modo correto e equivalente, o enunciado acima.</p><p>1 É condição suficiente que n seja um número natural para que n possa ser decomposto como um produto</p><p>de fatores primos, de modo único, a menos da ordem dos fatores.</p><p>2 É condição necessária que n seja um número natural para que n possa ser decomposto como um produto</p><p>de fatores primos, de modo único, a menos da ordem dos fatores.</p><p>Se n for um número natural diferente de 1, então n pode ser decomposto como</p><p>um produto de fatores primos, de modo único, a menos da ordem dos fatores.</p><p>74</p><p>3 Se n não possuir decomposição como um produto de fatores primos, que seja única, a menos da ordem</p><p>dos fatores, então n não é um número natural diferente de 1.</p><p>4 Ou n não é um número natural diferente de 1, ou n tem uma decomposição como um produto de fatores</p><p>primos, que é única, a menos da ordem dos fatores.</p><p>5 n é um número natural diferente de 1 se puder ser decomposto como um produto de fatores primos, de</p><p>modo único, a menos da ordem dos fatores.</p><p>13 (CESPE/SENADO-2002) A noção de conjunto fornece uma interpretação concreta para algumas idéias</p><p>de natureza lógica que são fundamentais para a Matemática e o desenvolvimento do raciocínio. Por</p><p>exemplo, a implicação lógica denotada por p  q pode ser interpretada como uma inclusão entre conjuntos,</p><p>ou seja, como P  Q, em que P é o conjunto cujos objetos cumprem a condição p, e Q é o conjunto cujos</p><p>objetos cumprem a condição q. Com o auxílio do texto acima, julgue se a proposição apresentada em cada</p><p>item a seguir é equivalente à sentença abaixo.</p><p>1 Se um indivíduo não pode ter acesso às provas do concurso do Senado Federal, então ele não está</p><p>inscrito nesse concurso.</p><p>2 O conjunto de indivíduos que não podem ter acesso às provas do concurso do Senado Federal e que</p><p>estão inscritos nesse concurso é vazio.</p><p>3 Se um indivíduo pode ter acesso às provas do concurso do Senado Federal, então ele está inscrito nesse</p><p>concurso.</p><p>4 conjunto de indivíduos que podem ter acesso às provas do concurso do Senado Federal é igual ao</p><p>conjunto de indivíduos que estão inscritos nesse concurso.</p><p>5 O conjunto de indivíduos que estão inscritos no concurso do Senado Federal ou que podem ter acesso às</p><p>provas desse concurso está contido neste último conjunto.</p><p>14- (CESPE-2007) Os símbolos que conectam duas proposições são denominados conectivos. Considere a</p><p>proposição definida simbolicamente por AB, que é F quando A e B são ambos V ou ambos F, caso contrário</p><p>é V. O conectivo  é denominado “ou exclusivo”</p><p>porque é V se, e somente se, A e B possuírem valorações</p><p>distintas. Com base nessas informações e no texto II, julgue os itens que se seguem.</p><p>1 Considerando que A e B sejam proposições, então a proposição AB possui os mesmos valores lógicos</p><p>que a proposição  (AB)  (AB).</p><p>15) (CGU-2008) Um renomado economista afirma que “A inflação não baixa ou a taxa de juros aumenta”.</p><p>Do ponto de vista lógico, a afirmação do renomado economista equivale a dizer que:</p><p>a) se a inflação baixa, então a taxa de juros não aumenta.</p><p>b) se a taxa de juros aumenta, então a inflação baixa.</p><p>c) se a inflação não baixa, então a taxa de juros aumenta.</p><p>d) se a inflação baixa, então a taxa de juros aumenta.</p><p>e) se a inflação não baixa, então a taxa de juros não aumenta.</p><p>Se um indivíduo está inscrito no concurso do Senado Federal, então ele</p><p>pode ter acesso às provas desse concurso.</p><p>75</p><p>16) (CESPE- SERPRO- ANALISTA 2008) Uma proposição é uma sentença que pode ser julgada verdadeira</p><p>(V) ou falsa (F). As proposições são normalmente representadas pelas letras maiúsculas A, B, C etc. A partir</p><p>de proposições dadas, podem-se construir novas proposições compostas, mediante o emprego de símbolos</p><p>lógicos chamados conectivos: “e”, indicado pelo símbolo lógico ^, e “ou”, indicado pelo símbolo lógico v. Usa-</p><p>se o modificador “não”, representado pelo símbolo lógico ¬, para produzir a negação de uma proposição;</p><p>pode-se, também, construir novas proposições mediante o uso do condicional “se A então B”, representado</p><p>por AB. O julgamento de uma proposição lógica composta depende do julgamento que se faz de suas</p><p>proposições componentes. Considerando os possíveis julgamentos V ou F das proposições A e B, tem-se a</p><p>seguinte tabela-verdade para algumas proposições compostas.</p><p>Considerando-se a proposição A, formada a partir das proposições B, C etc. mediante o emprego de</p><p>conectivos (^ ou v), ou de modificador (¬) ou de condicional (), diz-se que A é uma tautologia quando A tem</p><p>valor lógico V, independentemente dos valores lógicos de B, C etc. e diz-se que A é uma contradição quando</p><p>A tem valor lógico F, independentemente dos valores lógicos de B, C etc. Uma proposição A é equivalente a</p><p>uma proposição B quando A e B têm as tabelas-verdade iguais, isto é, A e B têm sempre o mesmo valor</p><p>lógico. Com base nas informações acima, julgue os itens a seguir.</p><p>1- A proposição (AB)  (¬A v B) é uma tautologia.</p><p>2- Em relação às proposições A: e B: 9 é par, a proposição composta AB é uma contradição.</p><p>3- A proposição AB é equivalente à proposição ¬B¬A.</p><p>GABARITO</p><p>1. Demonstração 2. EEECEC 3. D</p><p>4. C 5. D 6. A</p><p>7. E 8. A 9. C</p><p>10. B 11. A 12. EECCE</p><p>13. CCEEC 14. E 15. D</p><p>16. CEC</p><p>NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS</p><p>Duas proposições, uma é negação da outra quando são formadas pelas mesmas proposições simples e os</p><p>resultados das tabelas-verdade são contrários.</p><p>A</p><p>F</p><p>IR</p><p>M</p><p>A</p><p>Ç</p><p>Ã</p><p>O</p><p>A B A/\B AVB AB A B</p><p>V V V V V V</p><p>V F F V F F</p><p>F V F V V F</p><p>76</p><p>F F F F V V</p><p>N</p><p>E</p><p>G</p><p>A</p><p>Ç</p><p>Ã</p><p>O</p><p>¬A ¬B ¬AV¬B ¬A/\¬B A/\¬B (A/\¬B)V(B/\¬A)</p><p>F F F F F F</p><p>F V V F V V</p><p>V F V F F V</p><p>V V V V F F</p><p>De acordo com as tabelas-verdade temos o seguinte:</p><p>Afirmação Negação</p><p>P/\Q</p><p>Ex: O réu é culpado e a testemunha mente</p><p>¬PV¬Q</p><p>Ex: O réu não é culpado ou a testemunha não mente</p><p>PVQ</p><p>Ex: Bárbara come ou dorme</p><p>¬P/\¬Q</p><p>Ex: Bárbara não come e não dorme</p><p>P Q</p><p>Ex: Se molhar então vai desmanchar</p><p>P/\¬Q</p><p>Ex: Vai molhar e não vai desmanchar</p><p>P↔Q</p><p>Ex: Eu te darei um carro, se e somente se eu ficar</p><p>rico</p><p>(P/\¬Q)V(Q/\¬P)</p><p>Ex; Eu fico rico e não te dou um carro ou eu não fico</p><p>rico e te dou um apartamento</p><p>NEGAÇÃO DE UMA SENTENÇA</p><p>AFIRMAÇÃO NEGAÇÃO</p><p>X>A X≤A</p><p>X<A X≥A</p><p>X=A X≠A</p><p>77</p><p>APLICAÇÃO: QUESTAO DE CONCURSO COMENTADA</p><p>1.(UnB/CESPE –2008 –SEBRAE –ANALISTA) Com relação à lógica formal, julgue os itens subseqüentes.</p><p>( ) A negação da proposição “2 + 5 = 9” é a proposição “2 + 5 = 7”.</p><p>Comentário</p><p>A negação da sentença “2+5 = 9” é” 2+5 ≠ 9”, sendo assim temos que o item está errado.</p><p>Momento de Treinamento</p><p>01. Dê a negação para cada uma das proposições abaixo.</p><p>a) O dia está quente e seco.</p><p>b) Ela trabalhou muito ou teve sorte na vida.</p><p>c) Maria não é ruiva ou Regina é loira</p><p>d) Se o tempo está chuvoso então está em dezembro.</p><p>e) Faz sol se, e somente se, a família foi à praia.</p><p>02. A negação de “O gato mia e o rato chia”é:</p><p>a) O gato não mia e o rato não chia.</p><p>b) O gato mia ou o rato chia.</p><p>c) O gato não mia ou o rato não chia.</p><p>d) O gato e o rato não miam nem chiam.</p><p>e) O gato chia e o rato mia.</p><p>03. A negação de “Hoje é segunda feira e amanhã não choverá” é:</p><p>a) Hoje não e segunda feira e amanhã choverá.</p><p>b) Hoje não é segunda feira ou amanhã choverá.</p><p>c) Hoje não é segunda feira, então amanhã choverá.</p><p>d) Hoje não é segunda feira nem amanhã choverá.</p><p>e) Hoje é segunda feira ou amanhã não choverá.</p><p>04. (ANPAD/02) A negação da proposição “A seleção brasileira classificou-se para a copa do mundo, mas</p><p>não jogou bem” é:</p><p>a) A seleção brasileira não se classificou para a copa do mundo e não jogou bem.</p><p>b) A seleção brasileira classificou-se para a copa do mundo ou não jogou bem.</p><p>c) A seleção brasileira não se classificou para a copa do mundo, mas jogou bem.</p><p>d) A seleção brasileira não se classificou para a copa do mundo ou jogou bem.</p><p>e) A seleção brasileira classificou-se para a copa do mundo e não jogou bem.</p><p>05. (M. AGR) A negação da afirmativa “Me caso ou compro sorvete” é:</p><p>c) Me caso e não compro sorvete</p><p>d) Não me caso ou não compro sorvete</p><p>78</p><p>e) Não me caso e não compro sorvete</p><p>f) Não me caso ou compro sorvete</p><p>g) Se me casar, então não compro sorvete</p><p>06. (AFT/97) A negação da afirmação condicional “Se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva.” é:</p><p>a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva.</p><p>b) Se não está chovendo e eu levo o guarda-chuva.</p><p>c) Não está chovendo e eu não levo o guarda chuva.</p><p>d) Se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva.</p><p>e) Está chovendo e eu não levo o guarda chuva.</p><p>07. (ANEEL 2006) A negação da afirmação condicional “Se Ana viajar, Paulo vai viajar” é:</p><p>a) a)Ana não está viajando e Paulo vai viajar.</p><p>b) Se Ana não viajar, Paulo vai viajar.</p><p>c) Ana está viajando e Paulo não vai viajar.</p><p>d) Ana não está viajando e Paulo não vai viajar.</p><p>e) Se Ana estiver viajando, Paulo não vai viajar.</p><p>08. (GEFAZ) A afirmação “Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris” é</p><p>logicamente equivalente a afirmação:</p><p>a) É verdade que “Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris”.</p><p>b) Não é verdade que “Pedro está em Roma ou Paulo está não está em Paris”.</p><p>c) Não e verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris”</p><p>d) É verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris”.</p><p>09. (ANPAD/02) Considere a seguinte sentença: “Não é verdade que, se os impostos baixarem, então</p><p>haverá mais oferta de emprego”. Pode-se concluir que:</p><p>a) Haverá mais oferta de emprego se os impostos baixarem.</p><p>b) Se os impostos baixarem, não haverá mais oferta de emprego.</p><p>c) Os impostos baixam e não haverá mais oferta de emprego.</p><p>d) Os impostos baixam e haverá mais oferta de emprego.</p><p>e) Se os impostos não baixarem, não haverá mais oferta de emprego.</p><p>10. (CESPE-PETROBRÁS) As sentenças S1, S2 e S3 a seguir são notícias acerca da Bacia de Campos-RJ,</p><p>Extraídas e adaptadas da revista comemorativa dos 50 anos da Petrobrás.</p><p>S1: Foi descoberto óleo no campo de Garoupa, em 1974.</p><p>S2: Foi batido o recorde mundial em perfuração horizontal, em profundidade de 905 m, no campo de Marlim,</p><p>em 1995.</p><p>S3: Foi iniciada a produção em Moréia e foi iniciado o programa de desenvolvimento tecnológico em águas</p><p>profundas (Procap), em1986.</p><p>Quanto às informações das sentenças acima, julgue os itens subseqüentes.</p><p>( ) A negação da união de S1 e S2 pode</p><p>ser expressa por: Se não foi descoberto óleo no campo de</p><p>Garoupa, em 1974, então não foi batido o recorde mundial em perfuração horizontal, em profundidade</p><p>de 905 m, no Campo de Marlim, em 1995.</p><p>79</p><p>( ) A negação de S3 pode ser expressa por: Não foi iniciada a produção em Moréia ou não foi iniciado o</p><p>programa de desenvolvimento tecnológico em águas profundas (procap), em 1986.</p><p>11. A negação de “x ≥ -2” é:</p><p>a) x ≥ 2</p><p>b) x ≤ -2</p><p>c) x < -2</p><p>d) x < 2</p><p>e) x ≤ 2</p><p>12. (GESTOR/02)</p><p>Se m = 2x + 3y, então m = 4p + 3r</p><p>Se m = 4p + 3r, então m = 2w – 3r</p><p>7 m = 2x + 3y ou m = 0</p><p>Se m = 0, então m + h = 1</p><p>Ora, m + h ≠ 1. Logo:</p><p>a) 2w - 3r = 0</p><p>b) 4p + 3r ≠ 2w – 3r</p><p>c) m ≠ 2x +3y</p><p>d) 2x +3y ≠ 2w - 3r</p><p>e) m= 2w – 3r</p><p>13. (OF. CHANC./02) se x ≥ y, então Z > P ou Q ≤ R. Se Z > P, então S ≤ T. Se S ≤ T, então Q ≤ R. Ora, Q ></p><p>R, logo:</p><p>a) S > T e Z ≤ P.</p><p>b) S ≥ T e Z >P.</p><p>c) X ≥ Y e Z ≤ P</p><p>d) X > Y e Z ≤ P</p><p>e) X < Y e S < T.</p><p>14. (AFC/04) Uma professora de matemática faz as três seguintes afirmações:</p><p>I- X > Q e Z < Y;</p><p>II-X > Y e Q > Y, se e somente se Y > Z;</p><p>III-R ≠ Q, se e somente se Y = X.</p><p>Sabendo-se que todas as afirmações da professora são verdadeiras, conclui-se corretamente que:</p><p>a) X> Y> Q> Z</p><p>b) X> R> Y> Z</p><p>c) Z< Y< X< R</p><p>d) X> Q> Z> R</p><p>e) Q< X< Z < Y</p><p>GABARITO</p><p>1-</p><p>a) O dia não está quente e não seco.</p><p>80</p><p>b) Ela não trabalhou muito e não teve sorte na vida.</p><p>c) Maria é ruiva e Regina não é loira.</p><p>d) O tempo está chuvoso e não está em dezembro.</p><p>e) Faz sol e a família não foi à praia ou a família foi à praia e não faz sol.</p><p>2- c</p><p>3- b</p><p>4- d</p><p>5- c</p><p>6- e</p><p>7- c</p><p>8- a</p><p>9- c</p><p>10 e c</p><p>12 –e</p><p>13- a</p><p>14- b</p><p>81</p><p>06– DIAGRAMAS LÓGICOS</p><p>No estudo das operações com conjuntos e das soluções de problemas envolvendo conjuntos, os</p><p>diagramas ajudam a visualizar e contribuem para a compreensão de vários assuntos em Lógica.</p><p>Um tipo especial de proposição são as proposições categóricas. Podemos identificá-Ias facilmente</p><p>porque são precedidas pelos quantificadores lógicos: “Todo ( )”, “Nenhum (¬ )”, “Algum ( )”. Na lógica</p><p>clássica (também chamada de lógica aristotélica) o estudo da dedução era desenvolvido usando-se as</p><p>proposições categóricas.</p><p>OBSERVAÇÃO IMPORTANTE, (RETIRADA DE UMA PROVA):</p><p>Na linguagem falada ou escrita, o elemento primitivo é a sentença, ou proposição simples, formada</p><p>basicamente por um sujeito e um predicado. Nessas considerações, estão incluídas apenas as proposições</p><p>afirmativas ou negativas, excluindo, portanto, as proposições interrogativas, exclamativas etc. Só são</p><p>consideradas proposições aquelas sentenças bem definidas, isto é, aquelas sobre as quais pode decidir</p><p>serem verdadeiras (V) ou falsas (F). Toda proposição tem um valor lógico, ou uma valoração, V</p><p>ou F, excluindo-se qualquer outro. As proposições serão designadas por letras maiúsculas A, B, C etc.</p><p>Há expressões às quais não se pode atribuir um valor lógico V ou F, por exemplo: “Ele é juiz do TRT</p><p>da 5.ª Região”, ou “x + 3 = 9”. O sujeito é uma variável que pode ser substituído por um elemento arbitrário,</p><p>transformando a expressão em uma proposição que pode ser valorada como V ou F. Expressões dessa</p><p>forma são denominadas sentenças abertas, ou funções proposicionais.</p><p>Pode-se passar de uma sentença aberta a uma proposição por meio dos quantificadores “qualquer</p><p>que seja”, ou “para todo”, indicado por  , e “existe”, indicado por  . Por exemplo: a proposição  (x)(x </p><p>R)(x + 3 = 9) é valorada como F, enquanto a proposição  (x)(x R)(x + 3 = 9) é valorada como V.</p><p>Exemplos:</p><p>"Todos os homens são mortais" se torna "Para todo x, se x é homem, então x é mortal.", o</p><p>que pode ser escrito simbolicamente como: ))()(( xMxHx </p><p>"Alguns homens são vegetarianos" se torna "Existe algum (ao menos um) x tal que x é</p><p>homem e x é vegetariano", o que pode ser escrito simbolicamente como: ))()(( xVxHx </p><p>.</p><p>As proposições categóricas podem ser universais ou particulares, cada uma destas subdividindo-se</p><p>em afirmativa ou negativa. Temos, portanto, quatro proposições categóricas possíveis.</p><p>As quatro proposições categóricas possíveis, em suas formas típicas, são dadas no quadro seguinte:</p><p>Proposições Afirmativas Proposições Negativas</p><p>Proposições Universais (A) Todo “A” é “B“ (E) Nenhum “A” é “B”</p><p>Todo A não é B</p><p>Proposições Particulares (I) Algum “A” é “B” (O) Algum “A” não é “B”</p><p>82</p><p>Entre parênteses estão as vogais que as representam quantificação</p><p>Podemos observar no quadro acima que cada uma das proposições categóricas na forma típica</p><p>começa por “Todo” ou “Nenhum” (chamados de quantificadores universais) ou por “Algum” (chamado de</p><p>quantificador particular ).</p><p>Sujeito e predicado de uma proposição categórica</p><p>Dada uma proposição categórica em sua forma típica chamamos:</p><p>- Sujeito: Elemento da sentença relacionado ao quantificador da proposição</p><p>- Predicado: Elemento que se segue ao verbo</p><p>Exemplo:</p><p>PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS SUJEITO PREDICADO</p><p>Todo estudante dedicado é bem sucedido Estudante Bem sucedido</p><p>Nenhum animal é imortal Animal Imortal</p><p>Algum atleta é artista Atleta Artista</p><p>Algum policial não é idôneo Policial Idôneo</p><p>Exemplos:</p><p>Todo pássaro voa.</p><p>Alguns computadores travam.</p><p>Nenhuma mulher é feia.</p><p>83</p><p>01- Particular afirmativo: Algum A é B</p><p>Alguns termos que podem substituir a palavra “algum” nas provas de concursos</p><p>públicos: - Ao menos um</p><p>- Pelo menos um</p><p>- Existe</p><p>- Alguém</p><p>O conjunto interseção é formado pelos elementos que pertencem aos conjuntos A e B simultaneamente.</p><p>(A  B) = {x / x A e x B}</p><p>Simbologicamente:  x (A(x) ^B(x))  x (B(x) ^A(x))</p><p>02- Universal Negativo: Nenhum A é B</p><p>CONJUNTOS DISJUNTOS</p><p>O termo “nenhum” pode ser substituído pela a palavra “não existe” nas provas de concursos</p><p>públicos:</p><p>Simbologicamente: ¬x (A(x) ^B(x))  ¬x (B(x)^A(x))</p><p>INTERSEÇÃO (A B) = {u}</p><p>Conjunto unitário</p><p>A e B são disjuntos se A  B = Ø.</p><p>Conjunto vazio</p><p>Relação de qualidade</p><p>Algum A é B</p><p>Relação de quantidade</p><p>Relação de qualidade</p><p>Nenhum A é B</p><p>Relação de quantidade</p><p>84</p><p>A e B</p><p>B - A</p><p>~A e ~B</p><p>U</p><p>A B</p><p>03- Particular negativo: Algum A não é B</p><p>Alguns termos que podem substituir a palavra “algum” nas provas de concursos públicos:</p><p>- Ao menos um</p><p>- Pelo menos um</p><p>- Existe</p><p>- Alguém</p><p>Simbologicamente: X (A(X)^¬B(X))</p><p>04- Universal Afirmativor: Todo A é B</p><p>Alguns termos que podem substituir a palavra “todo” nas provas de concursos públicos:</p><p>- Para todo;</p><p>- Qualquer que seja.</p><p>Simbologicamente:</p><p>C</p><p>B</p><p>A = A - B = {x / x A e x  B}</p><p>COMPLEMENTAR</p><p>A U B = B A ∩ B = A</p><p>INCLUSÃO DE CONJUNTOS (A C B)</p><p>Relação de qualidade</p><p>Algum A não é B</p><p>Relação de quantidade</p><p>Relação de qualidade</p><p>Todo A é B</p><p>Relação de quantidade</p><p>85</p><p>OBS.: ))()(())()(( xAxBxxBxAx  NÃO POSSUI A PROPRIEDADE COMUTATIVA.</p><p>LINGUAGEM (SIMBOLOGIA) DAS PROPROSIÇÕES CATEGÓRICAS</p><p>Nesses últimos concursos as bancas têm cobrado dos candidatos</p><p>um conhecimento mais amplo referente à</p><p>simbologia e a escrita das proposições categóricas. Sendo assim torna-se importante verificarmos algumas</p><p>questões de concursos.</p><p>APLICAÇÃO: QUESTÃO DE CONCURSO COMENTADA</p><p>1) (INSS – 2008 – CESPE)</p><p>Algumas sentenças são chamadas abertas porque são passíveis de interpretação para que possam ser</p><p>julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F). Se a sentença aberta for uma expressão da forma  x P(x), lida</p><p>como “para todo x, P(x)”, em que x é um elemento qualquer de um conjunto U, e P(x) é uma propriedade a</p><p>respeito dos elementos de U, então é preciso explicitar U e P para que seja possível fazer o julgamento</p><p>como V ou como F.</p><p>A partir das definições acima, julgue os itens a seguir.</p><p>1( ) Considere-se que U seja o conjunto dos funcionários do INSS, P(x) seja a propriedade “x é funcionário</p><p>do INSS” e Q(x) seja a propriedade “x tem mais de 35 anos de idade”. Desse modo, é correto afirmar que</p><p>duas das formas apresentadas na lista abaixo simbolizam a proposição “Todos os funcionários do INSS têm</p><p>mais de 35 anos de idade.”</p><p>(i) (se Q(x) então P(x))</p><p>(ii) (P(x) ou Q(x))</p><p>(iii) (se P(x) então Q(x))</p><p>2( ) Se U for o conjunto de todos os funcionários públicos e P(x) for a propriedade “x é funcionário do</p><p>INSS”, então é falsa a sentença P(x).Comentário:</p><p>Item 1 – A proposição: “Todos os funcionários do INSS têm mais de 35 anos de idade” é um quantificador</p><p>Universal Afirmativo, em que temos a seguinte simbologia: ((P(x)  Q(x)) ou pode ser escrita (se</p><p>P(x) então Q(x)).</p><p>Sendo assim analisaremos os seguintes itens:</p><p>(i) (se Q(x) então P(x)) : Esta forma não simboliza corretamente a</p><p>proposição pois o quantificador universal afirmativo não permite a</p><p>propriedade comutativa.</p><p>(ii) (P(x) ou Q(x)): Esta forma não simboliza corretamente a proposição, pois</p><p>o quantificador universal afirmativo não se trata de uma união de conjuntos,</p><p>mas sim de uma inclusão de conjuntos.</p><p>(iii) (se P(x) então Q(x)): Esta forma está correto.</p><p>Logo o item 1 está errado pois não temos duas formas que representam o proposição encontrada no</p><p>enunciado.</p><p>Item 2 - Construindo um diagrama para representar sentença P(x), temos:</p><p>U (Conjunto de todos os funcionários públicos)</p><p>P (conjunto dos funcionários do INSS)</p><p>x</p><p>x</p><p>86</p><p>O elemento x pode pertencer ao conjunto P, o que pertence também ao conjunto U, mas temos a</p><p>possibilidade do elemento x pertencer somente ao conjunto U, o que torna a sentença falsa, uma vez que</p><p>ser funcionário público não garante ser funcionário do INSS.</p><p>Logo o item 2 está correto.</p><p>Momento de Treinamento</p><p>1) ( BB – 2008 – CESPE) Julgue os itens :</p><p>01 Suponha-se que U seja o conjunto de todas as pessoas, que M(x) seja a propriedade “x é mulher” e que</p><p>D(x) seja a propriedade “x é desempregada”. Nesse caso, a proposição “Nenhuma mulher é desempregada”</p><p>fica corretamente simbolizada por ¬ (M(x)^D(x)).</p><p>02 A proposição “Não existem mulheres que ganham menos que os homens” pode ser corretamente</p><p>simbolizada na forma  x (M(x)  G(x)).</p><p>03- ( TRT 5ª RG 2008) Se R é o conjunto dos números reais, então a proposição ( )(x  R)(  y)(y R)(x</p><p>+ y = x) é valorada como V.</p><p>GABARITO 1 – C 2- E 3- C</p><p>87</p><p>NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES CATEGORICAS</p><p>Duas proposições categóricas distintas que tenham o mesmo sujeito e o mesmo predicado ou não poderão</p><p>ser ambas verdadeiras ou não poderão ser ambas falsas, ou as duas coisas.</p><p>Dizemos que estarão sempre em oposição.</p><p>Todo A é B Nenhum A é B</p><p>Algum A é B Algum A não</p><p>Nega qualidade, mas não quantidade.</p><p>CONTRÁRIAS</p><p>Nega quantidade, mas não qualidade.</p><p>SUBCONTRÁRIAS</p><p>88</p><p>Todo A é B Algum A não é B</p><p>Algum A é B ↔ Nenhum A é B</p><p>Nega quantidade e qualidade</p><p>APLICAÇÃO: QUESTÃO DE CONCURSO COMENTADA</p><p>01-(UnB/CESPE –2008 –SEBRAE -ANALISTA</p><p>Considere a seguinte proposição: “Ninguém será considerado culpado ou condenado sem julgamento.”</p><p>Julgue os itens que se seguem, acerca dessa proposição.</p><p>1 ( ) A proposição “Existe alguém que será considerado culpado ou condenado sem julgamento” é uma</p><p>proposição logicamente equivalente à negação da proposição acima.</p><p>2 ( ) “Todos serão considerados culpados e condenados sem julgamento” não é uma proposição</p><p>logicamente equivalente à negação da proposição acima.</p><p>Comentário:</p><p>Item 1 – A negação da proposição: “Ninguém será considerado culpado ou condenado sem julgamento.”</p><p>será pela negação contraditória: “Existe alguém que será considerado culpado ou condenado sem</p><p>julgamento”, uma vez que nega quantidade e qualidade. Logo o item está correto.