Introdução à Estática dos Fluidos

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<p>DESCRIÇÃO</p><p>Conceitos fundamentais de Fenômenos de Transporte (FENTRAN), propriedades dos fluidos, unidades mais comuns, análise dimensional e</p><p>estática dos fluidos.</p><p>PROPÓSITO</p><p>Compreender os Fenômenos de Transporte, a metodologia da análise dimensional e semelhança – bastante utilizada em diversas disciplinas de</p><p>Engenharia – e a estática dos fluidos – fundamental para o projeto de diversas estruturas, como reservatórios, comportas e barragens.</p><p>PREPARAÇÃO</p><p>Calculadora científica, papel e caneta para a resolução dos exercícios.</p><p>OBJETIVOS</p><p>MÓDULO 1</p><p>Descrever os conceitos fundamentais de FENTRAN e as principais propriedades dos fluidos</p><p>MÓDULO 2</p><p>Aplicar métodos de análise dimensional e semelhança para cálculo de estimativas</p><p>MÓDULO 3</p><p>Identificar a resolução de problemas com fluidos em condição estática</p><p>O QUE SÃO FENÔMENOS DE TRANSPORTE?</p><p>MÓDULO 1</p><p> Descrever os conceitos fundamentais de FENTRAN e as principais propriedades dos fluidos</p><p>DEFINIÇÃO DE FLUIDO, CONCEITOS E UNIDADES</p><p>CONCEITO DE FENÔMENOS DE TRANSPORTE</p><p>Uma das perguntas que você pode estar se fazendo agora é: O que são Fenômenos de Transporte? Essa é uma dúvida comum aos alunos que</p><p>iniciam esse estudo, tendo em vista o título genérico.</p><p>A intenção é justamente essa, pois FENTRAN (simplificação frequentemente adotada) trata do transporte de grandezas que têm naturezas físicas</p><p>muito diferentes, mas mantêm entre si um aspecto em comum: o mecanismo. Em outras palavras, são os fenômenos que, apesar de parecerem</p><p>não ter nenhuma correlação, podem ser explicados pelos mesmos princípios e tratados por equações análogas.</p><p>APLICAÇÕES DE FENTRAN NA ENGENHARIA</p><p>A explicação dada sobre o que é FENTRAN ainda está um pouco vaga? Então, vamos especificar o que será “transportado” para você aqui:</p><p>QUANTIDADE DE MOVIMENTO</p><p>No escoamento de fluidos, pode ocorrer “atrito” (tensão cisalhante) entre partículas. Por meio dessa força, é transferida a quantidade de</p><p>movimento (produto entre velocidade e massa).</p><p>PRODUTO ENTRE VELOCIDADE E MASSA</p><p>Da mecânica clássica:</p><p>CALOR</p><p>Conforme você provavelmente aprendeu no ensino médio, calor é a transferência de energia térmica que pode ocorrer por condução, convecção e</p><p>radiação. Em FENTRAN, aprofundaremos mais esse conhecimento.</p><p>MASSA</p><p>Quando uma substância é liberada em um meio fluido (como, por exemplo, gás metano na atmosfera e lançamento de efluentes em um rio), há a</p><p>tendência de ela se espalhar, seja pelo movimento do meio (como, por exemplo, o vento na atmosfera ou a corrente do rio), seja pela agitação</p><p>microscópica (como, por exemplo, a molecular).</p><p>EFLUENTES</p><p>Q = m ∙ v</p><p>javascript:void(0)</p><p>javascript:void(0)</p><p>Resíduos provenientes de atividade humana, como redes de esgotos e atividades industriais.</p><p>Todos esses casos envolvem fluidos, ou seja, líquidos e gases. Assim, o conhecimento sobre eles é fundamental, desde seu comportamento</p><p>mecânico até suas propriedades físicas.</p><p> RESUMINDO</p><p>FENTRAN trata do transporte de quantidade de movimento, calor e massa. E isso constitui um tema muito vasto. Portanto, separamos aqui</p><p>apenas os tópicos que são mais relevantes e necessários para a formação básica de um engenheiro, mas indicaremos fontes de informações</p><p>adicionais, caso você tenha interesse por mais detalhes.</p><p>A seguir, apresentaremos diversas aplicações de FENTRAN, principalmente na Engenharia, enfatizando os tipos de transporte envolvidos.</p><p>METEOROLOGIA E OCEANOGRAFIA</p><p>Nesses dois campos de estudo, são abordados tanto o movimento de fluidos (vento no ar da atmosfera e corrente e onda nos mares) quanto a</p><p>transferência de calor.</p><p>Foto: Shutterstock.com</p><p>Foto: Shutterstock.com</p><p>CIRCULAÇÃO SANGUÍNEA (BIOMEDICINA)</p><p>O sangue é um fluido, enquanto as artérias e veias são condutos por onde ele flui. O coração, por sua vez, é uma máquina de fluxo, que provoca</p><p>escoamento, caracterizado pela circulação sanguínea.</p><p>Imagem: Shutterstock.com adaptado por Danielle Ribeiro</p><p> Circulação do sangue.</p><p>GERAÇÃO DE ENERGIA – TURBINAS HIDRÁULICAS E EÓLICAS</p><p>O objetivo das turbinas é converter a energia do fluido em energia mecânica, que, posteriormente, é transformada em energia elétrica por um</p><p>gerador. No caso de hidrelétricas, a energia disponível do fluido é a potencial gravitacional, correspondente à altura da barragem. Já a energia</p><p>eólica é obtida a partir da energia cinética oriunda da velocidade do vento.</p><p>Foto: Shutterstock.com</p><p> Turbina hidráulica e eólica</p><p>Foto: Shutterstock.com</p><p> Turbina hidráulica e eólica</p><p>AERODINÂMICA</p><p>Há mais de um século, a aerodinâmica tem sido objeto de estudo, principalmente na aeronáutica. Mas, há pouco tempo, os mesmos conceitos são</p><p>utilizados no projeto de drones.</p><p>Foto: Shutterstock.com</p><p> Aerodinâmica</p><p>Foto: Shutterstock.com</p><p> Aerodinâmica</p><p>LAZER – JET SKI E FLYBOARD</p><p>Os conhecimentos abordados em FENTRAN são utilizados até para o lazer. Os projetos de motos aquáticas (jet ski) e, mais recentemente, os</p><p>flyboards se baseiam na mecânica dos fluidos para seu dimensionamento, como, por exemplo, a potência requerida pelo motor.</p><p>Foto: Shutterstock.com</p><p> Jet ski (moto aquática) e flyboard</p><p>Foto: Shutterstock.com</p><p> Jet ski (moto aquática) e flyboard</p><p>LAZER</p><p>Talvez você não saiba, mas FENTRAN vai continuar acompanhando você mesmo após as atividades comentadas anteriormente. Os princípios de</p><p>transferência de calor estão presentes no churrasco que você prepara, na pizza que vai ao forno e até no hambúrguer grelhado na chapa.</p><p>Foto: Shutterstock.com</p><p> Lazer e transferência de calor</p><p>Foto: Shutterstock.com</p><p> Lazer e transferência de calor</p><p>Foto: Shutterstock.com</p><p> Lazer e transferência de calor</p><p>CONSTRUÇÃO CIVIL: PONTE</p><p>O colapso da ponte de Tacoma, em 1940, foi um marco para a construção civil, pois ela havia sido projetada para resistir a velocidades de vento</p><p>superiores à velocidade no dia do acidente. Percebeu-se que a ação do vento pode provocar Vibrações Induzidas por Vórtices (VIVs) e levar a</p><p>estrutura ao colapso devido à ressonância.</p><p>Foto: Domínio Público/Wikimedia commons/licença(CC BY 3.0...)</p><p> Ponte de Tacoma (1940)</p><p>A. Placzek/Wikimedia commons/licença (CC BY-SA 3.0)</p><p> Vibração Induzida por Vórtice (VIV)</p><p>TÚNEL DE VENTO – AERODINÂMICA AUTOMOTIVA E DE AVIAÇÃO</p><p>Túneis de vento são amplamente utilizados no projeto de veículos e aeronaves. O principal objetivo é medir a força de arrasto (resistência) e a</p><p>sustentação.</p><p>Foto: Shutterstock.com</p><p> Túnel de vento</p><p>Foto: Shutterstock.com</p><p> Túnel de vento</p><p>Foto: Shutterstock.com</p><p> Túnel de vento</p><p>ENGENHARIA NAVAL</p><p>Seja em pequenos barcos de pesca, grandes cargueiros, petroleiros e cruzeiros ou até submarinos: é necessário garantir a flutuabilidade e o</p><p>equilíbrio em todos os tipos de embarcações. Além disso, existe a força de arrasto, que impacta diretamente na velocidade e na autonomia. Esses</p><p>conceitos também são abordados em mecânica dos fluidos.</p><p>Foto: Shutterstock.com</p><p> Submarino e cargueiro</p><p>Foto: Shutterstock.com</p><p> Submarino e cargueiro</p><p>ESPORTES</p><p>Nos esportes, também tem FENTRAN! Os motivos pelos quais a bola faz curva em chutes mais fortes e os ciclistas se abaixam para alcançar</p><p>maiores velocidades são explicados por conceitos abordados em mecânica dos fluidos.</p><p>Foto: Shutterstock.com</p><p> Esportes</p><p>Foto: Shutterstock.com</p><p> Esportes</p><p>HIDRÁULICA, IRRIGAÇÃO E DRENAGEM</p><p>A hidráulica é uma das principais aplicações de FENTRAN para a maioria das engenharias, tanto em tubulações quanto em canais. Como</p><p>desdobramento, outras disciplinas se baseiam na mesma teoria básica, como irrigação, drenagem, saneamento, instalações hidráulicas prediais e</p><p>hidráulica marítima.</p><p>Foto: Shutterstock.com</p><p> Hidráulica e irrigação</p><p>Foto: Shutterstock.com</p><p> Hidráulica e irrigação</p><p>ÓLEO E GÁS</p><p>A indústria de óleo e gás é um ótimo exemplo para aplicação de FENTRAN, pois utiliza, praticamente, todos os tópicos abordados.</p><p>Foto: Shutterstock.com</p><p> Engenharia de Óleo e Gás</p><p>Foto: Shutterstock.com</p><p> Engenharia de Óleo e Gás</p><p>REFRIGERAÇÃO</p><p>Geladeiras, freezers e sistemas de ar-condicionado funcionam com princípios abordados em transferência</p><p>a</p><p>superfície, em que a pressão manométrica é nula (</p><p>), e n-ésimo ponto o fundo do tanque. Como esse trajeto (superfície até o fundo) é apenas de descida, todas as parcelas serão somadas:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Embora a ordem das parcelas não altere a soma, os fluidos se estabilizarão de acordo com sua massa específica, ficando os mais densos em</p><p>baixo. Como</p><p>, então:</p><p>→ pn = p0 +</p><p>n</p><p>∑</p><p>k=1</p><p>±γkhk</p><p>⎧⎪</p><p>⎨</p><p>⎪⎩</p><p>↓ +γkhk</p><p>↑ −γkhk</p><p>γk = ρkg</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>p0m = 0</p><p>pn = 0 + γ1h1 + γ2h2 + γ3h3</p><p>γ = ρg</p><p>javascript:void(0)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>De acordo com o Teorema de Stevin, um dispositivo que medisse a quantidade de gasolina pela pressão no fundo do tanque marcaria</p><p>de gasolina, quando, de fato, há apenas 50cm.</p><p>FORÇAS SOBRE SUPERFÍCIE PLANA SUBMERSA</p><p>Quando uma peça está submersa em um fluido estático, ela sofre a pressão ao longo de toda a sua superfície. É necessário calcular a força</p><p>resultante para avaliar o equilíbrio da peça e dimensionar seus apoios, o que pode ser feito por:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Para evitar essa integral, apresentaremos uma metodologia simplificadora.</p><p>Considere que uma placa plana é submersa em um fluido, conforme mostra a imagem a seguir:</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p> Placa plana submersa</p><p>De acordo com o Teorema de Stevin, a pressão variará linearmente do ponto mais alto até o mais baixo. Estamos interessados em saber qual é a</p><p>força (</p><p>) resultante dessa pressão, que é aplicada em determinado ponto da placa, chamado de Centro de Pressão (</p><p>), conforme mostra a imagem a seguir:</p><p>pn = 0 + 998 ⋅ 9, 8 ⋅ 0, 2 + 789 ⋅ 9, 8 ⋅ 0, 1 + 680 ⋅ 9, 8 ⋅ 0, 5 = 6, 1 kPa</p><p>h = = = 0, 91m = 91cm</p><p>p</p><p>ρg</p><p>6, 1 ⋅ 103</p><p>680 ⋅ 9, 8</p><p>F = ∫</p><p>s</p><p>p dA</p><p>→F</p><p>CP</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p> Força aplicada em uma superfície submersa</p><p>Posicionaremos a origem do sistema de coordenadas no Centro Geométrico (CG), também conhecido como Centroide da Geometria. As</p><p>coordenadas do centroide da superfície S são determinadas por:</p><p>Equação 12</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Analogamente, a profundidade do CG será:</p><p>Equação 13</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Para o sistema de coordenadas adotado (origem coincidente com CG), teremos</p><p>e</p><p>.</p><p>A placa tem um ângulo</p><p>com a horizontal. A distância de um ponto qualquer na placa com coordenada (</p><p>⎧⎪</p><p>⎨</p><p>⎪⎩</p><p>xCG =</p><p>yCG =</p><p>∫</p><p>S</p><p>x dA</p><p>A</p><p>∫</p><p>S</p><p>y dA</p><p>A</p><p>hCG =</p><p>∫</p><p>S</p><p>h dA</p><p>A</p><p>xCG = 0</p><p>yCG = 0</p><p>θ</p><p>x</p><p>,</p><p>) até a linha d’água pode ser medida ao longo da direção da placa, por</p><p>, ou ao longo da vertical, por</p><p>.</p><p>Começando pela definição da força de pressão e aplicando o Teorema de Stevin (equação 8):</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Como</p><p>é constante, pode ser retirada da integral:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Considerando fluido incompressível (líquido), ou seja,</p><p>e</p><p>constantes:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Com base na equação 13, a segunda parcela da equação anterior pode ser substituída por</p><p>:</p><p>y</p><p>ξ = ξ(x, y)</p><p>h = h(x, y)</p><p>F = ∫</p><p>S</p><p>p dA = ∫</p><p>S</p><p>(patm + γh) dA = ∫</p><p>S</p><p>patm dA + ∫</p><p>S</p><p>γh dA</p><p>patm</p><p>F =  patm ∫</p><p>S</p><p>dA + ∫</p><p>S</p><p>γh dA = patmA + ∫</p><p>S</p><p>γh dA</p><p>ρ</p><p>γ</p><p>F =  patmA + γ ∫</p><p>S</p><p>h dA</p><p>hCGA</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Lançando mão, mais uma vez, do Teorema de Stevin,</p><p>, então:</p><p>Equação 14</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Exemplo</p><p>Qual é a força que a água do mar (</p><p>= 1.025 kg/m³) faz em uma janela circular vertical de 40cm de diâmetro, cujo ponto mais alto está a 2,00m de profundidade e o mais baixo, a</p><p>2,40m?