Experimento_Numérico_1 - GRUPO 1

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<p>Universidade de Brasília</p><p>ENM - FT</p><p>Transferência de Calor</p><p>2023.2</p><p>Relatório 1</p><p>Laboratório Numérico</p><p>Artur Silva Pereira 18/0098233</p><p>Augusto Brignol Alves 19/0103051</p><p>Beatriz Pinto Lustosa 19/0127422</p><p>Caio Lins de Castro 20/2068610</p><p>Italo Peixoto Guedes 19/0109092</p><p>Professores: Taygoara Felamingo de Oliveira || Edgar Amaral Silveira</p><p>28 de Setembro de 2023</p><p>Sumário</p><p>1 Introdução 2</p><p>2 Objetivos 2</p><p>3 Referenciais Teóricos 2</p><p>3.1 Condução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3</p><p>3.2 Equação da Condução de Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4</p><p>4 Materiais e Métodos 5</p><p>5 Resultados e Discussão 6</p><p>5.1 Problema 1: Dedução da equação governante da transferência de calor em</p><p>meio sólido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6</p><p>5.2 Problema 2: Condução em Placa Plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8</p><p>5.2.1 Caso 1: T1 = 100ºC; T2=T3=T4 = 0ºC . . . . . . . . . . . . . . . 8</p><p>5.2.2 Caso 2: T1 = 100 * sen(x*180/20)ºC; T2=T3=T4=0ºC . . . . . . 11</p><p>5.2.3 Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14</p><p>6 Conclusão 14</p><p>7 Referências 15</p><p>1</p><p>1 Introdução</p><p>A Transferência de Calor sofre variações de acordo com o meio na qual acontece. A</p><p>condução, por exemplo, é a forma de transferência de calor que ocorre dentro dos sólidos,</p><p>sendo assim, tem uma aplicação prática muito relevante na Engenharia. A partir da</p><p>observação desse tipo de fenômeno, foram determinados modelos matemáticos que servem</p><p>como auxílio para a previsão da realidade, sem depender apenas de análises empíricas.</p><p>Tendo a vista a utilização desses modelos, muitas vezes se torna necessário fazer</p><p>hipóteses que simplificam o problema, para que a sua resolução seja possível ou facilitada.</p><p>Uma possbilidade de simplificação é considerar uma determinada estrutura 3D como sendo</p><p>2D, em uma situação em que a dimensão da espessura da peça seja muito pequena em</p><p>relação às demais dimensões. Além das simplificações teóricas, também se faz necessária</p><p>a determinação do domínio de cada variável, ou seja, o intervalo na qual essa variável</p><p>pode estar, e das condições de contorno, que dependem de cada caso específico.</p><p>Neste experimento, esta abordagem será utilizada com o suporte do método de</p><p>Elementos Finitos, que consiste em discretizar a peça com o objetivo principal de facilitar</p><p>a execução dos cálculos a serem realizados. Essa discretização forma uma malha, que</p><p>contém diversos elementos e nós, que devem possuir um tamanho adequado de acordo</p><p>com as dimensões da peça para que não haja deformações relevantes no contorno geral. A</p><p>partir desse processo, será possível obter informações relevantes em relação à distribuição</p><p>de temperatura na peça e o fluxo de calor, por exemplo.