E4_MATF

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Ricardo Cintra
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
E-book 4
Neste E-Book:
INTRODUÇÃO ����������������������������������������������������������� 3
SÉRIES DE PAGAMENTOS ������������������������������������ 5
ANUIDADES POSTECIPADAS ������������������������������ 8
Anuidades postecipadas e não diferidas ��������������������������������8
Anuidades postecipadas e diferidas �������������������������������������13
ANUIDADES ANTECIPADAS ������������������������������24
PERPETUIDADES ��������������������������������������������������� 33
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS ����������������������������39
CONSIDERAÇÕES FINAIS ���������������������������������� 44
SÍNTESE ��������������������������������������������������������������������45
2
INTRODUÇÃO
Neste e-book de Matemática Financeira estudaremos 
as Séries de Pagamentos, também conhecidas por 
Anuidades, assunto bastante relevante para quem 
pretende atuar em finanças, desde as funções de 
ingresso na área até as mais elevadas� Sim, com-
preender as séries é útil porque esse conhecimento 
é necessário em todos os níveis de uma organização, 
para um profissional de finanças. Também neste e-
-book, será muito útil que você não deixe de aproveitar 
a oportunidade para compreender alguns aconteci-
mentos com os quais, talvez, você já tenha se depa-
rado, tratando de assuntos do lar, da família e seus�
Inicialmente você poderá compreender as diferen-
ças entre pagamentos/recebimentos “com entrada” 
e “sem entrada”. Você já ouviu essas expressões? 
Certamente sua resposta é sim! E de pagamentos/
recebimentos que serão vitalícios, isto é, “para toda a 
vida”, você já teve alguma aproximação, mesmo que 
pela TV? Agora, operações (empréstimos bancários, 
por exemplo) “com carência” e “sem carência” são 
tão comuns que é quase impossível que você não 
tenha se aproximado de uma operação desse tipo, 
mesmo que sem perceber� Por um comercial de veí-
culo na TV você passa a saber que o carro “tal” está à 
venda em 40 parcelas, mas a primeira delas somente 
vencerá 90 dias após a compra. Tem-se, nesse caso, 
a aplicação de uma série uniforme “com carência”. 
Você estudará isso.
3
Concluindo o e-book, você estudará a “equivalência 
de capitais”, tópico que pode ser aplicado em uma 
situação de negociação de formas de pagamento/
recebimento. Nessas situações, você vê chamadas 
comerciais semelhantes a “aqui o cliente diz como 
quer pagar”, “o melhor plano de pagamento é o que 
você propõe” etc. Certamente os detalhes serão 
muitos, mas da maneira como serão apresentados 
a você, estou certo de que seu aproveitamento será 
excelente. Vamos ao trabalho?
4
SÉRIES DE PAGAMENTOS
As séries, ou anuidades, embora muito comumen-
te sejam intituladas “de pagamentos”, poderão ser, 
também, “de recebimentos”, dependendo do lado 
da negociação em que o observador esteja. Não é 
comum ler “séries de recebimentos” em algum tex-
to, então esteja preparado para resolver problemas 
que envolvam recebimentos da empresa que você 
representa a partir de manuais que tratem de “série 
de pagamentos”. Talvez por isso o termo “anuidades” 
seja prevalente no meio corporativo�
Existem vários tipos de anuidades, haja vista os 
eventos financeiros que as compõem poderem ter 
características bem diferentes também� Assim é que, 
antes de qualquer outra coisa, é necessário conhecer 
a multiplicidade de possibilidades, no que se refere 
aos eventos financeiros que, juntos, constituirão anui-
dades. Tempo de conhecer as categorias de eventos, 
quanto a: 1) valor, 2) periodicidade, 3) quantidade, 4) 
época das ocorrências, se no início de cada período 
ou no seu final, e 5) existência ou não de período de 
carência� Analisemos, em detalhes, essas diversas 
possibilidades�
1. Se o critério for o valor de cada evento, as anui-
dades poderão ser uniformes, se todos os eventos 
tiverem o mesmo valor, e não uniformes, se houver 
ao menos um evento com valor diferente dos demais�
2. A periodicidade dos eventos diferenciará uma 
anuidade periódica, em que há homogeneidade dos 
5
intervalos, de outra não periódica, na qual haja ao 
menos um intervalo diferente dos demais�
3. Quantidade dos eventos, se limitada a um prazo 
ou não, determinará se uma anuidade é finita ou in-
finita, respectivamente�
4. Se os eventos ocorrerem no início de cada perío-
do, a anuidade será dita antecipada. Note que o início 
do primeiro período é o “momento” de contratação 
da operação a que se refere a anuidade. Em uma 
operação comercial de varejo, seria o caso de um 
parcelamento “com entrada”. Se os eventos ocorre-
rem no final de cada um dos períodos, a anuidade 
deverá ser considerada postecipada�
5. Anuidade que tenha algum tempo de carência, 
isto é, tenha o primeiro evento ocorrendo em inter-
valo maior que um período, após a contratação da 
operação, serão chamadas de diferidas� Aquela cujo 
primeiro evento ocorra no primeiro período (sem im-
portar se no seu início ou no seu fim) será uma anu-
idade não diferida�
A partir deste ponto, cada um dos tipos de anuida-
de será apresentado, analisado, em seus detalhes, 
mas, antes de se iniciar o estudo propriamente dito, 
é interessante que sejam conhecidas a simbologia 
e os modelos gráficos que serão utilizados. Observe 
atentamente o diagrama seguinte, um diagrama de 
fluxo de caixa (DFC), que representa uma anuidade 
genérica, em que:
PV = Valor presente (Nesse caso, um recebimento; 
pode representar um empréstimo bancário)
6
i = Taxa de juros da operação
Linha horizontal, com escala numerada “0” a “N” = 
Linha de tempo em que ocorre a operação. “0” é o 
momento da contratação e início do primeiro período; 
1 é o fim do primeiro período e início do segundo; 2 
é o fim do segundo período e início do terceiro; N é 
o fim do enésimo período.
