CÁLC II ENG Aula 10

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<p>AULA Nº 10</p><p>CÁLCULO II ENGENHARIA</p><p>PROF. DR. CLAUDIO POSSANI</p><p>COORDENADAS ESFÉRICAS</p><p>COORDENADAS ESFÉRICAS</p><p>Nesta aula vamos estudar uma mudança de</p><p>coordenadas adequada para sólidos que</p><p>envolvem esferas e figuras semelhantes.</p><p>Vamos introduzir as chamadas “coordenadas</p><p>esféricas” no espaço.</p><p>COORDENADAS ESFÉRICAS</p><p>COORDENADAS ESFÉRICAS</p><p>Ponto 𝒙, 𝒚, 𝒛 em coordenadas Cartesianas será</p><p>representado em coordenadas esféricas por</p><p>( 𝝆, 𝜽, 𝝋)</p><p>COORDENADAS ESFÉRICAS</p><p>Cartesianas</p><p>(𝒙, 𝒚, 𝒛)</p><p>Esféricas</p><p>(𝝆, 𝜽, 𝝋)</p><p>COORDENADAS ESFÉRICAS</p><p>Relação entre as coordenadas cartesianas e as</p><p>esféricas:</p><p>𝑥 = ρ𝑠𝑒𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜃 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋</p><p>𝑦 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑𝑠𝑒𝑛𝜃 0 ≤ 𝜌</p><p>𝑧 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑 0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋</p><p>𝑥2+𝑦2 + 𝑧2 = 𝜌2</p><p>COORDENADAS ESFÉRICAS</p><p>COORDENADAS ESFÉRICAS</p><p>Cartesianas 𝟎, 𝟎, 𝟓 ⇒ esféricas 𝟎, 𝟎, 𝟓</p><p>Cartesianas 𝟎, 𝟎, −𝟓 ⇒ esféricas 𝟎, 𝝅, 𝟓</p><p>Cartesianas 𝟎, 𝟒, 𝟎 ⇒ esféricas</p><p>𝝅</p><p>𝟐</p><p>,</p><p>𝝅</p><p>𝟐</p><p>, 𝟒</p><p>Cartesianas 𝟑, 𝟑, 𝟎 ⇒ esféricas</p><p>𝝅</p><p>𝟒</p><p>,</p><p>𝝅</p><p>𝟐</p><p>, 𝟑 𝟐</p><p>COORDENADAS ESFÉRICAS</p><p>A esfera 