</p><p>Item 2 – Tomando como base o item anterior podemos concluir que “Todos serão considerados culpados e</p><p>condenados sem julgamento” não é a negação da proposição proposta pela questão. Logo item está</p><p>correto.</p><p>02-(UnB/CESPE –2008 –SEBRAE -ANALISTA Com relação à lógica formal, julgue o item subseqüente.</p><p>( ) A negação da proposição “Ninguém aqui é brasiliense” é a proposição “Todos aqui são brasilienses”</p><p>Comentário</p><p>A proposição: “Ninguém aqui é brasiliense” trata-se de quantificador universal negativo. Se quisermos a</p><p>negação torna-se viável negarmos pela contraditória, uma vez que termos a certeza que será por quantidade</p><p>e qualidade. Logo a negação será: “Alguém aqui é brasiliense”. O item está errado.</p><p>MOMENTO DE TREINAMENTO</p><p>01. Dê a negação para cada uma das proposições abaixo:</p><p>a) Todos os corvos são negros.</p><p>b) Nenhum triangulo é retângulo.</p><p>c) Alguns sapos são bonitos.</p><p>d) Algumas vidas não são importantes.</p><p>CONTRADITÓRIAS</p><p>89</p><p>02. (FCC) Considere que S seja a sentença: “todo político é filiado a algum partido”. A sentença equivalente</p><p>á negação da sentença S acima é:</p><p>a) Nenhum político é filiado a algum partido.</p><p>b) Nenhum político não é filiado a qualquer partido.</p><p>c) Pelo menos um político é filiado a algum partido.</p><p>d) Pelo menos um político não é filiado a qualquer partido.</p><p>03. (TRT) A correta negação da proposição “Todos os cargos deste concurso são de analista judiciário” é:</p><p>a) Alguns cargos deste concurso são de analista judiciário.</p><p>b) Existem cargos deste concurso que não são de analista judiciário.</p><p>c) Existem cargos deste concurso que são de analista judiciário.</p><p>d) Nenhum dos cargos deste concurso não é de analista judiciário.</p><p>e) Os cargos deste concurso são ou de analista, ou de judiciário.</p><p>04. (ANPAD/02) A negação da proposição “Todos os homens são bons motoristas”é:</p><p>a) Todas as mulheres são boas motoristas.</p><p>b) Algumas mulheres são boas motoristas.</p><p>c) Nenhum homem é bom motorista.</p><p>d) Todos os homens são maus motoristas.</p><p>e) Ao menos um homem é mau motorista.</p><p>05. (CVM/00) Dizer que a afirmação “Todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico,</p><p>equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira:</p><p>a) Pelo menos um economista não é médico.</p><p>b) Nenhum economista é médico.</p><p>c) Nenhum médico é economista.</p><p>d) Pelo menos um médico não é economista.</p><p>e) Todos os não médicos são não economistas.</p><p>06. (M. AGR) A negação da afirmativa “Todo tricolor é fanático” é:</p><p>a) Existem tricolores não fanáticos</p><p>b) Nenhum tricolor é fanático</p><p>c) Nem todo fanático é tricolor</p><p>d) Nenhum fanático é tricolor</p><p>e) Existe pelo menos um fanático que é tricolor</p><p>07. (Medicina – ABC) A negação de “Todos os gatos são pardos” é:</p><p>a) Nenhum gato é pardo</p><p>b) Existe gato pardo</p><p>c) Existe gato não pardo</p><p>d) Existe um e só um gato pardo</p><p>e) Nenhum gato é não pardo.</p><p>08. (ESAF) Fábio, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é verdade que todos os aldeões daquela</p><p>aldeia não dormem a sesta”. A condição necessária e suficiente para que a afirmação</p><p>subestações.</p><p>Comentário :</p><p>Nesta questão é dado três conjuntos :</p><p>I em setor de montagem eletromecânica de equipamentos;</p><p>II em setor de conserto de tubulações urbanas;</p><p>III em setor de ampliações e reformas de subestações de baixa e de alta tensão.</p><p>A questão deixa claro que todos têm experiência em pelo menos um dos setores citados, logo não</p><p>existe elementos do lado de fora. De outro lado temos candidatos que possuem experiências nos três</p><p>setores , sendo assim construiremos o diagrama para melhor interpretação.</p><p>9</p><p>Vamos agora preencher o diagrama referente ao setor de montagem :</p><p>1- O setor de Montagem possui 28 candidatos com experiência,</p><p>Ao analisar o diagrama temos que 4 candidatos têm experiência apenas no setor de Montagem,</p><p>logo podemos inferir que no espaços ( X + Y+ Z ) que estão nas cores rosa, vermelha e azul, sobraram ( 28</p><p>– 4 ) = 24 candidatos. De acordo com os valores dados de 21 candidatos nos setores (I e II) e 13</p><p>candidatos nos setores ( I e III ) , se somarmos temos: 21 + 13 = 34, mas a quantidade real das áreas</p><p>pintadas é igual 24, logo temos 10 candidatos a mais. O que passa da realidade se encontra na interseção,</p><p>pois é na interseção que os elementos são contados mais de uma vez, logo temos 10 candidatos com</p><p>experiências nos três setores ( Y=10 ).</p><p>10</p><p>Segundo os valores encontrados podemos agora preencher de forma completo o diagrama</p><p>para podemos julgar os itens, não esquecendo que o total de candidatos ,ou seja, a soma dos números</p><p>abaixo devem totalizar 44 candidatos.</p><p>Julgando os itens: Com base nas informações adquiridas iremos assinalar a opção incorreta.</p><p>a) Apenas 10 candidatos têm experiência nos 3 setores. ( o item está de acordo)</p><p>b) Somente 36 candidatos têm experiência no setor de conserto de tubulações urbanas.( o item está de</p><p>acordo)</p><p>c) Apenas 15 candidatos têm experiência no setor de ampliações e reformas de subestações. (o item está de</p><p>acordo)</p><p>d) Somente 2 candidatos têm experiência apenas nos setores de montagem e de ampliações e reformas de</p><p>subestações. ( o item está incorreto, pois temos 3 candidatos)</p><p>e) Somente 1 candidato tem experiência apenas nos setores de conserto de tubulações urbanas e de</p><p>ampliações e reformas de subestações. ( o item está de acordo)</p><p>Resposta: Letra D</p><p>11</p><p>03) (CESPE – 2008- TRT 5 RG- adaptada ) No curso de línguas Esperanto, os 180 alunos estudam inglês,</p><p>espanhol ou grego. Sabe-se que 60 alunos estudam espanhol e que 40 estudam somente inglês e espanhol.</p><p>Com base nessa situação, julgue os itens que se seguem.</p><p>1- Se 40 alunos estudam somente grego, então mais de 90 alunos estudam somente inglês.</p><p>2- Se os alunos que estudam grego estudam também espanhol e nenhuma outra língua mais, então há mais</p><p>alunos estudando inglês do que espanhol.</p><p>3- Se os 60 alunos que estudam grego estudam também inglês e nenhuma outra língua mais, então há mais</p><p>alunos estudando somente inglês do que espanhol.</p><p>Analisando a questão acima temos que :</p><p>- 180 alunos estudam inglês, espanhol ou grego , vamos representar da seguinte maneira ( I  E </p><p>G );</p><p>- 60 estudam espanhol ( E= 60 );</p><p>- 40 estudam somente inglês e espanhol ( ( I ∩ E)-G).</p><p>1- Se 40 alunos estudam somente grego, então mais de 90 alunos estudam somente inglês.</p><p>Vimos que as duas áreas pintadas acima totalizam 100 alunos, o que resta 80 para preencher</p><p>os espaços em branco, supondo que a interseção de somente inglês e grego fosse igual a zero, ou seja, não</p><p>tivesse nenhum aluno, mesmo assim, não teríamos 90 alunos que estudam apenas inglês.</p><p>O item está errado.</p><p>12</p><p>2- Se os alunos que estudam grego estudam também espanhol e nenhuma outra língua mais,</p><p>então há mais alunos estudando inglês do que espanhol.</p><p>De acordo com o diagrama acima o item está certo.</p><p>3- Se os 60 alunos que estudam grego estudam também inglês e nenhuma outra língua mais,</p><p>então há mais alunos estudando somente inglês do que espanhol.</p><p>13</p><p>04) (ESAF/AFC-2004) Foi feita uma pesquisa de opinião para determinar o nível de aprovação popular a</p><p>três diferentes propostas de políticas governamentais para redução da criminalidade. As propostas (referidas</p><p>como “A”, “B” e “C”) não eram mutuamente excludentes, de modo que o entrevistado poderia se declarar ou</p><p>contra todas elas, ou a favor de apenas uma, ou a favor de apenas duas, ou a favor de todas as três. Dos</p><p>entrevistados, 78% declararam-se favoráveis a pelo menos uma delas. Ainda do total dos entrevistados, 50%</p><p>declararam-se favoráveis à proposta A, 30% à proposta B e 20% à proposta C. Sabe-se , ainda, que 5% do</p><p>total dos entrevistados se declararam favoráveis a todas as três propostas. Assim, a percentagem dos</p><p>entrevistados que se declararam favoráveis a mais de uma das três propostas foi igual a:</p><p>a) 17%</p><p>b) 5%</p><p>c) 10%</p><p>d) 12%</p><p>e) 22%</p><p>14</p><p>Aproveitando a questão para uma análise mais profunda e melhor entendimento. Fiz umas inferências</p><p>que poderiam ser perguntas da banca.</p><p>15</p><p>MOMENTO DE TREINAMENTO</p><p>FIXAÇÃO DE APRENDIZAGEM</p><p>01) Em uma classe, há 20 alunos que praticam futebol mas não praticam vôlei e há 8 alunos que praticam</p><p>vôlei mas não praticam futebol. O total dos que praticam vôlei é 15. Ao todo, existem 17 alunos que não</p><p>praticam futebol. O número de alunos da classe é:</p><p>A) 30 B) 35 C) 37 D) 42 E) 44</p><p>02) Em certa comunidade há indivíduos de três raças: branca, negra e amarela. Sabendo que 70 são</p><p>brancos, 350 são não negros e 50% são amarelos, responda:</p><p>A) quantos indivíduos tem a comunidade?</p><p>B) quantos são os indivíduos amarelos?</p><p>03) Numa classe de 45 alunos, 28 falam francês e 14 falam espanhol. Desses alunos, 8 não falam nem</p><p>francês nem espanhol. Quantos falam as duas línguas?</p><p>04) Numa classe de 43 alunos, 27 falam inglês, 15 falam alemão, 6 falam inglês e alemão. Quantos alunos</p><p>não falam nem inglês, nem alemão?</p><p>05) Considere o conjunto M = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} e responda quantos subconjuntos tem M.</p><p>06) Quantos elementos tem o conjunto do qual se pode obter 32.768 subconjuntos?</p><p>07) (PUC-Rio) Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma cidade revelou que,</p><p>exatamente :</p><p>17% têm casa própria;</p><p>22% têm automóvel;</p><p>8% têm casa própria e automóvel</p><p>Qual o percentual dos que não tem casa própria nem automóvel?</p><p>16</p><p>08) Uma senhora que costuma fazer saladas de frutas para servir aos fregueses em seu restaurante, dispõe</p><p>de oito frutas diferentes. Sabendo que cada mistura de pelo menos duas frutas resulta numa salada</p><p>diferente, calcule o número de saladas de frutas diferentes que podem ser obtidas</p><p>09) Numa escola existem 84 meninas, 48 crianças loiras, 26 meninos não loiros e 18 meninas loiras.</p><p>Pergunta-se:</p><p>A) Quantas crianças existem na escola?</p><p>B) Quantas crianças são meninas ou são loiras?</p><p>10) Dos funcionários de uma empresa, sabe-se que existem:</p><p>35 homens;</p><p>18 pessoas que possuem automóvel;</p><p>15 mulheres que não possuem automóvel;</p><p>7 homens que possuem automóvel;</p><p>A) Qual o número de funcionários que há nessa empresa?</p><p>B) Quantos funcionários são homens ou quantos possuem automóvel?</p><p>11) Numa classe colheu-se os seguintes dados em relação as três matérias estudadas:</p><p>20 alunos foram aprovados nas 3 matérias.</p><p>35 alunos foram aprovados em Química e Física.</p><p>42 alunos foram aprovados em Matemática e Física.</p><p>22 alunos foram aprovados em Química e Matemática</p><p>O professor de Matemática aprovou 50 alunos.</p><p>O professor de Física aprovou 70 alunos.</p><p>O professor de Química aprovou 40 alunos.</p><p>Quantos alunos foram aprovados:</p><p>a) em uma matéria?</p><p>17</p><p>b) somente</p><p>de Fábio seja</p><p>verdadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição:</p><p>a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.</p><p>90</p><p>b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta.</p><p>c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta.</p><p>d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.</p><p>e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta.</p><p>09. (ANPAD/02) negação da sentença “Nenhuma pessoa lenta em aprender freqüenta esta escola” é:</p><p>a) Todas as pessoas lentas em aprender freqüentam esta escola.</p><p>b) Todas as pessoas lentas em aprender não freqüentam esta escola.</p><p>c) Algumas pessoas lentas em aprender freqüentam esta escola.</p><p>d) Algumas pessoas lentas em aprender não freqüentam esta escola.</p><p>e) Nenhuma pessoa lenta em aprender freqüenta esta escola.</p><p>10. (ESAF) Se não é verdade que “alguma professora universitária não dá aulas interessantes”, portanto é</p><p>verdade que:</p><p>a) Todas as professoras universitárias dão aulas interessantes.</p><p>b) Nenhuma professora universitária dá aulas interessantes.</p><p>c) Nenhuma aula interessante é dada por alguma professora universitária.</p><p>d) Nem todas as professoras universitárias dão aulas interessantes.</p><p>e) Todas as aulas não interessantes são dadas por professoras universitárias.</p><p>11. (OF.CHANC./02) Se a professora de matemática foi à reunião, nem a professora de Inglês nem a</p><p>professora de Francês deram aula. Se a professora de francês não deu aula, a professora de português</p><p>foi à reunião. Se a professora de português foi à reunião, todos os problemas foram resolvidos. Ora, pelo</p><p>menos um problema não foi resolvido. Logo,</p><p>a)A professora de matemática não foi à reunião e a professora de francês não deu aula.</p><p>b) A professora de matemática e a professora de português não foram à reunião.</p><p>c) A professora de francês não deu aula e a professora de português não foi à reunião.</p><p>d) A professora de francês não deu aula ou a professora de português foi à reunião.</p><p>e) A professora de inglês e a de francês não deram aula.</p><p>GABARITO :</p><p>1)</p><p>a) Pelo menos um corvo não é negro.</p><p>b) Algum triângulo é retângulo</p><p>c) Nenhum sapo é bonito</p><p>d) Todas as vidas são importantes.</p><p>2) D</p><p>3) B</p><p>4) E</p><p>5) A</p><p>6) A</p><p>7) C</p><p>8) C</p><p>9) C</p><p>10) A</p><p>11) B</p><p>91</p><p>07– INFERÊNCIAS</p><p>INFERÊNCIA LÓGICA</p><p>É uma operação mental pela qual extraímos uma nova proposição denominada conclusão, de</p><p>proposições já conhecidas, denominadas premissas</p><p>P1: Proposição  Premissa (Hipótese)</p><p>P2: Proposição  Premissa (Hipótese)</p><p>P3: Proposição  Premissa (Hipótese)</p><p>P4: Proposição  Premissa (Hipótese)</p><p>P5: Proposição  Premissa (Hipótese)</p><p>Pn: Proposição  Premissa (Hipótese)</p><p>C: Proposição  Conclusão (Tese)</p><p>Regras de inferência</p><p>1. Modus Ponens</p><p>A, AB B</p><p>2. Generalização Universal</p><p>A</p><p>Teoremas</p><p>Nos teoremas abaixo:</p><p>- As premissas estão sempre à esquerda do sinal (Lê-se portanto);</p><p>- Uma vírgula separa duas premissas</p><p>- Rec. Significa teorema recíproco do apresentado na linha anterior.</p><p>T1: A A</p><p>T2: ~(~A) A</p><p>REC: A ~(~A)</p><p>T3: A, B A/\B</p><p>T4: A AVB</p><p>T5: A/\B A</p><p>T6: AVB, ~A B</p><p>T7: AB, BC AC</p><p>T8: A, (AB) B</p><p>T9: (AVB), BC (AVC)</p><p>T10: AB ~B~A</p><p>REC: ~B~A AB</p><p>T11: AB, (~AB) B</p><p>T12: (A/\B)C A(BC)</p><p>REC: A(BC) (A/\B)C</p><p>92</p><p>T13: (A/\~B) (C/\~C) AB (Princípio a não-contradiçao)</p><p>T14: A(BVC, ~B AC)</p><p>Nestes últimos concursos públicos temos observado que as bancas têm cobrado do candidato uma</p><p>interpretação do que é uma inferência lógica, onde questões bem elaboradas fazem parte do processo</p><p>seletivo. Sendo assim torna-se necessário entendermos que uma inferência lógica é constituída de</p><p>premissas verdadeiras para se deduzir uma conclusão também verdadeira, uma vez que a lógica afirma: Se</p><p>as premissas fornecem bases ou boas provas para a conclusão, se a afirmação da verdade das premissas</p><p>garante afirmação da verdade da conclusão, então o raciocínio é correto.</p><p>APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS</p><p>(SEBRAE – 2008 – CESPE)</p><p>Considere as seguintes proposições:</p><p>I Todos os cidadãos brasileiros têm garantido o direito de herança.</p><p>II Joaquina não tem garantido o direito de herança.</p><p>III Todos aqueles que têm direito de herança são cidadãos de muita sorte.</p><p>Supondo que todas essas proposições sejam verdadeiras, é correto concluir logicamente que</p><p>1 ( ) Joaquina não é cidadã brasileira.</p><p>2 ( ) Todos os que têm direito de herança são cidadãos brasileiros.</p><p>3 ( ) Se Joaquina não é cidadã brasileira, então Joaquina não é de muita sorte.</p><p>Comentário:</p><p>Segundo as premissas podemos construir o diagrama acima, vamos lá...</p><p>Pela premissa I temos a inclusão de dois conjuntos: Todo cidadão brasileiro têm garantido o direito de</p><p>herança. Cidadão brasileiro está contido no conjunto garantia de direito de herança.</p><p>Pela premissa II temos que Joaquina não pode pertencer ao conjunto “Garantia de direito de herança”,</p><p>podendo assim ficar nas duas posições indicadas no diagrama.</p><p>Pela premissa III temos que o conjunto: Cidadãos de muita sorte pode possui ou não Joaquina.</p><p>Julgando os itens :</p><p>1( C ) certo o item, pois Joaquina não pertence ao conjunto : Cidadão brasileiro.</p><p>2( E ) errado o item, pois comutou o quantificador universal afirmativo,onde o mesmo não aceita tal</p><p>propriedade.</p><p>3( E ) Temos um conectivo condicional , em que podemos valorar as proposições dadas:</p><p>Se Joaquina não é cidadã brasileira, então não é de muita sorte.</p><p>V  (V / F) = V / F</p><p>Sendo assim, temos que o item está errado, pois não podemos garantir a verdade da proposição dada.</p><p>Cidadãos de muita sorte</p><p>Cidadão brasileiro</p><p>Joaquina</p><p>Joaquina</p><p>Garantia de direito de herança</p><p>93</p><p>02) (ESAF) Nenhum matemático é aluno. Algum administrador é aluno, logo:</p><p>a) Algum administrador é matemático</p><p>b) Todo administrador é matemático</p><p>c) Nenhum administrador é matemático</p><p>d) Algum administrador não é matemático.</p><p>e) Todo administrador não é matemático.</p><p>Comentário:</p><p>Da mesma forma que analisamos as premissas formadas com os conectivos lógicos (utilizando</p><p>as tabelas-verdade) para que possamos encontrar uma conclusão verdadeira, iremos analisar as premissas</p><p>formadas com os quantificadores lógicos. Cada premissa será representada pelo seu diagrama lógico, sendo</p><p>cada um deles verdadeiro para que tenhamos uma conclusão verdadeira.</p><p>O que analisar?</p><p>Vamos construir os diagramas para cada premissa:</p><p>P1: Nenhum matemático é aluno. (Não há nada em comum)</p><p>P2: Algum Administrador é aluno ( Pelo menos um {X}. Conjunto unitário )</p><p>Relacionando as duas premissas (diagramas lógicos), temos:</p><p>A conclusão será fruto da relação das premissas acima, sendo que deverá ser uma nova</p><p>proposição conseqüência de uma certeza. Não podemos concluir o que não temos certeza, e é desta forma</p><p>que podemos afirmar que a resposta da questão será: Algum Administrador não é matemático. Letra “d”.</p><p>94</p><p>04) ( CESPE- PF – Escrivão 2004) para se preparar para o concurso, utilizou um site de busca da internet e</p><p>pesquisou em uma livraria virtual, especializada ns áreas de direito, administração e economia, que vende</p><p>livros nacionais e importados. Nessa livraria, alguns livros de direito e todos os de administração fazem parte</p><p>dos produtos nacionais. Além disso, não há livro nacional disponível de capa dura.</p><p>Julgue os itens com base nas informações acima. É possível que Pedro em sua pesquisa tenha:</p><p>a) Encontrado um livro de administração de capa dura.</p><p>b) Adquirido dessa livraria um livro de economia de capa flexível.</p><p>c) Selecionado para compra um livro nacional de direito de capa dura.</p><p>d) Comprado um livro importado de direito de capa flexível.</p><p>Comentário</p><p>P1: Alguns livros de Direito são produtos nacionais:</p><p>P2: Todos os livros de Administração são produtos nacionais.</p><p>P3: Não há livro nacional disponível de capa dura. (não há nada em comum)</p><p>Relacionando as premissas acima temos:</p><p>Julgando os itens, temos:</p><p>95</p><p>a.( E ) Não é possível encontrar um livro de administração de capa dura, pois pelos diagramas acima</p><p>percebemos que não há elemento comum.</p><p>b. (C) Como não limitamos o conjunto dos livros de economia quanto capa dura ou não, torna-se possível ser</p><p>flexível. Não tivemos premissas que explicitaram sobre tal pensamento.</p><p>c. (E) Um livro nacional de Direito se encontra na intersecção entre Produtos Nacionais ( mostrado no</p><p>diagrama acima), a região hachurada, logo não há elementos comuns entre estes elementos e capa dura.</p><p>d. (C) Podemos ter elementos (livros) importados de direito de capa flexível, uma vez que só alguns de</p><p>direito podem ter capa dura e também só alguns são produtos nacionais.</p><p>05) (IPEA -2008 CESPE) julgue o item seguinte, a respeito de lógica.</p><p>Considere que as proposições “Alguns flamenguistas são vascaínos” e “Nenhum botafoguense é vascaíno”</p><p>sejam valoradas como V. Nesse caso, também será valorada como V a seguinte proposição: “Algum</p><p>flamenguista não é botafoguense”.</p><p>Comentário</p><p>O item está correto .</p><p>MOMENTO DE TREINAMENTO</p><p>01) (CESPE 2006) Considere que os diagramas abaixo representam conjuntos nomeados pelos seus tipos</p><p>de elementos. Um elemento específico é marcado com um ponto.</p><p>96</p><p>O diagrama da esquerda representa a inclusão descrita pela sentença “Todos os seres humanos são</p><p>bípedes”. O diagrama da direita representa a inclusão descrita pela sentença “Miosótis é bípede”. Nessas</p><p>condições, é correto concluir que “Miosótis é um ser humano”.</p><p>02) Todo cristão é monoteísta. Algum cristão é luterano logo:</p><p>a) Todo monoteísta é luterano.</p><p>b) Algum luterano é monoteísta</p><p>c) Algum luterano não é cristão</p><p>d) Nenhum monoteísta é cristão</p><p>e) Nenhum luterano é monoteísta.</p><p>03) (ESAF) Todo professor é graduado. Alguns professores são pós-graduados, logo:</p><p>a) Alguns pós-graduados são graduados</p><p>b) Alguns pós-graduados não são graduados</p><p>c) Todos pós-graduados são graduados</p><p>d) Todos pós-graduados não são graduados</p><p>e) Nenhum pós-graduado é graduado</p><p>04) Se Rodrigo mentiu, então ele é culpado. Logo:</p><p>(A) se Rodrigo não é culpado, então ele não mentiu.</p><p>(B) Rodrigo é culpado.</p><p>(C) se Rodrigo não mentiu. então ele não é culpado.</p><p>(D) Rodrigo mentiu.</p><p>(E) se Rodrigo é culpado, então ele mentiu.</p><p>05) (TCU) Se é verdade que “alguns escritores são poetas” e que “nenhum músico é poeta”, então, também</p><p>é necessariamente verdade que:</p><p>a) Nenhum músico é escritor</p><p>b) Algum escritor é músico</p><p>c) Algum músico é escritor</p><p>d) Algum escritor não é músico</p><p>e) Nenhum escritor é músico</p><p>06) (TCU) Em uma pequena comunidade sabe-se que: “nenhum filosofo é rico” e que “alguns professores</p><p>são ricos”. Assim pode-se afirmar, corretamente, que nesta comunidade:</p><p>a) Alguns filósofos são professores</p><p>b) Alguns professores são filósofos</p><p>c) Nenhum filosofo é professor</p><p>d) Alguns professores não são filósofos</p><p>e) Nenhum professor é filosofo</p><p>97</p><p>07) Considere verdadeiras as seguintes proposições:</p><p>I Quem sabe colecionar selos não é ocioso</p><p>II Macacos não sabem dirigir automóvel</p><p>III Quem não sabe dirigir automóvel é ocioso</p><p>Dentre as sentenças a seguir, diga qual pode ser conclusão das proposições:</p><p>a) Quem não sabe dirigir automóvel é macaco.</p><p>b) Quem sabe dirigir automóvel não é ocioso.</p><p>c) Quem não sabe colecionar selos é ocioso.</p><p>d) Macacos não sabem colecionar selos.</p><p>e) As pessoas ociosas não sabem dirigir automóveis.