Tema 2 - Escoamento em Condutos Forçados

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DESCRIÇÃO
Apresentação dos conceitos básicos de escoamento em tubulações: cálculo da perda de carga, associação
de tubos, sistemas de tubulações, cálculo de redes de distribuição e aplicações com o EPANET.
PROPÓSITO
Examinar os conceitos necessários para o projeto, a análise e a verificação do escoamento em tubulações,
incluindo aplicação específica em redes de distribuição de água.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar este conteúdo, certifique-se de que tem acesso à calculadora do seu dispositivo e tenha em
mãos papel e caneta para a resolução dos exercícios. Para solução de alguns problemas, é necessário ter
acesso a um aplicativo de planilha eletrônica, como Google Planilhas, Excel e OpenOffice Calc. Será
necessário ter instalado o software EPANET, disponível pela UFPB (português) e pela USEPA (inglês).
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Calcular a perda de carga
MÓDULO 2
Comparar tubos em série e em paralelo com condutos equivalentes
MÓDULO 3
Analisar o escoamento em tubulações, a perda em marcha e a sobrepressão em transiente hidráulico
MÓDULO 4
Calcular pressões e vazões em redes de distribuição de água
ESCOAMENTO EM CONDUTOS FORÇADOS
MÓDULO 1
 Calcular a perda de carga
PERDA DE CARGA EM TUBULAÇÕES
INTRODUÇÃO
Imagem: Shutterstock.com
O escoamento de fluidos no interior de tubulações tem inúmeras aplicações de interesse econômico, como o
transporte de água, gás, minério e petróleo. Neste estudo, a aplicação de conceitos da Mecânica dos Fluidos
culmina em um conjunto de equações e métodos adotados para o projeto de tubulações, pertencentes à
disciplina Hidráulica.
Nos tópicos a seguir, abordaremos os conhecimentos requeridos para que o engenheiro seja capaz de
calcular pressões e vazões no interior de condutos com escoamento forçado.
CLASSIFICAÇÕES
REGIME TEMPORAL
O primeiro passo na análise de qualquer escoamento consiste em classificá-lo, sob diferentes aspectos.
Vamos começar avaliando o regime temporal, que pode ser:
Permanente (ou estacionário)
Quando as velocidades e pressões não variam no tempo.

Não permanente
Quando há variações temporais.
O regime temporal não permanente é subdividido em:
QUASE-PERMANENTE
As condições de contorno se alteram ao longo do tempo (ex.: enchimento ou esvaziamento de
reservatórios), mas isso ocorre muito lentamente e as acelerações podem ser desprezadas.
TRANSIENTE
Quando há acelerações significativas no fluido, sendo subdividido em:
Transiente gradual: as variações de vazão e pressão são graduais, não ocorrendo ondas de pressão.
A compressibilidade do fluido é desconsiderada.
Transiente rápido (golpe de aríete): uma mudança brusca (ex.: fechamento rápido de válvula) causa
ondas de pressão que se propagam no interior do duto, portanto, a compressibilidade do fluido deve
ser considerada para cálculo da velocidade da onda de pressão.
Essa ordem também representa uma escala crescente de dificuldade de cálculo. Por exemplo, suponha que
você deve dimensionar a tubulação que interliga o reservatório A ao B, sendo o primeiro mais elevado
(Figura 1).
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 1 – Tubulação de interligação de dois reservatórios.
Ao abrir a válvula V, que fica junto ao reservatório B (jusante), o fluido começará a escoar, constituindo,
então, um escoamento transiente gradual (Figura 2). Após determinado tempo, o equilíbrio será atingido,
mas haverá redução da vazão devido à mudança do nível da água (esvaziamento de A e enchimento de B),
o que ocorrerá de forma muito lenta e, consequentemente, em regime quase-permanente.
 DICA
Se fecharmos a válvula V muito rápido, ocorrerá um transiente hidráulico.
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 2 – Comportamento da pressão ao longo do tempo na abertura de uma válvula, seguida de
fechamento rápido.
Por sorte, a maioria dos projetos hidráulicos são feitos com base em análise de regime permanente, pois o
objetivo é calcular as características do escoamento quando o equilíbrio é alcançado, ou seja, não há mais
variações no tempo.
TURBULÊNCIA
Quanto à turbulência, os escoamentos podem ser classificados em:
LAMINARES
Com predominância dos esforços viscosos, as partículas se movem ao longo de trajetórias bem definidas
(lâminas).
TURBULENTOS
Campo de velocidade irregular, com flutuação tridimensional da vorticidade e dissipação de energia.
TRANSICIONAL
Intermediário, não sendo laminar, mas também não apresentando ainda todas as características do
turbulento.
A classificação é feita com base no número de Reynolds, o adimensional que mede a relação entre forças
inerciais e forças viscosas, definido por:
RE =
ΡVD
Μ =
VD
Ν
(1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde (unidades no S.I.):
ρ é a massa específica do fluido (kg/m³);
μ é a viscosidade dinâmica (kg/m.s);
ν é a viscosidade cinemática (m²/s), ν = μ / ρ;
V é a velocidade do escoamento (m/s);
D é o diâmetro interno da tubulação (m).
As propriedades necessárias para o cálculo de Re (ρ e μ) para fluidos comuns são listadas na Tabela 1:
Fluido
Viscosidade, μ
(Pa.s)
Massa específica, ρ
(kg/m³)
Ar 1,80x10-5 1,20
Gasolina 2,92x10-4 680
Água 1,00x10-3 998
Óleo SAE 30W 2,90x10-1 891
Água do mar 1,07x10-3 1.025
Tabela 1 – Propriedades de fluidos comuns à 20°C e 1 atm.
Elaborada por Gabriel de Carvalho Nascimento
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
A classificação com base no valor de Re é feita de acordo com a Tabela 2:
Re Classificação Imagem
Re <
2300
Laminar
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
2300
< Re
<
4000
Transição
4000
< Re
Turbulento
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
Tabela 2 – Classificação de escoamento no interior de tubulações.
Elaborada por Gabriel de Carvalho Nascimento
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Quase todos os escoamentos de interesse econômico são turbulentos, mas devemos ficar atentos caso nos
deparemos com uma exceção, pois as fórmulas serão diferentes, conforme veremos nos próximos tópicos.
EXEMPLO
Qual é o regime de escoamento, turbulento ou laminar, em um tubo de aço com DN (diâmetro nominal) de 2”
(diâmetro interno de 54,3mm) por onde escoa água a 2,5L/s?
Conforme vimos, essa classificação é feita de acordo com o número de Reynolds, Re = ρVD / μ.
Para calcular a velocidade a partir da vazão, temos que Q = VA:
V =
Q
A =
Q
ΠD2 / 4 =
2,5 ⋅ 10 - 3
Π 54,3 ⋅ 10 - 3 2 / 4 = 1,08M / S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, com base nas propriedades listadas na Tabela 1:
RE =
998 ⋅ 1,08 ⋅ 54,3 ⋅ 10 - 3
1 ⋅ 10 - 3 = 5,8 ⋅ 104
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, como Re > 4000, trata-se de escoamento turbulento.
Observa-se que, mesmo variando os dados do problema, ainda dentro de limites encontrados na prática, fica
muito difícil alcançar um escoamento laminar.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONDUTO FORÇADO E CONDUTO LIVRE
Por último, vamos abordar a diferença entre:
(A) CONDUTO FORÇADO
O fluido é impulsionado pela diferença de pressão, portanto, ela será diferente da atmosférica e variará ao
longo da tubulação, mas a gravidade também pode contribuir.
( )
( )
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento

(B) CONDUTO LIVRE
O fluido é impulsionado apenas pela gravidade, e a pressão da sua superfície livre é constante e igual à
atmosférica.
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 3 – Conduto forçado (a) e conduto livre (b).
 COMENTÁRIO
Neste estudo, apresentaremos apenas a análise de condutos forçados, típicos de tubulações.
FÓRMULA UNIVERSAL: FATOR DE ATRITO
EQUAÇÃO DA ENERGIA
A carga (energia), Hi, de um fluido em um ponto i da tubulação é determinada pela soma da carga de
pressão, da carga cinética e do potencial gravitacional (elevação):
HI =
PI
Γ + ΑI
V
2
I
2G + ZI
(2)
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da equação utilize a rolagem horizontal
Onde:
pi é a pressão (Pa);
o peso específico (N/m³) é obtido por γ = ρg;
αi é o fator de correção da carga cinética (adimensional), sendo α = 2 para escoamento laminar e
α≅1 para turbulento;
Vi é a velocidade (m/s) média ao longo da seção do ponto i;
zi é a elevação ou cota (m) do ponto i.
Em regime permanente (equilíbrio), a energia entre os pontos 1 e 2 de uma tubulação é relacionada por
H1 = H2 + ΔH12, onde a última parcela se refere à variação de energia (positivo para redução) entre os
pontos. Essa variação pode ser causada por turbina hT , bomba hB e perdas hP , portanto,
considerando regime turbulento:
( ) ( ) ( )
P1
Γ +
V
2
1
2G + Z1 =
P2
Γ +
V
2
2
2G + Z2 + HT - HB + HP
(3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde
hT é a carga de turbina (m);
hB é a carga de bomba (m), subtraída da equação por se tratar de um ganho;
hP é a soma de todas as perdas (m).
Observe, pela Equação (3), que, se desejarmos calcular a pressão no ponto 2, sabendo o valor no ponto 1,
será necessário prever a perda de carga entre esses pontos. Outra situação importante é quanto precisamos
descobrir para que vazão ocorrerá equilíbrio entre dois pontos cujas pressões já são conhecidas.
Em ambos os casos citados, fica evidente a necessidade de saber calcular a perda de carga (energia) em
tubulações. Há dois tipos de perda em tubulações:
Perda distribuída (ou normal)
Ocorre pelo “atrito” (tensão cisalhante) com as paredes do duto ao longo do comprimento, portanto, depende
do tipo de material (rugosidade, ε), conforme a Tabela 3.

Perda localizada (ou singular)
Ocorre devido às recirculações e à intensificação da turbulência causada pela mudança da direção de fluxo
em acessórios como curvas, tês, válvulas e reduções. Nesse caso, o tipo de material não é significativo, mas
o tipo (geometria) da singularidade.
Material
Rugosidade, ε
(μm = 10-3mm = 10-6m)
PVC 1,5 – 60
Cobre 1,5
Aço comercial e FoFo novo 45
Aço soldado e FoFo moderadamente oxidado 300 - 400
FoFo com elevada oxidação 1000 - 15000
Concreto centrifugado novo 160
Concreto armado liso antigo 200 - 300
Tabela 3 – Rugosidade absoluta de materiais comuns.
Elaborada por Gabriel de Carvalho Nascimento
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
FÓRMULA DE DARCY-WEISBACH (D-W) OU
UNIVERSAL
A fórmula mais conhecida para o cálculo da perda de carga distribuída em tubulações é a Fórmula de Darcy-
Weisbach (D-W), que − por se aplicar a qualquer fluido e regime de escoamento − é também chamada de
fórmula universal, definida por:
J =
HP
L =
F
D
V2
2G
(4)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Calculando a perda de carga unitária J, definida pela energia perdida hP por comprimento de tubulação L. O
J é um parâmetro adimensional, porém, como seus valores são pequenos, usualmente adota-se m/km
(metro de carga perdida para cada quilômetro de tubulação) ou m/100m.
Essa equação, além da velocidade média da seção V e do diâmetro interno D, depende do fator de atrito
f = f ( Re , ε / D ) , que é função de Re (número de Reynolds) e ε / D (rugosidade relativa).
Substituindo V = Q / A = Q / πD2 / 4 , a Equação (4) pode ser reescrita por:
J =
HP
L = 0,0826
FQ2
D5
(5)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO
Um tubo horizontal de 6m de comprimento com diâmetro interno de 17mm foi testado em laboratório,
aplicando-se um escoamento com velocidade de 1,50m/s. A diferença de pressão obtida entre o início e o
fim do tubo foi de 12,4kPa. Calcule:
a perda de carga absoluta, hP;
a perda de carga unitária, J;
o fator de atrito, f.
Conforme a Equação (3):
P1
Γ +
V
2
1
2G + Z1 =
P2
Γ +
V
2
2
2G + Z2 + HT - HB + HP
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como os pontos 1 e 2 (início e fim da tubulação) estão na mesma altura (tubo horizontal), z1 = z2. Pelo
princípio da continuidade, temos V1A1 = V2A2 e, como o diâmetro é constante A1 = A2 , V1 = V2. Não há
bomba nem turbina hT = hB = 0 . Sendo assim, a equação anterior se resume a:
( )
( )
( )
HP =
P1 - P2
Γ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo-se a massa específica da água (Tabela 1), a perda de carga (absoluta):
HP =
ΔP
ΡG =
12,4 ⋅ 103
998 ⋅ 9,8 = 1,27M
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A perda de carga unitária é definida por:
J =
HP
L =
1,27
6 = 0,212M / M = 212M / KM
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para obter o fator de atrito, a Fórmula de Darcy-Weisbach (universal), Equação (4), deve ser aplicada:
J =
F
D
V2
2G
→ F =
2G J D
V2 =
2 ⋅ 9,8 ⋅ 0,212 ⋅ 17 ⋅ 10 - 3
( 1,5 ) 2 = 0,0314
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No exemplo que acabamos de resolver, a perda de carga foi medida em laboratório, por meio da diferença
de pressão entre dois pontos. Determinamos, então, qual o fator de atrito correspondente.
Essa, porém, não é a sequência usual necessária em análise de tubulações, quando precisamos calcular a
perda de carga e, previamente, o fator de atrito. A seguir, veremos os métodos para obter o valor de f.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
CÁLCULO DO FATOR DE ATRITO
Para escoamento laminar, o fator de atrito é obtido com solução analítica, cujo desenvolvimento pode ser
consultado na bibliografia em referência, obtendo-se:
F =
64
RE
(6)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em regime turbulento, décadas de pesquisa entre os séculos XIX e XX, envolvendo diversos cientistas,
levaram à Equação de Colebrook-White:
1
√F = - 2,0LOG 
Ε / D
3,7 +
2,51
RE√F
(7)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se de uma equação implícita, pois f não pode ser calculado diretamente (explicitamente), porém, os
programas de computadores a resolvem por método iterativo em frações de segundo.
Caso você precise de uma maneira direta para calcular f, uma alternativa aproximada é a Equação de
Swamee-Jain:
F =
0,25
LOG
Ε / D
3,7 +
5,74
RE0,9 2
(8)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa fórmula fornece resultados com menos de 1% de erro, para 10 - 6 ≤ ϵ / D ≤ 10 - 2 e 5 × 103 ≤ Re ≤ 108, o
que abrange a maioria dos escoamentos que ocorrem na prática.
( )
[ ( ) ]
 DICA
O Diagrama de Moody (Figura 4) era muito popular quando não tínhamos recursos computacionais para
resolver as equações citadas anteriormente, fornecendo o valor de f de forma gráfica.
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 4 – Diagrama de Moody.
Outra utilidade do Diagrama de Moody é a visualização de diferentes classificações do escoamento com
base no comportamento de f (Figura 5).
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 5 – Classificações do escoamento quanto à turbulência e a rugosidade.
Para região crítica, há diferentes formulações encontradas na literatura, que procuram ajustar a reta que vem
da região laminar para as curvas do regime turbulento. Uma delas é a expressão proposta por Swamee:
F =
64
RE 8 + 9,5 LN
Ε / D
3,7 +
5,74
RE0,9 -
2500
RE 6 - 16 0,125
(9)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 RESUMINDO
Para calcular o valor do fator de atrito f, podemos utilizar, de acordo com o regime:
Laminar: Equação (6).
Regime turbulento: Equação de Colebrook-White (7) ou a aproximação Swamee-Jain (8).
Transição entre laminar e turbulento (região crítica): Equação de Swamee (9).
Qualquer regime: Diagrama de Moody (Figura 4).
EXEMPLO
Calcule o coeficiente de atrito, por diferentes métodos, para um escoamento onde ε / D = 0 , 0003 e
Re = 5 .105.
Como Re > 4000, trata-se de escoamento turbulento, e podemos utilizar:
Colebrook-White, Equação (6):
1
√F
= - 2,0LOG 
Ε / D
3,7 +
2,51
RE√F
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Conforme já mencionado, essa equação exige uma solução iterativa. Portanto, vamos arbitrar um valor
inicial para f, por exemplo, f0=1. Colocando esse valor no f que está no argumento do log e completando os
valores de ε / D e Re, obteremos f1=0,0151. Utilizando esse novo valor no argumento do log, obteremos f2 =
{ ( ) [ ( ) ( ) ] }
( )
0,0163. Repetindo o procedimento anterior, teremos o mesmo valor, o que indica que foi alcançada a
convergência (solução).
Então, f = 0,0163.
Swamee-Jain, Equação (8):
F =
0,25
LOG 
Ε / D
3,7 +
5,74
RE0,9 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os valores de ε / D e Re, teremos f = 0 , 0164.
Pelo Diagrama de Moody:
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
O que resulta em f = 0,016.
TIPOS DE PROBLEMAS
Dependendo de que dados são conhecidos e quais resultados deseja-se calcular, a solução pode ser muito
diferente. Vamos classificar aqui três tipos de problemas.
