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<p>AULA 5</p><p>CERTIFICAÇÃO LEAN, SIX</p><p>SIGMA, GREEN BELT –</p><p>FERRAMENTAS PARA O</p><p>PENSAMENTO LEAN</p><p>Prof. Rafael Simões Ribeiro</p><p>2</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>O objetivo dessa aula é apresentar, ao leitor, os fundamentos das análises</p><p>estatísticas de processos. Abordaremos o tema com um foco prático, de maneira</p><p>que o entendimento de conceitos estatísticos específicos ficará a cargo de</p><p>pesquisas aprofundadas nas referências indicadas. No entanto, após esta aula,</p><p>saberemos construir cartas de controle e realizar análises de controle estatístico</p><p>de processos (CEP) e de capacidade de processos por meio das razões de</p><p>capacidade 𝐶𝑝 e 𝐶𝑝𝑘.</p><p>TEMA 1 – CARTAS DE CONTROLE DE SHEWHART</p><p>Uma carta de controle é uma ferramenta de melhoria da produtividade,</p><p>eficaz na prevenção de defeitos ao fornecer informações de diagnóstico para o</p><p>processo. Apresenta, no eixo das abscissas, uma ordem amostral ou temporal,</p><p>e, no eixo das ordenadas, uma característica do processo (ou do produto final),</p><p>que medimos e queremos manter sob controle (uma cota de uma peça, um valor</p><p>de temperatura, um valor de pressão etc.). Cada ponto marcado na carta é o</p><p>valor numérico puro dessa característica (para o caso de medidas individuas) ou</p><p>o resultado da média de uma amostra de 𝑛 itens. São traçados a linha central</p><p>(LC, que representa a média dos pontos do gráfico) e os limites superior de</p><p>controle (LSC) e inferior de controle (LIC), usualmente representando 3𝜎 de</p><p>desvio ao redor da média (chamados limites de controle três sigma).</p><p>Figura 1 – Carta de controle de Shewhart</p><p>Fonte: JMP, 2015.</p><p>A maioria dos casos de CEP e das cartas de controle utilizadas no</p><p>contexto Six Sigma Green Belt baseia-se nas cartas de controle �̅� e 𝑅 (lê-se “xis</p><p>barra” e “erre”).</p><p>3</p><p>Por questões de facilidade, uma forma de estimar o desvio-padrão (𝜎) é</p><p>utilizando a amplitude 𝑅, correspondente à diferença entre o maior e o menor</p><p>valor dos elementos dentro de uma amostra:</p><p>𝑅 = 𝑚á𝑥(𝑥𝑖) − mín(𝑥𝑖) = 𝑥𝑚á𝑥 − 𝑥𝑚í𝑛 (1)</p><p>Para o uso da carta �̅�, calculamos a média das médias:</p><p>�̿� =</p><p>�̅�1 + �̅�2 + ⋯ + �̅�𝑚</p><p>𝑚</p><p>(2)</p><p>em que 𝑚 é o número de amostras, em que cada amostra tem 𝑛 componentes.</p><p>Calculamos, também, a média das amplitudes:</p><p>�̅� =</p><p>𝑅1 + 𝑅2 + ⋯ + 𝑅𝑚</p><p>𝑚</p><p>(3)</p><p>Os cálculos dos limites de controle dependem de uma modificação</p><p>estatística para considerar condições amostrais (o que, na prática, é o que</p><p>acontece nos problemas da vida real). As especificidades dessas manipulações</p><p>estatísticas podem ser compreendidas em um curso de Controle Estatístico da</p><p>Qualidade, como Montgomery (2019). A nós, neste momento, cabe aceitarmos</p><p>que os cálculos dos limites de controle para a carta �̅� levam em conta o</p><p>parâmetro estatístico 𝐴2, que depende do tamanho da amostra e pode ser</p><p>consultado na tabela presente no Anexo.</p><p>Temos, para o gráfico �̅�:</p><p>𝐿𝑆𝐶 = �̿� + 𝐴2�̅�</p><p>(4) 𝐿𝐶 = �̿�</p><p>𝐿𝐼𝐶 = �̿� − 𝐴2�̅�</p><p>A carta 𝑹, por sua vez, leva em conta os parâmetros estatísticos 𝐷3 e 𝐷4,</p><p>e o cálculo de seus limites de controle são dados por:</p><p>𝐿𝑆𝐶 = 𝐷4�̅�</p><p>(5) 𝐿𝐶 = �̅�</p><p>𝐿𝐼𝐶 = 𝐷3�̅�</p><p>Há situações e motivos para termos o tamanho da amostra unitário, 𝑛 =</p><p>1. Talvez o principal e mais em evidência seja a automação dos processos de</p><p>medição – se a medição não custa recursos, não há razão para não medir toda</p><p>a produção. Mas há, também, casos em que ter um tamanho amostral 𝑛 > 1 é</p><p>muito custoso e, também, casos em que temos um desvio-padrão mínimo para</p><p>alguns parâmetros, dificultando a análise da carta de variação que leva em</p><p>consideração maiores tamanhos amostrais. Para esses casos, utilizamos a</p><p>4</p><p>amplitude móvel (moving range, 𝑀𝑅) de duas observações consecutivas como</p><p>base para estimar a variabilidade do processo1:</p><p>𝑀𝑅𝑖 = |𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1| (6)</p><p>O gráfico de controle para medidas individuais, com três sigma, será</p><p>calculado como se segue:</p><p>𝐿𝑆𝐶 = �̅� + 3</p><p>𝑀𝑅̅̅ ̅̅̅</p><p>𝑑2</p><p>(7) 𝐿𝐶 = �̅�</p><p>𝐿𝐼𝐶 = �̅� − 3</p><p>𝑀𝑅̅̅ ̅̅̅</p><p>𝑑2</p><p>O gráfico de controle para amplitude móvel será:</p><p>𝐿𝑆𝐶 = 𝐷4𝑀𝑅̅̅̅̅̅</p><p>(8) 𝐿𝐶 = 𝑀𝑅̅̅̅̅̅</p><p>𝐿𝐼𝐶 = 𝐷3𝑀𝑅̅̅̅̅̅</p><p>em que, se 𝑛 = 2 é amplitude móvel de abrangência dois, 𝐷3 = 0 e então 𝐿𝐼𝐶 =</p><p>0.