Tensões e Princípios Fundamentais da Mecânica do Contínuo

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MESTRADO EM ESTRUTURAS 
Disciplina: Introdução à Mecânica do Contínuo 
 
Professor: Márcio André Araújo Cavalcante 
Universidade Federal de Alagoas – UFAL 
Centro de Tecnologia – CTEC 
Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil - PPGEC 
Maceió - Alagoas 
Tensões e Princípios Fundamentais 
da Mecânica do Contínuo 
 Forças de Superfície e Forças de Corpo: 
Análise do volume Vt limitado pela superfície St na configuração 
deformada do corpo: 
1) Na mecânica do contínuo nós consideramos a interação entre 
porções vizinhas do corpo deformável de forma bastante simplificada. 
2) Na realidade, tais interações ocorrem de maneira bastante complexa 
por meio de forças interatômicas. 
TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA 
MECÂNICA DO CONTÍNUO: 
 Forças de Superfície e Forças de Corpo: 
Na mecânica do contínuo o efeito de todas as forças interatômicas 
através de uma dada superfície St é representado por um simples 
campo vetorial t(x,n) definido em St . 
Além disso, o efeito de forças externas tal como a gravidade é 
representado por um outro campo vetorial b(x) definido no volume Vt . 
 Em pontos onde St está no interior do corpo, t(x,n) representa a força 
por unidade de área em St exercida pelo material fora do volume Vt . 
 Em pontos onde St coincide com a superfície do corpo, t(x,n) pode 
representar uma força por unidade de área exercida em St por um agente 
externo. 
 b(x) representa uma força distribuída por unidade de volume causada 
por um agente externo, normalmente a gravidade. 
TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA 
MECÂNICA DO CONTÍNUO: 
 Forças de Superfície e Forças de Corpo: 
onde: 
t(x,n) = vetor de tensão ou força de superfície; 
b(x) = força de corpo e 
n = vetor unitário saindo da superfície S. 
Desta forma: 
(Força resultante no volume Vt ) 
(Momento resultante em relação à origem no volume Vt ) 
TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA 
MECÂNICA DO CONTÍNUO: 
 Princípio da conservação do momento linear: 
“A resultante das forças externas atuando num sistema é igual à taxa 
de variação total do momento linear do sistema.” 
Densidade do momento linear: 
Momento linear total no volume Vt : 
Onde: 
TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA 
MECÂNICA DO CONTÍNUO: 
 Interação entre partes do corpo deformado: 
Suponha o volume Vt sendo cortado por uma superficie S’t em duas 
partes: 
TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA 
MECÂNICA DO CONTÍNUO: 
Desta forma: 
Como e 
Tem-se: 
O que resulta em: 
Uma vez que Vt e S’t são arbitrários! 
 Interação entre partes do corpo deformado: 
TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA 
MECÂNICA DO CONTÍNUO: 
 Fórmula de Cauchy: 
Considere um tetraedro infinitesimal com três faces paralelas aos 
planos de coordenadas e passando por um ponto arbitrário P. A quarta 
face tem área dAt e vetor normal unitário n. 
TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA 
MECÂNICA DO CONTÍNUO: 
 Fórmula de Cauchy: 
Relações geométricas utilizadas: 
onde dh é a altura do tetraedro definida pela distância de P até a quarta 
face dAt . 
Do princípio da conservação do momento linear, tem-se: 
TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA 
MECÂNICA DO CONTÍNUO: 
 Fórmula de Cauchy: 
 Onde sij são as componentes de um tensor de segunda ordem 
conhecido como tensor de tensão de Cauchy. 
 sij representa a componente na direção j da força por unidade de 
área atuando no elemento de superfície da configuração deformada que 
tem normal na direção i. 
Fórmula de Cauchy: 
Fazendo-se: 
Tem-se: 
TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA 
MECÂNICA DO CONTÍNUO: 
 Tensor de Tensão de Cauchy: 
Representação no cubo infinitesimal das componentes do tensor de 
tensão de Cauchy, também conhecido como tensor das tensões 
verdadeiras, por ser definido utilizando a configuração final ou 
deformada do corpo: 
TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA 
MECÂNICA DO CONTÍNUO: 
 Equações diferenciais de equilíbrio: 
Princípio da conservação do momento linear: 
Utilizando-se a fórmula de Cauchy: 
Aplicando-se o teorema da divergência: 
TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA 
MECÂNICA DO CONTÍNUO: 
 Equações diferenciais de equilíbrio: 
Uma vez que a igualdade abaixo vale para qualquer região Vt: 
Tem-se as seguintes equações diferenciais do movimento para uma 
descrição Euleriana do movimento: 
Considerando-se um carregamento quanse-estático, tem-se as seguintes 
equações diferenciais de equilíbrio: 
“Onde despreza-se os efeitos inerciais do movimento.” 
TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA 
MECÂNICA DO CONTÍNUO: 
ou 
 Princípio da conservação do momento angular: 
“O momento resultante das forças externas atuando num sistema em 
relação a um ponto fixo é igual à taxa de variação total do momento 
angular do sistema em relação a este ponto.” 
