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<p>Resolução de equações utilizando</p><p>fatoração – Parte 2</p><p>Matemática</p><p>3º bimestre - Aula 7</p><p>Ensino Médio</p><p>● Resolução de equações utilizando</p><p>fatoração</p><p>● Resolver equações polinomiais do 2º</p><p>grau por meio de fatorações;</p><p>● Elaborar e resolver problemas</p><p>envolvendo o significado de equação</p><p>polinomial do 2º grau.</p><p>Atividade inicial</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor</p><p>ORGANIZADORES</p><p>DO CONHECIMENTO5 MINUTOS</p><p>Um artesão fez um tapete para decorar um</p><p>ambiente. Observe a representação do tapete</p><p>na figura ao lado. Para fazer este tapete, o</p><p>artesão costurou, uns nos outros, retalhos de</p><p>tecido de formato quadrado, todos com as</p><p>mesmas dimensões. Sabendo que o tapete</p><p>ficou com 4 050 cm2, como podemos calcular</p><p>quanto mede o lado de cada quadrado de</p><p>retalho?</p><p>Atividade inicial - Correção</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor</p><p>Consideremos x a medida do lado de cada</p><p>quadrado que compõe o tapete.</p><p>Como o tapete tem 10 quadrados de</p><p>comprimento e 5 quadrados de largura, as</p><p>medidas dos lados do tapete serão: 10x de</p><p>comprimento e 5x de largura.</p><p>Sua área será dada por:</p><p>10x ∙ 5x = 4 050 ⇒ 50 x2 = 4 050 ⇒</p><p>⇒ x2=</p><p>4 050</p><p>50</p><p>⇒ x2 = 81 ⇒x = ± 81 ⇒</p><p>⇒ x = ±9</p><p>CONTINUA</p><p>Atividade inicial - Correção</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor</p><p>Como estamos tratando de medidas,</p><p>desconsideramos a resposta negativa,</p><p>então x = 9.</p><p>Portanto, a medida do lado de cada</p><p>quadrado de retalho será de 9 cm.</p><p>CONTINUA</p><p>Baseando-se na interpretação geométrica,</p><p>considere a expressão: x2 + 6x.</p><p>Completar o quadrado –</p><p>interpretação geométrica</p><p>x</p><p>x</p><p>x2 3x</p><p>3x3</p><p>3</p><p>?</p><p>F</p><p>o</p><p>n</p><p>te</p><p>:</p><p>Im</p><p>a</p><p>g</p><p>e</p><p>m</p><p>e</p><p>la</p><p>b</p><p>o</p><p>ra</p><p>d</p><p>a</p><p>p</p><p>e</p><p>lo</p><p>a</p><p>u</p><p>to</p><p>r</p><p>Note que ela pode ser reescrita como</p><p>x2 + 2 ∙ 3x.</p><p>Observação</p><p>Ativa5 MINUTOS</p><p>Observe que x2 é a área de um quadrado</p><p>cujo lado mede x, e 3x é a área do retângulo</p><p>de lados x e 3, respectivamente.</p><p>A figura ilustra essa expressão de forma</p><p>geométrica.</p><p>Qual valor devemos acrescentar a</p><p>x2 + 2 ∙ 3x para que a expressão</p><p>represente um trinômio do quadrado</p><p>perfeito?</p><p>CONTINUA</p><p>Completar o quadrado –</p><p>interpretação geométrica</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor</p><p>x</p><p>x</p><p>x2 3x</p><p>3x3</p><p>3</p><p>? 9</p><p>3</p><p>3</p><p>Qual valor devemos acrescentar a</p><p>x2 + 2 ∙ 3x para que a expressão</p><p>represente um trinômio do quadrado</p><p>perfeito?