GABARITO_NP1_EQUAÇÕES_DIFERENCIAIS_Mod_A _2018

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<p>1</p><p>CURSO DE ENGENHARIA CICLO BÁSICO</p><p>Instituto de Ciências Exatas e</p><p>Tecnologia</p><p>Campus Flamboyant -</p><p>Goiânia</p><p>Nome do Aluno:</p><p>GABARITO GABARITO</p><p>Assinatura do</p><p>Aluno:</p><p>GABARITO GABARITO</p><p>RA: XXXXXXXXX Turma: XXXXXXXXXXX</p><p>Data: 28/09/2018</p><p>Disciplina: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS</p><p>Professor: MSc. Adailton Castro</p><p>Valor: 100</p><p>Valor Atividades Complementares (AC): 2,0</p><p>Valor Verificação de Aprendizagem (VA): 8,0</p><p>Nota VA:</p><p>Nota AC:</p><p>Total:</p><p>1ª Verificação de Aprendizagem</p><p>Observações:</p><p>✓ Leia a prova atentamente;</p><p>✓ Evite perguntas desnecessárias;</p><p>✓ Avaliação individual e sem consulta;</p><p>✓ A avaliação deve ser respondida utilizando caneta esferográfica de cor preta ou azul;</p><p>✓ Questões a lápis serão corrigidas, porém não serão passíveis de revisão da correção;</p><p>✓ Respostas rasuradas, ilegíveis e/ou borradas não serão consideradas;</p><p>✓ Não é permitida consulta a qualquer tipo de material didático ou mesmo a qualquer colega. Caso</p><p>isto aconteça, a avaliação será cancelada, sendo o(s) aluno(s) passível de punição acadêmica;</p><p>✓ Não será permitido o empréstimo de objetos (lápis, caneta, borracha, calculadora e outros) durante</p><p>a avaliação;</p><p>✓ É expressamente proibido o uso de aparelhos eletroeletrônicos durante a realização da avaliação,</p><p>principalmente celulares. Caso o aluno seja abordado utilizando tal aparelho, o mesmo terá a</p><p>pontuação da avaliação zerada;</p><p>✓ É permitido o uso de calculadora científica não programável.</p><p>✓ Somente será permitida a entrada de alunos para fazer a prova até a saída do primeiro aluno da sala</p><p>ou 15 minutos após o início da mesma. O que ocorrer primeiro;</p><p>✓ Em questões onde haja cálculos necessários, os mesmos deverão ser demonstrados;</p><p>✓ Cada questão apresentará seu valor relativo no enunciado da mesma;</p><p>✓ Desligue o celular e observe o tempo disponível para resolução.