[ ( ) ]
TIPO 1
Nesse problema, o diâmetro e a vazão são conhecidos, consequentemente, pela relação Q = VA, a
velocidade também é obtida. A incógnita será, então, a perda de carga, o que é necessário para o cálculo da
pressão (Figura 6). Com a velocidade, obtemos Re, utilizado para a determinação de f e, por fim, da hP,
constituindo uma solução direta. Um exemplo é quando desejamos verificar se as pressões em uma rede
estão acima do mínimo requerido por norma.
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 6 – Problema de perda de carga tipo 1 – pressão desconhecida.
TIPO 2
Aqui, desejamos descobrir qual a vazão para determinada perda de carga, o que ocorre, por exemplo, ao
calcular a vazão de equilíbrio na ligação entre dois reservatórios (Figura 7). A perda de carga será igual à
diferença dos respectivos níveis de água. Observando a equação de Darcy-Weisbach (4), percebemos que a
velocidade é implícita em f, inviabilizando o cálculo direto do problema, requerendo uma solução iterativa.
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 7 – Problema de perda de carga tipo 2 – vazão desconhecida.
TIPO 3
Temos, ainda, o tipo de problema no qual devemos calcular qual diâmetro resultará em vazão e pressão
dentro de limites preestabelecidos (ex.: mínimo e máximo de norma). Nesse caso, pode haver mais de uma
solução com diâmetros comercialmente disponíveis, e o engenheiro deverá optar pela opção mais
econômica. Assim como no problema anterior, esse tipo também requer solução iterativa.
A Tabela 4 apresenta um resumo desses três tipos de problema:
Tipo
Dado além de ε, L, ρ e μ
Solução Exemplo
D Q V hP
1     Direta Verificação de pressões
2     Iterativa
Vazão de equilíbrio entre dois
reservatórios
3     Iterativa Dimensionamento
Tabela 4 – Tipos de problema com perda de carga.
Elaborada por Gabriel de Carvalho Nascimento
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO
A ligação entre dois reservatórios abertos, cujos níveis de água diferem em 26m, é feita por uma tubulação
de FoFo (ferro fundido) com leve oxidação, sendo ε = 0,3mm, DN (diâmetro nominal) 4”, diâmetro interno de
107mm e comprimento de 600m. Desconsiderando as perdas localizadas, determine a vazão transportada
em regime permanente.
Com base na Tabela 4, trata-se de um problema tipo 2, cuja solução com a equação de Darcy-Weisbach
(universal) requer cálculo iterativo. Para situação de equilíbrio (regime permanente), é válida a Equação (3):
P1
Γ +
V
2
1
2G + Z1 =
P2
Γ +
V
2
2
2G + Z2 + HT - HB + HP
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos definir os pontos 1 e 2 como as superfícies dos reservatórios, pois lá temos as informações
necessárias.
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
Como a pressão (manométrica) e a velocidade nesses pontos são nulas e não há bombas, nem turbinas, a
equação anterior se reduz a:
HP = Z1 - Z2 = ΔZ = 26M
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Perceba, então, que em problemas de ligação entre reservatórios a perda de carga será igual ao desnível da
água.
Aplicando a fórmula universal da perda de carga (4):
J =
HP
L =
F
D
V2
2G → 
26
600 =
F
0,107 ⋅
V2
2 ⋅ 9,8
→ V =
0,301
√F I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A segunda relação entre feV pode ser obtida pela Equação de Swamee-Jain (8):
( )
F =
0,25
LOG 
Ε / D
3,7 +
5,74
RE0,9 2
 II
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde ε / D = 0 , 3 / 107 = 0 , 0028 e Re = ρVD / μ = 998 ⋅V ⋅ 0,107 / 10 - 3 = V ⋅ 1,07 ⋅ 105.
Conforme mencionado anteriormente, esse problema exigirá uma solução iterativa. Para começar,
precisamos arbitrar um valor inicial, digamos V0 = 1m / s:
utilizando a Equação (ii), obteremos f0 = 0,0272;
aplicando esse valor na Equação (i), V1 = 1,82 m/s;
voltando à Equação (ii), com esse novo valor, teremos f1 = 0,0266;
novamente na Equação (i), V2 = 1,84 m/s.
Observe que a diferença entre as duas últimas velocidades calculadas é muito pequena, consequentemente,
se calculássemos mais uma iteração, ela seria desprezível. Conclui-se, portanto, que foi alcançada a
convergência do método iterativo e o valor final éV= 1,84m/s. É importante ressaltar que, caso utilizássemos
um valor arbitrado diferente (começamos com V0 = 1m/s), chegaríamos no mesmo valor final.
Por fim:
Q = VA = V ⋅
ΠD2
4 = 1,84 ⋅
Π ( 0,107 ) 2
4 = 0,0165M3 / S = 16,5L / S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
FÓRMULAS EMPÍRICAS
A fórmula universal é importante pois se aplica para qualquer fluido e condição. Você deve ter observado,
porém, o trabalho necessário para calculá-la.
Para contornar isso e tornar o cálculo da perda de carga mais prático, podem ser utilizadas as fórmulas
empíricas, tendo como formulação geral J = K Qn / Dm, cujas constantes K, m e n foram ajustadas com base
[ ( ) ]
( )
( ) [ ]
em experimentos. Consequentemente, a aplicabilidade fica restrita aos fluidos e às condições para os quais
suas constantes foram obtidas.
FÓRMULA DE HAZEN-WILLIAMS (H-W)
Foi obtida para água a 20°C, escoando em regime turbulento com rugosidade transicional em diâmetros
industriais (usualmente D ≥ 2 " "):
𝐽 = ℎ𝑝𝐿 = 10,65
𝑄1,85
𝐶1,85𝐷4,87
 (𝑆 . 𝐼 . )
(10)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde:
𝑄 é a vazão (m³/s, no S.I.);
𝐷 é o diâmetro (m, no S.I.);
𝐶 é o coeficiente de Hazen-Williams, com valores para materiais mais comuns listados na Tabela 5.
Observe que, ao contrário da rugosidade da Equação de D-W (4), quanto maior o valor de 𝐶, menor a perda
de carga, pois ele se encontra no denominador da Equação de H-W (10).
Material C
PVC 150
Aço soldado ou FoFo novo 130
Aço soldado ou FoFo em uso 90
Aço corrugado (chapa ondulada) 60
Concreto com acabamento comum 120
Tabela 5 – Valores do coeficiente de Hazen-Williams, 𝐶.
Elaborada por Gabriel de Carvalho Nascimento
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
A Equação de H-W se tornou muito popular, mas deve ser utilizada com cautela, pois pode resultar em erros
quando aplicada fora das condições para as quais foi ajustada.
FÓRMULA DE FAIR-WHIPPLE-HSIAO (F-W-H)
Para diâmetros menores, tipicamente de instalações prediais, é válida a fórmula:
𝐽 = 𝐾 𝑄
𝑛
𝐷𝑚
(11)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com 𝑄 e 𝐷 no S.I. e cujas constantes 𝐾, 𝑚 e 𝑛 são listadas na Tabela 6:
Material 𝐾 𝑚 𝑛
Aço galvanizado novo (água fria) 0,002021 4,88 1,88
PVC rígido (água fria) 0,0008695 4,751,75
Cobre ou latão (água fria) 0,000874 4,75 1,75
Cobre ou latão (água quente) 0,000704 4,75 1,75
Tabela 6 – Constantes da fórmula de Fair-Whipple-Hsiao (F-W-H).
Elaborada por Gabriel de Carvalho Nascimento
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Para pequenos diâmetros, a precisão requerida é menor e há necessidade de maior praticidade no cálculo.
 VOCÊ SABIA
Essa fórmula é amplamente utilizada em projetos de instalações prediais (ex.: residência) e recomendada
pela NBR 5626/98 – Instalação predial de água fria.
ESCOLHA DA FÓRMULA A SER UTILIZADA
 DICA
O engenheiro deve fazer uma análise prévia do problema, levando em conta a urgência do cálculo, a
disponibilidade de recurso computacional e a precisão requerida.
Quando você está no escritório e tem acesso a um computador, é recomendado utilizar planilhas eletrônicas
ou programas específicos para análise de escoamento em tubulações, capazes de calcular rapidamente e
da maneira mais precisa (fórmula universal).
Mas imagine que você está inspecionando uma instalação industrial, verificando as pressões em condição
de operação. Ao verificar a pressão em um manômetro, como saber se o valor medido é próximo ao
esperado?
Nesse caso, a utilização da formulação empírica (ex.: H-W) pode ser muito útil, pois viabiliza o cálculo no
local com qualquer calculadora, inclusive a do seu celular.
PERDAS LOCALIZADAS EM SINGULARIDADES
FÓRMULA CINÉTICA DA PERDA DE CARGA
Além da perda distribuída ao longo da tubulação, devemos considerar também as perdas localizadas, que
ocorrem, a princípio, em qualquer tipo de singularidade na tubulação, entre elas: cotovelos, curvas, tês,
alargamento, redução, válvulas, entrada e saída em reservatório.
Uma das maneiras de se calcular a perda localizada é pela fórmula cinética da perda localizada:
ℎ𝑃𝑙 = 𝐾
𝑉2
2𝑔
(12)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde 𝑉 é a velocidade média (m/s, no S.I.) e 𝐾 é uma constante adimensional, dependente do tipo de
singularidade (Tabela 7):
Acessório 𝐾 Acessório 𝐾
Cotovelo de 90° raio curto 0,90 Válvula de gaveta aberta 0,20
Cotovelo de 45° 0,40 Válvula de ângulo aberta 5,0
Curva de 90° 0,40 Válvula de globo aberta 10
Tê, passagem direta 0,6-0,9 Válvula borboleta aberta 0,15-0,30
Tê, saída lateral 1,3-2,0 Válvula de pé com crivo 10
Entrada com borda 0,8-1,0 Válvula de retenção 2,5-3,0
Saída de tubulação 1,0 Válvula de boia 6
Tabela 7 – Valores de coeficiente de perda localizada.
Elaborada por Gabriel de Carvalho Nascimento
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
COMPRIMENTO EQUIVALENTE (OU VIRTUAL)
Outro método de obter a perda localizada consiste em substituir a singularidade por um comprimento de tubo
que causaria a mesma perda de carga, ou seja, igualando-se as Equações (4) e (12):
𝐿𝑒 𝑓𝐷
𝑉2
2𝑔 = 𝐾
𝑉2
2𝑔
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Cancelando os termos repetidos e isolando 𝐿𝑒 :
𝐿𝑒 = 𝐷𝐾𝑓
(13)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para determinado material (ex.: PVC ou aço), há uma considerável região visualizada no Diagrama de
Moody (Figura 5), ao longo da qual o 𝑓 tem valor constante. Portanto, podemos obter comprimentos
equivalentes 𝐿𝑒 pela Equação (13) para os diâmetros comerciais.
 SAIBA MAIS
Os valores são encontrados em diversos livros de Hidráulica, além de na NBR 5626.
Os comprimentos equivalentes (ou virtuais) podem ser somados aos reais para calcular a perda de carga
total (soma da distribuída com localizada). Esse é um método prático e bastante utilizado em instalações
prediais devido à grande quantidade de perdas localizadas. No entanto, devido à simplificação adotada (𝑓
constante), pode levar a erros significativos.
EXEMPLO
(Adaptado de PORTO, 2004).
Um trecho de tubulação interliga a coluna de distribuição a um chuveiro (figura a seguir, em plano vertical).
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
O trecho em análise é constituído de:
6,8m de tubulação PVC com 17mm de diâmetro interno (DN 20);
3 joelhos 90°, 𝐿𝑗 = 1,1m (cada);
1 tê de passagem direta, 𝐿𝑡𝑑 = 0,7m;
1 tê de passagem lateral, 𝐿𝑡𝑙 = 2,3m;
2 registros de gaveta abertos, 𝐿𝑟𝑔 = 0,1m (cada).
Se a vazão é Q = 0,20L/s, calcule qual deve ser a pressão em A para que a pressão em B seja, no mínimo,
𝑝𝐵 = 1,0m.c.a. Calcule da maneira mais prática possível.
A perda de carga unitária, para tubo de PVC na vazão e no diâmetro interno do problema, pode ser obtida
pela equação de F-W-H (11):
𝐽 = 0,0008695𝑄
1,75
𝐷4,75
= 0,0008695(0,2 ⋅10
-3 )
1,75
(17 ⋅10-3 )
4,75 = 0,0744𝑚 / 𝑚 = 74,4𝑚 / 𝑘𝑚
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O comprimento total de tubulação, incluindo as perdas localizadas, será:
𝐿𝑇 = 6,8 + 3 ⋅ 1,1 + 0,7 + 2,3 + 2 ⋅ 0,1 = 13,3𝑚
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E a perda de carga:
ℎ𝑃 = 𝐽𝐿𝑇 = 0,0744 ⋅ 13,3 = 0,99𝑚
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a equação da energia em regime permanente (3) entre A e B:
𝑝
𝐴
𝛾 +
𝑉𝐴
2
2𝑔 + 𝑧𝐴 =
𝑝
𝐵
𝛾 +
𝑉𝐵
2
2𝑔 + 𝑧𝐵 + ℎ𝑇 - ℎ𝐵 + ℎ𝑃
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O diâmetro é constante, portanto, 𝑉𝐴 = 𝑉𝐵 e não há turbina nem bomba (ℎ𝑇 = ℎ𝐵 = 0):
𝑝
𝐴
𝛾 + 𝑧𝐴 =
𝑝
𝐵
𝛾 + 𝑧𝐵 + ℎ𝑃 → 
𝑝
𝐴
𝛾 =
𝑝
𝐵
𝛾 + (𝑧𝐵 - 𝑧𝐴 ) + ℎ𝑃
𝑝
𝐴
𝛾 = 1 + 0,4 + 1,4 + 0,99 = 3,8𝑚 . 𝑐 . 𝑎 .
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
APLICAÇÕES COM O SOFTWARE EPANET
O EPANET, software desenvolvido pela Agência de Proteção Ambiental dos EUA, Environmental Protection
Agency (EPA), é uma ferramenta gratuita capaz de calcular diversas situações de escoamento forçado em
tubulações. Ele pode ser baixado no site da EPA ou no site da UFPB (em português). Com o EPANET, é
possível:
Realizar o traçado da rede sobreposto a mapas em escala e baseados em sistema de informação geográfica
(GIS).
Modelar válvulas e bombas.
Simular escoamento estático, permanente e quase-permanente (tópico 1).
Simular a qualidade da água.
AMBIENTE DE TRABALHO
A barra de tarefas é a maneira mais prática de inserir novos componentes físicos, localizados nos últimos
botões (Figura 8):
 Figura 8 - Captura de tela do Software EPANET 2.
Ambiente de trabalho do EPANET.
O modelo é elaborado com base nos componentes físicos, entre eles: nós, RNF (reservatórios de nível fixo),
trechos (tubulações), bombas e válvulas.
A rede deve possuir, no mínimo, um nó para que a simulação seja executada.
A fórmula de perda de carga a ser utilizada é definida no menu Projeto  Opções de simulação:
H-W: Hazen-Williams.
D-W: Darcy-Weisbach.
C-M: Chezy-Manning.
 ATENÇÃO
A fórmula configurada implicará no significado do parâmetro “Rugosidade” dos trechos (ex.: se H-W, o
parâmetro será o coeficiente C; se D-W, será ε).
UNIDADES
As unidades consideradas pelo EPANET ficam atreladas ao sistema de unidades adotado (EUA ou SI), com
base na unidade de vazão escolhida no menu Projeto  Opções de simulação.
 DICA
Optando por LPS (litros por segundo), a rugosidade e o diâmetro de tubos estarão em milímetros, o
comprimento e a cota estarão em metros e a perda de carga unitária, em m/km.
EXEMPLO
Vamos utilizar o EPANET para resolver o exemplo feito no item “Tipos de Problemas”:
O vídeo a seguir mostra a solução com a sequência: configuração da unidade e da fórmula, inserção dos
reservatórios e nó, inserção dos trechos, entrada de propriedades, simulação e, por fim, verificação dos
resultados. Teremos um trecho adicional com comprimento desprezível (0,01m) apenas porque deve haver,
ao menos, um nó para o funcionamento do programa.
DOIS RESERVATÓRIOS COM EPANET
Compare com os resultados obtidospelo cálculo manual do problema. Observe que a solução com o
EPANET é muito mais rápida, além de ser mais segura, pois reduz a chance de erros.
MÃO NA MASSA
1. O EXEMPLO A SEGUIR PODE SER CLASSIFICADO COMO ESCOAMENTO
PERMANENTE:
A) A partida de uma bomba de água.
B) O esvaziamento lento de um reservatório.
C) O fechamento de uma válvula.
D) A transferência de água entre dois reservatórios de níveis constantes.
E) A parada de uma bomba por falta de eletricidade.
2. O ESCOAMENTO É LAMINAR EM:
A) Água μ = 10-3kg/m.s e ρ = 1000kg/m³, escoando em uma adutora de 10” a 1,5m/s.
B) Ar μ = 1,8x10-5kg/m.s e ρ = 1,2kg/m³, escoando em um duto de refrigeração de 40cm a 10m/s.
C) Gasolina com μ = 3x10-4kg/m.s e ρ = 680kg/m³, escoando em um duto de 50mm a 0,8m/s.
D) Petróleo com μ = 0,5kg/m.s e ρ = 900kg/m³, escoando em um duto de 18” a 2,5m/s.
