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<p>UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA</p><p>CCEN - Departamento de Matemática</p><p>Prof. Sérgio (mat.ufpb.br/sergio)</p><p>1ª Prova Cálculo Vetorial e Geometria Anaĺıtica</p><p>Prof.: Sérgio Data: 27/Fev/2024 Turno(s): Manhã/Tarde</p><p>Curso: Nome:</p><p>Peŕıodo: 23.2 Turma(s): Matŕıcula:</p><p>1ª Questão Considere a figura do parale-</p><p>leṕıpedo ABCDEFGH (ao lado) e os vetores:</p><p>−→</p><p>AB = 12⃗ı ,</p><p>−−→</p><p>AD = 10ȷ⃗ , −→</p><p>AE = 8k⃗ ,</p><p>−−→</p><p>DQ = 5⃗ı ,</p><p>−→</p><p>FP = 5ȷ⃗ e −−→</p><p>RH = 4k⃗ .</p><p>Determine o vetor</p><p>−→</p><p>ER−</p><p>−→</p><p>PQ:</p><p>(a) 6⃗ı+6ȷ⃗+4k⃗</p><p>(b) 9⃗ı+6ȷ⃗+4k⃗</p><p>(c) 4⃗ı+5ȷ⃗+4k⃗</p><p>(d) 6⃗ı+7ȷ⃗+4k⃗</p><p>(e) 4⃗ı+6ȷ⃗+4k⃗</p><p>(f) 7⃗ı+5ȷ⃗+4k⃗</p><p>(g) 6⃗ı+5ȷ⃗+4k⃗</p><p>(h) 4⃗ı+7ȷ⃗+4k⃗</p><p>(i) 9⃗ı+5ȷ⃗+4k⃗</p><p>(j) 7⃗ı+7ȷ⃗+4k⃗</p><p>(k) 7⃗ı+6ȷ⃗+4k⃗</p><p>(l) NDA</p><p>−−→</p><p>ER=0⃗ı+10ȷ⃗−4k⃗,</p><p>−−→</p><p>PQ=−7⃗ı+5ȷ⃗−8k⃗e</p><p>−−→</p><p>ER−</p><p>−−→</p><p>PQ=7⃗ı+5ȷ⃗+4k⃗</p><p>2ª Questão Considerando os vetores definidos abaixo:</p><p>a⃗ = 1⃗ı+ 3ȷ⃗+ 1k⃗ , b⃗ = 3⃗ı+ 0ȷ⃗−1k⃗ e c⃗ = 1⃗ı+ 2ȷ⃗+ 4k⃗</p><p>na base canônica β =</p><p>{⃗</p><p>ı, ȷ⃗, k⃗</p><p>}</p><p>(base ortonormal) de R3. Assinale as alternativas corretas:</p><p>i) O vetor u⃗ = a⃗+ b⃗− 2c⃗ é igual a: u⃗=2⃗ı−1ȷ⃗−8k⃗</p><p>(a) 6⃗ı+2ȷ⃗ − 4k⃗</p><p>(b) 7⃗ı − 2ȷ⃗ − 6k⃗</p><p>(c) 6⃗ı+3ȷ⃗ − 4k⃗</p><p>(d) 0⃗ı+0ȷ⃗ − 4k⃗</p><p>(e) 8⃗ı − 1ȷ⃗ − 8k⃗</p><p>(f) 1⃗ı+0ȷ⃗ − 6k⃗</p><p>(g) 8⃗ı+2ȷ⃗ − 8k⃗</p><p>(h) 2⃗ı+1ȷ⃗ − 8k⃗</p><p>(i) 1⃗ı+1ȷ⃗ − 6k⃗</p><p>(j) 7⃗ı+1ȷ⃗ − 6k⃗</p><p>(k) 2⃗ı − 1ȷ⃗ − 8k⃗</p><p>(l) NDA</p><p>ii) O valor da expressão dada por</p><p>(</p><p>a⃗ · b⃗</p><p>)</p><p>−</p><p>(⃗</p><p>b · c⃗</p><p>)</p><p>é: (⃗a·b⃗)−(⃗b·c⃗)=3</p><p>(a) −2</p><p>(b) −6</p><p>(c) 3</p><p>(d) 2</p><p>(e) 1</p><p>(f) −3</p><p>(g) −1</p><p>(h) −4</p><p>(i) −5</p><p>(j) 0</p><p>(k) 4</p><p>(l) NDA</p><p>mat.ufpb.br/sergio</p><p>iii) O valor aproximado em graus para o ângulo entre os vetores a⃗ e b⃗ é: (⃗a,b⃗)≈79.01</p><p>o</p><p>(a) 53.3o</p><p>(b) 36.31o</p><p>(c) 43.9o</p><p>(d) 58.52o</p><p>(e) 51.89o</p><p>(f) 50.95o</p><p>(g) 45.29o</p><p>(h) 34.12o</p><p>(i) 33.0o</p><p>(j) 47.21o</p><p>(k) 79.01o</p><p>(l) NDA</p><p>iv) Qual(is) dos vetores abaixo, dado