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<p>MONITORIA INTRODUÇÃO A FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS</p><p>MONITOR: IGOR PACÍFICO X. DA SILVA</p><p>UNIDADE II</p><p>LISTA DE EXERCÍCIOS</p><p>Conteúdos: Derivada Implícita, Derivada Direcional.</p><p>➢ DERIVADA IMPLÍCITA:</p><p>1. A função diferenciável 𝑦 = 𝑦(𝑥) é definida implicitamente pela equação</p><p>𝒚𝟑 + 𝒙𝒚 + 𝒙𝟑 = 𝟑</p><p>Expresse</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>em termos de x e y. (𝐺𝑎𝑏𝑎𝑟𝑖𝑡𝑜:</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>=</p><p>−𝑦+3𝑥2</p><p>3𝑦2+𝑥</p><p>)</p><p>2. A função diferenciável 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) é definida implicitamente pela equação</p><p>𝒙𝒚𝒛 + 𝒙𝟑 + 𝒚𝟑 + 𝒛𝟑 = 𝟓</p><p>Expresse</p><p>𝑑𝑧</p><p>𝑑𝑥</p><p>em termos de x, y e z. (𝐺𝑎𝑏𝑎𝑟𝑖𝑡𝑜:</p><p>𝑑𝑧</p><p>𝑑𝑥</p><p>=</p><p>−𝑦𝑧−3𝑥2</p><p>𝑥𝑦+3𝑧2 )</p><p>3. Supondo que as funções diferenciáveis 𝑦 = 𝑦(𝑥) e 𝑧 = 𝑧(𝑥), 𝑧 > 0 sejam definidas</p><p>implicitamente pelo sistema dado, determine</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>e</p><p>𝑑𝑧</p><p>𝑑𝑥</p><p>.</p><p>a) {</p><p>𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4</p><p>𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2</p><p>(𝐺𝑎𝑏𝑎𝑟𝑖𝑡𝑜:</p><p>𝑑𝑧</p><p>𝑑𝑥</p><p>=</p><p>−𝑥+𝑧</p><p>𝑦−𝑧</p><p>𝑒</p><p>𝑑𝑧</p><p>𝑑𝑥</p><p>=</p><p>−𝑦+𝑥</p><p>𝑦−𝑧</p><p>)</p><p>b) {</p><p>2𝑥2 − 𝑦2 = 𝑧2</p><p>𝑥 + 𝑦 = 2</p><p>(𝐺𝑎𝑏𝑎𝑟𝑖𝑡𝑜:</p><p>𝑑𝑧</p><p>𝑑𝑥</p><p>= −1, 𝑧 ≠ 0 𝑒</p><p>𝑑𝑧</p><p>𝑑𝑥</p><p>=</p><p>𝑦+2𝑥</p><p>𝑧</p><p>, 𝑧 ≠ 0)</p><p>4. A função diferenciável 𝑦 = 𝑓(𝑥) é definida implicitamente pela equação dada,</p><p>determinar sua derivada de</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>.</p><p>a) 9𝑥2 + 4𝑦2 = 36 (𝐺𝑎𝑏𝑎𝑟𝑖𝑡𝑜:</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>=</p><p>−9𝑥</p><p>4𝑥</p><p>)</p><p>b) 2𝑥2 − 3𝑦2 = 5𝑥𝑦 (𝐺𝑎𝑏𝑎𝑟𝑖𝑡𝑜:</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>=</p><p>4𝑥−5𝑦</p><p>6𝑦+5𝑥</p><p>)</p><p>5. A função diferenciável 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) é definida implicitamente pela equação dada,</p><p>determinar sua derivada de</p><p>𝜕𝑧</p><p>𝜕𝑥</p><p>e</p><p>𝜕𝑧</p><p>𝜕𝑦</p><p>.</p><p>a) 𝑥3𝑦2 + 𝑥3 + 𝑧3 − 𝑧 = 1 (𝐺𝑎𝑏𝑎𝑟𝑖𝑡𝑜:</p><p>𝑑𝑧</p><p>𝑑𝑥</p><p>=</p><p>−(3𝑥2𝑦2+3𝑥2)</p><p>3𝑧2−1</p><p>𝑒</p><p>𝑑𝑧</p><p>𝑑𝑥</p><p>=</p><p>−2𝑥3𝑦</p><p>3𝑧2−1</p><p>)</p><p>b) 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧2 − 𝑥𝑦 = 0 (𝐺𝑎𝑏𝑎𝑟𝑖𝑡𝑜:</p><p>𝑑𝑧</p><p>𝑑𝑥</p><p>=</p><p>2𝑥−𝑦</p><p>2𝑧</p><p>𝑒</p><p>𝑑𝑧</p><p>𝑑𝑥</p><p>=</p><p>2𝑦−𝑥</p><p>2𝑧</p><p>)</p><p>c) 𝑥𝑦𝑧 − 𝑥 − 𝑦 + 𝑥2 = 3 (𝐺𝑎𝑏𝑎𝑟𝑖𝑡𝑜:</p><p>𝑑𝑧</p><p>𝑑𝑥</p><p>=</p><p>1−𝑦𝑧−2𝑥</p><p>𝑥𝑦</p><p>𝑒</p><p>𝑑𝑧</p><p>𝑑𝑥</p><p>=</p><p>1−𝑥𝑧</p><p>𝑥𝑦</p><p>)</p><p>6. Dadas as funções 𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣) e 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣) definidas pelo sistema {</p><p>𝑢 = 2𝑥2 + 𝑦^2</p><p>𝑣 = 𝑥 − 𝑦</p><p>,</p><p>Determinar as derivadas parciais de 1º ordem de x e y em relação a 𝑢 e 𝑣.