PMT = Valor de cada um dos eventos financeiros, 
nesse caso iguais e negativos, portanto, pagamentos 
sequenciais�
Figura 1: Diagrama de fluxo de caixa de anuidade genérica. 
Fonte: Elaboração própria.
7
ANUIDADES POSTECIPADAS
Esse é o tipo mais comumente visto. Os pagamentos 
ou recebimentos ocorrerão no fim de cada período.
Anuidades postecipadas 
e não diferidas
Vamos imaginar um empréstimo bancário no valor 
de R$200�000,00, contratado pelo prazo de 6 meses, 
à taxa efetiva de 2,5% a.m. O banco espera rece-
ber 6 parcelas iguais e sucessivas, vencendo-se a 
primeira 30 dias após a contratação. O DFC dessa 
operação seria:
Figura 2: Diagrama de fluxo de caixa para empréstimo 
de 200 mil e prazo de 6 meses à taxa de 2,5% a.m. Fonte: 
Elaboração própria.
8
E qual seria o valor de cada uma das parcelas? A 
resposta virá com a aplicação da relação:
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 =
𝑃𝑃𝑃𝑃[𝑖𝑖(1 + 𝑖𝑖+)
[ 1 + 𝑖𝑖 + − 1]
Substituindo-se os valores conhecidos, chega-se 
ao valor de cada uma das 6 parcelas (PMT), assim:
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 =
200.000[0,025 1+ 0,025 -]
[ 1 + 0,025 -− 1]
= 36.309,99
Note que, a partir dessa relação, você terá três outras 
possibilidades de soluções para problemas, nesta 
mesma classificação de anuidades. Você poderá ob-
ter valores de PV e N por meio das relações a seguir:
𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃×
1− 1+ 𝑖𝑖 +,
𝑖𝑖 
𝑁𝑁 = −
𝐿𝐿𝑁𝑁 1 − 𝑃𝑃𝑃𝑃×𝑖𝑖𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃
𝐿𝐿𝑁𝑁(1 + 𝑖𝑖)
Se o seu objetivo, entretanto, for obter o valor de 
i a partir das outras variáveis, as notícias não são 
muito boas� Algebricamente, você só conseguirá 
o que pretende pelos processos de 1) “tentativa e 
erro”, bastante penoso, impreciso e, por isso mes-
mo, abandonado há tempos, e 2) interpolação linear, 
9
muito demorado e até pouco justificável em dias 
atuais. Nesse caso, em particular (cálculo do valor 
de i), o mais sensato é recorrer à tecnologia e utilizar 
calculadoras financeiras e softwares para soluções 
de problemas financeiros. Uma das calculadoras 
financeiras mais utilizadas por estudantes e profis-
sionais é a HP12C� Somente por isso, apresenta-se 
a solução baseada nesse equipamento. Segue um 
passo a passo para o cálculo de “i”, conhecidos o 
valor atual ou presente (PV), prazo da operação(N) 
e valor da anuidade (PMT):
1. Certifique-se de que, no visor (próximo ao centro), 
não aparece a palavra “BEGIN”, mas se ela estiver lá, 
pressione as teclas g e 8 e ela desaparecerá�
2. Pressione as teclas f e CLX (esse procedimento 
é cautelar, pelo que é desejável antes de toda nova 
sequência de cálculos; assim se apaga o conteúdo de 
todos os registradores da calculadora, evitando que 
você faça um cálculo, utilizando dados armazenados 
de cálculos anteriores e, pior, sem perceber)� Agora, 
pode-se começar o cálculo de “i”.
3. Pressione (teclas) ou insira (números)
200�000 PV
6 N
10
36�309,99 CHS PMT (Obs.: a tecla CHS altera o sinal 
algébrico do número inserido; note que, depois de 
pressioná-la, 36.309,99 foi alterado para (-) 36.309,99, 
como deve ser, afinal é valor de pagamentos.)
i → Visor mostrará 2,5 (a taxa de juros que se busca-
va conhecer) ou número próximo, com várias casas 
decimais� Se você pressionar f e 2, o número será 
exibido com duas casas decimais, f e 3 provocarão 
exibição do resultado com três casas decimais e 
assim por diante�)
Ainda se tratando das anuidades postecipadas e 
não diferidas, há uma aplicação muito interessante 
(diante de sua grande utilidade) a apresentar: a for-
mação de capital ou acumulação�
Agora, em nosso exemplo, não consideraremos em-
préstimo, mas a intenção de um investidor de reunir, 
em época futura e prazo conhecido, uma certa soma� 
Vamos observar como é isso?
Suponha que você deseje comprar um bem daqui a 
4 meses, à vista. Hoje você não dispõe do dinheiro 
necessário, mas tem possibilidade de fazer depósi-
tos mensais, de tal forma que no final dos 4 meses 
possa fazer sua compra. O DFC representativo dessa 
operação seria:
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Figura 3: Diagrama de fluxo de caixa para operação suge-
rida� Fonte: Elaboração própria.
Seu objetivo, agora, é descobrir o valor mensal (PMT) 
que você deverá reservar de tal forma que se suas 
reservas forem aplicadas à taxa “i”, no final do prazo 
e logo após o último depósito, você tenha reunido o 
montante (S) desejado. A solução é simples e pode 
ser obtida com o uso da relação.
