Noções Sobre Corrente Alternada Senoidal

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<p>DESCRIÇÃO</p><p>Introdução à análise de circuitos em corrente alternada (CA) em regime permanente senoidal, técnicas</p><p>de análise de circuitos CA, circuitos CA trifásicos e potência CA.</p><p>PROPÓSITO</p><p>Compreender as relações entre tensão e corrente em regime de CA senoidal para fins de resolução de</p><p>circuitos no domínio da frequência. Apresentar o sistema trifásico e a relação de potências em CA.</p><p>PREPARAÇÃO</p><p>Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e, se possível, uma calculadora</p><p>científica para facilitar seus cálculos com números complexos.</p><p>OBJETIVOS</p><p>MÓDULO 1</p><p>Formular a relação entre tensão e corrente em regime permanente senoidal</p><p>MÓDULO 2</p><p>Aplicar técnicas de resolução de circuitos em CA no domínio da frequência</p><p>MÓDULO 3</p><p>Reconhecer sistemas trifásicos e relações de potência CA</p><p>NOÇÕES SOBRE CORRENTE ALTERNADA</p><p>SENOIDAL</p><p>MÓDULO 1</p><p> Formular a relação entre tensão e corrente em regime permanente senoidal</p><p>RELAÇÃO ENTRE TENSÃO E CORRENTE EM</p><p>REGIME PERMANENTE SENOIDAL</p><p>RELAÇÃO ENTRE TENSÃO E CORRENTE</p><p>AS TENSÕES SENOIDAIS DISPONIBILIZADAS PARA USO EM</p><p>RESIDÊNCIAS, INDÚSTRIAS E APLICAÇÕES EM GERAL SÃO</p><p>ORIGINADAS EM GERADORES DE CA.</p><p>Entender a origem dos sinais alternados senoidais é o primeiro passo para aplicar as relações entre</p><p>tensões e correntes alternadas para solução de circuitos com fontes variáveis.</p><p>A figura a seguir ilustra a forma de onda de um sinal senoidal, que se repete em intervalos definidos. É</p><p>possível dizer então que se trata de um sinal periódico.</p><p>Imagem: Shutterstock.com.</p><p> Figura 1: Forma de onda senoidal.</p><p>Esse sinal periódico senoidal pode ser modelado por uma função cosseno (Equação 1). Por se tratar</p><p>de um sinal que se repete, é possível obter sua frequência, que é o número de ciclos por segundo,</p><p>medida em Hertz (Hz) ou radianos por segundo ( ω ) .</p><p>AMCOS</p><p>(1)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Na Equação 1 é possível ainda observar o ângulo ∅, denominado ângulo de fase do sinal senoidal. Ele</p><p>determina o deslocamento da função no eixo de tempo (Figura 2). Essa forma de onda senoidal pode ser</p><p>a representação de qualquer forma de onda alternada, como tensões, correntes ou potências.</p><p>Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.</p><p> Figura 2: Defasagem entre senoides.</p><p>O valor 𝑉𝑀 na figura acima refere-se ao valor máximo da amplitude do sinal, tanto no semiciclo positivo</p><p>quanto no semiciclo negativo. Esse valor também é conhecido como valor de pico, de modo que a</p><p>amplitude total, entre os valores máximos positivo e negativo, é denominada valor de pico a pico 𝑉𝑃𝑃 ,</p><p>dado pela Equação 2:</p><p>𝑉𝑃𝑃 = 2𝑉𝑀</p><p>(2)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A expressão matemática geral que representa um sinal senoidal é dada pela Equação 3.</p><p>𝐴𝑚 sen (𝛼)</p><p>(3)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em que 𝐴𝑚 é a amplitude máxima (de pico) do sinal e α = ω𝑡 é o argumento do sinal, determinado pelo</p><p>produto da frequência angular com o período do ciclo desse sinal.</p><p> EXEMPLO</p><p>Considere a forma de onda de tensão senoidal da próxima figura. Essa tensão apresenta um valor de</p><p>pico de 10 V, um período de oscilação de 0,8 s (tempo gasto para completar um ciclo de onda) e uma</p><p>frequência de 1,25 Hz (quantidade de ciclos por segundo ou o inverso do período).</p><p>𝑓 = 1</p><p>𝑇</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em que f é a frequência em Hertz e T, o período em segundos.</p><p>Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.</p><p> Figura 3: Exemplo 1.</p><p> EXEMPLO</p><p>Sejam 𝑣1 (𝑡) e 𝑣2 (𝑡) duas tensões senoidais. Determine a frequência desses sinais em Hz e o ângulo de</p><p>fase entre elas.</p><p>𝑣1 𝑡 = 10𝑠𝑒𝑛377𝑡 + 30° V</p><p>𝑣2 (𝑡) = 5𝑠𝑒𝑛(377𝑡 - 20°) V</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A frequência em Hz é dada por:</p><p>f = ω</p><p>2π = 377</p><p>2π = 60 Hz</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Já o ângulo de fase entre os sinais é dado por:</p><p>∅ = 30° - -20° = 50°</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>VALOR MÉDIO DE UM SINAL SENOIDAL</p><p>O VALOR MÉDIO DE UM SINAL SENOIDAL É SIMPLESMENTE A</p><p>MÉDIA DESSE SINAL AO LONGO DE UM PERÍODO.</p><p>Tal valor pode ser entendido como a componente CC presente no sinal CA. Na figura a seguir o valor</p><p>médio do sinal é a área sob a curva do gráfico.</p><p>Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.</p><p> Figura 4: Definição de valor médio.</p><p> ATENÇÃO</p><p>Para um sinal senoidal simétrico ao eixo x, a média será zero, pois os valores dos semiciclos positivo e</p><p>negativo se anulam no cálculo da média.</p><p>VALOR EFICAZ (RMS) DE UM SINAL SENOIDAL</p><p> SAIBA MAIS</p><p>O valor eficaz ou rms (do inglês root mean square, valor quadrado médio) refere-se à medida de um</p><p>sinal CA que dissipa a mesma potência em uma resistência alimentada por um sinal CC.</p><p>O valor rms para sinais senoidais é dado pela Equação 4:</p><p>𝐴𝑟𝑚𝑠 = 𝐴𝑚</p><p>√2</p><p>(4)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em que 𝐴𝑚 é a amplitude máxima ou de pico do sinal.</p><p> COMENTÁRIO</p><p>As tensões indicadas pelas empresas de energia em instalações residenciais, por exemplo (127 V ou</p><p>220 V), já são valores rms.</p><p>FASORES</p><p>As expressões que representam um sinal CA senoidal, como o descrito na Equação 3, podem ser</p><p>expressas de forma mais simplificada utilizando fasores.</p><p>FASORES SÃO VETORES QUE GIRAM EM CÍRCULO NO SENTIDO</p><p>ANTI-HORÁRIO A DADA VELOCIDADE ANGULAR CONSTANTE.</p><p>Para exemplificar como eles são representados, considere a Equação 5 que descreve uma tensão</p><p>senoidal:</p><p>𝑉𝑡 = 𝑉𝑚 𝑐𝑜𝑠ω𝑡 + θ</p><p>(5)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Para descrever esse sinal de tensão completamente, basta conhecer seu valor máximo e seu ângulo de</p><p>fase. Dessa forma, essa tensão pode ser representada por um número complexo na forma polar:</p><p>NÚMERO COMPLEXO</p><p>javascript:void(0)</p><p>Lembrando que a representação de números complexos em temas de eletricidade é feita com a</p><p>letra 𝑗 em vez da letra 𝑖.</p><p>𝑉 = 𝑉𝑚 𝑒</p><p>𝑗θ = 𝑉𝑚∠θ</p><p>(6)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A Equação 6 é definida como um fasor, representado em negrito para diferenciá-lo de outros números</p><p>complexos.</p><p>Uma senoide pode ser representada por um conjunto de fasores de amplitude constante (Figura 5).</p><p>Conforme o sinal senoidal ocorre ao longo do tempo, o fasor (vetor no ciclo trigonométrico) assume</p><p>posições angulares (ou fases) diferentes.</p><p>Quando essa senoide completa um ciclo, o fasor completa um giro, de modo que pode ser denominado</p><p>como um vetor girante.</p><p>Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.</p><p> Figura 5: Relação gráfica entre sinal senoidal e fasor.</p><p> ATENÇÃO</p><p>Grandezas defasadas – Quando duas ou mais senoides de mesma frequência não atingem seus</p><p>respectivos valores máximos no mesmo instante do tempo, diz-se que elas estão defasadas.</p><p>Grandezas em fase – Quando duas ou mais senoides de mesma frequência (com a mesma amplitude</p><p>ou não) atingem seus respectivos valores máximos no mesmo instante, diz-se que elas estão em fase.