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 +𝒛𝟐≤ 𝟒, se descreve em</p><p>coordenadas esféricas como :</p><p>𝟎 ≤ 𝜽 ≤ 𝟐𝝅</p><p>𝟎 ≤ 𝝋 ≤ 𝝅</p><p>𝟎 ≤ 𝝆 ≤ 𝟐</p><p>COORDENADAS ESFÉRICAS</p><p>COORDENADAS ESFÉRICAS</p><p>A semiesfera 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 +𝒛𝟐≤ 𝟒, 𝒛 ≥ 𝟎 se descreve em</p><p>coordenadas esféricas como :</p><p>𝟎 ≤ 𝜽 ≤ 𝟐𝝅</p><p>𝟎 ≤ 𝝋 ≤</p><p>𝝅</p><p>𝟐</p><p>𝟎 ≤ 𝝆 ≤ 𝟐</p><p>COORDENADAS ESFÉRICAS</p><p>Seja 𝑫𝒙𝒚𝒛 um domínio no ℝ𝟑 descrito em coordenadas</p><p>cartesianas e 𝑫𝝆𝜽𝝋o mesmo domínio descrito em</p><p>coordenadas esféricas e 𝒇 uma função definida neste</p><p>domínio</p><p>COORDENADAS ESFÉRICAS</p><p>ම</p><p>𝐷𝑥𝑦𝑧</p><p>𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 =ම</p><p>𝐷𝜌𝜃𝜑</p><p>𝑓 𝜌, 𝜃, 𝜑 𝜌2𝑠𝑒𝑛𝜑𝑑𝜌𝑑𝜑𝑑𝜃</p><p>COORDENADAS ESFÉRICAS</p><p>Na fórmula anterior o termo 𝝆𝟐𝒔𝒆𝒏𝝋 é chamado</p><p>de Jacobiano da mudança de coordenadas.</p><p>Sempre que fazemos mudança de variáveis numa</p><p>integral aparece o Jacobiano. Depende do tipo de</p><p>mudança.</p><p>COORDENADAS ESFÉRICAS</p><p>Calcule a massa da esfera 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 ≤ 𝟗, 𝒛 ≥ 𝟎 com</p><p>densidade igual ao quadrado da distância do ponto</p><p>à origem.</p><p>Massa = ׮𝑫</p><p>𝜹 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽 =</p><p>=ම</p><p>𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐≤𝟗</p><p>𝒛≥𝟎</p><p>(𝒙𝟐+𝒚𝟐 + 𝒛𝟐)𝒅𝑽</p><p>COORDENADAS ESFÉRICAS</p><p>Mudando para coordenadas esféricas:</p><p>𝒙 = 𝝆𝒔𝒆𝒏𝝋𝒄𝒐𝒔𝜽 𝟎 ≤ 𝜽 ≤ 𝟐𝝅</p><p>𝒚 = 