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑆𝑆×
𝑖𝑖
1 + 𝑖𝑖 * −1
Então, se seu objetivo for reunir R$8�000,00 nos 
“próximos” 4 meses, fazendo depósitos mensais 
remunerados a 0,5% a.m., cada depósito deverá ter 
o valor de PMT, a ser obtido após a substituição dos 
dados da operação. Assim:
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Pode ser que você esteja inseguro com o resultado 
encontrado, então, o que acha de verificar se o valor 
pretendido será de fato obtido com os 4 depósitos, 
iguais e sucessivos, de R$1.985,06? O valor de capital 
acumulado (montante S) pode ser obtido com uso 
da relação:
𝑆𝑆 = 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃×
1 + 𝑖𝑖 * −1
𝑖𝑖
Fazendo-se a verificação:
É comprovado, então, o valor dos 4 depósitos (PMT) 
a fazer. Você, agora, pode ficar tranquilo e consti-
tuir sua reserva (S) para fazer sua compra daqui a 
4 meses�
Anuidades postecipadas e diferidas
O termo diferimento, entre outros significados, tem 
o de adiamento, retardo. Diferir, portanto, pode ter o 
significado de adiar, transferir para momento pos-
terior etc. No contexto de aplicação da Matemática 
13
Financeira, é exatamente esse o conceito que se con-
sidera� Passamos a tratar de anuidades diferidas, 
mas por que “diferidas”? Porque há no estudo dessas 
séries algumas, ou muitas, oportunidades para se 
considerar, avaliar e calcular efeitos de adiamentos� 
Adiamentos de quê? Dos eventos financeiros.
Quando você estudou o primeiro tipo de série unifor-
me postecipada, não diferida, o que você conheceu 
foi um modelo de série em que o primeiro evento 
(PMT) ocorre no final do primeiro período (t=1), re-
petindo-se a intervalos idênticos, sem interrupção, 
até o fim do último período. O primeiro modelo que 
você conheceu foi, portanto, esse:
Figura 4: Diagrama de fluxo de caixa para operação suge-
rida� Fonte: Elaboração própria.
Esse DFC se referiu a uma operação de crédito no va-
lor de R$200�000,00, a ser paga em 6 parcelas iguais 
e sucessivas, sob juros contratuais de 2,5% a.m., cuja 
primeira parcela deveria vencer ao final do primeiro 
período (t=1), como mostra o diagrama antecedente. 
14
Sem muitasw explicações, por enquanto (somente 
por enquanto), você vai conhecer, já, o DFC dessa 
mesma operação (quase a mesma!), se o primeiro 
pagamento fosse programado para o final do terceiro 
período (t=3). Observe o que aconteceria:
Figura 5: Diagrama de fluxo de caixa para operação suge-
rida� Fonte: Elaboração própria.
O que aconteceu? Vamos entender.
A operação continua se referindo a um empréstimo 
de R$200.000,00. O número de parcelas continua o 
mesmo, isto é, seis; a taxa de juros não foi alterada 
(2,5 % a.m.). Entretanto, o DFC está diferente e o valor 
das parcelas também. O motivo dessas diferenças 
é que essa segunda série é diferida, enquanto a an-
terior (aquela primeira) não o é.
Uma série postecipada tem seu primeiro pagamento/
recebimento em t=1. Esse DFC mais recente represen-
ta uma série cujo primeiro pagamento/recebimento 
ocorre em t=3, ou seja, dois períodos depois do que 
15
seria, digamos, “normal”. Para compreensão, pode-se 
dizer que o início dos pagamentos/recebimentos foi 
“atrasado”, “adiado” por dois períodos e é exatamente 
esse adiamento por dois períodos que será aqui con-
siderado um “diferimento por 2 períodos”. Deverá ser 
entendido, então, que uma série diferida é aquela em 
que a primeira parcela ocorre em t > 1, isto é, a partir de 
t=2. Observe os DFCs a seguir, que servem ao propó-
sito de evitar um engano bastante comum aos que se 
iniciam nestes estudos: confundir o primeiro período 
da operação com parte do período de diferimento.
Exemplo 1 – Série uniforme postecipada, com dife-
rimento de um período�
Figura 6: Diagrama de fluxo de caixa para série unifor-
me postecipada, com diferimento de um período� Fonte: 
Elaboração própria.
Exemplo 2 – Série uniforme postecipada, com dife-
rimento de dois períodos.
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Figura 7: Diagrama de fluxo de caixa para série uniforme 
postecipada, com diferimento de dois períodos� Fonte: 
Elaboração própria.
A observação atenta dos dois exemplos anteceden-
tes permite-nos concluir que o primeiro período não 
faz parte de diferimento algum; em vez disso, qual-
quer diferimento será contado depois dele (a partir 
de t=2), excluindo-o, portanto� No exemplo 1, o defe-
rimento é de apenas 1 período (d = 1), enquanto no 
segundo o deferimento é de 2 períodos (d=2).
Para apresentar, em detalhes, as anuidades diferi-
das, a operação que servirá de base será: aplicação 
financeira no valor de R$50.000,00, sob taxa de 0,3% 
a.m. Instituição financeira pagará, a seu investidor, 
principal e juros, em cinco parcelas, ocorrendo a pri-
meira no final do terceiro mês após o depósito. Qual 
deverá ser o valor de cada parcela a ser recebida 
pelo investidor?
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Primeira providência, sempre, elaborar o DFC da 
operação:
Figura 8: Diagrama de fluxo de caixa para operação suge-
rida� Fonte: Elaboração própria.