E) Óleo SAE 30W com μ = 2,9x10-1kg/m.s e ρ = 89 kg/m³, escoando em um duto de 2” a 0,5m/s.
3. (COMPANHIA DE ÁGUAS DE JOINVILLE – ENGENHEIRO SANITARISTA –
PROJETOS − 2018) DENTRE AS EXPRESSÕES USADAS PARA A DETERMINAÇÃO
DA PERDA DE CARGA QUE OCORRE NO ESCOAMENTO DE FLUIDOS AO LONGO
DE TUBULAÇÕES E SEÇÕES CIRCULARES DE QUALQUER DIÂMETRO, A
FÓRMULA DE USO GERAL, QUE PODE SER UTILIZADA TANTO PARA
ESCOAMENTO EM REGIME TURBULENTO QUANTO PARA O LAMINAR,
CONHECIDA TAMBÉM COMO FÓRMULA UNIVERSAL, É DENOMINADA:
A) Flamant
B) Hazen-Williams
C) Borda-Belanger
D) Darcy-Weisbach
E) Fair-Whipple-Hsiao
4. (ENADE – ENGENHARIA CIVIL − 2017) A MAIORIA DAS APLICAÇÕES DA
HIDRÁULICA NA ENGENHARIA DIRECIONA-SE À UTILIZAÇÃO DE TUBOS DE
SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR. QUANDO A PRESSÃO INTERNA DO
ESCOAMENTO NESSES CONDUTOS DIFERE DA ATMOSFÉRICA, COM O FLUIDO
CIRCULANTE PREENCHENDO TODA A ÁREA DO CONDUTO, DIZ-SE QUE O
ESCOAMENTO OCORRE SOB PRESSÃO OU CONDUTO FORÇADO.
AS REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA DAS CIDADES, AS INSTALAÇÕES
PREDIAIS E OS SISTEMAS DE RECALQUE SÃO ALGUNS EXEMPLOS DE
ESCOAMENTO EM CONDUTOS FORÇADOS. EXISTEM VÁRIAS FÓRMULAS
EMPÍRICAS APLICÁVEIS PARA A DETERMINAÇÃO DA PERDA DE CARGA UNITÁRIA
EM CONDUTOS SOB PRESSÃO NAS TUBULAÇÕES DE SEÇÃO CIRCULAR, E ELAS
PODEM SER, DE MANEIRA GERAL, REPRESENTADAS PELA EQUAÇÃO:
𝐽 = 𝐾𝑄
𝑛
𝐷𝑚
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
EM QUE OS PARÂMETROS K, N E M SÃO INERENTES A CADA FORMULAÇÃO E
FAIXA DE APLICAÇÃO, EM GERAL COM VALORES DE K DEPENDENTES SOMENTE
DO TIPO DE MATERIAL DA PAREDE DO CONDUTO.
PARA N = 2 E M = 5, MANTENDO-SE A MESMA PERDA DE CARGA UNITÁRIA J E
MESMO COEFICIENTE DE RESISTÊNCIA K, SE O DIÂMETRO D DE UMA
TUBULAÇÃO FOR QUADRIPLICADO, ENTÃO, A VAZÃO Q:
A) Diminuirá à metade.
B) Permanecerá igual.
C) Duplicará.
D) Quadriplicará
E) Aumentará em trinta e duas vezes.
5. NA TUBULAÇÃO DE UMA ADUTORA EM AÇO NOVO
(𝜀 = 45 𝜇𝑚 𝑒 𝐶 = 130) COM DIÂMETRO NOMINAL (DN) DE 2”, CUJO
DIÂMETRO INTERNO CORRESPONDENTE É 54,3MM, ESCOA 1,5L/S DE ÁGUA.
CALCULE DE MANEIRA MAIS PRÁTICA POSSÍVEL A PERDA DE CARGA AO LONGO
DE 100M DESSA TUBULAÇÃO:
A) 1,13m
B) 1,48m
C) 0,98m
D) 10m
E) 0,01m
6. CONTINUANDO O PROBLEMA ANTERIOR, O INÍCIO DA TUBULAÇÃO
(MONTANTE) ESTÁ NA COTA 12M E TEM PRESSÃO DE 26M.CA., ENQUANTO O FIM
(JUSANTE) ESTÁ NA COTA 18M. HÁ COMO SINGULARIDADES (PERDAS
LOCALIZADAS) E RESPECTIVOS COMPRIMENTOS EQUIVALENTES:
- 5 JOELHOS 90°, 𝐿𝑗 = 1,9M;
- 2 REGISTROS DE GAVETA, 𝐿𝑟𝑔 = 0,4M (CADA);
- 1 REGISTRO DE ÂNGULO, 𝐿𝑟𝑎 = 8,5M.
CALCULE A PRESSÃO NO PONTO DE JUSANTE, DA MANEIRA MAIS PRÁTICA
POSSÍVEL.
A) 18,7m.c.a.
B) 20,0m.c.a.
C) 18,9m.c.a.
D) 19,0m.c.a.
E) 15,0m.c.a.
GABARITO
1. O exemplo a seguir pode ser classificado como escoamento permanente:
A alternativa "D " está correta.
Nas opções "a", "b", "c" e "e" haverá variação da vazão ao longo do tempo, o que não pode ser classificado
como permanente. No exemplo citado na letra "d", por outro lado, após alcançado o equilíbrio, a vazão será
constante.
2. O escoamento é laminar em:
A alternativa "D " está correta.
A classificação entre laminar e turbulento é feita por meio do número de Reynolds. Entre as alternativas
disponibilizadas pela questão, a que apresenta menor valor é a D:
𝑅𝑒 = 𝜌𝑉𝐷𝜇 =
900 ⋅2,5 ⋅18 ⋅0,0254
0,56 = 1837 < 2300
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se, portanto, de escoamento laminar. Testando para as demais opções, verifica-se que em todas o
valor de Reynolds é superior a 4000, classificados, então, como turbulentos.
3. (Companhia de águas de Joinville – Engenheiro Sanitarista – Projetos − 2018) Dentre as
expressões usadas para a determinação da perda de carga que ocorre no escoamento de fluidos ao
longo de tubulações e seções circulares de qualquer diâmetro, a fórmula de uso geral, que pode ser
utilizada tanto para escoamento em regime turbulento quanto para o laminar, conhecida também
como fórmula universal, é denominada:
A alternativa "D " está correta.
A fórmula D-W utilizada para o cálculo da perda de carga distribuída em tubulações foi proposta pelo
engenheiro francês Henry Darcy e pelo matemático alemão Julius Weisbach.
4. (ENADE – Engenharia Civil − 2017) A maioria das aplicações da hidráulica na engenharia direciona-
se à utilização de tubos de seção transversal circular. Quando a pressão interna do escoamento
nesses condutos difere da atmosférica, com o fluido circulante preenchendo toda a área do conduto,
diz-se que o escoamento ocorre sob pressão ou conduto forçado.
As redes de distribuição de água das cidades, as instalações prediais e os sistemas de recalque são
alguns exemplos de escoamento em condutos forçados. Existem várias fórmulas empíricas
aplicáveis para a determinação da perda de carga unitária em condutos sob pressão nas tubulações
de seção circular, e elas podem ser, de maneira geral, representadas pela equação:
𝐽 = 𝐾𝑄
𝑛
𝐷𝑚
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que os parâmetros K, n e m são inerentes a cada formulação e faixa de aplicação, em geral com
valores de K dependentes somente do tipo de material da parede do conduto.
Para n = 2 e m = 5, mantendo-se a mesma perda de carga unitária J e mesmo coeficiente de
resistência K, se o diâmetro D de uma tubulação for quadriplicado, então, a vazão Q:
A alternativa "E " está correta.
De acordo com o enunciado:
𝐽 = 𝐾𝑄
2
𝐷5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quadriplicando o diâmetro, teremos uma nova vazão:
𝐽 = 𝐾 𝑄
' 2
(4𝐷)5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Igualando-se essas duas equações:
𝐾 𝑄
' 2
(4𝐷)5
= 𝐾𝑄
2
𝐷5
 → 𝑄' = 32𝑄
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Na tubulação de uma adutora em aço novo (𝜀 = 45 𝜇𝑚 𝑒 𝐶 = 130) com diâmetro nominal
(DN) de 2”, cujo diâmetro interno correspondente é 54,3mm, escoa 1,5L/s de água. Calcule de
maneira mais prática possível a perda de carga ao longo de 100m dessa tubulação:
A alternativa "A " está correta.
Conforme vimos no tópico 3, a maneira mais prática de calcular a perda de carga é por meio de fórmulas
empíricas. No diâmetro em questão, adota-se a Equação de H-W (10):
𝐽 = ℎ𝑝𝐿 = 10,65
𝑄1,85
𝐶1,85𝐷4,87
= 10,65 ⋅ 1,5 ⋅10
-3 1,85
1301,85 ⋅54,3 ⋅10-3
4,87 = 11,3𝑚 / 𝑘𝑚
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
ℎ𝑝 = 𝐽𝐿 = 100 ⋅
11,3
1000 = 1,13𝑚
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Continuando o problema anterior, o início da tubulação (montante) está na cota 12m e tem pressão
de 26m.ca., enquanto o fim (jusante) está na cota 18m. Há como singularidades (perdas localizadas) e
respectivos comprimentos equivalentes:
- 5 joelhos 90°, 𝐿𝑗 = 1,9m;
- 2 registros de gaveta, 𝐿𝑟𝑔 = 0,4m (cada);
- 1 registro de ângulo, 𝐿𝑟𝑎 = 8,5m.
Calcule a pressão no ponto de jusante, da maneira mais prática possível.
A alternativa "A" está correta.
CÁLCULO DA PERDA DE CARGA MANUAL VERSUS
SOFTWARE
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
A rede hidráulica de uma indústria, contida em um plano horizontal e constituída de tubos de aço com
diâmetro nominal de 4” e diâmetro interno de 107mm, é representada pelo esquemático (fora de escala) da
figura a seguir, com as seguintes condições:
a válvula V1 está sempre fechada;
a válvula V2 é constantemente ajustada para manter a vazão 𝑄2 = 8L/s constante;
inicialmente, a válvula V3 está fechada;
a válvula de ângulo está sempre totalmente aberta;
no ponto A, um sistema de pressurização mantém a pressão 𝑝𝐴 = 800kPa (manométrica) constante;
no ponto D, a tubulação está aberta para atmosfera (saída de tubulação);
a tubulação é de aço galvanizado;
o fluido é água a 20°C e o escoamento ocorre em regime permanente.
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
Comprimentos equivalentes:
cotovelo raio curto 90°: 3,8m;
tê de passagem direta: 0,7m;
tê para saída lateral: 5,5m;
válvula de gaveta: 0,7m;
válvula de ângulo: 17,0m;
válvula de retenção pesada: 12,9m;
saída de tubulação: 3,2m.
Adotando métodos e fórmulas mais práticos possíveis e consultando a Tabela A, calcule:
a) Para a situação inicial, a pressão no ponto F.
b) Se a válvula 𝑉3 for aberta e ajustada para que a vazão do respectivo ramal seja 𝑄3 = 12𝐿 / 𝑠, as
pressões nos pontos B e C.
c) No mesmo cenário do item (b), o comprimento equivalente da válvula 𝑉3 .
d) No mesmo cenário do item (b), a pressão nos pontos E e F.
e) A queda percentual da pressão no ponto F, entre os cenários dos itens (a) e (b).
SOLUÇÃO
CÁLCULO DE PRESSÃO E DIMENSIONAMENTO DE
VÁLVULA PARA REDE INDUSTRIAL
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (ENADE – ENGENHARIA − 2014) NO DIMENSIONAMENTO DE TUBULAÇÕES,
FATORES COMO RUGOSIDADE DO MATERIAL DOS TUBOS OU, AINDA, INCLUSÃO
DE PEÇAS ESPECIAIS E CONEXÕES ELEVAM A TURBULÊNCIA, PROVOCAM
ATRITOS E CAUSAM CHOQUE DE PARTÍCULAS, O QUE ORIGINA PERDAS DE
CARGA. ESSAS PERDAS SÃO CLASSIFICADAS EM PERDAS CONTÍNUAS AO
LONGO DOS CONDUTOS, POR RESISTÊNCIA, OCASIONADAS PELO MOVIMENTO
DA ÁGUA NA PRÓPRIA TUBULAÇÃO, E EM PERDAS LOCAIS, PROVOCADAS
PELAS PEÇAS ESPECIAIS E DEMAIS SINGULARIDADES DE UMA INSTALAÇÃO.
A FIGURA I REPRESENTA A VISTA LATERAL DE UM TRECHO DE TUBULAÇÃO EM
REGIME PERMANENTE, COM DIÂMETRO CONSTANTE DE 200MM E PARA A QUAL
HÁ UM DESNÍVEL DE 8M ENTRE OS TRECHOS HORIZONTAIS. AS CARGAS DE
PRESSÃO DISPONÍVEIS NAS SEÇÕES A E B SÃO DE, RESPECTIVAMENTE,
24M.C.A. E 10M.C.A. O GRÁFICO DA FIGURA II RELACIONA A VAZÃO DA
TUBULAÇÃO COM A PERDA DE CARGA CONTÍNUA PARA DOIS VALORES DE
DIÂMETRO DE TUBOS CONSTITUÍDOS DO MESMO MATERIAL DA TUBULAÇÃO.
IMAGEM: GABRIEL DE CARVALHO NASCIMENTO
IMAGEM: GABRIEL DE CARVALHO NASCIMENTO
(UNIDADE DA PERDA CONTÍNUA EM 10-3M/M = M/KM)
COM BASE NOS DADOS APRESENTADOS E CONSIDERANDO APENAS AS PERDAS
DE CARGAS CONTÍNUAS, CONCLUI-SE QUE A VAZÃO NA TUBULAÇÃO É DE:
A) 26L/s
B) 33L/s
C) 38L/s
D) 43L/s
E) 48L/s
2. EM UMA TUBULAÇÃO DE AÇO NOVO (𝜀 = 45 𝜇𝑚 𝑒 𝐶 = 130) COM
DIÂMETRO NOMINAL (DN) DE 2”, CUJO DIÂMETRO INTERNO CORRESPONDENTE
É 54,3MM, ESCOA 1,5L/S DE ÁGUA. CALCULE DE MANEIRA PRECISA A PERDA DE
CARGA AO LONGO DE 100M DESSA TUBULAÇÃO:
A) 10m
B) 0,01m
C) 0,98m
D) 1,13m
E) 1,48m
GABARITO
1. (ENADE – Engenharia − 2014) No dimensionamento de tubulações, fatores como rugosidade do
material dos tubos ou, ainda, inclusão de peças especiais e conexões elevam a turbulência,
provocam atritos e causam choque de partículas, o que origina perdas de carga. Essas perdas são
classificadas em perdas contínuas ao longo dos condutos, por resistência, ocasionadas pelo
movimento da água na própria tubulação, e em perdas locais, provocadas pelas peças especiais e
demais singularidades de uma instalação.
A figura I representa a vista lateral de um trecho de tubulação em regime permanente, com diâmetro
constante de 200mm e para a qual há um desnível de 8m entre os trechos horizontais. As cargas de
pressão disponíveis nas seções A e B são de, respectivamente, 24m.c.a. e 10m.c.a. O gráfico da
figura II relaciona a vazão da tubulação com a perda de carga contínua para dois valores de diâmetro
de tubos constituídos do mesmo material da tubulação.
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
(Unidade da perda contínua em 10-3m/m = m/km)
Com base nos dados apresentados e considerando apenas as perdas de cargas contínuas, conclui-
se que a vazão na tubulação é de:
A alternativa "D " está correta.
A equação da energia em regime permanente (3), aplicada entre os pontos A e B, dará:
𝑝𝐴
𝛾 +
𝑉𝐴
2
2𝑔 + 𝑧𝐴 =
𝑝𝐵
𝛾 +
𝑉𝐵
2
2𝑔 + 𝑧𝐵 + ℎ𝑇 - ℎ𝐵 + ℎ𝑃
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo o mesmo diâmetro, 𝑉𝐴 = 𝑉𝐵 (da equação da continuidade, 𝑉𝐴𝐴𝐴 = 𝑉𝐵𝐴𝐵 ), sem bomba, nem turbina
no trecho:
𝑝𝐴
𝛾 + 𝑧𝐴 =
𝑝𝐵
𝛾 + 𝑧𝐵 + ℎ𝑃
→ ℎ𝑃 =
𝑝𝐴
𝛾 -
𝑝𝐵
𝛾 + 𝑧𝐴 - 𝑧𝐵 = 24 - 10 + 0 - 8 = 6𝑚
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A perda de carga unitária, chamada de contínua no gráfico (sabemos pela unidade), é:
𝐽 = ℎ𝑃𝐿𝑇
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observando os comprimentos de tubo, constatamos que eles são muito elevados, o que nos permite
desprezar as perdas localizadas, então:
𝐽 = 6238 + 2 + 60 + 300 =
6
600 = 0,01𝑚 / 𝑚 = 10 ⋅ 10
-3 𝑚 / 𝑚 = 10𝑚 / 𝑘𝑚
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Analisando o gráfico para esse valor de perda contínua, obtemos 𝑄 ≅ 43 𝐿 / 𝑠.