</p><p>RELAÇÃO DE TENSÃO E CORRENTE PARA</p><p>FASORES</p><p>Considerando que as tensões e correntes em um circuito de CA podem ser representadas na forma de</p><p>fasores, é importante conhecer a relação entre essas grandezas para os elementos do circuito, ou seja:</p><p>Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.</p><p>RESISTORES</p><p>Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.</p><p>INDUTORES</p><p>Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.</p><p>CAPACITORES</p><p>Essa relação tem como base a própria Lei de Ohm, com o fator de proporcionalidade sendo uma</p><p>constante ou uma função da frequência ω. No caso dos resistores, tem-se:</p><p>Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.</p><p> Figura 6: Resistor alimentado por uma fonte senoidal.</p><p>V = Ri</p><p>(7)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em que:</p><p>Vt = Vm cosωt + θ</p><p>(8)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a</p><p>rolagem horizontal</p><p>it = Im cosωt + φ</p><p>(9)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Considerando as Equações 8 e 9 na forma polar e substituindo na Equação 7, a Lei de Ohm para os</p><p>resistores será dada por:</p><p>𝑉𝑚 𝑒</p><p>𝑗θ = 𝑅𝐼𝑚 𝑒</p><p>𝑗φ</p><p>(10)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Sendo 𝑉𝑚 𝑒</p><p>𝑗θ e 𝐼𝑚 𝑒</p><p>𝑗φ os fasores de tensão e corrente, respectivamente. Dessa forma, a representação</p><p>fasorial para a relação entre tensão e corrente em resistores é:</p><p>𝑉 = 𝑅𝐼</p><p>(11)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p> ATENÇÃO</p><p>Para os resistores, a relação fasorial no domínio da frequência é igual à relação do domínio do tempo,</p><p>de modo que os ângulos de tensão (θ) e corrente (φ) são iguais e são ditos em fase.</p><p>Para o indutor, é preciso primeiro relembrar a sua relação no domínio do tempo:</p><p>𝑉(𝑡) = 𝐿𝑑𝑖(𝑡)𝑑𝑡</p><p>(12)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A representação complexa da Equação 12 é dada pela Equação 13:</p><p>𝑉𝑚 𝑒</p><p>𝑗(𝜔𝑡 + 𝜃) = 𝑗𝜔𝐿𝐼𝑚 𝑒</p><p>𝑗(𝜔𝑡 + 𝜑)</p><p>(13)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Assim, sua representação na forma de fasores é:</p><p>𝑉 = 𝑗𝜔𝐿𝐼</p><p>(14)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>O fator de proporcionalidade para a Lei de Ohm aplicada ao indutor é 𝑗ω𝐿. A corrente será atrasada em</p><p>90° em relação à tensão.</p><p>Para o caso do capacitor, sua relação no domínio do tempo é dada por:</p><p>𝑖𝑡 = 𝐶𝑑𝑉(𝑡)</p><p>𝑑𝑡</p><p>(15)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A partir da mesma análise feita para o indutor, a Equação 15 pode ser fasorialmente representada por:</p><p>𝐼 = 𝑗ω𝐶𝑉 ⇒ 𝑉 = 𝐼</p><p>𝑗ω𝐶</p><p>(16)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A Equação 16 demonstra que a corrente e a tensão estão novamente fora de fase. Nesse caso, para o</p><p>capacitor, a corrente está adiantada 90° em relação à tensão.</p><p>A Tabela 1 traz um resumo da relação entre tensão e corrente para os três componentes abordados:</p><p>resistores, indutores e capacitores.</p><p>Elemento Domínio do tempo Domínio da frequência</p><p>𝑅 𝑉 = 𝑅𝑖 𝑉 = 𝑅𝐼</p><p>𝐿 𝑉 = 𝐿𝑑𝑖𝑑𝑡 𝑉 = 𝑗ω𝐿𝐼</p><p>𝐶 𝑖 = 𝐶𝑑𝑣𝑑𝑡 𝑉 = 𝐼</p><p>𝑗ω𝐶</p><p>Tabela 1: Relação entre tensão e corrente nos elementos. Elaborado por Isabela Oliveira Guimarães.</p><p> Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal</p><p>TEORIA NA PRÁTICA</p><p>Considere que a equação senoidal a seguir representa tensão em um indutor. Utilizando os conceitos</p><p>vistos anteriormente, converta essa tensão para sua representação na forma fasorial.</p><p>𝑉𝑡 = 5𝑐𝑜𝑠20𝑡 + 30° 𝑉</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>RESOLUÇÃO</p><p>Considerando a representação geral de um sinal senoidal, conforme a Equação 5, tem-se:</p><p>𝑉𝑡 = 𝑉𝑚 𝑐𝑜𝑠ω𝑡 + θ</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Para determinar sua representação fasorial, basta conhecer o valor máximo da tensão 𝑉𝑚 e seu ângulo</p><p>de fase (θ):</p><p>𝑉 = 𝑉𝑚 𝑒</p><p>𝑗𝜃 = 𝑉𝑚∠𝜃</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Assim, a representação fasorial do problema será dada por:</p><p>𝑉 = 5𝑒𝑗30° = 5∠30°</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>RESOLUÇÃO</p><p>MÃO NA MASSA</p><p>1. AS INFORMAÇÕES DA FORMA DE ONDA DE TENSÃO ALTERNADA MEDIDAS</p><p>POR UM ENGENHEIRO FORAM: Vt = 20cos 377t + 45° V</p><p>PARA FAZER UM ESTUDO MAIS APROFUNDADO DO SISTEMA, FOI</p><p>NECESSÁRIO CONHECER O PERÍODO DESSA SENOIDE, QUE TEM O VALOR DE:</p><p>A) 60 segundos</p><p>B) 16,6 segundos</p><p>C) 0,016 segundos</p><p>D) 0,16 segundos</p><p>E) 1,6 segundos</p><p>2. PARA OS SINAIS 𝑉1 = 100cos ω𝑡 + 15° E 𝑉2 = 150cos ω𝑡 + 45°, É CORRETO</p><p>AFIRMAR QUE:</p><p>A) 𝑉2 está avançada em relação a 𝑉1 em 30°;</p><p>B) 𝑉1 está avançada em relação a 𝑉2 em 60°;</p><p>C) 𝑉2 está atrasada em relação a 𝑉1 em 30°;</p><p>D) 𝑉2 está avançada em relação a 𝑉1 em 60°;</p><p>E) 𝑉1 e 𝑉2 estão em fase.</p><p>3. PARA OS SINAIS SENOIDAIS 𝑉1 = 10cos ω𝑡 + 25° E 𝑉2 = 15cos ω𝑡 - 30°, O</p><p>ÂNGULO DE FASE ENTRE ELES É DADO POR:</p><p>A) 30°</p><p>B) 45°</p><p>C) 50°</p><p>D) 55°</p><p>E) 60°</p><p>4. DADA A TENSÃO SENOIDAL REPRESENTADA POR 𝑉 = - 3 + 𝑗4 𝑉, A EQUAÇÃO</p><p>QUE A REPRESENTA NO DOMÍNIO DO TEMPO É:</p><p>A) 𝑉𝑡 = 5 cos (ω𝑡 + 126,8°)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>B) 𝑉𝑡 = 3 cos (ω𝑡 + 154,3°)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>C) 𝑉𝑡 = 4 cos (ω𝑡 + 125,8°)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>D) 𝑉𝑡 = 5 cos (ω𝑡 + 137,9°)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>E) 𝑉𝑡 = 4 cos (ω𝑡 + 126,8°)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>5. O FASOR QUE MELHOR REPRESENTA O SINAL DE CORRENTE</p><p>𝑖𝑡 = - 8 𝑠𝑒𝑛(10𝑡 + 70°) É DADO POR:</p><p>A) -8∠70°</p><p>B) 8∠70°</p><p>C) -8∠160°</p><p>D) 8∠160°</p><p>E) -8∠140°</p><p>6. A PARTIR DAS RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ENTRE SENO E COSSENO, O</p><p>VALOR REFERENTE À DEFASAGEM ANGULAR DAS CORRENTES</p><p>𝑖1 = 4 cos (ω𝑡 + 20°) E 𝑖2 = - 2 cos (ω𝑡 + 18°) É DADA POR:</p><p>A) 2°</p><p>B) 38°</p><p>C) 88°</p><p>D) 108°</p><p>E) -88°</p><p>GABARITO</p><p>1. As informações da forma de onda de tensão alternada medidas por um engenheiro foram:</p><p>Vt = 20cos 377t + 45° V</p><p>Para fazer um estudo mais aprofundado do sistema, foi necessário conhecer o período dessa</p><p>senoide, que tem o valor de:</p><p>A alternativa "C " está correta.</p><p>O período 𝑇 de um sinal senoidal é dado pelo inverso de sua frequência. Para o problema proposto, a</p><p>frequência angular é ω = 377 𝑟𝑎𝑑 / 𝑠. Dessa forma, o período 𝑇 será:</p><p>𝑇 = 2π</p><p>ω = 2π</p><p>377 = 0,016 𝑠</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>2. Para os sinais 𝑉1 = 100cos ω𝑡 + 15° e 𝑉2 = 150cos ω𝑡 + 45°, é correto afirmar que:</p><p>A alternativa "A " está correta.</p><p>3. Para os sinais senoidais 𝑉1 = 10cos ω𝑡 + 25° e 𝑉2 = 15cos ω𝑡 - 30°, o ângulo de fase entre eles</p><p>é dado por:</p><p>A alternativa "D " está correta.</p><p>Considerando a representação complexa de um sinal senoidal na forma</p><p>𝑉𝑡 = 𝑉𝑚 𝑐𝑜𝑠ω𝑡 + θ</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>tem-se que θ é denominado ângulo de fase do sinal.</p><p>Dessa forma, o ângulo de fase entre as tensões 𝑉1 e 𝑉2 descritas será:</p><p>ϕ = 25° - -30° = 55°</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>4. Dada a tensão senoidal representada por 𝑉 = - 3 + 𝑗4 𝑉, a equação que a representa no domínio</p><p>do tempo é:</p><p>A alternativa "A " está correta.