</p><p>08) Em uma prova, nem todos os alunos obtiveram aprovação. Sabemos que todos os alunos aprovados</p><p>fizeram a lista de exercícios proposta pelo professor do curso. Podemos concluir, com absoluta certeza, que:</p><p>a) Existem alunos que não fizeram a lista de exercícios;</p><p>b) Se algum aluno não fez a lista de exercícios, ele foi reprovado;</p><p>c) Existem alunos que não fizeram a lista de exercícios e foram aprovados;</p><p>d) Todos os alunos que fizeram a lista de exercícios foram aprovados;</p><p>e) Todos os alunos fizeram a lista de exercícios.</p><p>09) Considere as seguintes sentenças:</p><p>I Nenhum esportista é alcoólatra</p><p>II Osmar é pescador</p><p>III Todos os pescadores são Alcoólatras</p><p>Admitindo que as três sentenças são verdadeiras, verifique qual das sentenças a seguir é certamente</p><p>verdadeira.</p><p>a) Todos os alcoólatras são pescadores.</p><p>b) Algum esportista é pescador.</p><p>c) Alguns pescadores são esportistas</p><p>d) Osmar não é esportista</p><p>10) Todos os artistas são belos.</p><p>Alguns artistas são indigentes.</p><p>a) Alguns indigentes são belos</p><p>b) Alguns indigentes não são belos</p><p>c) Todos os indigentes são belos</p><p>d) Todos os indigentes não são belos</p><p>e) Nenhum indigente é belo.</p><p>11) (SERPRO) Todos os alunos de Matemática são, também, alunos de Inglês, mas nenhum aluno de Inglês</p><p>é aluno de História. Todos os alunos de Português são também alunos de Informática, e alguns alunos de</p><p>Informática são também alunos de História. Como nenhum aluno de Informática é aluno de Inglês, e como</p><p>nenhum aluno de Português é aluno de História, então:</p><p>a) Pelo menos um aluno de Português é aluno de Inglês</p><p>b) Pelo menos um aluno de Matemática é aluno de História.</p><p>c) Nenhum aluno de Português é aluno de Matemática.</p><p>d) Todos os alunos de Informática são alunos de matemática.</p><p>e) Todos os alunos de Informática são alunos de Português.</p><p>12) Todas as plantas verdes têm clorofila. Algumas plantas que tem clorofila são comestíveis, logo:</p><p>a) Algumas plantas verdes são comestíveis</p><p>b) Algumas plantas verdes não são comestíveis</p><p>98</p><p>c) Algumas plantas comestíveis têm clorofila.</p><p>d) Todas as plantas que têm clorofila são comestíveis.</p><p>e) Todas as plantas verdes são comestíveis.</p><p>13) (SERPRO) Todas as amigas de Aninha que foram à sua festa de aniversário estiveram, antes na festa</p><p>de aniversário de Betinha. Como nem todas amigas de Aninha estiveram na festa de aniversário de Betinha,</p><p>conclui-se que, das amigas de Aninha:</p><p>a) Todas foram à festa de Aninha e algumas não foram à festa de Betinha.</p><p>b) Pelo menos uma não foi à festa de Aninha.</p><p>c) Todas foram à festa de Aninha e nenhuma foi a Festa de Betinha.</p><p>d) Algumas foram à festa de Aninha mas não foram à festa de Betinha</p><p>e) Algumas foram à festa de Aninha e nenhuma foi à festa de Betinha.</p><p>14) Todos os marinheiros são republicanos. Assim sendo:</p><p>(A) o conjunto dos marinheiros contém o conjunto dos republicanos.</p><p>(B) o conjunto dos republicanos contém o conjunto dos marinheiros.</p><p>(C) todos os republicanos são marinheiros.</p><p>(D) algum marinheiro não é republicano.</p><p>(E) nenhum marinheiro é republicano.</p><p>15) (AFC) Considere as seguintes premissas (onde A, B, C e D são conjuntos vazios):</p><p>Premissa 1: “A está contido em B e em C, ou A está contido em D”</p><p>Premissa 2: “A não esta contido em D”.</p><p>Pode-se, então concluir corretamente que:</p><p>a) B esta contido em C</p><p>b) A está contido em C</p><p>c) B está contido em C ou em D</p><p>d) A não está contido nem em D nem em B</p><p>e) A não está contido nem em B e nem em C.</p><p>16) (TTN) Se é verdade que “Alguns A são R” e que “nenhum G é R”, então é necessariamente verdadeiro</p><p>que:</p><p>a) Algum A não é G</p><p>b) Algum A é G</p><p>c) Nenhum A é G</p><p>d) Algum G é A</p><p>e) Nenhum G é A</p><p>17) (ESAF) Nenhum M é K. Alguns R são K, logo:</p><p>a) Nenhum R é M</p><p>b) Todo R é M</p><p>c) Algum R não é M</p><p>d) Algum R é M</p><p>e) Todo R não é M.</p><p>18) Considere as premissas:</p><p>P1: Os bebês são ilógicos</p><p>P2: Pessoas ilógicas são desprezadas</p><p>P3: Quem sabe amestrar um crocodilo não é desprezado.</p><p>99</p><p>Assinale a única alternativa que é uma conseqüência lógica das três premissas.</p><p>a) Bebês não sabem amestrar crocodilos.</p><p>b) Pessoas desprezadas são ilógicas</p><p>c) Pessoas desprezadas não sabem amestrar crocodilos</p><p>d) Pessoas ilógicas não sabem amestrar crocodilos</p><p>e) Bebes são desprezados.</p><p>19 - Valter tem inveja de quem é mais rico do que ele. Geraldo não é mais rico do que quem o inveja. Logo:</p><p>(A) quem não é mais rico do que Valter é mais pobre do que Valter.</p><p>(B) Geraldo é mais rico do que Valter.</p><p>(C) Valter não tem inveja de quem não é mais rico do que ele.</p><p>(D) Valter inveja só quem é mais rico do que ele.</p><p>(E) Geraldo não é mais rico do que Valter.</p><p>20) (ANPAD) Considere as seguintes proposições:</p><p>I Todo artista é simpático.</p><p>II Todo político não é simpático. Pode-se afirmar que:</p><p>a) Alguns artistas são políticos.</p><p>b) Algumas pessoas simpáticas são políticos.</p><p>c) Nenhum artista é simpático</p><p>d) Nenhum artista é político</p><p>e) Nenhuma pessoa simpática é artista.</p><p>GABARITO</p><p>1. E 2. B 3. A 4. A 5. D 6. D 7. D</p><p>8. B 9. D 10. A 11. C 12. C 13. B 14. B</p><p>15. B 16. A 17. C 18. B 19. E 20. D</p><p>100</p><p>08– ARGUMENTAÇÃO LÓGICA</p><p>A Lógica formal também chamada de lógica simbólica preocupa-se, basicamente, com a estrutura do</p><p>raciocínio. Os conceitos são rigorosamente definidos, e as sentenças são transformadas em notações</p><p>simbólicas precisas, compactas e não ambíguas.</p><p>Argumento é a relação que associa um conjunto de proposições P1,P2,P3,..Pn , chamadas</p><p>premissas( hipóteses) , a uma proposição C , chamado de conclusão(tese) do argumento.</p><p>ESTRUTURA DO ARGUMENTO:</p><p>SILOGISMO:</p><p>Quando temos um argumento formado por três proposições, sendo duas premissas e um</p><p>conclusão trata-se então de um SILOGISMO.</p><p>P1: premissa</p><p>P2: premissa</p><p>C: conclusão</p><p>Exemplos :</p><p>I- P1 :Todos os professores são dedicados (V)</p><p>P2: Todos os dedicados são bem sucedidos (V)</p><p>Todos os professores são bem sucedidos (V)</p><p>p 1 ^ p 2 ^ p 3 ^ p 4 ^ p 5 ... p n C</p><p>(Premissas/Hipóteses) (Conclusão/Tese)</p><p>101</p><p>II – P1: Todos os professores são dedicados (V)</p><p>P2: Josimar é dedicado ( V)</p><p>C: Josimar é professor ( V / F)</p><p>Representação por diagrama:</p><p>SILOGISMO CATEGÓRICO:</p><p>Um silogismo é denominado categórico quando é composto por três proposições</p><p>categóricas, e as três proposições categóricas devem conter ao todo, três termos e cada um dos</p><p>termos devem estar exatamente em duas das três proposições que compõem o silogismo.</p><p>Ex.: No silogismo</p><p>P1: Todo aluno dedicado é aprovado</p><p>P2: Josilton é um aluno dedicado</p><p>C : Josilton será aprovado</p><p>EXEMPLOS DE ARGUMENTOS:</p><p>P1: De acordo com a acusação, o réu roubou um carro ou roubou uma motocicleta.</p><p>Dedicados</p><p>Professores</p><p>Dedicados</p><p>Josimar</p><p>Josimar</p><p>102</p><p>P2: O réu roubou um carro.</p><p>C: Portanto, o réu não roubou uma motocicleta.</p><p>P1: Se juízes fossem deuses, então juizes não cometeriam erros.</p><p>P2: Juízes cometem erros.</p><p>C: Portanto, juízes não são deuses.</p><p>P1: Todo cachorro é verde.</p><p>P2: Tudo que é verde é vegetal.</p><p>C: Logo, todo cachorro é vegetal.</p><p>A Lógica não se preocupa com o valor lógico das premissas e da conclusão, se preocupa</p><p>apenas com a forma e a estrutura que as premissas se relacionam com a conclusão, ou seja, se o</p><p>argumento é válido ou inválido. Isto quer dizer que para ser argumento é necessário possui</p><p>FORMA.</p><p>VALIDADE DE UM ARGUMENTO</p><p>Um argumento será Válido, legítimo ou bem construído quando a conclusão é uma</p><p>conseqüência obrigatória do seu conjunto de premissas.</p><p>Sendo as premissas de um argumento verdadeiras, isto implica necessariamente que a</p><p>conclusão será verdadeira.</p><p>A validade de um argumento depende tão somente da relação existente entre as premissas</p><p>e a conclusão.</p><p>p 1 (V)^ p 2 (V) ^ p 3 ( V) ^ p 4 (V) ^ p 5 (V) ... p n (V)  C( V)</p><p>103</p><p>Percebemos que existe um conectivo de conjunção que opera as premissas, logo para que</p><p>a conclusão seja verdadeira torna-se necessário as premissas serem verdadeiras, até mesmo</p><p>porque se uma das premissas for falsa tornará a conclusão falsa. Logo temos que a verdade das</p><p>premissas garante a verdade da conclusão o argumento.</p><p>APLICAÇÃO</p><p>ANALISANDO ALGUNS ARGUMENTOS ABAIXO :</p><p>I - Se estudo, obtenho boas notas. Se me alimento bem, me sinto disposto. Ontem</p><p>estudei e não me senti disposto, logo obterei boas notas mas não me alimentei bem.</p><p>Temos:</p><p>P1: estudo  obtenho boas notas.</p><p>P2: me alimento bem me sinto disposto.</p><p>P3: Ontem estudei ^ não me senti disposto</p><p>logo C: Obterei boas notas ^ não me alimentei bem.</p><p>Partindo do princípio de que todas as premissas são verdadeiras, temos:</p><p>P1: estudo (V)  obtenho boas notas. (V) = (V)</p><p>P2: me alimento bem (F) me sinto disposto. (F) = (V)</p><p>P3: Ontem estudei (V) ^ não me senti disposto (V) = (V)</p><p>Após a valoração das premissas podemos verificar se a verdade das premissas</p><p>realmente garante a verdade da conclusão? Vejamos:</p><p>logo C: Obterei boas notas ( VERDADE) ^ não me alimentei bem. (VERDADE) </p><p>VERDADE</p><p>Sendo assim temos que o argumento é válido.</p><p>104</p><p>II- Se ontem choveu e estamos em junho, então hoje fará frio. Ontem choveu e hoje</p><p>fez frio. Logo estamos em junho.</p><p>Temos:</p><p>P1: (ontem choveu ^ estamos em junho) hoje fará frio.</p><p>P2: ontem choveu ^ fez frio</p><p>logo C: estamos em junho</p><p>Partindo do princípio de que todas as premissas são verdadeiras, temos:</p><p>P1: (ontem choveu(V) ^ estamos em junho(V/F)  hoje fará frio. (V) = (V)</p><p>P2: ontem choveu(V) ^ fez frio(V) = (V)</p><p>logo C: estamos em junho(V/F)</p><p>Após a valoração das premissas podemos verificar se a verdade das premissas</p><p>realmente garante a verdade da conclusão? Vejamos:</p><p>logo C: estamos em junho(V/F)</p><p>Sendo assim temos que o argumento é inválido.</p><p>III- Choveu ontem ou segunda-feira é feriado. Como não choveu ontem, logo</p><p>segunda-feira não será feriado.</p><p>Temos:</p><p>P1: (choveu ontem V segunda-feira é feriado).</p><p>P2: não choveu ontem</p><p>logo C: segunda-feira não é feriado</p><p>Partindo do princípio de que todas as premissas são verdadeiras, temos:</p><p>105</p><p>P1: choveu ontem (F) v segunda-feira é feriado(V). = (V)</p><p>P2: não choveu ontem = (V)</p><p>logo C: segunda-feira não é feriado (F)</p><p>Após a valoração das premissas podemos verificar se a verdade das premissas</p><p>realmente garante a verdade da conclusão? Vejamos:</p><p>logo C: segunda-feira não é feriado=F</p><p>Sendo assim temos que o argumento é inválido.</p><p>IV - (IPEA -2008 CESPE) Julgue o item seguinte, a respeito de lógica.</p><p>Considere o argumento formado pelas proposições A: “Todo número inteiro é par”; B: “Nenhum número par é</p><p>primo”; C: “Nenhum número inteiro é primo”, em que A e B são as premissas e C é a conclusão. Nesse caso,</p><p>é correto afirmar que o argumento é um argumento válido.</p><p>COMENTÃRIO:</p><p>106</p><p>Um desafio para você... Responda:</p><p>( CESPE 2008- DELEGADO POLICIA CIVIL/TO) Uma proposição é uma frase afirmativa que pode ser</p><p>julgada como verdadeira ou falsa,</p><p>mas não ambos. Uma dedução lógica é uma seqüência de proposições, e</p><p>é considerada correta quando, partindo-se de proposições verdadeiras, denominadas premissas, obtêm-se</p><p>proposições sempre verdadeiras, sendo a última delas denominada conclusão. Considerando essas</p><p>informações, julgue os itens a seguir, a respeito de proposições.</p><p>01- Considere verdadeiras as duas premissas abaixo:</p><p>O raciocínio de Pedro está correto, ou o julgamento de Paulo foi injusto.</p><p>O raciocínio de Pedro não está correto.</p><p>Portanto, se a conclusão for a proposição, O julgamento de Paulo foi injusto, tem-se uma dedução lógica</p><p>correta.</p><p>02- Considere a seguinte seqüência de proposições:</p><p>(1) Se o crime foi perfeito, então o criminoso não foi preso.</p><p>(2) O criminoso não foi preso.</p><p>(3) Portanto, o crime foi perfeito.</p><p>Se (1) e (2) são premissas verdadeiras, então a proposição (3), a conclusão, é verdadeira, e a seqüência é</p><p>uma dedução lógica correta.</p><p>03- (CESPE – MCT 2008) Considere as seguintes proposições.</p><p>A: Nenhum funcionário do MCT é celetista.</p><p>B: Todo funcionário celetista foi aprovado em concurso público.</p><p>C: Nenhum funcionário do MCT foi aprovado em concurso público.</p><p>Nesse caso, se A e B são as premissas de um argumento e C é a conclusão, então esse argumento é válido.</p><p>Resposta: 1 E 2 C 3 E</p><p>MOMENTO DE TREINAMENTO</p><p>INFERÊNCIAS E ARGUMENTAÇÕES LÓGICAS</p><p>(1) Todos os bons estudantes são pessoas tenazes. Assim sendo:</p><p>A) Alguma pessoa tenaz não é um bom estudante.</p><p>B) O conjunto dos bons estudantes contém o conjunto das pessoas tenazes.</p><p>C) Toda pessoa tenaz é um bom estudante.</p><p>D) Nenhuma pessoa tenaz é um bom estudante.</p><p>E)O conjunto das pessoas tenazes contém o conjunto dos bons estudantes.</p><p>(2) Todo baiano gosta de axé music. Sendo assim:</p><p>A) Todo aquele que gosta de axé music é baiano.</p><p>B) Todo aquele que não é baiano não gosta de axé music .</p><p>C) Todo aquele que não gosta de axé music não é baiano.</p><p>107</p><p>D) Algum baiano não gosta de axé music.</p><p>E) Alguém que não goste de axé music é baiano.</p><p>(3) Todo atleta é bondoso. Nenhum celta é bondoso. Daí pode-se concluir que:</p><p>A) Algum atleta é celta;</p><p>B) Nenhum atleta é celta;</p><p>C) Nenhum atleta é bondoso;</p><p>D) Alguém que seja bondoso é celta;</p><p>E) Ninguém que seja bondoso é celta.</p><p>(4) Se chove então faz frio. Assim sendo:</p><p>A) Chover é condição necessária para fazer frio.</p><p>B) Fazer frio é condição suficiente para chover.</p><p>C) Chover é condição necessária e suficiente para fazer frio.</p><p>D) Chover é condição suficiente para fazer frio.</p><p>E) Fazer frio é condição necessária e suficiente para chover.</p><p>(5) (Gestor-2000) A partir das seguintes premissas:</p><p>Premissa 1: "X é A e B, ou X é C"</p><p>Premissa 2: "Se Y não é C, então X não é C"</p><p>Premiss8:3: "Y não é C"</p><p>Conclui-se corretamente que X é:</p><p>A) A e B</p><p>B) Não A ou C</p><p>C) Não A e B</p><p>D) A e não B</p><p>E) Não A e não B</p><p>108</p><p>(6) (AFC - 2004) Uma professora de matemática faz as três seguintes afirmações:</p><p>"X> Q e Z < Y",</p><p>"X > Y e Q > Y, se e somente se Y > Z";</p><p>"R> Q, se e somente se Y = X".</p><p>Sabendo que todas as afirmações da professora são verdadeiras, conclui-se corretamente que:</p><p>A) X>Y>Q>Z</p><p>B) X>R>Y>Z</p><p>C) Z<Y<X<R</p><p>D) X>Q>Z>R</p><p>E) Q<X<Z<Y</p><p>CESPE</p><p>P v Q</p><p>¬P</p><p>P v Q</p><p>¬Q</p><p>P→Q</p><p>P</p><p>P→Q</p><p>¬Q</p><p>Q P Q ¬P</p><p>I II III IV</p><p>As letras P, Q e R representam proposições, e os esquemas acima representam quatro formas de</p><p>dedução, nas quais, a partir das duas premissas (proposições acima da linha tracejada), deduz-se</p><p>a conclusão (proposição abaixo da linha tracejada).Os símbolos ¬ e → são operadores lógicos que</p><p>significam,respectivamente,não e então, e a definição de v é dada na seguinte tabela-verdade.</p><p>P Q P v Q</p><p>V V V</p><p>V F V</p><p>109</p><p>F V V</p><p>F F F</p><p>Considerando as informações acima e as do texto, julgue os itens que se seguem, quanto à</p><p>forma de dedução.</p><p>(7) Considere a seguinte argumentação.</p><p>Se juízes fossem deuses, então juízes não cometeriam erros. Juízes cometem erros. Portanto,</p><p>juízes não são deuses.</p><p>Essa é uma dedução da forma IV.</p><p>(8) Considere a seguinte dedução.</p><p>De acordo com a acusação, o réu roubou um carro ou roubou uma motocicleta. O réu roubou um</p><p>carro.</p><p>Portanto, o réu não roubou uma motocicleta.</p><p>Essa é uma dedução da forma 11.</p><p>(9) Dadas as premissas P → Q; ¬Q; R → P,é possível fazer uma dedução de ¬R usando-se a</p><p>forma de dedução IV.</p><p>(10) Na forma de dedução I, tem-se que a conclusão será verdadeira sempre que as duas</p><p>premissas forem verdadeiras.</p><p>(CESPE)</p><p>A seguinte forma de argumentação é considerada válida. Para cada x, se P(x) é verdade, então</p><p>Q(x) é verdade e, para x = c, se P(c) é verdade, então se conclui que Q(c) é verdade. Com base</p><p>nessas informações, julgue os itens a seguir.</p><p>110</p><p>(11) Considere o argumento seguinte.</p><p>Toda prestação de contas submetida ao TCU que expresse, de forma clara e objetiva, a exatidão</p><p>dos demonstrativos contábeis, a legalidade, a legitimidade e a economicidade dos atos de gestão</p><p>do responsável é julgada regular. A prestação de contas da Presidência da República expressou,</p><p>de forma clara e objetiva, a exatidão dos demonstrativos contábeis, a legalidade, a legitimidade e a</p><p>economicidade dos atos de gestão do responsável. Conclui-se que a prestação de contas da</p><p>Presidência da República foi julgada regular.</p><p>Nesse caso, o argumento não é válido.</p><p>(12) Considere o seguinte argumento.</p><p>Cada prestação de contas submetida ao TCU que apresentar ato antieconômico é considerada</p><p>irregular. A prestação de contas da prefeitura de uma cidade foi considerada irregular. Concluí-se</p><p>que a prestação de contas da prefeitura dessa cidade apresentou ato</p><p>antieconômico.</p><p>Nessa situação, esse argumento é válido.</p><p>(CESPE)</p><p>A forma de uma argumentação lógica consiste de uma seqüência finita de premissas seguidas por</p><p>uma conclusão. Há formas de argumentação lógica consideradas válidas e há formas</p><p>consideradas inválidas.</p><p>A respeito dessa classificação, julgue os itens seguintes.</p><p>(13) A seguinte argumentação é inválida.</p><p>Premissa 1: Todo funcionário que sabe lidar com orçamento conhece contabilidade.</p><p>Premissa 2: João é funcionário e não conhece contabilidade.</p><p>Conclusão: João não sabe lidar com orçamento.</p><p>111</p><p>(14) A seguinte argumentação é válida.</p><p>Premissa 1: Toda pessoa honesta paga os impostos devidos. .</p><p>Premissa 2: Carlos paga os impostos devidos.</p><p>Conclusão: Carlos é uma pessoa honesta.</p><p>(CESPE)</p><p>A. lógica proposicional trata das proposições que podem ser interpretadas como verdadeiras (V) ou</p><p>falsas</p><p>(F). Para as proposições (ou fórmulas) P e Q, duas operações básicas, "¬” e “→", podem ser</p><p>definidas de acordo com as tabelas de interpretação abaixo.</p><p>P Q P → Q</p><p>V V V</p><p>V F F</p><p>F V V</p><p>F F V</p><p>Com base nessas operações, novas proposições podem ser construídas. Uma argumentação é</p><p>uma seqüência finita de proposições. Uma argumentação é válida sempre que a veracidade (V) de</p><p>suas (n - 1) premissas acarreta a veracidade de sua n-ésima – e última - proposição.</p><p>Com relação a esses conceitos, julgue os itens a seguir.</p><p>(15) A seqüência de proposições.</p><p> Se existem tantos números racionais quanto números irracionais, então o conjunto .dos</p><p>números irracionais é infinito.</p><p> O conjunto dos números irracionais é infinito.</p><p>P ¬P</p><p>V F</p><p>F V</p><p>112</p><p> Existem tantos números racionais quanto números irracionais.</p><p>é uma argumentação da forma</p><p> P→Q</p><p> Q</p><p> P</p><p>(16) A argumentação</p><p> Se lógica é fácil, então Sócrates foi mico de circo.</p><p> Lógica não é fácil.</p><p> Sócrates não foi mico de circo.</p><p>é válida e tem a forma</p><p>(17) A tabela de interpretação de (P → Q)→¬P é igual à tabela de interpretação de P → Q.</p><p>GABARITO</p><p>01 E 15 C</p><p>02 C 16 E</p><p>03 B</p><p>04 D</p><p>05 A</p><p>06 B</p><p>07 C</p><p>08 E</p><p>09 C</p><p>10 C</p><p>11 E</p><p>12 E</p><p>13 E</p><p>14 E</p><p>113</p><p>09– ANÁLISE COMBINATÓRIA</p><p>Nesta parte, serão apresentados métodos para resolução de questões de concursos públicos</p><p>relacionados a problemas de Análise Combinatória, propõe-se desenvolver, gradualmente, o raciocínio</p><p>lógico e criativo, promovendo maior independência na busca de soluções de problemas aprendendo a</p><p>interpretar tais questões por meio da prática.</p><p>Quando um número de agrupamentos é pequeno, é fácil realizar sua contagem; porém, quando</p><p>aumenta o número de elementos dados e o número de elementos em cada agrupamento, o processo</p><p>intuitivo de formá-los, para depois realizar sua contagem, torna-se difícil e, muitas vezes, impreciso; por</p><p>isso, partindo do concreto, tentar-se-á chegar à compreensão de como determinar exatamente quantos</p><p>são os agrupamentos que se quer realizar e quais são eles.</p><p>Frente a essa realidade nos concursos públicos e a necessidade de agilidade para resolver as</p><p>questões, a estratégia será a resolução de problemas de Análise Combinatória, com poucos cálculos,</p><p>apenas aplicando dois princípios básicos: O princípio Aditivo e o princípio Multiplicativo.</p><p>Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que</p><p>eles podem ser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais</p><p>agrupamentos.</p><p>Os princípios de contagem, na matemática, incluem:</p><p>I Princípio da Soma: se um evento E1 pode ocorrer de N1 maneiras distintas, E2, de N2 maneiras distintas,</p><p>..., EK, de Nk maneiras distintas, e se quaisquer dois eventos não podem ocorrer simultaneamente, então um</p><p>dos eventos pode ocorrer em N1 + N2 + ... + Nk maneiras distintas.</p><p>II Princípio da Multiplicação: considere que E1, E2, ..., Ek são eventos que ocorrem sucessivamente; se o</p><p>evento E1 pode ocorrer de N1 maneiras distintas, o evento E2 pode ocorrer de N2 maneira distintas, ..., o</p><p>evento Ek pode ocorrer de Nk maneiras distintas, então todos esses eventos podem ocorrer, na ordem</p><p>indicada, em N1 × N2 × ... × Nk maneiras distintas.</p><p>O poder da palavra “POSSIBILIDADES”.</p><p>114</p><p>Princípio Multiplicativo: Iremos resolver algumas questões neste momento para que você possa</p><p>entender o Princípio Multiplicativo.</p><p>Exemplo 01: Uma pessoa vai ao Shopping e compra 03 blusas ( B1, B2 e B3 ) , 2 sapatos ( S1 e S2 ) e</p><p>2 calçados( C1 e C 2 ). Logo ao chegar em casa ele se pergunta: - “De quantas maneiras distintas eu posso</p><p>me arrumar com as compras realizadas”? Bem, vamos então resolvermos tal problema:</p><p>No esquema construído acima temos 12 maneiras distintas dessa pessoa se arrumar. O raciocínio utilizado é</p><p>o seguinte: Quantas possibilidades têm-se para blusas? Nesta situação temos 3(três) . Quantas</p><p>possibilidades têm-se para sapatos? Nesta situação temos 2(dois) . Quantas possibilidades têm-se para</p><p>calças? Nesta situação temos 2(dois). Logo podemos concluir que:</p><p>Pelo Princípio Multiplicativo, temos que multiplicar as POSSIBILIDADES.</p><p>____3____ X ____2____ X ____2_____= 12( maneiras distintas )</p><p>Possibilidades Possibilidades Possibilidades</p><p>O que devemos perceber é que temos que estar sempre nos baseando na palavra “Possibilidades”,</p><p>pois é ela trará o raciocínio correto.</p><p>Vamos resolver algumas questões aplicando apenas o conceito do PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO</p><p>utilizando a palavra “POSSIBILIDADES”:</p><p>Em algumas questões de concursos, apenas utilizando o Princípio Multiplicativo já é o suficiente para</p><p>resolvermos as mesmas. Verifique que a cada instante iremos utilizar a palavra: POSSIBILIDADES.