2. Em uma tubulação de aço novo (𝜀 = 45 𝜇𝑚 𝑒 𝐶 = 130) com diâmetro nominal (DN) de 2”,
cujo diâmetro interno correspondente é 54,3mm, escoa 1,5L/s de água. Calcule de maneira precisa a
perda de carga ao longo de 100m dessa tubulação:
A alternativa "C " está correta.
O cálculo preciso da perda de carga é feito pela equação de D-W (4) ou (5):
𝐽 = ℎ𝑃𝐿 = 0,0826
𝑓𝑄2
𝐷5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O fator de atrito f pode ser obtido, com boa precisão, pela equação de Swamee-Jain (8):
𝑓 = 0,25
log 𝜀 / 𝐷3,7 +
5,74
𝑅𝑒0,9
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo a velocidade:
𝑉 = 𝑄𝐴 =
1,5 ⋅10-3
𝜋54,3 ⋅10-3
2
/ 4
= 0,648𝑚 / 𝑠
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O número de Reynolds:
𝑅𝑒 = 𝜌𝑉𝐷𝜇 =
1000 ⋅0,648 ⋅ (54,3 ⋅10-3 )
10-3
= 3,5 ⋅ 104
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E a rugosidade relativa:
𝜀
𝐷 =
45 ⋅10-6
54,3 ⋅10-3
= 0,000829
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na equação de Swamee-Jain:
𝑓 = 0,0250 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E, por fim, em D-W:
ℎ𝑃 = 𝐿 ⋅ 0,0826𝑓𝑄
2
𝐷5
= 100 ⋅ 0,0824 ⋅ 0,025 ⋅1,5 ⋅10
-3 2
54,3 ⋅10-3
5 = 0,98𝑚
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 2
 Comparar tubos em série e em paralelo com condutos equivalentes
ASSOCIAÇÃO DE TUBOS EM SÉRIE E PARALELO
TUBOS EM SÉRIE
Quando segmentos de tubo são ligados em sequência, garantindo que a vazão que atravessa todos é a
mesma, temos uma configuração de tubo em série (Figura 9):
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 9 – Tubos em série.
Consequentemente, a perda de carga do conjunto será igual à soma da perda de carga em cada segmento,
enquanto a vazão é a mesma, conforme a Equação (14):
ℎ𝑃 = ∑ ℎ𝑖
𝑄 = 𝑄1 = 𝑄2 = … = 𝑄𝑛
(14)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com o intuito de obter uma metodologia prática, vamos calcular a perda de carga pela Equação de H-W
(10), que vimos no Módulo 1, que se resume a ℎ𝑃 = 𝛼𝑄
1,85 𝐿 / 𝐶1,85 𝐷4,87 , onde 𝛼 é constante. Substituindo na
Equação (14):→ ℎ𝑃 = 𝛼 𝑄
1,85 𝐿
𝐶1,85𝐷4,87
= ∑𝛼 𝑄𝑖
1,85 𝐿𝑖
𝐶𝑖
1,85𝐷𝑖
4,87
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com o cancelamento de 𝛼 e da vazão 𝑄 (iguais) nos dois lados:
𝐿
𝐶1,85𝐷4,87
= ∑ 𝐿𝑖
𝐶𝑖
1,85𝐷𝑖
4,87
(15)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde 𝐿, 𝐶 e 𝐷 são os parâmetros do duto equivalente e 𝐿𝑖 , 𝐶𝑖 e 𝐷𝑖 são de cada trecho i real.
Trata-se de uma substituição matemática de n segmentos em série por um único tubo. Devemos escolher
qual dos parâmetros (𝐿, 𝐶 ou 𝐷) será calculado pela Equação (15), sendo os demais arbitrados para valores
convenientes, ou seja, que facilitem a solução do problema.
 EXEMPLO
Se a substituição dos segmentos em série por um único tubo com 10” facilitar a resolução do problema,
podemos adotar 𝐷 = 10”, 𝐶 = 𝐶𝑖 e calcular o comprimento equivalente resultante.
TUBOS EM PARALELO
Em uma configuração oposta à anterior, imagine que todos os segmentos de tubo analisados saem de uma
mesma conexão (ponto 0) e chegam em outra também em comum (ponto 1), conforme a Figura 10:
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 10 – Tubos em paralelo.
Nesse caso, a vazão total transportada é a soma de cada trecho, enquanto a perda de carga em todos é
igual, pois ao calcular a diferença de energia (carga 𝐻) entre montante e jusante, todos terão o mesmo
resultado. Essa condição é resumida pela Equação (16):
ℎ𝑃 = ℎ1 = ℎ2 = … = ℎ𝑛
𝑄 = ∑𝑄𝑖
(16)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A Equação de H-W (10), que vimos no Módulo 1, pode ser reescrita para explicitar a vazão, obtendo que se
resume a 𝑄 = ℎ𝑃 𝐶
1,85 𝐷4,87 / 𝛼 𝐿
1 / 1,85
. Substituindo na Equação (16):
𝑄 = ℎ𝑃𝐶
1,85𝐷4,87
𝛼 𝐿
1 / 1,85
= ∑ ℎ𝑖𝐶𝑖
1,85𝐷𝑖
4,87
𝛼𝐿𝑖
1 / 1,85
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com o cancelamento de 𝛼 e ℎ (iguais) nos dois lados:
𝐶 𝐷2,63
𝐿0,54
= ∑ 𝐶𝑖 𝐷𝑖
2,63
𝐿𝑖
0,54
(17)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim como para tubos em série, o cálculo do equivalente dos tubos em paralelo parte da escolha de dois
parâmetros (entre 𝐿, 𝐶 e 𝐷) a serem estabelecidos para que um seja calculado.
EXEMPLO
Em uma planta industrial, 10 tubos com o mesmo comprimento 𝐿, diâmetro 𝐷 e rugosidade estão ligados em
paralelo. Qual será o diâmetro do conduto equivalente, em função de 𝐷, tendo o mesmo comprimento e
rugosidade dos tubos?
Para dutos em paralelo, utilizamos a Equação (17):
𝐶 𝐷2,63
𝐿0,54
= ∑ 𝐶𝑖 𝐷𝑖
2,63
𝐿𝑖
0,54
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como são 10 dutos com as mesmas propriedades:
𝐶 𝐷𝑒𝑞
2,63
𝐿0,54
= 10𝐶 𝐷
2,63
𝐿0,54
 → 𝐷𝑒𝑞
2,63 = 10 𝐷2,63
→ 𝐷𝑒𝑞 = 10
1 / 2,63 𝐷 = 2,4 𝐷
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que o diâmetro equivalente não terá 1/10 do diâmetro dos tubos. Para 𝑛 tubos, teríamos:
𝐷𝑒𝑞 = 𝑛
0,38 𝐷
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. (PETROBRAS – ENGENHEIRO DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR – 2010)
AS FIGURAS A SEGUIR ILUSTRAM DOIS SISTEMAS COM MÚLTIPLOS TUBOS. COM
RELAÇÃO À VAZÃO (Q) E À PERDA DE CARGA (HP) DOS DOIS SISTEMAS,
VERIFICA-SE QUE:
IMAGEM: GABRIEL DE CARVALHO NASCIMENTO
A) Sistema 1: Q=Q1=Q2=Q3; hpA->B = hp1+ hp2+ hp3.
Sistema 2: Q=Q1+Q2+Q3; hpA->B = hp1= hp2= hp3.
B) Sistema 1: Q=Q1+Q2+Q3; hpA->B = hp1= hp2= hp3.
Sistema 2: Q=Q1=Q2=Q3; hpA->B = hp1+ hp2+ hp3.
C) Sistema 1: Q=Q1=Q2=Q3; hpA->B = (hp1+ hp2+ hp3)/3.
Sistema 2: Q=(Q1+Q2+Q3)/3; hpA->B = hp1= hp2= hp3.
D) Sistema 1: Q=(Q1+Q2+Q3)/3; hpA->B = hp1= hp2= hp3.
Sistema 2: Q=Q1=Q2=Q3; hpA->B = (hp1+ hp2+ hp3)/3.
E) Sistema 1: Q=Q1=Q2=Q3; hpA->B = hp1= hp2= hp3.
Sistema 2: Q=Q1=Q2=Q3; hpA->B = hp1= hp2= hp3.
2. O TRECHO DE UMA REDE HIDRÁULICA INDUSTRIAL DE ÓLEO REPRESENTADO
NA FIGURA ABAIXO POSSUI TRÊS VÁLVULAS (V1, V2 E V3) E UM EQUIPAMENTO
(E).
IMAGEM: GABRIEL DE CARVALHO NASCIMENTO
EM QUE CENÁRIO O TRECHO ENTRE B E C PODE SER CONSIDERADO COMO UMA
ASSOCIAÇÃO EM PARALELO DE TRÊS DUTOS?
A) V1 aberta, V2 fechada e V3 aberta.
B) V1 fechada, V2 fechada e V3 aberta.
C) V1 aberta, V2 fechada e V3 fechada.
D) V1 aberta, V2 aberta e V3 aberta.
E) V1 fechada, V2 aberta e V3 aberta.
3. PARA QUE COMBINAÇÃO DE ABERTURA OU FECHAMENTO DAS VÁLVULAS V1,
V2 E V3, ILUSTRADAS NA FIGURA A SEGUIR, O TRECHO ENTRE A E D PODE SER
SUBSTITUÍDO, POR MEIO APENAS DE ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE, POR UM ÚNICO
CONDUTO?
IMAGEM: GABRIEL DE CARVALHO NASCIMENTO
A) V1 aberta, V2 fechada e V3 aberta.
B) V1 fechada, V2 fechada e V3 fechada.
C) V1 aberta, V2 fechada e V3 fechada.
D) V1 aberta, V2 aberta e V3 aberta.
E) V1 fechada, V2 aberta e V3 aberta.
4. UM TRECHO DE TUBULAÇÃO EM PVC É COMPOSTO POR 3 SEGMENTOS EM
SÉRIE, COM AS SEGUINTES CARACTERÍSTICAS:
- TRECHO 1: 𝐷1 = 50MM E 𝐿1 = 100M.
- TRECHO 2: 𝐷2 = 40MM E 𝐿2 = 80M.
- TRECHO 3: 𝐷3 = 25MM E 𝐿3 = 50M.
QUAL SERIA O DIÂMETRO DO CONDUTO EQUIVALENTE COM O MESMO MATERIAL
E COMPRIMENTO TOTAL?
A) 33mm
B) 46mm
C) 38mm
D) 41mm
E) 40mm
5. NA REDE FECHADA DE ÁGUA GELADA PARA REFRIGERAÇÃO DE UM
SHOPPING, UM TRECHO É CONSTITUÍDO POR 5 DERIVAÇÕES, TODAS DE AÇO,
DIÂMETRO NOMINAL DE 2”, INTERNO DE 54,3MM E, APROXIMADAMENTE, COM O
MESMO COMPRIMENTO. PARA UM CÁLCULO PRÁTICO DA VAZÃO TOTAL DO
SISTEMA, ESSE TRECHO PODERIA SER SUBSTITUÍDO, POR MEIO DE
ASSOCIAÇÃO EM PARALELO, POR UMA TUBULAÇÃO COM QUE DIÂMETRO?
A) 100mm
B) 271mm
C) 121mm
D) 60mm
E) 76mm
6. (NETTO, CAP. A-13, 2015) UMA CANALIZAÇÃO ESTÁ CONSTITUÍDA DE TRÊS
TRECHOS EM SÉRIE, COM AS CARACTERÍSTICAS INDICADAS NA TABELA A
SEGUIR:
TRECHO DIÂMETRO (MM) COMPRIMENTO (M)
COEFICIENTE DE
RUGOSIDADE DE
HAZEN WILLIAMS
1 100 200 110
2 150 700 120
3 200 100 100
ELABORADA POR GABRIEL DE CARVALHO NASCIMENTO
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA TABELA UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
QUAL O DIÂMETRO DE UMA TUBULAÇÃO DE DIÂMETRO ÚNICO E C = 140 QUE
SUBSTITUI O SISTEMA EM SÉRIE DESCRITO, SEGUINDO A MESMA DIRETRIZ
(MESMO TRAÇADO, OU SEJA, MESMO COMPRIMENTO)?
A) 150mm
B) 145mm
C) 118mm
D) 269mm
E) 138mm
GABARITO
1. (Petrobras – Engenheiro de Equipamentos Júnior – 2010)
As figuras a seguir ilustram dois sistemas com múltiplos tubos. Com relação à vazão (Q) e à perda de
carga (hp) dos dois sistemas, verifica-se que:
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
A alternativa "A " está correta.
O sistema 1 representa uma configuração de tubos em série, enquanto o sistema 2 representa uma
configuração de tubos em paralelo, conforme mencionado na definição de tubos em série e paralelo
definidas nos tópicos 1 e 2.
2. O trecho de uma rede hidráulica industrial de óleo representado na figura abaixo possui três
válvulas (V1, V2 e V3) e um equipamento (E).
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
Em que cenário o trecho entre B e C pode ser considerado como uma associação em paralelo de três
dutos?
A alternativa "E " está correta.
Para que as três derivações estejam em paralelo, é necessário que a vazão total seja a mesma, tanto antes
quanto após, por isso, V1 deve estar fechada. Para que haja três dutos em paralelo, deve haver escoamento
neles, portanto, V2 e V3 devem estar abertas.
3. Para que combinação de abertura ou fechamento das válvulas V1, V2 e V3, ilustradas na figura a
seguir, o trecho entre A e D pode ser substituído, por meio apenas de associação em série, por um
único conduto?
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
A alternativa "B " está correta.
Para que segmentos de tubos estejam em série, a vazão em cada um deles deve ser igual. No problema em
questão, isso só ocorrerá se todas as válvulas estiverem fechadas.
4. Um trecho de tubulação em PVC é composto por 3 segmentos em série, com as seguintes
características:
- Trecho 1: 𝐷1 = 50mm e 𝐿1 = 100m.
- Trecho2: 𝐷2 = 40mm e 𝐿2 = 80m.
- Trecho 3: 𝐷3 = 25mm e 𝐿3 = 50m.
Qual seria o diâmetro do conduto equivalente com o mesmo material e comprimento total?
A alternativa "A " está correta.
Para dutos em série, de acordo com a Equação (15):
𝐿
𝐶1,85𝐷4,87
= ∑ 𝐿𝑖
𝐶𝑖
1,85𝐷𝑖
4,87
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como todos os dutos têm o mesmo material, o valor de C (coeficiente de Hazen-Williams) será igual e
cancelado nos dois lados da equação. A soma total dos comprimentos é 𝐿 = 100+80+50 = 230m. Então:
230
𝐷4,87
= 100
0,054,87
+ 80
0,044,87
+ 50
0,0254,87
→ 𝐷 = 33𝑚𝑚
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Na rede fechada de água gelada para refrigeração de um shopping, um trecho é constituído por 5
derivações, todas de aço, diâmetro nominal de 2”, interno de 54,3mm e, aproximadamente, com o
mesmo comprimento. Para um cálculo prático da vazão total do sistema, esse trecho poderia ser
substituído, por meio de associação em paralelo, por uma tubulação com que diâmetro?
A alternativa "A " está correta.
ASSOCIAÇÃO DE TUBOS EM REDES FECHADAS
6. (NETTO, Cap. A-13, 2015) Uma canalização está constituída de três trechos em série, com as
características indicadas na tabela a seguir:
Trecho Diâmetro (mm) Comprimento (m)
Coeficiente de
rugosidade de
Hazen Williams
1 100 200 110
2 150 700 120
3 200 100 100
Elaborada por Gabriel de Carvalho Nascimento
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Qual o diâmetro de uma tubulação de diâmetro único e C = 140 que substitui o sistema em série
descrito, seguindo a mesma diretriz (mesmo traçado, ou seja, mesmo comprimento)?
A alternativa "C " está correta.
Pela equação de tubos em série:
𝐿
𝐷𝑒
4,87 ×𝐶𝑒
1,85 =
𝐿1
𝐷1
4,87 ×𝐶1
1,85 +
𝐿2
𝐷2
4,87 ×𝐶2
1,85 +
𝐿3
𝐷3
4,87 ×𝐶3
1,85
1000
𝐷𝑒
4,87 × 1401,85
= 200
0,104,87 × 1101,85
+ 700
0,154,87 × 1201,85
+ 100
0,204,87 × 1001,85
𝐷𝑒 = 118𝑚𝑚
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
(PORTO, 2004) A ligação de dois reservatórios mantidos em níveis constantes é feita pelo sistema de
tubulações mostrado na figura a seguir. Assumindo um coeficiente de atrito constante para todas as
tubulações e igual a 𝑓 = 0,020, desprezando as perdas localizadas e as cargas cinéticas, determine a vazão
que chega ao reservatório 𝑅2 , as vazões nos trechos de 4” e 6” e a pressão disponível no ponto B.
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
SOLUÇÃO
ASSOCIAÇÃO DE TUBOS ENTRE RESERVATÓRIOS
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (INEA – ENGENHEIRO HIDRÁULICO − 2008) NA IMPLANTAÇÃO DE UM CANTEIRO
DE OBRAS PARA UMA USINA, SERÁ CONSTRUÍDO UM RESERVATÓRIO (1) QUE
ALIMENTARÁ POR GRAVIDADE OUTRO RESERVATÓRIO (2) DE UMA ESTAÇÃO DE
TRATAMENTO DE ÁGUA. VOCÊ FOI ENCARREGADO DE ANALISAR AS
ALTERNATIVAS DE LIGAÇÃO ENTRE OS RESERVATÓRIOS:
I. DUAS TUBULAÇÕES EM PARALELO, DE MESMO DIÂMETRO.
II. UMA ÚNICA TUBULAÇÃO DE DIÂMETRO CONSTANTE.
AS DUAS SOLUÇÕES DEVERÃO APRESENTAR O MESMO VALOR DE PERDA DE
CARGA.
