Juno Express Matemica

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<p>Editora W</p><p>Educando para o futuro!</p><p>Express</p><p>JUNO</p><p>Conjuntos Numéricos</p><p>Razão</p><p>Proporção</p><p>Médias</p><p>Equações</p><p>Potenciação</p><p>Radiciação</p><p>Produtos Notáveis</p><p>Fatoração</p><p>Matemática</p><p>CONJUNTOS NUMÉRICOS</p><p>Conjunto dos números naturais</p><p> = {0, 1, 2, 3, ...}</p><p>Algoritmo da divisão euclidiana:</p><p>■ D = d · q + r.</p><p>■ d ≠ 0.</p><p>■ 0 ≤ r < d.</p><p>Conjunto dos números inteiros</p><p> = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}</p><p>Conjunto dos múltiplos de a</p><p>Dado um número inteiro a:</p><p>M(a) = {x ∈  | x = a · k, k ∈ }</p><p>Número par e número ímpar</p><p>■ a ∈  é par se, e somente se:</p><p>a ∈ M(2) ⇔ a = 2 · k, k ∈ .</p><p>■ a ∈  é ímpar se, e somente se:</p><p>a ∉ M(2) ⇔ a = 2 · k + 1, k ∈ .</p><p>Número primo (a)</p><p>Número inteiro que tem quatro</p><p>divisores inteiros, sendo: ±1 e ±a.</p><p>Teorema fundamental da</p><p>aritmética</p><p>Todo número composto pode</p><p>ser fatorado em um produto único</p><p>de fatores primos. Exemplo:</p><p>Número de divisores de (a)</p><p>Decompor o número natural a,</p><p>em fatores primos naturais da for-</p><p>ma a = p1</p><p>k1 · p2</p><p>k2 · p3</p><p>k3 · ... · pn</p><p>kn. O número</p><p>de divisores naturais do natural a é:</p><p>n[D+</p><p>*(a)] = (k1 + 1) · (k2 + 1) · ... · (kn + 1)</p><p>Máximo divisor comum (MDC) e</p><p>mínimo múltiplo comum (MMC)</p><p>■ MDC(a, b) = máx[D(a) ∩ D(b)].</p><p>■ MMC(a, b) = mín[M+</p><p>*(a) ∩ M+</p><p>*(b)].</p><p>Propriedades do MDC e do MMC</p><p>■ MDC(a, b) · MMC(a, b) = a · b,</p><p>∀ a · b ∈ *.</p><p>■ D(a) ∩ D(b) = D[MDC(a, b)].</p><p>■ M+</p><p>*(a) ∩ M+</p><p>*(b) = M+</p><p>*[MMC(a, b)].</p><p>Números primos entre si</p><p>Propriedades:</p><p>■ MDC(a, b) = 1.</p><p>■ MMC(a, b) = a · b.</p><p>■ Se x divide a e x divide b, então</p><p>x divide a ± b.</p><p>■ Se p é primo e p divide a · b, en-</p><p>tão, p é divisor de a ou p é divisor de b.</p><p>■ Se a e b são divisores de x e</p><p>são primos entre si, então, a · b é</p><p>divisor de x.</p><p>■ MDC(a, b) = MDC(a, a ± b).</p><p>Critérios de divisibilidade</p><p>■ Por 2: número par.</p><p>■ Por 3: soma dos algarismos do</p><p>número seja divisível por 3.</p><p>■ Por 4: os dois últimos algaris-</p><p>mos do número seja um número</p><p>divisível por 4.</p><p>■ Por 5: o número tenha como úl-</p><p>timo algarismo o zero (0) ou cinco (5).</p><p>■ Por 6: o número deve ser divisível</p><p>simultaneamente por dois e por três.</p><p>Números racionais</p><p>É todo número:</p><p>com a ∈  e b ∈ *.</p><p>■ Geratriz da dízima periódica.</p><p>Dízima periódica simples</p><p>O período vem logo após a vírgula:</p><p>Período: dois elementos (63).</p><p>Dízima periódica composta</p><p>O(s) elemento(s) que se repete(m)</p><p>não vem(vêm) logo após a vírgula.</p><p>O período é composto por um</p><p>só elemento (6).</p><p>Números reais</p><p>■  ⊂  ⊂  ⊂ .</p><p>■  =  ∪ ( - ).</p><p>■  ∩ ( - ) = ∅.</p><p>■ * =  - {0}.</p><p>■ + = {x ∈  | x ≥ 0}.</p><p>■ +</p><p>* = {x ∈  | x > 0}.</p><p>■ − = {x ∈  | x ≤ 0}.</p><p>■ −</p><p>* = {x ∈  | x < 0}.</p><p>Fechamentos</p><p>■ r ∈  e s ∈  ⇒ r ± s ∈ .</p><p>■ r ∈  e s ∈  ⇒ r · s ∈ .</p><p>■ r ∈  e s ∈ * ⇒ r ÷ s ∈ .</p><p>■ r ∈  e a ∈  -  ⇒ r ± a ∈  - .</p><p>■ r ∈ * e a ∈  -  ⇒ r · a ∈  - .</p><p>■ r ∈ * e a ∈  - * ⇒ r ÷ a ∈  - .</p><p>■ a ∈  -  e b ∈  -  ⇒ a ± b ∈ .</p><p>■ a ∈  -  e b ∈  -  ⇒ a · b ∈ .</p><p>■ a ∈  -  e b ∈  - * ⇒ a ÷ b ∈ .</p><p>Desigualdades no conjunto dos</p><p>números reais</p><p>■ x < y ⇔ x + a < y + a, ∀ a ∈ .</p><p>■ x < y ⇔ a · x < a · y, ∀ a ∈ *+.</p><p>■ x < y ⇔ a · x > a · y, ∀ a ∈ *–.</p><p>Notação científica</p><p>g = a ·10n (1 ≤ |a| < 10)</p><p>RAZÃO</p><p>Divisão entre dois números in-</p><p>teiros a e b, com b ≠ 0.</p><p>■ a: é chamado de antecedente.</p><p>■ b: é chamado de consequente.</p><p>PROPORÇÃO</p><p>Sejam quatro números inteiros</p><p>a, b, c e d, com a ≠ 0 e b ≠ 0:</p><p>Propriedades das proporções</p><p>■ .</p><p>■ .</p><p>■ .</p><p>■ .</p><p>MÉDIAS</p><p>Média aritmética</p><p>Média aritmética ponderada</p><p>Média harmônica</p><p>Média geométrica</p><p>Propriedade</p><p>■ Média Arit. ≥ Média Geo.</p><p>Grandezas diretamente</p><p>proporcionais</p><p>Os números a, b e c são dire-</p><p>tamente proporcionais aos números</p><p>m, n e p se, e somente se:</p><p>Grandezas inversamente</p><p>proporcionais</p><p>Os números a, b e c são inver-</p><p>samente proporcionais aos números</p><p>m, n e p se, e somente se:</p><p>a · m = b · n = c · p = k</p><p>Divisão proporcional</p><p>Diretamente proporcional</p><p>Dividir um número N em partes</p><p>Editora W</p><p>Educando para o futuro!</p><p>diretamente proporcionais a a, b e c</p><p>significa determinar x, y e z, tais que:</p><p>Inversamente proporcional</p><p>Dividir um número N em partes</p><p>inversamente proporcionais a a, b e c</p><p>significa determinar x, y e z, tais que:</p><p>Regra de três simples</p><p>Sejam as grandezas A = (a1, a2)</p><p>e B = (b1, b2), em que um dos quatro</p><p>valores é a incógnita do problema.</p><p>Grandeza A Grandeza B</p><p>a1 b1</p><p>a2 b2</p><p>■ A é diretamente proporcional a B:</p><p>■ A é inversamente proporcional a B:</p><p>Regra de três composta</p><p>Sejam as grandezas A = (a1, a2),</p><p>B = (b1, b2), C = (c1, c2) e D = (d1, d2)</p><p>em que a incógnita do problema é b2.</p><p>A B C D</p><p>a1 b1 c1 d1</p><p>a2 b2 c2 d2</p><p>Admitindo que:</p><p>■ A é diretamente proporcional a B.</p><p>■ C é inversamente proporcional a B.</p><p>■ D é diretamente proporcional a B.</p><p>Montando aproporção:</p><p>EQUAÇÕES</p><p>Equação do 1° grau</p><p>Sentença aberta do tipo</p><p>ax + b = 0, com a ≠ 0.</p><p>x = ; V =</p><p>Equação do 2º grau</p><p>Sentença aberta do tipo:</p><p>ax² + bx + c = 0</p><p>Com a ≠ 0 e b e c ∈ R.</p><p>; D = b2 – 4ac</p><p>Discussão do número de raízes:</p><p>■ D > 0 ⇒ V = {x1, x2}</p><p>■ D = 0 ⇒ V =</p><p>■ D < 0 ⇒ V = ∅, (Sem raízes reais)</p><p>Propriedades das raízes</p><p>Composição de uma equação</p><p>do 2º grau (conhecidas as raízes)</p><p>x2 – Sx + P = 0</p><p>Em que: e</p><p>Discussão do número de soluções</p><p>Será determinado pelo D:</p><p>■ D > 0: r1 ≠ r2</p><p>■ D = 0: r1 = r2</p><p>■ D < 0: não existem raízes reais.</p><p>Equação produto</p><p>■ a · b = 0 ⇔ a = 0 ou b = 0.</p><p>Equações biquadradas</p><p>São equações do tipo:</p><p>ax4 + bx2 + c = 0, com a ≠ 0</p><p>Exemplo: x4 – 3x2 – 4 = 0</p><p>Chamando x2 de y, teremos:</p><p>y2 – 3y – 4 = 0 ⇒ D = (–3)2 – 4 · 1 · (–4)</p><p>⇒ D = 25 ⇒ x =</p><p>x’ = –1 e x” = 4. Como x2 = y, fica:</p><p>x2 = –1 ∉ R ou x2 = 4 ⇒ x = ±2.</p><p>S = {–2, 2}.</p><p>Composição de uma equação</p><p>biquadrada</p><p>Uma equação biquadrada de</p><p>raízes x1, x2, x3 e x4 pode ser com-</p><p>posta pela seguinte relação:</p><p>(x – x1) · (x – x2) · (x – x3) · (x – x4) = 0</p><p>Expressões numéricas</p><p>Resolver as expressões numéri-</p><p>cas através da seguinte ordem:</p><p>1° Resolver os parênteses ( ).</p><p>2° Resolver os colchetes [ ].</p><p>3° Resolver as chaves { }.</p><p>Dentro de cada sinal – ( ), [ ], { }</p><p>– deve -se obedecer a seguinte ordem:</p><p>Potenciações e Radiciações,</p><p>Multiplicações e Divisões Somas</p><p>e Subtrações na ordem em que</p><p>aparecerem.</p><p>POTENCIAÇÃO</p><p>Seja um número real a e um nú-</p><p>mero natural n:</p><p>Exceções à definição:</p><p>■ a0 = 1, ∀ a ≠ 0.</p><p>■ a1 = a, ∀ a ∈ R.</p><p>■ a–n = , ∀ a ≠ 0.</p><p>Propriedades</p><p>Satisfeitas todas as condições</p><p>para a, b, n e m, temos as seguintes</p><p>propriedades:</p><p>■ am · an = am + n.</p><p>■ (a ≠ 0).</p><p>■ an · bn = (a · b)n.</p><p>■ (am)n = am · n.</p><p>■ .</p><p>RADICIAÇÃO</p><p>Seja = x ⇔ xn = a.</p><p>Propriedades</p><p>■ .</p><p>■ .</p><p>■ .</p><p>■ .</p><p>■ .</p><p>■ (p ≠ 0).</p><p>Redução de radicais ao mesmo</p><p>índice</p><p>Para reduzirmos dois ou mais</p><p>radicais a um mesmo índice, ini-</p><p>cialmente, calculamos o mínimo</p><p>múltiplo comum entre os índices</p><p>e, em seguida, dividimos esse ín-</p><p>dice comum por todos os índices</p><p>anteriores, multiplicando o resulta-</p><p>do pelos expoentes dos fatores do</p><p>respectivo radicando.</p><p>Racionalização de</p><p>denominadores</p><p>Racionalizar um denomina-</p><p>dor significa eliminar o radical do</p><p>denominador. A racionalização</p><p>pode ser feita multiplicando-se o</p><p>numerador e o denominador da</p><p>fração por um mesmo fator, ob-</p><p>tendo uma fração equivalente à</p><p>anterior. Esse fator é chamado de</p><p>fator racionalizante.