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<p>Uma solução analítica para o clássico problema do</p><p>caçador e o macaco</p><p>Neri Luiz von Holleben Afonso Henriques Silva Leite</p><p>13 de outubro de 2015</p><p>Resumo</p><p>O problema do caçador e o macaco, e suas variantes, tem sido utilizado há muitos anos nos</p><p>manuais de Física para ilustrar o efeito do campo de aceleração gravitacional homogêneo e</p><p>constante exercido pela Terra nos corpos próximos a sua superfície. É comum os autores de</p><p>manuais de Física, tanto no ensino médio, como no superior, evitar o tratamento analítico</p><p>deste problema, que na verdade, é muito mais interessantes devido a sua generalidade. Este</p><p>artigo visa, portanto, apresentar uma resolução analítica elegante e acessível ao estudante</p><p>curioso do ensino médio possibilitando o seu aprimoramento conceitual e matemático assim</p><p>como fornecer um material pelo qual o professor poderá utilizar em sala de aula através do</p><p>Método ABP (Aprendizagem Baseada em Problemas).</p><p>Palavras-chaves: cinemática. balística. lançamento oblíquo. queda livre.</p><p>Introdução</p><p>O problema do caçador e o macaco, e suas</p><p>variantes, tem sido utilizado há muitos anos</p><p>nos manuais de Física para ilustrar o efeito do</p><p>campo de aceleração gravitacional homogêneo e</p><p>constante exercido pela Terra nos corpos próxi-</p><p>mos a superfície da mesma. Eis o seu enunciado:</p><p>“Um macaco está dependurado em</p><p>um dos galhos de uma árvore. Um</p><p>caçador aponta seu rifle em direção</p><p>ao macaco. No instante que o ca-</p><p>çador puxa o gatilho, o macaco se</p><p>assusta com o som, larga o galho, e</p><p>cai da árvore. A questão é: a bala</p><p>ainda acertará o macaco? Se não,</p><p>onde o caçador poderia ter apontado</p><p>a arma para acertar o macaco?”</p><p>Figura 1 – Configuração do problema do caça-</p><p>dor e o macaco. Fonte: manual de</p><p>laboratório da UCLA</p><p>Resultados e discussão</p><p>Como é de praxe de muitos autores de livros</p><p>didáticos, o mesmo deixa para o estudante, por</p><p>1</p><p>uma questão de simplicidade de enunciado, que</p><p>o mesmo suponha que tudo está sob condições</p><p>ideais: a mira e a arma são perfeitas, o som é ou-</p><p>vido instantâneamente pelo macaco, a reação do</p><p>macaco é instantânea, não há vento, etc. Inicial-</p><p>mente, o problema deve ser tratado de maneira</p><p>mais simples possível, desta forma, vamos consi-</p><p>derar os objetos como pontos materiais como se</p><p>toda a sua massa estivesse concentrada no cen-</p><p>tro de massa dos mesmos. Considerando tudo</p><p>isso, o problema passa a ter status de “Gedanke-</p><p>nexperiment” ou “toy model”, isto é, um experi-</p><p>mento mental útil para testar as consequências</p><p>teóricas partido-se de certas hipóteses e uma</p><p>dada teoria considerada.</p><p>Por inspeção da Fig.1, já pode-se identificar</p><p>que haverá uma deflexão negativa da direção</p><p>inicial do projétil em relação a direção original</p><p>conforme o projétil avança, fazendo-nos con-</p><p>siderar plausível que a bala acerte o macaco</p><p>durante a queda. Também por inspeção, temos</p><p>explicitados pela trajetória dos mesmos, que</p><p>há dois regimes de movimento bem conhecidos</p><p>para estes corpos, nomeadamente:</p><p>Lançamento oblíquo para o projétil</p><p>Queda livre para o macaco</p><p>Começamos então por esquematizar o pro-</p><p>blema buscando as suas grandezas de fácil</p><p>acesso experimental na situação inicial e final. à</p><p>partir daqui, por conveniência, não vamos mais</p><p>nos referir mais aos corpos específicos e sim</p><p>aos pontos materiais correspondentes a estes</p><p>corpos (por isso é denominada "Mecânica da</p><p>Partícula"). Assim temos que:</p><p>Projétil → Ponto material 1 (PM 1)</p><p>Macaco → Ponto material 2 (PM 2)</p><p>Na situação inicial, temos que o PM 1 pos-</p><p>sui uma velocidade inicial ~vo e faz um ângulo</p><p>de medida θ em relação a horizontal. A distân-</p><p>cia horizontal até o PM 2 é de D e a altura</p><p>é H. Podemos então construir um triângulo</p><p>retângulo conforme ilustra a Fig. 2.</p><p>��</p><p>θ</p><p>~vo</p><p>PM 2</p><p>PM 1</p><p>D</p><p>H</p><p>x</p><p>y g</p><p>Figura 2 – Geometria da situação inicial com</p><p>o projétil e o macaco em forma de</p><p>pontos materiais.</p><p>Da Fig. 2, obtemos a eq. (1):</p><p>H = D tg θ (1)</p><p>Em uma primeira abordagem, podemos sim-</p><p>plesmente determinar como cada cordenada do</p><p>corpo varia com o tempo e comparar as ex-</p><p>pressões da coordenada y do PM 1 com o da</p><p>coordenada y do PM 2, se forem iguais após</p><p>um certo tempo t então eles estarão no mesmo</p><p>espaço e tempo.