</p><p>A Figura 2 mostra cartas de controle para medidas individuais. Repare</p><p>que a carta de amplitude móvel (carta de baixo) é deslocada em seu primeiro</p><p>valor em relação à carta das medidas, o que se justifica pelo seu cálculo</p><p>“artificial”, já que ela não é a amplitude entre a mesma amostra, mas sim a</p><p>amplitude entre amostras consecutivas.</p><p>Figura 2 – Cartas de controle para medidas individuais</p><p>Fonte: JMP, 2015.</p><p>1 Em algumas aplicações pode ser mais interessante utilizar os gráficos de controle para a soma</p><p>cumulativa (CUSUM) e de média móvel exponencialmente ponderada (MMEP), que não serão</p><p>abordados em nosso curso. Recomenda-se a consulta às referências indicadas.</p><p>5</p><p>TEMA 2 – CONTROLE ESTATÍSTICO DO PROCESSO: FASE I</p><p>Acabamos de estudar procedimentos de cálculo para a construção de</p><p>gráficos de controle. Nesta seção, estudaremos a interpretação desses gráficos</p><p>e de padrões que podem ocorrer.</p><p>O controle estatístico de processo refere-se a um conjunto de ferramentas</p><p>e a uma filosofia de trabalho. Os princípios de Deming e Ishikawa, e suas</p><p>ferramentas, estão inseridos no CEP. No entanto, o CEP é diretamente</p><p>associado ao uso e interpretação das cartas de controle.</p><p>Começamos falando de duas fases de aplicação das cartas de controle,</p><p>cada uma com um objetivo diferente. Na fase I, “um conjunto de dados do</p><p>processo é coletado e analisado de forma retrospectiva, construindo-se limites e</p><p>controle de teste pra se determinar se o processo estava sob controle durante o</p><p>período em que os dados foram coletados” (Montgomery, 2019, p. 141). O</p><p>objetivo da fase I é, portanto, vermos se os pontos coletados estão sob controle</p><p>estatístico (veremos a seguir como identificar esse controle). Caso não haja</p><p>controle estatístico, a equipe de engenharia deve trabalhar no processo de modo</p><p>a identificar fatores atribuíveis (causas especiais). A identificação de fatores</p><p>atribuíveis pode ser realizada pela análise do processo – utilizando as</p><p>ferramentas de Ishikawa e outras ferramentas –, e, principalmente, pela</p><p>realização de experimentos planejados.</p><p>Após a identificação de causas atribuíveis, a equipe de controle do</p><p>processo deve reexecutar a fase I, até que se obtenha “um conjunto limpo de</p><p>dados que representam o desempenho do processo sob controle para uso</p><p>posterior na fase II” (Montgomery, 2019, p. 142). Tipicamente, o número de</p><p>amostras 𝑚 para a confecção das cartas de controle na fase I é de 20 a 25,</p><p>sendo o número de observações em cada amostra, 𝑛, geralmente da ordem de</p><p>2 a 5, por razões econômicas (visto que, muitas vezes é dispendioso realizar as</p><p>medições necessárias). De modo geral, em estatística, quando maior nosso</p><p>número de graus de liberdade (tamanho amostral), mais precisos somos em</p><p>nossas análises. Na prática da engenharia devemos sempre chegar a um</p><p>equilíbrio entre recursos e o grau de qualidade de nossas informações, e isso é</p><p>obtido com o domínio do processo (e do produto).</p><p>6</p><p>A fase II ocorre após a eliminação das principais causas atribuíveis na</p><p>fase I e possui ênfase, então, no monitoramento do processo2. Vamos estudar</p><p>como identificar o controle estatístico em um gráfico de controle (válido para as</p><p>fases I e II) e, depois, abordar um detalhe específico da fase II, o conceito de</p><p>comprimento médio da sequência (CMS).</p><p>Como vimos, as cartas de controle são construídas com base nos limites</p><p>de controle três sigma, também chamados de limites naturais de controle. Assim,</p><p>ao obtermos pontos fora dos limites de controle (ainda que seja apenas um</p><p>ponto) temos a indicação de falta de controle estatístico, ou seja, causas</p><p>atribuíveis não aleatórias estão presentes e devem</p><p>ser encontradas e corrigidas.</p><p>Porém, a presença de um ponto fora dos limites de controle não é um requisito</p><p>absoluto para a falta de controle estatístico. Existem alguns padrões que também</p><p>caracterizam causas não aleatórias. Esses padrões são resultados da prática de</p><p>engenharia, e não de uma demonstração matemática, e são frutos da</p><p>interpretação de processos reais; devido a esse fato, é comum empresas</p><p>diferentes utilizarem padrões de interpretação diferentes. Aqui, seguiremos as</p><p>regras sensibilizantes para gráficos de controle de Shewhart, como</p><p>apresentadas por Montgomery (2019). As quatro primeiras regras são</p><p>conhecidas como regras da Western Electric por terem sido maciçamente</p><p>promovidas pela empresa; Wheeler e Chambers (1992) as consideram como as</p><p>regras mais importantes, sendo, as restantes, tratadas por eles como uma busca</p><p>por padrões, e não apenas a simples verificação de uma “regra”. Vejamos:</p><p>Tabela 1 – Regras sensibilizantes para gráficos de controle</p><p>1 Um ou mais pontos fora dos limites de controle</p><p>R</p><p>e</p><p>g</p><p>ra</p><p>s</p><p>d</p><p>a</p><p>W</p><p>e</p><p>s</p><p>te</p><p>rn</p><p>E</p><p>le</p><p>c</p><p>tric</p><p>2</p><p>Dois ou três pontos consecutivos fora dos limites de alerta de dois sigma, mas</p><p>ainda dentro dos limites de controle</p><p>3 Quatro ou cinco pontos consecutivos além dos limites de um sigma</p><p>4 Uma sequência de oito pontos consecutivos de um mesmo lado da linha central</p><p>5 Seis pontos em uma sequência sempre crescente ou decrescente</p><p>6 Quinze pontos em sequência entre os limites de um sigma</p><p>7 Quatorze pontos em sequência alternadamente para cima e para baixo</p><p>2 De forma simplificada: a fase I possui ênfase em trazer para controle o processo, enquanto a</p><p>fase II possui ênfase em manter tal controle.</p><p>7</p><p>8</p><p>Oito pontos em sequência em ambos os lados da linha central com nenhum deles entre</p><p>os limites de um sigma</p><p>9 Um padrão não usual ou não aleatório dos dados</p><p>10 Um ou mais pontos perto de um limite de alerta ou de controle</p><p>Fonte: elaborada com base em Montgomery, 2019, p. 141.</p><p>Repare que as regras 9 e 10 são genéricas e fracas e, apesar de terem</p><p>alguma relevância, usualmente servem mais de alerta do que de fato</p><p>representam uma condição fora de controle, e essa é uma das razões da escolha</p><p>de abordagem de Wheeler e Chambers (1992). Vamos mostrar e comentar,</p><p>abaixo, os exemplos adaptados de Nelson (1984,1985), pelo site Gigawiz (2016),</p><p>para gráficos de controle 𝑋 (𝑛 = 1) e �̅� (tamanho de amostra a partir de 𝑛 = 2).</p><p>Para tal, repare que as regiões A, B e C são regiões que correspondem,</p><p>respectivamente, a 3, 2 e 1 desvios-padrão (𝜎) em relação à média.</p><p>Repare, na Figura 3, que temos um ponto além do limite inferior de</p><p>controle de três sigma (abaixo da região A). Isso indica a presença de uma causa</p><p>especial e mostra que esse ponto está altamente fora de controle. A regra 1 é de</p><p>aplicação direta tanto para o gráfico das médias quanto para o gráfico da</p><p>amplitude; veremos, posteriormente, uma situação em que a análise de gráficos</p><p>�̅� é diferenciada, não seguindo essa regra – no entanto, mesmo nessa situação</p><p>a regra vale para o gráfico 𝑅. A Figura 4, por sua vez, mostra dois pontos</p><p>consecutivos dentro dos limites de controle, mas na região A, além dos limites</p><p>de alerta (nome dado aos limites dois sigma). Segundo Nelson (1985), a causa</p><p>usual para esse tipo de ocorrência é o deslocamento da média do processo,</p><p>sendo esse um indicador precoce de tal deslocamento; o autor ainda mostra que</p><p>a chance de um sinal como esse ser falso é de apenas 0,3%.</p><p>Figura 3 – Exemplo da regra 1</p><p>Fonte: Elaborado com base em Gigawiz, 2016.</p><p>8</p><p>Figura 4 – Exemplo da regra 2</p><p>Fonte: Elaborado com base em Gigawiz, 2016.</p><p>Na Figura 5 temos quatro pontos consecutivos além do limite de controle</p><p>de dois sigma e, na Figura 6, nove pontos consecutivos do mesmo lado da linha</p><p>central. Ambos indicam, também, deslocamento da média (Nelson, 1985).</p><p>Figura 5 – Exemplo da regra 3</p><p>Fonte: Elaborado com base em Gigawiz, 2016.</p><p>Figura 6 – Exemplo da regra 4</p><p>Fonte: Elaborado com base em Gigawiz, 2016.</p><p>Temos, na Figura 7, seis pontos consecutivos em uma tendência</p><p>crescente, o que sinaliza um desvio na média que, possivelmente, é causado por</p><p>algum problema de manutenção, como desgastes de ferramentas, oxidações</p><p>etc. A Figura 8, por sua vez, mostra quinze pontos consecutivos entre os limites</p><p>de um sigma. À primeira vista, isso parece algo positivo e aleatório, no entanto,</p><p>essa configuração indica que os limites de controle são muito largos. Segundo</p><p>9</p><p>Nelson (1985), a partir de uma simulação de Monte Carlo, a probabilidade da</p><p>obtenção desse padrão é da ordem da probabilidade de obtenção de um</p><p>exemplar da Regra 1. Ou seja, de fato esse padrão não é nada positivo para o</p><p>processo, pois indica que a escala que estamos utilizando para medi-lo não é</p><p>apropriada (e, então, talvez tenhamos que mudar nossos parâmetros estatísticos</p><p>de amostragem).</p><p>Figura 7 – Exemplo da regra 5</p><p>Fonte: Elaborado com base em Gigawiz, 2016.</p><p>Figura 8 – Exemplo da regra 6</p><p>Fonte: Elaborado com base em Gigawiz, 2016.