</p><p>A tensão senoidal oferecida é um número complexo, representado na forma retangular. Utilizando</p><p>relações trigonométricas no plano imaginário, a sua representação na forma polar será:</p><p>𝑉 = 5𝑒𝑗126,8° = 5∠126,8°</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A partir da representação fasorial, em que se conhece facilmente o valor máximo e o ângulo de fase da</p><p>tensão, é possível obter sua equação no domínio do tempo:</p><p>𝑉𝑡 = 5 cos (ω𝑡 + 126,8°)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>5. O fasor que melhor representa o sinal de corrente 𝑖𝑡 = - 8 𝑠𝑒𝑛(10𝑡 + 70°) é dado por:</p><p>A alternativa "D " está correta.</p><p>É necessário tornar a função seno positiva e convertê-la para função cosseno:</p><p>𝑖𝑡 = - 8 𝑠𝑒𝑛10𝑡 + 70° = 8 𝑠𝑒𝑛10𝑡 + 70° + 180° = 8 𝑠𝑒𝑛(10𝑡 + 250°)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>𝑖𝑡 = 8 𝑠𝑒𝑛10𝑡 + 250° = 8cos(10𝑡 + 250° - 90°)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>𝑖𝑡 = 8 𝑐𝑜𝑠(10𝑡 + 160°)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>𝑖(𝑡) = 8∠160°</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>6. A partir</p><p>das relações trigonométricas entre seno e cosseno, o valor referente à defasagem</p><p>angular das correntes 𝑖1 = 4 cos (ω𝑡 + 20°) e 𝑖2 = - 2 cos (ω𝑡 + 18°) é dada por:</p><p>A alternativa "E " está correta.</p><p>A partir das regras trigonométricas de conversão de seno e cosseno, tem-se:</p><p>-𝑠𝑒𝑛 ω𝑡 = 𝑠𝑒𝑛 (ω𝑡 + 180°)</p><p>Logo, 𝑖2 = 2 cos (ω𝑡 + 18° + 180°) = 2 cos (ω𝑡 + 18° + 198°)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Para converter a função seno para cosseno basta subtrair 90°, então:</p><p>𝑖2 = 2 cos (ω𝑡 + 108°)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Como o ângulo de fase de 𝑖1 = 20° e 𝑖1 = 108°, a defasagem entre essas correntes será de -88°.</p><p>GABARITO</p><p>VERIFICANDO O APRENDIZADO</p><p>1. EM UM CIRCUITO ELÉTRICO EM SÉRIE HÁ DUAS TENSÕES, 𝑉1 E 𝑉2 , DADAS</p><p>POR 10 cos(377𝑡 - 𝜋3) E 12cos377𝑡 + 30°, RESPECTIVAMENTE. O VALOR QUE</p><p>REPRESENTA A TENSÃO EQUIVALENTE DESSE CIRCUITO, OU SEJA, 𝑉1 + 𝑉2</p><p>, É DADA POR:</p><p>A) 14,5 cos (377𝑡 + 6,8°) V</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>B) 15,6 cos (377𝑡 + 8,8°) V</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>C) 14,5 cos (377𝑡 - 7,8°) V</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>D) 15,6 cos (377𝑡 - 9,8°) V</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>E) 14,5 cos (377𝑡 + 5,8°) V</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>2. UM CAPACITOR DE 2 Μ 𝐹 É SUBMETIDO A UMA CORRENTE SENOIDAL</p><p>CUJO VALOR É 4 𝑠𝑒𝑛106 𝑡 + 25°𝐴. NESSA SITUAÇÃO, A TENSÃO NO CAPACITOR</p><p>VALE:</p><p>A) 2 𝑠𝑒𝑛106 𝑡 + 25°</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>B) 4𝑠𝑒𝑛106 𝑡 + 65°</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>C) 2 𝑠𝑒𝑛106 𝑡 - 25°</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>D) 4𝑠𝑒𝑛106 𝑡 + 25°</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>E) 2 𝑠𝑒𝑛106 𝑡 - 65°</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>GABARITO</p><p>1. Em um circuito elétrico em série há duas tensões, 𝑉1 e 𝑉2 , dadas por 10 cos(377𝑡 - 𝜋3) e</p><p>12cos377𝑡 + 30°, respectivamente. O valor que representa a tensão equivalente desse circuito, ou</p><p>seja, 𝑉1 + 𝑉2 , é dada por:</p><p>A alternativa "D " está correta.</p><p>Inicialmente é interessante converter as tensões para suas formas fasoriais:</p><p>𝑉1 = 10 ∠ 30° → π</p><p>3 = 30°</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>𝑉2 = 12 ∠ 30°</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Como os sinais são somados no circuito em série, a solução mais fácil é converter novamente os sinais</p><p>para sua forma retangular a fim de somar as partes reais e imaginárias e posteriormente colocar o</p><p>resultado no formato das alternativas.</p><p>𝑉1 + 𝑉2 = 5 - 𝑗8,66 + 10,4 + 𝑗6 = 15,6∠ - 9,8°</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Portanto, a alternativa que representa a soma das tensões 𝑉1 e 𝑉2 é:</p><p>15,6cos 377𝑡 - 9,8°𝑉</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>2. Um capacitor de 2 µ 𝐹 é submetido a uma corrente senoidal cujo valor é 4 𝑠𝑒𝑛106 𝑡 + 25°𝐴.</p><p>Nessa situação, a tensão no capacitor vale:</p><p>A alternativa "E " está correta.</p><p>A partir da relação entre tensão e corrente no capacitor:</p><p>𝑉 = 𝐼</p><p>𝑗ω𝐶</p><p>𝑉 = 4 𝑠𝑒𝑛106 𝑡 + 25°</p><p>𝑗106 × 2 µ</p><p>= 2 𝑠𝑒𝑛106 𝑡 - 65°𝑉</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>MÓDULO 2</p><p> Aplicar técnicas de resolução de circuitos em CA no domínio da frequência</p><p>TÉCNICAS DE RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS CA</p><p>NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA</p><p>REATÂNCIA INDUTIVA E CAPACITIVA</p><p>Lembramos que um resistor, atravessado por uma corrente, apresenta uma oposição à passagem dessa</p><p>corrente que chamamos de resistência.</p><p>O COMPORTAMENTO DE UMA RESISTÊNCIA TANTO NA CORRENTE</p><p>CONTÍNUA (CC) QUANTO NA CORRENTE ALTERNADA (CA) É O</p><p>MESMO. O RESISTOR, QUANDO SUBMETIDO A UMA CORRENTE,</p><p>DISSIPA CALOR ATRAVÉS DO EFEITO JOULE.</p><p>No entanto, quando tratamos de indutores e capacitores, há um comportamento diferente nos regimes</p><p>de CC e CA. Um indutor em regime de CC funciona como um curto-circuito, mas, na CA, o indutor é</p><p>carregado e descarregado na mesma frequência da senoide, o que gera um comportamento de oposição</p><p>à passagem da corrente alternada. Esse efeito, semelhante ao da resistência, é a reatância indutiva, e</p><p>é representado por 𝑋𝐿 .</p><p>Imagem: Shutterstock.com.</p><p>Um capacitor em regime de CC funciona como um circuito aberto, mas na CA o capacitor é carregado e</p><p>descarregado na mesma frequência da senoide, o que gera um comportamento de oposição à</p><p>passagem da corrente alternada. Esse efeito, semelhante ao da resistência, é a reatância capacitiva, e</p><p>é representado por 𝑋𝐶 .</p><p>IMPEDÂNCIA DO CIRCUITO</p><p>Em CA, a relação entre tensão e corrente referente às resistências e reatâncias do circuito, deve ser</p><p>feita utilizando fasores, conforme detalhado no Módulo 1.</p><p>TAL RELAÇÃO NORMALMENTE RESULTA NA EXPRESSÃO DOS</p><p>COMPONENTES DO CIRCUITO COMO NÚMEROS COMPLEXOS, O</p><p>QUE SERÁ TRATADO COMO A IMPEDÂNCIA DE CADA ELEMENTO.</p><p>Considere as relações entre tensão e corrente para os três componentes estudados: resistor, indutor e</p><p>capacitor no domínio da frequência.</p><p>𝑉 = 𝑅𝐼 𝑉 = 𝑗ω𝐿𝐼 𝑉 = 𝐼</p><p>𝑗ω𝐶</p><p>(17)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Essas relações são a representação da Lei de Ohm na forma fasorial, de modo que é possível</p><p>reescrevê-las como:</p><p>𝑉</p><p>𝐼 = 𝑅 𝑉𝐼 = 𝑗ω𝐿 𝑉𝐼 = 1</p><p>𝑗ω𝐶</p><p>(18)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Nessa representação, a relação 𝑉𝐼 é chamada de impedância do dispositivo, representada por 𝑍,</p><p>medida em ohms (𝛺). Apesar de ser dada pela relação entre dois fasores, a impedância não pode ser</p><p>considerada um fasor, visto que não varia como uma senoide. A impedância dos três componentes de</p><p>circuito (𝑅, 𝐿 e 𝐶) é dada por:</p><p>𝑅 ⇒ 𝑍 = 𝑅</p><p>𝐿 ⇒ 𝑍 = 𝑗ω𝐿</p><p>𝐶 ⇒ 𝑍 = 1</p><p>𝑗ω𝐶</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Dessa forma, a impedância de um componente pode ser definida como sua capacidade de se opor a</p><p>uma corrente senoidal, que possui módulo e frequência.</p><p> ATENÇÃO</p><p>Para o resistor (também chamado de elemento ativo), é possível observar que a impedância é seu</p><p>próprio valor de resistência à oposição de passagem de corrente. Para os indutores e capacitores</p><p>(também chamados de elementos passivos), sua impedância será o que definimos com reatância 𝑋. A</p><p>impedância também pode representar as características de partes ou de todo um circuito formado pelos</p><p>elementos 𝑅, 𝐿 e 𝐶.