</p><p>2 Objetivos</p><p>O presente trabalho tem como objetivo obter os resultados da distribuição de</p><p>temperaturas e o erro associado partindo da simulação de uma placa plana de espessura</p><p>desprezável, em regime permanente e meio isotrópico. Diante disso, serão analisados 2</p><p>casos principais para evidenciar com o equacionamento da temperatura inicial de uma</p><p>das superfícies da placa pode influenciar no erro associado à distribuição de temperatura</p><p>no corpo.</p><p>3 Referenciais Teóricos</p><p>Temperatura é a grandeza escalar a qual podemos aferir a energia cinética de um</p><p>ponto, ou conjunto de pontos numa média, do espaço. Grandezas escalares, diferente de</p><p>vetores, não têm direção e magnitude. Já calor é definido por "a forma de energia que pode</p><p>ser transferida de um sistema para outro em consequência da diferença de temperatura</p><p>entre eles". Com ambos os pontos é perceptível a correlação entre eles. A taxa de variação</p><p>de calor é denomidada transferência de calor. Ela tem unidade de J/s, equivalente à um</p><p>Watt.</p><p>Q̇ =</p><p>dQ</p><p>dt</p><p>(1)</p><p>2</p><p>A taxa de transferência de calor por unidade de área é denomidada fluxo de calor.</p><p>Podemos escrever o fluxo de calor médio como:</p><p>q̇ =</p><p>Q̇</p><p>A</p><p>(2)</p><p>Podemos observar três formas de transferência de calor, sendo elas condução,</p><p>convecção e radiação. Na simulação em estudo a transferência de calor ocorreu por meio</p><p>de condução.</p><p>3.1 Condução</p><p>Condução é a transferência de calor entre partículas vizinhas, que estão em contato</p><p>entre si. Ela pode ocorrer em sólidos, líquidos e gases. Nesses primeiros ela ocorre por</p><p>conta da transferência de energia cinética entre as partículas na malha, em forma de</p><p>vibração, e a energia é transportada por meio de elétrons livres. Já nos dois últimos</p><p>ocorre pela colisão e difusão das moléculas em seus movimentos aleatórios.</p><p>Experimentalmente foi observado que a condução em meios sólidos é proporcional</p><p>à área a qual o calor permeou e a diferença de temperatura dos dois pontos desejados, e</p><p>inversamente proporcional à espessura, ou distância, entre os dois pontos. Também foi</p><p>percebido que diferentes materiais conduzem calor de formas diferentes, logo há uma cons-</p><p>tante de cada material, a condutividade térmica, que define o quão fácil é a transferência</p><p>de calor em um meio.</p><p>Logo então, observamos uma relação:</p><p>Q̇cond = −kA</p><p>∆T</p><p>∆x</p><p>(3)</p><p>No caso da espessura tender à 0, podemos aplicar uma diferencial obtendo:</p><p>Q̇cond = −kA</p><p>dT</p><p>dx</p><p>(4)</p><p>A equação 4 é denomidada Equação de Furier da Condução Térmica. Ela</p><p>funciona muito bem para meios 1D, como por exemplo, a transferência de calor entre</p><p>duas paredes iguais, porém com diferentes temperaturas, homogêneamente distribuídas</p><p>em ambas.</p><p>Para avaliar casos mais gerais é necessário avaliar em 3 dimensões. Nesse momento</p><p>a transferência de calor estará 3 direções também, podemos expressar como:</p><p>Q̇n = −kA</p><p>∂T</p><p>∂n</p><p>= Q̇x⃗i+ Q̇y j⃗ + Q̇zk⃗ (5)</p><p>Da mesma forma podemos determinar o fluxo de calor, para qualquer uma das</p><p>três direções, como:</p><p>q̇ = −k∇T =</p><p>(</p><p>−k</p><p>∂T</p><p>∂x</p><p>,−k</p><p>∂T</p><p>∂y</p><p>,−k</p><p>∂T</p><p>∂z</p><p>)</p><p>(6)</p><p>3</p><p>3.2 Equação da Condução de Calor</p><p>Considere um sólido qualquer, onde há um fluxo de calor entre duas partes do</p><p>sólido. Essa segunda parte tem um volume V e uma superfície S, como na figura 1.