</p><p>SOLUÇÃO</p><p>A profundidade do CG de um círculo é em seu centro, que fica na profundidade média</p><p>.</p><p>A pressão manométrica no CG, por sua vez, será:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A área da janela é:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Aplicando a equação 14:</p><p>F =  patmA + γhCGA = (patm + γhCG)A</p><p>patm + γhCG = pCG</p><p>F = pCGA</p><p>ρ</p><p>hCG = (2 + 2, 4) /2 = 2, 2m</p><p>pCGm</p><p>= ρghCG = 1025 ⋅ 9, 8 ⋅ 2, 2 = 22, 1kPa</p><p>A = = = 0, 126m²</p><p>πD2</p><p>4</p><p>π(0, 4)</p><p>2</p><p>4</p><p>javascript:void(0)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Isso equivale a 2780/9,8 = 284 kgf.</p><p>De um lado da janela atua a pressão da água, enquanto, do outro, a pressão atmosférica. A diferença entre elas, que gera a força resultante, é</p><p>equivalente à pressão manométrica. Por isso, a pressão manométrica costuma ser adotada nesse tipo de problema.</p><p>Ainda não sabemos onde a força F é aplicada, ou seja, a posição do CP. Para isso, avaliaremos, em seguida, o momento. Assim como a</p><p>intensidade da força F deve ser igual à resultante da pressão distribuída ao longo da placa, o momento também.</p><p>Algumas dimensões devem ser destacadas, conforme mostra a imagem a seguir:</p><p>de um ponto qualquer na placa;</p><p>do Centro de Pressão (</p><p>);</p><p>= distância oblíqua medida ao longo da direção da placa, de um ponto qualquer até a superfície;</p><p>= distância oblíqua medida ao longo da direção da placa, do</p><p>até a superfície, igual a</p><p>;</p><p>Por relação trigonométrica, observamos que</p><p>.</p><p>F = pCG ⋅ A = (22, 1 ⋅ 103) ⋅ 0, 126 = 2, 78kN</p><p>y</p><p>yCP</p><p>CP</p><p>ξ</p><p>ξCG</p><p>CG</p><p>ξCG = y + ξ</p><p>h = ξsenθ</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p> Dimensões para dedução da posição do CP</p><p>O momento provocado pela força</p><p>deve ser igual ao da pressão distribuída ao longo da placa:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Desenvolvendo p pelo Teorema de Stevin:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Lembrando que estamos assumindo fluido incompressível (</p><p>e</p><p>constantes), e que</p><p>é constante:</p><p>Fp</p><p>FyCP = ∫</p><p>S</p><p>y p dA</p><p>FyCP = ∫</p><p>S</p><p>y (patm + γh) dA = ∫</p><p>S</p><p>y patm dA + ∫</p><p>S</p><p>y γ h dA</p><p>ρ</p><p>γ</p><p>patm</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Comparando com a equação 12, observamos que</p><p>pode ser substituído por</p><p>. Como o sistema de coordenadas adotado tem sua origem no</p><p>,</p><p>, portanto:</p><p>Equação 15</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A profundidade</p><p>, por sua vez, pode ser substituída por</p><p>(imagem anterior):</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Como</p><p>:</p><p>FyCP =  patm ∫</p><p>S</p><p>y dA + γ ∫</p><p>S</p><p>y h dA</p><p>∫</p><p>S</p><p>y dA</p><p>yCGA</p><p>CG</p><p>yCG = 0</p><p>∫</p><p>S</p><p>y dA = 0</p><p>h</p><p>ξsenθ</p><p>FyCP = γ ∫</p><p>S</p><p>y ξsenθ dA = γsenθ ∫</p><p>S</p><p>y ξ dA</p><p>ξ = ξCG − y</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Conforme a equação 15, a primeira parcela dessa expressão é nula. A segunda corresponde à definição do momento de inércia de área</p><p>. Por fim:</p><p>Equação 16</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Resumo</p><p>Quando uma superfície plana está submersa, a intensidade e a posição da força resultante são obtidas pelas seguintes fórmulas:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em que:</p><p>FyCP = γsenθ ∫</p><p>S</p><p>y  (ξCG − y)  dA = γsenθ [∫</p><p>S</p><p>y ξCG dA − ∫</p><p>S</p><p>y2 dA]</p><p>= γsenθ [ξCG ∫</p><p>S</p><p>y  dA − ∫</p><p>S</p><p>y2 dA]</p><p>Ixx = ∫</p><p>S</p><p>y2dA</p><p>FyCP = −γsenθIxx</p><p>→   yCP = −</p><p>γsenθIxx</p><p>F</p><p>F = pCGA</p><p>yCP =   −</p><p>γsenθIxx</p><p>F</p><p>pCG</p><p>= pressão no centroide</p><p>= momento de inércia de área</p><p>A posição de CG e o cálculo de</p><p>para as geometrias mais comuns são mostrados na imagem a seguir:</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p> Centroide (</p><p>) e fórmula do momento de inércia de área (</p><p>) para geometrias mais comuns</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p>Exemplo</p><p>A comporta AB da imagem a seguir tem 1,20m de largura, está articulada em A e tem o movimento limitado pelo ponto B. A água está a 20°C.</p><p>Calcule a força sobre o bloco B se a profundidade</p><p>da água é h = 2,40m.</p><p>SOLUÇÃO</p><p>A força que a água exercerá sobre o bloco é aplicada no Centro de Pressão (CP), conforme mostra a imagem a seguir:</p><p>Ixx</p><p>Ixx</p><p>CG</p><p>Ixx</p><p>javascript:void(0)</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p>A intensidade de F é obtida por:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>e</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Como a geometria da comporta é retangular, CG fica na metade de seu comprimento. Assumindo</p><p>= 1.000 kg/m³ (água):</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>e</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A posição em que essa força atua é obtida por:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>O ângulo entre a comporta e a superfície d’água é</p><p>F = pCGA</p><p>pCG = ρghCG</p><p>ρ</p><p>pCG = 1000 ⋅ 9, 8 ⋅ (2, 4 − ) = 18, 6 kPa</p><p>1</p><p>2</p><p>F = (18, 6 ⋅ 103) ⋅ (1, 2 ⋅ 1, 0) = 22, 3 kN</p><p>yCP = − = −</p><p>γsenθIxx</p><p>F</p><p>ρgsenθIxx</p><p>F</p><p>θ = 90°</p><p>. Para um retângulo,</p><p>:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>É negativo, porque fica abaixo de</p><p>.</p><p>Para obter a reação em</p><p>, devemos isolar a comporta:</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p>Calculando o somatório de momentos em relação à rótula A, temos:</p><p>Ixx =</p><p>bL3</p><p>12</p><p>yCP = − = −0, 044 m</p><p>(1000 ⋅ 9, 8) ⋅ 1 ⋅ ( )1,2⋅13</p><p>12</p><p>22, 3 ⋅ 103</p><p>CG</p><p>B</p><p>∑MA = 0</p><p>F ⋅ ( + |yCP |) − FB ⋅ (L) = 0</p><p>L</p><p>2</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>ESTABILIDADE DE CORPOS FLUTUANTES</p><p>Com base no Teorema de Arquimedes, o empuxo é calculado por:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em que:</p><p>= massa específica do fluido (por exemplo, água do mar)</p><p>= volume submerso (abaixo da linha d’água)</p><p>Qualquer objeto que seja projetado para flutuar (empuxo igual ao peso) precisa ser estável, ou seja, no caso de uma perturbação provocar um</p><p>balanço (por exemplo, onda), ele voltará para a posição de equilíbrio.</p><p>O ponto de aplicação do peso é chamado de centro de gravidade (G). O empuxo, por sua vez, é aplicado no centroide (CG) do volume</p><p>submerso, que é chamado de centro de carena (C), conforme mostra a imagem a seguir:</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p> Localização do peso, centro de gravidade (G) e empuxo, centro de carena (C) em um corpo flutuante</p><p>Quando o plano de simetria do corpo flutuante está na posição de equilíbrio, G e C ficam em uma mesma linha vertical. Consequentemente, não</p><p>há momento resultante, conforme mostra a imagem a seguir:</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p> Centro de carena (C) e de gravidade na posição de equilíbrio e em balanço – metacentro (M)</p><p>FB = F ⋅ = F ⋅ ( + ) = 22, 3 ⋅ 103 ⋅ (0, 5 + ) = 12, 1 kN</p><p>( + |yCP |)L</p><p>2</p><p>L</p><p>1</p><p>2</p><p>|yCP |</p><p>L</p><p>0, 044</p><p>1</p><p>E = ρf  g Vsub</p><p>ρf</p><p>Vsub</p><p>Se ocorre um balanço, o centro de carena será reposicionado (C para C’), de acordo com a nova geometria do volume submerso. Traçando uma</p><p>linha vertical a partir da nova posição do centro de carena (C’), a interseção com o plano de simetria é definida como metacentro (M).</p><p>O binário de forças formado pelo peso e empuxo gera um momento que pode trazer o flutuante de volta para a posição de equilíbrio, ou o</p><p>contrário, aumentando ainda mais o balanço, conforme mostra a imagem a seguir:</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p> Situação de estabilidade versus instabilidade</p><p>A condição também pode ser analisada com base na posição de M em relação a G, o que é chamado de altura metacêntrica (GM). Se:</p><p>GM > 0: EQUILÍBRIO ESTÁVEL</p><p>Se houver uma perturbação, ela tenderá a voltar para a posição de equilíbrio.</p><p>GM = 0: EQUILÍBRIO CRÍTICO OU INDIFERENTE</p><p>Não há momento para restaurar a posição inicial nem aumentar o balanço.</p><p>GM < 0: EQUILÍBRIO INSTÁVEL</p><p>Para qualquer perturbação, a embarcação tenderá a aumentar ainda mais seu balanço.</p><p>O engenheiro busca projetar um corpo flutuante que tenha a maior altura metacêntrica possível, o que é sinônimo de estabilidade. As soluções</p><p>mais comuns para aumentar GM são:</p><p>Aliviar pesos situados acima de CG, como utilizar materiais mais leves, o que provocaria um rebaixamento de G e, consequentemente, um</p><p>aumento de GM;</p><p>Reposicionar para baixo pesos acima de CG, removendo carga do convés para o porão;</p><p>Adicionar pesos abaixo de CG, o que é o caso do lastro, onde, normalmente, enchem-se tanques com água.</p><p>LASTRO</p><p>Qualquer matéria pesada que se coloca no fundo de uma embarcação para dar-lhe equilíbrio.</p><p> Fonte: Dicionário Houaiss eletrônico da língua portuguesa.</p><p>javascript:void(0)</p><p>javascript:void(0)</p><p>javascript:void(0)</p><p>javascript:void(0)</p><p>TEORIA NA PRÁTICA</p><p>O PROJETO DE GRANDES AQUÁRIOS ENVOLVE O CONHECIMENTO DE DIVERSAS</p><p>DISCIPLINAS DA ENGENHARIA, ASSIM COMO MUITOS OUTROS</p><p>EMPREENDIMENTOS MODERNOS.</p><p>Foto: Shutterstock.com</p><p>O PAINEL TRANSPARENTE EXIBIDO NA FOTO ANTERIOR TEM 11M DE ALTURA E</p><p>51M DE COMPRIMENTO. ESTRUTURALMENTE, ELE PODE SER IDEALIZADO COMO</p><p>UMA PLACA BIAPOIADA, CONFORME MOSTRA A IMAGEM A SEGUIR. A ÁGUA É DO</p><p>MAR, COM MASSA ESPECÍFICA DE 1025KG/M³.</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p>SE UM MATERIAL DE VEDAÇÃO SERÁ COLOCADO ENTRE O PAINEL E O FUNDO</p><p>DO TANQUE, A QUAL PRESSÃO ELE DEVE RESISTIR PARA EVITAR O</p><p>VAZAMENTO DE ÁGUA?</p><p>DESPREZANDO O PESO DA PLACA, QUAL O VALOR DA FORÇA TOTAL E, POR</p><p>UNIDADE DE COMPRIMENTO, A QUE OS APOIOS DEVERÃO RESISTIR?</p><p>RESOLUÇÃO</p><p>FENTRAN POR TRÁS DE GRANDES AQUÁRIOS</p><p>MÃO NA MASSA</p><p>ASSINALE A ALTERNATIVA QUE INCLUI TODAS AS FORÇAS/TENSÕES ATUANTES EM UM FLUIDO ESTÁTICO:</p><p>A) Forças de contato</p><p>B) Tensão cisalhante e tensão normal</p><p>C) Forças de superfície</p><p>D) Forças de campo</p><p>E) Forças de campo e pressão</p><p>QUAL É A PRESSÃO MANOMÉTRICA DE UM PONTO COM PROFUNDIDADE</p><p>EM UM FLUIDO INCOMPRESSÍVEL DE MASSA ESPECÍFICA</p><p>EM REPOUSO, SE A SUPERFÍCIE ESTÁ SOB PRESSÃO ATMOSFÉRICA</p><p>h</p><p>ρ</p><p>?</p><p>A)</p><p>B)</p><p>C)</p><p>D)</p><p>E)</p><p>O DISPOSITIVO ILUSTRADO NA IMAGEM A SEGUIR CONTÉM MERCÚRIO, QUE SE ELEVA EM</p><p>EM UM TUBO COM VÁCUO NA PARTE SUPERIOR E FECHADO NO TOPO:</p><p>IMAGEM: GABRIEL DE CARVALHO NASCIMENTO</p><p>SE A MASSA ESPECÍFICA DO MERCÚRIO É</p><p>, CALCULE A PRESSÃO DO AMBIENTE:</p><p>A) 5,89kPa</p><p>B) 133,4kPa</p><p>C) 101,3kPa</p><p>D) 80kPa</p><p>E) 181,3kPa</p><p>CONSIDERE O DENSÍMETRO DA IMAGEM A SEGUIR, COM FORMATO CILÍNDRICO DE 1,6CM DE DIÂMETRO E</p><p>PESO DE 22G:</p><p>patm</p><p>patm + ρgh</p><p>γgh</p><p>patmgh</p><p>ρgh</p><p>patm + ρg2</p><p>h = 600mm</p><p>ρHg = 13.600kg/m³</p><p>IMAGEM: GABRIEL DE CARVALHO NASCIMENTO</p><p>QUAL É A MASSA ESPECÍFICA DO LÍQUIDO SE 9,1CM PERMANECEM SUBMERSOS?</p><p>A) 1200kg/m³</p><p>B) 998kg/m³</p><p>C) 1000kg/m³</p><p>D) 120kg/m³</p><p>E) 1025kg/m³</p><p>QUAL É A FORÇA QUE ATUA EM UMA COMPORTA RETANGULAR DE 1M² DE ÁREA, CUJO CENTRO ESTÁ A 10M</p><p>DE PROFUNDIDADE NA ÁGUA SALGADA (</p><p>)?</p><p>A) 100,4kN</p><p>B) 98kN</p><p>C) 50kN</p><p>D) 10,2kN</p><p>E) 10,4kN</p><p>COMO SÃO CHAMADOS OS PONTOS X, Y E Z, RESPECTIVAMENTE, PARA O CORPO FLUTUANTE</p><p>REPRESENTADO NA FIGURA A SEGUIR?</p><p>ρ = 1025kg/m³</p><p>IMAGEM: GABRIEL DE CARVALHO NASCIMENTO</p><p>A) Centro de gravidade, metacentro e centro de carena</p><p>B) Centro de pressão, centroide e metacentro</p><p>C) Centro geométrico, centro de carena e centro de gravidade</p><p>D) Centro de carena, centro de gravidade e metacentro</p><p>E) Metacentro, centro de carena e centro de gravidade</p><p>GABARITO</p><p>Assinale a alternativa que inclui todas as forças/tensões atuantes em um fluido estático:</p><p>A alternativa "E " está correta.</p><p>Para um fluido ser considerado em condição estática, a velocidade é nula. Portanto, não há tensão cisalhante, conforme a Lei da Viscosidade de</p><p>Newton (</p><p>). Assim, em condição estática, as únicas forças atuantes serão as de campo e as resultantes da pressão.</p><p>Qual é a pressão manométrica de um ponto com profundidade</p><p>em um fluido incompressível de massa específica</p><p>em repouso, se a superfície está sob pressão atmosférica</p><p>?