</p><p>APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS</p><p>SAPATO 1</p><p>SAPATO 2</p><p>SAPATO 1</p><p>SAPATO 2</p><p>SAPATO 1</p><p>SAPATO 2</p><p>BLUSA 1</p><p>BLUSA 2</p><p>BLUSA 3</p><p>12 MANEIRAS DISTINTAS</p><p>Calça 01</p><p>Calça 02</p><p>115</p><p>01 (ESAF/TÉCNICO-2006) Em um campeonato de tênis participam 30 duplas, com a mesma probabilidade</p><p>de vencer. O número de diferentes maneiras para a classificação dos 3 primeiros lugares é igual a:</p><p>a) 24.360 b) 25.240 c) 24.460 d) 4.060 e) 4.650</p><p>Comentário:</p><p>Trata-se de uma questão em que a ordem dos elementos importa, ou seja, a cada nova ordem temos</p><p>uma novo agrupamento, logo a ordem altera a natureza.</p><p>Para os três primeiros colocados temos : 30 x 29 x 28 = 24.360 (maneiras diferentes)</p><p>Resposta : A</p><p>02) (ESAF/AFC-2002) Em uma cidade, os números dos telefones têm 7 algarismos e não podem começar</p><p>por 0. Os três primeiros números constituem o prefixo. Sabendo-se que em todas as farmácias os quatro</p><p>últimos dígitos são zero e o prefixo não tem dígitos repetidos, então o número de telefones que podem ser</p><p>instalados nas farmácias é igual a:</p><p>a) 504 b) 720 c) 684 d) 648 e) 842</p><p>Comentário:</p><p>Trata-se de uma questão em que a ordem dos elementos importa, ou seja, a cada nova ordem temos</p><p>uma novo agrupamento, logo a “ordem” altera a “natureza”. Nesta questão temos algumas restrições, em</p><p>que devemos iniciar pelas mesmas.</p><p>Os números telefônicos possuem 7 algarismos, então termos 7 posições:</p><p>____ ____ ____ ____ ____ ____ ____</p><p>RESTRIÇÕES : Os números não podem começar com zero e o quatro últimos algarismos são</p><p>iguais a zero.</p><p>____ ____ ____ ____ ____ ____ ____</p><p>Possibilidades</p><p>Nesta posição</p><p>o zero não é</p><p>possibilidade.</p><p>Nesta s 4 posições</p><p>somente o número</p><p>1 é possibilidade.</p><p>Neste caso as possibilidades vão diminuindo, uma vez que a</p><p>possibilidade utilizada( dupla de tênis) , não tem como ser</p><p>utilizada novamente ( ninguém pode ocupar duas posições</p><p>simultaneamente).</p><p>116</p><p>Preenchendo as posições temos:</p><p>__9__x __9__ x __8__ x __1__x __1__ x __1__ x __1__</p><p>Desta forma aplicando o Princípio Multiplicativo ( multiplica as possibilidades) temos :</p><p>__9__x __9__ x __8__ x __1__x __1__ x __1__ x __1__= 648 ( números telefônicos)</p><p>Resposta : D</p><p>03) (CESPE/TSE-2007) Para aumentar a segurança no interior do prédio do TSE, foram distribuídas senhas</p><p>secretas para todos os funcionários, que deverão ser digitadas na portaria para se obter acesso ao prédio.</p><p>As senhas são compostas por uma seqüência de três letras (retiradas do alfabeto com 26 letras), seguida de</p><p>uma seqüência de três algarismos (escolhidos entre 0 e 9). O número de senhas distintas que podem ser</p><p>formadas sem que seja admitida a repetição de letras, mas admitindo-se a repetição de algarismos, é igual a</p><p>a) 26³ x 10³</p><p>b) 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8</p><p>c) 26 x 25 x 24 x 10³</p><p>d) 26³ x 10 x 9 x 8</p><p>Comentário:</p><p>Trata-se de uma questão em que a ordem dos elementos importa, ou seja, a cada nova</p><p>ordem temos uma novo agrupamento, logo a “ordem” altera a “natureza”. Nesta questão temos algumas</p><p>restrições, em que devemos iniciar pelas mesmas.</p><p>As senhas são compostas por uma seqüência de três letras (retiradas do alfabeto com 26</p><p>letras), seguida de uma seqüência de três algarismos (escolhidos entre 0 e 9).</p><p>Os códigos possuem 6 posições, três letras( 26 possibilidades) e três algarismos( 10</p><p>possibilidades) :</p><p>____</p><p>____ ____ e(x) ____ ____ ____</p><p>O número de senhas distintas que podem ser formadas sem que seja admitida a repetição de</p><p>letras, mas admitindo-se a repetição de algarismos.</p><p>Quanto aos três primeiras posições temos: 26 x 25 x 24</p><p>Não podemos ter algarismos repetidos, logo a possibilidade</p><p>que foi utilizada não poderá ser usada novamente, com</p><p>este pensamento temos para a primeira posição 9</p><p>possibilidades, pois o zero não pode ser utilizado, na</p><p>segundo temos 9 possibilidades, pois o zero neste caso</p><p>voltou a ser possibilidade e na terceira posição temos 8</p><p>possibilidades, um vez que já foram usadas duas</p><p>possibilidades.</p><p>Neste caso todos os algarismos utilizados serão iguais a</p><p>zero, logo temos que perceber que não é o número zero</p><p>que será colocado nas posições, e sim, quantas</p><p>possibilidades para a posição, logo temos 1(uma)</p><p>possibilidade para cada posição, isto é, o número zero.</p><p>Nestas 3 posições temos: 26</p><p>possibilidades na primeira, 25</p><p>possibilidades na segunda</p><p>uma vez que uma já foi</p><p>utilizada e por último 24</p><p>possibilidades.</p><p>117</p><p>Quanto aos três últimos algarismos temos: 10 x 10 x 10</p><p>Concluindo: Os códigos possuem seis posições, três letras (26 possibilidades) e três</p><p>algarismos ( 10 possibilidades) :</p><p>__26__x __25__ x __24__ e(x) __10__ x __10__x __10__ = 26x25x24x103</p><p>Resposta: Letra C</p><p>04) (CESPE) Para a codificação de processos, o protocolo utiliza um sistema com cinco símbolos, sendo</p><p>duas letras de um alfabeto com 26 letras e três algarismos, escolhidos entre os de 0 a 9. Supondo que as</p><p>letras ocupem sempre as duas primeiras posições, julgue os itens que se seguem.</p><p>1 O número de processos que podem ser codificados por esse sistema é superior a 650.000.</p><p>2 O número de processos que podem ser codificados por esse sistema utilizando-se letras iguais nas duas</p><p>primeiras posições do código é superior a 28.000.</p><p>3 O número de processos que podem ser codificados por esse sistema de modo que em cada código não</p><p>haja repetição de letras ou de algarismos é superior a 470.000.</p><p>Comentário:</p><p>Trata-se de uma questão em que a ordem dos elementos importa, ou seja, a cada nova</p><p>ordem temos uma novo agrupamento, logo a “ordem” altera a “natureza”. Nesta questão temos que as letras</p><p>do código ocupam as duas primeiras posições.</p><p>Item 1 – O número de processos que podem ser codificados é dado por cinco símbolos , logo cinco</p><p>posições :</p><p>__26___x __26___x __10___x __10___x __10___= 676000</p><p>Item 2 -</p><p>26___x __1___x __10___x __10___x __10___= 26000</p><p>Nestas 3 posições temos: 10 possibilidades na</p><p>primeira,10 possibilidades na segunda e por último 10</p><p>possibilidades. O número que foi utilizado pode ser</p><p>utilizado novamente, logo temos as mesmas</p><p>possibilidades para as três posições.</p><p>Nessas 6 posições temos: 26 possibilidades na primeira,26 possibilidades na segunda e por último 10</p><p>possibilidades nas três ultimas posições . A letra e o número que foi utilizado pode ser utilizado</p><p>novamente, logo temos as mesmas possibilidades para as duas posições de letras e para as três</p><p>posições de algarismos.</p><p>Nessas 6 posições temos: 26 possibilidades na primeira,01 possibilidade na segunda( devido as duas</p><p>letras serem iguais, o que faz com que a segunda seja a mesma que a primeira) e nas três ultimas</p><p>posições 10 possibilidades, uma vez que a questão não exige que os códigos possuam algarismos</p><p>distintos.</p><p>118</p><p>Item 3- Esse item significa que as letras e os algarismos devem ser distintos. Logo temos:</p><p>__26___x __25___x __10___x __09___x __08___= 468000</p><p>Gabarito: 1 - C 2 - E 3- E</p><p>05) (FCC-2007) Teófilo foi a um caixa eletrônico retirar algum dinheiro e, no instante em que foi digitar a sua</p><p>senha, não conseguiu lembrar de todos os quatro algarismos que a compunham. Ocorreu-lhe, então, que</p><p>sua senha não tinha algarismos repetidos, era um número par e o algarismo inicial era 8.</p><p>Quantas senhas poderiam ser obtidas a partir do que Teófilo lembrou?</p><p>(A) 224 (B) 210 (C) 168 (D) 144 (E) 96</p><p>Comentário:</p><p>Trata-se de uma questão em que a ordem dos elementos importa, ou seja, a cada nova ordem temos</p><p>uma novo agrupamento, logo a “ordem” altera a “natureza”. Nesta questão temos algumas restrições, em</p><p>que devemos iniciar pelas mesmas.</p><p>As senha a ser digitada possui 04 ( quatro) algarismos , logo teremos 04(quatro) posições:</p><p>_____x _____x _____x _____=</p><p>1__x __8__ x __7__ x __4__= 224</p><p>Resposta : letra a</p><p>06-(CESPE/TCU-2004) Em geral, empresas públicas ou privadas utilizam códigos para protocolar a entrada</p><p>e saída de documentos e processos. Considere que se deseja gerar códigos cujos caracteres pertencem ao</p><p>Nessas 6 posições temos: 26 possibilidades na primeira,25 possibilidades na segunda( devido as duas</p><p>letras não serem iguais, o que faz com que a possibilidade da segunda seja menor que a primeira, uma</p><p>vez que uma possibilidade já foi utilizada) e nas três ultimas posições 10 possibilidades na primeira, 09</p><p>na segunda e 08 na terceira posição, uma vez que a questão traz a idéia de que os códigos possuam</p><p>algarismos distintos.</p><p>Nessas 4 posições temos: algarismos distintos ; o número formado é par( a restrição é na ultima posição</p><p>, pois um número par é aquele que termina em { 0,2,4,6,8} ) e que a senha começa com o número 8</p><p>(oito), ou seja, uma possibilidade.</p><p>Nessa posição temos</p><p>apenas (01)uma</p><p>possibilidade que o</p><p>número 8(oito) .</p><p>Nessa posição temos</p><p>(04) possibilidades, uma</p><p>vez que o número</p><p>08(oito) já foi utilizado</p><p>na primeira posição.</p><p>Após preenchermos as posições que se</p><p>tratam das restrições, vamos colocar as</p><p>possibilidades sabendo que os algarismos</p><p>não se repetem.</p><p>119</p><p>conjunto das 26 letras de um alfabeto, que possui apenas 5 vogais. Com base nessas informações, julgue os</p><p>itens que se seguem.</p><p>1 Se os protocolos de uma empresa devem conter 4 letras, sendo permitida a repetição de caracteres, então</p><p>podem ser gerados menos de 400.000 protocolos distintos.</p><p>2 Se uma empresa decide não usar as 5 vogais em seus códigos, que poderão ter 1,2 ou 3 letras, sendo</p><p>permitida a repetição de caracteres, então é possível obter mais de 11000 códigos distintos.</p><p>3 O número total de códigos diferentes formados por 3 letras distintas é superior a 15000.</p><p>Comentário:</p><p>Item 1 : 26 x 26 x 26 x 26 = 456.976</p><p>Permitida a repetição de caracteres Número de Protocolos distintos</p><p>Este item da prova de técnico de controle externo do TCU-2004, que no gabarito preliminar o CESPE</p><p>considerou o item errado e no gabarito definitivo alterou o gabarito para CERTO, com o entendimento de</p><p>que se podem ser gerados 456.976 protocolos, então podem ser gerados menos de 400.000 protocolos.</p><p>Iremos verificar mais a frente (provas mais recentes) que o CESPE não continua com este mesmo raciocínio.</p><p>Item 2: Neste item temos 21 possibilidades, uma vez que não serão utilizadas as vogais,</p><p>sendo permitida a repetição de caracteres. Os códigos serão formados com 1 , 2 e 3 letras , logo após</p><p>iremos somar tais formações.</p><p>21 = 21</p><p>Permitida a repetição de caracteres</p><p>21</p><p>x 21 = 441</p><p>Permitida a repetição de caracteres</p><p>21 x 21 x 21 = 9261</p><p>Permitida a repetição de caracteres</p><p>Agora somaremos as quantidades de códigos com 1, 2 e 3 letras: 21 + 441 + 9261 = 9723.</p><p>Item errado.</p><p>Item 3 : O número total de códigos diferentes formados por 3 letras distintas é dado por :</p><p>26 x 25 x 24 = 15 600.</p><p>Não sendo permitida a repetição de caracteres</p><p>Item certo.</p><p>120</p><p>Nas questões que envolvem a formação de senhas, códigos, números, protocolos etc., temos uma</p><p>observação importante referente a interpretação correta de uma questão. Por exemplo:</p><p>01- Com os números(algarismos) {1, 2, 4, 5 e 7 }, quantos códigos(senhas)distintas de 3 dígitos</p><p>podem ser formadas ?</p><p>02- Com os números( algarismos) {1, 2,4 ,5 e 7 }, quantos códigos (senhas) de</p><p>3 dígitos distintos podem ser formadas?</p><p>Qual a diferença entre esses dois exemplos?</p><p>A primeira vista parece serem equivalentes, ainda mais durante a realização de uma</p><p>prova, em que o candidato às vezes fica imperceptível a tais detalhes. Vamos interpretar tais situações:</p><p>01 – Quando a questão solicita que as senhas sejam distintas, temos que</p><p>interpretar senhas distintas e não dígitos distintos, uma vez que mesmo repetindo dígitos, os códigos</p><p>(senhas) permanecerão distintos. Ex. os códigos 224 e 222 repetem dígitos entre si, porém permanecem</p><p>códigos (senhas) distintos. Sendo assim a resolução da questão será:</p><p>5 x 5 x 5 = 125. (códigos distintos de 3 dígitos)</p><p>Mesmo com a repetição de algarismos os códigos permanecem distintos.</p><p>02 – Quando a questão solicita que as senhas sejam formadas com dígitos</p><p>distintos, temos que interpretar que além de senhas distintas teremos dígitos distintos, uma vez que os</p><p>códigos (senhas) permanecerão distintos. Ex. os códigos 243 e 57 não repetem dígitos entre si, além de</p><p>possuírem códigos (senhas) distintos. Sendo assim a resolução da questão será:</p><p>5 x 4 x 3 = 60. (códigos distintos de 3 dígitos)</p><p>Sem a repetição de algarismos e os códigos são também distintos.</p><p>Faça você agora ! QUESTÃO DE CONCURSO:</p><p>CESPE - Considere que se deseja produzir códigos de 7 caracteres, em que os 3 primeiros caracteres</p><p>sejam letras escolhidas entre as 26 do alfabeto os 4 últimos sejam algarismos, de 0 a 9. Com relação a essa</p><p>construção de códigos , julgue os itens subseqüentes.</p><p>1- A quantidade de códigos que começam com a letra Z, terminam com o algarismo 0 e têm todos os</p><p>caracteres distintos é inferior a 300 000.</p><p>2- A quantidade de códigos distintos que começam com AMX é inferior a 104.</p><p>Gabarito: E E</p><p>121</p><p>Iremos neste instante estudar os seguintes assuntos que fazem parte de Análise Combinatória:</p><p>Permutações</p><p>Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos entre sí</p><p>pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares.</p><p>Permutação simples: São agrupamentos com todos os n elementos distintos.</p><p>Fórmula: P(n) = n!, n= número de elementos a serem permutados.</p><p>Cálculo para o exemplo: P(5) = 5!= 5x 4 x 3 x 2 x 1 = 120.</p><p>Exemplo: Seja C={A,B,C} e n=3. As permutações simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que não</p><p>podem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada. Todos</p><p>os agrupamentos estão no conjunto:</p><p>P={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}</p><p>TREINANDO</p><p>Com relação à palavra LÓGICA:</p><p>a)quantos anagramas existem?</p><p>b)quantos anagramas começam por G?</p><p>c)quantos anagramas possuem as vogais juntas?</p><p>d)quantos anagramas possuem as vogais juntas em ordem alfabética?</p><p>e)quantos anagramas possuem as vogais em ordem alfabética?</p><p>gabarito : a- 720 b – 120 c – 144 d – 24 e- 120</p><p>APLICAÇÃO: QUESTÃO DE CONCURSO COMENTADA</p><p>01) (CESPE/AGENTE/PF-2004) Conta-se na mitologia grega que Hércules, em um acesso de loucura,</p><p>matou sua família. Para expiar seu crime, foi enviado à presença do rei Euristeu, que lhe apresentou uma</p><p>série de provas a serem cumpridas por ele, conhecidas como Os doze trabalhos de Hercules. Entre esses</p><p>trabalhos, encontram-se: matar o leão de Neméia, capturar a corça de Cerinéia e capturar o javali de</p><p>Erimanto. Considere que a Hércules seja dada a escolha de preparar uma lista colocando em ordem os</p><p>doze trabalhos a serem executados, e que a escolha dessa ordem seja totalmente aleatória. Além disso,</p><p>considere que somente um trabalho seja executado de cada vez. Com relação ao número de possíveis listas</p><p>que Hércules poderia preparar, julgue os itens subseqüentes.</p><p>“Vimos que na permutação iremos utilizar</p><p>todos os elementos (DISTINTOS) do grupo,</p><p>realizando uma permutação (troca) dos</p><p>elementos, em que a ordem irá influenciar.”</p><p>“A ORDEM ALTERA A NATUREZA”</p><p>122</p><p>1 O número máximo de possíveis listas que Hércules poderia preparar é superior a 12 x 10!</p><p>2 O número máximo de possíveis listas contendo o trabalho “matar o leão de Neméia” na primeira posição é</p><p>inferior a 240 x 990 x 56 x 30.</p><p>3 O número de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerinéia” na primeira posição e</p><p>“capturar o javali de Erimanto” na terceira posição é inferior a 72 x 42 x 20 x 6.</p><p>4 O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerinéia” e “capturar o</p><p>javali de Erimanto” nas últimas duas posições, em qualquer ordem, é inferior a 6! x 8!.</p><p>COMENTÁRIO:</p><p>1 O número máximo de possíveis listas que Hércules poderia preparar é superior a 12 x 10!</p><p>Pn= n! = 12 X 11 X 10 X 9 X 8 X 7 X 6 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1= 12! ( Número máximo de diferentes listas).</p><p>12 X 11 X 10 X 9 X 8 X 7 X 6 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1 = 12x 10!</p><p>(simplificando dos dois lados da igualdade):</p><p>12 X 11 > 12 ( item certo)</p><p>2 O número máximo de possíveis listas contendo o trabalho “matar o leão de Neméia” na primeira posição é</p><p>inferior a 240 x 990 x 56 x 30.</p><p>A restrição é na primeira posição, ou seja, temos 01(uma) possibilidade.</p><p>1 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 < 240 x 990 x 56 x 30.</p><p>(simplificando dos dois lados da desigualdade):</p><p>1 x 4 x 3 x 2 x 1 < 240</p><p>24< 240 ( item certo )</p><p>3 O número de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerinéia” na primeira posição e</p><p>“capturar o javali de Erimanto” na terceira posição é inferior a 72 x 42 x 20 x 6.</p><p>1 x 10 x 1 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 < 72 x 42 x 20 x 6.</p><p>(simplificando dos dois lados da desigualdade):</p><p>1 x 10 x 1 x 1 < 1 ( item errado)</p><p>4 O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerinéia” e “capturar o</p><p>javali de Erimanto” nas últimas duas posições, em qualquer ordem, é inferior a 6! x 8!.</p><p>10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1 < 6! x 8!</p><p>Matar o leão de</p><p>Neméia</p><p>Capturar a corça</p><p>de Cerinéia</p><p>Capturar o Javali</p><p>de Erimanto</p><p>Nas duas últimas posições em qualquer ordem ( a corça e o javali )</p><p>123</p><p>(simplificando dos dois lados da desigualdade):</p><p>10 x 9 x 2 x 1 < 6!</p><p>10x 9x 2 x1 < 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1</p><p>180 < 720 ( item certo )</p><p>02)(ESAF/ANEEL-2006) Um grupo de amigos formado por três meninos – entre eles Caio e Beto – e seis</p><p>meninas – entre elas Ana e Beatriz – compram ingressos para nove lugares localizados lado a lado, em uma</p><p>mesma fila no cinema. Ana e Beatriz precisam sentar-se juntas porque querem compartilhar do mesmo</p><p>pacote de pipocas. Caio e Beto, por sua vez, precisam sentar-se juntos porque querem compartilhar do</p><p>mesmo pacote de salgadinhos. Além disso, todas as meninas querem sentar-se juntas, e todos os meninos</p><p>querem sentar-se juntos. Com essa informações, o número de diferentes maneiras que esses amigos</p><p>podem sentar-se é igual a:</p><p>a) 1920 b) 1152 c) 960 d)540 e) 860</p><p>COMENTÁRO:</p><p>De acordo com a questão sabemos que todos os meninos(HOMENS)devem sentar-se juntos,</p><p>como as meninas também(MULHERES) , logo façamos a seguinte ilustração:</p><p>H H H M M M M M M</p><p>Sendo que Caio e Beto, assim como Ana e Beatriz devam ficar sempre juntas, então</p><p>consideraremos como se cada um dos dois sejam apenas um, ou seja, uma possibilidade.</p><p>Temos então:</p><p>H H M M M M M</p><p>2 X ( 2 X 1 ) X ( 5 X 4 X 3 X 2 X 1) X 2 = 960</p><p>Devemos ainda perceber que o resultado 960 deverá ser multiplicado por dois, devido a</p><p>possibilidade de termos os homens e as mulheres juntas em qualquer ordem:</p><p>H M = 960</p><p>M H = 960</p><p>TOTAL = 1920 Letra “a”</p><p>Considerando que sejam</p><p>Caio e Beto</p><p>Considerando que sejam</p><p>Ana e Beatriz</p><p>Considerando que sejam</p><p>Caio e Beto em qualquer</p><p>ordem .</p><p>Considerando que sejam</p><p>Ana e Beatriz em qualquer</p><p>ordem.</p><p>124</p><p>Permutação com repetição: Dentre os m elementos do conjunto C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos a suposição que</p><p>existem m1 iguais a x1, m2 iguais a x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que m1+m2+m3+...+mn=m.</p><p>Fórmula: Se m=m1+m2+m3+...+mn, então</p><p>Pr(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2).C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn)</p><p>Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra original</p><p>trocadas de posição.</p><p>Cálculo para o exemplo: m1=4, m2=2, m3=1, m4=1 e m=6, logo: Pr(6)=C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-</p><p>1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15.</p><p>Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT. A letra A ocorre 3</p><p>vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3 elementos</p><p>do conjunto C={A,R,T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que contêm a repetição de todos os</p><p>elementos de C aparecendo também na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:</p><p>Pr={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AARTTA,</p><p>AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARARTA,</p><p>ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATARAR}</p><p>TREINANDO</p><p>Com relação às palavras abaixo, calcule a quantidade de anagramas :</p><p>a)quantos anagramas possui a palavra ANA?</p><p>b) quantos anagramas possui a palavra ARARA?</p><p>c) quantos anagramas possui a palavra CASA ?</p><p>d) quantos anagramas possui a palavra BANANA?</p><p>e) Uma prova de português é constituída de 10 questões em que 3 são verdadeiras e 7 são falsas. De quantas</p><p>maneiras distintas esta prova pode ser respondida?</p><p>f) Para ter acesso a uma seção de uma repartição, os funcionários precisam digitar uma senha na portaria que é</p><p>constituída por 5 dígitos, em que 3 são iguais a 1(um) e 2 são iguais a 0(zero). Quantas senhas distintas podem ser</p><p>formadas seguindo tais exigências?</p><p>Gabarito: a- 3 b- 10 c- 12 d- 60 e- 120 f- 10</p><p>APLICAÇÃO: QUESTÃO DE CONCURSO COMENTADA</p><p>“Vimos que na permutação com repetição iremos utilizar todos os</p><p>elementos (DISTINTOS E NÃO DISTINTOS ) do grupo, realizando uma</p><p>permutação (troca) dos elementos, em que a ordem irá influenciar</p><p>parcialmente( algumas vezes- isto é , quando não for os elementos</p><p>repetidos). Agora é importante ressaltar que alguns elementos são</p><p>idênticos o que não trará um novo agrupamento, logo devemos</p><p>perceber que existirão grupos repetidos, então deveremos retirar</p><p>aqueles que se repetem”.</p><p>“A ORDEM DE ALGUNS ELEMENTOS NÃO ALTERA A</p><p>NATUREZA”</p><p>125</p><p>01) (CESPE/PAPILOSCOPISTA-2004-adaptada) A respeito de contagem, que constitui um dos principais</p><p>fundamentos da matemática, julgue o item abaixo.</p><p>- O número de cadeias distintas de 14 caracteres que podem ser formadas apenas com as letras da</p><p>palavra PAPILOSCOPISTA é inferior a 10</p><p>8</p><p>.</p><p>COMENTÁRIO:</p><p>A palavra : PAPILOSCOPISTA possui letras repetidas, em que serem permutadas não formarão uma</p><p>novo anagrama, logo se trata de permutação com letras repetidas.</p><p>Calculando temos:</p><p>12121212123</p><p>1234567891011121314</p><p>xxxxxxxxxx</p><p>xxxxxxxxxxxxx</p><p>12121212123</p><p>1234567891011121314</p><p>xxxxxxxxxx</p><p>xxxxxxxxxxxxx</p><p>< 108</p><p>14x13x11x10x9x7x6x5x4x3x2x1< 108 ( item errado)</p><p>02) (CESPE/BB-2007- adaptada) Julgue o item que se segue quanto a diferentes formas de contagem.