NAS DUAS HIPÓTESES, O COMPRIMENTO (L) DA LINHA DE TRAÇADO DA
TUBULAÇÃO ENTRE OS DOIS RESERVATÓRIOS É O MESMO (FIGURA), E AS
PERDAS DE CARGA LOCALIZADAS, NESSA FASE DOS ESTUDOS, PODEM SER
DESPREZADAS.
IMAGEM: GABRIEL DE CARVALHO NASCIMENTO
QUAL SERÁ A RELAÇÃO ENTRE OS DIÂMETROS DAS DUAS ALTERNATIVAS,
CONSIDERANDO 𝐷1 = DIÂMETRO DA ALTERNATIVA I E 𝐷2 = DIÂMETRO DA
ALTERNATIVA II?
A) 𝐷2 = 𝐷1
B) 𝐷2 = 12𝐷1
C) 𝐷2 = 5
1 / 4 𝐷1
D) 𝐷2 = 2𝐷1
E) 𝐷2 = √4
5 𝐷1
2. SEJA UM TRECHO DE TUBULAÇÃO ANTIGA COMPOSTA POR TRÊS SEGMENTOS
EM SÉRIE:
IMAGEM: GABRIEL DE CARVALHO NASCIMENTO
VOCÊ FOI DESIGNADO PARA SUBSTITUIR ESSE TRECHO POR UMA TUBULAÇÃO
NOVA DE PVC COM UM ÚNICO DIÂMETRO E SEGUINDO O MESMO TRAÇADO
(COMPRIMENTO TOTAL). QUAL DIÂMETRO COMERCIAL MAIS PRÓXIMO PARA QUE
A PERDA DE CARGA SEJA A MESMA? POR SIMPLIFICAÇÃO, CONSIDERE O
DIÂMETRO INTERNO COMO IGUAL AO NOMINAL.
A) 50
B) 75
C) 100
D) 125
E) 150
GABARITO
1. (INEA – Engenheiro Hidráulico − 2008) Na implantação de um canteiro de obras para uma usina,
será construído um reservatório (1) que alimentará por gravidade outro reservatório (2) de uma
estação de tratamento de água. Você foi encarregado de analisar as alternativas de ligação entre os
reservatórios:
I. Duas tubulações em paralelo, de mesmo diâmetro.
II. Uma única tubulação de diâmetro constante.
As duas soluções deverão apresentar o mesmo valor de perda de carga.
Nas duas hipóteses, o comprimento (L) da linha de traçado da tubulação entre os dois reservatórios
é o mesmo (figura), e as perdas de carga localizadas, nessa fase dos estudos, podem ser
desprezadas.
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
Qual será a relação entre os diâmetros das duas alternativas, considerando 𝐷1 = diâmetro da
alternativa I e 𝐷2 = diâmetro da alternativa II?
A alternativa "E " está correta.
Conforme vimos no exemplo do tópico 2 (Tubos em paralelo), se o material e o comprimento dos condutos
em paralelo e do conduto equivalente forem iguais:
𝐷𝑒𝑞 = 𝑛
0,38 𝐷
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O diâmetro equivalente corresponde à alternativa 2 (único duto), portanto:
𝐷2 = 𝑛
0,38 𝐷1 = 2
0,38 𝐷1 ≅ 1,3 𝐷1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O que é equivalente à letra E.
2. Seja um trecho de tubulação antiga composta por três segmentos em série:
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
Você foi designado para substituir esse trecho por uma tubulação nova de PVC com um único
diâmetro e seguindo o mesmo traçado (comprimento total). Qual diâmetro comercial mais próximo
para que a perda de carga seja a mesma? Por simplificação, considere o diâmetro interno como igual
ao nominal.
A alternativa "C " está correta.
Com caso de dutos em série, conforme a Equação (15):
𝐿
𝐶1,85𝐷4,87
= ∑ 𝐿𝑖
𝐶𝑖
1,85𝐷𝑖
4,87
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para tubulação nova de PVC, 𝐶 = 150 (Tabela 5), o comprimento total é 𝐿 = 1200m.
1000
1501,85𝐷4,87
= 100
1001,85 0,0754,87
+ 400
1201,85 0,1254,87
+ 500
1101,85 0,1504,87
→ 𝐷 = 96 𝑚𝑚
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, o diâmetro comercial mais próximo é de 100mm (4”).
MÓDULO 3
 Analisar o escoamento em tubulações, a perda em marcha e a sobrepressão em transiente
hidráulico
ANÁLISE GRÁFICA DE ESCOAMENTOS EM
TUBULAÇÕES
LINHAS DE ENERGIA
Conforme vimos anteriormente, a carga (energia) de um fluido em um ponto é definida por:
𝐻𝑖 =
𝑝
𝑖
𝛾 + 𝑧𝑖 +
𝑉𝑖
2
2𝑔
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A soma da carga de pressão com a cota constitui o que é chamado de “cota piezométrica” (CP):
𝐶𝑃 =
𝑝𝑖
𝛾 + 𝑧𝑖
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a distância entre a linha de energia e a piezométrica equivale à carga cinética (𝑉2 / 2𝑔).
 DICA
Em tubulações de água, normalmente, essas linhas são muito próximas, pois a velocidade costuma ser
inferior a 2m/s, resultando em carga cinética desprezível (≅ 0,2m).
Na Figura 11, observamos a evolução da linha de energia e piezométrica em uma tubulação. A energia
decresce, devido à perda de carga.
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 11 – Diagrama de energia.
Esse tipo de imagem fornece informações importantes, por meio de análise gráfica, conforme abordaremos
adiante.
Os planos são definidos como horizontais (energia constante), partindo no valor de montante (inicial) e
divididos em:
P.C.A. (PLANO DE CARGA ABSOLUTA)
Horizontal que parte do valor da energia (carga) na montante, considerando pressão absoluta para cálculo
de 𝑝𝑅1 / 𝛾, que será então 𝑝𝑎𝑡𝑚 / 𝛾.
P.C.E. (PLANO DE CARGA EFETIVA)
Similar ao anterior, mas considerando pressãomanométrica, ou seja, a uma altura 𝑝𝑎𝑡𝑚 / 𝛾 abaixo do P.C.A.
Como representam uma energia constante (horizontais), correspondem à situação hidrostática, ou seja, sem
perdas.
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 12 – Linhas de energia.
As linhas, por sua vez, consideram a perda de carga (redução da energia ao longo do tubo), também
divididas em absoluta (L.C.A.) e efetiva (L.C.E.), pelo mesmo motivo. A declividade das linhas é calculada
por Δ𝐻 / Δ𝑥, que, para ângulos de assentamento pequenos (menores que 15°), é aproximadamente igual a
𝐽 = Δ𝐻 / 𝐿 (perda de carga unitária).
 DICA
Se medirmos a distância entre o ponto P da tubulação e uma linha de energia, teremos o equivalente à
carga de pressão, conforme demonstrado na Figura 13.
javascript:void(0)
javascript:void(0)
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 13 – Análise gráfica da pressão – Cenário 1: traçado abaixo de L.C.E.
DISTÂNCIA ATÉ A L.C.E
Medirá a pressão hidrodinâmica manométrica (efetiva).
DISTÂNCIA ATÉ A L.C.A
Fornecerá a pressão hidrodinâmica absoluta.
O P.C.E. e o P.C.A., por sua vez, medirão as pressões hidrostáticas.
No cenário da Figura 13, observa-se que todo o traçado da linha se encontra abaixo da L.C.E., portanto, terá
pressão manométrica positiva – devemos somar algo para ir de 𝑧𝑃 até a linha.
Agora vamos analisar o cenário da Figura 14.
O traçado permanece abaixo do P.C.E., o que significa que o sistema é capaz de encher a linha, pois a
pressão hidrostática é positiva.
No entanto, uma vez cheia e em regime permanente, o ponto P estará acima da L.C.E., o que implica em
pressão hidrodinâmica manométrica negativa.
javascript:void(0)
javascript:void(0)
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 14 – Análise gráfica da pressão – Cenário 2: traçado acima de L.C.E.
O escoamento é possível, porque permanece abaixo da L.C.A. (pressão hidrodinâmica absoluta positiva), o
que se faz necessário, pois fluido não resiste à tração (pressão absoluta negativa).
 ATENÇÃO
Esse tipo de escoamento não é desejável, pois a pressão manométrica negativa tende a causar acúmulo de
ar.
Uma solução seria colocar uma bomba logo na saída de R1, elevando a linha de energia naquele ponto
(Figura 15 – linha verde).
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 15 – Análise gráfica da pressão – Cenário 2: soluções.
Lembrando que a declividade da linha equivale à perda de carga unitária 𝐽, alternativamente, poderíamos
reduzir o diâmetro no trecho PL, o que aumentaria 𝐽 a partir de P (Figura 15 – linha vermelha). Uma terceira
solução seria construir outro reservatório, em P.
Mais um cenário é aquele em que o traçado tem um trecho acima do P.C.E. (Figura 16). A diferença em
relação ao anterior é que nesse cenário o sistema não será capaz de encher a linha, fazendo necessário o
uso de uma bomba. Mas, uma vez cheia, o escoamento poderá ocorrer, pois tem pressão absoluta positiva.
Essa configuração é chamada de “sifão”.
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 16 – Análise gráfica da pressão – Cenário 3: traçado acima do P.C.E.
 ATENÇÃO
Quando há pressão manométrica negativa, é fundamental garantirmos que a pressão absoluta permaneça
acima da pressão de vapor da água. Caso contrário, haverá evaporação e acúmulo, o que obstruirá e,
eventualmente, interromperá o escoamento.
 SAIBA MAIS
O efeito sifão pode ser facilmente verificado em casa, ao tentarmos tirar água de um recipiente (ex.: copo)
com um canudo. Se estiver vazio, nada ocorrerá, mas, se “sugarmos” a água, enchendo o canudo e
mantendo sua extremidade de fora abaixo do N.A. no copo (P.C.E.), haverá escoamento.
EXEMPLO
Válvulas ventosas são dispositivos que permitem a entrada e a saída de ar na tubulação, sendo, portanto,
importantes para evitar pressões negativas durante o esvaziamento e retirar o ar no enchimento. Seu
funcionamento é ilustrado na Figura 17.
Imagem: Shigeru23/Wikimedia commons/licença: CC BY 3.0
 Figura 17 – Funcionamento da válvula ventosa.
Considerando o sistema de ligação entre dois reservatórios da figura a seguir, qual seria o ponto mais
indicado para instalação de uma válvula ventosa?
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
Para que a ventosa retire o ar durante o enchimento da tubulação, é necessário que ela esteja em pontos de
acúmulo, ou seja, máximos locais, o que nos faz analisar os pontos C e D.
O ponto C está acima da L.C.E. (linha vermelha tracejada), levando-o a ter pressão manométrica negativa,
em regime permanente (condição de operação). A pressão manométrica negativa faria a válvula abrir,
permitindo a entrada de ar, o que só deveria ocorrer em condição de esvaziamento da linha. Portanto, a
melhor opção é o ponto D.
VAZÃO EM MARCHA
É comum, em redes de distribuição e outros tipos de tubulações, haver diversos pontos de tomada d’água,
conforme ilustrado na Figura 18 e na Figura 19.
Foto: Shuterstock.com
 Figura 18 – Exemplo de vazão em marcha – tubulação de chafariz.
Essa característica nos permite reconhecer que, em vez de muitos pontos, temos uma saída contínua de
água, hipoteticamente como uma fenda ao longo do tubo.
Imagem: Adaptada do Google Earth
 Figura 19 – Tronco principal e derivações em uma rede de distribuição de água.
Esse conceito é chamado de vazão em marcha, 𝑞𝑚 (Figura 20):
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 20 – Variação da vazão num trecho com vazão em marcha.
Um trecho com distribuição em marcha terá vazão variável ao longo do seu comprimento, calculada por:
𝑄𝑥 = 𝑄𝑚 - 𝑞𝑚 𝑥
Então
𝑄𝑚 - 𝑄𝑗 = 𝑞𝑚 𝐿
(18)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo assim, que vazão devemos adotar para o cálculo da perda de carga?
Para responder a essa pergunta, vamos relembrar da fórmula universal (Darcy-Weisbach), estudada no
Módulo 1 (tópico 2):
𝐽 = 𝑓𝐷
𝑉2
2𝑔 = 0,0827
𝑓𝑄2
𝐷5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Conforme vimos no Módulo 1 (tópico 3), a perda de carga pode ser reescrita genericamente por ℎ𝑃 = 𝐿𝐾𝑄
2 ,
que podemos alterar para 𝑑ℎ𝑃 = 𝐾𝑄
2 𝑑𝑥, cuja integração será:
→ ℎ𝑝 = ∫0
𝐿
𝐾𝑄𝑥
2 𝑑𝑥 = - 𝐾𝑞 ∫𝑄𝑚
𝑄𝑗 𝑄𝑥
2 𝑑𝑄𝑥 = - 𝐾𝑞
𝑄𝑗
3 - 𝑄𝑚
3
3 =
𝐾
𝑞
𝑄𝑚
3 - 𝑄𝑗
3
3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pode ser desenvolvido pela fatoração em diferença de cubos:
ℎ𝑝 = 𝐾𝑞
𝑄𝑚 - 𝑄𝑗𝑄𝑚
2 + 𝑄𝑚𝑄𝑗 + 𝑄𝑗
2
3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Conforme a Equação (18), substituindo 𝑄𝑚 - 𝑄𝑗 = 𝑞𝐿:
ℎ𝑝 = 𝐿𝐾
𝑄𝑚
2 + 𝑄𝑚𝑄𝑗 + 𝑄𝑗
2
3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E comparado com a expressão inicial:
ℎ𝑝 = 𝐿𝐾𝑄𝑓
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde:
𝑄𝑓 =
√𝑄𝑚2 + 𝑄𝑚𝑄𝑗 + 𝑄𝑗2
3 =
= 𝑄𝑚
√3
; 𝑠𝑒 𝑄𝑗 = 0
≅
𝑄𝑚 + 𝑄𝑗
2 ; 𝑠𝑒 𝑄𝑗 ≠ 0
(19)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Isso significa que, em um trecho com vazão em marcha, a perda de carga pode ser calculada pelas fórmulas
já estudadas, utilizando como base uma vazão fictícia 𝑄𝑓 , calculada conforme a Equação (19).
TUBULAÇÕES ENTRE DOIS RESERVATÓRIOS
Uma das principais aplicações de análise gráfica da energia são os sistemas de interligação entre dois
reservatórios, em particular, quando há uma tomada d’água entre eles (Figura 21). Quando a vazão 𝑄𝐵
(tomada d’água) é nula, a vazão do trecho AB será igual à do BC. No entanto, a declividade da linha de
energia será diferente, pois 𝐷2 < 𝐷1 , resultando na linha LB1M.
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 21 – Tomada d’água entre dois reservatórios.
Quando se começa a retirar água em B, 𝑄𝐴𝐵 aumenta, tornando a declividade da L.C.E. maior, mas ocorre o
efeito contrário no trecho BC, até que a declividade entre B e C seja nula, o que significa que 𝑄𝐵𝐶= 0
(LB3M). Aumentando ainda mais o consumo em B, haverá uma reversão do fluxo em BC, e a L.C.E. nesse
trecho passará a ter declividade contrária (LB4M).
Dependendo do consumo, o que varia ao longo do dia em sistemas de abastecimento de água, o
reservatório R2 pode ser abastecido ou contribuir para o fornecimento, tornando-se um “pulmão” para
auxiliar nas horas de pico.
EXEMPLO
Em determinado momento, a L.C.E. da interligação entre dois reservatórios corresponde à representação da
figura a seguir.
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
Se a tubulação é de PVC, calcule da maneira prática a vazão que sai no ponto B, 𝑄𝐵 . Despreze as cargas
cinéticas.
Desprezando as cargas cinéticas, a linha de energia (carga, H) será coincidente com a linha piezométrica.
Então, a perda de carga será:
ℎ𝑃 𝐴𝐵 = 𝐻𝐴 - 𝐻𝐵 = 32 - 16 + 6 = 10𝑚
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E a perda unitária:
𝐽 =
ℎ𝑃𝐴𝐵
𝐿𝐴𝐵
= 101000 = 10𝑚 / 𝑘𝑚
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para cálculo prático, utilizamos a fórmula de Hazen-Williams (10):
𝐽𝐴𝐵 = 10,65
𝑄𝐴𝐵
1,85
𝐶1,85𝐷𝐴𝐵
4,87
→ 𝑄𝐴𝐵 =
𝐶1,85𝐷𝐴𝐵
4,87 𝐽𝐴𝐵
10,65
1 / 1,85
= 150
1,85 ⋅0,2504,87 ⋅0,010
10,65
1 / 1,85
= 90,1𝐿 / 𝑠
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repetindo o mesmo procedimento para o trecho CB:
𝑄𝐶𝐵 =
𝐶1,85𝐷𝐶𝐵
4,87 𝐽𝐶𝐵
10,65
1 / 1,85
= 150
1,85 ⋅0,2004,87 ⋅ 26 - 6 - 16500
10,65
1 / 1,85
= 44,4𝐿 / 𝑠
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A vazão que sai por B será a soma:
𝑄𝐵 = 𝑄𝐴𝐵 + 𝑄𝐶𝐵 = 90,1 + 44,4 = 134,5𝐿 / 𝑠
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Atente que soubemos que R2 era abastecedor, e não abastecido, pela declividade da linha de energia, que
decresce no sentido do escoamento.