</p><p>Assim, para um circuito elétrico, a impedância pode ser apresentada como a combinação entre as partes</p><p>ativa e reativa do circuito por um número complexo em sua forma retangular:</p><p>𝑍 = 𝑅 + 𝑗𝑋</p><p>(19)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Na Equação 19, 𝑅 corresponde à parcela ativa (ou resistiva) do circuito, enquanto 𝑋 corresponde à</p><p>parcela reativa, também denominada reatância do circuito.</p><p> VOCÊ SABIA</p><p>A impedância é considerada indutiva quando 𝑋 é positiva ou capacitiva quando 𝑋 é negativa. Do mesmo</p><p>modo que a impedância, a reatância também é medida em ohms.</p><p>A partir das relações trigonométricas de números complexos, é possível calcular o módulo e o ângulo da</p><p>impedância de um circuito a partir de suas componentes resistivas e reativas:</p><p>𝑍 = √𝑅2 + 𝑋2</p><p>(20)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>𝜃𝑍 = 𝑡𝑎𝑛-1 𝑋</p><p>𝑅</p><p>(21)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Graficamente, essas relações são representadas da seguinte forma:</p><p>Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.</p><p> Figura 7: Representação gráfica da impedância.</p><p> EXEMPLO</p><p>Em um circuito elétrico alimentado com corrente senoidal, os componentes são desconhecidos, e foram</p><p>medidas as seguintes grandezas fasoriais: 𝑉 = 10∠46,9° e 𝐼 = 2∠10°. A impedância desse circuito será</p><p>dada por:</p><p>𝑍 = 10∠46,9°</p><p>2∠10° = 5∠36,9° Ω</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A partir da Equação 20 é possível determinar a impedância em sua forma retangular, de modo a extrair</p><p>suas componentes resistivas e reativas:</p><p>Z = 5cos46,9° + jcos10°</p><p>Z = 4 + j3 Ω</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Ou seja, o circuito descrito possui uma resistência de 4 Ω e uma reatância indutiva de 3 Ω.</p><p>ADMITÂNCIA DO CIRCUITO</p><p>Em muitas situações de análise, é indicado solucionar circuitos utilizando a grandeza inversa da</p><p>impedância (Z). A admitância (Y) é a grandeza inversa à impedância (análoga à condutância em</p><p>circuitos CC), cuja unidade de medida é siemens (ou mhos):</p><p>𝑌 = 1</p><p>𝑍</p><p>(22)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Do mesmo modo que a impedância, a admitância é um número complexo; logo, pode ser descrita em</p><p>seu formato retangular:</p><p>𝑌 = 𝐺 + 𝑗𝐵</p><p>(23)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em que G = Re, Y é chamada condutância e B = Im Y é a susceptância</p><p>𝐺 + 𝑗𝐵 = 1</p><p>𝑅 + 𝑗𝑋</p><p>(24)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p> ATENÇÃO</p><p>O fato de inverter separadamente a resistência ou a reatância de um circuito não fornece a condutância</p><p>e susceptância correspondentes. Por se tratar de grandezas complexas, o cálculo leva em conta as</p><p>relações trigonométricas:</p><p>G = R</p><p>R2 + X2 B = - X</p><p>R2 + X2</p><p>(25)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>LEIS DE KIRCHHOFF PARA ANÁLISE DE</p><p>CIRCUITOS CA</p><p>Da mesma forma que na análise de circuitos CC, as Leis de Kirchhoff das Tensões (LKT) e das</p><p>Correntes (LKC) são igualmente válidas para análise de circuitos CA no domínio da frequência, através</p><p>dos fasores.</p><p>Para a LKT, o somatório das tensões em uma malha de circuito é zero, de modo que, na forma fasorial,</p><p>tem-se:</p><p>V1 + V2 + … + Vn = 0</p><p>(26)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em que:</p><p>Vn = Vn ∠ θn , n = 1,2, 3, … . . n</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Para a LKC, é válida relação semelhante. O somatório das correntes em um nó de circuito é zero, de</p><p>modo que, na forma fasorial, tem-se:</p><p>I1 + I2 + … + In = 0</p><p>(27)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Sendo:</p><p>In = In∠θn , n = 1,2, 3, … . . n</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em um circuito que contém N impedâncias associadas em série e alimentadas por uma fonte senoidal</p><p>(Figura 8), fluirá uma única corrente fasorial através de todos os elementos, conforme as Leis de</p><p>Kirchhoff. Dessa forma, a tensão em cada um será dada por:</p><p>V1 = Z1 I, V2 = Z2 I, V3 = Z3 I, … , Vn = Zn I</p><p>(28)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Imagem: Alexander e Sadiku (2013).</p><p> Figura 8: N impedâncias em série.</p><p>A partir da LKT:</p><p>V = V1 + V2 + … + Vn</p><p>V = (Z1 + Z2 + … + Zn )I = 0</p><p>V = Zeq I</p><p>(29)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Sendo Zeq a impedância equivalente, dada pelo somatório das impedâncias ligadas em série no circuito:</p><p>𝑍𝑒𝑞 = 𝑍1 + 𝑍2 + … + 𝑍𝑛</p><p>(30)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>É fácil observar que o cálculo da impedância equivalente é semelhante ao cálculo de resistência</p><p>equivalente em circuitos CC. De modo semelhante, o inverso complexo da impedância é a admitância</p><p>𝑌 = 1</p><p>𝑍, muito conveniente em circuitos com componentes ligados em paralelo, conforme Figura 9:</p><p>𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 + … + 𝐼𝑛</p><p>𝐼 = 𝑉 1</p><p>𝑍1</p><p>+ 1</p><p>𝑍2</p><p>+ … + 1</p><p>𝑍𝑛</p><p>(31)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Imagem: Alexander e Sadiku (2013).</p><p> Figura 9: 𝑁 impedâncias em paralelo.</p><p>Neste caso, a impedância equivalente é dada por</p><p>1</p><p>𝑍𝑒𝑞</p><p>= 𝐼</p><p>𝑉 = 1</p><p>𝑍1</p><p>+ 1</p><p>𝑍2</p><p>+ … + 1</p><p>𝑍𝑛</p><p>(32)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>E a admitância equivalente é dada por</p><p>𝑌𝑒𝑞 = 𝑌1 + 𝑌2 + … + 𝑌𝑛</p><p>(33)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p> EXEMPLO</p><p>Para o circuito da figura abaixo, com duas impedâncias ligadas em série e alimentadas por uma fonte</p><p>senoidal, as tensões 𝑉1 e 𝑉2 são dadas por:</p><p>𝑉1 = 𝑍1 𝐼</p><p>𝑉2 = 𝑍2 𝐼</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Imagem: Alexander e Sadiku (2013).</p><p> Figura 10: Divisor de tensão.</p><p>𝑉1 = 𝑍1</p><p>𝑍1 + 𝑍2</p><p>𝑉 𝑉2 = 𝑍2</p><p>𝑍1 + 𝑍2</p><p>𝑉</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Essa é a mesma relação de divisor de tensão já conhecida para circuitos CC. A relação de divisor de</p><p>corrente também é válida em circuitos com impedâncias ligadas em paralelo.</p><p>ANÁLISE NODAL</p><p>As relações entre tensão e corrente são igualmente válidas em circuitos alimentados com fontes</p><p>alternadas, de modo que as Leis de Kirchhoff das tensões e correntes podem ser aplicadas na análise</p><p>de circuitos. O método de análise nodal para circuitos com fasores é demonstrado no exemplo a seguir,</p><p>utilizando a LKC.</p><p> EXEMPLO</p><p>Determine 𝑉1 e 𝑉2 no circuito a seguir utilizando a análise nodal.</p><p>Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.</p><p> Figura 11: Circuito do exemplo.</p><p>É necessário aplicar a LKC aos nós 1 e 2. Suas equações serão:</p><p>Para o nó 1:</p><p>𝑉1 - 5∠0°</p><p>0,5 + 𝑉1</p><p>-𝑗1 + 𝑉1 - 𝑉2</p><p>-𝑗1 = 0</p><p>2 + 𝑗2𝑉1 - 𝑗𝑉2 = 10</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Para o nó 2:</p><p>𝑉2 - 𝑉1</p><p>-𝑗1 + 𝑉2</p><p>0,2 + 𝑗0,4 = 5∠0°</p><p>-𝑗𝑉1 + 1 - 𝑗𝑉2 = 5</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>As equações dos nós 1 e 2 podem ser representadas matricialmente:</p><p>2 + 𝑗2 -𝑗</p><p>-𝑗 1 - 𝑗</p><p>𝑉1</p><p>𝑉2</p><p>= 10</p><p>5</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Resolvendo o sistema linear, os valores de 𝑉1 e 𝑉2 são:</p><p>𝑉1 = 2 - 𝑗 = 2,23∠ - 26,6° 𝑉</p><p>𝑉2 = 2 + 𝑗4 = 4,47∠63,4° 𝑉</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>ANÁLISE DE MALHAS</p><p>Com base na LKT é possível formular o método de análise de malhas para solução de circuitos com</p><p>fasores. Veja sua aplicação ilustrada a seguir:</p><p> EXEMPLO</p><p>Utilizando análise de malhas, determine as correntes 𝐼1 e 𝐼2 no circuito abaixo:</p><p>Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.