</p><p>A Figura 9 apresenta 14 pontos em sequência alternada para cima e para</p><p>baixo, o que indica uma oscilação além do ruído, o que ocorre quando se</p><p>monitora amostras alternadas de dois fornecedores ou turnos diversos. Isso é</p><p>um erro, pois tais variações de subgrupos deveriam ter suas próprias cartas de</p><p>controle. Uma conclusão similar é apresentada na Figura 10, que mostra oito</p><p>pontos em sequência em ambos os lados da linha central com nenhum deles</p><p>entre os limites de um sigma. Isso caracteriza uma distribuição bimodal,</p><p>provavelmente por estarmos considerando amostras muito diferentes na mesma</p><p>carta.</p><p>10</p><p>Figura 9 – Exemplo da regra 7</p><p>Fonte: Elaborado com base em Gigawiz, 2016.</p><p>Figura 10 – Exemplo da regra 8</p><p>Fonte: Elaborado com base em Gigawiz, 2016.</p><p>TEMA 3 – CONTROLE ESTATÍSTICO DO PROCESSO: FASE II</p><p>A fase II do controle estatístico do processo, como se pode supor, sucede</p><p>a fase I e, por isso, só faz sentido ser implementada se o controle estatístico da</p><p>fase anterior for obtido. A fase II consiste no acompanhamento das variações de</p><p>uma característica de qualidade ao longo do tempo de produção.</p><p>Um processo produtivo está sujeito a diversas variações ao longo do</p><p>tempo. Máquinas se desgastam com o uso, condições ambientais mudam</p><p>conforme o período do dia (calor durante o dia e frio durante a noite) e dos meses</p><p>(relacionados aos climas típicos de cada estação do ano) e processos estão</p><p>sempre sujeitos a erros humanos. O acompanhamento de fase II do CEP visa</p><p>identificar, de forma gráfica e assertiva, tais mudanças no processo que,</p><p>eventualmente, causam grandes desvios nas características de qualidade de um</p><p>produto.</p><p>Apesar de não entrarmos a fundo em estatística nesse curso (e, por isso,</p><p>a leitura de um curso de Controle Estatístico da Qualidade é insistentemente</p><p>recomendada), temos, por intuição, que um maior número de dados possibilita o</p><p>aparecimento de maiores variações, bem como nos permite obter uma maior</p><p>11</p><p>assertividade de estimativas estatísticas. Repare que os parâmetros 𝐴2, 𝑑2, 𝐷3 e</p><p>𝐷4, utilizados nos cálculos dos limites de controle e apresentados na Tabela 4,</p><p>no anexo, variam conforme o número de amostra aumenta. Essa variação se dá,</p><p>sempre, no sentido de diminuição das incertezas relacionadas às estimativas</p><p>dos limites de controle ( 𝐴2, 𝐷3 e 𝐷4 diminuem com o aumento da amostra, uma</p><p>vez que esses parâmetros são multiplicados pelos cálculos das médias; já 𝑑2</p><p>aumenta com o aumento da amostra, uma vez que este se encontra no</p><p>denominador da média móvel na Equação 7).</p><p>Vimos, em outro momento, que variações são inerentes a todos os</p><p>processos naturais. Falamos que mesmo gêmeos univitelinos (com mesmo</p><p>código genético) possuem características distintas. Assim, esperamos que</p><p>mesmo um processo em controle estatístico</p><p>apresente, de tempos em tempos,</p><p>um ponto fora de controle.</p><p>O comprimento médio de sequência (CMS) de um gráfico de controle é o</p><p>número de pontos que devem ser marcados antes que um ponto indique uma</p><p>condição fora de controle. Por mais estreitas que sejam nossas probabilidades,</p><p>em algum momento algum ponto cairá fora dos limites aleatoriamente (sem</p><p>indicar, de fato, um processo descontrolado), indicando um falso alarme. O CMS</p><p>é calculado como:</p><p>𝐶𝑀𝑆 =</p><p>1</p><p>𝑝</p><p>(9)</p><p>em que 𝑝 é a probabilidade de que qualquer ponto exceda os limites de controle.</p><p>Para três sigma, 𝑝 = 0,0027 e o CMS é 370, o que indica que a cada 370 pontos</p><p>em média, encontraremos um ponto fora dos limites de controle. Se usarmos as</p><p>quatro primeiras regras sensibilizantes, esse valor cai para 92,25.</p><p>É importante ficar claro que a presença de um ponto fora dos limites de</p><p>controle é esperada de tempos em tempos quando analisamos o controle</p><p>estatístico do processo em fase II. Para o caso de três sigma, esperamos esse</p><p>ponto a cada 370 pontos em média, mas nada impede que ele apareça um pouco</p><p>antes ou um pouco depois. O que não é aceitável é a presença de mais de um</p><p>ponto fora dos limites de controle em um intervalo curto de tempo. Por exemplo,</p><p>dos pontos fora de limite distanciando-se 20 pontos entre si indica, claramente,</p><p>que o processo está fora de controle estatístico. Nesse caso, é necessário</p><p>realizar a fase I do CEP novamente, em busca das causas atribuíveis para essa</p><p>perda de controle do processo.</p><p>12</p><p>TEMA 4 – CAPACIDADE DE PROCESSOS</p><p>O conceito de capacidade de um processo diz respeito ao seu</p><p>desempenho em relação à uma especificação do produto parcial (ou final) do</p><p>processo.