</p><p>- Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de dimensões iguais, pendurando-as</p><p>verticalmente na vitrine de uma loja para produzir diversas formas. Nessa situação, se 3 faixas são verdes e</p><p>indistinguíveis, 3 faixas são amarelas e indistinguíveis e 1 faixa é branca, esse decorador conseguirá</p><p>produzir, no máximo, 140 formas diferentes com essas faixas.</p><p>COMENTÁRIO:</p><p>Na questão temos 7 faixas que deverão ser permutadas para se adquirir novas decorações, mas</p><p>temos faixas de mesma cor , onde a troca de posição não produzirá decorações novas. Logo é interessante</p><p>fazermos uma analogia como uma palavra com letras repetidas, da seguinte maneira:</p><p>V V V A A A B</p><p>Temos 7 letras( faixas) sendo permutadas: P7=7! = 7x6x5x4x3x2x1</p><p>Haverá uma divisão para que possamos retirar as palavras que se repetem,</p><p>e de acordo com a quantidade de letras repetidas iremos calcular o fatorial, por</p><p>exemplo: (letra P: 3x2x1) ; ( letra O: 2x1 ); (letra A: 2x1 ); ( letra I: 2x1 ) ;</p><p>(letra S: 2x1 ) .</p><p>126</p><p>Sabendo que algumas decorações são as mesmas( devido algumas faixas serem iguais) temos que</p><p>retirar as decorações que se repetem, logo se o princípio utilizado é a multiplicação que gera as novos</p><p>agrupamentos, logo temos que dividir para retirar aquilo que se repete, da seguinte maneira:</p><p>Número de decorações =</p><p>123123</p><p>1234567</p><p>xxxxx</p><p>xxxxxx</p><p>, sendo que no denominador temos ( 3x2x1( 3! ) que se</p><p>refere as cores verdes que se repetem e logo após 3x2x1 (3!) que se referem as cores amarelas</p><p>que se</p><p>repetem) .</p><p>Uma estratégia é que iremos dividir pelo fatorial da quantidade de letras que se repetem. Isto é</p><p>temos nesta questão três letras “V” e três letras “A” que se repetem.</p><p>Calculando temos:</p><p>123123</p><p>1234567</p><p>xxxxx</p><p>xxxxxx</p><p>= 140 formas diferentes de decorações. O item está correto.</p><p>Permutação circular: Situação que ocorre quando temos grupos com n elementos distintos</p><p>formando uma circunferência de círculo.</p><p>Fórmula: Pc(n)=(n-1)!, (n-1) = número total de elementos a serem permutados.</p><p>Cálculo para o exemplo: P(5)=4!=24</p><p>Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas K={A,B,C,D}. De quantos modos distintos estas pessoas poderão</p><p>sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que haja repetição das</p><p>posições?</p><p>Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, teríamos 24 grupos,</p><p>apresentados no conjunto:</p><p>Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC,</p><p>BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,</p><p>CDAB,CDBA, DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}</p><p>Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que:</p><p>ABCD=BCDA=CDAB=DABC</p><p>ABDC=BDCA=DCAB=CABD</p><p>ACBD=CBDA=BDAC=DACB</p><p>ACDB=CDBA=DBAC=BACD</p><p>ADBC=DBCA=BCAD=CADB</p><p>ADCB=DCBA=CBAD=BADC</p><p>Existem somente 6 grupos distintos, dados por:</p><p>Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB}</p><p>127</p><p>APLICAÇÃO: QUESTÃO DE CONCURSO COMENTADA</p><p>( CESPE – BB-2007) Uma mesa circular tem seus 6 lugares que serão ocupados pelos 6 participantes de</p><p>uma reunião. Nessa situação, o número de formas diferentes para se ocupar esses lugares com os</p><p>participantes da reunião é superior a 102.</p><p>Nesta questão temos uma permutação circular:</p><p>P6 = (6-1)! = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120</p><p>Sendo assim o item está correto.</p><p>Arranjos</p><p>São agrupamentos formados com p elementos, (p<n) de forma que os p elementos sejam distintos entre sí</p><p>pela ordem ou pela espécie. Os arranjos podem ser simples ou com repetição.</p><p>Arranjo simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.</p><p>Fórmula: A(n,p) =</p><p>)!(</p><p>!</p><p>pn</p><p>n</p><p></p><p>, n = número total de elementos/ p = número de elementos a serem arranjados.</p><p>Cálculo para o exemplo: A(4,2) = 4!/2!=24/2=12.</p><p>Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 12</p><p>grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer na ordem trocada.</p><p>Todos os agrupamentos estão no conjunto:</p><p>As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}</p><p>“Vimos que na permutação circular a troca de alguns elementos não</p><p>cria um novo agrupamento, então deveremos retirar aqueles que se</p><p>repetem”.</p><p>“A ORDEM DE ALGUNS ELEMENTOS NÃO ALTERA A</p><p>NATUREZA”</p><p>128</p><p>APLICAÇÃO: QUESTÃO DE CONCURSO COMENTADA</p><p>01) (CESPE-2006- adaptada) Em uma promotoria de justiça, há 300 processos para serem protocolados.</p><p>Um assistente da promotoria deve formar os códigos dos processos, que devem conter, cada um deles, 7</p><p>caracteres. Os 3 primeiros caracteres são letras do conjunto{d, f, h, j, l, m, o, q} e os outros 4 caracteres são</p><p>números inteiros de 1024 a 1674.</p><p>Com base nessa situação, julgue o item subseqüente.</p><p>( ) É superior a 340 o número máximo de possibilidades de se formar a parte do código referente às 3</p><p>letras iniciais, sem que haja repetição de letra.</p><p>COMENTÁRIO:</p><p>Referente as três letras iniciais temos seguinte :</p><p>I – Maneira : ( Pela fórmula)</p><p>Temos como p= 8 , {d,f,h,j,l,m,o,q} e n= 3 , primeira parte do código.</p><p>336678</p><p>!5</p><p>!5678</p><p>)!38(</p><p>!5678</p><p>)!(</p><p>!</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>xx</p><p>xxxxxx</p><p>pn</p><p>n</p><p>II- Maneira : ( Pelo princípio multiplicativo )</p><p>8 x 7 x 6 = 336</p><p>O item está errado.</p><p>“Vimos no começo deste capítulo algumas questões comentadas</p><p>utilizando o princípio multiplicativo, em que os agrupamentos são</p><p>realizados com elementos do conjunto, por meio da troca dos</p><p>elementos. No caso do Arranjo para formar os grupamentos, não</p><p>será utilizado todos os elementos do conjunto e é importante</p><p>ressaltar que a cada nova ordem dos elementos do agrupamento,</p><p>será formado um novo grupo( arranjo) , logo a ordem é importante.</p><p>“A ORDEM DOS ELEMENTOS ALTERA A NATUREZA”</p><p>Temos 8 possibilidades para a primeira posição, 7</p><p>possibilidades para a segunda e 6 possibilidades</p><p>para a terceira posição , uma vez que não há</p><p>repetição de caracteres.</p><p>129</p><p>02)(CESPE/BB-2007- adaptada ) O número de países representados nos Jogos Pan-Americanos realizados</p><p>no Rio de Janeiro foi 42, sendo 8 países da América Central, 3 da América do Norte, 12 da América do Sul e</p><p>19 do Caribe. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.</p><p>( ) Se determinada modalidade esportiva foi disputada por apenas 3 atletas, sendo 1 de cada país da</p><p>América do Norte participante dos Jogos Pan-Americanos, então o número de possibilidades diferentes de</p><p>classificação no 1.º, 2.º e 3.º lugares foi igual a 6.</p><p>COMENTÁRIO:</p><p>Referente as três primeiras posições :</p><p>I – Maneira : ( Pela fórmula)</p><p>Temos como p= 3 , {países da America do Norte} e n= 3 , { três primeiras classificações.}</p><p>,6</p><p>1</p><p>6</p><p>!0</p><p>123</p><p>)!33(</p><p>123</p><p>)!(</p><p>!</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>xxxx</p><p>pn</p><p>n</p><p>sabendo que 0! = 1</p><p>II- Maneira : ( Pelo princípio multiplicativo )</p><p>3 x 2 x 1 = 6</p><p>O item está certo.</p><p>Combinações</p><p>Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos</p><p>entre sí apenas pela espécie.</p><p>Combinação simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.</p><p>Fórmula: C(m,p) =</p><p>!)!(</p><p>!</p><p>ppm</p><p>m</p><p></p><p>, m= número total de elementos / p= número de elementos a serem</p><p>combinados</p><p>Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6</p><p>Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6</p><p>grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos</p><p>os agrupamentos estão no conjunto:</p><p>Temos 3 possibilidades para a primeira posição, 2 possibilidades para a segunda e 1</p><p>possibilidade para a terceira posição , uma vez que as possibilidades vão diminuindo,</p><p>pois não há como um atleta ocupar duas posições simultaneamente .</p><p>130</p><p>Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD}</p><p>APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS</p><p>Exemplos: 01- Em uma festa com 20 pessoas, todas se cumprimentam uma só vez, dessa forma são</p><p>possíveis quantos apertos de mão?</p><p>Nessa questão a ordem não altera a natureza, uma vez que se a pessoa “A” cumprimentar a pessoa</p><p>“B” , não torna necessário a pessoa “B” cumprimentar a pessoa “A”. Para que haja um aperto de mão é</p><p>necessário duas pessoas ( p= 2 )</p><p>Sendo assim, trata-se de combinação, onde iremos resolver de duas maneiras:</p><p>I – Maneira: ( Pela fórmula )</p><p>Cm,p=</p><p>!)!(</p><p>!</p><p>ppm</p><p>m</p><p></p><p>= C20,2 =</p><p>!2)!220(</p><p>!20</p><p></p><p>=</p><p>!2!18</p><p>!181920</p><p>x</p><p>xx</p><p>=</p><p>12</p><p>1920</p><p>x</p><p>x</p><p>= 190 apertos de mão.</p><p>II- Maneira : ( Sem fórmula )</p><p>Para obter um aperto de mão é necessário a presença de duas pessoas, logo iremos utilizar dois</p><p>espaços : “_____X_____”; e para que possamos retirar os grupamentos que se repetem iremos dividir pelo</p><p>fatorial da quantidade de espaços utilizados.</p><p>12</p><p>1920</p><p>x</p><p>x</p><p>= 190, o numerador expressa 20 possibilidades para a primeira pessoa, e 19 para a segunda</p><p>pessoa. No denominador temos 2 x 1 , uma vez que representa o fatorial de 2= 2! .O denominador tem a</p><p>função de retirar os grupamentos repetidos.</p><p>02- Ao término de uma reunião, cada um dos participantes cumprimentou os outros com um</p><p>“Nas questões que relatarem sobre os termos:</p><p>- Equipes; Times; Diretorias; Grupos; Comissões, turmas etc. Todos</p><p>os termos que indicam idéia de conjunto. Logo teremos grupos que se a</p><p>ordem for modificada não formaremos um novo grupamento.</p><p>É comum não utilizar todos os elementos para construção de</p><p>novos grupos, uma vez que, se forem utilizados todos os elementos</p><p>obteremos apenas um grupo.</p><p>“A ORDEM DOS ELEMENTOS NÃO ALTERA A NATUREZA”</p><p>131</p><p>aperto de mão apenas uma vez. Quantas pessoas haviam na reunião, se foram trocados 55 apertos de</p><p>mão?</p><p>COMENTÁRIO:</p><p>Essa questão apresenta a quantidade de apertos de mão e solicita a quantidade de pessoas</p><p>presentes na reunião. Logo iremos resolver das seguintes maneiras:</p><p>I- Método ( com fórmula) :</p><p>C x,2 = 55  Cx,2=</p><p>!2)!2(</p><p>!</p><p>x</p><p>x</p><p>=</p><p>!2)!2(</p><p>)!2).(1.(</p><p></p><p></p><p>x</p><p>xxx</p><p>= 55</p><p>1.2</p><p>)1.(</p><p></p><p>xx</p><p>1102  xx  equação do 2 grau. 01102  xx , resolvendo a equação teremos:</p><p>S{ -10,11} , logo iremos considerar a solução positiva. A reunião possui 11 participantes.</p><p>II- Método( sem fórmula) :</p><p>03- ESAF/AFC-2002) Na Mega-Sena são sorteadas seis dezenas de um conjunto de 60 possíveis</p><p>(as dezenas sorteáveis são 01, 02, ... , 60). Uma aposta simples (ou aposta mínima), na Mega-Sena,</p><p>consiste em escolher 6 dezenas. Pedro sonhou que as seis dezenas que serão sorteadas no próximo</p><p>concurso da Mega-Sena estarão entre as seguintes: 01, 02, 05, 10, 18, 32, 35, 45. O número mínimo de</p><p>apostas simples para o próximo concurso da Mega-Sena que Pedro deve fazer para ter certeza matemática</p><p>que será um dos ganhadores caso o seu sonho esteja correto é:</p><p>a) 8 b) 28 c) 40 d) 60 e) 84</p><p>04-(ESAF/ANEEL-2006) Em um plano são marcados 25 pontos, dos quais 10 e somente 10</p><p>desses pontos são marcados em linha reta. O número de diferentes triângulos que podem ser formados com</p><p>os vértices em qualquer dos 25 pontos é igual a:</p><p>a) 2180 b) 1180 c) 2350 d) 2250 e) 3280</p><p>05- (CESPE/ESCRIVÃO/PF-2004) Para uma investigação a ser feita pela Policia Federal, será</p><p>necessária uma equipe com cinco agentes. Para forma essa equipe, a coordenação da operação dispõe de</p><p>29 agentes, sendo 9 da superintendência regional de Minas Gerais, 8 da regional de São Paulo e 12 da</p><p>regional do Rio de Janeiro. Em uma equipe todos os agentes terão atribuições semelhantes, de modo que a</p><p>ordem de escolha dos agentes não será relevante. Com base nesta situação hipotética, julgue os itens</p><p>seguintes.</p><p>1 Poderão ser formadas, no máximo, 19 x 14 x 13 x 7 x 5 x 3 equipes distintas.</p><p>2 Se a equipe deve conter exatamente 2 agentes da regional do Rio de Janeiro, o número máximo de</p><p>132</p><p>equipes distintas que a coordenação dessa operação poderá é inferior à 19 x 17 x 11 x 7.</p><p>3 Se a equipe deve conter exatamente 2 agentes da regional do Rio de Janeiro, 1 agente da regional de São</p><p>Paulo e 2 agentes da regional de Minas Gerais, então a coordenação da operação poderá formar, no</p><p>máximo, 12 x 11 x 9 x 4 equipes distintas.</p><p>TREINANDO</p><p>FIXAÇÃO DE APRENDIZAGEM</p><p>01)Quantos números de 4 algarismos podemos formar com os algarismos 2,3,4,5,7?</p><p>02)Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,5?</p><p>03)Quantos números naturais de 4 algarismos distintos menores que 5000, e divisíveis por 5 podemos</p><p>formar com os algarismos 2,3,5,6,7,e 8?</p><p>04)Com oito tipos de salada e 5 tipos de grelhado, de quantas formas distintas um cliente pode fazer um</p><p>pedido de uma salada acompanhada de um grelado?</p><p>05)Em um torneio de futebol, participam 20 times. Quantos resultados são possíveis para os três primeiros</p><p>lugares.</p><p>06)Com relação à palavra TEORIA:</p><p>a)quantos anagramas existem?</p><p>b)quantos anagramas começam por T?</p><p>c)quantos anagramas possuem as vogais juntas?</p><p>d)quantos anagramas possuem as vogais juntas em ordem alfabética?</p><p>e)quantos anagramas possuem as vogais em ordem alfabética?</p><p>07) Quantos anagramas possui a palavra ASSESSORIA?</p><p>08)Uma empresa é formada por 6 sócios brasileiros e 4 japoneses. De quantos modos podemos formar uma</p><p>diretoria com 5 sócios, 3 brasileiros e 2 japoneses?</p><p>09)Em uma festa com 50 pessoas, todas se cumprimentam uma só vez, dessa forma são possíveis quantos</p><p>apertos de mão?</p><p>10)Ao término de uma reunião, cada um dos participantes cumprimentou os outros com um aperto de mão</p><p>apenas uma vez. Quantas pessoas haviam na reunião, se foram trocados 45 apertos de mão?</p><p>11) Para entrar na sala da diretoria de uma empresa é preciso abrir dois cadeados. Cada cadeado é aberto</p><p>por meio de uma senha. Cada senha é constituída por 3 algarismos distintos. Nessas condições, o número</p><p>máximo de tentativas para abrir os cadeados é</p><p>133</p><p>a) 518.400</p><p>b) 1.440</p><p>c) 720</p><p>d) 120</p><p>e) 54</p><p>QUESTÕES DE CONCURSOS PÚBLICOS</p><p>01) (CESPE/ANALISTA/SERPRO-2004) No item a seguir, é apresentada uma situação, seguida de uma</p><p>assertiva a ser julgada.</p><p>1 Em um centro de pesquisas onde atuam 10 pesquisadores, deverá ser formada uma equipe com 5 desses</p><p>pesquisadores para desenvolver determinado projeto. Sabe-se que 2 dos 10 pesquisadores só aceitam</p><p>participar do trabalho se ambos forem escolhidos; caso contrário, não participam. Nessa situação, há menos</p><p>de 250 maneiras diferentes de se montar a equipe.</p><p>02) (CESPE/PAPILOSCOPISTA-2004) A respeito de contagem, que constitui um dos principais fundamentos</p><p>da matemática, julgue os itens que se seguem.</p><p>1 Considere que, na disputa entre duas equipes, a primeira que vencer 4 jogos será considerada vencedora.</p><p>Se uma das equipes – A – tiver vencido os 3 primeiros confrontos, então o gráfico a seguir é capaz de</p><p>representar todas a possibilidades de A vencer a disputa.</p><p>2 O número de cadeias distintas de 14 caracteres que podem ser formadas apenas com as letras da palavra</p><p>PAPILOSCOPISTA é inferior a 10</p><p>8</p><p>.</p><p>3 Uma grande empresa cataloga seus bens patrimoniais usando códigos formados por uma cadeias de 6</p><p>caracteres, sendo três letras iniciais, escolhidas em um alfabeto de 26 letras, seguidas de 3 dígitos, cada</p><p>uma escolhido no intervalo de 0 a 9, não se permitindo códigos com 3 letras iguais e(ou) 3 dígitos iguais.</p><p>Nessa situação, a empresa dispõe de até 10</p><p>7</p><p>códigos distintos para catalogar seus bens.</p><p>03) (CESPE-2006) Em uma promotoria de justiça, há 300 processos para serem protocolados. Um assistente</p><p>da promotoria deve formar os códigos dos processos, que devem conter, cada um deles, 7 caracteres. Os 3</p><p>primeiros caracteres são letras do conjunto{d, f, h, j, l, m, o, q} e os outros 4 caracteres são números inteiros</p><p>de 1024 a 1674.</p><p>Com base nessa situação, julgue os itens subseqüentes.</p><p>1 É superior a 340 o número máximo de possibilidades de se formar a parte do código referente às 3 letras</p><p>iniciais, sem que haja repetição de letra.</p><p>2 Para a parte numérica do código, o assistente da promotoria dispõe de exatamente 650 números distintos.</p><p>3 Se o assistente da promotoria construir os códigos para protocolar os 300 processos citados escolhendo a</p><p>134</p><p>parte numérica em seqüência consecutiva, a partir do primeiro número disponível, então o último processo</p><p>terá o número 1.323 em seu código.</p><p>04) (CESPE-2002) O lanche vespertino dos empregados de uma empresa consiste de uma xícara de café,</p><p>um biscoito e um sanduíche. O café é servido com açúcar ou sem açúcar. Há três tipos de sanduíche e</p><p>quatro tipos de biscoitos. Considerando que um empregado faça um lanche completo usando apenas uma</p><p>de cada opção oferecida, o número possível de maneiras diferentes de ele compor o seu lanche é</p><p>a) menor que 13.</p><p>b) maior 13 e menor que 17.</p><p>c) maior que 17 e menor que 20.</p><p>d) maior que 20 e menor que 23.</p><p>e) maior que 23.</p><p>05) (CESPE/TRT-2007) Julgue os itens.</p><p>1 Os tribunais utilizam códigos em seus sistemas internos e, usualmente, os processos protocolados nesses</p><p>órgãos seguem uma codificação única formada por 6 campos. O terceiro desses campos, identificado como</p><p>código da vara jurídica correspondente à região geográfica, é constituído por 3 algarismos com valores, cada</p><p>um, entre 0 e 9. Supondo-se que,</p><p>em uma matéria?</p><p>c) em pelo menos uma matéria?</p><p>d) em duas matérias?</p><p>e) somente em duas matérias?</p><p>f) em mais de duas matérias?</p><p>g) somente em três matérias?</p><p>h) em matemática e física?</p><p>i) em matemática ou física?</p><p>j) em matemática e física e não foram aprovados em química?</p><p>Ainda com relação a questão 11, julgue os itens,</p><p>1 seis alunos foram aprovados em matemática.</p><p>2 apenas seis alunos foram aprovados em matemática.</p><p>3 seis alunos foram aprovados somente em matemática.</p><p>4 apenas 6 alunos foram aprovados somente em matemática.</p><p>5 mais de 60 alunos foram aprovados em pelo menos 2 matérias.</p><p>18</p><p>6 o número de alunos na classe é 81.</p><p>12) Em um exame vestibular, 30% dos candidatos eram da área de Humanas. Dentre esses candidatos, 20%</p><p>optaram pelo curso de Direito. Do total de candidatos, qual a porcentagem dos que optaram por direito?</p><p>A)50% B) 20% C) 10% D) 6% E) 5%</p><p>13) Numa universidade com N alunos, 80 estudam Física, 90 Biologia, 55 Química, 32 Biologia e Física, 23</p><p>Química e Física, 16 Biologia e Química e 8 estudam nas três faculdades. Sabendo-se que esta</p><p>Universidade somente mantém as três faculdades, quantos alunos estão matriculados na Universidade?</p><p>A) 304 B) 162 C) 146 D)154 E) n.d.a</p><p>QUESTÕES DE CONCURSOS PÚBLICOS</p><p>14) (ESAF/TÉCNICO-2006) X e Y são dois conjuntos não vazios. O conjunto X possui 64 subconjuntos. O</p><p>conjunto Y, por sua vez, possui 256 subconjuntos. Sabe-se, também, que o conjunto Z = X ∩ Y possui 2</p><p>elementos. Desse modo, conclui-se que o número de elementos do conjunto P = Y - X é igual a:</p><p>A) 4 B) 6 C) 8 D) vazio E) 1</p><p>15) (CESPE-2002) Para preencher vagas disponíveis, o departamento de pessoal de uma empresa aplicou</p><p>um teste em 44 candidatos, solicitando, entre outras informações, que o candidato respondesse se já havia</p><p>trabalhado</p><p>I em setor de montagem eletromecânica de equipamentos;</p><p>II em setor de conserto de tubulações urbanas;</p><p>III em setor de ampliações e reformas de subestações de baixa e de alta tensão.</p><p>Analisados os testes, o departamento concluiu que todos os candidatos tinham experiência em pelo menos</p><p>um dos setores citados acima e que tinham respondido afirmativamente</p><p>• 28 pessoas à alternativa I.</p><p>• 4 pessoas somente à alternativa I.</p><p>• 1 pessoa somente à alternativa III.</p><p>• 21 pessoas às alternativas I e II.</p><p>• 11 pessoas às alternativas II e III.</p><p>• 13 pessoas às alternativas I e III.</p><p>19</p><p>Com base nas informações anteriores, assinale a opção incorreta.</p><p>a) Apenas 10 candidatos têm experiência nos 3 setores.</p><p>b) Somente 36 candidatos têm experiência no setor de conserto de tubulações urbanas.</p><p>c) Apenas 15 candidatos têm experiência no setor de ampliações e reformas de subestações.</p><p>d) Somente 2 candidatos têm experiência apenas nos setores de montagem e de ampliações e reformas de</p><p>subestações.</p><p>e) Somente 1 candidato tem experiência apenas nos setores de conserto de tubulações urbanas e de</p><p>ampliações e reformas de subestações.</p><p>16) (CESPE-2003)</p><p>Vacinas Crianças Vacinadas</p><p>Sabin 5300</p><p>Sarampo 5320</p><p>Tríplice 4600</p><p>Sabin e sarampo 1020</p><p>Sabin e tríplice 900</p><p>Sarampo e tríplice 800</p><p>Sabin, sarampo e tríplice 500</p><p>Nenhuma 2000</p><p>Considerando os dados da tabela acima, que representam as quantidades de crianças de uma determinada</p><p>cidade que receberam em 2002 as vacinas Sabin, sarampo e tríplice, julgue os itens seguintes:</p><p>A) Exatamente 3880 crianças receberam apenas a vacina Sabin.</p><p>B) Exatamente 3700 crianças receberam apenas a vacina tríplice.</p><p>C) Exatamente 4300 crianças receberam apenas a vacina sarampo.</p><p>D) 2720 crianças receberam pelo menos duas vacinas.</p><p>E) Mais de 16000 crianças foram vacinadas nessa cidade em 2002.</p><p>17) (CESPE/METRÔ-2005) Uma associação de motoristas e de pilotos de trens elétricos distribui a seus</p><p>associados dois jornais periódicos A e B, que tratam de assuntos de interesse das duas categorias</p><p>profissionais. Um total de 4540 membros compõe a associação. Devido a problemas de comunicação, 75</p><p>associados não receberam nenhum dos jornais, 980 receberam os dois jornais e 2840 receberam o jornal A.</p><p>Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.</p><p>20</p><p>1 Mais de 1800 associados receberam apenas o jornal A.</p><p>2 Menos de 2500 associados receberam o jornal B.</p><p>18) (CESPE-2008) Com relação às operações com conjuntos, julgue o item abaixo.</p><p>1 Considere que os candidatos ao cargo de programador tenham as seguintes especialidades: 27 são</p><p>especialistas no sistema operacional Linux, 32 são especialistas no sistema operacional Windows e 11</p><p>desses candidatos são especialistas nos dois sistemas. Nessa situação, é correto inferir que o número total</p><p>de candidatos ao cargo de programador é inferior a 50.