</p><p>Aplicando a LKT à malha 1, tem-se:</p><p>-10∠0° - 𝑗6𝐼1 + 𝑗3𝐼1 - 𝐼2 = 0</p><p>-𝑗3𝐼1 - 𝑗3𝐼2 = 10∠0°</p><p>𝑗3𝐼2 - 𝐼1 + 2𝐼2 + 16∠0° = 0</p><p>-𝑗3𝐼1 + 2 + 𝑗3𝐼2 = - 16∠0°</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>As equações das malhas 1 e 2 podem ser representadas matricialmente como:</p><p>-𝑗3 -𝑗3</p><p>-𝑗32 + 𝑗3</p><p>𝐼1</p><p>𝐼2</p><p>= 10</p><p>-16</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Resolvendo o sistema linear, as correntes 𝐼1 e 𝐼2 são:</p><p>𝐼1 = 1,7 ∠ - 23,5° 𝐴</p><p>𝐼2 = 7,1 ∠ 108° 𝐴</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>TEOREMAS DE REDE</p><p>Exceto pela característica variante no tempo das tensões e correntes senoidais, os teoremas utilizados</p><p>para análise CC são igualmente válidos a circuitos fasoriais lineares.</p><p>SUPERPOSIÇÃO</p><p>TRANSFORMAÇÃO DE FONTES</p><p>THÉVENIN</p><p>NORTON</p><p>SUPERPOSIÇÃO</p><p>O teorema da superposição, para circuitos elétricos, afirma que a corrente elétrica total em qualquer</p><p>ramo de um circuito bilateral linear é igual à soma algébrica das correntes produzidas</p><p>Atividade 1.</p><p>A alternativa "B " está correta.</p><p>A impedância equivalente vista pelos terminais da fonte é dada por:</p><p>𝑍𝑒𝑞 = 1 + (3 + 𝑗3)( - 𝑗3)</p><p>3 + 𝑗3 - 𝑗3 = 4 - 𝑗3 Ω</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A corrente que sai da fonte é:</p><p>I = 5 ∠ 0°</p><p>4 - j3 = 5 ∠ 0°</p><p>5 ∠ - 36,9° = 1 ∠ 36,9° A</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Utilizando o divisor de corrente, a corrente que circula pelo capacitor será:</p><p>Ic = 3 + j3</p><p>3 + j3 - j3I = (1 + j)(1 ∠ 36,9° )</p><p>Ic = √2 ∠ 82° A</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>2. A partir da análise de malhas do circuito a seguir, a corrente que circula pelo capacitor é</p><p>representada por:</p><p>Imagem: Alexander e Sadiku (2013).</p><p> Figura 20: Circuito da Atividade 2.</p><p>A alternativa "A " está correta.</p><p>A frequência da fonte é de 2 rad / s. A partir dessa frequência, calculam-se as reatâncias do indutor e do</p><p>capacitor:</p><p>Para o indutor:</p><p>XL = jωL = j2 × 2 = j4 Ω</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Para o capacitor:</p><p>Xc = 1</p><p>jωC = 1</p><p>j2 × 1</p><p>4</p><p>= - j2 Ω</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Aplicando a LKT na malha 1:</p><p>-10 + 4 - j2I1 + j2I2 = 0</p><p>2 - jI1 + jI2 = 5</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Aplicando a KKT na malha 2:</p><p>j2I1 + j4 - j2I2 + -j6 = 0</p><p>I1 + I2 = 3</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A partir da representação matricial das equações para as duas malhas e a solução do sistema linear,</p><p>tem-se:</p><p>2 - j j</p><p>1 1 = I1</p><p>I2</p><p>= 5</p><p>3</p><p>I = I1 - I2 = 1,4 ∠ 45° A</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>MÓDULO 3</p><p> Reconhecer sistemas trifásicos e relações de potência CA</p><p>POTÊNCIA CA E SISTEMAS TRIFÁSICOS</p><p>POTÊNCIAS</p><p>Em virtude das limitações dos componentes em eletricidade, a potência é uma das mais importantes</p><p>grandezas a se conhecer para o funcionamento correto de um circuito.</p><p>A POTÊNCIA ELÉTRICA ESTÁ DIRETAMENTE RELACIONADA COM A</p><p>CAPACIDADE DE TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA ENTRE PARTES DO</p><p>CIRCUITO, DE MODO QUE NÃO DEVE SER PERMITIDA A OPERAÇÃO</p><p>ACIMA DA CHAMADA POTÊNCIA NOMINAL, QUE É O MÁXIMO</p><p>VALOR ADMISSÍVEL PARA AQUELE COMPONENTE SEM QUE SEJA</p><p>CAUSADO ALGUM DANO.</p><p>A partir das relações entre tensão e corrente em regime senoidal, é possível definir os principais</p><p>conceitos relacionados à potência em corrente alternada (CA), como potência:</p><p>INSTANTÂNEA</p><p></p><p>MÉDIA</p><p></p><p>EFICAZ</p><p></p><p>COMPLEXA</p><p>A POTÊNCIA INSTANTÂNEA 𝑃𝑡 DE UM CIRCUITO É O PRODUTO DA</p><p>TENSÃO INSTANTÂNEA 𝑉(𝑡) COM A CORRENTE INSTANTÂNEA 𝐼(𝑡),</p><p>SENDO MEDIDA EM WATTS (W)</p><p>𝑃𝑡 = 𝑉𝑡𝑖(𝑡)</p><p>(34)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A POTÊNCIA INSTANTÂNEA VARIA COM O TEMPO, DE MODO QUE É</p><p>MUITO DIFÍCIL MEDI-LA, EM VIRTUDE DA FREQUÊNCIA DO SINAL</p><p>ALTERNADO, NORMALMENTE 60 HZ.</p><p>Uma forma comum de se medir potência em circuitos com CA é através da potência média 𝑃, que se</p><p>refere à média da potência instantânea ao longo de um período do sinal alternado. Matematicamente, a</p><p>potência média é dada por:</p><p>𝑃 = 1</p><p>𝑇 ∫0</p><p>𝑇</p><p>𝑃𝑡 𝑑𝑡 = 1</p><p>2𝑉𝑚 𝐼𝑚 cos(θ𝑉 - θ𝑖 )</p><p>(35)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em que 𝑉𝑚 e 𝐼𝑚 são os valores máximos da tensão e corrente, 𝜃𝑣 e 𝜃𝑖 são os ângulos dos fasores de</p><p>tensão e corrente. Já em circuitos puramente resistivos, θ𝑣 = θ𝑖 , de modo que a Equação 35</p><p>corresponde a uma potência nula. Dessa forma, é fácil perceber que em circuitos resistivos a potência é</p><p>máxima.</p><p> ATENÇÃO</p><p>Em circuitos reativos (indutivos ou capacitivos), θv - θi = ± 90°, ou seja, a potência média é zero para</p><p>circuitos puramente reativos.</p><p>A POTÊNCIA EFICAZ É A QUANTIDADE DE POTÊNCIA ENTREGUE</p><p>POR UMA FONTE ALTERNADA QUE DEPENDE DE SUA FORMA DE</p><p>ONDA.</p><p>Dessa maneira, é preciso utilizar um método capaz de comparar essa potência fornecida por diferentes</p><p>fontes, o que é possível medindo os valores eficazes dessa fonte, ou rms (do inglês root mean square,</p><p>valor quadrado médio).</p><p>O valor eficaz de uma CA (periódica) é a medida de corrente contínua (CC) que libera a mesma potência</p><p>média da CA em uma carga resistiva. Essa equivalência é representada na Equação 36.</p><p>P = RIef</p><p>2 = 1</p><p>T ∫0</p><p>T</p><p>Ri2 dt</p><p>(36)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Portanto, tensão e corrente eficazes (ou rms) podem ser descritas como:</p><p>Ief = Irms = √1</p><p>T ∫0</p><p>T i2 dt Vef = Vrms = √1</p><p>T ∫0</p><p>T v2 dt</p><p>(37)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Para o caso específico de sinais senoidais, que representam a forma de onda de tensão e corrente da</p><p>rede elétrica, o valor eficaz da corrente será:</p><p>it = Im cosωt</p><p>Ief = √1</p><p>T ∫0</p><p>T</p><p>Im</p><p>2 cos2 ωtdt = Im</p><p>√2</p><p>(38)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A potência média de um sinal senoidal pode ser reescrita a partir dos valores eficazes da tensão e</p><p>corrente:</p><p>P = Vef Ief cos(θv - θi )</p><p>(39)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Os valores de tensão que são fornecidos pelas empresas de energia para alimentação dos</p><p>consumidores já são representados por seus valores eficazes.</p><p>A potência aparente (S) é o produto de tensão e corrente eficazes de uma fonte.</p><p>O termo cos(θv - θi ) é o fator de potência (𝑓𝑝).</p><p>A S é medida em volt-ampère (VA) para diferenciá-la da potência média, que é medida em Watts</p><p>(W).</p><p>A razão entre a potência média e a potência aparente em uma carga é o próprio 𝑓𝑝, que é adimensional:</p><p>𝑓𝑝 = 𝑃</p><p>𝑆 = cos(𝜃𝑣 - 𝜃𝑖 )</p><p>(40)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>O 𝑓𝑝 também pode ser definido como o ângulo da carga (ou ângulo da impedância), que é o ângulo</p><p>formado pelos fasores de tensão e corrente, conforme descrito a seguir:</p><p>𝑍 = 𝑉</p><p>𝐼 = 𝑉𝑒𝑓</p><p>𝐼𝑒𝑓</p><p>= 𝑉𝑒𝑓</p><p>𝐼𝑒𝑓</p><p>∠𝜃𝑣 - 𝜃𝑖</p><p>(41)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>O 𝑓𝑝 é uma grandeza que relaciona a potência média com a potência aparente entregue a uma carga,</p><p>de modo que seu valor varia entre zero e um.</p><p>Veja como se dá o 𝑓𝑝 nos tipos de cargas abaixo:</p><p>Em uma carga puramente resistiva, a diferença entre os ângulos da tensão e corrente é zero, o que faz</p><p>com que o 𝑓𝑝 seja um, ou unitário.