em coordenadas, é perpendicular ao vetor b⃗? (−3,4,−9)⊥b⃗</p><p>(a) (−5, 11,−4)</p><p>(b) (−5, 10, 1)</p><p>(c) (1, 2, 1)</p><p>(d) (−4, 5, 1)</p><p>(e) (1, 7, 1)</p><p>(f) (−2, 5,−1)</p><p>(g) (1, 0, 2)</p><p>(h) (1,−2, 1)</p><p>(i) (−3, 4,−9)</p><p>(j) (7, 3,−5)</p><p>(k) (3,−1,−5)</p><p>(l) NDA</p><p>v) O vetor v⃗ =</p><p>(</p><p>a⃗× b⃗</p><p>)</p><p>em coordenadas é: v⃗=(−3,4,−9)</p><p>(a) (−4, 2,−2)</p><p>(b) (−6, 6,−6)</p><p>(c) (−3, 6,−3)</p><p>(d) (−5, 3,−4)</p><p>(e) (−2, 5,−4)</p><p>(f) (−5, 5,−5)</p><p>(g) (−5, 4, 1)</p><p>(h) (−6, 4, 10)</p><p>(i) (−4, 3, 1)</p><p>(j) (−7, 4, 5)</p><p>(k) (−3, 4,−9)</p><p>(l) NDA</p><p>vi) A área de um paralelogramo LMNO definido pelos vetores</p><p>−−→</p><p>LM = b⃗ e</p><p>−→</p><p>LO = a⃗ é:</p><p>Área=||⃗a×b⃗||=</p><p>√</p><p>106u.a.</p><p>(a)</p><p>√</p><p>45</p><p>(b)</p><p>√</p><p>152</p><p>(c)</p><p>√</p><p>26</p><p>(d)</p><p>√</p><p>106</p><p>(e)</p><p>√</p><p>108</p><p>(f)</p><p>√</p><p>24</p><p>(g)</p><p>√</p><p>90</p><p>(h)</p><p>√</p><p>42</p><p>(i)</p><p>√</p><p>75</p><p>(j)</p><p>√</p><p>54</p><p>(k)</p><p>√</p><p>50</p><p>(l) NDA</p><p>vii) O volume do paraleleṕıpedo gerado pelos vetores a⃗, b⃗ e c⃗ é: Volume=|[⃗a,b⃗,c⃗]|=31u.v.</p><p>(a) 33</p><p>(b) 30</p><p>(c) 35</p><p>(d) 40</p><p>(e) 39</p><p>(f) 37</p><p>(g) 31</p><p>(h) 32</p><p>(i) 34</p><p>(j) 38</p><p>(k) 36</p><p>(l) NDA</p><p>viii) Mostre usando o teorema (LI) que o conjunto β2 =</p><p>{</p><p>a⃗, b⃗, c⃗</p><p>}</p><p>é ou não uma base para o</p><p>espaço vetorial R3. β2éumabasedeR</p><p>3</p><p>3ª Questão Dados três vetores, não nulos p⃗, q⃗ e r⃗ quaisquer no espaço vetorial R3, assinale com</p><p>a letra V para VERDADEIRO ou a letra F para FALSO, marcando a opção correta os itens abaixo,</p><p>justificando cada resposta dada.</p><p>i) Se (2p⃗) · q⃗ = 0 e (−2q⃗) · r⃗ = 0 então q⃗ · (p⃗+ r⃗) = 0.</p><p>( )</p><p>V</p><p>ii) Se (13p⃗)× (6q⃗) ̸= 0⃗ então os vetores p⃗ e q⃗ são LD.</p><p>( )</p><p>F</p><p>iii) Se 6p⃗+ 6q⃗ − 7r⃗ = 0⃗ então β3 = {p⃗, q⃗, r⃗} é uma base para o espaço vetorial R3.</p><p>( )</p><p>F</p><p>Boa Sorte (−1)</p><p>Cálculo Vetorial e Geometria Anaĺıtica Prof.: Sérgio</p><p>1ª Prova - 23.2 Data: 27/Fev/2024 Turma(s): - Manhã/Tarde</p><p>Nome:</p><p>Matŕıcula: Assinatura</p><p>R E S P O S T A S</p><p>1ª Questão</p><p>Dados:</p><p>−→</p><p>AB = 12⃗ı,</p><p>−−→</p><p>AD = 10ȷ⃗,</p><p>−→</p><p>AE = 8k⃗,−−→</p><p>DQ = 5⃗ı,</p><p>−→</p><p>FP = 5ȷ⃗ e</p><p>−−→</p><p>RH = 4k⃗.