</p><p>Exemplos:</p><p>■</p><p>■</p><p>PRODUTOS NOTÁVEIS</p><p>Produto da soma pela diferença</p><p>(a + b) · (a – b) = a2 – b2</p><p>Quadrado da soma</p><p>(a + b)2 = a2 + 2ab + b2</p><p>Quadrado da diferença</p><p>(a – b)2 = a2 – 2ab + b2</p><p>Cubo da soma</p><p>(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3</p><p>Quadrado da soma de 3</p><p>parcelas</p><p>(a + b + c)2 =</p><p>= a2 + b2 + c2 + 2 · (ab + ac + bc)</p><p>FATORAÇÃO</p><p>Fator comum</p><p>ax + bx = x · (a + b)</p><p>Agrupamento</p><p>ax + bx + ay + by</p><p>= x · (a + b) + y · (a + b)</p><p>= (a + b) · (x + y)</p><p>Diferença de dois quadrados</p><p>a2 – b2 = (a + b) · ( a – b)</p><p>Quadrado perfeito</p><p>■ a2</p><p>+ 2ab + b2 =</p><p>= (a + b) · (a + b) = (a + b)2</p><p>■ a2 – 2ab + b2 =</p><p>= (a – b) · (a – b) = (a – b)2</p><p>Soma e diferença de cubos</p><p>■ a3 + b3 = (a + b) · (a2 – ab + b2)</p><p>■ a3 – b3 = (a – b) · ( a2 + ab + b2)</p><p>Cubo perfeito</p><p>■ a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 =</p><p>= (a + b) · (a + b) · (a + b) = (a + b)3</p><p>■ a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 =</p><p>= (a – b) · (a – b) · (a – b) = (a – b)3</p><p>Trinômio do 2º grau do tipo</p><p>ax2 + bx + c = 0</p><p>ax2 + bx + c = a · (x – r’) · (x – r’’)</p><p>Onde r’ e r’’ são as raízes.</p><p>Trinômio do tipo quadrado</p><p>perfeito</p><p>a2 + 2ab + b2 = (a + b)2</p><p>Caso especial</p><p>a4 + a2 + 1 = a4 + 2a2 + 1 – a2 =</p><p>= (a2 + 1 )2 – a2 =</p><p>= (a2 +1 + a) · (a2 + 1 – a)</p><p>JUNO</p><p>Matemática</p><p>Conjuntos</p><p>Intervalos Reais</p><p>Funções - Parte IExpress</p><p>Editora W</p><p>Educando para o futuro!</p><p>CONJUNTOS</p><p>Tipos de conjuntos</p><p>Conjunto vazio</p><p>Desprovido de elementos:</p><p>A = ∅ ou A = { } ⇔ ∀ x ⇒ x ∉ A</p><p>Conjunto unitário</p><p>Possui um único elemento.</p><p>Conjunto universo</p><p>Possui todos os elementos em</p><p>estudo.</p><p>Relações de pertinência</p><p>Relacionam um elemento com</p><p>um conjunto. São eles: ∈ e ∉.</p><p>Subconjunto de um conjunto</p><p>Relacionam um conjunto com</p><p>seu subconjunto.Matematicamen-</p><p>te: A ⊂ B ⇔ (∀ x) (x ∈ A ⇒ x ∈ B).</p><p>Relações de inclusão</p><p>São elas ⊂, ⊄, ⊃ e ⊄. Da um co-</p><p>nunto A e seu subconjunto B, temos:</p><p>■ B ⊂ A ⇔ (∀ x) (x ∈ B ⇒ x ∈ A).</p><p>Igualdade entre conjuntos</p><p>Todos os elementos de um são</p><p>elementos do outro.</p><p>■ A = B ⇔ A ⊂ B e B ⊂ A</p><p>Se um conjunto não é igual</p><p>ao outro conjunto temos:</p><p>A ≠ B ⇔ A ⊄ B ou B ⊄ A</p><p>Conjunto das partes de um</p><p>conjunto</p><p>Formado por todos os subcon-</p><p>juntos de um conjunto, ou seja:</p><p>P(A) = {X | X ⊂ A}. Observe que</p><p>X ∈ P(A) ⇔ X ⊂ A.</p><p>Propriedades</p><p>■ A ∈ P(A).</p><p>■ ∅ ∈ P(A).</p><p>■ Se um conjunto A tem n elemen-</p><p>tos, então P(A) tem 2n elementos.</p><p>Operações entre conjuntos</p><p>Reunião ou união</p><p>A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}</p><p>Diferença</p><p>A – B = {x | x ∈ A e x ∉ B}</p><p>■ n(A – B) = n(A) – n(A ∩ B).</p><p>Propriedades</p><p>■ = A – B = {x | x ∈ A e x ∉ B}.</p><p>■ X ⊂ S ⇒ = S – X = .</p><p>Intersecção</p><p>A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}</p><p>n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)</p><p>Outras características dos</p><p>conjuntos</p><p>■ ∀ A, A ∉ A.</p><p>■ ∀ A, A ⊂ A.</p><p>■ ∀ A, ∅ ⊂ A.</p><p>■ ∀ x, x ∉ ∅.</p><p>■ ∀ A, A ≠ {A}.</p><p>■ ∅ ≠ {∅}.</p><p>■ A ⊂ B ⇔ A ∪ B = B.</p><p>■ A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A.</p><p>■ A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).</p><p>■ A ∩ (B ∪) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).</p><p>■ A ⊂ B ⇔ ⊂ .</p><p>■ .</p><p>■ .</p><p>INTERVALOS REAIS</p><p>Dados: a ∈ R, b ∈ R e a < b.</p><p>A = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}</p><p>B = {x ∈ R | a < x < b}</p><p>C = {x ∈ R | a < x ≤ b}</p><p>D = {x ∈ R | a ≤ x < b}</p><p>Tipos de intervalos</p><p>Intervalo aberto</p><p>]a, b[ = {x ∈ R | a < x < b}</p><p>Representação geométrica:</p><p>Intervalo fechado</p><p>[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}</p><p>Representação geométrica:</p><p>Intervalos semiabertos</p><p>■ [a, b[ = {x ∈ R | a ≤ x < b}</p><p>Representação geométrica:</p><p>■ ]a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}</p><p>Representação geométrica:</p><p>Intervalos infinitos</p><p>[c, +∞[ = {x ∈ R | x ≥ c} = [c, +∞)</p><p>Representação geométrica:</p><p>]–∞, c[ = {x ∈ R | x < c} = (–∞, c)</p><p>Representação geométrica:</p><p>]–∞, c] = {x ∈ R | x ≤ c} = (–∞, c]</p><p>Representação geométrica:</p><p>FUNÇÕES</p><p>Par ordenado</p><p>É todo par de números (a, b).</p><p>Produto cartesiano</p><p>Dados os conjuntos A e B. De-</p><p>finimos produto cartesiano de A</p><p>por B, nessa ordem, o conjunto de</p><p>todos os pares ordenados (x, y), em</p><p>que x é elemento de A e y é elemen-</p><p>to de B. Matematicamente, temos:</p><p>A × B = {(x, y) | x ∈ A e y ∈ B}</p><p>Propriedades</p><p>A × B ≠ B × A (a relação não</p><p>é comutativa).</p><p>■ A × ∅ = ∅.</p><p>■ ∅ × ∅ = ∅.</p><p>■ A2 = A × A.</p><p>■ n(A × B) = n(A) ⋅ n(B).</p><p>Relações binárias</p><p>Sejam dois conjuntos A e B.</p><p>Uma relação binária de A em B</p><p>é todo subconjunto do produto</p><p>cartesiano de A por B, em que A</p><p>é chamado de conjunto de parti-</p><p>da (domínio) e B é chamado de</p><p>conjunto de chegada (imagem).</p><p>R = {(x, y) ∈ A × B | Lei de associação}</p><p>Definição de função ou</p><p>aplicação</p><p>É toda relação binária entre</p><p>dois conjuntos A e B não vazios, de</p><p>modo que todo elemento do con-</p><p>junto A se relaciona com um único</p><p>elemento do conjunto B.</p><p>■ Domínio: Conjunto A.</p><p>■ Contradomínio: B</p><p>Domínio de uma função real</p><p>É dado por todos os valores re-</p><p>ais de x em R.</p><p>Gráfico de uma função</p><p>D = {x ∈ R | a ≤ x < b}</p><p>Im = {y ∈ R | c ≤ y < d}</p><p>Editora W</p><p>Educando para o futuro!</p><p>Classificação das funções</p><p>Função sobrejetora</p><p>■ Im(f) = CD(f).</p><p>Função injetora</p><p>■ Para todo x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2),</p><p>com x1, x2 ∈ Dom(f).</p><p>Função bijetora</p><p>■ f é sobrejetora e injetora simul-</p><p>taneamente.</p><p>Funções monotônicas</p><p>(monótonas)</p><p>■ f é estritamente crescente em P</p><p>se, e somente se, para todo x1 < x2</p><p>⇒ f(x1) < f(x2).</p><p>■ f é crescente em P se, e somente</p><p>se, para todo x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2).</p><p>■ f é estritamente decrescente em</p><p>P se, e somente se, para todo x1 < x2</p><p>⇔ f(x1) > f(x2).</p><p>■ f é decrescente em P se, e somen-</p><p>te se, para todo x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2).</p><p>■ f é constante em P se, e somen-</p><p>te se, para todo x1 < x2 ⇒ f(x1) = f(x2),</p><p>∀ x1, x2 ∈ P.</p><p>Função modular</p><p>Módulo de um número real</p><p>Seja x um número real. Se:</p><p>■ x ≥ 0 ⇒ |x| = x.</p><p>■ x ≤ 0 ⇒ |x| = –x.</p><p>Definição de função modular</p><p>É toda função f:  → , tal que:</p><p>Gráfico da função modular</p><p>Propriedades da função</p><p>modular</p><p>Sendo a > 0, temos:</p><p>■ |x| = a ⇔ x = a ou x = –a.</p><p>■ |x| < a ⇔ –a < x < a.</p><p>■ |x| > a ⇔ x < –a ou x > a.</p><p>■ |x · y| = |x| · |y|.</p><p>■ .</p><p>■ |x + y| ≤ |x| + |y|.</p><p>■ |x – y| ≥ |x| – |y|.</p><p>Função definida por várias</p><p>sentenças</p><p>É toda função f:  →  definida</p><p>por mais de uma lei de formação.</p><p>Acompanhe o exemplo:</p><p>Função par</p><p>Uma função é par se, e somen-</p><p>te se, f(x) = f(–x), para todo x ∈ A.</p><p>O gráfico da função par é simétri-</p><p>co em relação ao eixo das ordenadas.</p><p>Função ímpar</p><p>Uma função é ímpar se, e somen-</p><p>te se, f(x) = –f(–x), para todo x ∈ A.</p><p>O gráfico da função ímpar é si-</p><p>métrico em relação à origem.</p><p>Composição de funções</p><p>Função inversa (um para um)</p><p>f–1(y) = x ⇔ f(x) = y</p><p>■ f: A → B é bijetora.</p><p>■ Para se determinar a sentença</p><p>da função inversa, basta isolar x na</p><p>sentença de f e trocar x por y.</p><p>■ Os gráficos de f e f–1 são si-</p><p>métricos em relação à bissetriz dos</p><p>quadrantes ímpares.</p><p>■ (y, x) ∈ f–1 ⇔ (x, y) ∈ (f–1)–1 = f(x, y).</p><p>Função do 1º grau</p><p>É toda função f: R → R, dada por</p><p>f(x) = ax + b, com a ≠ 0.</p><p>Gráfico da função do 1º grau</p><p>Raiz da função do 1º grau</p><p>f(x) = y = ax+ b = 0 ⇒ x =</p><p>Função do 2º grau</p><p>É toda função f:  → , dada</p><p>por f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0.</p><p>Raízes da função do 2º grau</p><p>São dados de acordo com o</p><p>discriminante (D) e o valor do coefi-</p><p>ciente de x2(a), temos:</p><p>Vértice da função do 2º grau</p><p>O vértice de uma função do 2º</p><p>grau é dado pelo ponto V.</p><p>Imagem da função do 2º grau</p><p>Para a > 0, temos:</p><p>■ Im(f ) = {y ∈  | y ≥ }.</p><p>Para a < 0, temos:</p><p>■ Im(f ) = {y ∈  | y ≤ }.</p><p>JUNO Funções - Parte II</p><p>Progressão Aritmética</p><p>Progressão Geométrica</p><p>Matemática</p><p>Express</p><p>Editora W</p><p>Educando para o futuro!</p><p>Função exponencial</p><p>Equações exponenciais</p><p>É toda equação em que a variá-</p><p>vel se encontra no expoente.</p><p>Exemplos:</p><p>■ 3x = 27 ⇔ x = 3. (3 é o Logaritmo)</p><p>■ 2x – 5 = 8 ⇔ x = 8.</p><p>Resolução de uma equação</p><p>exponencial</p><p>■ Reduzir os dois membros da</p><p>equação a potências de mesma</p><p>base (am = ap, com a ≠ 1 e a > 0).</p><p>■ Aplicar a propriedade m = p.</p><p>Função exponencial</p><p>É toda função f:  → , em que</p><p>f(x) = ax, com a ∈ (a > 0) e a ≠ 1.</p><p>■ Domínio: </p><p>■ Contradomínio: (reais posi-</p><p>tivos, maiores que zero).</p><p>Gráficos da função exponencial</p><p>Para f(x) = ax (1 ≠ a > 1 e x real)</p><p>Sendo a = 2 e atribuindo valores</p><p>reais para x, temos:</p><p>x –2 –1 0 1 2</p><p>y 1 2 4</p><p>Gráfico:</p><p>■ .</p><p>Se a = ( 0 < a < 1) e atribuin-</p><p>do valores reais para x, temos:</p><p>x –2 –1 0 1 2</p><p>y 4 2 1</p><p>Propriedades dos gráficos da</p><p>função exponencial</p><p>■ O gráfico da função f(x) = ax</p><p>não intercepta o eixo das abscissas.</p><p>■ O gráfico intercepta o eixo das</p><p>ordenadas no ponto (0, 1).</p><p>■ De maneira geral, podemos</p><p>convencionar os gráficos da função</p><p>exponencial da seguinte forma:</p><p>■ Para todo x1 e x2 do domínio,</p><p>temos x2 > x1 ⇔ y2 > y1 (f(x) é cres-</p><p>cente e Im = ).</p><p>■ Para todo x1 e x2 do domínio,</p><p>temos x2 > x1 ⇔ y2 < y1 (f(x) é de-</p><p>crescente e Im = R*</p><p>+.</p><p>Inequação exponencial</p><p>É toda inequação em que a in-</p><p>cógnita se encontra no expoente.</p><p>Exemplos:</p><p>■ 2x > 16 ⇒ x > 4.</p><p>■ ⇒ x ≤ –3.</p><p>■ 4x – 6 · 2x + 8 < 0 ⇒ 1 < x < 2.</p><p>Função logarítmica</p><p>Logaritmos</p><p>logab = x ⇔ ax = b</p><p>■ 0 < a ≠ 1 e b > 0 reais.</p><p>■ x real.</p><p>■ a: logaritmando.</p><p>■ b: base.</p><p>■ x: logaritmo.</p><p>Propriedades relativas à</p><p>definição dos logaritmos</p><p>■ P.1: loga1 = 0.</p><p>■ P.2: logaa = 1.</p><p>■ P.3: .</p><p>■ P.4: Se logan = logap ⇒ n = p.</p><p>■ P.5: logaa</p><p>p = p.</p><p>Propriedades operatórias</p><p>■ Logaritmo do produto:</p><p>loga(m · n) = logam + logan</p><p>■ Logaritmo do quociente:</p><p>loga = logam – logan</p><p>■ Logaritmo da potência:</p><p>logan</p><p>p = p · logan</p><p>■</p><p>Cologaritmo</p><p>cologan = loga = –logan com b</p><p>∈  e b ≠ 1</p><p>Mudança de base</p><p>■ (0 < c ≠ 1).</p><p>Consequências da mudança de</p><p>base</p><p>■ logab = .</p><p>■ .</p><p>Função logarítmica</p><p>É toda função f: *</p><p>+ → * dada</p><p>por f(x) = logax, com a ≠ 1 e a > 0,</p><p>com D = *</p><p>+, CD = .</p><p>Gráfico</p><p>Para f(x) = log2x, com a = 2,</p><p>f(x) = logax e a = 2 > 1, temos:</p><p>x 1 2 4</p><p>y –2 –1 0 1 2</p><p>Para , com a = ,</p><p>f(x) = logax e 0 < a < 1, temos:</p><p>x 1 2 4</p><p>y 2 1 0 –1 –2</p><p>Editora W</p><p>Educando para o futuro!</p><p>Propriedades dos gráficos da</p><p>função logarítmica</p><p>■ f(x) = logax não intercepta o</p><p>eixo das ordenadas.</p><p>■ O gráfico intercepta o eixo das</p><p>ordenadas no ponto de coordena-</p><p>das (1, 0). Logo f(x) = logax é 1.</p><p>■ Como o gráfico da função</p><p>exponencial intercepta o eixo das</p><p>abscissas no ponto (0, 1), conclui-</p><p>mos que a função logarítmica é</p><p>inversa da função exponencial.</p><p>■ Im = .</p><p>■ f(x) é crescente para quaisquer</p><p>x1 e x2 do domínio, com x2 > x1 ⇔</p><p>y2 > y1. Im = .</p><p>■ f(x) é decrescente para quais-</p><p>quer x1 e x2 do domínio, x2 > x1 ⇔</p><p>y2 < y1. Im = .</p><p>Logaritmos decimais</p><p>log n = c + m</p><p>Em que:</p><p>■ c ∈  é a característica.</p><p>■ 0 ≤ m < 1 é a mantissa, sendo m</p><p>encontrado na tábua de logaritmos.</p><p>Equações logarítmicas</p><p>Incógnita no logaritmando.</p><p>Exemplos:</p><p>■ log3x = 4 ⇔ x = 81.</p><p>■ log (x2 – 1) = log 8 ⇔ x’ = –3</p><p>ou x’’ = 3.</p><p>■ log2(x + 3) – log2(x – 3) = log27</p><p>⇔ x = 4.</p><p>■ logx – 1(x</p><p>2 – x – 4) = 2 ⇔ x = 5.</p><p>Observe a resolução de um</p><p>exercício que envolve sistemas:</p><p>Como x e y são elementos dos</p><p>logaritmandos, temos como condi-</p><p>ções de existência x > 0 e y > 0.</p><p>log x + log y = 7</p><p>⇒ log y = 7 – log x (I)</p><p>Substituindo log y, na segunda</p><p>equação, temos:</p><p>3 · log x – 2 · (7 – log x) = 1</p><p>⇒ 3 · log x – 14 + 2 · log x = 1</p><p>⇒ 5 · log x = 15</p><p>Aplicando a definição: x = 103.</p><p>Substituindo o valor de x em (I):</p><p>log y = 7 – log 103 ⇔ y = 104</p><p>S = {(103, 104)}.</p><p>Inequações logarítmicas</p><p>Logaritmos com a incógnita no</p><p>logaritmando, na base ou em ambos.</p><p>■ log2x > 1 ⇒ x > 2.</p><p>■ log3(x + 3) ≤ 2 ⇒ –3 < x ≤ 6.</p><p>Passos para a resolução:</p><p>■ Redução dos dois membros a</p><p>logaritmos de mesmas bases.</p><p>■ Levar em consideração que:</p><p>• a > 1: logab > logac ⇒ b > c > 0</p><p>• 0 < a < 1: logab > logac</p><p>⇒ 0 < b < c</p><p>Exemplo:</p><p>■ log2(x + 6) > log28.</p><p>C.E: x + 6 > 0 ⇒ x > –6 (I).</p><p>x + 6 > 8 e, daí, x > 2 (II)</p><p>S = SI ∩ SII = {x ∈  | x > 2}.</p><p>PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)</p><p>a2 – a1 = a3 – a2 = ... = an – an – 1 = r</p><p>Termo geral da PA</p><p>an = a1 + (n – 1) · r, ∀ n ∈ ℕ*</p><p>Classificação da P.A</p><p>■ Crescente: r > 0.</p><p>■ Decrescente: r < 0.</p><p>■ Constante: r = 0.</p><p>Notações especiais</p><p>■ PA com três termos: (x, x + r, x</p><p>+ 2r) ou (x – r, x, x + r). Razão r.</p><p>■ PA com quatro termos: (x, x + r,</p><p>x + 2r, x + 3r). Razão r ou (x – 3r,</p><p>x – r, x + r, x + 3r) Razão 2r.</p><p>■ PA com cinco termos: (x, x + r, x</p><p>+ 2r, x + 3r, x + 4r) ou (x – 2r, x – r,</p><p>x, x + r, x + 2r). Razão r.</p><p>■ PA com seis termos: (x, x + r, x</p><p>+ 2r, x + 3r, x + 4r, x + 5r) Razão r</p><p>ou (x – 5r, x – 3r, x – r, x + r, x + 3r</p><p>+ x – 5r) Razão 2r.</p><p>Soma dos n primeiros termos</p><p>Propriedades da PA</p><p>■ Três termos consecutivos:</p><p>■ A soma de dois termos equidis-</p><p>tantes dos extremos é igual à soma</p><p>dos extremos:</p><p>ap + ak = a1 + an</p><p>Interpolação aritmética</p><p>Significa inserir n termos (cha-</p><p>mados também de meios) aritméticos</p><p>entre dois números a e b, construindo</p><p>uma PA com n + 2 (n termos mais os</p><p>extremos a e b) termos.</p><p>PROGRESSÃO GEOMÉTRICA</p><p>Sequência numérica em que</p><p>qualquer termo, a partir do segun-</p><p>do, dividido pelo seu anterior, dá</p><p>origem a uma constante chamada</p><p>razão (q) da PG. Exemplo:</p><p>■ (2, 4, 8, 16, ...). PG de razão 2.</p><p>Termo geral de uma PG</p><p>an = a1 · q</p><p>n – 1</p><p>Classificação das P.G's</p><p>■ Crescente:</p><p>• a1 > 0 e q > 1</p><p>• a1 < 0 e 0 < q < 1</p><p>■ Decrescente:</p><p>• a1 > 0 e 0 < q < 1</p><p>• a1 < 0 e q > 1</p><p>■ Alternante:</p><p>• q < 0</p><p>■ Constante:</p><p>• a1 = 0</p><p>• r = 1</p><p>■ Estacionária:</p><p>• a1 ≠ 0</p><p>• an = 0</p><p>• q = 0</p><p>Notações especiais</p><p>■ Três termos: r = q.</p><p>• (x, x · q, x · q2)</p><p>•</p><p>■ Quatro termos:</p><p>• (x, x · q, x · q2, x · q3). r = q</p><p>• . r = q2.</p><p>■ Cinco termos: r = q.</p><p>• (x, x · q, x · q2, x · q3, x · q4)</p><p>•</p><p>Propriedades da PG</p><p>b =</p><p>ap · ak = a1 · an</p><p>Soma dos n primeiros termos de</p><p>uma PG finita (q ≠ 1).</p><p>Soma dos termos de uma PG</p><p>infinita e convergente (–1 < q < 1)</p><p>JUNO Matrizes</p><p>Determinantes</p><p>Sistemas Lineares</p><p>Matemática Financeira</p><p>Estatística</p><p>Matemática</p><p>Express</p><p>Editora W</p><p>Educando para o futuro!</p><p>MATRIZ</p><p>Matriz generalizada</p><p>Lê-se: matriz A dos elementos</p><p>aij de ordem m x n.</p><p>■ Matriz quadrada: número de</p><p>linhas igual ao de colunas.</p><p>• Triangular: elementos aci-</p><p>ma ou abaixo da diagonal prin-</p><p>cipal são todos nulos.</p><p>• Diagonal: elementos, exceto</p><p>os da diagonal principal, são nulos.