</p><p>A alternativa "D " está correta.</p><p>A pressão em um fluido incompressível e em repouso pode ser calculada pelo Teorema de Stevin:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>τ = −μdu/dy</p><p>h</p><p>ρ</p><p>patm</p><p>p = patm + hogh</p><p>A pressão manométrica (</p><p>), por sua vez, é definida como a diferença entre a pressão absoluta e a pressão atmosférica (</p><p>):</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>O dispositivo ilustrado na imagem a seguir contém mercúrio, que se eleva em</p><p>em um tubo com vácuo na parte superior e fechado no topo:</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p>Se a massa específica do mercúrio é</p><p>, calcule a pressão do ambiente:</p><p>A alternativa "D " está correta.</p><p>Sejam os pontos A, B e C, conforme identificados na imagem a seguir:</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p>Em condição estática, pontos em uma mesma altura terão a mesma pressão, ou seja,</p><p>pm</p><p>patm</p><p>pm = p − patm = hogh</p><p>h = 600mm</p><p>ρHg = 13.600kg/m³</p><p>pA = pB</p><p>. Como</p><p>:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Pelo Teorema de Stevin:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Como</p><p>(vácuo) e</p><p>:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Considere o densímetro da imagem a seguir, com formato cilíndrico de 1,6cm de diâmetro e peso de 22g:</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p>Qual é a massa específica do líquido se 9,1cm permanecem submersos?</p><p>A alternativa "A " está correta.</p><p>Ao entrar em equilíbrio, a força do empuxo deve se igualar ao peso:</p><p>pA = pamb</p><p>pB = pamb</p><p>pB = pC + ρHggh</p><p>pC = 0</p><p>pB = pamb</p><p>pamb = ρHggh = 13600 ⋅ 9, 81 ⋅ 0, 6 = 80kPa</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Qual é a força que atua em uma comporta retangular de 1m² de área, cujo centro está a 10m de profundidade na água salgada (</p><p>)?</p><p>A alternativa "A " está correta.</p><p>CÁLCULO DA FORÇA DA ÁGUA EM COMPORTAS</p><p>Como são chamados os pontos X, Y e Z, respectivamente, para o corpo flutuante representado na figura a seguir?</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p>A alternativa "D " está correta.</p><p>O ponto X é aquele que aparenta estar mais próximo do centroide do volume submerso, onde a força de empuxo atua. Portanto, é chamado de</p><p>centro de carena. O ponto Z é a interseção da vertical que passa pelo centro de carena com o eixo de simetria, o que corresponde à definição de</p><p>metacentro. O ponto Y se encontra no eixo de simetria e, por exclusão, corresponde ao centro de gravidade.</p><p>GABARITO</p><p>E = P    →      ρfg V sub = mdg</p><p>→    ρf = = = = 1200kg/m3md</p><p>V sub</p><p>md</p><p>Abh</p><p>0,022</p><p>[ ] ⋅0,091</p><p>π ( 0,016 ) 2</p><p>4</p><p>ρ = 1025kg/m³</p><p>VERIFICANDO O APRENDIZADO</p><p>O PESO MEDIDO DE UMA AMOSTRA, FORA E DENTRO D’ÁGUA, É 56,0KG E 33,6KG, RESPECTIVAMENTE. QUAL</p><p>A MASSA ESPECÍFICA DESSE MATERIAL?</p><p>A) 2.500kg/m³</p><p>B) 1.000kg/m³</p><p>C) 1.500kg/m³</p><p>D) 2.235kg/m³</p><p>E) 1.972kg/m³</p><p>UMA CÂMARA HIPERBÁRICA, REPRESENTADA NA FIGURA A SEGUIR, É PROJETADA PARA REALIZAR</p><p>EXPERIMENTOS COM PRESSÕES ACIMA DA ATMOSFÉRICA. UM COMPRESSOR LEVA A PRESSÃO</p><p>MANOMÉTRICA DO AR NA CÂMARA ATÉ 100PSI.</p><p>IMAGEM: GABRIEL DE CARVALHO NASCIMENTO</p><p>CALCULE A FORÇA TOTAL APLICADA PELA ÁGUA NA JANELA DE INSPEÇÃO:</p><p>A) 707kN</p><p>B) 687kN</p><p>C) 117kN</p><p>D) 689kN</p><p>E) 4242kN</p><p>GABARITO</p><p>O peso medido de uma amostra, fora e dentro d’água, é 56,0kg e 33,6kg, respectivamente. Qual a massa específica desse material?</p><p>A alternativa "A " está correta.</p><p>Ao medir o peso de algo dentro d’água (</p><p>P ′</p><p>), a balança medirá a diferença entre o peso real (</p><p>) e o empuxo (</p><p>):</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>O empuxo é calculado por e</p><p>:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Então:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Uma câmara hiperbárica, representada na figura a seguir, é projetada para realizar experimentos com pressões acima da atmosférica.</p><p>Um compressor leva a pressão manométrica do ar na câmara até 100psi.</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p>Calcule a força total aplicada pela água na janela de inspeção:</p><p>P</p><p>E</p><p>P ′ = P − E</p><p>E = ρágua V imersog</p><p>P = mg</p><p>m′g = mg − ρágua V g → m' = m − ρágua</p><p>→     Vimerso = = =  0, 0224 kg/m³m−m'</p><p>ρágua</p><p>56,0−33,6</p><p>1000</p><p>ρrocha = = = 2. 500 kg/m³m</p><p>V</p><p>56</p><p>0,0224</p><p>A alternativa "E " está correta.</p><p>A força resultante de um fluido estático em uma superfície submersa pode ser calculada como o produto entre a pressão no centro geométrico</p><p>(centroide) da superfície e sua área:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p>A pressão na superfície é</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>. A pressão no centroide será:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Então:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>CONCLUSÃO</p><p>F = pCGA</p><p>p0 = 100psi = 100x6874Pa = 687kPa</p><p>pCG = p0 + ρghCG = 687 ⋅ 103 + 998 ⋅ 9, 81 ⋅ (1 + 1) = 707kN</p><p>F = (707 ⋅ 103) ⋅ (3 ⋅ 2) = 4242kN</p><p>CONSIDERAÇÕES FINAIS</p><p>Já sabemos bem o que é a disciplina Fenômenos de Transporte (FENTRAN) e para que se aplica na Engenharia. Devido à grande abrangência</p><p>de tópicos abordados – como mecânica dos fluidos, transferência de calor e massa –, é importante ter em mente a que tópico recorrer quando for</p><p>necessário lidar com determinado problema.</p><p>Os métodos abordados em análise dimensional e semelhança podem ser muito úteis para simplificar a análise dos fenômenos e obter resultados</p><p>em condições diferentes para as quais há dados disponíveis (como, por exemplo, experimentos). Lembre-se de que se trata de um assunto</p><p>também utilizado em outras disciplinas.</p><p>A Estática dos Fluidos fornece ferramentas fundamentais para o projeto de barragens, vertedores, eclusas e aquários, além da análise de</p><p>estabilidade de corpos que são projetados para flutuar.</p><p>Por fim, concluímos que o profissional que tem um bom conhecimento de FENTRAN está mais bem preparado para resolver os diversos</p><p>problemas da Engenharia moderna, que, cada vez mais, têm um caráter multidisciplinar.</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>FOX, R. W.; MCDONALD, A. T.; PRITCHARD, P. J. Introdução à mecânica dos fluidos. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018.</p><p>PORTO, R. M. Hidráulica Básica. 4. ed. São Carlos: EESC-USP, 2006.</p><p>WHITE, F. M. Fluid Mechanics. 7. ed. New York: McGraw-Hill, 2010.</p><p>EXPLORE+</p><p>Procure ler na web o texto Explorando a conexão entre a mecânica dos fluidos e a teoria cinética, de Edson José Vasques, Paulo Menegasso e</p><p>Mariano de Souza, publicado na Revista Brasileira de Ensino de Física em 2016.</p><p>CONTEUDISTA</p><p>Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p> CURRÍCULO LATTES</p><p>javascript:void(0);</p><p>javascript:void(0);</p><p>de calor.</p><p>Foto: Shutterstock.com</p><p> Refrigeração</p><p>Foto: Shutterstock.com</p><p> Refrigeração</p><p>DISPERSÃO DE POLUENTES</p><p>Há uma preocupação cada vez maior com o meio ambiente, o que inclui o impacto do lançamento de poluentes. A maneira como substâncias se</p><p>dispersam na atmosfera ou em corpos hídricos é avaliada com base em conhecimentos da transferência de massa.</p><p>Foto: Shutterstock.com</p><p> Poluição</p><p>Foto: Shutterstock.com</p><p> Poluição</p><p>SUSTENTABILIDADE</p><p>Um dos termos mais valorizados na engenharia moderna é a sustentabilidade. Essa é a característica que os melhores projetos devem buscar,</p><p>seja no aproveitamento da radiação solar, seja no aproveitamento das baixas temperaturas submarinas.</p><p>Foto: Shutterstock.com</p><p> Painel solar – sustentabilidade</p><p>Foto: Microsoft Corp</p><p> Data center submarino – sustentabilidade</p><p>SÓLIDO X FLUIDO</p><p>Neste momento, já é possível ter uma boa noção do que é FENTRAN e perceber que fluido é o tipo de matéria de nosso interesse. Por isso, é</p><p>importante defini-lo.</p><p>O que você lembra sobre a diferença entre sólido e fluido aprendida no ensino médio?</p><p>Provavelmente, um ou mais dos itens listados a seguir estarão em sua resposta:</p><p>SÓLIDO</p><p>Moléculas mais próximas</p><p>Maior atração molecular</p><p>Tem formato definido</p><p></p><p>LÍQUIDO</p><p>Moléculas mais distantes</p><p>Menor atração molecular</p><p>Adequam-se ao ambiente</p><p> Quadro: Diferenças entre sólido e líquido.</p><p>Elaborado por: Gabriel de Carvalho Nascimento.</p><p>Essas características, obviamente, continuam válidas no curso superior. Porém, na Engenharia, precisamos de mais detalhes para representar a</p><p>matéria do ponto de vista mecânico, ou seja, em termos de tensões e deformações.</p><p>Quando aplicamos uma tensão cisalhante (letra grega</p><p>) em um sólido, ele se deforma e resiste a ela, com um ângulo de distorção</p><p>, entrando em equilíbrio. Já o fluido não é capaz de resistir em equilíbrio. Então, o ângulo de distorção continua aumentando pelo tempo que a</p><p>tensão cisalhante for aplicada, ou seja, ele “escoa”, conforme demonstra a imagem a seguir:</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p> Diferença entre sólido e fluido</p><p>Como a distorção aumenta ao longo do tempo, não é conveniente falar em ângulo</p><p>, mas sim em taxa de cisalhamento</p><p>.</p><p>Isaac Newton (1643-1727) mostrou que, para fluidos mais comuns (como, por exemplo, água, óleos e ar), a tensão cisalhante é proporcional à</p><p>taxa de cisalhamento, ou seja:</p><p>τ</p><p>δθ</p><p>δθ</p><p>dθ/dt</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em que</p><p>é uma constante chamada de viscosidade dinâmica.</p><p>Apesar de ser claro para entendimento, o termo taxa de cisalhamento (</p><p>) não é prático para se medir ou calcular em um escoamento. Por isso, vamos trocar por outro termo equivalente, conforme a dedução a seguir.</p><p>Vamos recortar apenas uma porção retangular infinitesimal de um fluido que escoa, com dimensões</p><p>e</p><p>. Transcorrido um tempo</p><p>, o retângulo (linha tracejada) passa a ser um losango (linha contínua), conforme mostra a figura seguinte:</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p> Taxa de cisalhamento e gradiente de velocidade</p><p>O deslocamento do topo será</p><p>. No triângulo retângulo à esquerda, temos:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Como o ângulo é muito pequeno (infinitesimal),</p><p>. Portanto:</p><p>τ = μ     (i)</p><p>dθ</p><p>dt</p><p>μ</p><p>dθ/dt</p><p>δx</p><p>δy</p><p>δt</p><p>δx2 = δu δt</p><p>tan δθ =     (ii)</p><p>δu δt</p><p>δy</p><p>tanδθ ≅senδθ ≅δθ</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Substituindo na equação</p><p>:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Essa equação representa a Lei da Viscosidade de Newton, válida para os fluidos então chamados de newtonianos.</p><p> SAIBA MAIS</p><p>Algumas substâncias possuem comportamento ambíguo, ou seja, dependendo da condição, classificam-se como sólidos ou fluidos. Como</p><p>exemplos, podemos citar o vidro, que escoa muito lentamente (leva centenas de anos para perceber), e o solo, que, em desmoronamentos aéreos</p><p>ou submarinos, pode se comportar como fluido.</p><p>HIPÓTESE DO CONTÍNUO: ABORDAGENS EULERIANA E</p><p>LAGRANGIANA</p><p>Quando observamos a correnteza de um rio ou qualquer outro escoamento, é natural pensarmos que se trata de algo contínuo, ou seja, que</p><p>preenche todo o espaço. Mas, lembrando da Química, sabemos que a água, assim como qualquer outro fluido, é composta por moléculas.</p><p>Vamos avaliar o efeito desse distanciamento por meio da relação entre massa e volume ocupado, chamado de massa específica:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p> ATENÇÃO</p><p>Para denotar volume, adotaremos , com o intuito de diferenciar de velocidade</p><p>δθ =    →       =       (iii)</p><p>δu δt</p><p>δy</p><p>dθ</p><p>dt</p><p>du</p><p>dy</p><p>(i)</p><p>τ = μ     (iv)</p><p>du</p><p>dy</p><p>ρ =  (v)</p><p>m</p><p>V</p><p>V</p><p>V</p><p>.</p><p>Partindo de um volume pequeno, mas que já engloba uma molécula (esfera 1 da imagem a seguir), teremos uma massa elevada, conforme o</p><p>ponto 1 do gráfico a seguir:</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p> Hipótese do contínuo</p><p>Aumentando o tamanho do volume, a massa específica diminui até o ponto 2 do gráfico, na iminência de incluir mais uma molécula, quando a</p><p>massa específica dá um salto (ponto 3). Esse processo se repete, mas os saltos diminuem gradativamente, pois a quantidade de moléculas</p><p>adicionadas no aumento do volume perde cada vez mais proporção em relação às já incluídas.