</p><p>19) (CESPE/STF-2008) Uma pesquisa envolvendo 85 juízes de diversos tribunais revelou que 40 possuíam</p><p>o título de doutor, 50 possuíam o título de mestre, 20 possuíam somente o título de mestre e não eram</p><p>professores universitários, 10 possuíam os títulos de doutor e mestre e eram professores universitários, 15</p><p>possuíam somente o título de doutor e não eram professores universitários e 10 possuíam os títulos de</p><p>mestre e doutor e não eram professores universitários. Com base nessas informações, julgue os itens</p><p>seguintes.</p><p>1 Menos de 35 desses juízes são professores universitários.</p><p>2 Mais de 10 desses juízes são professores universitários mas não têm título de doutor nem de mestre.</p><p>3 Menos de 50 desses juízes possuem o título de doutor ou de mestre mas não são professores</p><p>universitários.</p><p>4 Mais de 3 desses juízes possuem somente o título de doutor e são professores universitários.</p><p>20) (FCC-2006) Uma escola de música oferece apenas os cursos de Teclado, Violão e Canto e tem 345</p><p>alunos. Sabe-se que</p><p>- nenhum aluno estuda apenas Canto.</p><p>- nenhum aluno estuda Teclado e Violão.</p><p>-225 alunos estudam Teclado.</p><p>-90 alunos estudam Teclado e Canto.</p><p>-50 alunos estuda apenas Violão.</p><p>Quantos alunos estudam Canto e violão?</p><p>A) 70 B) 120 C) 140 D) 150 E) 160</p><p>Gabarito</p><p>21</p><p>01 E 17 CE</p><p>02 a)560 / b)280 18 C</p><p>03 5 alunos 19 ECCC</p><p>04 7 alunos 20 A</p><p>05 256</p><p>06 15 elem.</p><p>07 69%</p><p>08 247</p><p>09 a) 140 / b)114</p><p>10 a) 61 / b) 46</p><p>11 81 alunos</p><p>12 D</p><p>13 B</p><p>14 B</p><p>15 D</p><p>16 CEEE</p><p>22</p><p>02– LÓGICA DE 1ª ORDEM</p><p>“Neste segundo momento iremos dar ênfase as provas de concursos realizadas pelo CESPE e</p><p>ESAF, pois verificaremos que são as bancas que mais aprofundam em tal assunto. Mas nos capítulos</p><p>posteriores daremos uma atenção maior às demais instituições de acordo com os assuntos mais</p><p>cobrados e suas particularidades. Você não só irá aprender, mas entender o que a bancas querem de</p><p>você. Estudar o que realmente cai é bom demais!” Sucesso!</p><p>ESTRUTURAS LÓGICAS</p><p>A lógica formal não se ocupa com os conteúdos pensados ou com os objetos referidos pelo</p><p>pensamento, mas apenas com a forma pura e geral dos pensamentos, expressa através da linguagem. O</p><p>objeto da lógica é a proposição, que exprime, através da linguagem, os JUÍZOS formulados pelo</p><p>pensamento. A proposição é a atribuição de um predicado a um sujeito.</p><p>I - SENTENÇAS</p><p>- Expressão de um pensamento completo;</p><p>- São compostas por um sujeito (algo que se declara) e por um predicado (aquilo que se declara sobre o</p><p>sujeito).</p><p>Ex.: José passou no concurso público.</p><p>Lógica não é difícil.</p><p>Que horas começa o filme?</p><p>Que belas flores!</p><p>Pegue essa xícara agora.</p><p>- Afirmativas;</p><p>Ex.: A matemática é uma ciência do raciocínio.</p><p>- Negativas;</p><p>Ex.: José não vai à praia.</p><p>- Imperativas;</p><p>Ex.: Faça seu trabalho com presteza.</p><p>- Exclamativas;</p><p>Ex.: Que dia lindo!</p><p>- Interrogativas.</p><p>Ex.: Qual é o seu nome?</p><p>S</p><p>e</p><p>n</p><p>t</p><p>e</p><p>n</p><p>ç</p><p>a</p><p>s</p><p>23</p><p>A - SENTENÇAS ABERTAS</p><p>nesses códigos, os três algarismos não sejam todos iguais, conclui-se que</p><p>podem ser criados, no máximo, 90 códigos distintos para identificar as varas jurídicas.</p><p>2 Um órgão especial de um tribunal é composto por 15 desembargadores. Excetuando-se o presidente, o</p><p>vice-presidente e o corregedor, os demais membros desse órgão especial podem integrar turmas, cada uma</p><p>delas constituída de 5 membros, cuja função é julgar os processos. Nesse caso, o número de turmas</p><p>distintas que podem ser formadas é superior a 104.</p><p>06) (CESPE/BB-2007) O número de países representados nos Jogos Pan-Americanos realizados no Rio de</p><p>Janeiro foi 42, sendo 8 países da América Central, 3 da América do Norte, 12 da América do Sul e 19 do</p><p>Caribe. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.</p><p>1 Se determinada modalidade esportiva foi disputada por apenas 3 atletas, sendo 1 de cada país da América</p><p>do Norte participante dos Jogos Pan-Americanos, então o número de possibilidades diferentes de</p><p>classificação no 1.º, 2.º e 3.º lugares foi igual a 6.</p><p>2 Considerando-se que, em determinada modalidade esportiva, havia exatamente 1 atleta de cada país da</p><p>América do Sul participante dos Jogos Pan-Americanos, então o número de possibilidades distintas de dois</p><p>atletas desse continente competirem entre si é igual a 66.</p><p>3 Há, no máximo, 419 maneiras distintas de se constituir um comitê com representantes de 7 países</p><p>diferentes participantes dos Jogos Pan-Americanos, sendo 3 da América do Sul, 2 da América Central e 2 do</p><p>Caribe.</p><p>4 Considerando-se apenas os países da América do Norte e da América Central participantes dos Jogos</p><p>Pan-Americanos, a quantidade de comitês de 5 países que poderiam ser constituídos contendo pelo menos</p><p>3 países da América Central é inferior a 180.</p><p>07) (CESPE/BB-2007) Julgue os itens que se seguem quanto a diferentes formas de contagem.</p><p>135</p><p>1 Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de pessoas para serem usados em uma propaganda</p><p>na televisão, em expressões do tipo Banco do Bruno, Banco da Rosa etc. Suponha, também, que a</p><p>quantidade total de nomes escolhidos para aparecer na propaganda seja 12 e que, em cada inserção da</p><p>propaganda na TV, sempre apareçam somente dois nomes distintos. Nesse caso, a quantidade de inserções</p><p>com pares diferentes de nomes distintos que pode ocorrer é inferior a 70.</p><p>2 Há exatamente 495 maneiras diferentes de se distribuírem 12 funcionários de um banco em 3 agências, de</p><p>modo que cada agência receba 4 funcionários.</p><p>3 Se 6 candidatos são aprovados em um concurso público e há 4 setores distintos onde eles podem ser</p><p>lotados, então há, no máximo, 24 maneiras de se realizarem tais lotações.</p><p>4 Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de dimensões iguais, pendurando-as</p><p>verticalmente na vitrine de uma loja para produzir diversas formas. Nessa situação, se 3 faixas são verdes e</p><p>indistinguíveis, 3 faixas são amarelas e indistinguíveis e 1 faixa é branca, esse decorador conseguirá</p><p>produzir, no máximo, 140 formas diferentes com essas faixas.</p><p>08) (CESPE/BB-2007) Julgue os itens seguintes quanto aos princípios de contagem.</p><p>1 Considere que 7 tarefas devam ser distribuídas entre 3 funcionários de uma repartição de modo que o</p><p>funcionário mais recentemente contratado receba 3 tarefas, e os demais, 2 tarefas cada um. Nessa situação,</p><p>sabendo-se que a mesma tarefa não será atribuída a mais de um funcionário, é correto concluir que o chefe</p><p>da repartição dispõe de menos de 120 maneiras diferentes para distribuir essas tarefas.</p><p>2 Uma mesa circular tem seus 6 lugares que serão ocupados pelos 6 participantes de uma reunião. Nessa</p><p>situação, o número de formas diferentes para se ocupar esses lugares com os participantes da reunião é</p><p>superior a 102</p><p>3 Um correntista do BB deseja fazer um único investimento no mercado financeiro, que poderá ser em uma</p><p>das 6 modalidades de caderneta de poupança ou em um dos 3 fundos de investimento que permitem</p><p>aplicações iniciais de pelo menos R$ 200,00. Nessa situação, o número de opções de investimento desse</p><p>correntista é inferior a 12.</p><p>4 Considere que, para ter acesso à sua conta corrente via Internet, um correntista do BB deve cadastrar uma</p><p>senha de 8 dígitos, que devem ser escolhidos entre os algarismos de 0 a 9. Se o correntista decidir que</p><p>todos os algarismos de sua senha serão diferentes, então o número de escolhas distintas que ele terá para</p><p>essa senha é igual a 8!.</p><p>5 Considere que o BB oferece cartões de crédito Visa e Mastercard, sendo oferecidas 5 modalidades</p><p>diferentes de cartão de cada uma dessas empresas. Desse modo, se um cidadão desejar adquirir um cartão</p><p>Visa e um Mastercard, ele terá menos de 20 possíveis escolhas distintas.</p><p>6 Sabe-se que no BB há 9 vice-presidências e 22 diretorias. Nessa situação, a quantidade de comissões que</p><p>é possível formar, constituídas por 3 vice-presidentes e 3 diretores, é superior a 105</p><p>09) (CESGRANRIO-2007) Quantas são as possíveis ordenações das letras da palavra BRASIL, tais que a</p><p>letra B figure na 1ª posição ou a letra R figure na 2ª posição?</p><p>(A) 120 (B) 184 (C) 216 (D) 240 (E) 360</p><p>10) (CESGRANRIO-2005) Para ter acesso a um arquivo, um operador de computador precisa digitar uma</p><p>seqüência de cinco símbolos distintos, formada de duas letras e três algarismos. Ele se lembra dos símbolos,</p><p>mas não da seqüência em que aparecem. O maior número de tentativas diferentes que o operador pode</p><p>fazer para acessar o arquivo é</p><p>136</p><p>A) 240 B) 216 C)120 D)360 E)200</p><p>11)(CESGRANRIO-2007) Uma empresa tem um quadro de funcionários formado por 3 supervisores e 10</p><p>técnicos. Todo dia, é escalada para o trabalho uma equipe com 1 supervisor e 4 técnicos. Quantas equipes</p><p>diferentes podem ser escaladas?</p><p>(A) 15120 (B) 3780 (C) 840 (D) 630 (E) 510</p><p>12) (ESAF/MPU-2004) Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma mesma fila no</p><p>teatro. O número de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo que: a) homens e mulheres</p><p>sentem-se em lugares alternados; e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres</p><p>sentem-se juntas, são, respectivamente,</p><p>a) 1112 e 1152 b) 1152 e 1100 c) 1152 e 1152 d) 384 e 1112. e) 112 e 384.</p><p>13) (ESAF/MPU-2004) Paulo possui três quadros de Gotuzo e três de Portinari e quer expô-los em uma</p><p>mesma parede, lado a lado. Todos</p><p>os seis quadros são assinados e datados. Para Paulo, os quadros podem ser dispostos em qualquer ordem,</p><p>desde que os de Gotuzo apareçam ordenados entre si em ordem cronológica, da esquerda para a direita. O</p><p>número de diferentes maneiras que os seis quadros podem ser expostos é igual a</p><p>a) 20 b) 30 c) 24 d) 120 e) 360.</p><p>14) (ESAF/CGU-2008) Ágata é decoradora e precisa atender o pedido de um excêntrico cliente. Ele ─ o</p><p>cliente ─ exige que uma das paredes do quarto de sua filha seja dividida em uma seqüência de 5 listras</p><p>horizontais pintadas de cores diferentes, ou seja, uma de cada cor. Sabendo-se que Ágata possui apenas 8</p><p>cores disponíveis, então o número de diferentes maneiras que a parede pode ser pintada é igual a:</p><p>a) 56 b) 5760 c) 6720 d) 3600 e) 4320</p><p>15) (ESAF/CGU-2008) Ana precisa fazer uma prova de matemática composta de 15 questões. Contudo,</p><p>para ser aprovada, Ana só precisa resolver 10 questões das 15 propostas. Assim, de quantas maneiras</p><p>diferentes Ana pode escolher as questões?</p><p>a) 3003 b) 2980 c) 2800 d) 3006 e) 3005</p><p>16) (CESPE-2006) No departamento de eventos de uma empresa trabalham 9 homens e 6 mulheres e, para</p><p>a organização da festa junina, será formada uma comissão composta por 3 dessas pessoas. Nesse caso,</p><p>1 se a comissão tiver apenas uma mulher, então será possível formar 198 comissões diferentes.</p><p>2 se não houver qualquer restrição quanto ao sexo dos membros da comissão, então será possível formar</p><p>455 comissões diferentes.</p><p>137</p><p>17) (CESPE-2007) Com as letras</p><p>que formam o nome da capital RIO BRANCO,</p><p>pode-se formar diversos anagramas — anagrama é qualquer palavra, com significado ou não, que pode ser</p><p>formada a partir das letras fornecidas. Com base nessas informações, julgue os seguintes itens.</p><p>1 A quantidade de anagramas que é possível formar com as letras de RIO BRANCO de modo que as letras</p><p>R, I, e O fiquem juntas e nesta ordem é inferior a 5.000.</p><p>2 A quantidade de anagramas que é possível formar com as letras de RIO BRANCO é superior a 360.000.</p><p>18) (FCC) Considere todos os números de 3 algarismos distintos, escolhidos entre os elementos do conjunto</p><p>A = {1, 2, 3, 4, 5}. Em quantos desses números a soma dos algarismos é ímpar?</p><p>(A) 8 (B) 12 (C) 16 (D) 24 (E) 48</p><p>19)(CESGRANRIO-2004) Sebastiana faz doces de cupuaçu, de açaí, de tucumã, de cajá e de banana. Ela</p><p>quer preparar embalagens especiais, cada uma com dois potes de doce de sabores diferentes, para vender</p><p>na feira. Quantas embalagens diferentes Sebastiana poderá preparar?</p><p>(A) 7 (B) 9 (C) 10 (D) 14 (E) 20</p><p>20) (CESPE/BB-2008) O código de acesso exigido em transações nos caixas eletrônicos do Banco do Brasil</p><p>é uma seqüência de letras, gerada automaticamente pelo sistema. Até o dia 17/12/2007, o código de acesso</p><p>era composto por 3 letras maiúsculas. Os códigos de acessos gerados a partir de 18/12/2007 utilizam,</p><p>também, sílabas de 2 letras — uma letra maiúscula seguida de uma letra minúscula. Exemplos de código de</p><p>acesso no novo modelo: Ki Ca Be; Lu S Ra; T M Z.</p><p>Na situação descrita no texto, considere que o número de letras maiúsculas disponíveis para a composição</p><p>dos códigos de acesso seja igual a 26, que é igual ao número de letras minúsculas. A partir dessas</p><p>informações, julgue os itens a seguir.</p><p>1 É superior a 18 × 107 a quantidade de códigos de acesso compostos por 3 sílabas de 2 letras, nos quais</p><p>cada sílaba é formada por exatamente 1 letra maiúscula e 1 letra minúscula nessa ordem, não havendo</p><p>repetições de qualquer uma das letras em um mesmo código.</p><p>2 Considere que um cliente do Banco do Brasil deseje que seu código de acesso comece com a sílaba Lu e</p><p>que cada uma das outras duas posições tenha apenas 1 letra maiúscula, distinta das demais, incluindo-se as</p><p>letras L e u. Nesse caso, esse cliente terá menos de 600 escolhas de código.</p><p>3 Até 17/12/2007, o número de códigos de acesso distintos, que eram compostos por exatamente 3 letras</p><p>maiúsculas e que podiam ser gerados pelo sistema do Banco do Brasil para transações nos caixas</p><p>eletrônicos, era inferior a 18 × 103.</p><p>4 Se um cliente do Banco do Brasil decidir formar seu código de acesso com 3 letras maiúsculas usando</p><p>somente as 4 letras iniciais de seu nome, então ele terá, no máximo, 12 escolhas de código.</p><p>21) (CESPE/BB-2008) Ao visitar o portal do Banco do Brasil, os clientes do Banco do Brasil Estilo podem</p><p>verificar que, atualmente, há 12 tipos diferentes de fundos de investimento Estilo à sua disposição, listados</p><p>138</p><p>em uma tabela. Com respeito à quantidade e diversidade de fundos disponíveis, julgue os itens</p><p>subseqüentes.</p><p>1 Se o Banco do Brasil decidir oferecer os fundos de investimento Estilo em 4 pacotes, de modo que cada</p><p>pacote contemple 3 fundos diferentes, então a quantidade de maneiras distintas para se montar esses</p><p>pacotes será superior</p><p>a 350 mil.</p><p>2 Considere que, entre os fundos de investimento Estilo, haja 3 fundos classificados como de renda fixa, 5</p><p>fundos classificados como de multimercado, 3 fundos de ações e 1 fundo referenciado. Considere, ainda,</p><p>que, no portal do Banco do Brasil, esses fundos sejam exibidos em uma coluna, de modo que os fundos de</p><p>mesma classificação aparecem juntos em seqüência. Sendo assim, a quantidade de maneiras diferentes que</p><p>essa coluna pode ser formada é inferior a 4.500.</p><p>3 Um cliente do Banco do Brasil Estilo que decidir escolher 3 fundos diferentes para realizar seus</p><p>investimentos terá, no máximo, 13.200 escolhas distintas.</p><p>4 Considere que os 12 fundos Estilo mencionados sejam assim distribuídos: 1 fundo referenciado, que é</p><p>representado pela letra A; 3 fundos de renda fixa indistinguíveis, cada um representado pela letra B; 5 fundos</p><p>multimercado indistinguíveis, cada um representado pela letra C; e 3 fundos de ações indistinguíveis, cada</p><p>um representado pela letra D. Dessa forma, o número de escolhas distintas que o banco dispõe para listar</p><p>em coluna esses 12 fundos, utilizando-se apenas suas letras de representação — A, B, C e D —, é inferior a</p><p>120 mil.</p><p>22)(CESGRANRIO-2008) Em certa universidade, o número de matrícula dos estudantes é formado por 7</p><p>dígitos, repetidos ou não. Os números seguem um padrão: o primeiro dígito não pode ser zero, o anti-</p><p>penúltimo indica em que semestre (primeiro ou segundo) foi iniciado o curso e os dois últimos, o ano da</p><p>matrícula. Por exemplo, “4234.207” é um número de matrícula atribuído a um estudante que iniciou seu</p><p>curso no segundo semestre de 2007. Se dois estudantes matriculados num mesmo ano devem ter,</p><p>obrigatoriamente, números de matrícula diferentes, qual é o número máximo de estudantes que podem ser</p><p>matriculados em 2008?</p><p>(A) 6.046 (B) 9.000 (C) 10.080 (D) 18.000 (E) 20.000</p><p>23)(CESGRANRIO-2008) Certa operadora de telefonia celular só pode habilitar telefones de 8 dígitos, que</p><p>comecem por 9 e tenham como segundo dígito um algarismo me nor ou igual a 4. Qual a quantidade máxima</p><p>de números telefônicos que essa operadora pode habilitar em uma mesma cidade?</p><p>(A) 3 × 106 (B) 4 ×106 (C) 5 × 106 (D) 4 ×C9,6 (E) 5 × C9,6</p><p>24)(CESGRANRIO-2008) Certo campeonato estadual de futebol será realizado com 14 clubes divididos em</p><p>dois grupos iguais. Dentro de cada grupo todos os times se enfrentarão uma única vez. Em seguida, serão</p><p>realizadas as partidas semifinais, quando o primeiro colocado de cada grupo enfrentará o segundo colocado</p><p>do outro grupo. A final será realizada com os vencedores desses dois jogos. No total, quantos jogos serão</p><p>realizados nesse campeonato?</p><p>(A) 87 (B) 84 (C) 65 (D) 45 (E) 42</p><p>139</p><p>25) (ESAF/GESTOR-2005) Um grupo de estudantes encontra-se reunido em uma sala para escolher</p><p>aleatoriamente, por sorteio, quem entre eles irá ao Simpósio de Matemática do próximo ano. O grupo é</p><p>composto de 15 rapazes e de um certo número de moças. Os rapazes cumprimentam-se, todos e apenas</p><p>entre si, uma única vez; as moças cumprimentam-se, todas e apenas entre si, uma única vez. Há um total de</p><p>150 cumprimentos. O número de moças é, portanto, igual a:</p><p>a) 10 b) 14 c) 20 d) 25 e) 45</p><p>26) (ESAF/GESTOR-2005) Pedro e Paulo estão em uma sala que possui 10 cadeiras dispostas em uma fila.</p><p>O número de diferentes formas pelas quais Pedro e Paulo podem escolher seus lugares para sentar, de</p><p>modo que fique ao menos uma cadeira vazia entre eles, é igual a:</p><p>a) 80 b) 72 c) 90 d) 18 e) 56</p><p>27) (CESPE-2007) Em um concurso público promovido pela prefeitura de uma capital brasileira, foram</p><p>aprovados 11 candidatos, dos quais 5 são naturais do Espírito Santo, 4 de Minas Gerais e 2 de São Paulo.</p><p>Entre estes, três serão selecionados para atendimento exclusivo ao prefeito e seu secretariado. Acerca da</p><p>situação hipotética acima, é correto afirmar que o número de maneiras distintas de selecionar os três</p><p>servidores que irão atender ao prefeito e a seu secretariado de forma que</p><p>1 os dois servidores paulistas estejam entre eles é igual a 11.</p><p>2 todos sejam naturais do Espírito Santo é igual a 10.</p><p>3 nenhum deles seja do Espírito Santo é igual a 20.</p><p>4 um seja capixaba, um mineiro e um paulista é igual a 30.</p><p>Texto para as questões de 40 a 42</p><p>No TRT da 1.ª Região, o andamento de processo pode ser consultado no sítio www.trtrio.gov.br/Sistemas,</p><p>seguindo as orientações abaixo:</p><p>Consulta processual pelo sistema de numeração única – processos autuados a partir de 2002: nesse tipo de</p><p>consulta, a parte interessada, advogado</p><p>ou reclamante/reclamada, poderá pesquisar, todo trâmite</p><p>processual. Para efetuar a consulta, é necessário preencher todos os campos, de acordo com os seguintes</p><p>procedimentos (os dígitos são sempre algarismos arábicos):</p><p>campo 1: digite o número do processo – com 5 dígitos;</p><p>campo 2: digite o ano do processo – com 4 dígitos;</p><p>campo 3: digite o número da Vara do Trabalho onde a ação se originou – com 3 dígitos. Os números das</p><p>Varas do Trabalho são codificados conforme tabela anexa do sítio e, nas ações de competência dos TRTs,</p><p>esse campo receberá três zeros;</p><p>140</p><p>campo 4: digite o número do TRT onde a ação se originou – com 2 dígitos. No caso do TRT da 1.ª Região,</p><p>“01”, que virá digitado;</p><p>campo 5: digite o número seqüencial do processo – com 2 dígitos. Na 1.ª autuação do processo,</p><p>independentemente da instância em que for ajuizada, este campo deverá ser preenchido com “00”.</p><p>Após o preenchimento de todos os campos, clique o botão “consultar” e será apresentada a tela relacionada</p><p>aos tipos de processos. Clique o tipo de processo desejado, por exemplo: RT, RO, AP, e será apresentada a</p><p>tela de Consulta Processual, com todo o trâmite do processo.</p><p>Exemplo de Número Novo: RT: 01100-2002-010-01-00</p><p>28) (CESPE/TRT-2008) Se for estabelecida a restrição de que no campo 1, referente ao número do</p><p>processo, até 4 dos 5 dígitos poderão ser iguais, então a quantidade de possibilidades para esse número é</p><p>igual a</p><p>A) 69.760. B)99.990. C)32.805. D) 59.049. E) 65.610.</p><p>29) (CESPE/TRT-2008) Considere que no campo 3, correspondente ao número da Vara do Trabalho onde o</p><p>processo se originou, a numeração possa variar de 001 até 100. Nesse caso, a quantidade dessas Varas</p><p>que podem ser numeradas somente com números divisíveis por 5 é igual a</p><p>A) 15. B) 20. C) 22. D) 25. E) 28.</p><p>30) (CESPE/TRT-2008) Considere um lote de processos especificados no Sistema de Numeração Única, em</p><p>que os 2 dígitos do campo 5 formam um número par ou um número divisível por 3 e varia de 01 a 12. Nesse</p><p>caso, a quantidade de possíveis números para esse campo 5 é igual a</p><p>A) 11. B) 10. C) 8. D) 6. E) 4.</p><p>31) (CESGRANRIO-2008) Em uma urna há 5 bolas verdes, numeradas de 1 a 5, e 6 bolas brancas,</p><p>numeradas de 1 a 6. Dessa urna retiram-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas. Quantas são as</p><p>extrações nas quais a primeira bola sacada é verde e a segunda contém um número par?</p><p>(A) 15 (B) 20 (C) 23 (D) 25 (E) 27</p><p>141</p><p>Gabarito</p><p>QUESTÕES DE CONCURSOS PÚBLICOS</p><p>01 CCEC 21 C</p><p>02 EEE 22 D</p><p>03 A 23 C</p><p>04 A 24 D</p><p>05 CEC 25 C</p><p>06 C 26 A</p><p>07 CCE 27 EC</p><p>08 EECE 28 EE</p><p>09 A 29 D</p><p>10 E 30 A</p><p>11 B 31 E</p><p>12 D</p><p>13 C</p><p>14 EC</p><p>15 EE</p><p>16 CEE</p><p>17 CCEE</p><p>18 CEEC</p><p>19 ECCEEC</p><p>20 C</p><p>São as sentenças nas quais não podemos determinar o sujeito da sentença. Uma forma mais</p><p>simples de identificar uma sentença aberta é quando a mesma não pode ser nem V(verdadeiro) nem F(</p><p>falso) .</p><p>Ex.:Ela foi a melhor atleta da competição.</p><p>Algumas sentenças são chamadas abertas porque não são passíveis de interpretação para que</p><p>possam ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F). Por exemplo, se tivermos uma proposição</p><p>expressa: “Para todo a, P(a)”, em que a é um elemento qualquer do conjunto U, e P(a) é uma propriedade a</p><p>respeito dos elementos de U, logo se torna necessário explicitar U e P para que seja possível valorar.</p><p>Ex.: { x  R/ x > 2 }, neste caso x pode ser qualquer número maior que dois, ou seja, não há um</p><p>sujeito especifico.</p><p>Há expressões às quais não se pode atribuir um valor lógico V ou F, por exemplo: “Ele é juiz do TRT</p><p>da 1.ª Região”, ou “x + 5 = 10”. O sujeito é uma variável que pode ser substituído por um elemento arbitrário,</p><p>transformando a expressão em uma proposição que pode ser valorada como V ou F. Expressões dessa</p><p>forma são denominadas sentenças abertas, ou funções proposicionais. Pode-se passar de uma sentença</p><p>aberta a uma proposição por meio dos quantificadores “qualquer que seja”, ou “para todo”, indicado por  , e</p><p>“existe”, indicado por  . Por exemplo: a proposição ( x)(x  R)(x + 3 = 9) é valorada como F, enquanto a</p><p>proposição ( x)(x  R)(x + 3 = 9) é valorada como V.</p><p>B - SENTENÇAS FECHADAS</p><p>São as sentenças nas quais podemos determinar o sujeito da sentença.</p><p>Ex.: Antônio está de férias.</p><p>Ex.: O professor Josimar foi trabalhar.</p><p>Na lógica sentencial, denomina-se proposição uma frase que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa</p><p>(F), mas não, como ambas. Assim, frases como “Como está o tempo hoje?” e “Esta frase é falsa” não são</p><p>proposições porque a primeira é pergunta( sentença interrogativa ) e a segunda não pode ser nem V nem F.</p><p>III- PROPOSIÇÕES</p><p>Dá-se o nome de proposição a uma sentença (afirmativa ou negativa) formada por palavras ou</p><p>símbolos que expressam um pensamento de sentido completo, as quais se podem atribuir um valor lógico,</p><p>ou seja, uma valoração (verdadeiro ou falso).</p><p>Esta valoração também é chamada de valor-lógico ou valor-verdade.</p><p>DIAGRAMA</p><p>24</p><p>- Uma aplicação legal!</p><p>Uma questão que deixa claro a relação entre proposições e sentenças é uma questão do concurso para o</p><p>cargo de analista do SEBRAE realizada pelo CESPE em 2008, onde a mesma realizou a seguinte afirmação</p><p>a ser julgada:</p><p>“- A seguinte proposição “Ninguém ensina ninguém” é um exemplo de sentença aberta.”</p><p>RESOLUÇÃO: Esta questão é interessante, pois exige do candidato uma diferenciação entre os conceitos</p><p>já citados, em que muitos iriam se deter em ficar interpretando a frase sugerida. O que se deve perceber é</p><p>que quando o CESPE cita que a proposição “ Ninguém ...” é uma sentença aberta, torna-se uma</p><p>contradição, uma vez que, uma proposição pode ser valorada o que não ocorre com uma é uma sentença</p><p>aberta( não há como se valorar.) Logo o item está errado.</p><p>APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS</p><p>01) ( FCC –SFASP-Ag.Fis.Rendas-2006) Considere as seguintes frases:</p><p>I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.</p><p>II. (x+y) / 5 é um numero inteiro.</p><p>III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000.</p><p>É verdade que APENAS.</p><p>(A) I é uma sentença aberta.</p><p>(B) II é uma sentença aberta.</p><p>(C) I e II são sentenças abertas.</p><p>(D) I e III são sentenças abertas.</p><p>(E) II e III são sentenças abertas</p><p>Comentário:</p><p>No item I temos uma sentença aberta, pois não se pode determinar quem foi o melhor</p><p>jogador do mundo em 2005, logo a sentença é aberta;</p><p>No item II vários valores podem ser atribuídos a x ou a y para que a razão possua resultado</p><p>inteiro. Ex.: x=5 e y= 10, temos ( 5 + 10 ) / 5 = 3 ( 3 pertence aos inteiros) ; pode acontecer o mesmo com x=</p><p>20 e y=10 , temos (20 + 10)= 15 e etc., logo a sentença é aberta;</p><p>No item III, aí sim, temos uma sentença fechada, pois sabemos determinar quem é o</p><p>Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000, ou seja, o Sr. João da Silva.</p><p>Logo a resposta desta questão é a letra “C”.</p><p>02) ( FCC –SFASP-Ag.Fis.Rendas-2006 Adaptada) Das quatro frases abaixo, três delas tem uma mesma</p><p>característica lógica e comum, enquanto uma delas não tem essa característica.</p><p>I. Que belo dia!</p><p>II. Josias é um excelente aluno de raciocínio lógico.</p><p>III. O jogo terminou empatado?</p><p>IV. Escreva uma poesia.</p><p>A Frase que não possui essa característica comum é a</p><p>25</p><p>(A) IV.</p><p>(B) III.</p><p>(C) I.</p><p>(D) II.</p><p>Comentário:</p><p>Das frases acima temos quatro sentenças:</p><p>I - Que Belo dia! ( não possui uma interpretação lógica – sentença exclamativa- não há</p><p>como valorar.</p><p>II – Josias é um excelente aluno de raciocínio lógico – sentença afirmativa - há como</p><p>valorar.</p><p>III - O jogo terminou empatado? - sentença interrogativa - não há como valorar.</p><p>IV – Escreva uma poesia. – sentença imperativa - não há como valorar.</p><p>Dentre as quatro apenas uma pode ser valorada, logo temos uma proposição. Neste caso</p><p>trata-se da segunda frase.</p><p>A resposta da questão é a letra “D”</p><p>03) UnB/CESPE – Banco do Brasil S.A. 2007</p><p>Na lógica de primeira ordem, uma proposição é funcional quando é expressa por um predicado que</p><p>contém um número finito de variáveis e é interpretada como verdadeira (V) ou falsa (F) quando são</p><p>atribuídos valores às variáveis e um significado ao predicado. Por exemplo, a proposição “Para qualquer x,</p><p>tem-se que x - 2 > 0” possui interpretação V quando x é um número real maior do que 2 e possui</p><p>interpretação F quando x pertence, por exemplo, ao conjunto {-4, -3, -2, -1, 0}.</p><p>Com base nessas informações, julgue os próximos itens.</p><p>( ) A proposição funcional “Para qualquer x, tem-se que x 2 > x” é verdadeira para todos</p><p>os valores de x que estão no conjunto</p><p>( ) A proposição funcional “Existem números que são divisíveis por 2 e por 3” é verdadeira para elementos</p><p>do conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}.</p><p>Comentário:</p><p>- O primeiro item está errado, pois quando atribuímos a x o valor de ½ a desigualdade torna-se falsa. Por</p><p>exemplo: “ x2 > x = V”</p><p>(½)2 > ½  ¼ > ½ (F).</p><p>- O segundo item: “Existem números que são divisíveis por 2 e por 3” está errado, pois se verificarmos os</p><p>elementos do conjunto, eles não são divisíveis por 2 e 3 ( ao mesmo tempo). Por exemplo: o número 10 é</p><p>divisível por 2 porém não é divisível por 3 , O número 15 é divisível por 3, mas não é divisível por 2. Logo o</p><p>item está Falso. Para que o item estivesse correto a sentença deveria ser: “ Existem números que são</p><p>divisíveis por 2 ou por 3”.</p><p>04) UnB/CESPE – Banco do Brasil S.A. 2008</p><p>( ) A frase “Quanto subiu o percentual de mulheres assalariadas nos últimos 10 anos?” não pode ser</p><p>considerada uma proposição.</p><p>Comentário:</p><p>O item não é uma proposição, pois não pode ser valorado. É uma sentença interrogativa. O item está</p><p>correto.</p><p>26</p><p>REPRESENTAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES</p><p>As proposições podem ser representadas por letras, sendo estas maiúsculas ou minúsculas.</p><p>p: O estado do Espírito Santo é produtor de Petróleo.</p><p>q: O mundo precisa de Paz.</p><p>r: Renato é um aluno dedicado.</p><p>PROPOSIÇOES SIMPLES OU BÁSICAS: São as proposições que expressam apenas um pensamento.</p><p>Ex.: Guarapari tem lindas praias.</p><p>Ex.: José passou no concurso.</p><p>PROPOSIÇÕES COMPOSTAS: São as proposições que expressam mais de um pensamento. As</p><p>proposições compostas costumam ser chamadas de fórmulas proposicionais ou apenas fórmulas.</p><p>Ex.: José passou no concurso e Guarapari tem lindas praias.</p><p>APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS</p><p>01-(CESPE –PRODEST – Técnico em Informática- adaptada) - Considere a seguinte lista de frases e</p><p>julgue o item.</p><p>- I - Rio Branco é a capital do estado de Rondônia.</p><p>- II- Qual é o horário do filme?</p><p>- III- O Brasil é pentacampeão de futebol.</p><p>- IV- Que belas flores!</p><p>- V – Marlene não é atriz e Djanira é pintora.</p><p>( ) Nesta Lista, há exatamente 4 proposições</p><p>Comentário :</p><p>Nesta questão acima temos as proposições:</p><p>- Rio Branco é a capital do estado de Rondônia. (uma proposição, um pensamento).</p><p>- Qual é o horário do filme? ( sentença)</p><p>- O Brasil é pentacampeão de futebol. (uma proposição, um pensamento).</p><p>- Que belas flores! ( sentença)</p><p>- Marlene não é atriz e Djanira é pintora. (duas proposições- 2 pensamentos)</p><p>Logo, temos 4 proposições . O item está certo.</p><p>02-(UnB/CESPE –2008 -STF Técnico Judiciário)</p><p>Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho.</p><p>A resposta branda acalma o coração irado.</p><p>O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da ruína do homem.</p><p>Se o filho é honesto então o pai é exemplo de integridade.</p><p>Tendo como referência as quatro frases acima, julgue os itens seguintes.</p><p>( ) A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas pelo conectivo de conjunção.</p><p>( )A segunda frase é uma proposição lógica simples.</p><p>( ) A terceira frase é uma proposição lógica composta.</p><p>( ) A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois conectivos lógicos.</p><p>Comentário:</p><p>O primeiro item está errado, uma vez que temos duas sentenças imperativas (não são proposições)</p><p>ligadas por um conectivo de conjunção, logo podemos afirmar que não é uma proposição.</p><p>O segundo item está correto, uma vez que temos apenas uma idéia completa (proposição simples).</p><p>O terceiro item está errado, pois temos apenas uma idéia completa (proposição simples).</p><p>27</p><p>O quarto item está errado uma vez que temos duas proposições simples (pensamentos) conectadas por um</p><p>conectivo condicional “Se..., então...”.</p><p>03-(UnB/CESPE –2008 –SEBRAE –ANALISTA) Com relação à lógica formal, julgue os itens subseqüentes.</p><p>( )A frase “Pedro e Paulo são analistas do SEBRAE” é uma proposição simples.</p><p>( ) A proposição “João viajou para Paris e Roberto viajou para Roma” é um exemplo de proposição formada</p><p>por duas proposições simples relacionadas por um conectivo de conjunção.</p><p>Comentário</p><p>O primeiro item está correto, uma vez que temos apenas uma idéia completa (proposição simples).</p><p>O segundo item está correto, pois temos duas idéias completas conectadas (operadas) por um conectivo</p><p>de conjunção “e”.</p><p>MOMENTO DE TREINAMENTO</p><p>01- MRE(CESPE -2008) Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras — V —</p><p>, ou falsas — F —, mas não cabem a elas ambos os julgamentos. As proposições simples são</p><p>freqüentemente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto, e as proposições compostas são</p><p>conexões de proposições simples. Uma expressão da forma A^ B é uma proposição composta que</p><p>tem valor lógico V quando A e B forem ambas V e, nos demais casos, será F, e é lida “A e B”. A</p><p>expressão ¬A, “não A”, tem valor lógico F se A for V, e valor lógico V se A for F. A expressão AV B,</p><p>lida como “A ou B”, tem valor lógico F se ambas as proposições A e B forem F; nos demais casos, é</p><p>V.A expressão AB tem valor lógico F se A for V e B for F. Nos demais casos, será V, e tem, entre</p><p>outras, as seguintes leituras: “se A então B”, “A é condição suficiente para B”, “B é condição</p><p>necessária para A”. Uma argumentação lógica correta consiste de uma seqüência de proposições em</p><p>que algumas são premissas, isto é, são verdadeiras por hipótese, e as outras, as conclusões, são</p><p>obrigatoriamente verdadeiras por conseqüência das premissas.</p><p>Considerando as informações acima, julgue o item abaixo.</p><p>- ( ) Considere a seguinte lista de sentenças:</p><p>I Qual é o nome pelo qual é conhecido o Ministério das Relações Exteriores?</p><p>II O Palácio Itamaraty em Brasília é uma bela construção do século XIX.</p><p>III As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaraty possui são, respectivamente, x e y.</p><p>IV O barão do Rio Branco foi um diplomata notável.</p><p>Nessa situação, é correto afirmar que entre as sentenças acima, apenas uma delas não é uma proposição.</p><p>02 – STJ (CESPE 2008-adaptada) A lógica formal representa as afirmações que os indivíduos fazem em</p><p>linguagem do cotidiano para apresentar fatos e se comunicar. Uma proposição é uma sentença que pode ser</p><p>julgada como verdadeira (V) ou falsa (F) (embora não se exija que o julgador seja capaz de decidir qual é a</p><p>alternativa válida).</p><p>( ) Nas sentenças abaixo, apenas A e D são proposições.</p><p>A: 12 é menor que 6.</p><p>28</p><p>B: Para qual time você torce?</p><p>C: x + 3 > 10.</p><p>D: Existe vida após a morte.</p><p>GABARITO: 1 E 2 C</p><p>SÍMBOLOS UTILIZADOS NA LÓGICA MATEMÁTICA</p><p>Símbolo Significado Símbolo Significado</p><p>~ não  Pertence</p><p>/\ e  Não pertence</p><p>V ou  União</p><p>→ se ..., então...  intersecção</p><p>↔</p><p>se e somente</p><p>se</p><p> Contém</p><p>| tal que  Está contido</p><p> implica = Igual</p><p> equivalente  Diferente</p><p> existe, algum </p><p>qualquer que</p><p>seja, todo</p><p> |</p><p>existe um e</p><p>somente um</p><p>≤</p><p>Menor ou igual</p><p>que</p><p>≥</p><p>Maior ou igual</p><p>que</p><p>≡ congruente</p><p>> Maior que < Menor que</p><p>OS CONECTIVOS LÓGICOS NA LINGUAGEM DA LÓGICA FORMAL</p><p>Nas provas de concursos é de suma importância conhecer os significados dos símbolos, os conectivos</p><p>lógicos e suas linguagens , bem como os termos atuais que estão sendo utilizados, então neste momento</p><p>iremos nos deter à “linguagem da lógica formal”. Vamos lá...</p><p>Exemplos de proposições compostas:</p><p>P: José é irmão de Maria e André é irmão de João</p><p>Q: André é dedicado nos estudos ou José pratica esporte.</p><p>R: Se o professor Josimar Padilha é rigoroso , então seus alunos gostam de lógica.</p><p>S: Josias era um homem admirado se, e somente se, gostava muito da sua família .</p><p>29</p><p>Conectivos</p><p>Operadores</p><p>Símbolos Significados</p><p>CONJUNÇÃO /\ “e “ / “mas”</p><p>DISJUNÇÃO</p><p>INCLUSIVA</p><p>V “ou”</p><p>DISJUNÇÃO</p><p>EXCLUSIVA</p><p>V ◊ “ou...ou...”</p><p>CONDICIONAL → “Se...então..”/ “Quando”</p><p>BICONDICIONAL ↔ “ Se , e somente se”</p><p>APLICAÇÃO: QUESTÃO DE CONCURSO COMENTADA</p><p>( CESPE-2008) Uma proposição é uma afirmação que pode ser julgada como verdadeira — V —, ou falsa</p><p>— F —, mas não como ambas. Uma proposição é denominada simples quando não contém nenhuma outra</p><p>proposição como parte de si mesma, e é denominada composta quando for formada pela combinação de</p><p>duas ou mais proposições simples. De acordo com as informações contidas no texto, julgue os itens a seguir.</p><p>1 A frase “Você sabe que horas são?” é uma proposição.</p><p>2 A frase “Se o mercúrio é mais leve que a água, então o planeta Terra é azul”, não é considerada uma</p><p>proposição composta.</p><p>Comentário :</p><p>Item 1- A frase “Você sabe que horas são?” trata-se de uma sentença interrogativa, logo as sentenças</p><p>interrogativas não são proposições, pois as mesmas não podem ser valoradas. Logo o item está incorreto.</p><p>Item 2 – As proposições compostas são aquelas que expressam mais de um pensamento completo, sendo</p><p>assim, os conectivos lógicos são utilizados para criar novas proposições, ou até mesmo modificá-las.</p><p>Tomando a seguinte sentença: “Se o mercúrio é mais leve que a água, então o planeta Terra é azul”,temos</p><p>duas idéias conectadas por um conectivo condicional “ Se,...então,...”. Logo o item está incorreto.</p><p>IMPORTANTE !!!</p><p>É obvia a necessidade de usar parênteses na simbolização das proposições, que devem ser colocados a</p><p>evitar qualquer tipo de ambigüidade.</p><p>A “ordem de precedência” para os conectivos é:</p><p>1- Negação; 2- conjunção e disjunção; 3- condicional; 4 – bicondicional.</p><p>Portanto, o conectivo mais “fraco” é a negação e o mais “forte” é o bicondicional.</p><p>30</p><p>MOMENTO DE TREINAMENTO</p><p>LINGUAGEM DA LÓGICA FORMAL</p><p>Dadas a proposições:</p><p>p: Estudo lógica.</p><p>q: Passo em concurso público.</p><p>r: Estudo com dedicação.</p><p>Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições:</p><p>a)  p</p><p>b) p  q</p><p>c) p  q</p><p>d) q ↔ p</p><p>e) p → r</p><p>f) p ↔ q</p><p>g) ~r ~q</p><p>h) ( r q ) → p</p><p>i) ~( p  ~q) → p</p><p>01) (CESPE/TCU-2004) ADAPTADA - Considere que as letras P,Q e R representam proposições e os</p><p>símbolos ,  e → são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e e então,</p><p>respectivamente. Na lógica proposicional que trata da expressão do raciocínio por meio de proposições que</p><p>são avaliadas(valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nunca ambos, esses operadores estão</p><p>definidos, para cada valoração atribuída às letras proposicionais na tabela abaixo.</p><p>a) A sentença Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia pode ser</p><p>corretamente representada por  P → (R  Q).</p><p>b) A sentença Hoje choveu e José não foi à praia pode ser corretamente representada por P Q.</p><p>02) (CESPE-2006) Considere que P, Q, R e S representem proposições e que os símbolos , ,  e </p><p>sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam “não”, “e”, “ou” e “então”,</p><p>respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor — verdadeiro (V) ou falso</p><p>(F). Considere, ainda, que P, Q, R e S representem as sentenças listadas abaixo.</p><p>P: O homem precisa de limites.</p><p>Q: A justiça deve ser severa.</p><p>R: A repressão ao crime é importante.</p><p>S: A liberdade é fundamental.</p><p>Com base nessas informações, julgue os itens.</p><p>a) A sentença “A liberdade é fundamental, mas o homem precisa de limites”, pode ser corretamente</p><p>31</p><p>representada por P  ~S.</p><p>b) A sentença “A repressão ao crime é importante, se a justiça deve ser severa”. Pode ser corretamente</p><p>representada por R → Q.</p><p>c) A sentença “Se a justiça não deve ser severa nem a liberdade fundamental, então a repressão ao crime</p><p>não é importante”, pode ser corretamente representada por (~Q)  (~S) → ~R..</p><p>d) A sentença “Ou o homem não precisa de limites e a repressão ao crime não é importante, ou a justiça</p><p>deve ser severa”, pode ser corretamente representada por ((~P)  (~R))  Q.</p><p>e) A sentença “Se a justiça deve ser severa, então o homem precisa de limites” pode ser corretamente</p><p>representada por Q → P.</p><p>03) (CESPE-2006) Uma proposição pode ter valoração verdadeira (V) ou falsa (F). Os caracteres ¬,  e </p><p>que simbolizam “não”, “ou” e “e”, respectivamente, são usados para formar novas proposições. Por exemplo,</p><p>se P e Q são proposições, então PQ, PQ e ¬P também são proposições. Considere as proposições</p><p>seguir.</p><p>A: as despesas foram previstas no orçamento</p><p>B: os gastos públicos aumentaram</p><p>C: os funcionários públicos são sujeitos ao Regime Jurídico Único</p><p>D: a lei é igual para todos.</p><p>A partir dessas informações, julgue os itens subseqüentes.</p><p>a) A proposição “Ou os gastos públicos aumentaram ou as despesas não foram previstas no</p><p>orçamento” está corretamente simbolizada por (B)(¬A).</p><p>b) A(C(¬B)) simboliza corretamente a proposição “As despesas foram previstas no orçamento e, ou</p><p>os funcionários públicos são sujeitos ao Regime Jurídico Único ou os gastos públicos não aumentaram.”</p><p>c) A proposição “Não é verdade que os funcionários públicos são sujeitos ao Regime Jurídico Único</p><p>nem que os gastos públicos aumentaram” está corretamente simbolizada pela forma (¬C)(¬B).</p><p>04) (CESPE/PF-2004 Adaptada) Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os</p><p>símbolos , ,  e  sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e</p><p>então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade),</p><p>que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos.</p><p>Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir.</p><p>Considere as sentenças abaixo.</p><p>I Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam.</p><p>II Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde.</p><p>III Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido.</p><p>IV Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve ser</p><p>proibido.</p><p>V Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido;</p><p>conseqüentemente, muitos europeus fumam.</p><p>Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir.</p><p>P Fumar deve ser proibido.</p><p>Q Fumar deve ser</p><p>32</p><p>encorajado.</p><p>R</p><p>Fumar não faz bem à</p><p>saúde.</p><p>T Muitos europeus fumam.</p><p>Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens seguintes.</p><p>1 A sentença I pode ser corretamente representada por P  (T).</p><p>2 A sentença II pode ser corretamente representada por ( P)  ( R).</p><p>3 A sentença III pode ser corretamente representada por R  P.</p><p>4 A sentença IV pode ser corretamente representada por (R  ( T))  P.</p><p>5 A sentença V pode ser corretamente representada por T  ((¬ R)  (¬ P)).</p><p>05) (CESPE/TSE-2007) Na análise de um argumento, pode-se evitar considerações subjetivas, por meio da</p><p>reescrita das proposições envolvidas na linguagem da lógica formal. Considere que P, Q, R e S sejam</p><p>proposições e que “”, “”, “” e “” sejam os conectores lógicos que representam, respectivamente “e”,</p><p>“ou”, “negação” e o “conector condicional”. Considere também a proposição a seguir.</p><p>“Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus ou de metrô, ele sempre leva um guarda-chuva e também dinheiro</p><p>trocado”</p><p>Assinale a opção que expressa corretamente a proposição acima em linguagem da lógica formal, assumindo</p><p>que</p><p>P= “Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus”,</p><p>Q= “Quando Paulo vai ao trabalho de metrô”,</p><p>R= “ ele sempre leva um guarda-chuva” e</p><p>S= “ele sempre leva dinheiro trocado”.</p><p>a) P  (Q  R) c) (P  Q)  (R  S)</p><p>b) (PQ)  R d) P  (Q  (R  S)).</p><p>06) CESPE 2007 BANCO DO BRASIL</p><p>Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças:</p><p>(I) O BB foi criado em 1980.</p><p>(II) Faça seu trabalho corretamente.</p><p>(III) Manuela tem mais de 40 anos de idade.</p><p>07) CESPE 2008 ANALISTA JUDICIÁRIO - STF</p><p>Considere as seguintes proposições lógicas representadas pelas letras P, Q, R e S:</p><p>P: Nesse país o direito é respeitado.</p><p>Q: O país é próspero.</p><p>R: O cidadão se sente seguro.</p><p>S: Todos os trabalhadores têm emprego.</p><p>Considere também que os símbolos “V”, “^”, “” e “¬” representem os conectivos lógicos “ou”, “e”, “se ...</p><p>então” e “não”, respectivamente. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.</p><p>1. A proposição “Nesse país o direito é respeitado, mas o cidadão não se sente seguro” pode ser</p><p>representada simbolicamente por P^(¬R).</p><p>33</p><p>2. A proposição “Se o país é próspero, então todos os trabalhadores têm emprego” pode ser representada</p><p>simbolicamente por QS.</p><p>3. A proposição “O país ser próspero e todos os trabalhadores terem emprego é uma conseqüência de,</p><p>nesse país, o direito ser respeitado” pode ser representada simbolicamente por (Q^R)P.</p><p>GABARITO</p><p>TREINAMENTO : 01-CC</p><p>a) não estudo lógica 02-EECEC</p><p>b) estudo lógica e passo em concurso público 03-EEC</p><p>c)estudo lógica ou passo em concurso público 04-ECCCE</p><p>d) passo em concurso público se e somente se estudo lógica 05-C</p><p>e) se estudo lógica então estudo com dedicação 06-C</p><p>f) estudo lógica se e somente se não passo em concurso público 07- CCE</p><p>g) não estudo com dedicação e não passo em concurso público</p><p>h) se estudo com dedicação ou não passo em concurso público, então estudo</p><p>lógica.</p><p>i) se é falso que estudo lógica e não passo em concurso público, então passo</p><p>em concurso público</p><p>CONSTRUÇÃO DE UMA TABELA VERDADE</p><p>Se uma proposição composta é formada por n variáveis proposicionais, a sua tabela verdade</p><p>possuirá 2n linhas.</p><p>Nº de linhas = 2n Proposições</p><p>EXEMPLO 01:</p><p>Quantas linhas possuem a tabela</p><p>verdade da proposição composta (P /\ Q)?</p><p>SOLUÇÃO:</p><p>O número de proposições simples, variáveis proposicionais, é igual a 2, ou seja, n = 2, então N° de</p><p>linhas= 2 2= 4 linhas.Veja:</p><p>P Q (P /\ Q)</p><p>V V V</p><p>V F F</p><p>F V F</p><p>F F F</p><p>EXEMPLO 02:</p><p>Quantas linhas possuem a tabela verdade da proposição composta (P/\Q) v R?