Densidade do momento angular em relação à origem: 
Momento angular total no volume Vt : 
TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA 
MECÂNICA DO CONTÍNUO: 
Em notação indicial tem-se: 
Produto vetorial utilizando-se o símbolo de permutação: 
Símbolo de permutação: 
 Princípio da conservação do momento angular: 
TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA 
MECÂNICA DO CONTÍNUO: 
Simetria do tensor de tensão de Cauchy: 
Onde: 
 Princípio da conservação do momento angular: 
TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA 
MECÂNICA DO CONTÍNUO: 
Simetria do tensor de tensão de Cauchy: 
Como: 
e: 
Tem-se: 
O que resulta em: 
 Princípio da conservação do momento angular: 
TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA 
MECÂNICA DO CONTÍNUO: 
Uma vez que a igualdade anterior vale para qualquer região Vt , tem-se: 
Simetria do tensor de tensão de Cauchy: 
Da equação acima pode-se deduzir: 
O que resulta na simetria do tensor de tensão de Cauchy: 
 Princípio da conservação do momento angular: 
TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA 
MECÂNICA DO CONTÍNUO: 
Uma vez que sij são componentes de um tensor de segunda ordem, tem-
se: 
 Transformação de Tensões: 
TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA 
MECÂNICA DO CONTÍNUO: 
(Lei de Transformação para um Tensor de Segunda Ordem) 
onde: 
(Matriz de Transformação) 
 Transformação de Tensões: 
TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA 
MECÂNICA DO CONTÍNUO: 
No caso de uma análise bidimensional no plano X1-X2, tem-se: 
 Transformação de Tensões: 
TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA 
MECÂNICA DO CONTÍNUO: 
Ou de forma alternativa: 
 Tensões Principais: 
TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA 
MECÂNICA DO CONTÍNUO: 
Uma vez que o tensor de tensão s é simétrico, vão existir três direções 
principais mutuamente ortogonais que definem um sistema de 
coordenadas transformado tal que: 
onde: 
ni = direções principais ou autovetores normalizados de s; 
si = tensões principais ou autovalores de s. 
As tensões principais incluem os valores máximo e mínimo das tensões 
normais. 
 Tensões Principais: 
TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA 
MECÂNICA DO CONTÍNUO: 
Problema de Autovalores e Autovetores: 
onde: 
Equação Característica: 
onde: 
Ii = principais invariantes escalares do tensor de tensão s. 
 Círculo de Mohr: 
TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA 
MECÂNICA DO CONTÍNUO: 
No caso de uma análise bidimensional no plano X1-X2, tem-se: 
 Equações diferenciais de equilíbrio utilizando o sistema de 
coordenadas cilíndricas (r,q,z): 
TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA 
MECÂNICA DO CONTÍNUO: 
Para tensores simétricos, tem-se: srq + sqr = 2srq . 
 Equações diferenciais de equilíbrio utilizando o sistema de 
coordenadasesféricas (r,q,f): 
TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA 
MECÂNICA DO CONTÍNUO: 
Para tensores simétricos, tem-se: srq - sqr = 0 e srf - sfr = 0 . 
 Relação de Nanson: 
Elemento de área orientado na configuração indeformada: 
Elemento de área orientado na configuração deformada: 
Elemento de volume na configuração indeformada: 
Elemento de volume na configuração deformada: 
Onde: 
Logo: 
Relação de Nanson: ou 
TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA 
MECÂNICA DO CONTÍNUO: 
 Tensões de Piola-Kirchhoff: 
Componentes da força atuante no elemento de superfície dSt da 
configuração deformada do corpo: 
Primeiro tensor de tensão de Piola-Kirchhoff: 
 Também conhecido como tensor de tensão de engenharia. 
 É a tensão geralmente medida em ensaios experimentais. 
t (X,N) é o primeiro vetor de tensão de Piola-Kirchhoff que atua na 
superfície indeformada do corpo. 
É um tensor de tensão energeticamente conjugado ao tensor 
gradiente de deformação. 
 ou ou 
TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA 
MECÂNICA DO CONTÍNUO: 
 Tensões de Piola-Kirchhoff: 
Componentes da força atuante no elemento de superfície dSt da 
configuração deformada mapeada até a configuração indeformada do 
corpo usando o tensor gradiente de deformação: 
Segundo tensor de tensão de Piola-Kirchhoff: 
Logo: 
 Não apresenta significado físico. 
 É um tensor de tensão simétrico energeticamente conjugado ao 
tensor de deformação de Green-Lagrange. 
 ou ou 
TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA 
MECÂNICA DO CONTÍNUO: 
 Tensões de Piola-Kirchhoff: 
Princípio da conservação do momento linear usando como referência a 
configuração indeformada do corpo: 
Onde B é a força de corpo atuante no volume V0 . 
TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA 
MECÂNICA DO CONTÍNUO: 
 Tensões de Piola-Kirchhoff: 
Uma vez que a igualdade abaixo vale para qualquer região V0: 
Tem-se as seguintes equações diferenciais do movimento para uma 
descrição Lagrangeana do movimento: 
Considerando-se um carregamento quanse-estático, tem-se as seguintes 
equações diferenciais de equilíbrio: 
TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA 
MECÂNICA DO CONTÍNUO: 
ou 
TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA 
MECÂNICA DO CONTÍNUO: 
 Tensões de Piola-Kirchhoff: 
Usando a simetria do tensor de tensão de Cauchy obtida aplicando-se o 
princípio da conservação do momento angular à configuração 
deformada do corpo, tem-se: 
Logo, o primeiro tensor de tensão de Piola-Kirchhoff não é simétrico. 
Obrigado a todos pela atenção!