</p><p>✓ Tempo máximo de prova: 75 minutos;</p><p>✓ Coloque NOME, RA e TURMA;</p><p>✓ Boa Prova.</p><p>2</p><p>Questão 01 (Valor: 2,0)</p><p>Verifique se a função dada é solução para a equação diferencial.</p><p>a) [Valor: 1,0]</p><p>𝑑²𝑆</p><p>𝑑𝑡²</p><p>−</p><p>𝑑𝑠</p><p>𝑑𝑡</p><p>− 6𝑠 = 0 𝑦 = 𝐶1 + 2𝑥 + 𝑐²𝑥²</p><p>Item (a) anulado, pois a função dada está incorreta. Assim, o item (b) passa a ter valor de 2,0 pontos.</p><p>b) [Valor: 1,0] 𝑦′′ + 2𝑦′ + 𝑦 = 0 𝑦 = 2𝑒−𝑥 + 𝑥𝑒−𝑥</p><p>Derivando a função 𝑦 = 2𝑒−𝑥 + 𝑥𝑒−𝑥 (1) temos:</p><p>𝑦′ = −𝑒−𝑥 − 𝑥 ∙ 𝑒−𝑥</p><p>𝑦′′ = 𝑥 ∙ 𝑒−𝑥 (2)</p><p>Substituindo (1) e (2) na equação diferencial 𝑦′′ + 2𝑦′ + 𝑦 = 0;</p><p>𝑥 ∙ 𝑒−𝑥 + 2 ∙ (−𝑒−𝑥 − 𝑥 ∙ 𝑒−𝑥) + 2𝑒−𝑥 + 𝑥𝑒−𝑥 = 0</p><p>𝑥𝑒−𝑥 − 2𝑒−𝑥 − 2𝑥 ∙ 𝑒−𝑥 + 2𝑒−𝑥 + 𝑥𝑒−𝑥 = 0</p><p>0 = 0</p><p>A função 𝒚 = 𝟐𝒆−𝒙 + 𝒙𝒆−𝒙 é solução da equação diferencial 𝒚′′ + 𝟐𝒚′ + 𝒚 = 𝟎</p><p>3</p><p>Questão 02 (Valor: 2,0)</p><p>Ache a solução particular em cada uma das equações diferenciais dadas.</p><p>a) [Valor: 1,0]</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>=</p><p>𝑥²</p><p>𝑦³</p><p>𝑦(1) = 3</p><p>𝑦3 ∙ 𝑑𝑦 = 𝑥2 ∙ 𝑑𝑥</p><p>∫ 𝑦3𝑑 ∙ 𝑦 = ∫ 𝑥2 ∙ 𝑑𝑥</p><p>𝑦4</p><p>4</p><p>=</p><p>𝑥3</p><p>3</p><p>+ 𝐶</p><p>PVI</p><p>3 ∙ 𝑦4 − 4 ∙ 𝑥3 = 𝐶</p><p>Solução é</p><p>3 ∙ (3)4 − 4 ∙ (1)3 = 𝐶</p><p>𝐶 = 243 − 4</p><p>𝐶 = 239</p><p>𝟑 ∙ 𝒚𝟒 − 𝟒 ∙ 𝒙𝟑 = 𝟐𝟑𝟗</p><p>b) [Valor: 1,0] 𝑥𝑦𝑑𝑥 − √1 + 𝑥2𝑑𝑦 = 0 𝑦(0) = 𝑒</p><p>𝑥𝑦𝑑𝑥 − √1 + 𝑥2𝑑𝑦 = 0</p><p>√1 + 𝑥2𝑑𝑦 = 𝑥𝑦𝑑𝑥</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑦</p><p>=</p><p>𝑥 ∙ 𝑑𝑥</p><p>√1 + 𝑥2</p><p>∫</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑦</p><p>= ∫</p><p>𝑥 ∙ 𝑑𝑥</p><p>√1 + 𝑥2</p><p>ln|𝑦| = √1 + 𝑥2 + 𝐶</p><p>𝑒 ln|𝑦| = 𝑒√1+𝑥2+𝐶</p><p>𝑦 = 𝑐 ∙ 𝑒√1+𝑥2</p><p>PVI</p><p>𝑦(0) = 𝑐 ∙ 𝑒√1+02</p><p>𝑐 = 1</p><p>𝒚 = 𝒆√𝟏+𝒙𝟐</p><p>4</p><p>Questão 03 (Valor: 2,0)</p><p>Verifique se as equações abaixo são exatas, determinando sua solução.