Cálculo de Integrais de Superfície

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<p>Exerćıcios Sugeridos da 8ª Semana</p><p>Exerćıcio 1. Use o teorema de Stokes para calcular as seguintes integrais∫</p><p>S</p><p>rot F · n dS ,</p><p>onde</p><p>1. F(x, y, z) = x2z2i + y2z2j + xyzk onde S é a parte do paraboloide z = x2 + y2 que está dentro do</p><p>ciĺındro x2 + y2 = 4, orientado com a normal para a cima.</p><p>2. F(x, y, z) = xyzi +xyj +x2yzk, onde S é dado pelas faces laterais e superior (mas sem a face inferior)</p><p>do cubo com vértices (±1,±1,±1), orientado com a normal externa.</p><p>3. F(x, y, z) = x2y3zi + sen(xyz)j + xyzk onde S é a parte do cone y2 = x2 + z2 que está entre os planos</p><p>y = 0 e y = 3, orientada com a normal na direção positiva do eixo y.</p><p>4. F(x, y, z) = (z2 − 1)i + (z + xy3)j + 6k onde S é a porção da superf́ıcie x = 6− 4y2 − 4z2 por x ≥ −2</p><p>com orientação apontando para a direção negativa do eixo x.</p><p>5. F(x, y, z) = yi− xj + yx3k onde S é a porção da esfera de raio 4, com z ≥ 0, orientada com a normal</p><p>que aponta para a cima.</p><p>Exerćıcio 2. Use o teorema de Stokes para calcular as seguintes integrais∫</p><p>C</p><p>F · ds ,</p><p>onde:</p><p>1. F(x, y, z) = e−xi + exj + ezk, e C é o bordo da parte do plano 2x + y + 2z = 2 no primeiro octante</p><p>(orientada em sentido antihorário vista de cima).</p><p>2. F(x, y, z) = xyi + 2zj + 3yk, e C é interseção do plano x+ z = 5, com o ciĺındro x2 + y2 = 9, orientada</p><p>em sentido antihorário vista de cima.</p><p>3. F(x, y, z) = x2yi + 1</p><p>3x</p><p>3j + xyk, e C é a interseção do paraboloide hiperbólico z = y2 − x2 e o ciĺındro</p><p>x2 + y2 = 1, orientada em sentido antihorário vista de cima.</p><p>4. F(x, y, z) = (senx − y3</p><p>3 , cos y + x3</p><p>3 , xyz) e C é a interseção do cone z2 = x2 + y2 com a semi-esfera</p><p>x2 + y2 + z2 = 2, z ≥ 0. (orientada em sentido anti-horário para quem olha de cima).</p><p>Exerćıcio 3. Calcule a integral de linha do campo singular∫</p><p>C</p><p>F · ds</p><p>1. C é a interseção do cilindro x2 + y2 = 1 com o plano z − y = 1, orientada de modo que sua projeção</p><p>no plano xy seja percorrida no sentido anti-horário, e F é</p><p>F(x, y, z) = (</p><p>−y</p><p>x2 + y2</p><p>,</p><p>x</p><p>x2 + y2</p><p>, x) .</p><p>1</p><p>2. C é o bordo da superf́ıcie S dada por a interseção da esfera x2 +y2 + z2 = 1 e o cilindro x2 +y2 = y no</p><p>primeiro octante, com orientação dada pela normal com componente z positiva, e F é o campo vetorial</p><p>F(x, y, z) =</p><p>(</p><p>−y</p><p>x2 + y2 + z2</p><p>,</p><p>x</p><p>x2 + y2 + z2</p><p>, 0</p><p>)</p><p>.</p><p>Aqui consideramos C orientada compativelmente respeito a orientação de S</p><p>3. C é a interseção do cone (z + 3)2 = (y− 1)2 + x2 com o plano z = 4, orientada no sentido anti-horário</p><p>quando vista de cima e F é</p><p>F(x, y, z) =</p><p>(</p><p>1− y</p><p>(y − 1)2 + x2</p><p>+ y,</p><p>x</p><p>(y − 1)2 + x2</p><p>, x− 2z sen(1 + z8)</p><p>)</p><p>.</p><p>4. C é a curva parametrizada t 7→ (3 sen t, t, 2 cos t), t ∈ [0, 2π] e</p><p>F(x, y, z) = (</p><p>−z</p><p>x2 + z2</p><p>+ x, y,</p><p>x</p><p>x2 + z2</p><p>+ z) .</p><p>5. C é o arco de ćırculo t 7→ (− sen t, 0, cos t), t ∈ [0, π] seguido pelo arco de hélice t 7→ (sen t, 2t,− cos t),</p><p>t ∈ [0, π] e F é o campo vetorial</p><p>F(x, y, z) =</p><p>(</p><p>x− z</p><p>x2 + z2</p><p>, y cos y2,</p><p>x+ z</p><p>x2 + z2</p><p>)</p><p>.</p><p>2</p>