</p><p>Devemos adicionar o número 9 para que a</p><p>expressão x2 + 2 ∙ 3x se torne um trinômio do</p><p>quadrado perfeito. Assim:</p><p>x2 + 6x = x2 + 6x+ 9− 9 = x+ 3 2 − 9</p><p>CONTINUA</p><p>Completar o Quadrado</p><p>EXEMPLO: Resolva a equação 4x2 + 20x+ 25 = 0 utilizando o método de “completar o quadrado”.</p><p>Inicialmente vamos dividir a equação por 4 para que tenhamos a = 1.</p><p>4</p><p>4</p><p>x2 +</p><p>20</p><p>4</p><p>x +</p><p>25</p><p>4</p><p>= 0 ⇒ x2 + ด5x</p><p>2 ∙ x ∙</p><p>5</p><p>2</p><p>= −</p><p>25</p><p>4</p><p>Completando o quadrado na equação, temos:</p><p>x2 + 5x +</p><p>5</p><p>2</p><p>2</p><p>= −</p><p>25</p><p>4</p><p>+</p><p>5</p><p>2</p><p>2</p><p>⇒ x2 + 5x +</p><p>25</p><p>4</p><p>= −</p><p>25</p><p>4</p><p>+</p><p>25</p><p>4</p><p>⇒ x2 + 5x +</p><p>25</p><p>4</p><p>= 0</p><p>CONTINUA</p><p>Completar o Quadrado</p><p>EXEMPLO: Resolva a equação 4x2 + 20x+ 25 = 0 utilizando o método de “completar o quadrado”.</p><p>Fatorando a equação x2 + 5x +</p><p>25</p><p>4</p><p>= 0, temos:</p><p>x+</p><p>5</p><p>2</p><p>2</p><p>= 0 ⇒ x+</p><p>5</p><p>2</p><p>2</p><p>= 0 ⇒ x +</p><p>5</p><p>2</p><p>= 0 ⇒ x = −</p><p>5</p><p>2</p><p>S = −</p><p>5</p><p>2</p><p>CONTINUA</p><p>Atividade 1</p><p>Mostre - me10 MINUTOS</p><p>O estacionamento da empresa do Walter possui uma</p><p>área de 375m2 e ele pretende aumentar a área para</p><p>600m2. A medida dos lados do atual terreno é de</p><p>15m por 25m, conforme mostra a imagem. Em</p><p>quantos metros Walter deve aumentar as dimensões</p><p>do estacionamento para que a nova área seja</p><p>600m2, ou seja, qual o valor de y?</p><p>A 5 m</p><p>B 7 m</p><p>C 9 m</p><p>D 11 m</p><p>Atividade 1 - Correção</p><p>Em quantos metros Walter</p><p>deve aumentar as dimensões</p><p>do estacionamento para que a</p><p>nova área seja 600m2, ou seja,</p><p>qual o valor de y?</p><p>A 5 m: Resposta correta</p><p>B 7 m: Resposta incorreta</p><p>D 11 m: Resposta incorreta</p><p>C 9 m: Resposta incorreta</p><p>A área do estacionamento é dada por:</p><p>A = 25 + y ∙ 15 + y</p><p>Como a área pretendida é de 600 m2, temos:</p><p>600 = 25+ y ∙ 15+ y ⇒</p><p>⇒ 600 = 25 ∙ 15 + 25 ∙ y + y ∙ 15 + y ∙ y ⇒</p><p>⇒ 600 = 375+ 25y + 15y + y2 ⇒</p><p>⇒ 600 = 375 + 40y + y2 ⇒ 600 − 375 = y2 + 40y ⇒</p><p>⇒ y2 + 40y = 225</p><p>CONTINUA</p><p>Atividade 1 - Correção</p><p>Em quantos metros Walter</p><p>deve aumentar as dimensões</p><p>do estacionamento para que a</p><p>nova área seja 600m2, ou seja,</p><p>qual o valor de y?</p><p>A 5 m: Resposta correta</p><p>B 7 m: Resposta incorreta</p><p>D 11 m: Resposta incorreta</p><p>C 9 m: Resposta incorreta</p><p>A = y2 + ต40y</p><p>2 ∙ y ∙20</p><p>= 225</p><p>Completando o quadrado, temos:</p><p>y2 + 40y + 202 = 225 + 202 ⇒</p><p>A = y2 + 40y+ 400 = 225+ 400 ⇒</p><p>A = y2+ 40y+ 400 = 625 ⇒</p><p>A = y+ 20 2 = 625</p><p>CONTINUA</p><p>Atividade 1 - Correção</p><p>Em quantos metros Walter</p><p>deve aumentar as dimensões</p><p>do estacionamento para que a</p><p>nova área seja 600m2, ou seja,</p><p>qual o valor de y?