</p><p>Para caracterizarmos a capacidade de um processo necessitamos que</p><p>este esteja sob controle estatístico, utilizamos estimadores para média e desvio-</p><p>padrão e verificamos a probabilidade de produtos não conformes em relação à</p><p>uma especificação.</p><p>Imagine um processo de deposição metálica para fabricação de</p><p>semicondutores com especificações de 1,5 ± 0,5 𝜇𝑚. Ou seja, a engenharia</p><p>especificou que o processo deve ter um alvo médio em 1,5 𝜇𝑚 com uma</p><p>tolerância de ±0,5 𝜇𝑚. Mas, conforme já mencionado, não existe processo</p><p>perfeito, e sempre haverá certo grau de aleatoriedade. Para estimar a</p><p>capacidade do seu processo, você resolveu medir aleatoriamente a espessura</p><p>da deposição de 25 subgrupos com 5 amostras em cada um. Dessa medição,</p><p>você foi capaz de calcular �̿� = 1,5056 𝜇𝑚 e �̅� = 0,32521 e, inclusive, conseguiu</p><p>representar as cartas de controle �̅� e 𝑅, não obtendo nenhuma evidência de que</p><p>o processo esteja fora de controle.</p><p>Para caracterizar a capacidade do processo, precisamos de um estimador</p><p>da média (que já calculamos: �̿� = 1,5056 𝜇𝑚) e de um estimador para o desvio-</p><p>padrão, que é um conceito estatístico que não abordamos nesse curso, mas que</p><p>está aqui representado para que você entenda o conceito de capacidade de</p><p>processos. Quando estamos utilizando as amplitudes, �̅� não é um estimador</p><p>“não viesado” (para mais detalhes, ver Montgomery, 2019) e, portanto,</p><p>necessitamos realizar uma correção estatística, o que leva à sua divisão por 𝑑2</p><p>(que, para 𝑛 = 5 é 2,326, conforme Tabela 4, no Anexo), de forma que o</p><p>estimador não viesado para o desvio-padrão é calculado como:</p><p>�̂� =</p><p>�̅�</p><p>𝑑2</p><p>=</p><p>0,32521</p><p>2,326</p><p>= 0,1398 𝜇𝑚 (10)</p><p>Com os estimadores calculados, podemos utilizar a função densidade de</p><p>probabilidade acumulada para estimar a fração de componentes não conformes</p><p>produzidos (ou seja, componentes com valores menores que o limite inferior de</p><p>especificação e componentes com valores maiores que o limite superior de</p><p>especificação):</p><p>13</p><p>𝑝 = 𝑃{𝑥 < 1,0} + 𝑃{𝑥 > 2} (11)</p><p>ou seja, estamos interessados em calcular a probabilidade de produzir</p><p>componentes não conformes (ou, inversamente, calcular a probabilidade de</p><p>produzir componentes conformes). Assim:</p><p>𝑝 = [Φ (</p><p>1,0 − 1,5056</p><p>0,1398</p><p>)] + [1 − Φ (</p><p>2,0 − 1,5056</p><p>0,1398</p><p>)] (12)</p><p>𝑝 = [Φ(−3,6166)] + [1 − Φ(3,53648)] = 0,00035 3 (13)</p><p>Chegamos, então, ao valor de 0,035%. Essa é a probabilidade de produzir</p><p>componentes não conformes, e, em outras palavras, produziremos 350</p><p>componentes não conformes a cada 1 milhão de componentes produzidos (350</p><p>ppm). Alternativamente, nossa probabilidade de produção conforme é de</p><p>99,965%. Finalmente, com isso, caracterizamos a capacidade do processo.</p><p>É importante ter em mente que uma análise de capacidade de um</p><p>processo não necessita, necessariamente, de especificações pré-determinadas.</p><p>É comum utilizarmos a conhecida dispersão de seis sigma como medida de</p><p>capacidade (𝜇 ± 3𝜎), e chamamos essa referência de limites naturais de</p><p>tolerância do processo. Mas repare, na Figura 11, que, ainda assim, temos que</p><p>0,27% dos pontos (produtos fabricados) caem fora dos limites naturais de</p><p>tolerância, o que corresponderia a 2700 ppm de produtos não conformes.</p><p>Figura 11 – Limites naturais de tolerância na distribuição normal</p><p>Fonte: baseada em Montgomery, 2019, p. 61.</p><p>3 Novamente, os detalhes em relação a esse cálculo de probabilidades constam de um curso</p><p>específico de Controle Estatístico da Qualidade e podem ser estudados em Montgomery (2019).</p><p>14</p><p>Podemos realizar uma análise de capacidade em diferentes momentos e</p><p>partes do fluxo de desenvolvimento de produtos e processos. Como exemplos,</p><p>além do ajuste do processo em si, essa ferramenta pode ser utilizada para</p><p>desenvolvimento de fornecedores, planejamento da sequência de processos</p><p>com vistas ao impacto em tolerâncias, especificação de exigências de</p><p>desempenho e redução da variabilidade.</p><p>Utilizamos a razão de capacidade de um processo como uma</p><p>ferramenta simples e quantitativa de expressar a capacidade, e, como veremos,</p><p>como “uma medida da habilidade de o processo fabricar um produto que atenda</p><p>as especificações” (Montgomery, 2019, p. 260):</p><p>𝐶𝑝 =</p><p>𝐿𝑆𝐸 − 𝐿𝐼𝐸</p><p>6𝜎</p><p>(14)</p><p>Para nosso exemplo da deposição metálica em semicondutores, obtemos</p><p>o valor 𝐶𝑝 = 1,192. Quando temos limites de especificação, podemos interpretar</p><p>a razão da capacidade de acordo com o seu inverso:</p><p>𝑃 =</p><p>1</p><p>�̂�𝑝</p><p>(15)</p><p>que indica a porcentagem da faixa de especificação utilizada pelo processo. No</p><p>nosso exemplo, 𝑃 = 83,89%.