</p><p>Figura 1: Sólido com fluxo de calor em seu interior</p><p>Pela primeira lei da termodinâmica sabemos que "a energia não pode ser criada</p><p>nem destruída durante um processo; pode apenas mudar de forma", logo então, a energia</p><p>interna do volume V, dentro do sólido qualquer, não pode ser nada mais que a soma do</p><p>fluxo de calor que atravessa sua superfície S e a energia gerada por ele, caso haja alguma.</p><p>Pode-se escrever esta constatação na forma:</p><p>−</p><p>∫</p><p>S</p><p>q̇ · n̂ dS +</p><p>∫</p><p>V</p><p>ėg dV =</p><p>d</p><p>dt</p><p>∫</p><p>V</p><p>ρei dV (7)</p><p>Pelo teorema da divergência, também chamado de teorema de Gauss, a integral</p><p>de superfície é equivalente à uma integral de volume, na forma:</p><p>−</p><p>∫</p><p>S</p><p>q̇ · n̂ dS = −</p><p>∫</p><p>V</p><p>∇ · q̇ dV (8)</p><p>Logo a equação 7 pode ser reescrita como:</p><p>−</p><p>∫</p><p>V</p><p>∇ · q̇ dV +</p><p>∫</p><p>V</p><p>ėg dV =</p><p>d</p><p>dt</p><p>∫</p><p>V</p><p>ρei dV (9)</p><p>−∇ · q̇ + ėg =</p><p>∂ρei</p><p>∂t</p><p>(10)</p><p>Numa análise de unidades pode-se perceber que a taxa de calor é J/s, logo então</p><p>é possível reescrever a equação 10 substituindo o termo de energia interna utilizando a</p><p>4</p><p>equação fundamental do calor, apresentado na equação 11:</p><p>Q = mc∆t (11)</p><p>E substituindo o fluxo de calor pela equação 6, obtém-se:</p><p>∇ · (K∇T ) + eg = ρCV</p><p>∂T</p><p>∂t</p><p>(12)</p><p>Em um caso mais geral, onde não há geração de energia interna, a equação 12</p><p>pode ser reduzida a:</p><p>K∇2T = ρCV</p><p>∂T</p><p>∂t</p><p>(13)</p><p>α =</p><p>K</p><p>ρCV</p><p>(14)</p><p>∂T</p><p>∂t</p><p>= α∇2T (15)</p><p>E em regime permanente:</p><p>∇2T = 0 (16)</p><p>Com esta equação do calor é possível calcular a dispersão do calor na placa,</p><p>aplicando as condições de controrno necessárias e efetuando a solução para a equação</p><p>diferencial parcial.</p><p>4 Materiais e Métodos</p><p>Nesta seção, serão descritos os materiais e métodos empregados no laboratório</p><p>para a realização das simulações utilizando o software ANSYS. Esses procedimentos foram</p><p>seguidos rigorosamente a fim de garantir a precisão e a confiabilidade dos resultados</p><p>obtidos.</p><p>O software ANSYS é uma poderosa ferramenta de simulação de engenharia que</p><p>oferece uma ampla gama de capacidades de análise, incluindo análise estrutural, térmica,</p><p>fluidodinâmica, eletromagnética e acústica.</p><p>A geometria dos objetos ou sistemas a serem simulados foi</p><p>criada dentro do ambi-</p><p>ente do ANSYS. Isso envolveu a definição de dimensões, formas e características relevantes</p><p>para a análise.</p><p>Todavia, o Ansys utilizados pelos alunos foi a sua versão estudantil, que acarreta</p><p>algumas limitações nas malhas utilizadas.