</p><p>Portanto, a partir de determinado volume limite, comumente aceito como 10-12 cm³ para líquidos e gases nas condições normais de temperatura e</p><p>pressão (CNTPs), essa oscilação passa a ser desprezível, e o gráfico tem comportamento contínuo.</p><p>As dimensões tratadas na Engenharia são, praticamente, sempre muito superiores a esse volume limite. Portanto, daqui em diante,</p><p>consideraremos o fluido como uma matéria contínua.</p><p>Assim temos:</p><p>HIPÓTESE</p><p>As dimensões mínimas estudadas na Engenharia envolvem um número muito grande de moléculas, o que possibilita considerar o fluido como um</p><p>meio contínuo, sem distinção entre moléculas e vazios.</p><p></p><p>CONSEQUÊNCIA</p><p>Em qualquer ponto no espaço, haverá uma partícula fluida que possui todas as grandezas inerentes a um fluido, como massa (</p><p>), volume ( ), velocidade (</p><p>) e temperatura (</p><p>). A massa específica, por exemplo, será calculada por: .</p><p> Tabela: Tratamento dos fluidos na Engenharia.</p><p>Elaborado por: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p>δm</p><p>δ  V</p><p>→V</p><p>T</p><p>ρ = δm</p><p>δ V</p><p>Antes de começar a desenvolver equações, é necessário decidir qual abordagem será adotada – aquela que segue a matéria (lagrangiana) ou</p><p>aquela que se mantém fixa ao espaço (euleriana), conforme mostra a imagem a seguir:</p><p>EULERIANA</p><p>Lê-se: “óileriana”.</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p> Abordagem lagrangiana versus abordagem euleriana</p><p>Essa decisão se resume ao que mediremos ou calcularemos em termos das grandezas físicas (ex.: velocidade, pressão e temperatura), conforme</p><p>a tabela a seguir:</p><p>Onde as grandezas físicas são</p><p>medidas/calculadas?</p><p>Lagrangiana Euleriana</p><p>Em determinadas partículas de interesse, que</p><p>são acompanhadas ao longo de sua trajetória no</p><p>tempo.</p><p>Nas partículas que passam nas posições</p><p>de interesse (domínio de análise) ao longo</p><p>do tempo.</p><p> Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal</p><p> Quadro: Abordagens lagrangiana e euleriana de acordo com as grandezas físicas.</p><p>Elaborado por: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p>Então, qual é a melhor abordagem?</p><p>Depende. Se estamos falando de sólidos, como na análise de estruturas (por exemplo, aço e concreto), os deslocamentos fazem com que</p><p>posições em que antes havia a matéria de interesse, em um momento posterior, passe a não haver nada (apenas ar) ou outro tipo de material.</p><p>Isso dificulta a aplicação da abordagem euleriana, que monitora as posições do espaço.</p><p>Em contrapartida, em se tratando de fluido, os deslocamentos são grandes. Normalmente, há entrada por um contorno e saída pelo outro, o que</p><p>dificulta o acompanhamento das partículas, feito pela abordagem lagrangiana.</p><p> DICA</p><p>De maneira geral, concluímos que, para sólidos, a abordagem lagrangiana é</p><p>mais apropriada, enquanto, para fluidos, a euleriana se adequa</p><p>melhor.</p><p>javascript:void(0)</p><p>Foto: Shutterstock.com</p><p> EXEMPLO</p><p>O velocímetro de um automóvel se enquadra na abordagem lagrangiana ou euleriana?</p><p>O velocímetro mede a velocidade do automóvel, ou seja, acompanha a “partícula” enquanto se move. Essa situação corresponde à definição da</p><p>abordagem lagrangiana.</p><p>E o radar?</p><p>Foto: Shutterstock.com</p><p>Os radares medem a velocidade dos veículos que passam em determinado local, ou seja, não acompanham a “partícula”. Nesse caso, temos uma</p><p>situação correspondente à abordagem euleriana.</p><p>PROPRIEDADES DOS FLUIDOS, GRANDEZAS FÍSICAS E SUAS</p><p>PRINCIPAIS UNIDADES</p><p>A seguir, serão apresentadas e comentadas as principais propriedades dos fluidos estudadas em FENTRAN.</p><p>MASSA ESPECÍFICA:</p><p>É definida como a razão entre a massa e o volume de uma partícula fluida:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Por depender do volume ocupado,</p><p>pode variar com a temperatura e a pressão. Por definição, fluidos incompressíveis não sofrem variação de volume para uma mesma quantidade</p><p>de massa. Portanto, nesse caso, a massa específica</p><p>é constante, o que pode ser considerado para os líquidos na maioria das situações e, em alguns casos, até mesmo para gases.</p><p>UNIDADES</p><p>kg/m³</p><p>lb/ft³</p><p>1 lb/ft³ = 16,02 kg/m³</p><p>lb/in³</p><p>1 lb/in³ = 27.679,9 kg/m³</p><p>oz/gal</p><p>1 oz/gal = 7,49 kg/m³</p><p> SAIBA MAIS</p><p>Em inglês, o termo correspondente à massa específica é density.</p><p>PESO ESPECÍFICO:</p><p>É definido pela razão entre o peso e o volume de uma partícula:</p><p>ρ</p><p>ρ = dm</p><p>d V</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>→</p><p>→</p><p>→</p><p>γ</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Substituindo-se</p><p>, teremos . Como :</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>UNIDADES</p><p>N/m³ (S.I.)</p><p>kN/m³</p><p>1 kN/m³ = 1000 N/m³</p><p>DENSIDADE:</p><p>OU</p><p>É a razão entre a massa específica do fluido (</p><p>) e a de referência (</p><p>). Portanto, é adimensional:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>γ = dP</p><p>d V</p><p>P = mg</p><p>γ =</p><p>dm⋅g</p><p>d V</p><p>ρ = dm</p><p>d V</p><p>γ = ρg</p><p>→</p><p>d</p><p>δ</p><p>ρ</p><p>ρref</p><p>d =</p><p>ρ</p><p>ρref</p><p>Normalmente,</p><p>é adotada como a maior massa específica da água (</p><p>), que ocorre em 4°C.</p><p> SAIBA MAIS</p><p>Algumas vezes, encontramos o termo densidade referindo-se à massa específica. A maneira de se assegurar do que se trata é observar a</p><p>unidade que acompanha o valor. Densidade é traduzida para inglês por specific gravity (S.G.) ou relative density.</p><p>VISCOSIDADE (DINÂMICA):</p><p>Conforme já vimos, viscosidade é uma constante que aparece na Lei da Viscosidade de Newton, dada por:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Quanto maior a viscosidade, maior será a tensão cisalhante (viscosa) necessária para manter a mesma velocidade.</p><p>Imagine que, entre duas chapas metálicas, seja colocada uma camada fina de óleo. Ao deslizar as superfícies, uma tensão cisalhante será</p><p>gerada, e a força necessária para manter o movimento será</p><p>, conforme mostrado a seguir:</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p> Deslizamento entre placas</p><p>Quanto mais viscoso for o óleo, maior será essa força. É por isso que, para óleos lubrificantes, desejamos os que possuem a menor viscosidade.</p><p>Por um lado, a viscosidade sofre pouca influência da pressão. Por outro, a temperatura, além de ter influência significativa, causa efeito</p><p>diferenciado em gases e líquidos:</p><p>ρref</p><p>ρágua = 1.000kg/m³</p><p>μ</p><p>τ = μ</p><p>du</p><p>dy</p><p>F = τA</p><p>GASES</p><p>+ temperatura</p><p>+ viscosidade</p><p>LÍQUIDOS</p><p>+ temperatura</p><p>- viscosidade</p><p>A imagem a seguir ilustra essa influência:</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p> Influência da temperatura na viscosidade de gases e líquidos</p><p>Esse comportamento diferenciado em líquidos tem um efeito benéfico em muitos equipamentos e motores, pois o aumento da temperatura, que</p><p>ocorre durante seu uso, causa diminuição da viscosidade do óleo lubrificante, redução da força resistente e, consequentemente, da potência</p><p>dissipada.</p><p>A tabela a seguir apresenta algumas propriedades dos fluidos:</p><p>Fluido</p><p>(20°C e 1atm)</p><p>(Pa.s) (kg/m³)</p><p>Hidrogênio 9,05 x 10-6 0,0839</p><p>Ar 1,80 x 10-5 1,20</p><p>Gasolina 2,92 x 10-4 680</p><p>Água 1,00 x 10-3 998</p><p>Álcooletílico 1,20 x 10-3 789</p><p>Mercúrio 1,56 x 10-3 13.550</p><p>Óleo SAE10 W 1.04 x 10-1 870</p><p>→</p><p>→</p><p>μ ρ</p><p>javascript:void(0)</p><p>javascript:void(0)</p><p>Fluido</p><p>(20°C e 1atm)</p><p>(Pa.s) (kg/m³)</p><p>Óleo SAE30 W 2.90 x 10-1 891</p><p>Água domar 1,07 x 10-3 1.025</p><p>Glicerina 1,49 1260</p><p>Gáscarbônico 1,48 x 10-5 1,82</p><p>Azeitede oliva 84,0 x 10-3 890</p><p> Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal</p><p> Tabela: Propriedades dos fluidos mais comuns.</p><p>Elaborado por: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p>UNIDADES</p><p>kg/m.s (S.I.)</p><p>Pa.s: 1 Pa.s = 1 kg/m.s</p><p>P (Poise): 1 P = 0,1 kg/m.s</p><p>cP (Centipoise): 1 cP = 0,001 kg/m.s</p><p>Viscosidade cinemática:</p><p>UNIDADES</p><p>m²/s (S.I.)</p><p>St (Stokes): 1 St = 10-4 m²/s</p><p>cSt (Centistoke): 1 cSt = 10-6 m²/s</p><p>PRESSÃO:</p><p>Embora a pressão não seja uma propriedade do fluido, e sim uma condição, seu conceito e a quantidade de unidades adotadas na Engenharia</p><p>fazem valer mencioná-la aqui.</p><p>Antes de falar de pressão, vamos relembrar de uma grandeza física parecida: a tensão normal (</p><p>μ ρ</p><p>ν =</p><p>μ</p><p>ρ</p><p>p</p><p>σ</p><p>), que representa a força aplicada por unidade de área (</p><p>). Trata-se de uma grandeza vetorial, pois tem direção e sentido, além da intensidade (módulo).</p><p>Em uma partícula, que podemos representar como um prisma infinitesimal, pode haver uma tensão normal com valor diferente para cada face,</p><p>conforme mostra a imagem a seguir:</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p> Tensões normais em uma partícula fluida</p><p>A pressão, por sua vez, é dada por:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Ela constitui, então, uma grandeza escalar, ou seja, tem apenas um valor para cada partícula. A pressão também pode ser calculada pela média</p><p>das tensões normais nas três direções (</p><p>,</p><p>e</p><p>):</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Outro detalhe importante é que a tensão normal tem referencial de tração, ou seja, é positiva quando a superfície está sendo “puxada”. Para a</p><p>pressão, é o contrário: Um valor positivo significa compressão. Como fluidos não resistem à tração (eles se separam se tracionados), a pressão</p><p>passa a ser uma grandeza mais adequada para avaliar a condição dos fluidos, pois estão sempre comprimidos.</p><p>σ = d →F /dA</p><p>p =</p><p>dF</p><p>dA</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>p =</p><p>σx + σy + σz</p><p>3</p><p>UNIDADES</p><p>N/m²</p><p>1 N/m² = 1 Pa (Pascal)</p><p>mca (metro de coluna d’água)</p><p>1 mca = 9,81 kPa</p><p>kgf/cm²</p><p>1 kgf/cm² 98,1 kPa</p><p>bar</p><p>1 bar = 100 kPa</p><p>atm</p><p>1 atm = 101,32 kPa</p><p>psi (pound per square inch)</p><p>1 psi = 6,89 kPa</p><p>mmHg</p><p>1 mmHg = 133,32 Pa</p><p> SAIBA MAIS</p><p>Muitos engenheiros dizem, simplificadamente, “quilos” para se referir a kgf/cm². Portanto, se você ouvir que a pressão de projeto deve ser de “8</p><p>quilos”, não pense em uma balança, pois o valor é 8 kgf/cm².</p><p>Os manômetros são instrumentos que medem a pressão e indicam a diferença entre a pressão (absoluta) (</p><p>) no interior da tubulação ou reservatório e a pressão no ambiente externo (</p><p>). Por isso, chamamos de pressão manométrica (</p><p>), calculada por:</p><p>→</p><p>→</p><p>→</p><p>→</p><p>→</p><p>→</p><p>→</p><p>p</p><p>pamb</p><p>pm</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Normalmente, o ambiente externo é a atmosfera padrão. Portanto:</p><p>.</p><p> SAIBA MAIS</p><p>A letra “g”, colocada após a unidade da pressão, refere-se a gauge, o que significa pressão manométrica, assim como a letra “a” remete à pressão</p><p>absoluta. Por exemplo, se você ler em um relatório de inspeção que a pressão medida foi de 5,2 kgf/cm²g, significa que essa é a pressão</p><p>manométrica.</p><p>TEORIA NA PRÁTICA</p><p>OS DISCOS RÍGIDOS OU HARD DRIVES (HDS) SÃO DISPOSITIVOS DE</p><p>ARMAZENAMENTO UTILIZADOS EM COMPUTADORES.</p><p>Foto: Shutterstock.com</p><p>CONSIDERE QUE O DISCO TENHA DIÂMETRO DE 2,5”, QUE GIRE A 500 ROTAÇÕES</p><p>POR SEGUNDO, E QUE HAJA UMA FOLGA DE 1MM ENTRE CADA UMA DE SUAS</p><p>SUPERFÍCIES (SUPERIOR E INFERIOR) E AS FACES INTERNAS DA CAIXA,</p><p>PREENCHIDA COM AR À</p><p>TEMPERATURA AMBIENTE (24°C).</p><p>pm = p − pamb</p><p>pamb = patm</p><p>CONSIDERANDO TODAS AS SIMPLIFICAÇÕES NECESSÁRIAS, CALCULE O</p><p>TORQUE REQUERIDO PARA MANTER O DISCO GIRANDO.</p><p>QUAL A POTÊNCIA REQUERIDA PARA MANTER O DISCO GIRANDO?</p><p>QUAL A CONSEQUÊNCIA DO AUMENTO DA TEMPERATURA PARA A</p><p>VISCOSIDADE DE GASES?</p><p>RESOLUÇÃO</p><p>O EFEITO DA VISCOSIDADE NA RESISTÊNCIA AO MOVIMENTO</p><p>MÃO NA MASSA</p><p>O QUE É ESTUDADO EM FENÔMENOS DE TRANSPORTE (FENTRAN)?</p><p>A) A capacidade de fluxo em diferentes modais de transporte, como o rodoviário, ferroviário e aquaviário.</p><p>B) Os fenômenos decorrentes do transporte de partículas sólidas, como o carregamento de grãos e areia em vagões e caminhões.</p><p>C) A transferência de quantidade de movimento, energia térmica e massa.</p><p>D) O fluxo de tensões em estruturas como edifícios e pontes.</p><p>E) Os fenômenos decorrentes da transferência de dados em fibra óptica e ondas eletromagnéticas.</p><p>QUAL SUBSTÂNCIA TEM COMPORTAMENTO AMBÍGUO ENTRE SÓLIDO E FLUIDO?