</p><p>A 5 m: Resposta correta</p><p>B 7 m: Resposta incorreta</p><p>D 11 m: Resposta incorreta</p><p>C 9 m: Resposta incorreta</p><p>y+ 20 2 = 625</p><p>y+ 20 2 = 625 ⇒</p><p>⇒ y+ 20 = ±25</p><p>i) y+ 20 = 25 ⇒ y = 25 − 20 ⇒ y = 5</p><p>ii) y+ 20 = −25 ⇒ y = −25 − 20 ⇒ y = −45</p><p>Como estamos tratando de medidas,</p><p>desconsideramos o resultado negativo,</p><p>portanto, y = 5 m. (Alternativa A)</p><p>CONTINUA</p><p>Atividade 2 - Adaptada</p><p>Mostre - me10 MINUTOS</p><p>A 12 cm, 12 cm e 2 cm.</p><p>(SARESP, 2012) Cortando quadradinhos</p><p>de 4cm2 nos cantos de uma folha de</p><p>cartolina quadrada e dobrando os lados,</p><p>obtemos uma caixa com 128cm3 de</p><p>capacidade. Determine as dimensões</p><p>dessa caixa.</p><p>B 10 cm, 10 cm e 2 cm.</p><p>C 6 cm, 6 cm e 2 cm.</p><p>D 8 cm, 8 cm e 2 cm.</p><p>Atividade 2 - Correção</p><p>Determine as dimensões dessa</p><p>caixa.</p><p>B 10 cm, 10 cm e 2 cm: Resposta</p><p>incorreta</p><p>C 6 cm, 6 cm e 2 cm: Resposta</p><p>incorreta</p><p>A</p><p>12 cm, 12 cm e 2 cm: Resposta</p><p>incorreta</p><p>D 8 cm, 8 cm e 2 cm: Resposta</p><p>correta</p><p>A capacidade de armazenamento da caixa será</p><p>dada por:</p><p>V = 2 ∙ x − 4 ∙ x− 4</p><p>Como a capacidade pretendida é de 128 cm3,</p><p>temos:</p><p>128 = 2 ∙ x − 4 ∙ x− 4 ⇒</p><p>128 = 2 ∙ x − 4 2 ⇒</p><p>128</p><p>2</p><p>= x− 4 2 ⇒</p><p>⇒ x − 4 2= 64</p><p>CONTINUA</p><p>Atividade 2 - Correção</p><p>Determine as dimensões dessa</p><p>caixa.</p><p>B 10 cm, 10 cm e 2 cm: Resposta</p><p>incorreta</p><p>C 6 cm, 6 cm e 2 cm: Resposta</p><p>incorreta</p><p>A</p><p>12 cm, 12 cm e 2 cm: Resposta</p><p>incorreta</p><p>D 8 cm, 8 cm e 2 cm: Resposta</p><p>correta</p><p>x − 4 2 = 64</p><p>Extraindo a raiz quadrada dos dois termos da</p><p>equação, temos:</p><p>x− 4 2 = 64 ⇒ x − 4 = ±8</p><p>i) x − 4 = 8 ⇒ x = 8+ 4 ⇒ x = 12</p><p>ii) x − 4 = −8 ⇒ x = −8+ 4 ⇒ x = −4</p><p>Como estamos tratando de medidas,</p><p>desconsideramos o resultado negativo,</p><p>portanto, as dimensões da caixa são: 8 cm, 8 cm</p><p>e 2 cm. Alternativa D</p><p>CONTINUA</p><p>Esta atividade propõe a resolução de equações polinomiais de 2º grau através do método de</p><p>completar quadrados. Resolva cada item observando atentamente cada passo. Clique no link</p><p>abaixo para acessar.</p><p>SEM</p><p>ESCAPATÓRIA</p><p>https://www.geogebra.org/m/srg5ap85</p><p>5 MINUTOS</p><p>https://www.geogebra.org/m/srg5ap85</p><p>UNICAMP (adaptado) – Determine dois números inteiros, pares consecutivos e positivos,</p><p>sabendo que a soma de seus quadrados é 340.</p><p>A 14 e 16</p><p>C 12 e 14</p><p>B −12 e − 14</p><p>D −14 e − 16</p><p>E 12 e 13</p><p>Mostre - me5 MINUTOS</p><p>UNICAMP (adaptado) – Determine dois</p><p>números inteiros, pares consecutivos e</p><p>positivos, sabendo que a soma de seus</p><p>quadrados é 340.