Relatório_Projeto_3___Controle_Digital

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<p>Universidade Tecnológica Federal do</p><p>Paraná</p><p>Campus Apucarana</p><p>Bacharelado em Engenharia da Computação</p><p>Relatório - Projeto 3</p><p>Relatório do projeto 3 proposto na disciplina de</p><p>Controle Digital do Curso de Engenharia de Com-</p><p>putação da Universidade Tecnológica Federal do</p><p>Parana, campus Apucarana como requisito parcial</p><p>para aprovação da disciplina.</p><p>Alunos:</p><p>Maio</p><p>2024</p><p>Conteúdo</p><p>1 Resumo 1</p><p>2 Análise Experimental 2</p><p>3 Conclusão 11</p><p>4 Referências 12</p><p>1 Resumo</p><p>O projeto em questão visa apresentar os resultados de um projeto de</p><p>controlador para a regulação de um sistema e um controlador para o rastreio</p><p>de uma entrada de referência, sendo utilizado um sistema motor de corrente</p><p>cont́ınua, descrito por um espaço de estados ẋ(t) como demonstra na figura</p><p>abaixo.</p><p>Figura 1: Esquemático do Motor CC</p><p>Fonte: Projeto 3 - Espaço de Estados. Zanata, Adalberto.</p><p>Expressa matematicamente pela equação do modelo de espaço de estados</p><p>é dada por:</p><p>ẋ(t) =</p><p>[</p><p>− b</p><p>J</p><p>Kt</p><p>J</p><p>−Kg</p><p>L</p><p>−Ra</p><p>L</p><p>] [</p><p>ω(t)</p><p>ia(t)</p><p>]</p><p>+</p><p>[</p><p>0</p><p>1</p><p>L</p><p>]</p><p>u(t)</p><p>Neste sistema, Ra é a resistência da armadura, L a indutância da arma-</p><p>dura, Kt a constante de torque do motor, Kg a constante de força contra-</p><p>eletromotriz, b o coeficiente de atrito viscoso, J o momento de inércia do</p><p>motor, e os estados ia e ω representam a corrente de armadura e a velocidade</p><p>do motor, respectivamente.</p><p>Inicialmente, verificou-se a controlabilidade do sistema através da matriz</p><p>de controlabilidade, confirmando se o sistema é completamente controlável.</p><p>1</p><p>Em seguida, projetou-se um controlador de estado para a regulação do sistema,</p><p>determinando os ganhos k1 e k2 para alocar os polos em posições que garantem</p><p>a estabilidade do sistema regulado. As respostas impulsiva e ao degrau do</p><p>sistema em malha aberta foram simuladas através do Matlab, seguidas pela</p><p>análise do comportamento do sistema regulado a partir de condições iniciais</p><p>espećıficas e sob uma entrada degrau. Para o rastreamento de referência, um</p><p>controlador foi projetado para seguir uma velocidade angular especificada,</p><p>com um tempo de estabelecimento menor que um segundo e sem overshoot.</p><p>Os ganhos k1, k2 e h foram calculados para atender a essas especificações.</p><p>2 Análise Experimental</p><p>Primeiramente, serão analisadas as matrizes do sistema A, B, C e D, assim</p><p>como a matriz de controlabilidade, que podem ser vistas nas imagens a seguir</p><p>2</p><p>Figura 2: Matrizes do sistema</p><p>Fonte: Autoria Própria.</p><p>3</p><p>Figura 3: Matriz de contraibilidade</p><p>Fonte: Autoria Própria.</p><p>Com essas matrizes em mãos, é necessário verificar se o sistema é con-</p><p>trolável. Para isso, utilizou-se a matriz de controlabilidade. Calculamos</p><p>o determinante e, como ele é diferente de zero (com o valor de -0,6122),</p><p>conclúımos que a matriz é controlável. A partir disso, foi posśıvel realizar as</p><p>análises a seguir.</p><p>Utilizando inicialmente a ferramenta Matlab, onde criou-se o espaço de</p><p>estados a partir das matrizes do problema e da função ss() presente no</p><p>software, após essa etapa, utiliza-se a ferramenta Simulink para desenvolver</p><p>um sistema em diagrama de blocos do espaço de estados em malha aberta,</p><p>como demonstram nas figuras abaixo.</p><p>Figura 4: Diagrama do sistema em malha aberta</p><p>Fonte: Autoria Própria.</p><p>Considerando que em um sistema de controle em malha aberta, a resposta</p><p>impulsiva e a resposta ao degrau são determinadas mediante a dinâmica do</p><p>sistema e pela entrada, não havendo realimentação para ajustar a sáıda com</p><p>4</p><p>base no erro entre a sáıda desejada e a sáıda real, obteve-se as seguintes</p><p>respostas:</p><p>Figura 5: Resposta ao impulso</p><p>Fonte: Autoria Própria.