</p><p>■ Unidade ou identidade: os</p><p>elementos da diagonal principal são</p><p>iguais a 1 e todos os demais são nulos:</p><p>■ Matriz transposta: as linhas</p><p>da matriz origem são, ordenada-</p><p>mente, as colunas da matriz trans-</p><p>posta e é indicada por At.</p><p>Propriedades:</p><p>• (At)t = A.</p><p>• (a · A)t = a · At.</p><p>• (A + B)t = At + Bt.</p><p>• (A · B)t = Bt · At.</p><p>■ Matriz simétrica: é uma ma-</p><p>triz igual à sua transposta (A = At).</p><p>Propriedades:</p><p>• Os elementos simétricos à</p><p>diagonal principal são iguais.</p><p>• Os elementos que compõem</p><p>a diagonal principal não precisam</p><p>ser necessariamente nulos.</p><p>• A matriz simétrica deve ser</p><p>quadrada.</p><p>■ Matriz antissimétrica: é uma</p><p>matriz quadrada igual à oposta da</p><p>sua transposta (A = –At).</p><p>• A matriz antissimétrica deve</p><p>ser quadrada.</p><p>• Os elementos simétricos à</p><p>diagonal principal são opostos.</p><p>• Os elementos da diagonal</p><p>principal são todos nulos.</p><p>■ Matriz oposta: os elementos</p><p>com sinais trocados em relação à</p><p>matriz origem (A = –A).</p><p>Operações com matrizes</p><p>■ Adição: soma dos elementos</p><p>de mesma ordem.</p><p>a11 + b11 + c11 + ... + n11</p><p>■ Subtração: subtrai-se os ele-</p><p>mentos de mesma ordem.</p><p>Multiplicação de um número</p><p>real por uma matriz</p><p>Multiplica-se cada um dos ele-</p><p>mentos dessa matriz por esse número.</p><p>Igualdade de matrizes</p><p>Ambas têm a mesma ordem e</p><p>elementos correspondentes iguais.</p><p>Multiplicação de matrizes</p><p>Dadas as matrizes:</p><p>A = (aij)m x n e B = (bij)n x p (A x B):</p><p>e</p><p>■ 1ª linha e 1ª coluna:</p><p>■ 1ª linha e 2ª coluna:</p><p>■ 2ª linha e 1ª coluna:</p><p>■ 2ª linha e 2ª coluna:</p><p>Assim, .</p><p>■ Veja que A · B ≠ B · A (A e B não</p><p>são comutáveis).</p><p>■ Para existir o produto devemos ter:</p><p>Am x n · Bn x p = Cm x p</p><p>■ Podemos ter A · B = 0 mesmo</p><p>se A ≠ 0 e B ≠ 0.</p><p>■ Podemos ter A · C = B · C mes-</p><p>mo com A ≠ B e C ≠ 0.</p><p>Propriedades</p><p>■ Associativa: (A · B) · C = A · (B · C).</p><p>■ A · (B + C) = A · B + A · C ou (A</p><p>+ B) · C = A · C + B · C.</p><p>■ Elemento neutro: a matriz iden-</p><p>tidade de ordem n.</p><p>Matriz inversa</p><p>⇒</p><p>Para que uma matriz admita in-</p><p>versa, basta que o determinante dela</p><p>seja diferente de zero.</p><p>DETERMINANTES</p><p>Determinante de 2ª ordem</p><p>Determinante de 3ª ordem</p><p>Método de Laplace</p><p>Menor complementar</p><p>Tomando uma matriz de ordem</p><p>3, temos:</p><p>■ Menor complementar relativo</p><p>ao elemento a11:</p><p>■ Menor complementar relativo</p><p>ao elemento a12:</p><p>Cofator</p><p>Aij = (–1)i + j. MCij. Dada a matriz:</p><p>Calcular os cofatores A22 e A23:</p><p>Teorema de Laplace</p><p>"Soma dos produtos dos elemen-</p><p>tos de uma fila qualquer da matriz M,</p><p>Editora W</p><p>Educando para o futuro!</p><p>multiplicados pelos seus respectivos</p><p>cofatores". Dessa forma, fixando j ∈</p><p>, tal que 1 ≤ j ≤ m, temos:</p><p>Det M = a11 · A11 + a12 · A12 + a13 · A13</p><p>Propriedades dos determinantes</p><p>Propriedades que anulam o</p><p>valor do determinante</p><p>■ P.1. Elementos de uma fila (li-</p><p>nha ou coluna) nulos.</p><p>■ P.2. Duas</p><p>filas iguais.</p><p>■ P.3. Duas filas paralelas propor-</p><p>cionais.</p><p>■ P.4. Elementos de uma fila são</p><p>combinações lineares dos elementos</p><p>correspondentes de filas paralelas.</p><p>Propriedades que não alteram o</p><p>valor do determinante</p><p>■ P.5. Teorema de Jacobi: o</p><p>determinante de uma matriz não</p><p>se altera quando somamos aos</p><p>elementos de uma fila uma com-</p><p>binação linear dos elementos cor-</p><p>respondentes de filas paralelas.</p><p>Propriedades que alteram o</p><p>valor do determinante</p><p>■ P.6. Multiplicando por um nú-</p><p>mero real todos os elementos de</p><p>uma fila em uma matriz, o determi-</p><p>nante dessa matriz fica multiplicado</p><p>por esse número.</p><p>■ P.7. Quando trocamos as posi-</p><p>ções de duas filas paralelas, o determi-</p><p>nante de uma matriz muda de sinal.</p><p>Propriedades complementares</p><p>■ P.8. Elementos acima ou abaixo</p><p>da diagonal principal todos nulos,</p><p>o determinante é igual ao produto</p><p>dos elementos dessa diagonal.</p><p>■ P.9. O determinante de uma ma-</p><p>triz e o de sua transposta são iguais.</p><p>■ P.11. Para A e B matrizes qua-</p><p>dradas de mesma ordem n, temos:</p><p>det (A · B) = det A · det B.</p><p>■ Se k ∈  e a matriz A é de or-</p><p>dem n, então det (k · A) = kn · det A.</p><p>Determinante de uma matriz de</p><p>Vandermonde</p><p>Det = (d – c) · (d – b) · (d – a) · (c – b)</p><p>· (c – a) · (b – a)</p><p>Regra de Chió</p><p>Desde que a matriz M tenha</p><p>a11 = 1, suprimimos a 1ª linha e a</p><p>1ª coluna de M.</p><p>SISTEMAS LINEARES</p><p>São sistemas formados por</p><p>equações lineares.</p><p>Equação linear</p><p>a1x1 + a2x2 + ... + anxn= b</p><p>• a1, a2, ...., an ∈ </p><p>• x1, x2, ..., xn incógnitas</p><p>• b ∈ </p><p>Equação linear homogênea</p><p>a1x1 + a2x2 + ... + anxn= b (b = 0)</p><p>Classificação de um sistema</p><p>linear</p><p>Possível e determinado (SPD)</p><p>Admite uma única solução.</p><p>Possível e indeterminado (SPI)</p><p>Admite infinitas soluções.</p><p>Impossível (SI)</p><p>Não admite solução.</p><p>Sistemas lineares equivalentes</p><p>Têm o mesmo conjunto solução.</p><p>Forma matricial</p><p>Fazendo o produto C · V, temos:</p><p>C · V = T</p><p>Método de Cramer</p><p>Número de equações é igual ao</p><p>número de variáveis.</p><p>Admitindo D ≠ 0, o sistema será</p><p>possível e determinado (S.P.D).</p><p>• Se D ≠ 0 ⇒ SPD.</p><p>• Se D = 0 ⇒ SPI ou SI.</p><p>Escalonamento</p><p>O número de coeficientes nu-</p><p>los, que precedem o primeiro coefi-</p><p>ciente não nulo, aumenta de equa-</p><p>ção a equação. Exemplo:</p><p>■ SPD escalonado:</p><p>S = {(1, 2, 3)}</p><p>■ SPI escalonado em que o nú-</p><p>mero de equações é menor que o</p><p>número de variáveis:</p><p>Para a resolução desse sistema,</p><p>iremos considerar a variável z (variável</p><p>livre), chamando-a de k (z = k). Veja:</p><p>y + z = 4 ⇒ y + k = 4 ⇒ y = 4 – k</p><p>Substituindo y (y = 4 – k) e z (z</p><p>= k) na equação (I), temos:</p><p>⇒ x = 3k – 6</p><p>S = {(3k – 6, 4 – k, k)}.</p><p>Propriedades que não alteram o</p><p>conjunto solução de um sistema</p><p>linear</p><p>■ Troca de posição duas ou mais</p><p>equações.</p><p>■ produto de toda uma equação</p><p>por um número real não nulo.</p><p>■ Adição de uma equação outra</p><p>previamente multiplicada por um</p><p>número real não nulo.</p><p>Discussão de um sistema linear</p><p>Discutir um sistema linear é</p><p>classificá-lo como SPD, SPI e SI.</p><p>■ Número de equações é igual ao</p><p>número de variáveis.</p><p>Iremos discutir o sistema a se-</p><p>guir em função do parâmetro k.</p><p>;</p><p>Para SPD ⇒ D ≠ 0. Assim, k2 – 4</p><p>≠ 0 ⇒ k ≠ 2 ou k ≠ –2 .</p><p>Veja que para k = ±2, temos o</p><p>determinante igual a 0.</p><p>■ Substituindo k = 2, temos:</p><p>Para k = 2, o sistema é SPI.</p><p>■ Substituindo k = –2, temos:</p><p>Para k = –2, o sistema é SI.</p><p>Sistemas lineares homogêneos</p><p>É um sistema for formado exclusi-</p><p>vamente por equações homogêneas.</p><p>Por exemplo:</p><p>Veja que o termo (0, 0, 0) é</p><p>solução do sistema. Assim, conclu-</p><p>ímos que o sistema linear homogê-</p><p>neo é sempre possível.</p><p>Discussão do sistema linear</p><p>homogêneo</p><p>Queremos saber se o sistema Li-</p><p>near homogêneo ainda admite ou-</p><p>tras soluções, além da trivial. Assim:</p><p>■ Se D ≠ 0 ⇒ SPD.</p><p>■ Se D = 0 ⇒ SPI.</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Juros simples</p><p>Modalidade de juros resultante da</p><p>aplicação de um capital C a uma taxa i,</p><p>durante um período t de tempo.</p><p>Resultado obtido, quando so-</p><p>mamos o capital e os juros:</p><p>M = C + J</p><p>Juros compostos</p><p>M = C · (1 + i)t</p><p>■ M = C + J ⇔ J = M – C.</p><p>■ (1 + i)t: fator de capitalização.</p><p>ESTATÍSTICA</p><p>■ Média , com Σfi = n.</p><p>■ Moda (Mo): é o elemento de</p><p>frequência máxima.</p><p>■ Mediana (Md): é o elemento que</p><p>ocupa a posição central, se o con-</p><p>junto tiver um número ímpar de ele-</p><p>mentos, ou é a média aritmética dos</p><p>dois valores centrais, se o conjunto</p><p>tiver um número par de elementos.</p><p>■ Desvio: D = xi – .</p><p>■ Desvio médio:</p><p>■ Desvio padrão:</p><p>■ Variância:</p><p>JUNO Análise Combinatória</p><p>Probabilidade</p><p>Números Complexos</p><p>Binômio de Newton</p><p>Geometria Plana - Parte I</p><p>Matemática</p><p>Express</p><p>Editora W</p><p>Educando para o futuro!