Momento de conhecermos a 1ª relação das anuida-
des diferidas, que permite calcular o valor das parce-
las (PMT), conhecidas as outras variáveis. Presença 
estreante neste estudo é o expoente “d”, que é o 
número de períodos de diferimento da série�
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑃𝑃𝑃𝑃 1 + 𝑖𝑖) ×
𝑖𝑖
1 − 1 + 𝑖𝑖 ,-
Antes de passarmos para os cálculos, um lembrete 
sobre diferimento: o primeiro período jamais faz parte 
do diferimento! Nessa operação-modelo, os paga-
mentos ao investidor terão início no final do terceiro 
18
período, isto é, 2 períodos além do primeiro, então são 
2 os períodos de diferimento (d = 2). Agora podemos 
passar aos cálculos, com tranquilidade. Vamos lá!
𝑃𝑃𝑀𝑀𝑀𝑀 = 50.000 1+ 0,003 ,×
0,003
1 − 1+ 0,003 /0
= 10.150,81
Tendo sido calculado o valor de cada parcela, já é 
possível completar o DFC de nossa operação-mo-
delo� Assim:
Figura 9: Diagrama de fluxo de caixa para operação-modelo. 
Fonte: Elaboração própria.
Haverá, também, a situação em que o valor presente(PV), valor atual ou, simplesmente, valor da operação 
é desconhecido. Para essa situação, o DFC seria.
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Figura 10: Diagrama de fluxo de caixa para operação-mode-
lo com PV desconhecido. Fonte: Elaboração própria.
A solução para valor da aplicação (PV), conhecidas 
as demais variáveis da operação, virá da relação:
𝑃𝑃𝑃𝑃 = [10.150,81÷ 1+ 0,003. ]×
1− 1+ 0,003 23
0,003
= 50.000,00
E agora vamos tratar de taxas de juros? Neste caso 
em particular (os diferimentos) vem uma oportuni-
dade importante para mais algumas informações 
sobre utilização de calculadoras financeiras.
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Figura 11: Diagrama de fluxo de caixa para operação-mode-
lo com “i” desconhecido. Fonte: Elaboração própria.
Nesse tipo de problema, deparamo-nos com uma 
sequência diferenciada de fluxos de caixa, que não 
começam em t=1 e isso é impeditivo para que se 
calcule a taxa, a partir de PV, FV, PMT etc., na calcu-
ladora eletrônica, como foi feito até aqui� Com essa 
configuração, tem-se que aplicar o conceito de “taxa 
implícita” ou taxa interna de retorno (TIR) da opera-
ção. Vamos analisar como lidar com isso.
Seria bom você já procurar identificar algumas teclas 
na HP12C que serão necessárias:
CF0 = Forma reduzida de Cash Flowzero, ou seja, o mo-
mento de início da operação; equivale ao momento 
(t = 0).
CFj = Forma reduzida de Cash Flowj, ou seja, refere-
-se a todos os fluxos de caixa que não ocorram em 
21
t=0. O índice “j” poderá assumir valores inteiros, su-
periores a zero�
Nj = É uma tecla “de repetição” sucessiva em fluxos 
de caixa; se um número é repetido 5 vezes (j = 5), e 
assim sucessivamente. Você não precisará inseri-
-lo no programa 5 vezes, bastará uma vez, com uso 
dessa tecla, no formato 5 g Nj (o uso da tecla azul 
“g” será necessário todas as vezes em que a função 
que se pretende usar for, também, escrita em azul)�
IRR = Taxa interna de retorno (TIR), com suas iniciais 
na língua inglesa. É uma função escrita em amarelo, 
então, sua utilização deverá ser precedida da tecla 
“f”, amarela.
Vamos, então, colocar os fluxos de caixa da operação 
no programa hospedado pela calculadora HP12C�
Primeiro, o procedimento de segurança operacional: 
apagar todos os registradores → f CLx
50.000 CHS g CF0 (CHS troca o sinal algébrico, 
lembra-se?)
0 g CFj (esse é o fluxo de caixa referente a t = 1, que 
tem valor = 0, mas precisa ser inserido)
2 g Nj (lembra-se da tecla de repetição? O “zero” é 
valor para t = 1 e t = 2, então você pode inserir ape-
nas uma vez o “zero” e informar ao programa que o 
número se repete 2 vezes seguidas)
22
10.150,81 g CFj
5 g Nj
f IRR → 0,3 % a.m. (De fato, construímos essa ope-
ração com a taxa de 0,3 % a.m.)
Chegou a hora de você conhecer as Séries 
Antecipadas�
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23
ANUIDADES ANTECIPADAS
Esse tipo é menos frequente que as postecipadas, 
mas isso não deve ser uma sinalização para você 
atribuir menor importância a essa modalidade, na 
qual os pagamentos ou recebimentos ocorrerão no 
início de cada período�
Recorde a operação que você conheceu, no início 
desses estudos. Seu DFC está reproduzido logo a 
seguir�
Figura 12: Diagrama de fluxo de caixa para operação pos-
tecipada proposta� Fonte: Elaboração própria.
Aquela série foi dita “postecipada” porque os eventos 
financeiros deveriam ocorrer ao final de cada período, 
lembra-se? Pois bem, compare com o DFC a seguir, 
representativo de uma operação com mesmos dados, 
porém com pagamentos/recebimentos ocorrendo 
no início de cada período�
24
Figura 13: Diagrama de fluxo de caixa para operação com 
pagamentos/recebimentos ocorrendo no início de cada pe-
ríodo� Fonte: Elaboração própria.
Note que a quantidade de pagamentos permanece 
a mesma (6), mas o primeiro é esperado para o mo-
mento t = 0, isto é, para o início do primeiro período� 
A diferença, em termos gráficos, é pequena, mas 
financeiramente é bem expressiva, como será visto.