</p><p>B −12 e − 14: Resposta incorreta.</p><p>C 12 e 14: Resposta correta.</p><p>D −14 e − 16: Resposta incorreta.</p><p>E 12 e 13: Resposta incorreta.</p><p>A 14 e 16: Resposta incorreta.</p><p>Sejam x e x + 2, os números procurados.</p><p>De acordo com o enunciado da questão, temos:</p><p>x2 + x + 2 2 = 340</p><p>x2</p><p>⇒ 2x2 + 4x = 340 − 4 ⇒ 2x2 + 4x = 336</p><p>A equação obtida é equivalente a: x2 + 2x = 168</p><p>⇒ x2 + ด2x</p><p>2 ∙1 ∙x</p><p>= 168</p><p>Completando o quadrado na equação acima,</p><p>temos:</p><p>x2 + 2x+ 12 = 168+ 12 ⇒ x2 + 2x+ 1 = 169 ⇒</p><p>⇒ x+ 1 2 = 169</p><p>+ x + 2 2 = 340 ⇒ x2 + x2 + 4x+ 4 = 340 ⇒</p><p>Correção</p><p>CONTINUA</p><p>Correção</p><p>UNICAMP (adaptado) – Determine dois</p><p>números inteiros, pares consecutivos e</p><p>positivos, sabendo que a soma de seus</p><p>quadrados é 340.</p><p>B −12 e − 14: Resposta incorreta.</p><p>C 12 e 14: Resposta correta.</p><p>D −14 e − 16: Resposta incorreta.</p><p>E 12 e 13: Resposta incorreta.</p><p>A 14 e 16: Resposta incorreta.</p><p>x+ 1 2 = 169</p><p>Extraindo a raiz quadrada em ambos os</p><p>termos da equação, temos:</p><p>x+ 1 2 = 169 ⇒ x+ 1 = ±13</p><p>i) x+ 1 = 13 ⇒ x = 13 − 1 ⇒ x = 12</p><p>ii) x+ 1</p><p>= −13 ⇒ x = −13 − 1 ⇒</p><p>O último resultado obtido não é válido, pois</p><p>de acordo com o enunciado os números são</p><p>pares consecutivos são positivos.</p><p>Então x = 12 e x+ 2 = 14 .</p><p>Os números são: 12 e 14. (Alternativa C)</p><p>x = −14</p><p>CONTINUA</p><p>A 19</p><p>C 20</p><p>B 19,8</p><p>D 38</p><p>E 39</p><p>ENEM 2013 – A temperatura T de um forno (em graus Celsius) é reduzida por um sistema</p><p>a partir do instante de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão</p><p>T = −</p><p>t2</p><p>4</p><p>+ 400, com t em minutos. Por motivos de segurança, a trava do forno só é</p><p>liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura de 39°C. Qual o tempo de</p><p>espera, em minutos, após desligar o forno, para que a porta possa ser aberta?</p><p>Mostre - me5 MINUTOS</p><p>Correção</p><p>B 19,8: Resposta incorreta</p><p>C 20: Resposta incorreta</p><p>D 38: Resposta correta</p><p>E 39: Resposta incorreta</p><p>A 19: Resposta incorreta</p><p>Qual o tempo de espera, em minutos,</p><p>após desligar o forno, para que a</p><p>porta possa ser aberta?</p><p>Segundo o enunciado, temos que a trava de</p><p>segurança do forno é liberada quando a</p><p>temperatura atinge 39° C , então temos que:</p><p>T = −</p><p>t2</p><p>4</p><p>+ 400 ⇒ 39 = −</p><p>t2</p><p>4</p><p>+ 400 ⇒</p><p>⇒ 39 =</p><p>−t2 + 1 600</p><p>4</p><p>⇒ 39 ∙ 4 = −t2 + 1 600 ⇒</p><p>⇒ 156 = −t2 + 1 600 ⇒ t2 = 1 600 − 156 ⇒</p><p>⇒ t2 = 1 444 ⇒ t = 1 444 ⇒ t = ±38</p><p>Como estamos procurando o tempo,</p><p>desconsideramos a resposta negativa. Então</p><p>t = 38 minutos. (Alternativa D)</p><p>Resolução de equações utilizando fatoração – Parte 1</p><p>● Elaboramos e resolvemos problemas envolvendo equação polinomial do 2º grau.