</p><p>Uma abordagem mais interessante, , serua</p><p>supor que o PM 2 tenha avançado uma distância</p><p>λ em relação ao ponto em que o PM 1 teria in-</p><p>terceptado o PM 2 se caísse mais devagar. Veja</p><p>a Fig. 3. Tal construção, permite-nos obter a</p><p>equação crucial do problema:</p><p>|∆y| = (H − h) + λ (2)</p><p>Que resolvendo para λ fica:</p><p>λ = |∆y| − H + h (3)</p><p>De onde podemos distinguir matematica-</p><p>mente três situações distintas e suas respectivas</p><p>interpretações físicas:</p><p>λ = 0 → PM 1 atinge PM 2</p><p>λ < 0 → PM 1 passa por cima de PM 2</p><p>λ > 0 → PM 1 passa por baixo de PM 2</p><p>Uma simples equação, leva a um desdobra-</p><p>mento de 3 realidades possíveis. A beleza na</p><p>argumentação consiste justamente na flexibiliza-</p><p>ção de possibilidades e depois, dado os regimes</p><p>de movimento considerados, concluir analítica-</p><p>mente que só poderá acontecer uma, e somente</p><p>uma, das possibilidades para λ.</p><p>D</p><p>H</p><p>h</p><p>H − h</p><p>∆y</p><p>λ</p><p>x</p><p>y</p><p>g</p><p>Figura 3 – Geometria da situação final com o</p><p>PM 2 supostamente além do ponto</p><p>em que seria interceptado pelo PM</p><p>1.</p><p>Deste modo, temos que o problema de saber</p><p>se o caçador acerta ou não, se resume em saber</p><p>se o valor do escalar λ será nulo ou não através</p><p>da eq. (3).</p><p>Para o PM 1, temos:</p><p>h = voyt −</p><p>gt2</p><p>2</p><p>(4)</p><p>D = voxt (5)</p><p>Para o PM 2, para o mesmo instante t, te-</p><p>mos que:</p><p>|∆y| =</p><p>gt2</p><p>2</p><p>(6)</p><p>Substituindo (5) em (1), obtemos:</p><p>H = vox t tg θ</p><p>= vo cos θ</p><p>sen θ</p><p>cos θ</p><p>= voyt (7)</p><p>Logo, de (6), (7) e (4) em (3) temos que</p><p>λ =</p><p>gt2</p><p>2</p><p>− voyt + voyt −</p><p>gt2</p><p>2</p><p>∴ λ = 0</p><p>O resultado, não causa o frisson que o expe-</p><p>rimento da queda de dois corpos com diferentes</p><p>pesos que fora demonstrada pela famosa ex-</p><p>periência de Galileu Galilei na Torre de Pisa,</p><p>mas é bastante interessante se pensarmos na</p><p>sua generalidade. O projétil sempre acertará</p><p>o macaco independente da magnitude da velo-</p><p>cidade inicial e da gravidade. Outra maneira</p><p>interessante de resolver o problema é imaginar</p><p>que a gravidade pudesse ser desligada durante</p><p>o experimento, sabemos que a bala seguirá em</p><p>linha reta através da 1a Lei de Newton, ora, isto</p><p>é equivalente a colocar o sistema de referência</p><p>no macaco com a gravidade ligada, logo, a bala</p><p>acertará o macaco independente da magnitude</p><p>da velocidade e da gravidade.</p><p>Dada a crescente importância da interdis-</p><p>ciplinaridade em nossa época pelos exames na-</p><p>cionais, nomeadamente o ENEM, julgamos ser</p><p>muito importante fazer uma digressão histórica</p><p>e filosófica sobre o assunto discutido. Podemos,</p><p>por exemplo, salientar a autoridade que as equa-</p><p>ções possuem em determinar se uma situação</p><p>se concretizará ou não e que essa maneira de</p><p>pensar estava longe de ser comum na época de</p><p>Galileu, aproveita-se também para fazer uma</p><p>reflexão sobre o nascimento da Física Moderna</p><p>com Galileu e sua famosa frase.</p><p>“A Filosofia [Ciência] está escrita</p><p>neste grande livro, o Universo, que</p><p>está permanentemente aberto e ao</p><p>alcance do nosso olhar. Mas o li-</p><p>vro não pode ser compreendido sem</p><p>antes aprendermos a linguagem e</p><p>os caracteres em que está escrito.</p><p>A linguagem é a Matemática, e os</p><p>caracteres são triângulos, círculos</p><p>e outras figuras geométricas, sem</p><p>as quais é humanamente impossível</p><p>compreender uma única palavra.”</p><p>Considerações finais</p><p>O tratamento analítico fornecido neste ar-</p><p>tigo para do problema do caçador e o macaco,</p><p>faz jus a todas as horas de estudos matemáticos</p><p>sobre simplificação e resolução de expressões e</p><p>equações algébricas que o aluno vem fazendo</p><p>desde a sexta série, além de prover o aluno</p><p>de uma análise mais genérica e interessante,</p><p>permitindo-o, assim, fantasiar situações inédi-</p><p>tas em que poderia obter a mesma previsão para</p><p>λ. Além disso, pode-se vislumbrar alguns refi-</p><p>namentos do problema tais como considerar o</p><p>macaco como um corpo extenso unidimensional</p><p>de um certo tamanho vertical “a” e também</p><p>relaxar algumas restrições feitas inicialmentes</p><p>aumentando</p><p>o grau de liberdade do problema</p><p>tornando λ uma funçao do vento, do tempo de</p><p>reação do macaco, etc</p>