𝝆𝒔𝒆𝒏𝝋𝒔𝒆𝒏𝜽 𝟎 ≤ 𝝋 ≤</p><p>𝝅</p><p>𝟐</p><p>𝒛 = 𝝆𝒄𝒐𝒔𝝋 𝟎 ≤ 𝝆 ≤ 𝟑</p><p>Jacobiano = 𝝆𝟐𝒔𝒆𝒏𝝋</p><p>COORDENADAS ESFÉRICAS</p><p>Massa = 𝟎׬</p><p>𝟐𝝅</p><p>𝟎׬</p><p>𝝅</p><p>𝟐 𝟎׬</p><p>𝟑</p><p>𝝆𝟐𝝆𝟐𝒔𝒆𝒏𝝋𝒅𝝆𝒅𝝋𝒅𝜽 =</p><p>= න</p><p>𝟎</p><p>𝟐𝝅</p><p>න</p><p>𝟎</p><p>𝝅</p><p>𝟐</p><p>𝒔𝒆𝒏𝝋</p><p>𝝆𝟓</p><p>𝟓</p><p>|</p><p>𝟑</p><p>𝟎</p><p>𝒅𝝋𝒅𝜽 = න</p><p>𝟎</p><p>𝟐𝝅</p><p>න</p><p>𝟎</p><p>𝝅</p><p>𝟐 𝟐𝟒𝟑</p><p>𝟓</p><p>𝒔𝒆𝒏𝝋𝒅𝝋𝒅𝜽 =</p><p>= 𝟐𝝅</p><p>𝟐𝟒𝟑</p><p>𝟓</p><p>−𝒄𝒐𝒔𝝋 |</p><p>𝝅</p><p>𝟐</p><p>𝟎</p><p>=</p><p>𝟒𝟖𝟔𝝅</p><p>𝟓</p><p>𝟎 − −𝟏 =</p><p>𝟒𝟖𝟔𝝅</p><p>𝟓</p><p>COORDENADAS ESFÉRICAS</p><p>Esfera deslocada:</p><p>(𝒙 − 𝒂)𝟐+(𝒚 − 𝒃)𝟐+(𝒛 − 𝒄)𝟐≤ 𝒓𝟐</p><p>𝒙 = 𝒂 + 𝝆𝒔𝒆𝒏𝝋𝒄𝒐𝒔𝜽 𝟎 ≤ 𝜽 ≤ 𝟐𝝅</p><p>𝒚 = 𝒃 + 𝝆𝒔𝒆𝒏𝝋𝒔𝒆𝒏𝜽 𝟎 ≤ 𝝋 ≤ 𝝅</p><p>𝒛 = 𝒄 + 𝝆𝒄𝒐𝒔𝝋 𝟎 ≤ 𝝆 ≤ 𝒓</p><p>Jacobiano = 𝝆𝟐𝒔𝒆𝒏𝝋</p><p>COORDENADAS ESFÉRICAS</p><p>Esfera deslocada. Mudança alternativa:</p><p>(𝒙 − 𝒂)𝟐+(𝒚 − 𝒃)𝟐+(𝒛 − 𝒄)𝟐≤ 𝒓𝟐</p><p>𝒙 = 𝒂 + 𝒓𝝆𝒔𝒆𝒏𝝋𝒄𝒐𝒔𝜽 𝟎 ≤ 𝜽 ≤ 𝟐𝝅</p><p>𝒚 = 𝒃 + 𝒓𝝆𝒔𝒆𝒏𝝋𝒔𝒆𝒏𝜽 𝟎 ≤ 𝝋 ≤ 𝝅</p><p>𝒛 = 𝒄 + 𝒓𝝆𝒄𝒐𝒔𝝋 𝟎 ≤ 𝝆 ≤ 𝟏</p><p>Jacobiano = 𝒓𝟑𝝆𝟐𝒔𝒆𝒏𝝋</p><p>COORDENADAS ESFÉRICAS</p><p>Elipsoide:</p><p>𝒙𝟐</p><p>𝒂𝟐</p><p>+</p><p>𝒚𝟐</p><p>𝒃𝟐</p><p>+</p><p>𝒛𝟐</p><p>𝒄𝟐</p><p>≤ 𝟏</p><p>𝒙 = 𝒂𝝆𝒔𝒆𝒏𝝋𝒄𝒐𝒔𝜽 𝟎 ≤ 𝜽 ≤ 𝟐𝝅</p><p>𝒚 = 𝒃𝝆𝒔𝒆𝒏𝝋𝒔𝒆𝒏𝜽 𝟎 ≤ 𝝋 ≤ 𝝅</p><p>𝒛 = 𝒄𝝆𝒄𝒐𝒔𝝋 𝟎 ≤ 𝝆 ≤ 𝟏</p><p>Jacobiano = 𝒂𝒃𝒄𝝆𝟐𝒔𝒆𝒏𝝋</p><p>COORDENADAS ESFÉRICAS</p><p>Para um elipsoide deslocado somamos as</p><p>coordenadas do centro às expressões das</p><p>coordenadas 𝒙 , 𝒚 , e 𝒛.