</p><p>● Resolvemos equações polinomiais do 2º grau por meio de fatoração.</p><p>Referências Bibliográficas:</p><p>LEMOV, D. Aula nota 10 2.0: 62 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto Alegre: Penso,</p><p>2018.</p><p>SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Aprender Sempre, 2023. Caderno do Professor,</p><p>Matemática, 1a à 3a série do Ensino Médio, Volume 2, Parte 1, Sequência de Atividades 1, Aulas 7 e 8.</p><p>Disponível em: https://shorturl.at/dOPZ1 . Acesso em: 11 mai. 2024.</p><p>SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Aprender Sempre, 2023. Caderno do Aluno, Língua</p><p>Portuguesa e Matemática, Volume 2, Sequência de Atividades 1, Aulas 7 e 8. Disponível em: Cópia-de-EM-</p><p>1ª-Série-Vol-2-Ebook.pdf (educacao.sp.gov.br). Acesso em: 11 mai. 2024.</p><p>COUTINHO, R. P. (2016). Uma aplicação da Resolução de Problemas no ensino das equações do 2º grau</p><p>[Dissertação de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, Universidade do Estado do Rio de</p><p>Janeiro, Instituto de Matemática e Estatística].http://www.bdtd.uerj.br/handle/1/4823</p><p>Lista de Imagens:</p><p>Slides 7, 8, 9 e 10: Material de Apoio ao Currículo Do Estado de São Paulo: Caderno do Professor,</p><p>Matemática, 2014, p. 23 e 24. Disponível em: https://shorturl.at/dOPZ1 . Acesso em: 11 mai. 2024.</p><p>Demais imagens: produzidas pelo autor.</p><p>https://shorturl.at/dOPZ1</p><p>https://efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-content/uploads/2022/06/C%C3%B3pia-de-EM-1%C2%AA-Se%CC%81rie-Vol-2-Ebook.pdf</p><p>https://efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-content/uploads/2022/06/C%C3%B3pia-de-EM-1%C2%AA-Se%CC%81rie-Vol-2-Ebook.pdf</p><p>http://www.bdtd.uerj.br/handle/1/4823</p><p>https://shorturl.at/dOPZ1</p><p>Slide 1</p><p>Slide 2</p><p>Slide 3: Atividade inicial</p><p>Slide 4: Atividade inicial - Correção</p><p>Slide 5: Atividade inicial - Correção</p><p>Slide 6: Completar o quadrado – interpretação geométrica</p><p>Slide 7: Completar o quadrado – interpretação geométrica</p><p>Slide 8: Completar o Quadrado</p><p>Slide 9: Completar o Quadrado</p><p>Slide 10: Atividade 1</p><p>Slide 11: Atividade 1 - Correção</p><p>Slide 12: Atividade 1 - Correção</p><p>Slide 13: Atividade 1 - Correção</p><p>Slide 14: Atividade 2 - Adaptada</p><p>Slide 15: Atividade 2 - Correção</p><p>Slide 16: Atividade 2 - Correção</p><p>Slide 17</p><p>Slide 18: UNICAMP (adaptado) – Determine dois números inteiros, pares consecutivos e positivos, sabendo que a soma de seus quadrados é 340.</p><p>Slide 19: Correção</p><p>Slide 20: Correção</p><p>Slide 21</p><p>Slide 22: Correção</p><p>Slide 23: Resolução de equações utilizando fatoração – Parte 1</p><p>Slide 24</p><p>Slide 25</p>