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RESUMO 
 
TESTE SÉRIE CONVERGÊNCIA ou DIVERGÊNCIA COMENTÁRIOS 
da 
DIVERGÊNCIA 
ou do N-ÉSIMO 
TERMO 
 DIVERGE se 
Nada se pode 
afirmar se 
 
SÉRIE 
GEOMÉTRICA 
 
* CONVERGE e tem soma 
 se | r | < 1. 
* DIVERGE se | r | 1 
Útil para testes de 
comparação 
SÉRIE-P 
 
* CONVERGE se p > 1 
* DIVERGE se p 1 
Útil para testes de 
comparação 
 
INTEGRAL 
€ 
an
n=1
∞
∑ 
€ 
an 	
  =	
  f(n) 
* CONVERGE se 
€ 
f (x)dx
1
∞
∫ 
 CONVERGE 
• 
 DIVERGE se 
€ 
f (x)dx
1
∞
∫ 
 DIVERGE 
A função f obtida 
de 
€ 
an 	
  =	
  f(n)	
  deve	
  ser	
  contínua,	
  positiva,	
  decrescente	
  e	
  facilmente	
  integrável. 
COMPARAÇÃO 
e 
 
an > 0, bn > 0 
* Se CONVERGE, 
e 
€ 
an ≤ bn para todo n, então 
CONVERGE. 
 
* Se DIVERGE e 
€ 
an ≥ bn para todo n, então 
 DIVERGE 
 
 
 
da 
COMPARAÇÃO 
no limite 
e 
 
an > 0, bn > 0 
* Se , 
, então ambas as 
séries CONVERGEM ou 
ambas DIVERGEM. 
A série de 
comparação 
€ 
bn∑ é, em 
geral, uma série 
geométrica ou uma 
série-p. 
* Se e 
CONVERGE, então 
CONVERGE. 
* Se e 
DIVERGE, então 
DIVERGE. 
Para achar bn, 
consideram-se 
apenas os termos 
de an que têm maior 
efeito. 
RAZÃO 
 
Se 
€ 
lim
n→∞
an+1
an = L (ou 
€ 
∞ ) a 
série 
CONVERGE ( 
absolutamente) se L < 1 
 
DIVERGE se L > 1 (ou 
€ 
∞ ) 
Inconclusivo se L = 
1 
 
Útil se an envolve 
potências de grau n 
ou fatoriais. 
 
Se an > 0 para todo 
n, pode-se 
desprezar o sinal de 
valor absoluto. 
RAIZ 
 
Se 
€ 
lim
n→∞
ann = L (ou 
€ 
∞ ) a 
série CONVERGE ( 
absolutamente) se L < 1 
 
DIVERGE se L > 1 (ou 
€ 
∞ ) 
Inconclusivo se L = 
1 
 
Útil se an envolve 
potências de grau n 
ou fatoriais. 
 
Se an > 0 para todo 
n, pode-se 
desprezar o sinal de 
valor absoluto. 
SÉRIES 
ALTERNADAS 
 
 
an > 0 
CONVERGE se: 
€ 
ak ≥ ak+1, 
para todo k e 
* 
* A série dos 
módulos é decrescente. 
Aplicável somente 
a séries alternadas. 
Se o primeiro item 
é falso, aplica-se o 
TESTE DA 
DIVERGÊNCIA.