AV1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

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<p>UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA</p><p>ENGENHARIA DE PRODUÇÃO</p><p>SUELEM CRISTINA SILVA DA COSTA</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II</p><p>FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS</p><p>RIO DE JANEIRO,RJ.</p><p>2024.</p><p>ENUNCIADO:</p><p>1ª Questão: A temperatura T de uma localidade do Hemisfério Norte depende da</p><p>longitude 𝑥, da latitude 𝑦 e do tempo t, de modo que podemos escrever T=f(𝑥,𝑦,t). O</p><p>tempo é medido em horas a partir do princípio de janeiro.</p><p>(a) Qual o significado das derivadas parciais ∂T/∂x, ∂ T/∂y e ∂T/∂t?</p><p>(b) Honolulu tem longitude de 158º W e latitude de 21º N. Suponha que às 9 horas</p><p>em 1º de janeiro esteja ventando do noroeste uma brisa quente, de forma que a</p><p>oeste e a sul o ar esteja quente e a norte e leste o ar esteja frio. Você esperaria</p><p>f𝑥(158,21,9), f𝑦(158,21,9) e ft(158,21,9) serem positivos ou negativos? Explique.</p><p>(Atenção para o fato das longitudes serem contadas a partir do meridiano central,</p><p>sendo positivas para leste (E) e negativas para oeste (W)).</p><p>2ª Questão: Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico seja</p><p>V seja dado por 𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)=5𝑥2−3𝑥𝑦+𝑥𝑦𝑧.</p><p>(a) Qual o domínio da função V?</p><p>(b) Determine a taxa de variação do potencial em P(3,4,5) na direção do vetor 𝒊̂+</p><p>𝒋 ̂+𝒌̂.</p><p>(c) Em que direção e sentido V varia mais rapidamente em P?</p><p>3ª Questão: Uma caixa de papelão (com tampa) deve ter um volume de 32.000</p><p>cm3. Determine as dimensões (aproximadas) da caixa que minimizem a quantidade</p><p>de papelão utilizado. (Atenção: o raciocínio desenvolvido deve ser o mais geral</p><p>possível, logo a caixa deve ser considerada, inicialmente, retangular)</p><p>1</p><p>RESPOSTAS:</p><p>1ª Questão</p><p>(a) ∂T/∂x - Esta é a taxa de variação da temperatura em relação à longitude,</p><p>mantendo a latitude e o tempo constantes. Em resumo, mede como a temperatura</p><p>muda conforme você se desloca horizontalmente ao longo da longitude, sem</p><p>considerar as variações na latitude ou no tempo.</p><p>∂T/∂y - Esta é a taxa de variação da temperatura em relação à latitude, mantendo a</p><p>longitude e o tempo constantes. Isso indica como a temperatura varia conforme você</p><p>se desloca horizontalmente ao longo da latitude, sem considerar as variações na</p><p>longitude ou no tempo.</p><p>∂T/∂t - Esta é a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo, mantendo a</p><p>latitude e a longitude constantes. Isso mostra como a temperatura muda ao longo do</p><p>tempo em um ponto fixo no espaço.</p><p>Cada uma dessas derivadas parciais fornece informações sobre como a temperatura</p><p>muda em diferentes aspectos do espaço e do tempo.</p><p>(b) f𝑥(158,21,9) - Positiva - Quando há variação, na longitude, a temperatura tende a</p><p>ficar mais quente, sendo assim, indo mais para Leste do que Oeste,</p><p>consequentemente sendo positiva.</p><p>fy(158,21,9) - Negativa - Quando há variação de temperatura na direção norte, esta</p><p>tende a ficar mais fria, sendo assim, indo mais para Oeste, consequentemente</p><p>sendo positiva.