</p><p>(𝐺𝑎𝑏𝑎𝑟𝑖𝑡𝑜:</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑑𝑢</p><p>=</p><p>1</p><p>4𝑥 + 𝑦</p><p>;</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑑𝑣</p><p>=</p><p>𝑦</p><p>4𝑥 + 𝑦</p><p>;</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑢</p><p>=</p><p>1</p><p>8𝑥 + 2𝑦</p><p>;</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑣</p><p>=</p><p>−2𝑥</p><p>4𝑥 + 𝑦</p><p>)</p><p>➢ DERIVADA DIRECIONAL:</p><p>1. Determine as derivadas direcionais a seguir pela definição:</p><p>a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥2 + 5𝑦2</p><p>𝑢</p><p>→ = (cos (</p><p>𝜋</p><p>4</p><p>) , 𝑠𝑒𝑛 (</p><p>𝜋</p><p>4</p><p>)) .</p><p>(𝐺𝑎𝑏𝑎𝑟𝑖𝑡𝑜: 2√2𝑥 + 5√2𝑦)</p><p>b) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥3 + 𝑦2 − 4𝑧2</p><p>𝑢</p><p>→= (cos (</p><p>𝜋</p><p>3</p><p>) , cos (</p><p>𝜋</p><p>𝑎</p><p>) , cos (</p><p>2𝜋</p><p>3</p><p>)).</p><p>(𝐺𝑎𝑏𝑎𝑟𝑖𝑡𝑜: 3𝑥 + √2𝑦 + 4𝑧)</p><p>c) 𝑔(𝑥, 𝑦) =</p><p>1</p><p>𝑥−𝑦</p><p>𝑢</p><p>→ = (</p><p>−12</p><p>13</p><p>,</p><p>5</p><p>13</p><p>).</p><p>(𝐺𝑎𝑏𝑎𝑟𝑖𝑡𝑜:</p><p>17</p><p>13(𝑥 − 𝑦)2</p><p>)</p><p>2. Calcule</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕</p><p>𝑢</p><p>→</p><p>(𝑥0, 𝑦0), sendo dados:</p><p>a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 3𝑦2, 𝑃(1,2),</p><p>𝑢</p><p>→ é o versor de 2</p><p>𝑖</p><p>→ +2</p><p>𝑗</p><p>→.</p><p>(𝐺𝑎𝑏𝑎𝑟𝑖𝑡𝑜: −</p><p>8</p><p>√5</p><p>)</p><p>b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥2−𝑦, 𝑃(1,1),</p><p>𝑢</p><p>→ é o versor de (3,4).</p><p>(𝐺𝑎𝑏𝑎𝑟𝑖𝑡𝑜: −</p><p>2</p><p>5</p><p>)</p><p>c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (</p><p>𝑥</p><p>𝑦</p><p>) , 𝑃(3,3),</p><p>𝑢</p><p>→ é o versor de (</p><p>1</p><p>√2</p><p>,</p><p>1</p><p>√2</p><p>).</p><p>(𝐺𝑎𝑏𝑎𝑟𝑖𝑡𝑜: 0 )</p><p>d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦, 𝑃(1,1),</p><p>𝑢</p><p>→ é o versor de</p><p>𝑖</p><p>→ +</p><p>𝑗</p><p>→.</p><p>(𝐺𝑎𝑏𝑎𝑟𝑖𝑡𝑜: √2 )</p><p>3. Em que sentido e direção a função dada cresce mais rapidamente no ponto dado? Em</p><p>que sentido e direção decresce mais rapidamente?</p><p>a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2, 𝑃(1,1).</p><p>(𝐺𝑎𝑏𝑎𝑟𝑖𝑡𝑜: 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜: (3,3), 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜: (−3, −3) )</p><p>b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln (𝑥, 𝑦), 𝑃(1, −1).</p><p>(𝐺𝑎𝑏𝑎𝑟𝑖𝑡𝑜: 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜: (</p><p>1</p><p>2</p><p>, −</p><p>1</p><p>2</p><p>) , 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜: (−</p><p>1</p><p>2</p><p>,</p><p>1</p><p>2</p><p>) )</p><p>c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √4 − 𝑥2 − 2𝑦2, 𝑃 (1,</p><p>1</p><p>2</p><p>).</p><p>(𝐺𝑎𝑏𝑎𝑟𝑖𝑡𝑜: 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜: (−1, −1), 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜: (1,1) )</p>