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<p>curva é a derivada da curva x(t) (v = dx/dt). (c) A curva a(t) do elevador, que é a derivada da curva v(t) (a = dv/dt). As figuras na</p><p>parte de baixo dão uma ideia de como um passageiro se sente durante as acelerações.</p><p>2-3 ACELERAÇÃO</p><p>Objetivos do Aprendizado</p><p>Ideias-Chave</p><p>Aceleração</p><p>Se os sinais da velocidade e da aceleração de uma partícula são iguais, a velocidade escalar da partícula aumenta. Se os sinais são</p><p>opostos, a velocidade escalar diminui.</p><p>Teste 3</p><p>Um marsupial se move ao longo do eixo x. Qual é o sinal da aceleração do animal se ele está se movendo (a) no sentido positivo</p><p>com velocidade escalar crescente; (b) no sentido positivo com velocidade escalar decrescente; (c) no sentido negativo com</p><p>velocidade escalar crescente; (d) no sentido negativo com velocidade escalar decrescente?</p><p>Exemplo 2.03 Aceleração e dv/dt</p><p>A posição de uma partícula no eixo x da Fig. 2-1 é dada por</p><p>x = 4 – 27t + t3,</p><p>com x em metros e t em segundos.</p><p>(a) Como a posição x varia com o tempo t, a partícula está em movimento. Determine a função velocidade v(t) e a função</p><p>aceleração a(t) da partícula.</p><p>IDEIAS-CHAVE</p><p>(1) Para obter a função velocidade v(t), derivamos a função posição x(t) em relação ao tempo. (2) Para obter a função aceleração</p><p>a(t), derivamos a função velocidade v(t) em relação ao tempo.</p><p>Cálculos: Derivando a função posição, obtemos</p><p>com v em metros por segundo. Derivando a função velocidade, obtemos</p><p>com a em metros por segundo ao quadrado.</p><p>(b) Existe algum instante para o qual v = 0?</p><p>Cálculo: Fazendo v(t) = 0, obtemos</p><p>0 = – 27 + 3t2,</p><p>e, portanto,</p><p>Assim, a velocidade é zero 3 s antes e 3 s depois do instante t = 0.</p><p>(c) Descreva o movimento da partícula para t ≥ 0.</p><p>Raciocínio: Precisamos examinar as expressões de x(t), v(t) e a(t).</p><p>Em t = 0, a partícula está em x(0) = +4 m e está se movendo com velocidade v(0) = −27 m/s, ou seja, no sentido negativo do</p><p>eixo x. A aceleração é a(0) = 0 porque, nesse instante, a velocidade da partícula não está variando (Fig. 2-8a).</p><p>Para 0 < t < 3 s, a partícula ainda possui velocidade negativa e, portanto, continua a se mover no sentido negativo.</p><p>Entretanto, a aceleração não mais é igual a zero e sim crescente e positiva. Como os sinais da velocidade e da aceleração são</p><p>opostos, o módulo da velocidade da partícula deve estar diminuindo (Fig. 2-8b).</p><p>De fato, já sabemos que a partícula para momentaneamente em t = 3 s. Nesse instante, a partícula se encontra na maior</p><p>distância à esquerda da origem na Fig. 2-8. Fazendo t = 3 s na expressão de x(t), descobrimos que a posição da partícula nesse</p><p>instante é x = −50 m (Fig. 2-8c). A aceleração ainda é positiva.</p><p>Para t > 3 s, a partícula se move para a direita sobre o eixo. A aceleração permanece positiva e aumenta progressivamente em</p><p>módulo. A velocidade agora é positiva e o módulo da velocidade também aumenta progressivamente (Fig. 2-8d).</p><p>Figura 2-8 Quatro estágios do movimento da partícula do Exemplo 2.03.</p><p>2-4 ACELERAÇÃO CONSTANTE</p><p>Objetivos do Aprendizado</p><p>Ideias-Chave</p><p>Essas equações não são válidas quando a aceleração não é constante.</p><p>Aceleração Constante: Um Caso Especial</p><p>Número da Equação Equação Grandeza que Falta</p><p>2-11 v = v0 + at x – x0</p><p>2-15 v</p><p>2-16 t</p><p>2-17 a</p><p>2-18 v0</p><p>Teste 4</p><p>As equações a seguir fornecem a posição x(t) de uma partícula em quatro casos:</p><p>(1) x = 3t − 4; (2) x = −5t3 + 4t2 + 6; (3) x = 2/t2 – 4/t; (4) x = 5t2 − 3. Em que caso(s) as equações da Tabela 2-1 podem ser</p><p>aplicadas?</p><p>Exemplo 2.04 Corrida entre um carro e uma motocicleta</p><p>Um vídeo muito popular na internet mostra um avião a jato, um carro esportivo e uma motocicleta apostando corrida em uma</p><p>pista de pouso (Fig. 2-10). Logo depois da partida, a motocicleta está na liderança, mas é ultrapassada pelo avião e, pouco depois,</p><p>pelo carro. Neste exemplo, vamos considerar apenas o carro e a motocicleta e analisar o movimento dos dois veículos em função</p><p>do tempo usando valores típicos para os parâmetros envolvidos. A motocicleta assume inicialmente a liderança porque sua</p><p>aceleração (constante) am = 8,40 m/s2 é maior que a aceleração (constante) do carro, ac = 5,60 m/s2, mas é ultrapassada pelo</p><p>carro porque sua velocidade máxima vm = 58,8 m/s é menor que a velocidade do carro, vc = 106 m/s. Quanto tempo o carro leva</p><p>para emparelhar com a motocicleta?</p><p>IDEIAS-CHAVE</p><p>Podemos aplicar as equações de aceleração constante aos dois veículos. No caso da motocicleta, porém, devemos dividir o</p><p>movimento em duas partes: (1) Primeiro, a motocicleta percorre uma distância xm1, com velocidade inicial zero e aceleração am =</p><p>8,40 m/s2 até atingir a velocidade de 58,8 m/s. (2) Em seguida, a motocicleta percorre uma distância xm2 com uma velocidade</p><p>constante vm = 58,8 m/s e aceleração zero (que é, também, uma aceleração constante). (Note que usamos símbolos para</p><p>distâncias cujos valores ainda não conhecemos. Escrever equações que envolvem valores desconhecidos muitas vezes ajuda a</p><p>resolver problemas de física, mas requer certa coragem.)</p><p>Cálculos: Vamos supor que os veículos estão se movendo no sentido positivo do eixo x e partiram do ponto x = 0 no instante t =</p><p>0. (Os valores iniciais do tempo e da posição são arbitrários, já que estamos interessados em calcular um intervalo de tempo e não</p><p>um instante específico, como 2 horas da tarde; já que podemos escolher, optamos por números bem simples.)</p><p>Figura 2-10 Um avião a jato, um carro e uma motocicleta logo após acelerar a partir do repouso.</p><p>Queremos saber para que valor de t o carro e a motocicleta estão emparelhados, mas o que significa isso matematicamente?</p><p>Significa que, para esse valor de t, as coordenadas dos dois veículos são iguais: a coordenada xc no caso do carro e a soma de</p><p>distâncias xm1 + xm2 no caso da motocicleta. Essa descrição pode ser traduzida em uma equação matemática:</p><p>[Na maioria dos problemas de física, esse primeiro passo é a parte mais difícil. Como passar da descrição do problema (em</p><p>palavras) para uma equação matemática? Um dos objetivos deste livro é ajudar o estudante a adquirir a capacidade de dar esse</p><p>primeiro passo por conta própria, o que exige muita dedicação e muito treinamento, como acontece, por exemplo, com alguém</p><p>que quer aprender a jogar tênis.]</p><p>Vamos agora analisar os dois lados da equação, começando pelo lado esquerdo. Para chegar ao ponto xc, o carro acelera a partir</p><p>do repouso. Fazendo x = xc, x0 = 0 e v0 = 0 na Eq. 2-15 (x – x0 = v0t + at2), obtemos:</p><p>Para substituir xm1 por uma expressão semelhante à Eq. 2-20, precisamos determinar o tempo tm que a motocicleta leva para</p><p>atingir a velocidade máxima vm, usando para isso a Eq. 2-11 (v = v0 + at). Fazendo v0 = 0, v = vm = 58,8 m/s e a = am = 8,40</p><p>m/s2, obtemos:</p><p>Para obter a distância xm1 coberta pela motocicleta na primeira parte do percurso, usamos novamente a Eq. 2-15 com x0 = 0 e v0 =</p><p>0, mas, desta vez, substituímos o tempo pela expressão dada pela Eq. 2-21, o que nos dá</p><p>Durante o resto do tempo, t − tm, a motocicleta se move com velocidade constante (a velocidade máxima) e, portanto, a</p><p>aceleração é zero. Para obter a distância xm2 coberta nessa parte do percurso, usamos novamente a Eq. 2-15, mas, desta vez, com</p><p>v0 = vm (a velocidade no final da primeira parte) e a = 0. O resultado é o seguinte:</p><p>Para concluir os cálculos, substituímos as Eqs. 2-20, 2-22 e 2-23 na Eq. 2-19, o que nos dá</p><p>Substituindo ac, vm e am por valores numéricos, obtemos uma equação do segundo grau em t, cujas raízes (obtidas usando a</p><p>fórmula de Báskara ou uma calculadora) são t = 4,44 s e t = 16,6 s.</p><p>O que vamos fazer com duas respostas? Será que o carro emparelha duas vezes com a motocicleta? Não, claro que não, já que,</p><p>depois que o carro passa pela motocicleta, a distância entre os dois veículos aumenta cada vez mais. A única conclusão possível é</p><p>que uma das soluções da equação do segundo grau não tem significado físico. Como sabemos que o carro emparelha com a</p><p>motocicleta depois que a motocicleta atinge a velocidade máxima, o que acontece no instante t = 7,00</p><p>s, descartamos a solução</p><p>que nos dá um tempo t < 7,00 s e concluímos que a ultrapassagem acontece no instante</p><p>A Fig. 2-11 mostra um gráfico da posição do carro e da motocicleta em função do tempo, com o ponto de ultrapassagem</p><p>assinalado. Note que, a partir de t = 7,00 s, o gráfico da posição da motocicleta, que tinha a forma de uma parábola (porque a</p><p>velocidade estava aumentando), passa a ter a forma de uma reta (porque a velocidade se tornou constante).</p><p>Figura 2-11 Gráfico da posição do carro e da motocicleta em função do tempo.</p><p>Mais sobre Aceleração Constante*</p><p>2-5 ACELERAÇÃO EM QUEDA LIVRE</p><p>Objetivos do Aprendizado</p><p>Ideias-Chave</p><p>g = 9,8 m/s2</p><p>Aceleração em Queda Livre</p><p>A aceleração em queda livre nas proximidades da superfície da Terra é a = −g = −9,8 m/s2, e o módulo da aceleração é g = 9,8</p><p>m/s2. Não substitua g por −9,8 m/s2 (mas sim por 9,8 m/s2).</p><p>Teste 5</p><p>(a) Se você arremessa uma bola verticalmente para cima, qual é o sinal do deslocamento da bola durante a subida, desde o ponto</p><p>inicial até o ponto mais alto da trajetória? (b) Qual é o sinal do deslocamento durante a descida, desde o ponto mais alto da</p><p>trajetória até o ponto inicial? (c) Qual é a aceleração da bola no ponto mais alto da trajetória?</p><p>Exemplo 2.05 Tempo de percurso de uma bola de beisebol lançada verticalmente</p><p>Na Fig. 2-13, um lançador arremessa uma bola de beisebol para cima ao longo do eixo y, com uma velocidade inicial de 12 m/s.</p><p>(a) Quanto tempo a bola leva para chegar ao ponto mais alto da trajetória?</p><p>IDEIAS-CHAVE</p><p>(1) Entre o instante em que a bola é lançada e o instante em que volta ao ponto de partida, sua aceleração é a aceleração em queda</p><p>livre, a = −g. Como a aceleração é constante, podemos usar as equações da Tabela 2-1. (2) A velocidade v no instante em que a</p><p>bola atinge a altura máxima é 0.</p><p>Cálculo: Como conhecemos v, a e a velocidade inicial v0 = 12 m/s e estamos interessados em determinar o valor de t, escolhemos</p><p>a Eq. 2-11, que contém essas quatro variáveis. Explicitando t, obtemos:</p><p>Cálculo: Podemos tomar o ponto de lançamento da bola como y0 = 0. Nesse caso, podemos escrever a Eq. 2-16 com y no lugar de</p><p>x, fazer y − y0 = y e v = 0 (na altura máxima) e explicitar y. O resultado é</p><p>(c) Quanto tempo a bola leva para atingir um ponto 5,0 m acima do ponto inicial?</p><p>Cálculo: Como conhecemos v0, a = −g e o deslocamento y − y0 = 5,0 m e queremos determinar t; escolhemos então a Eq. 2-15.</p><p>Substituindo x por y e fazendo y0 = 0, obtemos</p><p>Omitindo temporariamente as unidades (depois de observar que são coerentes), podemos escrever esta equação na forma</p><p>4,9t2 – 12t + 5,0 = 0.</p><p>Resolvendo essa equação do segundo grau, obtemos</p><p>Existem duas respostas diferentes! Isso, na verdade, não chega a ser uma surpresa, pois a bola passa duas vezes pelo ponto y =</p><p>5,0 m, uma vez na subida e outra vez na descida.</p><p>Figura 2-13 Um lançador arremessa uma bola de beisebol para cima. As equações de queda livre se aplicam tanto a objetos que</p><p>estão subindo como a objetos que estão caindo, desde que a influência do ar possa ser desprezada.</p><p>2-6 INTEGRAÇÃO GRÁFICA NA ANÁLISE DE MOVIMENTOS</p><p>Objetivos do Aprendizado</p><p>Ideias-Chave</p><p>Integração Gráfica na Análise de Movimentos</p><p>Exemplo 2.06 Integração gráfica de a em função de t: efeito chicote</p><p>Lesões do pescoço causadas pelo “efeito chicote” são frequentes em colisões traseiras, em que um automóvel é atingido por trás</p><p>por outro automóvel. Na década de 1970, os pesquisadores concluíram que a lesão ocorria porque a cabeça do ocupante era</p><p>jogada para trás por cima do banco quando o carro era empurrado para frente. A partir desta observação, foram instalados</p><p>encostos de cabeça nos carros, mas as lesões de pescoço nas colisões traseiras continuaram a acontecer.</p><p>Em um teste recente para estudar as lesões do pescoço em colisões traseiras, um voluntário foi preso por cintos a um assento,</p><p>que foi movimentado bruscamente para simular uma colisão na qual o carro de trás estava se movendo a 10,5 km/h. A Fig. 2-15a</p><p>mostra a aceleração do tronco e da cabeça do voluntário durante a colisão, que começa no instante t = 0. O início da aceleração do</p><p>tronco sofreu um retardo de 40 ms, tempo que o encosto do assento levou para ser comprimido contra o voluntário. A aceleração</p><p>da cabeça sofreu um retardo de mais 70 ms. Qual era a velocidade do tronco quando a cabeça começou a acelerar?</p><p>IDEIA-CHAVE</p><p>Podemos determinar a velocidade escalar do tronco em qualquer instante calculando a área sob a curva da aceleração do tronco,</p><p>a(t).</p><p>Cálculos: Sabemos que a velocidade inicial do tronco é v0 = 0 no instante t0 = 0, ou seja, no início da “colisão”. Queremos obter a</p><p>velocidade do tronco v1 no instante t1 = 110 ms, ou seja, quando a cabeça começa a acelerar.</p><p>Combinando as Eqs. 2-27 e 2-28, podemos escrever:</p><p>Por conveniência, vamos separar a área em três regiões (Fig. 2-15b). De 0 a 40 ms, a região A tem área nula:</p><p>áreaA = 0.</p><p>De 40 ms a 100 ms, a região B tem a forma de um triângulo cuja área é</p><p>De 100 ms a 110 ms, a região C tem a forma de um retângulo cuja área é</p><p>áreaC = (0,010 s)(50 m/s2) = 0,50 m/s.</p><p>Substituindo esses valores e fazendo v0 = 0 na Eq. 2-31, obtemos:</p><p>Comentários: Quando a cabeça está começando a se mover para a frente, o tronco já tem uma velocidade de 7,2 km/h. Os</p><p>pesquisadores afirmam que é essa diferença de velocidades nos primeiros instantes de uma colisão traseira que causa lesões do</p><p>pescoço. O movimento brusco da cabeça para trás acontece depois e pode agravar a lesão, especialmente se não existir um</p><p>encosto para a cabeça.</p><p>Figura 2-15 (a) Curva de a(t) para o tronco e a cabeça de um voluntário em uma simulação de colisão traseira. (b) Separação em</p><p>três partes da região entre a curva e o eixo dos tempos para calcular a área.</p><p>Revisão e Resumo</p><p>Perguntas</p><p>Problemas</p><p>. - ... O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema.</p><p>Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker, LTC, Rio de Janeiro, 2008.</p>