</p><p>a) [Valor: 1,0] [𝑦 sin(𝑥) + 𝑥 cos(𝑥)]𝑑𝑥 = cos(𝑥) 𝑑𝑦</p><p>Verificação</p><p>𝜕𝑃(𝑥)</p><p>𝜕𝑦</p><p>=</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑦</p><p>[𝑦 𝑠𝑖𝑛 (𝑥) + 𝑥 𝑐𝑜𝑠 (𝑥)]</p><p>𝜕𝑃(𝑥)</p><p>𝜕𝑦</p><p>= 𝑠𝑖𝑛 (𝑥)</p><p>𝜕𝑄(𝑥)</p><p>𝜕𝑥</p><p>=</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑥</p><p>[− cos(𝑥)]</p><p>𝜕𝑄(𝑥)</p><p>𝜕𝑥</p><p>= 𝑠𝑖𝑛 (𝑥)</p><p>É uma E.D.O exata pois:</p><p>𝝏𝑷(𝒙)</p><p>𝝏𝒚</p><p>=</p><p>𝝏𝑸(𝒙)</p><p>𝝏𝒙</p><p>Solução:</p><p>𝜕𝐹</p><p>𝜕𝑥</p><p>= 𝑃(𝑥)</p><p>𝜕𝐹</p><p>𝜕𝑥</p><p>= 𝑦 𝑠𝑖𝑛 (𝑥) + 𝑥 𝑐𝑜𝑠 (𝑥)</p><p>𝜕𝐹 = (𝑦 𝑠𝑖𝑛 (𝑥) + 𝑥 𝑐𝑜𝑠 (𝑥))𝜕𝑥</p><p>∫ 𝑑𝐹 = ∫(𝑦 𝑠𝑖𝑛 (𝑥) + 𝑥 𝑐𝑜𝑠 (𝑥))𝑑𝑥</p><p>𝐹 = 𝑥 ∙ sin 𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑐𝑜 𝑠(𝑥) − 𝑦 ∙ 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) + ℎ</p><p>𝜕𝐹</p><p>𝜕𝑦</p><p>= 𝑄(𝑥)</p><p>− cos(𝑥) =</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑦</p><p>[𝑥 ∙ sin 𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑐𝑜 𝑠(𝑥) − 𝑦 ∙ 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) + ℎ]</p><p>− cos(𝑥) = − 𝑐𝑜𝑠(𝑥) +</p><p>𝜕ℎ</p><p>𝜕𝑦</p><p>𝜕ℎ</p><p>𝜕𝑦</p><p>= 0</p><p>ℎ = 𝐶</p><p>Solução geral é:</p><p>𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝐶</p><p>5</p><p>𝒙 ∙ 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝒙 ∙ 𝒄𝒐 𝒔(𝒙) − 𝒚 ∙ 𝒄𝒐𝒔 (𝒙) = 𝑪</p><p>b) [Valor: 1,0] (3𝑥2𝑦 +</p><p>𝑦</p><p>𝑥</p><p>) 𝑑𝑥 + (𝑥3 + ln 𝑥)𝑑𝑦 = 0</p><p>Verificação</p><p>𝜕𝑃(𝑥)</p><p>𝜕𝑦</p><p>=</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑦</p><p>[3𝑥2𝑦 +</p><p>𝑦</p><p>𝑥</p><p>]</p><p>𝜕𝑃(𝑥)</p><p>𝜕𝑦</p><p>= 3𝑥2 +</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>𝜕𝑄(𝑥)</p><p>𝜕𝑥</p><p>=</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑥</p><p>[𝑥3 + ln 𝑥]</p><p>𝜕𝑄(𝑥)</p><p>𝜕𝑥</p><p>= 3𝑥2 +</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>É uma E.D.O exata pois:</p><p>𝝏𝑷(𝒙)</p><p>𝝏𝒚</p><p>=</p><p>𝝏𝑸(𝒙)</p><p>𝝏𝒙</p><p>Solução:</p><p>𝜕𝐹</p><p>𝜕𝑥</p><p>= 𝑃(𝑥)</p><p>𝜕𝐹</p><p>𝜕𝑥</p><p>= 3𝑥2𝑦 +</p><p>𝑦</p><p>𝑥</p><p>𝜕𝐹 = (3𝑥2𝑦 +</p><p>𝑦</p><p>𝑥</p><p>)) 𝜕𝑥</p><p>∫ 𝑑𝐹 = ∫ (3𝑥2𝑦 +</p><p>𝑦</p><p>𝑥</p><p>) 𝑑𝑥</p><p>𝐹 = 𝑦 ∙ ln|𝑥| + 𝑦 ∙ 𝑥³ + ℎ</p><p>𝜕𝐹</p><p>𝜕𝑦</p><p>= 𝑄(𝑥)</p><p>𝑥3 + ln 𝑥 =</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑦</p><p>[𝑦 ∙ ln|𝑥| + 𝑦 ∙ 𝑥³ + ℎ]</p><p>𝑥3 + ln 𝑥 = ln|𝑥| + 𝑥³ +</p><p>𝜕ℎ</p><p>𝜕𝑦</p><p>𝜕ℎ</p><p>𝜕𝑦</p><p>= 0</p><p>ℎ = 𝐶</p><p>Solução geral