</p><p>A) Água</p><p>B) Ar</p><p>C) Aço</p><p>D) Vidro</p><p>E) Espuma</p><p>QUAL DOS EXEMPLOS A SEGUIR CORRESPONDE À REPRESENTAÇÃO LAGRANGIANA?</p><p>A) Termômetro fixado em uma tubulação de gás</p><p>B) Sonda lançada em uma adutora</p><p>C) Medidor ultrassônico de vazão</p><p>D) Manômetro</p><p>E) Detector de fumaça</p><p>QUAL DAS UNIDADES A SEGUIR PODE SER UTILIZADA PARA VISCOSIDADE?</p><p>A) kg/m</p><p>B) Pa</p><p>C) m.kg/s</p><p>D) Pa.s</p><p>E) m/s²</p><p>QUAL DAS ALTERNATIVAS A SEGUIR REPRESENTA O FLUIDO DE MENOR VISCOSIDADE?</p><p>A) Água congelada</p><p>B) Ar a 60°C</p><p>C) Água a 20°C</p><p>D) Ar a 0°C</p><p>E) Água a 90°C</p><p>UM FLUIDO OCUPA UM VOLUME DE 1,5M³, E SUA MASSA É 3.000KG. DETERMINE SUA MASSA ESPECÍFICA:</p><p>A) 1.000 kg/m³</p><p>B) 1</p><p>C) 2.000 kg/m³</p><p>D) 500 kg/m³</p><p>E) 2</p><p>GABARITO</p><p>O que é estudado em Fenômenos de Transporte (FENTRAN)?</p><p>A alternativa "C " está correta.</p><p>A disciplina FENTRAN se refere ao transporte decorrente do movimento de fluidos (transporte de quantidade de movimento), da transferência de</p><p>energia térmica (transporte de calor) e de massa.</p><p>Qual substância tem comportamento ambíguo entre sólido e fluido?</p><p>A alternativa "D " está correta.</p><p>O vidro tem um comportamento peculiar, pois escoa muito lentamente, levando muitos anos para que se observe a evolução da deformação</p><p>decorrente da tensão cisalhante aplicada. Portanto, analisando-os em um curto prazo, os vidros são classificados como sólidos, mas, a longo</p><p>prazo, têm um comportamento de fluido.</p><p>Qual dos exemplos a seguir corresponde à representação lagrangiana?</p><p>A alternativa "B " está correta.</p><p>Na representação lagrangiana, o referencial de coordenadas acompanha a matéria (fluido), enquanto, na euleriana, permanece fixo no espaço.</p><p>Assim, a única alternativa que se enquadra na definição lagrangiana é a “sonda lançada em uma adutora”, que será levada junto com o fluido,</p><p>realizando as medições (como, por exemplo, temperatura e pressão) das partículas próximas que a acompanham.</p><p>Qual das unidades a seguir pode ser utilizada para viscosidade?</p><p>A alternativa "D " está correta.</p><p>O QUE É VISCOSIDADE E QUAIS SÃO SUAS UNIDADES USUAIS?</p><p>Qual das alternativas a seguir representa o fluido de menor viscosidade?</p><p>A alternativa "D " está correta.</p><p>Primeiramente, devemos excluir a água congelada (gelo), pois não se trata de um fluido, mas sim de um sólido. Entre os restantes, temos água e</p><p>ar. A viscosidade de gases é muito inferior à viscosidade de líquidos devido à maior distância e, consequentemente, à interação entre moléculas.</p><p>Resta decidir entre ar a 0°C e 60°C.</p><p>Em líquidos, o aumento da temperatura causa diminuição da viscosidade, enquanto, em gases, o efeito é o contrário. Portanto, um gás (nesse</p><p>caso, ar) com maior temperatura terá maior viscosidade.</p><p>Um fluido ocupa um volume de 1,5m³, e sua massa é 3.000kg. Determine sua massa específica:</p><p>A alternativa "C " está correta.</p><p>A massa específica é definida por:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>GABARITO</p><p>VERIFICANDO O APRENDIZADO</p><p>ρ = = = 2000 kg/m³m</p><p>V</p><p>3000</p><p>1,5</p><p>EM UMA ATIVIDADE DE LABORATÓRIO, SEU GRUPO VERIFICOU COM UMA BALANÇA DE PRECISÃO QUE A</p><p>QUANTIDADE DE GASOLINA QUE PREENCHEU UM RECIPIENTE DE 25ML PESAVA 17G. QUAL É A MASSA</p><p>ESPECÍFICA DESSA AMOSTRA DE GASOLINA, NO S.I.?</p><p>A) 0,680 kg/m³</p><p>B) 0,340 g/mL</p><p>C) 340 kg/m³</p><p>D) 0,680 g/mL</p><p>E) 680 kg/m³</p><p>(PETROBRAS - ENGENHEIRO DE PETRÓLEO - 2012)</p><p>USANDO UM DINAMÔMETRO, VERIFICA-SE QUE UM CORPO DE DENSIDADE</p><p>E DE VOLUME</p><p>POSSUI UM PESO QUE É O TRIPLO DO “PESO APARENTE” QUANDO COMPLETAMENTE MERGULHADO EM UM</p><p>LÍQUIDO DE DENSIDADE</p><p>. QUAL A RAZÃO</p><p>?</p><p>A) 1/6</p><p>B) 1/3</p><p>C) 1</p><p>D) 2/3</p><p>E) 3/2</p><p>GABARITO</p><p>Em uma atividade de laboratório, seu grupo verificou com uma balança de precisão que a quantidade de gasolina que preencheu um</p><p>recipiente de 25mL pesava 17g. Qual é a massa específica dessa amostra de gasolina, no S.I.?</p><p>A alternativa "E " está correta.</p><p>A massa específica de um material é calculada pela razão massa por volume:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A massa medida é 17 g, que, convertida para o S.I., corresponde a:</p><p>dC</p><p>V = 1, 0 litro</p><p>dL</p><p>dC/dL</p><p>ρ = m</p><p>V</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>O volume medido é :</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Então:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>(Petrobras - Engenheiro de Petróleo - 2012)</p><p>Usando um dinamômetro, verifica-se que um corpo de densidade</p><p>e de volume</p><p>possui um peso que é o triplo do “peso aparente” quando completamente mergulhado em um líquido de densidade</p><p>. Qual a razão</p><p>?</p><p>A alternativa "E " está correta.</p><p>A massa específica do corpo será:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>E pode ser substituída pela definição de densidade</p><p>:</p><p>m = 0, 017 ⋅ 10−3 kg = 0, 017 kg</p><p>V = 25 mL = 25 ⋅ 10−3 L</p><p>V = 25 ⋅ 10−3 dm3 = 25 ⋅ 10−3 ⋅ (10−1)</p><p>3</p><p>m3 = 25 ⋅ 10−6 m3</p><p>ρ = = 680 kg/m30, 017</p><p>25 ⋅ 10−6</p><p>dC</p><p>V = 1, 0 litro</p><p>dL</p><p>dC/dL</p><p>ρC = = =</p><p>mC</p><p>V</p><p>P/g</p><p>1</p><p>P</p><p>g</p><p>dC = ρC/ρágua → ρC = dCρágua</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>O peso aparente (</p><p>) será o peso medido pelo dinamômetro quando o corpo está mergulhado, ou seja, o peso real (</p><p>) descontado do empuxo (</p><p>):</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>De acordo com o enunciado,</p><p>. Então:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Como V = 1 L:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Igualando as equações (i) e (ii):</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>MÓDULO 2</p><p>dCρágua = → P = dCρáguag (i)</p><p>P</p><p>g</p><p>P ′</p><p>P</p><p>E</p><p>P ′ = P − E = P − ρLg V = P − dLρáguag V</p><p>P = 3P ′</p><p>= P − dLρáguag V → P = dLρáguag V</p><p>P</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>→     P = dLρáguag       (ii)3</p><p>2</p><p>dCρáguag = dLρáguag → =</p><p>3</p><p>2</p><p>dC</p><p>dL</p><p>3</p><p>2</p><p> Aplicar métodos de análise dimensional e semelhança para cálculo de estimativas</p><p>SIMPLIFICANDO PROBLEMAS E EXPANDINDO HORIZONTES</p><p>GRUPOS ADIMENSIONAIS</p><p>O conteúdo deste módulo é adotado para resolução de muitos problemas, não só em FENTRAN, mas em diversas disciplinas de Engenharia.</p><p>Com esse conhecimento, podemos simplificar a análise dos fenômenos e extrapolar resultados para condições além daquelas em que há dados</p><p>disponíveis.</p><p>A análise do escoamento, da transferência de calor e de massa pode envolver cálculos complexos, normalmente com equações diferenciais</p><p>parciais que não têm solução analítica para condições reais.</p><p>Já os grupos adimensionais podem nos dizer muito sobre o fenômeno estudado, de maneira muito prática e simples, e até ajudar na solução de</p><p>problemas. Eles são formados pela combinação de grandezas dimensionais, de modo que o resultado não tenha unidade.</p><p>Abordaremos, a seguir, os principais adimensionais utilizados em FENTRAN.</p><p>NÚMERO DE REYNOLDS (</p><p>)</p><p>É o adimensional mais conhecido de FENTRAN, relevante em quase todos os tópicos dessa disciplina. O número de Reynolds (Re) é definido</p><p>como a razão entre forças de</p><p>inércia e forças viscosas e calculado por:</p><p>Re</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em que:</p><p>= massa específica</p><p>= velocidade do escoamento</p><p>= dimensão de referência (por exemplo, largura ou comprimento)</p><p>= viscosidade dinâmica</p><p>A força inercial, proporcional a</p><p>, representa a tendência que o fluido tem de manter sua velocidade, enquanto a força viscosa, proporcional a</p><p>, representa o que procura resistir ao escoamento. Portanto, quanto menor o denominador (viscosidade), maior é o valor de</p><p>e menos “controlado” é o escoamento. Esse é o caso dos escoamentos turbulentos, ao contrário dos laminares.</p><p>Então, para que valor de</p><p>há uma mudança no comportamento do escoamento?</p><p>Depende do tipo de escoamento ao qual estamos nos referindo. O escoamento no interior de tubulações é um dos fenômenos de maior interesse</p><p>na Engenharia. O número de Reynolds auxilia na escolha e no cálculo das equações utilizadas para prever a perda de pressão que o fluido sofre</p><p>ao longo do duto.</p><p>tabela a seguir apresenta a classificação desse tipo de escoamento de acordo com o número de Reynolds:</p><p>Classificação Imagem</p><p>< 2300</p><p>Laminar</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p>2300 <</p><p>< 4000</p><p>Transição</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p>4000 < Turbulento</p><p>Re =</p><p>ρV L</p><p>μ</p><p>ρ</p><p>V</p><p>L</p><p>μ</p><p>ρVL</p><p>ν</p><p>Re</p><p>Re</p><p>Re</p><p>Re</p><p>Re</p><p>Re</p><p>Classificação Imagem</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p> Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal</p><p> Tabela: Classificação de escoamento no interior de tubulações.</p><p>Elaborado por: Gabriel de Carvalho Nascimento e Gabriel Burlandy Mota de Melo</p><p>Quando um fluido atravessa, transversalmente, um sólido (como, por exemplo, a corrente oceânica em um duto submarino), pode ocorrer o</p><p>desprendimento de vórtices (recirculações do escoamento), que, por sua vez, tendem a ocasionar a vibração do corpo. O número de Reynolds</p><p>nos permite verificar se há susceptibilidade de desprendimento de vórtices, além do cálculo da força de arrasto.</p><p>A tabela a seguir apresenta a classificação desse tipo de escoamento de acordo com o número de Reynolds:</p><p>Classificação Imagem</p><p>< 40</p><p>Esteira laminar e permanente</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p>40 <</p><p>< 150</p><p>Esteira laminar e periódica</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p>150 <</p><p>< 300</p><p>Transição</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p>300 <</p><p>Esteira turbulenta</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p> Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal</p><p> Tabela: Classificação de escoamento ao redor de cilindros.</p><p>Elaborado por: Gabriel de Carvalho Nascimento e Gabriel Burlandy Mota de Melo</p><p>NÚMERO DE EULER (</p><p>)</p><p>Re</p><p>Re</p><p>Re</p><p>Re</p><p>Re</p><p>Re</p><p>Eu</p><p>Quando um fluido incide, perpendicularmente, uma superfície sólida, a velocidade</p><p>(energia cinética) é convertida em acréscimo de pressão (</p><p>) pela relação</p><p>. Em outros termos, esse é o máximo incremento de pressão que pode ocorrer em um escoamento, desconsiderando a gravidade.</p><p>O número de Euler (</p><p>) representa a razão entre o incremento de pressão, até determinado ponto, e o máximo valor que ele pode ter, ou seja:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em que:</p><p>= diferença entre a pressão local e a pressão na corrente livre (afastado da superfície sólida)</p><p>= massa específica</p><p>= velocidade do escoamento</p><p>NÚMERO DE FROUDE (</p><p>)</p><p>O número de Froude (</p><p>) é definido pela razão entre forças de inércia e gravitacionais, sendo calculado por:</p><p>V</p><p>Δp</p><p>Δp = ρV 21</p><p>2</p><p>Eu</p><p>Eu =</p><p>Δp</p><p>ρV 21</p><p>2</p><p>Δp = p −  p0</p><p>ρ</p><p>V</p><p>Fr</p><p>Fr</p><p>Fr =</p><p>V</p><p>√gL</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em que:</p><p>= velocidade do escoamento</p><p>= dimensão característica (como, por exemplo, a profundidade de canais e o comprimento de navios)</p><p>= gravidade</p><p>O valor de</p><p>tem relevância em escoamentos em que a gravidade exerce influência significativa, como em rios, em ondas e ao redor de navios.</p><p>O número de Froude é utilizado para classificar o escoamento em canais, conforme a tabela a seguir:</p><p>Classificação</p><p>< 1 Subcrítico ou fluvial</p><p>= 1 Crítico</p><p>> 1 Supercrítico ou torrencial</p><p> Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal</p><p> Tabela: Classificação de escoamento com base no número de Froude.</p><p>Elaborado por: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p>Essa classificação é importante para prever diversos aspectos do comportamento do escoamento. Na transição de um escoamento torrencial (</p><p>) para fluvial (</p><p>), ocorre um fenômeno chamado ressalto hidráulico, conforme ilustra a imagem a seguir:</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p> Ressalto hidráulico</p><p>NÚMERO DE WEBER (</p><p>V</p><p>L</p><p>g</p><p>Fr</p><p>Fr</p><p>Fr > 1</p><p>Fr < 1</p><p>We</p><p>)</p><p>O número de Weber (</p><p>) é definido pela razão entre forças de inércia e de tensão superficial, sendo calculado por:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em que:</p><p>= massa específica</p><p>= velocidade do escoamento</p><p>= dimensão característica</p><p>= tensão superficial</p><p>O valor de</p><p>indica se a tensão superficial tem influência significativa no escoamento e é relevante quando é da ordem de grandeza de 1 (100) ou menos.