</p><p>COORDENADAS ESFÉRICAS</p><p>Volume do elipsoide</p><p>𝒙𝟐</p><p>𝒂𝟐</p><p>+</p><p>𝒚𝟐</p><p>𝒃𝟐</p><p>+</p><p>𝒛𝟐</p><p>𝒄𝟐</p><p>≤ 𝟏</p><p>Volume=׮𝑫𝒙𝒚𝒛</p><p>𝟏𝒅𝒛𝒅𝒚𝒅𝒙 𝑫𝝆𝜽𝝋׮=</p><p>𝟏𝒂𝒃𝒄𝝆𝟐𝒔𝒆𝒏𝝋𝒅𝝆𝒅𝝋𝒅𝜽</p><p>COORDENADAS ESFÉRICAS</p><p>Volume= 𝟎׬</p><p>𝟐𝝅</p><p>𝟎׬</p><p>𝝅</p><p>𝟎׬</p><p>𝟏</p><p>𝒂𝒃𝒄𝝆𝟐𝒔𝒆𝒏𝝋𝒅𝝆𝒅𝝋𝒅𝜽 =</p><p>COORDENADAS ESFÉRICAS</p><p>Volume= 𝟎׬</p><p>𝟐𝝅</p><p>𝟎׬</p><p>𝝅</p><p>𝟎׬</p><p>𝟏</p><p>𝒂𝒃𝒄𝝆𝟐𝒔𝒆𝒏𝝋𝒅𝝆𝒅𝝋𝒅𝜽 =</p><p>= න</p><p>𝟎</p><p>𝟐𝝅</p><p>න</p><p>𝟎</p><p>𝝅</p><p>𝒂𝒃𝒄𝒔𝒆𝒏𝝋</p><p>𝝆𝟑</p><p>𝟑</p><p>|</p><p>𝟏</p><p>𝟎</p><p>𝒅𝝋𝒅𝜽 =</p><p>= න</p><p>𝟎</p><p>𝟐𝝅</p><p>න</p><p>𝟎</p><p>𝝅𝒂𝒃𝒄</p><p>𝟑</p><p>𝒔𝒆𝒏𝝋𝒅𝝋𝒅𝜽 =</p><p>COORDENADAS ESFÉRICAS</p><p>Volume= 𝟎׬</p><p>𝟐𝝅</p><p>𝟎׬</p><p>𝝅</p><p>𝟎׬</p><p>𝟏</p><p>𝒂𝒃𝒄𝝆𝟐𝒔𝒆𝒏𝝋𝒅𝝆𝒅𝝋𝒅𝜽 =</p><p>= න</p><p>𝟎</p><p>𝟐𝝅𝒂𝒃𝒄</p><p>𝟑</p><p>−𝒄𝒐𝒔𝝋 |</p><p>𝝅</p><p>𝟎</p><p>𝒅𝜽න</p><p>𝟎</p><p>𝟐𝝅𝒂𝒃𝒄𝟐</p><p>𝟑</p><p>𝒅𝜽 =</p><p>𝟒𝝅𝒂𝒃𝒄</p><p>𝟑</p><p>COORDENADAS ESFÉRICAS</p><p>Esboce a sólido dado, em coordenadas esféricas,</p><p>por 𝟎 ≤ 𝜽 ≤ 𝟐𝝅, 𝟎 ≤ 𝝋 ≤</p><p>𝝅</p><p>𝟑</p><p>, 𝟎 ≤ 𝝆 ≤ 𝒓 e calcule seu</p><p>volume.</p><p>COORDENADAS ESFÉRICAS</p><p>𝟎 ≤ 𝜽 ≤ 𝟐𝝅</p><p>𝟎 ≤ 𝝋 ≤</p><p>𝝅</p><p>𝟑</p><p>𝟎 ≤ 𝝆 ≤ 𝒓</p><p>COORDENADAS ESFÉRICAS</p><p>V=׮𝐷𝑥𝑦𝑧</p><p>1𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 𝐷𝜌𝜃𝜑׮=</p><p>1𝜌2𝑠𝑒𝑛𝜑𝑑𝜌𝑑𝜑𝑑𝜃 =</p><p>𝑉 = න</p><p>0</p><p>2𝜋</p><p>න</p><p>0</p><p>𝜋</p><p>3</p><p>න</p><p>0</p><p>𝑟</p><p>𝜌2𝑠𝑒𝑛𝜑𝑑𝜌𝑑𝜑𝑑𝜃 = 2𝜋න</p><p>0</p><p>𝜋</p><p>3</p><p>𝑠𝑒𝑛𝜑</p><p>𝜌3</p><p>3</p><p>|</p><p>𝑟</p><p>0</p><p>𝑑𝜑</p><p>𝑉 =</p><p>2𝜋𝑟3</p><p>3</p><p>−𝑐𝑜𝑠𝜑 |</p><p>𝜋</p><p>3</p><p>0</p><p>=</p><p>2𝜋𝑟3</p><p>3</p><p>−1</p><p>2</p><p>+ 1 =</p><p>𝜋𝑟3</p><p>3</p><p>COORDENADAS ESFÉRICAS</p>