</p><p>−→</p><p>ER =</p><p>−−→</p><p>EH +</p><p>−−→</p><p>HR</p><p>= (10 ȷ⃗) +</p><p>(</p><p>−4 k⃗</p><p>)</p><p>= 0⃗ı+10ȷ⃗ − 4k⃗</p><p>−→</p><p>PQ =</p><p>−→</p><p>PG+</p><p>−→</p><p>GC +</p><p>−→</p><p>CQ</p><p>= (5 ȷ⃗) +</p><p>(</p><p>−8 k⃗</p><p>)</p><p>+ (−7 ı⃗)</p><p>= −7⃗ı+5ȷ⃗ − 8k⃗</p><p>Logo:</p><p>−→</p><p>ER−</p><p>−→</p><p>PQ = 7⃗ı+5ȷ⃗+4k⃗</p><p>2ª Questão</p><p>Dados: a⃗ = 1⃗ı+ 3ȷ⃗+ 1k⃗, b⃗ = 3⃗ı+ 0ȷ⃗−1k⃗ e</p><p>c⃗ = 1⃗ı+ 2ȷ⃗+ 4k⃗</p><p>a) u⃗ = a⃗+ b⃗− 2c⃗</p><p>u⃗ =</p><p>(</p><p>1⃗ı+3ȷ⃗+1k⃗</p><p>)</p><p>+</p><p>(</p><p>3⃗ı+0ȷ⃗ − 1k⃗</p><p>)</p><p>− 2</p><p>(</p><p>1⃗ı+2ȷ⃗+4k⃗</p><p>)</p><p>= 2⃗ı − 1ȷ⃗ − 8k⃗</p><p>b)</p><p>(</p><p>a⃗ · b⃗</p><p>)</p><p>−</p><p>(⃗</p><p>b · c⃗</p><p>)</p><p>= (2)− (−1) = 3, pois:</p><p>a⃗ · b⃗ =</p><p>(</p><p>1⃗ı+3ȷ⃗+1k⃗</p><p>)</p><p>·</p><p>(</p><p>3⃗ı+0ȷ⃗ − 1k⃗</p><p>)</p><p>= (1)×(3) + (3)×(0) + (1)×(−1)</p><p>= 2</p><p>b⃗ · c⃗ =</p><p>(</p><p>3⃗ı+0ȷ⃗ − 1k⃗</p><p>)</p><p>·</p><p>(</p><p>1⃗ı+2ȷ⃗+4k⃗</p><p>)</p><p>= (3)×(1) + (0)×(2) + (−1)×(4)</p><p>= −1</p><p>c) Utilizando a definição de produto interno:</p><p>a⃗ · b⃗ = ||⃗a||.||⃗b|| cos</p><p>(</p><p>a⃗, b⃗</p><p>)</p><p>Temos:</p><p>• a⃗ · b⃗ = 2</p><p>• ||⃗a|| =</p><p>√</p><p>11</p><p>• ||⃗b|| =</p><p>√</p><p>10</p><p>Logo isolando o cos</p><p>(</p><p>a⃗, b⃗</p><p>)</p><p>:</p><p>cos</p><p>(</p><p>a⃗, b⃗</p><p>)</p><p>=</p><p>a⃗ · b⃗</p><p>||⃗a||.||⃗b||</p><p>=</p><p>2√</p><p>11</p><p>√</p><p>10</p><p>= 0.19069</p><p>Portanto usando a calculadora, teremos:(</p><p>a⃗, b⃗</p><p>)</p><p>= arccos(0.19069) ≈ 79.01o</p><p>d) (−3, 4,−9) ⊥ b⃗, pois:(</p><p>−3⃗ı+4ȷ⃗ − 9k⃗</p><p>)</p><p>·</p><p>(</p><p>3⃗ı+0ȷ⃗ − 1k⃗</p><p>)</p><p>= 0</p><p>e) v⃗ = a⃗× b⃗ =</p><p>∣∣∣∣∣∣</p><p>ı⃗ ȷ⃗ k⃗</p><p>1 3 1</p><p>3 0 −1</p><p>∣∣∣∣∣∣ = −3⃗ı+4ȷ⃗ − 9k⃗</p><p>f) Área = ||⃗a× b⃗|| = ||v⃗|| = ||−3⃗ı+4ȷ⃗ − 9k⃗||</p><p>||v⃗|| =</p><p>√</p><p>v⃗ · v⃗ =</p><p>√</p><p>(−3)2 + (4)2 + (−9)2</p><p>=</p><p>√</p><p>106u.a.</p><p>g) Volume =</p><p>∣∣∣[a⃗, b⃗, c⃗]∣∣∣ e como:</p><p>[</p><p>a⃗, b⃗, c⃗</p><p>]</p><p>=</p><p>∣∣∣∣∣∣</p><p>1 3 1</p><p>3 0 −1</p><p>1 2 4</p><p>∣∣∣∣∣∣ = −31</p><p>Temos que o Volume = | − 31| = 31u.v.</p>