</p><p>ANÁLISE COMBINATÓRIA</p><p>Princípio fundamental da</p><p>contagem (PFC)</p><p>Se um evento ocorrer em k eta-</p><p>pas distintas e independentes entre si:</p><p>N = P1 · P2 · P3 · P4 · ... · Pk</p><p>Em que:</p><p>■ P1: o número de possibilidades</p><p>da 1ª etapa.</p><p>■ P2: o número de possibilidades</p><p>da 2ª etapa.</p><p>.............................................................</p><p>■ Pk: o número de possibilidades da</p><p>k-ésima etapa.</p><p>Arranjos</p><p>São agrupamentos de n elemen-</p><p>tos tomados de p a p. Eles se dife-</p><p>rem pela ordem ou pela natureza</p><p>dos elementos que os constituem.</p><p>Arranjos simples</p><p>São agrupamentos de p elemen-</p><p>tos, no universo de n, em que não</p><p>ocorre a repetição de elementos.</p><p>Arranjo com repetição</p><p>Os p elementos podem se repe-</p><p>tir nos agrupamentos formados.</p><p>An, p = np</p><p>Permutações</p><p>É um caso de arranjo em que</p><p>são utilizados todos os elementos</p><p>do conjunto, ou seja, n = p.</p><p>Permutações simples</p><p>É um caso em que n = p.</p><p>Pn = n!</p><p>Permutação com repetição</p><p>É um tipo de agrupamento com</p><p>repetição em que um grupo difere do</p><p>outro pela simples troca de posição.</p><p>Anagrama</p><p>É uma (outra) palavra constru-</p><p>ída com as mesmas letras da pa-</p><p>lavra original trocadas de posição.</p><p>Pn = n!</p><p>Permutações circulares</p><p>É um tipo de permutação que</p><p>ocorre quando obtemos grupos</p><p>com m elementos distintos forman-</p><p>do uma circunferência.</p><p>Pn = (n – 1)!</p><p>Combinações</p><p>São agrupamentos formados</p><p>pelos n elementos de um conjunto.</p><p>Esses agrupamentos diferem uns</p><p>dos outros pela natureza dos ele-</p><p>mentos que os constituem.</p><p>Combinações simples</p><p>Não ocorre a repetição dos p</p><p>elementos do conjunto.</p><p>Combinações com repetição</p><p>Ocorre a repetição dos p ele-</p><p>mentos do conjunto.</p><p>Cn, p = C(n + p – 1, p)</p><p>PROBABILIDADE</p><p>Experimento aleatório</p><p>É todo experimento que, repe-</p><p>tido nas mesmas condições, produz</p><p>resultados que não são previsíveis.</p><p>Experimento determinístico</p><p>É todo experimento que, repe-</p><p>tido nas mesmas condições, produz</p><p>resultados previsíveis.</p><p>Espaço amostral (U)</p><p>Conjunto de todos os resultados</p><p>possíveis de um experimento aleatório.</p><p>Evento</p><p>Subconjunto do espaço amostral.</p><p>Espaço amostral equiprovável</p><p>Todos os eventos possuem a</p><p>mesma chance de ocorrência.</p><p>Conceito de probabilidade</p><p>Seja um espaço amostral U (fi-</p><p>nito e equiprovável) e um evento A.</p><p>Probabilidade da união de dois</p><p>eventos</p><p>Sejam A e B eventos situados</p><p>em um mesmo espaço amostral U.</p><p>P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)</p><p>Evento complementar</p><p>Consideremos A e dois even-</p><p>tos de um mesmo espaço amostral U.</p><p>P(A) + P( ) = 1</p><p>Experimentos não</p><p>equiprováveis</p><p>Experimentos cujos eventos</p><p>elementares não possuem a mesma</p><p>probabilidade de ocorrência.</p><p>Probabilidade condicional</p><p>Ocorrência do evento A condi-</p><p>cionada à ocorrência do evento cer-</p><p>to B, sabendo-se que vai ocorrer ou</p><p>ocorreu o evento B.</p><p>ou</p><p>Eventos independentes</p><p>P(A/B) = P(A) e P(B/A) = P(B)</p><p>Produto de probabilidades</p><p>P(A ∩ B) = P(A) · P(B/A)</p><p>Se A e B são independentes, en-</p><p>tão P(B/A) = P(B), logo:</p><p>P(A ∩ B) = P(A) · P(B)</p><p>NÚMEROS COMPLEXOS</p><p>Unidade imaginária</p><p>i = ⇒ i2 = –1</p><p>Forma algébrica</p><p>z = a + bi, com a, b ∈  e i2 = –1</p><p>Operações</p><p>(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) · i</p><p>Subtração</p><p>(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d) · i</p><p>Multiplicação</p><p>(a + bi) · (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc) · i</p><p>Divisão</p><p>Considerando c + di ≠ 0, temos:</p><p>Potências de i</p><p>i0 = 1; i1 = i; i2 = –1; i3 = –i</p><p>in ∈</p><p>{1, i, –1, –i}, ∀ n ∈ </p><p>Igualdade</p><p>a + bi = c + di ⇔ a = c e b = d</p><p>Conjugado</p><p>= a – bi</p><p>FORMA TRIGONOMÉTRICA</p><p>O plano de Argand-Gauss</p><p>Elementos:</p><p>■ Re: eixo real.</p><p>■ Im: eixo imaginário.</p><p>■ a: Re(z).</p><p>■ b: Im(z).</p><p>■ P: afixo de z = a + bi.</p><p>Módulo</p><p>r = |z| =</p><p>Argumento</p><p>É o número q, 0 ≤ q < 2p:</p><p>Forma trigonométrica ou polar</p><p>z = r · (cos q + i · sen q)</p><p>Editora W</p><p>Educando para o futuro!</p><p>Operações na forma</p><p>trigonométrica</p><p>z1 = r1 · (cos q1 + i · sen q1)</p><p>z2 = r2 · (cos q2 + i · sen q2)</p><p>Multiplicação</p><p>z1 · z2 =</p><p>r1 · r2 · [cos (q1 + q2) + i · sen (q1 + q2)]</p><p>Divisão</p><p>Potenciação</p><p>zn = rn · [cos (nq) + i · sen (nq)]</p><p>Radiciação</p><p>Em que k ∈ {0, 1, 2, ..., n – 1}.</p><p>BINÔMIO DE NEWTON</p><p>Fatorial</p><p>É definido pela relação:</p><p>n! = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ (n − 3) ⋅... ⋅</p><p>3 ⋅ 2 ⋅ 1, para n ≥ 2.</p><p>Definimos para n ∈ N que:</p><p>■ se n > 1: n! = n · (n – 1) · (n – 2)</p><p>· ... · 3 · 2 · 1.</p><p>■ se n = 1: n! = 1! = 1.</p><p>■ se n = 0: n! = 0! = 1.</p><p>Números binomiais</p><p>São os números escritos na forma:</p><p>Casos particulares</p><p>São casos em que a classe do nú-</p><p>mero binomial é p = 0, p = 1 e p = n.</p><p>■</p><p>■</p><p>■</p><p>Binomiais complementares</p><p>Numeradores iguais e a soma dos</p><p>denominadores igual ao numerador.</p><p>Propriedade importante</p><p>■ Binomiais complementares são</p><p>iguais.</p><p>Igualdade de binomiais</p><p>Dois números binomiais são</p><p>iguais se possuem o mesmo “deno-</p><p>minador” ou são complementares.</p><p>O triângulo de Pascal</p><p>Calculando cada número bino-</p><p>mial do triângulo de Pascal, temos:</p><p>Propriedades do triângulo de</p><p>Pascal</p><p>■ O primeiro e o último elemento</p><p>de cada linha são iguais a 1, pois</p><p>esses são do tipo .</p><p>■ Relação de Stifel:</p><p>■ A soma de todos os elementos</p><p>de uma linha é igual a 2n.</p><p>2n =</p><p>Desenvolvimento do binômio</p><p>de Newton</p><p>(x + a)n</p><p>Termo geral do binômio de</p><p>Newton</p><p>GEOMETRIA PLANA</p><p>Ângulo ou região angular</p><p>É a região convexa formada por</p><p>duas semirretas de mesma origem.</p><p>Notação: A B ou simplesmente .</p><p>Tipos de ângulos</p><p>Ângulos consecutivos</p><p>Mesmo vértice e têm um lado</p><p>em comum.</p><p>Ângulos adjacentes</p><p>Ãngulos consecutivos que não</p><p>possuem ponto interior comum.</p><p>■ A C e B C são ângulos adja-</p><p>centes.</p><p>Ângulos congruentes</p><p>São ângulos que possuem a</p><p>mesma medida.</p><p>Ângulo agudo</p><p>É todo ângulo que possui medi-</p><p>da menor do que 90°.</p><p>Ângulo reto</p><p>É todo ângulo que possui medi-</p><p>da igual a 90°.</p><p>Ângulo obtuso</p><p>90° < med(A B) < 180°</p><p>Ângulos complementares</p><p>São dois ângulos cuja soma das</p><p>medidas é 90°.</p><p>Ângulos suplementares</p><p>São dois ângulos cuja soma das</p><p>medidas é 180°.</p><p>Ângulos replementares</p><p>São dois ângulos cuja soma das</p><p>medidas é 360°.</p><p>Ângulos opostos pelo vértice</p><p>São ângulos formados pelo pro-</p><p>longamento dos lados de um deles.</p><p>Bissetriz de um ângulo</p><p>Semirreta de origem em um</p><p>vértice, que determina, com os la-</p><p>dos do ângulo, dois ângulos adja-</p><p>centes congruentes.</p><p>A C ≅ C B ⇔ med(A C) = med(C B)</p><p>é bissetriz do ângulo A B</p><p>Paralelismo</p><p>Retas r e s são paralelas distin-</p><p>tas e ainda “cortadas” por t, temos:</p><p>■ Colaterais internos: e , e .</p><p>■ Colaterais externos: e , e .</p><p>■ Alternos internos: e , e .</p><p>■ Alternos externos: e , e .</p><p>■ Correspondentes: e , e ,</p><p>e , e .</p><p>Propriedades:</p><p>■ Ângulos correspondentes são</p><p>congruentes.</p><p>■ Ângulos alternos são congruentes.</p><p>■ Ângulos colaterais são suple-</p><p>mentares.</p><p>Triângulos</p><p>DABC = AB ∪ AC ∪ BC</p><p>Propriedades dos ângulos</p><p>■ A soma dos ângulos internos:</p><p>= 180º</p><p>■ Ângulo externo e internos não</p><p>adjacentes.</p><p>■ Soma dos ângulos externos:</p><p>Condição de existência</p><p>Para que exista um triângulo:</p><p>a < b + c</p><p>b < a + c</p><p>c < a + b</p><p>ou</p><p>|b – c| < a < b + c</p><p>JUNO</p><p>Geometria Plana - Parte II</p><p>Matemática</p><p>Express</p><p>Editora W</p><p>Educando para o futuro!