TRANSIENTE HIDRÁULICO (GOLPE DE ARÍETE)
Já mencionamos no Módulo 1 (tópico 1) que variações nas condições de escoamento, como fechamento de
válvula e parada de bomba, podem causar transientes hidráulicos; estes se traduzem em oscilações bruscas
da pressão e, eventualmente, podem provocar danos à tubulação.
Um dos principais parâmetros para o cálculo do transiente hidráulico, também chamado de golpe de aríete, é
a velocidade com que a onda de pressão se propaga no interior do tubo, camada de celeridade. Para água,
seu valor, em m/s, pode ser calculado por (AZEVEDO NETTO, 1998):
𝐶 = 9900
√48,3 + 𝑘𝐷𝑒
(20)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde:
𝐷 é o diâmetro da tubulação;
𝑒 é a espessura (em metros);
𝑘 = 1011 𝑃𝑎 / 𝐸 (Tabela 8), sendo E o módulo de elasticidade.
Material 𝑘 = 10
11𝑃𝑎
𝐸
Aço 0,5
FoFo (ferro fundido) 1
Concreto 3
PVC 18
Tabela 8 – Coeficiente 𝑘 para equação da celeridade (20).
Elaborada por Gabriel de Carvalho Nascimento
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Outro parâmetro importante é o período da tubulação, τ, definido pelo tempo que a onda demora para partir
do ponto que provocou a variação do escoamento (ex.: válvula), ir até a extremidade oposta e voltar, ou seja:
𝜏 = 2𝐿𝐶
(21)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde 𝐿 é o comprimento da tubulação.
Em se tratando de válvula, se o tempo de fechamento 𝑡 for inferior ao período (𝑡 < 𝜏), ele é classificado como
rápido, e a sobrepressão transiente Δ𝑝
𝑡
 pode ser calculada, com precisão, pela fórmula de Joukowski:
Δ𝑝
𝑡
𝛾 = 𝐶𝑉𝑔
(22)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde 𝑔 é a gravidade e 𝛾 = 𝜌𝑔 é o peso específico. Caso o fechamento seja lento (𝑡 > 𝜏), uma estimativa
pode ser obtida pela Fórmula de Michaud:
Δ𝑝
𝑡
𝛾 = 𝐶𝑉𝑔 · 𝜏𝑡
(23)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO
Em uma tubulação horizontal de PVC com 300m de comprimento, DN 150, diâmetro interno 156,4mm e
espessura de 6,8mm, escoa água a 1,5m/s. Devido a um vazamento, uma válvula de proteção, localizada na
jusante, é fechada em 1,0 segundo. Calcule a sobrepressão calculada pelo transiente hidráulico.
Conforme a Equação (20), sendo 𝑘 = 18 para PVC (Tabela 8):
𝐶 = 9900
√48,3 + 𝑘𝐷𝑒
= 9900
√48,3 + 18156,46,8
= 460𝑚 / 𝑠
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O período da tubulação será:
𝜏 = 2𝐿𝐶 =
2 ⋅300
460 = 1,3𝑠
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como 𝑡 < 𝜏, trata-se de fechamento rápido, cuja sobrepressão é calculada por Joukowski:
Δ𝑝
𝑡
𝛾 = 𝐶𝑉𝑔 =
460 ⋅1,5
9,8 = 70,4𝑚 . 𝑐 . 𝑎 .
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. (PETROBRAS – ENGENHEIRO CIVIL JÚNIOR − 2005) CONSIDERE OS
RESERVATÓRIOS 1 E 2 MANTIDOS EM NÍVEIS CONSTANTES E INTERLIGADOS
PELA TUBULAÇÃO MNO, NA QUAL N É UMA TOMADA D’ÁGUA, CONFORME
REPRESENTADO NA FIGURA A SEGUIR.
IMAGEM: GABRIEL DE CARVALHO NASCIMENTO
NESSAS CONDIÇÕES, É CORRETO AFIRMAR QUE:
A) Os dois reservatórios podem ser abastecedores ou não, sendo, neste caso, reservatórios de
compensação.
B) Para a cota piezométrica N1, o abastecimento é feito simultaneamente pelos reservatórios 1 e 2.
C) Para a cota piezométrica N3, o abastecimento é feito apenas pelo reservatório 1.
D) Se a vazão Qn for zero, a vazão do reservatório 1 chega integralmente ao reservatório 2.
E) Se XN2 for uma linha horizontal, a vazão no trecho MN é nula.
2. A FIGURA A SEGUIR ILUSTRA A TUBULAÇÃO DE DIÂMETRO CONSTANTE ENTRE
DOIS RESERVATÓRIOS, COM A TUBULAÇÃO QUE SAI DE R1, PASSANDO EM A, B,
C, D E TERMINANDO EM E, JUNTO AO R2. A LINHA TRACEJADA REPRESENTA A
L.C.E. (LINHA DE CARGA EFETIVA) EM REGIME PERMANENTE.
IMAGEM: GABRIEL DE CARVALHO NASCIMENTO
NESSA SITUAÇÃO, QUAL PONTO TERÁ A MAIOR PRESSÃO?
A) Ponto A
B) Ponto B
C) Ponto C
D) Ponto D
E) Ponto E
3. PARA O MESMO SISTEMA DA QUESTÃO ANTERIOR, QUAL PONTO TERÁ A
MENOR PRESSÃO?
A) Ponto A
B) Ponto B
C) Ponto C
D) Ponto D
E) Ponto E
4. NA FIGURA A SEGUIR, É ILUSTRADA A LIGAÇÃO ENTRE DOIS RESERVATÓRIOS
PELA TUBULAÇÃO QUE PASSA EM N, P, Q E L. A LINHA TRACEJADA
CORRESPONDE À L.C.E. (LINHA DE CARGA EFETIVA) CASO A TUBULAÇÃO
TIVESSE UM ÚNICO DIÂMETRO. OBSERVA-SE QUE, NESSE CASO, A PRESSÃO EM
P SERIA NEGATIVA, POIS A TUBULAÇÃO FICARIA ACIMA DA L.C.E.
IMAGEM: GABRIEL DE CARVALHO NASCIMENTO
UMA ALTERNATIVA PARA EVITAR A PRESSÃO NEGATIVA SERIA REDUZIR O
DIÂMETRO A PARTIR DO PONTO P. QUAL DAS DEMAIS LINHAS REPRESENTA A
L.C.E. COM ESSA ESTRATÉGIA?
A) Linha (a)
B) Linha (b)
C) Linha (c)
D) Linha (d)
E) Linha (e)
5. (INEA – ENGENHEIRO SANITARISTA − 2013) UM ENGENHEIRO DESEJA
CONSTRUIR UMA ADUTORA DO RESERVATÓRIO I AO RESERVATÓRIO III,
PASSANDO PELO PONTO II. PARA GARANTIR QUE A ADUTORA FIQUE ABAIXO DA
LINHA PIEZOMÉTRICA E EVITAR ESCAVAÇÕES ANTIECONÔMICAS FOI COLOCADO
UM RESERVATÓRIO INTERMEDIÁRIO NO PONTO II. O ESQUEMA A SEGUIR
MOSTRA AS COTAS DOS NÍVEIS DE ÁGUA DOS RESERVATÓRIOS E OS
ESPAÇAMENTOS ENTRE ELES.
IMAGEM: GABRIEL DE CARVALHO NASCIMENTO
A TABELA APRESENTA AS PERDAS DE CARGA PARA ADUÇÃO DE UMA VAZÃO DE
20L/S EM TUBULAÇÕES DE DIFERENTES DIÂMETROS:
IMAGEM: GABRIEL DE CARVALHO NASCIMENTO
O DIÂMETRO DOS TRECHOS DE I A II E DE II A III SÃO DE:
A) 150mm.
B) 75mm.
C) 50mm.
D) 100mm e 75mm, respectivamente.
E) 75mm e 50mm, respectivamente.
6. NA MANOBRA ENTRE SETORES DE FORNECIMENTO DE ÁGUA, UMA VÁLVULA É
FECHADA EM 10 SEGUNDOS. SE A VELOCIDADE DO ESCOAMENTO ERA DE
0,8M/S, ESTIME A SOBREPRESSÃO CAUSADA POR TRANSIENTE HIDRÁULICA.
(DADOS DA TUBULAÇÃO: PVC COM 500M DE EXTENSÃO, DN 300 E ESPESSURA
DE 13,1MM.) CONSIDERE QUE O DIÂMETRO INTERNO É, APROXIMADAMENTE,
IGUAL AO NOMINAL.
A) 37,6m.c.a.
B) 8,3m.c.a.
C) 15,5m.c.a.
D) 70,6m.c.a.
E) 50m.c.a.
GABARITO
1. (Petrobras – Engenheiro Civil Júnior − 2005)Considere os reservatórios 1 e 2 mantidos em níveis
constantes e interligados pela tubulação MNO, na qual N é uma tomada d’água, conforme
representado na figura a seguir.
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
Nessas condições, é correto afirmar que:
A alternativa "E " está correta.
a) Falso: O reservatório 2 pode ser apenas abastecedor.
b) Falso: Na cota N1, a declividade da linha de energia decresce para o reservatório 1, sendo então
abastecido.
c) Falso: Na cota N3, o escoamento em MN ocorre no sentido de N (decrescimento da energia), portanto
ambos os reservatórios abastecem.
d) Falso: Se a vazão Qn for nula, ocorre o contrário dessa afirmação.
e) Verdadeiro: Uma linha energética horizontal significa que não há perda, ou seja, vazão nula.
2. A figura a seguir ilustra a tubulação de diâmetro constante entre dois reservatórios, com a
tubulação que sai de R1, passando em A, B, C, D e terminando em E, junto ao R2. A linha tracejada
representa a L.C.E. (linha de carga efetiva) em regime permanente.
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
Nessa situação, qual ponto terá a maior pressão?
A alternativa "A " está correta.
Conforme vimos no tópico 1 deste módulo, a distância entre a tubulação e a linha de energia é equivalente à
carga de pressão. O ponto em que essa distância é maior (traçado abaixo da energia) é em A.
3. Para o mesmo sistema da questão anterior, qual ponto terá a menor pressão?
A alternativa "B " está correta.
O ponto de menor pressão é aquele em que o traçado estiver mais alto em relação à linha de energia, o que
ocorre para o ponto B, tendo pressão negativa (acima da linha de energia).
4. Na figura a seguir, é ilustrada a ligação entre dois reservatórios pela tubulação que passa em N, P,
Q e L. A linha tracejada corresponde à L.C.E. (linha de carga efetiva) caso a tubulação tivesse um
único diâmetro. Observa-se que, nesse caso, a pressão em P seria negativa, pois a tubulação ficaria
acima da L.C.E.
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
Uma alternativa para evitar a pressão negativa seria reduzir o diâmetro a partir do ponto P. Qual das
demais linhas representa a L.C.E. com essa estratégia?
A alternativa "A " está correta.
Reduzindo o diâmetro entre P e L, a linha de energia teria uma declividade maior (maior perda unitária), mas
ainda haveria perda entre N e P. A única linha que atende a essa condição é a (a).
5. (INEA – Engenheiro Sanitarista − 2013) Um engenheiro deseja construir uma adutora do
reservatório I ao reservatório III, passando pelo ponto II. Para garantir que a adutora fique abaixo da
linha piezométrica e evitar escavações antieconômicas foi colocado um reservatório intermediário no
ponto II. O esquema a seguir mostra as cotas dos níveis de água dos reservatórios e os
espaçamentos entre eles.
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
A tabela apresenta as perdas de carga para adução de uma vazão de 20L/s em tubulações de
diferentes diâmetros:
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
O diâmetro dos trechos de I a II e de II a III são de:
A alternativa "D " está correta.
A perda de carga unitária entre os pontos I e II é:
𝐽𝐼 - 𝐼𝐼 = 500 - 4201010 = 0,0792𝑚 / 𝑚 = 7,92 𝑚 / 100𝑚
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Entre os pontos II e III:
𝐽𝐼𝐼 - 𝐼𝐼𝐼 = 420 - 2801445 - 1010 = 0,3218𝑚 / 𝑚 = 32,18 𝑚 / 100𝑚
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essas perdas unitárias, de acordo com o quadro do enunciado, correspondem aos diâmetros de 100 e
75mm, respectivamente.
6. Na manobra entre setores de fornecimento de água, uma válvula é fechada em 10 segundos. Se a
velocidade do escoamento era de 0,8m/s, estime a sobrepressão causada por transiente hidráulica.
(Dados da tubulação: PVC com 500m de extensão, DN 300 e espessura de 13,1mm.) Considere que o
diâmetro interno é, aproximadamente, igual ao nominal.
A alternativa "B " está correta.
TRANSIENTE HIDRÁULICO
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
O sistema de interligação entre dois reservatórios, representado esquematicamente pela figura a seguir,
serve a uma rede de distribuição pelo ponto B.
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
a) Se no ponto B a carga de pressão é de 15m.c.a., calcule as vazões nos trechos AB e BC, além da vazão
fornecida para rede de distribuição.
b) Qual será a carga de pressão em B quando 𝑄𝐵 = 40L/s?
SOLUÇÃO
TOMADA D’ÁGUA ENTRE RESERVATÓRIOS
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (PORTO, 2004) O SISTEMA DE ABASTECIMENTO DE ÁGUA DE UMA LOCALIDADE
É FEITO POR UM RESERVATÓRIO PRINCIPAL, COM NÍVEL D'ÁGUA SUPOSTO
CONSTANTE NA COTA 812,0M, E POR UM RESERVATÓRIO DE SOBRAS QUE
COMPLEMENTA A VAZÃO DE ENTRADA NA REDE, NAS HORAS DE AUMENTO DE
CONSUMO, COM NÍVEL D'ÁGUA NA COTA 800,0M. NO PONTO B, NA COTA 760,0M,
INICIA-SE A REDE DE DISTRIBUIÇÃO. SABENDO QUE O MATERIAL DAS
ADUTORAS É AÇO GALVANIZADO NOVO, UTILIZANDO OS MÉTODOS MAIS
PRÁTICOS CONHECIDOS E DESPREZANDO AS CARGAS CINÉTICAS, DETERMINE
PARA QUAL VALOR DE 𝑄𝐵 A LINHA PIEZOMÉTRICA NO SISTEMA É A MOSTRADA
NA FIGURA A SEGUIR:
IMAGEM: GABRIEL DE CARVALHO NASCIMENTO
A) 30,3L/s
B) 15,1L/s
C) 12,5L/s
D) 14,7L/s
E) 25,4L/s
2. A LIGAÇÃO ENTRE DOIS RESERVATÓRIOS É REPRESENTADA PELA FIGURA A
SEGUIR, ONDE 𝐿𝐴𝐵 = 400M E 𝐿𝐵𝐶 = 600M.
IMAGEM: GABRIEL DE CARVALHO NASCIMENTO
SE A PRESSÃO DE VAPOR DA ÁGUA PARA A TEMPERATURA LOCAL É 𝑝𝑣 =
0,30M.C.A. E A PRESSÃO ATMOSFÉRICA É 𝑝𝑎𝑡𝑚 / 𝛾 = 10M.C.A., CALCULE QUAL A
ALTURA MÁXIMA DO PONTO B PARA QUE NÃO HAJA EVAPORAÇÃO, COM FOLGA
DE 1,00M.C.A. DESCONSIDERE AS CARGAS CINÉTICAS.
A) 55,7m
B) 46,7m
C) 51,5m
D) 61,5m
E) 64,7m
GABARITO
1. (PORTO, 2004) O sistema de abastecimento de água de uma localidade é feito por um reservatório
principal, com nível d'água suposto constante na cota 812,0m, e por um reservatório de sobras que
complementa a vazão de entrada na rede, nas horas de aumento de consumo, com nível d'água na
cota 800,0m. No ponto B, na cota 760,0m, inicia-se a rede de distribuição. Sabendo que o material das
adutoras é aço galvanizado novo, utilizando os métodos mais práticos conhecidos e desprezando as
cargas cinéticas, determine para qual valor de 𝑄𝐵 a linha piezométrica no sistema é a mostrada na
figura a seguir:
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
A alternativa "D " está correta.
Desprezando as cargas cinéticas, a linha de energia (L.C.E.) será coincidente com a linha piezométrica.
Como L.C.E. tem uma única declividade, a perda de carga unitária será igual em AB, BC e AC:
𝐽𝐴𝐵 = 𝐽𝐵𝐶 = 𝐽𝐴𝐶 =
∆𝐻𝐴𝐶
𝐿𝐴𝑉
= 812 - 800650 + 420 = 11,2𝑚 / 𝑘𝑚
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para cálculo mais prático, utilizamos a fórmula de Hazen-Williams:
𝐽 = 10,65 𝑄
1,85
𝐶1,85𝐷4,87
→ 𝑄 = 𝐽𝐶
1,85𝐷4,87
10,65
1
1,85
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo 𝐶 = 130 (Tabela 5). No trecho AB:
𝑄𝐴𝐵 =
0,0112 ∙ 1301,85 6 ∙ 0,02544,87
10,65
1
1,85
= 22,5𝐿 / 𝑠
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E no BC:
𝑄𝐵𝐶 =
0,0112 ∙ 1301,85 4 ∙ 0,02544,87
10,65
1
1,85
= 7,8𝐿 / 𝑠
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nesse caso, a vazão nesse trecho ocorre no sentido de R2, conforme evidenciado pela declividade da linha
de energia.