</p><p>Em cargas puramente reativas (indutivas ou capacitivas), o 𝑓𝑝 é zero, pois θ𝑣 - θ𝑖 = ± 90°, o que</p><p>significa que a potência média é nula.</p><p>Em cargas reativas o 𝑓𝑝 pode estar adiantado (quando o ângulo da corrente é adiantado em relação ao</p><p>ângulo da tensão) ou atrasado (quando o ângulo da tensão é adiantado em relação ao ângulo da</p><p>corrente).</p><p> EXEMPLO</p><p>Uma carga drena de uma fonte senoidal uma corrente 𝑖𝑡 = 5 cos(ω𝑡 + 25°) A. Essa fonte tem uma tensão</p><p>𝑣𝑡 = 100cos ω𝑡 - 15°𝑉. Para essa carga, a potência aparente e seu fator de potência são dados por:</p><p>𝑆 = 𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓 = 100</p><p>√2</p><p>5</p><p>√2</p><p>= 250 𝑉𝐴</p><p>𝐹𝑃 = cos(θ𝑣 - θ𝑖 ) = cos-15° - 25° = 0,76</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Esse 𝑓𝑝 está adiantado, pois o ângulo da corrente é adiantado em relação ao ângulo da tensão.</p><p>Potência complexa é o termo dado à contribuição de toda a potência aparente (parte real e imaginária)</p><p>nas cargas de um circuito.</p><p>Para uma carga alimentada por uma tensão e corrente senoidais, a potência complexa é dada pelo</p><p>produto dos fasores de tensão e conjugado da corrente:</p><p>𝑆 = 1</p><p>2𝑉𝐼</p><p>*</p><p>(42)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em termos de valores eficazes:</p><p>𝑆 = 𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓</p><p>*</p><p>(43)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p> SAIBA MAIS</p><p>O módulo da potência complexa é a potência aparente, de maneira que sua unidade também é o volt-</p><p>ampère (VA). Da mesma</p><p>forma, seu ângulo corresponde ao fator de potência da carga.</p><p>Essa potência pode ser escrita em função de sua parte real e imaginária. A parte real (𝑃) corresponde à</p><p>potência ativa (ou potência real) absorvida pela carga e medida em watts (W), enquanto a parte</p><p>imaginária (𝑄) corresponde à potência reativa trocada entre fonte e carga, medida em volt-ampère</p><p>reativo (Var).</p><p>𝑆 = 𝑃 + 𝑗𝑄</p><p>(44)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em que:</p><p>𝑄 = 0 para cargas resistivas (𝑓𝑝 unitário);</p><p></p><p>𝑄 < 0 para cargas capacitivas (𝑓𝑝 adiantado);</p><p></p><p>𝑄 > 0 para cargas indutivas (𝑓𝑝 atrasado).</p><p>Normalmente, a relação de potências complexa, ativa e reativa é representada a partir de um triângulo</p><p>de potências (Figura 21).</p><p>Do triângulo de potências é possível extrair informações a respeito da potência aparente, potência</p><p>ativa, potência reativa e do fator de potência, utilizando relações trigonométricas do triângulo</p><p>retângulo.</p><p>Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.</p><p> Figura 21: Triângulo de potências.</p><p> EXEMPLO</p><p>Uma carga absorve uma potência de 1.000 VA, com fator de potência 0,6 adiantado. A partir da definição</p><p>de triângulo de potências, as potências ativa e reativa são dadas por:</p><p>𝑓𝑝 = 𝑃</p><p>𝑆 ⇒ 𝑃 = 𝑓𝑝 × 𝑆</p><p>𝑃 = 0,6 × 1.000 = 600 𝑊</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A partir do teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo de potências, é possível determinar a potência</p><p>reativa, 𝑄:</p><p>𝑄 = √𝑆2 - 𝑃2 = √1.0002 - 6002 = 800 𝑉𝐴𝑟</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA</p><p>O FATOR DE POTÊNCIA É UM INDICATIVO DO PERCENTUAL DE</p><p>ENERGIA CONSUMIDA PELA CARGA QUE É EFETIVAMENTE</p><p>UTILIZADA PARA PRODUZIR TRABALHO, OU SEJA, RELACIONA A</p><p>POTÊNCIA ATIVA REAL DA CARGA COM A POTÊNCIA APARENTE.</p><p>Muitas cargas do sistema têm características indutivas ou capacitivas, como é o caso de</p><p>eletrodomésticos com motores, lâmpadas eletrônicas e até mesmo cargas industriais, como os fornos de</p><p>indução. Essas cargas fazem com que o fator de potência da instalação caia para valores fora dos</p><p>recomendados pelas concessionárias de energia. Para mitigar esse problema, é feita a correção de fator</p><p>de potência.</p><p>Imagem: Shutterstock.com.</p><p>Essa correção consiste em instalar equipamentos capazes de compensar o excesso ou a falta de</p><p>reativos na carga para reduzir o ângulo entre os fasores de tensão e corrente. Por exemplo, em uma</p><p>carga com características indutivas de baixo fator de potência, é possível fazer uma correção instalando</p><p>capacitores em paralelo com a carga, de modo a reduzir a potência reativa consumida.</p><p>Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.</p><p> Figura 22: Triângulo de potência para correção de fator de potência.</p><p>É importante observar que, após a correção, a potência ativa drenada pela carga permanece inalterada,</p><p>enquanto o módulo da potência aparente é reduzido. Dessa forma, a corrente drenada da rede será</p><p>menor, o que permite dizer que a correção de fator de potência permite reduzir até mesmo o</p><p>carregamento dos circuitos de alimentação.</p><p>SISTEMAS TRIFÁSICOS</p><p>A geração de energia em sistemas elétricos de potência é feita em sistemas com mais de uma fase (ou</p><p>polifásicos), mais comumente a partir do sistema trifásico.</p><p> VOCÊ SABIA</p><p>A geração de energia em CA trifásica traz muitos benefícios ao sistema, tanto econômicos quanto</p><p>operacionais. A geração em sistemas trifásicos permite a conexão de cargas de maior potência através</p><p>das linhas de transmissão. A energia é transportada em tensões elevadas para reduzir as perdas</p><p>ôhmicas nas linhas, o que corresponde a menores custos de operação para as empresas do setor</p><p>elétrico.</p><p>Uma fonte trifásica é obtida a partir de geradores CA, cujos enrolamentos responsáveis pela indução da</p><p>corrente nos terminais de saída são defasados em 120° em torno do eixo da máquina. Essa defasagem</p><p>produz tensões iguais e defasadas de 120° elétricos umas das outras. Veja as senoides geradas em um</p><p>sistema trifásico:</p><p>Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.</p><p> Figura 23: Senoides em um sistema trifásico.</p><p>As tensões 𝑉𝐴𝑁 , 𝑉𝐵𝑁 e 𝑉𝐶𝑁 referem-se às tensões nas fases 𝐴, 𝐵 e 𝐶 disponíveis nos terminais de um</p><p>gerador CA trifásico.</p><p>Um sistema trifásico é equivalente a três sistemas monofásicos e podem ser representados por uma</p><p>ligação em estrema ou em triângulo, conforme a figura:</p><p>Imagem: Alexander e Sadiku (2013).</p><p> Figura 24: Fontes de tensão trifásicas: (a) em estrela; (b) em triângulo.</p><p>Em circuitos trifásicos equilibrados, cuja corrente e tensão são iguais nas três fases, são válidas as</p><p>seguintes expressões:</p><p>FONTE LIGADA EM TRIÂNGULO (∆)</p><p>𝑉𝐴𝑁 + 𝑉𝐵𝑁 + 𝑉𝐶𝑁 = 0 ⇒ 𝑉𝐴𝑁 = 𝑉𝐵𝑁 = 𝑉𝐶𝑁</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>FONTE LIGADA EM ESTRELA (𝑌)</p><p>𝐼𝐴 + 𝐼𝐵 + 𝐼𝐶 = 0 ⇒ 𝐼𝐴 = 𝐼𝐵 = 𝐼𝐶</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Ou seja, a soma fasorial das tensões na ligação em triângulo equilibrado é zero e das correntes na</p><p>ligação em estrela é zero.</p><p>Veja os diagramas fasoriais que representam essa relação:</p><p>Imagem: Alexander e Sadiku (2013).</p><p> Figura 25: Sequência de fases: (a) positiva: abc; negativa: acb.</p><p>Tomando a tensão como exemplo, os fasores podem ser expressos de duas formas:</p><p>Se os fasores giram no sentido anti-horário, diz-se que a fonte está em sequência positiva, ou</p><p>seja, 𝑉𝐴𝑁 é adiantada em relação a 𝑉𝐵𝑁 , que por sua vez é adiantada em relação a 𝑉𝐶𝑁 .</p><p>Se os fasores giram no sentido horário, é dito que a fonte está em sequência negativa.