</p><p>5</p><p>5 Resultados e Discussão</p><p>5.1 Problema 1: Dedução da equação governante da transferência de calor</p><p>em meio sólido</p><p>Para realizar a dedução da equação diferencial geral da condução térmica para</p><p>coordenadas cartesianas T = T (x, y, z, t) deve-se considerar o Volume de Controle (VC)</p><p>infinitesimal abaixo com as dimensões características ∆x∆y∆z</p><p>Figura 2: Volume de controle para dedução da equação diferencial</p><p>A expressão geral do balanço de energia é:</p><p>∂</p><p>∂t</p><p>(ρcT )∆x∆y∆z = Q̇cond,xyz + Ėgr (17)</p><p>O termo de interesse na Equação (17) é o segundo termo Q̇cond,xyz, que representa</p><p>o fluxo térmico nas direções x, y e z. Desenvolvendo primeiramente na direção x, tem-se</p><p>que:</p><p>Figura 3: Balanço do fluxo de calor na direção x do volume de controle</p><p>Portanto, o balanço de energia em cada termo é dado pelas seguintes equações:</p><p>Q̇ = Q̇entra − Q̇sai (18)</p><p>Para o eixo x:</p><p>6</p><p>Q̇ = (q̇x − q̇x+∆x) ∆y∆z (19)</p><p>Realizando o balanço para cada um das direções conforme descrito anteriormente,</p><p>e substituindo os resultados na Equação (17), econtra-se o seguinte resultado:</p><p>∂</p><p>∂t</p><p>(ρcT )∆x∆y∆z = q̇x− q̇x+∆x∆y∆z+ q̇y− q̇y+∆y∆x∆z+ q̇z− q̇z+∆z∆x∆y+Ėgr∆x∆y∆z</p><p>(20)</p><p>Divindo-se os temos da Equação (20) por ∆x∆y∆z encontra-se o seguinte resul-</p><p>tado:</p><p>∂</p><p>∂t</p><p>(ρcT ) =</p><p>q̇x − q̇x+∆x</p><p>∆x</p><p>+</p><p>q̇y − q̇y+∆y</p><p>∆y</p><p>+</p><p>q̇z − q̇z+∆z</p><p>∆z</p><p>+ ėgr (21)</p><p>Reescrevendo a Equação (21) de forma com que se possa obter os limites dos</p><p>termos do fluxo de calor, tem-se a Equação (22):</p><p>∂</p><p>∂t</p><p>(ρcT ) =</p><p>q̇x+∆x − q̇x</p><p>∆x</p><p>+</p><p>q̇y+∆y − q̇y</p><p>∆y</p><p>+</p><p>q̇z+∆z − q̇z</p><p>∆z</p><p>+ ėgr (22)</p><p>Tomando os limites da Equação (22) (∆x → 0,∆y → 0,∆z → 0) pode-se escrevê-</p><p>la como:</p><p>∂</p><p>∂t</p><p>(ρcT ) = −</p><p>(</p><p>∂q̇x</p><p>∂x</p><p>+</p><p>∂q̇y</p><p>∂y</p><p>+</p><p>∂q̇z</p><p>∂z</p><p>)</p><p>+ ėgr (23)</p><p>Utilizando a definição da lei de Fourier, podemos escrever:</p><p>q̇x = −k</p><p>∂T</p><p>∂x</p><p>(24)</p><p>q̇y = −k</p><p>∂T</p><p>∂y</p><p>(25)</p><p>q̇z = −k</p><p>∂T</p><p>∂z</p><p>(26)</p><p>Substituindo as Equações (24) (25) e (26) na Equação (23), obtem-se:</p><p>∂</p><p>∂t</p><p>(ρcT ) =</p><p>∂</p><p>∂x</p><p>(</p><p>k</p><p>∂T</p><p>∂x</p><p>)</p><p>+</p><p>∂</p><p>∂y</p><p>(</p><p>k</p><p>∂T</p><p>∂y</p><p>)</p><p>+</p><p>∂</p><p>∂z</p><p>(</p><p>k</p><p>∂T</p><p>∂z</p><p>)</p><p>+ ėgr (27)</p><p>A Equação (27) é a forma geral da Equação da Condução de Calor em Coorde-</p><p>nadas Cartesianas. Para casos em que a condutividade térmica k, a massa específica ρ e</p><p>a capacidade térmica c, podem ser tratada como constantes, o que permite reescrever a</p><p>Equação (27) da seguinte forma:</p><p>ρc</p><p>∂T</p><p>∂t</p><p>= k</p><p>(</p><p>∂2T</p><p>∂x2</p><p>+</p><p>∂2T</p><p>∂y2</p><p>+</p><p>∂2T</p><p>∂z2</p><p>)</p><p>+ ėgr (28)</p><p>A Equação (28) pode ser rearranjada e escrita da seguinte forma:</p><p>7</p><p>∂T</p><p>∂t</p><p>= α</p><p>(</p><p>∂2T</p><p>∂x2</p><p>+</p><p>∂2T</p><p>∂y2</p><p>+</p><p>∂2T</p><p>∂z2</p><p>)</p><p>+ ėgr (29)</p><p>Onde, na Equação (29), α é o Coeficiente de Difusão Térmica:</p><p>α =</p><p>k</p><p>ρc</p><p>(30)</p><p>5.2 Problema 2: Condução em Placa Plana</p><p>Para realizar a simulação numa placa plana de dimensões 20x20mm, e tempera-</p><p>turas definidas de T1 à T4, foi feito o uso do software Ansys. Primeiramente foi feito</p><p>pelos alunos a geometria da placa à ser analisada, definindo as dimensões, e, logo após,</p><p>as condições de contorno, que seriam as temperaturas T1, T2, T3 e T4, além das malhas</p><p>analisadas no problema.</p><p>5.2.1 Caso 1: T1 = 100ºC; T2=T3=T4 = 0ºC</p><p>Esta situação é um caso muito específico à se analisar, uma vez que os erros serão</p><p>de grandezas muito grandes, uma vez que a diferença de temperatura entre as paredes é</p><p>muito grande, de 0ºC à 100ºC.</p><p>Figura 4: Temperatura da parede do corpo</p><p>A solução deste problema pode ser dada por diferentes tipos de malhas, como a</p><p>genérica quadrática, genérica triangular, estruturada quadrática e estruturada triangular.</p><p>Malha Genérica Quadrática: geralmente proporcionam resultados mais pre-</p><p>cisos do que as malhas lineares (ou seja, com elementos de ordem mais baixa) porque eles</p><p>incorporam funções de interpolação de ordem superior, o que permite representar com</p><p>mais precisão geometrias complexas e variações de campo.</p><p>8</p><p>Figura 5: Análise de Elementos Finitos para uma malha genérica quadrática</p><p>Figura 6: Erro associado à Análise de Elementos Finitos para uma malha genérica quadrática</p><p>Malha Genérica Triangular: eficazes na representação de geometrias com mui-</p><p>tos ângulos agudos, como estruturas irregulares. Elas também são mais eficientes em</p><p>termos de recursos computacionais em comparação com malhas quadráticas.</p><p>Figura 7: Análise de Elementos Finitos para uma malha genérica triangular</p><p>9</p><p>Figura 8: Erro associado à Análise de Elementos Finitos para uma malha genérica triangular</p><p>Malha Estruturada Quadrática: são altamente eficientes em termos de re-</p><p>cursos computacionais e geralmente produzem resultados precisos. Malhas quadráticas</p><p>estruturadas, ou organizadas, é feita a escolha do sizing na simulação.</p><p>Figura 9: Análise de Elementos Finitos para uma malha estruturada quadrática</p><p>Figura 10: Erro associado à Análise de Elementos Finitos para uma malha estruturada quadrática</p><p>Malha Estruturada Triangular: podem ser eficientes e adequadas para geo-</p><p>metrias mais simples.</p><p>10</p><p>Figura 11: Análise de Elementos Finitos para uma malha estruturada triangular</p><p>Figura 12: Erro associado à Análise de Elementos Finitos para uma malha estruturada triangular</p><p>5.2.2 Caso 2: T1 = 100 * sen(x*180/20)ºC; T2=T3=T4=0ºC</p><p>Esta situação é um caso mais possível à se analisar, uma vez que os erros serão</p><p>menores ao se comparar com o caso anterior, uma vez que a diferença de temperatura entre</p><p>as paredes é bem menor, por ser analisado a temperatura ao decorrer de uma distância</p><p>"x", com os mínimos próximos às paredes à 0ºC.