</p><p>Caso tenhamos especificações unilaterais, por exemplo, se tivermos um</p><p>valor mínimo de dureza que uma peça deve possuir, ou um valor máximo de</p><p>rugosidade de uma superfície, temos razões de capacidade unilaterais:</p><p>𝐶𝑝𝑠 =</p><p>𝐿𝑆𝐸 − 𝜇</p><p>3𝜎</p><p>(16)</p><p>𝐶𝑝𝑖 =</p><p>𝜇 − 𝐿𝐼𝐸</p><p>3𝜎</p><p>(17)</p><p>Para um processo com distribuição normal4, sob controle estatístico e com</p><p>média centrada entre os limites de especificação, temos (Montgomery, 2019, p.</p><p>260):</p><p>Tabela 2 – 𝑪𝒑 e número de falhas (em ppm) associadas</p><p>Falhas do processo (em ppm defeituosas)</p><p>𝐶𝑝 Especificações unilaterais Especificações bilaterais</p><p>0,25 226.628 453.255</p><p>4 É importante entender qual é a distribuição que mais se aproxima do processo em análise,</p><p>tendo em vista que distribuições diferentes tratadas como normal geram erros substanciais.</p><p>15</p><p>0,50 66.807 133.614</p><p>0,70 17.865 35.729</p><p>0,80 8.198 16.395</p><p>1,00 1.350 2.700</p><p>1,50 4 7</p><p>2,00 0,0009 0,0018</p><p>Fonte: elaborada com base em Montgomery, 2019.</p><p>Repare, na Tabela 2, que quanto maior o valor de 𝐶𝑝, menos partes</p><p>defeituosas serão produzidas, o que acontece quando as variações do processo</p><p>são muito pequenas em relação aos limites de especificação. Por outro lado,</p><p>para valores pequenos interpretamos que as variações são grandes demais para</p><p>os limites de especificação. Quando 𝐶𝑝 = 1, nesse caso da distribuição normal,</p><p>interpretamos que os limites de especificação são os limites naturais ±3𝜎.</p><p>O valor da razão de capacidade mínimo varia para cada tipo de processo</p><p>de fabricação, de acordo com o produto (em vários critérios como segurança,</p><p>serventia, qualidade, entre outros) e com a criticidade</p><p>de seu uso. Montgomery</p><p>(2019, p. 261) apresenta alguns valores mínimos que podem ser tomados como</p><p>referência:</p><p>Tabela 3 – Valores mínimos recomendados para 𝑪𝒑</p><p>Especificações</p><p>unilaterais</p><p>Especificações</p><p>bilaterais</p><p>Processos existentes 1,25 1,33</p><p>Novos processos 1,45 1,50</p><p>Segurança, força, ou parâmetro crítico,</p><p>processos existentes</p><p>1,45 1,50</p><p>Segurança, força, ou parâmetro crítico,</p><p>processos novos</p><p>1,60 1,67</p><p>Fonte: elaborada com base em Montgomery, 2019, p. 261.</p><p>Por fim, repare que 𝐶𝑝 = 1 para limites naturais ±3𝜎. Para uma empresa</p><p>que preze pela metodologia Seis Sigma em sua produção, 𝐶𝑝 = 2 o que</p><p>corresponde a limites de ±6𝜎 entre os limites de especificação e traz uma</p><p>capacidade correspondente a apenas 0,0018 defeitos para cada um milhão de</p><p>produtos. Tal nível de qualidade é importante para produtos com muitos</p><p>16</p><p>componentes, uma vez que esse produto apenas não falhará se todos os</p><p>componentes individualmente não falharem.</p><p>Até o momento, não abordamos a posição da média do processo real em</p><p>relação às especificações. Para levar em consideração a “posição” do processo</p><p>em relação aos limites inferior e superior de especificação, definimos 𝐶𝑝𝑘 como:</p><p>𝐶𝑝𝑘 = min (𝐶𝑝𝑖 , 𝐶𝑝𝑠) (12)</p><p>Ou seja, 𝐶𝑝𝑘 é o menor valor de 𝐶𝑝 unilateral do processo, ou, em outras</p><p>palavras, o 𝐶𝑝 unilateral para o limite de especificação mais próximo da média.</p><p>Se 𝐶𝑝 = 𝐶𝑝𝑘 o processo está centralizado no ponto médio das especificações e</p><p>se 𝐶𝑝𝑘 < 𝐶𝑝 o processo está descentrado. Ainda, a magnitude de 𝐶𝑝𝑘 em relação</p><p>a 𝐶𝑝 é uma medida de quão descentrado o processo opera. Dessa forma, é</p><p>comum pensarmos em 𝐶𝑝 como uma medida da capacidade potencial de um</p><p>processo, e 𝐶𝑝𝑘 como a medida da capacidade efetiva. Repare, na Figura 12, a</p><p>relação entre 𝐶𝑝 e 𝐶𝑝𝑘 para diferentes considerações:</p><p>Figura 12 – Relação entre 𝐶𝑝 e 𝐶𝑝𝑘</p><p>17</p><p>Fonte: elaborada com base em Montgomery, 2019, p. 261.</p><p>Veja que o processo possui desvio-padrão 𝜎 = 2 e no primeiro gráfico está</p><p>centrado em 50, sendo os limites de especificação maiores do que a variação do</p><p>processo (maiores do que ±6𝜎) e 𝐶𝑝 = 𝐶𝑝𝑘 = 2. À medida em que o processo se</p><p>desloca para a direita o valor de 𝐶𝑝 se mantém, pois ele não leva em</p><p>consideração a posição do processo (é, de fato, uma capacidade potencial),</p><p>enquanto o valor de 𝐶𝑝𝑘 diminui quanto mais deslocado o processo fica. Repare</p><p>que 𝐶𝑝𝑘 = 1,5 ainda é uma condição favorável e, de certa forma, 𝐶𝑝𝑘 = 1 também</p><p>(o que corresponde a uma confiança de 3𝜎). Já nas duas últimas apresentações,</p><p>por mais que 𝐶𝑝 seja ótimo, 𝐶𝑝𝑘 mostra que o processo está fora das</p><p>especificações (nesse caso, fora do limite superior de especificação,</p><p>caracterizando uma capacidade efetiva péssima).