</p><p>Foto: PxHere/Creative Commons Zero (CC0) license</p><p> Ondas com influência da tensão superficial</p><p>Se você reduzir demais o tamanho do modelo físico (</p><p>), a tensão superficial passa a exercer uma influência que não há no tamanho original. Consequentemente, o modelo não representará, de forma</p><p>adequada, o protótipo.</p><p>We</p><p>We =</p><p>ρV 2L</p><p>Γ</p><p>ρ</p><p>V</p><p>L</p><p>Γ</p><p>We</p><p>L</p><p>NÚMERO DE MACH (</p><p>)</p><p>É definido pela razão entre forças de inércia e de compressibilidade. Conforme vimos em adimensionais anteriores, sabemos que a inércia é</p><p>proporcional à velocidade</p><p>. A compressibilidade, por sua vez, está relacionada à velocidade do som (</p><p>), que nada mais é do que uma onda de pressão que propaga por compressão de dilatação do fluido. Portanto, o número de Mach é equivalente à</p><p>razão entre</p><p>e</p><p>:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>O escoamento pode ser classificado com base no valor de</p><p>, conforme a tabela a seguir:</p><p>Classificação</p><p>< 1 Escoamento subsônico</p><p>= 1 Barreira do som</p><p>> 1 Escoamento supersônico</p><p> Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal</p><p> Tabela: Classificação de escoamento com base no número de Mach</p><p>Elaborado por: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p>Escoamentos supersônicos, como em aviões a jato, apresentam uma complexidade maior para sua análise, pois os efeitos de compressibilidade</p><p>devem ser considerados nos cálculos. A imagem a seguir ilustra esses tipos de escoamentos:</p><p>Ma</p><p>V</p><p>c</p><p>V</p><p>c</p><p>Ma =</p><p>V</p><p>c</p><p>Ma</p><p>Ma</p><p>Imagem: Rchisena92/Wikimedia Commons/Licença (CC BY-SA 3.0)</p><p> Escoamento subsônico (subsonic) e supersônico (supersonic)</p><p>COEFICIENTE DE ARRASTO E SUSTENTAÇÃO (</p><p>E</p><p>)</p><p>É definido pela razão entre forças de arrasto ou sustentação (</p><p>ou</p><p>) e forças inerciais, sendo calculado por:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em que:</p><p>e</p><p>= força de arrasto (drag) e de sustentação (lift)</p><p>= massa específica</p><p>= velocidade do escoamento</p><p>CD</p><p>CL</p><p>FD</p><p>FL</p><p>CD/L =</p><p>FD/ L</p><p>ρV 2A1</p><p>2</p><p>FD</p><p>FL</p><p>ρ</p><p>V</p><p>A</p><p>= área de referência</p><p>Os coeficientes de arrasto e sustentação são muito úteis, por exemplo, quando há dados na literatura para seus valores sob determinada</p><p>condição, como escoamento ao redor de uma esfera. Nesse caso, basta explicitar a força das equações e calcular.</p><p>A área a ser considerada como referência varia com as características do problema. Quando o arrasto causado pela força de pressão é mais</p><p>significativo, utiliza-se a área de projeção frontal. Se a força de “atrito” (cisalhante) é preponderante, adota-se a área que inclua a superfície ao</p><p>longo da qual a tensão é aplicada, como a área planiforme (vista superior) da asa de avião. A imagem a seguir apresenta essas áreas de</p><p>referência:</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p> Área frontal para cálculo do arrasto</p><p>ANÁLISE DIMENSIONAL</p><p>Imagine que você quer desenvolver um gráfico ou</p><p>ábaco que forneça a força de arrasto (</p><p>) em um corpo com determinada geometria, como, por exemplo, um novo equipamento que deve ser anexado ao casco de um submarino. Devido</p><p>à complexidade do fenômeno (escoamento turbulento), é provável que utilize um modelo físico reduzido: Uma reprodução simplificada do</p><p>problema em laboratório.</p><p>ÁBACO</p><p>Instrumento que permite substituir cálculos numéricos por cálculos gráficos.</p><p>Primeiramente, devemos avaliar as grandezas dimensionais que influenciarão no resultado. Devemos considerar a velocidade do escoamento (</p><p>), a massa específica e a viscosidade do fluido (</p><p>e</p><p>), e a dimensão de referência da geometria (</p><p>FD</p><p>V</p><p>ρ</p><p>μ</p><p>javascript:void(0)</p><p>). Desejamos, então, obter a grandeza de interesse a partir das demais:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Se você deseja que seu gráfico tenha uma boa abrangência de possibilidades, é razoável assumirmos 10 valores diferentes para cada parâmetro</p><p>de entrada (</p><p>,</p><p>e fluido). Então, serão 10 x 10 x 10 = 1000 testes! O estagiário teria de morar no laboratório.</p><p>Para contornar isso, existe um método que reduz a quantidade de variáveis e, consequentemente, de testes necessários, conforme veremos a</p><p>seguir.</p><p>TEOREMA PI DE BUCKINGHAM</p><p>Seja um fenômeno que envolve</p><p>variáveis dimensionais (</p><p>), em que:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>De acordo com o Teorema Pi de Buckingham, é possível reduzir o número de variáveis dimensionais (</p><p>) a um número menor (</p><p>) de variáveis (grupos) adimensionais</p><p>:</p><p>L</p><p>FD = FD(L,  V ,  ρ,μ)</p><p>L</p><p>V</p><p>n</p><p>ui</p><p>G (u1,  u2,   … ,  un) = 0</p><p>n</p><p>k</p><p>πi</p><p>g (Π1, Π2,   … , Πk) = 0</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em que</p><p>é o número mínimo de grandezas básicas – como, por exemplo, comprimento (</p><p>), massa (</p><p>), tempo (</p><p>) e temperatura (</p><p>) – necessário para formar as grandezas de todas as variáveis (</p><p>).</p><p>A metodologia pode ser descrita pelos passos a seguir:</p><p>1</p><p>Listar as grandezas dimensionais envolvidas (</p><p>)</p><p>Expressar cada uma delas em função das dimensões básicas. A velocidade, por exemplo, é definida como comprimento pelo tempo (</p><p>).</p><p>2</p><p>3</p><p>Determinar o número</p><p>de termos</p><p>necessários:</p><p>k  =  n  −  r</p><p>r</p><p>L</p><p>M</p><p>T</p><p>θ</p><p>ui</p><p>ui</p><p>L/T</p><p>k</p><p>Πs</p><p>.</p><p>Obter os</p><p>, escolhendo como</p><p>aquele que contém a variável de interesse.</p><p>4</p><p>5</p><p>Expressar o resultado como uma função dos demais adimensionais:</p><p>.</p><p>Agora, vamos voltar ao problema exemplificado da força de arrasto, seguindo esses passos. Já fizemos a listagem das grandezas dimensionais</p><p>(primeiro passo), contabilizando</p><p>(</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>e</p><p>).</p><p>Na tabela a seguir, realizaremos o segundo passo:</p><p>Grandeza dimensional Descrição pelas grandezas básicas</p><p>k = n − r</p><p>Πs</p><p>Π1</p><p>Π1 = f (Π2, … , Πk)</p><p>n = 5</p><p>FD</p><p>L</p><p>V</p><p>ρ</p><p>μ</p><p>FD ML/T 2</p><p>L L</p><p>V L/T</p><p>Grandeza dimensional Descrição pelas grandezas básicas</p><p> Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal</p><p> Tabela: Expressão das grandezas dimensionais em função das dimensões básicas</p><p>Elaborado por: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p>Aqui, percebemos que a quantidade r de grandezas básicas necessárias é 3 (</p><p>,</p><p>e</p><p>). Então, a quantidade de adimensionais necessários será:</p><p>.</p><p>O próximo passo consiste em formar os dois adimensionais (</p><p>) a partir das grandezas dimensionais. Por praticidade, escolheremos os</p><p>a partir dos adimensionais mais conhecidos.</p><p>Observamos, rapidamente, que os adimensionais mais oportunos são o coeficiente de arrasto e o número de Reynolds. Como</p><p>, devemos escolher o que possui a variável dependente (de interesse), que é</p><p>. Então:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Note que substituímos a área A, do coeficiente de arrasto</p><p>, por</p><p>, pois ambos têm a mesma dimensão (comprimento ao quadrado).</p><p>ρ M/L3</p><p>μ M/LT</p><p>M</p><p>L</p><p>T</p><p>k = 5 − 3 = 2</p><p>Πs</p><p>Πs</p><p>Π1</p><p>FD</p><p>⎧⎪</p><p>⎨</p><p>⎪⎩</p><p>Π1 = CD =</p><p>Π2 = Re =</p><p>FD</p><p>ρV L21</p><p>2</p><p>ρV L</p><p>μ</p><p>CD</p><p>L2</p><p>Por fim, expressaremos por</p><p>, ou seja:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Lembre-se de que, na formulação anterior, realizaríamos 1000 testes para variar 10 vezes cada parâmetro de entrada. Agora, temos um</p><p>parâmetro de entrada (</p><p>), e são necessários apenas 10 testes. O estagiário agradece!</p><p>Outra vantagem dessa metodologia é mostrar do que o resultado será dependente. No exemplo demonstrado, o coeficiente de arrasto (</p><p>) é função do número de Reynolds (</p><p>). Então, basta construir um gráfico</p><p>versus</p><p>, a partir dos resultados do experimento, para obter o que desejávamos desde o início: Um gráfico que pudesse ser utilizado para obter</p><p>em diversas condições.</p><p>Esse gráfico já existe na literatura para diversas geometrias como esfera, conforme mostra a imagem a seguir:</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p> Gráfico do coeficiente de arrasto (</p><p>) versus número de Reynolds (</p><p>) para uma esfera lisa</p><p>Π1 = f (Π2, … , Πk)</p><p>CD = f (Re)     →      = f ( )FD</p><p>ρV L21</p><p>2</p><p>ρV L</p><p>μ</p><p>Re</p><p>CD</p><p>Re</p><p>CD</p><p>Re</p><p>FD</p><p>CD</p><p>Re</p><p>O procedimento final é: Calcule</p><p>de seu problema, obtenha</p><p>pelo gráfico e, por fim, calcule</p><p>a partir de</p><p>. São cálculos bastante simples para obter o resultado de um fenômeno complexo. Todavia, lembre-se de que isso só ajudará se você tiver o</p><p>gráfico.</p><p> ATENÇÃO</p><p>O Teorema Pi de Buckingham auxilia na obtenção de uma expressão que correlacione as variáveis, reduzindo a quantidade de repetições</p><p>necessárias, mas depende de dados experimentais.</p><p>TEORIA DA SEMELHANÇA</p><p>Muitas vezes, precisamos saber como se comportará um fenômeno, cujas dimensões ou características inviabilizam reproduzi-lo em condições de</p><p>projeto ou protótipo. Uma alternativa amplamente empregada na Engenharia é a utilização de modelos físicos em laboratório, que podem ter não</p><p>apenas a escala reduzida, mas também outras condições diferentes, como o fluido utilizado (por exemplo, se o fluido de projeto é perigoso ou</p><p>caro).</p><p>Mas, se medirmos a grandeza física de interesse no modelo, como saberemos qual seria o valor de protótipo necessário para o</p><p>desenvolvimento do projeto?</p><p>Para isso, aplicamos a Teoria da Semelhança, ilustrada na imagem a seguir:</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p> Relação entre modelo e protótipo – semelhança</p><p>O emprego da semelhança amplifica a aplicabilidade dos resultados experimentais, com base nos seguintes passos:</p><p>PASSO 1</p><p>Aplique a análise dimensional para determinar os</p><p>, lembrando que</p><p>é o grupo adimensional que possui a variável a ser medida (dependente).</p><p>PASSO 2</p><p>Seja</p><p>Re</p><p>CD</p><p>FD</p><p>CD</p><p>Πs</p><p>Π1</p><p>Πi</p><p>o grupo adimensional correspondente ao protótipo e</p><p>, ao modelo.</p><p>PASSO 3</p><p>Faça com que, a partir do segundo, os adimensionais do modelo sejam iguais ao do protótipo:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Essa condição é obtida durante o planejamento do experimento, quando determinamos a dimensão, a velocidade, o fluido etc.</p><p>PASSO 4</p><p>Se a condição anterior é garantida, a semelhança é dita completa e, consequentemente:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Lembrando que o</p><p>é o que contém a variável de interesse – por exemplo, força de arrasto (</p><p>). Isso significa que a medição feita no modelo pode ser utilizada para calcular o</p><p>e, por fim, o valor da variável de protótipo.</p><p>Exemplo</p><p>Você está planejando medir a força de arrasto da água em uma peça do sonar a ser instalado na parte externa do submarino nuclear brasileiro. O</p><p>teste será feito em laboratório, em um canal de corrente que comporta um modelo reduzido na escala 1:2. Considere que será utilizado o mesmo</p><p>fluido (água do mar) e na mesma temperatura.</p><p>Qual deve ser a velocidade aplicada no tanque de corrente para que haja semelhança completa ao submarino navegando a 12m/s?</p><p>Qual será a força de resistência (arrasto) adicionada ao submarino se a medida no modelo reduzido é 250N?