1a_Prova_de_Calculo_com_resoluc_a_o

Prévia do material em texto

<p>DISCIPLINA: Cálculo Diferencial e Integral I PERÍODO: 2013.2</p><p>CURSO: TURNO: MANHÃ</p><p>PROFESSOR: DATA: 09/12/2013</p><p>ALUNO(A): NOTA:</p><p>AVALIAÇÃO 1</p><p>1. (3,0) Considere a função dada por</p><p>f (x) =</p><p></p><p></p><p></p><p>2, se x < −1</p><p>x2, se −1 ≤ x ≤ 01√x, se x ≥ 0</p><p>.</p><p>(a) Esboce o gráfico da função f ;</p><p>(b) Determine o domínio e a imagem da função;</p><p>(c) f é contínua em x = −1? E na origem?</p><p>2. (1,0) Dadas as funções f e g definidas por f (x) = (x − 2)2 para x ≥ 2</p><p>e g(x) = √x + 2 para x ≥ 0 determine f ◦ g e g ◦ f . O que podemos</p><p>afirmar sobre as funções f e g?</p><p>3. (3,0) Calcule, caso existam, os limites dados a seguir:</p><p>(a) lim</p><p>x→1</p><p>√4 − 3x − x4</p><p>x3/2 + 1 (b) lim</p><p>x→1</p><p>x3 − x2 − 4x + 4</p><p>x3 − 1</p><p>(c) lim</p><p>x→−2</p><p>x + 2√</p><p>x2 + 5 − 3 (d) lim</p><p>x→0</p><p>x</p><p>cos x sen 2x</p><p>4. (1,0) O limite lim</p><p>x→0</p><p>|x| cos x</p><p>x existe? Justifique sua resposta.</p><p>5. (2,0) Determine, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais do</p><p>gráfico da função f (x) = x2 − 4</p><p>x2 − 3x + 2.</p><p>BOA PROVA!!!</p><p>RESPOSTAS DA AVALIAÇÃO 1</p><p>1. (a) (0,5)</p><p>(b) (0,5) O domínio da função é o conjunto D(f ) = R e a imagem é o</p><p>conjunto Im(f ) = [0, +∞).</p><p>(c) (1,0) É fácil ver analisando o gráfico que f é descontínua em</p><p>x = −1 e contínua em x = 0.</p><p>2. (1,0) Temos</p><p>(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√x + 2) = (√x + 2 − 2)2 = (√x)2 = x</p><p>se x ≥ 2 e</p><p>(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g((x − 2)2) =</p><p>√</p><p>(x − 2)2 + 2</p><p>= |x − 2| + 2 = x − 2 + 2 = x</p><p>se x ≥ 2. Logo, quando x ≥ 2 as funções f e g são inversas uma da</p><p>outra.</p><p>3. (4,0)</p><p>(a) (1,0) Temos</p><p>lim</p><p>x→1</p><p>√4 − 3x − x4</p><p>x3/2 + 1 =</p><p>√4 − 3 · 1 − 1</p><p>13/2 + 1 = 0</p><p>2 = 0.</p><p>(b) (1,0) Neste caso temos uma indeterminação do tipo 0/0. Fazendo</p><p>a divisão de x3 − x2 − 4x + 4 por x − 1 e de x3 − 1 por x − 1</p><p>obtemos as fatorações</p><p>x3 −x2 −4x +4 = (x −1)(x2 −4) e x3 −1 = (x −1)(x2 + x +1).</p><p>2</p><p>Logo</p><p>lim</p><p>x→1</p><p>x3 − x2 − 4x + 4</p><p>x3 − 1 = lim</p><p>x→1</p><p>(x − 1)(x2 − 4)</p><p>(x − 1)(x2 + x + 1) = lim</p><p>x→1</p><p>x2 − 4</p><p>x2 + x + 1</p><p>= 12 − 4</p><p>12 + 1 + 1 = −1.</p><p>(c) (1,0) Neste caso temos uma indeterminação do tipo 0/0. Fazendo</p><p>uma racionalização obtemos</p><p>lim</p><p>x→−2</p><p>x + 2√</p><p>x2 + 5 − 3 = lim</p><p>x→−2</p><p>x + 2√</p><p>x2 + 5 − 3 ·</p><p>√</p><p>x2 + 5 + 3√</p><p>x2 + 5 + 3</p><p>= lim</p><p>x→−2</p><p>(x + 2)(√x2 + 5 + 3)</p><p>x2 + 5 − 9</p><p>= lim</p><p>x→−2</p><p>(x + 2)(√x2 + 5 + 3)</p><p>x2 − 4</p><p>= lim</p><p>x→−2</p><p>(x + 2)(√x2 + 5 + 3)</p><p>(x + 2)(x − 2)</p><p>= lim</p><p>x→−2</p><p>√</p><p>x2 + 5 + 3</p><p>x − 2 = 3 + 3</p><p>−4 = −3</p><p>2.</p><p>(d) (1,0) Neste caso temos uma indeterminação do tipo 0/0. Vamos</p><p>utilizar os limites trigonométricos fundamentais. Temos</p><p>lim</p><p>x→0</p><p>x</p><p>cos x sen 2x = lim</p><p>x→0</p><p>x</p><p>cos x sen 2x</p><p>2x 2x</p><p>= lim</p><p>x→0</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>cos x sen 2x</p><p>2x</p><p>= 1</p><p>2 · 1</p><p>1 · 1 = 1</p><p>2.</p><p>4. (2,0) Como a função |x| está envolvida vamos calcular os limites</p><p>laterais. Temos</p><p>lim</p><p>x→0+</p><p>|x| cos x</p><p>x = lim</p><p>x→0+</p><p>x cos x</p><p>x = lim</p><p>x→0+</p><p>cos x = 1</p><p>e</p><p>lim</p><p>x→0−</p><p>|x| cos x</p><p>x = lim</p><p>x→0−</p><p>−x cos x</p><p>x = − lim</p><p>x→0−</p><p>cos x = −1</p><p>Assim, o limite não existe, pois os limites laterais existem mas são</p><p>distintos.</p><p>3</p><p>5. (2,0) Note que</p><p>lim</p><p>x→±∞</p><p>x2 − 4</p><p>x2 − 3x + 2 = 1.</p><p>Logo, y = 1 é a única assíntota horizontal do gráfico da função.</p><p>Por outro lado, sabemos que x = 2 e x = 1 (raízes de x2 − 3x + 2)</p><p>são as indeterminações da função. Neste caso, temos</p><p>lim</p><p>x→2+</p><p>x2 − 4</p><p>x2 − 3x + 2 = lim</p><p>x→2+</p><p>(x + 2)(x − 2)</p><p>(x − 2)(x − 1) = − lim</p><p>x→2+</p><p>x + 2</p><p>x − 1 = 4;</p><p>ou seja, não temos assíntota vertical em x = 2. Mas</p><p>lim</p><p>x→1+</p><p>x2 − 4</p><p>x2 − 3x + 2 = lim</p><p>x→1+</p><p>x + 2</p><p>x − 1 = 3</p><p>0+ = +∞</p><p>e</p><p>lim</p><p>x→1−</p><p>x2 − 4</p><p>x2 − 3x + 2 = lim</p><p>x→1+</p><p>x + 2</p><p>x − 1 = 3</p><p>0− = −∞.</p><p>Portanto, x = 1 é a única assíntota vertical do gráfico da função.</p><p>BOA PROVA!!!</p><p>4</p>