</p><p>Classificação</p><p>■ Quanto aos ângulos:</p><p>• Acutângulo: possui os três</p><p>ângulos agudos.</p><p>• Retângulo: possui um ân-</p><p>gulo reto.</p><p>• Obtusângulo: possui um</p><p>ângulo obtuso.</p><p>Classificação através dos lados:</p><p>• a2 = b2 + c2: o triângulo</p><p>será retângulo.</p><p>• a2 < b2 + c2: o triângulo será</p><p>acutângulo.</p><p>• a2 > b2 + c2: o triângulo será</p><p>obtusângulo.</p><p>■ Quanto aos lados:</p><p>• Escaleno: três lados com</p><p>medidas diferentes.</p><p>• Isósceles: apenas dois la-</p><p>dos com medidas congruentes.</p><p>• Equilátero: os três lados</p><p>congruentes.</p><p>Cevianas</p><p>Mediana</p><p>É todo segmento de reta que</p><p>tem como extremos um vértice e o</p><p>ponto médio do lado oposto.</p><p>■ AMA, BMB e CMC são as media-</p><p>nas do triângulo ABC.</p><p>Bissetriz interna</p><p>Semirreta com origem em um vér-</p><p>tice indo em direção ao seu lado opos-</p><p>to, dividindo o ângulo desse vértice em</p><p>dois ângulos adjacentes congruentes.</p><p>Bissetriz externa</p><p>■ BS é a bissetriz externa do vérti-</p><p>ce B do triângulo ABC.</p><p>Mediatriz</p><p>Altura</p><p>Altura no triângulo acutângulo:</p><p>Altura no triângulo retângulo:</p><p>Altura no triângulo obtusângulo:</p><p>Propriedades:</p><p>■ No triângulo isósceles, a media-</p><p>na, a bissetriz interna e externa, a</p><p>altura e a mediatriz relativas à base</p><p>são colineares.</p><p>■ Todo triângulo é circunscritível</p><p>em uma circunferência.</p><p>■ No triângulo equilátero, a me-</p><p>diana, a bissetriz, a altura e a media-</p><p>triz concorrem em um único ponto.</p><p>Pontos notáveis de um</p><p>triângulo</p><p>Baricentro</p><p>É o ponto de encontro das três</p><p>medianas de um triângulo.</p><p>Propriedades</p><p>■ GA= (2/3) · AMA</p><p>■ GB = (2/3) · BMB</p><p>■ GC = (2/3) · CMC</p><p>Incentro</p><p>É o ponto de encontro das bis-</p><p>setrizes internas do triângulo.</p><p>Propriedade</p><p>■ O incentro de um triângulo é</p><p>o centro da circunferência inscrita</p><p>nele. Essa circunferência tangen-</p><p>cia internamente os lados do tri-</p><p>ângulo.</p><p>Circuncentro</p><p>É o ponto de encontro das me-</p><p>diatrizes dos lados de um triângulo.</p><p>No triângulo acutângulo</p><p>No triângulo retângulo</p><p>É o ponto médio da hipotenusa</p><p>do triângulo retângulo.</p><p>No triângulo obtusângulo</p><p>O circuncentro é exterior ao tri-</p><p>ângulo.</p><p>Ortocentro</p><p>É o ponto de encontro das altu-</p><p>ras ou de seus prolongamentos.</p><p>FICHA 6</p><p>Geometria Plana - Parte II</p><p>Editora W</p><p>Educando para o futuro!</p><p>No triângulo acutângulo</p><p>AHA: altura relativa ao lado BC.</p><p>BHB: altura relativa ao lado AC.</p><p>CHC: altura relativa ao lado AB.</p><p>No triângulo obtusângulo</p><p>Propriedade</p><p>■ Ortocentro: sendo ABC um tri-</p><p>ângulo acutângulo ou obtusângulo,</p><p>o triângulo formado com vértices</p><p>nos pés das alturas (HA, HB, HC) é</p><p>chamado de triângulo órtico, o qual</p><p>é não retângulo, do triângulo ABC.</p><p>Base média no triângulo</p><p>É um segmento que tem como</p><p>extremidades os pontos médios de</p><p>dois lados. Esse segmento é paralelo</p><p>ao terceiro lado e ainda é a metade</p><p>da medida deste.</p><p>Quadriláteros notáveis</p><p>Trapézio</p><p>Possui dois lados paralelos.</p><p>Os lados paralelos são as bases</p><p>do trapézio.</p><p>Classificação dos trapézios</p><p>■ Trapézio isósceles</p><p>Possui os lados oblíquos (não</p><p>paralelos) congruentes.</p><p>■ Trapézio escaleno</p><p>É todo trapézio que possui os</p><p>lados oblíquos (não paralelos) com</p><p>medidas diferentes.</p><p>Propriedade</p><p>Paralelogramo</p><p>Possui os lados opostos paralelos.</p><p>AB // CD e AD // BC</p><p>Propriedades</p><p>■ Lados opostos congruentes.</p><p>■ Ângulos opostos congruentes.</p><p>■ As diagonais se interceptam em</p><p>seus respectivos pontos médios.</p><p>Retângulo</p><p>Possui os lados opostos parale-</p><p>los dois a dois e os quatro ângulos</p><p>congruentes.</p><p>Propriedades</p><p>■ Lados opostos congruentes.</p><p>■ Ângulos opostos congruentes.</p><p>■ As diagonais se interceptam em</p><p>seus respectivos pontos médios.</p><p>■ As diagonais são congruentes.</p><p>■ Os quatro ângulos são retos.</p><p>Losango</p><p>Possui os quatro lados con-</p><p>gruentes.</p><p>Propriedades</p><p>■ Lados opostos congruentes.</p><p>■ Ângulos opostos congruentes.</p><p>■ As diagonais se interceptam em</p><p>seus respectivos pontos médios.</p><p>■ As diagonais são as bissetrizes</p><p>dos ângulos opostos.</p><p>■ Diagonais perpendiculares.</p><p>■ Quatro lados congruentes.</p><p>Quadrado</p><p>Possui os quatro ângulos e os</p><p>quatro lados congruentes.</p><p>Propriedades</p><p>■ Lados opostos congruentes.</p><p>■ Ângulos opostos congruentes.</p><p>■ As diagonais se interceptam em</p><p>seus respectivos pontos médios.</p><p>■ As diagonais são as bissetrizes</p><p>dos ângulos internos.</p><p>■ Diagonais perpendiculares.</p><p>■ Diagonais congruentes.</p><p>■ Os quatro lados são congruentes.</p><p>Em diagramas, os</p><p>quadriláteros</p><p>podem ser:</p><p>Base média no trapézio</p><p>Segmento que tem como ex-</p><p>tremidades os pontos médios dos</p><p>lados não paralelos. Esse é paralelo</p><p>às bases e igual à semissoma delas.</p><p>Mediana de Euler</p><p>Segmento de reta que tem seus</p><p>extremos nos pontos médios das dia-</p><p>gonais do trapézio.</p><p>Polígonos</p><p>Diagonais de um polígono (d)</p><p>Soma dos ângulos internos de</p><p>um polígono convexo (Si)</p><p>Si = (n – 2) · 180º</p><p>Soma dos ângulos externos (Se)</p><p>Sexternos = 360°</p><p>Polígono regular</p><p>Pode ser simultaneamente inscri-</p><p>to e circunscrito a uma circunferência.</p><p>Apótema de um polígono</p><p>regular</p><p>Linha que tem como extremos o</p><p>centro e o ponto médio de um dos</p><p>lados formando um ângulo de 90°.</p><p>Ângulos de um polígono regular</p><p>Relações métricas</p><p>Triângulo equilátero</p><p>Quadrado</p><p>Hexágono regular</p><p> = r</p><p>JUNO</p><p>Geometria Plana - Parte III</p><p>Geometria Espacial - Parte I</p><p>Matemática</p><p>Express</p><p>Editora W</p><p>Educando para o futuro!</p><p>Octógono regular</p><p>Circunferência</p><p>É um lugar geométrico forma-</p><p>do por todos os pontos de um plano</p><p>que equidistam de um ponto fixo.</p><p>Reta secante</p><p>Ângulos na circunferência</p><p>Ângulo central</p><p>É qualquer ângulo que tem vér-</p><p>tice no centro da circunferência.</p><p>é o arco correspondente</p><p>ao ângulo a.</p><p>Ângulo inscrito</p><p>Ângulo excêntrico interior ou</p><p>de vértice interno</p><p>Ângulo excêntrico exterior ou</p><p>de vértice externo</p><p>Ângulo de segmento</p><p>Triângulo retângulo inscrito em</p><p>uma circunferência</p><p>Todo triângulo inscrito em uma</p><p>semicircunferência é retângulo.</p><p>A mediana relativa à hipotenusa</p><p>AB tem medida igual à metade de AB.</p><p>Quadrilátero inscrito em uma</p><p>circunferência</p><p>+ = 180°</p><p>Quadrilátero circunscrito em</p><p>uma circunferência</p><p>FG + EH = EF + GH</p><p>Potência de um ponto em</p><p>relação a uma circunferência</p><p>Duas cordas se interceptando no</p><p>interior de uma circunferência</p><p>AP · PB = CP · PD</p><p>Secantes se interceptando no</p><p>exterior de uma circunferência</p><p>PA · PB = PC · PD</p><p>Duas retas: uma secante e outra</p><p>tangente se interceptando no</p><p>exterior de uma circunferência</p><p>PT2 = PA · PB</p><p>Teorema de Tales</p><p>Editora W</p><p>Educando para o futuro!</p><p>Teorema das bissetrizes</p><p>Teorema da bissetriz interna</p><p>, d + e = c</p><p>Teorema da bissetriz externa</p><p>, d + e = c</p><p>Semelhança de triângulos</p><p>Teorema fundamental ou Lei</p><p>linear de Tales</p><p>Toda reta paralela a um lado</p><p>de um triângulo e que intercepta os</p><p>outros dois lados em pontos distin-</p><p>tos determina com esses lados um</p><p>triângulo semelhante ao original.</p><p>Casos de Semelhança</p><p>■ AAA (Ângulo, Ângulo, Ângulo)</p><p>■ LAL (Lado, Ângulo, Lado)</p><p>■ LLL (Lado, Lado, Lado)</p><p>Se a razão de semelhança entre</p><p>dois triângulos é k, então a razão en-</p><p>tre dois elementos homólogos é k, os</p><p>ângulos homólogos são congruentes</p><p>e as áreas são proporcionais a k2.</p><p>Relações métricas do triângulo</p><p>retângulo</p><p>Estabelecendo algumas rela-</p><p>ções de semelhança entre os três</p><p>triângulos, temos:</p><p>■ c2 = n · a.