Pode-se aproveitar o DFC mais recente para iniciar 
a demonstração de cada uma das operações com 
anuidades antecipadas, começando pelo cálculo do 
valor de cada uma das parcelas (PMT). A relação a 
ser utilizada é:
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑃𝑃𝑃𝑃×
𝑖𝑖
1 − 1+ 𝑖𝑖 +, ÷ (1 + 𝑖𝑖)
25
Substituindo-se os números já seus conhecidos, 
tem-se:
𝑃𝑃𝑀𝑀𝑀𝑀 = 200.000×
0,025
1 − 1+ 0,025 ./ ÷ 1 +0,025
= 35.424,38
Um valor de parcela menor que o encontrado para a 
anuidade postecipada, para mesmo valor principal, 
prazo e taxa� É esperado que isso corra em anuidades 
antecipadas, parcelas com valor menor, afinal, com a 
“antecipação”, é reduzido o efeito do tempo sobre o 
valor do dinheiro, porque, neste caso, o tempo de de-
volução do empréstimo foi reduzido em um período.
Prosseguindo o estudo sobre as anuidades anteci-
padas, tem-se, agora, o objetivo de conhecer o valor 
atual (valor principal, valor do empréstimo) que deu 
origem ao DFC exibido a seguir:
Figura 14: Diagrama de fluxo de caixa para operação de PV 
desconhecido� Fonte: Elaboração própria.
26
Note que, já na data da contratação (t=0), há uma 
parcela, o que caracteriza, sem qualquer dúvida, que 
a série em questão é antecipada. Valor de parcela 
(PMT) e valor atual (PV) são relacionados por:
𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃×
1− 1+ 𝑖𝑖 +,
𝑖𝑖 ×(1 + 𝑖𝑖)
Conhecidas as demais variáveis, substituindo-as na 
relação, você obterá, sem dificuldades, o valor que 
deu origem às parcelas. Assim:
𝑃𝑃𝑉𝑉 = 35.424,38×
1− 1+ 0,025 01
0,025 × 1+ 0,025
= 200.000,00
Você lembra da poupança planejada para comprar 
aquele objeto de desejo, no futuro? Esse exercício 
de imaginação, mas totalmente realista, foi realizado 
quando o tema eram as anuidades postecipadas� 
É necessário voltar ao assunto, porque, como já é 
possível notar, há uma mudança de sistema “poste-
cipado” para “antecipado” (e vice-versa). A proposta, 
agora, é voltar ao planejamento de poupança (reserva 
financeira) para constituir capital em data futura, 
porém tratando de séries antecipadas�
O contexto é: você decide fazer depósitos mensais 
remunerados, para comprar seu presente para você 
mesmo daqui a 4 meses� Entretanto, o primeiro de-
pósito não será feito de hoje a um mês, mas hoje 
27
mesmo – essa é a grande diferença! Observe o DFC 
da operação:
Figura 15: Diagrama de fluxo de caixa para operação de 
PMT desconhecido. Fonte: Elaboração própria.
Aqui há uma particularidade: somente os depósitos 
são antecipados; o resgate do valor acumulado (S 
ou FV) continuará ocorrendo em t=4, portanto não 
será antecipado para t=3 (aliás, seria interessante 
você observar que o equívoco de imaginar o resga-
te antecipado para t=3 faria com que a aplicação 
financeira fosse feita por três períodos apenas, o que 
alteraria, sem justificativa, e causando mais dano, o 
perfil da operação).
28
Pois bem! Entendidos perfil e contexto da opera-
ção, hora de calcular o valor de cada depósito, de 
tal maneira que em t=4 você tenha o dinheiro para 
sua compra, como planejado. As parcelas (PMT) se 
relacionam com o montante a acumular (S), assim:
𝑃𝑃𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑆𝑆×
𝑖𝑖
1 + 𝑖𝑖 * −1 ÷ (1 + 𝑖𝑖)
Exceto o valor desejado, PMT, todos os demais são 
conhecidos, então, por substituições diretas, pode-
-se concluir esta etapa, calculando o valor de cada 
depósito, dessa maneira:
𝑃𝑃𝑀𝑀𝑀𝑀 = 8.000×
0,005
1 + 0,005 -− 1 ÷ 1+0,005
= 1.975,19
Como tem sido feito até aqui, e para que você con-
tinue com total segurança quanto às informações 
que vem recebendo, o que você acha de verificar a 
operação sob o ponto de vista de um observador que 
conhece o objetivo da operação (acumular capital 
em 4 meses), mas não conhece a meta (acumular 
quanto?); sabe que existe a disponibilidade mensal 
de R$1.975,19 para depósitos e que estes serão re-
munerados a 0,5% a.m.? Para esse observador, o 
DFC disponível seria:
29
Figura 16: Diagrama de fluxo de caixa para operação de S 
ou FV desconhecidos. Fonte: Elaboração própria.
Com as informações disponíveis e a relação:
𝑆𝑆 = 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃×
1 + 𝑖𝑖 * −1
𝑖𝑖 ×(1 +𝑖𝑖)
O valor a ser resgatado, no final do quarto mês, pode 
ser determinado assim:
𝑆𝑆 = 1.975,19×
1+ 0,005 ,− 1
0,005 × 1+ 0,005
= 8.000,00
30
Você percebe, certamente, que os números vão se 
confirmando conforme avançamos, e é isso que 
deve acontecer, para que você esteja certo de que 
os passos são firmes e o caminho correto. Vamos 
prosseguir, então�
Hora de tratar de taxa de juros� Como foi visto, du-
rante estudos das anuidades postecipadas, o cálculo 
da taxa traz algumas dificuldades, contornáveis to-
talmente, graças à tecnologia.
Figura 17: Diagrama de fluxo de caixa para operação de i 
desconhecido� Fonte: Elaboração própria.