A vazão fornecida em B será a diferença:
𝑄𝐵 = 𝑄𝐴𝐵 - 𝑄𝐵𝐶 = 22,5 - 7,8 = 14,7𝐿 / 𝑠
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. A ligação entre dois reservatórios é representada pela figura a seguir, onde 𝐿𝐴𝐵 = 400m e 𝐿𝐵𝐶 =
600m.
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
Se a pressão de vapor da água para a temperatura local é 𝑝𝑣 = 0,30m.c.a. e a pressão atmosférica é
𝑝𝑎𝑡𝑚 / 𝛾 = 10m.c.a., calcule qual a altura máxima do ponto B para que não haja evaporação, com folga
de 1,00m.c.a. Desconsidere as cargas cinéticas.
A alternativa "D " está correta.A perda de carga unitária é:
𝐽 = 𝐽𝐴𝐶 =
ℎ𝑃𝐴𝐶
𝐿𝐴𝐶
= 56 - 48400 + 600 = 8𝑚 / 𝑘𝑚
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desconsiderando as cargas cinéticas, a carga no ponto B será:
𝐻1 = 𝐻𝐵 + 𝐽𝐿𝐴𝐵
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em se tratando de pressão de vapor, devemos adotar as pressões absolutas para cálculo:
𝑝𝑎𝑡𝑚
𝛾 + 𝑧1 +
= 0
⏞
𝑉1
2
2𝑔 =
𝑝𝐵
𝛾 + 𝑧𝐵 +
≅ 0
⏞
𝑉𝐵
2
2𝑔 + 𝐽𝐿𝐴𝐵
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Isolando 𝑧𝐵 e adotando como pressão em B a mínima exigida (pressão de vapor mais folga):
→ 𝑧𝐵 =
𝑝𝑎𝑡𝑚
𝛾 -
𝑝𝐵
𝛾 + 𝑧1 - 𝐽𝐿𝐴𝐵 = 10 - 0,3 + 1 + 56 - 0,008 ⋅ 400
→ 𝑧𝐵 = 61,5𝑚
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 4
 Calcular pressões e vazões em redes de distribuição de água
REDES DE DISTRIBUIÇÃO
REDES RAMIFICADAS
CONCEITOS
As redes de distribuição estão na última etapa do processo de fornecimento de água, que começa na
captação do manancial, passa pelo bombeamento, pela estação de tratamento de água (ETA), pelo
reservatório e, por fim, chega à distribuição para os pontos de consumo (Figura 22).
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 22 – Visão geral de um sistema de abastecimento.
 ATENÇÃO
O reservatório se faz necessário para garantir uma pressão estável na rede.
As tubulações que estão a montante (antes) do reservatório são chamadas de adutoras, enquanto a jusante
é chamada de distribuição.
Há dois tipos de rede: ramificada e malhada, conforme ilustrado na Figura 23. Adicionalmente, é possível
elaborar um projeto que mistura os dois tipos, adequando suas vantagens e desvantagens frente às
características topográficas, urbanísticas e de consumo.
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 23 – Rede ramificada, malhada e mista.
As redes ramificadas são caracterizadas por “pontas secas”, ou seja, tubulações que terminam sem
conexão. Nessas tubulações, a vazão de jusante é nula. Nas redes malhadas, há células (ciclos fechados)
que possibilitam sempre mais de um caminho para a água chegar em um mesmo ponto, melhorando a
uniformidade de pressões e facilitando eventuais interdições para manutenção, com a desvantagem de
apresentar um custo mais elevado.
Dependendo dos dados disponíveis para calcular as redes, podemos classificar o cálculo em
dimensionamento ou verificação, conforme detalhado na Tabela 9:
Tipo de cálculo Características
Dimensionamento
Diâmetros e traçados a serem definidos.
Premissas de projeto para pressões máximas e mínimas (ex.: normas).
Mais de uma opção de diâmetro comercial que atende aos requisitos.
O engenheiro deve optar pelo menor custo (otimização).
Verificação
Diâmetros e comprimentos definidos em fase anterior de projeto ou de
uma rede existente.
Cálculo de vazões e/ou pressões.
Única solução para cada cenário.
Tabela 9 – Tipos de problemas envolvendo redes de distribuição.
Elaborada por Gabriel de Carvalho Nascimento
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Os problemas de dimensionamento apresentam um desafio maior, pois há mais de uma solução. O
engenheiro deve fazer uma análise sofisticada para determinar a melhor opção, normalmente definida como
a de menor custo.
DEMANDA DE VAZÃO
O primeiro passo do projeto de redes consiste em determinar qual é a vazão demandada, ou seja, a situação
de maior consumo possível a ser atendida:
𝑄𝑑 =
𝑘1 𝑘2𝑃𝑞𝑐
ℎ 3600
(24)
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Onde:
𝑄𝑑 é o consumo de pico de toda rede (L/s);
𝑃 é o número de habitantes;
𝑞𝑐 é o consumo médio per capita (L/hab/dia);
ℎ é a quantidade de horas de funcionamento do sistema por dia (h/dia);
𝑘1 e 𝑘2 são os coeficientes do dia e hora de maior consumo, respectivamente (adimensionais).
A Equação (24) é baseada no consumo médio per capita 𝑞𝑐 , que representa quanto cada pessoa utiliza de
água por dia.
Esse parâmetro deve contabilizar toda a água fornecida, incluindo o preparo de alimentos, a higiene pessoal,
a limpeza de ambientes internos e externos, a irrigação, a manutenção de piscinas e as perdas (ex.:
vazamentos da rede).
No Brasil, 𝑞𝑐 varia tipicamente entre 150 e 180 L/hab.dia (Tabela 10). Vale ressaltar que essas são médias
regionais, havendo municípios com consumos ainda maiores.
REGIÃO Consumo médio (L/hab.dia)
Norte 154.54
Nordeste 112.45
Sudeste 179.71
Sul 144.23
Centro-Oeste 148.53
TOTALIZAÇÃO NACIONAL 154.14
Tabela 10 – Consumo médio per capita nas regiões do Brasil em 2016.
Extraída de SNIS, 2016
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO DE REDE RAMIFICADA
O procedimento mais conhecido na literatura para dimensionamento e cálculo de pressões em redes
ramificadas está detalhado na Tabela 11 e na Tabela 12, que podem ser automatizadas por meio de planilhas
eletrônicas (ex.: Excel e Google Planilhas).
 DICA
Devemos calcular a vazão total distribuída pela Equação (24) para, então, dividi-la pelo comprimento total de
tubulação com fornecimento para obter a vazão em marcha, 𝑞𝑚 = 𝑄𝑑 / ∑ 𝐿.
Fonte: Shutterstock.com
 Tabela 11 – Cálculo de redes ramificadas.
Elaborada por Gabriel de Carvalho Nascimento
𝐷 (mm) 𝑉𝑚𝑎𝑥 (m/s) 𝑄𝑚𝑎𝑥 (L/s)
50 0,68 1,34
60 0,69 1,95
75 0,71 3,14
100 0,75 5,89
125 0,79 9,69
150 0,83 14,67
200 0,90 28,27
250 0,98 47,86
300 1,05 74,22
350 1,13 108,72
400 1,20 150,80
500 1,35 265,10
Tabela 12 – Valores recomendados de diâmetro.
Extraída de Porto, 2004
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Ao final do cálculo, são obtidas as pressões nos pontos da rede, que devem estar dentro de limites máximos
e mínimos.
 SAIBA MAIS
A norma NBR 12218 preconiza que a pressão mínima deve ser de 100 kPa (≅ 10 m.c.a.) e a máxima de 500
kPa (≅ 50 m.c.a.).
A condição máxima é alcançada quando não há consumo (pressão estática), consequentemente, sem perda
de carga. Por outro lado, o valor mínimo é atingido na condição de consumo máximo (vazão de projeto),
quando a pressão é dinâmica.
EXEMPLO
(PORTO, 2004) Estabeleça os diâmetros da rede de distribuição de água ilustrada com traçado e topografia
na figura a seguir, determinando a cota 𝑧𝑅 do reservatório para que a carga mínima de pressão dinâmica
seja 15m.c.a.
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
A rede possui as seguintes características:
população: 2900 hab;
taxa de consumo per capita média: 150 L/hab/dia;
coeficiente do dia de maior consumo: k1 = 1,25;
coeficiente da hora de maior consumo: k2 = 1,50;
horas de funcionamento diário do sistema: h = 24h;
material das tubulações em aço galvanizado novo, e o escoamento pode ser considerado totalmente
rugoso (independente de 𝑅𝑒) e com valor médio de 𝑓 ≅ 0,026;
o trecho entre o reservatório e o ponto A, onde inicia a rede, não terá distribuição em marcha.
O primeiro passo consiste em determinar a vazão total demandada, conforme a Equação (24):
𝑄𝑑 =
𝑘1 𝑘2𝑃𝑞𝑐
ℎ 3600 =
1,25 ⋅1,5 ⋅2900 ⋅150
24 ⋅3600 = 9,4 𝐿 / 𝑠
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Em seguida, precisaremos determinar a vazão em marcha – conceito abordado no Módulo 3 (tópico 2) –,
calculada pela divisão entre a vazão total e o comprimento de tubulação com distribuição. Perceba que no
trecho 5 não há distribuição, portanto, não deve ser contabilizado:
𝑞𝑚 =
𝑄𝑑
∑ 𝐿𝑖
= 9,4200 + 150 + 200 + 150 + 120 + 150 + 100 + 200 = 0,0074 𝐿 / 𝑠𝑚
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Em seguida, realizaremos o preenchimento da tabela de resolução conforme descrito na Tabela 11. Esses
passos são apresentados na Figura 24.
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 24 – Animação com solução de rederamificada. Aguarde alguns segundos entre os passos.
 ATENÇÃO
No exemplo anterior, para fins didáticos, consideramos o fator de atrito 𝑓 constante. Conforme vimos no
Módulo 1 (tópico 2), porém, o fator de atrito deve ser calculado em função de 𝑅𝑒 por fórmulas como a de
Swamee-Jain (8). Uma alternativa prática é a Fórmula de Hazen-Williams (10), Módulo 1 (tópico 3), que não
requer o cálculo de 𝑓.
REDES MALHADAS
As redes malhadas apresentam uma dificuldade maior para cálculo, pois as vazões são desconhecidas.
Para determiná-las, são adotados métodos iterativos, como o de Hardy Cross, que veremos adiante.
Serão consideradas saídas (fornecimento) de vazão da rede nos nós, não sendo permitida a adoção de
vazão em marcha, como fizemos para redes ramificadas.
Partiremos de dois princípios básicos (Figura 25):
1º PRINCÍPIO
A soma das vazões que chegam em um nó (entrada + e saída -) é nula.
2º PRINCÍPIO
A soma das perdas de cargas em uma célula é nula, convencionando-se positivas as perdas nos
seguimentos cujas vazões seguem o sentido horário e negativas para o caso contrário.
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 25 – Soma de vazões em um nó e de perdas de carga em uma célula.
Para verificar o 2º Princípio, vamos lembrar que a perda de carga pode ser calculada genericamente por
Δ𝐻 = 𝐾𝑄𝑛 (Módulo 1 – tópico 3). Para cada trecho i:
0 = ∑ Δ𝐻𝑖 = ∑𝐾𝑄𝑖
𝑛
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Vamos assumir um valor arbitrado de vazão 𝑄𝑎, 𝑖 para um trecho, sendo as vazões dos demais determinadas
pelo 1º Princípio. Dessa maneira, deverá ser aplicada uma correção para chegar à vazão correta
𝑄𝑖 = 𝑄𝑎, 𝑖 + Δ𝑄:
0 = ∑ Δ𝐻𝑖 = ∑𝐾𝑄𝑎, 𝑖 + 𝛥𝑄
𝑛 = ∑𝐾𝑄𝑎𝑖
𝑛
𝐴
⏞
1 + 𝛥𝑄𝑄𝑎, 𝑖
𝑛
(25)
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Lembrando do Binômio de Newton, calculado por:
𝑥+𝑦𝑛 =
𝑛
∑
𝑘=0
𝑛
𝑘𝑥
𝑛-𝑘 𝑦𝑘
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Cuja substituição de 𝑥 = 1 e 𝑦 = Δ𝑄 / 𝑄𝑎, 𝑖 fornecerá:
𝐴 = 1 + 𝑛 Δ𝑄𝑄𝑎, 𝑖 +
𝑛𝑛 - 1
2!
≅ 0
⏞
Δ𝑄
𝑄𝑎, 𝑖
2 + 𝑛𝑛 - 1𝑛 - 23!
≅ 0
⏞
Δ𝑄
𝑄𝑎, 𝑖
3 + … = 1 + 𝑛 𝛥𝑄𝑄𝑎, 𝑖
(26)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde os termos e a ordem superior tendem a valores desprezíveis ( ≅ 0), pois 𝛥𝑄 reduz a cada iteração.
Substituindo a Equação (26) na (25):
0 = ∑𝛥𝐻𝑖 ≅ ∑𝛥𝐻𝑎, 𝑖 1 + 𝑛 Δ𝑄𝑄𝑎, 𝑖
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E isolando Δ𝑄:
𝛥𝑄 = - ∑𝛥𝐻𝑎, 𝑖𝑛 ∑𝛥𝐻𝑎, 𝑖 / 𝑄𝑎, 𝑖
(27)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa é, então, a correção que deve ser aplicada no valor arbitrado a cada iteração, até que se alcance a
convergência (Δ𝑄 desprezível). De acordo com a NBR 12218, o resíduo final deve ser de Δ𝑄 < 0,1L/s.
Ressalta-se que n é o expoente da vazão na fórmula de perda de carga adotada, ou seja:
Darcy-Weisbach: 𝑛 = 2.
Hazen-Williams: 𝑛 = 1, 85.
EXEMPLO
A figura a seguir ilustra o projeto de uma rede de distribuição de água em PVC, cujas demandas foram
calculadas baseadas nos nós A, B, C e D, e os diâmetros (em mm) foram adotados em uma análise prévia.
O traçado foi definido a partir da planta urbanística da região e os comprimentos são indicados na figura.
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
Calcule de maneira prática as vazões em cada trecho e verifique se a velocidade se encontra dentro do
limite definido como premissa de projeto entre 0,5 e 2,0m/s.
A vazão total fornecida pelos nós é 140L/s, vinda do reservatório para o ponto A, onde há uma saída de
50L/s. A diferença entre esses dois valores (140 – 50 = 90L/s) corresponde ao total que se divide entre AB e
AD. Podemos arbitrar essa divisão em 𝑄𝐴𝐵 = 40L/s e 𝑄𝐴𝐷 = 50L/s. Os demais trechos são obtidos pelo 1º
Princípio.
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
Ressalta-se que qualquer vazão inicial arbitrada é válida, desde que respeite o 1º Princípio.
No próximo passo, por praticidade, vamos adotar a Fórmula de Hazen-Williams (10) para o cálculo da perda
de carga:
ℎ𝑝 = 10,65 𝐿 𝑄
1,85
𝐶1,85𝐷4,87
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde, para PVC, 𝐶 = 150.
Lembre-se de que as vazões com sentido anti-horário serão consideradas negativas, assim como suas
respectivas perdas de carga. Para simplificar, apresentaremos esse cálculo em partes, conforme a Tabela
13. As correções Δ𝑄 de cada iteração são calculadas conforme a Equação (27), onde 𝑛 = 1,85 (para H-W).
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
Tabela 13 – Solução do exemplo de rede malhada.
Elaborada por Gabriel de Carvalho Nascimento
O valor de Δ𝑄 calculado na iteração 1 é utilizado para obter as vazões da iteração 2, corrigindo as
anteriores, e assim por diante. Na 3ª iteração, obtivemos um 𝛥𝑄 < 0,1L/s, alcançando a convergência
preconizada pela NBR 12218.
Por fim, calculamos a velocidade por 𝑉 = 𝑄 / 𝐴 = 4𝑄 / 𝜋𝐷2 , obtendo 𝑉1 = 1, 4𝑚 / 𝑠, 𝑉2 = 0, 8𝑚 / 𝑠,
𝑉3 = 0, 7𝑚 / 𝑠 e 𝑉4 = 1, 4𝑚 / 𝑠, permanecendo todas dentro dos limites do enunciado.
APLICAÇÃO COM O EPANET
Para calcular uma rede malhada com o EPANET, precisaremos saber apenas mais um detalhe em relação
ao que foi apresentado no Módulo 1 (tópico 5): a vazão fornecida no nó deve ser digitada no campo
“Consumo-Base” de propriedades do nó.
Começaremos configurando a unidade em LPS (litro por segundo) e H-W como fórmula para perda de carga
(para comparar com o exemplo anterior). Em seguida, definiremos o reservatório, os nós e os trechos. O
último passo será entrar com as propriedades de cada elemento. Todos os passos são exibidos no vídeo a
seguir.
