Aula 5 - Lei de Newton da Viscosidade

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Fenômenos de Transportes Aula 05 Profª. Daniela Araújo 
 
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Fluido Newtoniano – Viscosidade dos fluidos: 
 
 Definimos fluido como uma substância que se deforma continuamente sob a ação 
de um esforço cisalhante. Na ausência deste esforço, ele não se deformará. 
 
 Os fluidos podem ser classificados de acordo com a relação entre a tensão 
cisalhante e a taxa de deformação do fluido. 
 
 Newtonianos: são fluidos nos quais a tensão cisalhante é diretamente proporcional 
à taxa de deformação. Os fluidos mais comuns tais como água, ar e gasolina são 
fluidos Newtonianos. 
 Não-Newtonianos: são fluidos nos quais a tensão cisalhante não é diretamente 
proporcional à taxa de deformação. Ex.: sangue, alguns tipos de óleos 
lubrificantes, certas suspensões, tenso-ativos, pastas e polímeros de elevado peso 
molecular. 
 
Considerando o comportamento de um elemento de fluido entre duas placas 
infinitas, como indicado na figura que se segue, do mesmo modo que antes, vamos supor 
que entre a placa móvel e a fixa existe um fluido. 
 
 Repetindo a experiência anterior, observaríamos: 
a) A camada que está em contato com a placa fixa não se moveria enquanto que a 
que toca a placa móvel se deslocaria com ela; 
b) Seja qual for a força 
F
, a placa móvel se acelera até alcançar uma velocidade 
limite 
U
; 
c) Cada camada recebe uma quantidade de movimento que é comunicada à camada 
inferior. 
 
Assim, uma substância como a água e o ar deforma-se continuamente por aplicação 
de um esforço cisalhante, enquanto que um sólido de Hooke (o elástico) sofre uma 
deformação finita. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 2.1 - Fluido 
 
 A velocidade limite 
U
 que alcança a placa móvel é diretamente proporcional à 
distância h entre as placas e à força aplicada F , porém inversamente proporcional à 
área A da placa. 
F 
U 
 
 
 
D 
C 
B B’ A A’ 
h 
y 
x 
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A
hF
U 
 
Então: 

A
F
h
U (1) 
 
Supondo: 
 t0  fluido parado 
 t0 + t  fluido com a configuração da figura 2.1 
 
Então,  entre A e A : 
 = U t (2) 
(2) – deduzida a partir da definição de velocidade 
(v = d/t  d = v t) 
 
 Para valores muito pequenos do ângulo : 
 
  = 
1h
 sen  
 
  pequeno 
 
 h 
1h
 
1h
  h 
 sen    
  = h  
  
 
 
 
 
Então 
 
 = h  = U t (3) 
 De onde: 
t
hU



 (4) 
 
De (1) e (4) resulta: 




th
U (5) 
 
 Fazendo t  0 e introduzindo uma constante de proporcionalidade: 
t


 
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ou como para um fluido  é função apenas do tempo: 
 
td
d

 (6) 
 
 A equação (6) estabelece que a velocidade de deformação angular é proporcional 
ao esforço tangencial. 
 
 Qualquer substância que satisfaz à equação (6) denomina-se Fluido Newtoniano, 
em honra de Sir Isaac Newton (1642-1727), que foi o primeiro a formular a lei de fricção 
dos fluidos. 
 
 A constante de proporcionalidade é chamada de COEFICIENTE DE 
VISCOSIDADE ABSOLUTA ou VISCOSIDADE DINÂMICA e é designada por . 
 
 A equação (6) será exposta de outra forma a qual será usada nas formulações que 
aparecerão durante o curso. 
 