</p><p>TEMA 5 – JMP: CARTAS DE CONTROLE E RAZÕES DE CAPACIDADE</p><p>Estudamos conceitos de capacidade de processos de forma</p><p>individualizada, mas, na verdade, tudo pode ser integrado aos gráficos de</p><p>controle. No exemplo da dureza, que viemos trabalhando, observe as cartas de</p><p>controle para 20 amostras (subgrupos) de tamanho amostral 𝑛 = 5:</p><p>Figura 13 – Cartas de controle �̅� e 𝑅</p><p>18</p><p>Fonte: SAS JMP, 2021.</p><p>Veja que não possuímos causa especial (atribuível) na análise da carta 𝑅</p><p>(nenhum ponto fora dos limites de controle) e possuímos o controle estatístico</p><p>na carta �̅�. Podemos, agora, calcular a capacidade unilateral do processo se o</p><p>limite inferior de especificação for de 20 𝐻𝑅𝐶. Para isso, precisamos calcular o</p><p>estimador de desvio-padrão �̂� = �̅�/𝑑2 = 7,73/2,32 = 3,32 e, finalmente:</p><p>�̂�𝑝𝑙 =</p><p>�̿� − 𝐿𝐼𝐸</p><p>3�̂�</p><p>=</p><p>26,4 − 20</p><p>3(3,32)</p><p>= 0,64 (21)</p><p>O mesmo cálculo pode ser realizado com a ajuda de softwares estatísticos</p><p>como o JMP, que retornará:</p><p>Figura 14 – Análise de capacidade no JMP</p><p>Fonte: SAS JMP, 2021.</p><p>Repare, na Tabela 3, que o limite unilateral mínimo deveria ser 1,45, uma</p><p>vez que a dureza pode ser um comportamento crítico de segurança, dependendo</p><p>da aplicação. Assim, vemos que mesmo em um processo com controle</p><p>19</p><p>estatístico, ainda que os limites naturais ±3𝜎 (LIC e LSC) estejam posicionados</p><p>dentro das especificações, podemos, devido à variação estatística, ter um</p><p>processo não capaz em relação a um limite de especificação.</p><p>O que fazer, então, em um caso desses? Certamente não há evidências</p><p>de que a produção de unidades não conformes seja controlável por um operador,</p><p>pois há controle estatístico, o que significa que as variações do processo são</p><p>aleatórias. Uma forma de tratar esse problema é melhorando ainda mais o</p><p>processo, uma vez que a redução da variação aumenta a capacidade, ou,</p><p>deslocar a média do processo para um valor superior (e, em outras palavras,</p><p>aumentar a dureza do produto, modificando o material, por exemplo). De todo o</p><p>caso, haverá a necessidade de intervenção da engenharia de processos ou da</p><p>engenharia de produto.</p><p>Sabemos, ainda, que as cartas de controle, em sua fase II de utilização,</p><p>fazem o registro do processo ao longo do tempo de forma a verificar possíveis</p><p>alterações nele, como a presença de causas atribuíveis ou o deslocamento da</p><p>média de um processo. Assim, a capacidade do processo, igualmente, pode ser</p><p>analisada a cada nova coleta de dados com base em medições de</p><p>características da qualidade de um produto, servindo, então, como mais uma</p><p>fermenta de medição da qualidade do processo.</p><p>20</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>JMP: Statistical Discovery. Version 12.1.0. [S.1.]: SAS Institute Inc, 2015.</p><p>Disponível em: <https://www.jmp.com/pt_br/home.html>. Acesso em: 11 ago.</p><p>2021.</p><p>MONTGOMERY, D. C. Introdução ao controle estatístico da qualidade. 7. ed.</p><p>Rio de Janeiro: LTC, 2019.</p><p>NELSON, S. L. The Shewhart control chart – tests for special causes. Journal</p><p>of Quality Technology, v. 16, n. 4, p. 237-239, 1984.</p><p>NELSON, S. L. Interpreting Shewhart �̅� control charts. Journal of Quality</p><p>Technology, v. 17, n. 2, p. 114-116, 1985.</p><p>SHEWHART CONTROL CHARTS FOR VARIABLES. Gigawiz, 2016. Disponível</p><p>em: <http://www.gigawiz.com/qc-rules1.html>. Acesso em: 11 ago. 2021.</p><p>WHEELER, D. K.; CHAMBERS, D. S. Understanding statistical process</p><p>control. 2. ed. Knoxville: SPC Press, 1992.</p><p>21</p><p>ANEXOS</p><p>Tabela 4 – Fatores para a construção de gráficos de controle</p><p>Fonte: Montgomery, 2019, p. 525.