Quando “i” for a variável desconhecida, e sem o uso 
de calculadora financeira ou planilha eletrônica, o 
trabalho e a possibilidade de algum erro aumentam 
significativamente. Por isso, mais uma vez, e pelo 
31
que já foi explicado, não se recomendam os proces-
sos de “tentativa e erro” e o de interpolação linear. 
Aceitemos, então, o que a tecnologia nos oferece e, 
mais uma vez, utilizemos a calculadora financeira 
HP12C�
1. Certifique-se de que, no visor (próximo ao centro), 
apareça a palavra “BEGIN”; para isso, pressione as 
teclas g e 7 e ela desaparecerá� Essa providência, 
imprescindível, fará com que o programa hospedado 
pela calculadora considere a série “antecipada”.
2. Pressione as teclas f e CLX (apaga o conteúdo de 
todos os registradores da calculadora, evitando que 
você faça um cálculo, utilizando dados armazenados 
de cálculos anteriores). Agora, pode-se começar o 
cálculo de “i”.
3. Pressione (teclas) ou insira (números).
a) 4 N
b) 1.975,19 CHS PMT (você já viu: a tecla CHS altera 
o sinal algébrico do número inserido)
c) 8�000 FV
d) i  Visor mostrará 0,5 (a taxa de juros que se 
buscava conhecer) ou número próximo, com várias 
casas decimais; se você pressionar f e 2, o número 
será exibido com duas casas decimais; f e 3 provo-
carão exibição do resultado com três casas decimais 
e assim por diante�
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32
PERPETUIDADES
Existem operações de perfil extraordinário que, exa-
tamente porque são assim consideradas, são me-
nos “visíveis” que outras. Assim são aquelas que 
propiciam rendas (R) por um prazo enorme ou sem 
possibilidade de ser determinado e que, portanto, 
tendem ao infinito. Além disso, o valor principal, ou 
atual (PV) é presumido como imutável, assim como a 
taxa de juros (i). Ora, se você tem um capital que não 
se modifica, esse capital sofre incidência de taxa de 
juros igualmente imutável, então os juros decorrentes 
dessa interação de “i” com “PV” são também presu-
midos imutáveis, perpétuos� Por isso mesmo essas 
rendas são denominadas perpetuidades. Observe, a 
seguir, o DFC genérico dessas operações:
Figura 18: Diagrama de fluxo de caixa genérico para perpe-
tuidades� Fonte: Elaboração própria.
O valor de cada evento (R, PMT, PGTO) é dado pela 
relação
P M T , R , P G T O = P V × i
33
Um título com valor de R$15.000,00 que pague renda 
vitalícia (ou perpétua) à razão de 1,0% a.m. pode ser 
um exemplo dessa operação, que, é bom repetir-se, 
é bem incomum� Quais seriam o valor dessa renda 
e o DFC da operação? A renda seria:
P M T = 1 5 . 0 0 0 × 0 , 0 1 5 = 2 2 5 , 0 0
Ou seja, R$225,00 a serem recebidos por toda a vida, 
conforme o diagrama:
Figura 19: Diagrama de fluxo de caixa para operação pro-
posta com título de R$15.000,00. Fonte: Elaboração própria.
Uma perpetuidade não tem valor futuro possível de 
ser calculado, afinal não se conhece o prazo dessa 
série especialíssima, mas seu valor presente pode 
ser conhecido assim:
𝑃𝑃𝑃𝑃 =
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃
𝑖𝑖
34
Com dados do exemplo dado, considerando-se, 
para efeito de estudos, desconhecido o valor de PV, 
teríamos:
𝑃𝑃𝑃𝑃 =
225
0,015 = 15.00,00
Existe, ainda, um “caso particular deste caso particu-
lar”. É o estudo das perpetuidades com crescimento, 
em que:
𝑃𝑃𝑃𝑃 =
𝑃𝑃𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉	𝑑𝑑𝑉𝑉	𝑝𝑝𝑝𝑝𝑉𝑉𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑑𝑑𝑉𝑉𝑑𝑑𝑝𝑝
𝑇𝑇𝑉𝑉𝑇𝑇𝑉𝑉	𝑑𝑑𝑝𝑝	𝑑𝑑𝑝𝑝𝑑𝑑𝑑𝑑𝑉𝑉𝑑𝑑𝑝𝑝𝑉𝑉	 𝑑𝑑𝑝𝑝𝑑𝑑𝑝𝑝𝑑𝑑𝑉𝑉𝑉𝑉 −𝑇𝑇𝑉𝑉𝑇𝑇𝑉𝑉	𝑑𝑑𝑝𝑝	𝑑𝑑𝑉𝑉𝑝𝑝𝑑𝑑𝑑𝑑𝑝𝑝𝑑𝑑𝑝𝑝𝑑𝑑𝑝𝑝𝑉𝑉	(𝑑𝑑𝑝𝑝𝑑𝑑𝑝𝑝𝑑𝑑𝑉𝑉𝑉𝑉)
=
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑇𝑇
𝑝𝑝− 𝑔𝑔
Esse modelo é bastante conhecido dos profissionais 
que analisam desempenho de ações pelo nome de 
Modelo de Gordon. Nesse modelo, e para esses pro-
fissionais, a aplicação é conhecer o “preço justo” de 
uma ação, na verdade, o valor presente de uma perpe-
tuidade crescente, por conta de rendimentos a serem 
incorporados. Vamos observar como funciona o mo-
delo, começando por conhecer seus pressupostos:
1. Os pagamentos crescem a uma taxa constante 
(“g”, no modelo).