</p><p>■ b2 = m · a</p><p>■ h2 = m · n</p><p>■ b · c = a · h</p><p>■ a2 = b2 + c2</p><p>Áreas de figuras planas</p><p>Triângulo</p><p>■ Área em função de um lado e</p><p>da altura relativa a esse lado.</p><p>Área em função dos lados</p><p>Em que p é o semiperímetro, ou</p><p>seja, .</p><p>Área em função de dois lados e do</p><p>ângulo formado por eles</p><p>Área em função do raio r</p><p>da circunferência inscrita no</p><p>triângulo</p><p>ATriângulo = p · r</p><p>Área em função dos lados</p><p>e do raio da circunferência</p><p>circunscrita ao triângulo</p><p>Área do retângulo</p><p>ARetângulo = b · h</p><p>Área do quadrado</p><p>AQuadrado = a2</p><p>Área do paralelogramo</p><p>AParalelogramo = b · h</p><p>Área do trapézio</p><p>Área do losango</p><p>Área de um polígono regular</p><p>APolígono regular = p · m</p><p>Área do círculo</p><p>ACírculo = p · r2</p><p>Área da coroa circular</p><p>ACoroa = p · (R2 - r2)</p><p>Área do setor circular</p><p>■ Área em função do raio e do</p><p>ângulo central em radianos:</p><p>■ Área em função do raio e do</p><p>ângulo central em graus:</p><p>■ Área em função do raio e do</p><p>comprimento do arco:</p><p>Área do segmento circular</p><p>,</p><p>com a em radianos.</p><p>GEOMETRIA ESPACIAL</p><p>Prisma</p><p>Prisma reto</p><p>As faces laterais são perpendi-</p><p>culares aos planos das bases.</p><p>Prisma oblíquo</p><p>As arestas laterais são oblíquas</p><p>aos planos das bases.</p><p>Secção transversal</p><p>É toda secção paralela e con-</p><p>gruente às bases do prisma.</p><p>JUNO</p><p>Geometria Espacial - Parte II</p><p>Matemática</p><p>Express</p><p>Editora W</p><p>Educando para o futuro!</p><p>Prisma regular</p><p>É todo prisma reto cujas bases</p><p>são polígonos regulares.</p><p>Áreas da superfície de um</p><p>prisma</p><p>Área total (AT)</p><p>É a soma da área lateral e das</p><p>áreas das bases.</p><p>AT = AL + 2 · AB</p><p>Volume de um prisma (V)</p><p>V = AB · h</p><p>Paralelepípedo retângulo</p><p>Área total</p><p>AT = 2 · (ab + ac + bc)</p><p>Volume</p><p>V = a · b · c</p><p>Cubo</p><p>Diagonal</p><p>Considere um cubo de arestas</p><p>de medida a.</p><p>Área</p><p>AT = 6 · a2</p><p>Volume do cubo</p><p>V = a3</p><p>Pirâmides</p><p>Pirâmides regulares</p><p>A base é um polígono regular e</p><p>as faces laterais são triângulos isós-</p><p>celes congruentes.</p><p>Apótema da pirâmide regular</p><p>Áreas da superfície da pirâmide</p><p>AT = AL + AB</p><p>Volume da pirâmide</p><p>Tetraedro</p><p>É toda pirâmide triangular.</p><p>Tetraedro trirretângulo</p><p>Três de suas faces são triângu-</p><p>los retângulos.</p><p>Tetraedro regular</p><p>As faces são triângulos equilá-</p><p>teros congruentes.</p><p>Altura do tetraedro regular</p><p>Área do tetraedro regular</p><p>Volume do tetraedro regular</p><p>Octaedro regular</p><p>Duas pirâmides quadrangulares</p><p>regulares congruentes.</p><p>Área do octaedro regular</p><p>Volume do octaedro regular</p><p>Tronco de pirâmide de bases</p><p>paralelas</p><p>Tronco de pirâmide regular</p><p>Área total (AT) do tronco</p><p>AT = AB + Ab + AL</p><p>Volume (V)</p><p>FICHA 8</p><p>Geometria Espacial - Parte II</p><p>Editora W</p><p>Educando para o futuro!</p><p>V = VA – VA'</p><p>Em que: k é a altura do tronco.</p><p>■ Propriedades relativas às pirâ-</p><p>mides A e A'.</p><p>• A razão entre as alturas é .</p><p>• A razão entre as áreas das bases</p><p>é .</p><p>• A razão entre as áreas laterais é .</p><p>• A razão entre as áreas totais é .</p><p>• A razão entre os volumes é .</p><p>Cilindro normal (oblíquo)</p><p>Elementos:</p><p>■ r: raio.</p><p>■ e: eixo de rotação.</p><p>■ g: geratriz.</p><p>■ h: altura.</p><p>Cilindro reto ou de revolução</p><p>Área lateral e da base</p><p>AL = 2 · p · r · h e AB = p · r2</p><p>Área total</p><p>AT = 2 · p · r · (r + h)</p><p>Volume de um cilindro qualquer</p><p>Sabemos que, pelo Princípio de</p><p>Cavalieri, se as alturas dos dois sóli-</p><p>dos são iguais e as secções transver-</p><p>sais são superfícies equivalentes (S1 =</p><p>S’1, S2 = S’2, S3 = S’3, ..., Sn = S’n), os</p><p>sólidos terão os mesmos volumes.</p><p>VPrisma = VCilindro</p><p>VCilindro = p · r2 · h</p><p>Secção meridiana no cilindro</p><p>Secção que se obtém com um</p><p>plano passando pelo eixo do cilindro.</p><p>A secção meridiana em um cilin-</p><p>dro reto tem as dimensões 2R e h.</p><p>Secção paralela ao eixo do</p><p>cilindro</p><p>É a secção que se obtém cor-</p><p>tando um cilindro com um plano</p><p>paralelo ao seu eixo:</p><p>Se d é a distância desse plano</p><p>ao eixo de rotação do cilindro:</p><p>Cilindro equilátero</p><p>Altura é numericamente igual ao</p><p>diâmetro da base, ou seja, h = 2 · R.</p><p>Tronco de cilindro</p><p>k é a altura do tronco de cilin-</p><p>dro. As duas geratrizes são dadas</p><p>por G e g.</p><p>Volume e área lateral do tronco</p><p>de cilindro</p><p>Dado um tronco de cilindro cir-</p><p>cular de raio r e altura k, podemos</p><p>obter um cilindro circular reto que</p><p>lhe é equivalente. Ambos possuem</p><p>a mesma área lateral.</p><p>VTronco = VCilindro</p><p>ALateral tronco = ALateral cilindro</p><p>V = p · r2 · k e AL = 2 · p · r · k</p><p>Cones</p><p>Cone reto</p><p>Originado pela rotação com-</p><p>pleta de um triângulo retângulo em</p><p>torno de um de seus catetos.</p><p>Área lateral do cone reto</p><p>AL = p · r · g</p><p>Área total do cone reto</p><p>AT = AL + AB ⇒ AT = p · r · g + p · r2</p><p>AT = p · r · (g + r)</p><p>Volume de um cone</p><p>Secção meridiana</p><p>g2 = r2 + h2</p><p>Cone equilátero</p><p>Área lateral</p><p>AL = 2 · p · r2</p><p>Área total</p><p>AT = AB + AL</p><p>AT = 3 · p · r2</p><p>Volume</p><p>Tronco de cone</p><p>Áreas do tronco de cone</p><p>Áreas das bases</p><p>■ Base maior: AB = p · R2.</p><p>■ Base menor: Ab = p · r2.</p><p>Área lateral</p><p>ALateral tronco = π · G · (r + R)</p><p>Área total do tronco de cone</p><p>AT = AB + Ab + AL</p><p>AT = p · R2 + p · r2 + p · G · (r + R)</p><p>Volume</p><p>Esfera</p><p>Secção na esfera</p><p>Pitágoras no DOMP:</p><p>R2 = d2 + r2</p><p>Área da superfície esférica</p><p>AEsfera = 4 · π · R2</p><p>Volume da esfera</p><p>JUNO</p><p>Geometria Espacial - Parte III</p><p>Geometria Analítica</p><p>Matemática</p><p>Express</p><p>Editora W</p><p>Educando para</p><p>o futuro!</p><p>Fuso esférico</p><p>Área do fuso</p><p>■ Com a em graus:</p><p>Cunha esférica</p><p>Volume da cunha</p><p>■ Com a em graus:</p><p>Poliedros</p><p>Observe a figura a seguir:</p><p>Poliedros convexos</p><p>Relação de Euler</p><p>V – A + F = 2</p><p>Soma dos ângulos das faces de</p><p>um poliedro convexo</p><p>S = (V - 2) · 360°</p><p>Poliedros de Platão</p><p>Satisfaz as seguintes condições:</p><p>■ Todos os vértices são pontos</p><p>em que concorre o mesmo número</p><p>de arestas.</p><p>■ Satisfazem a relação de Euler</p><p>(V – A + F = 2).</p><p>■ Todas as faces do poliedro pos-</p><p>suem o mesmo número de arestas.</p><p>■ Para os poliedros de Platão, vale</p><p>a relação , pois cada uma</p><p>das faces tem n arestas (n ≥ 3).</p><p>Poliedros regulares</p><p>■ Suas faces são polígonos regu-</p><p>lares e congruentes.</p><p>■ Em todos os seus vértices concor-</p><p>re o mesmo número de arestas.</p><p>■ Seus ângulos poliédricos são</p><p>congruentes.</p><p>Todo poliedro regular:</p><p>■ Possui as características dos po-</p><p>liedros de Platão.</p><p>■ Possui todas as faces com o</p><p>mesmo número de arestas.</p><p>■ Tem em seus vértices pontos</p><p>em que concorre o mesmo número</p><p>de arestas.</p><p>■ Satisfaz a relação de Euler.</p><p>■ Todo poliedro regular é polie-</p><p>dro de Platão, mas nem todo polie-</p><p>dro de Platão é poliedro regular.</p><p>Existem somente cinco tipos de</p><p>poliedros regulares e esses estão</p><p>mostrados a seguir:</p><p>GEOMETRIA ANALÍTICA</p><p>Distância entre dois pontos no</p><p>plano cartesiano</p><p>Classificação de triângulos</p><p>quanto aos ângulos utilizando</p><p>os lados</p><p>■ a2 = b2 + c2: o triângulo será re-</p><p>tângulo.</p><p>■ a2 < b2 + c2: o triângulo será</p><p>acutângulo.</p><p>■ a2 > b2 + c2: o triângulo será ob-</p><p>tusângulo.</p><p>Ponto médio de um segmento</p><p>Baricentro de um triângulo</p><p>Condição de alinhamento de</p><p>três pontos</p><p>Três pontos A(x1, y1), B(x2, y2) e</p><p>C(x3, y3) estão alinhados se:</p><p>Estudo da reta</p><p>Equação geral da reta</p><p>ax + by + c = 0</p><p>Coeficiente angular da reta</p><p>Cálculo do coeficiente angular</p><p>através da equação geral</p><p>■ Coeficiente angular</p><p>■ Coeficiente linear</p><p>Particularidades do coeficiente</p><p>angular</p><p>■ m > 0: reta crescente.</p><p>■ m = 0: reta horizontal.</p><p>■ m < 0: reta decrescente.