VÍDEO COM SOLUÇÃO DO EXEMPLO DE REDE
MALHADA COM USO DO EPANET
Por fim, temos os resultados de vazão em cada trecho, que são, praticamente, iguais aos que obtivemos de
forma manual (tópico 2 – Rede Malhada). Adicionalmente, também podemos avaliar as pressões em cada
nó, observado que elas permanecem dentro dos limites estabelecidos por norma.
MÃO NA MASSA
1. QUAL É A ÚNICA ALTERNATIVA VERDADEIRA?
A) As tubulações instaladas após o último reservatório são chamadas de adutoras.
B) As redes malhadas apresentam um custo menor que as ramificadas.
C) Em redes ramificadas, há apenas um caminho para o abastecimento de água.
D) Problemas de dimensionamento são mais simples que de verificação.
E) As redes ramificadas exigem método iterativo para cálculo das vazões.
2. VOCÊ FOI DESIGNADO PARA DIMENSIONAR A REDE DE ABASTECIMENTO EM
UM LOTEAMENTO, COM PREVISÃO PARA UM TOTAL DE 250 HABITANTES. SE O
CONSUMO MÉDIO PER CAPITA DA REGIÃO É DE 180L/HAB.DIA, CALCULE A
VAZÃO TOTAL A SER DISTRIBUÍDA EM UMA REDE COM ABASTECIMENTO 8
HORAS POR DIA, CONSIDERANDO 𝑘1 = 1,25 E 𝑘2 = 1,50.
A) 2,9L/s
B) 1,9L/s
C) 2,3L/s
D) 1,0L/s
E) 1,5L/s
3. O TRAÇADO DA REDE REFERENTE À QUESTÃO ANTERIOR TOTALIZOU 600M DE
TUBULAÇÃO, DOS QUAIS 20M INICIAIS NÃO ERAM LIGADOS A PONTOS DE
CONSUMO. CALCULE A VAZÃO EM MARCHA RESULTANTE:
A) 0,145L/sm
B) 2,9L/sm
C) 4,8x10-3L/sm
D) 5,0x10-3L/sm
E) 1L/sm
4. AINDA SOBRE A REDE DAS QUESTÕES ANTERIORES, ESCOLHA O DIÂMETRO
EM UM TRECHO DE 200M COM PONTA SECA:
A) 50
B) 60
C) 75
D) 100
E) 125
5. CALCULE A PERDA DE CARGA COM FÓRMULA PRÁTICA NO TRECHO DA
QUESTÃO ANTERIOR, SE ELE É DE PVC. CONSIDERE QUE O DIÂMETRO INTERNO
É, APROXIMADAMENTE, IGUAL AO NOMINAL.
A) 1,23m
B) 0,34m
C) 0,006m
D) 0,12m
E) 0,45m
6. SEJA A REDE EM TUBULAÇÃO DE AÇO NOVO REPRESENTADA PELO
ESQUEMÁTICO A SEGUIR.
IMAGEM: GABRIEL DE CARVALHO NASCIMENTO
CALCULANDO AS VAZÕES PELO MÉTODO DE HARDY CROSS, EM DETERMINADA
ITERAÇÃO, AS VAZÕES DOS TRECHOS AB, BC, CD E DA SÃO 76,4L/S; 26,4L/S;
-18,6L/S E -48,6L/S, RESPECTIVAMENTE. QUAL É A CORREÇÃO Δ𝑄 NECESSÁRIA,
EM L/S, COM PRECISÃO DE UMA CASA DECIMAL? PARA A PERDA DE CARGA,
UTILIZE A FÓRMULA MAIS PRÁTICA.
A) 0,0L/s
B)18,3L/s
C) -6,7L/s
D) -23,6L/s
E) 1,0L/s
GABARITO
1. Qual é a única alternativa verdadeira?
A alternativa "C " está correta.
Vamos analisar cada uma das opções:
a) As adutoras ficam antes do reservatório, e o que vem depois dele é chamado de distribuição.
b) As redes malhadas têm maior custo, pois exigem tubulações adicionais para fechar as malhas.
c) Conforme abordado no tópico 1, essa afirmativa está correta.
d) Nos problemas de dimensionamento, ocorre justamente o contrário, pois o engenheiro deve escolher o
diâmetro que atenda às premissas e tenha menor custo.
e) Conforme detalhado no tópico 1, o seu cálculo é feito de maneira direta, através de tabelas.
2. Você foi designado para dimensionar a rede de abastecimento em um loteamento, com previsão
para um total de 250 habitantes. Se o consumo médio per capita da região é de 180L/hab.dia, calcule
a vazão total a ser distribuída em uma rede com abastecimento 8 horas por dia, considerando 𝑘1 =
1,25 e 𝑘2 = 1,50.
A alternativa "A " está correta.
Pela Equação (24):
𝑄𝑑 =
𝑘1 𝑘2𝑃𝑞𝑐
ℎ 3600 =
1,25 ⋅1,50 ⋅250 ⋅180
8 ⋅3600 = 2,9𝐿 / 𝑠
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. O traçado da rede referente à questão anterior totalizou 600m de tubulação, dos quais 20m iniciais
não eram ligados a pontos de consumo. Calcule a vazão em marcha resultante:
A alternativa "D " está correta.
Conforme vimos no tópico 1 (Redes ramificadas), a vazão em marcha é obtida pela divisão da vazão total
distribuída pelo comprimento de tubulação com fornecimento (ligadas aos pontos de consumo):
𝑞𝑚 =
𝑄𝑑
∑ 𝐿 =
2,9
600 - 20 = 0,0050 = 5,0 ⋅ 10
-3 𝐿 / 𝑠𝑚 .
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Ainda sobre a rede das questões anteriores, escolha o diâmetro em um trecho de 200m com ponta
seca:
A alternativa "A " está correta.
Em um trecho com ponta seca, a vazão de jusante é nula (𝑄𝑗 = 0). A vazão distribuída nesse trecho será:
𝑄𝑑𝑖 = 𝑞𝑚 𝐿𝑖 = 0,005 ⋅ 200 = 1,0𝐿 / 𝑠
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Conforme explicado na Tabela 11, a vazão de montante é dada pela soma:
𝑄𝑚 = 𝑄𝑑𝑖 + 𝑄𝑗 = 1,0 + 0 = 1,0𝐿 / 𝑠
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De acordo com a Tabela 12, o menor diâmetro que atende essa vazão é de 50mm.
5. Calcule a perda de carga com fórmula prática no trecho da questão anterior, se ele é de PVC.
Considere que o diâmetro interno é, aproximadamente, igual ao nominal.
A alternativa "E " está correta.
Conforme vimos no Módulo 3 (tópico 2), Equação (19), quando se trata de um trecho com ponta seca
(𝑄𝑗 = 0), a vazão fictícia é calculada por:
𝑄𝑓 =
𝑄𝑚
√3
= 1
√3
= 0,58𝐿 / 𝑠
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Conforme vimos no Módulo 1 (tópico 3), a fórmula mais prática para calcular esse porte de diâmetro é a de
Hazen-Williams, sendo seu coeficiente para PVC 𝐶 = 150 (Tabela 5):
ℎ𝑃 = 10,65
𝐿 𝑄𝑓
1,85
𝐶1,85𝐷4,87
= 10,65200 ⋅0,58 ⋅10
-3 1,85
1501,85 0,0504,87
= 0,45𝑚
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Seja a rede em tubulação de aço novo representada pelo esquemático a seguir.
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
Calculando as vazões pelo método de Hardy Cross, em determinada iteração, as vazões dos trechos
AB, BC, CD e DA são 76,4L/s; 26,4L/s; -18,6L/s e -48,6L/s, respectivamente. Qual é a correção Δ𝑄
necessária, em L/s, com precisão de uma casa decimal? Para a perda de carga, utilize a fórmula mais
prática.
A alternativa "A " está correta.
CÁLCULO ITERATIVO DE REDES MALHADAS
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
A topologia da rede mista de distribuição de água em um pequeno município é representada na figura a
seguir.
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
A rede possui as seguintes características:
tubulação em PVC;
consumo per capita de 180L/hab.dia;
coeficiente de dia e hora de maior consumo de 1,20 e 1,50, respectivamente;
fornecimento em 10 horas por dia;
2.000 habitantes abastecidos por vazão em marcha ao longo dos tubos representados por linhas
tracejadas;
perda de carga entre o reservatório e o ponto A desprezível;
cotas dos pontos na tabela a seguir:
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
os diâmetros da rede malhada (HIJK) estão indicados na figura;
um estudo de área abrangida por cada ponto da rede malhada mostrou que as vazões 𝑄𝐻 , 𝑄𝐼 , 𝑄𝐽 e 𝑄𝐾
são 4,0; 2,0; 12,0 e 6,0L/s, respectivamente.
Calcule as vazões em todos os trechos da rede e determine qual deve ser a cota 𝑧𝑅 para que a pressão
mínima na rede seja de 12m.c.a.
SOLUÇÃO
CÁLCULO DE REDES MISTAS
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. A REDE DE DISTRIBUIÇÃO EM UM BAIRRO, REPRESENTADA PELA FIGURA A
SEGUIR, POSSUI AS SEGUINTES CARACTERÍSTICAS:
- MATERIAL DA TUBULAÇÃO: PVC;
- CONSUMO MÉDIO PER CAPITA: 180L/HAB.DIA;
- COEFICIENTES DE DIA E HORA DE MAIOR CONSUMO: 1,20 E 1,50;
- HORAS DE FUNCIONAMENTO POR DIA: 10 HORAS;
- POPULAÇÃO ATENDIDA: 2.000 HABITANTES;
- DISTRIBUIÇÃO EM MARCHA NOS TRECHOS AB, BC E BD;
- CONSUMO DE 12L/S DE UMA INDÚSTRIA LIGADA AO PONTO D.
IMAGEM: GABRIEL DE CARVALHO NASCIMENTO
DETERMINE QUAL DEVE SER A COTA DO RESERVATÓRIO R PARA QUE A CARGA
MÍNIMA DE PRESSÃO SEJA DE 15M.C.A.:
A) 95,2m
B) 80,2m
C) 75m
D) 15,1m
E) 105,1m
2. A REDE DE DISTRIBUIÇÃO EM UM CONDOMÍNIO, FEITA COM TUBOS DE PVC, É
REPRESENTADA PELO ESQUEMÁTICO DA FIGURA A SEGUIR. AS VAZÕES
FORNECIDAS PELOS PONTOS A, B E C SÃO 4,0L/S; 2,0L/S E 5,0L/S,
RESPECTIVAMENTE. A PERDA DE CARGA ENTRE R E A É DESPREZÍVEL.
IMAGEM: GABRIEL DE CARVALHO NASCIMENTO
CALCULE DE MANEIRA PRÁTICA A CARGA DE PRESSÃO NO PONTO C:
A) 17m.c.a.
B) 10,8m.c.a.
C) 15m.c.a.
D) 23,2m.c.a.
E) 26m.c.a.
GABARITO
1. A rede de distribuição em um bairro, representada pela figura a seguir, possui as seguintes
características:
- material da tubulação: PVC;
- consumo médio per capita: 180L/hab.dia;
- coeficientes de dia e hora de maior consumo: 1,20 e 1,50;
- horas de funcionamento por dia: 10 horas;
- população atendida: 2.000 habitantes;
- distribuição em marcha nos trechos AB, BC e BD;
- consumo de 12L/s de uma indústria ligada ao ponto D.
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
Determine qual deve ser a cota do reservatório R para que a carga mínima de pressão seja de
15m.c.a.:
A alternativa "E " está correta.
A vazão total distribuída é dada pela Equação (24):
𝑄𝑑 =
𝑘1 𝑘2𝑃𝑞𝑐
ℎ 3600 =
1,2 ⋅1,50 ⋅2000 ⋅180
10 ⋅3600 = 18𝐿 / 𝑠
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E a vazão em marcha será:
𝑞𝑚 =
𝑄𝑑
∑ 𝐿𝑖
= 18100 + 110 + 90 = 0,060𝐿 / 𝑠𝑚
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Seguindo os passos descritos na Tabela 11, assim como resolvido no exemplo do tópico 1, teremos a tabela
a seguir:
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
Ressalta-se que, no trecho BD, em vez de termos uma ponta seca (𝑄𝑗 = 0), há um consumo concentrado de
12L/s.
Analisando a carga de pressão (colunas N e O), observamos os pontos com menor carga de pressão, que,
de acordo com o enunciado, deverá ser igual a 15m.c.a.:
𝑧𝑟 - 90,1 = 15 → 𝑧𝑟 = 105,1𝑚
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. A rede de distribuição em um condomínio, feita com tubos de PVC, é representada pelo
esquemático da figura a seguir. As vazões fornecidas pelos pontos A, B e C são 4,0L/s; 2,0L/s e
5,0L/s, respectivamente. A perda de carga entre R e A é desprezível.
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
Calcule de maneira prática a carga de pressão no ponto C:
A alternativa "B " está correta.
Trata-se de uma rede malhada cuja solução foi abordada no tópico 2, através do método de Hardy Cross.
O primeiro passo é arbitrar valores de vazão para a iteração inicial que respeitem o 1º Princípio, obtendo
soma nula de vazões em um nó. Depois,devemos calcular a correção necessária, conforme a Equação (27):
𝛥𝑄 =
- ∑𝛥𝐻𝑎, 𝑖
𝑛 ∑𝛥𝐻𝑎, 𝑖 / 𝑄𝑎, 𝑖
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O cálculo mais prático da perda de carga é através da Equação de Hazen-Williams (10),
ℎ𝑝 = 10,65𝐿 𝑄
1,85 / 𝐶1,85 𝐷4,87 , onde 𝐶 = 150 (PVC − Tabela 5). Sendo assim, na Equação (27), 𝑛 = 1,85
(expoente da vazão).
Partindo de valores arbitrados de 4, 2 e -3L/s para os trechos AB, BC e CA, respectivamente, o cálculo do
método iterativo é apresentado na tabela a seguir:
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
Respeitando a NBR 12216, a convergência foi considerada quando Δ𝑄 < 0,1L/s.
Para calcular a pressão no ponto C, aplicaremos a equação da energia entre R e C:
𝑝𝑅
𝛾 +
𝑉𝑅
2
2𝑔 + 𝑧𝑅 =
𝑝𝐶
𝛾 +
𝑉𝐶
2
2𝑔 + 𝑧𝐶 + ℎ𝑃𝑅𝐶
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A pressão na superfície do reservatório é atmosférica (manométrica nula) e 𝑉2 / 2𝑔 ≅ 0. De acordo com o
enunciado, Δ𝐻𝑅𝐴 = 0, então, será contabilizada apenas a perda entre A e C, já calculada na tabela anterior:
𝑝𝐶
𝛾 = 𝑧𝑅 - 𝑧𝐶 - ℎ𝑃𝐴𝐶 = 26 - 9 - 6,2 = 10,8𝑚 . 𝑐 .𝑎 .
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CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Iniciamos este estudo com a definição de escoamento em condutos forçados, em que tratamos de diversas
aplicações de tubulações na engenharia. Vimos que o cálculo da perda de carga é fundamental para prever
as pressões ou vazões em redes e que há diferentes métodos para isso, dependendo da praticidade e da
precisão necessária.
Mostramos o quanto a análise gráfica pode ser útil para a avaliação do comportamento de sistemas em
diferentes cenários. Por fim, aplicamos os conceitos abordados para o cálculo de redes de distribuição de
água.
Este conteúdo oferece, portanto, o conhecimento básico necessário aos engenheiros habilitados para
projetos de redes hidráulicas.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
AZEVEDO NETTO, J. M.; FERNANDEZ, M. F.; ARAÚJO, R.; ITO, A. E. Manual de hidráulica. São Paulo:
Blucher, 1998.
BAPTISTA, M. B.; COELHO, M. M. L. P.; CIRILO, J. A.; MASCARENHAS, F. C. B. (Orgs.). Hidráulica
aplicada. 2. ed. Porto Alegre: ABRH, 2003.
CHADWICK, A. Hidráulica para engenharia civil e ambiental. 5. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2017.
COUTO, L. M. M. Elementos da hidráulica: com EPANET e HEC-RAS. Rio de Janeiro: GEN-LTC, 2018.
HOUGHTALEN, R. J. Engenharia hidráulica. 4. ed. São Paulo: Pearson, 2012.
PORTO, R. M. Hidráulica básica. São Paulo: SEESC-USP, 2004.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos estudados, leia os artigos:
Perda de carga localizada em gotejadores integrados em tubos de polietileno, de Anthony W. A.
Gomes, José A. Frizzone, Osvaldo R. Neto e Jarbas H. de Miranda.
Using EPANET for modelling water distribution systems with users along the pipes, de Giulia Farina,
Enrico Creaco e Marco Franchini.
Use of Granados method for looped hydraulic network optimization, de Antonio F. Leal e Heber P.
Gomes.
Pesquise na internet:
Instalações hidráulicas prediais.
Redes de distribuição.
Irrigação.
Eclusas.
Sistemas de tubulações em grandes aquários.
Redes de água gelada para refrigeração.
Redes de resfriamento em processos industriais.
Oleodutos.
CONTEUDISTAS
Gabriel de Carvalho Nascimento
 CURRÍCULO LATTES
Elson Antonio do Nascimento
 CURRÍCULO LATTES
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