</p><p>Os fasores de sequência positiva e negativa para as tensões trifásicas são:</p><p>Sequência positiva Sequência negativa</p><p>𝑉𝐴𝑁 = 𝑉𝑝∠0° 𝑉𝐴𝑁 = 𝑉𝑝∠0°</p><p>𝑉𝐵𝑁 = 𝑉𝑝∠ - 120° 𝑉𝐵𝑁 = 𝑉𝑝∠ + 120°</p><p>𝑉𝐶𝑁 = 𝑉𝑝∠ + 120° 𝑉𝐶𝑁 = 𝑉𝑝∠ - 120°</p><p>Tabela 2: Relações de tensão em sistemas trifásicos equilibrados.</p><p> Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal</p><p>CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS</p><p>Normalmente, circuitos trifásicos equilibrados (fonte e carga equilibrados) são facilmente</p><p>solucionados a partir de seu circuito monofásico equivalente. Apenas os circuitos ligados em Y podem</p><p>ser resolvidos a partir de seu circuito equivalente por fase, de modo que, caso fonte ou carga esteja</p><p>ligada em triângulo, deve ser convertida para seu equivalente em ligação estrela, conforme a Equação</p><p>45, que representa a impedância da carga trifásica:</p><p>𝑍𝑌 = 𝑍∆</p><p>3</p><p>(45)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A partir da relação entre os fasores (Figura 25), as correntes e tensões nos circuitos equilibrados para as</p><p>ligações em triângulo e estrela são dadas por:</p><p>CIRCUITO EM ∆</p><p>𝐼ϕϕ = √3𝐼ϕ</p><p>𝑉ϕϕ = 𝑉ϕ</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>CIRCUITO EM 𝑌</p><p>𝐼ϕϕ = 𝐼ϕ</p><p>𝑉ϕϕ = √3𝑉ϕ</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em que 𝐼ϕϕ e 𝑉ϕϕ são corrente e tensão de linha (entre fases) e 𝐼ϕ 𝑉ϕ são corrente e tensão de fase (em</p><p>relação ao neutro).</p><p>POTÊNCIA TRIFÁSICA</p><p>Em cargas trifásicas equilibradas, ligadas em triângulo ou estrela, as correntes que circulam pelas linhas</p><p>que as alimentam são iguais, de modo que a potência trifásica é dada pelo somatório da potência nas</p><p>três fases. Para uma carga ligada em estrela:</p><p>𝑃ϕ = 𝑉ϕ . 𝐼ϕ . cosφ</p><p>𝑃3ϕ = 3 . 𝑉ϕ . 𝐼ϕ . cosφ</p><p>(46)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Da Tabela 2:</p><p>𝑉ϕϕ = √3𝑉ϕ</p><p>𝐼ϕϕ = 𝐼ϕ</p><p>A potência complexa na carga pode ser reescrita em função dos valores de linha da tensão e corrente:</p><p>𝑆3ϕ = √3 . 𝑉ϕϕ . 𝐼ϕϕ</p><p>(47)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>P3ϕ = √3 . Vϕϕ . Iϕϕ . cosφ</p><p>(48)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Q3ϕ</p><p>= √3 . Vϕϕ . Iϕϕ . senφ</p><p>(49)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Como as relações entre tensão e corrente de linha e fase apresentadas na Tabela 2 são válidas para</p><p>cargas equilibradas ligadas em qualquer ligação, as Equações 47, 48 e 49 são também aplicadas para</p><p>cargas em triângulo.</p><p>TEORIA NA PRÁTICA</p><p>Uma carga drena uma potência ativa de 5 Kw quando conectada a uma fonte de tensão de 120 volts. O</p><p>fator de potência para essa condição é de 0,85. Determine o valor da potência reativa de um capacitor</p><p>necessária para elevar o fator de potência para 0,95.</p><p>RESOLUÇÃO</p><p>O ângulo do fator de potência atual é dado por:</p><p>𝑐𝑜𝑠θ1 = 0,85 → θ1 = 31,78°</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A partir do fator de potência é possível calcular a potência aparente inicial:</p><p>𝑆1 = 𝑃</p><p>𝑓𝑝</p><p>= 5.000</p><p>0,85 = 5.882,3 𝑉𝐴</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A potência reativa é:</p><p>𝑄1 = 𝑆1 𝑠𝑒𝑛𝜃1 = 5.882,3 × 0,52 = 3097,96 𝑉𝐴𝑟</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Para um fator de potência 0,95, o ângulo é:</p><p>𝑐𝑜𝑠𝜃2 = 0,95 → 𝜃2 = 18,19°</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Na correção do fator de potência, a potência 𝑃 não muda, mas a potência aparente sim:</p><p>𝑆2 = 𝑃</p><p>𝑓𝑝</p><p>= 5.000</p><p>0,95 = 5.263,15 𝑉𝐴</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A nova potência reativa será:</p><p>𝑄2 = 𝑆2 𝑠𝑒𝑛 𝜃2 = 1.642,94 𝑉𝐴𝑟</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A diferença entre a potência reativa atual e a anterior é o valor do capacitor a ser inserido:</p><p>𝑄𝑐 = 𝑄1 - 𝑄2 = 3.097,96 - 1.642,94 = 1.455,6 𝑉𝐴𝑟</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>RESOLUÇÃO</p><p>MÃO NA MASSA</p><p>1. UMA CARGA POSSUI UMA IMPEDÂNCIA Z = 20 - j60 Ω. A POTÊNCIA MÉDIA</p><p>ABSORVIDA POR ESSA CARGA AO SER ALIMENTADA POR UMA FONTE DE</p><p>TENSÃO V = 120 ∠ 0°° É:</p><p>A) 43, 8 W</p><p>B) 35, 9 W</p><p>C) 60, 3 W</p><p>D) 34, 6 W</p><p>E) 51, 5 W</p><p>2. CONSIDERE O CIRCUITO DA FIGURA. O FATOR DE POTÊNCIA TOTAL É DADO</p><p>POR:</p><p>IMAGEM: ALEXANDER E SADIKU (2013).</p><p> FIGURA 26: CIRCUITO DO EXERCÍCIO 2.</p><p>A) 0, 87</p><p>B) 0, 97</p><p>C) 0, 77</p><p>D) 0, 67</p><p>E) 0, 57</p><p>3. NO TRIÂNGULO DE POTÊNCIAS DA FIGURA A SEGUIR, O VALOR REFERENTE</p><p>À POTÊNCIA REATIVA É:</p><p>IMAGEM: ALEXANDER E SADIKU (2013).</p><p> FIGURA 27: CIRCUITO DO EXERCÍCIO 3.</p><p>A) 1.000 Var adiantada</p><p>B) 866 Var adiantada</p><p>C) 1.000 Var atrasada</p><p>D) 866 Var atrasada</p><p>E) 1.866 Var adiantada</p><p>4. UMA CARGA ABSORVE 12 KVA DE UMA FONTE DE ALIMENTAÇÃO DE 120 V</p><p>RMS. CONSIDERANDO QUE O FATOR DE POTÊNCIA É 0,85, A POTÊNCIA MÉDIA</p><p>ABSORVIDA POR ESSA CARGA É DADA POR:</p><p>A) 32,8 KW</p><p>B) 28,5 KW</p><p>C) 10,2 KW</p><p>D) 42,7 KW</p><p>E) 19,8 KW</p><p>5. EM UMA CARGA TRIFÁSICA, LIGADA EM TRIÂNGULO, A TENSÃO DE FASE É</p><p>DE 220 V. A TENSÃO DE LINHA DO CIRCUITO QUE ALIMENTA ESSA CARGA É</p><p>DE:</p><p>A) 127 V</p><p>B) 380 V</p><p>C) 100 V</p><p>D) 141 V</p><p>E) 220 V</p><p>6. UM SISTEMA TRIFÁSICO LIGADO EM ESTRELA-TRIÂNGULO (FONTE-CARGA)</p><p>POSSUI TENSÃO DE FASE 𝑉𝐴𝑁 = 120∠ 0° 𝑅𝑀𝑆 E 𝑍∆ = 30 - 𝑗45 Ω. CONSIDERANDO</p><p>QUE A LINHA QUE ALIMENTA O CIRCUITO É IDEAL, O MÓDULO DA POTÊNCIA</p><p>COMPLEXA ABSORVIDA PELA CARGA É DE:</p><p>A) 543 VA</p><p>B) 385 VA</p><p>C) 797 VA</p><p>D) 932 VA</p><p>E) 694 VA</p><p>GABARITO</p><p>1. Uma carga possui uma impedância Z = 20 - j60 Ω. A potência média absorvida por essa carga ao</p><p>ser alimentada por uma fonte de tensão V = 120 ∠ 0°° é:</p><p>A alternativa "B " está correta.</p><p>2. Considere o circuito da figura. O fator de potência total é dado por:</p><p>Imagem: Alexander e Sadiku (2013).</p><p> Figura 26: Circuito do Exercício 2.</p><p>A alternativa "B " está correta.</p><p>A impedância total do circuito é dada por:</p><p>Zeq = 6 + 4 | | -j2 = 6 + -j2 × 4</p><p>4 - j2 = 6,8 - j1,6 = 7 ∠ - 13,2° Ω</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>O ângulo do fator de potência é o próprio ângulo da impedância, que se refere à defasagem angular</p><p>entre tensão e corrente:</p><p>FP = 𝑐𝑜𝑠 -13,2° = 0,97</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>3. No triângulo de potências da figura a seguir, o valor referente à potência reativa é:</p><p>Imagem: Alexander e Sadiku (2013).</p><p> Figura 27: Circuito do Exercício 3.</p><p>A alternativa "D " está correta.</p><p>𝑆 = 𝑃</p><p>𝐹𝑃 = 500</p><p>𝑐𝑜𝑠60° = 1.000 𝑉𝐴</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A potência reativa será:</p><p>𝑄 = 𝑆× 𝑠𝑒𝑛 60° = 866 𝑉𝐴𝑟 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎𝑑𝑎</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>4. Uma carga absorve 12 KVA de uma fonte de alimentação de 120 V RMS. Considerando que o</p><p>fator de potência é 0,85, a potência média absorvida por essa carga é dada por:</p><p>A alternativa "C " está correta.</p><p>Considerando que o fator de potência é 0,85, o ângulo da impedância da carga é dado por</p><p>𝑐𝑜𝑠-1 𝑓𝑝 = 31,13°. Se a potência aparente é 12 KVA, a potência média, ou potência ativa absorvida pela</p><p>carga, será:</p><p>𝑃 = 𝑆 × 𝑐𝑜𝑠 θ = 12.000 × 0,85 = 10,2 𝐾𝑊</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>5. Em uma carga trifásica, ligada em triângulo, a tensão de fase é de 220 V. A tensão de linha do</p><p>circuito que alimenta essa carga é de:</p><p>A alternativa "E " está correta.