</p><p>Figura 13: Temperatura das paredes do corpo</p><p>Para uma análise similar ao caso anterior, é possível também ver uma diferença</p><p>não significativa na análise.</p><p>Malha Genérica Quadrática:</p><p>11</p><p>Figura 14: Análise de Elementos Finitos para uma malha estruturada quadrática</p><p>Figura 15: Erro associado à Análise de Elementos Finitos para uma malha genérica quadrática</p><p>Malha Genérica Triangular:</p><p>Figura 16: Temperatura das paredes do corpo</p><p>12</p><p>Figura 17: Temperatura das paredes do corpo</p><p>Malha Estruturada Quadrática:</p><p>Figura 18: Temperatura das paredes do corpo</p><p>Figura 19: Temperatura das paredes do corpo</p><p>Malha Estruturada Triangular:</p><p>13</p><p>Figura 20: Temperatura das paredes do corpo</p><p>Figura 21: Temperatura das paredes do corpo</p><p>5.2.3 Considerações Finais</p><p>Caso 1: A alteração das malhas pode causar uma pequena variação no resultado</p><p>total, já que as malhas analisam setores das peças. Ao comparar os resultados, a maior</p><p>discrepância observada, seja nos erros ou na análise em si, foi de cerca de 13,8%.</p><p>Caso 2: Da mesma forma que no caso anterior, é possível identificar uma variação</p><p>no valor. Ao analisar os resultados, a maior discrepância, seja nos erros ou na análise em</p><p>si, foi de aproximadamente 8,97%.</p><p>6 Conclusão</p><p>A condução de calor é o primeiro mecanismo explorado no curso de Transferência</p><p>de Calor devido à sua natureza intuitiva nas fases iniciais do estudo. A transferência de</p><p>calor por condução é governada por uma equação analítica, representada pela Equação</p><p>(29). Esta equação, uma Equação Diferencial Parcial (EDP), pode ser desafiadora e</p><p>dispendiosa de resolver, dependendo da geometria do problema em questão. Em muitos</p><p>casos, a Equação (29) é simplificada para uma Equação Diferencial Ordinária (EDO)</p><p>quando aplicada analiticamente em situações unidimensionais (1D).</p><p>Para tratar geometrias com mais de uma dimensão (2D ou 3D), a abordagem</p><p>numérica, utilizando o software Ansys, surge como uma alternativa viável para resolver a</p><p>Equação (29) como uma EDP. Neste estudo, verificou-se que, mesmo com o uso de métodos</p><p>numéricos, os resultados obtidos precisam ser cuidadosamente avaliados, e as condições de</p><p>contorno devem ser adequadamente estabelecidas. Isso fica evidente ao comparar os casos</p><p>numéricos 1 e 2, nos quais os erros observados destacam a importância das condições de</p><p>14</p><p>contorno inicialmente definidas para obter resultados precisos no contexto do problema</p><p>estudado.</p><p>7 Referências</p><p>[1] Yunus A. Çengel, Afshin J. Ghajar; Transferência</p><p>de calor e massa, uma</p><p>abordagem prática. 4ª Edição, McGraw Hill, 2012</p><p>15</p><p>Introdução</p><p>Objetivos</p><p>Referenciais Teóricos</p><p>Condução</p><p>Equação da Condução de Calor</p><p>Materiais e Métodos</p><p>Resultados e Discussão</p><p>Problema 1: Dedução da equação governante da transferência de calor em meio sólido</p><p>Problema 2: Condução em Placa Plana</p><p>Caso 1: T1 = 100ºC; T2=T3=T4 = 0ºC</p><p>Caso 2: T1 = 100 * sen(x*180/20)ºC; T2=T3=T4=0ºC</p><p>Considerações Finais</p><p>Conclusão</p><p>Referências</p>