</p><p>A</p><p>A</p><p>2</p><p>A</p><p>3</p><p>c</p><p>4</p><p>1/</p><p>c</p><p>4</p><p>B</p><p>3</p><p>B</p><p>4</p><p>B</p><p>5</p><p>B</p><p>6</p><p>d</p><p>2</p><p>1/</p><p>d</p><p>2</p><p>d</p><p>3</p><p>D</p><p>1</p><p>D</p><p>2</p><p>D</p><p>3</p><p>D</p><p>4</p><p>2</p><p>2</p><p>,1</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>,8</p><p>8</p><p>0</p><p>2</p><p>,6</p><p>5</p><p>9</p><p>0</p><p>,7</p><p>9</p><p>7</p><p>9</p><p>1</p><p>,2</p><p>5</p><p>3</p><p>3</p><p>0</p><p>3</p><p>,2</p><p>6</p><p>7</p><p>0</p><p>2</p><p>,6</p><p>0</p><p>6</p><p>1</p><p>,1</p><p>2</p><p>8</p><p>0</p><p>,8</p><p>8</p><p>6</p><p>5</p><p>0</p><p>,8</p><p>5</p><p>3</p><p>0</p><p>3</p><p>,6</p><p>8</p><p>6</p><p>0</p><p>3</p><p>,2</p><p>6</p><p>7</p><p>3</p><p>1</p><p>,7</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>,0</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>,9</p><p>5</p><p>4</p><p>0</p><p>,8</p><p>8</p><p>6</p><p>2</p><p>1</p><p>,1</p><p>2</p><p>8</p><p>4</p><p>0</p><p>2</p><p>,5</p><p>6</p><p>8</p><p>0</p><p>2</p><p>,2</p><p>7</p><p>6</p><p>1</p><p>,6</p><p>9</p><p>3</p><p>0</p><p>,5</p><p>9</p><p>0</p><p>7</p><p>0</p><p>,8</p><p>8</p><p>8</p><p>0</p><p>4</p><p>,3</p><p>5</p><p>8</p><p>0</p><p>2</p><p>,5</p><p>7</p><p>4</p><p>4</p><p>1</p><p>,5</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>,7</p><p>2</p><p>9</p><p>1</p><p>,6</p><p>2</p><p>8</p><p>0</p><p>,9</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>,0</p><p>8</p><p>5</p><p>4</p><p>0</p><p>2</p><p>,2</p><p>6</p><p>6</p><p>0</p><p>2</p><p>,0</p><p>8</p><p>8</p><p>2</p><p>,0</p><p>5</p><p>9</p><p>0</p><p>,4</p><p>8</p><p>5</p><p>7</p><p>0</p><p>,8</p><p>8</p><p>0</p><p>0</p><p>4</p><p>,6</p><p>9</p><p>8</p><p>0</p><p>2</p><p>,2</p><p>8</p><p>2</p><p>5</p><p>1</p><p>,3</p><p>4</p><p>2</p><p>0</p><p>,5</p><p>7</p><p>7</p><p>1</p><p>,4</p><p>2</p><p>7</p><p>0</p><p>,9</p><p>4</p><p>0</p><p>0</p><p>1</p><p>,0</p><p>6</p><p>3</p><p>8</p><p>0</p><p>2</p><p>,0</p><p>8</p><p>9</p><p>0</p><p>1</p><p>,9</p><p>6</p><p>4</p><p>2</p><p>,3</p><p>2</p><p>6</p><p>0</p><p>,4</p><p>2</p><p>9</p><p>9</p><p>0</p><p>,8</p><p>6</p><p>4</p><p>0</p><p>4</p><p>,9</p><p>1</p><p>8</p><p>0</p><p>2</p><p>,1</p><p>1</p><p>4</p><p>6</p><p>1</p><p>,2</p><p>2</p><p>5</p><p>0</p><p>,4</p><p>8</p><p>3</p><p>1</p><p>,2</p><p>8</p><p>7</p><p>0</p><p>,9</p><p>5</p><p>1</p><p>5</p><p>1</p><p>,0</p><p>5</p><p>1</p><p>0</p><p>0</p><p>,0</p><p>3</p><p>0</p><p>1</p><p>,9</p><p>7</p><p>0</p><p>0</p><p>,0</p><p>2</p><p>9</p><p>1</p><p>,8</p><p>7</p><p>4</p><p>2</p><p>,5</p><p>3</p><p>4</p><p>0</p><p>,3</p><p>9</p><p>4</p><p>6</p><p>0</p><p>,8</p><p>4</p><p>8</p><p>0</p><p>5</p><p>,0</p><p>7</p><p>8</p><p>0</p><p>2</p><p>,0</p><p>0</p><p>4</p><p>7</p><p>1</p><p>,1</p><p>3</p><p>4</p><p>0</p><p>,4</p><p>1</p><p>9</p><p>1</p><p>,1</p><p>8</p><p>2</p><p>0</p><p>,9</p><p>5</p><p>9</p><p>4</p><p>1</p><p>,0</p><p>4</p><p>2</p><p>3</p><p>0</p><p>,1</p><p>1</p><p>8</p><p>1</p><p>,8</p><p>8</p><p>2</p><p>0</p><p>,1</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>,8</p><p>0</p><p>6</p><p>2</p><p>,7</p><p>0</p><p>4</p><p>0</p><p>,3</p><p>6</p><p>9</p><p>8</p><p>0</p><p>,8</p><p>3</p><p>3</p><p>0</p><p>,2</p><p>0</p><p>4</p><p>5</p><p>,2</p><p>0</p><p>4</p><p>0</p><p>,0</p><p>7</p><p>6</p><p>1</p><p>,9</p><p>2</p><p>4</p><p>8</p><p>1</p><p>,0</p><p>6</p><p>1</p><p>0</p><p>,3</p><p>7</p><p>3</p><p>1</p><p>,0</p><p>9</p><p>9</p><p>0</p><p>,9</p><p>6</p><p>5</p><p>0</p><p>1</p><p>,0</p><p>3</p><p>6</p><p>3</p><p>0</p><p>,1</p><p>8</p><p>5</p><p>1</p><p>,8</p><p>1</p><p>5</p><p>0</p><p>,1</p><p>7</p><p>9</p><p>1</p><p>,7</p><p>5</p><p>1</p><p>2</p><p>,8</p><p>4</p><p>7</p><p>0</p><p>,3</p><p>5</p><p>1</p><p>2</p><p>0</p><p>,8</p><p>2</p><p>0</p><p>0</p><p>,3</p><p>8</p><p>8</p><p>5</p><p>,3</p><p>0</p><p>6</p><p>0</p><p>,1</p><p>3</p><p>6</p><p>1</p><p>,8</p><p>6</p><p>4</p><p>9</p><p>1</p><p>,0</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>,3</p><p>3</p><p>7</p><p>1</p><p>,0</p><p>3</p><p>2</p><p>0</p><p>,9</p><p>6</p><p>9</p><p>3</p><p>1</p><p>,0</p><p>3</p><p>1</p><p>7</p><p>0</p><p>,2</p><p>3</p><p>9</p><p>1</p><p>,7</p><p>6</p><p>1</p><p>0</p><p>,2</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>,7</p><p>0</p><p>7</p><p>2</p><p>,9</p><p>7</p><p>0</p><p>,3</p><p>3</p><p>6</p><p>7</p><p>0</p><p>,8</p><p>0</p><p>8</p><p>0</p><p>,5</p><p>4</p><p>7</p><p>5</p><p>,3</p><p>9</p><p>3</p><p>0</p><p>,1</p><p>8</p><p>4</p><p>1</p><p>,8</p><p>1</p><p>6</p><p>1</p><p>0</p><p>0</p><p>,9</p><p>4</p><p>9</p><p>0</p><p>,3</p><p>0</p><p>8</p><p>0</p><p>,9</p><p>7</p><p>5</p><p>0</p><p>,9</p><p>7</p><p>2</p><p>7</p><p>1</p><p>,0</p><p>2</p><p>8</p><p>1</p><p>0</p><p>,2</p><p>8</p><p>4</p><p>1</p><p>,7</p><p>1</p><p>6</p><p>0</p><p>,2</p><p>7</p><p>6</p><p>1</p><p>,6</p><p>6</p><p>9</p><p>3</p><p>,0</p><p>7</p><p>8</p><p>0</p><p>,3</p><p>2</p><p>4</p><p>9</p><p>0</p><p>,7</p><p>9</p><p>7</p><p>0</p><p>,6</p><p>8</p><p>7</p><p>5</p><p>,4</p><p>6</p><p>9</p><p>0</p><p>,2</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>,7</p><p>7</p><p>7</p><p>1</p><p>1</p><p>0</p><p>,9</p><p>0</p><p>5</p><p>0</p><p>,2</p><p>8</p><p>5</p><p>0</p><p>,9</p><p>2</p><p>7</p><p>0</p><p>,9</p><p>7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