 Se na figura 2.1 a velocidade das partículas compreendidas entre os pontos A e C 
e B e D varia linearmente, temos que: 
 
 U 
 
 
 v 
 
h
U
y
v

 (7) 
 h 
 y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Regime estabelecido: U e h são constantes 
y
h
U
v 
  
y
h
U
v 
  
h
U
y
v


 (8) 
De (5): 




th
U (5) 
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y
v



 
Como v = v(y) 
yd
vd

 (9) 
 
yd
vd x
yx 
 
com 
 vx = vx(y) 
 
yx
 = tensão atuando sobre o plano y (xz) na direção x 
 
Vetorialmente: 
v
 
 
 Então  é uma constante de proporcionalidade que vai dizer sobre a resistência do 
fluido ao escoamento. 
 
Para 

 constante  quanto maior 
v
, menor a  
 
Dimensões de : 
 
 força por unidade de área e por unidade de gradiente de velocidade 
 
 
L
TL
L
TLM
1
2
2


     TLFTLM 211   
Unidades de : 
 
Sistema Métrico: 
 CGS g/cm s = dina s/cm2 = 1 poise = 100 cp 
 
 SI (MKS) kg/m s = N s/m2 
 
Sistema Inglês: 
 FPS lbm/ft s = pdl s/ft2 
 
 Engenharia slug/ft s = lbf s/ft2 
 (British Engineering 
 System) gravitacional 
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Viscosidade cinemática : 
 
 Além do coeficiente de viscosidade absoluta é muito utilizado na prática o 
coeficiente de viscosidade cinemática. 
 






g 
sendo 
 

 = massa específica 
 

 = peso específico 
 g
 
 
Dimensões de : 
 
    12
3
11
TL
LM
TLM 





 
 
Unidades de : 
 
Sistema Métrico: 
 CGS cm2/s = stokes = 100 centistokes 
 SI (MKS) m2/s = 10.000 stokes = 106 centistokes 
 
Sistema Inglês: 
 FPS ft2/s 
 Engenharia ft2/s 
 (British Engineering 
 System) gravitacional 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Problema: 
 
 Se o espaço entre duas placas planas paralelas é lubrificado com água a 50oC, 
calcular a força necessária para manter a placa superior com uma velocidade U = 3 m/s, 
supondo a placa inferior parada. Sabe-se que as placas apresentam uma área de 0,93 m2 
e que a distância entre elas é de 0,064 cm. Supor o perfil de velocidades linear. 
 
 
 
 
 
U = 3 m/s 
 = 0,59 cp (à 50 oC) 
 
OH2

 = 0,59 cp = 5,9 x 10-3 poise = 5,9 x 10-3 dina s/cm2 
yd
vd

 
yd
vd
A
F

 
yd
vd
AF 
 
 
 Como o perfil é linear: v = A y + B 
 
C.C. 1: para y = 0  v = 0 
C.C. 2: para y = d  v = U 
 
 Substituindo na equação da reta a condição de contorno 1: 
 
B = 0 
 
 Substituindo a condição de contorno 2: 
 
U = A d  A = U/d 
Então, 
d
U
yd
vd
y
d
U
v 
 
 
Substituindo, 
 
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yd
vd
AF 
, onde: 
 
A = 0,93 m2 = 9300 cm2 = 9,3 x 103 cm2 
 = 5,9 x 10-3 dina s/cm2 
U = 3 x 102 cm/s 
d = 6,4 x 10-2 cm 
 
dina1057,2F
cm104,6
scm103
cm
sdina
109,5cm103,9F
5
2
2
2
323






 
 
Observação: 
 
Variação da viscosidade dos fluidos com a temperatura: 
 A viscosidade de um gás aumenta com a temperatura: 
GÁS T  
 
 A viscosidade nos líquidos diminui com a temperatura: 
 
LÍQUIDO T  
A resistência de um fluido ao cisalhamento depende da coesão e da 
velocidade de transferência da quantidade de movimento. 
 
LÍQUIDOS: forças de coesão muito maiores que nos gases. 
 
 A coesão parece ser a causa predominante da viscosidade em um líquido e 
como a coesão diminui com a temperatura, a viscosidade segue o mesmo 
comportamento. 
 
GÁS: forças de coesão muito pequenas. 
 
 Sua resistência ao cisalhamento é principalmente o resultado da 
transferência da quantidade de movimento.