</p><p>Analisando a resposta impulsiva, observa-se que a velocidade angular</p><p>do motor cresce no inicio do primeiro gráfico até atingir um ponto máximo,</p><p>retornando em seguida a 0 rad/s, um comportamento que sugere que o sistema</p><p>é estável em resposta a uma entrada impulsiva, permitindo a validade do</p><p>modelo de descrição do sistema, um padrão ao qual é consistente com a</p><p>expectativa de um breve acionamento do motor, evidenciando-se pela rápida</p><p>transição e subsequente retorno à estabilidade.</p><p>Além disso, é percept́ıvel que, devido a essa transição abrupta caracteŕıstica</p><p>do impulso, a resposta impulsiva da corrente, ilustrada no segundo gráfico</p><p>da Figura 3, apresenta um pico inicial, seguido por um retorno à amplitude,</p><p>fenômeno que se torna conforme o esperado segundo os prinćıpios da f́ısica,</p><p>uma vez que a aplicação de um impulso resulta em uma rápida variação na</p><p>corrente, culminando na observação desse pico inicial, seguido pela restauração</p><p>da condição inicial de corrente zero. Essa dinâmica ressalta a resposta aguda</p><p>5</p><p>do sistema a est́ımulos impulsivos e destaca a coerência do modelo com as</p><p>leis fundamentais da f́ısica</p><p>Figura 6: Resposta ao impulso</p><p>Fonte: Autoria Própria.</p><p>Já ao aplicar uma entrada degrau, nota-se que a velocidade angular do</p><p>motor CC exibe uma resposta estável, estabilizando em 0,015 rad/s, entretanto,</p><p>esse estado crucial para o controle de rastreio, revela uma perda de energia</p><p>significativa, refletida por um erro em regime permanente em relação ao sinal</p><p>de entrada.</p><p>Calculando os ganhos k1 e k2, para alocar os polos do sistema regulado,</p><p>utiliza-se a função place, que calcula a matriz de ganho K total que os polos</p><p>de malha fechada do sistema estão especificamente. Os polos escolhidos foram</p><p>polo1 = -3 e polo2 = -5 de forma que os ganhos calculados foram k1 = -0.1 e</p><p>k2 = -1.9.</p><p>Ao aplica a condição inicial [105, 0] nos estados, se obtém a resposta do</p><p>sistema regulado na figura abaixo</p><p>6</p><p>Figura 7: Resposta do Sistema Regulado</p><p>Fonte: Autoria Própria.</p><p>Os gráficos da Figura 5 apresenta a resposta da sáıda do sistema regulado</p><p>ao aplicar uma condição inicial descrita acima. Podemos perceber que o</p><p>sistema começa com uma velocidade angular de 105 rad/s e em 1.2 segundos,</p><p>essa velocidade angular chega em zero, e por outro lado a corrente manteve</p><p>se em zero.</p><p>7</p><p>Figura 8: Resposta do Sistema Regulado</p><p>Fonte: Autoria Própria.</p><p>Nota-se que a resposta do sistema regulado a uma entrada degrau de</p><p>amplitude 105, observa-se que a velocidade angular se estabilizou em 3 rad/s</p><p>e a corrente se estabilizou em 50 A com 1.5 segundos, com uma resposta</p><p>rápida e sem Overshoot demonstram a estabilidade do sistema regulado.</p><p>Para o sistema de rastreio montamos o seguinte circuito nosimulink,</p><p>mudando somente os valoes de K com os ganhos encontrados com a alocação</p><p>dos polos nos seguintes pontos: polo1 = -10, polo2 = -12 e polo3 = -14. A</p><p>seguir, encontramos os autovalores da matriz A de rastreio, e igualamos com</p><p>os polos selecionados, dessa forma, temos três equações com três ganhos para</p><p>encontrar os respectivos valores, resolvendo as equações chegamos nos valores</p><p>de: k1 = 636.9, k2 = 17.7 e h = 3920.</p><p>8</p><p>Figura 9: Diagrama de blocos do Sistema com Rastreio.</p><p>Fonte: Autoria Própria.</p><p>Verifica-se que a resposta do sistema de rastreio de referência para uma</p><p>entrada degrau de valor 105 rad/s, obtendo-se os seguintes resultados abaixo.</p><p>9</p><p>Figura 10: Resposta a entrada degrau</p><p>Fonte: Autoria Própria.</p><p>O gráfico da Figura 10 mostra a resposta do sistema de rastreamento a uma</p><p>entrada em degrau, onde a linha azul representa a resposta do controlador de</p><p>rastreamento, e a linha vermelha, a entrada em degrau aplicada ao sistema. A</p><p>resposta do controlador acompanha de perto a entrada em degrau, alcançando</p><p>rapidamente o valor de referência de 105 rad/s sem overshoot significativo. O</p><p>sistema atinge a referência em aproximadamente 1,5 segundos, demonstrando</p><p>uma resposta rápida e eficiente do controlador, com um tempo de estabilização</p><p>menor que 1 segundo, conforme proposto na atividade. Esses resultados</p><p>confirmam a eficácia do controlador de rastreamento em assegurar que a</p><p>velocidade angular do motor siga com precisão a entrada de referência desejada.