</p><p>SOLUÇÃO:</p><p>34</p><p>O número de proposições simples, variáveis proposicionais, é igual a 3, ou seja, n = 3, então N° de</p><p>linhas= 2 3= 8 linhas.Veja:</p><p>P Q R (P /\ Q) (P /\ Q) v R</p><p>V V V V V</p><p>V V F F V</p><p>V F V F V</p><p>F V V F V</p><p>V F F F F</p><p>F V F F V</p><p>F F V F V</p><p>F F F F F</p><p>NÚMERO DE VALORAÇÕES DISTINTAS</p><p>O número de valorações distintas que podem ser obtidas para proposições com n variáveis</p><p>proposicionais é igual a 2n de Linhas.</p><p>Nº. de valorações = 2n de Linhas.</p><p>Exemplo:</p><p>Qual o número de valorações distintas que podem ser obtidas para proposições com exatamente</p><p>duas variáveis proposicionais?</p><p>SOLUÇÃO:</p><p>O número de proposições simples, variáveis proposicionais, é igual a 2, ou seja, n = 2, então temos 2 2=</p><p>4 linhas, então podem ser obtidas 24 = 16 valorações distintas.</p><p>APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS</p><p>01(CESPE TCU 2004- ADAPTADA)</p><p>Considere que as letras P, Q e R representam proposições e os símbolos ¬ e → são operadores lógicos que</p><p>constroem novas proposições e significam não, e, e então, respectivamente. Na lógica proposicional que</p><p>trata da expressão do raciocínio por meio de proposições que são avaliadas (valoradas) como verdadeiras</p><p>(V) ou falsas (F), mas nunca ambos.</p><p>Com base nessas informações e no texto, julgue o item seguinte.</p><p>1. O número de valorações possíveis para (Q /\ ¬R) ¬ P é inferior a 9.</p><p>Comentário :</p><p>Como já visto o número de tabelas de valorações distintas (valorações possíveis) que podem ser obtidas</p><p>para proposições com n variáveis proposicionais é igual a 2n, logo temos: 23 = 8. Sendo assim temos que 8 é</p><p>inferior a 9 . O item está correto.</p><p>02 (CESPE TRT 5ª REGIÃO 2008)</p><p>- Se A, B, C e D forem proposições simples e distintas, então o número de linhas da tabela-verdade da</p><p>proposição (AB) ↔ (CD) será superior a 15.</p><p>Comentário :</p><p>35</p><p>Como já visto o número de tabelas de valorações distintas (valorações possíveis) que podem ser obtidas</p><p>para proposições com n variáveis proposicionais é igual a 2n, logo temos: 24 = 16. Sendo assim temos que</p><p>16 é superior 15 . O item está correto.</p><p>CONECTIVOS OU OPERADORES LÓGICOS</p><p>01 - DISJUNÇÃO INCLUSIVA</p><p>A disjunção inclusiva é a proposição composta formada por duas proposições simples que estejam ligadas</p><p>(operadas) pelo conectivo “ou”.</p><p>O operador “ou” tem o sentido de “um ou outro, possivelmente ambos”.</p><p>O operador “ou” em operações de conjuntos dá idéia de União e uma idéia de Soma.</p><p>02- DISJUNÇÃO EXCLUSIVA</p><p>Denomina-se disjunção exclusiva a proposição composta formada por duas proposições simples que</p><p>estejam ligadas (operadas) pelo conectivo “ou...ou...”</p><p>Tabela Verdade</p><p>R S R v S</p><p>V V F</p><p>V F V</p><p>F V V</p><p>F F F</p><p>O operador “ou...ou...” tem o sentido de “um ou outro e não ambos”.</p><p>O operador “ou..ou...” em operações de conjuntos dá idéia de União dos exclusivos e uma idéia da</p><p>Soma dos exclusivos.</p><p>Quando se utilizar o “ou” no sentido exclusivo é comum adicionar no final a expressão: “ mas não os dois “.</p><p>Tabela Verdade</p><p>P Q P v Q</p><p>V V V</p><p>V F V</p><p>F V V</p><p>F F F</p><p>36</p><p>APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS</p><p>1) (ESAF) De três irmãos - José, Adriano e Caio. Sabe-se que ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais</p><p>moço. Sabe-se também que, ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais velho. Então, o mais velho e o mais</p><p>moço dos três irmãos são, respectivamente:</p><p>A) Caio e José</p><p>B) Caio e Adriano</p><p>C) Adrianoe Caio</p><p>D) Adrianoe José</p><p>E) José e Adriano</p><p>Comentário :</p><p>Aplicando mão da dica acima temos que todas as proposições “premissas” são verdadeiras , logo</p><p>iremos valorá-las com “V” e aplicando a tabela verdade do conectivo utilizado na proposição iremos</p><p>valorando as proposições simples que compõem as premissas P1e P2.</p><p>P1: ou José é o mais velho ou Adriano é o mais moço  V</p><p>P2: ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais velho .  V</p><p>Para que os resultados das premissas (P1e P2) sejam verdadeiros temos que valorar as proposições</p><p>simples sublinhadas de acordo com a tabela-verdade da disjunção exclusiva. Então teremos:</p><p>F V</p><p>P1: ou José é o mais velho ou Adriano é o mais moço  V</p><p>F V</p><p>P2: ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais velho .  V</p><p>Logo, “ Conclusão (o mais velho é Caio e o mais moço é Adrinano ) ”  V</p><p>MOMENTO DE TREINAMENTO</p><p>Conectivos: Disjunção e disjunção exclusiva</p><p>01) (ESAF) Maria tem três carros: um gol, um corsa e um fiesta. Um dos carros é branco, o outro é preto, e o</p><p>outro é azul. Sabe-se que: 1) ou gol é branco, ou o fiesta é branco, 2) ou o gol é preto, ou o corsa é azul, 3)</p><p>ou o fiesta é azul, ou o corsa é azul, 4) ou o corsa é preto, ou o fiesta é preto.</p><p>Portanto, as cores do gol, corsa e do fiesta são, respectivamente:</p><p>A) Branco, preto, azul;</p><p>37</p><p>B) Preto, azul, branco;</p><p>C) Azul, branco, preto;</p><p>D) Preto, branco, azul;</p><p>E) Branco, azul, preto.</p><p>02) (MPU/2004) Ricardo, Rogério e Renato são irmãos. Um deles é médico, outro é professor, e o outro é</p><p>músico. Sabe-se que: 1) ou Ricardo é médico, ou Renato é médico, 2) ou Ricardo é professor, ou Rogério é</p><p>músico; 3) ou Renato é músico, ou Rogério é músico, 4) ou Rogério é J'professor, ou Renato é professor.</p><p>Portanto, as profissões de Ricardo, Rogério e Renato são, respectivamente,</p><p>A) Professor, médico, músico.</p><p>B) Médico, professor, músico.</p><p>C) Professor, músico, médico.</p><p>D) Músico, médico, professor.</p><p>E) Médico, músico, professor.</p><p>03) (ANEEL-2004/ESAF) Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo. Ora, não velejo. Assim,</p><p>A) estudo e fumo.</p><p>B) não fumo e surfo.</p><p>C) não velejo e não fumo.</p><p>D) estudo e não fumo.</p><p>E) fumo e surfo.</p><p>04) (CESPE-2007) Circuitos lógicos são estruturas que podem ser exibidas por meio de diagramas</p><p>constituídos de componentes denominados portas lógicas. Um circuito lógico recebe um ou mais de um valor</p><p>lógico na entrada e produz exatamente um valor lógico na saída. Esses valores lógicos são representados</p><p>por 0 ou 1. As portas lógicas OU e N (não) são definidas pelos diagramas abaixo.</p><p>Nesses diagramas, A e B representam os valores lógicos de entrada e S, o valor lógico da saída. Em OU, o</p><p>valor de S é 0 quando A e B são ambos 0, caso contrário, é 1. Em N, o valor de S é 0 quando A for 1, e é 1</p><p>quando A for 0. Considere o seguinte diagrama de circuito lógico.</p><p>Com base nas definições apresentadas e no circuito ilustrado acima, julgue os itens subseqüentes.</p><p>1 Considere-se que A tenha valor lógico 1 e B tenha valor lógico 0. Nesse caso, o valor lógico de S será 0.</p><p>2 A saída no ponto Q terá valor lógico 1 quando A tiver valor lógico 0 e B tiver valor lógico 1.</p><p>05 (CESPE-2007) Os símbolos que conectam duas proposições são denominados conectivos. Considere a</p><p>proposição definida simbolicamente por AB, que é F quando A e B são ambos V ou ambos F, caso contrário</p><p>38</p><p>é V. O conectivo  é denominado “ou exclusivo” porque é V se, e somente se, A e B possuírem valorações</p><p>distintas. Com base nessas informações e no texto II, julgue os itens que se seguem.</p><p>1. A proposição “João nasceu durante o dia ou João nasceu durante a noite” não tem valor</p><p>lógico V.</p><p>06- (CGU-2008) Sou amiga de Abel ou sou amiga de Oscar. Sou amiga de Nara ou não</p><p>sou amiga de Abel. Sou amiga de Clara ou não sou amiga de Oscar.</p><p>Ora, não sou amiga de</p><p>Clara. Assim,</p><p>a) não sou amiga de Nara e sou amiga de Abel.</p><p>b) não sou amiga de Clara e não sou amiga de Nara.</p><p>c) sou amiga de Nara e amiga de Abel.</p><p>d) sou amiga de Oscar e amiga de Nara.</p><p>e) sou amiga de Oscar e não sou amiga de Clara.</p><p>III-CONJUNÇÃO</p><p>Denomina-se conjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam</p><p>ligadas (operadas) pelo conectivo "e".</p><p>Exemplo:</p><p>T: José trabalha no Tribunal. (1º Conjuntivo)</p><p>U: José mora em Brasília. (2º Conjuntivo)</p><p>I E</p><p>Tabela Verdade</p><p>I E I /\ E</p><p>V V V</p><p>V F F</p><p>F V F</p><p>F F F</p><p>Concluindo...</p><p>O operador “e” tem o sentido de “ ambos”, “simultaneidade”, “ao mesmo tempo” .</p><p>O operador “e” em operações de conjuntos dá idéia de “Intersecção” e uma idéia de</p><p>“multiplicação”.</p><p>APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS</p><p>01( FUNIVERSA-POLÍCIA CIVIL-DF 2008) Os valores lógicos – verdadeiro e falso – podem constituir uma</p><p>álgebra própria, conhecida como álgebra booleana. As operações com esses valores podem ser</p><p>representadas em tabelas-verdade, como exemplificado abaixo:</p><p>A B A e B</p><p>falso falso falso</p><p>falso verdadeiro falso</p><p>GABARITO</p><p>01 E</p><p>02 E</p><p>03 E</p><p>04 EC</p><p>05 E</p><p>06 C</p><p>39</p><p>verdadeiro falso falso</p><p>verdadeiro verdadeiro verdadeiro</p><p>As operações podem ter diversos níveis de complexidade e também diversas tabelas-verdade.</p><p>Analise as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta.</p><p>I- Se os valores lógicos de A, B e C na expressão ( A e B e C), são, respectivamente, falso, falso e</p><p>verdadeiro, então o valor lógico dessa expressão é falso.</p><p>II- Se os valores lógicos de A, B e C na expressão ( A ou B ou C), são, respectivamente, falso, verdadeiro</p><p>e falso, então o valor lógico dessa expressão é verdadeiro.</p><p>III- Se os valores lógicos de A, B e C na expressão [ A e (B ou C)], são, respectivamente, falso, verdadeiro</p><p>e verdadeiro, então o valor lógico dessa expressão é verdadeiro.</p><p>IV- Se os valores lógicos de A, B e C na expressão [ A ou (B e C)], são, respectivamente, verdadeiro, falso</p><p>e falso, então o valor lógico dessa expressão é falso</p><p>a) Todas as afirmativas estão erradas.</p><p>b) Há apenas uma afirmativa certa.</p><p>c) Há apenas duas afirmativas certas.</p><p>d) Há apenas três afirmativas certas.</p><p>e) Todas as afirmativas estão certas.</p><p>Comentário: Esta questão trata-se apenas da aplicação da tabela verdade.</p><p>O item I - A ^B ^C  F ^F ^ V = F ( certo o item )</p><p>O item II – A v B v C F v V v F = V ( certo o item )</p><p>O item III - [ A ^ (B V C)]  [ F ^ ( V v V )] = F ( errado o item )</p><p>O item IV – [ A ou (B e C)]  [ V v (F ^ F)] = V ( errado o item)</p><p>RESPOSTA “C”</p><p>02) (CESPE-2008)</p><p>Uma proposição é uma frase afirmativa que pode ser julgada como verdadeira ou falsa. Um argumento é</p><p>considerado válido se, sendo sua hipótese verdadeira, a sua conclusão também é verdadeira. Considerando</p><p>essas informações e a figura acima, em que estão colocadas algumas figuras geométricas conhecidas —</p><p>quadrados, triângulos e pentágonos (5 lados) — dispostas em uma grade, julgue os itens seguintes.</p><p>1 A afirmativa Existe um pentágono grande e todos os triângulos são pequenos é uma proposição falsa.</p><p>Comentário: Analisando a grade temos:</p><p>40</p><p>Existe um pentágono grande e todos os triângulos são pequenos.</p><p>V/F(?) ^ F = F</p><p>Sendo a primeira proposição “Existe um pentágono grande” verdadeiro ou falso(?), pois segundo a</p><p>grade temos apenas um tamanho de pentágono, o que não nos permite afirmar com certeza que ele é</p><p>pequeno ou grande( uma sentença aberta – não valorada- não há referencial) a segunda proposição “todos</p><p>os triângulos são pequenos” falsa, pois segundo a grade temos triângulos grandes. Logo pela conjunção</p><p>temos um resultado falso, pois se uma proposição é falsa, o resultado já é falso. O item está correto por</p><p>afirmar que a proposição é falsa.</p><p>IV-CONDICIONAL</p><p>Denomina-se condicional a proposição composta formada por duas proposições que estejam</p><p>ligadas( operadas) pelo conectivo “Se..., então...”/ “Quando”.</p><p>A noção de conjunto fornece uma interpretação concreta para algumas idéias de natureza lógica que</p><p>são fundamentais para a Matemática e o desenvolvimento do raciocínio. Por exemplo, a implicação lógica</p><p>denotada por A  B pode ser interpretada como uma inclusão entre conjuntos, ou seja, como A  B, em que</p><p>A é o conjunto cujos objetos cumprem a condição a, e b é o conjunto cujos objetos cumprem a condição b.</p><p>A B A  B</p><p>V V V</p><p>V F F</p><p>F V V</p><p>F F V</p><p>Em uma proposição condicional não existe a possibilidade de termos a primeira verdadeira e a</p><p>segunda falsa, então se sabemos que a primeira é verdadeira, a segunda, por dedução, deverá ser</p><p>considerada verdadeira e se sabemos que a segunda é falsa a primeira deverá ser considerada falsa.</p><p>Note também que: se sabemos que a primeira é falsa, não temos como deduzir o valor-lógico da</p><p>segunda, e, se sabemos que a segunda é verdadeira não temos como deduzir o valor-lógico da primeira.</p><p>Veja:</p><p>A B</p><p>Antecedente Conseqüente</p><p>Em uma proposição condicional temos as seguintes condições:</p><p>X</p><p>Antecedentes Conseqüentes</p><p>Y</p><p>X= Condicional suficiente</p><p>Y= Condicional Necessária</p><p>Ex: Se o dia estiver claro, estão José vai ao comércio.</p><p>41</p><p>Temos que:</p><p>O dia estar claro é condição suficiente para José ir ao comércio.</p><p>ou</p><p>José ir ao comércio é condição necessária para o dia estar claro</p><p>APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS</p><p>01) (ESAF) Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho não canta.</p><p>Ora, o passarinho canta. Logo:</p><p>A) O jardim é florido e o gato mia;</p><p>B) O jardim é florido e o gato não mia;</p><p>C) O jardim não é florido e o gato mia;</p><p>D) O jardim não é florido e o gato não mia;</p><p>E) Se o passarinho canta então o gato não mia</p><p>Comentário :</p><p>Partindo do princípio de que todas as premissas são verdadeiras temos:</p><p>P1: O jardim não é florido  O gato mia</p><p>O Operador “Se...então...” dá idéia de inclusão de dois conjuntos, em que, p→ q </p><p>pq</p><p>Uma observação muito importante para o conectivo condicional é que o mesmo não</p><p>pode (comutar) a tabela verdade ostra isto claramente nas linhas 2 e 3, em que os</p><p>resultados são diferentes.</p><p>V V V</p><p>V F F</p><p>F V V</p><p>F F V</p><p>Uma outra demonstração é por meio dos diagramas, onde temos: p → q</p><p></p><p>V</p><p>F</p><p>V</p><p>F</p><p>(V)</p><p>(V)</p><p>42</p><p>P2: O jardim é florido  o passarinho não canta</p><p>P3: O passarinho canta</p><p>Partindo da premissa p3 como (V) temos as seguintes valorações para as demais proposições simples, de</p><p>acordo com a tabela verdade da condicional analisando as respostas:</p><p>a) o jardim é florido e o gato mia.</p><p>F /\ V = F</p><p>b) o jardim é florido e o gato não mia.</p><p>F /\ F = F</p><p>c) o jardim não é florido e o gato mia.</p><p>V /\ V = V</p><p>d) o jardim não é florido e o gato não mia.</p><p>V /\ F = F</p><p>e) Se o passarinho canta então o gato não mia.</p><p>V → F = F</p><p>Logo temos que a sentença “C” é verdadeira.</p><p>Obs: você percebeu que tivemos que analisar cada uma das opções para encontrar o item verdadeiro.</p><p>03) (CESPE-2008)</p><p>Uma proposição é uma frase afirmativa que pode ser julgada como verdadeira ou falsa. Um argumento é</p><p>considerado válido se, sendo sua hipótese verdadeira, a sua conclusão também é verdadeira. Considerando</p><p>essas informações</p><p>e a figura acima, em que estão colocadas algumas figuras geométricas conhecidas —</p><p>quadrados, triângulos e pentágonos (5 lados) — dispostas em uma grade, julgue o item seguinte.</p><p>1 A proposição Se A é um triângulo pequeno, então A está atrás de C é verdadeira.</p><p>Comentário:</p><p>A proposição composta: “A é um triângulo pequeno  A está atrás de C” será valorada pela grade</p><p>acima apresentada . Então:</p><p>(verdade) (falsa)</p><p>A é um triângulo pequeno  A está atrás de C  V  F = F (falso)</p><p>Item errado.</p><p>(V)</p><p>43</p><p>MOMENTO DE TREINAMENTO</p><p>(Conectivos: Disjunção, disjunção exclusiva, conjunção e condicional)</p><p>01) (ESAF) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então Carla fica</p><p>em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não briga com Carla, logo:</p><p>A) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória</p><p>B) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema.</p><p>C) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema.</p><p>D) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória.</p><p>E) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória.</p><p>02) (ESAF) Se não durmo, bebo. Se estiver furioso, durmo. Se dormir, não estou furioso. Se não estou</p><p>furioso, não bebo. Logo:</p><p>A) Não durmo, estou furioso e não bebo.</p><p>B) Durmo, estou furioso e não bebo.</p><p>C) Não durmo, estou furioso e bebo.</p><p>D) Durmo, não estou furioso e não bebo.</p><p>E) Não durmo, não estou furioso e bebo.</p><p>03) (ESAF) Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mordomo. Sabe-se que o crime foi</p><p>efetivamente cometido por um ou por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente ou não.</p><p>Sabe-se, ainda, que:</p><p>I. Se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada;</p><p>II. Ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada, mas não os dois;</p><p>III. O mordomo não é inocente.</p><p>Logo:</p><p>A) A governanta e o mordomo são os culpados.</p><p>B) Cozinheiro e o mordomo são os culpados.</p><p>C) Somente a governanta é culpada.</p><p>D) Somente o cozinheiro é inocente.</p><p>E) Somente o mordomo é culpado.</p><p>04) (ESAF) José quer ir ao cinema assistir ao filme "Fogo contra fogo", mas não tem certeza se o mesmo</p><p>está sendo exibido. Seus amigos, Maria, Luís, e Júlio têm opiniões discordantes sobre se o filme está em</p><p>cartaz ou não. Se Maria estiver certa, então Júlio está enganado. Se Júlio estiver enganado, então Luís está</p><p>enganado. Se Luís estiver enganado então o filme não está sendo exibido. Ora. Ou o filme "Fogo contra</p><p>fogo" está sendo exibido, ou José não irá ao cinema. Verificou-se que Maria está certa. Logo:</p><p>A) Filme "fogo contra fogo" está sendo exibido.</p><p>B) Luís e Júlio não estão enganados.</p><p>C) Júlio está enganado, mas não Luís.</p><p>D) Luís está enganado, mas não Júlio.</p><p>E) José não irá ao cinema.</p><p>05) (AFC) Ou lógica é fácil, ou Arthur não gosta de Lógica. Por outro lado, se Geografia não é difícil, então</p><p>Lógica é difícil. Daí segue-se que, se Arthur gosta de Lógica, então:</p><p>A) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil.</p><p>B) Lógica é fácil e Geografia é difícil.</p><p>C) Lógica é fácil e Geografia é fácil.</p><p>D) Lógica é difícil e Geografia é difícil.</p><p>E) Lógica é difícil ou Geografia é fácil.</p><p>44</p><p>06) (ESAF) Ou Celso compra um carro, ou Ana vai à África, ou Rui vai a Roma. Se Ana vai à África, então</p><p>Luís compra um livro. Se Luís compra um livro, então Rui vai a Roma. Ora Rui não vaia Roma, logo:</p><p>A) Celso compra um carro e Ana não vai à África;</p><p>B) Celso não compra um carro e Luís não compra o livro;</p><p>C) Ana não vai à África e Luís compra um livro;</p><p>D) Ana vai à África ou Luís compra um livro;</p><p>E) Ana vai à África e Rui não vai a Roma.</p><p>07) (ESAF) Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu, Lauro falou a verdade. Se</p><p>Lauro falou a verdade, há um leão feroz nesta sala. Ora, não há um leão feroz nesta sala. Logo:</p><p>A) Nestor e Júlia disseram a verdade.</p><p>B) Nestor e Lauro mentiram.</p><p>C) Raul e Lauro mentiram.</p><p>D) Raul mentiu ou Lauro disse a verdade.</p><p>E) Raul e Júlia mentiram.</p><p>08) (ESAF) Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Júlia têm a mesma idade. Se Maria e Júlia</p><p>têm a mesma idade, então João é mais moço do que Pedro. Se João é mais moço do que Pedro, então</p><p>Carlos é mais velho do que Maria. Ora, Carlos não é mais velho do que Maria. Então:</p><p>A) Carlos não é mais velho do que Júlia, e João é mais moço do que Pedro;</p><p>B) Carlos é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia têm a mesma idade;</p><p>C) Carlos e João são mais moços do que Pedro;</p><p>D) Carlos é mais velho do que Pedro e João é mais moço do que Pedra;</p><p>E) Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia não têm a mesma idade.</p><p>09) (ESAF) Quando não vejo Carlos, não passeio ou fico deprimida. Quando chove, não passeio e fico</p><p>deprimida. Quando não faz calor e passeio, não vejo Carlos. Quando não chove e estou deprimida, não</p><p>passeio. Hoje eu passeio. Portanto, hoje:</p><p>A) vejo Carlos, e não estou deprimida, e chove, e faz calor;</p><p>B) não vejo Carlos, e estou deprimida, e chove, e faz calor;</p><p>C) vejo Carlos, e não estou deprimida, e não chove, e faz calor-;</p><p>D) não vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e não faz calor;</p><p>E) vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e faz calor.</p><p>10) Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos /\, v e  sejam</p><p>operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na</p><p>lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V)</p><p>ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a</p><p>seguir.</p><p>(1) Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição (. P) V (. Q) também é verdadeira.</p><p>(2) Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R  (T) é falsa.</p><p>(3) Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P /\ R)  (Q) é</p><p>verdadeira.</p><p>11) (CESPE- 2004 ) Considere que as letras P, Q e R representam proposições e os símbolos ¬ e → são</p><p>operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, e então, respectivamente. Na</p><p>lógica proposicional que trata da expressão do raciocínio por meio de proposições que são avaliadas</p><p>(valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nunca ambos, esses operadores estão definidos, para</p><p>cada valoração atribuída às letras proposicionais, na tabela abaixo.</p><p>P Q ¬P P /\ Q P → Q</p><p>45</p><p>Suponha que P represente a proposição Hoje choveu, Q represente a proposição José foi à praia e R</p><p>represente a proposição Maria foi ao comércio. Com base nessas informações e no texto, julgue os itens</p><p>seguintes.</p><p>(1) A sentença Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia pode ser</p><p>corretamente representada por ¬P→ (¬R /\ ¬Q).</p><p>(2) A sentença Hoje choveu e José não foi à praia pode ser corretamente representada por P /\ ¬Q.</p><p>(3) Se a proposição Hoje não choveu for valorada como F e a proposição José foi à praia for valorada como</p><p>V, então a sentença representada por ¬P → Q é falsa.</p><p>GABARITO</p><p>01 A 08 E</p><p>02 D 09 C</p><p>03 B 10 EEC</p><p>04 E 11 CCE</p><p>05 B</p><p>06 A</p><p>07 B</p><p>V - BICONDICIONAL</p><p>Denomina-se bicondicional a proposição composta formada por duas proposições que estejam ligadas pelo</p><p>conectivo “se, e somente se”.</p><p>Exemplo:</p><p>A: Gosto de lógica.</p><p>B: Gosto de matemática.</p><p>A proposição bi-condicional ‘A se, e somente se, B' pode ser escrita como:</p><p>A↔ B: Gosto de lógica se, e somente se,Gosto de matemática.</p><p>Quando declaramos que esta proposição bicondicional devemos de</p><p>acordo com os axiomas da Lógica aceitar como verdadeiro que: Se é</p><p>verdade que Gosto de lógica, obrigatoriamente, é verdade que Gosto de</p><p>matemática. Se é verdade que gosto de matemática, obrigatoriamente,</p>