</p><p>SOLUÇÃO</p><p>A partir da análise dimensional, o que fizemos no tópico anterior foi:</p><p>Πim</p><p>⎧⎪⎪⎪</p><p>⎨</p><p>⎪⎪⎪⎩</p><p>Π2m = Π2</p><p>Π3m = Π3</p><p>⋯</p><p>Πkm = Πk</p><p>Π1 =  Π1m</p><p>Π1</p><p>FD</p><p>Π1m</p><p>javascript:void(0)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Para haver semelhança completa:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Como o fluido e a temperatura do modelo são os mesmos do protótipo, as propriedades (</p><p>e</p><p>) também serão:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Como a escala é de 1:2,</p><p>, então:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Essa é a condição necessária para que haja a semelhança completa neste problema. De acordo com a Teoria da Semelhança, teremos:</p><p>Π1 = CD</p><p>Π2 = Re</p><p>Π2m = Π2  →    Rem = Re    →    =</p><p>ρmVmLm</p><p>μm</p><p>ρV L</p><p>μ</p><p>ρ</p><p>μ</p><p>VmLm = VL  →      Vm = V ( )L</p><p>Lm</p><p>L/Lm = 2</p><p>Vm = 12 (2) = 24 m/s</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Com a fórmula de</p><p>e substituindo</p><p>por</p><p>:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Por fim:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>TEORIA NA PRÁTICA</p><p>UM GRUPO DE ESTUDANTES ESTÁ DESENVOLVENDO UMA TURBINA EÓLICA DE</p><p>5,0 KW. O LOCAL ONDE SERÁ INSTALADA TEM VELOCIDADE DE VENTO MÉDIA DE</p><p>5M/S.</p><p>Π1 = Π1m    →         CD = CDm</p><p>CD</p><p>A</p><p>L2</p><p>=</p><p>FD</p><p>ρV 2L21</p><p>2</p><p>FDm</p><p>ρmV</p><p>2</p><p>mL</p><p>2</p><p>m</p><p>1</p><p>2</p><p>→     =        →             FD = FDm( )</p><p>2</p><p>( )</p><p>2</p><p>FD</p><p>V 2L2</p><p>FDm</p><p>V 2</p><p>mL</p><p>2</p><p>m</p><p>V</p><p>Vm</p><p>L</p><p>Lm</p><p>FD = 250( )</p><p>2</p><p>(2)</p><p>2</p><p>= 250 N</p><p>12</p><p>24</p><p>APÓS DIVERSAS ANÁLISES EM COMPUTATIONAL FLUID DYNAMICS (CFD), OU</p><p>FLUIDODINÂMICA COMPUTACIONAL, O GRUPO DECIDE VALIDAR OS RESULTADOS</p><p>OBTIDOS ATÉ ENTÃO, TESTANDO O DESENHO ELABORADO COM UM MODELO</p><p>REDUZIDO EM TÚNEL DE VENTO, QUE TEM TAMANHO SUFICIENTE PARA TESTAR</p><p>UM MODELO REDUZIDO COM 1:5 DO TAMANHO DO PROTÓTIPO (ESCALA DE</p><p>PROJETO). FOI ADOTADA A MESMA VELOCIDADE DE ROTAÇÃO (</p><p>).</p><p>Foto: Shutterstock.com</p><p>CONSIDERANDO QUE, ALÉM DAS VARIÁVEIS JÁ MENCIONADAS, A MASSA</p><p>ESPECÍFICA DO AR TAMBÉM É RELEVANTE PARA A ANÁLISE:</p><p>QUAIS OS ADIMENSIONAIS NECESSÁRIOS PARA ANÁLISE DO REFERIDO</p><p>FENÔMENO FÍSICO?</p><p>PARA QUE HAJA SEMELHANÇA COMPLETA, QUAL DEVE SER A VELOCIDADE</p><p>NO TÚNEL DE VENTO?</p><p>RESOLUÇÃO</p><p>MODELO REDUZIDO APLICADO PARA ENERGIA EÓLICA</p><p>ω</p><p>MÃO NA MASSA</p><p>QUAL DOS ADIMENSIONAIS A SEGUIR CORRESPONDE A UMA RELAÇÃO ENTRE FORÇAS INERCIAIS E FORÇAS</p><p>VISCOSAS?</p><p>A)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A)</p><p>B)</p><p>C)</p><p>D)</p><p>E)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>E)</p><p>EM UM PROBLEMA EM QUE AS GRANDEZAS DIMENSIONAIS RELEVANTES SÃO</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>E</p><p>Eu = Δp/(0, 5ρV 2)</p><p>Fr = V /√gL</p><p>Re = ρV L/μ</p><p>We = ρV 2L/σ</p><p>CD = FD/(0, 5ρV 2A)</p><p>ρ</p><p>μ</p><p>V</p><p>L</p><p>, DE ACORDO COM O TEOREMA PI DE BUCKINGHAM, QUANTOS ADIMENSIONAIS SÃO NECESSÁRIOS?</p><p>A) 1</p><p>B) 2</p><p>C) 3</p><p>D) 4</p><p>E) 5</p><p>QUAL DOS ADIMENSIONAIS A SEGUIR CORRESPONDE A UMA RELAÇÃO ENTRE FORÇA INERCIAL E FORÇA</p><p>GRAVITACIONAL?</p><p>A)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A)</p><p>B)</p><p>C)</p><p>D)</p><p>E)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>E)</p><p>QUANTOS ADIMENSIONAIS SÃO NECESSÁRIOS PARA AVALIAR A PERDA DE PRESSÃO CAUSADA POR UMA</p><p>VÁLVULA?</p><p>A) 1</p><p>B) 2</p><p>C) 3</p><p>D) 4</p><p>E) 5</p><p>PARA O PROBLEMA DA QUESTÃO ANTERIOR (PERDA DE CARGA EM UMA VÁLVULA), QUAL(IS) É (SÃO) O(S)</p><p>ADIMENSIONAL(IS) NECESSÁRIO(S)?</p><p>F</p><p>Eu = Δp/(0, 5ρV 2)</p><p>Fr = V /√gL</p><p>Re = ρV L/μ</p><p>We = ρV 2L/σ</p><p>CD = FD/(0, 5ρV 2A)</p><p>A)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A)</p><p>B)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>B)</p><p>C)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>C)</p><p>D)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>D)</p><p>E)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>E)</p><p>SE O EXPERIMENTO FOR REALIZADO EM ESCALA 1:10 COM O MESMO FLUIDO, NA MESMA PRESSÃO E</p><p>TEMPERATURA, QUAL DEVE SER A RAZÃO ENTRE A VELOCIDADE DO ESCOAMENTO DE MODELO PARA O</p><p>PROTÓTIPO, CONSIDERANDO SEMELHANÇA COM O NÚMERO DE REYNOLDS?</p><p>A) 10</p><p>B) 0,1</p><p>C) 2</p><p>D) 0,5</p><p>E) 1</p><p>GABARITO</p><p>Qual dos adimensionais a seguir corresponde a uma relação entre forças inerciais e forças viscosas?</p><p>A alternativa "C " está correta.</p><p>Ao analisarmos a alternativa C (número de Reynolds), observamos que há a divisão de</p><p>,          e</p><p>Δp</p><p>0, 5ρV 2</p><p>V</p><p>√gL</p><p>ρVD</p><p>μ</p><p>e</p><p>V</p><p>√gL</p><p>Δp</p><p>0, 5ρV 2</p><p>Δp</p><p>0, 5ρV 2</p><p>e</p><p>Δp</p><p>0, 5ρV 2</p><p>ρVD</p><p>μ</p><p>ρVD</p><p>μ</p><p>ρVL</p><p>por</p><p>. O primeiro (</p><p>) pode ser interpretado pelo produto entre “massa” e velocidade, o que remete à inércia, enquanto o segundo (</p><p>) é a viscosidade do fluido, diretamente relacionado à força viscosa. Portanto, nesse adimensional, há a divisão entre força inercial e força viscosa.</p><p>Em um problema em que as grandezas dimensionais relevantes são</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>e</p><p>, de acordo com o Teorema Pi de Buckingham, quantos adimensionais são necessários?</p><p>A alternativa "B " está correta.</p><p>Pelo Teorema Pi de Buckingham, a quantidade de adimensionais necessários será</p><p>, em que</p><p>é a quantidade de grandezas dimensionais, e</p><p>é a quantidade de grandezas básicas (como, por exemplo, comprimento, tempo, massa e temperatura) necessárias para formar todas as demais</p><p>grandezas.</p><p>No problema em questão, temos</p><p>grandezas dimensionais, que podem ser formadas com</p><p>grandezas básicas (comprimento, massa e tempo). Portanto, a quantidade de adimensionais será</p><p>.</p><p>Qual dos adimensionais a seguir corresponde a uma relação entre força inercial e força gravitacional?</p><p>A alternativa "B " está correta.</p><p>Ao analisarmos a alternativa B (número de Froude), observamos que é a divisão entre a velocidade, diretamente relacionada com a inércia</p><p>(quantidade de movimento), e a raiz da gravidade. Esse adimensional é relevante em problemas em que a gravidade tem influência no</p><p>comportamento do fluido, como escoamentos com superfície livre (como, por exemplo, rios).</p><p>Quantos adimensionais são necessários para avaliar a perda de pressão causada por uma válvula?</p><p>A alternativa "B " está correta.</p><p>μ</p><p>ρVL</p><p>μ</p><p>ρ</p><p>μ</p><p>V</p><p>L</p><p>F</p><p>k = n − r</p><p>n</p><p>r</p><p>n = 5</p><p>r = 3</p><p>k = 5 − 3 = 2</p><p>Pelo Teorema Pi de Buckingham, a quantidade de adimensionais necessários será</p><p>, em que</p><p>é a quantidade de grandezas dimensionais, e</p><p>é a quantidade de grandezas básicas (como, por exemplo, comprimento, tempo, massa e temperatura) necessárias para formar todas as demais</p><p>grandezas. No problema em questão, são relevantes as seguintes variáveis dimensionais:</p><p>Perda de pressão (</p><p>);</p><p>Velocidade ou vazão de escoamento (</p><p>ou</p><p>);</p><p>Diâmetro de conexão da válvula (</p><p>);</p><p>Massa específica do fluido (</p><p>);</p><p>Viscosidade do fluido (</p><p>).</p><p>Portanto, temos</p><p>grandezas dimensionais, que podem ser formadas com</p><p>grandezas básicas (comprimento, massa e tempo). Logo, a quantidade de adimensionais será</p><p>.</p><p>Para o problema da questão anterior (perda de carga em uma válvula), qual(is) é (são) o(s) adimensional(is) necessário(s)?</p><p>A alternativa "D " está correta.</p><p>APLICANDO A ANÁLISE DIMENSIONAL NA HIDRÁULICA</p><p>k = n − r</p><p>n</p><p>r</p><p>Δp</p><p>V</p><p>Q</p><p>D</p><p>ρ</p><p>μ</p><p>n = 5</p><p>r = 3</p><p>k = 5 − 3 = 2</p><p>Se o experimento for realizado em escala 1:10 com o mesmo fluido, na mesma pressão e temperatura, qual deve ser a razão entre a</p><p>velocidade do escoamento de modelo para o protótipo, considerando semelhança com o número de Reynolds?</p><p>A alternativa "A " está correta.</p><p>Para que haja semelhança completa, todos os adimensionais devem ter o mesmo valor no modelo e protótipo. Portanto, baseando-se no número</p><p>de Reynolds:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Como o fluido é o mesmo e na mesma pressão e temperatura, temos</p><p>e</p><p>. Então:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>GABARITO</p><p>VERIFICANDO O APRENDIZADO</p><p>Rem = Rep</p><p>→   =</p><p>ρmVmLm</p><p>μm</p><p>ρpVpLp</p><p>μp</p><p>ρm = ρp</p><p>μm = μp</p><p>VmLm = VpLp →    = = = 10</p><p>Vm</p><p>Vp</p><p>Lp</p><p>Lm</p><p>10</p><p>1</p><p>PARA O CÁLCULO DA PERDA DE PRESSÃO POR COMPRIMENTO (</p><p>), CAUSADA PELA TENSÃO CISALHANTE COM AS PAREDES AO LONGO DE UM TUBO, SÃO NECESSÁRIOS</p><p>COMO DADOS DE ENTRADA:</p><p>O DIÂMETRO DO TUBO (</p><p>);</p><p>A VELOCIDADE MÉDIA DO ESCOAMENTO (</p><p>);</p><p>A MASSA ESPECÍFICA (</p><p>);</p><p>A VISCOSIDADE DO FLUIDO (</p><p>);</p><p>A RUGOSIDADE DA PAREDE DO TUBO (</p><p>).</p><p>QUAL DAS ALTERNATIVAS A SEGUIR APRESENTA UM CONJUNTO MÍNIMO DE ADIMENSIONAIS SUFICIENTE</p><p>PARA A ANÁLISE DIMENSIONAL?</p><p>A)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A)</p><p>B)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>B)</p><p>C)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>ΔpL</p><p>D</p><p>V</p><p>ρ</p><p>μ</p><p>ε</p><p>;   ;    ;</p><p>εV ρ</p><p>μ</p><p>Δp</p><p>0, 5ρV 2</p><p>ε</p><p>D</p><p>ρVD</p><p>μ</p><p>;    ;</p><p>Δp</p><p>0, 5ρV 2</p><p>ε</p><p>D</p><p>ρVD</p><p>μ</p><p>;</p><p>Δp</p><p>0, 5ρV 2</p><p>ρVD</p><p>μ</p><p>C)</p><p>D)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>D)</p><p>E)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>E)</p><p>A FORÇA DE ARRASTO SOBRE UM MODELO DE AVIÃO EM ESCALA 1:20 MEDIDA EM LABORATÓRIO FOI DE</p><p>1,5N PARA UMA VELOCIDADE DE 50M/S. QUAL SERÁ A FORÇA SOBRE O PROTÓTIPO A 100M/S,</p><p>CONSIDERANDO QUE A PRESSÃO E A TEMPERATURA SERÃO AS MESMAS?</p><p>A) 120N</p><p>B) 30N</p><p>C) 2,4kN</p><p>D) 3,0N</p><p>E) 600N</p><p>GABARITO</p><p>Para o cálculo da perda de pressão por comprimento (</p><p>), causada pela tensão cisalhante com as paredes ao longo de um tubo, são necessários como dados de entrada:</p><p>O diâmetro do tubo (</p><p>);</p><p>A velocidade média do escoamento (</p><p>);</p><p>A massa específica (</p><p>);</p><p>A viscosidade do fluido (</p><p>);</p><p>;     ;</p><p>V</p><p>√gD</p><p>Δp</p><p>0, 5ρV 2</p><p>ρVD</p><p>μ</p><p>;</p><p>Δp</p><p>0, 5ρV 2</p><p>ε</p><p>D</p><p>ΔpL</p><p>D</p><p>V</p><p>ρ</p><p>μ</p><p>A rugosidade da parede do tubo (</p><p>).</p><p>Qual das alternativas a seguir apresenta um conjunto mínimo de adimensionais suficiente para a análise dimensional?</p><p>A alternativa "B " está correta.</p><p>Pelo Teorema Pi de Buckingham, a quantidade de adimensionais necessários será</p><p>, em que</p><p>é a quantidade de grandezas dimensionais, e</p><p>é a quantidade de grandezas básicas (como, por exemplo, comprimento, tempo, massa e temperatura) necessárias para formar todas as demais</p><p>grandezas.</p><p>No problema em questão, temos</p><p>(</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>e</p><p>), que podem ser formadas com</p><p>(comprimento, massa e tempo). Portanto:</p><p>. Entre as alternativas apresentadas, a única que possui 3 adimensionais, todos formados apenas com as variáveis envolvidas no problema, é a</p><p>letra B.</p><p>A força de arrasto sobre um modelo de avião em escala 1:20 medida em laboratório foi de 1,5N para uma velocidade de 50m/s. Qual será</p><p>a força sobre o protótipo a 100m/s, considerando que a pressão e a temperatura serão as mesmas?</p><p>A alternativa "C " está correta.</p><p>Contemplando a variável de interesse, ou seja, a força de arrasto (</p><p>), o adimensional mais conhecido é:</p><p>ε</p><p>k = n − r</p><p>n</p><p>r</p><p>n = 6</p><p>ΔpL</p><p>D</p><p>V</p><p>ρ</p><p>μ</p><p>ε</p><p>r = 3</p><p>k = 6 − 3 = 3</p><p>FD</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>O adimensional com a variável de interesse deve ter o mesmo valor para modelo e protótipo. Portanto:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Como a pressão e a temperatura são as mesmas, também será a massa específica (</p><p>):</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Como a razão entre áreas é igual à razão entre o quadrado do comprimento de referência (</p><p>):</p><p>CD =</p><p>FD</p><p>0, 5ρV 2A</p><p>CDp</p><p>= CDm</p><p>=</p><p>FDp</p><p>0, 5ρpV</p><p>2</p><p>p Ap</p><p>FDm</p><p>0, 5ρmV</p><p>2</p><p>mAm</p><p>ρp = ρm</p><p>=</p><p>FDp</p><p>V 2</p><p>p Ap</p><p>FDm</p><p>V 2</p><p>mAm</p><p>→    FDp = FDm( )</p><p>2</p><p>( )</p><p>Vp</p><p>Vm</p><p>Ap</p><p>Am</p><p>L</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>MÓDULO 3</p><p> Identificar a resolução de problemas com fluidos em condição estática</p><p>SOLUÇÃO DE PROBLEMAS COM FLUIDO ESTÁTICO</p><p>FLUIDO ESTÁTICO</p><p>Neste módulo, estudaremos o fluido quando ele se encontra imóvel (estático). Apesar de ser uma particularização expressiva, pois quase sempre</p><p>os fluidos têm algum movimento, ainda assim, há uma grande variedade de situações na Engenharia em que essa simplificação é válida.