</p><p>10</p><p>Figura 11: Resposta a entrada senoidal</p><p>Fonte: Autoria Própria.</p><p>O gráfico da Figura 11 ilustra a resposta do sistema de</p><p>rastreamento</p><p>a uma entrada senoidal. A linha azul indica a resposta do controlador de</p><p>rastreamento, enquanto a linha vermelha mostra a entrada senoidal aplicada</p><p>ao sistema. A resposta do controlador acompanha de perto a entrada senoidal,</p><p>apresentando pequenas discrepâncias, mas mantendo a forma geral do sinal.</p><p>O sistema consegue seguir a referência senoidal de forma eficaz, demonstrando</p><p>estabilidade e alta precisão. Esses resultados confirmam a eficácia do contro-</p><p>lador de rastreamento em assegurar que a velocidade angular do motor siga a</p><p>entrada de referência senoidal desejada.</p><p>3 Conclusão</p><p>Os resultados obtidos indicam que os projetos elaborados para desenvolver</p><p>tanto o controlador de rastreamento quanto o controlador de regulação foram</p><p>bem-sucedidos em atingir os objetivos propostos. A análise das respostas do</p><p>sistema a diferentes entradas, como degrau e senoidal, demonstrou que os</p><p>controladores projetados são capazes de seguir com precisão as referências</p><p>desejadas, tanto em termos de velocidade angular quanto em termos de</p><p>estabilidade do sistema.</p><p>Na resposta ao degrau, o controlador de rastreamento mostrou um de-</p><p>sempenho eficiente, alcançando rapidamente o valor de referência de 105</p><p>rad/s sem overshoot significativo e com um tempo de estabilização menor</p><p>11</p><p>que 1 segundo. Este comportamento confirma a eficácia do controlador em</p><p>assegurar que a velocidade angular do motor siga a entrada de referência</p><p>degrau de maneira precisa e rápida.</p><p>O controlador de regulação também apresentou resultados satisfatórios. Na</p><p>resposta a uma condição inicial, o sistema regulado mostrou que a velocidade</p><p>angular do motor partindo de 105 rad/s chegou a zero em aproximadamente</p><p>1,2 segundos, demonstrando uma transição suave e eficiente. Além disso,</p><p>ao aplicar uma entrada degrau, a velocidade angular se estabilizou em 3</p><p>rad/s, demonstrando a competência do controlador de regulação em manter</p><p>o sistema estável e sem overshoot significativo.</p><p>A resposta a uma entrada senoidal com o controlador de rastreamento</p><p>também foi satisfatória, com o sistema conseguindo seguir a forma do si-</p><p>nal senoidal com pequenas discrepâncias, mas mantendo a forma geral do</p><p>sinal. Este resultado evidencia a capacidade do sistema em rastrear entradas</p><p>senoidais de forma estável e precisa.</p><p>De forma geral, os experimentos realizados mostram que os controladores</p><p>de rastreamento e regulação projetados funcionam bem. Eles mostram que</p><p>eles são capazes de garantir que a velocidade angular do motor siga com</p><p>precisão a entrada de referência desejada. Os requisitos foram atendidos e este</p><p>projeto forneceu uma compreensão profunda das abordagens para o controle</p><p>de sistemas dinâmicos.</p><p>4 Referências</p><p>1. B. A. Angelico. Controle por Rastreamento em Espaço de Estados.</p><p>Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Dispońıvel em: https://</p><p>moodle.utfpr.edu.br/pluginfile.php/2939420/mod_resource/content/</p><p>1/principiosCap14_v2.pdf.</p><p>2. ASSUNÇÃO, E.; TEIXEIRA, M. C. M. Controle Linear II. 2016.</p><p>Ilha Solteira – SP. Dispońıvel em: https://moodle.utfpr.edu.br/</p><p>pluginfile.php/2919491/mod_resource/content/1/Apostila_Controle_</p><p>Linear_II.pdf</p><p>12</p><p>https://moodle.utfpr.edu.br/pluginfile.php/2939420/mod_resource/content/1/principiosCap14_v2.pdf</p><p>https://moodle.utfpr.edu.br/pluginfile.php/2939420/mod_resource/content/1/principiosCap14_v2.pdf</p><p>https://moodle.utfpr.edu.br/pluginfile.php/2939420/mod_resource/content/1/principiosCap14_v2.pdf</p><p>https://moodle.utfpr.edu.br/pluginfile.php/2919491/mod_resource/content/1/Apostila_Controle_Linear_II.pdf</p><p>https://moodle.utfpr.edu.br/pluginfile.php/2919491/mod_resource/content/1/Apostila_Controle_Linear_II.pdf</p><p>https://moodle.utfpr.edu.br/pluginfile.php/2919491/mod_resource/content/1/Apostila_Controle_Linear_II.pdf</p><p>Resumo</p><p>Análise Experimental</p><p>Conclusão</p><p>Referências</p>