2. O retorno esperado (“K”, no modelo) pelo acionista 
é superior à taxa de crescimento. Esse “retorno espe-
rado” reflete o custo do capital próprio da empresa, 
sob análise�
35
3. A empresa analisada precisa ser consolidada, 
assim reconhecida pelo mercado, e com grande 
previsibilidade do pagamento de dividendos� Essa 
condição deve ser bem clara para todos, afinal, se a 
empresa não permite previsibilidade de ganhos ao 
acionista, o modelo não se sustenta, passa a ser um 
mero exercício matemático sem compromisso com 
a realidade�
𝑃𝑃" =
𝐷𝐷%
𝐾𝐾 −𝑔𝑔
Onde:
P0 = Valor presente da ação
D1 = Dividendo no tempo t = 1
K= Custo do Capital Próprio
g = Taxa de crescimento do dividendo
Para aplicação do modelo, um exemplo: um analista 
espera que a empresa sob análise pague R$5,00, a 
título de dividendo por ação (DPA, para muitos), nos 
próximos 12 meses. Retorno esperado é de 12,0% 
sobre o ativo no mesmo período� Estando a empresa 
em período de maturidade (atenção! Se a empresa 
está em momento de alta performance, valorização 
forte etc�, este modelo não deve ser aplicado� É para 
empresas maduras), é esperado crescimento dos 
dividendos à taxa anual de 3,0%. Qual o “preço justo” 
que esse analista irá considerar para a ação anali-
36
sada? Extraindo-se as variáveis, para aplicação do 
modelo, teríamos:
D1 = 5,0
K = 12,0 %
g = 3,0 %
Aplicando o modelo:
𝑃𝑃" =
5,0
0,12 −0,13 = 55,56
Em suas decisões, esse analista consideraria R$55,56 
como valor intrínseco da ação avaliada; para ele, é 
o “preço justo” dessa ação. Em termos genéricos, 
trata-se do valor presente de uma perpetuidade 
crescente�
Você achou esse exemplo “amargo”? Vamos a um 
segundo talvez “mais doce” e não menos realista. 
Deixemos o mercado de ações visitemos o mercado 
imobiliário, agora:
Um investidor em imóveis constrói pequenos edi-
fícios de apartamentos, para locação residencial. 
Para o próximo ano, ele estima renda líquida de 
R$200�000,00 e tem a expectativa de que essa ren-
da cresça à razão de 5,0% nos próximos anos. Em 
sua análise, o investidor considera 12,0% uma “boa” 
taxa de desconto para seu fluxo de caixa. Qual seria 
o valor presente do investimento?
37
As variáveis presentes são:
 ● Renda líquida (PMT) = 200.0000,00
 ● Taxa de crescimento (g) = 5,0% a.a.
 ● Taxa de desconto (i) = 12,0%
Aplicando-se o modelo:
𝑃𝑃𝑃𝑃 =
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃
𝑖𝑖 − 𝑔𝑔 =
200.000
0,12 − 0,05 = 2.857.142,86
A conclusão é que, trazido a valor presente, a 
renda líquida obtida com o investimento vale 
R$2.857.142,86.
38
EQUIVALÊNCIA DE 
CAPITAIS
Este estudo é tão importante quanto os anteriores� 
Não há, aqui, item mais importante ou menos im-
portante� Eles são, aí sim, complementares entre si� 
Este último tópico, portanto, completa os diversos 
estudos já feitos na Matemática Financeira� Este 
item trata, em última análise, da comparação de va-
lores monetários que estão em épocas diferentes 
ou planos financeiros diferentes (de recebimento 
ou de pagamento), quando se está em situação de 
escolha necessária. O tópico é bem interessante e 
útil ao nosso dia a dia. Vamos ver:
Corre o mês de julho e você está conversando com 
um amigo sobre finanças pessoais. Pode ocorrer a 
seguinte situação: seu amigo conta que, em outubro 
do “ano passado”, recebeu um prêmiode R$2.000,00 
por desempenho no trabalho; no mês passado (por-
tanto junho) foi novamente premiado, dessa vez 
com R$1�800,00� Seu amigo se declara feliz porque 
“ganhou R$ 3.800,00 extras em 9 meses”. Vamos 
analisar essa afirmação de seu amigo, tecnicamen-
te? Uma vez mais, primeiro passo: elaborar DFC da 
“operação”.
39
Figura 20: Diagrama de fluxo de caixa para operação pro-
posta na equivalência de capitais� Fonte: Elaboração própria.
Embora justificadamente feliz, seu amigo comete 
uma impropriedade técnica das mais graves em fi-
nanças: considerar valores monetários ocorridos em 
diferentes épocas como se a época fosse a mesma� 
Aqueles dois valores não poderiam ser somados, 
porque, agindo-se assim, ignora-se um princípio fi-
nanceiro crítico que é o efeito do tempo sobre o valor 
do dinheiro� Não fosse uma descontraída conversa 
entre amigos, o correto teria sido “colocar” os dois va-
lores na mesma época, qualquer época, mesmo que 
uma não citada na conversa� Assim, os R$2�000,00 
deveriam ser “colocados” em julho, com seu valor 
adaptado a essa diferença no tempo e somente as-
sim, com seu novo valor, somados aos R$1�800,00� 
Alternativamente, a mesma operação poderia ser 
feita com os R$1�800,00, colocando-os em outubro 
do ano passado� Qualquer época poderia ser esco-
lhida, desde que os dois valores, “devidamente ajus-
40
tados”, estivessem na mesma data/época. A época 
escolhida para que capitais sejam nela comparados, 
somados, subtraídos etc� chama-se data focal, con-
ceito vital para este estudo, doravante�
Quando dois ou mais capitais serão ditos equiva-
lentes? Somente quando, se “transportados” para a 
mesma data/época (data focal), considerada uma 
taxa de juros, tiverem seus valores iguais� Esta é 
condição necessária para a equivalência de capitais.