é:</p><p>𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝐶</p><p>𝒚 ∙ 𝐥𝐧|𝒙| + 𝒚 ∙ 𝒙³ = 𝑪</p><p>6</p><p>Questão 04 (Valor: 2,0)</p><p>A aplicação das equações diferenciais para criação de modelos de estudo de problemas reais é ferramenta</p><p>essencial que tem o poder para visualizar e descrever vários fenômenos dentro da engenharia e suas técnicas.</p><p>Um bloco de cerâmica é aquecido a uma temperatura de 200℃. No instante 𝑡 = 0 ele é imerso em água que</p><p>é mantida a uma temperatura de 60℃. Ao fim de 6 minutos, a temperatura do bloco está reduzida a 140℃.</p><p>Determinar o instante em que a temperatura se encontra reduzida a 61℃.</p><p>Obs. Utilizar a formulação matemática da lei Newton do resfriamento, ou seja,</p><p>𝑑𝑇</p><p>𝑑𝑡</p><p>= −𝑘 ∙ (𝑇 − 𝑇𝑎).</p><p>Comentário e Solução</p><p>Com base na lei de resfriamento de Newton temos:</p><p>𝑇𝑎 = 60℃ é a temperatura do meio ambiente;</p><p>𝑇 é a temperatura do bloco de cerâmica;</p><p>Devemos então resolver o problema de valor inicial</p><p>𝑑𝑇</p><p>𝑑𝑡</p><p>= −𝑘 ∙ (𝑇 − 𝑇𝑎), 𝑇(0) = 200℃</p><p>E determinar k para que 𝑇(6) = 140℃.</p><p>A equação acima é linear e separável. Separando as variáveis, temos</p><p>𝑑𝑇</p><p>(𝑇 − 60)</p><p>= −𝑘 ∙ 𝑑𝑡</p><p>ln|𝑇 − 60| = −𝑘𝑡 + 𝐶</p><p>𝑇 − 60 = 𝑒−𝑘𝑡+𝐶</p><p>𝑇 = 𝐶𝑒−𝑘𝑡 + 60</p><p>Quando 𝑡 = 0, 𝑇 = 200℃. Substituindo na última expressão teremos:</p><p>200 = 60 + 𝐶𝑒−𝑘0</p><p>𝐶 = 140</p><p>Logo</p><p>𝑇(𝑡) = 60 + 140𝑒−𝑘𝑡</p><p>Agora estamos em condições para determinar o valor de k para 𝑇(6) = 140℃, de modo que teremos</p><p>140 = 60 + 140𝑒−𝑘6</p><p>𝑒−6𝑘 =</p><p>80</p><p>140</p><p>𝑘 =</p><p>1</p><p>6</p><p>ln</p><p>8</p><p>14</p><p>𝑘 = 0,093269</p><p>Então,</p><p>𝑇(𝑡) = 60 + 140 ∙ 𝑒−0,093269∙𝑡</p><p>com base a última equação estamos em condições para achar o tempo (𝑡) que o bloco levara para atingir 61</p><p>graus (𝑇 = 61), fazendo:</p><p>7</p><p>61 = 60 + 140 ∙ 𝑒−0,093269∙𝑡</p><p>𝑒−0,093269∙𝑡 =</p><p>61 − 60</p><p>140</p><p>−0,093269 ∙ 𝑡 = ln</p><p>1</p><p>140</p><p>𝒕 = 𝟓𝟐, 𝟗𝟖 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔</p><p>“O insucesso é apenas uma oportunidade para recomeçar com mais inteligência”.</p>