</p><p>ft(158,21,9) - Positiva - Com base no enunciado, a temperatura aumenta pela manhã</p><p>para tarde.</p><p>2ª Questão:</p><p>(a) D={f(v)=( ) R³ I (5 )² 3 + ≥0}𝑥, 𝑦, 𝑧 € 𝑥 − 𝑥𝑦 𝑥𝑦𝑧</p><p>(b) V( ) = 5 ² 3 +𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑥 − 𝑥𝑦 𝑥𝑦𝑧</p><p>2</p><p>Derivada parcial em relação a :𝑥</p><p>= 10 3 +</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑑𝑥 𝑥 − 𝑦 𝑦𝑧</p><p>Derivada parcial em relação a :𝑦</p><p>= 3 +</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑑𝑦 − 𝑥 𝑥𝑧</p><p>Derivada parcial em relação a :𝑧</p><p>=</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑑𝑧 𝑥𝑦</p><p>Então o gradiente é dado por:</p><p>∇V ( , , ) = (10 3 + ) 𝒌̂𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 − 𝑦 𝑦𝑧 î + (− 3𝑥 + 𝑥𝑧) Ĵ + (𝑥𝑦)</p><p>Calculando as derivadas parciais aplicadas no ponto P (3,4,5) nós teremos o vetor</p><p>gradiente, que nos dá a direção onde o potencial elétrico irá aumentar mais</p><p>rapidamente:</p><p>𝑑𝑣(𝑃)</p><p>𝑑𝑥 = 10𝑥 − 3𝑦 + 𝑦𝑧 = (10. 3) − (3. 4) + (4. 5) = 30 − 12 + 20 = 38</p><p>𝑑𝑣(𝑃)</p><p>𝑑𝑦 = − 3𝑥 + 𝑥𝑦 = − (3. 3) + (3. 5) = − 9 + 15 = 6</p><p>𝑑𝑣(𝑃)</p><p>𝑑𝑧 = 𝑥𝑦 = (3. 4) = 12</p><p>∇V (3,4,5) = ( 38,6,12) Direção de máxima variação de V.(𝑝)</p><p>Derivada direcional na direção do vetor 𝒊̂+ 𝒋̂+𝒌̂:</p><p>V = 𝒊 ̂+ 𝒋 ̂+𝒌̂ sendo V = 1+1+1</p><p>=𝑉| | 1² + 1² + 1²</p><p>Taxa de variação:</p><p>(∇V . 𝑣</p><p>𝑣| | ) = (38.1) +(6.1)+(12.1)</p><p>3</p><p>(3,4,5)</p><p>3</p><p>(∇V . 𝑣</p><p>𝑣| | ) = 38 +6+12</p><p>3</p><p>(3,4,5)</p><p>(∇V . 𝑣</p><p>𝑣| | ) = 56</p><p>3</p><p>(3,4,5)</p><p>A taxa de variação do potencial elétrico V em P (3,4,5) na direção do vetor 𝒊̂+ 𝒋̂+𝒌̂.é:</p><p>= 56</p><p>3</p><p>(c) A direção em que V varia mais rapidamente em P é a direção do gradiente de V</p><p>no ponto P, isto é, na direção de∇V = (38,6,12)(𝑝)</p><p>3ª Questão:</p><p>𝑉 = 𝑥𝑦𝑧 = 32000 𝑐𝑚³</p><p>𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2(𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧) → Á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑖𝑥𝑎</p><p>Temos que =𝑧</p><p>32000</p><p>𝑥𝑦</p><p>Logo,𝐴(𝑥, 𝑦) = 2(𝑥𝑦 + 32000</p><p>𝑋 + 32000</p><p>𝑌 )</p><p>𝑑𝐴</p><p>𝑑𝑥 = 0 → 2 (𝑦 − 32000</p><p>𝑥) ) = 0 → 𝑦 = 32000</p><p>𝑥²</p><p>𝑑𝐴</p><p>𝑑𝑦 = 0 → 2 (𝑥 − 32000</p><p>𝑦²) ) = 0 → 𝑥 = 32000</p><p>𝑦²</p><p>Achamos os valores de x e y temos,</p><p>𝑥 = 32000</p><p>𝑦² → 𝑥 = 3200/ 32000²</p><p>𝑥² → 𝑥 = 𝑥²</p><p>32000 → 𝑥³ = 32000 → 𝑥 = 3 32000 ≅ 31, 75</p><p>𝑦 = 32000</p><p>𝑥² → 𝑦 = 3200 / 3 32000² → 𝑦 = 3 32000 ≅ 31, 75</p><p>e y minimizam a função.𝑥 ≅ 31, 75 ≅ 31, 75</p><p>4</p><p>𝑧 = 32000</p><p>𝑥𝑦 → 32000</p><p>31,75.31,75 ≅ 31, 74</p><p>Sendo assim, mesmo que, inicialmente, a caixa fosse retangular, para que as</p><p>dimensões da caixa minimizem a quantidade de papelão utilizado, o formato deve</p><p>ser de um cubo, com as seguintes dimensões:</p><p>Altura: 31,75 cm</p><p>Largura: 31,75cm</p><p>Profundidade: 31,74 cm</p><p>5</p><p>Bibliografia:</p><p>STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Thomson, 2009. v. 2</p><p>https://www.youtube.com/watch?app=desktop&v=WYoZABzpQjg&t=73s</p><p>6</p><p>https://www.youtube.com/watch?app=desktop&v=WYoZABzpQjg&t=73s</p>