</p><p>Numa carga trifásica, conectada em triângulo, a tensão de linha é igual a tensão de fase. Dessa forma,</p><p>para a carga descrita, a tensão de linha será de 220 V.</p><p>6. Um sistema trifásico ligado em estrela-triângulo (fonte-carga) possui tensão de fase</p><p>𝑉𝐴𝑁 = 120∠ 0° 𝑅𝑀𝑆 e 𝑍∆ = 30 - 𝑗45 Ω. Considerando que a linha que alimenta o circuito é ideal, o</p><p>módulo da potência complexa absorvida pela carga é de:</p><p>A alternativa "C " está correta.</p><p>Inicialmente, deve-se converter a impedância da carga para seu equivalente monofásico, ou seja,</p><p>impedância em estrela:</p><p>𝑍𝑌 = 𝑍∆</p><p>3 = 10 + 𝑗15 𝛺</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A corrente por fase do circuito é dada por:</p><p>𝐼 = 120 ∠ 0°</p><p>10 + 𝑗15 = 6,65∠ - 56° 𝐴</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A potência trifásica em um circuito equilibrado é igual ao triplo da potência por fase:</p><p>𝑆3∅ = 3𝑆∅ = 3𝐼2 𝑍𝑌 = 797 ∠ 56° 𝑉𝐴</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>GABARITO</p><p>VERIFICANDO O APRENDIZADO</p><p>1. CONSIDERE A FORMA DE ONDA DE UM SINAL SENOIDAL DESLOCADO. PARA</p><p>AS INFORMAÇÕES DESCRITAS NO GRÁFICO, O VALOR EFICAZ, OU RMS,</p><p>DESSE SINAL É DADO POR:</p><p>IMAGEM: ALEXANDER E SADIKU (2013)</p><p> FIGURA 28: FIGURA DA ATIVIDADE 1.</p><p>A) 2,82 A</p><p>B) 3,45 A</p><p>C) 6,41 A</p><p>D) 4,56 A</p><p>E) 7,38 A</p><p>2. EM UM CIRCUITO TRIFÁSICO EQUILIBRADO, COM FONTE EM SEQUÊNCIA</p><p>POSITIVA, A TENSÃO DE FASE É VAN = 100 ∠ 0° RMS. DADO QUE A</p><p>IMPEDÂNCIA DA LINHA É 0, 6 + j1, 2 Ω / fase E DA CARGA É DE</p><p>10 + j14 Ω / fase, O VALOR DO MÓDULO DAS CORRENTES DE LINHA É DE:</p><p>A) 6,42 A</p><p>B) 9,67 A</p><p>C) 2,57 A</p><p>D) 5,39 A</p><p>E) 4,28 A</p><p>GABARITO</p><p>1. Considere a forma de onda de um sinal senoidal deslocado. Para as informações descritas no</p><p>gráfico, o valor eficaz, ou RMS, desse sinal é dado por:</p><p>Imagem: Alexander e Sadiku (2013)</p><p> Figura 28: Figura da Atividade 1.</p><p>A alternativa "A " está correta.</p><p>A forma de onda é dada pela seguinte equação:</p><p>it = 4 sent, 0 < t < π</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Ief</p><p>2 = 1</p><p>π</p><p>π</p><p>∫</p><p>0</p><p>16 sentdt = 16</p><p>π</p><p>t</p><p>2 - sen 2t</p><p>4 | π</p><p>0 = 8</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Ief = √8 = 2,82 A</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>2. Em um circuito trifásico equilibrado, com fonte em sequência positiva, a tensão de fase é</p><p>VAN = 100 ∠ 0° RMS. Dado que a impedância da linha é 0, 6 + j1, 2 Ω / fase e da carga é de</p><p>10 + j14 Ω / fase, o valor do módulo das correntes de linha é de:</p><p>A alternativa</p><p>"D " está correta.</p><p>Considerando o circuito por fase formado por uma fonte, impedância da linha e impedância da carga, a</p><p>corrente pode ser calculada simplesmente pela Lei de Ohm:</p><p>Ia = VAN</p><p>Zl + ZY</p><p>= 100 ∠ 0°</p><p>10,6 + j15,2 = 5,39 ∠ - 35° A</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>As outras correntes de linha podem ser encontradas aplicando uma defasagem de 120° em sequência</p><p>positiva na corrente da fase A.</p><p>CONCLUSÃO</p><p>CONSIDERAÇÕES FINAIS</p><p>Neste tema, abordamos os principais conceitos relacionados à análise de circuitos em corrente</p><p>alternada. Para isso, foram apresentadas as formas de representação dos elementos de circuito, fonte,</p><p>resistor, capacitor e indutor, no domínio da frequência. Essa representação, denominada representação</p><p>fasorial, permite avaliar a relação entre tensão e corrente desses elementos no domínio da frequência.</p><p>Os métodos tradicionais de análise de circuitos foram apresentados para análise em CA.</p><p>Demonstramos ainda as relações de potência em corrente alternada, a partir dos conceitos de potência</p><p>média e potência eficaz e fator de potência. Considerando a predominância dos circuitos CA para</p><p>transmissão de energia, introduzimos as principais relações para circuitos trifásicos equilibrados, cujos</p><p>elementos podem estar conectados em estrela ou triângulo. Por fim, apresentamos o conceito de</p><p>potência complexa e potência trifásica.</p><p>AVALIAÇÃO DO TEMA:</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. Porto Alegre: AMGH</p><p>Editora, 2013.</p><p>BOYLESTAD, R. L.; NASCIMENTO, J. L. do. Introdução à análise de circuitos. São Paulo: Pearson</p><p>Prentice Hall, 2004.</p><p>IRWIN, J. D. Análise de circuitos em engenharia. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2010.</p><p>JOHNSON, D. E.; HILBURN, J. L.; JOHNSON, J. R. Fundamentos de análise de circuitos elétricos.</p><p>Rio de Janeiro: LTC, 1994.</p><p>NILSSON, J. W.; RIEDEL, S. A. Circuitos elétricos. 8. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.</p><p>OLIVEIRA, C. C. B. et al. Introdução a sistemas elétricos de potência. Componentes simétricas. São</p><p>Paulo: Blucher, 2000.</p><p>EXPLORE+</p><p>Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, leia:</p><p>ORSINI, L. Q.; CONSONNI, D. Curso de circuitos elétricos. 2. ed. São Paulo: Blucher, 2002.</p><p>ORSINI, L. Q.; CONSONNI, D. Curso de circuitos elétricos. v. II. 2. ed. São Paulo: Blucher, 2004.</p><p>CONTEUDISTA</p><p>Isabela Oliveira Guimarães</p><p> CURRÍCULO LATTES</p><p>javascript:void(0);</p><p>javascript:void(0);</p>"D " está correta.
Considerando o circuito por fase formado por uma fonte, impedância da linha e impedância da carga, a
corrente pode ser calculada simplesmente pela Lei de Ohm:
Ia = VAN
Zl + ZY
= 100 ∠ 0°
10,6 + j15,2 = 5,39 ∠ - 35° A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As outras correntes de linha podem ser encontradas aplicando uma defasagem de 120° em sequência
positiva na corrente da fase A.
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste tema, abordamos os principais conceitos relacionados à análise de circuitos em corrente
alternada. Para isso, foram apresentadas as formas de representação dos elementos de circuito, fonte,
resistor, capacitor e indutor, no domínio da frequência. Essa representação, denominada representação
fasorial, permite avaliar a relação entre tensão e corrente desses elementos no domínio da frequência.
Os métodos tradicionais de análise de circuitos foram apresentados para análise em CA.
Demonstramos ainda as relações de potência em corrente alternada, a partir dos conceitos de potência
média e potência eficaz e fator de potência. Considerando a predominância dos circuitos CA para
transmissão de energia, introduzimos as principais relações para circuitos trifásicos equilibrados, cujos
elementos podem estar conectados em estrela ou triângulo. Por fim, apresentamos o conceito de
potência complexa e potência trifásica.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. Porto Alegre: AMGH
Editora, 2013.
BOYLESTAD, R. L.; NASCIMENTO, J. L. do. Introdução à análise de circuitos. São Paulo: Pearson
Prentice Hall, 2004.
IRWIN, J. D. Análise de circuitos em engenharia. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2010.
JOHNSON, D. E.; HILBURN, J. L.; JOHNSON, J. R. Fundamentos de análise de circuitos elétricos.
Rio de Janeiro: LTC, 1994.
NILSSON, J. W.; RIEDEL, S. A. Circuitos elétricos. 8. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.
OLIVEIRA, C. C. B. et al. Introdução a sistemas elétricos de potência. Componentes simétricas. São
Paulo: Blucher, 2000.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, leia:
ORSINI, L. Q.; CONSONNI, D. Curso de circuitos elétricos. 2. ed. São Paulo: Blucher, 2002.
ORSINI, L. Q.; CONSONNI, D. Curso de circuitos elétricos. v. II. 2. ed. São Paulo: Blucher, 2004.
CONTEUDISTA
Isabela Oliveira Guimarães
 CURRÍCULO LATTES
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