</p><p>Ao calcular a pressão da água do mar em determinada profundidade, por exemplo, sabemos que há correnteza e ondas, mas essa hidrodinâmica</p><p>tem efeito desprezível nas profundidades em que, normalmente, queremos calcular a pressão. Portanto, podemos considerar que a água do mar</p><p>está parada. O mesmo ocorre em barragens, aquários e eclusas.</p><p>ECLUSAS</p><p>Pequeno canal em águas onde há grandes desníveis a fim de possibilitar a descida ou a subida de embarcações.</p><p> Fonte: Dicionário Houaiss eletrônico da língua portuguesa.</p><p>FDp</p><p>= FDm( )</p><p>2</p><p>( )</p><p>2</p><p>Vp</p><p>Vm</p><p>Lp</p><p>Lm</p><p>→   FDp = 1, 5( )</p><p>2</p><p>( )</p><p>2</p><p>= 2, 4 kN</p><p>100</p><p>50</p><p>20</p><p>1</p><p>javascript:void(0)</p><p>PRESSÃO MANOMÉTRICA, PRESSÃO ATMOSFÉRICA E PRESSÃO</p><p>ABSOLUTA</p><p>Como já vimos no módulo 1, os manômetros informam a pressão manométrica (ou relativa) (p_m), que é definida por:</p><p>Equação 1</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em que:</p><p>= pressão absoluta (real)</p><p>= pressão do ambiente, ou seja, pressão do meio externo</p><p>A pressão ambiente corresponde, normalmente, à pressão atmosférica (</p><p>), cujo valor varia ao longo da altitude, conforme a representação típica exemplificada no gráfico abaixo:</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p> Pressão ao longo da atmosfera</p><p>De acordo com Porto (2006), para altitudes acima do nível do mar e até 2.000m, a pressão atmosférica pode ser estimada por:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em que:</p><p>= altitude (em metros)</p><p>pm = p − pamb</p><p>p</p><p>pamb</p><p>patm</p><p>patm = 10, 8 ⋅ (9, 38 − )      (kPa)</p><p>h</p><p>1000</p><p>h</p><p>= pressão atmosférica (em kPa)</p><p>Exemplo</p><p>O manômetro instalado na “árvore de Natal” de um poço de produção de gás a 1.500m de profundidade mede 26,40barg de pressão. Se a água</p><p>do mar na região tem</p><p>= 1.026,5 kg/m³, qual é a pressão absoluta, em kgf/cm²?</p><p>SOLUÇÃO</p><p>A letra “g” ao final da unidade se refere a gauge, que significa pressão manométrica, e 1bar = 100kPa:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A pressão ambiente, por sua vez, é calculada pela coluna de água acima do ponto considerado:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Explicitando</p><p>da equação (1):</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Agora, basta converter para kgf/cm². Conforme vimos no primeiro módulo, 1kgf/cm² = 98,1kPa, ou seja, 1kPa = 1/98,1kgf/cm². Fazendo a</p><p>conversão do resultado anterior:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A letra “a” ao final da unidade indica pressão absoluta.</p><p>patm</p><p>ρ</p><p>pm = 26, 4 ⋅ 100 kPa = 2640 kPa</p><p>pamb = ρgh = 1026, 5 ⋅ 9, 8 ⋅ 1500 = 15.090 kPa</p><p>p</p><p>p = pm + pamb = 2640 + 15090 = 17.730 kPa</p><p>p = 17.730 kPa =  kgf/cm2a = 181, 1kfg/cm2a</p><p>17.730</p><p>98, 1</p><p>javascript:void(0)</p><p>EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA FLUIDOSTÁTICA, TEOREMA DE</p><p>PASCAL E TEOREMA DE STEVIN</p><p>Existem dois tipos de forças que podem atuar em um fluido:</p><p>FORÇAS DE CAMPO</p><p>Atuam em toda a massa fluida sem que haja necessidade de contato, como, por exemplo, a força gravitacional;</p><p>FORÇAS DE CONTATO</p><p>Atuam por meio de determinada superfície e se subdividem em força proveniente da tensão normal (</p><p>) e cisalhante (viscosa) (</p><p>).</p><p>A tensão viscosa (“atrito”) pode ser obtida pela Lei da Viscosidade de Newton, que estudamos no módulo 1, definida por</p><p>. Quando um fluido está estático, não há velocidade. Consequentemente, o gradiente de velocidade é nulo (</p><p>), e não há tensão cisalhante (</p><p>). Nessa condição, a pressão será igual à tensão normal (</p><p>). Portanto, nos próximos tópicos, adotaremos apenas pressão.</p><p>Uma partícula fluida pode ser representada por um elemento infinitesimal, conforme mostra a imagem a seguir:</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p> Elemento infinitesimal e pressões nas faces perpendiculares ao eixo</p><p>Adotando</p><p>como a pressão na face esquerda, a pressão na face oposta será</p><p>. Para calcular a força, devemos multiplicar a pressão pela área. As faces perpendiculares a</p><p>têm área</p><p>. Portanto, a força resultante da pressão na direção</p><p>será:</p><p>σ</p><p>τ</p><p>τ = μ du/dy</p><p>du/dy</p><p>τ = 0</p><p>p = σ</p><p>x</p><p>p(x)</p><p>p(x + dx)</p><p>x</p><p>dAx</p><p>= dydz</p><p>x</p><p>javascript:void(0)</p><p>javascript:void(0)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Multiplicando e dividindo a expressão anterior por</p><p>:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em que é o volume do elemento. O termo</p><p>significa</p><p>, que tende a zero. Logo:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>O termo entre colchetes dessa equação é a definição da derivada da função</p><p>. Então:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Analogamente:</p><p>dFpx = p (x) dAx − p (x + dx) dAx = [p (x) − p (x + dx)] dAx</p><p>dydz</p><p>dx</p><p>dFpx =[ ]dxdydz</p><p></p><p>d V</p><p>= −[ ]d Vp (x ) −p (x+dx )</p><p>dx</p><p>p (x+δ ) −p (x )</p><p>dx</p><p>d V</p><p>dx</p><p>δx</p><p>dFpx = −[ lim</p><p>δx→0</p><p>]d Vp (x+δ ) −p (x )</p><p>δx</p><p>p(x)</p><p>dFpx = − d V</p><p>∂p</p><p>∂x</p><p>⎧⎪⎪⎪⎪</p><p>⎨</p><p>⎪⎪⎪⎪⎩</p><p>dFpx = − d V</p><p>dFpy = − d V</p><p>dFpz = − d V</p><p>∂p</p><p>∂x</p><p>∂p</p><p>∂y</p><p>∂p</p><p>∂z</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>O vetor resultante pode ser expresso em uma única linha:</p><p>Equação 2</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A força gravitacional (força de campo), por sua vez, é calculada por:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A massa (</p><p>) pode ser obtida a partir da massa específica :</p><p>Equação 3</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Somando as equações (2) e (3), temos:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Como não há movimento, a aceleração é nula e</p><p>:</p><p>Equação 4</p><p>d</p><p>→</p><p>F p = −∇p d V   →   = −∇p</p><p>d</p><p>→</p><p>F p</p><p>d V</p><p>d →F g = dm →g</p><p>dm</p><p>ρ = dm/d V   → dm = ρd V</p><p>d</p><p>→</p><p>F g = ρ d V</p><p>→</p><p>g →    = ρ</p><p>→</p><p>g</p><p>d</p><p>→</p><p>F g</p><p>d V</p><p>∑ d →F = d →F p + d →F g = −∇p + ρ→g</p><p>∑ d →F = 0</p><p>∇p = ρ→g</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Normalmente, opta-se por alinhar o eixo</p><p>contrário à gravidade. Assim, o vetor da equação (4) não terá componentes nas direções</p><p>e</p><p>:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A componente</p><p>será igual a</p><p>(eixo contrário à gravidade):</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Essa equação mostra que, na condição estática, a pressão varia apenas na direção vertical, ou seja, pontos em uma mesma altura terão a mesma</p><p>pressão. Integrando-se à expressão anterior:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>z</p><p>x</p><p>y</p><p>= ρgz</p><p>dp</p><p>dz</p><p>gz</p><p>−g</p><p>= −ρg</p><p>dp</p><p>dz</p><p>→    dp = −ρgdz   →    ∫</p><p>p2</p><p>p1</p><p>p = − ∫</p><p>z2</p><p>z1</p><p>ρ g dz  →     p2 − p1 = − ∫</p><p>z2</p><p>z1</p><p>ρ g dz</p><p>p2 = p1 − ∫</p><p>z2</p><p>z1</p><p>ρ g dz</p><p>Lembrando que</p><p>:</p><p>Equação 5</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Essa é conhecida como Equação Fundamental da Fluidostática, pois se aplica a qualquer fluido estático e é utilizada para desenvolver todas as</p><p>demais equações da Estática. Uma particularização importante ocorre para fluidos incompressíveis (</p><p>e</p><p>constantes), pois ocorre para maior parte dos problemas na Engenharia. Então:</p><p>Equação 6</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Considerando que, do ponto 1 ao 2, há um aprofundamento (</p><p>) de uma altura</p><p>, então,</p><p>ρg = γ</p><p>p2 = p1 − ∫</p><p>z2</p><p>z1</p><p>γ dz</p><p>ρ</p><p>γ</p><p>p2 = p1 − γ ∫</p><p>z2</p><p>z1</p><p>dz</p><p>→    p2 = p1 − γ (z2 − z1)</p><p>→ p2 − p1 = −γ (z2 − z1) → Δp = − γ</p><p></p><p>ρg</p><p>Δz</p><p>z2 < z1</p><p>h</p><p>:</p><p>Equação 7</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Conforme as considerações feitas no desenvolvimento, essa fórmula só se aplica para fluidos incompressíveis. Caso seu problema envolva um</p><p>fluido compressível, será necessário aplicar a equação 5.</p><p>TEOREMA DE STEVIN</p><p>O cálculo da pressão de um ponto que se encontra na profundidade h de um líquido (fluido incompressível) é um problema muito comum,</p><p>conforme mostra a imagem a seguir:</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p> Pressão em um ponto submerso na profundidade</p><p>Para resolvê-lo, podemos aplicar a equação 7, considerando</p><p>e</p><p>:</p><p>Δz = −h</p><p>Δp = p2 − p1 = ρgh</p><p>h</p><p>p1 = patm</p><p>p2 = p</p><p>p − patm = ρgh</p><p>Equação 8</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Essa fórmula é conhecida como Teorema de Stevin. Se quisermos calcular a pressão manométrica</p><p>, então:</p><p>Equação 9</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p> Dois pontos em um fluido incompressível</p><p>PRINCÍPIO DE PASCAL</p><p>Sejam dois pontos fixos no interior de um fluido incompressível, conforme mostra a imagem a seguir:</p><p>Imagine, agora, que a pressão no ponto 1 seja elevada de</p><p>para</p><p>, por um motivo qualquer, como, por exemplo, a atuação de um compressor. Aplicando a equação 7 para as duas situações, antes e depois da</p><p>elevação da pressão:</p><p>ANTES</p><p>DEPOIS</p><p>→ p =  patm + ρgh</p><p>pm = p − patm</p><p>pm = ρgh</p><p>p1</p><p>p′</p><p>1</p><p>p2 − p1 = ρgh</p><p>p′</p><p>2 − p′</p><p>1 = ρgh</p><p>javascript:void(0)</p><p>javascript:void(0)</p><p>Lembre-se de que</p><p>(fluido incompressível), assim como a gravidade e a altura</p><p>. Subtraindo essas duas equações:</p><p>Equação 10</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Essa equação nos diz que, em um fluido estático e incompressível, a elevação de pressão em um ponto será igual à elevação em todos os demais</p><p>pontos, o que é conhecido como Princípio de Pascal, ilustrado na imagem a seguir:</p><p>Imagem: Anna Carollina Chaves Braz/Wikimedia Commons/Licença (CC BY-SA 4.0)</p><p> Representação de uma prensa hidráulica – Princípio de Pascal</p><p>Exemplo</p><p>Uma prensa hidráulica manual é utilizada para romper corpos de prova (cp) de concreto com capacidade de até 15 toneladas. Se a razão das</p><p>áreas entre o êmbolo menor, em que é aplicada a força da haste, e o êmbolo maior, que aplica a carga dos cp, é 1/20, qual é a força requerida no</p><p>êmbolo menor?</p><p>ρ = cte</p><p>h</p><p>p2 − p</p><p>′</p><p>2</p><p>Δp2</p><p>− (p1 − p</p><p>′</p><p>1</p><p>Δp1</p><p>) = 0</p><p>→     Δp1 = Δp2</p><p>Foto: Shutterstock.com</p><p>SOLUÇÃO</p><p>Tendo em vista que o processo é realizado lentamente, podemos assumir condição estática. Consequentemente, é válido o Princípio de Pascal:</p><p>. Como</p><p>, considerando 1 o êmbolo maior, temos:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Além da compensação hidráulica, a haste funciona como um braço de alavanca, reduzindo ainda mais a força que o operador deve realizar.</p><p>MÚLTIPLOS FLUIDOS</p><p>Há situações em que mais de um fluido entra em equilíbrio estático em camadas diferentes, genericamente representados na imagem a seguir:</p><p>Δp1 = Δp2</p><p>p = F/A</p><p>=   →    ΔF2 = ΔF1 = 15 ton ⋅ = 0, 75 ton</p><p>ΔF1</p><p>A1</p><p>ΔF2</p><p>A2</p><p>A2</p><p>A1</p><p>1</p><p>20</p><p>javascript:void(0)</p><p>Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento</p><p> Cálculo da pressão ao longo de um percurso com múltiplos fluidos</p><p>Para calcular a pressão</p><p>, vamos aplicar a equação 6 sucessivamente, partindo do ponto 0 e atravessando todas as camadas:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em caso de descida, a diferença</p><p>no</p><p>-ésimo trecho será igual a</p><p>, pois</p><p>. Ao realizar essa substituição:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Caso o percurso seja de subida, a parcela resultante será negativa (</p><p>pn</p><p>pn = p0 − γ1Δz0,1</p><p>z1−z0</p><p>−h1</p><p>− γ2Δz1,2</p><p>z2−z1</p><p>−h2</p><p>− ⋯ − γnΔzn−1,n</p><p>zn−zn−1</p><p>−hn</p><p>Δzk−1,k = zk − zk−1</p><p>k</p><p>−hk</p><p>zk < zk−1</p><p>→  pn = p0 + γ1h1 + γ2h2 +   ⋯ + γnhn</p><p>−γkhk</p><p>). Portanto, a expressão anterior pode ser representada por:</p><p>Equação 11</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Exemplo</p><p>Em um reservatório contendo combustível adulterado, houve acúmulo de:</p><p>50cm de gasolina (</p><p>= 680 kg/m³);</p><p>10cm de etanol (</p><p>= 789 kg/m³);</p><p>20cm de água (</p><p>= 998 kg/m³).</p><p>Calcule a pressão manométrica no fundo do reservatório.</p><p>SOLUÇÃO</p><p>Esse é um problema típico para se resolver com a equação (11), pois se trata de múltiplos fluidos. Como ponto 0 (partida), definiremos</p>