</p><p>Equação reduzida da reta</p><p>Como e , a</p><p>e q u a ç ã o reduzida fica:</p><p>y = m · x + n</p><p>Equação segmentária da reta</p><p>É um tipo de equação utilizada</p><p>quando conhecemos dois pontos,</p><p>P(p, 0) Q(0,q), nos eixos cartesianos.</p><p>FICHA 9</p><p>Geometria Espacial - Parte III</p><p>Geometria Analítica</p><p>Editora W</p><p>Educando para o futuro!</p><p>Posições relativas de duas retas</p><p>Dependendo da disposição das</p><p>retas no plano, três situações po-</p><p>dem ocorrer. Conheça-as.</p><p>■ Retas concorrentes: são retas</p><p>que se interceptam em um único</p><p>ponto. São representadas por r × s.</p><p>■ Retas concorrentes perpendi-</p><p>culares: são retas concorrentes que</p><p>formam um ângulo de 90º entre si.</p><p>Sendo ar e as as inclinações de r e</p><p>s, no triângulo ABC da figura, temos:</p><p>mr · ms = –1</p><p>■ Paralelas: são retas que possuem</p><p>coeficientes angulares de mesma me-</p><p>dida, sendo representadas por r // s.</p><p>Nesses dois casos temos:</p><p>mr = ms</p><p>Se ambos forem iguais (nr =</p><p>ns), estas serão coincidentes (r = s).</p><p>Caso contrário, essas retas serão</p><p>distintas (nr ≠ ns).</p><p>Ângulo entre duas retas</p><p>Se uma das retas é perpendicu-</p><p>lar ao eixo das abscissas, o ângulo</p><p>formado por elas será dado por:</p><p>Distância entre ponto e reta</p><p>Bissetrizes de duas retas</p><p>Sejam duas retas, t1: a1x + b1y +</p><p>c1 = 0 e t2: a2x + b2y + c2 = 0, se in-se in-</p><p>terceptando no ponto T, de acordo</p><p>com a figura a seguir.</p><p>Cálculo da área de um triângulo</p><p>Estudo da circunferência</p><p>Equação reduzida da</p><p>circunferência</p><p>Calculando a distância entre os</p><p>pontos A e C, temos:</p><p>dA, C = r =</p><p>⇒ (x – a)2 + (y – b)2 = r2</p><p>Equação geral da circunferência</p><p>x2 + y2 + dx + ey + f = 0</p><p>De acordo com a equação ge-</p><p>ral, o centro é dado por C(a, b) e o</p><p>raio por r. Então:</p><p>As relações acima são válidas</p><p>somente se o coeficiente das variá-</p><p>veis de maior grau, ou seja, x2 e y2</p><p>forem iguais a 1(1x2, 1y2).</p><p>Reconhecendo a equação de</p><p>uma circunferência</p><p>Posições relativas entre um</p><p>ponto e uma circunferência</p><p>■ Ponto exterior a γ.</p><p>(x – a)2 + (y – b)2 – r2 > 0</p><p>■ Ponto pertencente a γ.</p><p>(x – a)2 + (y – b)2 – r2 = 0</p><p>■ Ponto interior a γ.</p><p>(x – a)2 + (y – b)2 – r2 < 0</p><p>Posições relativas entre reta e</p><p>circunferência</p><p>■ Secante a uma circunferência:</p><p>A reta toca em dois pontos dis-</p><p>tintos na circunferência e d < r.</p><p>■ Tangente a uma circunferência:</p><p>A reta toca em um só ponto na</p><p>circunferência e d = r.</p><p>■ Exterior a uma circunferência:</p><p>A reta não toca em nenhum</p><p>ponto da circunferência e d > r.</p><p>Posições relativas entre duas</p><p>circunferências</p><p>■ γ1 e γ2 tangentes</p><p>Esse caso pode ser observado</p><p>de duas maneiras.</p><p>■ Exteriormente:</p><p>d(C1, C2) = r1 + r2</p><p>■ Internamente:</p><p>d(C1, C2) = |r1 – r2|</p><p>γ1 e γ2 secantes</p><p>|r1 – r2| < d(C1, C2) < r1 + r2</p><p>γ1 e γ2 não se interceptam</p><p>■ Externamente:</p><p>d(C1, C2) > r1 + r2</p><p>■ Internamente:</p><p>0 < d(C1, C2) < |r1 – r2|</p><p>■ Concêntricas:</p><p>d(C1, C2) = 0</p><p>JUNO</p><p>Trigonometria</p><p>Matemática</p><p>Express</p><p>Editora W</p><p>Educando para o futuro!</p><p>Lei dos cossenos</p><p>a2 = b2 + c2 – 2 · b · c · cos</p><p>b2 = a2 + c2 – 2 · a · c · cos</p><p>c2 = a2 + b2 – 2 · a · b · cos</p><p>Lei dos cossenos classificando</p><p>um triângulo quanto aos lados.</p><p>Classificação Lados</p><p>Acutângulo a2 < b2 + c2</p><p>Retângulo a2 = b2 + c2</p><p>Obtusângulo a2 > b2 + c2</p><p>Arco de circunferência</p><p>Uma das partes da circunferên-</p><p>cia quando a dividimos por dois de</p><p>seus pontos.</p><p>Medidas de arcos</p><p>Radiano: é a medida (com-</p><p>primento) de um arco que corres-</p><p>ponde ao comprimento do raio da</p><p>circunferência.</p><p>C = 2 · p · r</p><p>Grau: é a medida de uma das</p><p>partes da circunferência quando a</p><p>dividimos em 360 partes.</p><p>Arcos côngruos: são arcos de</p><p>mesma extremidade, com a origem</p><p>em A, que é a origem do ciclo trigo-</p><p>nométrico.</p><p>Primeira determinação posi-</p><p>tiva de um arco: dado um arco q,</p><p>este terá como primeira determina-</p><p>ção positiva outro arco a, côngruo a</p><p>q, tal que 0o ≤ a < 360°.</p><p>O ciclo trigonométrico</p><p>Chama-se círculo trigono-</p><p>métrico (ciclo trigonométrico)</p><p>o círculo orientado no sentido</p><p>anti-horário de raio unitário, cujo</p><p>centro é a origem do sistema de</p><p>coordenadas cartesianas.</p><p>Razão / Ângulo 30° 45° 60°</p><p>sen</p><p>cos</p><p>tg 1</p><p>Relações trigonométricas</p><p>fundamentais e auxiliares</p><p>Seja um arco de medida x:</p><p>■ sen2 x + cos2 x = 1, ∀ x ∈ R.</p><p>■ cossec x = , ∀ x ≠ kp, com</p><p>k ∈ Z.</p><p>■ sec x = , ∀ x ≠ p/2 + kp,</p><p>com k ∈ Z.</p><p>■ tg x = , ∀ x ≠ p/2 + kp, k ∈ Z.</p><p>■ cotg x = , ∀ x ≠ kp,</p><p>k ∈ Z.</p><p>■ tg2 x + 1 = sec2 x, ∀ x ≠ p/2 + kp,</p><p>com k ∈ Z.</p><p>■ cotg2 x + 1 = cosec2 x, ∀ x ≠ kp,</p><p>com k ∈ Z.</p><p>Redução ao 1º quadrante</p><p>Seja “a” um arco do 1º qua-</p><p>drante, temos:</p><p>■ Do 2° para o primeiro.</p><p>• sen (p – a) = +sen a.</p><p>• cos (p – a) = –cos a.</p><p>• tg (p – a) = –tg a.</p><p>• cotg (p – a) = –cotg a.</p><p>■ Do 3° para o primeiro.</p><p>• sen (p + a) = –sen a.</p><p>• cos (p + a) = –cos a.</p><p>• tg (p + a) = +tg a.</p><p>• cotg (p + a) = +cotg a.</p><p>■ Do 4° para o primeiro.</p><p>• sen (2p – a) = sen (–a) = –sen a.</p><p>• cos (2p – a) = cos (–a) = +cos a.</p><p>• tg (2p – a) = tg (–a) = –tg a.</p><p>• cotg (2p – a) = cotg (–a) =</p><p>–cogt a.</p><p>Funções trigonométricas</p><p>circulares</p><p>Função seno</p><p>■ Gráfico:</p><p>■ Representação no ciclo:</p><p>TRIGONOMETRIA</p><p>Trigonometria no triângulo</p><p>retângulo</p><p>Considere o triângulo a seguir:</p><p>■ sen = e sen =</p><p>■ cos = e cos =</p><p>■ tg = e tg =</p><p>■ cotg = e cotg =</p><p>■ sec = e sec =</p><p>■ sen = e sen =</p><p>■ sen2 + cos2 = 1</p><p>■ sen2 + cos2 = 1</p><p>Relações trigonométricas para</p><p>um triângulo qualquer</p><p>Lei dos senos</p><p>FICHA 10</p><p>Trigonometria</p><p>Editora W</p><p>Educando para o futuro!</p><p>■ Representação no ciclo:</p><p>■ Domínio:</p><p>D = {x ∈  | x ≠ + kp, k ∈ }</p><p>■ Imagem:</p><p>Im = </p><p>■ Período:</p><p>T = p</p><p>Função cotangente</p><p>■ Gráfico:</p><p>■ Representação no ciclo:</p><p>■ Domínio:</p><p>D = {x ∈  | x ≠ kp, k ∈ }</p><p>■ Imagem:</p><p>Im = </p><p>■ Período:</p><p>T = p</p><p>Função secante</p><p>■ Gráfico:</p><p>■ Representação no ciclo:</p><p>■ Domínio:</p><p>D = {x ∈  | x ≠ + kp k ∈ }</p><p>■ Imagem:</p><p>Im = {y ∈  | y ≤ –1 ou y ≥ 1}</p><p>■ Período:</p><p>T = 2p</p><p>Função cossecante</p><p>■ Representação no ciclo:</p><p>■ Domínio:</p><p>D = {x ∈  | x ≠ kp, k ∈ }</p><p>■ Imagem:</p><p>Im = {y ∈  | y ≤ –1 ou y ≥ 1}</p><p>■ Período:</p><p>T = 2p</p><p>Transformações trigonométricas</p><p>Adição e subtração de arcos</p><p>sen (a ± b) = sen a · cos b ± sen b · cos a</p><p>cos ( a ± b) = cos a · cos b sen a · sen b</p><p>tg (a ± b) =</p><p>Arco duplo</p><p>■ sen 2a = 2 · sen a · cos a.</p><p>■ cos 2a = cos2 a – sen2 a.</p><p>■ tg 2a = .</p><p>Arco metade</p><p>■ cos = .</p><p>■ sen = .</p><p>■ tg = .</p><p>Transformação em produto</p><p>■ sen p + sen q =</p><p>= 2 · sen ⋅ cos</p><p>■ sen p – sen q =</p><p>= 2 · sen ⋅ cos</p><p>■ cos p + cos q =</p><p>= 2 · cos ⋅ cos</p><p>■ cos p – cos q =</p><p>= –2 · sen ⋅ sen</p><p>■ tg p ± tg q =</p><p>Equações</p><p>Resolução das equações</p><p>fundamentais</p><p>■ sen x = sen a</p><p>S = {x ∈  | x = a + 2kp ou</p><p>x = (p – a) + 2kp, k ∈ }</p><p>■ cos x = cos a</p><p>S = {x ∈  | x = ±a + 2kp, k ∈ }</p><p>■ tg x = tg a</p><p>S = {x ∈  | x = a + 2kp ou</p><p>x = (a + p) + 2kp, k ∈ }</p><p>Inequações</p><p>Resolução das inequações</p><p>fundamentais</p><p>■ sen x < sen a (sen x ≤ sen a).</p><p>■ sen x > sen a (sen x ≥ sen a).</p><p>■ cos x < cos a (cos x ≤ cos a).</p><p>■ cos x > cos a ( cos x ≥ cos a).</p><p>■ tg x < tg a (tg x ≤ tg a).</p><p>■ tg x > tg a (tg x ≥ tg a).</p><p>■ Domínio:</p><p>D = </p><p>■ Imagem:</p><p>Im = {y ∈  | –1 ≤ y ≤ 1}</p><p>■ Período:</p><p>T = 2p</p><p>Função cosseno</p><p>■ Gráfico:</p><p>■ Representação no ciclo:</p><p>■ Domínio:</p><p>D = </p><p>■ Imagem:</p><p>Im = {y ∈  | –1 ≤ y ≤ 1}</p><p>■ Período:</p><p>T = 2p</p><p>Função tangente</p><p>■ Gráfico:</p>