Proposta: avalie-se, para exemplificar o conceito, 
se R$1.000,00 hoje são equivalentes a R$1.102,50 
daqui a 2 meses, considerando-se 5,0% a.m. como 
taxa de juros�
Três são os caminhos para responder o desafio. 1) 
transportar R$1.000,00 de hoje para 2 meses à frente 
e comparar os 2 valores “lá”; 2) trazer os R$1.102,50 
para hoje e, da mesma forma, comparar os 2 valores 
e 3) transportar os dois valores para qualquer data 
e compará-los “lá”. Para você ficar confiante, as três 
soluções serão utilizadas. Analisemos:
→ Solução 1: no modelo de juros compostos, viu-
-se que valor de montante (ou valor futuro) pode 
ser determinado aplicando-se a relação S ou F V = 
P V ( 1 + i ) n. Fazendo isso, vamos “transportar” os 
R$1.000,00 para dois meses à frente, ajustando seu 
valor:
F V = 1 . 0 0 0 ( 1 + 0 , 0 5 ) 2 = 1 . 1 0 2 , 5 0
41
Note que, lá no 2º mês à frente, os valores são idên-
ticos� Sim, os dois capitais são equivalentes!
→ Solução 2: De S ou F V = P V ( 1 + i ) n , vem 
que 𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝐹𝐹𝑃𝑃1+ 𝑖𝑖 ( . Fazendo isso, vamos “transportar” 
os R$1.102,50 de dois meses à frente para hoje, ajus-
tando seu valor:
𝑃𝑃𝑃𝑃 =
1.102,50
1 + 0,05 + = 1.000,00
Note que, hoje, os valores são idênticos� Sim, os dois 
capitais são equivalentes!
→ Solução 3: Vamos “transportar” os dois valores 
para 5 meses à frente, a contar de hoje. Atenção! 
Para o valor de dois meses à frente, serão apenas 3 
meses de “transporte”, certo?
Passo 1 – Os R$1.000,00 de hoje, levados 5 meses 
à frente, valerão:
F V = 1 . 0 0 0 ( 1 + 0 , 0 5 ) 5 = 1 . 2 7 6 , 2 8
Passo 2 – Os R$1.102,50 de dois meses à frente 
valerão 3 meses mais tarde:
F V = 1 . 1 0 2 , 5 0 ( 1 + 0 , 0 5 ) 3 = 1 . 2 7 6 , 2 8
42
Lá, no 5º mês a partir de hoje, os capitais se igualam 
também� A conclusão é: sim, os dois capitais são 
equivalentes!
De S ou FV = PV (1 + i)n vem que 𝑃𝑃𝑃𝑃 =
𝐹𝐹𝑃𝑃
1+ 𝑖𝑖 (
� Fazendo 
isso, vamos “transportar” os R$ 1.102,50 de dois meses 
à frente, para hoje, ajustando seu valor:
𝑃𝑃𝑃𝑃 =
1.102,50
1 + 0,05 + = 1.000,00
Note que, hoje, os valores são idênticos� Sim, os dois 
capitais são equivalentes!
FIQUE ATENTO
Se dois ou mais capitais são equivalentes em uma 
determinada data focal, também o serão em qual-
quer outra� Não existe, portanto, o caso de capitais 
equivalentes em uma data focal e não equivalentes 
em outra(s)!
Esse conceito não se aplica somete a capitais 
“isolados”. Fluxos de caixa inteiros podem ser 
equivalentes entre si. Basta que se enquadrem 
no conceito, ou seja, se dois fluxos de caixa ti-
verem o mesmo valor em uma data focal, serão 
ditos equivalentes, por isso você pode ter planos 
de pagamentos diferentes em prazos, valores de 
parcelas etc�, mas que se equivalham, literalmente�
43
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Da definição e tipologia aos detalhes das perpetui-
dades e capitais equivalentes, esta Unidade sobre 
séries mostrou a você quantas operações financeiras 
estão ao seu, ao nosso redor, diariamente, sem que 
precisemos procurar por elas� Elas nos acham�
O principal valor dessa unidade é o poder de mobili-
zar o estudante na direção de, a partir de agora, ficar 
atento a muitos detalhes (sobre finanças) até então 
passados despercebidos. Dia a dia sem Matemática 
é uma impossibilidade. Dia a dia sem Matemática 
Financeira é um risco enorme para quem a ignora 
ou desdenha� Muito mais que um componente cur-
ricular valioso é meio de ganho de autonomia no 
exercício da cidadania� As séries de pagamento, ou 
anuidades, cuja apresentação ora se conclui é tema 
relevante, pela diversidade de contribuições à vida 
do estudante – à vida, não só ao trabalho!
Séries antecipadas (utilizadas nas vendas “com 
entrada”), séries diferidas (aquelas “com carência” 
ou que tem o apelo “pague a 1ª parcela, somente 
após o Carnaval”), necessidade de reconhecer capi-
tais equivalentes (ou não) são comuns para todos, 
não financistas e financistas; para estes últimos, 
certamente, a relevância do tema é muito maior, 
sem dúvidas�
Espero que, além de instruído, naquilo que constituiu 
nossos objetivos, você se sinta mobilizado!
44
SÍNTESE
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
Séries de Pagamento
• Anuidades postecipadas;
 – Anuidades postecipadas e não diferidas;
 – Anuidades postecipadas e diferidas.
• Anuidades antecipadas;
• Perpetuidades;
• Equivalência de capitais.
Referências Bibliográficas 
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VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática financeira� 8� 
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	Introdução
	Séries de pagamentos
	Anuidades postecipadas
	Anuidades postecipadas e não diferidas
	Anuidades postecipadas e diferidas
	Anuidades antecipadas
	Perpetuidades
	Equivalência de Capitais
	Considerações finais
	SÍNTESE